Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistor

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2007

Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistorFrançois Triozon

2008



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2007


Résumé

Théorie semi-classique du transport électroniqueFondements, illustrationsSuccès pour la simulation des transistors

Théorie quantique du transportBref historiqueExemples illustratifs

Développements actuelsExemple : transport dans les nanotubes de carboneDifficultés théoriques



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Partie IThéorie semi-classique du

transport électronique



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Pourquoi « semi-classique » ?

La nature ondulatoire des électrons domine les propriétés des molécules et des solides

Pourtant, le transport électronique est souvent bien décrit par des modèles particulaires dits « semi-classiques »

Les paramètres de ces modèles particulaires contiennent (cachent) l’aspect ondulatoire



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Semi-conducteurs et métaux

Electrons dans un solide cristallin :

états stationnaires = ondes de Bloch relations de dispersion En(k) (= ħnk)→ bandes d’énergies permises

propagation balistique + diffusion sur défauts du cristal

statistique de Fermi-Dirac



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Exemple 1 : Cuivre

vecteur d’onde k

G. Onida et al., Rev. Mod. Phys. 2002

niveau de

Fermi

Dernière bande partiellement remplie → métal



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Exemple 2 : Silicium

vecteur d’onde k

Y.M. Niquet et al., Phys. Rev. B 2000

bande interdite 1.1 eV

états vides

états occupés

Bande complète → semi-conducteur ou isolant



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2007


Remarques

Electrons dans un cristal = problème à N corps

Ici on se limite aux liquides de Fermi. Les états excités du système de N électrons se comportent comme des fermions admettant des relations de dispersion En(k) : quasiparticules (électrons et trous)

Pourquoi une bande totalement remplie ne conduit-elle pas ?

Comme nous allons le voir, c’est un phénomène ondulatoire.



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2007


Ondes de Bloch

potentiel périodique vu par un électron dans un cristal parfait

Equation de Schrödinger stationnaire :

Théorème de Bloch : les états stationnaires sont de la forme :

vecteur d’ondes

indice de bande ( plusieurs états à donné)

a la périodicité du cristal



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Relations de dispersion

états identiques1ère zone de Brillouin

largeur 2/a

a = distance interatomique

dynamique de l’électron



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2007


Paquets d’ondes et vitesse de groupe

« Vitesse » d’un électron dans l’état de Bloch ?

opérateur courant

paquet d’ondes2 méthodes :

Fourier W >> distance interatomique

k << 1ère zone de Brillouin

Vitesse de groupe :



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Illustration : evolution d’un paquet d’ondes

Hamiltonien 2D discrétisé sur réseau carré

(a = pas du réseau, t = 1 eV)

Evolution à pas de temps égaux :

kx

E

Bas de bande : m* « masse effective »



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Effet d’un champ électrique

0

-2 eV

Bande complète compensation entre e- accélérés et ralentis

pas de courant

kx

E (eV)

a

b

a

b



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Effet d’une impureté ionisée

-e

(E. Sarrazin,

CEA/LETI)

Théorème d’Ehrenfest

→ mouvement classique du centre du paquet d’ondes



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Aspect probabiliste

impureté

Vision plus correcte : diffusion quantique

Pour améliorer la description semi-classique, on ajoute

un caractère probabiliste aux collisions.

Les probabilités de diffusion peuvent être :• ajustées sur des expériences• calculées dans un modèle quantique (règle d’or de Fermi)



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Formulation de la théorie semi-classique

Relations de dispersion ou masses effectives

vitesse, réponse à un champ électrique

Sections efficaces de collision sur défauts et phonons Collisions indépendantes (pas de cohérence de phase) Equation de Boltzmann pour la fonction de distribution

f(n,k,r) des électrons :



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2007


Exemple : transistor MOSFET

SourceSource DrainDrain

GrilleGrille

BOXBOX

Impuretés, défauts … Impuretés, défauts … Electron Electron (S. Martinie, CEA/LETI)

Metal-Oxyde-Semiconductor Field Effect Transistor

oxyde < 1 nm

LG = qq. dizaines de nm



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Diagramme de bandes

« Source »

silicium dopé N

bande interdite

1.1 eV

bande de valence

bande de

conduction

« Drain »

silicium dopé N

S

D

e-

canal controlé par l’électrode de « grille »

silicium pur ou dopé P



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2007


Diagramme de bandes

« Source »

silicium dopé N

bande interdite

1.1 eV

bande de valence

bande de

conduction

« Drain »

silicium dopé N

canal controlé par l’électrode de « grille »

silicium pur ou dopé P

S

D

e-



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2007


Simulation (logiciel commercial)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

x (m)

V (

Vo

lt)

VGS = 0.05 V

potentiel

-eV(x)

en eV

VDS = 0.7 V

VDS = 0.05 V

VGS = 0.7 V

transport diffusif

(impuretés, phonons)

(S. Martinie, CEA/LETI)

e-



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2007


Simulation (logiciel commercial)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

V (

Vo

lt)

x (m)

VGS = 0.05 V

potentiel

-eV(x)

en eV

VDS = 0.7 V

VDS = 0.05 V

VGS = 0.7 V

transport balistique

(S. Martinie, CEA/LETI)

e-



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2007


Aperçu de la simulation pour l’électronique

TCAD : Technology Computer-Aided Design Transport électronique dans le dispositif unique

(transistor, diode) Procédés (implantation de dopants, lithographie, …) Simulation de circuits : quelques transistors plusieurs

milliers Electromagnétisme (couplages parasites)

Forte compétence au CEA-LETI. Lien avec les dispositifs

réalisés en salle blanche.

Longueur des transistors étudiés : < 20 nm

la théorie semi-classique atteint ses limites



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2007


Partie IIThéorie quantique du transport

électronique



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2007


Pour décrire quels phénomènes ?

Transport dans des matériaux non massifs : interfaces entre matériaux (exemple :

électrode/canal)dimensions nanométriques

Cohérence quantique :basse température et/ou dimensions nanométriques

Mêmes phénomènes quantiques que précédemment, mais on ne peut plus les cacher dans quelques paramètres.

Ces phénomènes dépendent fortement du système :

matériaux, géométrie, …



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Bref historique

Effet tunnel à travers une couche mince isolante (années 60)

Conductance d’un système 1D connecté à des réservoirs formule de Landauer, quantum de conductance (1957)

Fonctions de Green hors-équilibre (Keldysh, 1965) appliquées au transport : Caroli et al., J. Phys. C 1971

Conductance « multi-canaux » de Landauer-Büttiker :

M. Büttiker et al., Phys. Rev. B 1985

Idée : système petit et/ou quantiquement cohérent

connecté à des réservoirs (électrodes de mesure)

Intérêt fondamental. Physique « mésoscopique ».



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Canal 1D idéal connecté à des réservoirs

Energie

S

D

S D

Courant ?limité par le principe de Pauli

=-eV

contacts « transparents »

compensation

du courant

V



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Calcul du courant

k

E(k)

SD

/a /a

Densité d’états de vitesse > 0 par unité

de longueur et d’énergie :

(vitesse)avec

Densité par unité de longueur, dans l’intervalle

d’énergie [D,S] :

D’où le courant :

Quantum de conductance



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Où a lieu la dissipation ?

Canal idéal (balistique)

l’électron n’y cède pas d’énergieE

S

D

e-

trou

La dissipation a lieu dans les réservoirs



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Généralisation

mode n mode m

Tmn

(S)

L R

Système (S) = canal + une partie des réservoirs

Tmn coefficient de transmission du mode n au mode m

Conductance de Landauer-Büttiker :

Conductance maximale = nb. de modes x



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2007


Illustration

Gaz d’électrons confiné sur une bande de largeur

nanométrique. Analogue à un guide d’ondes.

1 énergie 1 ou plusieurs modes transverses

k

E(k)A cette énergie :

3 modes de

vitesse positive



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Barrière tunnel



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Barrière tunnel

T1-T



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Diffusion sur un défaut

k

E(k)



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Diffusion sur un défaut

k

E(k)



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2007


Formalisme adapté : fonctions de Green

Calcul de la transmission des différents modes

recherche des états de diffusion :

onde incidente ondes transmises et réfléchies

RSL

état incident dans L, d’énergie E

état de diffusion associé, d’énergie E aussi

Lippmann-Schwinger :

fonction de Green retardée

hamiltonien de couplage entre (S) et les électrodes



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2007


Calcul du courant et de la charge

On remplit les états de diffusion venant de L selon

le potentiel chimique L.

Idem pour ceux venant de R.

La contribution de tous ces états donne le courant et la répartition de charge dans le système.E

L

R



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2007


Interactions

Il existe un formalisme plus général (fonctions de Green hors-équilibre, « NEGF ») qui permet en principe de traiter les interactions dans le canal :

électron-phonon

électron-électron

Introduit par Caroli et al., J. Phys. C 1971 pour

calculer les courants tunnel.

C’est une méthode perturbative.

Nombreuses variantes selon le système étudié.



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Partie IIIDéveloppements actuels



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Nanotubes de carbone : introduction

(5,5)

k

E Nombre de canaux :

métallique



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2007


Nanotubes de carbone : introduction

k

E

(8,0)

Nombre de canaux :

semi-conducteur



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2007


Simulation d’un transistor FET à nanotube

Equation de Poisson potentiel électrostatique V(r)→ modification du hamiltonien→ calcul de la densité de charge (r)

(Schrödinger méthode Green)Une fois l’autocohérence atteinte, on calcule le courant

grille coaxiale

source draine-

nanotube

semi-conducteur



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2007


Exemple : FET à contacts Schottky

VDS = 0.5 V VG = 0.2 V

(modèle simple pour les contacts)

B



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2007


Exemple : FET à contacts Schottky

électrons

VDS = 0.5 V VG = 0.6 V

Remarque : forte dispersion des données expérimentales :

la hauteur de barrière dépend du contact et de son

environnement (cf. expériences DRECAM)

B



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2007


Quelques difficultés théoriques

Besoin d’hamiltoniens réalistes pour les interfaces (contacts métal/nanotube), les dopants, les défauts…

apport des calculs de structure électronique ab initio (fonctionnelle de la densité : DFT)

Transistor fort champ électrique modification non triviale de la structure électronique

Couplage électron-phonon calculs lourds Système hors-équilibre la DFT n’est pas fiable.

Recherches théoriques sur la « Time-Dependent DFT »

appliquée au transport



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Simulation de contacts métal/nanotube

Tra

nsm

issi

on

Calculs ab initio DFT, C. Adessi (LPMCN, Lyon)et X. Blase (Institut Néel, Grenoble)



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Effet d’un dopant unique sur le courant

(C. Adessi, S. Roche, X. Blase, PRB 2006)

nanotube métallique nanotube semi-conducteur

Perspectives : fonctionnalisation des nanotubes par greffage

moléculaire capteurs chimiques ou optiques.

Lien avec travaux expérimentaux du DRECAM



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2007


Couplage électron-phonon

L. Foa Torres et S. Roche, PRL 2006

(DSM/INAC)

Les phonons optiques ouvrent un gap dans les nanotubes

métalliques forte influence sur la conductance non traitable par une méthode perturbative lourd !



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2007


Nanofils de silicium

Effet de la rugosité de surface sur le transport

A. Lherbier, et al. PRB 2008

(collab. INAC et LETI)



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2007


Et bien d’autres thématiques…

Calculs ab initio d’interfaces métal-oxyde-semi-conducteur (activité au LETI : Ph. Blaise)

Dynamique moléculaire : diffusion de dopants (INAC/L_Sim), croissance de nanotubes (DRECAM)

Chimie quantique Etats excités, spectroscopie, propriétés optiques des

nano-objets



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2007


Conclusion

Les logiciels de simulation actuels deviennent limités pour l’électronique aux petites dimensions

Diversité des nouveaux matériaux + complexité de la physique

les logiciels pour la nano-électronique sont difficiles à mettre au point

Les données expérimentales deviennent nombreuses bons tests pour les modèles. Il faut faire de la science.



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2007


Prévoyez de nous rejoindre à

la 10e Annual Review du Leti du 24 au 25 juin 2008 à Minatec

Pour en savoir plus : www.leti.fr

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