ETUDE DU SIGNE DUN POLYNOME OU DUNE FONCTION RATIONNELLE 1) Polynme de degr 1. Pour tudier le signe de a x + b (avec a 0) , on calcule la racine de ce polynme, c'est--dire la valeur de x

qui annule a x + b : x = - ba . Pour x > - ba on a : a x + b du signe de a.

x - - ba +

a x + b Signe de a 0 signe de a

Exemple f (x) = - 3 x + 5 sannule pour - 3 x = -5 ou x = 53 ici a = -3

x - 53 +

- 3 x + 5 Signe de -a donc + 0 signe de a donc 2) Polynme de degr 2. a x + b x + c (a 0). On cherche aussi les racines de ce polynme : pour cela, on calcule le discriminant D = b 4 a c. Si D 0 , f(x) = a x + b x + c sannule pour x = x1 et pour x = x2

Les racines valent - b + D 2 a et - b D

2 a appelons ici x1 la plus petite.

x - x1 x2 + a x + b x + c signe de a 0 signe de - a 0 signe de a

Remarque : aprs le dernier 0 on le signe de a comme dans le 1

Si D = 0 , f(x) = a x + b x + c sannule pour une seule valeur x = - b 2 a et il a toujours le signe de a.

x - - b 2 a +

a x + b x + c

0 signe de a

3) Polynme produit. On fait un tableau de signes. Exemple f (x) = ( 2 x + 6 ) ( - 3 x + 9) ( 4 x + 8) .

x - - 3 - 2 3 + 2 x + 6 0 + + + - 3 x + 9 + + + 0 4 x + 8 0 + + f (x) + 0 0 + 0

4) Quotient

Exemple : f (x) = -x + 52 x - 8 dfini sur IR {4} .

x - 4 5 + - x + 5 + + 0 2 x 8 0 + + f (x) + 0

La valeur 4 est interdite ( on ne peut pas diviser par 0) , on met une double barre.

2 x + 6 sannule pour x = - 3 -3 x + 9 sannule pour x = 3 4 x + 8 sannule pour x = - 2

ETUDE DU SIGNE DUN POLYNOME OU DUNE FONCTION RATIONNELLE

EXERCICES Ex 1 Faire les tableaux de signes pour a) 3 x 12 b) - 3 x + 8 c) 6 x 17 d) 2 x 3 + p Ex 2 Faire les tableaux de signes pour a) 2 x 6 x + 4 b) -3 x + 7 x 5 c) -5 x 10 x 5 d) -3 x 5 x + 4 e) ( -3 x + 7) Ex 3 Faire les tableaux de signes pour a) ( 3 x 6) (-2 x + 8) ( 4 x 12) b) (- 3 x + 6) ( -2 x 2 x + 24) Ex 4 Faire les tableaux de signes pour

a) -3 x + 7 2 x -8 b) ( 3 x 12) ( - 6 x + 18)

(x +5) c) -2 ( x 7) ( -3 x 9) d)

-3 (x 7) e)

2 x 6 x + 4 (- 3 x + 7)

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Ex 1 Faire les tableaux de signes pour a) 3 x 12 b) - 3 x + 8 c) 6 x 17 d) 2 x 3 + p Ex 2 Faire les tableaux de signes pour a) 2 x 6 x + 4 b) -3 x + 7 x 5 c) -5 x 10 x 5 d) -3 x 5 x + 4 e) ( -3 x + 7) Ex 3 Faire les tableaux de signes pour a) ( 3 x 6) (-2 x + 8) ( 4 x 12) b) (- 3 x + 6) ( -2 x 2 x + 24) Ex 4 Faire les tableaux de signes pour

a) -3 x + 7 2 x -8 b) ( 3 x 12) ( - 6 x + 18)

(x +5) c) -2 ( x 7) ( -3 x 9) d)

-3 (x 7) e)

2 x 6 x + 4 (- 3 x + 7)

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Ex 1 Faire les tableaux de signes pour a) 3 x 12 b) - 3 x + 8 c) 6 x 17 d) 2 x 3 + p Ex 2 Faire les tableaux de signes pour a) 2 x 6 x + 4 b) -3 x + 7 x 5 c) -5 x 10 x 5 d) -3 x 5 x + 4 e) ( -3 x + 7) Ex 3 Faire les tableaux de signes pour a) ( 3 x 6) (-2 x + 8) ( 4 x 12) b) (- 3 x + 6) ( -2 x 2 x + 24) Ex 4 Faire les tableaux de signes pour

a) -3 x + 7 2 x -8 b) ( 3 x 12) ( - 6 x + 18)

(x +5) c) -2 ( x 7) ( -3 x 9) d)

-3 (x 7) e)

2 x 6 x + 4 (- 3 x + 7)