SI-TD04-AAS-EF

Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites.

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants TD : Réponse d’un premier ordre

TD N°2 : Réponse d’un premier ordre (d’après banque PT 97)

Hypothèses de travail : Dans ce qui suit, on se place dans l’hypothèses des systèmes linéaires continus invariants Principales notations utilisées : K : Différents gains

, ,m R céqJ J J : Inerties du moteur, du réducteur et de la charge.

meJ : Inertie globale équivalente sur l’arbre moteur.

mC : Couple électromagnétique délivré par le moteur.

rC : Couple résistant (couple de frottements secs).

reC : Couple résistant ramené sur l’arbre moteur. , ,e tR K K : Constantes électriques du moteur (résistance de l’induit, constante de force

contre-électromotrice et constante de couple) N : Rapport de réduction

,m mω ϑ : Vitesse et position angulaire du moteur ,c cω ϑ : Vitesse et position angulaire de la charge

Modèle de la motorisation du fût du robot :




Le moteur retenu à l'issue de l'étude dynamique du robot est un servo-moteur PARVEX de

type AXEM-MC 19P à induit plat qui présente l'avantage de posséder une très faible inertie. Il s'agit d'un moteur à courant continu à excitation indépendante commandé par l'induit.

Le comportement électromécanique de ce type de moteur, dans l'hypothèse où l'inductance est négligeable, est donné par les équations suivantes :

( ) ( ) ( ) u t Ri t e t= + (1)

( ) ( )m tC t K i t= (2)

( ) ( )e me t K tω= (3) ( )

( )mm m

d tJ C t

dtω

= (4)

Modèle du moteur seul On se propose, tout d'abord, d'étudier le modèle du moteur à vide, c'est-à-dire, du moteur seul : dans un premier temps par le modèle théorique et dans un second temps par une étude expérimentale. Question 1 : Après avoir appliqué la transformation de Laplace à chacune des équations ci-dessus [(1) à (4)] sous l'hypothèse de conditions initiales toutes nulles, calculer la transformée ( )m pΩ de la vitesse de rotation ( )m tω en fonction de la transformée ( )U p de la tension de commande

( )u t . Question 2 :

Mettre le résultat sous la forme: . ( ) ( ) ( )m p M p U pΩ = avec ( )1

m

m

KM p

T p=

+ en précisant mK

et mT . La documentation technique du constructeur fournit les renseignements suivants :

( )25,5 ; 0,244 / et 0,461000trmin

e tVK K Nm A R= = = Ω

Afin de valider le modèle construit à la question 2 et de déterminer l'inertie du rotor du moteur, on effectue une étude expérimentale sous forme de l'observation de la réponse indicielle du moteur seul soumis à un échelon de tension 0( ) ( )U t U u t= ( ( )u t fonction de Heavyside: échelon unité) avec 0 50 U V= . Le document réponse donne le résultat de cet essai.




Question3 : Cette courbe correspond-elle bien au modèle proposé (1er ordre) ? Marquer sur ce même document, les éléments caractéristiques de cette réponse (constante de temps, comportement à l'origine, valeurs remarquables, ...). Question 4 : Donner la valeur expérimentale de mK et de mT . En déduire la valeur de mJ . Question 5 : Commenter la valeur expérimentale de mK par rapport à la valeur théorique.




TD N°2 : Correction Réponse d’un premier ordre

Question 1 :

( ) ( ) ( ) u t Ri t e t= + (1) EU R I= +

( ) ( )m tC t K i t= (2) m tC K I=

( ) ( )e me t K tω= (3) e mE K= Ω ( )

( )mm m

d tJ C t

dtω

= (4) m m mJ p CΩ =

D’où : m me m e m e m

t t t

C Jp JpU R K R K K R

K K K Ω

= + Ω = + Ω = + Ω

Soit : 1

m

et

UJp

K RK

Ω =

+

Question 2 :

11

1

em

ee tt

KU U

RJJp pK R K KK

Ω = = ++

, soit

1

( )1

e

e t

KM p

RJp

K K

=+

On a donc déterminer le gain et la constante de temps théorique littérale du premier ordre

associé à ce système : 1

me

KK

= et me t

RJT

K K=

Question 3 : Cette courbe correspond bien à la réponse d’un système du premier ordre, puisqu’il n’y a pas de dépassement et que la pente à l’origine est non nulle. De plus toutes les valeurs remarquables de la réponse d’un premier ordre sont bien respectées (voir document réponse complété ci-dessous).




Question 4 : On lit sur la courbe réponse annotée ci-dessus : 3 0,0225mT s= et 1

0 200mK U rad s− = avec

0 50U V= . D’où 1 14mK rad s V− − =

Or mm

e t

RJT

K K= , donc

( )1 3 125,5 60

25,5 243,5 101000tr 1000 2min

0,00750,244 /

0,46

e

m e

m

t

tm

VK V s rad V

T K KJ avec

R

s rad

T sK Nm A

R

π− − −× = = = ⋅ ×

==

=

= Ω

D’où 4 29,69 10mJ Kg m− = ⋅

Question 5 :

3 mT

mT

10 200mK U rad s− =

1095%de 190mK U rad s − =

1063%de 126mK U rad s− =

Pente à l’origine : 0m

m

K UT




1 14 expérimentalementmK rad s V− − =

1 11 14,107

0,2435me

K rad V sK

− − = = =

Ces deux valeurs sont très proches l’une de l’autre, le modèle du premier ordre convient donc bien comme approximation

SI-TD04-AAS-EF

Documents

Transcript of SI-TD04-AAS-EF