serie exo_graphes2016.doc

8/17/2019 serie exo_graphes2016.doc

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USTHB Année Universitaire2015/2016

Faculté d’Electronique et n!or"atique

#odule $ T%eorie des &ra'%es

SERIE D’EXERCICES 2ieme Année LMD ISLI:A

1.1. Modélisation

Exercice 1. Construire un graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 etdont les arcs représentent la relation « être diviseur de ».

Exercice 2. Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d’un fleuve un passeur souhaite lestransporter sur l’autre rive mais, sa !ar"ue étant trop petite, il ne peut transporter "u’un seul d’entreeu# $ la fois. Comment doit%il procéder afin de ne &amais laisser ensem!le et sans surveillance le loupet la chèvre, ainsi "ue la chèvre et le chou '

Exercice 3.

(e &eu de la )our de *anoi est décrit comme suit +1. )rois -/ tours 0, et C permettent dempiler des dis"ues les uns sur les autres 2. au départ, n dis"ues sont empilés sur la tour 0. les dis"ues sont de tailles différentes, allant du plus petit 1/ au plus grand n/.3. sur une même tour, les dis"ues ne peuvent être empilés de !as en haut "ue du plus grand au plus petit4. on ne peut déplacer "uun dis"ue $ la fois.(e &eu consiste $ déplacer tous les dis"ues de la tour 0 vers une autre tour. 5odéliser ce &eu pour n 6 $

7aide dun graphe

Exercice 4. 8n souhaite prélever 3 litres de li"uide dans un tonneau. 9our cela, nous avons $ notredisposition deu# récipients non gradués :/, l’un de 4 litres, l’autre de litres... Comment doit%onfaire '

Exercice 5. :+ ;oit < un graphe simple dont tous les sommets sont tous des entiers strictement positifs, les

sommets a et ! sont relies si et seulement si a=! est un nom!re premier ."uel t>pe de graphe o!tient%on '

?éterminer le nom!re chromati"ue du graphe < '

Exercice 6 ;oit


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Exercice 17. 5ontreH "ue dans un groupe de si# personnes, il > en a nécessairement trois "ui seconnaissent mutuellement ou trois "ui ne se connaissent pas on suppose "ue si 0 connaKt , connaKt également 0/.

5ontreH "ue cela n’est plus nécessairement vrai dans un groupe de cin" personnes.

Exercice 18. 5ontreH "ue dans un groupe de L personnes, 3 se connaissent mutuellement ou ne seconnaissent pas.Cela est%il tou&ours vrai dans un groupe de M personnes '

Exercice 19.

5ontreH "ue dans un groupe de personnes, il > a tou&ours deu# personnes a>ant le mêmenom!re d’amis présents.

Exercice 20. Un groupe de personnes est tel "uei/ cha"ue personne est mem!re d’e#actement deu# associations,ii/ cha"ue association comprend e#actement trois mem!res,iii/ deu# associations "uelcon"ues ont tou&ours e#actement un mem!re en commun.

Com!ien > a%t%il de personnes ' d’associations '

1.3. ra!"es e#lériens

Exercice 21. Ast%il possi!le de tracer les figures suivantes sans lever le cra>on et sans passer deu#fois sur le même trait :F/ ' 9our"uoi '

Exercice 22. Ast%il possi!le de tracer une cour!e, sans lever le cra>on, "ui coupe chacun des 1Isegments de la figure suivante '

Exercice 23. Ast%il possi!le de traverser les sept ponts de la ville de NOnigs!erg en empruntant deu#fois cha"ue pont, dans un sens puis dans l’autre '

Exercice 24. ;oit G un graphe non Aulérien. Ast%il tou&ours possi!le de rendre G Aulérien en luira&outant un sommet et "uel"ues arêtes '

Exercice 25. 8n considère des dominos dont les faces sont numérotées 1, 2, , 3 ou 4.

♦

An e#cluant les dominos dou!les, de com!ien de dominos dispose%t%on '♦ 5ontreH "ue l’on peut arranger ces dominos de faPon $ former une !oucle fermée en utilisant larègle ha!ituelle de contact entre les dominos/.

♦ 9our"uoi n’est%il pas nécessaire de considérer les dominos dou!les '

♦ ;i l’on prend maintenant des dominos dont les faces sont numérotées de 1 $ n, est%il possi!le deles arranger de faPon $ former une !oucle fermée '

2. $R%&L'MES DE C%L%RA(I%)

Exercice 26. )out graphe contenant un triangle N/ ne peut être colorié en moins de trois couleurs.♦

Construire un graphe sans triangle "ui nécessite également trois couleurs.♦

Comment, $ partir du graphe précédent, construire un graphe sans N3 nécessitant 3 couleurs '♦

un graphe sans N4 nécessitant 4 couleurs '


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Exercice 27. ?éterminer le nom!re chromati"ue des graphes suivants +

Exercice 28. (e schéma ci%contre représente un carrefour.(e ta!leau suivant précise les « franchissements »possi!les de ce carrefour. &

ACAn arrivant parF 0 C ? A

7l est possi!le d’aller enF C,A 0,A,? 0,? C,0 C,?D

(es franchissements 0%C et %A ne peuvent Enaturellement pas être autorisés simultanémentF

♦ 5odéliseH ces incompati!ilités $ l’aide d’un graphe dont les sommets représentent lesfranchissements possi!les et les arêtes les incompati!ilités entre franchissements.

♦ 9roposeH une coloration du graphe ainsi o!tenu.

♦

Gue peut%on dire d’un ensem!le de sommets a>ant même couleur '♦ Q "uoi peut correspondre le nom!re chromati"ue de ce graphe '

Exercice 29. 8n cherche $ colorier le graphe ci%contre en utilisant des entierspositifs de faPon telle "ue deu# sommets voisins ont des couleurs dont ladifférence, en valeur a!solue, est au moins égale $ trois.

♦

9roposeH une coloration de ce graphe. Guel est le plus grand entierutilisé '

♦

9eut%on faire mieu# '

♦

5aintenant, on souhaite "ue, de plus, deu# sommets $ distance deu# aient des couleurs dont ladifférence, en valeur a!solue, est au moins égale $ deu#. Guelle est la meilleure colorationpossi!le de ce graphe '

Exercice 30. ;ept élèves, désignés par 0,,C,?,A,R et < se sont rendus $ la !i!liothè"ue au&ourd’hui.(e ta!leau suivant précise « "ui $ rencontré "ui » la !i!liothè"ue étant petite, deu# élèves présentsau même moment se rencontrent nécessairementF/.

él*+e A & C D E ,

a ren-ontré?,A ?,A,R,< A,< 0,,A 0,,C,?,R,< ,A ,C,A,R

?e com!ien de places assises doit disposer la !i!liothè"ue pour "ue chacun ait pu travaillercorrectement au cours de cette &ournée '

3. $R%&L'MES DE C.EMI)S

Exercice 31. Un tournoi est un graphe orienté tel "ue toute paire de sommets est reliée par un arc,dans un sens ou dans l’autre mais pas dans les deu# sens/.♦ 9our"uoi, selon vous, appelle%t%on de tels graphes des tournois '♦

5ontreH "ue si un tournoi contient un circuit de longueur k , alors il contient également des circuitsde longueur k’ , pour tout k’ < k une « preuve » $ l’aide d’un dessin suffitF/.

♦

?essineH un tournoi $ I sommets ne possédant pas de circuit de longueur 3.


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Exercice 32. Un ro!ot se promène sur le graphe ci%contre. 9artant d’un sommet "uelcon"ue s, appelésommet de stockage, il doit déposer un cu!e sur chacun des autres sommets. 7l possèdesuffisamment de cu!es sur le sommet de stocSage, mais ne peut transporter "u’un cu!e $ la fois ildoit donc repasser par le sommet de stocSage avant de livrer un autre cu!e/. Calculer, pour chacundes sommets du graphe, le tra&et minimum "ue doit parcourir le ro!ot si ce sommet est sommet destocSage.

Guel est le « meilleur » sommet de stocSage '

Exercice 33. Considérons le graphe ci%contre.♦ Com!ien de c>cles simples sans répétition d’arêtes/ de

longueur 4 ce graphe contient%il '♦

?e longueur I '♦

?e longueur M '♦ ?e longueur L '

Exercice 34. Construire le graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 23 etdont les arcs relient x $ y lors"ue x divise y . ?e plus, les arcs sont valués par le "uotient y/x ainsi,l’arc allant de vers 14 a la valeur 4/.♦

Comment reconnaKt%on dans ce graphe un nom!re premier '♦ Comment retrouver dans ce graphe la décomposition d’un nom!re en facteurs premiers '

Exercice 35. Templir le ta!leau ci%dessous "ui, pour legraphe valué ci%contre, donne la valeur du plus courtchemin d’un sommet $ un autre.

A & C D E , 0

1

/2

0

R

CA

& 111 <

2C

D 4

E

, A 3 ?

Exercice 36. A#écuteH l’algorithme de ?i&Sstra sur le graphe précédent, $ partir du sommet C, puis $partir du sommet R.

Exercice 37. (a compagnie Aurop’0ir dessert différentesvilles européennes. (e ta!leau ci%contre donne lesdurées de vol entre ces différentes villes.♦

Comment déterminer le tra&et le plus rapide entredeu# villes '

♦

Comment modifier la méthode précédente afin deprendre en compte la durée des escales dans lesdifférentes villes '

A & C D E

A 1h- 2h-- 2h14

& 1h3- h--

C 2h2- 2h44

D h2- 1h-4

E 2h24 h1- 1h1-


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. $R%&L'MES D’%RD%))A)CEME)(

Exercice 38. (a mise en e#ploitation d’un nouveau gisement minier demande la réalisation d’un certainnom!re de tches. (e ta!leau suivant représente ces différentes tches avec leurs relationsd’antériorité.

(5-"e Des-ri!tion D#rée6en 7o#rs8

(5-"esantérie#res

A o!tention d’un permis d’e#ploitation 12- %& éta!lissement d’une piste de I Sm 1M- 0C transport et installation $ pied d’Vuvre de 2 sondeuses D création de !timents provisoires pour le !ureau des plans, le

logement des ouvriers sondeurs-

E goudronnage de la piste I- , adduction d’eau L- ? campagne de sondage 23- C,?. forage et é"uipement de trois puits 1M- A,R,<I transport et installation au fond du matériel d’e#ploitation - W,*9 construction de !ureau# et logements, ouvriers et ingénieurs 23- A,R,< traPage et aménagement du fond I- W,*

L construction d’une laverie 23- W,*

♦ ?étermineH les dates au plus tXt et les dates au plus tard de cha"ue tche.

♦

?étermineH le temps minimum de réalisation de l’ensem!le.8n pourra utiliser ici la méthode des potentiels métra 595/, puis la méthode 9AT)/.

Exercice 39. )out ensem!le de tches peut faire l’o!&et d’un e#ercice similaire + construction d’unlogement, rénovation d’une salle de !ains, révisions pour le !accalauréat, etc.

. &I&LI%RA$.IEAT


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