Cathéter veineux central (cvc) UE 4.3 soins durgence semestre 4.
Semestre 4 UE 17 : Thème TI2E
142
Semestre 4 UE 17 : Thème TI2E Automatique linéaire et Informatique Industrielle Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche [email protected] 2015/2016
Transcript of Semestre 4 UE 17 : Thème TI2E
Semestre 4
UE 17 : Thème TI2E
Automatique linéaire et Informatique Industrielle
Ministère de l'Enseignement
Supérieur et de la Recherche
[email protected] 2015/2016
2
Cybernétique et Automatique
•Platon utilisait kubernêtikê (Κυβερνητική) pour désigner le pilotage
d’un navire (mot à l'origine de gouvernail, gouvernement, etc.).
Transformé en Cybernétique par André-Marie Ampère en 1834,
puis par Norbert Wiener 1947.
•Automatique vient du mot Automata : mécanisme automatique
permettant de réaliser des opérations susceptibles d'être exécutées
par l'homme.
•Actuellement (Nouveau Petit Robert) : « ensemble des disciplines
scientifiques et des techniques utilisées pour la conception de la
commande et du contrôle des processus »
•L'automatique a donc notamment pour objet le développement
"intelligent" de systèmes de commande automatiques, c'est-à-dire ne
nécessitant plus d'intervention humaine une fois conçues.
Al-Jaziri
Automata, 1315
3
Automatique/Automatismes
2 types de systèmes sont définis :
• les Systèmes à Evénements Discrets (SED)
caractérisés par une évolution saccadée et
rythmée par l'apparition d'événements subis
• les systèmes à temps continus (dits systèmes
continus).
Même si la discipline mère est l’Automatique, on parle généralement :
• d‘Automatismes pour la commande des SED
• d’Automatique (ou contrôle-commande) pour celle des systèmes
continus.
4
Système à temps continu (ou discret)
Un système est un transformateur de signal qui :
•est sollicité par des entrées exogènes (extérieures au système)
•génère des sorties
•possède un comportement dynamique.
Les entrées peuvent êtres imposées (objectifs, commande) ou subies (entrées de
perturbation).
Un système peut transformer
•des informations et opérer sur la base d'un algorithme logique
•des énergies quand il est physique.
Les systèmes sont causaux : l'effet ne peut précéder la cause.
système
entr
ées
sort
ies
5
Exemple d'un système physique (thermique)
Ensoleillement
Commande manuelle radiateurs
Température extérieure
habitation12h 24h 12h
12h 24h 12h
75°FTempérature intérieure
Exemple d'un système logique (fonction sqrt)
│y2 – x│≤ ε
y ← y0
x1/2 ← y y ← y + α (x - y2)
6
Association de systèmes
S1 et S2 sont commandés par S3 et S4 en fonction de leurs états réciproques.
Ils contribuent à l'évolution du système S5 qui à travers S6 permet de rétroagir sur S3.
Tout processus de transformation de signaux/informations/énergies peut être modélisé
en utilisant une approche dite "système".
S1
S2
S3
S4
S5
S6
7
Modélisation des systèmes (à temps continu)
Un procédé ne peut se commander correctement que s'il a fait au préalable
l'objet d'une modélisation.
Le niveau de modélisation doit être en adéquation avec le niveau des performances
désirées.
Un modèle, qui permet de relier l'évolutions de toutes les sorties à celles de toutes les
entrées, peut être obtenu :
•par modélisation mathématique (modèle de connaissance)
système d'équations différentielles
•par identification des comportements statiques et dynamiques
(modèle de comportement)
- réponses temporelles paramètres d'un modèle prédéfini
- réponses fréquentielles
Toutes ces possibilités aboutissent souvent à la définition de fonctions de transfert.
8
Fonction de transfert (définition)
Une fonction de transfert (ou transfert) est la caractérisation de la fonction
entrée/sortie (aux variations) d'un système par un modèle linéaire.
Chaque fonction de transfert n'est relative qu'à une entrée et une sortie ; toutes les
autres entrées doivent être considérées nulle.
e(t)système
s(t)
Appelons h(t) la réponse impulsionelle du système.
Toute sortie s(t) du modèle qui est la conséquence d'une entrée e(t) est donnée par le
produit de convolution de e(t) par h(t) :
dtehtethtst
0
*
L'utilisation de la transformée de Laplace permet d'écrire que :
pEpHpS
Attention : Cette écriture n'est possible que si e(t) peut être indépendante du système
et si s(t) est indépendante du système suivant.
9
Fonction de transfert (exemples)
2
2
1
11
1 RR
R
pE
pSpH
e1
R1
R2 s1 s2e2
R3
C
A.O. idéal
CpRpE
pSpH
32
22
1
Zc
10
Opération sur les transferts
•Transferts en cascade
E(p)H1(p)
S1(p) S(p)H2(p)
E2(p)
pHpHpE
pSpH 21
•Transferts en parallèle
E(p)
H1(p)
S(p)
H2(p)S2(p)
pHpHpE
pSpH 21 +
S1(p)
11
Opération sur les transferts (suite)
•Transferts en réaction
E(p)H1(p)
S(p)
H2(p)
pHpH
pH
pE
pSpH
21
1
1
+-
E(p)H1(p)H2(p)
S(p)
H2 (p)+
-
-1
D'un point de vue entrée sortie, équivalent à
E'(p)
Le signal E' a disparu.
12
Opération sur les transferts (exercice)
•Systèmes multi-boucles
E(p)H1(p)
S(p)
pE
pSpH
+ -
H2(p)
S'(p)
H3(p)
-+
pHpHpHpH
pHpHpH
pHpHpHpH
pHpH
pE
pS
pSpHpS
3221
321
3221
21
3
1
1
'
'
13
Opération sur les transferts (exemple)
pHpHpE
pSpH 21
1
2
e1
R1
R2 s1 s2
e2
R3
C
A.O. idéal Zc
Remarque : Le produit des fonctions de transfert n'est rendu possible que par la
présence du montage suiveur qui a pour objet de découpler les 2
parties du système.
Sans ce montage suiveur (d'impédance d'entrée élevée et
d'impédance de sortie faible), les fonctions de transfert H1 et H2
n‘auraient plus de sens.
A.O. idéal
14
Transformation de Laplace(Pierre-Simon de Laplace 1750-1820)
Utilisée pour simplifier la détermination de régime transitoires de
systèmes modélisés aux variations par des équations différentielles.
S'est avérée le fondement théorique de la méthodologie proposée par
Oliver Heaviside (1850-1925).
Utilisation de la variable opérationnelle p (en France, s ailleurs).
j avec 0
pdttfepFtf ptL
• Définition
0
1
t=0
0 avec 1
0
pp
epUtupt
L
• Application à la fonction échelon (de Heaviside)
15
Transformation de Laplace (propriétés)
paFtaf L• Linéarité
pFpFtftf 2121 L• Superposition
pFeatuatf apL•Décalage temp.
apFtfeat L•Décalage opér.
0fppFtfdt
dL•Dérivation temp.
pFdp
dttf L•Dérivation opér.
p
dtf
ppF
dttf
0L•Intégration temp.
p
dppFt
tfL•Intégration opér.
16
Transformation de Laplace (exemples)
0
1/e
t=0
pt L
• Impulsion de Dirac
t=e
• Fonction sinus
0 avec 11
lim1
lim0
00
ee
e
e
e
e p
e
p
e ppt
20
2
0
00
-jj
j
1
j
1
j2
1
j2
00
ppp
eett
L t0sin L
17
Transformation de Laplace (application)
tuety
pppp
ppY
ppYppY
t 21
1
21
1
31
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1.5
2
2.5
3
30 avec ytutytydt
d
18
Transformation de Laplace inverse
tutety
tueeety
tueety
pppppY
ppppppp
pY
ntn
tttn
tptpn
n
nnin
nn
n
n
nnn
1sin
1
12
j
12
j
12
j avec
1pour 1j avec 2
2
2
1j-1j
2
2
221
2
21
2
22
2
22
21
n 21
n
n 21
p1
p2
Re
Im
0
0 5 10 15-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Impulse Response
Time (sec)
rad/s 14,0
n
Mise en équation et fonction de transfert
masse m
x0 xxm
F(t)
Fk(t) = -k[xm(t) - x0]
Fb(t) = -bxm(t)o
1. Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour établir
l'équation différentielle régissant xm(t)
2. En considérant la variation x(t) = xm(t) – x0, donner la fonction de
transfert X(p)/F(p)
20
Théorèmes des valeurs initiale et finale
ppSsp
lim0• Valeur initiale d'un signal
ppStspt 0limlim
• Valeur finale d'un signal
1
31
pp
ppY 0y
1
1
31lim
0
pp
pp
p
Remarque : ces théorèmes ne s'appliquent que si les limites existent …
3
1
31lim
pp
pp
p
tytlim
Réponse fréquentielle
Traduit le comportement harmonique (en régime sinusoïdal établi) d'un système.
Peut être obtenue en remplaçant la variable opérationnelle p de H(p) par joù est la pulsation
= 2pf = 2p/T .
(rad/s) (Hz) (s)
La réponse fréquentielle H(j) est caractérisée par un module et un argument
H(j) = r()e jF()
ou par une partie réelle et une partie imaginaire
H(j) = Re{H(j) } + j Im{H(j) }
21
22
Représentations de la réponse fréquentielle
Diagramme de Bode
Echelle des pulsations souvent logarithmique
Module souvent en décibel (20log10r())
Argument souvent en degré
r()dB
F()
log
log
1 décade
Diagramme de Nichols
Diagramme de Nyquist
r()dB
F()
Re{H(j)}
Im{H(j)}
-1
-180°
0dB
-180°
-90°
0°
-90° 0°
0dB
j
23
Mesure de la réponse fréquentielle
En = 2p/T (régime sinusoïdal établi), H(j) caractérisée par
r() = Ds/De et f() = 2pDt/T
remarque : Dt souvent négatif … mais pas toujours
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30-2
-1
0
1
2
3
4
e(t)système
s(t)
e(t)
s(t)
T
Dt
Ds
De
p(t)
24
Relation fréquentiel - temporel
Compte tenu des théorèmes des valeurs initiale et finale, la réponse fréquentielle
H(j) nous informe sur l'effet du système H aux temps courts et aux temps longs.
Le "gain" de H aux temps courts est donné par
Le "gain" de H aux temps longs est donné par
Le niveau de r() en haute fréquence indique ainsi la valeur de l'amplification
instantanée de H.
Le niveau de r() en basse fréquence indique la valeur de l'amplification de H
en régime permanent : gain statique.
jlim H
jlim0
H
25
Relation fréquentiel – temporel (application)
Indiquer l'effet aux temps courts et aux temps longs des systèmes définis par :
p
pppH
pp
ppH
p
ppH
ppH
21
1510
21
53
21
10
5
25
4
3
2
1
26
t/
Ds(t
)/H
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Système du premier ordre (rep. indicielle)
e(t)H
s(t)
tesssts 0
ionsaux variat 0 teHtstsdt
d
réponse indicielle
0e
0s0
e
sH
063.00 ssss
00
sss
dt
d
63%
détermination de
(constante de temps)détermination de H0
(gain statique)
27
/0
F(
)(deg)
r(
)/ H
0(d
B)
-20
-15
-10
-100
-80
-60
-40
-20
Diagrammes de Bode
-5
0
10-1 10 10
0
Système du premier ordre (rep. fréquentielle)
1 avec
j1j
1 00
00
H
Hp
H
pEpS
pH
E(p)H(p)
S(p)
00 rH
détermination de H0
détermination de 0
(pulsation de transition)
dB3dB0dB0 Hr
450Φ-45°
-3dB
10
•à partir de l’intersection
des asymptotes
28
tn
Ds(t
)/H
0
Système du second ordre (rep. indicielle)
e(t)H
s(t)
2
n2
2
1arctg1sin
1
10 tessststn
ionsaux variat 2 2n0
2nn2
2
teHtstsdtdts
dt
d
réponse indicielle
0e
0s0
e
sH
détermination de n
(fréquence propre non amortie)
•à partir de la période propre
amortie Tp des oscillations
détermination de H0
détermination de z
•à partir du taux de
décroissance des
oscillations
•à partir du premier
dépassement réduit0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8z=0.1
z=1
29
Système du second ordre (rep. indicielle)
Lnπ21
1
i
i
D
D
e0
2-1
π-
1réduit1
ss
DD
n2
pp -1π2
T
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8D1
D2
D3
Tp Tp
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100D1en % = f(z)
Remarque : pour z <0, les oscillations ont
tendance à croître (Di+1 est supérieur
à Di), le système est donc instable.
Ds(t
)/H
0
t (en s)
30
/n
F(
)(deg)
r(
)/ H
0(d
B)
Diagrammes de Bode
Système du second ordre (rep. fréquentielle)
n2n
20
2n
2
n
0
2j1
j 2
1
H
Hpp
H
pE
pSpH
E(p)H(p)
S(p)
00 rH
détermination de n
(pulsation de transition)
90nΦ
-60
-40
-20
0
20
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
z=0.1
z=1
z=0.1
z=1-90°
•à partir de la pulsation
de résonance r ou de
l’intersection des
asymptotes
détermination de H0
détermination de z
•à partir du facteur
de résonance
31
Système du second ordre (rep. fréquentielle)
n2
r 2-1
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5Q
(rad/s)
r
2-12
10
max
r
r Q
Remarque : le phénomène de résonance
n’existe que pour z < .22
Q en dB = f(z)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
10
15
20
25
30
32
Réponse fréquentielle (application n°1)
10
110002
p
ppH
Pulsation (rad/s)
?
2
10j1
1
10
1j1
jH
1 101 10
0 .
20dB . dB
0 .
20dB . dB
0 .
20dB . dB
0 .
0dB . dB
0 .
0dB . dB
0 .
dB02 . dB
2π .
dB/dec20
log02 . dB
-π .
dB/dec40
log0440 . dB
0 .
0dB . dB
2π .
dB/dec20: . dB
2π .
dB/dec20
log02 . dB
2π .
dB/dec20: . dB
2
10j1
1j110
j
H
33
Réponse fréquentielle (application n°1)
10
11000
2p
ppH
Pulsation (rad/s)
Phase (
deg)
G
ain
(dB
)
0
10
20
30
40
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
34
Réponse fréquentielle (application n°2)
001011001
0050121101100
2p.p/
p).(p/p.
ppH
Pulsation (rad/s)
Phase (
deg)
G
ain
(dB
)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105
-300
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
35
Réponse fréquentielle (application n°3)
221
1et
10
ppH
ppH
Diagramme de Bode
log
log
Diagramme de Nichols
Re{H(j)}
Im{H(j)}
-1
-180°0dB
-180°
-90°
0°
-90° 0°
0dB
j
20dB
40dB
-20dB
-40dB
20dB
40dB
-20dB
-40dB
Diagramme de Nyquist
arg{H(j)}
arg{H(j)}
|H(j)|dB
|H(j)|dB
36
Stabilité des systèmes
E(p)H(p)
S(p)
pD
pNpH
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Condition de stabilité
Un système est stable si son régime libre (e(t) = 0) est amorti.
La condition nécessaire est suffisante de stabilité est que les racines de l'équation
caractéristique D(p) = 0 soient à partie réelle négative.
Ces racines (qui rendent H(p) infini) sont appelées pôles du système.
-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.60.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p1,2 = -0,1 j p1,2 = 0,1 j
37
Critère algébrique de stabilité Critère de Routh-Hurwitz
E(p)H(p)
S(p)
pD
pNpH
Permet de vérifier si tous les pôles d'un système sont à partie réelle négative.
Ecrivons D(p) sous la forme D(p) = a0pn + a1p
n-1 + ... + an-1p + an
•si un des coefficients ai est nul, le système est instable
•si tous les coefficients ai ne sont pas de même signe, le système est instable
•construisons le tableau a0, a2, ..., a2i, ...
a1, a3, ..., a2i+1, ...
b1, b3, ..., b2i+1, ... avec b1=(a1a2-a0a3)/a1, b3=(a1a4-a0a5)/a1, ...
c1, c3, ..., c2i+1, ... avec c1=(b1a3-a1b3)/b1, c3=(b1a5-a1b5)/b1, ...
... etc
le système comporte autant de pôles à partie réelle positive que la première colonne
comporte de changements de signe.
38
Stabilité des systèmes bouclés
Les pôles de H(p) sont les solutions de l'équation caractéristique 1+H1(p)H2(p) = 0,
ou de H1(p)H2(p) = -1.
Les pôles de H(p) résultent donc de la comparaison du transfert H1(p)H2(p) à -1.
A travers le terme 1+ H1(p)H2(p), le transfert H1(p)H2(p) apparaît dans toutes les
fonctions de transfert relative à ce système bouclé. Il est appelé transfert en boucle
ouverte.
E1(p)H1(p)
S1(p)
H2(p)
pHpH
pH
pE
pSpH
21
1
1
1
1
+-
E2(p)S2(p)
+
39
Transfert en boucle ouverte
Après avoir ouvert la boucle en un point et y avoir injecté un signal, le transfert en
boucle ouverte (p) est obtenu grâce à l'observation du signal qui y revient.
pHpHpE
pSp 21
2
1
E1(p) = 0H1(p)
S1(p)
H2(p)
+-
E2(p)S2(p)
+
Si le système bouclé ne peut être ouvert, il suffit de comparer le signal en aval du
point d'injection au signal qui revient.
pHpHpE
pSp 21
3
1
E1(p) = 0H1(p)
S1(p)
H2(p)
+-
E2(p)S2(p)
+E3(p)
40
Critère graphique Critère de Nyquist (application du théorème de Cauchy)
Permet de conclure sur la stabilité du système bouclé
à partir de l’étude de son transfert en boucle ouverte.
Enoncé : Un système est stable en boucle fermée
si sa réponse fréquentielle en boucle ouverte,
parcourue de à +, effectue autour
du point -1 dans le sens trigonométrique, un
nombre de tour égal au nombre de pôles à partie
réelle strictement positive que possède la boucle
ouverte.
Signalons que (-j) est le symétrique de (j)
avec [0,[ .
Im(j)
Re(j)-1 0 +
- = 0+
= 0-
-1 entouré 4 fois boucle fermée
stable si boucle ouverte avec 4
pôles à partie réelle strictement
positive
(p)-
41
Critère de Nyquist - Exemple
Prenons avec K et positifs.
Le pôle de (p) est à partie réelle strictement positive.
Traçons le lieu de Nyquist de (j) pour différentes valeurs de K.
p
Kp
1
10 p
Im(j)
Re(j)-1 0 +
-
= 0+
= 0-
Im(j)
Re(j)-1 0 + -
= 0+
= 0-
K < 1 aucun tour K > 1 1 tour
La condition de stabilité en boucle fermée est K > 1.
(p)-
42
Critère graphique Critère du revers
Version simplifiée du critère de Nyquist
Enoncé : Un système, dont la boucle ouverte
ne comporte pas de pôles à partie réelle
strictement positive, est stable en boucle
fermée si son lieu de Nyquist en boucle
ouverte, parcouru de =0 à +,
laisse le point -1 sur sa gauche.
Remarque : un lieu de Nyquist passant
exactement sur le point –1 génère un système
oscillant. Le point -1 est appelé point critique.
Seule la boucle ouverte qui génère la
plus petit des deux lieux correspond à
un système stable en boucle fermée
Im(j)
Re(j)-1 0
+ = 0+
(p)-
43
Critère du revers
et diagramme de Nichols(Nathaniel B. Nichols - MIT - 1947)
arg(j)
-180°
dB
j
0°
0dB
Le lieux de Nichols en boucle ouverte,
parcouru de =0 à +, doit
laisser le point (-180°,0dB) sur sa
droite pour que le système soit stable
en boucle fermée.
(p)-
44
Marges de stabilité
La stabilité en boucle fermée se jugeant sur la distance
entre le lieu de Nyquist en boucle ouverte et le point –1, on
est amené à mesurer des marges de stabilité :
•marge de phase
•marge de gain
•marge de retard
•marge de module
Elles correspondent aux plus petites quantités
dont il serait nécessaire de modifier la boucle ouverte
pour déstabiliser le système en boucle fermée.
Im(j)
Re(j)-1 0
+ = 0+
Grandes marges de stabilité grand degré de stabilité du système bouclé.
(p)-
45
Marge de phase
La marge de phase Mf est la valeur minimale du déphasage
caractérisant D (déphaseur pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte :
Elle se mesure donc à une pulsation u pour
laquelle le gain de la boucle ouverte est unitaire :
et est ici définie par :Re(j)
uΦ jarg180 M
1j u
Im(j)
-10 +
= 0+
u
Mf
Φjarg avec 1jj MDD
(p)-
D(p)
46
Marge de gain
Gj avec 1jj MDD
La marge de gain MG est la valeur minimale du gain
caractérisant D (gain pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte :
Elle se mesure donc à une pulsation -180° pour
laquelle pour laquelle la phase de la boucle
ouverte est de –180° :
et est ici définie (en dB) par :
(p)-
D(p)
180jarg 180-
180-G jlog20 M
Re(j)
Im(j)
-1 0
+
= 0+
MG-180°
47
Marge de retard
La marge de retard Mr est la valeur minimale du retard
caractérisant D (retard pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte :
Elle se mesure donc aux pulsations u pour
laquelle le gain de la boucle ouverte est unitaire :
et est ici définie par :
1j u
rjj avec 1jj
Me
DD
(p)-
D(p)
u
ur
jarg180min
u
M
Im(j)
-10 +
= 0+
u1
Mf1
u2
Re(j)
Mf2La marge de retard Mr ne correspond pas
obligatoirement à la marge de phase minimale.
48
Marge de module
pp DD -et j avec 1jj jmeM
La marge de module Mm est la valeur minimale du module
caractérisant D qui déstabiliserait le système bouclé de boucle
ouverte :
(p) -
D(p)
Im(j)
-1 0 +
= 0+
Mm
Re(j)
La marge de module Mm mesure la distance
minimale que sépare le lieu de Nyquist en
boucle ouverte, (j), du point -1 :
j1minm M
49
Marges de phase et de gain
et diagrammes de Bode
arg(j)
-180°
u
Mf
dB
j
0°
0dB
-180°
MG
(p)-
50
Marges de phase et de gain
et diagrammes de Nichols
arg(j)
-180° u
Mf
dB
j
0°
0dB
-180°
MG
(p)-
51
Mesure des marges de stabilitéApplication
25.01
25.1
2pppp
(p)-
u= rad/s
Mf = °
MG = dB
Mr = s
Diagramme de Bode de (j)
-100
-50
0
50
Magnitude (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Frequency (rad/sec)
52
La boucle de commande
Le régulateur K(p) doit permettre d’asservir avec précision et rapidité le signal de
sortie Y (en fait sa mesure Ymes) sur sa valeur de référence Yref, en rejetant l’effet
des perturbations Pu et Py.
Yref(p)K(p)
Y(p)
M(p)
+-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ P(p) +
Pu(p)
Bm(p)Yref : signal de référence
e : signal d’erreur
U : signal de commande
Pu : perturbation d’entrée
Py : perturbation de sortie
Y : sortie du procédé
U(p)e(p)
Bm : bruit de mesure
Ymes : signal de mesure
K(p) : transfert du régulateur
P(p) : modèle du système physique
M(p) : modèle de l'organe de mesure
53
Transferts en boucle fermée
Yref(p)K(p)
+-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
modèle {système + capteur}
G(p) : modèle du procédé asservi
pGpK
pKpPpU
pBpU
pYpU
pGpKpG
pPp
pP
pY
pGpKpPp
pBp
pYp
pP
pY
pGpKpGpK
pPpU
pB
pY
pY
pY
1
1
11
1
ymref
uu
mes
ymrefy
mes
um
mes
ref
mes
e
eee
54
Atténuation de la sensibilité aux incertitudes
Plus le produit K(p)G(p) est grand et plus la sensibilité de Ymes(p)/Yref(p)
à l'incertitude portant sur G(p) est atténuée par une commande en boucle fermée.
Comparons de l'incertitude relative des transferts Y/Yref obtenus
avec des commandes par pré-compensation et en boucle fermée.
Par pré-compensation : pGpFpY
pY
ref
pGpKpGpK
pTpY
pY
1ref
mes
)concepteur lepar (imposéconnu nt parfaitemeest transfertle puisque pFpGpG
pGpFpGpF
En boucle fermée :
Calculons la fonction de sensibilité S(p) définie par le rapport :
pGpKpK
pGpK
pGpK
pKpGpK
pKpG
pKpGpGpK
pGpT
pGpT
pS
1
11
111
2
pG
pGpTpT
55
Etude qualitative de la fonction sensibilité S(p)
La diminution de la sensibilité S à donc lieu en basse fréquence
quand T est de l'ordre de 1, c'est-à-dire quand le produit KG est grand devant 1.
111
1
pGpK
pGpKpGpK
pTpS
On peut remarquer que la sensibilité S(p) est liée à la fonction de transfert T(p)
La fonction de transfert T(p) est souvent appelée fonction sensibilité complémentaire.
Dans le cadre de l'asservissement de Ymes sur Yref, la réponse fréquentielle
T(j) est généralement de type passe-bas.
|T(j)|dB
log
|S(j)|dB
log0dB 0dB
56
Allure de la fonction de sensibilité T
• << u KG = >> 1 T 1
• >> u KG = << 1 T
Les variations du signal de référence et du bruit de mesure sont transmises en
basse fréquence, et atténuées en haute fréquence par le facteur .
Le signal de commande s'oppose à la perturbation d'entrée en basse fréquence.
pGpK
pGpKpPpU
pB
pY
pY
pYpT
1um
mes
ref
mes
-150
-100
-50
0
50
100
K
T
Gu
Yref(p)
K(p)+
-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
57
Allure de la fonction de sensibilité S
• << u KG = >> 1 S 1/• >> u KG = << 1 S 1
La boucle fermée permet de réduire l'effet en basse fréquence des variations
d'une perturbation de sortie d'un facteur 1/ (gain de 1 en boucle ouverte).
pGpKpP
pYpS
11
y
mes-150
-100
-50
0
50
100
K
S
G
1/
u
Yref(p)
K(p)+
-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
58
Allure de la fonction de sensibilité KS
• << u KG = >> 1 KS 1/G
• >> u KG = << 1 KS K
• = u KG = 1 1/G = K
Les variation du signal de référence, du bruit de mesure et de la perturbation
de sortie sont amplifiées en haute fréquence au niveau du signal de
commande d'un le facteur K.
pGpK
pKpPpU
pBpU
pYpU
pKS
1ymref
-150
-100
-50
0
50
100
K
KS
G
1/G
u
Yref(p)
K(p)+
-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
59
Allure de la fonction de sensibilité GS
• << u KG = >> 1 GS 1/K
• >> u KG = << 1 GS G
• = u KG = 1 G = 1/K
Compte tenu d'une perturbation d'entrée, la boucle fermée permet en basse
fréquence de passer d'un gain G (commande en chaîne directe) à un gain 1/K.
pGpK
pGpP
pYpGS
1u
mes
-150
-100
-50
0
50
100
K
GS
G1/K
u
Yref(p)
K(p)+
-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
60
Performances d'une loi de commande
Une loi de commande doit notamment permettre d'asservir la sortie mesurée
du procédé avec :
• précision (écart faible entre valeur désirée et valeur obtenue)
• rapidité (phénomènes transitoires aussi courts que possible)
• un bon degré de stabilité (phénomènes transitoires relativement bien amortis).
61
Précision
Quand le procédé est en régime établi (ou permanent), la précision de la loi
de commande est estimée à travers l'écart (ou erreur) absolu e entre le
signal de référence et la sortie mesurée.
Plus l'écart est faible, plus la loi de commande est précise.
L'écart absolu est ici une erreur statique.
Il peut être différent suivant le niveau
des signaux exogènes
Le signal de référence est ici une
rampe. L'écart absolu est appelé
erreur de traînage
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5
10
15
20
yref
ymes
e
e
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
yref
ymes
e
permanent) régime(en
mesref yy e
62
Gain statique/erreur statique
Lors de variations de type échelon du signal de référence, la précision peut
aussi être analysée à travers le gain statique T0 défini par le rapport des
variations de la sortie mesurée sur les variations du signal de référence.
Plus le gain statique est proche de 1, plus la loi de commande est précise.
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5
10
15
20
yref
ymes
Dymes
Dyref
Un gain statique de 1 ne garanti généralement pas une erreur statique nulle.
Lors d'essai indiciel, les mesures du gain statique et de l'erreur statique sont
donc nécessaires pour estimer la précision de la loi de commande.
ref
mes0 y
yT
DD
63
Relation entre précision
et gain de boucle
Yref(p)K(p)
+-
Py(p)
Ymes(p)
+
+ G(p) +
Pu(p)
Bm(p)
U(p)e(p)
pPpGpPpBpYp
p
pPp
pGpPpBpY
pp
puymref
0
uymref
1lim
111
e
e
pTp
py
yT
pp 00ref
mes0 lim
1lim
DD
Si bm (t) = pu (t) = py (t) = 0
• yref (t) = yref0 u(t) alors
• yref (t) = tn u(t) alors p
pn n
p
e
1
!lim
0
p
y
p
e0
0ref
lim1
64
Rapidité
La rapidité de la loi de commande peut se mesurer dans le domaine
temporel ou dans le domaine fréquentiel.
Dans le domaine temporel, la rapidité se mesure notamment par :
• le temps de montée et de réponse lors de la réponse à la consigne
• les temps de réponses nécessaires au rejet des perturbations.
Dans le domaine fréquentiel, la rapidité se mesure notamment par :
• la bande passante vis-à-vis de la réponse à la consigne
• les bandes de rejet vis-à-vis des perturbations.
RapiditéDomaine temporel
Lors de la réponse à la consigne, le temps de montée, tm, est défini comme le
temps nécessaire pour que la sortie passe de 10% à 90% de sa variation
permanente.
Le temps de réponse à 5%, t5%yref, est défini comme le temps nécessaire pour que
la sortie demeure comprise entre 95% et 105% de sa variation permanente.
Le temps de rejet des perturbations n'est mesurable que quand le rejet est parfait.
10 15 20 25 30 356
8
10
12
14
16
18
20
100%105%
95%
0%
t5%yref
90%
tm10%
66
Rapidité
Domaine fréquentiel
La bande passante ou de rejet, à -6dB par exemple, est définie
comme la plage fréquentielle [0, pulsation de coupure] telle que :
|T(j)|dB
log
|S(j)|dB
log0dB 0dB
-3dB-6dBc-3dB
c-6dB
-3dB
-6dB'c-3dB
'c-6dB
6dBcdBdB
6dBcdBdB
'pour 6j
pour 60j
dBSS
dBTT
c-6dB est appelée pulsation de coupure à -6dB (division d'un
facteur 2)
67
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle fermée
|T(j)|dB
log0dB
-6dBu
c-6dB
• << u >> 1 T 1
• >> u << 1 T
j1
jj
T
C'est à partir de u que le transfert de boucle fermée T change de comportement.
La fréquence de coupure en boucle fermée c est donc du même ordre de
grandeur que la fréquence au gain unité en boucle ouverte u .
68
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle ferméeSystème du premier ordre
Yref(p)(p)
+-
Ymes(p)
1
1 avec
j1j1
j
j1j
j
00c
000
c
0
00
0
T
TT
T
00u
u
00
0u0
0
0
1
1
j1j
cu0 1
69
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle fermée
Système du deuxième ordre
Yref(p)(p)
+-
Ymes(p)
1'
1'
1
avec
''j
'21j
21
j
j1j
j
0nn
0
000
2n
2
n
0
2n
2
n0
0
T
TT
T
n0u
2u
2n0
nu0
2n
2
n
0
1
1
j21
j
nu0 '1
70
Notion de mode dominant
Les pôles du système du second ordre sont proches de ces pôles dominants.
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-5-4-3-2-1012345
1
1.2p2 + 1.45p + 1
0.01p3 + 0.12p2 + 0.3p + 1
0.02p5 + 0.206p4 + 0.854p3 + 1.96p2 + 1.9p + 1
Quand une de ses paires de pôles complexes s'avèrent être de module plus
faible que tous les autres pôles et zéros, il est fréquent qu'un système en
boucle fermé puisse être approximé par un système du second ordre.
Ces pôles définissent le mode dominant du système.
arg
(d
eg)
m
od
ule
(dB
)
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
-200
-150
-100
-50
0
71
Temps de réponse minimumAmortissement optimal
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15
20
25
30
21
2n
2
n
0
ref
mes
pp
T
pY
pYpT
Considérons un système en boucle fermée approximé par son mode
dominant du second ordre :
t5%.n = f(z)
Du point de vue du temps de réponse, l'amortissement optimal est de 0,69.
72
Degré de stabilitéPremier dépassement réduit
Si on considère un système en boucle fermée approximable par son mode
dominant du second ordre, l'amortissement est lié au premier dépassement
réduit. Le premier dépassement réduit est donc souvent utiliser pour
quantifier le degré de stabilité de la commande.
e0
2-1
π-
1réduit1
ss
DD
Du point de vue du temps de
réponse, le premier dépassement
optimal est de 5%.
D1 = 20 à 30% est souvent toléré. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100D1en % = f(z)
5%
73
Degré de stabilitéFacteur de résonance
Si on considère un système en boucle fermée approximable par son mode
dominant du second ordre, l'amortissement est lié au facteur de résonance.
facteur de résonance est donc souvent utiliser pour quantifier le degré de
stabilité de la commande.
Du point de vue du temps de
réponse, le facteur de résonance
optimal est de 0,01dB.
Un amortissement d'environ 0,4
correspond lui à Q = 2 à 3dB.
2-12
10
max
r
r Q
Q en dB = f(z)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
10
15
20
25
30
74
Abaque de Nichols
j1
jj
T
Abaque composé de courbes d'iso-amplitude et d'iso-argument.
A partir de la réponse fréquentielle en boucle ouverte (j), permet de
déterminer la réponse fréquentielle en boucle fermée T(j), avec :
Frequency (rad/sec)
|T(j
)|
(dB
)
-20
-15
-10
-5
0
5
100
10-1/2
101/2r
Q = 3dB
c
arg(j) (deg)
|(j
)|
(dB
)
-260 -240 -220 -200 -180 -160-140 -120-100 -80
-30
-20
-10
0
10
20
30
3dB
r
c
Le facteur de résonance correspond à la plus petite courbe d'iso-amplitude
tangentée par (j)
75
La fonction de transfert en boucle fermée du second
ordre
correspond notamment à la fonction de transfert en
boucle ouverte
z = 0,69 correspond à une marge de phase Mf = 65°.
Un amortissement d'environ 0,4 correspond à une
marge de phase de l'ordre de 43°. Une marge de phase
comprise entre 40 et 60° et généralement acceptée.
Degré de stabilitéMarge de phase
21
1
2n
2
n
ref
mes
pppY
pYpT
pp
pTpp
p
1
avec
2
1
nn
Open-Loop Phase (deg)
Open-L
oop G
ain
(dB
)
-180-170-160-150-140-130-120-110-100 -90-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Mf
Mf
76
Degré de stabilitéMarge de gain
Une marge de phase Mf correcte ne correspond pas toujours à un facteur de
résonance Q suffisant. La vérification de la marge de gain MG permet
généralement de vérifier le degré de stabilité.
Une marge de gain de 6 à 10 dB est généralement suffisante.
arg(j) (deg)
|(j
)|
(dB
)
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
-30
-20
-10
0
10
20
30
3dB
arg(j) (deg)
|(j
)|
(dB
)
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
-30
-20
-10
0
10
20
30
3dB
77
Danger des marges de phase et de gain
Des marges de phase et de gain satisfaisantes ne sont pas toujours
suffisantes : cas de procédé comportant des modes peu amortis, des zéros à
partie réelle positive, un retard, etc.
arg(j) (deg)
|(j
)|
(dB
)
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
-30
-20
-10
0
10
20
30
3dB
Dans le domaine fréquentiel, l'estimation la plus sûre du degré de stabilité
d'un système bouclé stable se fera à travers son facteur de résonance.
78
Commande en tout-ou-rien (T.O.R)
Intuitivement, la loi de commande la plus simple consiste à appliquer le
maximum de commande quand la sortie mesurée est plus petite que la
consigne et le minimum sinon.
U(p)e(p)umax
umin
e
u
Avantages :
• temps de réponse minimums et bonne précision
si amortissement suffisant
• simplicité de mise en œuvre
Inconvénients :
• observation fréquente d'oscillations non amorties
• dépense énergétique importante
• variations brusques du signal de commande
79
Commande T.O.R
Application
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
-5
0
5
10
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5
Le procédé commandé modélisé par
subit une perturbation sur son entrée.
La commande TOR est définie par umax= 10 et umin= -10.
101.01
75.02
ppp
pG
Le phénomène d'oscillation observé est appelé "pompage".
yref y u pu
80
Commande proportionnelle
Une loi de commande plus évoluée consiste à générer une commande
proportionnelle à la différence entre le signal de référence et la sortie mesurée.
U(p)e(p)
e
u
u = k e
Le procédé précédent est commandé avec un gain k = 2
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
yref y u pu
On observe ici un suivi de consigne et un rejet de perturbation imparfaits.
81
Commande proportionnelle Modification des performances
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15 20 25 30 35-60
-40
-20
0
20
40
60k = 2 k = 10 k = 50
Augmentons k pour faire tendre l'erreur statique e vers 0 et le gain statique T0
vers 1.
Yref(p)K(p)
+-
Ymes(p)
+ G(p)
Pu(p)
U(p)e(p)
constant régimeen étant et ,01
0uref
u0ref0 tptykG
pGy
e
01
0
ref
mes0 kG
kGy
yT
DD
82
Commande proportionnelle Dilemme stabilité/précision
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15 20 25 30 35-60
-40
-20
0
20
40
60k = 2 k = 10 k = 50
Quand k augmente :
+ l'erreur statique e tend vers 0
+ le gain statique T0 tend vers 1 Précision
+ le temps de montée tm diminue
- le premier dépassement D1 augmente
- l'amortissement z diminue Degré de stabilité
- le temps de réponse t5% augmente
- le niveau de commande augmente
83
Commande proportionnelleAugmentation du gain, diminution du degré de stabilité
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
10-1 100 101 102-250
-200
-150
-100
-50
0
arg
kG
(d
eg)
mo
du
le k
G (
dB
)
k = 2 k = 10 k = 50
Quand k augmente :
+ augmentation du gain statique de boucle ouverte (0) = kG(0)
+ augmentation de la fréquence au gain unité u
- diminution de la marge de phase Mf
Dilemme Stabilité/Précision (de la commande proportionnelle)
Mf MfMf
-180°
84
Commande proportionnelleAnalyse des fonctions de sensibilité
k = 2 k = 10 k = 50Quand k augmente :
• bande passante augmente mais facteur de résonance augmente
• désensibilisation augmente mais marge de module diminue
• sensibilité de l'entrée augmente
• rejection plus importante et rapide
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
Ma
gn
itu
de
(d
B)
T
10-1
100
101
102
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Ma
gn
itu
de
(d
B)
10-1
100
101
102
-20
0
20
40
60
Ma
gn
itu
de
(d
B)
10-1
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
0
Ma
gn
itu
de
(d
B)
KS GS
S
85
Modèle du procédé à asservir
Réglage d'une commande proportionnelleApplication
42
8.11
10
2
pp
p
pG
Magnitude (
dB
)P
hase (
deg)
Frequency (rad/sec)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
10-2
10-1
100
101
102
-270
-250
-230
-210
-190
-170
-150
-130
-110
-90
k u
(rad/s)
Mf
(°)
MG
(dB)
Mr
(s)
es
0.1
50
20
1
(es vis-à-vis d'un échelon sur pu)
Diagramme de Bode de G(j)
86
Réponse au « Dilemme Stabilité/Précision » :
la commande de type PID
(Proportionnelle, Intégrale, Dérivée)
|K(j)|dB
logK0dB
i
argK(j)
21
90°
-90°
0°log
1
1
1
2
10
i
i
p
pK
p
ppK
KIKDKP
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
u pu
0 5 10 15 20 25 30-10
-5
0
5
10
15
20
yref y
1
Automatismes
Systèmes à Evénements Discrets (SED) : évolutions saccadées et rythmées par l'apparition
d'événements subis. A distinguer des systèmes continus.
On parle généralement d'Automatisme pour la commande des SED et d'Automatique (ou contrôle-
commande) pour celle des systèmes continus.
Partie opérative (équipement matériel) + partie commande (dispositif informationnel).
2
Dans les automatismes industriels, la partie commande est souvent réalisée à l'aide d'Automates
Programmables Industriels (API).
Automatismes industriels et API
A ce niveau hiérarchique, les commandes générées sont généralement de type tout-ou-rien. C'est au
niveau inférieur que l'on trouve généralement les commandes de procédés continus.
Certains API intègrent parfois ce niveau de commande, mais sont essentiellement des systèmes de
commande séquentiels asynchrones.
3
Systèmes séquentiels asynchrones
Un système est dit séquentiel quand ses sorties sont fonction de ses entrées et de son état précédent.
Entrée X
Etat Q
Sortie YSystème
combinatoire
retard
L'évolution d'un système séquentiel peut être caractérisée par un automate, c'est-à-dire une
succession d'états générés par les variations des entrées.
4
Deux outils permettent de représenter l'automate :
- le diagramme des transitions ou des états (souvent complété du diagramme des sorties) dont
l'élément de base est
qk qi
Xj/Yi
avec qi = (Xj,qk) et Yi = (Xj,qk).
- la table des états et des sorties
Q\X X1 Xj Xm
q1 .
qk . (Xj,qk)/(Xj,qk)
qr
5
Exemple – Discriminateur de signaux impulsionnels
Réalisons un automate permettant l'évolution de la sortie s suivante :
e1
sDS
e2
1 - Diagramme des états et des sorties
1 210/0
3
01/1
01/0
01/0
10/0
10/0
2 - Table des états et des sorties
Q\X 00 01 11 10
q1 1/0 1/0 - 2/0
q2 2/0 3/0 - 2/0
q3 3/0 1/1 - 2/0
Etat initial Q1 (e1 = e2 = s = 0). Un seul changement simultané d'entrée considéré.
6
Exemple – Ouverture codée d'une porte
Le signal S doit permettre l'ouverture de la porte à la suite de la séquence A-B- B - A ou de la
séquence B-A- A - B . On peut alors définir le diagramme des états.
10/0
11/0
3 42
7 86
00/1
00/1
01/1
10/0
00/0
11/0
01/0
01/0
11/0
10/011/0
1
9
10
11 5
00/010/0
11/0
01/0
10/0
01/0
11/0
00/0
00/1
11/0
3 42
6 75
01/001/0
10/0
01/000/0
10/0
01/0
10/0
00/0
1
11/0
01/0
Réduction obtenue par la méthode de Huffman (suppression de 4 états).
7
Systèmes séquentiels complexes
Limitation de la méthode classique
La complexité des diagrammes d'état augmente énormément avec le nombre d'entrées et de sorties
considérées.
Pour les systèmes industriels :
- nombre d'entrées (capteurs) et de sorties (actionneurs) souvent important
- combinaisons d'entrées utiles à l'évolution des sorties beaucoup moins nombreuses que
les combinaisons possibles.
=> Méthode classique (même assortie de méthode de Huffman) beaucoup trop lourde pour la
gestion des automatismes industriels.
+ Présence d'évolutions simultanées (ou parallèles) difficilement prise en compte par une approche
classique.
8
Synthèse directe d'un diagramme d'état réduit
Apparition d'un événement (variation d'une combinaison d'entrées) provoque une modification sur
les sorties et/ou un changement d'état d'un système => système réceptif à cet évènement dans un état
donné.
Système décrit par un diagramme d'état primitif => système séquentiel à réceptivité totale.
Pour maîtriser des systèmes à grand nombre d'entrées il est nécessaire de discerner des événements
significatifs et des événements non significatifs et choisir de ne s'intéresser qu'aux premiers.
Un événement est significatif quand :
- il provoque une modification en sortie ;
- il procure au système un caractère séquentiel nécessitant une mémorisation.
L'expression logique caractérisant un événement est appelée condition de réceptivité.
9
Exemple – Commande d'une machine à percer
On désire réaliser la commande d'une machine à percer qui doit fonctionner selon deux cycles
possibles.
Mise en marche : M. Sollicitations ultérieures ignorées jusqu'au retour à l'état de repos (A).
Perçage d'une pièce mince (P=0) ou d'une pièce épaisse (P = 1).
10
Construisons le diagramme d'état réduit permettant le fonctionnement désiré.
1 2
MA
D
/mA
d
D
3
CP
4
Bd m
A partir de l'état 1, on fait appel à la notion de sortie conditionnelle. On aurait aussi pu utiliser une
forme de diagramme plus classique et remplacer l'état 1 par le groupement suivant :
0 1
A
D
D
m
11
Systèmes à évolutions simultanées
Simplification du problème par décomposition d’automate
Exemple - Tri par tapis roulant
T1 et T2 convoient des objets lourds (détectés par L1 et L2) ou légers. K1 et K2 orientent les objets
lourds sur un tapis B. F indique l'accomplissement du travail de la pince. N1 et N2 commandent
l'avancement de T1 et T2, P1 et P2 la rotation et la saisie de la pince.
Simultanéité de l'arrivée d'objets lourds à la fois sur A1 et sur A2 => utilisation d'une variable Z
instaurant une alternance de la priorité :
12
- Z = 1 correspond au choix de T1
- Z = 0 correspond au choix de T2.
La complexité provient ici de la nécessité de gestion simultanée de N1, N2, P1 et P2.
13
On peut également gérer indépendamment les tapis T1 et T2 ainsi que la saisie des objets lourds. Le
diagramme d'état est alors beaucoup plus simple.
14
Les réseaux de Pétri
Réseaux de Pétri, proposés par C.A. Pétri en 1962 en Allemagne.
Offre un outil permettant d'exprimer les relations temporelles et causales existant dans les systèmes
séquentiels parallèles.
Particulièrement adapté à :
- la commande des systèmes industriels ;
- la modélisation des protocoles de communication ;
- l'analyse de fonctionnement de calculateurs ;
- la définition de cahiers des charges
- …
15
La représentation graphique d'un réseau de Pétri fait appel à :
- des places symbolisées par des ronds ;
- des transitions symbolisées par des traits ___ ;
- des marques (ou jetons) dont le nombre dans une place correspond à la ressource
disponible à un instant donné.
Règles d'évolution
Une transition permet de rendre active la place qui la suit (c'est-à-dire l'ajout d'une marque) quand
toutes les étapes qui la précèdent sont actives. Une marque de chaque étape précédente est alors
enlevée.
16
Nœuds
Dans un réseau de Pétri, il est possible d'utiliser des nœuds qui correspondent à des convergences ou
à des divergences vers des transitions ou vers des places.
jonction distribution sélection attribution
- Pour une jonction, les deux places doivent être marquées pour que la transition soit franchie.
- Pour une distribution, le franchissement de la transition permet le marquage des deux places.
- Pour une sélection, la place marquée génère le franchissement de l'une des deux transitions.
- Pour une attribution, une des deux transitions doit être franchie pour permettre le marquage de la
place.
17
Exemple – Assemblage de pièces
Tournevis
Vis
TigeEcrou
Pièces réalisées
Situation initialeSituation finale
18
Transitions conditionnelles
Par ses entrées et ses sorties, un automatisme est en relation constante avec le monde extérieur. Sur
un diagramme d'état, cette relation s'exprime par des étiquettes (expressions logiques) associées aux
arcs. Dans un réseau de Pétri, on associe aux transitions.des étiquettes qui définissent des conditions
de réceptivité. Le franchissement d'une transition est maintenant soumis à deux conditions :
- le marquage de la (ou des) place(s) précédente(s)
- la vérification de la (ou des) condition(s) de réceptivité précédente(s)
Exemple
T1
Q1
Q3
Q2 Q4
Q5 Q6
T2 T3
Q3 ne peut être modifiée que si Q1 et Q2 sont initialement marquées et que si T1 est valide.
Si Q4 est marquée, c'est la première condition T2 ou T3 qui génèrera le marquage de Q5 ou de Q6.
19
Exemple
Reprenons l'exemple du tri par tapis et construisons un réseau de Pétri répondant au cahier des
charges.
Y1 et Y2 indiquent la présence d'un objet à saisir. L'état de la place 7 permet la sélection de la
chaîne 1 ou 2.
20
Le Grafcet
Contexte de création
Afin que les outils de description des automatismes pénètrent le monde industriel, l'AFCET
(Association Française pour la Cybernétique Economique et Technique) a proposé en 1977 un outils
à la fois simple à utiliser et rigoureux sur le plan formel : le GRAFCET (GRAPHe Commande Etat
Transition).
Permet notamment au réalisateur de montrer au donneur d'ordre comment il a compris le cahier des
charges.
Indépendant de la réalisation pratique
Peut se "câbler" par séquenceurs, être programmé sur automate voire sur ordinateur).
21
Eléments du Grafcet
Un grafcet est composé d'étapes, de transitions et de liaisons.
Une liaison est un arc orienté (ne peut être parcouru que dans un sens) qui :
relie une (et une seule) étape à une transition ;
est représentée par un trait plein rectiligne, vertical ou horizontal.
22
Une étape correspond à une phase durant laquelle on effectue une action pendant une certaine durée
(même faible mais jamais nulle).
L'action doit être stable, mais la notion d'action est assez large, en particulier composition de
plusieurs actions, ou à l'opposé l'inaction (étape dite d'attente).
On représente chaque étape par un carré, l'action est représentée dans un rectangle à gauche, l'entrée
se fait par le haut et la sortie par le bas. On numérote chaque étape par un entier positif différent.
n° action
Une étape initiale est représentée par un double carré.
n° action
23
Si plusieurs liaisons arrivent sur une étape, pour plus de clarté on les fait arriver sur une barre
horizontale, de même pour plusieurs liaisons partant de l'étape.
n° action
Une étape est dite active lorsqu'elle correspond à une phase "en fonctionnement", c'est à dire qu'elle
effectue l'action qui lui est associée (y compris une inaction). On représente quelquefois une étape
active à un instant donné en dessinant un point à l'intérieur.
24
Une transition est une condition de passage d'une étape à une autre. Elle n'est que logique, sans
notion de durée. La condition est définie par une réceptivité qui est généralement une expression
booléenne de l'état des capteurs.
On représente une transition par un petit trait horizontal sur une liaison verticale. On note à droite la
réceptivité, on peut noter à gauche un numéro de transition. Dans le cas de plusieurs liaisons arrivant
sur une transition, on les fait converger sur une grande double barre horizontale. De même pour
plusieurs liaisons partant sous une transition.
n° réceptivité n° réceptivité
25
Règles d'évolution
La modification de l'état de l'automatisme est appelée évolution, et est régie par 5 règles.
R1 : Les étapes initiales sont celles qui sont actives au début du fonctionnement. On appelle début
du fonctionnement le moment où le système n'a pas besoin de se souvenir de ce qui c'est passé
auparavant. Les étapes initiales sont souvent des étapes d'attente pour ne pas effectuer une action
dangereuse par exemple à la fin d'une panne de secteur.
R2 : Une transition est soit validée, soit non validée. Elle est validée lorsque toutes les étapes
immédiatement précédentes sont actives (toutes celles reliées directement à la double barre
supérieure de la transition). Elle ne peut être franchie que lorsqu'elle est validée et que sa réceptivité
est vraie. Elle est alors obligatoirement franchie.
26
R3 : Le franchissement d'une transition entraîne l'activation de toutes les étapes immédiatement
suivantes et la désactivation de toutes les étapes immédiatement précédentes (toutes se limitant à 1
s'il n'y a pas de double barre).
R4 : Plusieurs transitions simultanément franchissables sont simultanément franchies (ou du moins
toutes franchies dans un laps de temps négligeable pour le fonctionnement). La durée limite dépend
du "temps de réponse" nécessaire à l'application (très différent entre un système de poursuite de
missile et une ouverture de serre quand le soleil est suffisant).
R5 : Si une étape doit être à la fois activée et désactivée, elle reste active. Une temporisation ou un
compteur actionné par cette étape ne serait pas réinitialisé. Cette règle est prévue pour lever toute
ambiguïté dans certains cas particuliers qui pourraient arriver dans certains cas.
27
Exemple
Supposons un chariot pouvant avancer (A) ou reculer (R) sur un rail limité par deux capteurs G et D.
Un cahier des charges pourrait être : quand on appuie sur le bouton DEPART, on avance jusqu'en D,
puis on revient.
Ce cahier des charges est incomplet et imprécis. Quelles sont les conditions initiales ; jusqu'où
revient-on ; que fait on après être revenu ?
On réécrit le C.d.C. en 3 phases : Attendre jusqu'à l'appui de DEPART, avancer jusqu'en D, reculer
jusqu'en G, attendre à nouveau DEPART et recommencer.
On suppose le chariot initialement en G.
28
Structures de base
Divergence en OU
Si 1 active et si a seul, alors désactivation de 1et activation de 2, 3 inchangé.
Si a et b puis 1 active alors désactivation 1, activation 2 et 3 quel que soit leur état précédent (R4).
Convergence en OU
Si 1 active et a sans b, alors activation de 3 et désactivation de 1, 2 reste inchangé.
Si 1 et 2 et a et b alors 3 seule active.
On appelle barre de OU la barre symbolisant les entrées/sorties multiples d'étapes.
29
Exemple - Contrôle de pièces
L'objectif de décider si une pièce doit être considérée bonne, retouchée, ou partir pour le rebut.
Le grafcet peut alors être le suivant :
30
Divergence en ET
Si 1 active et si a, alors désactivation de 1 et activation de 2 et 3.
Convergence en ET
Si 1 active seule et a alors aucun changement. Si 1 et 2 et a, alors activation de 3 et désactivation de
1 et 2.
On appelle couramment barre de ET la double barre, mais attention ce n'est pas une entité à part
mais une partie d'une transition.
31
Exemple – Tri de caisses
L'objectif de transférer des caisses d'un tapis vers un autre en un minimum de temps.
32
Saut et Boucle
Détaillons également le saut avant (si a alors …) et les boucles (répéter … jusqu'à c). Ce sont les
deux seules possibilités avec des OU: il ne peut y avoir de divergence en ou après une transition.
33
Actions associées aux étapes
Les actions sont précisées dans un cadre lié à l’étape, de manière générale, l’action n’est vraie que si
l’étape est active. La norme européenne CEI précise la nature de l’action par une lettre précisant la
nature de l’action.
Actions à niveaux
C'est la forme générale d’une action : la sortie n’est vraie que si l’étape est active.
34
Actions mémorisées
On fait appel ici à la notion de set (mise à un) et de reset (mise à 0).
Description usuelle Description CEI
35
Actions conditionnelles
Une action conditionnelle n’est vraie que si l’étape est active et la condition est vraie. La norme CEI
précise les actions conditionnelles par un C.
Description usuelle Description CEI
36
Exemples d'utilisation
Tri sans stockage
Reprenons du tri sans stockage et construisons le grafcet correspondant.
37
Chaîne de remplissage de bidons d'huile
Un tapis roulant se déplaçant par saccades (cadencé par un système supposé externe à notre grafcet,
s'arrêtant à chaque nouvel appui de la came sur le capteur av) est alimenté manuellement (de temps
en temps il manque des bidons). Trois postes sont prévus : remplissage (R), bouchage (B) et
enfoncement (E).
Un seul capteur détecte la présence d'un bidon en début de chaîne : pp. On désire faire les 3
opérations simultanément. On suppose que le tapis est vide lors de l'initialisation.
38
L'étape 1 est constamment active. La dernière transition est appelée "transition puits", mais il était
possible de la relier à l'étape 1. En fonctionnement normal, toutes les étapes du grafcet sont actives.
Du point de vue commande, chaque opération comportera plusieurs étapes (R = descendre
l'entonnoir, ouvrir le robinet,...) dont une seule sera active à la fois). Chaque activation représente un
bidon dans le circuit.
39
Sources et puits
Etapes sources/puits
On appelle étape source une étape non relié à une transition
amont. Cette étape ne peut être activée que par un ordre de
forçage.
Une étape initiale sans transition amont est une étape source
activée inconditionnellement à la mise sous tension.
On appelle étape puits une étape non suivie d’une transition, cette
étape ne peut être désactivée que par un ordre de forçage.
40
Transitions sources/puits
Une transition source est une transition non précédée d’une étape.
Par convention cette transition est toujours validée (malgré
l’absence d’étape précédente), pour la franchir il suffit que la
réceptivité soit vraie.
La réceptivité associée à une transition source est en général une
réceptivité sur front (sinon l’étape suivante est activée en
permanence).
Une transition puits est une transition non suivie d’une étape. Les
règles de franchissement s’applique à ce type de transition, lors
du franchissement l’étape précédente est désactivée, aucune autre
étape n’est activée.
41
Prise en compte du temps
La prise en compte du temps dans un grafcet peut être traitée soit au niveau de la description des
actions ou dans l’écriture des réceptivités.
Actions
On distingue 2 types d’actions, les actions retardées et les actions à durée limitée.
42
Action à durée limitée
L’action M ne dure que 3 s à partir du début de l’étape X7. L’action est exécutée tant que la
temporisation n’est pas terminée.
Action retardée
Description usuelle Description CEI
L’action M ne débute que 3 s à partir du début de l’étape X7. L’action est exécutée quand la
temporisation est terminée.
43
Réceptivités
L’autre manière de prendre en compte le temps dans le grafcet est sa prise en compte dans les
réceptivités.
Description usuelle Description CEI
La temporisation est lancée dès l’activation de l’étape X7, elle n’est effective qu'au bout du temps
T=3s. La réceptivité étant vraie, la transition est franchie.
44
Hiérarchisation
Afin de simplifier l'étude, la mise en oeuvre et la maintenance des Systèmes Automatisés de
production, il est nécessaire de structurer la partie commande et la partie opérative.
L'analyse structurée d'un système permet de décrire celui-ci depuis le niveau le plus général vers des
niveaux de plus en plus détaillés.
Cette structuration utilise les notions de Taches (sous programmes) et de Macro-étape (appel
d'ensemble d'étapes et de transitions).
Les commandes de forçage et figeage de l'état d'un grafcet, sont des moyens supplémentaires qui
permettent de préciser la hiérarchie des différents grafcets.
45
Il est souvent nécessaire de placer à un niveau hiérarchiquement supérieur des grafcets de gestions.
Les principaux grafcets que l’on peut trouver sont :
- Grafcet de surveillance (de sécurité) : c’est le grafcet hiérarchiquement le plus important. L’arrêt
d’urgence et les procédures de mise en route sont décrits dans ce grafcet.
- Grafcet de conduite (ou Grafcet des Modes de Marches) : ce grafcet décrit l’ensemble des
procédures de Marches (auto, Cycle/Cycle, Manuel,..) et des arrêts normaux.
- Grafcet de maintenance : ensemble des procédures de réglage de la partie opérative.
- Grafcet de Production : description du fonctionnement normal de l’automatisme. Ce grafcet est
souvent décomposé en plusieurs taches représentant les différentes fonctions.
46
VI – Automates Programmables Industriels
Constitution
Un API est généralement constitué d'une unité centrale, d'un ensemble de coupleurs et d'un module
d'alimentation.
47
L'unité centrale est constituée, d'un processeur cadencé par une horloge et qui gère le
fonctionnement de l'automate, d'une mémoire qui comporte une zone programme et une zone
données (variables, constantes et image des capteurs et préactionneurs).
Les coupleurs d'entrées-sorties assurent la liaison entre l'API et son environnement : capteurs et
préactionneurs.
48
A chaque instant d'échantillonnage :
- l'état de chaque entrée de coupleur et stocké en mémoire ;
- le programme utilisateur stocke en mémoire l'état futur des sorties des coupleurs ;
- chaque sortie de coupleur est affectée de sa nouvelle valeur.
49
Les coupleurs peuvent être répartis en 3 catégories : les coupleurs simples ou interfaces d'entrées-
sorties ; les coupleurs intelligents ; les coupleurs de communication.
Coupleurs simples : - coupleurs d'entrées TOR
- coupleurs de sorties TOR
- coupleurs d'entrées analogiques à détection de seuil
- …
Coupleurs intelligents : - coupleurs d'entrées analogiques (CAN ou ADC)
- coupleurs de sorties analogiques (CNA ou DAC)
- coupleurs de comptage
- coupleurs de positionnement (carte d'asservissement d'axe)
- …
Coupleurs de communication : - coupleurs de liaison série asynchrone
- coupleurs de réseau
- …
50
Programmation
Pour leur programmation, les API offrent souvent à la fois :
- un langage à contact (Ladder ou échelle)
- un langage graphique fondé sur le Grafcet
- un langage littéral de type Basic.
Langage à contacts (USA)
Ce langage permet la programmation graphique de schéma de type électrique.
51
L'élément _[<]_ permet de définir une temporisation. X3, V>5 est
égal à 1 quand la variable V, mise à 0 quand X3, devient
supérieure à 5s.
La condition située à gauche génère l'évolution de l'élément situé
à droite.
In,m désigne généralement la mième entrée (Input) du nième
coupleur.
On,m désigne généralement la mième sortie (Output) du nième
coupleur.
Bn est ici une variable interne booléenne.
53
Programmation en Grafcet
Le Grafcet permet de structurer un automate et peut compléter une programmation par langages à
contacts.
Des renvois (sous la forme de flèches) sont utilisables est
indiquent les étapes d'origine et les étapes de destination.
Pour des automates simples, les transitions et les étapes peuvent
contenir en interne la définition des réceptivités et des actions.
54
Structuration de la programmation
Des automates proposent une structuration de la programmation. Ainsi pour un API Télémécanique,
à chaque instant d'échantillonnage, le déroulement du programme s'effectue en trois phases
successives :
- le traitement préliminaire (programmable en langages à contact) ;
- le traitement séquentiel (programmable en Grafcet) ;
- le traitement postérieur (programmable en langages à contact).
Pour qu'un programme complexe soit maintenable, il est souvent bon d'utiliser ces trois traitements :
- le traitement séquentiel pour la structure générale de l'automate de gestion et la
nomination des réceptivités par l'intermédiaire de variables internes ;
- le traitement préliminaire pour la définition des variables internes ;
- le traitement postérieur pour la définition des actions.
55
Reprenons l'exemple du chariot
Avec : pour les capteurs - Départ = I0,1
- D = I0,2
- G = I0,3
pour les actionneurs - A = O1,0
- R = O1,1
Une programmation qui n'utilise que le traitement séquentiel est définie par le schéma suivant :
X1
X2
X3
X3
X1
X1(#)
I0,1 X2
X2(#)
I0,2 X3
( )O1,0
X3(#)
I0,3 X1
( )O1,1
56
Bien que cela ne se justifie pas dans le cas présent (complexité faible), il est aussi possible d'utiliser
les simultanément les traitements préliminaire, séquentiel et postérieur. Trois schémas
complémentaires sont alors saisis.
X1
X2
X3
X3
X1
X1(#)
B1 X2
X2(#)
B2 X3
X3(#)
B3 X1
Traitement séquentiel
L1( )
I0,1 B1
L2( )
I0,2 B2
L3( )
I0,3 B3
Traitement préliminaire
L1( )
X2
L2( )
X3
O1,0
O1,1
Traitement postérieur
Bien que cette programmation puisse paraître lourde, elle s'avère indispensable pour les automates
complexes
