C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S6rie I, p. 1381-1384, 1997

Gkometrie algCbrique/Algebraic Geometry

Sections hyperplanes et endomorphismes de l’espace projectif

GuiUaume JAMET

Universit6 Pierre-et-Marie-Curie, Institut de MathCmatiques, Aualyse Algkbrique, Case 82 Tour 46-00, 3’ Ctage, 4, place Jussieu, 75252 Paris CEDEX 05, France. E-mail : jamet@math.jussieu.fr

R&urn&

Abstract.

Nous montrons que toute section hyperplane d’une variCtC image rCciproque d’une variCtC lisse de dimension au moins Cgale B 2 par un endomorphisme (qui n’est pas un automorphisme) de I’espace projectif est IinCairement compl&te. Ce rCsultat a un in&-&t particulier dans le cadre des surfaces lisses de PA.

Hyperplane sections and endomorphisms

of the projective space

We show that any hyperplane section ofa variety which is the inverse image of a smooth variety of dimension at least 2 by an endomorphism (which is not an automorphism) of the projective space, is linearly complete. We stress the case of smooth surfaces in P.%.

Introduction

G. Ellingsrud et C. Peskine ont dCmontr6 (voir [2]) que, except6 pour un nombre fini de composantes

du schCma de Hilbert, une surface lisse de P4 est de type gCnCra1. D’autre part, les seuls exe,mples connus de surfaces lisses irrkgulibres de P4 sont d’irrCgularit& Cgale 2 1 ou 2. Ces surfaces sont obtenues comme images r&iproques par des endomorphismes d’un nombre$fini de surfaces irrtguli&es connues. Et il est conjecturf5 de longue date que I’irrigularitC des surfaces de P4 est bornCe. Dans [6], Peskine conjecture que, except6 pour un nombre fini de composantes du schCma de Hilbert, la section hyperplane gCn&ale d’une surface lisse de P4 est lineairement complttte (voir 8 1). 11 suggkre aussi que la section hyperplane g&&ale d’une surface obtenue comme image rCciproque par un endomorphisme de P4 d’une surface irrCgulibre, est lintairement complkte, except6 peut-etre pour un nombre fini de familles de surfaces irrkgulikres. Nous montrons ici que toute section hyperplane d’une surface, :image rCciproque d’une surface par un endomorphisme (qui n’est pas un automorphisme), est 1inCairement compRte. Ce qui, vue la nature des surfaces irrCgulii?res connues, va dans le sens de la conjecture de Peskine. La dkmonstration repose sur une dCcomposition de certaines images directes de fib& ( 1.1)

Note pr&sentke par Jean-Pierre SERRE.

0764.4442/97/0324138 I 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris l381

G. Jamet

et conduit en fait a un enonce general sur les sections hyperplanes de varietes images reciproques de sous-varietes lisses par un endomorphisme de l’espace projectif (2.2). La derniere section regroupe quelques remarques sur l’adjonction de ces varietes.

1. DCcomposition de r,(Usr (IH’)).

Soit ‘rl un entier > 1. Soient P et 1” des espaces projectifs sur C de dimension n et H (resp. H’) une section hyperplane de P (resp. P’). Nous dirons qu’un sous-schema X d’un espace projectif P est line’airement complet si le morphisme de restriction : H’(P, Op(H)) + H’(X, 0,(H)) est surjectif.

Soient P’ 4 P un morphisme d’image non reduite a un point, done fini, surjectif et plat, X c P un sous-schema de de@ d et X’ = x-“(X) c P’ son image reciproque. Si T* ((3p(H)) = 13~) (kH’), X’ est de degre d.kcodin’(S). En particulier, K est de degre k’“.

Lorsque X est localement Cohen-Macaulay, on designera par W-Y son faisceau dualisant, et, dans ce cas, TT &ant fini et plat, X’ est aussi localement Cohen-Macaulay et son faisceau dualisant est

W-X-’ = T!(WS) (ou T!(F) est defini par T*T!(F) = H~~(T,(O-~,),F), voir [3] ou [4], 111.7). On souhaite Ctudier les faisceaux 0-y, (IH’) et, lorsque X est localement Cohen-Macaulay, WSI (1H’:l. et en particulier leur cohomologie. La proposition suivante et l’annulation des images directes superieures de T nous permettent de << travailler sur X >).

PROPOSITION I. 1. - Le jbr6 IT* ( OS! (1 H’)), I: E Z, se de’compose naturellement comme suit :

02 El,d est le conoyau de la multiplication :

H’(O,(H)) @ HO(~,(Cb(lH’))((d - 1)H)) + H’(~,(Op~(lH’))(dH)),

non nul exactement lorsque -[l/k] 5: d 5 S(TL: k, l), avec S(TL, k, I) = n + 1 + [- -1.

Dkmonstration de la proposition 1.1. - Comme T est affine, ~*(0~yj(lH’)) = ~,(0p~(lH’))l.~, on peut done supposer que X = P. Or, ~,(c?pj (ZH’)) est un fibre sur P et

Hi(7r,(0&H’))(dH)) = H”(&c((Z + k.d)H’)).

Le terme de droite s’annule pour 0 <: ,i < n. et tout entier d. Done K,(@ (IH’)) est une somme de fib& en droites. Un tel fibre est engendre en degre 5 6 si et seulement si

Hn(:r*(Op,(lH’))((S - n)H)) = 0,

ce qui est equivalent a 1+ k(S - n) >> -n - 1. Notons K,d = H”(r,(C3pl(lH’))(dH)) (la composante homogene de degre I + kd de l’anneau gradue de P’). Le diagramme commutatif suivant (ou I+ kd > 0 et les fleches horizontales (resp. verticales) sont induites par la multiplication des sections sur P (resp. sur P’)) :

H'(Op(H))@ &,d- ’ 1/I,d+l

montre que El,<{ = 0 entraine Et,d+l = 0. D’ou la decomposition annoncee.

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Sections hyperplanes et endomorphismes de I’espace projectif

1.2 Lorsque 71 n’est pas un automorphisme (c’est-a-dire k > l), on verifie que H’(Tr\-((H’)) = 0, done X’ est non dCgCnCrC.

1.3 D’autre part, si hl(ZAy(dH)) = 0 pour but d < s, alors

h’(Z.y/(IH’)) = 0 pour tout 1 < sk.

En effet, si .F est un faisceau coherent sur X, on a :

H@r*(F)(IH’)) cv Hi(F@ T$?YJ(~~'))).

En particulier, si h”(SAy) = 1 et si T n’est pas un automorphisme, X’ est lineairement complet. Remarquons cependant que h’(Zs(dH)) = 0 pour tout d si et seulement si hl(Zsl(ZH)) = 0 pour tout 1.

1.4 Si X est lisse, on sait d’apres le theoreme de transversalite de Kleiman (voir [5] ou [4], 111.10.8, p. 273) que, pour un automorphisme lineaire general (T, T-‘(ax) est lisse. Done, si X est lisse et en position generale, X’ est lisse et hi(Os,) = lli(c?Ay), % < dim(X).

Dans toute la suite, on supposera que T n’est pas un automorphisme (c’est-a-dire k > 1).

2. La section hyperplane

Soient X c P une variete lisse connexe, s une section non nulle de (3p,(H’) et us, la multiplication

par s : c?SJ 5 U,J(H’).

PROPOSITION 2.1. - Hi(pLg) est injective pow 1: < dim(X). Comme d’apres 1.2 et 1.3, l’image reciproque de X est lineairement complete et non dCgCnCrCe,

on en deduit :

COROLLAIRE 2.2. - Soient X C P une varie’te lisse de dimension au moins &ale L? 2, TT : P’ + P un endomorphisme gut’ n’est pas un automorphisme et X’ = n-‘(X). Alors, pour tout hyperplan H’ coupant X’ proprement, la section X’ n H’ est lineairement complete. En particulier, si X’ est irreductible, toute section hyperplane de X est lineairement complete.

Demonstration de la proposition 2.1. - D’apres la proposition 1 .l, n-*(,~~) se decompose sous la forme : 7rTT,(pL,) = (/~jl’~),,~~~ avec :

py : Eo.q (8 0.1. (-clH) - El,, @ 0x(-PH).

Remarquons que &” s’identifie a :

OS %H’(#p,(H’)) (8 OS.

En appliquant le theorbme d’annulation de Kodaira, on voit que, pour 1: < dim(X), H’(n, (/L,%)) se reduit a :

H’(O.\-) 2 H”(Op,(H’)) @ Hi(C3s)

qui est Cvidemment injective. Sans supposer X lisse, on demon&e de la m&me man&e :

PROPOSITION 2.3. - Soit j un entier. Si H’(C3~y (-dH)) = 0 p our tout entier % < j et tout entier d tel

que 0 < d 5 S(n: k, 0), alors Hi(pcl,) est injective pour tout entier i < j.

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C. Jamet

3. L’application canonique

On suppose toujours que X est lisse, connexe et en position g&r&ale. Si 0 5 1 < k et S1 = S(TL, k, I), on a 0 < Sr < n + 1. D’apres la proposition 1.1,

Un Clement non nul de EY, definit naturellement un morphisme non nul :

7T*(WAy(StH)) --f ws+1H’).

3.1 Si 1 = 0, on obtient une factorisation :

P(H”(wX,)) <--------- rt”

P(H”(wx(SoH))) <------- X,

La flbche verticale de gauche est une projection. 3.2 Si I = 1 et 61 > dim(X), on sait (voir [I], 8.8.5, p. 239) que w,(dim(X)H) est engendre par

ses sections sauf si (X,0,(H)) = (Pnl, Op,, (1)). D one, hormis ce cas, H”(ws~(-H’)) est + 0. Si s est une section non nulle de WSI(-IT’), le sysdme lineaire s @ H”(OA~~(H’)) c H”(wAv,), definit une application rationnelle qui est un plongement hors du lieu des zeros de s, et done l’application canonique de X’ est birationnelle.

En particulier :

PROPOSITION 3.3. - Soient S c P;1 une su$ace lisse et T : P4 + P4 un endomorphisme qui n ‘est pas un automorphisme. Alors, si S est en position g&&ale, S’ = 7r-l (S) est lisse et son jib& canonique est trks ample, sauf si S est un p1a.n et k = 2.

3.4 La surface S’ est done de type general, sauf dans le cas d’exception de la proposition, 5” &ant alors une surface de Del Pezzo.

Dkmonstration de la proposition 3.3. - Comme NsrP’ = r*(NsP), alors wsc @ I*” = (wp~@~*(wp)v),s~ = 0s,(5(k-l)l’I’). D one wsl = 7r*(ws(3H))@C3s,((2k - 5)H’). Cela delmontre le resultat puisque, sauf si S est un plan, ws(2H) est engendre par ses sections.

Note remise le 30 janvier 1997, acceptee aprbs revision le 7 avril 1997.

RCf&ences bibliographiques

[I] Beltrametti M. C. et Sommese A. J., 1995. The adjunction theory of complex projective varieties, de Gruyter Expositions in Math. 16. de Gruyter, Berlin. NewYork.

[2] Ellingsrud G. et Peskine C., 1989. Sur les surfaces lisses de PI, Invenr. Mafh. 95, p. l-1 1. [3] Hartshorne R., 1966. ResidueA and Duali~, Lecture Notes in Math. 20, Springer-Verlag, Heidelberg. [4] Hartshorne R., 1978. Algebraic Geometry, Graduate Text in Math. 52, Springer-Verlag, New-York. [5] Kleiman S. L., 1974. The transversality of a general translate, Compos. Math., 28. [6] Peskine C., 1994. Hilbert polynomials of smooth surfaces in P4. Comment, Mutematica Contemporcinea 7, p. 1.17.

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