Seba 2006

Bac Malien 2006 Sries :SET MTI MTGC Page 1 sur 5 Adama Traor Professeur Lyce Technique

Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique

C.N.E.C.E

Rpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un But Un But Un But Un But Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi

EEEEEEEEEEEEXXXXXXXXXXXXAAAAAAAAAAAAMMMMMMMMMMMMEEEEEEEEEEEENNNNNNNNNNNN :::::::::::: Baccalaurat malien BBBAAACCC SSSSSSSSSSSSEEEEEEEEEEEERRRRRRRRRRRRIIIIIIIIIIIIEEEEEEEEEEEESSSSSSSSSSSS SETSETSETSET SSSSSSSSSSSSEEEEEEEEEEEESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSIIIIIIIIIIIIOOOOOOOOOOOONNNNNNNNNNNN Juin. 2006

PPPPPPPPPPPPRRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEEUUUUUUUUUUUUVVVVVVVVVVVVEEEEEEEEEEEE DDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEEE :::::::::::: MathmatiquesMathmatiquesMathmatiquesMathmatiques DDDDDDDDDDDDUUUUUUUUUUUURRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEE :::::::::::: 4 heures CCCCCCCCCCCCOOOOOOOOOOOOEEEEEEEEEEEEFFFFFFFFFFFF :::::::::::: 5

EXERCICE 1 : (4,5 points)

1-/ Calculer les intgrales suivantes : a-/

0

1

2

121 dx

x

x (On pourra mettre 1212

x

x sous la forme ax + b + 12 x

c o a ; b ; et c sont trois rels que lon dterminera) (0,5pt) b-/ +

1

03 1 dxxx ( On pourra utiliser le changement de variable u = x+1) (0,5 pt)

2-/ a-/ Dcomposer les nombres 450 et 320 en produit de facteurs premiers (0,5 pt) b-/ Quel est le PGCD de 450 et de 320. (0,5 pt) c-/ Une pice rectangulaire a pour dimension 4,5m et 3,2m. On souhaite carreler cette pice avec un nombre entier de dalles carres, sans aucune dcoupe. Quel est le plus grand ct possible (en cm) de la dalle carre ? (1pt).

3-/ Dans le plan affine euclidien rapport un repre orthonorm on dsigne par (H) lellipse dquation : 4x2 + 9y2 8x + 36y + 4 = 0. Donner lquation rduite de (H) et prciser son centre, ses sommets et ses foyers.(1,5 pt).

EXERCICE 2 :.(4 points) Dans lensemble des nombres complexes on considre lquation (F) : 08)32(4)323(2)31(2 234 =+++++ zzzz . a-/ Dmontrer que si le complexe z0 est une solution de (F) alors il en est de mme pour son conjugu 0Z ( c'est--dire 0Z est aussi une solution de (F) ). (0,5pt) b-/ Vrifier que le complexe z0 =1 + i est une solution de lquation (F). En dduire une seconde solution z1 de lquation.(1 pt) c-/ Dterminer les deux autres solutions z2 et z3 de lquation (F). (1 pt) d-/ Reprsenter dans le plan complexe les points images des quatre solutions de lquation (F). (Le plan est rapport un repre orthonorm dunit graphique 1cm). (0,5 pt). e-/ Dterminer la nature du quadrilatre ainsi obtenu puis calculer en cm2 laire de sa surface. (1 pt)


Problme :.. (11,5 points)

Les parties I et II du problme sont indpendantes

Partie I P est le plan affine euclidien rapport au repre orthonorm );;( jiO direct. f et g sont les applications affines de P qui associent tout point M(x ;y) le point M(x ; y) telles que

=

+=

+=

+=

1'2'

:12'12'

:yyxx

getyyxxf

1-/ Pour chacune des applications f et g :

a-/ Dterminer lensemble des points invariants, prciser celles qui sont bijectives. (1pt)

b-/ Prciser la nature et les lments caractristiques de chacune delles (1pt).

2-/ Dterminer analytiquement la rflexion daxe dquation : y= x. (0,5pt)

Partie II

A-/ Soit f la fonction numrique variable relle x dfinie pour tout x 1 par :

)1(2)( xxe

xfx

=

On appelle () sa courbe reprsentative dans le plan muni dun repre orthonorm );;( jiO (on ne demande pas de reprsenter ()). 1-/ a-/ Etudier les limites de f en + et en 1. Interprter graphiquement ces rsultats.(1pt) b-/ Vrifier que pour x 1,f(x) peut scrire : .)1(2)( =

x

x

x

exf

x

En dduire la limite de f(x) lorsque x tend vers . (0,75pt)

2-/ a-/ Montrer que .)1(2)(' 2xxe

xfx

=

(0,5pt)

b-/ Etudier les variations de f. (0,5pt) c-/ Montrer que f admet un minimum que lon prcisera sur ]- ; 1[. (0,5pt)

B-/ On considre lquation diffrentielle (E) : y + 2y + y = 0, o y est une fonction deux fois drivable sur . 1-/ Rsoudre (E) . (0,5pt)


2-/ On considre les solutions de (E ) dont la courbe reprsentative passe par le point A(0 ;

21 ).

a-/ Montrer que ces solutions scrivent sous la forme .)21( xeax +

On note xa eaxxh += )21()( o a est un rel. (0,5pt)

b-/ Etudier le sens de variation de ha selon les valeurs de a et montrer que pour tout rel a 0, ha admet un extremum pour une valeur de x que lon dterminera en fonction de a. (1,25pt)

c-/ On note Ca la courbe reprsentative de ha et Sa le point de Ca correspondant lextremum de ha ; vrifier que pour tout rel a 0, Sa est un point de la courbe () de la partie A-/ (0,5pt).

3-/ Construire dans le plan muni dun repre );;( jiO (unit 4cm) les courbes Ca pour les valeurs suivantes de a : 21;0;2;

41

et . (2pts) 4-/ Soit un rel suprieur 2 ; on appelle D lensemble des points M du plan limit par laxe des abscisses, la courbe

41C et la droite dquation x = .

a-/ Exprimer

=

241 )( dtthI en fonction de ; on pourra utiliser une intgration par

parties ou se servir de lquation diffrentielle (E). (0,5pt)

b-/ Soit A ( ) la mesure de laire de D; quelle est la limite de A ( ) quand tend vers +. (0,5pt).


Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique

C.N.E.C.E

Rpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un But Un But Un But Un But Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi

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EXERCICE 1 : (5 points) 1-/ Calculer les intgrales suivantes : a-/

0

1

2

121 dx

x

x (On pourra mettre 1212

x

x sous la forme ax + b + 12 x

c o a ; b ; et c sont trois rels que lon dterminera) (0,5pt) b-/ +

1

03 1 dxxx ( On pourra utiliser le changement de variable u = x+1) (0,5 pt)

2-/ a-/ Rsoudre dans lquation : 23x 17y = 6. (0,5 pt) b-/ Dduire de ltude prcdente les entiers naturels A infrieurs 1000 tels que dans la division euclidienne de A par 23, le reste soit 2 et dans celle de A par 17, le reste soit 8. (1 pt) 3-/ P est le plan affine euclidien rapport un repre orthonorm. On considre lapplication affine f dfinie analytiquement par : )';'(');(: yxMyxMf a telles que

+=

+=

321

23

'

123

21

'

yxy

yxx

a-/ Vrifier que f est bijective. (0,5pt) b-/ Dterminer lensemble des points invariants par f. (0,5pt) c-/ f est-elle une isomtrie ? Justifier votre rponse. (1pt). EXERCICE 2 :.(4 points) Dans lensemble des nombres complexes on considre lquation (F) : 08)32(4)323(2)31(2 234 =+++++ zzzz . a-/ Dmontrer que si le complexe z0 est une solution de (F) alors il en est de mme pour son conjugu 0Z ( c'est--dire 0Z est aussi une solution de (F) ). (0,5pt) b-/ Vrifier que le complexe z0 =1 + i est une solution de lquation (F). En dduire une seconde solution z1 de lquation.(1 pt) c-/ Dterminer les deux autres solutions z2 et z3 de lquation (F). (1 pt) d-/ Reprsenter dans le plan complexe les points images des quatre solutions de lquation (F). (Le plan est rapport un repre orthonorm dunit graphique 1cm). (0,5 pt). e-/ Dterminer la nature du quadrilatre ainsi obtenu puis calculer en cm2 laire de sa surface. (1 pt)


Problme :.. (11 points)

Partie A Soit la fonction numrique f variable relle x dfinie sur ]0 ; +[par :

)11ln()( xxf ++= 1-/ Calculer les limites de f en 0 et en +. (0,5pt) 2-/ Etudier les variations de f sur ]0 ; +[. (1pt) 3-/ Soit (C) la courbe reprsentant les variations de f dans le plan muni du repre orthonorm );;( 21 eeO et A le point de (C) dabscisse 3. Calculer lordonne de A. Soit B le point de (C) dabscisse

45

; P le projet orthogonal de B sur laxe );( 1eO et H le projet orthogonal de B sur );( 2eO . Dterminer les coordonnes des points B ; P et H. Placer les points A, B, et H puis tracer la courbe (C) dans );;( 21 eeO . (2pts)

Partie B Soit r la rotation de centre O et dangle

2pi

. A tout point M daffixe z, la rotation r associe le point M daffixe z.

1-/ a-/ Exprimer z en fonction de z. (1pt) On note z = x + iy et z = x + iy ; (x ; y ; x ;y )4. Exprimer x et y en fonction de x et y puis x et y en fonction de x et y. (1pt) b-/ Dterminer les coordonnes des points A, B et P images respectives des points A, B et P par la rotation r. (1pt) 2-/ Soit g la fonction dfinie sur par : g(x) = e 2x + 2e x et () la courbe reprsentant les variations de g dans le repre );;( 21 eeO . a-/ Montrer que si M (C ), son image M par r appartient (). (1pt) b-/ Tracer sur le graphique prcdent la courbe () et les points A ; B et P. (1pt)

Partie C 1-/ Calculer

2ln

0)( dxxg . Interprter graphiquement cette intgrale. (1pt)

2-/ a-/ Dterminer en unit daire (u.a ), laire A du domaine plan limit par [AO], [OH] et [HB] et larc de courbe (C) dextrmits B et A. (1pt) b-/ Soit ( ) ++= 3

45 11ln dxxI . Trouver une relation entre A et I puis en dduire la

valeur de lintgrale I. (0,5pt).

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