SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MOSTEFA BEN BOULAID …eprints.univ-batna2.dz/346/1/Kamel BEZIH.pdf ·...

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEURET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MOSTEFA BEN BOULAID -BATNA2-

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

No D'ordre : /2017/

Srie :

Thse prsente et soutenue publiquement le 01/02/2017 pour obtenir le grade de Docteur en

Sciences

Spcialit : GENIE CIVIL

Option : STRUCTURES ET GEOMATERIAUX

PAR

Kamel BEZIH

Thme

CONTRIBUTION A L'ETUDE FIABILISTE DES PONTS EN

BETON ARME EN TENANT COMPTE DE LA VARIABILITE DES

PROPRIETES MECANIQUES DES SOLS

Devant le jury compos de :

KARECH Toufik Prsident Professeur Universit de Batna 2

KALLA Mahdi Rapporteur Professeur Universit de Batna 2

KHALFALLAH Salah Examinateur Professeur E.N.P de Constantine

BAHEDDI Mohamed Examinateur Professeur Universit de Batna 2

MABROUKI Abdelhak Examinateur Matre de confrences (A) Universit de Biskra

BOUZRIRA Cherif Examinateur Matre de confrences (A) Universit de Jijel

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Ce travail de recherche t effectu au sein du dpartement de Gnie Civil, de

l'Universit de Batna (Algrie), sous la direction du Professeur KALLA Mahdi

Et

En troite collaboration avec le Laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI) de

lUniversit Blaise PASCAL, Polytech Clermont-Ferrand, (France), sous la direction

du Professeur CHATEAUNEUF Alaa

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Remerciements

La ralisation dun travail de recherche dans le cadre dune thse de doctorat en sciences est une

aventure. Celle-ci commence par le choix dun sujet dans lequel chaque mot ou presque est une

nigme. Elle se poursuit par une succession de priodes denthousiasme ravageur et de doute

profonds. Elle se conduit en fin par la rdaction du mmoire, qui constitue sans doute la vritable

preuve. Mais cet exercice est au final passionnant, et il naurait pas t possible sans le soutien de

quelques personnes qui je souhaite exprimer ici ma reconnaissance.

Je tiens tout dabord remercier et tmoigner ensuite ma gratitude envers Monsieur le Professeur

Mahdi KALLA, pour mavoir propos un sujet de recherche ouvert, encadr mon travail et pour ses

encouragements, ses nombreuses ides, et toutes ses remarques constructives, mais il a su

galement me laisser une grande libert de manuvre pour explorer mes propres ides, ce dont je lui

sais particulirement gr. La clart de ses raisonnements scientifiques et ses qualits pdagogiques

ont t pour moi trs riches denseignement.

Toute ma gratitude sadresse Monsieur le Professeur Alaa Chateauneuf, pour l'accueil au sein de

son laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI) de Clermont Ferrand, et pour les multiples aides

scientifiques et morales dans le co-encadrement de ma thse. Sa contribution dans cette thse

dpasse le cadre scientifique et stend au niveau humain.

Je tiens remercier le Professeur Toufik KARECH, de lUniversit de Batna 2, qui ma fait lhonneur

dtre le prsident du jury de thse. Quil trouve ici ma gratitude et ma reconnaissance pour lintrt quil

a manifest pour ce travail.

Mes remerciements stendent tout naturellement lensemble des membres du jury : le Professeur

Salah KHALFALLAH, de l'Ecole Nationale Polytechnique de Constantine, Mohamed BAHEDDI,

Professeur luniversit de Batna 2, Abdelhak MABROUKI Matre de Confrences luniversit de

Biskra et Cherif BOUZRIRA Matre de Confrences luniversit de Jijel, pour lintrt quils ont

bien voulu porter mon travail et aussi davoir accept de lire et juger la prsente thse et ce malgr

leurs proccupations et leur emploi du temps assez charg.

Je tiens exprimer ma reconnaissance au Ministre de lEnseignement Suprieur Algrien pour son

soutien financier.

En fin, un grand merci mes parents pour leurs encouragements, mon pouse et mes enfants

(Ranim, Malakelhman et AbedelRahim), mes frres et mes surs, mes amis et collgues de

luniversit de Jijel et de luniversit de Batna 2 qui m'ont apport leurs soutient au prsent travail le

long de ces annes.

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, , , :

Rsum

Dans la conception des ponts en bton arm, le comportement alatoire et non linaire du sol peut

conduire des niveaux de fiabilit insuffisante. Pour cette raison, il est ncessaire de prendre en

compte de la variabilit des proprits du sol qui peuvent affecter de manire significative le

comportement de ces ouvrages vis--vis de l'tat limite ultime et de service. Dans cette tude, nous

dveloppons une approche mcano-fiabiliste pour calculer la probabilit de dfaillance des ponts en

bton arm existants sous les effets de l'interaction entre le sol et la structure. La modlisation

numrique de l'interaction sol-structure est mise en uvre par un modle mcanique de poutre en

bton arm sur des appuis lastiques non linaires. L'analyse de fiabilit mettent en vidence la

grande importance de l'interaction sol-structure et montre que la scurit des ponts en bton arm est

trs sensible la variabilit des proprits du sol, en particulier lorsque le comportement non linaire

du sol est considr.

Mots cls: Interaction sol-structure; incertitudes du sol; analyse de la fiabilit; pont en bton arm;

comportement non linaire.

Abstract

In the design of reinforced concrete bridges, the random and nonlinear behavior of soil may lead to

insufficient reliability levels. For this reason, it is necessary to take into account the variability of

soil properties which can significantly affect the bridge behavior regarding ultimate and

serviceability limit states. This study investigated the failure probability for existing reinforced

concrete bridge due to the effects of interaction between the soil and the structure. In this paper, a

coupled reliability-mechanical approach is developed to study the effect of soil-structure interaction

for bridges. The modelling of this interaction is incorporated into the mechanical model of

reinforced concrete continuous beams, by considering nonlinear elastic soil stiffness. The reliability

analysis highlights the large importance of soil-structure interaction and shows that the structural

safety is highly sensitive to the variability of soil properties, especially when the nonlinear behavior

of soil is considered.

Key words: Soil-structure interaction; soil uncertainties; reliability analysis; reinforced concrete

bridge; nonlinear behavior.

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Table des matires

Remerciements03

Rsum04

Liste des figures..09

Liste des tableaux11

Introduction gnrale......12

Chapitre 1: Revue de littrature

1.1 Introduction..14

1.2 Interaction sol-structure. 15

1.3 Formulation de l'interaction sol-structure15

1.4 Mthode de prise en compte de l'interaction sol-structure..18

1.4.1 Mthodes directes....18

1.4.2 Mthode indirecte ou mthode des sous-structures.20

1.4.3 Mthode hybride..20

1.5 Modlisation de linteraction sol-structure...21

1.6 lments bibliographique sur l'tude de linteraction sol-structure..24

1.6.1 Calcul dterministe...24

1.6.2 Calcul fiabiliste.25

1.7 Conclusion26

Chapitre 2 : Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de

rsolution numrique


2.2 Modles de comportement d'lasticit non linaire du sol...29

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2.2.1 Modles hyperlastiques.29

2.2.2 Modle hypolastique..30

2.2.2.1 Modle hyperbolique de Duncan...31

2.3 Donnes sur le modle hyperbolique de Duncan..37

2.4 Mthode de rsolution numrique en comportement non linaire.40

2.4.1 Mthode des lments finis en comportement non linaire..41

2.4.1.1 Modle numrique.41

2.4.1.2 Mthode de rsolution numrique : Mthode de Newton-Raphson.43

2.5 Conclusion44

Chapitre 3 : Thorie de la fiabilit et variabilit des sols


3.2 Thorie de la fiabilit...47

3.2.1 Mthodes de justifications de la scurit.47

3.2.2 Principe de la thorie de la fiabilit pour les ouvrages48

3.2.3 Mthodes de calcul de la fiabilit56

3.2.3.1 La mthode de premier ordre FORM.57

3.2.3.1.1 Interprtation physique de l'algorithme..59

3.2.3.2 Mthode de simulation de Monte Carlo..61

3.2.4 Sensibilit des variables..63

3.2.5 Organigramme de lanalyse de la fiabilit...62

3.3 Variabilit des sols...63

3.3.1 Diffrents sources de l'incertitude....63

3.3.1.1 La variabilit naturelle du sol et l'erreur de mesure....63

3.3.1.2 Incertitude des modles..63

3.3.2 Modlisation les incertitudes des paramtres du sol...64

3.3.2.1 Approche simplifie pour la modlisation des paramtres incertains du sol..64

3.3.2.2 Coefficients de variation des proprits des sols....65

3.3.2.3 Coefficient de variation des paramtres de cisaillement du sol......66

3.3.2.4 Lois de distribution de probabilit des paramtres de cisaillement du sol.....67

3.3.2.5 Le coefficient de corrlation 67

3.3.3 Approche avance pour la modlisation des paramtres incertains du sol.....68

3.3.3.1 Variabilit spciale...68

3.3.3.2 Variabilit naturelle.....68

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3.3.3.3 Fonction d'autocorrlation et la fonction d'autocovariance........69

3.3.3.4 Dtermination de la distance d'autocorrlation...71

3.4 Etat actuel des connaissances.....72

3.5 Conclusion...76

Chapitre 4 : Analyse dterministe et fiabiliste des ponts en bton arm

4.1 Introduction.77

4.2 Analyse dterministe78

4.2.1 Application aux cas des ponts en bton arm existants.78

4.2.2 Descriptif de l'ouvrage.......78

4.2.3 Reconnaissance gotechnique du pont d'Oued Medila..81

4.2.4 Calcul de la capacit portante partir de l'essai pressiomtrique..........82

4.2.5 Synthse sur l'tude des fondations...........82

4.2.6 Dimensionnement du pont selon lEurocode............82

4.2.7 Modle mcanique utilis..........82

4.2.8 Hypothses de modlisation..84

4.2.9 Rsultats numrique dterministe..85

4.2.10 Prise en compte de l'effet de linteraction sol-structure...........87

4.2.11 Etude paramtrique..87

4.2.11.1 Influence des paramtres du sol...........87

4.2.11.1.1 Effet de la contrainte de confinement du sol...........87

4.2.11.1.2 Influence de l'angle de frottement du sol.91

4.2.11.2 Etat limite de service (ou de dformation)...........92

4.2.11.2.1 Effet de la variabilit du sol sur le calcul du tassement...........92

4.2.11.2.2 tude du tassement sur sols homogne........92

4.2.11.2.3 tude du tassement diffrentiel sur sols htrognes...........96

4.3 Conclusion de la premire partie...........97

4.4 Analyse fiabiliste.98

4.4.1 Modle probabiliste de comportement du sol...........98

4.4.2 Optimisation du modle numrique.........99

4.4.3 Distribution de probabilit de la contrainte ultime du sol...........100

4.4.4 Loi de comportement probabiliste des sols in-situ........102

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4.4.5 Modles dterministes utiliss........103

4.4.6 Rsultats numriques dterministes........104

4.4.7 Analyse fiabiliste de l'effet de l'interaction sol-structure108

4.4.7.1 Mode de dfaillance et fonction dtat limite108

4.4.7.2 Analyse des variables et des incertitudes109

4.4.7.3 Simulation des variables.........110

4.4.8 Rsultats numriques fiabilistes........111

4.4.8.1 Sensibilit des variables alatoires...111

4.4.8.2 Impact de la variabilit du sol...114

4.4.8.3 valuation de la fiabilit de pont.119

4.5 Conclusion de la deuxime partie........121

Conclusion gnrale et perspectives..........123

Rfrences bibliographiques.........126

Annexe.........133

Annexe A..133

Annexe B..148

Annexe C..150

Annexe D..152

Annexe E..156

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Liste des figures Figure 1.1 : Dcomposition du problme d'interaction sol-structure..17

Figure 1.2 Systme sol-structure19

Figure 1.3 : Modlisation de l'interaction sol-structure : a) Encastrement parfait ; b) Ressorts

Elments finis. Tir de Davidovici (1999)...21

Figure 1.4 : Fondation reposant sur un sol modlis par des ressorts et un lment dinteraction.22

Figure 1.5 : Modle de Winkler......23

Figure 1.6 : Modle Mthode Hybride (Grange, 2008)... ..23

Figure 1.7 : Elment unitaire isole d'une poutre...23

Figure 1.8 : Interaction sol-poutre selon le modle de Winkler..23

Figure 2.1 : Reprsentation de la loi hyperbolique de Kondner....31

Figure 2.2 : Reprsentation transforme de la loi hyperbolique de Kondner..32

Figure 2.3 : Reprsentation de la courbe de cisaillement pour les phases de chargement

(a) et de dchargement rechargement (b) du modle hyperbolique..33

Figure 2.4 : Relation entre le module initial tangent d'Young Ei et la contrainte moyenne initiale...34

Figure 2.5 : Relation entre le coefficient de Poisson v et la contrainte moyenne initiale..35

Figure 2.6 : Schma de rsolution sans et avec itrations d'quilibre, tir de Chateauneuf (2010)...42

Figure 3.1 : Mthodes d'estimation de la probabilit de dfaillance Pf : mthodes de niveau

2 ( gauche) et mthodes de niveau 3 ( droite)..48

Figure 3.2 : Domaine de dfaillance, tat limite et domaine de scurit49

Figure 3.3: Distribution de la densit de probabilit et domaine de dfaillance.49

dans l'espace physique de deux variables alatoires, tir de Chateauneuf (2009)...49

Figure 3.4 : Fonctions de densit des variables de rsistance R et sollicitation S,

tir de Melchers (1999)...50

Figure 3.5 : Distribution de la marge de scurit M=R-S...50

Figure 3.6 : Fonction de densit conjointe ),( srf RS , domaine de scurit et de dfaillance,

de tir de Melchers (1999)...51

Figure 3.7: Courbe de la probabilit de dfaillance Pf en fonction de lindice de fiabilit ,

tir d'un rapport d'tude Setra, (2012).....52

Figure 3.8 : Reprsentation gomtrique de lindice de fiabilit , du point de conception

P* dans l'espace rduit.53

Figure 3.9 : Indice de fiabilit de Cornell...54

Figure 3.10 : Indice de fiabilit et transformation de lespace des variables,

tir de Chateauneuf (2009)...55

Figure 3.11: Solution du point de conception dans l'espace de base x57

Figure 3.12: Illustration de l'itration de l'algorithme HLRF, tir de Youssef Abdel Massih,

(2008)...59

Figure 3.13 : Illustration de la mthode de Monte Carlo, tir de Nguyen et al., (2007).....60

Figure 3.14 : Organigramme de lanalyse de la fiabilit, tir de Chateauneuf, (2009)..62

Figure 3.15 : Types des incertitudes des proprits du sol, tir de Kulhawy (1992)..63

Figure 3.16 : Variabilit spatiale des proprits du sol, tir de Phoon et Kulhawy (1999)....68

Figure 3.17 : Estimation de la distance d'autocorrlation verticale, tir de Youssef,2008)...72

Figure 4.1 : Vue gnrale du pont d'Oued Medila Tebessa......79

Figure 4.2 : Vue d'une partie du pont daccs ct EL Meita.79

Figure 4.3 : Coupe transversale du tablier sur la pile de pont.80

Figure 4.5 : Vue d'une partie de pont daccs ct intermdiaire...81 Figure 4.6 : Modle mcanique du pont en bton arm trois traves83

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Figure 4.7 : Schma statique du 1er cas de chargement..86

Figure 4.8 : Schma statique du 2me

cas de chargement...86

Figure 4.9 : Schma statique du 3me

cas de chargement...86

Figure 4.10 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont

(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa1353 )89

Figure 4.11 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont.

(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa2603 )90

Figure 4.12 : influence de l'angle de frottement sur le dplacement du pont.91

Figure 4.13 : Gomtrie du problme.93

Figure 4.14 : Courbes effort-dplacement pour diffrentes valeurs du module d' Young pour :

(a) la pile du pont, (b) la cule du pont. Cas d'un sol homogne94

Figure 4.15 : Tassement absolu et le tassement diffrentiel des lments du pont

pour diffrentes valeurs du module d' Young. Cas d'un sol homogne.95

Figure 4.16 : Rotation absolu des appuis du pont pour diffrentes valeurs du module

d' Young. Cas d'un sol homogne..95

Figure 4.17: Courbes effort-rotation pour diffrentes valeurs du module d' Young.

Cas d'un sol homogne....95

Figure 4.18: Courbes tassement diffrentiel pour diffrentes valeurs du module

d' Young de l'appui C. Cas d'un sol htrogne96

Figure 4.19: Courbes contrainte-dformation pour l'chantillonnage alatoire

des paramtres sols.99

Figure 4.20 : Evolution des paramtres du modle de Dancan en termes

d'angle de frottement du sol100

Figure 4.21 : Approximations de la densit de probabilit de la contrainte ultime et

la contrainte de confinement du sol par les simulations de Monte Carlo101

Figure 4.22: Les rsultats typiques de la simulation de Monte Carlo entre

le coefficient de variation de la contrainte ultime et l'angle de frottement interne du sol....102

Figure 4.23 : Courbe force diplacement dans la poutre du pont

(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa453 )..106

Figure 4.24 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont

(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa453 )..107

Figure 4.25: Organigramme de l'algorithme de la procdure de couplage

mcano-fiabiliste en utilisant LIFREL et le modle lment finis...110

Figure 4.26 : volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance

lie lcart-type de paramtre de cisaillement du sol )( et le moment rsistant de l'appui B112

Figure 4.27 : volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance

lie lcart-type de paramtre de cisaillement du sol )( et le moment rsistant de la trave 1..113

Figure 4.28: volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance lie

lcart-type de paramtre de cisaillement du sol et le moment rsistant de la trave 2..113

Figure 4.29 : Probabilit de dfaillance en fonction de COV de l'angle de frottement

avec loi de comportement linaire sol.115

Figure 4.30 : Probabilit de dfaillance en fonction de la dispersion de l'angle de friction

pour un comportement linaire et non linaire du sol: (a) appui B, (b) trave 1 et (c) trave 2..116

Figure 4.31 : Facteurs d'importance dans les sections de la poutre du pont : (a) l'appui B,

(b) trave 1 et (c) trave 2....118

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Figure 4.32 : Probabilit de dfaillance en fonction de la dispersion de l'angle de frottement..119

Figure 4.33 : Facteurs d'importance des paramtres du modle:

(a) appui B, (b) trave 1 et (c) trave 2120

Liste des Tableaux

Tableau 2.1 : Proprits de rigidit des sols prsent par Duncan et al. (1980).37

Tableau 2.2 : Paramtres de modle de Duncan utilises par diffrents chercheurs.39

Tableau 3.1 : Relation entre indice de fiabilit et probabilit de dfaillance (Cremona, 2010).53

Tableau 3.2 : Coefficient de la variation COV(%) de quelques proprits gotechnique du sol...66

Tableau 3.3 : Diffrents types de la fonction d'autocorrlation unidimensional, d'aprs

Baecher and Christian (2003)..71

Tableau 4.1 : Rsultats de la reconnaissance gotechnique du pont d'Oued Medila..81

Tableau 4.2 : Les rsultats des essais pressiomtrique.. 82

Tableau 4.3 : Caractristiques gnrales du pont en bton arm tudi.83

Tableau 4.4 : Valeurs des moments maximaux en traves et sur appuis sur la poutre sous

la charge permanente G, les surcharges variables {UDL et QT}, et les surcharges concentres TS..85

Tableau 4.5 : Valeurs de ractions maximales sur les appuis de la poutre

sous les surcharges concentres TS.....85

Tableau 4.6 : Valeurs des moments longitudinaux maximaux en traves et sur appuis B

sur la poutre l'E.LU et E.L.S..86

Tableau 4.7 : Valeurs des moments longitudinaux maximaux en traves et sur appuis B

sur la poutre l'E.LU et E.L.S..87

Tableau 4.8 : Les paramtres du modle hyperbolique du sol...87

Tableau 4.9 : Tableau rcapitulatif des moments maximaux totaux en trave 1 et 2 et

sur l'appui B, lE.L.U....88

Tableau 4.10 : Influence des paramtres du sol..91

Tableau 4.11: Paramtres de module initial pour diffrents valeurs d'angles de frottement

des sols sableux (d'aprs Selig et al.,1988) ..100

Tableau 4.12 : Tableau rcapitulatif des moments maximaux totaux en trave et sur l'appui .

lELU.105

Tableau 4.13 : Variables alatoires et lois de probabilit retenues dans ltude du pont

poutres en bton arm lELU...111

Tableau 4.14 : Variables alatoires pour l'analyse de la poutre du pont en bton arm l'ELU114

Tableau 4.15 : Rsultats de fiabilit des sctions de la poutre du pont pour differents

COV de l'angle de frottement....121

Introduction gnrale

12 | P a g e

Introduction gnrale

Dans les mthodes de conception courantes des ponts en bton arm, le comportement complexe du

sol est pris en compte par l'utilisation de bornes d'encadrement, conduisant soit un

surdimensionnement coteux, soit une sous-estimation de la fiabilit. Or la performance de ces

ouvrages dpond, dans la majorit des cas, de l'interaction entre le sol et la structure. Pour atteindre

cet objectif, notamment en termes de fiabilit et de durabilit, la prise en compte des incertitudes sur

les proprits mcaniques du sol, prsente un intrt majeur pour la gestion de la dure de vie des

ouvrages en service, o la scurit, le cot et la performance sont les critres principaux. Pour cette

raison, lanalyse des ouvrages en bton arm existants se doit dtre dveloppe sur la thorie de la

fiabilit, qui constitue un des outils les mieux adapts, car elle permet de tenir compte des

incertitudes inhrentes aux dimensions gomtriques des lments de louvrage, et aux

caractristiques des matriaux (i.e; bton sol). La prise en compte des incertitudes peut tre

effectue par une modlisation de type : variables alatoires ou champs stochastiques. Toutefois, ces

modles posent de grandes difficults, autant sur le plan de lefficacit numrique de la procdure de

calcul, que sur linterprtation des rsultats et leur exploitation pratique. Ce challenge ncessite un

travail approfondi et rigoureux pour aboutir des recommandations utiles pour la construction et

lexploitation des ponts en bton arm.

Lobjectif de la thse consiste en ltude mcano-fiabiliste des ponts en bton arm, ainsi que le

dveloppement dune dmarche probabiliste pour dterminer le dimensionnement de ces ouvrages

l'tat limite ultime (l'E.L.U) et l'tat limite de service (l'E.L.S). Cette tude permettra didentifier

les rles des diffrentes variables dans la scurit des ponts en bton arm, afin de pouvoir laborer

des propositions rglementaires.

Le prsent travail est compos de quatre chapitres :

Le premier chapitre porte sur la prsentation dun tat dart, qui consiste de prendre connaissance

gnrale de la bibliographie existante sur l'effet de l'interaction sol-structure pour analyser le

comportement des structures en bton arm. Tout d'abord, on expose dans un premier temps une

description du phnomne de l'interaction sol-structure, ainsi que les mthodes de prise en compte de

l'interaction. Ensuite, nous prsentons les modles d'interactions dterministes ou probabilistes

utilises dans la littrature l'tat limite ultime (l'E.L.U) et l'tat limite de service (l'E.L.S).

Introduction gnrale

13 | P a g e

Dans le deuxime chapitre, des modles de comportement non linaire du sol, afin de dcrire de

manire approche le comportement rel du sol, suivie de la mthode de rsolution itrative de

"Newton-Raphson" sont galement prsentes.

Le troisime chapitre dans cette thse se divise en deux parties. La premire partie prsente la

thorie de la fiabilit et la deuxime partie prsente la variabilit des sols. Concernant la premire

partie, tout d'abord, on expose les diffrentes mthodes dvaluations et les techniques de calculs

classiques en fiabilit (FORM, ou Monte-Carlo). En suite, nous prsentons d'autres mthodes

probabilistes utilises dans la littrature pour l'analyse du comportement des structures en bton

arm. Enfin, nous prsentons les outils de la thorie de la fiabilit comme par exemple, la fonction

de performance, les indices de fiabilit et la probabilit de dfaillance. Pour la deuxime partie de ce

chapitre, on expose une analyse et des modlisations par variables alatoires des paramtres

incertains du sol sur la fiabilit des structures en bton arm rencontrs dans la littrature.

Le quatrime chapitre traite d'une part, le dimensionnement des ponts en bton arm selon les rgles

nonces dans les Eurocodes applicables aux ponts en bton arm en tenant compte de l'interaction

sol-structure. Nous prsentons le modle numrique aux lments finis utilisant le logiciel Matlab

sur un cas du pont en bton arm rel (existant) en Algrie, dont les donnes gotechniques sont

connues (note de calcul standards, sol, gomtrie de louvrage,..), et les rsultats numriques

correspondants. Enfin, une tude paramtrique de la variabilit des proprits du sol sera prsente,

pour objectif davoir des propositions des variables dterministes intervenant dans le processus

dvaluation dun ouvrage capables de fournir aux gestionnaires douvrages les phases de

performance. D'autre part, des simulations numriques des variables alatoires par lutilisation de

logiciel LIFEREL sont prsents afin dcrire lquation de la fonction dtat, pour dterminer les

contraintes limites et les contraintes rsistantes dans le sol et de l'ouvrage, et pour le but aussi de

dfinir des indices de fiabilit et les probabilits de dfaillance de faon explorer par le calcul, les

variables alatoires les plus courantes lies la perte de la capacit portante, et les diffrents type de

chargements (permanents et variables) sur la structure. La corrlation entre les variables et la

sensibilit de celleci sera prsente.

Enfin, une conclusion gnrale permet de faire une synthse des rsultats obtenus et de tirer quelques

perspectives sur des suites lies cette tude.

Revue de littrature Chapitre 3

14 | P a g e

Chapitre 1

Revue de littrature

1.1 Introduction

La fiabilit des ponts en bton arm est d'une grande importance pour un bon fonctionnement en

conditions relles, leurs analyses et les mcanismes d'endommagement de ces ouvrages constituent

une proccupation majeure des maitres d'ouvrages et des gestionnaires des rseaux routiers. Compte

tenu de la complexit du comportement non linaire du sol et de la structure, ainsi que du

chargement, ces facteurs peuvent acclrer la dgradation et la rduction de la dure de vie de ces

ouvrages et mme parfois conduire leurs effondrements. Alors, la perte de la capacit portante est

actuellement devenue un mode fondamental de dfaillance possible. En fait, cette perte de capacit

peut provenir de la variabilit des proprits du sol qui peut influencer le type de

sollicitations: (moments de flexion ou effort tranchant) dans l'ouvrage.

Le terme interaction sol-structure est utilis aujourdhui pour caractriser les situations o le

comportement d'un ouvrage en bton arm (ponts, btiment,..) ne peut pas tre valu de faon

prcise sans considrer aussi le comportement du sol en contact et de leur interface. Du point de vue

de l'ouvrage, le but dune analyse tenant compte de linteraction sol-structure avec la considration

des aspects non-linaire et alatoire du sol est de dterminer leffet de l'action du sol sur l'ouvrage,

c'est--dire principalement les pressions de contact, en fonction de la dformation de la structure.

Pour cette raison, la variabilit des proprits du sol doit tre prise en compte dans l'analyse et la

conception du systme sol-ouvrage, ceci pour pouvoir procder aux vrifications ncessaires son

dimensionnement, afin d'assurer une conception fiable et conomique.

Ce chapitre est consacr dans un premier temps la description du phnomne de l'interaction sol-

structure : les formulations, ainsi que les mthodes de prise en compte de l'interaction, sont

prsents. Dans un second temps, une synthse bibliographique sur l'tude de l'interaction : (modles

dterministe ou probabiliste), sont rappeles et enfin, une conclusion de cette tude est prsente en

fin de chapitre.


15 | P a g e

1.2 Interaction sol-structure

Linteraction sol-structure est souvent nglige par les ingnieurs lors de lanalyse des ponts en

bton arm, cependant les mcanismes de rupture et les rpartitions des efforts peuvent tre

diffrents suite une analyse qui tient compte de l'interaction sol-structure.

De manire gnrale, les effets de linteraction varient en fonction du type de l'ouvrage considr.

Dans le cas dun pont, il est difficile priori de dterminer si ses effets vont faire augmenter ou

diminuer sa rponse, ces derniers semblent tre contrls par les phnomnes suivants (Mylonakis,

Nikolaou et Gazetas, 2006) :

lamortissement du systme : si la priode fondamentale du support flexible du pont est

significativement infrieure celle du sol alors la rponse du systme diminuera;

la rsonnance entre le sol et la structure : si linteraction sol-structure a pour effet le

rapprochement de la priode naturelle fondamentale vers la priode effective du sol alors la

rponse augmentera;

la double rsonnance : si la priode naturelle fondamentale du systme concide avec la

priode naturelle du sol et la priode prdominante du sisme alors la rponse augmentera

trs fortement;

les effets des non linarits : elles peuvent faire augmenter la priode naturelle effective du

sol et de la structure provoquant ainsi des phnomnes de rsonnance. Ces non linarits

peuvent tre de type matriel, comme les effets post lastiques dans la structure ou

linlasticit du sol, ou gomtrique, savoir la sparation entre le sol et la fondation, le

glissement linterface sol-fondation, le soulvement de la fondation et mme la perte de la

capacit portante du sol consquence du dveloppement de pressions interstitielles

(Gerolymos et Gazetas, 2006a).

1.3 Formulation de l'interaction sol-structure

Avant d'examiner les diffrentes mthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure, il est

utile de formuler de faon gnrale le problme. Cette formulation est oriente vers un traitement par

lments finis du phnomne de l'interaction. En effet, la complexit du problme est telle que le

recours aux mthodes numriques est pratiquement invitable. Les quations du mouvement sont

obtenues par rfrence la figure (I.1) qui schmatise un ensemble sol-structure.

Dsignant par [M], [C] et [K] les matrices de masse, amortissement et raideur du systme, l'quation

du mouvement s'crit :


16 | P a g e

FUKUCUM

...

(1.1)

ou:

- le vecteur F reprsente le chargement extrieur exerce sur le systme sol-structure ;

- U ,

.U ,

..U dsignent respectivement les vecteurs dplacement, vitesse et acclration.

Comme la source du mouvement (foyer du sisme) n'est gnralement pas incluse dans le modle, le

vecteur de charge F n'a de valeurs non nulles que sur la frontire extrieure du modle.

En l'absence de structure, l'quation du mouvement du champ libre est analogue de par sa forme

l'quation (1.1); les indices f dsignant les matrices masses, amortissement et raideur relative au seul

champ libre, cette quation s'crit :

ffff

f

f

f FUKUCUM

...

(1.2)

avec :

fi UUU (1.3)

L'quation (1.3) dfinit le dplacement d'interaction iU qui satisfait l'quation :

iiii

FUKUCUM

...

(1.4)

avec :

fff

f

f

fi UKKUCCUMMF

...

(1.5)

Le vecteur de charge iF est dtermin partir des dplacements en champ libre. Pour les systmes

linaires, on a alors le thorme de superposition illustr sur la figure (1.1): le problme d'interaction

est dcompos en la somme d'un problme de rponse du sol en champ libre (q 1.2) et d'un

problme source (q 1.4) o les forces appliques iF n'ont de composantes non nulles qu'aux

nuds communs la structure et au sol. Ce dernier problme est, par essence, analogue un

problme de vibration de machine. Le dplacement total pour le problme d'interaction est alors

donn par l'quation (1.3). L'quation (1.5) met clairement en vidence le fait qu'il y a interaction ds

qu'il y a diffrence de masse ou de raideur entre le sol et la structure. Supprimons pour simplifier le

terme d'amortissement dans cette quation et restreignons le problme celui d'une structure pose


17 | P a g e

la surface du sol et soumise la propagation verticale d'ondes de volume (cisaillement ou

compression).

Figure 1.1 : Dcomposition du problme d'interaction sol-structure

Dans ces conditions, en champ libre, tous les points de la surface du sol sont anims d'un mme

mouvement. Si la fondation de l'ouvrage est infiniment rigide, le dernier terme de l'quation (1.5)

s'annule; le vecteur de charge iF se rduit :

f

fi UMMF

..

(1.6)

Les forces iF appliques la base de la structure engendrent un mouvement du support,

quivalent un champ de forces d'inertie dans la structure. Par suite, l'interaction ne rsulte que des

forces d'inertie dveloppes dans cette structure. On lui donne le nom d'interaction inertielle.

A l'oppos, considrons une structure enterre dont la masse est nulle hors du sol et gale (en valeur

et rpartition) celle du sol pour la partie en terre. Les forces iF ont alors pour expression :

ffi UKKF (1.7)

Elles ne rsultent que de la diffrence de raideur pour la partie en terre, entre le sol et la structure.

Mme sans diffrence de masse, il y a interaction; on lui donne le nom d'interaction cinmatique.

Elle rsulte de la raideur de la fondation qui l'empche de suivre les mouvements imposs par le sol.

Dans le cas le plus gnral, l'interaction rsulte d'une interaction inertielle et d'une interaction

cinmatique (Mylonakis, Nikolaou et Gazetas, 2006).

Linteraction cinmatique (kinematic interaction) correspond aux effets de londe incidente

sur le systme compos de la fondation et du sol, avec une superstructure de masse nulle

provoquant ainsi un mouvement de fondation en entre (foundation input motion) diffrent


18 | P a g e

de celui du sol en champ libre (soil free-field) (Mylonakis, Nikolaou et Gazetas, 2006). Ceci

est une consquence de la propagation de londe dans un milieu aux proprits changeantes,

induisant notamment des effets de dispersion (scattering effect) dus aux rflexions et

rfractions de londe incidente (Villaverde, 2009).

Linteraction inertielle (inertial interaction) correspond la rponse dynamique couple du

systme global, compos du sol, des fondations et de la structure, soumis aux forces rsultant

de lacclration de la superstructure due linteraction cinmatique (Mylonakis, Nikolaou et

Gazetas, 2006). Ainsi, la flexibilit du milieu supportant la structure permet la dissipation

dune partie de lnergie vibratoire par radiation des ondes loin de la structure et par

dformation hystrtique du sol (Villaverde, 2009).

La figure (1.1) et les raisonnements prcdents illustrent les deux grandes mthodes d'approche de

l'interaction sol-structure. La figure 1.1a correspond aux mthodes globales dont la solution est

obtenue par rsolution directe de l'quation (1.1). Elles ne font intervenir aucune notion de

superposition et sont donc thoriquement adaptes aux problmes non linaires. Alternativement, les

mthodes de sous-structures s'appuient sur la dcomposition des figures 1.(b)-1.(c), ou sur des

dcompositions analogues, pour rsoudre le problme par tapes. Ces mthodes ne sont bien entendu

applicables qu'aux problmes linaires, justifiables de superposition.

1.4 Mthode de prise en compte de l'interaction sol-structure

Parmi les mthodes de prise en compte de l'interaction sol structure on peut distinguer les mthodes

globales, qui rsolvent, comme leur nom l'indique, le problme global de la figure 1.(a), et celles qui

s'appuient sur une dcomposition du systme en sous systmes, dans l'esprit de la figure 1.(b)-1.(c);

ces mthodes sont dsignes sous le nom gnrique de mthodes de sous structure.

1.4.1 Mthodes directes

Ces mthodes modlisent et analyse simultanment, lensemble form du sol et de la structure,

soumis un sisme appliqu au champ libre et aboutissent donc la dtermination du mouvement de

la structure et du sol en mme temps. Elles permettent galement de prendre en compte les

problmes de non linarits lis au comportement des matriaux mais aussi aux interfaces sol-

structure (Pecker, 1984).


19 | P a g e

Les lments sol, fondation et structure sont considrs avec leur comportement et conditions de

contact dans la mme analyse, comme il est montr dans la figure 1.2. Le calcul est effectu en une

seule tape. Ces approches permettent de prendre en compte des aspects importants de linteraction

sol-structure, notamment lhtrognit du sol, la prsence de l'eau, le comportement non linaire et

irrversible des gomatriaux et les conditions de contact sol-structure.

Figure 1.2. Systme sol-structure

a) Mthode de la rigidit de la fondation Le comportement des fondations est reprsent par des lments simples, comme des ressorts

et des amortisseurs, dont le comportement peut tre non linaire, ou dpendant de la frquence. Ils

sont alors placs, pour chaque degr de libert, au niveau de la semelle. Cette mthode est

relativement simple mettre en ouvre dans un logiciel dlment finis. De plus, il existe dans la

littrature diverses configurations de ressorts-amortisseurs-masses, dont les proprits sont

facilement calculables laide de formules ou dabaques. Les plus connues sont celles proposes par

Gazetas (1991) ou encore celles de Meek et Wolf (1994) et (Jeremic et al., 2009).

b) Courbes P-y partir de donnes exprimentales, le comportement du sol est modlis par des courbes

reprsentant la rsistance latrale en fonction de la dformation. Une fois implantes dans un logiciel

de structure, elles permettent la prise en compte du comportement non linaire du sol. Bien que cette

mthode soit largement utilise en statique, elle est peu utilise dans le cas dynamique (Jeremic,

Preisig et Jie, 2009).

c) Approche complte (Full 3D)

Dans cette mthode, les dplacements ne sont pas seulement obtenus pour la structure, mais

galement pour le sol. Lutilisation de la mthode de discrtisation (lments finis, lments

frontires) ncessite une modlisation borne dun milieu infini, et donc lutilisation des bornes


20 | P a g e

artificielles. Ces bornes artificielles doivent reprsenter la radiation dnergie et les effets du champ

lointain sur le champ proche, sans pour autant induire des effets de rflexion des ondes. Les deux

types de bornes les plus utiliss sont les bornes visqueuses (viscous boundary) et les bornes

cohrentes (consistent boundary). Dans le premier cas, des mortisseurs visqueux absorbant lnergie

sont placs la frontire du modle, tandis que dans le second cas, les forces dinteraction sont

appliques comme conditions aux limites dans lanalyse (Dowrick, 1987; Villaverde, 2009).

1.4.2 Mthode indirecte ou mthode des sous-structures

Afin de rduire la complexit, les cots et le temps lis aux diffrentes mthodes directes, la

mthode des sous-structures dcompose le problme en sous problmes plus maniables. Elle

sappuie sur le thorme de superposition et exige donc la linarit du comportement de lensemble.

Ainsi le module de cisaillement (G) et le facteur damortissement interne () (caractristiques du

sol), doivent tre compatibles avec le niveau de dformation moyen induit

sous louvrage (Pecker, 1984). La mthode dcompose exactement les effets de linteraction

cinmatique de ceux de linteraction inertielle, qui dans le cas dune approximation fait par un

ingnieur, peut tre utilise pour des systmes modrment non linaires (Mylonakis, Nikolaou et

Gazetas, 1997). Il existe principalement deux familles de mthodes des sous-structures, les mthodes

de frontires et les mthodes de volume. Elles se distinguent par la manire dont le systme global

est dcompos (Pecker, 1984).

1.4.3 Mthode hybride

Afin de saffranchir de ltape de dtermination de limpdance de la fondation qui peut savrer

longue et dispendieuse lorsquil nexiste pas de solution publie, une mthode hybride a t

dveloppe. Le sol est spar en champ libre et champ lointain, et est modlis par une matrice

dimpdance (figure 1.3). Cependant les problmes de diffraction linterface des deux champs

limitent fortement lintrt de la mthode (Pecker, 1984). Le champ lointain reste suffisamment

loign de la fondation pour quil ne soit pas influenc par linteraction sol-structure, et donc quil

puisse tre considr comme lastique. Il peut tre modlis par des mthodes adaptes aux

problmes linaires, par exemple, les impdances dynamiques. Le champ proche, proximit de la

fondation, inclut toutes les htrognits et non linarits du systme. Il sintgre dans le modle de

la superstructure et peut tre trait par une mthode directe, par exemple la mthode des lments

finis. Paolucci et Pecker (1997) et ont dvelopp les modles sous chargements cycliques et

dynamiques en 2D pour la fondation filante en prenant compte le dcollement de la fondation. Plus


21 | P a g e

rcemment, le modle a t complt par Grange, (2008), Grange et al (2008). Dans ce modle, les

fondations: filante, rectangulaire et circulaire, sont implantes sous chargements: statique, cyclique

et dynamique en 3D avec un nouveau modle de dcollement.

Figure 1.3. Mthode Hybride (Grange, 2008)

1.5 Modlisation de linteraction sol-structure

Linteraction sol-structure est frquemment modlise par une structure fonde en surface sur un sol

homogne (solide lastique) et horizontal dont les proprits mcaniques sont connues et constantes.

La modlisation dune structure ne doit pas se faire avec un encastrement parfait sa base (Figure

1.4-a) si de grande dformation du sol son prvisibles. Cela est par exemple le cas des structures trs

rigides fonds sur un sol de rsistance mcanique moyenne, les dformations les plus importantes

pouvant alors se produire dans le sol plutt que dans la structure. La modlisation est ainsi amene

tre faite en reprsentant le sol par des ressorts (Figure 1.4-b) ou des lments finis (Figure 1.4-c).

Figure 1.4. Modlisation de l'interaction sol-structure :

a) Encastrement parfait ; b) Ressorts ; c) Elments finis. Tir de Davidovici (1999).

Afin de simplifier les actions de l'ouvrage dans lanalyse de linteraction sol-structure, il est courant

de modliser la structure par un lment poutre caractris par une rigidit (EI) et le sol comme un

milieu lastique homogne et isotrope (Frantziskonis et Breysse, 2003 ; Franzius et al., 2005 ;

Jahangir, 2011 Elachachi et al., 2004, 2012 et 2014). La majorit des solutions traitant la poutre


22 | P a g e

pose sur la fondation lastique est base sur le thorme dEuler-Bernoulli o la dformation due au

cisaillement est nglige (Morfidis et Avramidis, 2002).

Lapplication dune charge engendre des dformations et une redistribution des contraintes dans le

sol au voisinage de la fondation. Cette redistribution des contraintes dpend de la rigidit de la

fondation, des proprits de linterface et de la nature du sol. La connaissance de ltat de contrainte

au contact sol-fondation est ncessaire pour un dimensionnement raliste qui prend en compte le

seuil de la capacit portante du sol. Cette contrainte au contact joue un rle prpondrant dans

ltude de linteraction sol-structure (Jahangir, 2011).

Pour calculer les contraintes sexerant sous une fondation reposant sur un milieu lastique, Winkler

(1867) a suppos que la raction du sol chaque point sous la fondation est proportionnelle la

dflection de la fondation en ce point. La dformation verticale caractristique de la fondation est

donc dfinie par lutilisation de ressorts identiques, indpendants, troitement espacs, discrets et

linairement lastiques. La constante de proportionnalit de ces ressorts est connue comme tant le

coefficient de raction du sol KS

(Figure 1.5).

Figure 1.5. Modle de Winkler.

Linconvnient de ce modle est quil ne prend pas en compte linteraction entre les ressorts, ce qui

revient ngliger le cisaillement vertical dans le sol. En consquence, une discontinuit de

dplacement se cre entre la zone charge et la zone non charge sous la fondation.

Le modle de Winkler peut tre amlior en introduisant certaines formes d'interaction entre les

ressorts tels que des lments en flexion, poutres dans une dimension (1D), ou plaques (2D),

(Hetnyi, 1946), des couches de cisaillement, des membranes sous traction constante (Kerr, 1964).

Ces modles ont un autre paramtre constant qui caractrise l'interaction entre les ressorts (Figure

1.6).

Figure 1.6. Fondation reposant sur un sol modlis par des ressorts et un lment

dinteraction.


23 | P a g e

Si on modlise la fondation par une poutre reposant sur un modle de sol de Winkler, alors un

lment de longueur dx, de la poutre peut tre isol tel que prsent sur la Figure 1.7.

La raction du sol et les sollicitations comme le moment flchissant et les efforts tranchants sur ses

deux cts sont galement reprsents.

Figure 1.7 : Elment unitaire isole d'une poutre.

La relation entre la contrainte sous la fondation et le dplacement de cet lment unitaire est

donne par :

xwkxp . (I.8)

avec :

p(x) : raction de llment unitaire du sol (kN/m),

w(x) : tassement de llment unitaire du sol (m),

k : coefficient de raction du sol (kPa), qui dpend des autres facteurs tels que la charge applique, la

gomtrie de la fondation et sa rigidit (Denis et al., 2007). Ce paramtre est dautant plus lev que

la fondation est souple et que le sol est rigide.

Sur la Figure 1.8, la partie (a) reprsente une charge arbitraire sur une poutre supporte

lastiquement sur un sol modlis par des lments de Winkler, la partie (b) montre la raction du

sol p(x) sous la poutre associe la courbe w=w(x) du tassement et la partie (c) reprsente un

lment unitaire intgrant la raction du sol et la charge de l'ouvrage q.

Figure 1.8. Interaction sol-poutre selon le modle de Winkler


24 | P a g e

Grce lquilibre des forces verticales entre la charge rpartie, la raction du sol et leffort

tranchant dans la poutre (Figure 1.6-c), lquation suivante peut tre applique :

0 VdxkwqdVV (1.9)

Nous en dduisons que :

kwqdx

dV (1.10)

Avec le thorme dEuler-Bernoulli reliant le moment flchissant leffort tranchant et la

flche dune poutre :

kwqdx

MdEI

4

4

(1.11)

Le modle de Winkler (quation 1.11) est simple et se combine bien avec les mthodes numriques

et analytiques (Houlsby et al., 2005).

Le problme fondamental avec lutilisation de ce modle est de dterminer ks (la raideur des ressorts

lastiques qui est utilise pour remplacer le sol sous la fondation). Le problme est double puisque la

valeur numrique du coefficient de la raction du sol dpend non seulement de la nature du sol, mais

aussi des dimensions de la zone de chargement (Bowles, 1996).

1.6 lments bibliographique sur l'tude de linteraction sol-structure

1.6.1 Calcul dterministe

Etant donn que le sol, sur lequel les ponts en bton arm reposent, joue un rle majeur,

linteraction sol-structure doit tre prise en compte, selon les cas de charges appliques afin

dassurer la stabilit globale du systme. Depuis les annes 1990, des recherches importantes ont t

effectues sur leffet de l'interaction sol-structure, en raison de son rle important dans lanalyse des

problmes rels des structures (Dreier et al. 2010). De nombreux cas rapports dans la littrature

(Zolghadr., 2009) dmontrent aussi l'influence notable de la prise en compte des effets d'interaction

sol-structure sur la conception et le dimensionnement des ouvrages de gnie civil. cet gard, les

recherches menes par (Roy et al., 2001, Potts et al., 2001, Jahngir et al.,2011, Fenton et al. 2002)

sur l'analyse des interactions sol-structure, montrent l'effet significatif de l'interaction sol-structure et

son importance dans la prdiction globale de la rponse couple de la structure et du sol. Elachachi

et al. (2004 et 2012) ont considr l'effet d'interaction sol-structure sur les rseaux de canalisation

chargs. D'autre part, des tudes sur l'interaction sol-structure en tenant compte des effets de


25 | P a g e

l'htrognit du sol ont t prsentes par Breysse et al. (2005), les rsultats ont montr l'effet de la

variabilit du sol sur les forces induites dans les systmes mcaniques linaires. Rcemment, Jahngir

et al. ,(2013) ont dvelopp un modle analytique pour tudier les effets du retrait des sols argileux

sur les ouvrages grce l'analyse de l'interaction sol-structure.

Comme le sol est un matriau non linaire et non homogne, les effets non linaires peuvent

modifier la rigidit du sol la base de la structure. Viladkar et al., (2006) et Bourne-Webb et al.,

(2007), en se concentrant sur la modlisation non linaire des problmes d'interaction sol-structure,

ont soulign l'importance prcise de lemploi de la modlisation non linaire des matriaux dans

lanalyse interactive de linteraction sol-structure. En ce qui concerne les ponts en bton arm, des

tudes sur les problmes de linteraction sol-structure sous une charge statique ont t effectues par

Fanton et al., (2011). Ces tudes ont montr la complexit de linteraction sol-structure et la

ncessit de considrer les proprits spcifiques du sol ainsi que celles concernant la gomtrie et la

rigidit de la structure. A cette effet, il est important de tenir compte du comportement non linaire

du sol qui doit tre pris en compte pour une meilleure reprsentativit des phnomnes tels que, le

tassement et de la consolidation du sol (cf. effet du temps) dans la rpartition des efforts internes

dans la structure. Donc, ltude des ponts en interaction avec le sol implique une modlisation

correcte de linterface sol-structure, ainsi que des non-linarits des sols.

1.6.2 Calcul fiabiliste

Les phnomnes de dgradation des ponts en bton arm sont d'une grande importance, les dsordres

peuvent provoquer la rduction de la dure de vie, et mme la ruine prmature d'un lment de ces

ouvrages. Pour bien cerner ce problme, plusieurs tudes rcentes ont t effectues en se basant sur

la thorie de la fiabilit (Sarveswaran et al., 2000, Sun et al., 2002, Yang et al., 2004, Nowak., 2004,

Silva., 2004, Higgins et al., 2005, Liang et Lan., 2005, Akgl et Frangopol., 2005a et 2005b, Robert-

Nicoud et al. ,2005, Mohammadkhani-Shali et al., 2007 Marsh et al., 2008, Plamondon., 2008,

Stewart et al., 2009, Bastidas-Arteaga et al., 2009, Langlois., 2010, El hassan et al., 2010 et Jafar et

al., 2011 ). Ces tudes portent sur un certain nombre de mcanismes qui provoque la dgradation des

ponts en bton arm, notamment laugmentation des efforts due aux charges extrieures, et la

corrosion des armatures due lexposition de ces ouvrages un environnement pollu et agressif,

qui favorise des dommages dorigine chimique. Ces agents polluants peuvent ragir avec les

constituants du bton et corroder les armatures. La plupart de ces tudes permettent dobtenir un

indice de fiabilit, qui peut servir d'indicateur pour maintenir un certain niveau de scurit au cours


26 | P a g e

de la dure de vie de ces ouvrages.

En parallle, plusieurs auteurs ont introduit la variabilit des proprits du sol dans l'analyse de la

capacit portante des fondations profondes, en tenant compte de l'interaction sol-structure. Lance et

al. (2009) ont dvelopp une mthodologie de conception base sur la fiabilit en utilisant le modle

d'interaction sol-structure (cf. modle t-z), afin d'analyser les fondations profondes sous l'tat limite

de service. L'analyse probabiliste a t effectue l'aide de simulations de Monte Carlo pour gnrer

un grand nombre de courbes de charge-dplacement. En consquence, ils ont obtenu une distribution

de dplacement, qui peut tre utilise pour la conception et le fonctionnement des fondations

profondes en fonction d'un critre de tassement diffrentiel admissible.

Denis et al. (2011) sont parmi les rares auteurs qui ont dvelopp un modle d'interaction sol-

fondation par lments finis en tenant compte de l'influence de la variabilit longitudinale des sols

argileux sur le calcul de tassement diffrentiel, la distorsion angulaire et le moment de flexion dans

la fondation d'un mur lgrement charg. Les rsultats numriques ont montr que le moment de

flexion et la dformation angulaire varient avec la longueur de corrlation, ce qui correspond

environ le quart de la longueur de la fondation

Rcemment, Reda Farag (2014) a propos un modle probabiliste pseudo-statique simplifie sous un

chargement latrale pour calculer la fiabilit des piles des fondations profondes. Ce modle prend en

compte deux non-linarits gomtriques des sols, ainsi que, la formulation de la surface de rponse

dans l'tude fiabiliste prenant en compte l'influence de la gomtrie, des charges applique, et les

incertitudes sur le modle rhologique par des variables alatoire. Il a t observ que les variables

alatoires du dplacement latral et du rayon du pieu qui ont t introduites dans le modle

probabiliste ont influences la rponse du systme.

Trs rcemment, Imanzadeh et al. (2014) ont utilis deux approches pour la conception des

fondations filantes des btiments de faible poids avec des parois relativement peu chargs en

utilisant le modle d'interaction sol-fondation de type Winkler. Ces approches ont t compares

pour deux cas diffrents: le premier cas, un traitement de donnes avec la variabilit spatiale du

module de Young (Es) du sol et le second cas avec la variabilit spatiale de module de Young (Es)

couple avec la prsence d'une anomalie gologique dans un sol argileux de faibles proprits

mcaniques. Les rsultats ont montr en gnrale, que la variabilit spatiale du module du sol avec

une anomalie gologique du sol fait augmenter de manire significative, pour les deux conceptions

de fondation et de la structure, les valeurs du tassement maximale, le tassement diffrentiel et les

moments de flexion.


27 | P a g e

1.7 Conclusion

La majeure partie de ces tudes est consacre l'valuation de la probabilit de dfaillance du

systme, o les paramtres sont : les paramtres mcaniques du sol et les charges appliques sur la

fondation. Ils ont montr que la probabilit de dfaillance est sensible la variabilit des proprits

du sol et la charge applique. Par consquent, cette recherche bibliographique dmontre en fait que

l'valuation prcise de la variabilit du sol est trs importante pour obtenir des rsultats probabilistes

prcis pour la conception et le dimensionnement des ouvrages en bton arm.

Cette liste indicative des rsultats dmontre d'une part, en fait que le problme fondamental de la

portance des ouvrages en bton arm nest pas encore puis et quil continuera offrir de nouveaux

sujets de recherche sur tous ses aspects et d'autre part, ces rsultats ont motiv notre travail o la

rduction de la capacit portante ou la charge ultime due la variabilit du sol est considre.

Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2

28 | P a g e

Chapitre 2

Modles rhologiques dlasticit non linaire

et mthodes de rsolution numrique

2.1 Introduction

Il existe un nombre considrable de modles pour simuler le comportement des sols, plus ou moins

complexes selon la complexit des phnomnes que lon souhaite simuler et la prcision recherche.

De plus, le nombre de paramtres du modle est variable et leur identification plus ou moins aise.

Plus le modle de comportement est sophistiqu, plus le nombre de paramtres identifier est

important. Dautre part, les modles les plus couramment utiliss en gotechnique sont le modle

lastique non linaire ou bien le modle lastique parfaitement plastique (pas dcrouissage, la surface

de charge est confondue avec la surface de rupture).

Dune manire gnrale, une bonne loi du comportement doit avoir une expression

suffisamment simple pour tre introduite dans un code de calcul numrique. Aussi, elle doit

comporter un nombre restreint de paramtres, facilement identifiables partir des rsultats

dessais classiques en laboratoire.

Plusieurs types de lois lastiques non linaires de complexit variable ont t dvelopps :

hypolastiques et hyperlastiques. Lee (1974) a recens plusieurs modles hypolastique disponibles

dans la littrature. Parmi ceux-ci le plus connu est la loi de Duncan qui se base sur une

approximation hyperbolique des courbes de comportement contraintes-dformations obtenues

dans un essai triaxial de compression draine. On note, quune revue bibliographique des principaux

modles lastoplastiques avec lasticit non linaire existant dans la littrature, pour une description

plus complte on pourra se rapporter Coquillay et al. (2005), Thpot (2004), Lee (1994), et

Mestat (1993).

Ce chapitre est divis en deux parties. La premire partie prsente les modles de comportement

d'lasticit non linaire, utilises dans la littrature pour prendre en compte les effets des non-

linarits des sols naturels (cf. sol cohrent ou pulvrulent) sur le comportement des structures bton

arm. Dans la deuxime partie, est expose la technique de rsolution itrative de "Newton-Raphson",

utilise pour le modle numrique dvelopp dans cette tude.


29 | P a g e

2.2 Modles de comportement d'lasticit non linaire du sol

2.2.1 Modles hyperlastiques

Les modles hyperlastiques constituent la premire catgorie des lois lastiques non linaires. Un

modle est dit hyperbolique si la dissipation intrinsque est toujours identiquement nulle. On peut

alors montrer que la relation de comportement se met sous la forme :

klij

ij

W

(2.1)

Ou W est lnergie libre du matriau.

De la mme faon, on peut dfinir une nergie complmentaire ij qui est seulement fonction

du tenseur de contrainteij , telle que :

klij

ij

(2.2)

Dans ces conditions, il ne peut y avoir production dnergie pendant un chargement cyclique ferm.

Un modle hyperlastique est donc caractris partir de la donne de lnergie libre klW ou de

lnergie complmentaire ij .

Il peut tre utile de signaler que les quations 2.1 et 2.2 peuvent tre crites sous forme matricielle :

ij ijkl klC (2.3)

ij ijkl klD (2.4)

Le tenseur du quatrime ordre ijklC et ijklD dpendent des tats actuels de dformation et de

contrainte. Les quations 2.1 et 2.2 donnent par diffrentiation :

2

ij kl ijkl kl

ij kl

Wd d H d

(2.5)

2'

ij kl ijkl kl

ij kl

Wd d H d

(2.6)

Ou ijd et ijd sont respectivement les tenseurs incrmentaux des contraintes et des dformations.

Les modles hyperlastiques sont des modles qui reposent dabord sur des considrations

thermodynamiques (nullit de la dissipation intrinsque). Linconvnient majeur de ces modles

rside dans le fait quils sont compliqus mettre en uvre dans un code de calcul par lment finis,


30 | P a g e

cela est dautant plus vrai si larchitecture du code est complexe, comme celle du logiciel CESAR-

LCPC (Coquillay, et al. 2005).

2.2.2 Modle hypolastique

Les modles de type hypolastique constituent la seconde classe de modles lastiques non linaire.

Ils ne drivent pas, en gnral, dune potentielle thermodynamique mais sont plutt issus de

formulations empiriques bases sur lexprience.

Les modles hypolastiques peuvent tre utiliss pour dcrire les relations incrmentales de

comportement lastique non linaire isotrope. La notion dhypolasticit consiste faire lhypothse

que lincrment de contrainte dpend non seulement de lincrment de dformation, mais galement

de la contrainte elle-mme. Lquation de comportement sexprime alors sous la forme incrmentale

suivante :

minij ijkl kld C d (2.7)

Ou ijklC reprsente le tenseur de comportement tangent.

Le comportement dcrit par lquation 2.7 est infinitsimalement rversible. Toutefois, le

comportement dun matriau hypolastique dpend du chemin de chargement.

Bon nombre de modles bass sur des relations incrmentales ont t tablis pour modliser le

comportement non linaire des sols, des roches et des btons, ces modles ont t dvelopps en se

basant sur deux approches hypolastiques :

- La plus courante consiste formuler les relations de comportement du modle lastique

linaire en introduisant une dpendance des modules scant vis--vis des invariants de

contrainte ou de dformations,

- La deuxime approche est base sur une linarisation par morceau des courbes contraintes-

dformations. Ces lois sont dites quasi linaires (Desci et Siriwardane, 1984). La loi de

Hooke est applique sur chaque plage de contraintes avec des coefficients tangents Kt, et Gt,

ou Et et vt diffrents. Dune manire gnrale, les coefficients sont exprims par des

fonctions continues de ltat des contraintes. Lexpression de ces lois est alors la suivante :

1 1 1 2

t t tij ij kk ij

t t t

E v Ed d d

v v v

(2.8)

22

3ij t ij t t kk ijd G d K G d

(2.9)

Deux familles de modles hypolastiques sont souvent utilises dans le cadre de la mcanique des


31 | P a g e

sols et des roches :

(a) les modles hyperboliques (Duncan et al., 1970, 1972,1978 et 1980 ; Kondner, 1963 ; Kulhawy

et al., 1969 ; Wong et Duncan 1974 ; Domaschuk etWade, 1969 ; Hardin et Dernvich, 1972 ;

Domaschuk et VaUiappan, 1975 ; Yogendrakumar et al. 1992, etc.).

(b) les modles des modules variables (Nelson, 1970 ; Baron et al. 1971 ; Nelson et Baron, 1971 ;

Naylor, 1975 ; etc.). Pour l'analyse du comportement non-linaire des sols, certains modles sont

mathmatiquement bass sur une reprsentation de la relation contrainte-dformation partir d'une

courbe hyperbolique ou parabolique (Kondner, 1963 ; Hansen, 1963). On examine, dans cette tude,

le modle hyperbolique de Duncan et Chang (1970), bas sur une formulation utilisant le module

d'Young tangent Et et le coefficient de Poisson tangent t

2.2.2.1 Modle hyperbolique de Duncan

Le modle de Duncan est bas sur les lois incrmentales qui sont faciles implanter dans un

code de calcul utilisant une approche incrmentale. Lide est de suivre pas pas le chargement,

dcoup en incrments, en vitant les dcharges importantes, autrement dit, le modle hyperbolique

de Duncan correspond aux sols contractants, il est conduit une meilleure modlisation de la

dformation du sol.

Lorigine des modles hyperboliques se trouve dans les travaux de Kondner (1963), il a propos une

loi de comportement fonde sur une approximation des courbes de comportement contraintes-

dformation obtenues dans un essai triaxial de compression draine. La relation hyperbolique

propose par Kondner (1963) est :

11 3

1a b

(2.10)

Ou 1 est la dformation axiale et a et b deux paramtres dpendant de lessai triaxial. Elle se

dtermine aisment : (1/a) est la pente initiale du graphique et (1/b) la valeur asymptotique de (

1 3 )

Figure 2.1 : Reprsentation de la loi hyperbolique de Kondner


32 | P a g e

Kondner (1963) a remarqu que les paramtres a et b peuvent tre dtermins trs facilement partir

de lquation 2.10 par la transformation suivante :

11

1 3

a b

(2.11)

Le graphique rsultant est linaire (fig 2.2)

Figure 2.2 : Reprsentation transforme de la loi hyperbolique de Kondner

Lexpression du module dYoung tangent dduit par la drivation de la relation 2.10 est :

1 32

1 1( )t

d aE

d a b

(2.12)

En particulier le module initial est donn par :

1iE

a (2.13)

Cependant, lexprience montre que la rigidit du sol dpend de ltat de contraintes. Alors, afin de

prendre en compte ce phnomne, Duncan et Chang (1970) ont complt la loi hyperbolique de

Kondner en y introduisant le module tangent initial propos par Janbu (1963) :

3. .

n

i a

a

E K PP

(2.14)

Ou Pa est la pression atmosphrique, K et n sont des paramtres obtenus partir des rsultats

dessais de compression triaxiale draine, raliss diffrentes pressions de confinement 3 .

n : reprsente une valeur dcrivant le taux de variation de la rigidit du sol en fonction de la

contrainte de confinement 3 , n est compris entre (1/3) et (1/2), sa valeur dpend du caractre

anguleux et de la taille des particules. Une valeur courante pour les sables est de 0.4 et pour les

argiles normalement consolides elle est de 0.5 (Mestat, 1993).

Le modle de Duncan et Chang (1970) est bas sur une loi dlasticit non linaire de type


33 | P a g e

hyperbolique entre le dviateur des contraintes et la dformation axiale, avec un critre de

rupture de type Mohr-Coulomb. Il est dfini en tout point matriel par un module dYoung tangent

Et pour la phase de chargement (Figure 2.3a) et un module dYoung Eur pour la phase de

dchargement- rechargement (Figure 2.3b)

Figure 2.3 : Reprsentation de la courbe de cisaillement pour les phases de chargement (a) et de

dchargement rechargement (b) du modle hyperbolique.

Janbu (1963) montr que les valeurs de lexposant n se situent entre 0.35 et 0.55 pour des sables

de porosit 35 50% et que le coefficient Kh varie entre 50 et 500.

Dune faon sminaire, Kulhawy et Duncan (1972) ont exprim le coefficient de poisson tangent vt

par une approximation hyperbolique dans le diagramme ( 1 3, ). Lhyperbole est dfinie ainsi :

31

3c d

(2.15)

Ou 3 est la dformation radiale et (c) et(d) sont des constantes dpendant de lessai triaxial.

Lexpression du coefficient de Poisson tangent de dduit par la drivation :

3

2

1 1(1 )t

d cv

d d

(2.16)

Duncan et Chang (1970) ont fait voluer ce modle en faisant apparatre les contraintes 1 et 3 par

lintermdiaire de lquation 2.10 dans lexpression du module tangente Et, ils ont galement

remplac le paramtre (a) par son expression (2.13) et (b) par 1 3

1

ult

,


34 | P a g e

Lquation 2.11 devient alors :

2

1 3

1 3

1t iult

E E

(2.17)

Duncan et Chang (1970) ont introduit le paramtre Rf comme tant le rapport entre la contrainte de

rupture 1 3 r et la contrainte maximale asymptotique 1 3 ult :

1 3

1 3

rf

ult

R

(2.18)

Comme la rupture arrive avant que lasymptote ne soit atteinte, ce paramtre est inferieur 1 (Rf

1), ce rapport compris entre 0.75 et 1 pour la majorit des sables (Krahn, 2004). Ltat de

contraintes la rupture est galement suppos vrifier le critre de Mohr-Couloumb :

3

1 3

2 cos sin

1 sinrc

(2.19)

Ou c et reprsentent la cohsion et langle de frottement du matriau. Par suite, lexpression

finale du module dYoung vaut :

2

1 33

3

(1 sin )( )1

2 cos sin

n

f

t h a

a

RE K P

P c

(2.20)

Figure 2.4 : Relation entre le module initial tangent d'Young Ei et la contrainte moyenne initiale

De mme que pour lexpression du module dYoung tangent, on peut faire apparaitre les contraintes

1 et 3 par lintermdiaire de lquation (2.10). En posant c=vi (coefficient de Poisson tangent

initial), lquation (2.16) devient :


35 | P a g e

2

1 3

1 3

1 3

1

1

it

i

ult

vv

d

E

(2.21)

Le coefficient de Poisson tangent initial peut tre exprim en fonction de la pression de confinement

tel que :

* * 3logia

v G FP

(2.22)

Ou G* et F

* sont des paramtres du modle de Duncan dtermins partir dessais de compression

triaxiale draine, raliss diffrentes pressions de confinement 3 . Par la suite, lexpression finale

du coefficient de Poisson tangent vaut :

2 * * 3

2

1 3

logta

t

t

E G FP

vE d

(2.23)

Figure 2.5 : Relation entre le coefficient de Poisson v et la contrainte moyenne initiale

Duncan et Chang (1970) ont ajout un paramtre de dchargement Eur, afin de faire apparaitre des

dformations irrversibles. Le module au dchargement rechargement est alors pris sous la forme

suivante :


36 | P a g e

3

m

t ur a

a

E E PP

(2.24)

Ou : Eur et m sont des paramtres de la loi de Duncan.

m reprsente une valeur dcrivant le taux de variation du module de compressibilit en fonction de la

contrainte de confinement3 .

Wong et Duncan (1974) ont montr que le coefficient Eur et de un trois fois plus lev que le

coefficient Kh, tandis que lexposant m (0< m< 1) a une valeur trs proche de celle de n.

Une autre version du modle (Duncan et al, 1980), dans laquelle le module de compressibilit

volumique tangent Kt est donn par la relation suivante :

3( )mt b aa

K K pp

(2.25)

o Kb est dsigne le paramtre exprimentale, o le coefficient de Poisson tangent

t sexprime par la relation suivante :

3

6

t tt

t

K E

K

(2.26)

Avec, Et / 3 0.5 on limite Kt

17 Et.

0.56

tt

t

Ev

K

(2.27)

La loi de Duncan intgre aussi le fait que langle dpend de la pression de confinement 3

lorsque celle-ci varie de faon importante, ce qui est le cas pour un barrage. Il crit :

30 log

aP

(2.28)

o : 0 est l'angle de frottement interne du sol. est rduction supplmentaire de l'angle de

frottement chaque fois que 3 augmente 10 fois.

La relation incrmentale contrainte-dformation correspondant ce modle est donne par

lexpression matricielle suivante :


37 | P a g e

1 1

2 2

3 3

1 0

1 01 1 2

10 0

2

t t

tt t

t t

t

d dv vE

d v v dv v

vd d

(2.29)

Le modle hyperbolique de Duncan dans sa totalit ncessite la dtermination de Onze paramtres :

Kh, Pa, n, Rf, C, , G*, F

*, d, Eur et m. Ce modle est principalement caractris par son non

linarit et plus particulirement par la dpendance par apport la contrainte principale mineure. La

dtermination de ces paramtres ncessite lanalyse des rsultats dessais triaxiaux de cisaillement

drain.

2.3 Donnes sur le modle hyperbolique de Duncan

Dans les annes 1970, et dans le cadre du dveloppement dun modle hyperbolique de sol

lUniversit de Californie (U.S.A), plusieurs essais triaxiaux ont t raliss pour mesurer les valeurs

des paramtres exprimentaux du modle hyperbolique sur diffrentes types des sols. Les rsultats

ont t prsents dans un document interne par Duncan et al. (1980) luniversit de Californie,

malheureusement ce document est puis (Krahn, 2009). Ces valeurs ont t utilises comme un

guide pour dvelopper une srie dexemple pour la simulation dans un programme (i.e, programme

SIGMA/W de Krahn, 2004), et lutilisation dans une analyse bas sur ce modle.

Tableau 2.1 : Proprits de rigidit des sols prsent par Duncan et al. (1980)

Plusieurs auteurs ont propos dans leurs calculs avec lments finis des modles dlasticit non-

linaire du sol du type hyperbolique a celui de (Duncan et Chang, 1970, Duncan et al, 1980), On

peut citer les travaux de (i) Byrne et al. (1987), Saboya et Byrne (1993), Krahn . (2004, 2009) et


38 | P a g e

Ghasemzadelh et al. (2006) dans les problmes du comportement des barrages, et (ii) Ling et al.

(2009), et Abedlouab et al. (2010), dans le comportement des murs en sol renforc, et Huang

Xiao-Ming et al. (2009) dans les problmes des remblais gosynthtiques renforcs ou non

renforcs, (iii) Yu-Lin LEE et al. (1994) dans les problmes de la modlisation du creusement dun

tunnel, (vi) Arafati, 1996 dans les problmes de la modlisation des ouvrages de soutnement.

L'utilisation du modle hyperbolique du Dancan a aussi t tudi par un certain nombre d'auteurs

dans les gomatriaux, A ce sujet, on peut citer les traveaux de Ghasemzadeh et al.(2006), et Gatmiri

(1997) qui a propos un modle intgrant les quations de transfert et la conservation des diffrentes

composantes dun milieu poreux non satur dans des conditions non isothermes en utilisant une loi

de comportement non linaire hyperbolique de Kondner-Duncan.

Rcemment, Nayezadeh et al. (2011), ont tudis la stabilit d'un barrage en remblai du Ghavoshan

(situ dans la partie Ouest de l'Iran), pour l'valuation du problme de la fracturation hydraulique, ce

phnomne est lun des sujets les plus importants dans les barrages en remblai, cest un phnomne

primordial qui produit dans le corps intrieur de la digue ( voir See Ng et Small 1999, Sherard 1991;

Narita 2000 pour plus de dtails) et aussi fin dindiquer leffet de la forme du noyau dune argile

impermable sur la stabilit de ces barrages, pour ce faire une modlisation du barrage par la

mthode de dformation plane en lment finis (Krahn, 2008) t effectue. Ils ont utilise un

modle du sol hyperbolique de Duncan, certains paramtres gotechniques de l'utilisation du ce

modle pour lanalyse en contrainte effective et totale sont prsentes dans cette recherche pour

trois types des matriaux ( argile noyau, remblai et un zone transitoire du filtrage du barrage).

Afin de mettre en vidence l'influence du modle de comportement dans le sol

renforc, le modle de Duncan et Chang est aussi utilis par Abedlouab et al.(2010), avec

dautre loi comportement ; Mohr Couloumb et le modle (CJS2), ce modle est une version

simplifie du modle (CJS) dvelopp par Cambou et Jafari (1987) pour les sols pulvrulents.

Abedlouhab et al.(2010) ont ainsi confirm la ncessit de prendre en compte au moins un modle

de comportement non-linaire des sols (comme Duncan et Chang) afin de mieux modliser la

dformation du mur ainsi que les efforts de traction sur les armatures dans les zones les

plus importantes du mur.

Des calculs numriques par la mthode des lments finis ont t effectus par Ling et al,

(2009) pour simuler le comportement dun mur en sol renforc par des gogrilles

synthtiques, lors de la construction. Les simulations numriques de la construction du mur ont

t effectues en utilisant un modle lastique non-linaire du type hyperbolique de Duncan et


39 | P a g e

al.(1970) et un modle de plasticit gnralise plus complexe (Generalized plasticity soil

model). Ce dernier modle permet de simuler le comportement contrainte-dformation et la

dilatance du sol de manire satisfaisante. Les dplacements horizontaux de la faade du mur au cours

de la construction sont bien simuls par les deux modles de comportement. Les auteurs ont

conclus que, les deux modles conduisent gnralement des rsultats similaires. Cependant,

quelques petites diffrences sont observes dans les rsultats et la modlisation est limite

une structure unique avec un seul type de renforcement.

Des diffrents essais mens aussi par (Serratrice, 2001; Serratrice, 2005b) ont montr aussi que

lapproche de Duncan et Chang donne une trs bonne approximation des non-linarits observes en

laboratoire, mais devient trs difficile utiliser pour le calcul douvrage, (la contrainte moyenne

non-constante, chemin de contraintes complexe, etc.)

Le tableau suivante prsente quelques valeurs publies dans la littrature des paramtres du modle

hyperbolique de Duncan, qui sont trs diverses.

Concernant les valeurs du G*,F

*,d du ce modle, il n'existe pas des informations suffisantes sur ces

paramtres, quil sont lie la dtermination du coefficient de Poisson tangente vt de ce modle.

Tableau 2.2 : Paramtres de modle de Duncan utilises par diffrents chercheurs

Rfrence

Type du

sol

Paramtres de modle de Duncan

3

(kPa)

C

Pa

Kh n d*

F*

G* Eur Rf m

Pingye Guo et

al, (2012)

Remblai 110 48,5 100 704 0,38 844,8 0,79 0,18 300,600

et 900

Nayebzadeh

et al. (2011)

Argile 39 7 100 40 0.36 136 0.93 0.2

Abedelouhab

et al. (2010)

Sable

100

500

0.55

600

0.7

0.5

30, 60 et

90

Huang, et

al. (2009)

Argile

molle

20

24

100

100

0.82

0.7

140

Remblai

30

28

100

150

0.40

0.8

Shangguan

Zichang et al,

2009

0,6 35 100 82 0,65 0,03 0,04 0,33 0,71 100,200

et 300

Meddah, et

al. (2008)

Sable moyennem

ent dense

0 38 100.4 625 0.97 22.3 0.26 625 1 1.37 35,50,75,100

et150


40 | P a g e

Sable trs

dense

0 39 100.4 614 0.86 28.7 0.26 614 1 1.35 35,50,75,

100et

150

Ghasemzadel

h,etal. (2006)

Mlange

de sable,

argile et

graphite

399

0.6

519

0.75

0.4

Ladjal, et

al. (2004)

Argile

molle

15.5

11.8

101.4

295

0.5

0.95

20,40,60,

80,100et

200

sable

0

32

101.4

2161

0.5

0.7

0.2

50,100,1

50,200 et 300

Krahn,2004

Argile

0.1

0

100

47

0

0.9

0

200

Massiera,et

al. (2006)

sable fin

grossier

0

32

100

800

0.5

400

0.7

0.2

sable

moyen

grossier

graveleux

0

32

100

1000

0.5

500

0.7

0.2

sable

grossier graveleux

avec

prsence

de blocs

0

32

100

1000

0.5

600

0.7

0.2

Abu-Hejleh et

al, 2000

Remblai

compact

70 40 100 1070 0,7 700 0,82 0

Arafati, et

al. ( 1996)

Sable

2.35

41.6

100

237.2

0.88

6.83

0.01

0.01

0.78

0.88

198.25

Yu-LinLEE et

al. ( 1994)

Marne

1.84

26,6

100

1646

0.3

11.2

0.43

0.82

0.69

2.5MPa

Byrne ,1987

Sable

entre

850

et

1500

0.5

entre

450

et

900

0.70

0.25

2.4 Mthode de rsolution numrique

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