ANALYSE NUMERIQUE DE LA CAPACITE PORTANTE …eprints.univ-batna2.dz/842/1/gha HELIS RIMA.pdf · I.3...

RPUBLIQUE ALGRIENNE DMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Universit El Hadj Lakhdar Batna

Facult des sciences de lingnieur

Dpartement de gnie civil

MMOIRE

Prsent pour obtenir le diplme de

Magistre en Gnie Civil

OPTION : Gotechnique

Prsent par :

HELIS RIMA

ANALYSE NUMERIQUE DE LA CAPACITE PORTANTE

D'UNE FONDATION FILANTE IMPLANTEE SUR UN

BICOUCHE GRANULEUX

Sous la direction du Pr K. ABBECHE

Soutenue le : 17/06/2012

Devant le jury compos de :

Dr T. KARECHE

Pr. K. ABBECHE

Dr M. BAHADI

Dr S. MESSAST

M.C (classe A)

Professeur

M.C (classe A)

M.C (classe A)

prsident

Rapporteur

Examinateur

Examinateur

Universit de Batna

Universit de Batna

Universit de Batna

Universit de Skikda

DEDICACES

En signe de respect et de reconnaissance,

Je ddie ce modeste travail ceux qui sont toujours prsents dans mon

Coeur,

Mes chers parents pour leur patience et leurs sacrifices,

A mon frre, mes deux soeurs et ma grande famille ;

Mes amis (es)

Mes collgues de promotion ; et tous personnes ayant contribu ce

Travail de prs ou de loin.

REMERCIMENTS

Je remercie en premier Dieu pour tout.

Je remercie en second mes parents qui ont sacrifi leur vie pour notre bien

En fin, mes sincres reconnaissances et gratitudes

tous mes enseignants et en particulier

Le directeur de ce mmoire :

Mr : Kh.ABBECHE Professeur lUniversit de Batna.

Je remercie galement le prsident et les membres de jury davoir accepter

dexaminer mon travail.

Rsum

Ce mmoire prsente une tude numrique au moyen d'analyse en lments finis

sur la capacit portante dune fondation filante reposant sur deux couches

granulaires. Les calculs ont t effectus en utilisant le code lments finis Plaxis.

Le sol est reprsent par le modle non linaire de sol avec crouissage (Hardening

Soil Model) qui est un modle contrainte dformation elasto-plastique et

hyperbolique, cette tude consiste en la variation de la largeur B de la semelle,

l'paisseur de la premire couche d'une part ainsi que la variation des

caractristiques mcaniques des deux couches.

Les rsultats obtenus montrent clairement que la capacit portante d'une semelle

filante dpend des caractristiques mcaniques (l'angle de frottement interne ) des

deux couches d'une part et de la largeur de la semelle d'autre part, aprs

interprtation des rsultas obtenus avec ceux de la littrature on dclare que ces

derniers se convergent normment avec ceux de la prsente tude.

Mots cls : Capacit portante, analyse par lments finis, fondation filante,

Hardening Soil Model, couches granulaires, Plaxis.

Abstract

This report presents a numerical study by means of finite element analyses on the

bearing capacity of strip foundations supported by two granular layers.

Calculations were carried out by using file finite element code Plaxis. The soil is

represented by non-linear model (hardening soil model) which is a model stress-

strain elasto-plastic and hyperbolic, this study is the change of the width B of the

strip, the thickness of the first layer on the one hand and the variation of

mechanical properties of the two layers. The results obtained clearly show that the

bearing capacity of strip footing depends on the mechanical properties (internal

friction angle ) of the two layers on one hand and the width of the strip on the

other hand, after interpreting of results those obtained with the literature it is stated

that these latter converge with those obtained from the present study.

Key words: bearing capacity, finite element analysis, strip footing, hardening soil

model, granular layers, plaxis.

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SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE. .. 1

Chapitre I :

APERU BIBLIOGRAPHIQUE SUR LE COMPORTEMENT

DES FONDATIONS SUPERFICIELLES

I.1. Les fondations ...... 4

I.1.1 Introduction ... 4

I.1.2 Fondations superficielles ........................... 5

I.1.3 Principaux types de fondations superficielles... 5

I.2 Fonctionnement des fondations superficielles ............................... 7

I.2.1 Comportement d'une semelle charge . 7

I.2.2 Mode de rupture d'une fondation superficielle 8

I.3 Philosophies de conception des fondations ............................. 13

I.3.1 Mthode de contrainte admissible (utilisation de facteur de scurit). 13

I.3.2 Mthode d'tat limite (utilisation du facteur partiel de scurit).. 13

I.4 Conclusion ............................. 15

Chapitre II :

METHODES DE CALCUL DE LA CAPACITE

PORTANTE

II. 1 Introduction ............................. 17

II.2 Problme quivalent .................................... 17

II.3 Dfinition de la capacit portante ....................................... 18

II.4 Mthodes de calcul de la capacit portante pour le cas d'un chargement vertical.. 18

II.4.1 Thorie de Rankine : (les coins de Rankine) .................................. 19

II.4.2 Thorie de Prandtl (1920) .... 21

II.4.3 Thorie de Terzaghi (1943) ..... 23

II.4.4 Dtermination de la charge limite selon Caquot et J. Krisel . 28

II.4.4.1 Formule gnrale....................................... 28

II.4.4.2 Dtermination des coefficients N, Nq, Nc, selon A. Caquot et J. Krisel ... 30

II.5 Mthodes de calcul de la capacit portante pour des cas particuliers ......................... 33

II.5 .1 fondations supportes par une couche de sol au dessus dune base rigide 33

II-5-2 fondation sur une couche de sol raide surmontant un sol mou.......................... 39

II-5-3 capacit portante dune couche de sable dense sur argile molle satur. 43

II -5-4 Fondation sur la surface dun talus . 46

II-5-5 Fondation au sommet dun talus . 48

II.6 Critiques gnrales des mthodes classiques 50

II.7 Mthodes numriques .... 52

II.7.1 Modlisation des fondations superficielles (P. Mesta & M. Prat) . 52

II.7.1.1 Modlisation du sol et de la fondation sans les structures 53

II.7.1.1.1 Cas dune Fondation la gomtrie complexe .. 54

II.7.1.1.2 Cas dune fondation rigide. 54

II.7.1.1.3 Cas dune fondation souple . 54

II.7.1.2 Modlisation du sol, de la fondation, et des structures. 55

II.7.2 Influence de ltat initial des contraintes .. 56

II.7.3 Conseils pour la ralisation des maillages de fondation superficielle.. 56

II.7.4 Comportement des sols et modlisation des fondations superficielles . 57

II.8 Solutions numriques existantes .... 58

II.8.1 Griffiths (1982) .... 58

II.8.2 Borst et Vermeer (1984) .. 58

II.8.3 Manoharan et Dasgupta (1995) . 59

II.8.4 Frydman et Burd (1997) ..... 59

II.8.5 Hans.L.Erickson et Andrew Drescher (2001) 59

II.8.6 R. S. Merifield, S. W. Sloan et H. S. Yu (1998) ............................................... 61

II.8.7 J.S. Shiau, A.V. Lyamin, et S.W. Sloan (2003) ... 61

II.9 Conclusion ............................................................... 62

Chapitre III :

Aperu sur loutil numrique utilis

III.1 Introduction........................................................................ 64

III.2 Bref aperu sur la mthode des lments finis ................................. 64

III.2.1 Bref historique ... 64

III.2.2 Concepts de base .. 65

III.2.3 Calculs par la MEF .. 65

III.3 Prsentation de PLAXIS ..... 67

III.3.1 Le code lments finis PLAXIS .... 67

III.3.2 Options par dfaut et solutions approches .. 67

III.4 Les modles de comportements utiliss dans PLAXIS .. 69

III.4.1 Introduction ....... 69

III.4.2 Contraintes totales, effectives et pressions interstitielles . 71

III.4.3 Comportement lastoplastique . 71

III.4.4 Modle lastique linaire . 73

III.4.5 Modle de Mohr-Coulomb 74

III.4.6 Modle de sol avec crouissage (Hardening Soil Model) .. 77

III.4.7 Modle pour sols mous (Soft Soil Model) 82

III.4.8 Modle pour sols mous avec effet du temps (Soft Soil Creep Model) .... 86

III.4.9 Conclusion ............................. 90

Chapitre IV :

ANALYSE ET DISCUSSION DES RESULTATS OBTENUS

IV.1 Introduction ........................................................................ 92

IV.2 procdure de la simulation numrique............................ 92

IV.2. 1 Coupe gotechnique et gomtrie de louvrage :.... 92

IV.2. 2 Caractristiques gotechniques des matriaux. 93

IV.2.3 Maillage et conditions aux limites ........................................ 95

IV.3 programme dessais . 96

IV.4 Rsultats et interprtations : .. 97

IV.4 .1 L'effet de l'paisseur de la premire couche du sable (h1)....... 107

IV.4 .2 L'effet de la largeur du la semelle:... .. 113

CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS ......................... 116

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES . 118

LISTE DES FIGURES CHAPITRE I I.1 Types de fondations ..........4

I.2 Fondation superficielle ..............5

I.3 Fondation filante ...............................6

I.4 Fondation isole ..........................6

I.5 Fondation de type radier ..............................7

I.6 Chargement d'une semelle superficielle. .........................7

I.7 Rupture par cisaillement gnralis .... 9

I.8 Rupture par cisaillement localis .......................10

I.9 Rupture par poinonnement ......11

I.10 Nature de rupture dans un sable en fonction de la densit relative Dr et Df /R.13

CHAPITRE II II.1 Problme quivalent ....17

II.2 Schmatisation de l'volution des dplacements verticaux sous une fondation

superficielle en fonction de l'augmentation de la charge (d'aprsR.Frank)..18

II.3 Semelle reposant sur un sol (c.) ................................19

II.4 Les coins de Rankine ...... 20

II.5 Mcanisme de rupture d'une fondation de base lisse (Prandtl (1920))....................22

II.6 La surface de rupture dans le sol charge ultime qui a suppos par Terzaghi ..24

II.7 Les forces passives agissant sur la face bc du triangle abc....25

II.8 Surface de rupture modifie dans sol supportant une fondation superficielle ..28

chargement ultime

II.9 Dcomposition de la charge limite..29

II.10 Dtermination du terme de surface.(Philipponat G. Hubert B) .... 31

II.11 Dtermination du terme de profondeur...............31

II.13 Surface de rupture sous une fondation continue rigide..34

II.14 Variation de D/B avec l'angle de frottement du sol pour (Nc et Nq)35

II.15 Variation de D/B avec langle de frottement (pour N)35

II.16 Facteur de la capacit portante de Mandel et Salencon N*c [eq (2-43)].....36

II.17 Facteur de la capacit portante de Mandel et Salencon N*q [eq (2-43)] ..36

II.18 Facteur de la capacit portante de Mandel et Salencon N* [eq (2-43)]...37

II.19 Variation de m1 (valeurs de Meyerhof) pour l'utilisation dans l'quation du facteur de

forme modifi [eq (2-45)] ....38

II-20 Variation de m2 (valeurs de Meyerhof) pour l'utilisation dans l'quation du facteur de

forme modifi [eq (2-46)] ....38

II-21 Comparaison entre les valeurs exprimentales et thoriques de N* ....39

( =43, c=0).

II-22 Fondation filante rigide sur une couche de sol dense surmontant argile molle .39

II-23 La thorie de variation de Ks avec 1 et q2/q1 de Meyerhof et Hanna .......41

II-24 Fondation filante rigide sur bi-couche de sol (H/B est relativement petite) ..41

II-25 la surface de rupture sous une fondation filante suporte par une couche du sol

granulaire dense surmontant une argile molle ........43

II-26 Analyse de variation de /1 avec q2/q1 et 1 de Meyerhof et Hanna .44

(pour sable dense sur argile molle)

II-27 Analyse du coefficient de cisaillement local du sable dense sur argile molle de

Meyerhof et Hanna a) 1 = 50, b) 1 = 45, c) 1 = 40 ...45

II.28 Nature de la zone plastique sous une fondation filante Rugueuse situe sur

une pente .46

II.29 Variation du facteur de la capacit portante de Meyerhof Ncq pour Un sol purement

cohrent (fondation sur une pente)....47

II.30 Variation du facteur de la capacit portante de Meyerhof Nq pour le sol grenu,

(fondation sur une pente)...48

II.31 Fondation filante au sommet dun talus ...48

II.32 Variation du facteur de la capacit portante de Meyerhof Ncq pour un sol purement

cohrent (fondation sur une pente)........49

II.33 Facteur de la capacit portante de Meyerhof Nq, pour le sol grenu, (fondation sur une

pente) .....50

II.34 Schma de Gorbunov(J. Costet. & G. Sanglerat 1983)......51

II.35 Dimensions conseilles pour le maillage dune fondation superficielle........57

CHAPITRE III

III.1 Modle monodimensionnel du comportement lastoplastique ... .. .. 72

III.2 Reprsentation du comportement lastique parfaitement plastique. ... 72

III.3 Reprsentation du comportement lastoplastique avec crouissage. .. 72

III.4 Fentre des paramtres du modle lastique linaire ... 73

III.5 Fentre des paramtres avancs du modle lastique linaire .. . 74

III.6 Surface de rupture de Mohr-Coulomb dans l'espace des contraintes .....75

principales sans cohsion

III.7 Essai de compression triaxiale avec le modle de Mohr-coulomb... ..76

III.8 Fentre des paramtres du Hardening Soil Model. ... 78

III.9 Fentre des paramtres avancs du Hardening Soil Model. .. 79

III.10 Reprsentation du HSM dans le repre contrainte-dformation ... .....80

III.11 Dfinition du module oedomtrique tangent . 81

III.12 Dfinition de langle de dilatance. ... 81

III.13 Forme des surfaces de charge du HSM. ...... . 82

III.14 Surface de rupture pour le HSM cas d'un sol non cohrent. 82

III.15 Diffrentes reprsentations lors d'un essai oedomtrique. . 84

III.16 Fentre des paramtres du SSM . 86

III.17 Fentre des paramtres avancs du SSM. ..... . 86

III.18 Effet du temps sur les essais oedomtriques. ... . 87

III.19 Diagramme des cercles peq dans le plan p-q. ..... 87

III.20 Fentre des paramtres du SSCM. .... . 89

III.21 Fentre des paramtres avancs du SSCM. .. 89

CHAPITRE IV

IV.1 Prsentation du cas tudie .... 92

IV.2 Prsentation du model tudi . .... .94

IV.3 Position des noeuds et des points de contrainte dans les lments de sol.95

IV.4 Gnration du maillage ... .. 96

IV.5 Maillage dform..97

IV.6 Dplacements totaux.....97

IV.7 Dplacements horizontaux....98

IV.8 Dplacements verticaux98

IV.9 Incrment total..99

IV.10 Maillage dform..99

IV.11 Dplacements totaux...100

IV.12 Dplacements horizontaux..100

IV.13 Dplacements verticaux..101

IV.14 Incrment total101

IV.15 Maillage dform....102

IV.16 Dplacements totaux..102

IV.17 Dplacements horizontaux.103

IV.18 Dplacements verticaux..103

IV.19 Incrment total104

IV .20 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 30 et 2= 33.107

IV .21 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 30 et 2 = 33 ...107

IV .22 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1= 30 et 2 = 33 ....108

IV .23 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1= 34 et 2 = 37 .108

IV .24 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1= 34 et 2 = 37 .....108

IV .25 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 34 et 2 = 37 109

IV .26 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 42 .109

IV .27 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 42 .109

IV .28 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 42 ..110




IV .32 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 36 ....111

IV .33 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 36.112

IV .34 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 39 et 2 = 36.....112

IV . 35 Variation de qult en fonction de h1/B avec 1 = 30 et 2 = 33.113





LISTE DES TABLEAUX CHAPITRE I I.1 Rsultats partir d'essais in situ ..................... 14

CHAPITRE II II.1 Facteur de la capacite portante suivant terzaghi ......26

II.2 Facteurs de la capacite portante modifies ( terzaghi)....28

II.3 Rsum des facteurs de formes.. ...... 44

II.4 Facteurs de capacit portante N pour une fondation circulaire........60

II.5 Facteurs de capacit portante NCpour une fondation circulaire........60

CHAPITRE III

III.1 SSM : Valeurs des paramtres de compressibilit et de gonflement et .....83

CHAPITRE IV

IV -1 Paramtres gomtriques ...........93

IV -2 Paramtres physiques du sol .. ...93

IV -3 Paramtres de la rigidit du sol ... .94

IV -4 Programme d'essais sur le modle .. . 96

IV-5 Capacit portante qult pour l'angle de frottement 1=30 ; 2=33 .104

IV-6 Capacit portante qult pour l'angle de frottement 1=34 ; 2=37..105

IV -7 Capacit portante qult pour l'angle de frottement 1=39 ; 2=42 ....105

IV-8 Capacit portante qult pour l'angle de frottement 1=34 ; 2=31..105

IV-9 Capacit portante qult pour l'angle de frottement 1=39 ; 2=36 .105

Principales notations

Lettres latines

B Largeur de la fondation.

C Cohsion du sol

D Encastrement de la fondation.

H paisseur de couche de sol.

L Longueur de la fondation.

Q charge

Qu capacit portante ultime.

qadm capacit portante admissible.

Fs Coefficient de scurit.

Dr Densit relative.

E Module d'Young.

Ga Module de cisaillement effectif

Gu Module de cisaillement ultime

G Module de cisaillement refurE Module en dcharge

refoedE Module tangent dans un essai oedomtrique

refE50 Module scant dans un essai triaxial.

K0 Coefficient des terres au repos

U Dplacement

Nc Terme de cohsion

Nq Terme de profondeur.

N Terme de surface.

facteur de forme

R rayon hydraulique.

M Puissance.

uw Surpression interstitielle.

N la porosit

Kw le module volumique de l'eau.

Ks le coefficient de cisaillement perfor

Lettres grecques

Poids volumique du sol.

sat Poids volumique satur

Dplacement unitaire

v Dformation volumique

Contrainte de cisaillement (tangentielle).

Coefficient de Poisson.

u Coefficient de Poisson ultime

ur Coefficient de Poisson en charge dcharge

Contrainte

n Contraintes normales

tension Rsistance a la traction

Angle de frottement interne du sol

u Angle de frottement ultime

Angle de dilatance du sol

tassement diffrentiel

S tassement

k* Indice de gonflement

*

*

Indice de compression

Indice de fluage

incrment de dformation volumique.

Introduction gnrale

INTRODUCTION GENERALE

La capacit portante a toujours t l'un des sujets les plus intressants en mcanique des sols et

des fondations. On appelle pression admissible la pression ou contrainte maximum qui puisse

tre applique par une structure sur un sol, sans quil y ait de tassements excessifs et de risque de

rupture du sol. En pratique l'incertitude sur ce problme fait introduire un coefficient de scurit

(Fs) entre 3 et 4.

Il existe une littrature tendue traitant le calcul de la capacit portante des fondations, par les

deux mthodes exprimentales et thoriques. Une liste des principales contributions de ce sujet

peut tre trouves dans Vesic (1973), Chen et McCarron (1991) et Tan et Craig (1995).

Les procdures de calcul classiques de la capacit portante bases sur la mthode de l'quilibre

limite imposent, d'une part, les directions des plans de rupture, reprsentent une approximation

trs grossire. D'autres parts ces thories supposent que le sol se comporte comme un matriau

associ, avec un angle de dilatance gal l'angle de frottement interne . Il est bien connu que

pour les sols rels, l'angle de dilatance est gnralement considr infrieur l'angle de

frottement interne.

La plupart des mthodes d'estimation de la capacit portante sont bases sur des tudes

effectues originalement sur une semelle filante, Prandtl (1921) et Reissner (1924) modifies

plus tard afin de les adapter d'autres conditions comme par exemple la forme de la fondation,

l'inclinaison de la charge, l'excentrement de la charge .etc.

Dans la littrature traitant le calcul de la capacit portante des fondations superficielles et

prcisment les fondations filantes, on remarque d'une part que la majorit des cas tudies ont t

bass soit sur une semelle reposant sur un sol surface libre Kumar J, Ghosh P (2007) soit sur

une surface libre d'un talus d'autre part. Cependant, peu de travaux ont t consacrs au cas d'une

semelle filante reposant sur une bicouche granuleuse.

Ce travail est considr comme une initiation la recherche dans le domaine de lanalyse

numrique pour le calcul de la capacit portante d'une semelle filante, en faisant varier la largeur

B de la semelle, l'paisseur de la premire couche ainsi que les caractristiques mcaniques des

deux couches. La mthode des lments finis est utilise dans la prsente tude en se basant sur

le logiciel Plaxis V.8.

1

Introduction gnrale

Le prsent mmoire est compos de quatre chapitres, une introduction gnrale et des

conclusions.

Le premier chapitre est consacr la recherche bibliographique. La dfinition des

fondations superficielles, leur fonctionnement ainsi que les diffrents mcanismes de rupture

de ces fondations ont t prsents dans ce chapitre.

Le deuxime chapitre prsente les diffrentes mthodes de calcul de la capacit

portante, des cas particuliers des fondations dpendant de plusieurs paramtres

(caractristiques mcaniques, morphologie des terrains.etc.)

Le troisime chapitre est consacr la description gnrale de l'outil de calcul

(Plaxis) ainsi que les modles de comportement utiliss dans la prsente tude. Un aperu sur

la mthode des lments finis a t donn aussi dans ce chapitre tout en montrant

l'importance de celle-ci dans la rsolution des problmes complexes de gotechnique.

Le quatrime chapitre, le modle gotechnique tablit pour cette tude est prsent.

Les rsultats obtenus sont galement prsents et analyss dans ce chapitre. Linterprtation des

rsultats fait galement appel aux rsultats obtenus par divers chercheurs avec lesquels les

rsultats numriques obtenus dans le cadre de ce mmoire sont compars.

Enfin les conclusions principales tires de cette tude ont t prsentes la fin de ce mmoire.

2

Chapitre I

APERU BIBLIOGRAPHIQUE SUR LE

COMPORTEMENT DES FONDATIONS

SUPERFICIELLES

3

Chapitre I Aperu bibliographique sur le comportement des fondations superficielles

I.1 Les fondations

I.1.1 Introduction La partie infrieure dune structure qui transmit les charges au sol est dsigne par le terme de

Fondations . Les fondations peuvent tre classes en deux majeures catgories, ce sont les

fondations superficielles et les fondations profondes.

Quand le sol sous-jacent la structure (fondations) ne peut pas supporter la charge applique ou

les tassements sont trop importants, les charges provenant de la structure sont transmis au moyen

de pieux et puits de grandes profondeurs sur des couches plus rsistantes ; ces types de

fondations sont dsigns par le terme fondations profondes .

Figure I.1: Types de fondations

Les lments gomtriques qui dfinissent une fondation superficielle sont:

B, la largeur de la fondation ;

L, la longueur de la fondation ;

D, l'encastrement qui est la profondeur de la base de fondation.

4


Figure I.2 Fondation superficielle.

I.1.2 Fondations superficielles Les fondations superficielles sont des fondations faiblement encastres qui reportent les charges

au niveau des couches superficielles de terrains. Les fondations profondes reportent les charges

dans les couches profondes, mais aussi dans, les couches superficielles, qu'elles traversent. Pour

diffrencier ces deux types de fondations on est amen dfinir la notion de profondeur critique

qui est la profondeur au-dessous de laquelle la rsistance sous la base de la fondation n'augmente

plus. Les fondations superficielles ont leurs bases au- dessus de cette profondeur critique.

Une fondation est dite superficielle si D < 1,5 B

Si D > 5B la fondation est dite profonde ;

Si 1,5B


Figure I.3 Fondation filante

B Les fondations isoles On entend par isole, une fondation prsentant une gomtrie proche du carr (ou du rond).

Ce type de fondation est mis en oeuvre dans le cadre d'un btiment prsentant des descentes de

charges concentres (poteaux, longrines sous murs).

- Exemple : Une semelle sous un poteau.

Les fondations isoles, dont les dimensions en plan B et L sont toutes deux au plus de quelques

mtres ; cette catgorie inclut les semelles carres (B/L = 1) et les semelles circulaires

(de diamtre B) ;

Figure I.4 Fondation isole

C Les radiers ou dallages Les radiers ou dallages ont des dimensions B et L importantes ; cette catgorie inclut les radiers

gnraux.

6


Figure I.5 Fondation de type radier

Pour des raisons de cot, on cherche souvent fonder un ouvrage superficiellement. Si cette

solution nest pas satisfaisante dun point de vue technique ou conomique, une solution en

fondation profonde est envisage.

I.2 Fonctionnement Des Fondations Superficielles

I.2.1 Comportement dune semelle charge Les tassements qui vont se produire sous une semelle superficielle sont en fonction de l'intensit

de la charge applique et qui ont l'allure de la Figure (I.6).

Figure I.6: Chargement d'une semelle superficielle.

7


QL est la charge limite de la semelle : c'est la charge maximale que peut supporter celle-ci et qui

entrane la rupture.

Comme cette valeur n'est pas trs bien dfinie, on considre souvent que QL est la charge

Correspondant un certain enfoncement.

A : l'aire de la semelle, la contrainte de rupture de la semelle est :

q I = QL /A

La contrainte admissible qa, c'est la valeur de cette contrainte qui permettra au bureau d'tude de

dimensionner les fondations.

On constate sur la Figure (I.6) que qa devra dpendre de deux conditions :

Un critre de rupture qa = QL/FS

Avec Fs : coefficient de scurit gnralement pris gale 3

La contrainte admissible devra, en effet, tre telle que tout risque de rupture est vit.

Un critre de dformabilit : la condition prcdente tant suppose remplie et

la semelle charge de telle sorte que la contrainte admissible transmise au sol qa, cette semelle

tassera de la valeur S (Figure I.6).

Il conviendra d'assurer que le tassement est compatible avec le comportement de l'ouvrage.

La valeur du tassement admissible dpend donc directement du type de l'ouvrage, elle peut varier

du millimtre (antennes spatiales) au mtre (rservoirs de ptrole de trs grands diamtres).

Pour toute tude de fondation, et ceci est galement vrai pour les fondations profondes, les deux

aspects de la stabilit qui se traitent pratiquement d'une faon indpendante devront tre

examins.

Scurit vis vis de la rupture, le problme consiste dterminer la contrainte de

rupture qI ; tout en considrant qu'un quilibre limite de plasticit est atteint.

Tassement sous la contrainte de service q qa, la contrainte q est telle que

Dans la plupart des cas, on peut considrer qu`aucun point du massif de sol

Dans lequel les fondations sont ancres, le seuil de plasticit n'est pas atteint.

Dans ces Conditions, il s'agit d'un problme de dformations lastiques.

I.2.2 Mode de rupture d'une fondation superficielle Soit une fondation superficielle de largeur B dont la base se trouvant une profondeur

Df au-dessous de la surface du sol. Si cette fondation est soumise une charge Q qui est

graduellement augmente, la charge par unit de surface, q = Q / A (A: surface de la fondation),

8


augmentera et la fondation subira un tassement. Au dbut du chargement, la dformation du sol

sous la semelle augmente approximativement en fonction de la charge, il s'agit donc d'un

quilibre pseudo lastique, puis la dformation prend des valeurs nettement plus grandes.

Si le sol sous la base de la fondation est form d'un sol ferme, tel q'un sable dense o une argile

raide, on appliquant la charge, il y a formation d'un coin sous la base de la Fondation, qui refoule

le sol latralement selon des lignes de glissement dbouchant la surface. L'enfoncement de la

fondation provoque gnralement un soulvement du sol d'autant plus net que la structure est

moins dformable. C'est le cas pour les sols relativement rsistants.

Figure I.7 Rupture par cisaillement gnralis

Dans ce cas, on observe un tassement qui croit jusqu' une valeur limite (q = qu ) partir de

laquelle le tassement continue sans qu'il y ait accroissement dans l'effort, le sol subit alors une

rupture brusque par cisaillement.

9


La surface de rupture dans le sol est reprsente dans la figure I.7.a et la courbe chargement-

tassement est reprsente dans la figure I.7.b .Ce type de rupture s'appelle rupture par

cisaillement gnralis, qu est la capacit portante ultime. La valeur de la charge maximale

q = qu est clairement dfinie dans la courbe chargement-tassement (figure I.7.b).

Si le sol supportant la fondation est constitu d'un sable moyennement dense ou un sol

argileux d'une consistance moyenne figure (I.8.a), la courbe chargement tassement sera comme

indique dans la figure (I.8.b).

Figure I.8 Rupture par cisaillement localis

On remarque que la valeur de q augmente avec le tassement jusqu' q = qu , qui est

habituellement appele la premire charge de rupture. A ce moment, la surface de rupture

dveloppe dans la masse du sol sera comme celle montre par la courbe continue dans la figure

(I.8.a). Si la charge applique par la fondation est encore augmente, la courbe chargement-

tassement devient raide et irrgulire et la surface de rupture se prolonge suivant la courbe

reprsente en trait discontinue dans la figure (I.8.b). Quand q devient gal qu (capacit

portante ultime), la surface de rupture atteint la surface du terrain. Au del, la courbe

10


chargement-tassement prend presque une forme linaire, et une charge maximale n'est jamais

observe. Ce type de rupture est appel rupture par cisaillement localis.

La figure (I.9.a) montre la mme fondation, mais cette dernire surmonte un sable lche ou un

sol argileux. Pour ce cas, la courbe de chargement-tassement sera comme celle montre dans la

figure (I.9.b). La fondation pntre verticalement dans le massif sans perturber le sol qui n'est

pas directement sous la fondation Une valeur maximale de charge par unit de surface, q, n'est

jamais observe. La capacit portante ultime (qu) est dfinie comme le point o le rapport S/q

devient le plus grand et peu prs constant. Ce type de rupture dans le sol est appel rupture par

poinonnement. Dans ce cas, la surface de rupture ne s'tend jamais la surface du terrain.

.

Figure I.9 Rupture par poinonnement

11


Pour les sols cohrents, l'application du chargement est accompagne d'une augmentation de la

pression interstitielle. Mais comme la vitesse de chargement est souvent suprieure la vitesse

ncessaire pour la dissipation de ces surpressions, il est raisonnable de supposer que

l'enfoncement s'effectue volume constant (en conditions non draines). Pour les sols

pulvrulents, l'application du chargement entrane une variation de volume due la

rorganisation des grains (ds enchevtrement ou compaction des grains selon les niveaux de

contraintes atteints). La charge de rupture (ou capacit portante) peut tre estim par des calculs

relativement simples en supposant que les paramtres de rsistance des sols au voisinage de la

fondation sont connus. Cependant, de trs nombreux facteurs peuvent affecter cette valeur

comme :

Des phnomnes se produisant au cours de la construction (soulvement du fond de

fouille aprs une excavation, gonflement ou ramollissement des argiles, effets du gel,

etc.) ;

Des interactions avec d'autres constructions proximit (battage de pieux, vibrations,

excavation de tranche, creusement de galeries, rabattement de la nappe phratique,

etc.).

La nature de rupture dans le sol la charge ultime est en fonction de plusieurs facteurs tels que la

rigidit et la compressibilit relative du sol, la profondeur dencastrement de la fondation Df par

rapport sa largeur B, et le rapport de la largeur la longueur B/L de la fondation .Ceci a t

clairement expliquer par Vesic (1973) qui conduit plusieurs essais raliss sur modles rduits

au laboratoire dans le cas dun sable. La conclusion de ses rsultats est montre dans la Figure

(I.10).Dans cette figure, Dr est la densit relative du sable, et R et le rayon hydraulique de la

fondation qui est dfini comme suit : R =A/P

Ou :

A : Surface de la fondation = B.L

P : Primtre de la fondation = 2. (B+L).

On remarque dans la figure (I.10), pour Df / R 18, la rupture par poinonnant se traduit quelle

que soit la valeur de la densit relative du sable.

12


Figure I.10: Nature de rupture dans un sable en fonction de la densit relative Dr et Df /R.

I.3 Philosophies de conception des fondations I.3.1 Mthode de contrainte admissible (utilisation de facteur de scurit) Le facteur de scurit Fs est de l'ordre de 2 3 ou plus, il est employ pour s'assurer que les

charges des fondations sont de manire significative moins que la rsistance au cisaillement du

sol de support et que les tassements ne sont pas excessifs.

La valeur relativement leve du facteur singulier de la scurit tient compte de :

Incertitudes vis--vis les conditions de charge et des variations

dfavorables de charge.

Incertitudes vis--vis ltat de sol ainsi que ses paramtres.

Consquences de rupture, incertitudes dans les mthodes d'analyse

(mode rupture, etc.).

I.3.2 Mthode d'tat limite (utilisation du facteur partiel de scurit) Vise s'assurer que toutes les conditions d'excution appropries sont satisfaites dans toutes

les circonstances imaginables:

tat Limite ultime .Concern par l'effondrement et lendommage majeur.

tat Limite D'utilit ..Concern par l'utilit et lendommage mineur.

13


Les exemples des tats de limites incluent:

Rupture par cisaillement.

Rupture par glissement.

Rupture par renversement.

Tassement ou soulvement excessif.

Rupture de la structure de l'lment de fondation.

Il convient de noter que la portance admissible des fondations superficielles est presque

toujours commande par des critres de tassement et trs rarement par des critres de rupture par

cisaillement. Cependant, en ce qui concerne la scurit contre la rupture de cisaillement, la

charge structurale permise sur une fondation est calcule par la mthode contrainte admissible.

Lors d'une tude prliminaire ou du contrle d'un calcul, il est utile de connatre les ordres de

grandeur de la capacit portante admissible pour des roches ou des sols types. Il y a une gamme

des mthodes empiriques bases sur des rsultats d'essai in situ. Tableau (I.1). Fournit de telles

valeurs ; naturellement, celles-ci doivent tre prises avec prudence.

Tableau I.1 Rsultats partir d'essais in situ

Catgorie Types des roches et des sols Capacit portante admissible Sols pulvrulents Gravier dense ou sable et gravier dense > 600 kN/m

// Gravier dense moyen, ou sable et gravier denses moyens

< 200 600 kN/m

// Gravier lche, ou sable et gravier lches < 200 kN/m

// Sable compact > 300 kN/m

// Sable dense moyen 100 300 kN/m

// Sable lche < 100 kN/m dpendent dessus degr de relchement

Sols cohrents

Argiles plus "bold"trs raides et argiles dures

300 600 kN/m

// Argiles raides 150 300 kN/m // Argiles et vases molles < 75 kN/m

// Argile ferme

75 150 kN/m

14


I.4 Conclusion Une fondation superficielle est une fondation dont lencastrement D dans le sol nexcde

pas quatre fois la largeur B. Le mcanisme de rupture et la distribution des contraintes sous la

fondation dpendent gnralement de la nature du sol. Plus le sol est compact et prsente une

bonne rsistance au cisaillement, plus il aura de portance, et donc, plus la semelle aura des

dimensions rduites.

Un projet de fondation superficielle correct doit rpondre aux proccupations suivantes :

La fondation doit exercer sur le sol des contraintes compatibles avec la rsistance la

rupture de celui-ci, cest le problme de la capacit portante.

Le tassement de la fondation doit tre limit pour viter le basculement ou la ruine de

lensemble et pour empcher lapparition de fissures localises qui rendraient louvrage

inutilisable.

15

Chapitre II

METHODES DE CALCUL DE LA CAPACITE

PORTANTE

16

Chapitre II Mthodes de calcul de la capacit portante

II. 1 Introduction : La dtermination de la force portante des fondations est lun des problmes les plus

importants de la mcanique des sols. On appelle pression admissible la pression ou contrainte

maximale qui puisse tre applique par une structure sur un sol, sans quil y ait de tassements

excessifs et de risque de rupture du sol.

Deux types d'lments sont analyser pour une fondation superficielle

La capacit portante de la fondation. Cest--dire vrifier les terrains (et ventuellement

le matriau de fondation qui peuvent effectivement supporter la charge transmise).

Le tassement sous les charges de fonctionnement.

La capacit portante est gnralement dtermine partir des proprits mcaniques des

terrains mesures soit au laboratoire, soit in-situ.

Parfois la dtermination de la capacit portante est effectue partir d'essai de chargement,

mais ceci est trs rare pour les fondations superficielles.

Le prsent chapitre est consacr aux mthodes de calcul de la capacit portante. Aprs une

Prsentation des mthodes classiques par ordre chronologique, nous illustrons les diffrents cas

particuliers des fondations qui dpendent de plusieurs paramtres comme (caractristiques

mcaniques, morphologie des terrains.etc.)

II.2 Problme quivalent

La fondation ne se pose pas sur la surface du sol, en rgle gnrale elle est place, aprs

Creusement, une profondeur D. La base de la semelle est alors choisie comme plan de

rfrence sur lequel sexercent des contraintes de compression gale Qu/B lemplacement de

la semelle et qs= D lextrieur.

Ce nouveau schma rsume le problme quivalent qui se substitue au cas rel pour rsoudre

les problmes de fondation (figure II.1)

Qu Qu/B D

qS=D

B

Figure II.1 problme quivalent

17


II.3 Dfinition de la capacit portante Si on applique une charge Q croissante une fondation, au dbut du chargement le

comportement est sensiblement linaire (Les dplacements verticaux croissent

proportionnellement la charge applique).

A partir d'une certaine charge Qd, les dplacements ne sont plus proportionnels la charge.

Enfin, pour une charge QL les dplacements deviennent incontrlables, le sol n'est plus capable

de supporter une charge suprieure, figure (II.2). Cette charge est la charge limite ou ultime, ou

encore la capacit portante de la fondation.

Qd QL charge Q Dplacements Verticaux

FigureII.2 : Schmatisation de l'volution des dplacements verticaux

Sous une fondation superficielle en fonction de l'augmentation de la charge (d'aprs R.Frank).

II.4 Mthodes de calcul de la capacit portante pour le cas d'un chargement

vertical

Aucune solution mathmatique rigoureuse ne permet encore danalyser le phnomne de la

rupture. Bien des mthodes ont t proposes, mais toutes admettent quelques approximations

simplificatrices quant aux proprits du sol et aux dplacements qui se produisent,

approximations non conformes aux phnomnes observs.

En dpit de ces insuffisances, les comparaisons entre les capacits portantes limites de

modles rduits et de fondations en vraie grandeur montrent que la marge derreur est un peu

plus grande que pour les problmes de stabilit avec les autres matriaux.

18


Les tudes de stabilit a la rupture (habituellement dnomme cisaillement total) repose sur

lhypothse que le sol se comporte comme un matriau plastique idal. Cette hypothse fut

avance pour la premire fois par Prandtl au sujet du poinonnement des mtaux, puit tendue

ltude des sols par Terzaghi, Meyerhof, Buisman, Caquot & Krisel et De Beer&Vesic,

Leur approche gnrale du problme est identique : une fondation de longueur infinie et de

largeur B exerce une pression moyenne qu sur un sol homogne dont le poids spcifique est .

La charge qui agit sur la fondation est verticale, constante, et sexerce dans laxe de la semelle.

On se trouve donc en prsence dun problme deux dimensions.

II.4.1 Thorie de Rankine : (les coins de Rankine) La figure (II.3) reprsente une semelle de rapport (L/B) trs grand et un encastrement D, et

qui repose sur un sol de cohsion C, avec un angle de frottement .

La figure (II.4) reprsente les coins de Rankine utiliss dans cette analyse.

Le coin I est un coin actif,

Le coin II est un coin passif.

Les rsistances horizontales ou latrales et qui agissent sur l'interface des deux coins sont

dsignes par P et elles se caractrisent par une mme magnitude et deux directions

opposes.

Cependant, la force P associe au coin (I) reprsente la pression active. Tandis que la force P

du coin (II) est la pression passive.

Figure.II.3 : Semelle reposant sur un sol (c.)

19


FigureII.4 : Les coins de Rankine .

- Pour le cas passif (coin II) nous avons :

(2.1)

Do,

+=2

45tan2

PK (2.2)

- Pour le cas actif nous avons :

(2.3)

do,

=2

45tan2

aK (2.4)

\1

Les deux rsultantes sont supposes avoir une mme magnitude, alors on peut crire :

(2.5)

L'expression qui donne la charge maximum que supportera la semelle :

( ) ( ) 2...2.1...2

1PaP

aPa

aU KqKKK

CKK

KHq +++

= (2.6)

Mais, a

P KK

1= ; alors daprs la figure (II.4) :

20

HKqKHCHKP PPP .....2...2

1 2 ++=

HKqKHCHKP aUaa .....2...2

1 2 +=

HKqKHCHK PPP .....2...2

1 2 ++ HKqKHCHK aUaa .....2...21 2 +=


aK

BBH

.22

45tan.2=

=

(2.7)

Alors, l'expression de qU devient :

( ) 22121123 ....2....4

1PPPPPPPU KqKKKCKKKBq +

++= (2.8)

Ou bien ; 22

12

32

12

5...2...

4

1PPPPPU KqKKCKKBq +

++

= (2.9)

Qui s'crit sous la forme condense :

La capacit portante :

NBNqNCq qCU ...21

.. ++= (2.10)

Avec;

= 2

12

5.

2

1PP KKN (2.11)

+= 2

12

3.2 PPC KKN (2.12)

2Pq KN = (2.13)

O :

N : est le facteur de surface

N : est le facteur de cohsion

Nq : est le facteur de profondeur

Le schma de Rankine n'est q'une approximation trs grossire du vritable comportement du

sol. En ralit, les exprimentations sur modles rduits montrent que sous la fondation se forme

un coin, limit par des forces planes inclines qui s'enfonce avec la semelle et se conduit en corps

solide. Il exerce une pousse sur le sol adjacent qui ragit en bute avec frottement sol- sur- sol.

II.4.2 Thorie de Prandtl (1920) D'aprs Prandtl, le mcanisme de rupture sous la fondation considre que la base de la

fondation est lisse, donc un tat actif de Rankine est dvelopp dans le coin AA'O (figureII.5).

21


Le systme est form par trois zones successives.

La zone I en quilibre de pousse de Rankine.

La zone II en quilibre de Prandtl.

La zone III en quilibre de butte de Rankine.

Dans la zone I et III, la famille de lignes de glissement est forme de droites.

Dans la zone II, une famille de ligne de glissement est constitue de courbe. Il s'agit de lignes

de glissement appartenant cette mme famille et qui sont homothtiques entre elles et

forment des spirales logarithmiques. Lautre famille des lignes de glissement est forme de

droites, faisant un angle de avec la normale aux points dintersection avec les spirales, et

ayant toutes un point de rebroussement lintersection des deux surcharges.

Il est noter que les spirales logarithmiques peuvent scrire sous la forme, en

coordonnes polaires, de :

(r = r .e tan )

Figure II.5 : Mcanisme de rupture d'une fondation de base lisse (Prandtl (1920)).

Le problme se ramne l'tude de l'quilibre du bloc (AOe) en crivant que le moment en A de

l'ensemble des forces est nul.

Le problme bidimensionnel d'un sol pulvrulent non pesant d'angle de frottement interne et

charg normalement sa surface par deux rpartitions uniforme, a t rsolu pour la premire

fois par Prandtl [1920].

On notera q1 et q2 les intensits des contraintes critiques qui agissent respectivement sur les

22


rayons polaires AO et Ae. L'quilibre de pousse et de butte de Rankine dans un milieu non

pesant donne :

=24

.1

tgqq u et

+=24

..2 tgDq

On peut traduire l'quilibre du bloc AOe en crivant que le moment en A de l'ensemble des

forces appliques est nul.

Soit, 0tan...2

tan...2 21

= qAeAeqAOAO

On a alors tgeAe

AO =

Donc, q1 et q2 sont lis par la relation suivante dans l'quilibre de Prandtl :

tgtg eeAe

AO

q

q ...22

2

1 ==

= (2.14)

Puisque l'angle que fait AO et Ae est gale 2

On abouti donc finalement ;

tgu etgDq.2 .

24..

+= Cest--dire : tgq etgN.2 .

24

+=

Cette formule est quelque fois appele formule de Prandtl Caquot, car ces deux auteurs l'on

publie, indpendamment l'un de l'autre vers [1920].

II.4.3 Thorie de Terzaghi (1943) En 1948, Terzaghi propose une thorie assez bien conue pour dterminer la capacit portante

ultime pour une fondation superficielle (rigide, continue, et avec une base rugueuse) supporte

par un sol homogne dassez grande profondeur ; Terzaghi dfini les paramtres gomtriques de

la fondation superficielle comme suite : B D (B : Largeur de la semelle), D Profondeur de

lancrage. La surface de rupture dans le sol provoque par la charge ultime (qu) ; la surface de

rupture du sol sous la fondation peut tre divis en trois (03) majeures zones. Ce sont :

Zone abc : cest zone triangulaire lastique situe immdiatement sous la fondation.

Linclinaison des faces ac et bc avec lhorizontale est langle = (angle de frottement

du sol).

Zone bcf. Cette zone est dite zone de cisaillement radial de Prandtl.

23


Zone bfg. cest la zone passive de Rankine. Les lignes inclines dans cette zone font un

angle de (45-/2) avec lhorizontale. Il est noter que la zone de cisaillement

radial2, et la zone passive de Rankine 3 existe aussi gauche du triangle lastique

zone abc, cependant ils ne sont pas montrs. La ligne cf est un arc spiral logarithmique

dfinie par lquation (r = r .e tan )

Les lignes b et g sont des lignes rectilignes. En principe, la droite g continue jusqu' la

surface du sol, mais Terzaghi suppos que le sol au dessus du niveau de la base de la semelle

est remplace par une surcharge = D.

Figure II.6 surface de rupture du sol sous une charge ultime dune semelle filante rigide daprs Terzaghi

La contrainte de cisaillement dans le sol est donne par : = ' tan + c (2.15)

O est la contrainte effective normale

et c : cohsion

La capacit portante ultime, qu, de la fondation peut tre dtermine en considrant les faces ac

et bc du triangle abc et en dterminant les forces passives sur chaque face provoquant la rupture.

Il est noter que la force passive Pp est une fonction de la surcharge q = .Df , cohsion c, poids

volumique , et de langle de frottement interne du sol.

D'aprs la Figure, II.7 la force passive Pp sur la face bc par unit de longueur de la fondation

est:

Pp = Ppq + Ppc + Pp (2.16)

Avec : Ppq, Ppc et Pp composantes de la force passive dues respectivement q, c, et

24


Figure II.7 les forces passives agissant sur la face bc du triangle abc. Par ailleurs il est important de noter que les directions Ppq, Ppc, et Pp sont verticales, et puis la

face bc fait un angle avec lhorizontale, et Ppq. Ppc , et Pp doivent faire un angle avec la

normale de bc , pour obtenir les valeurs de Ppq. Ppc , et Pp la mthode de superposition peut tre

utiliser , mais ce nest pas une solution exacte.

Ainsi il a t dmontr que

(2.17)

Pareillement lexpression des termes qc et q ont t dmontr :

(2.18) (2.19)

Avec kp = coefficient de pouss des terres (passive) La charge ultime par unit de surface de la fondation (c'est--dire la capacit portante ultime qu)

pour un sol avec cohsion c, et un poids spcifique peut s'ecrire d'onc :

qu = qq +qc +q (2.20)

25


en remplaant qq, q et qc par leurs expressions trouves prcdemment, on aura comme

expression de la capacit portante :

(2.21)

O Nc , Nq , et N sont les facteurs de la capacit portante

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Les valeurs des facteurs sont prsentes sur le tableau II.1, les valeurs de N sont obtenues par

Kumbhojbar (1993)

TABLEAU II.1 : FACTEUR DE LA CAPACITE PORTANTE SUIVANT TERZAGHI

26

NBNqNcq qcu ...21

.. ++=

+=

245cos.2 2

tan

24

32

eN q

tan1cos2

12

=

KN

( )1cot124

cos.2cos

2

tan

24

32

=

+=

qc Ne

N


Pour les fondations rectangulaires ou circulaires, la condition (en dformation plane) dans le sol

charge ultime nexiste pas. Par consquent, Terzaghi (1943) propose les expressions suivantes

NBNqNcq qcu ...4.0...3.1 ++= (Semelle carre BxB) (2.25) (Semelle circulaire diamtre B) (2.26)

Depuis les travaux de Terzaghi, de nombreuses tudes exprimentales pour lestimation de la

capacit portante ultime des fondations superficielles ont t accomplies. En se basant sur ces

tudes, il apparat que les hypothses de Terzaghi concernant la surface de rupture dans le sol

sont dans lensemble correctes.

Cependant, langle que font les faces ac et bc du triangle (abc) (fig.II.6 ) avec lhorizontal est

infrieur 45+/2 et non comme propos par Terzaghi.

Dans ce cas, lallure de la surface de rupture dans le sol sera comme indiqu sur la

Figure II.8).

Cas d'un cisaillement partiel :

En ce qui concerne la rupture par cisaillement partiel, Terzaghi (1943) propose les relations

suivantes:

Fondation continue (B/L=0, L = longueur de la fondation)

'...21

''.''. NBNqNcq qcu ++= (2.27)

Fondation carre (B=L)

'...4.0''.''..3.1 NBNqNcq qcu ++= (2.28)

Fondation circulaire (B= diamtre)

'...3.0''.''..3.1 NBNqNcq qcu ++= (2.29)

Avec N'c , N'q , et N' sont les facteurs de la capacit portante modifis.

Et c'= 2c/3

Les paramtres de la capacit portante peuvent tre obtenus en substituons par

' = tan-1 (0.67 tan) la valeur dans les quations (2.22), (2.23), et (2.24).

27

NBNqNcq qcu ...3.0...3.1 ++=


Figure II.8 : surface de rupture modifie dans sol supportant une fondation superficielle

chargement ultime

Pour les valeurs N'c, N'q, et N' sont reportes sur le tableau II.2

TABLEAU I1.2 : FACTEURS DE LA CAPACITE PORTANTE MODIFIES (TERZAGHI).

II.4.4 Dtermination de la charge limite selon Caquot et J. Krisel

II.4.4.1 Formule gnrale

La charge limite de la fondation est dtermine en superposant trois tats de rsistance. C'est-

-dire :

28


La rsistance du sol pulvrulent sous le niveau de la semelle, entranant une

certaine rsistance Q. (figure.II.9.a) ; 2 : est les poids volumique des terres

sous le niveau de la semelle;

L'action des terres situes au-dessus du niveau des fondations et supposes agir

comme une surcharge qo = 1.D ( ou q'o =

'1.D , le cas chant) sur un milieu

pulvrulent non pesant, d'o une rsistance Qp, (figure. II.9.b) : 1 est le poids

volumique des terres au-dessus du niveau de la semelle ;

L'action de la cohsion, d'o une rsistance Qc (figure II.9.c).

La charge limite de la fondation ou capacit portante sera : Qu = Q + Qp + Qc ,

Et la contrainte de rupture : qu = q + qP + qc ; avec B

Qq ii =

De nombreux auteurs, ont rsolu le problme en faisant des hypothses diffrentes sur la

rugosit de la semelle et la forme de la zone en quilibre limite, c'est--dire sur l'allure des

surfaces de glissement. Bien que les valeurs numriques soient parfois assez diffrentes. Toutes

ces tudes conduisent la formule gnrale suivante :

ccqqu NCSNqSNBSq ........5,0 02 ++= (2.30)

S , Sq , Sc : sont des coefficients dpendant de la forme des fondations.

Figure II.9 : Dcomposition de la charge limite.

Les trois termes de cette formule correspondent ceux dfinis prcdemment :

Le premier terme est appel terme de surface : Il est proportionnel B ;

Le second est appel terme de profondeur : Il est proportionnel D ;

Le troisime est appel terme de cohsion : Il est proportionnel la cohsion C.

N, Nq et Nc : sont des coefficients numriques qui dpendent uniquement de l'angle de

frottement interne .

29


II.4.4.2 Dtermination des coefficients N, Nq, Nc, selon A. Caquot et J. Krisel Le calcul est ralis pour une semelle continue base horizontale encastre dans un sol

homogne et supportant une charge verticale centre. Le problme tant deux dimensions, il est

possible de considrer une tranche de longueur unit dans le sens perpendiculaire B.

Avec ces hypothses, les coefficients S , Sq et Sc, sont tous gaux 1 et la formule s'crit :

cqu NCNqNBq .....5,0 02 ++=

A- Terme de surface N

Le coin AMC (zone I de la figure II.10) est suppos faire un angle au sommet M de

2

.

Il est en quilibre surabondant et fait corps avec la fondation.

Le poinonnement de la fondation dans le milieu pulvrulent se produit lorsque la bute sur les

crans fictifs AM et CM est entirement mobilise.

La rsultante de la bute sur CM s'crit :

R = 0,5.2.B.C2.Kp (2.31)

S'agissant d'un frottement sol contre sol, le contact est parfaitement rugueux le long de AM et

CM et l'angle de frottement sur CM est gal (-) . Par suite, la rsultante est incline de

(-) sur la normale l'cran et la valeur de Kp est obtenue partir des tables de bute de

Caquot et Krisel (1953) pour =0 , =- et

=24

(2.32)

L'ensemble des forces verticales est en quilibre. Ces forces sont :

La capacit portante de la fondation par unit de longueur Q=q.B (2.33)

Le poids W du coin ACM,

+

=

24tan.

4.

2

2

BW (2.34)

Les deux composantes verticales des ractions de bute Rp sur AM et CM.

La figure (II.10) montre que la rsultante Rp fait avec la verticale d'un angle de

24

et que

=

24cos.2

B

CM (2.35)

L'quilibre des forces verticales s'crit :

=+24

cos..2

RWQ (2.36)

Soit en remplaant W, R et CM par leurs valeurs :

30


+

+

==

24tan

24cos

24cos

..4

.2

2

pKB

B

Qq (2.37)

Figure II.10 : Dtermination du terme de surface. (Philipponat G. Hubert B)

La comparaison avec le terme de surface de la formule gnrale : ( ) NBq ...5,0 2= conduit la formule suivante :

+

+

=

24tan

24cos

24cos

..2

1

2

pKN (2.38)

B- Terme de profondeur Nq

Dans ce cas, on calcule la capacit portante de la semelle qu encastre d'une profondeur D. La

surcharge uniformment rpartie p de part et d'autre de la semelle AB est gale P= 1.D

(figure II.11).

Figure II.11 : Dtermination du terme de profondeur.

31


Comme dans le cas d'actions du sol sur un cran, on a deux quilibres de Rankine spar par un

quilibre gnral en spirale logarithmique (figure II.11).

Le calcul donne l'expression suivante de q.

tg

u etgPq.2

24.

+=

Avec P= 1.D

tgu etgDq

.21 24

..

+= (2.39)

Avec 1 : poids volumique du sol au-dessus de la semelle.

En posant qu=qq (contrainte ultime de profondeur)

qq NDq ..1= (2.40)

On appellera Nq : terme de profondeur

tg

q etgN.2

24

+= (2.41)

Avec : angle de frottement du sol au-dessous de la semelle.

C- Terme de cohsion Nc

On applique le thorme des tats correspondants de CAQUOT. On est ramen au problme

prcdent en remplaant 1. D par H=C/tg (figure II.12).

(Figure II.12).

tgu etgHHq

.2

24.

+=+

+= 124

.2 tgu etgHq

En posant qu = qc (contrainte ultime de cohsion)

cc NCq .= avec

32


tgN

N qc1

=

pour un sol fin satur cisaill court terme u = 0 et Cu 0 ; on fait tendre 0 et on obtient :

2+= cN

(Terzaghi pour une semelle rugueuse a montr Nc = 5,7).

Cette formule donne la capacit portante dune semelle sans encastrement fonde sur un sol fin

satur sous un chargement rapide (phase de chantier, court terme).

On peut tendre cette approche la construction des remblais sur sol fin satur en assimilant le

remblai une fondation superficielle.

II.5 Mthodes de calcul de la capacit portante pour des cas particuliers

Le problme de la capacit portante expos prcdemment suppose que le sol supportant la

fondation est homogne et stend sur une grande profondeur sous de la fondation, et on suppose

aussi que la surface du sol est horizontale, cependant ceci nest vrai pour tous les cas.

Il est possible de rencontrer une couche rigide faible profondeur, ou un sol stratifi avec

des couches de caractristiques mcaniques diffrentes, o quil soit ncessaire de construire une

fondation sur ou prs dun talus. Cest le problme de la capacit portante de ces cas que nous

essayons daborder dans cette section.

II.5 .1 Fondations supportes par une couche de sol au dessus dune base rigide

La Fig. II.13.a : montre une semelle continue rigide base rugueuse supporte par une couche

de sol qui stend sur une grande profondeur. La capacit portante ultime de cette fondation peut

tre exprime (en ngligeons le facteur de profondeur)

(2.42)

La profondeur de la zone de rupture dans le sol due la charge ultime qu est gale D. La valeur

de D obtenue pendant l'valuation du facteur de la capacit portante Nc et Nq par Meyerhof est

donn sous une forme non dimensionnelle dans la figure. (II.14). De la mme faon, la

magnitude de D obtenue par Lundgren et Mortensen (1953) pendant l'valuation de N est donn

dans Figure (II.15).

Maintenant si une base rugueuse rigide est localise une profondeur H < D au-dessous de la

base de fondation, un dveloppement complet de la surface de rupture dans le sol sera limit.

33


Dans un tel cas, la zone de rupture du sol et le dveloppement des lignes de glissement la

charge ultime sera comme indiqu dans la figure. (II.13.b). Mandel et Salencon (1972) ont

dtermins les facteurs de la capacit portante pour un tel cas par intgration numrique en

utilisant la thorie de plasticit. La capacit portante ultime d'une fondation continue rugueuse

avec une base rugueuse rigide localise une petite profondeur peut tre donne par la relation

(2-43)

Sol homogne stendant une grande profondeur

Figure II.13 : surface de rupture sous une fondation continue rigide

Base rigide et rugueuse faible profondeur

34


Notons que, pour H D, Nc* = Nc, Nq* = Nq, et N* =N (Lundgren et Mortensen 1953). Les

variations de Nc*, Nq*, et N* avec H/B et l'angle du frottement du sol sont donns dans les

figues. (II .16), (II .17), et (II .18), respectivement.

Figure II.14 : variation de D/B avec l'angle de frottement du sol pour (Nc et Nq)

Figure II .15 variation de D/B avec langle de frottement (pour N). En ngligeant les facteurs de la profondeur, la capacit portante ultime des fondations circulaires

et rectangulaires rugueuses sur une couche du sable (c = 0) avec une base rigide rugueuse

localise une petite profondeur peut tre donne comme

(2-44)

35


Les facteurs de forme cits ci-dessus varient en fonction de H/B et . Bass sur le travail de

Meyerhof et Chaplin (1953) et avec lhypothse simplificatrice qui, dans les plans radiaux, les

contraintes et les zones du cisaillement sont identiques ceux dans les plans transversaux,

Meyerhof (1974) a valu les valeurs approximatives de *qs et * s comme

(2-45)

(2-46)

Figure II .16: facteur de la capacit portante de Figure II .17: facteur de la capacit portante de

Mandel et Salencon N*c [eq (2-43)] Mandel et Salencon N*q [eq (2-43)]

La variation de m1 et m2 avec H/B et est donne dans les figures (II-19) et (II-20)

Pfeifle et Das (1979) ont dirigs des essais de laboratoire pour vrifier la thorie de Mandel et

Salencon (1972). La figure (II-21) reprsente la comparaison de l'valuation exprimentale de

N* pour une fondation de surface rugueuse (Df = 0) sur une couche du sable avec thorie.

L'angle de frottement du sable utilis pour ces essais tait 35 figure (II-21). Les conclusions

suivantes peuvent tre tires

36


1- La valeur de N* pour une fondation donn augmente avec la diminution de H/B.

2- La grandeur H/B D/B ; la prsence d'une base rugueuse rigide n'a aucune influence sur

N* la valeur d'une fondation est approximativement 50-75% plus que celle prdit par la

thorie.

3- Pour H/B entre 0.6 et presque 1.9, les valeurs exprimentales de N* sont plus grandes

que celles donne par la thorie

4- Pour H/B < presque 0.6, les valeurs exprimentales de N* sont considrablement

infrieures celles qui sont prdit par la thorie. Il peut tre d deux facteurs: (a)

l'crasement des grains du sable telles hautes valeurs de charge ultime, et (b) la nature

curviligne de l'enveloppe de rupture rel de sol hauts niveaux des contraintes normales.

Figure II .18 : facteur de la capacit portante de Mandel et Salencon N* [eq (2-43)]

37


Figure II .19 : variation de m1 (valeurs de Meyerhof) pour l'utilisation dans l'quation

du facteur de forme modifi [eq (2-45)]

Figure II-20 : variation de m2 (valeurs de Meyerhof) pour l'utilisation dans l'quation du

facteur de forme modifi [eq (2-46)]

38


Figure II-21 : Comparaison entre les valeurs exprimentales et thoriques de N*

( =43, c=0).

II-5-2 Fondation sur une couche de sol raide surmontant un sol mou

Meyerhof et Hanna (1978) ont dvelopps une thorie pour estimer la capacit portante ultime

d'une fondation filante rigide sur une couche de sol raide surmontant une couche de sol mou fig

(II-22). D'aprs leur thorie, une charge ultime par unit de surface, qu, la surface de rupture

dans le sol sera comme celle de la figure (II-22).

Figure II-22 : fondation filante rigide sur une couche de sol dense surmontant argile molle

39


Si le rapport H/B est relativement petit, une rupture du cisaillement local se produira dans la

couche du sol raide suivie par une rupture de cisaillement gnral dans la couche de sol mou. En

considrant la longueur unitaire de la fondation continue, la capacit portante ultime peut tre

donne par :

(2-47) Avec B = largeur de la semelle

1 = Densit de sol ferme

a= force dadhsion le long de aa et bb

Pp = force passive sur les faces aa et b

q= la capacit portante au bas de la couche

= angle de la force passive PP avec lhorizontale.

Notons que dans lquation (2-47)

Ou ca = unit dadhsion (2-48)

(2-49) O KpH = composante horizontale du coefficient de pousse des terres.

(2-50) Nc(2), Nq(2), N(2) = les facteurs de la capacit portante de la couche du sol infrieure (c'est, en ce

qui concerne l'angle du frottement de la couche du sol infrieure, 2)

La combinaison des quations (2-47), (2-48) et (2-49) entrane lquation suivante

(251) O :

(2-52) Avec : Ks = le coefficient de cisaillement perfor Alors :

(2-53) 40


Figure II-23 : La thorie de variation de Ks avec 1 et q2/q1 de Meyerhof et Hanna

Le coefficient de cisaillement local peut tre dtermin en utilisant les tableaux du coefficient de

la pression du sol passif propos par Caquot et Kerisel (1949). La figure (II-23) donne la

variation de Ks avec q2/q1 et 1. On notera que q1 et q2 sont les capacits portantes ultimes d'une

fondation de la surface continue de largeur B sous charge verticale sur couches homognes des

sols suprieurs et infrieurs, respectivement, ou

(2-54)

O : Nc(1), N(1) = les facteurs de la capacit portante correspondant langle de frottement du sol

1

(2-55)

Figure II-24 : fondation filante rigide sur bi-couche de sol (H/B est relativement petite)

41

Sol raide

Sol mou


Si la hauteur H est grande compare avec la largeur B, alors la surface de rupture sera

compltement localise dans la couche de sol raide suprieure comme la figure (II-24). Dans tel

cas, la limite suprieure pour qu sera de la forme suivante :

(2-56)

Do, en combinant les quations 53 et 56 :

(2-57)

Pour la fondation rectangulaire, lquation prcdant peut tre modifie comme :

(2-58)

O : a, s : facteurs de forme

(2-59)

(2-60)

cs(1), qs(1), s(1) = facteurs de forme pour la couche de sol suprieur (langle de frottement 1 ;

voir le tableau II-3 )

cs(2), qs(2), s(2) = facteurs de forme pour la couche de sol infrieur (langle de frottement 2 ;

voir le tableau II -3 )

Bas sur les quations gnrales [(2-58), (2-59) et (2-60)] ; on prend un cas spcial en

considrant la couche suprieur comme sable dense et la couche infrieur comme argile molle.

42


II-5-3 Capacit portante dune couche de sable dense sur argile molle satur

Figure II-25 : la surface de rupture sous une fondation filante suporte par une couche du sol

granulaire dense surmontant une argile molle

Dans ce cas : c1 = 0 et do ca = 0 aussi pour 2 = 0 ; Nc(2) = 5.14 ; N(2) = 0 ; Nq(2) = 1 ;

cs = 1+0.2 (B/L) ; qs = 1 (les facteurs de forme sont des valeurs de Meyerhof comme

Prsent dans le tableau II-3)

( 2-61 )

O :

(2-62)

Dans lquation (2-62) les relations pour les facteurs de forme qs, et s sont celles donnes par

Meyerhof (1963) comme prsent dans le tableau II-3. Noter ce Ks est la fonction de q2/q1

[quations (2-54) et (2-55)] pour ce cas

(2-63)

43


Tableau II-3 rsum des facteurs de formes

Une fois q2/q1 est connue, la grandeur K peut tre obtenue de la figure (II-23) qui, par la suite,

peut tre utilis dans l'quation. (2-61) pour dtermine la capacit portante ultime de qu de la

fondation. La valeur du facteur de forme Ks pour une fondation filante peut tre pris comme un.

Pour les fondations carrs ou circulaires, daprs le travail exprimental de Meyerhof et Hanna

(1978), la valeur de s parat varier entre 1.1 et 1.27. Pour un calcul conservateur il peut tre pris

gale un.

Bas sur ce concept, Hanna et Meyerhof (1978) ont dvelopps des courbes alternatives pour

dterminer les coefficients de cisaillement local Ks, et ces courbes sont montres dans les figures

(II-26) et (II-27). Pour utiliser ces courbes, il est recommand de suivre les tapes suivantes:

1- Dterminer q2/q1

2- Avec les valeurs connus de 1 et q2/q1, dterminer la valeur de /1 de la figure (II-26)

3- Avec les valeurs connus de 1 et q2/q1 et c2, dterminer Ks de la figure (II-27)

Figure II-26 : analyse de variation de /1 avec q2/q1 et 1 de Meyerhof et Hanna (pour sable dense

sur argile molle)

44

Facteur Relation Rfrence

forme Pour

pour

MEYERHOF 1974


Figure II-27 : analyse du coefficient de cisaillement local du sable dense sur argile molle de

Meyerhof et Hanna : a) 1 = 50, b) 1 = 45, c) 1 = 40

45


II-5-4 Fondation sur la surface dun talus

en 1957, Meyerhof proposer une thorie pour dterminer la capacit portante ultime dune

fondation superficielle situe sur la surface dun talus. La Figure (II.28) montre la nature de la

zone plastique dveloppe dans le sol.

Figure II.28: Nature de la zone plastique sous une fondation filante Rugueuse situe sur une pente.

Sous la fondation filante rugueuse de largeur B situe sur un talus Meyerhof proposer trois

zones :

abc : est une zone lastique. La zone acd prsente un cisaillement radial et ade prsente une

zone de cisaillement.

Les efforts normaux et de cisaillement sur le plan ae sont P0 et S0 respectivement.

On note aussi que le talus fait un angle avec lhorizontale.Les paramtres de rsistance au

cisaillement du sol sont C et ; et son poids spcifique est

La portance finale peut tre exprime comme suit:

(2-64)

La relation peut galement tre exprime comme suit :

(2-65) Avec : Ncq, Nq sont les facteurs de la capacit portante.

Pour le sol purement cohrent (c'est--dire = 0) :

(2-66)

46


La Figure (II.29) montre la variation de Ncq avec langle du talus et le nombre de la stabilit

du talus Ns .

On note que :

(2-67)

Avec H : hauteur du talus.

Figure II.29: Variation du facteur de la capacit portante de Meyerhof Ncq pour Un sol purement

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