Schémas aux différences finies pour l’équation de …Schéma explicite décentré : diffusion...
Transcript of Schémas aux différences finies pour l’équation de …Schéma explicite décentré : diffusion...
Schémas aux différencesfinies pour l’équation de
transport
Solution exacte (faible) :
schéma explicite centré
Ordre 1 en temps et 2 en espace
Etude de stabilité dans : méthode de von Neumann
Coefficient d’amplification :
Condition de stabilité de von Neumann :
CNS ici car G est scalaire
✳1er cas : constant
!
" Schéma instable
✳2eme cas : constant
!
" stable, mais coûteux en temps de calcul
!
" Schéma déconseillé
Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite centré (instable)
schéma explicite décentré
est constant, ∆t >0, ∆x>0, c≠0
Ordre 1 en temps et 1 en espace
Caractéristiques :
Si α<0 (c.a.d. c<0, schéma décentré aval) ou α>1 :
Si 0<α≤1 :
!
" Schéma instable
!
" Schéma décentré amont stable si c Δt / Δx ≤ 1 (cond. CFL)
Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite décentré amont
(CFL= 0.99)
Transport d’un créneau calculé avecle schéma explicite décentré amont
(CFL= 0.2)
Schéma explicite décentré :diffusion numérique, équation
équivalenteProblème général :
identifier des propriétés du schéma numérique que nepossède pas l’EDP initiale (effets parasites dûs auschéma)
Outil : équation équivalente
On approche les solutions du schéma numérique par cellesd’une EDP « équivalente ».
L’erreur de troncature du schéma vis à vis de cette EDP est d’ordre supérieur à l’erreur de troncature pour l’EDP initiale
Equation équivalente pour le schéma explicite décentré(on suppose constant )
On cherche sous la forme :
!
un(x)
!
un(x) = v(x,n"t)
!
= 0
L’« équation équivalente » du schéma décentré :
s’obtient en négligeant le reste :
Remarque :
⇒consistance à l’ordre 2 avec l’équation équivalente
Propriétés de l’équation équivalente :
Si c<0 ou α>1 : diffusion négative ⇒instabilité du schéma
Si 0<α≤1 : équation de convection-diffusion
⇒ explique la « diffusion numérique » observée dans les simulations. Le schéma est « diffusif ».
Coefficient de diffusion ou « viscosité » numérique :
schéma explicite centré : équation équivalente
on suppose constant
On cherche sous la forme :
!
un(x)
!
un(x) = v(x,n"t)
!
= 0
Equation équivalente :
diffusion négative ⇒instabilité du schéma
Idée : compenser le terme de diffusion négative enajoutant dans le schéma un terme de diffusion positive
⇒Schéma de Lax-Wendroff
Le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre 2en temps et en espace
Si u vérifie :
Stabilité du schéma de Lax-Wendroff
Coefficient d’amplification :
Etude de stabilité dans : méthode de von Neumann
Si |α|>1 :
Si |α|≤1 :
!
" Schéma instable
!
" Schéma de Lax-Wendroff stable danssi |c| Δt / Δx ≤ 1
Après quelques simplifications :
Equation équivalente du schéma de Lax-Wendroff:
on suppose constant
On cherche sous la forme :
!
un(x)
!
un(x) = v(x,n"t)
!
=O("x3)
Equation équivalente : PAS DE VISCOSITE NUMERIQUE
Equation équivalente du schéma de Lax-Wendroff :
Il s’agit d’une équation « dispersive » :
la vitesse des ondes planes dépend de leur nombre d’onde
!
v(x, t) = Acos(kx "#t +$)
⇒ relation de dispersion :
!
"
k= c(1+
#x2
6($ 2
%1)k2)
Caractère dispersif du schéma ⇒déconseillé dans le cas de solutions discontinues
Transport d’un créneau calculé avec le schémade Lax-Wendroff et le schéma décentré amont
Transport d’une gaussienne calculé avec leschéma de Lax-Wendroff et le schéma décentré
amont