Sangakus?Sangakus

Des mathématiques divines?

•Qu’est que c’est?

•D’où viennent-ils? Petite histoire...

•Des constructions surprenantes et… difficiles

•Des sources de problèmes pour les classes

•A la manière de…

•Aller plus loin (ou ailleurs) avec l’inversion.

Qu ’est-ce que des

sangakus?

Tablettes en bois gravées de problèmes mathématiques, accrochées en offrande dans

les temples japonais du XVIIième au XIXième siècle.

Exemples

D’où viennent-ils? Petite histoire

Durant le XVIe siècle le Japon fut la proie de guerres féodales. Vers 1543 les portugais abordent le Japon suivis bientôt par les espagnols, les hollandais et les anglais.

Les premières églises furent fondées et les Jésuites convertissent au christianisme.

Au début du XVIIe siècle, les guerres féodales prennent fin et les Tukugawa , vainqueurs, s’installent à Edo qui deviendra Tokyo.

Les shoguns, craignant que l’expansion du christianisme soit un prélude à une invasion occidentale, interdisent la prédication de la doctrine chrétienne et la découverte d ’une chrétienne dans l’entourage du shogun régnant déclenche la persécution et l’expulsion des chrétiens. La doctrine chrétienne est alors jugée incompatible avec l’ordre intérieur.

Petite histoire … suite

Les occidentaux désertent peu à peu le Japon et le commerce avec l ’extérieur périclite.

En 1635,le shogun interdit à tout Japonais de se rendre à l’étranger, sous peine de mort: Le japon se referme sur lui même. Le shintoïsme est alors religion officielle au Japon (jusqu’en 1945).

Le shintoïsme est un polythéisme qui admet « huit cent myriades de Dieu », les kamis.

La période d’isolement du Japon prendra fin en 1854 avec l ’arrivée du capitaine Perry à la tête du flotte de guerre américaine pour que des traités commerciaux soient signés.

Petite histoire (suite)

Cette période d ’isolement fût finalement une période florissante pour les arts et les mathématiques.

Auparavant, les mathématiques s’était peu développées au Japon.Dès le VIeme siècle , les mathématiques chinoises s’étaient introduites au Japon et au VIIIeme siècle la plupart des résultats chinois d’arithmétique, d’algèbre et de géométrie, le théorème de Pythagore , les nombres relatifs ... étaient connus des mathématiciens japonais.

Et les mathématiques...Mais le véritable développement des mathématiques au Japon (wasam) commence au début du XVIIeme siècle avec Shigeyoshi Mori , puis avec son élève Mitsuyoshi Yoshida (1598-1672). Tous deux traitent essentiellement de calcul et de logique.

Quand le shogunat des Tokugawa s’éffondre en 1867, le gouvernement fait adopter les mathématiques occidentales ou yosam. Les mathématiques japonaises deviennent alors anecdotiques.

Et les sangakus...C’est pendant cette période de prospérité des mathématiques que se développa la pratique des sangakus, «tablettes mathématiques », la plupart des gens étant attirés par la beauté de la géométrie. Certaines de ces tablettes sont d’ailleurs de véritables objets d’art.

On trouvait déjà depuis plusieurs siècles des gravures sur bois dans les sites religieux (shintoïstes ou bouddhistes), mais c’étaient surtout des représentations de chevaux ; les fidèles trop pauvres ne pouvant en offrir des vivants aux dieux . Puis on a vu apparaître vers le milieu du XVIIeme siècle les sangakus. Ils sont d’origines diverses, faits par des enfants ou des adultes, des samouraïs ou des fermiers, des hommes ou des femmes. Certains traitent donc de problèmes de géométrie élémentaire, d’autres utilisent les théories des mathématiciens de l’époque et on trouve ainsi des résultats qui anticipent des théorèmes découverts ultérieurement en Occident .

Où les trouve-t-on?

Des constructions surprenantes et… difficiles

La plupart des sangakus traitent de la géométrie mais les problèmes traités sont bien différents de ceux traités en occident: les cercles, les ellipses, les inscriptions de figures à l’intérieur d’autres figures sont fréquents.

Certains problèmes sont élémentaires d’autres nécessitent des techniques avancées de calcul ou de géométrie affine et certains problèmes provenant d’une élite, utilisent les théories des mathématiciens japonais de l’époque et anticipent des résultats

découverts ultérieurement en occident. La plupart des tablettes sont livrées sans démonstrations..

Théorème de Casey

Déterminer la relation qui unit les rayons et le côté du carré ?

(sangaku trouvé en 1874 à Gumma)

Problème de Malfatti

Inscrire dans un triangle trois cercles tangents entre eux deux à deux et tangents chacun à deux côtés du triangle

Cercles inscrits tangents

Quel est le rayon du n-ième petit cercle en fonction du rayon du grand cercle ?

Théorème des six sphères de Soddy

Quel est le nombre de petites sphères que l’on peut tracer?

Problème mentionné sur une tablette de1822

Exemples simples …

D’autres exemples

Troisième exemple

Relation entre les rayons des trois cercles :

312

2 rrr

A la manière de…

A vous:

http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.sangaku.info/images/fukushima/Sangaku_Fukushima_2583_small.jpg&imgrefurl=http://www.sangaku.info/index.fr.html&usg=__2_DXxVESVYWtHKqWp2VSxDW_rNQ=&h=100&w=133&sz=24&hl=fr&start=34&tbnid=PIF2IMaBgSQMBM:&tbnh=69&tbnw=92&prev=/images%3Fq%3Dsangakus%26start%3D18%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN

Bibliographie et sites

Tangente n° 53

Pour la Science N°249 juillet 1998

http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.sangaku.info/images/fukushima/Sangaku_Fukushima_2583_small.jpg&imgrefurl=http://www.sangaku.info/index.fr.html&usg=__2_DXxVESVYWtHKqWp2VSxDW_rNQ=&h=100&w=133&sz=24&hl=fr&start=34&tbnid=PIF2IMaBgSQMBM:&tbnh=69&tbnw=92&prev=/images%3Fq%3Dsangakus%26start%3D18%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN

http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.sangaku.info/images/fukushima/Sangaku_Fukushima_2583_small.jpg&imgrefurl=http://www.sangaku.info/index.fr.html&usg=__2_DXxVESVYWtHKqWp2VSxDW_rNQ=&h=100&w=133&sz=24&hl=fr&start=34&tbnid=PIF2IMaBgSQMBM:&tbnh=69&tbnw=92&prev=/images%3Fq%3Dsangakus%26start%3D18%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sangaku