Révision de géométrie a�ne et a�ne euclidienne

Introduction

Cette feuille concerne les sections 7 et 8 du programme, qui seront comméntées ci-dessous.Il est important de comprendre la di�érence entre les deux et savoir quels phénomènes sontpurement a�nes (c.à.d. ne dépendent pas de produit scalaire, et donc de distance et orthogo-nalité, dé�nies via ce produit scalaire) et lesquels ne le sont pas. N'importe quel livre classiquetraitant de ces sujets convient pour la révision.

Il peut aussi être utile de lire le livre 1 des Éléments d'Euclide en parallèle avec cette révision,car la géométrie a�ne euclidienne en dimension 2 et 3 (et, par extension, de dimension �niequelconque) est une modélisation plus rigoureuse et formelle de la géométrie d'Euclide d'uncôté, et d'autre côté le point de vue d'Euclide est plus proche de la façon dont on enseignela géométrie au collège. Plusieurs traductions sont disponibles sur internet (sur Gallica ousur euclides.fr par exemple). Il existe aussi un excellent site en anglais avec les hyperliens etconstructions bien illustrées.

N'hésitez pas à faire un dessin et de faire une démonstration � style collège � avant deprocéder à démonstration formelle dans le cadre de géométrie a�ne.

Programme

Le texte en italique contient quelques commentaires et recommandations sur les parties duprogramme qui précédent

7. Géométrie a�ne réelle en dimension �nie

Dé�nition d'un espace a�ne réel.Il est indispensable de bien travailler la dé�nition de l'éspace a�ne. Il faut bien distinguer

l'ensemble de points (qui peut être de n'importe quelle nature, il y a d'autres espaces que Rn

muni de sa structure a�ne canonique) de l'espace vectoriel. C'est la structure de l'espace a�nequi donne le lien entre les deux. Un sous-espace a�ne est di�érent de sous-espace vectoriel. Onne peut pas parler de � origine � ou de � zéro � de l'espace a�ne avant de �xer un repère.

Repères. Orientation. Volume algébrique d'un parallélépipède orienté. Applications a�nes.Projecteurs. Groupe a�ne. Isomorphisme entre le stabilisateur d'un point et le groupe linéaire.Symétries. Groupe des homothéties et translations. E�et d'une application a�ne sur les vo-lumes.

Encore une fois, il faut distinguer l'application a�ne (qui va de l'espace de points versl'espace de points) de l'application vectorielle sous-jacente (qui est un endomorphisme de l'es-pace vectorielle). Il faut connaitre à la fois les dé�nitions géométriques des applications citéesci-dessus et la dé�nition des endomorphismes sous-jacents.

Barycentres. Repères et coordonnées barycentriques. Isobarycentre.L'intérêt des barycentres dans ce cadre est de pouvoir décrire les positions relatives des points

par le signe des coe�cients. C'est ce qui permet de décrire un segment, une demi-droite, undemi-plan ou l'intérieur d'une �gure. Indispensable pour le paragraphe suivant.

Parties convexes. Intersection, images directe et réciproque par une application a�ne. En-veloppe convexe d'une partie. Exemples de problèmes d'optimisation.

8. Géométrie a�ne euclidienne orientée

8.1 PréliminairesPour toutes les situations géométriques, on distinguera les propriétés de caractère a�ne et

celles de nature métrique (ou euclidienne), ainsi pour les coniques ou pour certaines notionsdi�érentielles (tangentes, normales, courbure, etc.).

Attention ! On ne peut pas parler de l'espace a�ne euclidien avant d'introduire (ou de �xer)le produit scalaire. Di�érents produits scalaires donnent des structures euclidiennes di�érentesà un même espace a�ne.

Exemples d'utilisation de repères pour traiter des problèmes de géométrie.En particulier il faut penser à donner des exemples d'utilisation de repères non orthonormés.

8.2 GénéralitésEspaces a�nes euclidiens. Distance de deux points. Inégalité triangulaire.Il s'agit de la distance dé�nie via le produit scalaire : la distance AB est la norme du vecteur

~AB. Il faut savoir travailler avec ces distances sans passer par les coordonnées dans une base.Groupes des isométries et des déplacements. Génération du groupe des isométries par les

ré�exions, du groupe des déplacements par les demi-tours en dimension 3.Le terme � demi-tour � est très curieux ici. Il fait référence aux rotations, alors qu'il n'y a

pas besoin de les utiliser...Décomposition canonique d'une isométrie en u = t ◦ f = f ◦ t où t est une translation et f

une isométrie admettant au moins un point �xe. Application à la classi�cation des isométriesen dimension 2 et 3.

Faites des démonstrations géométriques, comme vous pourriez les faire à vos élèves. Notezles di�érences et les similarités avec les démonstrations dans le cadre a�ne euclidien.

Exemples de groupes d'isométries laissant stable une partie du plan ou de l'espace. Polygonesréguliers et groupes diédraux. Tétraèdres réguliers, cubes, octaèdres. Groupe des similitudesa�nes du plan.

8.3 Géométrie planeCette section contient les éléments purements a�nes et les éléments euclidiens.L'utilisation en parallèle des démonstrations niveau collège et des démonstrations dans le

cadre a�n euclidien est indispensable pour toute cette partie.Propriétés angulaires du cercle (angles au centre, angles inscrits) et applications.Cette partie est euclidienne : pour dé�nir le cercle on a besoin de la notion de distance,

donc du produit scalaire.Géométrie du triangle, éléments remarquables. Exemples de relations métriques et trigono-

métriques dans le triangle.Une remarque sur les droites remarquables. Les médianes (et donc le centre de gravité)

sont des objets a�nes. On n'a pas besoin de distance pour dé�nir le milieu. Les autres droitesremarquables sont des objets euclidiens, elles nécessitent soit l'orthogonalité soit la distance(soit les deux).

Utilisation des nombres complexes : a�xe d'un point dans un repère orthonormé direct,équations de droites et de cercles. Exemples d'applications géométriques (polygones réguliers,géométrie des cercles).

C'est une partie qui est très peu traitée dans la scolaritée actuelle. Il est important de garderen tête que l utilisation de complexes pour la résolution de problèmes géométriques n'est possibleque dans un plan et ce plan doit être muni d'un repère orthonormé. Le passage vers les complexes

se fait vie les coordonnées dans ce repère, mais l'interet d'utiliser les nombres complexes estjustement de pouvoir de se passer des coordonnées (la forme algébrique des complexes). Trèssouvent on n'a pas besoin d'utiliser une forme particulière des nombres comptexes du tout.

Puissance d'un point par rapport à un cercle. Axe radical de deux cercles. Orthogonalitéentre cercles.

8.4 ConiquesDé�nitions bifocale et par foyer et directrice. Classi�cation par l'excentricité. Équations

réduites.Image par une application a�ne et classi�cation a�ne : ellipse, parabole, hyperbole. Equa-

tions polaires des coniques propres lorsque l'origine est en un foyer. Exemples de propriétésgéométriques communes ou spéci�ques à chaque genre.

Sections planes d'un cône de révolution.Trajectoire parabolique d'un objet pesant dans un champ de pesanteur. Mouvement à ac-

célération centrale, notions sur le mouvement des planètes.

Exercices

Voici quelques exercices pour vous remettre dans le bain.Exercice 1. Donner au moins deux démonstrations (une � type collège �) et autre a�ne,

éventuellement euclidienne, pour chcun des résultats suivants.

1. Dans un triangle isocèle, lla bissectrice, la médiane et la hauteur issues du sommet princi-pal coïncident et les angles à la base sont égaux (précisez de quelle notion dégalité d'anglesil s'agit).

2. Les droites remarquables d'un triangle sont concourantes (deux démonstrations pourchaque type de droites).

3. Dans un cercle un angle au centre est deux fois plus grand que l'angle inscrit qui s'appuiesur le même arc.

Exercice 2. On se place dans l'espace R2 muni de sa structure a�ne canonique. Donnerla formule explicite de la projection sur la droite déquation x + y = 1 parall¨ement à la droited'équation y − 2x = 1.

Exercice 3. On se place dans un espace a�ne euclidien de dimension 3. Soit ABCD untétraèdre regulier. Montrer que les côtés AB et CD de ce tétraèdre sont orthogonaux.

Exercice 4. Soit ABC un triangle quelconque. On pose a = BC, b = CA et c = AB. Onnote U le barycentre de B et C a�ectés respectivement des coe�cients b et c.

1. On note B0 le point dé�ni par−→AB0=

b

b + c

−→AB. Exprimer B0 comme barycentre de A et

B.

2. On note C0 le point dé�ni par−→AC0=

c

b + c

−→AC. Exprimer C0 comme barycentre de A et

C.

3. Montrer que AB0UC0 est un losange.

4. Montrer que (AU) est la bissectrice intérieure de A dans le triangle ABC.

5. On considère le point I barycentre de A, B et C a�ectés respectivement des coe�cientsa, b et c. Montrer que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.

Exercice 5. Droite de SimsonSoit (Γ) le cercle circonscrit à un triangle ABC. Pour tout point M du plan, on appelle P ,

Q, R ses projections orthogonales sur les côtés BC, CA et AB respectivement.

1. En considérant les quadrilatères MBPR montrer que

(−→PQ,

−→PR) = (

−→MB,

−→MC) − (

−→AB,

−→AC).

En déduire que les points P , Q, R sont alignés si et seulement si M appartient à Γ. Cettedroite est alors applelée "droite de Simson" relative au point M .

2. On considère deux points M et M ′ sur Γ et d, d′ leur droites de Simson. Montrer l'égaliitéd'angles orientés

(d, d′) = (−→AM ′,

−→AM).

Démontrer qu'il existe une seules doite de Simson de direction donnée et que deux pointsdiamétralement opposés sur Γ ont les droites de Simson perpendiculaires.

Exercice 6. On considère une ellipse Γ d'équation cartésienne x2

a2+ y2

b2− 1 = 0.

1. Rappeler l'équation de la directrice d associée au foyer F (c, 0).

2. Soient A et A′ les sommets de Γ situés sur l'axe focal., et soit M un point quelconquede Γ. La droite (MA) coupe d en P , la droite (MA′) coupe d en Q. Démontrer que letriangle PFQ est rectangle en F .

3. Démontrer que, réciproquement, si un segment [PQ] de la directrice d est tel que l'anglePFQ soit droit, alors les droites (QA) et (PA′) se coupent sur Γ.