Résumé - Université Lavaldesharnais/Recherche/Theses/these... · 2014-01-17 · arian tes de...

RIDHA KHÉDRI

CONCURRENCE, BISIMULATIONSET ÉQUATION D'INTERFACE :

UNE APPROCHE RELATIONNELLE

Thèseprésentée

à la Faculté des études supérieuresde l'Université Lavalpour l'obtention

du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D.)

Département d'informatiqueFACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE

UNIVERSITÉ LAVALQUÉBEC

Avril 1998

c RIDHA KHÉDRI, 1998

Résumé

Cette thèse examine la modélisation de processus, la concurrence, l'intégration de pro-cessus, les simulations entre processus et les bisimulations, et cela, dans un formalismerelationnel. En e�et, nous modélisons un processus par une entité mathématique, diteprocessus relationnel, qui représente les actions et les ressources utilisées par un proces-sus. Un processus relationnel donne une description du processus physique en tant quesystème ouvert et dont il est facile de dériver une description du processus considérécomme système fermé. Nous introduisons cinq opérateurs relationnels de compositionparallèle : un opérateur de composition parallèle entrelaçante, deux opérateurs decomposition parallèle totalement synchrone et deux traduisant la vraie concurrence.En partant d'une notion de simulation appelée L-simulation dans la littérature, nousexprimons les bisimulations entre systèmes en fonction des abstractions faites pourpasser du modèle de l'un vers le modèle de l'autre. De même, en utilisant les élémentsde ces sujets, nous présentons une approche à la résolution de l'équation d'interface etnous proposons des solutions à certaines de ses variantes. Par tous ces traits, la présentethèse contribue également à étendre la portée des méthodes algébriques relationnellesaux systèmes réactifs.

Jules Desharnais John Plaice Ridha KhédriDirecteur de recherche Co-directeur de recherche Étudiant

Résumé

Cette thèse examine la modélisation de processus, la concurrence, l'intégration de pro-cessus, les simulations entre processus et les bisimulations, et cela, dans un formalismerelationnel. De même, en utilisant les éléments de ces sujets, elle présente une approcheà la résolution, pour le processus relationnel X et la relation d'abstraction �, de l'équa-tion P o X u-�Q, dite équation d'interface, où P;Q et X sont des modèles de processus,o un opérateur de composition parallèle, et u-� une relation entre les modèles de pro-cessus. Le processus inconnu X peut désigner une spéci�cation à dériver, un contrôleurou un convertisseur à déterminer.

Nous donnons une manière de modéliser un processus physique. Nous représentonsun processus par une entité mathématique dite processus relationnel s'écrivant sousla forme d'un quintuple ( (J;K : J;K 2 U : P

JK);�P ; EP ;!P ; FP ). La première

composante du quintuple représente les actions et les ressources utilisées par un proces-sus. Les quatres autres représentent respectivement la relation d'entrée, un ensembled'indices EP indiquant des variables reliées à la dé�nition de la relation d'entrée, unerelation de sortie et en�n un ensemble d'indices FP donnant des variables reliées àla dé�nition de la relation de sortie. Le processus relationnel donne une descriptiondu processus physique en tant que système ouvert et dont il est facile de dériver unedescription du processus considéré comme système fermé.

Cette thèse apporte également une contribution par l'introduction de cinq opé-rateurs relationnels de composition parallèle : un opérateur de composition parallèleentrelaçante, deux opérateurs de composition parallèle totalement synchrone et deuxtraduisant la vraie concurrence. Chacun des opérateurs de vraie concurrence est ex-primé uniquement grâce à l'opérateur de composition parallèle entrelaçante et à undes opérateurs de composition parallèle totalement synchrone. Tous ces opérateurs sebasent sur la modélisation de processus introduite dans cette thèse, ce qui permetd'aborder la concurrence d'une façon di�érente de l'approche utilisée par les méthodesde concurrence uniforme où les systèmes sont modélisés en considérant qu'ils exécutentdes actions a; b; c : : : qui ne sont pas sujettes à d'autres investigations. De plus, l'ana-lyse des résultats des opérations e�ectuées par chacun des opérateurs de compositionparallèle présentés dans cette thèse permet de détecter des situations de con�it ou deblocage.

Cette thèse concourt à exprimer les bisimulations entre systèmes en fonction desabstractions faites pour passer du modèle de l'un vers le modèle de l'autre. En partantd'une notion de simulation appelée L-simulation dans la littérature, nous dé�nissonsune notion de L-bisimulation et nous indiquons le chemin vers la dé�nition d'autres

iii

formes de bisimulation. Nous nous distinguons par le fait que nous n'avons pas lié labisimulation au genre de concurrence (entrelaçante ou autre).

En�n, cette thèse formule rigoureusement l'équation d'interface. Jusqu'à présent,l'équation d'interface a toujours été formulée en utilisant les termes de méthodes baséessur la concurrence uniforme, donnant ainsi des formulations qui ne tiennent pas comptedes ressources utilisées et qui sont spéci�ques à une sémantique de concurrence parti-culière, ou encore qui présentent de l'ambiguïté dans l'interprétation. Nous proposonségalement des solutions à certaines variantes de l'équation d'interface.

Par tous ces traits, la présente thèse contribue également à étendre la portée desméthodes algébriques relationnelles aux systèmes réactifs.

Jules Desharnais John Plaice Ridha KhédriDirecteur de recherche Co-directeur de recherche Étudiant

Avant-propos

Au terme de ce travail, je tiens à remercier tous ceux et celles qui ont participé à maformation et m'ont permis d'avoir la connaissance requise pour pouvoir déposer cettethèse. Mes deux parents, qui ont été les premiers à contribuer à cette formation, je lesremercie pour leurs sacri�ces tout au long de mes études et surtout pour avoir semé enmoi le goût pour la connaissance et le désir de l'acquérir. À cette occasion, j'aimeraisleur adresser ce mot en leur langue.

ÉJZu Ë É»E Ó¼§ Ë fÀ� BÃféÎm Ó¼§ ÂÝn»A Ë ÑÝv»A Ë ��B¨»A Li � fÀ�A ,ÁÎYj»A ÆB�j»A �A ÁnI

©_°Ã {Ò_Î´ÖÝ§ Ò_IiB´å¿ : º�_r�A éf__�A Ò»eB¨¿ Ë ,ÑB·B�A ,ÑAkAÌ�A} ÒÃÌÄ¨�A ÊhÇ �YËj�C ÐfÇC �¨�C

éeËC .Ðih�A ºË�¿ ÅI�Bu ,ÏIC �G Ë Ò¼Î� Ï¿C �G ,PBÀ�A f¨I Ë ÑBÎ�A � BÈI �B¨M � A

.AhÇ Ï¬¼J¿ ¼IC ÆC ½UA Å¿ ÑBÃB¨¿ Ë fÈU Å¿ ÊÜhI B� ÏÃB¯j§ Ôf¿ Å§ BÀ� jéJ§C ÆC ÑlÎUÌ»A Ñj´°»A ÊhÈI

.BÀÇByi K¼ñI Ë j¸r»A ½ÎÀ� BÀ� ÉéUÌMC ÂÌÎ»A ÏÃH¯

L'in�uence de mes derniers maîtres, mon directeur et mon co-directeur de recherche,a été autant marquante que celle de mes premiers. Je remercie mon directeur, le DrJules Desharnais, pour sa contribution majeure dans ma formation. Je lui dois le goûtdu travail soigné et le souci de la rigueur et de l'intégrité dans tout travail. Je le remercieégalement pour sa disponibilité, pour ses commentaires qui m'ont permis d'améliorermon travail, pour les nombreuses lectures de toutes les parties de cette thèse qu'il afaites et pour la simpli�cation d'un grand nombre de preuves dans cette thèse.

Le Dr John Plaice, mon co-directeur, par son esprit critique, par l'audace de sapensée et le pragmatisme de ses entreprises scienti�ques, m'a passé d'autres leçons.John, car c'est ainsi que je l'appelle, merci beaucoup pour ta disponibilité et pourtoutes les discussions dans les couloirs du pavillon Pouliot ou assis dans les escaliersautour d'un café.

Je remercie également le Dr Mourad Debabi pour avoir accepté de faire la prélecturede ma thèse et d'être un membre du jury. Des remerciements particuliers vont auxautres membres du jury, le Dr Marc Frappier et le Dr Brahim Chaib-draa, pour leurprécieux commentaires.

Terminer mon doctorat n'a été possible que grâce à une personne très spéciale pourmoi : ma conjointe Lise Fortier. Lise merci pour tout. Merci pour ton encouragement.Merci pour ta patience. Merci pour toutes les nombreuses soirées où tu es venue me

v

joindre à l'université. Merci pour toutes les consultations linguistiques. Et surtout mercid'avoir pu supporter, toutes ces années, les variations dans mon humeur et ma folie.

Des remerciements particuliers vont aux membres de ma famille pour leurs encoura-gements. Je remercie mes frères et soeurs Houcine, Ezzéddine, Fadhelma, Hayet, Najiaet A�fa. Comme je remercie Ezzine, Mohiddine, Sidi Abdelaziz et mes oncles. Je dédiece travail à mes neveux et nièces Raja, Mehdi, Mohamed-Ghazi, Nejla, Emna, Amel,Nawres et Nourchen.

Je tiens également à remercier les professeurs, les chargés de cours et tout le per-sonnel du département d'informatique pour la bonne ambiance qu'ils mettaient dans ledépartement et pour leur attitude très amicale. Je remercie Professeur William Hatcher(professeur retraité du département des mathématiques) pour les magni�ques cours delogique et de théorie des modèles que j'ai eus avec lui.

Aussi, à mes collègues, je dis un grand merci pour toutes les complicités, pourles veillées au local 3917 (ancien bureau des gradués en informatique) et pour votreencouragement. Particulièrement, je remercie la Dr Fairouz Tchier, Slim Baltagi, ImedJarras, Mourad Allouch, Slim Ben Lamine, Samir Gharbi (Génie Civil), Joey Paquet.Je remercie également André Caron pour l'aide qu'il m'a accordée dans l'utilisation delab .

En�n, je remercie mon ami de tous les temps, Moncef Bouhachim, pour son encou-ragement.

Table des matières

Résumé i

Résumé ii

Avant-propos iv

Table des matières vi

Liste des tableaux ix

Liste des �gures x

Terminologie et notation xii

Chapitre 1. Introduction 11.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Méthode et outil mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Applicabilité de l'équation d'interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Conversion de protocoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Dérivation de contrôleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Dérivation d'agents et factorisation de processus en CCS . . . . 71.3.4 Réutilisation de composantes matérielles . . . . . . . . . . . . . 81.3.5 Résumé de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Structure de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 2. Fondements mathématiques 122.1 Théorie élémentaire des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Opérations sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Propriétés des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Algèbres de relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Structures ordonnées et points �xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Points �xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Intersection démoniaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Table des matières vii

Chapitre 3. Projections et relations de cylindri�cation 333.1 Fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Propriétés des relations de cylindri�cation . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Propriétés des relations (J , K)-déterminées . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Chapitre 4. Processus relationnels 534.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Relation associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Processus atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Sous-processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5 Intégration séquentielle de processus relationnels . . . . . . . . . . . . . 684.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Chapitre 5. Opérateurs relationnels de composition parallèle 785.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Composition parallèle entrelaçante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2 Élément absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3 Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Composition parallèle totalement synchrone . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.1 Composition parallèle totalement synchrone minimale . . . . . . 945.3.2 Composition parallèle totalement synchrone maximale . . . . . 107

5.4 Composition parallèle vraie-concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4.1 Composition parallèle vraie-concurrence minimale . . . . . . . . 1235.4.2 Composition parallèle vraie-concurrence maximale . . . . . . . . 125

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Chapitre 6. Simulations et bisimulations : une approche relationnelle 1316.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2.1 Dé�nitions et liens entre les simulations . . . . . . . . . . . . . . 1346.3 Étude de la L-simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.1 Application aux processus relationnels . . . . . . . . . . . . . . 1416.4 La L-bisimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.4.1 Dé�nition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.4.2 Application aux processus relationnels . . . . . . . . . . . . . . 152

6.5 lab pour calculer les relations d'abstraction . . . . . . . . . . . . . . . 1576.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Chapitre 7. Équation d'interface : formulation et résolution 1597.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Formulation pour la L-bisimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Résolution avec CCS : exemple d'une approche procédurale . . . . . . 1607.4 Résolution de l'équation d'interface pour des abstractions connues . . . 161

7.4.1 Équation d'interface : cas de la composition parallèle entrelaçante162

Table des matières viii

7.4.2 Équation d'interface : cas de la composition parallèle totalementsynchrone minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Chapitre 8. Conclusion et problèmes ouverts 1858.1 Problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.1.1 Modélisation de processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.1.2 Concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.1.3 Bisimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.1.4 Résolution de l'équation d'interface . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Bibliographie 190

Liste des tableaux

0.1 Correspondance entre la notation linéaire et la notation usuelle . . . . xiii

5.1 Famille de relations de P0 � P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2 Famille de relations de P0 � P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Liste des �gures

1.1 Abstraction du problème de la conversion de protocoles . . . . . . . . . 51.2 Problème du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Un système à n modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1 Système de transitions illustrant l'exemple 4.4 . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Processus atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Processus non atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Processus et sous-processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Système de transitions illustrant le processus P de l'exemple 4.16 . . . 714.6 Système de transitions illustrant le processus Q de l'exemple 4.16 . . . 714.7 Système de transitions illustrant P Q de l'exemple 4.16 . . . . . . . 73

5.1 Illustration d'un producteur et d'un consommateur . . . . . . . . . . . 865.2 Illustration du système obtenu par la composition parallèle entrelaçante

du consommateur et du producteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Illustration d'un modèle d'un philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 Illustration de la composition parallèle entrelaçante de deux philosophes 925.5 Illustration de P � P 6= P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6 Illustration du système obtenu par la composition parallèle totalement

synchrone minimale du producteur et du consommateur . . . . . . . . 1035.7 Illustration du système obtenu par la composition parallèle totalement

synchrone maximale du producteur et du consommateur . . . . . . . . 1175.8 Illustration du système obtenu par la composition parallèle vraie-concurrence

minimale du producteur et du consommateur . . . . . . . . . . . . . . 1265.9 Illustration du système obtenu par la composition parallèle vraie-concurrence

maximale du producteur et du consommateur . . . . . . . . . . . . . . 128

6.1 Diagramme ayant quatre façons intéressantes de commuter . . . . . . . 1356.2 Les quatre façons de commuter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.3 Diagrammes donnant des liens entre les simulations . . . . . . . . . . . 1386.4 Illustration du processus relationnel P de l'exemple 6.11 . . . . . . . . 1436.5 Illustration du processus relationnel Q de l'exemple 6.11 . . . . . . . . 143

7.1 Le système formé par les deux zones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.2 Le système formé par les deux chambres . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Terminologie et notation

Dans ce document, nous utilisons des notations que nous estimons indispensable d'intro-duire. De même, nous y trouvons des entités et des constructions importantes pourlesquelles nous donnons ici les notations qui les représentent.

Au lieu d'utiliser une notation du genrePn

i=1E(i), une notation linéaire est adoptéeet ce pour des raisons de clarté, de simplicité et de concision rendues explicites dans[39, page 142].

Pour un opérateur binaire noté �, qui est associatif, commutatif et qui admet unélément neutre [39], la notation linéaire peut être exempli�ée par

�(x; y : x 2 X ^ y 2 Y ^ p : E )

où :

� les variables x et y sont distinctes. Elles sont appelées des variables muettes dela quanti�cation. Il peut y avoir une ou plusieurs variables muettes.

� X et Y sont les types des variables muettes x et y. Dans un intérêt de simpli�-cation et de concision, quand il est évident à partir du contexte, nous omettonsle type en écrivant

�(x; y : p : E ):

� p est une expression booléenne. Elle est appelée le domaine de la quanti�cation.L'expression p peut référer aux variables muettes x et y. Si le domaine est omis,comme dans

�(x :: E );

alors le domaine vrai est voulu.

� E est une expression appelée le corps de la quanti�cation. L'expression E peutréférer aux variables muettes x et y. Nous écrivons �X pour désigner

�(x : x 2 X : x ):

Terminologie et notation xii

Tableau 0.1: Correspondance entre la notation linéaire et la notation usuelle

Quanti�cateur Notation de la thèse Notation usuelle_ _ (x : x 2 X ^ p : E ) (9x 2 X : p ^ E)^ ^ (x : x 2 X ^ p : E ) (8x 2 X : p =) E)+ +(x : x 2 X ^ p : E )

Px2X; p(x)EQ Q

(x : x 2 X ^ p : E )Q

x2X; p(x)E

Le type du résultat de la quanti�cation est le type de E. Si, par exemple, E est uneexpression arithmétique, alors le résultat de la quanti�cation est numérique.

Nous adoptons cette notation linéaire à travers ce document pour tous les quanti-�cateurs. Le tableau 0.1 donne certains exemples montrant la correspondance entre lanotation usuelle et la notation linéaire utilisée dans cette thèse. La notation linéairetelle que nous l'utilisons est employée dans [5], alors que Gries [39] et Schmidt [87]utilisent une notation linéaire très proche de celle-ci.

Toute occurrence d'une variable dans une expression sans quanti�cation est uneoccurrence libre.

Aussi, par

(i : i 2 I : Pi );

nous désignons une famille d'éléments (Pi) indicés par les éléments de l'ensemble I. Lanotation conventionnelle utilisée pour désigner une telle famille est

fPi : i 2 Ig;

ou encore

fPigi2I :

Les démonstrations données dans cette thèse sont habituellement présentées dans

le style introduit par W.H.J Feijen dans [36]. Dans le texte d'une preuve, entre deux

lignes successives, sont intercalés un ou plusieurs indices (séparés par & ) expliquant

le passage d'une ligne à la suivante. Ainsi, lorsque cela est possible, nous disposons les

preuves de la manière suivante :

expression0

op0 h indice0 i

expression1

op1 h indice1 i

expression2

� � � h � � � i

expressionn

Terminologie et notation xiii

où opi, i = 0; � � � ; n� 1, est un opérateur relationnel (=; <;>;�;�;v;w; � � � ) commeil peut être aussi l'un des opérateurs logiques binaires =) ; (= ou () . Le com-mentaire indicei suggère des règles permettant le passage de l'expression expressioni�1à l'expression expressioni.

Certaines preuves dans cette thèse (à titre d'exemples 2.28(c), 2.28(d), 2.28(g),2.28(h) et 2.28(i)) utilisent une propriété connue sous le nom de règle de l'égalité indi-recte qui, pour une relation d'ordre partiel b, s'écrit comme suit :

y = z () ^ (x :: x b y () x b z ):

La démonstration de cette règle est donnée dans [93, page 16]. Ainsi, pour démontrery = z, il su�t de montrer x b y () x b z où x est arbitraire.

Le glossaire suivant donne les abréviations utilisées dans ce document ainsi queles notations employées pour désigner des entités et des constructions d'usage peucommun.

ssi si et seulement si

f , g, h des fonctions

�(f) le plus petit point �xe de la fonction f

�(f) le plus grand point �xe de la fonction f

P , Q, R, S, T , : : : des relations

RA$B relation de type A$ B

i, j, k des indices

I, J , K des familles d'indices

IP , JP , KP des familles d'indices associées au processus relationnelP

a, b, c, : : : des identités partielles, i.e. des relations incluses dansl'identité

P;Q;R des processus relationnels

�;�;[;\; des opérateurs ensemblistes

;; fg ensemble vide

v;w; t ;u; des opérateurs relationnels

??;>>; I relation vide, relation universelle, relation identité

b relation d'ordre

dY supremum de Y

Terminologie et notation xiv

eY in�mum de Y

v opérateur de ra�nement

u intersection démoniaque

PnQ résidu à droite de Q par P

Q=P résidu à gauche de Q par PQ

opérateur de produit cartésien

DI

Q(i : i 2 I : Di )

U ensemble universel dans un contexte donné

�I

projection de DU sur DI

�= égalité par dé�nition

:;^;_; =) ; (= ; () opérateurs logiques

N ensemble des naturels

Z ensemble des entiers

R ensemble des réels

II identité sur DI (i.e. IDI$DI )

opérateur de composition parallèle entrelaçante

� opérateur de composition parallèle totalement synchroneminimale

� opérateur de composition parallèle vraie-concurrenceminimale

� opérateur de composition parallèle totalement synchronemaximale

� opérateur de composition parallèle vraie-concurrencemaximale

k opérateur de composition parallèle totalement synchrone

k opérateur de composition parallèle vraie-concurrence

o opérateur sur les processus relationnels

P -̀� Q P U-simule Q par rapport à �

Terminologie et notation xv

P -a � Q P U�1-simule Q par rapport à �

P --� Q P L-simule Q par rapport à �

P -�� Q P L�1-simule Q par rapport à �

P u-� Q P L-bisimule Q par rapport à �

Selon un ordre décroissant, la priorité des opérateurs logiques est la suivante :

:;^;_; =) ; (= ; () :

Chapitre 1

Introduction

Les systèmes logiciels et matériels, par leur présence accrue, a�ectent de plus en plusnotre vie quotidienne. Leur �abilité est un aspect sur lequel il est souhaitable de travail-ler a�n de repousser sa limite le plus loin possible. Le moindre comportement inattendude ces systèmes peut engendrer des e�ets pouvant causer la perte de biens et pouvantnuire à la sécurité et au bien-être des personnes ou à la protection de la nature parexemple s'ils provoquent des déversements de produits chimiques. La �abilité de cessystèmes est fortement liée aux spéci�cations à partir desquelles ils sont construits.En e�et, un langage de spéci�cation rigoureux par lequel nous pouvons construire desmodèles de ces systèmes contribue, par sa clarté et sa précision, à l'augmentation deleur �abilité. Sur ces modèles, nous pouvons accomplir deux tâches qui améliorent l'as-pect �abilité ou qui nous conscientisent à la portée opérationnelle des systèmes. Lapremière tâche est de véri�er si les systèmes modélisés correspondent aux exigencessouhaitées et la deuxième consiste à examiner les modèles sous d'autres aspects a�nde prévoir les comportements des systèmes qu'ils modélisent et les interactions pos-sibles de ces derniers avec d'autres systèmes. Cela nous fait prendre conscience de leurscomportements.

La spéci�cation formelle d'un système est souvent écrite à partir d'exigences for-mulées en langage naturel. Elle peut également être dérivée par des procédés mathé-matiques. La première manière d'écrire les spéci�cations nécessite, par exemple, lapreuve de leur cohérence et de leur complétude. En revanche, la deuxième engendredes spéci�cations correctes du fait qu'elles sont dérivées (correctement et sans fautes)à partir d'autres spéci�cations par un procédé mathématique. La preuve de cohérencedes spéci�cations de départ est déjà faite. La présente thèse concourt essentiellementà l'usage de la deuxième méthode.

Cette thèse examine la modélisation de processus, la concurrence, l'intégration deprocessus, les simulations entre processus et les bisimulations. De même, en utilisantles éléments de ces sujets, elle présente une méthode de génération de spéci�cations.Celle-ci se base sur la résolution d'une équation dite équation d'interface. Cette équa-tion décrit des problèmes qu'on peut exempli�er comme suit. On désire concevoir unsystème qui, en interagissant avec un environnement donné, forme un système souhaitédonné par une spéci�cation. La spéci�cation du système générée à partir de l'équationd'interface est correcte du fait qu'elle est dérivée par des calculs rigoureux. Elle répond

1

1. Introduction 2

également aux exigences de l'équation d'interface. Cependant, dans le contexte d'uneapplication particulière, cette spéci�cation générée peut être plus ou moins préférable,du fait, par exemple, qu'elle donne une solution maximale.

Dans la littérature, la majorité des méthodes de modélisation de systèmes qui peu-vent s'étendre à l'étude de la concurrence sont des méthodes dites de concurrenceuniforme (� uniform concurrency � [23]). Dans ces méthodes, les processus étudiés exé-cutent1 des actions a; b; c � � � qui ne sont pas sujettes à d'autres investigations [96]. Celasigni�e que, si ces actions sont des a�ectations à des variables ou le geste de déposerune fourchette ou d'autres sortes d'actions, la nature de ces actions reste non spéci�ée.Dans cette thèse, nous adoptons une méthode qui tient compte de la nature des actionsainsi que des ressources utilisées dans leur accomplissement.

Au terme � concurrence � nous trouvons le sens de rencontre dans le temps, deconcours de réalisation d'une tâche et de con�it sur des ressources [10, 84]. Nous trou-vons également ces sens dans le terme anglais � concurrency � [37, 94, 99]. Par con-séquent, nous estimons que ce terme représente bien la notion que nous exprimons etil est également une bonne traduction du terme anglais � concurrency �. D'une façongénérale, la modélisation de la concurrence dépend essentiellement du modèle de réac-tivité dans lequel on se place. Nous trouvons dans [61] une hiérarchie de trois modèlespour la spéci�cation et la véri�cation des systèmes concurrents :

1. Le modèle des systèmes réactifs : c'est un modèle qui saisit l'aspect qualitatifde précédence temporelle. Ce modèle peut seulement indiquer si un événementprécède un autre, sans préciser de combien d'unités temporelles.

2. Le modèle des systèmes temps réel : il capture l'aspect métrique du temps dans unsystème réactif. Ce modèle peut mesurer le temps écoulé entre deux événements.

3. Le modèle des systèmes hybrides : il permet l'introduction de composantes con-tinues dans un système réactif temps réel. De telles composantes peuvent provo-quer des changements continus dans les valeurs de certaines variables selon deslois physiques ou bien des lois de contrôle.

Selon cette échelle, nous nous plaçons dans le cas du modèle des systèmes réactifs.

1.1 Objectif

Nous tentons de résoudre une équation qui comprend un opérateur de compositionparallèle et une relation d'équivalence. À cette étape de la thèse, nous pouvons formulernotre problème de la façon suivante :

(1.1) Formulation. Résoudre pour X l'équation suivante :

P k X �� Q

1Strictement parlant, les processus, étant une entité modèle, n'exécutent pas d'actions. Ce sontplutôt les systèmes physiques qu'ils modélisent qui le font.

1. Introduction 3

où P;Q et X sont des modèles de processus physiques et X est inconnu, où k est unopérateur binaire exprimant la composition parallèle2 et où �� est une relation per-mettant de comparer les modèles de processus physiques. 2

Nous remarquons que cette formulation est vague et laisse beaucoup de degrés deliberté dans l'interprétation de ses éléments. Nous la préciserons une fois que tous lesingrédients nécessaires auront été introduits dans les chapitres subséquents.

1.2 Méthode et outil mathématique

Pour illustrer la méthode qui a guidé notre recherche et que nous adoptons dans cettethèse, nous donnons l'exemple suivant. Supposons que nous avons à trouver une solutionà l'équation

a � x = b;

où a et b sont des entiers. Trois points sont à considérer. D'abord cette équation reliedes entités mathématiques appelées des entiers. Ensuite, il faut se demander quelleest la sémantique de l'opérateur � utilisé dans cette équation. En�n, on peut s'arrêtersur le sens du symbole =. Une fois que nous savons que � est la multiplication etque = est l'égalité dé�nie sur les entiers, alors nous pouvons aborder la résolution decette équation en utilisant l'algèbre. Son utilisation est motivée par la présence d'unopérateur de division � nous permettant de conclure que la solution à cette équation,quand elle existe, est x = b � a.

Dans l'algèbre des relations, il existe des opérateurs, appelés résidus, permettantla � division de relations �. Les résidus constituent des solutions à des équations rela-tionnelles de la forme P ; X = Q ou X ; P = Q, où X est une relation inconnue, lesymbole ; est la composition relationnelle et le symbole = est l'égalité entre relations.La présence de ces entités ainsi que l'usage concluant des relations dans l'étude desprogrammes séquentiels ont motivé notre choix d'utiliser l'algèbre des relations pouraborder la formulation et la résolution de l'équation d'interface.

De même dans le cas de l'équation d'interface, nous ne manipulons pas des entiersmais des entités modélisant des systèmes. Ainsi, nous devons préciser la dé�nition deces entités et présenter leurs propriétés.

Tout comme le fait de se poser la question sur la signi�cation de � dans l'exempleprécédent, nous avons à déterminer la composition parallèle de modèles de systèmes.Aussi, comparé à notre questionnement sur la signi�cation de = pour �xer sa signi�ca-tion dans l'équation entière précédente, nous avons à déterminer et à �xer la sémantiqued'une notion qui nous permette de comparer les systèmes. Ainsi, nous divisons le pro-blème étudié en trois sous-problèmes. Nous les présentons selon l'ordre chronologiquede leur traitement :

2Le symbole k est utilisé à partir du chapitre 4 pour désigner un opérateur particulier de compo-sition parallèle. Dans les formulations de ce chapitre, il indique simplement la composition parallèle.

1. Introduction 4

1. Présenter une modélisation des processus. Cette modélisation se base sur l'algèbredes relations. Celle-ci nous fournit les résidus et une expressivité pour exprimerdes notions telles que les abstractions et les liens entre les entrées et les sortiesd'une instruction ou d'un programme, ce qui constitue des traits prometteurspour la résolution de l'équation.

2. Présenter des opérateurs binaires modélisant diverses manières de mettre deuxprocessus en parallèle. Dans leurs dé�nitions, ces opérateurs se basent sur lesrelations.

3. Toujours dans le même formalisme, élaborer des relations qui permettent de com-parer les modèles de processus.

Les trois sous-problèmes résolus, nous aurons une terminologie relationnelle pourformuler l'équation d'interface avant d'envisager sa résolution.

1.3 Applicabilité de l'équation d'interface

Dans la littérature, nous trouvons au moins quatre contextes dans lesquels l'équationd'interface est utilisée : la conversion de protocoles, la dérivation de contrôleurs, ladérivation d'agents et la factorisation de processus en CCS, et la spéci�cation de com-posantes matérielles dans un but de réutilisation. Nous présentons chacun de ces caset nous résumons les résultats obtenus rapportés dans la littérature.

1.3.1 Conversion de protocoles

De nos jours, la communication entre les réseaux informatiques est une pratique étenduesur le plan mondial. Cependant, faire communiquer des programmes résidant dans desordinateurs di�érents est un problème non trivial. Souvent, cela est dû à l'hétérogénéitédes protocoles de communication. L'existence de protocoles di�érents pour réaliser lamême fonction est un fait de la vie courante avec lequel nous avons à vivre, et celapour les raisons suivantes, relevées dans [13] :

� les di�érents systèmes déjà installés qui proviennent de constructeurs di�érentsont été développés avant la dé�nition des standards adéquats de systèmes ouverts ;

� les protocoles de communication évoluent avec la technologie : de nouveaux pro-tocoles remplacent les anciens, des générations di�érentes d'architecture doiventcoexister en même temps et la compatibilité des nouvelles versions peut êtresacri�ée pour une performance supérieure ;

� le besoin d'avoir des protocoles di�érents dans le but de servir une communautéd'utilisateurs bien particulière.

Ainsi, la convergence vers une architecture unique d'un protocole de communication,si elle est pratiquement possible, pourrait prendre un temps long.

1. Introduction 5

z }| {S

?

6

P �- C �- Q?

6

Figure 1.1: Abstraction du problème de la conversion de protocoles

B?

6

A-� C

Figure 1.2: Problème du quotient

La communication via des protocoles hétérogènes n'est pas possible. Ce problèmepeut être résolu de deux façons. La première est la convergence vers une architectureunique de protocole. Nous avons indiqué que cette solution, étant donné le contexteactuel, est di�cile à réaliser. Nous rencontrons dans la littérature une deuxième solutionprésentée sous le nom de conversion de protocoles. Ce terme réfère à l'approche généraled'utiliser la traduction pour résoudre le problème de non-correspondance de protocoles(� protocol mismatch �).

Green [38] étudie le problème général de conversion des protocoles et examine àfond plusieurs de ses aspects pratiques. De même, il indique qu'aucune méthodologiegénérale de solution n'est connue, et il suggère que les méthodes formelles utiliséesdans la spéci�cation et la véri�cation des protocoles peuvent former la base pour uncalcul de conversion plus profond et plus systématique. Certaines approches basées surles méthodes formelles ont été proposées depuis [13]. Cependant, le problème n'est pastraité dans sa généralité. De même, il n'y a pas de dé�nition précise au problème.

Dans [13], nous trouvons une abstraction au problème de conversion de protocoles.Cette abstraction est illustrée par la �gure 1.1 où P et Q sont deux protocoles hétéro-gènes, C est le convertisseur recherché et S est la spéci�cation du service attendu parla coopération des trois processus P , C et Q. De même, dans [13], nous trouvons que la�gure 1.1 représente un cas particulier d'un problème plus général nommé le problèmedu quotient, représenté par la �gure 1.2. Le nom donné à ce problème dérive de l'ana-logie qui existe entre ce problème et le problème de recherche de l'inverse multiplicatifd'un nombre. En e�et, nous désirons � diviser � B par A pour trouver C. Comme pourles nombres entiers, un quotient n'existe pas pour tout A et B. Ce problème revient àla formulation 1.2 suivante.

(1.2) Formulation. Spéci�er une composante C qui interagit avec A de sorte que lecomportement observé à l'interface externe implante le service dé�ni par B. 2

Calvert et Lam dans [13] expriment le problème de la façon suivante :

1. Introduction 6

(1.3) Formulation. Soit k un opérateur sur les spéci�cations qui représente l'interac-tion entre les composantes, et soit satisfait une relation entre deux spéci�cations quisigni�e qu'une spéci�cation implante l'autre. Nous voulons trouver C tel que A k Csatisfait B. 2

1.3.2 Dérivation de contrôleurs

Dans la littérature, nous trouvons des études concernant ce problème qui utilisent lessystèmes à événements discrets pour modéliser les systèmes à étudier. Un système àévénements est un système dynamique dans lequel les événements ont lieu instanta-nément, causant un changement discret de l'état du système. Chacun des problèmesrencontrés dans [52, 62, 82, 91] est exprimé par un cas de la formulation 1.4 suivante.

(1.4) Formulation. Générer un module M2 à adjoindre à un système à événementsdiscrets M1 a�n d'atteindre un des objectifs suivants :

(i) Étendre M1;

(ii) Contrôler M1;

(iii) Étendre et contrôler M1. 2

Un module M2 qui étend et contrôle M1 est appelé dans [52] un contrôleur étendu. Lecontrôle consiste à interdire certaines séquences d'événements de M1, alors que l'exten-sion consiste à ajouter de nouveaux événements à M1.

L'article [52] présente une formulation � plus générale � à ce problème ; c'est laformulation 1.5 suivante.

(1.5) Formulation. Étant donnés un système M1 et un service spéci�é par S0, déri-ver systématiquement le module contrôleur ou le module extension à adjoindre pourétendre un service M2 a�n que M1 et M2 fonctionnant en parallèle et en interaction(M1 kM2) fournissent un service spéci�é par S0. 2

Nous rencontrons dans [62] une méthode qui repose sur les deux hypothèses sui-vantes :

a) M2 n'a aucun e�et sur les événements de M1 qu'il ne peut pas observer;

b) M2 contrôle tous les événements de M1 qu'il peut observer.

Dans [91], on propose un outil automatique qui est basé sur l'approche présentéedans [62]. Cependant, le problème est formulé comme suit :

(1.6) Formulation. Étant donnée la spéci�cation d'un système, construit de n mo-dules, et les spéci�cations de n� 1 modules, déterminer la spéci�cation du nemodulede sorte que l'interaction des n modules soit équivalente à celle du système. 2

1. Introduction 7

M0 (donné)

M1 M2q q q Mn�1 Mn| {z }

donnés| {z }

à déterminer

Figure 1.3: Un système à n modules

La �gure 1.3 représente le système désigné par la formulation 1.6 précédente.Dans la même � école �, nous rencontrons dans [82] une méthode posant l'hypothèse

que le vocabulaire du module M2 est un sous-ensemble de celui de M1 qui est le mêmeque celui du système globalM0. Dans [52], sont présentés des algorithmes pour le calculdu module contrôleur M2 dans le cas où le système à contrôler M1 est totalementou partiellement observable. Un événement de M1 est dit observable par M2 si sonoccurrence peut être détectée par M2. Ces algorithmes ne reposent pas sur les deuxhypothèses précédentes (a et b). Ainsi, ils sont plus généraux.

1.3.3 Dérivation d'agents et factorisation de processus en CCS

L'équation d'interface a été abordée également sur le plan théorique en utilisant CCS.En e�et, nous trouvons dans [75, 90] une proposition de solution au problème de l'équa-tion d'interface. En supposant que le lecteur est familier avec CCS [66], nous présentonsla formulation de J. Parrow dans [75].

(1.7) Formulation. Soient A et B des agents connus. Soit L un sous-ensemble del'ensemble des étiquettes et soit � l'équivalence observationnelle. Résoudre pour Xl'équation CCS suivante :

(AjX)nL � B

où j est l'opérateur de composition parallèle et n indique la restriction d'un agent parrapport à un sous-ensemble de l'ensemble des étiquettes du système. 2

Dans ce même document [75], une méthode est présentée pour la résolution de cetteéquation. Elle est engendrée sous les hypothèses suivantes :

� A et B sont des agents à états �nis;

� B est déterministe.

Cette méthode est implémentée dans un outil automatique qui manipule et analysedes systèmes concurrents, connu sous le nom de CWB (�The Edinburgh ConcurrencyWorkbench � [21]). Nous revenons sur ce sujet et avec plus de détails au chapitre 6.La solution donnée par cet outil est dite maximale du fait qu'elle est un agent qui ale maximum de degrés de liberté : si d'autres transitions sont ajoutées, elles peuventcauser un comportement inadmissible ou elles risquent de ne pas être exécutées [75].

1. Introduction 8

En adoptant CCS comme formalisme, Milner et Moller [67] se sont intéressés àl'équation d'interface. Cependant, ils l'abordent comme un problème de factorisationde processus en processus primaires. Les auteurs formulent le problème de la façonsuivante :

(1.8) Formulation. Étant donné un processus P , existe-t-il un unique multi-ensemblefA1; � � � ; Ang de processus primaires tel que

P = A1 k A2 k � � � k An

2

Les auteurs dé�nissent un processus primaire comme un processus di�érent du proces-sus nul (noté 0) et qui est irréductible. Un processus P est irréductible si à toutes lesfois que P = Q k R, nous avons soit Q = 0 soit R = 0.

D'après les auteurs de [67], cette formulation présente un certain nombre de degrésde liberté en ce qu'elle ne délimite pas :

� la classe de processus considérés ;

� l'opérateur de composition parallèle examiné ;

� la notion de congruence ou d'équivalence dénotée par l'opérateur =.

Dans [67], il est montré, en prenant la sémantique entrelaçante, qu'un processus �ni estdécomposable d'une façon unique en processus primaires en considérant l'équivalencede la bisimulation forte. Aussi, les auteurs donnent des contre-exemples de l'existencede tels multi-ensembles de processus primaires comme solution au problème exprimépar la formulation 1.8 si nous considérons l'équivalence d'échec ou bien l'équivalencede trace.

1.3.4 Réutilisation de composantes matérielles

Dans [24], nous trouvons une application de l'équation d'interface à la réutilisation decomposantes matérielles. Ce travail vise à procurer des mécanismes pour promouvoirla réutilisation e�ective de composantes matérielles synchrones dé�nies dans le langagede description de matériel ELLA [69]. Le projet ELLA, instauré à University of Man-chester, a parmi ses objectifs la véri�cation formelle des composantes matérielles. Pourdisposer d'une telle approche formelle, une algèbre de processus synchrones, EPA [6],est utilisée comme fondation pour la dé�nition sémantique de ELLA. Le projet deVieira de Melo est une étude de la réutilisation des composantes de ELLA sous uneapproche formelle. C'est pourquoi, au lieu de ELLA, c'est le modèle EPA qui est utilisédans son document pour représenter les composantes matérielles. Dans [24, page 80],concernant l'équation d'interface, Ana C. Vieira de Melo indique qu'elle est intéres-sée à résoudre cette équation en fournissant un combinateur algébrique (� algebraiccombinator �). Une telle solution exige la création d'un processus d'interface unique.

1. Introduction 9

La création d'un combinateur pour l'algèbre de processus [24, page 93] ne peut êtreaccomplie que si l'application de ce combinateur peut trouver un résultat unique. Dansson travail, Vieira de Melo présente un opérateur de décomposition et a�rme que sonutilisation mène à une solution particulière pour l'équation d'interface dans laquelle lasolution minimale (dans un but de réutilisation) est incluse.

Également, l'auteure présente une formulation spéci�que à son contexte et justi�ele non-recours à l'approche de J. Parrow [75] qui est implémentée dans CWB et quiest partiellement décrite dans la sous-section précédente. Les phrases suivantes [24,page 44] donnent une idée sur l'argumentation de l'auteure.

�The interface equation for both problems look similar, but some di�e-rences emerge. A solution for these equations strongly depends on the com-position operator de�ned for their respective process algebras. EPA com-position is strictly synchronous while CCS composition allows one or bothprocesses communicating with the environment at a time. Moreover, CCShas indivisible actions (one action is communicated) while EPA has struc-tured actions (a set of subactions is communicated at a time). �

Vieira de Melo ajoute encore [24, page 126]:

�The interface approach depends essentially on the composition operatorused, and then for each process algebra the essential preconditions must becalculated accordingly. The appropriate limits have not been considered insolutions for the interface equation de�ned for CCS, for example, and, as aresult, only deterministic speci�cation processes were considered there. �

En résumé, étant données les di�érentes natures des problèmes, l'auteure préfèreformuler une équation d'interface pour la composition parallèle synchrone (� strictlysynchronous �) où les actions sont structurées. Ainsi, le processus d'interface désirécomme solution est alors largement di�érent de ce que propose l'approche de CCS.

L'auteure indique que sa solution est spéci�que au cas de la réutilisation de com-posantes matérielles dont les spéci�cations sont données en utilisant EPA.

Ceci termine la discussion sur les quatres contextes où nous rencontrons dans lalittérature une forme ou une autre du problème formulé en 1.1.

1.3.5 Résumé de la situation

Toutes ces approches sont procédurales. Elles proposent des heuristiques pour atteindreune solution. Selon les auteurs, chaque procédé proposé par ces méthodes mène, souscertaines hypothèses, à une solution maximale qui n'est généralement pas très intéres-sante pour les domaines d'application considérés. De même, à l'exception de l'approchepartiellement décrite dans la sous-section précédente, ces approches utilisent des mé-thodes basées sur la concurrence uniforme.

Nous abordons le problème de la résolution de l'équation d'interface dans le butde donner une formulation générale à cette équation. Nous tentons de caractériserun ensemble de solutions pour des variantes de cette équation. Cela permettra aux

1. Introduction 10

personnes intéressées de choisir la solution convenable pour le domaine d'application enjeu. Il se peut qu'une solution soit intéressante pour une application et qu'elle ne le soitpas pour une autre. Par exemple, pour une même équation d'interface, une solution peutêtre considérée intéressante dans un contexte de réutilisation (par exemple, dans nosréserves de composantes, nous ne disposons que de la composante matérielle spéci�éepar la solution), par contre, elle peut ne pas l'être dans un contexte de conversion deprotocoles ou de génération de contrôleurs.

1.4 Contributions

À partir des projections, entités mathématiques connues dans la littérature [2, 28, 29,40, 41], nous avons dé�ni, en nous inspirant de l'algèbre cylindrique et d'autres travauxsur les relations, les relations de cylindri�cation. Ensuite, nous avons distingué uneclasse de relations que nous appelons des relations (J , K)-déterminées. Ceci apporteune terminologie et des propriétés à des classes de relations.

Nous donnons une manière de modéliser un processus physique ; le résultat est unmodèle qui représente les actions et les ressources utilisées par un processus de mêmequ'une description d'un processus physique en tant que système ouvert et dont il estfacile de dériver la description du processus considéré comme système fermé. Également,nous introduisons des notions sur les processus relationnels, telles que l'atomicité d'unprocessus relationnel et la notion de sous-processus d'un processus relationnel. Nousprésentons un opérateur dit de composition séquentielle � au sens non concurrent � deprocessus relationnels. Étant donnés des processus relationnels modélisant chacun unevue partielle du processus à former, l'opérateur de composition séquentielle de processusrelationnels combine ces processus relationnels pour former le processus relationnelglobal. Cet opérateur a été appliqué pour l'intégration de scénarios séquentiels [31].

Cette thèse apporte également une contribution par l'introduction de cinq opé-rateurs relationnels de composition parallèle : un opérateur de composition parallèleentrelaçante, deux opérateurs de composition parallèle totalement synchrone et deuxderniers traduisant la vraie concurrence. Chacun des opérateurs de vraie concurrenceest exprimé uniquement grâce à l'opérateur de composition parallèle entrelaçante età un des opérateurs de composition parallèle totalement synchrone, ce que, dans lalittérature, nous n'avons pas rencontré exprimé aussi clairement et directement. Tousles opérateurs de composition parallèle présentés dans cette thèse dépassent la simpledescription syntaxique des systèmes modélisés. En e�et, ils révèlent des situations decon�it ou de blocage. Également, ces opérateurs abordent la concurrence d'une façondi�érente de l'approche utilisée par les méthodes de concurrence uniforme en tenantcompte de la nature des actions et des ressources utilisées dans l'accomplissement decelles-ci.

Cette thèse concourt à exprimer les bisimulations entre systèmes en fonction desabstractions faites pour passer du modèle de l'un vers le modèle de l'autre. Elle pré-sente une notion de bisimulation et elle indique le chemin vers la dé�nition d'autres.Nous nous distinguons par le fait que nous n'avons pas lié la bisimulation au genre deconcurrence que l'on adopte (entrelaçante ou autre). La bisimulation est une compa-

1. Introduction 11

raison entre des modèles de systèmes et elle dépend uniquement des abstractions faitessur ceux-ci.

En�n, cette thèse apporte une formulation rigoureuse à l'équation d'interface. Cetteformulation n'est pas basée sur la concurrence uniforme. L'équation d'interface a tou-jours été formulée en utilisant les termes de méthodes basées sur la concurrence uni-forme. Aussi, la formulation que nous présentons au chapitre 6 montre que cette équa-tion, dans sa forme la plus générale, est une équation à deux inconnues. Cette thèseparticipe par la proposition de solutions à des variantes de cette équation et laisse leproblème bien formulé pour la résolution d'autres variantes.

Par tous ces traits, la présente thèse contribue à étendre la portée des méthodes al-gébriques relationnelles aux systèmes réactifs. Nous croyons que le fait d'avoir une autretechnique de calcul (autre que CCS ou CSP par exemple), nous permet d'aborder leschoses di�éremment et d'avoir une vision plus lucide de la concurrence et des systèmesréactifs. Mentionnons également que cette thèse, contrairement aux autres travaux surle sujet, présente une approche non procédurale à la résolution de l'équation d'interface.

1.5 Structure de la thèse

Dans la partie avant-propos, nous avons donné les notations adoptées dans cette thèse.Dans le chapitre 2, nous introduisons les fondements mathématiques. Dans le chapitre 3,nous poursuivons l'établissement de l'assise mathématique. Dans le chapitre 4, nousprésentons les processus relationnels qui sont des entités modélisant des systèmes. Desurcroît, nous présentons la notion d'atomicité d'un processus relationnel et la notionde sous-processus d'un processus relationnel. Dans le chapitre 5, nous dé�nissons desopérateurs de composition parallèle de processus relationnels. En fait, cinq opérateursde composition parallèle de processus relationnels y sont introduits. Le chapitre 6 estun abord relationnel aux simulations et aux bisimulations. Dans le chapitre 7, nousformulons et présentons des solutions à des variantes de l'équation d'interface. Dansla conclusion, nous discutons certains aspects de ce travail et nous présentons desdirections pour les travaux futurs.

Chapitre 2

Fondements mathématiques

Nous introduisons au cours de ce chapitre les fondements mathématiques de notrerecherche. Le matériel dont il est question est tiré essentiellement de [12, 28, 87, 93]mais présenté sous une notation linéaire (voir page xii). Plusieurs références dans lescalculs et les démonstrations des chapitres subséquents pointeront vers des résultatsprésentés ou établis dans le présent chapitre.

Nous utilisons un formalisme relationnel. Nous tenons à préciser que nous distin-guons deux niveaux d'abstraction dans l'utilisation des relations : la théorie élémentairedes relations et le calcul des relations. Le premier dé�nit les relations comme des en-sembles de paires tandis que le deuxième les dé�nit comme des objets sur lesquels desopérations sont dé�nies et étudiées d'un point de vue algébrique. Par exemple, la pro-priété de ré�exivité d'une relation R � X�X est exprimée dans le calcul des relationspar Iv R; cependant elle est exprimée par ^ (x : x 2 X : (x; x) 2 R ) dans la théo-rie élémentaire des relations. Au cours de notre travail, nous nous plaçons à ces deuxniveaux d'abstraction. Ainsi, quand nous parlons des processus (entités introduites àla section 4.1) que nous représentons par un agrégat de relations, nous devons parfoisreprésenter ces relations sous forme d'un ensemble de paires car elles sont explicites etsont des données d'un exemple à traiter, ce qui nous situe au premier niveau d'abstrac-tion. Quand nous parlons d'opérations sur les processus, nous passons au deuxièmeniveau d'abstraction. Ces processus ainsi exprimés en relations deviennent alors desobjets en soi sur lesquels nous dé�nissons des opérations.

Il est dit que le traitement mathématique des relations remonte à Aristote. Maisconcernant son histoire moderne, nous trouvons dans [57, page 24] [59, 79, 80] [87,préface] qu'elle a commencé par des contributions de De Morgan, Peirce et Schröder.Après presqu'un demi-siècle, un fragment du calcul des relations binaires de Peirce-Schröder a été axiomatisé par Alfred Tarski dans [92], suivi par d'autres contributions,notamment celles de Jacques Riguet et J. C. C. McKinsey, pour en venir à poser lesfondements d'un calcul des relations moderne. À partir de [12, 20, 47, 48, 49, 50, 58,59, 79, 80], l'évolution historique du calcul des relations peut être reconstruite avecplus de détails.

Nous amorçons ce chapitre par une présentation de la théorie élémentaire des re-lations. Dans la section suivante, nous caractérisons une structure algébrique sur unensemble non vide de relations, à savoir l'algèbre des relations. Ensuite, nous présen-

12

2. Fondements mathématiques 13

tons les structures ordonnées et les points �xes, suivis par l'opérateur d'intersectiondémoniaque. En dernier lieu apparaissent les opérateurs de résidus et certaines de leurspropriétés.

2.1 Théorie élémentaire des relations

Une relationR d'un ensemble X vers un ensemble Y est un sous-ensemble de l'ensemblede toutes les paires (x; y) où x 2 X et y 2 Y . Formellement,

R � X � Y = f(x; y) j x 2 X et y 2 Y g:

Si X = Y , nous disons que R est homogène sur X.

2.1.1 Opérations sur les relations

Une relation R est un ensemble particulier et, à ce titre, nous pouvons appliquer auxrelations les opérateurs ensemblistes usuels. Cependant, a�n d'éviter la confusion entreensembles (autres que des relations) et relations, pour un même opérateur nous utilisonsun symbole quand nous l'appliquons à des ensembles et un autre lorsqu'il est appliquéà des relations. Par exemple, l'union ensembliste est notée par [ et l'union relationnelleest notée par t et ce malgré que nous sachions qu'un seul symbole pourrait convenir auxdeux. Dans le glossaire de la section �Terminologie et notation � (page xiv), le lecteurpeut trouver la liste des opérateurs ensemblistes et celle des opérateurs relationnels.L'union (t), l'intersection (u) et la complémentation ( ) sont ainsi des opérateurs ap-plicables aux relations. L'inclusion (v) confère un ordre aux relations. Sur les relations,d'autres opérateurs sont dé�nis. En la matière, nous donnons les dé�nitions suivantes.

(2.1) Dé�nition. Soient R � X � Z et S � Z � Y deux relations.

(a) L'inverse de R, noté R`, est donné par

R`�= f(x; z) j (z; x) 2 R g:

(b) La composition de R et S, notée R ; S, est donnée par

R ; S�= f(x; y) j _ (z : z 2 Z : (x; z) 2 R ^ (z; y) 2 S ) g:

2

Nous remarquons que R ; S � X � Y .


2.1.2 Propriétés des relations

La dé�nition 2.2, rencontrée aussi dans [28, 87, 93], introduit certaines des propriétésdes relations.

(2.2) Dé�nition. Une relation R � X � Y est :

(a) ré�exive ssi Iv R, i.e. ^ (x : x 2 X : (x; x) 2 R ),

(b) transitive ssi R ; R v R, i.e.^ (x; y; z :: (x; z) 2 R ^ (z; y) 2 R =) (x; y) 2 R ),

(c) symétrique ssi R = R`, i.e. ^ (x; y :: (x; y) 2 R () (y; x) 2 R ),

(d) antisymétrique ssi R u R` v I, i.e.^ (x; y :: (x; y) 2 R ^ (x; y) 2 R` =) x = y ),

(e) une équivalence ssi R véri�e les propriétés (a), (b) et (c),

(f) un ordre ssi R véri�e les propriétés (a), (b) et (d),

(g) un pré-ordre ssi R véri�e les propriétés (a) et (b). 2

2.2 Algèbres de relations

(2.3) Dé�nition. Une algèbre de relations hétérogène est une structure (R;t;u; ;` ; ;)sur un ensemble non vide R d'éléments appelés relations. À chaque relation R 2 R estassocié un type de la forme A$ B, ce qu'on note R : A$ B (et qu'on lit : R a le typeA $ B). Par convention, une relation notée RA$B a le type A $ B. Les conditionssuivantes sont satisfaites.

1. Les opérations (complément) et ` (inverse) sont des opérations totales. Lesopérations t (supremum), u (in�mum) et ; (composition) sont partielles :

l'opération QA$B t RC$D est dé�nie ssi A = C et B = D;l'opération QA$B uRC$D est dé�nie ssi A = C et B = D;l'opération QA$B

; RC$D est dé�nie ssi B = C:

On a

QA$B t RA$B : A$ B;QA$B uRA$B : A$ B;RA$B : A$ B;(RA$B)

` : B $ A;QA$B

; RB$C : A$ C:

2. Chaque structure (BA$B;t;u; ;??A$B;>>A$B), où BA$B est l'ensemble des re-lations de type A$ B, est une algèbre booléenne atomique complète.


3. Pour chaque relation R : A $ B, il existe une identité à gauche I : A $ A etune identité à droite I : B $ B :

IA$A; RA$B = RA$B

; IB$B = RA$B:

4. (PA$B; QB$C) ; RC$D = PA$B

; (QB$C; RC$D) (associativité).

5. PA$B; QB$C v RA$C

()

(PA$B)` ; RA$C v QB$C

()

RA$C; (QB$C)

` v PA$B (règle de Schröder).

6. >>A$B; RB$C

;>>C$D = >>A$D () RB$C 6= ??B$C (règle de Tarski).

Une relation R : A$ A est dite homogène. 2

La règle (5) est une variante du théorème K de De Morgan. Dans [86], la contrainte

>>A$B 6= ??A$B est ajoutée. Toutefois, elle n'est pas nécessaire car elle découle de la

règle de Tarski (2.3(6)). En e�et,

>>A$B = ??A$B

=) h règle de Tarski i

>>A$A;>>A$B

;>>B$B 6= >>A$B ^ >>A$B = ??A$B

=) h RA$B v >>A$B pour tout RA$B i

>>A$A;>>A$B

;>>B$B v >>A$B ^ >>A$A;>>A$B

;>>B$B 6= >>A$B

^ >>A$B = ??A$B

=)

>>A$A;>>A$B

;>>B$B v ??A$B ^ >>A$A;>>A$B>>B$B 6= ??A$B

=) h ??A$B est le plus petit élément du treillis i

faux

On ne peut donc avoir >>A$B = ??A$B .Dans [87] la formulation de la règle de Tarski est R 6= ?? =) >> ; R ;>> = >>. Il n'est

donc pas possible d'en déduire >> 6= ??.La dé�nition 2.3 ainsi que la démonstration précédente (démonstration de >>A$B 6=

??A$B est une conséquence de 2.3(6)) utilisent des termes (treillis, treillis booléen, treil-lis atomique, treillis complet) dont les dé�nitions sont données à la sous-section 2.3.1.

Les types sont habituellement omis, à moins qu'ils ne puissent être reconstruits àpartir du contexte. Ainsi, nous donnons le type de la relation dans des cas très limités oùil est crucial d'agir ainsi, tel que dans la proposition 3.10. L'existence d'une expressionest conditionnelle à un typage approprié.


Selon un ordre décroissant, la priorité des opérateurs relationnels est ;` ; ; ;u;tet celle des opérateurs ensemblistes est ;\;[. À partir de la dé�nition 2.3, les règlesusuelles du calcul relationnel peuvent être dérivées (voir [8, 20, 87, 88]). Le théorème 2.4suivant donne l'essentiel de ces règles.

(2.4) Théorème. Soient P;Q;R des relations et X un ensemble quelconque d'indices.Alors,

1. t(i : i 2 X : Ri ) = u(i : i 2 X : Ri ),

2. Q t R = Q u R,

3. u(i : i 2 X : Ri ) = t(i : i 2 X : Ri ),

4. Q u R = Q t R,

5. Q u R t R = Q t R,

6. P uQ v R () P v Q t R,

7. Q v R () R v Q,

8. Q ; ( t(i : i 2 X : Ri )) = t(i : i 2 X : Q ; Ri ),

9. P ; (Q t R) = P ; Q t P ; R,

10. t(i : i 2 X : Ri ) ; Q = t(i : i 2 X : Ri; Q ),

11. (P t Q) ; R = P ; R t Q ; R,

12. Q ; u (i : i 2 X : Ri ) v u(i : i 2 X : Q ; Ri ),

13. P ; (Q uR) v P ; Q u P ; R,

14. u(i : i 2 X : Qi ) ; R v u(i : i 2 X : Qi; R ),

15. (P uQ) ; R v P ; R uQ ; R,

16. P u (Q t R) = P uQ t P uR,

17. Q v R =) P ; Q v P ; R,

18. P v Q =) P ; R v Q ; R,

19. R ; ?? = ?? ; R = ??,

20. Q v R () Q` v R`,

21. t(i : i 2 X : Ri )` = t(i : i 2 X : R`i ),

22. (Q t R)` = Q` t R`,

23. u(i : i 2 X : Ri )` = u(i : i 2 X : R`i ),


24. (Q u R)` = Q` u R`,

25. (Q ; R)` = R` ; Q`,

26. R` ` = R,

27. I` = I,

28. R` = R`,

29. P ; Q uR v (P uR ; Q`) ; (Q u P` ; R),

30. P ; Q uR v P ; (Q u P` ; R),

31. P ; Q uR v (P uR ; Q`) ; Q,

32. >> ; >> = >>,

33. u(i : i 2 X : Ri; >> ) ; >> = u(i : i 2 X : Ri

; >> ),

34. (Q ; >> uR ; >>) ; >> = (Q ; >> u R ; >>),

35. t(i : i 2 X : Ri; >> ) ; >> = t(i : i 2 X : Ri

; >> );

36. (Q ; >> t R ; >>) ; >> = Q ; >> t R ; >>,

37. (P uQ ; >>) ; R = P ; R uQ ; >>,

38. (P u >> ; Q`) ; R = P ; (R uQ ; >>),

39. Q ; >> ; R = Q ; >> u >> ; R,

40. R ; >> ; >> = R ; >>,

41. R = (Iu R ; R`) ; R. 2

Certaines lois du théorème précédent, telles que 2.4(17), 2.4(18) et 2.4(20), sont utiliséespar la suite sans référence explicite au théorème.

La dé�nition 2.5 qui suit introduit des notions fréquemment utilisées dans cettethèse.

(2.5) Dé�nition. Une relation R est :

(a) déterministe ssi R` ; R v I,

(b) totale ssi >> = R ;>> (équivalent à Iv R ; R`),

(c) une application ssi elle est totale et déterministe,

(d) injective ssi R` est déterministe (i.e. R ; R` v I),

(e) surjective ssi R` est totale (i.e. >> ; R = >>, ou encore Iv R` ; R),


(f) une identité partielle ssi R v I (sous-identité),

(g) un vecteur ssi R = R ;>> (les vecteurs sont souvent dénotés par la lettre v),

(h) un point ssi R 6= ??, R = R ;>> et R ; R` v I,

(i) une relation difonctionnelle ou régulière ssi

R ; R` ; R v R; ou encore R ; R` ; R = R;

(j) une fonction ssi R est déterministe.2

Les notions établies dans la dé�nition 2.5 engendrent des règles très usuelles dans lecalcul relationnel ; le théorème 2.6 suivant fournit les plus employées dans cette thèse.Dans [20, 28, 87], nous trouvons les démonstrations des règles de ce théorème.

(2.6) Théorème. Soient P , Q et R des relations et soit X un ensemble d'indices nonvide. Alors,

(a) Q déterministe =) Q ; u (i : i 2 X : Ri ) = u(i : i 2 X : Q ; Ri );

(b) Q injective =) u(i : i 2 X : Ri ) ; Q = u(i : i 2 X : Ri; Q );

(c) P déterministe =) (Q u R ; P`) ; P = Q ; P uR;

(d) P injective =) P ; (P` ; Q u R) = Q u P ; R;

(e) Q totale () Q ; R v Q ; R;

(f) Q déterministe =) Q ; R = Q ;>> uQ ; R;

(g) Q application =) Q ; R = Q ; R;

(h) Q surjective () R ; Q v R ; Q;

(i) Q injective =) R ; Q = >> ; Q u R ; Q;

(j) Q déterministe =) Q ; R t Q ;>> = Q ; R;

(k) Q injective =) R ; Q t >> ; Q = R ; Q;

(l) Q;R déterministes =) Q ; R déterministe,

(m) Q;R injectives =) Q ; R injective;

(n) Q;R totales =) Q ; R totale;

(o) Q;R surjectives =) Q ; R surjective;

(p) Q v R;R déterministe et R ;>> v Q ;>> =) Q = R;


(q) Q v R;R injective et >> ; R v >> ; Q =) Q = R;

(r) R déterministe =) Q u R déterministe;

(s) R injective =) Q uR injective;

(t) R totale =) Q t R totale;

(u) R surjective =) Q t R surjective. 2

(2.7) Dé�nition. Soit R une rlation et soit n � 1 un entier naturel.

R0 �= I

et

Rn �= R ; Rn�1: 2

La présence de relations d'équivalence permet parfois de simpli�er certains termesrelationnels. Les propositions 2.8 et 2.9 fournissent des règles très commodes.

(2.8) Proposition. Soit � une équivalence et soient P et Q deux relations. Nousavons

(a) � ; � ; P ; � ; � = � ; P ; �,

(b) (P ; � uQ) ; � = P ; � uQ ; � = (P uQ ; �) ; �. 2

Cette dernière proposition (2.8) est tirée de [87, page 33], où nous trouvons la preuve.

(2.9) Proposition. Soient �1 et �2 deux équivalences telles que �2 v �1 et soit R unerelation. Nous avons

(a) �1 ; �2 = �2 ; �1 = �1,

(b) R v �2 =) �1 ; (�2 ; R ; �2 u I) ; �1 u I= �1 ; R ; �1 u I.

Démonstration.

(a) D'une part, nous donnons les justi�cations suivantes.

�1 ; �2

v h �2 v �1 i

�1 ; �1

v h �1 est une équivalence i

�1


D'autre part, nous avons

�1

= h R = R ; I i

�1 ; I

v h Iv �2 (�2 est une équivalence) & proposition 2.4(17) i

�1 ; �2

D'une façon semblable, nous démontrons �2 ; �1 = �1.

(b) �1 ; R ; �1 u I

= h R v �2 i

�1 ; (R u �2) ; �1 u I

= h proposition 2.9(a) i

�1 ; �2 ; (R u �2) ; �2 ; �1 u I

= h proposition 2.8(b) i

�1 ; (�2 ; R ; �2 u �2) ; �1 u I


�1 ; (�2 ; R ; �2 u I) ; �2 ; �1 u I


�1 ; (�2 ; R ; �2 u I) ; �1 u I 2

Les relations incluses dans l'identité, dites aussi identités partielles (dé�nition 2.5(f))ou monotypes, ont des propriétés simples et utiles. Le théorème 2.11 dont la preuveest donnée dans [93], donne quelques-unes de ces propriétés. Dans [5, page 160], nousrencontrons aussi les propriétés énoncées par ce théorème, sans la preuve. Avant de leprésenter, voici une dé�nition préliminaire.

(2.10) Dé�nition. R� �= IuR. 2

(2.11) Théorème. Soient a et b des relations véri�ant a v I et b v I. Alors,

(a) a` = a,

(b) a2 = a,

(c) a u b = a ; b = b ; a,

(d) a t a� = I et a u a� = ??,

(e) a ; >> = a� ; >>,

(f) a = a ; >> u I.


Comme les identités partielles, les relations difonctionnelles (dé�nition 2.5(i)) ontdes propriétés commodes. La proposition suivante avance le nécessaire à cette thèse.Dans [87] nous trouvons un complément de propriétés.

(2.12) Proposition. Soient P et Q deux relations. Si P est difonctionnelle, alors

(a) P ; P` ; Q = P ; >> u P ; P` ; Q,

(b) P ; Q = P ; >> t P ; P` ; P ; Q = P ; >> t P ; P` ; P ; Q.

Démonstration.

(a) Pour P ; P` ; Q v P ;>>uP ; P` ; Q, nous proposons la démonstration suivante.

P ; P` ; Q v P ;>> u P ; P` ; Q

() h P v Q uR () P v Q ^ P v R i

P ; P` ; Q v P ;>> ^ P ; P` ; Q v P ; P` ; Q

() h théorème 2.4(17) & Schröder (i.e. dé�nition 2.3(5)) i

vrai ^ P` ; P ; P` ; Q v P` ; Q

() h P difonctionnelle & dé�nition 2.5(i)& théorème 2.4(25) i

vrai

Pour P ; P` ; Q w P ;>> u P ; P` ; Q, la démonstration est la suivante.

P ; >> u P ; P` ; Q v P ; P` ; Q

() h théorème 2.4(6) i

P ; >> v P ; P` ; Q t P ; P` ; Q


P ; >> v P ; (P` ; Q t P` ; Q)

() h R t R = >> i

P ; >> v P ;>>

()

vrai

(b) P ; >> t P ; P` ; P ; Q

= h proposition 2.12(a) & P` difonctionnelle i

P ; >> t P ; (P` ;>> u P` ; P ; Q)

= h théorème 2.4(38) & P u >> ; P = P i

P ; >> t P ; P` ; P ; Q


P ; >> t P ;>> u P ; P` ; P ; Q


= h P difonctionnelle & dé�nition 2.5(i) i

P ; >> t P ;>> u P ; Q

= h théorème 2.4(5) i

P ; >> t P ; Q


P ; >> u P ; Q

= h P ; Q v P ;>> i

P ; Q 2

Dans certains des chapitres ultérieurs, nous faisons usage de notions et d'entitésdé�nies sur des structures ordonnées et nous référons à des structures ordonnées par-ticulières. Nous introduisons ces éléments dans la section suivante.

2.3 Structures ordonnées et points �xes

Les symboles usuellement utilisés dans l'étude de ce sujet sont �;�;^;_. Puisque nousavons utilisé les symboles ^ et _ comme symboles logiques, l'usage de b;c;e;dpermet d'éviter la confusion.

La paire (T;b), où T est un ensemble et b une relation d'ordre, est dite un ensembleordonné.

(2.13) Dé�nition. Soient (T;b) un ensemble ordonné et Y � T .

(a) Nous disons que y est une borne supérieure de Y ssi

^ (x : x 2 Y : x b y ):

La plus petite borne supérieure de Y (si elle existe) est appelée supremum,noté dY .

(b) Dualement, y est une borne inférieure de Y ssi

^ (x : x 2 Y : y b x ):

La plus grande borne inférieure de Y (si elle existe) est appelée in�mum, notéeY . 2

À partir de la dé�nition 2.13, nous constatons qu'il n'est pas requis que y soit unélément de Y . De même, les bornes supérieures et les bornes inférieures n'existent pastoujours. En particulier, comme tout élément est une borne supérieure de l'ensemblevide, le supremum d'un ensemble vide n'existe que si (T;b) admet un plus petit élé-ment.

(2.14) Dé�nition. Soit (T;b) un ensemble ordonné. Le sous-ensemble Y � T estdit une chaîne s'il est linéairement ordonné (autrement dit totalement ordonné), i.e.^ (x; y : x; y 2 Y : x b y _ y b x ): 2


2.3.1 Treillis

Dans cette sous-section nous introduisons les treillis sans trop élaborer sur ce sujet.Nous trouvons dans [9, 22, 35, 89, 97] plus de détails.

(2.15) Dé�nition. Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel tout sous-ensembleà deux éléments fx; yg admet un supremum, x d y

�= dfx; yg et un in�mum x e y

�=

efx; yg. 2

Soit T un ensemble avec deux opérateurs binaires d et e satisfaisant les propriétéssuivantes :

(a) associativité : (x d y) d z = x d (y d z) ^ (x e y) e z = x e (y e z),

(b) commutativité : x d y = y d x ^ x e y = y e x,

(c) idempotence : x d x = x ^ x e x = x,

(d) absorption : (x d y) e x = x ^ (x e y) d x = x.

Pour tout x; y 2 T , nous dé�nissons une relation d'ordre b sur T par

x b y () x d y = y

de manière équivalente

x b y () x e y = x:

On montre que (T;b) est un treillis. Ainsi, un treillis peut être vu comme un ensembleordonné (T;b) ou une structure algébrique (T;d;e).

Dans les lignes qui suivent, nous dé�nissons di�érents types de treillis.

(2.16) Dé�nition. Nous disons que le treillis (T;b) est :

� borné s'il admet un plus petit élément ? et un plus grand élément >,

� complet si tout sous-ensemble Y (même l'ensemble vide) admet un supremumdY . Dans ce cas, Y admet aussi un in�mum eY ,

� complémenté s'il est borné et si chaque x 2 T admet un complément x tel quex d x = > et x e x = ?,

� distributif si xe (y d z) = (xe y)d (xe z) et si x d (y e z) = (x d y)e (xd z),

� booléen s'il est borné, distributif et complémenté. 2

Dans un treillis distributif, le complément d'un élément, s'il existe, est unique.


(2.17) Dé�nition. Un élément a d'un treillis T avec un plus petit élément ? est unatome, si a 6= ? et ^ (x : x b a ^ x 6= ? : x = a ). On dit que T est atomique sipour tout élément x 2 T , x 6= ?, il existe un atome a tel que a b x. 2

(2.18) Dé�nition. Un d-demi-treillis est un ensemble ordonné dans lequel tout sous-ensemble à deux éléments fx; yg admet un supremum, xd y = dfx; yg. Dualement, une-demi-treillis est un ensemble ordonné dans lequel tout sous-ensemble à deux élémentsfx; yg admet un in�mum x e y = efx; yg. Un d-demi-treillis est complet (supérieure-ment complet) si tout sous-ensemble non vide Y admet un supremum dY . Dualement,un e-demi-treillis est complet (inférieurement complet) si tout sous-ensemble non videY admet un in�mum eY . 2

Plusieurs équations importantes sont exprimées sous la forme f(x) = x, où f est unefonction d'un ensemble T vers lui-même. De telles équations sont dites de points �xes.La solution à ces équations est fréquemment obtenue par un processus d'approximationssuccessives. La sous-section qui suit donne la matière de base à l'usage que nous faisonsdans cette thèse des équations de points �xes.

2.3.2 Points �xes

(2.19) Dé�nition. Soient (T;b) un ensemble ordonné et f une fonction de T vers T .

(a) f est dite une endofonction.

(b) Un point �xe de f est un élément x 2 T tel que f(x) = x.

(c) Un point pré�xe de la fonction f est un élément x 2 T tel que f(x) b x.

(d) Un point post�xe de la fonction f est un élément x 2 T tel que x b f(x). 1

(e) Le plus petit point �xe de f , noté �(f) (s'il existe), est le plus petit élément del'ensemble des points �xes de f . Dualement, le plus grand point �xe de f , noté�(f) (s'il existe), est le plus grand élément de l'ensemble des points �xes de f .

(f) La fonction f est monotone par rapport à b ssi

x b x0 =) f(x) b f(x0):2

En 1927, Knaster et Tarski ont prouvé que toute fonction monotone (par rapport àl'inclusion) sur l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble U admet au moins un point�xe [53]. En 1939, Tarski a généralisé ce théorème pour un treillis. Cette généralisationest donnée par le théorème 2.20 suivant.

1Pour 2.19(c) et 2.19(d), B. A. Davey et H. A. Priestley, dans [22], utilisent les termes point post�xeet point pré�xe, respectivement. Nous adoptons la terminologie utilisée dans [5].


(2.20) Théorème [Knaster-Tarski]. Toute endofonction monotone sur un treilliscomplet admet un plus petit point �xe et un plus grand point �xe, qui coïncident avecson plus petit point pré�xe et son plus grand point post�xe, respectivement. 2

Nous présentons dans ce qui suit quelques propriétés des points �xes �(f) et �(f) (pourplus de détails voir [4, 22]).

(2.21) Théorème. Soit (T;b) un treillis complet et soit f : T �! T . Nous avons

(a) �(f) = e(x : f(x) = x : x ) = e(x : f(x) b x : x );

(b) �(f) = d(x : f(x) = x : x ) = d(x : x b f(x) : x );

(c) �(f) b �(f);

(d) f(y) b y =) �(f) b y;

(e) y b f(y) =) y b �(f);

(f) f(�(f)) = �(f);

(g) f(�(f)) = �(f):

La démonstration de ce théorème est donnée dans [4, 22].

2.4 Intersection démoniaque

(2.22) Dé�nition.[63] Nous disons qu'une relation Q ra�ne une relation R, ce quisera noté QvR, ssi R ;>> v Q ;>> et Q uR ;>> v R. 2

(2.23) Exemple. Soient Q et R deux relations concrètes telles que

Q = f(0; 0); (0; 1); (1; 0); (2; 1)g

et

R = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1)g:

Il est facile de véri�er que les deux conditions de 2.22 sont satisfaites. Ainsi, nous avonsQvR. Cependant, pour

Q = f(0; 0); (0; 1); (2; 1)g

et

R = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1)g;


nous avons Qv= R, étant donné que la condition sur les domaines (i.e. R ;>> v Q ;>>)n'est pas véri�ée.

Aussi, pour

Q = f(0; 0); (1; 0); (2; 1)g

et

f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (2; 0)g;

la prérestriction de la relation Q au domaine de la relation R (égal au domaine de Q)n'est pas incluse dans cette dernière. Par conséquent, nous avons Qv= R. 2

Dans [30], il est démontré quev est un ordre partiel. Cet ordre de ra�nement induit unestructure de demi-treillis, appelée demi-treillis démoniaque, sur laquelle des opérateursdits démoniaques sont dé�nis [93]. Parmi ces opérateurs, nous faisons usage dans cettethèse de l'intersection démoniaque introduite par la dé�nition 2.24.

(2.24) Dé�nition. Soient P et Q deux relations. Si P ;>> u Q ;>> v (P u Q) ;>> alorsl'intersection démoniaque de P et Q, notée P uQ, est dé�nie par

P uQ�= P uQ t P uQ ;>> t Q u P ;>>: 2

La condition de dé�nition de l'intersection démoniaque de P et Q revient à exiger quepour chaque élément dans l'intersection de leurs domaines, P et Q doivent avoir aumoins une image commune.

La commutativité et l'associativité de l'intersection démoniaque découlent de lacommutativité et de l'associativité de u et de t.

(2.25) Exemple. Considérons

P = f(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2)g

et

Q = f(2; 2); (2; 3)g:

Nous trouvons

P uQ = f(1; 1); (1; 2); (2; 2)g:

Sur l'intersection de leurs domaines (i.e. {2}), les deux relations ont une image com-mune (i.e. 2), ce qui garantit l'existence de l'intersection démoniaque. Ce n'est toutefoispas le cas pour les relations suivantes,

P = f(1; 1); (1; 2); (2; 1)g

et

Q = f(2; 3)g;

étant donné que les relations ont des résultats contradictoires sur l'intersection de leursdomaines (i.e. {2}). 2


2.5 Résidus

Le matériel de cette section sert à préparer un abord relationnel à la résolution del'équation d'interface. Aussi, nous donnons les circonstances dans lesquelles les équa-tions linéaires de relations peuvent être résolues. Ces dernières sont des équations dela forme P ; X = Q ou X ; P = Q. La question de la résolution des équations linéairesde relations a été abordée par R. D. Luce en 1952 dans [56] et certains résultats sontrapportés dans [87].

Dans [43, 44], le résidu à droite est appelé � la plus faible post-spéci�cation � etle résidu à gauche est appelé � la plus faible pré-spéci�cation �. Aussi, dans [43, 44],le résidu à droite de P par Q est dénoté par PnQ et le résidu à gauche de P par Qest dénoté par Q=P . Nous n'adoptons pas cette notation, mais nous en utilisons unesemblable employée dans [5, 64] et donnée par la dé�nition 2.26 suivante.

(2.26) Dé�nition. Soient P et Q deux relations.

(a) PnQ�= P` ; Q est le résidu à droite de Q par P ,

(b) Q=P�= Q ; P` est le résidu à gauche de Q par P . 2

On montre que le résidu à droite constitue la plus grande solution à l'inéquationP ; X v Q. De plus, si l'équation P ; X = Q admet une solution, le résidu à droite estsa plus grande solution. Également, on montre que le résidu à gauche constitue la plusgrande solution à l'inéquation X ; P v Q. De surcroît, si l'équation X ; P = Q admetune solution, le résidu à gauche est sa plus grande solution.

(2.27) Proposition. Soient P , Q et X des relations.

(a) X ; P v Q () X v Q=P ,

(b) P ; X v Q () X v PnQ.

Démonstration.

(a) X ; P v Q

() h dé�nition 2.3(5) i

Q ; P` v X


X v Q ; P`

() h dé�nition 2.26(b) i

X v Q=P

(b) P ; X v Q

() h dé�nition 2.3(5) i


P` ; Q v X


X v P` ; Q

() h dé�nition 2.26(a) i

X v PnQ 2

La proposition suivante donne les propriétés des résidus auxquelles nous avons recoursdans le reste de la thèse. Certaines de ces règles sont dans [4, 9].

(2.28) Proposition. Soient P , Q et R des relations. Nous avons

(a) (PnQ)` = Q`=P`,

(b) (P=Q)` = Q`nP`,

(c) (P=Q)=R = P=(R ; Q),

(d) Pn(QnR) = (Q ; P )nR,

(e) (P=Q) ; (Q=R) v P=R,

(f) (PnQ) ; (QnR) v PnR,

(g) (P uQ)=R = P=R uQ=R,

(h) P=(Q t R) = P=Q u P=R,

(i) Pn(Q=R) = (PnQ)=R,

(j) (PnQ) ; R v Pn(Q ; R),

(k) (Pn(Q ; R)) ; (RnS) v Pn(Q ; S).

Démonstration.

(a) X v (PnQ)`

() h théorème 2.4(20, 26) i

X` v PnQ

() h proposition 2.27(b) i

P ; X` v Q

() h théorème 2.4(20, 25, 26) i

X ; P` v Q`

() h proposition 2.27(a) i

X v Q`=P`


(b) X v (P=Q)`

() h théorème 2.4(20, 26) i

X` v P=Q


X` ; Q v P

() h théorème 2.4(20, 25, 26) i

Q` ; X v P`


X v Q`nP`

(c) X v (P=Q)=R


X ; R v P=Q


X ; R ; Q v P


X v P=(R ; Q)

(d) X v Pn(QnR)


P ; X v QnR


Q ; P ; X v R


X v (Q ; P )nR

(e) (P=Q) ; (Q=R) v P=R


(P=Q) ; (Q=R) ; R v P

(= h (Q=R) ; R v Q & proposition 2.27(a)& théorème 2.4(17) i

(P=Q) ; Q v P


vrai

(f) (PnQ) ; (QnR) v PnR


P ; (PnQ) ; (QnR) v R

(= h P ; (PnQ) v Q & proposition 2.27(b)& théorème 2.4(17) i


Q ; (QnR) v R


vrai

(g) X v (P uQ)=R


X ; R v P uQ


X ; R v P ^ X ; R v Q


X v P=R ^ X v Q=R


X v P=R uQ=R

(h) X v P=(Q t R)


X ; (Q t R) v P


X ; Q t X ; R v P

() h P t Q v R () P v R ^ Q v R i

X ; Q v P ^ X ; R v P


X v P=Q ^ X v P=R

() h P v Q ^ P v R () P v Q uR i

X v P=Q u P=R

(i) X v Pn(Q=R)


P ; X v Q=R


P ; X ; R v Q


X ; R v PnQ


X v (PnQ)=R

(j) (PnQ) ; R v Pn(Q ; R)


P ; (PnQ) ; R v Q ; R


(= h P ; (PnQ) v Q () PnQ v PnQ & théorème 2.4(18) i

vrai

(k) (Pn(Q ; R)) ; (RnS) v Pn(Q ; S)


P ; (Pn(Q ; R)) ; (RnS) v Q ; S

(= h P ; (Pn(Q ; R)) v Q ; R & théorème 2.4(17) i

Q ; R ; (RnS) v Q ; S

(= h théorème 2.4(17) i

R ; (RnS) v S


vrai 2

La proposition 2.29 présente des résultats qui combinent les notions de difonctionnalitéet de résidus.

(2.29) Proposition. Soient P et Q deux relations. Si P est difonctionnelle, alors

P ; Q = P ; >> u (P ; P`)n(P ; Q) = P ; >> u P`n(P` ; P ; Q):

Démonstration.

vrai

() h P est difonctionnelle & proposition 2.12(b) i

P ; Q = P ;>> t P ; P` ; P ; Q

() h P = Q =) P = Q & théorème 2.4(2) & P = P i

P ; Q = P ;>> u P ; P` ; P ; Q

() h dé�nition 2.26(a) & P ; P` = (P ; P`)` i

P ; Q = P ;>> u (P ; P`)n(P ; Q)

Aussi,

vrai

() h P est difonctionnelle & proposition 2.12(b) i

P ; Q = P ;>> t P ; P` ; P ; Q

() h P = Q () P = Q & théorème 2.4(2) & P = P i

P ; Q = P ;>> u P ; P` ; P ; Q


P ; Q = P ;>> u P`n(P` ; P ; Q)


Dans ce chapitre, nous avons présenté les dé�nitions et les propriétés de base ducalcul des relations essentielles à cette thèse. Dans le chapitre suivant, nous introduisonsles projections et leurs propriétés, de façon à préparer la modélisation des processusrelationnels ainsi que celle de di�érents mécanismes de concurrence.

Chapitre 3

Projections et relations decylindri�cation

Dans ce chapitre, nous poursuivons l'établissement de l'assise mathématique de cettethèse. Nous utilisons la substance du chapitre 2 a�n d'établir des propriétés pour desrelations indispensables aux chapitres subséquents, à savoir, les projections, les relationsdites de cylindri�cation et les relations (J , K)-déterminées.

Dans la section 3.1, nous donnons les dé�nitions de base sur les projections. Dansla suivante, nous établissons certaines des propriétés des relations de cylindri�cation.Dans la dernière section, nous introduisons des propriétés qui concernent les relations(J , K)-déterminées.

3.1 Fondements

Nous nous donnons un ensemble d'indices U et une famille de domaines

(i : i 2 U : Di ):

Cet énoncé demeure valable pour tout le reste de la thèse. L'ensemble U est considérécomme un ensemble universel dans un contexte donné.

Pour abréger la notation que nous utilisons pour la structure obtenue par le produitensembliste d'une famille de domaines, nous donnons la dé�nition suivante.

(3.1) Dé�nition. Pour un ensemble I � U ,

DI�=

Y(i : i 2 I : Di ): 2

L'ensemble DI peut être vu comme l'ensemble de toutes les fonctions

f : I �! [(i : i 2 I : Di )

tel que pour tout i 2 I nous avons f(i) 2 Di. Ceci peut être décrit plus formellementpar la formule 3.2 suivante.

33

3. Projections et relations de cylindri�cation 34

(3.2) Soit I � U et soit f une fonction.

f 2 DI

()

(f : I �! [(i : i 2 I : Di )) ^ ( ^ (i : i 2 I : f(i) 2 Di )) 2

(3.3) Exemple. Posons U = fu; v; wg; Du = f|;}g; Dv = f�; .g et Dw = f?; �g.

DU = Du �Dv �Dw = f(a; b; c) j a 2 Du ^ b 2 Dv ^ c 2 Dw g

Cet ensemble peut être vu comme

ff j f : fu; v; wg �! f|;}; �; .; ?; �g ^ f(u) 2 Du ^ f(v) 2 Dv ^ f(w) 2 Dw g:

Nous pouvons visualiser ces deux façons isomorphes de voir DU par les trois tablessuivantes. La première illustre la représentation à l'aide d'un ensemble de fonctions.Malgré une permutation sur les colonnes, on a le même ensemble de fonctions dansla deuxième table. Ainsi, elle est équivalente à la première. Cependant, la représen-tation donnée par la troisième table suppose que les éléments de la première colonneappartiennent à Du, ceux de la deuxième colonne à Dv et en�n ceux de la troisième àDw.

f(u) f(v) f(w)

| � ?| � �| . ?| . �} � ?} � �} . ?} . �

()

f(w) f(v) f(u)

? � |� � |? . |� . |? � }� � }? . }� . }

| � ?| � �| . ?| . �} � ?} � �} . ?} . �

2

La façon de voir DI que nous utilisons en premier lieu est celle de DI comme ensemblede fonctions.

(3.4) Dé�nition. Soit f une fonction avec f 2 DI. La restriction de f à un sous-ensemble K � I est la fonction élément de DK donnée par IK ; f où IK est l'identitésur K, i.e. IK = f(i; j) j i; j 2 K ^ i = j g. 2

Nous utilisons des polices di�érentes pour distinguer entre une identité sur un sous-ensemble d'indices K, notée IK , et l'identité sur DK , notée IK. Pour cette dernière,nous écrivons tout simplement I quand le contexte permet de connaître K.


(3.5) Exemple. Nous poursuivons avec les énoncés de l'exemple 3.3. Prenons K =

fv; wg. La relation IK est la suivante.

IK = f(i; j) j i = j = v _ i = j = w g

=

f(v; v); (w;w)g

Prenons une fonction f 2 DU telle que f(u) = |; f(v) = � et f(w) = ?. Autrement

dit, f = f(u;|); (v; �); (w; ?)g. La restriction de f à K est la relation

Ik ; f

=

f(v; v); (w;w)g; f(u;|); (v; �); (w; ?)g

= h dé�nition 2.1(b) i

f(v; �); (w; ?)g2

La proposition 3.6 donne certaines propriétés des identités sur les ensembles d'indices.

(3.6) Proposition.

(a) I; = ??,

(b) II t IJ = II[J ,

(c) II ; IJ = II u IJ = II\J .

Démonstration.

(a) I;

=

f(i; j) j i; j 2 ; ^ i = j g

=

??

(b) II t IJ

=

f(i; j) j i; j 2 I ^ i = j g t f(i; j) j i; j 2 J ^ i = j g

=

f(i; j) j i; j 2 I [ J ^ i = j g

=

II[J


(c) II ; IJ

= h théorème 2.11(c) i

II u IJ

=

f(i; j) j (i; j) 2 II ^ (i; j) 2 IJ g

=

f(i; j) j i 2 I ^ i 2 J ^ i = j g

=

II\J 2

La dé�nition suivante introduit les projections.

(3.7) Dé�nition. Pour I � U , la projection de DU sur DI , notée �I, est dé�nie

comme suit :

�I

�= f(f; g) j f 2 DU ^ g = II ; f g:

2

(3.8) Exemple. Nous continuons avec l'exemple 3.3 et nous considérons que I =fv; wg. Les tables suivantes illustrent la projection �

I. Une ligne de la première table

illustre une fonction f 2 DU et la même ligne de la deuxième table illustre une fonctiong 2 DI . Ainsi, toute la ligne représente un élément de �

I.

f(u) f(v) f(w)

| � ?| � �| . ?| . �} � ?} � �} . ?} . �

g(v) g(w)

� ?� �. ?. �� ?� �. ?. �

Nous pouvons donc écrire

�I= f(f; g) j f 2 DU ^ g 2 DI ^ f(v) = g(v) ^ f(w) = g(w) g:

Aussi, nous pouvons l'écrire sous la représentation suivante comme ensemble de tuples.

�I= f((a; b; c); (b0; c0)) j b0 = b ^ c0 = c g:

Cette dernière façon de représenter est la plus utilisée dans les exemples subséquents,cela dans le but de faciliter les manipulations. 2


Par la proposition 3.9 nous établissons que la projection de DU vers DU est l'identitésur DU .

(3.9) Proposition. �U= I.

Démonstration.

�U

= h dé�nition 3.7 i

f(f; g) j f 2 DU ^ g = IU ; f g

= h f 2 DU i

f(f; g) j f 2 DU ^ g = f g

= I 2

En notant par II l'identité sur DI (i.e. IDI$DI), la proposition 3.10 exprime que dé-projeter à partir de DI vers DU puis projeter vers DI est équivalent à faire l'identitésur DI . En se référant à la dé�nition 2.5(a et e), cette proposition signi�e que �

Iest

déterministe et surjective.

(3.10) Proposition. �Ì

; �I= II.

Démonstration.

(f; g) 2 �Ì; �

I


_ (h : h 2 DU : (f; h) 2 �Ì^ (h; g) 2 �

I)

() h dé�nition 3.7 & dé�nition 2.1(a) & (h; f) 2 �Ii

_ (h : h 2 DU : f = II ; h ^ g = II ; h )

() h transitivité de l'égalité i

_ (h : h 2 DU : f = II ; h ^ f = g )

() h f = II ; h ^ h 2 DU =) f 2 DI i

_ (h : h 2 DU : f 2 DI ^ f = II ; h ^ f = g )

() h un tel h existe i

f 2 DI ^ f = g

()

(f; g) 2 II 2

(3.11) Dé�nition. Pour un ensemble I � U ,

�I

�= �

I; �`

I:

La relation �Iest dite relation de I-cylindri�cation. 2


(3.12) Exemple. Prenons la projection �Ide l'exemple 3.8.

�I


�I; �`

I

= h exemple 3.8 i

f((a; b; c); (b0; c0)) j b0 = b ^ c0 = c g ; f((b; c); (a0; b0; c0)) j b0 = b ^ c0 = c g


f((a; b; c); (a0; b0; c0)) j b0 = b ^ c0 = c g

Les tables suivantes illustrent la relation de I-cylindri�cation �I. En e�et, une ligne

de la première table donne un élément de DU . La même ligne de la deuxième tabledonne une des images de cet élément par �

I. Ainsi, une ligne de ces deux tables illustre

un élément de la relation �I.

| � ?| � ?| � �| � �| . ?| . ?| . �| . �} � ?} � ?} � �} � �} . ?} . ?} . �} . �

| � ?} � ?| � �} � �| . ?} . ?| . �} . �} � ?| � ?} � �| � �} . ?| . ?} . �| . � 2

Faire la projection de DU vers DI suivie par l'opération inverse revient à préserveruniquement les composantes données par la famille d'indices I. Ce qui est exprimé parla relation �

I.

L'e�et de cette relation �Iest semblable à ce qui est exprimé dans les algèbres

cylindriques [2, 40, 41] par des opérateurs unaires dits opérateurs de cylindri�cation.Il est mentionné dans [40, page 1] que cette terminologie est empruntée à la géomé-trie analytique. Nous notons que si on se collait à ce qu'on trouve dans les algèbrescylindriques, nous appellerions �

Iune relation de I-cylindri�cation au lieu de I-cylin-

dri�cation. Toutefois, nous adoptons le terme I-cylindri�cation par commodité.Composée à une relation R, la relation de I-cylindri�cation introduit un quanti�-

cateur existentiel.


(3.13) Remarque. Nous disons que nous faisons une I-cylindri�cation à droite d'unerelation R dans le cas de R ; �

Iet que nous faisons une I-cylindri�cation à gauche d'une

relation R dans le cas de �I; R.

(3.14) Exemple. Soit R � (Dx � Dy � Dz)2, où Dx = Dy = Dz = N , une relation

telle que

R = f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x g:

Alors,

R ; �fy;zg

=

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x g;

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j y0 = y ^ z0 = z g


f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j

_ (x0 : x0 2 Dx : x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x ) g

= h remarque : la fy; zg-cylindri�cation à droite de R a introduit unquanti�cateur existentiel sur x0. i

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x g

De même,

�fy;zg

; R

=

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j y0 = y ^ z0 = z g;

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x g


f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j

_ (x : x 2 Dx : x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 = z + x ) g

= h remarque : la fy; zg-cylindri�cation à gauche de R a introduit unequanti�cateur existentiel sur x. i

f((x; y; z); (x0; y0; z0)) j x0 = y � z ^ y0 = y + 1 ^ z0 � z g2

Que ce soit dans la littérature ([2, 28, 29, 40, 41]) ou au cours de notre travail derecherche, nous avons constaté que les relations de cylindri�cation introduites par ladé�nition 3.11 possèdent des propriétés très intéressantes qui simpli�ent la notation etles preuves. Pour ces raisons, nous réservons la section suivante aux propriétés de cesrelations particulières.


3.2 Propriétés des relations de cylindri�cation

Nous commençons par la proposition 3.15 qui caractérise les éléments de la relation deI-cylindri�cation.

(3.15) Proposition.

(f; g) 2 �I() f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; f = II ; g:

Démonstration.

�I


�I; �`

I

= h dé�nition 3.7 & dé�nition 2.1(a) i

f(f; g) j f 2 DU ^ g = II ; f g ; f(f; g) j g 2 DU ^ f = II ; g g


f(f; g) j f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; f = II ; g g 2

La relation de I-cylindri�cation préserve les composantes indicées par les éléments deI et laisse libres (universelles) les autres composantes.

Plus il y a de composantes à préserver dans une relation de cylindri�cation, pluscelle-ci est contrainte. Par conséquent, elle est plus petite si on la compare à une autredans laquelle on préserve moins de composantes.

(3.16) Proposition. I � J =) �Jv �

I.

Démonstration.

(f; g) 2 �J

() h proposition 3.15 i

f 2 DU ^ g 2 DU ^ IJ ; f = IJ ; g

=) h f = g =) h ; f = h ; g i

f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; IJ ; f = II ; IJ ; g

() h proposition 3.6(c) i

f 2 DU ^ g 2 DU ^ I(I\J) ; f = I(I\J) ; g

() h I � J i

f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; f = II ; g


(f; g) 2 �I 2

(3.17) Proposition.

(a) �I

; �J= �

J; �

I= �

I\J,


(b) �;= >>,

(c) �U= I,

(d) �`I

; �I= �`

I,

(e) �I

; �I= �

I,

(f) �`I= �

I,

(g) �Iu �

I= I,

(h) Iv �Ii.e. �

Iest ré�exive,

(i) �Iest difonctionnelle.

Démonstration.

(a) �I; �

J

= h proposition 3.15 i

f(f; g) j f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; f = II ; g g ;

f(f; g) j f 2 DU ^ g 2 DU ^ IJ ; f = IJ ; g g


f(f; g) j _ (h : h 2 DU : f 2 DU ^ g 2 DU ^ II ; f = II ; h

^ IJ ; h = IJ ; g ) }

= h I = I \ J [ I \ J & proposition 3.6(b) & II u II = ??(3.6(a et c)) i

f(f; g) j _ (h : h 2 DU : f 2 DU ^ g 2 DU ^ II\J ; f = II\J ; h

^ II\J ; f = II\J ; h ^ II\J ; h = II\J ; g ^ II\J ; h = II\J ; g ) }

= h transitivité de l'égalité i

f(f; g) j _ (h : h 2 DU : f 2 DU ^ g 2 DU ^ II\J ; f = II\J ; g

^ II\J ; f = II\J ; h ^ II\J ; f = II\J ; h ^ II\J ; h = II\J ; g ) }

= h un h tel que (h 2 DU ^ II\J ; f = II\J ; h ^ II\J ; f =II\J ; h ^ II\J ; h = II\J ; g) existe, car il su�t de prendre hqui véri�e II ; h = II ; f ^ IJ ; h = IJ ; g i

f(f; g) j f 2 DU ^ g 2 DU ^ II\J ; f = II\J ; g g


�I\J

(b) (f; g) 2 �;


f 2 DU ^ g 2 DU ^ I; ; f = I; ; g


f 2 DU ^ g 2 DU ^ ?? = ??


() h ?? = ?? () vrai i

f 2 DU ^ g 2 DU

()

(f; g) 2 >>

(c) �U


�U

; �Ù

= h proposition 3.9 & théorème 2.4(27) & I ; I= I i

I

(d) �Ì; �

I


�Ì; �

I; �`

I


II ; �Ì

= h I ;R = R i

�Ì

(e) �I; �

I


�I\I

= h I \ I = I i

�I

(f) �Ì


(�I; �`

I)`

= h théorème 2.4(25 et 26) i

�I; �`

I


�I

(g) �Iu �

I


�I[I

= h I [ I = U i

�U

= h proposition 3.17(c) i

I


(h) Iv �I

() h proposition 3.17(c) i

�Uv �

I

() h I � U & proposition 3.16 i

vrai

(i) �Iest difonctionnelle

() h dé�nition 2.5(i) i

�I= �

I; �

I

`

; �I

() h proposition 3.17(a, f) i

�I= �

I

(=

vrai 2

Dans la proposition 3.17 dont nous venons de donner la démonstration, l'item (a)énonce que préserver en premier lieu les composantes données par I et par la suite pré-server celles données par J , revient à préserver uniquement les composantes qui sont àla fois dans la première et dans la seconde étape. En d'autres termes, la compositiond'une relation de I-cylindri�cation avec une relation de J-cylindri�cation est une rela-tion de (I \ J)-cylindri�cation. L'item (b) énonce que ne rien préserver revient à direque tout est possible, ce qui signi�e que nous avons la relation universelle surDU . Le faitde préserver toutes les composantes se ramène à l'identité. Autrement dit, la relationde U -cylindri�cation est la relation identité, ce qui est établi par l'item (c). Quant àl'item (e), il traduit que deux préservations consécutives des composantes données parI sont équivalentes à une seule. L'item (f) énonce qu'une relation de I-cylindri�cationest symétrique. Préserver un ensemble de composantes et préserver le complément decet ensemble signi�e préserver la totalité des composantes (i.e. les composantes don-nées par U). Cela veut dire avoir l'identité sur DU , ce qui est exprimé par l'item (g).En�n, l'item (h) a�rme que la relation de I-cylindri�cation est ré�exive.

De la proposition 3.17, nous tirons le corollaire suivant.

(3.18) Corollaire. �Iest totale.

Démonstration.

�Iest totale


Iv �I; �`

I

() h dé�nition 3.11 i

Iv �I

() h proposition 3.17(h) i

vrai


L'intersection de plusieurs relations de cylindri�cation où chacune préserve un en-semble de composantes se ramène à une relation de cylindri�cation qui conserve l'unionde tous ces ensembles de composantes. En particulier, pour I et J deux familles d'in-dices, l'intersection de la relation de I-cylindri�cation et de la relation de J-cylindri-�cation est la relation de (I [ J)-cylindri�cation. La proposition suivante énonce cerésultat.

(3.19) Proposition. u(i : i 2 I : �Ji) = �

[(i : i2I : Ji )

Démonstration.

(f; g) 2 u(i : i 2 I : �Ji)

()

^ (i : i 2 I : (f; g) 2 �Ji)


^ (i : i 2 I : f 2 DU ^ g 2 DU ^ IJi ; f = IJi ; g )

() h f 2 DU ^ g 2 DU est libre dans la quanti�cation i

^ (i : i 2 I : IJi ; f = IJi ; g ) ^ f 2 DU ^ g 2 DU

=) h ^ (i : i 2 I : Pi = Qi ) =)t(i : i 2 I : Pi ) = t(i : i 2 I : Qi ) i

t(i : i 2 I : IJi ; f ) = t(i : i 2 I : IJi ; g ) ^ f 2 DU ^ g 2 DU


t(i : i 2 I : IJi ) ; f = t(i : i 2 I : IJi ) ; g ^ f 2 DU ^ g 2 DU


I [(i : i2I : Ji ); f = I [(i : i2I : Ji )

; g ^ f 2 DU ^ g 2 DU


(f; g) 2 �[(i : i2I : Ji )

Dans l'autre sens, nous avons

�[(i : i2I : Ji )

v u(i : i 2 I : �Ji)


^ (i : i 2 I : �[(i : i2I : Ji )

v �Ji)

() h proposition 3.16 & Ji � [(i : i 2 I : Ji ) i

^ (i : i 2 I : vrai )

()

vrai2

(3.20) Proposition. �Iest une relation d'équivalence.


Démonstration.

�Iest une relation d'équivalence

() h dé�nition 2.2(e) i

�Iest ré�exive, transitive et symétrique

() h dé�nition 2.2(b et c) & proposition 3.17(h)& proposition 3.17(e) & proposition 3.17(f) i

vrai 2

Puisque nous avons établi que les relations de cylindri�cation sont des équivalences,on peut leur appliquer les propositions 2.8 et 2.9.

(3.21) Proposition. Soient I et J deux ensembles d'indices tels que I � J. Nousavons

(a) (Q ; �IuR) ; �

J= Q ; �

Iu R ; �

J,

(b) �J

; (�I

; Q u R) = �I

; Q u �J

; R,

(c) (Q ; �ÌuR) ; �

J= Q ; �`

Iu R ; �

J.

Démonstration.

(a) (Q ; �IuR) ; �

J

= h proposition 3.17(a) & I � J i

(Q ; �I; �

JuR) ; �

J

= h proposition 3.20 & proposition 2.8(b) i

Q ; �I; �

JuR ; �

J

= h proposition 3.17(a) & I � J i

Q ; �IuR ; �

J

(b) �J

; (�I; Q uR)

= h théorème 2.4(25, 24) & proposition 3.17(f) i

((Q` ; �IuR`) ; �

J)`


(Q` ; �IuR` ; �

J)`

= h théorème 2.4(25, 24) & proposition 3.17(f) i

�I; Q u �

J; R

(c) (Q ; �ÌuR) ; �

J

= h proposition 3.17(d) i

(Q ; �Ì; �

Ju R) ; �

J



Q ; �`I; �

Ju R ; �

J

= h proposition 3.17(d) i

Q ; �`IuR ; �

J2

(3.22) Proposition. �Iest totale et surjective. 2

Démonstration.

�Iest totale et surjective.

() h dé�nition 2.5(b et e) i

Iv �I; �`

I^ Iv �`

I; �

I

() h proposition 3.17(f) & proposition 3.17(e) i

Iv �I

() h proposition 3.17(h) i

vrai 2

(3.23) Dé�nition. Soit R une relation et soient I et J deux sous-ensembles de U . Larelation R est dite (J, K)-déterminée ssi R = �

J; R ; �

K. 2

En d'autres termes, étant donnés deux sous-ensembles d'indices J et K, une relationR est dite (J , K)-déterminée si et seulement si la J-cylindri�cation à gauche avec laK-cylindri�cation à droite de R ne lui font perdre aucune information. Autrement dit,si nous voyons R comme une relation d'entrée-sortie, toute l'information portée par Rest puisée à l'entrée à partir des composantes indiquées par les indices éléments de Jet fournie à la sortie par les composantes indiquées par les membres de K.

(3.24) Corollaire. La relation �J

; R ; �Kest une relation (J, K)-déterminée.

Démonstration.

�J

; R ; �Kest (J;K)-déterminée


�J

; R ; �K= �

J; �

J; R ; �

K; �

K

() h proposition 3.17(e) i

�J

; R ; �K= �

J; R ; �

K

()

vrai 2

La section 3.3 présente des propriétés de telles relations.


3.3 Propriétés des relations (J , K)-déterminées

Par la proposition suivante, nous donnons certaines propriétés des relations (J , K)-déterminées.

(3.25) Proposition. Soient P et Q deux relations telles que

P = �J

; P ; �K

et

Q = �L

; Q ; �M:

Nous avons

(a) P t Q = �J[L

; (P t Q) ; �K[M

,

(b) P uQ = �J[L

; (P uQ) ; �K[M

,

(c) P ; �K\L

= P ; �K\L

= P ; �L,

(d) P ; >> = �J

; P ; >> ; �K,

(e) P = �J

; P ; �K,

(f) Si l'intersection démoniaque de P et Q est dé�nie, alors nous avons P uQ =�J[L

; (P uQ) ; �K[M

.

Démonstration.

(a) �J[L

; (P t Q) ; �K[M


�J[L

; P ; �K[M

t �J[L

; Q ; �K[M

= h hypothèses & proposition 3.17(a) & (A [B) \ A = A i

�J

; P ; �Kt �

L; Q ; �

M

= h hypothèses i

P t Q

(b) P uQ

= h hypothèses i

�J

; P ; �Ku �

L; Q ; �

M


�J[L

; �J

; P ; �K

; �K[M

u �L

; Q ; �M


(�J[L

; �J

; P ; �Ku �

L; Q ; �

M) ; �

K[M


�J[L

; (�J

; P ; �Ku �

L; Q ; �

M) ; �

K[M

= h hypothèses i

�J[L

; (P uQ) ; �K[M


(c) P ; �K\L

= h P = �J

; P ; �Ki

�J

; P ; �K

; �K\L


�J

; P ; �K\(K[L)

= h \ se distribue sur [ & K \K = ; i

�J

; P ; �K\L


�J

; P ; �K

; �K\L

= h P = �J

; P ; �Ki

P ; �K\L


P ; �K

; �L

= h P = �J

; P ; �K

& proposition 3.17(e) i

P ; �L

(d) P ; >>

= h hypothèse i

�J

; P ; �K

;>>

= h proposition 3.22 & dé�nition 2.5(b) i

�J

; P ;>>

= h proposition 3.22 & dé�nition 2.5(e) i

�J

; P ;>> ; �K

(e) Démontrons d'abord que P v �J

; P ; �K.

P

v h proposition 3.17(h) & théorème 2.4(17, 18) i

�J

; P ; �K

Pour la démonstration de l'autre inclusion, nous proposons ceci :

�J

; P ; �Kv P

() h dé�nition 2.3(5) & proposition 3.17(f) & P = P i

�J

; P v P ; �K

() h P v Q () Q v P i

P ; �Kv �

J; P

() h dé�nition 2.3(5) & proposition 3.17(f) i

�J

; P ; �Kv P


() h hypothèse i

vrai

(f) P uQ

= h hypothèse (l'intersection démoniaque de P et Q est dé�nie) &dé�nition 2.24 i

P uQ t P uQ ;>> t Q u P ;>>

= h hypothèses & proposition 3.25(d) i

P uQ t P u �L

; Q ;>> ; �Mt Q u �

J; P ;>> ; �

K

= h corollaire 3.24 & proposition 3.25(e) i

P uQ t P u �L

; Q ;>> ; �Mt Q u �

J; P ;>> ; �

K

= h corollaire 3.24 & hypothèses & proposition 3.25(b) i

�J[L

; (P uQ) ; �K[M

t �J[L

; (P uQ ;>>) ; �K[M

t �J[L

; (Q u P ;>>) ; �K[M


�J[L

; (P uQ t P uQ ;>> t Q u P ;>>) ; �K[M

= h hypothèse (l'intersection démoniaque de P et Q est dé�nie) &dé�nition 2.24 i

�J[L

; (P uQ) ; �K[M

2

En d'autres termes et concernant la proposition précédente, l'item (a) atteste quel'union d'une relation (J , K)-déterminée et d'une relation (L, M)-déterminée est unerelation (J [L, K [M)-déterminée. L'item (b) établit que l'intersection d'une relation(J , K)-déterminée et d'une autre (L, M)-déterminée est une relation (J [L, K [M)-déterminée. Si une relation P est (J , K)-déterminée alors la relation P ;>> est aussi(J , K)-déterminée, ce qui est exprimé par (d). Par l'item (e) nous traduisons quesi une relation P est (J , K)-déterminée alors la relation P est une relation (J , K)-déterminée. Nous rappelons que d'après la dé�nition 2.24, l'intersection démoniaquen'est pas toujours dé�nie. L'item (f) a�rme que lorsque l'intersection démoniaque estdé�nie pour une relation (J , K)-déterminée et une autre (L, M)-déterminée, alorsl'intersection démoniaque de celles-ci est une relation (J [ L, K [M)-déterminée.

(3.26) Corollaire.

(a) P = �J

; P =) P = �J

; P ,

(b) P = P ; �K

=) P = P ; �K.

Démonstration.

(a) Il su�t de prendre �K= I dans 3.25(e).

(b) Il su�t de prendre �J= I dans 3.25(e). 2


(3.27) Proposition. Soient P et Q deux relations. Nous avons

�J

; P ; �Kv �

J; Q ; �

K() P v �

J; Q ; �

K:

Démonstration. Pour un premier sens de l'équivalence, nous proposons la preuve

suivante.

�J

; P ; �Kv �

J; Q ; �

K

=) h proposition 3.17(h) & théorème 2.4(17, 18) i

P v �J

; P ; �Kv �

J; Q ; �

K

=)

P v �J

; Q ; �K

Pour l'autre sens, la démonstration est celle-ci.

P v �J

; Q ; �K

=) h théorème 2.4(17, 18) i

�J

; P ; �Kv �

J; �

J; Q ; �

K; �

K

() h proposition 3.17(e) i

�J

; P ; �Kv �

J; Q ; �

K 2

La proposition suivante donne des résultats qui font le lien entre les relations decylindri�cation, les relations (I, J)-déterminées et les sous-identités.

(3.28) Proposition. Soient P et Q des relations telles que P = �I

; P ; �Iu I et

Q = �J

; Q ; �Ju I. Nous avons

(a) P = P u �J,

(b) I � J =) P = �J

; P ; �Ju I,

(c) P t Q = �I[J

; (P t Q) ; �I[J

u I,

(d) P uQ = �I[J

; (P uQ) ; �I[J

u I,

(e) P� = �I

; P� ; �Iu I.

Démonstration.

(a) P u �J

= h P v Iv �J(i.e. hypothèse sur P et proposition 3.17(h)) i

P


(b) �J

; P ; �Ju I

= h hypothèse i

�J

; (�I; P ; �

Iu I) ; �

Ju I


�J

; (�I; P ; �

Iu �

J) u I


�I; P ; �

Iu �

J; �

Ju I

= h proposition 3.17(e) & proposition 3.17(h) i

�I; P ; �

Iu I

= h hypothèse i

P

(c) P t Q

= h P v I & Q v I i

(P t Q) u I


�I[J

; (P t Q) ; �I[J

u I

(d) P uQ

= h P v I & Q v I i

(P uQ) u I

h proposition 3.25(b) i

�I[J

; (P uQ) ; �I[J

u I

(e) �I; P� ; �

Iu I

= h dé�nition 2.10 & hypothèse i

�I; (�

I; P ; �

Iu Iu I) ; �

Iu I


�I; ((�

I; P ; �

It I) u I) ; �

Iu I

= h théorème 2.4(16) & P u P = ?? i

�I; (�

I; P ; �

Iu I) ; �

Iu I

= h proposition 3.20 & proposition 2.8(a) i

�I; (�

I; �

I; P ; �

I; �

Iu I) ; �

Iu I

= h proposition 3.20 & proposition 2.8(b) i

�I; �

I; P ; �

I; �

Iu �

I; �

Iu I

= h proposition 3.17(e) & proposition 3.20 & proposi-tion 2.8(a) i

�I; P ; �

Iu I

= h P u P = ?? & théorème 2.4(4) i


�I; P ; �

Iu Iu I

= h hypothèse i

P u I


P� 2

Essentiellement, nous avons présenté dans ce chapitre trois entités mathématiques,la première étant la projection. À partir de celle-ci, nous avons introduit la deuxièmequi est la relation de cylindri�cation. En�n, grâce à cette dernière, nous avons introduitdes relations dites (J , K)-déterminées. Pour chacune de ces entités, nous avons énoncédes propriétés qui nous sont utiles dans les chapitres subséquents. Dans le prochainchapitre, nous utilisons ces outils mathématiques pour modéliser les processus.

Chapitre 4

Processus relationnels

Dans les diverses publications concernant la concurrence [3, 7, 42, 60, 65, 71, 77, 81],nous rencontrons di�érentes dé�nitions associées au terme processus. Cependant, ellestendent à s'accorder pour désigner par ce terme soit une entité physique active et dy-namique qui interagit avec son environnement, soit une entité mathématique [3, 7, 11,18, 42, 60, 65, 81] ou graphique [71, 76, 77, 83] qui modélise l'entité physique. Parexemple, dans le calcul de processus de Milner [65], un système est composé d'une ouplusieurs parties ou sous-systèmes. Chaque partie a sa propre identité qui persiste àtravers le temps. Ces parties sont appelées des agents ou des processus. De même, leterme processus désigne une description syntaxique du comportement d'un agent. DansCSP (�Communicating Sequential Processes �) de Hoare, un processus représente lecomportement modèle d'un objet, dans la mesure où il est possible de le décrire entermes d'un ensemble �ni d'événements choisis comme son alphabet [42]. Un compor-tement d'un processus est donné par une trace qui est la séquence �nie de symbolesenregistrant les événements dans lesquels le processus s'est engagé à partir d'un mo-ment donné. Ainsi, l'environnement d'un processus peut lui-même être décrit commeun processus. Cela permet d'étudier le comportement du système complet comme desprocessus interagissants. Nous trouvons aussi que pour R. J. Ramadge et W. M. Won-ham [81, 82], un processus est une entité représentée par un système à événementsdiscrets caractérisé par l'automate G = (Q;�; �; q0; Qm), où Q est l'ensemble des états,� est un alphabet �ni d'étiquettes d'événements, � : � � Q �! Q est la fonctionde transition, q0 2 Q est l'état initial et Qm � Q est l'ensemble des états terminaux.Arnold [3] considère que la notion fondamentale pour décrire formellement le fonction-nement d'un système de processus est celle d'automate. Pour mieux mettre en évidencele fait que ces automates sont non pas des machines à reconnaître certains langages,mais plutôt des formalisations d'une structure contenant des états et des transitions, illes appelle systèmes de transitions. Les transitions des systèmes de transitions utiliséspar Arnold sont étiquetées par des noms d'actions ou par des noms d'événements.

Prenons le sens du terme processus qui désigne une entité physique. Cette entitépeut être un sous-système d'un plus grand système. D'un autre point de vue, un systèmephysique peut être un ou plusieurs processus. Ce découpage en processus dépend dela tâche à accomplir. Il peut s'agir d'une tâche de véri�cation, de validation ou autre.Pour l'une, une décomposition peut s'avérer très utile tandis que pour une autre, cette

53

4. Processus relationnels 54

même décomposition peut se révéler moins pro�table.Les systèmes séquentiels n'interfèrent pas avec d'autres systèmes qui risquent de

leur bloquer un accès à une ressource ou de modi�er le résultat d'un travail qu'ils sonten train de faire. Tout accès à ce qu'ils utilisent est fait soit avant qu'ils commencent,soit après qu'ils aient terminé. Par conséquent, dans la modélisation des programmesséquentiels, ne sont nécessaires ni l'élémentarité des actions d'un programme ni ladistinction, dans chacune des descriptions des sous-parties, entre les variables lues etles variables modi�ées ou entre les variables contrôlées par une instruction et celles quine le sont pas.

Un système qui agit sur son environnement d'une façon interactive (i.e. l'environ-nement aussi peut agir sur le système et sans attendre qu'il termine) est dit réactif.Quand un système est réactif, sa modélisation devrait faire le lien entre chacune de sesparties et leurs ressources respectives. De même, la modélisation devrait tenir comptede l'atomicité de ses actions [11]. Dans la modélisation d'un système donné, nous voyonsl'ensemble des ressources du milieu de ce système (de son � univers �) rangées sous troiscatégories : les ressources d'où il puise sa matière première, les ressources qu'il modi�eet les ressources avec lesquelles il n'a rien à voir. Il est certain qu'une modélisation quiprend en compte les deux considérations, atomicité et ressources utilisées, comportede l'information inutile pour le traitement des systèmes séquentiels. Cependant, le jouroù nous déciderons de mettre ces systèmes en concurrence avec d'autres, nous sauronsprévoir, à partir de leurs modèles et ceux de leurs nouveaux environnements, leursinteractions avec leurs nouveaux milieux et nous n'aurons pas à réécrire leurs modèles.

Dans ce chapitre, nous proposons une modélisation des systèmes ou processus ausens entités physiques qui pourrait être utilisée pour la représentation de systèmes, queceux-ci soient considérés comme agissant seuls sans aucune interaction avec d'autresou bien comme faisant partie d'une collectivité qui coopère dans la réalisation d'uneoeuvre. Notre entité mathématique modèle d'un système est dite processus relationnel.La section 4.1 l'introduit. Dans la section 4.2, nous associons à un processus relationnelune relation dite relation associée. La section 4.3 introduit une classe de processus ditsprocessus atomiques. Dans la section 4.4, nous dé�nissons la notion de sous-processusrelationnel d'un processus relationnel. L'avant-dernière section donne un procédé quipermet l'intégration de processus relationnels séquentiels (c'est-à-dire non concurrents)donnant une description du système qui englobe tous ces processus. La dernière sectionrécapitule les points importants de ce chapitre.

4.1 Dé�nition

Cette section introduit, par la dé�nition 4.1, une modélisation relationnelle d'un pro-cessus. La représentation d'un processus donné par cette dé�nition peut être utiliséedirectement ou indirectement, en passant par la relation associée introduite par ladé�nition 4.5, pour véri�er, maintenir le système décrit ou encore prévoir son com-portement ou ses interactions avec d'autres systèmes. Cette représentation décrit leprocessus en donnant, entre autres, des relations décrivant ce qui se passe sur les par-ties du processus qui ont les mêmes composantes à l'entrée et les mêmes composantes


à la sortie.

(4.1) Dé�nition. Un processus relationnel P est un quintuple

( (J;K : J;K 2 U : PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

satisfaisant

(a) PJK

= �J

; PJK

; �K

(b) �P = �EP

;�P; �

EPu I

(c) !P = �FP

;!P; �

FPu I 2

Le quintuple qui dé�nit un processus relationnel est formé par

� une famille de relations (J , K)-déterminées. Chacune de ces relations décrit lecomportement de la partie du processus qui lit ses valeurs à partir des variablesdonnées par l'ensemble d'indices J et qui écrit le résultat de son traitement sur lesvariables désignées par l'ensemble d'indices K. L'utilisation des relations (J , K)-déterminées est motivée par leurs capacités d'encapsuler plusieurs actions dansune seule relation et par les propriétés de ces relations qui nous permettent dedériver simplement des lois concernant le processus.

� une relation d'entrée�P qui est incluse dans l'identité. Cette relation exprime lesétats à partir desquels le processus peut se déclencher. En somme,�P caractérisedes sous-ensembles d'états d'entrée.

� un ensemble d'indices EP indiquant les variables qu'il faut préserver lors de la cy-lindri�cation de la relation d'entrée pour ne pas perdre d'informations contenuesdans cette relation. Des valeurs particulières pourraient être données, dans la re-lation d'entrée, pour les variables indiquées par EP ; ce qui permet de préciserles états à partir desquels le processus se déclenche.

� la relation de sortie!P qui est une relation incluse dans l'identité. Cette relationexprime les états dans lesquels le processus peut terminer. En fait,!P caractérisedes sous-ensembles d'états de sortie.

� un ensemble d'indices FP donnant les variables qu'il faut préserver lors de lacylindri�cation de la relation de sortie a�n de ne pas perdre l'information contenuedans cette relation. Des valeurs particulières pourraient être données, dans larelation de sortie, pour les variables indiquées par FP ; ce qui permet de préciserles états dans desquels le processus termine.

Dans tout ce qui suit, un processus relationnel est désigné par une lettre majusculeen police calligraphique, par exemple P dans la dé�nition 4.1. Toutes les composantesdu processus relationnel, à l'exception des relations de la composante famille, sontindicées par la même lettre majuscule qui désigne le processus mais en police standard,


comme dans le cas de �P ; EP ;!P ; FP dans la dé�nition 4.1. Dans la composanteexception, les relations sont indiquées par la lettre majuscule en police standard etelles sont indicées par l'ensemble des ressources lues, suivi par l'ensemble de ressourcesdestinées à être modi�ées. Comme exemple de ces relations, on peut donner P

JKtelle

que trouvée dans la dé�nition 4.1.Désormais, nous désignons une famille de relations de la forme

(J;K : J;K 2 U : PJK

)

par

(J;K :: PJK

)

et cela pour alléger la notation.Avant d'illustrer la dé�nition 4.1 par un exemple, nous tenons à apporter la re-

marque suivante et à adopter la convention 4.3.

(4.2) Remarque. Dans les exemples de ce chapitre et ceux des chapitres subséquents,nous utilisons les diagrammes de transitions d'une façon informelle. Nous en faisonsusage uniquement dans le but d'illustrer des exemples ; nous n'utilisons ces diagrammespour aucun autre objectif. Les manipulations formelles que nous produisons sont ba-sées sur la dé�nition 4.1. Aussi, nous utilisons le terme état pour désigner une liste devaleurs des variables de U et nous utilisons le terme n÷ud pour désigner un ensembled'états caractérisés par un ou plusieurs prédicats. À titre d'exemple, dans le systèmede transitions de la �gure 4.1, nous avons cinq n÷uds étiquetés par v = 1, v = 2, v = 3,v = 4 et v = 5. 2

(4.3) Convention. Dans la famille de relations d'un processus relationnel concret,nous ne donnons que les relations (J , K)-déterminées qui sont di�érentes de la relationvide. Ainsi, si une relation P

JKn'est pas donnée dans la famille de relations d'un pro-

cessus P, c'est qu'elle est une relation vide. Cette convention a uniquement une portéepratique. 2

Revenons maintenant à l'illustration de la dé�nition 4.1.

(4.4) Exemple. Soit le processus relationnel suivant.

P = ((Pfv;x;ygfv;yg

; Pfv;zgfv;zg

; Pfv;x;y;zgfv;xg

; Pfv;xgfv;xg

; Pfvgfvg

);�P ; EP ;!P ; FP )

où

EP = fv; x; yg;

FP = fv; y; zg;

Pfv;x;ygfv;yg

= f v = 1 ^ v0 = 3 ^ y0 = f(x; y) _ v = 3 ^ v0 = 5 ^ y0 = l(x; y)g;


Pfv;zgfv;zg

= f v = 2 ^ v0 = 3 ^ z0 = g(z)g;

Pfv;x;y;zgfv;xg

= f v = 3 ^ v0 = 4 ^ x0 = h(x; y; z)g;

Pfv;xgfv;xg

= f v = 4 ^ v0 = 1 ^ x0 = xg;

Pfvgfvg

= f v = 5 ^ v0 = 2g:

Nous remarquons que nous omettons dans les expressions des relations la partie� ((v; x; y; z); (v0; x0; y0; z0)) j� et que la relation P

fv;x;ygfv;ygest (fv; x; yg, fv; yg)-déter-

minée, Pfv;zgfv;zg

est (fv; zg, fv; zg)-déterminée, Pfv;x;y;zgfv;xg

est (fv; x; y; zg, fv; xg)-déterminée, P

fv;xgfv;xgest (fv; xg, fv; xg)-déterminée et P

fvgfvgest (fvg, fvg)-détermi-

née. À titre d'exemple, nous pouvons véri�er que Pfv;x;ygfv;yg

= �fv;x;yg

; Pfv;x;ygfv;yg

; �fv;yg

.Les relations d'entrée et de sortie du processus relationnel sont respectivement lessuivantes.

�P = f v = 1 ^ x = 4 ^ y = 3 _ v = 2 ^ x = 3 ^ y = 4g u I

!P = f v = 4 ^ y = 10 ^ z = 18 _ v = 5 ^ y = 12 ^ z = 5g u I

Pour visualiser ce processus, nous donnons le système de transitions de la �gure 4.1, oùles n÷uds étiquetés par v = 1 et v = 2 sont des n÷uds initiaux et les n÷uds étiquetéspar v = 4 et v = 5 sont des n÷uds �naux. Un n÷ud initial est indiqué, sur les systèmesde transitions illustratifs, par un cercle avec une petite �èche entrante devant laquellenous indiquons les valeurs de certaines variables à l'entrée dans le système. Ce sont desvaleurs prises de la relation d'entrée. Un n÷ud �nal est représenté sur ces systèmes pardeux cercles concentriques d'où sort une petite �èche au bout de laquelle nous indiquonsles valeurs de certaines variables à la sortie du système. Les valeurs indiquées sont prisesde la relation de sortie. Les arcs sont étiquetés par des triplets. La première composantedu triplet indique l'ensemble des variables lues. La deuxième donne le prédicat qui relieles variables primées aux variables non primées à l'exception de celles présentes dansles n÷uds du diagramme (i.e. dans notre exemple la variable v). Le ou les prédicatsqui caractérisent les variables exceptées sont présents dans les n÷uds, c'est pourquoices variables ne sont pas présentes dans la deuxième composante du triplet. La der-nière composante du triplet donne l'ensemble des variables destinées à être modi�ées. 2

Du fait que nous donnons une famille de relations (J , K)-déterminées dans unprocessus relationnel, lequel, nous prétendons, modélise un système, certains pourraientdire que cette façon de décrire le système ne nous permet pas de connaître directementsa structure. Tout comme d'autres [74, page 949], nous croyons que le véri�cateur, lemainteneur ou bien le prévisionniste (i.e. personne qui tente de prévoir le comportementd'un système dans un environnement donné et cela à partir de la spéci�cation de cesystème) n'ont pas à connaître la structure du système. Cela pourrait être pour desraisons de con�dentialité, de partage des tâches ou autres.


@Rx=4^y=3

��v = 1

@Rx=3^y=4

��v = 2

��v = 3

�� v = 4 - y = 10 ^ z = 18

�� v = 5 - y = 12 ^ z = 5

PPqPP

PPPPP

PPPPPPP

��1��

��

��

��1��

��

��

PPqPP

PPPPP

PPPPPPP

� ��

� ��

(fv; xg; x0 = x; fv; xg)

(fvg; ; fvg)

(fv; x; yg; y 0= f(x; y); fv; yg)

(fv;zg; z

0 = g(z); fv;

zg)(fv; x; yg; y 0= l(x; y); fv; yg)

(fv;x; y;

zg; x0 = h(x;

y; z); fv;

xg)

Figure 4.1: Système de transitions illustrant l'exemple 4.4

Dans [46], les auteurs indiquent que la première étape dans la documentation desspéci�cations d'un système informatique est, primo, l'identi�cation des quantités envi-ronnementales comme des quantités à être mesurées ou à être contrôlées et, secundo,l'association de ces quantités à des variables mathématiques. De même, ils prétendentqu'il est utile de caractériser chaque quantité environnementale comme une quantitélue �monitored � ou contrôlée � controlled � ou bien les deux. De ce que nous venons derapporter de [46], nous voyons que nous ne sommes pas les seuls à faire de semblablesdistinctions entre les variables partagées entre le processus et son environnement. Étantdonné que lors de la spéci�cation d'un processus, nous pouvons ne pas connaître sonenvironnement, alors nous donnons pour chaque processus les variables lues et celles surlesquelles il écrit. Dans un contexte de concurrence, l'interférence des actions de plu-sieurs processus sur une même variable pourrait mener à des situations problématiques.En identi�ant pour chaque processus les variables utilisées, nous pouvons déterminerles variables partagées avec son environnement et sur lesquelles des problèmes d'inter-férence sont possibles. Nous trouvons dans [60] des mécanismes à instaurer pour éviterde tels problèmes.

Il est clair que nous imposons au concepteur plus de travail que d'habitude en luidemandant de regrouper la spéci�cation de toutes les parties du processus qui partagentle même ensemble de variables à l'entrée et le même ensemble de variables à la sortiedans une même relation. De plus, nous exigeons de sa part que cela soit fait pour chaquepaire constituée par un ensemble de variables à l'entrée et un ensemble de variables àla sortie. Sont donc écrites, une fois pour toutes, des informations que les véri�cateurs,les mainteneurs ou les prévisionnistes, autrement, découvriront par eux-mêmes quandle système étudié sera mis dans un environnement avec lequel il partage des variables.


4.2 Relation associée

Nous avons exprimé que cette façon de modéliser les processus nous permet de trai-ter les systèmes séquentiels. Dans l'étude des programmes en utilisant les approchesrelationnelles, nous exprimons un programme, exemple de système séquentiel, par unerelation sans indiquer les variables utilisées pour la lecture ni celles pour l'écriture.Dans la présente sous-section, nous verrons que cette dernière relation n'est autre quela relation associée au système modélisé par le processus relationnel.

(4.5) Dé�nition. Soit P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) un processus relation-nel. La relation associée à P est la relation

P�= t(J;K :: P

JKu �

K) 2

La relation associée est une union de relations. Chacune de ces relations est obtenueà partir d'un membre de la famille de relations donnée dans l'expression du processusrelationnel, et ce en imposant que les variables non destinées à être modi�ées (i.e.indiquées par K) soient préservées.

Cette relation associée est une bonne approximation de la spéci�cation du systèmesous l'hypothèse qu'il est un système fermé. Un système est dit fermé s'il n'a pasd'environnement i.e. rien ne peut se passer sur les variables sur lesquelles il n'écrit paset rien ne peut interférer sur les variables qu'il utilise. Autrement, le système est ditouvert.

(4.6) Proposition. Soit P la relation associée à un processus P.

P = t(J;K : PJK6= ?? : P

JKu �

K)

Démonstration.

P


t(J;K :: PJKu �

K)

= h lois booléennes i

t(J;K : PJK

= ?? _ PJK6= ?? : P

JKu �

K)

= h t(x : p(x) _ q(x) : E(x) )= t(x : p(x) : E(x) ) t t(x : q(x) : E(x) ) i

t(J;K : PJK

= ?? : PJKu �

K) t t(J;K : P

JK6= ?? : P

JKu �

K)

= h ?? uR = ?? & ?? t R = R i

t(J;K : PJK6= ?? : P

JKu �

K) 2

Notons par FP la famille de relations qui constitue la première composante du proces-sus relationnel P. La proposition 4.6 indique que la relation associée à un processusrelationnel P peut être calculée en utilisant seulement les éléments de FP qui sontdi�érents de ??.


(4.7) Exemple. Reprenons le processus de l'exemple 4.4 précédent pour déterminersa relation associée. Pour ce faire, nous avons besoin de nous donner un ensembleuniversel d'indices U . Prenons U = fv; x; y; z; tg. Ainsi,

P


Pfv;x;ygfv;yg

u �fx;z;tg

t Pfv;zgfv;zg

u �fx;y;tg

t Pfv;x;y;zgfv;xg

u �fy;z;tg

t Pfv;xgfv;xg

u �fy;z;tg

t Pfvgfvg

u �fx;y;z;tg

= h proposition 3.19 & théorème 2.4(16) & tous calculs faits i

{ v = 1 ^ v0 = 3 ^ x0 = x ^ y0 = f(x; y) ^ z0 = z ^ t0 = t

_ v = 3 ^ v0 = 5 ^ x0 = x ^ y0 = l(x; y) ^ z0 = z ^ t0 = t

_ v = 2 ^ v0 = 3 ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = g(z) ^ t0 = t

_ v = 3 ^ v0 = 4 ^ x0 = h(x; y; z) ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t

_ v = 4 ^ v0 = 1 ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t

_ v = 5 ^ v0 = 2 ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t g

Nous pouvons constater que dans la relation associée, si une variable n'est pas pré-sente dans l'ensemble des variables destinées à être modi�ées � désigné généralementpar K �, nous considérons qu'on a l'identité sur cette variable. À notre avis, cetteconsidération revient à dire que le système modélisé est fermé et que la relation asso-ciée représente une bonne approximation de ce système. C'est pourquoi dans l'étudedes systèmes séquentiels, par exemple les programmes séquentiels, il est su�sant deprendre une telle relation pour représenter le système. 2

La dé�nition suivante introduit l'égalité entre processus.

(4.8) Dé�nition. Soient

P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels. Nous disons que P est égal àQ, noté P = Q, si et seulementsi les conditions suivantes sont véri�ées.

(a) ^ (J;K :: PJK

= QJK

)

(b) �P =�Q

(c) EP = EQ

(d) !P =!Q


(e) FP = FQ 2

Nous remarquons que plusieurs processus relationnels di�érents peuvent avoir unemême relation associée. Ceci est illustré par l'exemple suivant.

(4.9) Exemple. Soient

P = (fPfxgfxg

g;�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = (fQ;;g;�P ; EP ;!P ; FP )

deux processus relationnels, où

Pfxgfxg

= fx0 = xg

et

Q;;= >>:

L'action exprimée par Pfxgfxg

est une action qui lit la variable x et la contrôle ensortie sans la modi�er. L'action exprimée par Q

;;est une action qui ne lit aucune

variable et ne contrôle également aucune variable en sortie (par exemple, modélisantune action telle que � skip �). Si on ne contrôle aucune variable, alors les valeurs �nalesdes variables peuvent être n'importe lesquelles, d'où Q

;;= >>.

Les relations rencontrées dans l'expression de la relation associée (voir la dé�ni-tion 4.5) sont des parties de DU �DU . Ainsi, pour pouvoir calculer les relations P etQ associées à chacun des processus relationnels P et Q, respectivement, nous avons à�xer l'ensemble universel de variables. Dans notre exemple, prenons U = fx; yg. Ainsi,

P


Pfxgfxg

u �fxg

= h U = fx; yg & fxg = fyg i

Pfxgfxg

u �fyg

= h Pfxgfxg

= fx0 = xg & �fyg

= fy0 = yg i

fx0 = xg u fy0 = yg

= h dé�nition de u i

fx0 = x ^ y0 = yg

h U = fx; yg i

I

Pour la relation associée à Q, nous avons


Q


Q;;u �

;

= h U = fx; yg & ; = U i

Q;;u �

U

= h �U= I i

>> u I

=

I

Nous constatons que P = Q, malgré que P 6= Q.

4.3 Processus atomique

Dans cette section, nous dé�nissons un processus qui, à partir d'un état d'entrée ets'il n'y a pas d'intervention de l'environnement, se trouve nécessairement dans un état�nal en exécutant au plus une seule action.

(4.10) Dé�nition. Soient P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) un processusrelationnel et P la relation associée à P. Le processus relationnel P est dit processusrelationnel atomique ssi P =�P

; P ;!P 2

Intuitivement, la dé�nition 4.10 indique que tout état de P est ou bien un étatd'entrée ou un état de sortie (ou les deux) et que de tout état d'entrée on ne peut setrouver, en transitant par P , que dans un état de sortie. Communément dit, on passed'un état d'entrée à un état de sortie en une seule étape et cela à toutes les fois.

Nous remarquons que les relations d'entrée et de sortie interviennent dans la condi-tion d'atomicité d'un processus. Un processus ayant l'identité comme relation d'entréeet comme relation de sortie est un processus atomique. Avoir l'identité comme rela-tion d'entrée et comme relation de sortie signi�e que tout état du système est un étatd'entrée et aussi un état de sortie. L'exemple suivant illustre la notion de processusatomique.

(4.11) Exemples. Soit le processus relationnel

P = ((Pfv;xgfv;xg

);�P ; fvg;!P ; fvg)

où

Pfv;xgfv;xg

= fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x _ v = 3 ^ v0 = 4 ^ x0 = x� 4

_ v = 5 ^ v0 = 6 ^ x0 = x+ 2g,

�P = f v = 1 _ v = 3 _ v = 5g u I;

!P = f v = 2 _ v = 4 _ v = 6g u I:


@R��v = 5 �� v = 6 --(fv; xg; x0 = x+ 2; fv; xg)

@R��v = 3 �� v = 4 --(fv; xg; x0 = x� 4; fv; xg)

@R��v = 1 �� v = 2 --(fv; xg; x0 = x; fv; xg)

Figure 4.2: Processus atomique

Le processus relationnel P est illustré dans la �gure 4.2. Considérons que l'ensembleuniversel d'indices U est U = fv; xg. Ainsi, la relation associée à P est

P = Pfv;xgfv;xg

:

Aussi, nous avons

�P = f v = v0 = 1 ^ x0 = x _ v = v0 = 3 ^ x0 = x _ v = v0 = 5 ^ x0 = xg

et

!P = f v = v0 = 2 ^ x0 = x _ v = v0 = 4 ^ x0 = x _ v = v0 = 6 ^ x0 = xg:

Par conséquent,

�P; P ;!P

=

fv = v0 = 1 ^ x0 = x _ v = v0 = 3 ^ x0 = x _ v = v0 = 5 ^ x0 = xg

; fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x _ v = 3 ^ v0 = 4 ^ x0 = x� 4

_ v = 5 ^ v0 = 6 ^ x0 = x+ 2g

; fv = v0 = 2 ^ x0 = x _ v = v0 = 4 ^ x0 = x _ v = v0 = 6 ^ x0 = xg

= h tous calculs faits i

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x _ v = 3 ^ v0 = 4 ^ x0 = x� 4

_ v = 5 ^ v0 = 6 ^ x0 = x+ 2g

=

P

Ainsi, P est un processus atomique. Par contre, si nous prenons

�P = f v = v0 = 1 ^ x0 = xg;


��v = 5 �� v = 6 --(fv; xg; x0 = x+ 2; fv; xg)

��v = 3 �� v = 4 --(fv; xg; x0 = x� 4; fv; xg)

@R��v = 1 �� v = 2 --(fv; xg; x0 = x; fv; xg)

P

@R��v = 1 �� v = 2 --(fvg; ; fvg)

��v = 3

(fvg;; fvg)S

SSw

SSSSS

SSSSS

(fvg;; fvg)

��7

��

��

Q

Figure 4.3: Processus non atomiques

le processus P ainsi obtenu n'est pas atomique. Ce nouveau processus relationnel estillustré par le diagramme étiqueté par �P � dans la �gure 4.3.

Soit le processus relationnel

Q = ((Qfvgfvg

);�Q; fvg;!Q; fvg)

où

Qfvgfvg

= f v = 1 ^ v0 = 2 _ v = 1 ^ v0 = 3 _ v = 3 ^ v0 = 2g;

�P = f v = 1g u I;

!P = f v = 2g u I:

Il est facile de véri�er que pour U = fvg, Q n'est pas un processus atomique. Le dia-gramme indiqué par �Q� dans la �gure 4.3 illustre le processus relationnel Q. 2

4.4 Sous-processus

Dans cette section, il est sujet de la notion de sous-processus d'un processus relationnel.

(4.12) Dé�nition. Soit P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) un processus re-lationnel. Un processus relationnel Q = ( (J;K :: Q

JK);�Q; EQ;!Q; FQ) est un

sous-processus relationnel de P ssi

(a) ^ (J;K :: QJKv P

JK)

(b) Q ;!�Q

; (P uQ) = ??


(c) (P uQ) ;��Q

; Q = ??

où P et Q sont respectivement la relation associée à P et la relation associée à Q. 2

La condition (a) indique que toute relation (J , K)-déterminée membre de la familledu sous-processus doit être incluse dans une relation aussi (J , K)-déterminée élémentde la famille du super-processus P. La condition (b) signi�e que le processus Q ne peutcéder le contrôle à P (plus précisément, à la partie de P qui n'est pas Q) en transitantpar un point qui n'est pas un point de sortie de Q. La condition (c) signi�e que lecontrôle ne peut passer de P (moins Q) à Q qu'en transitant par un point d'entréede Q.

Nous remarquons que conformément à cette dé�nition, un processus P est un sous-processus de lui-même. Aussi, tout processus Q ayant la même relation associée queP n'est pas nécessairement un sous-processus de P. Pour l'être, il faut qu'il véri�e enplus la condition (a).

(4.13) Exemples. Soit le processus relationnel

P = ((Pfvgfvg

);�P ; fvg;!P ; fvg)

où

Pfvgfvg

= fv = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3 _ v = 1 ^ v0 = 4

_ v = 4 ^ v0 = 6 _ v = 6 ^ v0 = 5 _ v = 4 ^ v0 = 5_ v = 5 ^ v0 = 2 _ v = 5 ^ v0 = 3g,

�P = f v = 1g u I;

!P = f v = 3g u I:

Le processus relationnel P est illustré dans la �gure 4.4. Les étiquettes sur les arcsdu diagramme de cette �gure sont omises. Elles sont toutes identiques et égales à(fvg; ; fvg). Pour tout l'exemple, considérons que l'ensemble universel d'indices U esttel que U = fvg. Ainsi, la relation associée à P est

P = Pfvgfvg

:

Aussi, nous avons

�P = f v = v0 = 1g

et

!P = f v = v0 = 3g:

Considérons un processus Q tel que

Q = ((Qfvgfvg

);�Q; fvg;!Q; fvg)


��v = 6

��v = 4 ��v = 5

@R��v = 1 ��v = 2 �� v = 3 -- -

-

AAU

AAAA

AAAA

AAU

AAAA

AAAA

��

��

��

��

��

��

AAK

AAAA

AAAA

R

Q

Figure 4.4: Processus et sous-processus

où

Qfvgfvg

= f v = 4 ^ v0 = 6 _ v = 6 ^ v0 = 5 _ v = 4 ^ v0 = 5g = Q;

�Q = f v = 4g u I= fv = v0 = 4g;

!Q = f v = 5g u I= fv = v0 = 5g:

Nous avons Qfvgfvg

v Pfvgfvg

. Donc, la condition 4.12(a) est véri�ée. Quant à la véri�-cation de la condition 4.12(b), nous avons

Q ;!�Q

; (P uQ)

= h après avoir calculé!�Q et P uQ i

fv = 4 ^ v0 = 6 _ v = 6 ^ v0 = 5 _ v = 4 ^ v0 = 5g; fv 6= 5 ^ v = v0g; fv = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3 _ v = 1 ^ v0 = 4g

=

fv = 4 ^ v0 = 6g; fv = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3 _ v = 1 ^ v0 = 4g

=

??.

Ainsi, la condition 4.12(b) est véri�ée. Concernant la dernière condition à satisfairepour déclarer Q comme sous-processus du processus relationnel P, à savoir la condi-tion 4.12(c), nous avons


(P uQ) ;��Q

; Q

= h (P u Q) est déja calculé pour véri�er la condition précédente &tous calculs faits pour ��

Q ifv = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3 _ v = 1 ^ v0 = 4g; fv 6= 4 ^ v = v0g

; fv = 4 ^ v0 = 6 _ v = 6 ^ v0 = 5 _ v = 4 ^ v0 = 5g


??

Ainsi, la condition 4.12(c) est véri�ée et par conséquent le processus relationnel Qest un sous-processus de P. Le processus relationnel Q est illustré dans la �gure 4.4par la partie encerclée et identi�ée par �Q� .

Prenons un autre processus relationnelR et véri�ons s'il est aussi un sous-processusde P. Ce processus relationnel R est tel que

R = ((Rfvgfvg

);�R; fvg;!R; fvg)

où

Rfvgfvg

= f v = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3g = R;

�R = f v = 1g u I= fv = v0 = 1g;

!R = f v = 3g u I= fv = v0 = 3g:

Il est facile de véri�er que le processus relationnel R véri�e les conditions 4.12(a)et 4.12(b). Cependant, il ne véri�e pas la condition 4.12(c). En e�et, nous avons

(P u R) ;��R

; R

= h après le calcul de P u R i

fv = 1 ^ v0 = 4 _ v = 4 ^ v0 = 6 _ v = 4 ^ v0 = 5 _ v = 5 ^ v0 = 2

_ v = 5 ^ v0 = 3 _ v = 6 ^ v0 = 5g; fv 6= 1 ^ v0 = vg; fv = 1 ^ v0 = 2 _ v = 2 ^ v0 = 3g


fv = 5 ^ v0 = 3g

6=

??

Par conséquent, le processus relationnel R n'est pas un sous-processus de P. Le pro-cessus relationnel R est illustré dans la �gure 4.4 par la partie encerclée et identi�éepar �R� .

En examinant la �gure 4.4 nous remarquons, qu'au n÷ud étiqueté par v = 2, lapartie de P en dehors de R peut céder le contrôle à ce dernier sans passer par unpoint d'entrée de celui-ci. Ce qui explique intuitivement le fait que R n'est pas unsous-processus de P. 2


4.5 Intégration séquentielle de processus relationnels

Nous avons mentionné dans l'introduction de ce chapitre qu'un processus est une partied'un système obtenue par un découpage plus ou moins arbitraire, découpage qui pour-raît être utile dans une tâche et ne pas l'être dans une autre. L'intégration séquentiellede processus relationnels peut être vue comme une façon de modéliser le regroupementde modèles de parties d'un système, qui doivent s'exécuter séquentiellement et nonparallèlement, pour en former le modèle d'une plus grande partie de système. L'entitéainsi obtenue est vue comme une entité en soi. Par conséquent, ses actions, venantde divers processus constituants, doivent être cohérentes. Aussi, chaque partie qui estune vue partielle du système peut avoir ces points d'entré (de sortie), ce qui fait quedans l'intégration nous devons faire en sorte que le processus résultant indique tous cespoints d'entré (de sortie). La dé�nition suivante introduit l'intégration séquentielle deprocessus relationnels.


P = ( (JP ; KP :: PJPKP

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (JQ; KQ :: QJQKQ

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels véri�ant la condition suivante.

(a) ^ (J;K :: PJK

;>> uQJK

;>> = (PJKuQ

JK) ;>> )

L'intégration séquentielle de P et Q, notée P Q, est dé�nie comme suit.

P Q�= ( (J;K :: P

JKuQ

JK);�P t �Q; EP [ EQ;!P t !Q; FP [ FQ) 2

Comme nous le constatons de la dé�nition 2.24, l'intégration séquentielle de deux pro-cessus relationnels est conditionnelle à la possibilité de dé�nir l'intersection démoniaquede paires de relations. Chaque paire est formée par une relation (J , K)-déterminéeprovenant de la famille de relations de P et par une relation aussi (J , K)-déterminéeprovenant de la famille de relations de Q.

Si la condition 4.14(a) n'est pas véri�ée, nous disons que l'intégration de P etQ n'estpas possible. En e�et, d'après la dé�nition 4.14 et la dé�nition 2.24 de l'intersectiondémoniaque, pour P

JKet Q

JK, les situations suivantes peuvent se présenter :

1. si un état t appartient au domaine de PJK

(exprimé par le terme PJK

;>>) etn'appartient pas au domaine de Q

JK, alors le système global peut évoluer à partir

de t en suivant ce qui est spéci�é par PJK.

2. si un état t n'appartient pas au domaine de PJK

mais plutôt au domaine de QJK,

alors le système global peut évoluer à partir de t en suivant ce qui est spéci�é parQJK.


3. si un état t appartient à la fois au domaine de PJK

et au domaine de QJK,

alors cela signi�e que la relation PJK

indique que le système global peut évoluer,à partir de t, selon ce qu'elle spéci�e et que la relation Q

JKsoutient que, à

partir du même état t, le système global peut évoluer selon ce qu'elle impose. SiPJK

et QJK

s'entendent sur cette évolution, alors l'intégration est possible et lesystème global est ainsi cohérent. Sinon, pour éviter la construction de systèmesincohérents, l'intégration n'est pas possible.

En d'autres termes très imagés, nous pouvons voir la famille de relations (J , K)-déterminées de chaque processus comme une famille de boîtes noires. Une relation P

JK

est vue comme une boîte noire dans laquelle nous pouvons entrer par les composantesdonnées par J et de laquelle nous pouvons sortir par les composantes indiquées parK. Dans cette forme d'intégration de processus, nous prenons une paire de boîtes, unede chaque processus et à la condition qu'elles aient le même ensemble J et le mêmeensemble K, et nous les intégrons pour former une seule et unique boîte. Notre souciest la cohérence à l'intérieur de la boîte formée. Ce qui est assuré dans la dé�nition 4.14par l'intersection démoniaque.

Concernant la relation d'entrée, si�P indique qu'un état s est un état d'entrée etque �Q spéci�e qu'un état t est également un état d'entrée, alors la relation d'entréedu processus relationnel global indiquera que s et t sont tous les deux des états d'en-trée. Le même traitement est aussi adopté pour la relation de sortie. Par conséquent,l'intégration séquentielle de processus relationnels n'impose pas de contraintes sur lesrelations d'entrée et de sortie.

(4.15) Proposition. L'intégration séquentielle de deux processus relationnels est unprocessus relationnel.

Démonstration. Pour que R �= PQ soit considéré comme un processus relationnel,

il faut qu'il véri�e les conditions de la dé�nition 4.1. En la matière, la condition (a) est

véri�ée. En e�et, nous avons

PJKuQ

JK

= h PJK

et QJK

sont (J , K)-déterminées & hypothèse (u est dé�nie)& 3.25(f) i

�J

; (PJKuQ

JK) ; �

K

Concernant la condition (b), nous avons

�P = �EP

;�P; �

EPu I ^ �Q = �

EQ

;�Q; �

EQu I

=) h proposition 3.28(c) i

�P t �Q = �EP[EQ

; (�P t �Q) ; �EP[EQ

u I

Ainsi, la condition (b) est véri�ée. De la même manière que pour (b), nous démontronsque (c) est aussi satisfaite. Par conséquent, R est un processus relationnel. 2


L'exemple ci-après illustre l'intégration séquentielle de processus relationnels. Dans [31],un opérateur semblable est introduit pour l'intégration de scénarios séquentiels. Dansce même document, un exemple plus concret que l'exemple 4.16 est utilisé pour il-lustrer l'intégration de deux scénarios donnant deux vues partielles d'un système debibliothèque.

(4.16) Exemple. Soient les processus relationnels suivants :

P = ((Pfv;xgfv;xg

; Pfv;x;ygfv;xg

);�P ; fv; x; yg;!P ; fv; x; yg)

et

Q = ((Qfv;xgfv;xg

; Qfvgfvg

; Qfv;xgfv;yg

);�Q; fv; x; yg;!Q; fv; x; yg)

où

Pfv;xgfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x ^ x � 0g;

Pfv;x;ygfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 3 ^ x0 = x + yg;

�P = f v = 1 ^ x = 4 ^ y = 3g u I;

!P = f v = 2 ^ x = 7 ^ y = 3g u I;

Qfv;xgfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = �x ^ x � 0g;

Qfvgfvg

= f v = 3 ^ v0 = 2g;

Qfv;xgfv;yg

= f v = 3 ^ v0 = 1 ^ y0 = 2 � xg;

�Q = f v = 3 ^ x = �5 ^ y = 3g u I;

!Q = f v = 2 ^ x = �7 ^ y = 3g u I:

Le processus P et le processus Q sont illustrés dans la �gure 4.5 et la �gure 4.6,respectivement.

Tout d'abord, véri�ons la condition 4.14(a). Il est facile de voir que l'intersectiondémoniaque d'une relation et de la relation vide est dé�nie. Il nous reste à véri�er que

Pfv;xgfv;xg

;>> uQfv;xgfv;xg

; >> = (Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

) ;>>:

En e�et, nous avons

Pfv;xgfv;xg

;>> uQfv;xgfv;xg

;>>


fv = 1 ^ x � 0g u fv = 1 ^ x � 0g

=

fv = 1 ^ x = 0g


@Rx=4^y=3

��v = 1

��v = 3

�� v = 2 - x = 7 ^ y = 3

?

-(fv; xg; x0 = x ^ x � 0; fv; xg)

(fv; x; yg; x0 = x + y; fv; xg)

Figure 4.5: Système de transitions illustrant le processus P de l'exemple 4.16

��v = 1

6x = �5 ^ y = 3

��v = 3

�� v = 2 - x = �7 ^ y = 3

6

-

��1��

��

��

��

��(fv; xg; x0 = �x ^ x � 0; fv; xg)

(fvg; ; f

vg)(fv; xg; y0 = 2 � x; fv; yg)

Figure 4.6: Système de transitions illustrant le processus Q de l'exemple 4.16

et

(Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

) ;>>


fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x = 0g;>>

=

fv = 1 ^ x = 0g

Nous constatons que nous avons l'égalité et par conséquent, l'intersection démoniaquede P

fv;xgfv;xget Q

fv;xgfv;xgest dé�nie. Ainsi, la condition 4.14(a) est véri�ée pour cet

exemple et nous pouvons intégrer P et Q.Il est facile de véri�er que

Pfv;x;ygfv;xg

u?? = Pfv;x;ygfv;xg

;

Qfvgfvg

u?? = Qfvgfvg

;

et que

Qfv;xgfv;yg

u?? = Qfv;xgfv;yg

:


Aussi, nous avons

Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg


Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

t Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

;>> t Qfv;xgfv;xg

u Pfv;xgfv;xg

;>>

=

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x = 0g t Pfv;xgfv;xg

u fv = 1 ^ x � 0g

t Qfv;xgfv;xg

u fv = 1 ^ x � 0g

=

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x = 0g t Pfv;xgfv;xg

u fv 6= 1 _ x > 0g

t Qfv;xgfv;xg

u fv 6= 1 _ x < 0g

=

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x = 0g t fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x ^ x > 0g

t fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = �x ^ x < 0g

=

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ (x0 = x ^ x � 0 _ x0 = �x ^ x < 0)g

Ainsi, le processus relationnel R résultant de l'intégration séquentielle de P et Q estdonné par

R = ((Rfv;xgfv;xg

; Pfv;x;ygfv;xg

; Qfv;xgfv;yg

; Qfvgfvg

);�R; fv; x; yg;!R; fv; x; yg)

où

Rfv;xgfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ (x0 = x ^ x � 0 _ x0 = �x ^ x < 0)g;

�R = f v = 1 ^ x = 4 ^ y = 3 _ v = 1 ^ x = �5 ^ y = 3g u I

et

!R = f v = 2 ^ x = 7 ^ y = 3 _ v = 2 ^ x = �7 ^ y = 3g u I:

Le processus relationnel R est illustré par la �gure 4.7. 2

L'exemple suivant illustre un cas où l'intégration séquentielle de deux processusrelationnels n'est pas dé�nie.

(4.17) Exemple. Reprenons les deux processus de l'exemple précédent, mais en re-vanche, changeons la relation P

fv;xgfv;xgpour

Pfv;xgfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = xg:

Avec cet énoncé, véri�ons si nous avons

(4.18) Pfv;xgfv;xg

;>> uQfv;xgfv;xg

;>> = (Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

) ;>>:


@Rx=4^y=3

��v = 1

6x = �5 ^ y = 3

��v = 3

�� v = 2 - x = 7 ^ y = 3 _ x = �7 ^ y = 3�

�6

�

�?

-

��1��

��

��

��

��(fv; xg; x0 = x ^ x � 0 _ x0 = �x ^ x < 0; fv; xg)

(fvg; ; f

vg)(fv; x; yg; x0 = x+ y; fv; xg) (fv; xg; y0 = 2 � x; fv; yg)

Figure 4.7: Système de transitions illustrant P Q de l'exemple 4.16

Primo, nous avons

Pfv;xgfv;xg

;>> uQfv;xgfv;xg

;>>


fv = 1g u fv = 1 ^ x � 0g

=

fv = 1 ^ x � 0g

et secundo, nous avons

(Pfv;xgfv;xg

uQfv;xgfv;xg

) ;>>


fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x ^ x0 = �x ^ x � 0g;>>

=

fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = x = 0g;>>


fv = 1 ^ x = 0g.

Par conséquent, la condition 4.18 n'est pas véri�ée. Dès lors, la condition 4.14(a) n'estpas véri�ée non plus. De ce fait, nous concluons que l'intégration de P et Q n'est paspossible. Nous constatons ainsi que les relations P

fv;xgfv;xget Q

fv;xgfv;xgne s'entendent

pas sur les modi�cations à apporter à l'une des composantes, à savoir x. En e�et,Pfv;xgfv;xg

exige que la valeur �nale de x, i.e. x0, soit égale à la valeur initiale et cemême dans le cas où x < 0. Par contre, Q

fv;xgfv;xgrequiert que quand x < 0, la valeur

�nale de x soit l'opposée de sa valeur initiale. Ainsi, les deux relations se contredisent.C'est pourquoi l'intégration n'est pas possible. Autrement, nous obtenons un systèmeincohérent. Pour éviter une telle situation, nous avons donc opté pour un opérateurd'intégration séquentielle de processus relationnels qui est partiellement dé�ni. 2

(4.19) Proposition. Soient � et ? deux opérateurs relationnels binaires. Soit � unopérateur ensembliste binaire. Soient


( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels. Soit o un opérateur sur les processus relationnels tel que

P o Q�= ( (J;K :: P

JK�Q

JK);�P ?�Q; EP � EQ;!P ?!Q; FP � FQ):

(a) Si �, ? et � sont commutatifs, alors o est commutatif.

(b) Si �, ? et � sont associatifs, alors o est associatif.

Démonstration.

(a) P o Q

= h hypothèse (dé�nition de o) i

( (J;K :: PJK�Q

JK);�P ?�Q; EP � EQ;!P ?!Q; FP � FQ)

= h �, ? et � sont commutatifs i

( (J;K :: QJK� P

JK);�Q ?�P ; EQ � EP ;!Q ?!P ; FQ � FP )


Q o P

(b) P o (Q o R)


P o ( (J;K :: QJK�R

JK);�Q ?�R; EQ � ER;!Q ?!R; FQ � FR)

= h hypothèse (dé�nition de o) & �, ? et � sont associatifs i

( (J;K :: PJK�Q

JK�R

JK);�P ?�Q ?�R; EP � EQ � ER;

!P ?!Q ?!R; FP � FQ � FR)

= h hypothèse (dé�nition de o) & �, ? et � sont associatifs i

( (J;K :: PJK�Q

JK);�P ?�Q; EP � EQ;!P ?!Q; FP � FQ)o

( (J;K :: RJK

);�R; ER;!R; FR)


(P o Q) o R2

(4.20) Proposition. L'opérateur est commutatif et associatif. 2

Démonstration. Les opérateurs u et t sont commutatifs et associatifs. Ainsi, d'aprèsla dé�nition 4.14 et la proposition 4.19, nous avons la commutativité et l'associativitéde . 2


(4.21) Proposition. Le processus relationnel E = (();??; ;;??; ;) est un élément neutrepour .

Démonstration.

P E

= h proposition 4.20 (commutativité de ) i

E P


( (J;K :: PJKu?? );�P t ??; EP [ ;;!P t ??; FP [ ;)

= h PJKu?? est dé�nie et égale à P

JK& P t ?? = P

& S [ ; = S i( (J;K :: P

JK);�P ; EP ;!P ; FP )

=

P

2

L'élément neutre de l'intégration séquentielle de processus est un processus qui nefait rien et ne contrôle rien tant en lecture qu'en écriture.

Soient P et Q deux processus relationnels et soit R = P Q. Soient P;Q et R lesrelations associées à P, Q et R, respectivement. En général, nous avons R 6= P uQ. Àtitre d'exemple, prenons

P = (fPfxgfxg

g;�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = (fQfygfyg

g;�Q; EQ;!Q; FQ)

tels que

Pfxgfxg

= fx0 = x+ 1g

et

Qfygfyg

= fy0 = y + 1g:

Pour un ensemble universel U = fx; yg, nous avons

P = fx0 = x + 1 ^ y0 = yg

et

Q = fx0 = x ^ y0 = y + 1g:

Par conséquent,

(4.22) P uQ n'est pas dé�nie.


Cependant, d'après la dé�nition 4.14,

R = (fPfxgfxg

; Qfygfyg

g;�P t �Q; EP [ EQ;!P t !Q; FP [ FQ):

D'où, pour U = fx; yg, nous avons

R

= h dé�nition 4.5 & U = fx; yg & fxg = fyg & fyg = fxg i

Pfxgfxg

u �fyg

t Qfygfyg

u �fxg


fx0 = x + 1 ^ y0 = y _ x0 = x ^ y0 = y + 1g

Ce qui est di�érent de P uQ (équation 4.22). Toutefois, si

P = (fPUUg;�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = (fQUUg;�Q; EQ;!Q; FQ);

alors, si u est dé�nie, R = P uQ. En e�et, d'après la dé�nition 4.14,

R = (fRUUg;�P t �Q; EP [ EQ;!P t !Q; FP [ FQ);

où RUU

= PUUuQ

UU. Or,

P


PUUu �

U

= h U = ; & proposition 3.17(b) i

PUUu >>

= h P u >> = P i

PUU

De la même façon et avec les mêmes raisons, nous montrons que Q = QUU

et queR = R

UU. Ce qui donne, si u est dé�nie,

(4.23) R = RUU

= PUUuQ

UU= P uQ:

Dans le cas où nous supposons que chaque action physique des systèmes physiquesà intégrer contrôle toutes les variables en lecture et les contrôle également en modi�-cation, la famille de relations de chacun des systèmes est formée par une seule relation(U , U)-déterminée. Cela est dû au fait que par une relation (J , K)-déterminée, nousexprimons toutes les actions d'un système qui contrôle en lecture les variables donnéespar J et qui contrôle également en écriture toutes les variables données par K. Ainsi,dans le cas où les familles de relations des processus relationnels à intégrer sont dessingletons formés de relations (U , U)-déterminées, l'équation 4.23 indique que la rela-tion associée au processus modélisant le système global égale l'intersection démoniaquedes relations associées aux processus relationnels modélisant les systèmes à intégrer, sicette intersection est dé�nie.


4.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le processus relationnel comme modèle d'unprocessus physique. Nous avons argumenté sur le choix de cette modélisation qui nouspermet de voir le processus soit comme un système ouvert, quand il est décrit par unprocessus relationnel, soit comme un système fermé, lorsque nous prenons la relationassociée. Nous avons introduit également la notion de processus relationnel atomiqueet la notion de sous-processus d'un processus relationnel. En�n, nous avons présentéun opérateur d'intégration séquentielle de processus permettant la formation d'un pro-cessus global à partir de processus constituants. Chacun des processus constituantsest une vue partielle du processus formé. Cet opérateur est partiellement dé�ni pours'assurer que le système obtenu soit cohérent. Il est également associatif, commutatifet admet un élément neutre.

Dans le prochain chapitre, nous continuons sur notre élan d'intégration de proces-sus relationnels en présentant des opérateurs de composition parallèle qui permettentd'intégrer des processus qui agissent d'une façon concurrente.

Chapitre 5

Opérateurs relationnels decomposition parallèle

5.1 Introduction

Ce chapitre montre comment on peut regrouper plusieurs processus relationnels mo-délisant des processus physiques agissant en concurrence, en un processus relationnelglobal modélisant le système formé par ces processus.

Depuis le travail de Carl Petri, en 1962, sur les réseaux [77], qui énonce la premièrethéorie générale de la concurrence, plusieurs modèles ont été présentés pour traduirela concurrence. Ces modèles varient selon les formalismes utilisés et les simpli�cationsfaites sur la concurrence pour pouvoir l'exprimer.

Les méthodes les plus connues pour décrire la concurrence sont les réseaux de Petri,CCS �Calculus of Communicating Systems � de Milner et CSP �Communicating Se-quential Processes � de Hoare. En fait, nous trouvons dans [71] que CCS et CSP ontconvergé en une seule théorie de processus appelée CCSP.

Les réseaux de Petri mettent l'emphase sur une représentation surtout graphiquede la vraie concurrence [71]. Sans passer par la sémantique du réseau, il n'y a pas deméthode de calcul qui permette de véri�er ou de calculer les composantes des systèmesconcurrents. Quant aux méthodes CCS et CSP, elles mettent l'accent sur les aspectsde structure et d'abstraction [71]. Aussi, la vraie concurrence, dans ces deux méthodes,est négligée en faveur d'un modèle entrelaçant avec des communications synchroniséesentre les processus.

La majeure partie des erreurs en génie logiciel résulte des descriptions erronéesdes comportements attendus. Il est vital que ces spéci�cations soient aussi claires queconcises. Or, les méthodes CCS et CSP sont orientées vers l'implémentation ce quiles rend moins convenables pour l'expression des spéci�cations. Cette critique a déjàété formulée, en ce qui concerne CSP, dans [7]. Les méthodes comme CSP et CCSdécrivent les processus grâce à des actions du genre a; b; c; : : : qui ne sont pas sujettes àd'autres investigations. De telles méthodes sont appelées par De Bakker et al. dans [23]des méthodes de concurrence uniforme (� uniform concurrency �). Cela signi�e que lanature de ces actions et les ressources nécessaires à leur accomplissement restent non

78

5. Opérateurs relationnels de composition parallèle 79

spéci�ées. Or, dans la concurrence, la majeure partie des problèmes est engendrée parle con�it sur les ressources [23].

Dans ce chapitre, nous présentons des opérateurs relationnels donnant di�érentsmodèles de la concurrence et qui tiennent compte des ressources utilisées par les pro-cessus. Tout d'abord, nous introduisons deux modèles extrêmes de la concurrence, àsavoir la composition parallèle entrelaçante, présentée dans la section 5.2, et la compo-sition parallèle totalement synchrone, présentée dans la section 5.3. Ces modèles sontextrêmes du fait que l'un réduit la concurrence à l'indéterminisme et l'autre la réduit ausynchronisme total. Pour la concurrence parallèle totalement synchrone, nous donnonsdeux variantes d'opérateurs appelées la composition parallèle totalement synchrone mi-nimale et la composition parallèle totalement synchrone maximale. Dans la section 5.4,nous montrons que grâce à l'opérateur de composition parallèle entrelaçante et à unopérateur de composition parallèle totalement synchrone, nous pouvons exprimer lavraie concurrence (notion présentée et discutée à la section 5.4).

5.2 Composition parallèle entrelaçante

Dans cette section, nous proposons un opérateur permettant d'obtenir la compositionparallèle entrelaçante de processus relationnels. De même, nous dégageons ses proprié-tés.

Le terme � interleaving �, qui est traduit dans la littérature française de la concur-rence par le terme � entrelaçant �, a été utilisé dans ce contexte pour la première fois parDijkstra [34] en 1971. Le modèle entrelaçant avait déja été introduit par Dijkstra [33]en 1965.

Dans le modèle entrelaçant, la concurrence est réduite au non-déterminisme. Ainsi,l'exécution de deux processus parallèles est représentée par une exécution entrelaçantedes instructions ou des actions atomiques des processus participants.

Dans une exécution entrelaçante d'un système de processus, une seule action d'unseul processus est exécutée à la fois et il n'y a pas d'exécution simultanée d'actions.La seule exigence est que les actions permises soient continuellement choisies et exécu-tées. Il n'y a rien pour interdire une exécution dans laquelle seules des actions venantd'un même processus sont toujours choisies. Cependant, nous pouvons, par exemple,ajouter au système un processus qui force les processus à alterner [60], ce qui assurel'équité. Comme le modèle entrelaçant exige que lorsqu'une action est prise, toutes lesautres doivent être inactives, alors ce modèle permet un plus haut degré de protectionde l'interférence que les modèles à exécutions chevauchantes. En e�et, lors de l'exécu-tion d'une action a, aucune interférence n'est possible car tout accès par une actionb aux ressources utilisées dans l'accomplissement de l'action a se fait soit avant sondéclenchement, soit après son exécution.

La concurrence entrelaçante est très souvent critiquée comme étant une concurrencequi ne traduit pas la réalité et qui représente un mécanisme de concurrence trop simple.Nous croyons que dans une dialectique, un modèle primitif, quel qu'il soit, contribueà tendre vers le modèle absolu et que certains phénomènes peuvent être décrits par cemodèle sans perdre l'essentiel de ce qui est étudié. De plus, nous utilisons ce modèle


dans la section 5.4 pour exprimer un modèle qui peut traduire une concurrence desplus observées autour de nous, qu'on appelle la vraie concurrence.

La dé�nition suivante introduit l'opérateur de composition parallèle entrelaçante.

(5.1) Dé�nition. Soient P et Q deux processus relationnels tels que

P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ):

La composition parallèle entrelaçante de P et Q, notée P Q, est donnée par

P Q�= ( (J;K :: P

JKt Q

JK);�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ): 2

À la lecture de cette dé�nition, nous constatons qu'un élément RJK

de la famille derelations du processus relationnel obtenu par la composition parallèle entrelaçante deprocessus est l'union de ses vis-à-vis (i.e. relations (J , K)-déterminées) venant desfamilles de relations des processus relationnels impliqués. Aussi, pour qu'un état soitun état élément de la relation d'entrée du processus résultant, il faut qu'il soit élémentdes relations d'entrée de tous les processus participants.

5.2.1 Propriétés

Dans cette sous-section, nous donnons les propriétés de l'opérateur de compositionparallèle entrelaçante.

D'après 3.25(a), 3.28(d) et 4.1, nous concluons que P Q est un processusrelationnel.

(5.2) Proposition. L'opérateur est commutatif et associatif.

Démonstration. Les opérateurs [; t et u sont commutatifs et associatifs. Ainsi,d'après la proposition 4.19(a), nous avons la commutativité de et d'après la propo-sition 4.19(b), nous avons l'associativité de . 2

La proposition suivante indique que est un opérateur idempotent.

(5.3) Proposition. Pour tout processus relationnel P,

P P = P:

Démonstration.

P P

= h dé�nition 4.1 & dé�nition 5.1 i

( (J;K :: PJK

t PJK

);�P u�P ; EP [ EP ;!P u!P ; FP [ FP )

= h P t P = P & P u P = P & S [ S = S i

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )


P


La proposition 5.4 fait le lien entre la relation associée à un processus relationnel ob-tenu par la composition parallèle entrelaçante de processus relationnels et les relationsassociées à ces processus constituants.

(5.4) Proposition. Soient P, Q et R des processus relationnels tels que R = P Q.Soient P , Q et R les relations associées à P, Q et R, respectivement. Nous avonsR = P t Q.

Démonstration.

R


t(J;K :: RJKu �

K)

= h dé�nition 5.1 & R = P Q i

t(J;K :: (PJK

t QJK) u �

K)


t(J;K :: PJKu �

Kt Q

JKu �

K)

= h t (x : R : P ) t t (x : R : Q ) = t (x : R : P t Q ) i

t(J;K :: PJKu �

K) t t(J;K :: Q

JKu �

K)


P t Q2

5.2.2 Élément absorbant

Soit le quintuple

(5.5) Oe�= ( (J;K :: >>

JK);??;U ;??;U).

Tel que dé�ni, Oe est bien un processus relationnel. De sa famille de relations (uni-verselles), nous constatons que Oe modélise un processus qui fait tout et qui contrôletout. Aussi, Oe rend indéterminées les valeurs des variables contrôlées en sortie. Dufait que sa relation d'entrée (relation de sortie) soit vide et que l'ensemble E (F ) soitl'ensemble universel U , nous pouvons dire que le sous-ensemble d'états à partir des-quels le processus Oe commence son évolution (cesse toute évolution) est vide et celaen tenant compte de toutes les composantes possibles (U). Ce processus est un élémentabsorbant pour la composition parallèle entrelaçante, ce que nous pouvons exprimerpar la proposition suivante.

(5.6) Proposition.

Oe P = P Oe = Oe:


Démonstration.

Oe P

= h proposition 5.2 (i.e. commutatif) i

P Oe

= h dé�nition 4.1 & équation 5.5 & dé�nition 5.1 i

( (J;K :: PJK

t >>JK

);�P u ??; EP [ U ;!P u ??; FP [ U)

= h P t >> = >> & P u ?? = ?? & EP � U & FP � U i

( (J;K :: >>JK

);??;U ;??;U)

=

Oe 2

5.2.3 Élément neutre

Soit le quintuple

(5.7) Ze�= ( (J;K :: ??

JK); I; ;; I; ;).

D'après la convention 4.3, nous pouvons écrire Ze comme suit :

(5.8) Ze�= (fg; I; ;; I; ;).

Ainsi dé�ni, Ze est un processus relationnel et il représente un processus qui nefait rien et ne contrôle rien. Aussi, il est l'élément neutre pour la composition parallèleentrelaçante. La proposition suivante énonce ce résultat.

(5.9) Proposition.

Ze P = P Ze = P:

Démonstration.

Ze P

= h proposition 5.2 (i.e. commutatif) i

P Ze

= h dé�nition 4.1 & équation 5.7 i

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) ( (J;K :: ??JK

); I; ;; I; ;)


( (J;K :: PJK

t ??JK

);�P u I; EP [ ;;!P u I; FP [ ;)

= h P t ?? = P & �P v I & !P v I & S [ ; = S i

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )


P


2

La proposition 5.10 suivante montre que la convention 4.3 n'est pas une entraveau calcul de la composition parallèle entrelaçante de processus relationnels donnésselon cette convention. En e�et, la famille de relations du processus résultant de lacomposition parallèle entrelaçante est composée par les éléments non vides des famillesde relations des processus relationnels constituants.

(5.10) Proposition.

(J;K :: PJK

t QJK

) = (J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK6= ?? : P

JKt Q

JK)

[ (J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK= ?? : P

JK)

[ (J;K : PJK

= ?? ^ QJK6= ?? : Q

JK).

Démonstration.

(J;K :: PJK

t QJK

)

= h P = ?? _ P 6= ?? () vrai i

(J;K : (PJK6= ?? _ P

JK= ??) ^ (Q

JK6= ?? _ Q

JK= ??) : P

JKt Q

JK)

=

(J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK6= ?? : P

JKt Q

JK)

[ (J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK= ?? : P

JKt Q

JK)

[ (J;K : PJK

= ?? ^ QJK6= ?? : P

JKt Q

JK)

[ (J;K : PJK

= ?? ^ QJK

= ?? : PJK

t QJK

)

= h P t ?? = P i

(J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK6= ?? : P

JKt Q

JK)

[ (J;K : PJK6= ?? ^ Q

JK= ?? : P

JK)

[ (J;K : PJK

= ?? ^ QJK6= ?? : Q

JK)

2

Pour illustrer l'opérateur de composition parallèle entrelaçante, nous donnons deuxexemples. Le premier est un exemple d'un système formé par un producteur et unconsommateur. Le deuxième est l'exemple du dîner des philosophes connu dans lalittérature de la concurrence.

(5.11) Exemple. Le producteur et le consommateurCet exemple consiste en deux processus relationnels dont l'un modélise un producteur etl'autre un consommateur. Le producteur est un processus qui lit, à partir de l'extérieur,une valeur. Ensuite, il la range dans une zone tampon d'une capacité de stockage limitéeà N valeurs. Ce processus refait ces deux actions indé�niment. Le consommateur, quantà lui, accède à la zone tampon et, si elle n'est pas vide, il consomme la première valeurde cette zone. Il refait ces actions indé�niment. La consommation consiste à calculerune fonction f qui prend la valeur d'une variable t et la valeur lue de la zone tampon,calcule f(z; t) et range la valeur obtenue dans t.

Pour la modélisation de ces deux processus, nous utilisons la notation suivante :


� x0 = ? signi�e que la valeur �nale de x est obtenue par une lecture de l'extérieur(par exemple, du clavier),

� jyj est la longueur de la liste y,

� tête est une fonction qui prend une liste et qui retourne la tête de cette liste,

� sup-tête est une fonction qui prend une liste et retourne cette liste après avoirsupprimé sa tête,

� f est une fonction quelconque qui retourne des valeurs de même type que t,

� y � x signi�e la concaténation de la valeur x à la liste y,

� N est la taille maximale de la liste y,

� p et c sont des variables associées au producteur et au consommateur, respective-ment. Elles prennent leurs valeurs dans l'ensemble f1; 2g. Ces variables peuventêtre vues comme les compteurs ordinaux du producteur et du consommateur,respectivement.

Soient P le processus relationnel modélisant le producteur et Q le processus rela-tionnel modélisant le consommateur tels que

P = (fPfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

g;�P ; fp; yg;??; ;)

et

Q = (fQfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

g;�Q; fc; yg;??; ;);

où

Pfpgfp;xg

= fp = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ?g;

Pfp;x;ygfp;yg

= fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg;

�P = fp = 1 ^ y = nilg u I;

Qfc;ygfc;y;zg

= fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g;

Qfc;t;zgfc;tg

= fc = 2 ^ c0 = 1 ^ t0 = f(z; t)g;

et

�Q = fc = 1 ^ y = nilg u I:

Le producteur et le consommateur sont illustrés d'une façon graphique dans la �-gure 5.1.

Il s'agit de déterminer le processus relationnel résultant de la composition parallèleentrelaçante de ces deux processus.

Soit Re�= P Q. Ainsi,


Re

= h dé�nition 5.1 & fp; yg [ fc; yg = fp; c; yg & ?? u ?? = ?? &; \ ; = ; i

(fPfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

; Qfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

g;�P u�Q; fp; c; yg;??; ;).

La relation d'entrée de Re est

�R =�P u�Q = fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg u I:

Le modèle mathématique du système formé par la composition parallèle entrelaçantedu producteur et du consommateur est ainsi donné par Re. Ce système est illustré dansla �gure 5.2.

Si, de plus, nous considérons que notre système est formé de P et Q et rien d'autreet que l'ensemble universel U est égal à fc; p; x; y; z; tg, alors la relation associée à Re

est

Re


Pfpgfp;xg

u �fp;xg

t Pfp;x;ygfp;yg

u �fp;yg

t Qfc;ygfc;y;zg

u �fc;y;zg

t Qfc;t;zgfc;tg

u �fc;tg


f c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z^ t0 = t

_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)^ z0 = tête(y) ^ t0 = t

_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z^ t0 = f(t; z) g.


@@Ry=nil

��p = 1 ��

��p = 2

(fpg; x0 = ? ; fp; xg)� �-

(fp; x; yg; jyj < N ^ y0 = y � x; fp; yg)

�

Producteur

@@Ry=nil

��c = 1 ��

��c = 2

(fc; yg; q; fc; y; zg)� �-

(fc; t; zg; t0 = f(z; t); fc; tg)

�

Consommateurq

�= jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

Figure 5.1: Illustration d'un producteur et d'un consommateur

@@Ry=nil

��

c = 1^

p = 1 ��

c = 1^

p = 2

��

c = 2^

p = 1 ��

c = 2^

p = 2

� �-

� �-

�

�

6

�

�

6

(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fc;yg;q;fc;y;zg)

(fc;t;zg;t0=f(z;t);fc;tg)

(fc;yg;q;fc;y;zg)


�

�

? ?

q�= jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

Figure 5.2: Illustration du système obtenu par la composition parallèle entrelaçante duconsommateur et du producteur


(5.12) Exemple. Le dîner des philosophesIl y a très longtemps, un riche philanthrope fonda un collège pour y accueillir N phi-losophes éminents. Chacun d'eux disposait d'une pièce où il pouvait s'adonner à sonactivité professionnelle : penser. Il y avait aussi une salle à manger commune, dotéed'une table circulaire et de N chaises. Chacune d'elles portait le nom du philosophequi devait s'y asseoir. Les philosophes avaient pour noms P0;P1; � � � ;PN�1 et étaientplacés autour de la table dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. À la gauchede chacun d'eux était posée une fourchette d'or, tandis qu'au centre de la table trônaitun grand plat de spaghettis, continuellement approvisionné.

Un philosophe devait passer le plus clair de son temps à penser, mais, quand ilavait faim, il venait dans la salle à manger, s'asseyait à sa place, prenait sa proprefourchette à sa gauche et la plongeait dans le plat. Mais les spaghettis sont d'unenature si récalcitrante qu'il faut une deuxième fourchette pour les amener jusqu'à labouche. Le philosophe devait donc aussi prendre la fourchette située à sa droite. Quandil avait �ni, il devait déposer ses deux fourchettes, se lever et retourner penser. Biensûr, une fourchette ne pouvait servir qu'à un seul philosophe à la fois. Celui qui lavoulait devait attendre qu'elle soit libre.

Dans notre modélisation, chaque philosophe arrive chez le philanthrope dans unétat où il est prêt à penser et chacun est éternel. Aussi, nous considérons que les deuxfourchettes sont remises sur la table d'un seul mouvement des deux mains. Dans uneversion di�érente, chaque fourchette peut être prise et posée plusieurs fois pendant quele philosophe est assis, ce qui n'est pas le cas ici.

Nous allons maintenant bâtir un modèle mathématique de ce système. Dans unpremier temps, nous devons déterminer les variables du système.

� état i est une variable indiquant l'état du philosophe Pi et elle peut prendre l'unedes valeurs de l'ensemble suivant.

fpense; prêt-à-penser;mange; pas-faim; faimg

� placei est une variable indiquant la place du philosophe Pi et ses valeurs sont leséléments de l'ensemble suivant.

flibre; occupéeg

� fourchette i est une variable indiquant la fourchette du philosophe Pi et ses valeurssont des entiers appartenant à l'ensemble f�1; i; i�1 mod Ng en considérant que�1 mod N

�= N � 1. La condition fourchette i = �1 signi�e que la fourchette est

libre, la condition fourchette i = i signi�e que le philosophe Pi utilise sa fourchetteet la condition fourchettei = i�1 mod N indique que la fourchette du philosophePi est utilisée par son voisin de gauche.

� u i est une variable associée au philosophe Pi. Elle prend ses valeurs dans l'en-semble f1; 2; 3g. Cette variable peut être vue comme le compteur ordinal de Pi.

Dans un objectif de simpli�cation de la notation, nous nous donnons, pour chaquephilosophe Pi, les ensembles de variables suivants.


Ai = fétat i; uig;

Bi = fplacei; uig;

Ci = fuig;

Di = ffourchettei; fourchette i�1; uig;

Gi = fplacei; état i; u ig;

Hi = fétat i; fourchettei; uig;

Mi = ffourchette i; uig;

et

Ni = ffourchettei�1; uig;

où i� 1 est l'addition modulo N , et donc i� 1 identi�e le voisin de droite de Pi.Le modèle mathématique d'un philosophe Pi est un processus relationnel portant

le même nom, i.e. Pi.

Pi = (Fi;�Pi; Ei;!Pi; Fi)

où

�Pi = fétat i = prêt-à-penser ^ placei = libre ^ fourchette i = �1 ^ ui = 1g u I;

!Pi = ??;

Ei = fétat i; placei; fourchette i; uig;

Fi = ;;

Fi = fPAiAi

; PGiBi

; PHiMi

; PNiNi

; PCiAi

; PAiDi

; PAiGi

g;

Fi est la famille de relations du processus relationnel Pi avec

PAiAi

= fui = u 0i = 1 ^ (état i = pense _ état i = prêt-à-penser)

^ (état 0i = pense _ état 0i = faim)g,

PGiBi

= fui = 1 ^ u 0i = 2 ^ état i = faim ^ placei = libre ^ place 0i = occupéeg;

PHiMi

= fui = 2 ^ u 0i = 3 ^ état i = faim ^ fourchette i = �1 ^ fourchette 0i = ig;

PNiNi

= fu i = 3 ^ u 0i = 4 ^ fourchette i�1 = �1 ^ fourchette 0i�1 = ig;

PCiAi

= fui = 4 ^ u 0i = 4 ^ (état 0i = mange _ état 0i = pas-faim)g;


PAiDi

= fu i = 4 ^ u 0i = 2 ^ état i = pas-faim ^ fourchette 0i = �1^ fourchette 0i�1 = �1g,

et

PAiGi

= fu i = 2 ^ u 0i = 1 ^ état i = pas-faim ^ état 0i = prêt-à-penser

^ place 0i = libreg.

Comme chaque philosophe est éternel, il n'existe pas d'état dans lequel le philosophecesse toute action, ce qui justi�e le fait que !Pi = ??.

Le modèle d'un philosophe Pi est illustré dans la �gure 5.3.Considérons maintenant le système où N = 2 et où les deux philosophes agissent

d'une manière entrelaçante. Le processus relationnel associé à un tel système est obtenupar la composition parallèle entrelaçante des processus relationels P0 et P1. Appelonsce processus Pe.

Pe = (Fe;�Pe ; Ee;!Pe ; Fe)

où

I �Pe


�P0 u�P1

= h�Pi = fétat i = prêt-à-penser ^ placei = libre ^ fourchettei =�1 ^ u i = 1g u I i

fétat0 = prêt-à-penser ^ place0 = libre ^ fourchette0 = �1 ^ u0 = 1g

ufétat1 = prêt-à-penser ^ place1 = libre ^ fourchette1 = �1 ^ u1 = 1g u I

=

fétat0 = prêt-à-penser ^ place0 = libre ^ fourchette0 = �1 ^ u0 = 1

^ état1 = prêt-à-penser ^ place1 = libre ^ fourchette1 = �1 ^ u1 = 1g u I

I !Pe


!P0 u!P1

= h !Pi = ?? & P u ?? = ?? i

??

I Ee


E0 [ E1

= h Ei = fétat i; placei; fourchettei; u ig i

fétat0; place0; fourchette0; u0; état1; place1; fourchette1; u1g


��:@@R

e i

��u i = 1 ��

��u i = 2 ��

��u i = 3

��ui = 4 ��9

� �-

� -

HHHjHH

HHH

HHHHH

XXXy XXXXXXXXXXX

XXXXXX

XXXXX

(Ai; wi; Gi)

(Gi; qi; Bi)

(Hi; ri;Mi)

(Ni ; s

i ; Ni)(A

i ; vi; Di)

(Ci ; ti ; A

i )

(Ai ; p

i ; Ai )

ei�= état i = prêt-à-penser ^ placei = libre ^ fourchette i = �1 ^ u i = 1

pi�= (état i = pense _ état i = prêt-à-penser) ^ (état 0i = pense _ état 0i = faim)

qi�= état i = faim ^ placei = libre ^ place 0i = occupée

ri�= état i = faim ^ fourchette i = �1 ^ fourchette 0i = i

si�= fourchettei�1 = �1 ^ fourchette 0i�1 = i

ti�= état 0i = mange _ état 0i = pas-faim

vi�= état i = pas-faim ^ fourchette 0i = �1 ^ fourchette 0i�1 = �1

wi�= état i = pas-faim ^ état 0i = prêt-à-penser ^ place 0i = libre

Figure 5.3: Illustration d'un modèle d'un philosophe

I Fe


F0 [ F1

= h Fi = ; i

;

I Fe


fPA0A0

; PG0B0

; PH0M0

; PN0N0

; PC0A0

; PA0D0

; PA0G0

; PA1A1

; PG1B1

; PH1M1

; PN1N1

;

PC1A1

; PA1D1

; PA1G1

g

Ainsi, Pe est le processus relationnel résultant de la composition parallèle entrelaçantede P0 et P1.

Maintenant, supposons que notre système est fermé et que toutes les ressources (i.e.variables) de ce système sont données par

U = fétat0; place0; fourchette0; u0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg:

Dans ce qui suit, nous utilisons un prédicat appelé NChg . Il indique explicitement lesvariables préservées. Ainsi, par exemple, pour x; y et z des variables

NChgfx; y; zg�= x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z:

La relation associée à Pe est alors

Pe


t(J;K :: PJKu �

K)

=


PA0A0

u �A0

t PG0B0

u �B0

t PH0M0

u �M0

t PN0N0

u �N0

t PC0A0

u �A0

t PA0D0

u �D0

t PA0G0

u �G0

t PA1A1

u �A1

t PG1B1

u �B1

t PH1M1

u �M1

t PN1N1

u �N1

t PC1A1

u �A1

t PA1D1

u �D1

t PA1G1

u �G1

= h U = fétat0; place0; fourchette0; u0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg& S = U � S & N = 2 & 0� 1 = 1 & 1� 1 = 0 i

f u0 = u 00 = 1 ^ (état0 = pense _ état0 = prêt-à-penser)

^ (état 00 = pense _ état 00 = faim)

^ NChgfplace0; fourchette0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg_ u0 = 1 ^ u 00 = 2 ^ état0 = faim ^ place0 = libre ^ place 00 = occupée

^ NChgfétat0; fourchette0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg_ u0 = 2 ^ u 00 = 3 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1 ^ fourchette 00 = 0

^ NChgfétat0; place0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg_ u0 = 3 ^ u 00 = 4 ^ fourchette1 = �1 ^ fourchette 01 = 0

^ NChgfétat0; place0; fourchette0; état1; place1; u1; table; platg_ u0 = 4 ^ u 00 = 4 ^ (état 00 = mange _ état 00 = pas-faim)

^ NChgfplace0; fourchette0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg_ u0 = 4 ^ u 00 = 2 ^ fourchette 00 = �1 ^ fourchette 01 = �1

^ état0 = pas-faim ^ NChgfétat0; place0; état1; place1; u1; table; platg_ u0 = 2 ^ u 00 = 1 ^ état0 = pas-faim ^ état 00 = prêt-à-penser

^ place 00 = libre

^ NChgffourchette0; état1; place1; fourchette1; u1; table; platg_ u1 = u 01 = 1 ^ (état1 = pense _ état1 = prêt-à-penser)

^ (état 01 = pense _ état 01 = faim)^ NChgfplace1; fourchette1; état0; place0; fourchette0; u0; table; platg

_ u1 = 1 ^ u 01 = 2 ^ état1 = faim ^ place1 = libre ^ place 01 = occupée

^ NChgfétat1; fourchette1; état0; place0; fourchette0; u0; table; platg_ u1 = 2 ^ u 01 = 3 ^ état1 = faim ^ fourchette1 = �1 ^ fourchette 01 = 1

^ NChgfétat1; place1; état0; place0; fourchette0; u0; table; platg_ u1 = 3 ^ u 01 = 4 ^ fourchette0 = �1 ^ fourchette 00 = 1

^ NChgfétat1; place1; fourchette1; état0; place0; u0; table; platg_ u1 = 4 ^ u 01 = 4 ^ (état 01 = mange _ état 01 = pas-faim)

^ NChgfplace1; fourchette1; état0; place0; fourchette0; u0; table; platg_ u1 = 4 ^ u 01 = 2 ^ fourchette 01 = �1 ^ fourchette 00 = �1

^ état1 = pas-faim ^ NChgfétat1; place1; état0; place0; u0; table; platg_ u1 = 2 ^ u 01 = 1 ^ état1 = pas-faim ^ état 01 = prêt-à-penser

^ place 01 = libre

^ NChgffourchette1; état0; place0; fourchette0; u0; table; platg g

Le processus relationnel Pe est illustré dans la �gure 5.4. Il est à remarquer que, pouréviter d'encombrer la �gure, certains arcs ne sont pas étiquetés. Cependant, chacund'eux a la même étiquette que tout arc situé au même niveau (i.e. même ordonnéepour les arcs verticaux, même abscisse pour les arcs horizontaux) qui lui est parallèleet qui a la même orientation.


��:@Re 0^e 1

��u0 = 1^

u1 = 1 ��u0 = 1^

u1 = 2 ��u0 = 1^

u1 = 3

��u0 = 1^

u1 = 4��:

� �-

� -

HHjHH

HHH

HHHHH

XXy XXXXXXXXX

XXXXXX

XXX(A1; w1; G1)

(G1; q1; B1)

(H1; r1;M1)(N

1 ; s1 ; N1)

(A1 ; v1; D1)

(A1 ; v

1 ; D1 )

(C1 ; t1 ; A

1 )

(A1 ; p

1 ; A1 )

��O

�

�6

?

?

?

'

&

6

��O

��:��u0 = 2^

u1 = 1 ��u0 = 2^

u1 = 2 ��u0 = 2^

u1 = 3

��u0 = 2^

u1 = 4��O

� �-

� -

HHjHH

HHH

HHHHH

XXy XXXXXXXXX

XXXXXX

XXX(A1; w1; G1)

(G1; q1; B1)

(H1; r1;M1)(N

1 ; s1 ; N1)

(A1 ; v1; D1)

(C1;t1;A1)

(A1 ; p

1 ; A1 )

��

�6

?

?

?

'

&

6

��O

��:��u0 = 3^

u1 = 1 ��u0 = 3^

u1 = 2 ��u0 = 3^

u1 = 3

��u0 = 3^

u1 = 4��9

� �-

� -

HHjHH

HHH

HHHHH

XXy XXXXXXXXX

XXXXXX

XXX(A1; w1; G1)

(G1; q1; B1)

(H1; r1;M1)(N

1 ; s1 ; N1)

(A1 ; v1; D1)

(C1 ; t1 ; A

1 )

(A1 ; p

1 ; A1 )

��

�6

?

?

?

'

&

6

��O

��:��u0 = 4^

u1 = 1 ��u0 = 4^

u1 = 2 ��u0 = 4^

u1 = 3

��u0 = 4^

u1 = 4��9

� �-

� -

HHjHH

HHH

HHHHH

XXy XXXXXXXXX

XXXXXX

XXX(A1; w1; G1)

(G1; q1; B1)

(H1; r1;M1)(N

1 ; s1 ; N1)

(A1 ; v1; D1)

(C1 ; t1 ; A

1 )

(C0 ; t0 ; A

0 )

(A1 ; p

1 ; A1 )

��

�6

?

?

?

'

&

6

��:

(G0; q0; B0) (A0; w0; G0)

(H0; r0;M0)

(A0; v0; D0)

(N0; s0; N0)

(C0;t0;A0)

(C0;t0;A0)

(A0;p0;

A0)

(A0 ; p0; A0)(A0; p0 ; A0)

ei�= état i = prêt-à-penser ^ placei = libre ^ fourchettei = �1 ^ u i = 1

pi�= (état i = pense _ état i = prêt-à-penser) ^ (état 0i = pense _ état 0i = faim)

qi�= état i = faim ^ placei = libre ^ place 0i = occupée

ri�= état i = faim ^ fourchette i = �1 ^ fourchette 0i = i

si�= fourchette i�1 = �1 ^ fourchette 0i�1 = i

ti�= état 0i = mange _ état 0i = pas-faim

vi�= fourchette 0i = �1 ^ fourchette 0i�1 = �1 ^ état i = pas-faim

wi�= état i = pas-faim ^ état 0i = prêt-à-penser ^ place 0i = libre

Figure 5.4: Illustration de la composition parallèle entrelaçante de deux philosophes


Détecter les états de blocage dans un système n'est pas le sujet de cette thèse.Cependant, nous remarquons qu'il est facile de détecter le blocage des philosophesquand chacun prend sa fourchette et va chercher celle de l'autre. En e�et, comme lesystème modélisé par Pe ne contient pas d'état dans lequel il termine (i.e. !Pe = ??),nous devons avoir

(5.13) >> ;�Pe; P �

e v >> ; P`e

où P �e est la fermeture transitive de Pe. L'équation 5.13 signi�e que partant des con-

ditions initiales, toute action du système doit l'amener dans un état appartenantau domaine de Pe, i.e. d'où il peut faire une autre action. Nous avons véri�é que>> ;�Pe

; P 6e 6v >> ; P`e . Par conséquent, nous pouvons conclure qu'un blocage fatal dans

le système après six actions est possible. La séquence de tuples suivante est une suited'états qui mène à un blocage. Le format de ces tuples est

(u0; u1; état0; état1; place0; place1; fourchette0; fourchette1):

(1; 1; prêt-à-penser; prêt-à-penser; libre; libre;�1;�1)

! (1; 1; pense; prêt-à-penser; libre; libre;�1;�1)

! (1; 1; pense; pense; libre; libre;�1;�1)

! (2; 1; faim; pense; libre; libre;�1;�1)

! (2; 2; faim; faim; libre; libre;�1;�1)

! (3; 2; faim; faim; occupée; libre; 0;�1)

! (3; 3; faim; faim; occupée; occupée; 0; 1)

L'aboutissement de cette séquence est un état où chacun des deux philosophes a prissa fourchette et attend que celle de son voisin de droite se libère. 2

L'autre type de modèle extrême de la concurrence est la composition parallèle to-talement synchrone, présentée dans la section suivante.

5.3 Composition parallèle totalement synchrone

La composition parallèle totalement synchrone exprime un mécanisme de concurrenceoù, s'il y a un système participant à la concurrence qui exécute une action atomique,tous les autres systèmes participants doivent s'impliquer par une action. Si un dessystèmes est dans l'impossibilité de le faire, l'action résultant de leur synchronisationest interdite. Une action est dite atomique si elle est supposée élémentaire. Précisément,c'est une action que nous ne pouvons pas décomposer en plusieurs actions séquentielles.

Le produit libre de systèmes de transitions exprime une sémantique de concurrencesemblable. En e�et, parlant de ce produit, Arnold écrit dans [3, page 26] :

� L'hypothèse fondamentale que présuppose la dé�nition de ce produit estque dans un système global, tous les systèmes composants exécutent leurs


transitions simultanément : il est possible de découper le temps en inter-valles de telle sorte que pendant chacun de ces intervalles chaque composantexécute une et une seule transition. Cette hypothèse apparaît naturelle si onconsidère des systèmes synchrones, à condition que les transitions de chaquecomposant correspondent à des actions ou à des événements élémentaires� si ce n'était pas le cas il faudrait remplacer chaque action ou chaqueévénement par une séquence d'actions ou d'événements élémentaires �. �

L'opérateur de composition parallèle totalement synchrone est aussi semblable àl'opérateur� du calcul synchrone (� synchronous calculus �). Ce calcul a comme idée debase que les processus qui s'exécutent d'une façon concurrente procèdent en participantchacun à chaque moment par une action [66, page 186].

En règle générale, une action composée de plusieurs actions atomiques exécutéessimultanément est une action atomique. La représentation d'une action de communi-cation comme une paire d'actions atomiques complémentaires est un cas particulier decette règle. Cette règle est également utilisée dans le calcul synchrone [66].

Concernant la modi�cation simultanée, par plusieurs processus relationnels, d'unevariable modélisant une ressource physique, nous exposons deux considérations. La pre-mière est que si les processus s'entendent sur une même modi�cation, alors elle se fait.Sinon, nous avons une situation où aucun d'eux ne peut progresser en � passant � parson action impliquée dans ce désaccord. Cette considération pourrait ne pas convenirpour modéliser des ressources à accès multiple (i.e. plusieurs processus peuvent accéderà cette ressource en même temps dans le but de modi�er son état). Dans ce cas, nousproposons la deuxième considération qui consiste à ce que quand plusieurs processusaccèdent à cette ressource pour la modi�er en même temps en exécutant chacun uneaction atomique, il est impossible de savoir ce que l'interférence entre ces actions peutengendrer comme état �nal de cette ressource. Par conséquent, la variable qui repré-sente la ressource doit re�éter cette situation après la synchronisation en indiquant unevaleur indéterminée. Nous n'écartons pas la possibilité d'avoir d'autres sémantiques quipeuvent être traduites par d'autres opérateurs que ceux que nous présentons.

La première considération est traduite par l'opérateur de composition parallèle to-talement synchrone minimale introduit à la sous-section 5.3.1. Quant à la deuxièmeconsidération, elle est re�étée par l'opérateur de composition parallèle totalement syn-chrone maximale introduit à la sous-section 5.3.2.

5.3.1 Composition parallèle totalement synchrone minimale

La dé�nition suivante introduit l'opérateur de composition parallèle totalement syn-chrone minimale.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ):


La composition parallèle synchrone minimale de P et Q, notée P � Q, est donnée par

P � Q�= ( (J;K :: R

JK);�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ)

où

RJK

= t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ : PJPKP

uQJQKQ

): 2

Soit SJK

une relation obtenue par l'intersection d'une relation PJPKP

de la famille derelations de P et d'une relation Q

JQKQde la famille de relations de Q et cela à la

condition que J = JP [JQ et que K = KP [KQ. De cette dé�nition, nous remarquonsque pour former une relation R

JKde la famille de relations du processus résultant, nous

prenons l'union de relations SJK. Si les deux relations, P

JPKPet Q

JQKQ, ne s'entendent

pas sur une modi�cation d'une variable commune, alors cette modi�cation ne se ferapas (S

JK= ??). Prenons, à titre d'exemple, une relation P

fgfxgde la famille de relations

de P et une relationQfx;ygfx;yg

de la famille de relations deQ telles que Pfgfxg

= fx0 = 7get Q

fx;ygfx;yg= fx0 = 4 ^ y0 = x + yg. Nous constatons que ces deux relations ne

s'entendent pas sur la modi�cation de x (pour l'une x0 = 7 et pour l'autre x0 = 4) et quepar conséquent l'intersection de ces deux relations est vide. Ainsi, cette modi�cationde x ne se fera pas. Si par contre les deux relations s'entendent sur les modi�cationsà apporter aux variables impliquées, alors dans la relation résultant de l'intersection,l'action résultante est exprimée par la conjonction des deux prédicats exprimant lesdeux actions1. L'un est présent dans la relation venant de P et l'autre est présent dansla relation venant de Q. Par exemple, prenons

Pfgfxg

= fx0 > 0g

et

Qfx;ygfx;yg

= fx0 = 4 ^ y0 = x+ yg:

La relation décrivant les actions obtenues par la composition parallèle totalement syn-chrone minimale des actions de P

fgfxget des actions de Q

fx;ygfx;ygest

Rfx;ygfx;yg

= h Pfgfxg

uQfx;ygfx;yg

i

fx0 > 0 ^ x0 = 4 ^ y0 = x+ yg

= h x0 > 0 ^ x0 = 4 () x0 = 4 i

fx0 = 4 ^ y0 = x + yg

= h dé�nition de Qfx;ygfx;yg

i

Qfx;ygfx;yg

Pour que P � Q soit un processus relationnel, il faut véri�er les conditions dela dé�nition d'un processus relationnel, à savoir 4.1(a, b, c). D'après 3.28(d), nousavons 4.1(b, c). Quant à la condition 4.1(a), la preuve est la suivante.

1Une relation exprime une ou plusieurs actions (physiques).


RJK


t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ : PJPKP

uQJQKQ

)

= h hypothèses de la dé�nition 5.14 (P et Q sont des processusrelationnels) i

t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ

: �Jp

; PJPKP

; �KPu �

JQ

; QJQKQ

; �KQ

)



: �Jp[JQ

; (PJPKP

uQJQKQ

) ; �KP[KQ

)

= h J = JP [ JQ & K = KP [KQ i


: �J

; (PJPKP

uQJQKQ

) ; �K)

= h théorème 2.4(8, 10) i

�J

; [ t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ : PJPKP

uQJQKQ

)] ; �K


�J

; RJK

; �K

Ainsi, tout élément RJK

de la famille de relations (J;K :: RJK

) de la dé�nitionprécédente est (J , K)-déterminé.

En somme, P � Q est bien un processus relationnel.

(5.15) Proposition. L'opérateur � est commutatif et associatif.

Démonstration. Elle découle directement de la commutativité et de l'associativité de[, t et u.

Élément neutre

Soit le quintuple

(5.16) O�= (f>>

;;g; I; ;; I; ;).

Comme >>;;

= >> = �;; >>

;;; �

;et �

;; I ; �

;u I = I, le quintuple O est un processus

relationnel. Il modélise un processus qui ne contrôle rien et ne peut faire que desactions qui ne nécessitent pas de ressources pour leur accomplissement. Il est égalementun processus dont chaque état est à la fois un état de sortie et un état d'entrée.

La proposition 5.17 énonce que le processus relationnel O est un élément neutrepour la composition parallèle synchrone minimale.

(5.17) Proposition.

P � O = O � P = P:


Démonstration.

O � P

= h proposition 5.15 (i.e. � est commutatif) i

P � O


( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) � (f>>;;g; I; ;; I; ;)


(J;K :: t(JP ; KP : J = JP [ ; ^ K = KP [ ; : PJPKP

u >>;;);

�P u I; EP [ ;;!P u I; FP [ ; )

= h�P v I & !P v I & S [ ; = S & P u >> = P i

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

=

P2

Élément absorbant

Soit le quintuple

(5.18) Z�= ( (J;K :: ??

JK);??;U ;??;U).

D'après la convention 4.3, nous pouvons écrire Z comme suit :

(5.19) Z = (fg;??;U ;??;U).

Ainsi dé�ni, Z est un processus relationnel car ?? = �U

;?? ; �Uu I et ??

JK= ?? =

�J

; ??JK

; �K.

La proposition suivante annonce que Z est un élément absorbant pour �.

(5.20) Proposition.

Z � P = P � Z = Z:

Démonstration.

Z � P


P � Z

=

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) � ( (J;K :: ??JK

);??;U ;??;U)

= h dé�nition 5.14 & P u?? = ?? & EP [U = U & FP [U = U i

( (J;K :: QJK

);??;U ;??;U) où


QJK

= t(JP ; JZ; KP ; KZ : J = JP [ JZ ^ K = KP [KZ : PJPKP

u ??JZKZ

)

= h R u ?? = ?? i

( (J;K :: ??JK

);??;U ;??;U)

=

Z2

L'opérateur � se distribue sur , ce que la proposition suivante énonce.

(5.21) Proposition. P � (Q R) = (P � Q) (P � R).

Démonstration.

P � (Q R)

=

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP ) � [( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

( (J;K :: RJK

);�R; ER;!R; FR)]


( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

� ( (J;K :: QJK

t RJK

);�Q u�R; EQ [ ER;!Q u!R; FQ [ FR)


( (J;K :: t(JP ; JS; KP ; KS : J = JP [ JS ^ K = KP [KS

: PJPKP

u (QJSKS

t RJSKS

)));�P u�Q u�R; EP [ EQ [ ER;

!P u!Q u!R; FP [ FQ [ FR)

= h théorème 2.4(16) & dé�nition 5.1 i


: PJPKP

uQJSKS

) );�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ)


: PJPKP

uRJSKS

) );�P u�R; EP [ ER;!P u!R; FP [ FR)


(P � Q) (P � R)2

L'opérateur � n'est pas un opérateur idempotent. En e�et, l'exemple suivant illustrele fait que nous pouvons avoir P � P 6= P.

(5.22) Exemple. Soit le processus relationnel suivant.

P = (fPfv;xgfv;xg

; Pfv;ygfv;yg

g;�P ; fvg;!P ; fvg)

où

Pfv;xgfv;xg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = f(x)g;

Pfv;ygfv;yg

= f v = 1 ^ v0 = 2 ^ y0 = g(y)g;


�P = f v = 1g u I;

!P = f v = 2g u I:

La composition synchrone minimale de P avec lui-même est donnée par le processusrelationnel Q suivant.

Q�= P � P = ( (J;K :: Q

JK);�P u�P ; fvg [ fvg;!P u!P ; fvg [ fvg)

avec

QJK

= t(J1; J2; K1; K2 : J = J1 [ J2 ^ K = K1 [K2 : PJ1K1

u PJ2K2

):

Les relations QJK6= ?? sont les suivantes.

Qfv;xgfv;xg

= Pfv;xgfv;xg

u Pfv;xgfv;xg

= Pfv;xgfv;xg

;

Qfv;ygfv;yg

= Pfv;ygfv;yg

u Pfv;ygfv;yg

= Pfv;ygfv;yg

;

et en�n,

Qfv;x;ygfv;x;yg

= Pfv;xgfv;xg

u Pfv;ygfv;yg

= fv = 1 ^ v0 = 2 ^ x0 = f(x) ^ y0 = g(y)g:

Ainsi, nous avons

Q = (fPfv;xgfv;xg

; Pfv;ygfv;yg

; Qfv;x;ygfv;x;yg

g;�P ; fvg;!P ; fvg)

et nous constatons que Q 6= P. Les processus relationnels P et Q (i.e. P � P) sontillustrés dans la �gure 5.5. On voit bien alors qu'en passant de v = 1 à v = 2, leprocessus P a le choix de faire deux actions. Cependant, le processus P � P a le choixde faire trois actions. Deux de ces actions sont celles de P et la troisième, que P nepeut pas faire, est le résultat de P

fv;xgfv;xgu P

fv;ygfv;yg.

L'adoption de la convention 4.3 en donnant des processus relationnels ne constituepas une entrave au calcul de leur composition parallèle totalement synchrone minimale.En e�et, la proposition 5.23 suivante montre que chaque relation de la famille derelations de P � Q est donnée par des relations non vides de la famille de relations deP et par des relations non vides de la famille de relations de Q.

(5.23) Proposition.


uQJQKQ

)

=

t(JP ; JQ; KP ; KQ

: J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ ^ PJPKP

6= ?? ^ QJQKQ

6= ??

: PJPKP

uQJQKQ

).

Démonstration.


@R��v = 1 �� v = 2 -

(fv; xg; x0 = f(x); fv; xg)

(fv; yg; y0 = g(y); fv; yg)

' $-

& %-

P

@R��v = 1 �� v = 2 -

(fv; xg; x0 = f(x); fv; xg)

(fv; yg; y0 = g(y); fv; yg)

(fv; x; yg; x0 = f(x) ^ y0 = g(y); fv; x; yg)

' $-

-

& %-

P � P

Figure 5.5: Illustration de P � P 6= P


uQJQKQ

)

= h P = ?? _ P 6= ?? () vrai i

t(JP ; JQ; KP ; KQ

: J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ ^ (PJPKP

6= ?? _ PJPKP

= ??)

^ (QJQKQ

6= ?? _ QJQKQ

= ??) : PJPKP

uQJQKQ

)

=

t(JP ; JQ; KP ; KQ


6= ?? ^ QJQKQ

6= ??

: PJPKP

uQJQKQ

)

t t (JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ

^ (PJPKP

= ?? _ QJQKQ

= ??) : PJPKP

uQJQKQ

)

= h P u ?? = ?? & ?? t ?? = ?? i

t(JP ; JQ; KP ; KQ


6= ?? ^ QJQKQ

6= ??

: PJPKP

uQJQKQ

)

2

Dans ce qui reste de cette sous-section, nous donnons deux exemples illustrant la com-position parallèle totalement synchrone minimale.

(5.24) Exemple. Nous reprenons l'exemple 5.11 (l'exemple du producteur et du con-sommateur). Toutefois, nous supposons que si un processus fait une action, l'autre doitl'accompagner par une action. Examinons ce que la composition parallèle totalementsynchrone minimale donne.

Notons par Rmn le processus P � Q.

Rmn



(fRfc;p;ygfc;p;x;y;zg

; Rfc;p;t;zgfc;p;x;tg

; Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

; Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg

g;

�Rmn ; fp; c; yg;??; ;)

où

� �Rmn =�P u�Q = fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg u I

� Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg


Pfpgfp;xg

uQfc;ygfc;y;zg

= h en remplaçant Pfpgfp;xg

et Qfc;ygfc;y;zg

par leurs valeurs i

fp = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? g

u fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g


fc = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y)g

� Rfc;p;t;zgfc;p;x;tg


Pfpgfp;xg

uQfc;t;zgfc;tg

= h en remplaçant Pfpgfp;xg

et Qfc;t;zgfc;tg

par leurs valeurs i

fp = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? g u fc = 2 ^ c0 = 1 ^ t0 = f(z; t)g


fc = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ t0 = f(z; t)g

� Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg


Pfp;x;ygfp;yg

uQfc;ygfc;y;zg

= h en remplaçant Pfp;x;ygfp;yg

et Qfc;ygfc;y;zg

par leurs valeurs i

fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg

u fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g


fc = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ y0 = sup-tête(y) ^ jyj > 0 ^ z0 = tête(y)g

= h y0 = y � x ^ y0 = sup-tête(y) () faux (l'une ajoute un élémentà la liste initiale et l'autre lui enlève un élément) i

??

La relation Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

est l'intersection de deux relations exprimant des ac-tions. D'après les derniers calculs, cette relation est une relation vide et elle est


supposée représenter ces actions dans le nouveau système formé par P � Q.Nous pouvons déduire qu'il y a un problème. Ce problème est engendré par uncon�it sur une ressource commune, dans ce cas la ressource modélisée par y.L'examen des deux dernières lignes des calculs précédents révèle que le con�itsurvient quand P tente de concaténer une valeur de x à la liste y ; en mêmetemps, Q essaie de supprimer la tête de cette liste.

Pour remédier à de tels con�its, des mécanismes de gestion des ressources doiventêtre instaurés. Nous trouvons certains de ces mécanismes dans [60].

� Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg


Pfp;x;ygfp;yg

uQfc;t;zgfc;tg


et Qfc;t;zgfc;tg

par leurs valeurs i

fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg u fc = 2 ^ c0 = 1 ^ t0 = f(z; t)g


fc = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)g

Si, de plus, nous considérons que notre système est formé de P et Q et rien d'autre et

que l'ensemble universel U est égal à fc; p; x; y; z; tg, alors la relation associée à Rmn

est

Rmn


Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg

u �ftg

t Rfc;p;t;zgfc;p;x;tg

u �fy;zg

t Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

u �fx;tg

t Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg

u �fx;zg

= h Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

= ?? & tous calculs faits if c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0

^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y) ^ t0 = t_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ t0 = f(z; t) ^ y0 = y

^ z0 = z_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ t0 = f(z; t) ^ x0 = x ^ z0 = z g.

La �gure 5.6 illustre le résultat de la composition parallèle totalement synchrone mi-nimale du producteur et du consommateur. Avec les conditions initiales (i.e.�Rmn =�P u�Q = fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg u I), le processus obtenu n'est pasintéressant. En e�et, il lui est impossible d'évoluer à partir des états donnés par�Rmn

(n÷ud étiqueté par c = 1 ^ p = 1 dans la �gure 5.6). Cependant, P � Q donne unrésultat intéressant une fois combiné avec P Q pour former un processus traduisantla vraie concurrence minimale (notion traitée à la section 5.4.1).

(5.25) Exemple. Nous reprenons l'exemple 5.12 (l'exemple du dîner des philosophes).Toutefois, nous supposons que si un philosophe fait une action, chacun des autres phi-losophes doit faire une action. Ainsi, le système obtenu par N philosophes est modélisé


@@Ry=nil

��

c = 1^

p = 1 ��

c = 1^

p = 2

��

c = 2^

p = 1 ��

c = 2^

p = 2

@@@@@@R

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@I

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

��

��

��

��

��

��

��

��

(fc; p; x; y; t; zg; qmn ; fc; p; y; tg)

(fc; p; yg; nmn ; fc; p; x; y; zg)

(fc;p;t;zg; m

mn; fc;p;x;tg)

nmn�= x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

mmn�= x0 = ? ^ t0 = f(z; t)

qmn�= jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)

Figure 5.6: Illustration du système obtenu par la composition parallèle totalementsynchrone minimale du producteur et du consommateur


par la concurrence totalement sychrone des N processus relationnels. Examinons ce quela composition parallèle totalement synchrone minimale peut donner pour un systèmeformé par les deux philosophes P0 et P1.

Le processus relationnel associé à un tel système est obtenu par la compositionparallèle totalement synchrone minimale des processus relationnels P0 et P1. Appelonsce processus Pmn.

Pmn = (Fmn;�Pmn ; Emn;!Pmn ; Fmn)

où�Pmn ; Emn;!Pmn et Fmn sont les mêmes que�Pe; Ee;!Pe et Fe dans l'exemple 5.12.Nous les rappelons.

�Pmn = fétat0 = prêt-à-penser ^ place0 = libre ^ fourchette0 = �1^ u0 = 1 ^ état1 = prêt-à-penser ^ place1 = libre

^ fourchette1 = �1 ^ u1 = 1gu I,

!Pmn = ??;

Emn = fétat0; place0; fourchette0; u0; état1; place1; fourchette1; u1g

et

Fmn = ;:

Pour donner la famille de relations Fmn, nous utilisons le tableau 5.1 qui indique

comment les relations, éléments de cette famille, sont obtenues. Chaque case de ce

tableau est obtenue par l'intersection de la relation qui étiquette sa ligne avec la relation

qui étiquette sa colonne. Ainsi, nous avons

Fmn

= h dé�nition 5.14 & tableau 5.1 i

fR(A0[A1)(A0[A1)

; R(A0[G1)(A0[B1)

; R(A0[H1)(A0[M1)

; R(A0[N1)(A0[N1)

; R(A0[C1)(A0[A1)

;

R(A0[A1)(A0[D1)

; R(A0[A1)(A0[G1)

; R(G0[A1)(B0[A1)

; R(G0[G1)(B0[B1)

; R(G0[H1)(B0[M1)

;

R(G0[N1)(B0[N1)

; R(G0[C1)(B0[A1)

; R(G0[A1)(B0[D1)

; R(G0[A1)(B0[G1)

; R(H0[A1)(M0[A1)

;

R(H0[G1)(M0[B1)

; R(H0[H1)(M0[M1)

; R(H0[C1)(M0[A1)

; R(H0[A1)(M0[G1)

; R(N0[A1)(N0[A1)

;

R(N0[G1)(N0[B1)

; R(N0[N1)(N0[N1)

; R(N0[C1)(N0[A1)

; R(N0[A1)(N0[G1)

; R(C0[A1)(A0[A1)

;

R(C0[G1)(A0[B1)

; R(C0[H1)(A0[M1)

; R(C0[N1)(A0[N1)

; R(C0[C1)(A0[A1)

; R(C0[A1)(A0[D1)

;

R(C0[A1)(A0[G1)

; R(A0[A1)(D0[A1)

; R(A0[G1)(D0[B1)

; R(A0[C1)(D0[A1)

; R(A0[A1)(D0[D1)

;

R(A0[A1)(D0[G1)

; R(A0[A1)(G0[A1)

; R(A0[G1)(G0[B1)

; R(A0[H1)(G0[M1)

; R(A0[N1)(G0[N1)

;

R(A0[C1)(G0[A1)

; R(A0[A1)(G0[D1)

; R(A0[A1)(G0[G1)

g.


Tableau5.1:FamillederelationsdeP0�P0

u

PA1A1

PG1B1

PH1M1

PN1N1

PC1A1

PA1D1

PA1G1

PA0A0

R(A0[A1)(A0[A1)

R(A0[G1)(A0[B1)

R(A0[H1)(A0[M1)

R(A0[N1)(A0[N1)

R(A0[C1)(A0[A1)

R(A0[A1)(A0[D1)

R(A0[A1)(A0[G1)

PG0B0

R(G0[A1)(B0[A1)

R(G0[G1)(B0[B1)

R(G0[H1)(B0[M1)

R(G0[N1)(B0[N1)

R(G0[C1)(B0[A1)

R(G0[A1)(B0[D1)

R(G0[A1)(B0[G1)

PH0M0

R(H0[A1)(M0[A1)

R(H0[G1)(M0[B1)

R(H0[H1)(M0[M1)

R(H0[N1)(M0[N1)=??

R(H0[C1)(M0[A1)

R(H0[A1)(M0[D1)=??

R(H0[A1)(M0[G1)

PN0N0

R(N0[A1)(N0[A1)

R(N0[G1)(N0[B1)

R(N0[H1)(N0[M1)=??

R(N0[N1)(N0[N1)

R(N0[C1)(N0[A1)

R(N0[A1)(N0[D1)=??

R(N0[A1)(N0[G1)

PC0A0

R(C0[A1)(A0[A1)

R(C0[G1)(A0[B1)

R(C0[H1)(A0[M1)

R(C0[N1)(A0[N1)

R(C0[C1)(A0[A1)

R(C0[A1)(A0[D1)

R(C0[A1)(A0[G1)

PA0D0

R(A0[A1)(D0[A1)

R(A0[G1)(D0[B1)

R(A0[H1)(D0[M1)=??

R(A0[N1)(D0[N1)=??

R(A0[C1)(D0[A1)

R(A0[A1)(D0[D1)

R(A0[A1)(D0[G1)

PA0G0

R(A0[A1)(G0[A1)

R(A0[G1)(G0[B1)

R(A0[H1)(G0[M1)

R(A0[N1)(G0[N1)

R(A0[C1)(G0[A1)

R(A0[A1)(G0[D1)

R(A0[A1)(G0[G1)


Nous remarquons que les relations R(H0[N1)(M0[N1)

, R(H0[A1)(M0[D1)

, R(N0[H1)(N0[M1)

,R

(N0[A1)(N0[D1), R

(A0[H1)(D0[M1)et R

(A0[N1)(D0[N1)ne sont pas présentes dans la famille de

relations de Pmn (i.e. dans Fmn) car elles sont vides. La convention 4.3 nous permetde ne pas les citer dans Fmn.

L'examen attentif des raisons qui font que ces relations sont vides peut révéler descon�its sur des ressources communes aux deux processus. Nous savons que chacunede ces relations vides modélise ce qui se passe sur des ressources que chaque processuscontrôle et sur lesquelles il e�ectue des actions modélisées par une relation non vide. Parexemple, R

(H0[N1)(M0[N1)= P

H0M0u P

N1N1= ?? signi�e que le processus P0, en prenant

ses valeurs des variables données parH0 et en tentant de modi�er les variables indiquéesparM0, ne s'entend pas avec P0 quand ce dernier prend ses valeurs des variables donnéespar N1 et tente de modi�er les variables indiquées par N1. Le désaccord entre les deuxprocessus est certainement sur une ressource commune. Dans cet exemple, les ressourcescommunes sont les fourchettes. Pour illustrer nos propos, examinons quelques cas depaires de relations où chacune est constituée d'un premier élément, non vide, de lafamille de relations de P0 et d'un autre, également non vide, de la famille de relationsde P0 et qui engendrent une intersection vide. Pour commencer, examinons les raisonsqui font que R

(H0[N1)(M0[N1)= P

H0M0u P

N1N1est une relation vide.

R(H0[N1)(M0[N1)

= h tableau 5.1 i

PH0M0

u PN1N1

= h N = 2 & 1� 1 = 0 i

fu0 = 2 ^ u 00 = 3 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1 ^ fourchette 00 = 0g

u fu1 = 3 ^ u 01 = 4 ^ fourchette0 = �1 ^ fourchette 00 = 1g


fu0 = 2 ^ u1 = 3 ^ u 00 = 3 ^ u 01 = 4 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1

^ fourchette 00 = 0 ^ fourchette 00 = 1g

h fourchette 00 = 0 ^ fourchette 00 = 1 () faux i

??

Des deux avant-dernières lignes, nous comprenons que quand le processus P0 veutpasser de l'état caractérisé par le prédicat u0 = 2 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1vers l'état caractérisé par le prédicat u0 = 3 ^ fourchette0 = 0, il ne s'entend pasavec le processus P0 qui lui veut passer de l'état caractérisé par le prédicat u1 = 3 ^fourchette0 = �1 vers l'état caractérisé par le prédicat u1 = 4 ^ fourchette0 = 1. Ene�et, P0 veut mettre lors de ce passage (rappelons qu'il s'e�ectue en même temps quecelui de P0) la variable fourchette0 à la valeur 0 (i.e. le philosophe P0 veut prendresa fourchette). Cependant, P1 veut mettre cette même variable à la valeur 1 (i.e. lephilosophe P1 veut prendre la fourchette de P0), ce qui est indiqué en gras dans l'avant-dernière ligne des calculs précédents. D'où le con�it qui est traduit par une relationrésultante vide.

L'autre cas que nous examinons à titre illustratif est le cas de R(N0[A1)(N0[D1)

.


R(N0[A1)(N0[D1)

= h tableau 5.1 i

PN0N0

u PA1D1

= h N = 2 & 0� 1 = 1 & 1� 1 = 0 i

fu0 = 3 ^ u 00 = 4 ^ fourchette1 = �1 ^ fourchette 01 = 0g

u fu1 = 4 ^ u 01 = 2 ^ fourchette 01 = �1 ^ fourchette 00 = �1

^ état1 = pas-faimg

= h dé�nition de u i

fu0 = 3 ^ u1 = 4 ^ fourchette1 = �1 ^ état1 = pas-faim ^ u 00 = 4

^ u 01 = 2 ^ fourchette 00 = �1 ^ fourchette 01 = 0 ^ fourchette 01 = �1g

h fourchette 01 = 0 ^ fourchette 01 = �1 () faux i

??

Ainsi, R(N0[A1)(N0[D1)

est vide car quand le philosophe P0, après avoir mangé, déposesa fourchette et qu'en même temps le philosophe P0 tente de la prendre pour pouvoirutiliser deux fourchettes pour manger, ils ne s'entendent pas sur la valeur �nale de lavariable qui modélise cette ressource partagée (i.e. fourchette0).

Nous pouvons continuer à décortiquer les raisons qui font que certaines relations dela famille de relations Fmn sont vides pour connaître les interférences possibles entreles deux philosophes sur les ressources partagées (ici dans notre exemple, les deuxfourchettes). Cependant, ce n'est pas le sujet de notre thèse. Nous voulons simplementfaire remarquer que cet opérateur permet de détecter certains con�its entre processusconcurrents sur des ressources.

5.3.2 Composition parallèle totalement synchrone maximale

Le terme maximal qui quali�e ici la composition parallèle totalement synchrone n'estpas relié à ce que nous trouvons dans la littérature [45, 55, 85] sous le nom ParallélismeMaximal (�Maximal Parallelism�). Dans ce dernier, tous les événements de communi-cation apparaissent le plus tôt possible et aucun processus n'est laissé en attente quandil peut faire quelque chose. Ce n'est pas la sémantique de ce que nous proposons dansce qui suit. L'opérateur discuté dans cette sous-section exprime la concurrence parallèletotalement synchrone. Ce qui distingue cet opérateur de concurrence totalement syn-chrone est que, quand plusieurs processus accèdent à une ressource pour la modi�er, etqu'en même temps, chacun exécute une action atomique, il est impossible de savoir ceque l'interférence entre ces actions peut engendrer comme état �nal de cette ressource.Par conséquent, la variable qui représente la ressource doit re�éter cette situation aprèsla synchronisation en indiquant une valeur indéterminée.

La dé�nition suivante introduit l'opérateur de composition parallèle totalementsynchrone maximale.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )


et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ):

La composition parallèle synchrone maximale de P et Q, notée P � Q, est donnée par

P � Q�= ( (J;K :: R

JK);�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ)

où

RJK

= t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ

: PJPKP

; �KP\KQ

uQJQKQ

; �KP\KQ

): 2

Les variables susceptibles d'engendrer un con�it entre les deux processus, lors deleurs modi�cations, sont données par KP \ KQ. Quand il y a un con�it au coursd'une modi�cation d'une ressource, l'opérateur introduit par la dé�nition 5.26 indiqueque la valeur �nale de cette variable est indéterminée. À titre d'exemple, prenonsPfgfxg

= fx0 > 0g et Qfx;ygfx;yg

= fx0 = 4 ^ y0 = x + yg. La relation décrivantles actions obtenues par la composition parallèle totalement synchrone maximale desactions données par P

fgfxget de celles données par Q

fx;ygfx;ygest la relation R

fx;ygfx;yg=

fy0 = x + yg. Nous constatons que malgré que x soit contrôlée à la sortie, sa valeur�nale est indéterminée.

Pour pouvoir a�rmer que le résultat de la composition parallèle totalement syn-

chrone maximale de deux processus relationnels est un processus relationnel, nous avons

besoin de montrer que les RJK

de la dé�nition 5.26 sont (J , K)-déterminées. En e�et,

en désignant PJPKP

par P , QJQKQ

par Q et RJK

par R, nous avons

�J

; R ; �K


�J

; ( t(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ

: P ; �KP\KQ

uQ ; �KP\KQ

)) ; �K



: �J; (P ; �

KP\KQuQ ; �

KP\KQ); �

K)

= h P est (JP , KP )-déterminée & Q est (JQ, KQ)-déterminée i


: �J; (�

JP

; P ; �KP

; �KP\KQ

u �JQ

; Q ; �KQ

; �KP \KQ

); �K)

= h proposition 3.21(b) & proposition 3.17(a)& KP \KP \KQ = KP \KQ i


: (�JP

; P ; �KP\KQ

u �JQ

; Q ; �KQ

; �KP\KQ

); �K)

= h proposition 3.21(a) & proposition 3.17(a)& KQ \KP \KQ = KQ \KP i



: �JP

; P ; �KP\KQ

u �JQ

; Q ; �kQ\KP

)

= h P est (JP , KP )-déterminée & Q est (JQ, KQ)-déterminée& proposition 3.17(a) & KP \KP \KQ = KP \KQ

& KQ \KP \KQ = KQ \KP it(JP ; JQ; KP ; KQ : J = JP [ JQ ^ K = KP [KQ : P ; �

KP\KQuQ ; �

KP\KQ)


R

Aussi, d'après 3.28(d) nous pouvons montrer que la relation d'entrée et la relation desortie véri�ent toutes les deux les conditions de la dé�nition d'un processus relationnel(i.e. 4.1(b, c)). Ainsi, la composition parallèle totalement synchrone maximale de deuxprocessus relationnels est un processus relationnel.

La proposition 5.27 nous permet d'obtenir des expressions équivalentes à RJK

de ladé�nition 5.26.

(5.27) Proposition. Soient P , Q et R des relations telles que

P = �JP

; P ; �KP;

Q = �JQ

; Q ; �KQ;

et

R = �JR

; R ; �KR:

Nous avons

P ; �KP\(KQ[KR)

u (Q ; �KQ\KR

u R ; �KQ\KR

) ; �KP \(KQ[KR)

=

P ; �KQ[KR

uQ ; �KP[KR

u R ; �KP[KQ

=

(P ; �KP\KQ

uQ ; �KP\KQ

) ; �(KP [KQ)\KR

uR ; �(KP[KQ)\KR

Démonstration.

P ; �KP \(KQ[KR)

u (Q ; �KQ\KR

u R ; �KQ\KR

) ; �KP\(KQ[KR)

= h \ se distribue sur [ & proposition 3.17(a)& proposition 3.25(c) i

P ; �KQ[KR

u (Q ; �KR

u R ; �KQ

) ; �KP \KQ

; �KP\KR

= h KQ � KQ \KR & KP � KP \KR & proposition 3.21(a) ap-pliquée 2 fois & hypothèses & proposition 3.25(c)& proposition 3.17(a) i

P ; �KQ[KR

u Q ; �KR

; �KP\KQ

u R ; �KP[KR


= h hypothèses & proposition 3.25(c) & proposition 3.17(a)& A \B = A [ B i

P ; �KQ[KR

u Q ; �KP[KR

u R ; �KP[KQ

= h hypothèses & proposition 3.25(c) & proposition 3.17(a)& A \B = A [ B i

P ; �KQ

; �KP \KR

u Q ; �KP

; �KQ\KR

u R ; �KP[KR

= h KQ � KQ \KR & KP � KP \KR

& proposition 3.21(a) appliquée 2 fois & hypothèses & pro-position 3.25(c) & proposition 3.17(a) i

(P ; �KQ

u Q ; �KP

) ; �KP \KR

; �KQ\KR

u R ; �KP[KR

= h \ se distribue sur [ & proposition 3.17(a)& proposition 3.25(c) i

(P ; �KP \KQ

u Q ; �KP\KQ

) ; �(KP[KQ)\KR

u R ; �(KP [KQ)\KR

2

(5.28) Proposition. L'opérateur � est commutatif et associatif.

Démonstration. La commutativité de � découle de celle de [;\ et u. Quant à

l'associativité, la preuve est la suivante.

P � (Q � R)


P � ( (JS; KS :: t(JQ; JR; KQ; KR : JS = JQ [ JR ^ KS = KQ [KR

: QJQKQ

; �KQ\KR

uRJRKR

; �KQ\KR

) );�Q u�R; EQ [ ER;!Q u!R; FQ [ FR)


( (J;K :: t(JP ; JS; KP ; KS : J = JS [ JP ^ K = KS [KP

: PJPKP

; �KP\KS

u t(JQ; JR; KQ; KR : JS = JQ [ JR ^ KS = KQ [KR

: (QJQKQ

; �KQ\KR

uRJRKR

; �KQ\KR

) ; �KP\KS

) ) );�P u�Q u�R;

EP [ EQ [ ER;!P u!Q u!R; FP [ FQ [ FR)

=

( (J;K :: t(JP ; JQ; JR; KP ; KQ; KR

: J = JP [ JQ [ JR ^ K = KP [KQ [KR

: PJPKP

; �KP\(KQ[KR)

u (QJQKQ

; �KQ\KR

uRJRKR

; �KQ\KR

) ; �KP\(KQ[KR)

) );

�P u�Q u�R; EP [ EQ [ ER;!P u!Q u!R; FP [ FQ [ FR)


( (J;K :: t(JP ; JQ; JR; KP ; KQ; KR

: J = JP [ JQ [ JR ^ K = KP [KQ [KR

: (PJPKP

; �KP\KQ

uQJQKQ

; �KP\KQ

) ; �(KP[KQ)\KR

u RJRKR

; �(KP[KQ)\KR

) );


=


( (J;K :: t(JS; JR; KS; KR : J = JS [ JR ^ K = KS [KR

: t(JP ; JQ; KP ; KQ

: JS = JP [ JQ ^ KS = KP [KQ

: (PJPKP

; �KP\KQ

uQJQKQ

; �KP\KQ

) ; �KS\KR

) u RJRKR

; �KR\KS

) );


= h S = P � Q i

( (JS; KS :: t(JP ; JQ; KP ; KQ : JS = JP [ JQ ^ KS = KP [KQ

: PJPKP

; �KP\KQ

uQJQKQ

; �Kp\KQ

) );

�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ)

� R


(P � Q) � R2

La proposition suivante annonce que le processus relationnnel O donné par l'équa-tion 5.16 est aussi un élément neutre pour la composition parallèle synchrone maximale.

(5.29) Proposition.

O � P = P � O = P:

Démonstration.

O � P


P � O

= h équation 5.16 i

( (JP ; KP :: PJPKP

);�P ; EP ;!P ; FP ) � (f>>;;g; I; ;; I; ;)


( (J;K :: t(JP ; KP : J = JP [ ; ^ K = KP [ ;

: PJPKP

; �KP\;

u >>;;

; �KP \;

) );

�P u I; EP [ ;;!P u I; FP [ ;)

= h�P v I & !P v I & ; = U i

( (J;K :: PJK

; �Uu >>

;;; �

U);�P ; EP ;!P ; FP )

= h proposition 3.17(c) i

( (J;K :: PJK

; Iu >>;;

; I);�P ; EP ;!P ; FP )

= h P ; I & P u >> = P i

( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

=

P


2

Également, le processus relationnel Z, donné par l'équation 5.19, est un élémentabsorbant pour � comme il l'est pour �, ce qui est annoncé par la proposition suivante.

(5.30) Proposition.

Z � P = P � Z = Z:


Démonstration.

Z � P


P � Z


( (JP ; KP :: PJPKP

);�P ; EP ;!P ; FP ) � ( (JZ ; KZ :: ??JZKZ

);??;U ;??;U)


( (J;K :: t(JP ; JZ ; KP ; KZ : J = JP [ JZ ^ K = KP [KZ

: PJPKP

; �KP\KZ

u ??JZKZ

; �KP\KZ

) );�P u ??; EP [ U ;!P u ??; FP [ U)

= h dé�nition 5.26 (??JK

= t(JP ; JZ; KP ; KZ : J = JP [ JZ ^ K =KP [KZ : P

JPKP

; �KP\KZ

u ??JZKZ

; �KP\KZ

)) i

( (J;K :: ??JK

);??;U ;??;U)

=

Z2

Tout comme l'opérateur �, l'opérateur � n'est pas un opérateur idempotent. Ene�et, l'exemple suivant illustre le fait que nous pouvons avoir P � P 6= P.

(5.31) Exemple. Soit P un processus relationnel tel que

P = (ffx0 = 1g;;fxgg;�P ; EP ;!P ; FP )

où �P ; EP ;!P et FP sont quelconques. On a P � P = (f>>;;fxgg;�P ; EP ;!P ; FP ).Primo, nous constatons que P � P 6= P. Secundo, nous constatons que malgré

que les deux processus s'entendent sur l'action à faire, nous avons une interférencereprésentée par une valeur �nale de x indéterminée. Cette interférence peut très bienreprésenter la réalité de ce qui peut arriver quand x modélise un tronçon de voie ferréeet que la valeur 1 indique l'envoi d'un train sur ce tronçon. Imaginez l'état �nal desrails quand chacun des deux processus envoie son train. 2

La proposition suivante énonce que, tout comme l'opérateur �, l'opérateur � sedistribue sur .

(5.32) Proposition. P � (Q R) = (P � Q) (P � R).

Démonstration.

P � (Q R)

=

( (JP ; KP :: PJPKP

);�P ; EP ;!P ; FP )

� [( (JQ; KQ :: QJQKQ

);�Q; EQ;!Q; FQ)


( (JR; KR :: RJRKR

);�R; ER;!R; FR)]


( (JP ; KP :: PJPKP

);�P ; EP ;!P ; FP ) � ( (JS; KS :: QJSKS

t RJSKS

);

�Q u�R; EQ [ ER;!Q u!R; FQ [ FR)



: PJPKP

; �KS\KP

u (QJSKS

t RJSKS

) ; �KS\KP

) );




: PJPKP

; �KS\KP

u (QJSKS

; �KS\KP

t RJSKS

; �KS\KP

) ) );




: PJPKP

; �KS\KP

uQJSKS

; �KS\KP

t PJPKP

; �KS\KP

uRJSKS

; �KS\KP

) );


=


: PJPKP

; �KS\KP

uQJSKS

; �KS\KP

)

t t (JP ; JS; KP ; KS : J = JP [ JS ^ K = KP [KS

: PJPKP

; �KS\KP

u RJSKS

; �KS\KP

) );


= h dé�nition 5.1 & A \ B \ C = (A \B) \ (B \ C) i


: PJPKP

; �KS\KP

uQJSKS

; �KS\KP

) );

�P u�Q; EP [ EQ;!P u!Q; FP [ FQ)


: PJPKP

; �KS\KP

u RJSKS

; �KS\KP

) );

�P u�R; EP [ ER;!P u!R; FP [ FR)


(P � Q) (P � R)2

(5.33) Exemple. Nous reprenons l'exemple 5.11 (l'exemple du producteur et du con-sommateur). Cependant, nous supposons que si un processus fait une action, l'autredoit l'accompagner par une action. Examinons ce que la composition parallèle totale-ment synchrone maximale donne.

Notons par Rmx le processus obtenu par P � Q.


Rmx


((Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg


; Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg


);�Rmx ; fp; c; yg;??; ;).

où

� �Rmx =�P u�Q = fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg u I;

� Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg

= h dé�nition 5.14 & fp; xg \ fc; y; zg = ; i

Pfpgfp;xg

; �;uQ

fc;ygfc;y;zg; �

;

= h �;= �

U= I & P ; I= P i

Pfpgfp;xg

uQfc;ygfc;y;zg

= h selon l'exemple 5.24 i

fc = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y)g

� Rfc;p;t;zgfc;p;x;tg

= h dé�nition 5.14 & fp; xg \ fc; tg = ; i

Pfpgfp;xg

; �;uQ

fc;t;zgfc;tg; �

;

= h �;= �

U= I & P ; I= P i

Pfpgfp;xg

uQfc;t;zgfc;tg

h selon l'exemple 5.24 i

fc = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ t0 = f(z; t)g

� Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

= h dé�nition 5.14 & fp; yg \ fc; y; zg = fyg i

Pfp;x;ygfp;yg

; �fyguQ

fc;ygfc;y;zg; �

fyg


et Qfc;ygfc;y;zg

par leurs valeurs i

fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg ; �fyg

u fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g ; �fyg

= h �J

; P ; �K

; �L= �

J; P ; �

KuL= �

J; P ; �

K�L& tous calculs faits i

fc = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ jyj > 0 ^ z0 = tête(y)g

Nous remarquons que y0 est absente de l'expression de Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

et ce malgréque le système contrôle la variable y. Cela est dû à l'interférence entre P et Q etindique que la valeur �nale de la variable y est indéterminée. L'interférence estcausée par la tentative de P d'e�ectuer y0 = y � x et la tentative de Q d'e�ectuery0 = sup-tête(y).

� Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg


= h dé�nition 5.14 & fp; yg \ fc; tg = ; i

Pfp;x;ygfp;yg

; �;uQ

fc;t;zgfc;tg; �

;

= h �;= �

U= I & P ; I = P & en remplaçant P

fp;x;ygfp;yget

Qfc;t;zgfc;tg

par leurs valeurs iPfp;x;ygfp;yg

uQfc;t;zgfc;tg

= h selon l'exemple 5.24 i

fc = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)g

De plus, si nous considérons que notre système est formé de P et Q et rien d'autre

et que l'ensemble universel U est égal à fc; p; x; y; z; tg, alors la relation associée à Rmx

est

Rmx


Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg

u �ftg

t Rfc;p;t;zgfc;p;x;tg

u �fy;zg

t Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg

u �fx;tg

t Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg

u �fx;zg

= h tous calculs faits if c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0


^ z0 = z_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ jyj > 0

^ z0 = tête(y) ^ x0 = x ^ t0 = t_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ t0 = f(z; t) ^ x0 = x ^ z0 = z g.

La �gure 5.7 illustre le résultat de la composition parallèle totalement synchrone maxi-male du producteur et du consommateur. Le système de transition y est présenté estle même que celui illustrant la composition parallèle totalement synchrone minimal(�gure 5.6), sauf que l'arc avec interférence est ?? dans un cas et pas dans l'autre.

(5.34) Exemple. Nous reprenons l'exemple 5.12 (le dîner des philosophes). Toutefois,nous supposons que si un philosophe fait une action, chacun des autres philosophesdoit faire une action. Ainsi, le système obtenu par N philosophes est modélisé par laconcurrence totalement synchrone des N processus relationnels. Après avoir observé,dans l'exemple 5.25, ce que la composition parallèle totalement synchrone minimaledonne comme résultat, examinons ce que la composition parallèle totalement synchronemaximale peut donner pour un système formé par les deux philosophes P0 et P1.

Le processus relationnel associé à un tel système est obtenu par la compositionparallèle totalement synchrone maximale des processus relationnels P0 et P1. Appelonsce processus Pmx.

Pmx = (Fmx;�Pmx ; Emx;!Pmx; Fmx)


@@Ry=nil

��

c = 1^

p = 1 ��

c = 1^

p = 2

��

c = 2^

p = 1 ��

c = 2^

p = 2

@@@@@@R

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@I

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

(fc;p;x;yg; omx; fc;p;y;zg)

(fc; p; x; y; t; zg; qmx ; fc; p; y; tg)

(fc; p; yg; nmx ; fc; p; x; y; zg)

(fc;p;t;zg; m

mx; fc;p;x;tg)

nmx�= nmn

�= x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

mmx�= mmn

�= x0 = ? ^ t0 = f(z; t)

omx�= jyj < N ^ jyj > 0 ^ z0 = tête(y)

qmx�= qmn

�= jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)

Figure 5.7: Illustration du système obtenu par la composition parallèle totalementsynchrone maximale du producteur et du consommateur


où�Pmx; Emx;!Pmx et Fmx sont les mêmes que�Pe; Ee;!Pe et Fe dans l'exemple 5.12.Nous les rappelons.

�Pmx = fétat0 = prêt-à-penser ^ place0 = libre ^ fourchette0 = �1 ^ u0 = 1^ état1 = prêt-à-penser ^ place1 = libre ^ fourchette1 = �1^ u1 = 1g u I,

!Pmx = ??;

Emx = fétat0; place0; fourchette0; u0; état1; place1; fourchette1; u1g;

et

Fmx = ;:

Le tableau 5.2 nous aide à présenter la famille de relations de Pmx. Mises à part lesrelations des cases marquées par ✺, chacune des relations dans ce tableau est égale àl'intersection de la relation qui étiquette sa ligne et celle qui étiquette sa colonne. Celaest dû au fait que si KP \ KQ = ; alors, d'après la proposition 3.17(c), nous avonsPJPKP

; �KP\KQ

uQJQKQ

; �KP\KQ

= PJPKP

uQJQKQ

. Quant aux relations des cases mises

à part, elles sont comme suit.

� R(H0[N1)(M0[N1)


PH0M0

; �M0\N1

u PN1N1

; �M0\N1

= h M0 = ffourchette0; u0g & N1 = ffourchette1�1; u1g Remarque :comme nous savons que le nombre de philosophes dans le systèmeest 2, alors 1� 1 = 0 et M0 \N1 = ffourchette0g. i

PH0M0

; �ffourchette0g

u PN1N1

; �ffourchette0g

� R(H0[A1)(M0[D1)


PH0M0

; �M0\D1

u PA1D1

; �M0\D1

= h M0 = ffourchette0; u0g & D1 = ffourchette1; fourchette1�1; u1g& hypothèse : nous avons deux philosophes dans notre système& 1� 1 = 0 i

PH0M0

; �ffourchette0g

u PA1D1

; �ffourchette0g

� R(N0[H1)(N0[M1)


PN0N0

; �N0\M1

u PH1M1

; �N0\M1

= h N0 = ffourchette0�1; u0g & M1 = ffourchette1; u1g & hypo-thèse : nous avons deux philosophes dans notre système& 0� 1 = 1 i

PN0N0

; �ffourchette1g

u PH1M1

; �ffourchette1g

5.Opérateu

rsrelation

nels

decom

position

parallèle

119

Tableau 5.2: Famille de relations de P0 � P0

PA1A1

PG1B1

PH1M1

PN1N1

PC1A1

PA1D1

PA1G1

PA0A0

R(A0[A1)(A0[A1)

R(A0[G1)(A0[B1)

R(A0[H1)(A0[M1)

R(A0[N1)(A0[N1)

R(A0[C1)(A0[A1)

R(A0[A1)(A0[D1)

R(A0[A1)(A0[G1)

PG0B0

R(G0[A1)(B0[A1)

R(G0[G1)(B0[B1)

R(G0[H1)(B0[M1)

R(G0[N1)(B0[N1)

R(G0[C1)(B0[A1)

R(G0[A1)(B0[D1)

R(G0[A1)(B0[G1)

PH0M0

R(H0[A1)(M0[A1)

R(H0[G1)(M0[B1)

R(H0[H1)(M0[M1)

R(H0[N1)(M0[N1)

✺ R(H0[C1)(M0[A1)

R(H0[A1)(M0[D1)

✺ R(H0[A1)(M0[G1)

PN0N0

R(N0[A1)(N0[A1)

R(N0[G1)(N0[B1)

R(N0[H1)(N0[M1)

✺ R(N0[N1)(N0[N1)

R(N0[C1)(N0[A1)

R(N0[A1)(N0[D1)

✺ R(N0[A1)(N0[G1)

PC0A0

R(C0[A1)(A0[A1)

R(C0[G1)(A0[B1)

R(C0[H1)(A0[M1)

R(C0[N1)(A0[N1)

R(C0[C1)(A0[A1)

R(C0[A1)(A0[D1)

R(C0[A1)(A0[G1)

PA0D0

R(A0[A1)(D0[A1)

R(A0[G1)(D0[B1)

R(A0[H1)(D0[M1)

✺ R(A0[N1)(D0[N1)

✺ R(A0[C1)(D0[A1)

R(A0[A1)(D0[D1)

R(A0[A1)(D0[G1)

PA0G0

R(A0[A1)(G0[A1)

R(A0[G1)(G0[B1)

R(A0[H1)(G0[M1)

R(A0[N1)(G0[N1)

R(A0[C1)(G0[A1)

R(A0[A1)(G0[D1)

R(A0[A1)(G0[G1)


� R(N0[A1)(N0[D1)


PN0N0

; �N0\D1

u PA1D1

; �N0\D1

= h N0 = ffourchette0�1; u0g & D1 =ffourchette1; fourchette1�1; u1g & hypothèse : nous avonsdeux philosophes dans notre système & 0� 1 = 1 i

PN0N0

; �ffourchette1g

u PA1D1

; �ffourchette1g

� R(A0[H1)(D0[M1)


PA0D0

; �D0\M1

u PH1M1

; �D0\M1

= h D0 = ffourchette0; fourchette0�1; u0g & M1 = ffourchette1; u1g& hypothèse : nous avons deux philosophes dans notre système& 0� 1 = 1 i

PA0D0

; �ffourchette1g

u PH1M1

; �ffourchette1g

� R(A0[N1)(D0[N1)


PA0D0

; �D0\N1

u PN1N1

; �D0\N1

= h D0 = ffourchette0; fourchette0�1; u0g & N1 =ffourchette1�1; u1g & hypothèse : nous avons deux philo-sophes dans notre système & 1� 1 = 0 i

PA0D0

; �ffourchette0g

u PN1N1

; �ffourchette0g

Sans avoir à développer le calcul plus loin, nous constatons que, à cause de laprésence de la relation �

ffourchette0gdans les termes des trois relations R

(H0[N1)(M0[N1),

R(H0[A1)(M0[D1)

et R(A0[N1)(D0[N1)

, la valeur �nale de la variable fourchette0 est indéter-minée dans ces derniers. De même, à cause de la présence de la relation �

ffourchette1g

dans les termes des relations R(N0[H1)(N0[M1)

; R(N0[A1)(N0[D1)

et R(A0[H1)(D0[M1)

, la valeur�nale de la variable fourchette1 est indéterminée dans ces derniers. Un processus quicontrôle une variable sur laquelle il exécute une modi�cation précise doit engendrer unevaleur �nale déterminée de celle-ci. Or, contrôler une variable pendant sa modi�cationet se retrouver après cette opération avec une variable dont la valeur est indéterminée,indique qu'il y a eu une interférence pendant la modi�cation.

L'examen de chacune de ces relations donne la situation de con�it. Par exemple,

pour la relation R(H0[N1)(M0[N1)

, nous avons

R(H0[N1)(M0[N1)

= h calcul ci-dessus i

PH0M0

; �ffourchette0g

u PN1N1

; �ffourchette0g

= h remplacer PH0M0

et PN1N1

par leur valeur i

fu0 = 2 ^ u 00 = 3 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1 ^ fourchette 00 = 0g


; �ffourchette0g

u fu1 = 3 ^ u 01 = 4 ^ fourchette1�1 = �1

^ fourchette 01�1 = 1g ; �ffourchette0g

= h Tous calculs faits & 1� 1 = 0 i

fu0 = 2 ^ u1 = 3 ^ u 00 = 3 ^ u 01 = 4 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1g

En d'autres termes, quand le processus P0 veut passer de l'état caractérisé par leprédicat u0 = 2 ^ état0 = faim ^ fourchette0 = �1 vers l'état caractérisé par leprédicat u0 = 3 ^ fourchette0 = 0, il entre en con�it sur la fourchette fourchette0avec le processus P1 qui, lui, veut passer de l'état caractérisé par le prédicat u1 = 3 ^fourchette0 = �1 vers l'état caractérisé par le prédicat u1 = 4 ^ fourchette0 = 1. Ene�et, P0 veut mettre lors de ce passage (rappelons qu'il s'e�ectue en même temps quecelui de P1) la variable fourchette0 à la valeur 0 (i.e. le philosophe P0 veut prendresa fourchette). Cependant, P1 veut mettre cette même variable à la valeur 1 (i.e. lephilosophe P1 veut prendre la fourchette de P0), d'où le con�it qui est traduit parune valeur �nale indéterminée de la variable fourchette0 (i.e. fourchette 00 est absentede l'expression de R

(H0[N1)(M0[N1)). En termes concrets, on ne sait pas quel philosophe

est en possession de la fourchette du philosophe P0. Peut-être le plus fort des deux, ouaucun?

L'examen des autres relations des cases marquées dans le tableau 5.2 révèlerad'autres situations de con�it.

La famille de relations de Pmx est donnée par le tableau 5.2.À partir de la composition parallèle entrelaçante et de la composition parallèle

totalement synchrone, nous dé�nissons dans la section suivante la composition parallèlevraie-concurrence.

5.4 Composition parallèle vraie-concurrence

Dans la vraie concurrence, soit que les actions d'un système s'exécutent en même temps,soit qu'une ou plusieurs actions s'exécutent pendant que d'autres sont en attente.

D'abord, à partir d'un opérateur de composition parallèle totalement synchronedonné, nous introduisons un opérateur traduisant la vraie concurrence qui lui corres-pond. Nous montrons certaines propriétés de cet opérateur. Dans la section précé-dente, nous avons présenté deux opérateurs de composition parallèle totalement syn-chrone. C'est pourquoi nous devons nous attendre à présenter, comme cas particu-liers de la dé�nition générale, deux opérateurs de composition parallèle traduisant lavraie concurrence. Ces deux opérateurs sont la vraie-concurrence minimale � et lavraie-concurrence maximale � . La sous-section 5.4.1 introduit le premier et donne sespropriétés tandis que la sous-section 5.4.2 traite du deuxième.

La dé�nition suivante est générique. Elle montre comment dé�nir un opérateur decomposition parallèle vraie-concurrence à partir d'un opérateur de composition paral-lèle totalement synchrone donné.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )


et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels. La composition parallèle vraie-concurrence de P et Q,notée P kQ, est dé�nie par

P kQ�= P Q (P k Q);

où k est un opérateur de composition parallèle totalement synchrone commutatif, as-sociatif et qui se distribue sur . 2

(5.36) Proposition. Si P k Q est un processus relationnel, alors P kQ est un pro-cessus relationnel.

Démonstration. Le résultat découle du fait que

^ (P;Q : P;Q processus relationnels : P Q est un processus relationnel ):

(5.37) Remarque. Désormais, les opérateurs de composition parallèle totalement syn-chrone (i.e. �;�; k) ont une priorité supérieure à celle de la composition parallèleentrelaçante (i.e. ). On a donc

P kQ�= P Q (P k Q) = P Q P k Q:

(5.38) Proposition. L'opérateur de composition parallèle vraie-concurrence k

(a) est commutatif,

(b) est associatif,

(c) se distribue sur .

Démonstration.

(a) P kQ


P Q P k Q

= h proposition 5.2 (commutativité de ) & dé�nition 5.35 (kest commutatif) i

Q P Q k P


Q kP


(b) P k (QkR)


P k (Q R Q k R)


P [Q R (Q k R)] [P k (Q R (Q k R))]

= h proposition 5.2 (associativité de ) & dé�nition 5.35 (k sedistribue sur ) i

P Q R (Q k R) [P k Q P k R P k (Q k R)]

= h proposition 5.2 (associativité de ) & dé�nition 5.35 (k estassociatif) i

P Q R (Q k R) (P k Q) (P k R) (P k Q k R)

= h proposition 5.2 (commutativité de ) i

P Q (P k Q) R (P k R) (Q k R) (P k Q k R)

= h dé�nition 5.35 (k se distribue sur )& proposition 5.2 (associativité de ) i

[P Q (P k Q)] R [P Q (P k Q)] k R


(P Q P k Q) kR


(P kQ) kR

(c) P k (Q R)


P (Q R) (P k (Q R))

= h proposition 5.2 (associativité de ) & k se distribue sur i

P Q R (P k Q) (P k R)

= h proposition 5.2 (commutativité et associativité de )& proposition 5.3 i

[P Q (P k Q)] [P R (P k R)]


(P kQ) (P kR) 2

5.4.1 Composition parallèle vraie-concurrence minimale

La dé�nition suivante présente un opérateur de composition parallèle vraie-concurrenceobtenu à partir de et �.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et


Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels. La composition parallèle vraie-concurrence minimale de Pet Q, notée P�Q, est dé�nie par

P�Q�= P Q P � Q: 2

Après la dé�nition de l'opérateur�, nous avons montré que P � Q est un processusrelationnel si P et Q sont des processus relationnels. Alors, d'après le corollaire 5.36,P�Q est un processus relationnel.

D'après la proposition 5.15, la proposition 5.21 (ces deux propositions indiquentque � est commutatif, associatif et se distribue sur ) et la proposition 5.38, nousavons le corollaire suivant.

(5.40) Corollaire. L'opérateur de composition parallèle vraie-concurrence minimale� est commutatif, associatif et se distribue sur .

Pour illustrer cet opérateur de composition parallèle vraie-concurrence minimale, nousprésentons l'exemple suivant.

(5.41) Exemple. Nous poursuivons avec l'exemple 5.11 (l'exemple du producteur etdu consommateur). Nous allons déterminer le processus relationnel résultant de lacomposition parallèle vraie-concurrence minimale.

Notons par Rvn le processus P�Q.

Rvn


P Q P � Q

= h P Q est déterminé à l'exemple 5.11 et y est noté Re & P � Qest déterminé à l'exemple 5.24 et y est noté Rmn i

Re Rmn

= h dé�nition 5.1 & tous calculs faits i

((Pfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

; Qfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

; Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg


;

Rfc;p;x;y;t;zgfc;p;y;tg

);�P u�Q; fp; c; yg;??; ;).

où Pfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

; Qfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

;�P et�Q sont donnés dans l'exemple 5.11et les autres termes sont donnés à l'exemple 5.24. La relation R

fc;p;x;ygfc;p;y;zgest omise

car elle est vide.

Par ailleurs, en considérant que notre système est formé de P et Q et rien d'autre

et que l'ensemble universel U est égal à fc; p; x; y; z; tg, la relation associée à Rvn est

Rvn

= h proposition 5.4 & Re est la relation associée à P Q calculée àl'exemple 5.11 & Rmn est la relation associée à P � Q calculée àl'exemple 5.24 i


Re t Rmn

= h en remplaçant Re et Rmn par leurs valeurs & tous calculs faits i

f c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z

^ t0 = t_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y) ^ t0 = t_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = f(t; z)_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0


^ z0 = z_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ t0 = f(z; t) ^ x0 = x ^ z0 = z g.

La �gure 5.8 illustre le résultat de la composition parallèle vraie-concurrence minimaledu producteur et du consommateur. Nous remarquons que nous avons le même nombred'arcs que de termes dans la relation Rvn. Dans cette dernière, les variables de sortienon contrôlées sont préservées.

5.4.2 Composition parallèle vraie-concurrence maximale

En utilisant les opérateurs et �, la dé�nition suivante introduit la compositionparallèle vraie-concurrence maximale.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels. La composition parallèle vraie-concurrence maximale deP et Q, notée P�Q, est telle que

P�Q�= P Q P � Q:

2

Nous avons montré que P � Q est un processus relationnel si P et Q sont des processusrelationnels. Alors, d'après le corollaire 5.36, P�Q est un processus relationnel.

D'après la proposition 5.28, la proposition 5.32 (ces deux propositions indiquentque � est commutatif, associatif et se distribue sur ) et la proposition 5.38, nousavons le corollaire suivant.

(5.43) Corollaire. L'opérateur de composition parallèle vraie-concurrence maximale� est commutatif, associatif et se distribue sur .


@@Ry=nil

��

c = 1^

p = 1 ��

c = 1^

p = 2

��

c = 2^

p = 1 ��

c = 2^

p = 2

� �-

� �-

�

�

6

�

�

6

(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fc;yg;q;fc;y;zg)


(fc;yg;q;fc;y;zg)


�

�

? ?

@@@@@@R

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@I

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

��

��

��

��

��

��

��

��

(fc; p; x; y; t; zg; qmn ; fc; p; y; tg) (f

c;p;t;zg; m

mn; fc;p;x;tg)

(fc; p; yg; nmn ; fc; p; x; y; zg)


nmn�= x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

mmn�= x0 = ? ^ t0 = f(z; t)

qmn�= jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)

Figure 5.8: Illustration du système obtenu par la composition parallèle vraie-concurrence minimale du producteur et du consommateur


(5.44) Exemple. L'illustration continue avec l'exemple 5.11 (l'exemple du producteuret du consommateur). Nous allons déterminer le processus relationnel résultant de lacomposition parallèle vraie-concurrence maximale.

Notons par Rvx le processus P�Q.

Rvx


P Q P � Q

= h P Q est déterminé à l'exemple 5.11 et y est noté Re & P � Qest déterminé à l'exemple 5.33 et y est noté Rmx i

Re Rmx

= h dé�nition 5.1 & tous calculs faits i

((Pfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

; Qfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

; Rfc;p;ygfc;p;x;y;zg


;

Rfc;p;x;ygfc;p;y;zg


);�P u�Q; fp; c; yg;??; ;).

où Pfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

; Qfc;ygfc;y;zg

; Qfc;t;zgfc;tg

;�P et�Q sont donnés dans l'exemple 5.11et les autres termes sont donnés à l'exemple 5.33.

Par ailleurs, en considérant que notre système est formé de P et Q et rien d'autre

et que l'ensemble universel U est égal à fc; p; x; y; z; tg, la relation associée à Rvx est

Rvx

= h proposition 5.4 & Re est la relation associée à P Q calculée àl'exemple 5.11 & Rmx est la relation associée à P � Q calculée àl'exemple 5.33 i

Re t Rmx

= h en remplaçant Re et Rmx par leurs valeurs & tous calculs faits i

f c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z

^ t0 = t_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y) ^ t0 = t_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = f(t; z)_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ jyj > 0


^ z0 = z_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ jyj > 0

^ z0 = tête(y) ^ x0 = x ^ t0 = t_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ t0 = f(z; t) ^ x0 = x ^ z0 = z g.

La �gure 5.9 illustre le résultat de la composition parallèle vraie-concurrence maxi-male du producteur et du consommateur.


@@Ry=nil

��

c = 1^

p = 1 ��

c = 1^

p = 2

��

c = 2^

p = 1 ��

c = 2^

p = 2

� �-

� �-

�

�

6

�

�

6

(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fpg; x0 = ? ; fp; xg)


(fc;yg;q;fc;y;zg)


(fc;yg;q;fc;y;zg)


�

�

? ?

@@@@@@R

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@I

@@@@@@@@@@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

(fc; p; x; y; t; zg; qmx ; fc; p; y; tg) (f

c;p;t;zg; m

mx; fc;p;x;tg)

(fc; p; yg; nmx ; fc; p; x; y; zg)(f

c;p;x;yg; omx; fc;p;y;zg)


nmx�= nmn

�= x0 = ? ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)

mmx�= mmn

�= x0 = ? ^ t0 = f(z; t)

omx�= jyj < N ^ jyj > 0 ^ z0 = tête(y)

qmx�= qmn

�= jyj < N ^ y0 = y � x ^ t0 = f(z; t)

Figure 5.9: Illustration du système obtenu par la composition parallèle vraie-concurrence maximale du producteur et du consommateur


5.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté des opérateurs relationnels modélisant la con-currence. Le premier opérateur réduit la concurrence à l'entrelacement. Le deuxièmeramène la concurrence au synchronisme total. Le troisième traduit la vraie concurrence.Ce dernier est exprimé uniquement grâce aux opérateurs précédents, ce que, dans lalittérature, nous n'avons pas rencontré exprimé aussi clairement et directement. Cesopérateurs sont commutatifs et associatifs ce qui permet une facilité de calcul. En e�et,par exemple, l'associativité permet, quand il s'agit de déterminer la composition paral-lèle de plusieurs processus relationnels, de procéder à la composition parallèle des pro-cessus dans n'importe quel ordre. Les opérateurs de composition parallèle totalementsynchrone et ceux de la vraie concurrence, présentés dans ce chapitre, se distribuentsur la composition parallèle entrelaçante, ce qui permet aisément, dans les limites dela complexité du système étudié, de réaliser le calcul de systèmes complexes dans les-quels on peut rencontrer des concurrences se modélisant par les di�érents opérateursprésentés ici.

La concurrence entre systèmes peut se présenter de di�érentes manières. Par exem-ple, dans le cas où plusieurs processus sont exécutés par un seul processeur, nous savonsque ce processeur ne peut exécuter qu'une action à la fois. Ainsi, nous pouvons avoirune vue globale du système en prenant la composition parallèle entrelaçante. Si, parcontre, nous disposons de processus synchrones, nous avons à choisir parmi les deuxopérateurs de composition parallèle totalement synchrone présentés. Ce choix dépendde la nature des opérateurs du système. À titre d'exemple, considérons que nous dispo-sons de deux processus qui sont destinés à contrôler des feux de circulation. Si les deuxprocessus s'entendent sur le fait que la lumière doit être verte, nous ne courons pasde risque si nous prenons, lors de la modélisation du système, cette action comme uneaction du système global, ce que fait l'opérateur de composition parallèle totalementsynchrone minimale. Par contre, si l'un requiert qu'elle soit verte et l'autre exige qu'ellesoit rouge, aucune de ces deux actions n'est prise, ce que fait également l'opérateur decomposition parallèle totalement synchrone minimale. Dans ce dernier cas, le concep-teur, a�n de remédier à cette incohérence, doit examiner la situation et doit changer lamodélisation de l'un des deux processus. L'opérateur de composition parallèle totale-ment synchrone maximale est plus �mé�ant � que l'opérateur de composition parallèletotalement synchrone minimale. En e�et, à chaque fois qu'il y a con�it sur une variable(modélisant une ressource), il indique qu'il y a un problème d'interférence en rendantl'état de cette variable indéterminé, ce qui doit alerter le concepteur (ou le véri�cateur)d'un problème de con�it. C'est ce dernier qui jugera de la nécessité d'installer les mé-canismes appropriés pour la gestion de la ressource de laquelle origine le con�it. Dansle cas où, dans le système global, nous sommes en présence d'actions qui sont libresde s'exécuter seules ou accompagnées d'autres actions, seule la composition parallèlevraie-concurrence peut donner une vue globale se rapprochant de la réalité. Commela composition parallèle vraie-concurrence s'exprime en fonction du totalement syn-chrone, la nature des actions concurrentes (par exemple, si les actions sont de naturetelle qu'elles peuvent partager les ressources) nous impose de prendre l'opérateur decomposition parallèle totalement synchrone qui re�ète cette nature a�n d'exprimer la


vraie concurrence.Les opérateurs présentés dans ce chapitre dépassent la simple description syntaxique

des systèmes modélisés en révélant des situations de con�it ou de blocage auxquellesnous avons fait allusion, quoique rapidement, dans les exemples traités. Également,l'approche présentée dans ce chapitre va au-delà de la concurrence uniforme dans la-quelle les processus (entités physiques) étudiés exécutent des actions a; b; c; : : : qui nesont pas sujettes à d'autres investigations [96].

Dans le but d'atteindre l'objectif ultime de cette thèse, à savoir présenter une ap-proche relationnelle à la résolution de l'équation d'interface, nous venons par ce chapitrede présenter les opérateurs relationnels modélisant la composition parallèle. Certainsde ces opérateurs sont utilisés dans des variantes de l'équation d'interface qui sont à so-lutionner. Dans le chapitre suivant, nous présentons les simulations et les bisimulationsdans un cadre relationnel.

Chapitre 6

Simulations et bisimulations : uneapproche relationnelle

6.1 Introduction

La simulation et la bisimulation sont des notions centrales dans le domaine de la véri-�cation et de la description des systèmes concurrents. Généralement, la deuxième estdé�nie à partir de la première. Dans ce chapitre, nous présentons un abord relationnelde ces notions envue de les utiliser pour formuler et résoudre des variantes de l'équationd'interface.

La littérature de la concurrence met davantage l'accent sur les bisimulations que surles simulations vu l'importance pratique des premières. Elle abonde de di�érentes sortesde bisimulations. Ces bisimulations sont dé�nies comme des relations d'équivalence. Leséquivalences peuvent être dé�nies de di�érentes manières, selon le formalisme de des-cription sur lequel elles se basent. Par exemple, l'équivalence de traces a été dé�niepour les automates, les équivalences d'empressement (� readiness �) et d'échecs pourCSP de Hoare, la bisimulation observable, la bisimulation arborescente (� branchingbisimulation �) et la bisimulation forte pour l'algèbre de processus CCS de Milner oupour ACP (�Algebra of Communicating Processes �).

Dans la littérature, nous trouvons une importante classe de modèles mathématiquesdans lesquels un processus ou un comportement d'un système est représenté commeune classe de congruence d'expressions écrites dans un langage de descriptions de sys-tèmes. Le langage de descriptions de systèmes le plus connu est le calcul des systèmescommunicants (CCS ) de Milner, et la congruence la plus connue sur les expressionsCCS est la congruence de bisimulation. Le choix de la congruence de bisimulation estmotivé à l'origine par une notion d'observation [95]. Cette notion est introduite parPark [70]. Cependant, depuis l'apparition de la congruence de bisimulation, plusieursnotions alternatives d'observabilité ou de scénarios de test ont été proposées. Toutesces notions mènent généralement à des congruences di�érentes.

Parmi les outils cruciaux dans les applications pratiques des formalismes de des-cription et de calcul des systèmes utilisés spécialement dans des buts de véri�cation,se distinguent les mécanismes d'abstraction et de généralisation. Étant donné l'usage

131

6. Simulations et bisimulations : une approche relationnelle 132

que nous en faisons dans la matière subséquente de ce chapitre, nous les introduisonsen discutant d'abord du sens de ces termes.

Examinons d'abord le mécanisme d'abstraction. Le sens essentiel du verbe � abs-traire � est l'isolation par le mental, et cela suggère l'existence d'une chose à isoler etl'existence de quelque chose de laquelle nous e�ectuons cette isolation. Whitehead [98]exprime l'abstraction comme suit : �Each mode of abstraction is directing attention tosomething which is in nature ; and thereby is isolating it for the purpose of contem-plation. �.

Dans ce sens, l'abstraction n'est pas du tout la suppression d'une partie du systèmeétudié. C'est simplement la focalisation de notre attention sur une partie ou un aspectde ce système que nous étudions pendant que nous négligeons de faire attention auxautres parties ou aspects. Aussi, nous pouvons faire une succession d'abstractions.

Le deuxième outil est le mécanisme de généralisation. C'est un mécanisme quiest très souvent confondu avec l'abstraction. La généralisation est un processus degroupement des unités en classes [1]. L'abstraction, au contraire, est un processus desélection en focalisant sur des unités. Ainsi, ces deux processus progressent dans deuxsens opposés : l'un regroupe et l'autre isole. On confond généralisation avec abstractioncar la première présuppose une opération d'abstraction. La raison pour laquelle lesgénéralisations présupposent au moins une abstraction implicite est simplement queles similarités présumées entre les membres d'une classe sont des traits communs quiconstituent une abstraction. Ainsi, la généralisation dépend des similarités que l'onpeut abstraire. Par conséquent, nous pouvons conclure que l'abstraction ne requiertpas nécessairement la généralisation.

La littérature confond souvent abstraction et généralisation. Ainsi, plusieurs au-teurs parlent de � niveaux d'abstraction � en voulant dire niveaux de généralisation.Du terme �niveaux d'abstraction �, nous devons comprendre l'action de sélectionnerde moins en moins de modules d'un système concret ou d'une situation concrète de ceuxà partir desquels nous avons commencé notre processus d'abstraction. Les niveaux degénéralisation, d'autre part, doivent référer à la conception de groupes d'individus deplus en plus larges ou de plus en plus inclusifs.

Quant à nous, nous utilisons le mot abstraction pour désigner � abstraction � ou� généralisation �. Cette uni�cation des deux mots sous le terme � abstraction � estjusti�ée dans notre contexte. En e�et, du fait que nous utilisons des relations, nouspouvons exprimer à la fois les abstractions et les généralisations. En e�et, une rela-tion peut être plus ou moins totale ou plus ou moins injective. Quand elle n'est pastotale, elle n'associe pas d'image à certains éléments de son ensemble de départ. Parconséquent, nous pouvons dire que de telles relations traduisent des abstractions dufait qu'elles laissent tomber des éléments de leur ensemble de départ. Quand la relationn'est pas injective, elle associe à des éléments di�érents de son ensemble de départ unemême image dans l'ensemble d'arrivée. Cela constitue une façon de représenter la géné-ralisation. Ainsi, dans cette thèse, nous écrivons � relation d'abstraction � et pour savoirsi le mécanisme traduit par cette relation est une abstraction ou une généralisation oules deux, il su�t de voir les propriétés de cette relation.

Prenons des exemples de certaines bisimulations rencontrées dans la littératureet essayons de déceler les abstractions et les généralisations qui sont faites. À ce su-


jet, regardons la bisimulation faible de Milner dans CCS, appelée aussi bisimulationd'observation. Par une opération de généralisation, nous regroupons toutes les actionsinvisibles dans une classe d'actions internes. Pour e�ectuer cette généralisation, nousavons focalisé notre attention sur le trait � interne � ou � externe � de l'action. C'estl'abstraction présumée dans l'opération de généralisation. Dans ce cas, nous devonsavoir conscience que nous faisons cette abstraction à partir d'un modèle abstrait qui afait, par exemple, des aspects métriques du système un résidu.

Nous avons mentionné que la littérature abonde de noms de bisimulations. Lesfacteurs qui engendrent cette diversité sont essentiellement les suivants :

1. le fait d'utiliser une sorte d'abstraction ou de généralisation plutôt qu'une autre ;

2. le fait d'utiliser une représentation modèle d'un système plutôt qu'une autre.

En ce qui concerne le premier point, les premiers e�orts d'abstraction et de gé-néralisation nécessaires à l'étude des systèmes concurrents sont ceux de la modélisa-tion de la concurrence. Ce fait apparaît bien dans la littérature. En e�et, en CCS,en faisant abstraction des actions internes (ici l'abstraction est prise dans le sens defocaliser l'attention sur une partie ou un aspect du système), nous obtenons la bisi-mulation forte. Dans cette bisimulation, l'attention est focalisée sur toutes les actionsdu système, qu'il s'agisse d'actions internes ou d'actions externes. En ajoutant à cetteabstraction la généralisation qui consiste à regrouper ces actions internes résidues del'abstraction précédente, nous aboutissons à la bisimulation faible. Nous notons quecette abstraction et cette généralisation re�ètent notre intérêt pour les actions externesdu système et notre absence d'intérêt pour les actions internes.

De même, dans [68], et dans une extension de CCS qui est le �-calcul, les auteursparlent de bisimulation ultérieure, qui est obtenue en faisant une abstraction des actionsd'entrée liées (� bound-input actions �), et ils parlent de la bisimulation antérieure enfaisant une abstraction des actions d'entrée libres (� free-input actions �).

La bisimulation de saut, rencontrée dans [27], est une bisimulation qui ne tient pascompte des états intermédiaires. Ainsi, nous faisons une abstraction telle que les étatsintermédiaires sont considérés comme un résidu.

De même, la bisimulation arrière-avant, introduite sur les graphes pour la premièrefois dans [25], est le résultat d'un certain nombre d'abstractions et de généralisations.Cette bisimulation exige non seulement que les agents (ou processus) se simulent mu-tuellement dans la direction avant, mais aussi que chacun simule l'autre en reculantdans l'historique. Dans [19], la bisimulation arrière-avant mène à une nouvelle carac-térisation de la bisimulation arborescente.

Concernant le deuxième point (le fait d'utiliser une représentation modèle d'unsystème plutôt qu'une autre), nous trouvons que dans un même modèle de concurrence,nous pouvons distinguer plusieurs bisimulations. La di�érence entre ces bisimulations neréside pas dans la généralisation e�ectuée ou l'abstraction adoptée, mais dans le modede représentation du système dans ce modèle. Par exemple, le fait qu'une représentationréduise l'aspect temporel à une vue linéaire du temps et qu'une autre adopte unevision arborescente du temps engendre des façons di�érentes d'établir l'équivalenceentre les systèmes [96]. À ce sujet, dans le modèle entrelaçant, nous pouvons représenter


le système par un système de transitions, par un automate, par un terme (cas deCCS ), etc.

Les points présentés ci-dessus sont essentiellement les éléments qui expliquent unegrande partie de cette diversité de bisimulations qu'on rencontre dans la littérature. Ily en a d'autres tel que le comportement des systèmes vis-à-vis des scénarios de test,pour n'en nommer qu'un. Nous avons trouvé dans les travaux de R.J. van Glabbeek [96]une étude comparative des sémantiques de plusieurs bisimulations. Cependant, vu lenombre de bisimulations nouvellement introduites dans la littérature au cours de cesdernières années, il nous semble qu'une nouvelle étude comparative sur les bisimulationsserait utile pour voir clair dans ces di�érentes notions.

La diversité de bisimulations engendre l'attribution de noms di�érents à des no-tions identiques. En e�et, nous trouvons dans [51] une bisimulation appelée branL-bisimulation qui est une équivalence entre les systèmes de transitions. Cette bisimula-tion est équivalente à la bisimulation forte au sens de [66]. Ainsi, la même notion estexprimée en des termes di�érents.

Pour éviter cette variété de noms, nous suggérons l'usage d'une terminologie mathé-matique précise et l'utilisation des mathématiques � traditionnelles � à cet e�et. Ainsi,plusieurs termes, nouvellement introduits, se trouvent remplacés par une ou plusieurspropriétés d'entités mathématiques. Ce chapitre aborde les simulations et les bisimu-lations dans cette direction.

Dans la prochaine section, nous introduisons quatre formes de simulation et nousmontrons les liens entre elles. Dans la section d'après, nous étudions une simulationparmi ces quatre : la L-simulation. En nous basant sur cette dernière, nous introduisonsdans la quatrième section la L-bisimulation. Dans la cinquième section, nous décrivonsbrièvement un logiciel que nous avons utilisé pour traiter des exemples particuliers. Àla dernière section, nous récapitulons les principaux résultats de ce chapitre.

6.2 Les simulations

6.2.1 Dé�nitions et liens entre les simulations

Le schéma 6.1 illustre deux relations P , Q et un lien � entre elles. Ce lien est une re-lation qui permet de passer de P à Q en faisant des abstractions sur P . Cette relation� est dite relation d'abstraction. Le diagramme de la �gure 6.1, indiquant que Q estobtenue de P par une abstraction donnée par une relation �, peut commuter de dixfaçons équivalentes deux à deux, ce qui fait cinq façons di�érentes. Une de ces cinq necompare pas P à Q, ce qui la rend non intéressante. En somme, le diagramme de la�gure 6.1 commute de quatre façons di�érentes permettant de comparer P à Q. Cescommutations sont données dans la �gure 6.2. Nous notons que cette �gure est prisede [26]. Dans ce document, nous trouvons également que l'exactitude (� correctness �)de l'implémentation d'un programmeQ par un programme P signi�e que le diagrammede la �gure 6.1 peut commuter de quatres façons. Chacune de ces commutations re-�ète une variante de simulation avec laquelle P simule Q par rapport à la relationd'abstraction. La dé�nition suivante introduit ces simulations.


-

6 6

-

P

Q

� �

Figure 6.1: Diagramme ayant quatre façons intéressantes de commuter

(6.1) Dé�nition. Soient �; P et Q des relations. Nous dé�nissons sur l'ensemble desrelations les relations -̀; --; -a et -� de la manière suivante :

(a) P -̀�Q () �` ; P ; � v Q,

(b) P --�Q () �` ; P v Q ; �`,

(c) P -a �Q () P v � ; Q ; �`,

(d) P -��Q () P ; � v � ; Q.

Nous disons, respectivement, P U-simule Q, P L-simule Q, P U�1-simule Q et PL�1-simule Q par rapport à �. La relation �, dans tous ces cas, est dite relation d'abs-traction. 2

La nomenclature utilisée dans la dé�nition précédente est celle de de Roever etal. [26]. La relation � est dite relation d'abstraction car elle fait correspondre les élé-ments de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée de P (totalement ou partiel-lement) aux éléments de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée de Q. Cettecorrespondance peut être vue comme une généralisation ou une abstraction selon le senspré-discuté. Comme nous l'avons mentionné, du fait que nous utilisons des relations,nous n'avons pas à distinguer entre les deux termes et par convention nous utilisons leterme � abstraction � pour les deux notions.

(6.2) Exemples. Soient

P = f(a; c); (b; d)g;

Q = f(1; 3); (2; 4)g;

� = f(a; 1); (c; 3); (d; 4)g;

� = f(a; 1)g

et


6

-

6

- -6

v

U -simulation

P

Q

� � 6

-

6

-

-?v

L-simulation

P

Q

� �

-

6 6

-

-?v

U�1-simulation

P

Q

� �

-

6 6

- -6

v

L�1-simulation

P

Q

� �

Figure 6.2: Les quatre façons de commuter

� = f(a; 1); (c; 3)g:

Nous avons P --� Q. En e�et,

�` ; P = f(1; a); (3; c); (4; d)g ; f(a; c); (b; d)g = f(1; c)g

et

Q ; �` = f(1; 3); (2; 4)g ; f(1; a); (3; c); (4; d)g = f(1; c); (2; d)g:

Donc, �` ; P v Q ; �`. Ainsi, par la dé�nition 6.1(b), P --� Q. Cependant, nous n'avonspas P --�Q. En e�et,

�` ; P = f(1; a)g ; f(a; c); (b; d)g = f(1; c)g

et

Q ; �` = f(1; 3); (2; 4)g ; f(1; a)g = ??:

Par conséquent,

�` ; P 6v Q ; �`:

Concernant la U-simulation, nous montrons que P -̀� Q.

�` ; P ; �= f(1; a); (3; c)g ; f(a; c); (b; d)g ; f(a; 1); (c; 3)g

= f(1; c)g ; f(a; 1); (c; 3)g

= f(1; 3)g

v Q.


La proposition suivante montre que quand � est totale et déterministe, alors toutesles simulations introduites par la dé�nition 6.1 sont équivalentes. La preuve de cetteproposition se trouve également dans [26]. Nous préférons présenter une preuve baséesur les résultats des chapitres antérieurs de cette thèse.

(6.3) Proposition. Soit � une relation totale et déterministe (i.e. � est une applica-tion). Soient P et Q deux relations. Nous avons alors

P -̀� Q () P --�Q () P -a �Q () P -�� Q:

Démonstration.

P -̀� Q


�` ; P ; � v Q

=) h théorème 2.4(18) i

�` ; P ; � ; �` v Q ; �`

=) h Iv � ; �` (� est totale) i

�` ; P v Q ; �`


P --� Q

=) h théorème 2.4(17) & dé�nition 6.1(b) i

� ; �` ; P v � ; Q ; �`

=) h Iv � ; �` (� est totale) i

P v � ; Q ; �`

() h dé�nition 6.1(c) i

P -a � Q

=) h théorème 2.4(18) & dé�nition 6.1(c) i

P ; � v � ; Q ; �` ; �

=) h �` ; � v I (� est déterministe) i

P ; � v � ; Q

() h dé�nition 6.1(d) i

P -�� Q

=) h théorème 2.4(17) & dé�nition 6.1(d) i

�` ; P ; � v �` ; � ; Q

=) h �` ; � v I (� est déterministe) i

�` ; P ; � v Q


P -̀� Q 2

Nous constatons que dans la première partie de la preuve, nous avons utilisé seulement


U�1-simule U-simule

L-simule

L�1-simule

=)=)

=)

=)

� est déterministe

U-simule U�1-simule

L-simule

L�1-simule

=)=)

=)

=)

� est totale

Figure 6.3: Diagrammes donnant des liens entre les simulations

la totalité de � et que dans la deuxième partie, uniquement le déterminisme de � estutilisé. C'est pourquoi, nous pouvons écrire

� totale =) (P -̀� Q =) P --� Q =) P -a �Q)

et

� déterministe =) (P -a �Q =) P -�� Q =) P -̀� Q):

De la même manière que pour la preuve précédente, nous pouvons prouver que

� totale =) (P -̀� Q =) P -�� Q =) P -a �Q)

et que

� déterministe =) (P -a �Q =) P --� Q =) P -̀� Q):

Ainsi, nous obtenons les diagrammes de la �gure 6.3, qui donnent les liens entre lessimulations.

Dans la littérature, la L-simulation est souvent nommée simulation avant (� forwardsimulation � ou �downward simulation � ). La L�1-simulation est désignée dans certainstravaux par simulation arrière (� backward simulation � ou �upward simulation � ). Laproposition suivante montre la dualité entre la L-simulation et la L�1-simulation.

(6.4) Proposition.

P --� Q () P` -��Q`

Démonstration.

P --� Q


�` ; P v Q ; �`


P` ; � v � ; Q`


P` -�� Q`


La L-simulation et la L�1-simulation engendrent des bisimulations très proches dece qu'on rencontre dans la littérature. Dans la matière subséquente, nous abandonnonsla U-simulation et la U�1-simulation. De même, vu la dualité entre la L-simulation etla L�1-simulation, énoncée par la proposition 6.4, nous ne traitons que la L-simulation.Tous les résultats ainsi obtenus pour cette dernière s'obtiennent par dualité pour laL�1-simulation.

6.3 Étude de la L-simulation

La proposition suivante fait le lien entre P L-simule Q par rapport à � et P n L-simuleQn par rapport à la même relation �.

(6.5) Proposition. Soient P;Q et � des relations telles que P --� Q. Nous avons

^ (n : n � 1 : P n--� Qn ):

Démonstration. Nous donnons une preuve par induction.

� Prédicat d'induction

p(n) () (P n--� Qn)

� Base d'induction

P 1--�Q1 () P --�Q

� Étape d'induction

� Énoncé

^ (n : n � 1 : p(n) =) p(n+ 1) )

� Démonstration

�` ; P n+1

= h P n ; P = P n+1 i

�` ; P n ; P

v h hypothèse de l'étape d'induction (p(n)) & dé�nition 6.1(b)i

Qn ; �` ; P

v h base d'induction & dé�nition 6.1(b) i

Qn ; Q ; �`

= h Qn ; Q = Qn+1 i

Qn+1 ; �`

Donc, nous avons


^ (n : n � 1 : P n--�Qn ): 2

La proposition 6.6 énonce que dans le cas où P L-simule Q par rapport à �, lafermeture transitive de P L-simule la fermeture transitive de Q par rapport à �. Ainsi,cette proposition joint, dans ce contexte de simulation, les relations à leurs fermeturestransitives. La fermeture transitive permet d'exprimer, entre autres, la sémantique desprogrammes itératifs [63, 64, 87, 93].

(6.6) Proposition.

P --� Q =) P+--�Q+:

Démonstration.

�` ; P+

= h P+ = t(n : n � 1 : P n ) & théorème 2.4(8) i

t(n : n � 1 : �` ; P n )

v h proposition 6.5 i

t(n : n � 1 : Qn ; �` )


t(n : n � 1 : Qn ) ; �`

= h Q+ = t(n : n � 1 : Qn ) i

Q+ ; �` 2

La proposition suivante prépare à l'énoncé de la proposition 6.8 qui la suit.

(6.7) Proposition. Soient P;Q et X des relations. Soit

f(X)�= P`n(X ; Q`):

La fonction f est monotone et elle admet un plus grand point �xe et un plus petit point�xe.

Démonstration. Supposons que X v Y .

Z v f(X)

() h dé�nition de f i

Z v P`n(X ; Q`)


P` ; Z v X ; Q`

=) h hypothèse (X v Y ) & théorème 2.4(20) i

P` ; Z v Y ; Q`


Z v P`n(Y ; Q`)

() h dé�nition de f i

Z v f(Y )


En posant Z = f(X), nous obtenons f(X) v f(Y ). Ainsi, d'après la dé�nition 2.19(f),la fonction f est monotone. D'après la dé�nition 2.3, l'algèbre est complète. Donc,d'après le théorème 2.20 et 2.21(a, b) concernant les points �xes, la fonction f admetun plus grand point �xe �(f) et un plus petit point �xe �(f). 2

Par la proposition suivante, nous donnons une dé�nition alternative de la L-simu-lation.


f(X)�= P`n(X ; Q`):

La relation � est un point post�xe de f ssi P --�Q.

Démonstration.

P --� Q


�` ; P v Q ; �`


P` ; � v � ; Q`


� v P`n(� ; Q`)

() h f(X) = P`n(X ; Q`) i

� v f(�)


� est un point post�xe de f2

Comme cas particulier de la proposition précédente, nous avons le résultat énoncépar le corollaire suivant.

(6.9) Corollaire. Soit f(X)�= P`n(X ; Q`). Nous avons P --�(f) Q: 2

Nous remarquons qu'il est facile de démontrer que nous avons

P --�1Q ^ Q--�2

R =) P --(�1 ; �2)R:

6.3.1 Application aux processus relationnels

Dans cette sous-section, nous appliquons les résultats qui précèdent aux systèmes mo-délisés par des processus relationnels. L'application de ces résultats peut se faire dedi�érentes façons. Nous en présentons une qui nous semble directe et nous indiquonsle chemin vers d'autres formes de simulation entre processus relationnels.



P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels ayant P et Q comme relations associées, respectivement.

P --�Q () P --� Q ^ �P; � v >> ;�Q ^ !P

; � v >> ;!Q: 2

Comme nous dé�nissons la simulation entre processus relationnels à partir de leursrelations associées, alors nous pouvons dire que cette notion de simulation compare dessystèmes fermés.

Cette dé�nition impose trois conditions nécessaires et su�santes à ce qu'un pro-cessus P L-simule un processus Q par rapport à une relation �. La première imposeque la relation associée à P L-simule la relation associée à Q et cela par rapport à �.Pour plusieurs raisons, cette condition toute seule n'est pas su�sante pour traduirela L-simulation (simulation avant) entre P et Q. Parmi ces raisons, nous citons le faitque la relation associée est dérivée de la famille de relations du processus relationnel etqu'elle ne représente ni la relation d'entrée ni la relation de sortie, ce qui constitue unetraduction d'une partie du processus relationnel. Ainsi, des conditions sur les relationsd'entrée et de sortie (� et !) sont nécessaires. Autrement, nous pouvons avoir unprocessus relationnel Q ayant par exemple une relation vide comme relation d'entrée(n'a pas d'état d'où il peut commencer son exécution), être simulé par un processusP ayant une relation d'entrée non vide. De telles raisons font que nous imposons deuxconditions autres que celle qui relie les relations associées des deux processus P et Q.Ces deux conditions indiquent que tout état de la relation d'entrée (de sortie) de Pdoit avoir ses correspondants par � dans la relation d'entrée (de sortie) du processusrelationnel simulé Q.

Il semblerait peut-être que cette dé�nition n'impose pas de contraintes sur EP , FP ,EQ et FQ. Or, d'après la dé�nition 4.1(b, c), nous avons pour un processus relationnelP,

�P = �EP

;�P; �

EPu I

et

!P = �FP

;!P; �

FPu I:

Étant donné que�P et !P sont contraintes, alors EP ; FP ; EQ et FQ sont contraintes.Cette dé�nition n'est pas l'unique dé�nition possible. Nous pouvons imaginer d'au-

tres dé�nitions qui, au lieu de comparer les relations associées des deux processus,comparent les éléments des deux familles de relations ainsi que les ressources utili-sées. De telles dé�nitions donneraient des notions de simulation qui compareraient lesprocessus considérés comme systèmes ouverts.


@@R @@R

��v ��

��r

��n ��

��j ��

��b

@@R@

@@

@@@

��

��

�

� -

�

� -

v�= signal-couleur = vert b

�= signal-couleur = bleu

j�= signal-couleur = jaune r

�= signal-couleur = rouge

n�= signal-couleur = noir

Figure 6.4: Illustration du processus relationnel P de l'exemple 6.11

@@R

��g ��

��b ��

��n-

� �-

� �

g�= signal-n-b = gris n

�= signal-n-b = noir

b�= signal-n-b = blanc

Figure 6.5: Illustration du processus relationnel Q de l'exemple 6.11

(6.11) Exemple. Soient

P = (fPfsignal-couleurgfsignal-couleurgg;�P ; fsignal-couleurg;??; ;)

et

Q = (fQfsignal-n-bgfsignal-n-bgg;�Q; fsignal-n-bg;??; ;)

deux processus relationnels où

�P = fsignal-couleur = vert _ signal-couleur = rouge g u I

et

�Q = fsignal-n-b = gris g u I:

Le processus P est illustré dans la �gure 6.4 et le processus Q est illustré dans la �-gure 6.5. Nous signalons que la variable signal-couleur prend ses valeurs dans l'ensembledes couleurs. Quant à la variable signal-n-b, elle prend ses valeurs dans l'ensemble

fblanc; noir; grisg:

Soient P etQ les relations associées respectivement à ces deux processus relationnels

(sur UP = fsignal-couleurg et UQ = fsignal-n-bg, respectivement) telles que


P = fsignal-couleur = vert ^ signal-couleur 0 = jaune

_ signal-couleur = rouge ^ signal-couleur 0 = jaune

_ signal-couleur = jaune ^ signal-couleur 0 = noir

_ signal-couleur = jaune ^ signal-couleur 0 = bleu

_ signal-couleur = noir ^ signal-couleur 0 = jaune

_ signal-couleur = bleu ^ signal-couleur 0 = jaune g,

Q = fsignal-n-b = gris ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-n-b = blanc ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-n-b = noir ^ signal-n-b0 = blanc g.

Supposons que nous avons une idée sur l'abstraction faite pour passer de P à Q. Préci-sément, nous savons que l'abstraction à faire est d'associer la variable signal-couleur àla variable signal-n-b et d'associer les valeurs de la première aux valeurs de la deuxièmede la manière suivante :

� aux couleurs pâles on associe le blanc ;

� aux couleurs foncées on associe le noir ;

� aux couleurs entre le pâle et le foncé on associe le gris.

Nous pouvons ainsi écrire la relation d'abstraction � suivante. Nous remarquons que

nous nous sommes restreint, dans la formulation de �, aux couleurs pertinentes à notre

exemple.

� = fsignal-couleur = jaune ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = blanc ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = rouge ^ signal-n-b0 = gris

_ signal-couleur = vert ^ signal-n-b0 = gris

_ signal-couleur = bleu ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = marron ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = noir ^ signal-n-b0 = noir g

Puisque � associe à plusieurs éléments de son ensemble de départ un seul élément de sonensemble d'arrivée, elle constitue une généralisation au sens discuté dans l'introductionde ce chapitre. Cette généralisation présuppose trois abstractions (également, au sensprédiscuté) sur les valeurs de la variable signal-couleur . Une première qui fait descouleurs non pâles un résidu, une deuxième qui fait des couleurs non foncées un résiduet en�n une troisième qui fait des couleurs foncées et pâles un résidu et garde lescouleurs entre les deux.

Véri�ons si P --�Q. Pour ce faire, nous véri�ons la condition

P --�Q ^ �P; � v >> ;�Q ^ !P

; � v >> ;!Q:


�` = fsignal-n-b = blanc ^ signal-couleur 0 = jaune

_ signal-n-b = blanc ^ signal-couleur 0 = blanc

_ signal-n-b = gris ^ signal-couleur 0 = rouge

_ signal-n-b = gris ^ signal-couleur 0 = vert

_ signal-n-b = noir ^ signal-couleur 0 = bleu

_ signal-n-b = noir ^ signal-couleur 0 = marron

_ signal-n-b = noir ^ signal-couleur 0 = noir g

�` ; P = fsignal-n-b = blanc ^ (signal-couleur 0 = noir

_ signal-couleur 0 = bleu)

_ signal-n-b = gris ^ signal-couleur 0 = jaune

_ signal-n-b = noir ^ signal-couleur 0 = jaune g

Q ; �` = fsignal-n-b = gris ^ (signal-couleur 0 = jaune

_ signal-couleur 0 = blanc)

_ signal-n-b = blanc ^ (signal-couleur 0 = bleu

_ signal-couleur 0 = marron _ signal-couleur 0 = noir)

_ signal-n-b = noir ^ (signal-couleur 0 = jaune

_ signal-couleur 0 = blanc) g

Ainsi, nous avons

�` ; P v Q ; �`:

D'où nous obtenons P --� Q.

Sur l'ensemble UP = fsignal-couleurg et UQ = fsignal-n-bg, nous avons

�P = fsignal-couleur = vert ^ signal-couleur 0 = vert

_ signal-couleur = rouge ^ signal-couleur 0 = rouge g,

�Q = fsignal-n-b = gris ^ signal-n-b0 = gris g.

Véri�ons maintenant les conditions sur les relations d'entrée et les relations de

sortie. Tous calculs faits, nous obtenons

�`

P; � = fsignal-couleur = vert ^ signal-n-b0 = gris

_ signal-couleur = rouge ^ signal-n-b0 = gris g

et

>> ;�Q = fsignal-n-b0 = gris g.


Ainsi,�P; � v >> ;�Q. Quant à la condition!P

; � v >> ;!Q, elle est véri�ée dufait que !P = ?? et !Q = ??.

En somme, nous avons P --�Q. 2

En nous basant sur la notion de simulation entre processus relationnels donnéepar la dé�nition 6.10, nous pouvons dé�nir d'autres notions de simulation. À titred'exemples, nous pouvons dé�nir les simulations données par les deux équations 6.12et 6.13 suivantes.

(6.12) P --(R;k)

� Q () (P k R)--� (Q k R)

Plus généralement, nous pouvons écrire

(6.13) P --(R;p;k)

� Q () ^�R : p(R) : (P k R)--� (Q k R)

�

où k est un opérateur de composition parallèle (peut être , �, �, � , � ou autres)et p est un prédicat caractérisant un ensemble d'environnements dans lesquels P et Qpeuvent s'exécuter. Ces équations dé�nissent des notions de simulation basées sur lecomportement de P et de Q dans un ou plusieurs environnements décrits par R. Leprocessus relationnel R peut être vu également comme un scénario de test.

6.4 La L-bisimulation

Dans cette section, nous commençons par introduire la L-bisimulation. Ensuite, nousdémontrons quelques-unes de ses propriétés. En�n, nous appliquons cette notion debisimulation entre relations aux processus relationnels.

6.4.1 Dé�nition et propriétés

Par la dé�nition suivante, nous introduisons la L-bisimulation entre relations en utili-sant la L-simulation.

(6.14) Dé�nition. Soient P;Q et � des relations.

P u-�Q () P --� Q ^ Q--�` P :

Nous disons que P L-bisimule Q par rapport à � lorsque P u-�Q. 2

(6.15) Exemples. Soient

P = f(a; c); (b; d)g;

Q = f(1; 3); (2; 4)g;

� = f(a; 1); (c; 3); (d; 4)g:


Nous avons montré dans l'exemple 6.2 que P --�Q. Pour véri�er que P u-� Q, il resteà examiner si Q--�` P . D'après la dé�nition 6.1(b) et le théorème 2.4(26), nous avonsQ--�` P () � ; Q v P ; �.

� ; Q = f(a; 1); (c; 3); (d; 4)g ; f(1; 3); (2; 4)g = f(a; 3)g

et

P ; � = f(a; c); (b; d)g ; f(a; 1); (c; 3); (d; 4)g = f(a; 3); (b; 4)g:

Ainsi, � ; Q v P ; �. Ce qui veut dire que Q--�` P . En somme, P u-�Q.Si nous prenons

R = f(1; 3); (1; 4)g

et

� = f(a; 1); (b; 1); (c; 3); (d; 4)g;

alors dans ce cas P --�R mais nous n'avons pas R--�` P . En e�et, d'un côté,

�` ; P = f(1; a); (1; b); (3; c); (4; d)g ; f(a; c); (b; d)g = f(1; c); (1; d)g

et

R ; �` = f(1; 3); (1; 4)g ; f(1; a); (1; b); (3; c); (4; d)g = f(1; c); (1; d)g:

Ainsi, �` ; P v R ; �` d'où P --�R. D'un autre côté,

� ; R = f(a; 1); (b; 1); (c; 3); (d; 4)g ; f(1; 3); (1; 4)g = f(a; 3); (a; 4); (b; 3); (b; 4)g

et

P ; � = f(a; c); (b; d)g ; f(a; 1); (b; 1); (c; 3); (d; 4)g = f(a; 3); (b; 4)g;

ce qui fait que � ; R 6v P ; �. Donc, P ne L-simule pas R par rapport à �. 2

La proposition suivante déduit de la dé�nition 6.14 que quand la relation d'abstrac-tion est l'identité, la L-bisimulation est équivalente à l'égalité relationnelle.

(6.16) Proposition.

P u-IQ () P = Q:

Démonstration.


P u-IQ

() h dé�nition 6.14 & dé�nition 6.1(b) i

I` ; P v Q ; I

` ^ I ;Q v P ; I

() h I` = I & I ;R = R ; I= R i

P v Q v P

()

P = Q2

A�n de préparer l'introduction d'une dé�nition alternative à la dé�nition 6.14 qui sebase sur la notion des points �xes, nous donnons la proposition 6.17.


g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q u R:

La fonction g est monotone et elle admet un plus grand point �xe et un plus petit point�xe.

Démonstration. Supposons que X v Y .

Z v g(X)

() h dé�nition de g i

Z v P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q u R


Z v P`n(X ; Q`) ^ Z v (P ; X)=Q ^ Z v R

() h dé�nition 2.26(a, b) i

P` ; Z v X ; Q` ^ Z ; Q v P ; X ^ Z v R

=) h X v Y & théorème 2.4(17, 18) i

P` ; Z v Y ; Q` ^ Z ; Q v P ; Y ^ Z v R

() h dé�nition 2.26(a, b) i

Z v P`n(Y ; Q`) ^ Z v (P ; Y )=Q ^ Z v R


Z v P`n(Y ; Q`) u (P ; Y )=Q u R


Z v g(Y )

En posant Z = g(X), nous obtenons g(X) v g(Y ). Ainsi, d'après la dé�nition 2.19(f),la fonction g est monotone. D'après la dé�nition 2.3, l'algèbre est complète. Donc,d'après le théorème 2.20 et 2.21(a, b) concernant les points �xes, la fonction g admetun plus grand point �xe �(g) et un plus petit point �xe �(g). 2

La proposition suivante donne une dé�nition alternative de la L-bisimulation entredeux relations.



g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q:

La relation � est un point post�xe de g si et seulement si P u-�Q.

Démonstration.

P u-� Q

() h dé�nition 6.14 & dé�nition 6.1(b) & théorème 2.4(26) i

�` ; P v Q ; �` ^ � ; Q v P ; �


P` ; � v � ; Q` ^ � ; Q v P ; �

() h théorème 2.27(b) & théorème 2.27(a) i

� v P`n(� ; Q`) ^ � v (P ; �)=Q


� v P`n(� ; Q`) u (P ; �)=Q


� v g(�)

() h proposition 6.17 (en prenant dans cette proposition R = >>) &dé�nition 2.19(d) i

� est un point post�xe de g2

Comme cas particulier de la proposition précédente, nous avons

(6.19) P u-�(g) Q

où g(X) = P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q.La proposition 6.20 indique que dire que P L-bisimule Q par rapport à une relation

d'abstraction � revient à dire que Q L-bisimule P par rapport à la relation d'abstrac-tion �`.

(6.20) Proposition.

P u-� Q () Qu-�` P :


Démonstration.

P u-� Q


P --� Q ^ Q--�` P

() h théorème 2.4(26) & dé�nition 6.14 i

Qu-�` P 2

La proposition suivante indique que si P L-bisimule Q par rapport à � et que si RL-bisimule S par rapport à la même relation �, alors l'union de P et de R L-bisimulel'union de Q et de S par rapport à �.

(6.21) Proposition.

P u-� Q ^ Ru-� S =) (P t R)u-� (Q t S):

Démonstration.

P u-� Q ^ Ru-� S

() h dé�nition 6.14 & dé�nition 6.1(b) i

(�` ; P v Q ; �` ^ � ; Q v P ; �) ^ (�` ; R v S ; �` ^ � ; S v R ; �)

=) h P v Q ^ R v S =) P t R v Q t S & théorème 2.4(9) i

�` ; (P t R) v (Q t S) ; �` ^ � ; (Q t S) v (P t R) ; �

() h dé�nition 6.1(b) & dé�nition 6.14 i

(P t R)u-� (Q t S)2

(6.22) Proposition. Soit

g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q:

Si P = �JP

; P et Q = �JQ

; Q, alors

g(X) = �JP

; g(X) ; �JQ:

Démonstration.

g(X)

= h dé�nition de g i

P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q

= h dé�nition 2.26(a, b) & théorème 2.4(26) i

P ; X ; Q` u P ; X ; Q`



P ; X ; Q` t P ; X ; Q`

= h hypothèse (P = �JP

; P et Q = �JQ

; Q) & théorème 2.4(25)& proposition 3.17(f) i

�JP

; P ; X ; Q` ; �JQ

t �JP

; P ; X ; Q` ; �JQ

= h proposition 2.12(b) & proposition 2.5(b) & proposition 3.22& proposition 3.17(f, i) i

�JP

; P ; X ; Q` ; �JQ

t �JP

; P ; X ; Q` ; �JQ

= h théorème 2.4(9, 11) i

�JP

; (P ; X ; Q` t P ; X ; Q`) ; �JQ

= h proposition 2.12(b) & proposition 2.5(b) & proposition 3.22& proposition 3.17(f, i) i

�JP

; P ; X ; Q` t P ; X ; Q` ; �JQ

= h théorème 2.4(2) & dé�nition 2.26(a, b) & théorème 2.4(26) i

�JP

;�P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q

�; �

JQ

= h dé�nition de g i

�JP

; g(X) ; �JQ 2

(6.23) Corollaire. Soit

g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q:

Si P = �JP

; P et Q = �JQ

; Q, alors

P u-� Q () � v �JP

; g(�) ; �JQ:

Démonstration.

P u-� Q


� v g(�)

() h hypothèses sur P et Q & proposition 6.22 i

� v �JP

; g(�) ; �JQ 2

Le corollaire suivant indique que, dans le cas où P = �JP

; P et Q = �JQ

; Q, le plusgrand point �xe de g � g est telle que dé�nie dans le corollaire en question � est (JP ,JQ)-déterminé. La relation �(g) est la relation d'abstraction maximale et elle engendrela plus grande L-bisimulation entre P et Q.

(6.24) Corollaire. Soit

g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q:

Si P = �JP

; P et Q = �JQ

; Q, alors


�(g) = �JP

; �(g) ; �JQ:

Démonstration.

�(g)

= h théorème 2.21(g) i

g(�(g) )

= h hypothèses sur P et Q & proposition 6.22 i

�JP

; g(�(g) ) ; �JQ

= h théorème 2.21(g) i

�JP

; �(g) ; �JQ 2

Nous remarquons que

P u-�1 Q ^ Qu-�2 R =) P u-(�1 ; �2)R:

6.4.2 Application aux processus relationnels

Dans cette sous-section, nous appliquons les résultats qui précèdent aux systèmes mo-délisés par des processus relationnels.

(6.25) Dé�nition. Soient P et Q deux processus relationnels ayant P et Q commerelations associées, respectivement.

P u-�Q () P --�Q ^ Q--�` P:

Nous disons que le processus relationnel P L-bisimule le processus relationnel Q parrapport à � lorsque P u-�Q. 2

(6.26) Exemple. Nous reprenons l'exemple 6.11. Lors de ce dernier, nous avons mon-tré que P --�Q. À présent, nous véri�ons P u-�Q. En utilisant le résultat obtenuà l'exemple 6.11, il ne nous reste qu'à véri�er que Q--�` P pour pouvoir con�rmerP u-�Q. Pour ce faire, nous véri�ons la condition

Q--�` P ^ �Q; �` v >> ;�P ^ !Q

; �` v >> ;!P ;

ce qui équivaut à véri�er

� ; Q v P ; � ^ � ;�Q v�P;>> ^ � ;!Q v!P

;>>:

Calculons le terme � ; Q.


� ; Q = fsignal-couleur = jaune ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = blanc ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = rouge ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = vert ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = bleu ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = marron ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = noir ^ signal-n-b0 = blanc g

Tous calculs faits, le terme P ; � est comme suit.

P ; � = fsignal-couleur = vert ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = rouge ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = jaune ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = jaune ^ signal-n-b0 = noir

_ signal-couleur = noir ^ signal-n-b0 = blanc

_ signal-couleur = bleu ^ signal-n-b0 = blanc g

Ainsi, nous avons � ; Q v P ; �.

Nous prenons les mêmes ensembles UP et UQ que pour l'exemple 6.11. Sur l'ensemble

UP = fsignal-couleurg et UQ = fsignal-n-bg, nous avons

�P = fsignal-couleur = vert ^ signal-couleur 0 = vert

_ signal-couleur = rouge ^ signal-couleur 0 = rouge g

�Q = fsignal-n-b = gris ^ signal-n-b0 = gris g.

À présent, véri�ons les conditions sur les relations d'entrée et les relations de sortie.

Tous calculs faits, nous obtenons

� ;�Q = fsignal-couleur = rouge ^ signal-n-b0 = gris

_ signal-couleur = vert ^ signal-n-b0 = gris g

et

�P;>> = fsignal-couleur = vert _ signal-couleur = rouge g.

Ainsi, � ;�Q v�P;>>. Quant à la condition � ;!Q v!P

;>>, elle est véri�ée dufait que !P = ?? et !Q = ??.

En somme, nous avons P u-�Q. 2

(6.27) Corollaire.

P u-�Q () Qu-�` P :


Démonstration.

P u-�Q


P --�Q ^ Q--�` P


Qu-�` P

La proposition suivante découle directement de la dé�nition précédente (dé�ni-tion 6.25). Elle lie la L-bisimulation entre relations à la L-bisimulation entre processusrelationnels.

(6.28) Proposition. Soient

P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)


P u-�Q

()

P u-� Q

^ � v�Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u (�P; >>)=�Q u (!P

; >>)=!Q:

Démonstration.

P u-�Q


P --�Q ^ Q--�` P


P --� Q ^ �P; � v >> ;�Q ^ !P

; � v >> ;!Q

^ Q--�` P ^ �Q; �` v >> ;�P ^ !Q

; �` v >> ;!P

() h théorème 2.4(20, 26) i

P u-� Q ^ �P; � v >> ;�Q ^ !P

; � v >> ;!Q

^ � ;�`

Qv�`

P;>> ^ � ;!

`

Qv!`

P;>>

() h R est un processus relationnel =) �R v I ^ !R v I &hypothèses & théorème 2.11(a) i

P u-� Q ^ �P; � v >> ;�Q ^ !P

; � v >> ;!Q

^ � ;�Q v�P;>> ^ � ;!Q v!P

;>>

() h dé�nition 6.14 & proposition 2.27(b) i


P u-� Q

^ � v�Pn(>> ;�Q) ^ � v!Pn(>> ;!Q)

^ � v (�P;>>)=�Q ^ � v (!P

;>>)=!Q:


P u-� Q

^ � v�Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u (�P;>>)=�Q u (!P

;>>)=!Q:

(6.29) Proposition. Soient a et b deux sous-identités. Nous avons

an(>> ; b) u (a ; >>)=b = a ; >> ; b t a� ; >> ; b�:

Démonstration.

an(>> ; b) u (a ;>>)=b

= h dé�nition 2.26(a, b) & théorème 2.11(a) i

a ;>> ; b u a ;>> ; b

= h théorème 2.11(e) i

a ;>> ; b� u a� ;>> ; b


a ;>> u>> ; b� u a� ; >> u>> ; b

= h théorème 2.4(4) & théorème 2.11(e) i

(a� ; >> t >> ; b) u (a ;>> t >> ; b�)


a� ;>> u a ;>> t a� ;>> u >> ; b� t >> ; b u a ;>> t >> ; b u >> ; b�

= h théorème 2.11(e) & P u P = ?? & théorème 2.4(39) i

a ;>> ; b t a� ;>> ; b� 2

(6.30) Corollaire. Soient

P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)


P u-�Q

()

P u-� Q

^ � v�P; >> ;�Q t ��

P; >> ;�

�Q ^ � v!P

; >> ;!Q t !�P

; >> ;!�Q.


Démonstration.

P u-�Q


P u-� Q

^ � v�Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u (�P;>>)=�Q u (!P

;>>)=!Q:

() h P v Q uR () P v Q ^ P v R & proposition 6.29 i

P u-� Q

^ � v�P;>> ;�Q t ��

P;>> ;�

�Q ^ � v!P

;>> ;!Q t !�P

;>> ;!�Q 2

Le corollaire précédent permet de mieux voir les contraintes imposées à �. De la con-trainte � v �P

;>> ;�Q t ��P

;>> ;��Q, nous voyons que si (p; q) 2 �, soit que p

et q sont deux points d'entrée, soit qu'aucun d'eux n'en est. Aussi, de la contrainte� v!P

;>> ;!Q t !�P

;>> ;!�Q, nous voyons que si (p; q) 2 �, alors p et q sont deux

points d'entrée, ou aucun d'eux n'en est.La proposition suivante donne une dé�nition alternative de la L-bisimulation entre

deux processus relationnels.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels ayant P et Q comme relations associées, respectivement.Soit

g(X)�= P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q u R

où

R =�Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u (�P; >>)=�Q u (!P

; >>)=!Q:

La relation � est un point post�xe de g si et seulement si P u-�Q.

Démonstration.

P u-�Q


P u-� Q

^ � v�Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u (�P;>>)=�Q u (!P

;>>)=!Q

() h proposition 6.18 & R = �Pn(>> ;�Q) u !Pn(>> ;!Q) u(�P

;>>)=�Q u (!P;>>)=!Q i

� v P`n(X ; Q`) u (P ; X)=Q u R

() h dé�nition de g & proposition 6.17 & dé�nition 2.19(d) i

� est un point post�xe de g 2


6.5 lab pour calculer les relations d'abstraction

Par la proposition 6.31, nous avons montré que P u-�Q est équivalent au fait que � estun point post�xe d'une certaine fonction g. Ainsi, en particulier, �(g) est une relationpar rapport à laquelle P L-bisimule Q. Lorsque nous considérons que g est construiteà partir de relations sur des ensembles �nis, la chaîne

g(>>) w g2(>>) w g3(>>) w � � �

ne peut pas décroître indé�niment et après un nombre �ni d'étapes, nous auronsgn(>>) = gn+1(>>). Ainsi, par approximation itérative par le haut [54, pages 20�21],nous pouvons atteindre le plus grand point �xe qui se trouve la relation d'abstractionmaximale. Cette dernière donne la plus grande L-bisimulation entre les deux processusconsidérés.

Pour calculer le plus grand point �xe de telles fonctions g, nous avons utilisé lelogiciel lab. C'est un logiciel public dont la syntaxe et la fonctionnalité sont similairesà celles du logiciel MATLAB. Il a été développé à l'Institut National de Recherche enInformatique et en Automatique (INRIA) de France pour les applications de contrôlede systèmes et de traitement de signaux. lab est un interpréteur qui permet la ma-nipulation de matrices et l'exécution de fonctions matricielles élémentaires. Il permetégalement la manipulation symbolique de polynômes, de matrices de polynômes et desystèmes linéaires et non linéaires. Il supporte le traitement des chaînes de caractèreset la manipulation de matrices de chaînes de caractères.

lab o�re un environnement propice au développement d'applications. Il permetla dé�nition de nouveaux types de données et la création de fonctions et de librairiesde fonctions. Plus encore, ces fonctions peuvent être considérées et traitées comme desobjets. lab reconnaît également des fonctions développées en FORTRAN ou en C. Cetrait permet d'élargir les possibilités des applications développées au-delà des limitesdu produit.

Plus précisément, nous utilisons un prototype développé par André Caron [14] pourêtre utilisé dans l'environnement du logiciel lab. Ce prototype s'appelle SR�lab etune description détaillée de ses fonctions est donnée dans [14, chapitre 5]. Les fonc-tions de SR�lab ajoutent à l'environnement de lab la capacité d'e�ectuer du calculsymbolique sur des expressions relationnelles. Plus particulièrement, ces fonctions ma-nipulent des matrices dont le contenu de chaque cellule est une expression relationnelle.

6.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté quatre variantes de simulations qui peuventexister entre deux relations : la L-simulation, la U-simulation, la L�1-simulation etla U�1-simulation. Nous avons montré que lorsque � est totale et déterministe cessimulations expriment la même notion (proposition 6.3). Aussi, nous avons montréd'autres liens résumés par la �gure 6.3. Parmi les quatre simulations, nous avons choisideux simulations à étudier : la L-simulation et la L�1-simulation. Ce choix est motivépar, entre autres, les raisons suivantes :


� la L-simulation et la L�1-simulation, qui sont connues dans la littérature commela simulation avant et la simulation arrière, respectivement, sont les plus utiliséespour comparer les systèmes concurrents;

� la restriction de notre étude à certaines simulations permet d'aller plus loin dansleur examen et ainsi de tracer le chemin à l'étude des deux autres simulations quirestent.

Par la proposition 6.4, nous avons montré l'existence d'une dualité entre la L-simu-lation et la L�1-simulation. Par conséquent, les résultats établis pour l'une peuventêtre obtenus par dualité pour l'autre. De ce fait, nous avons restreint encore notreétude à la L-simulation. À partir de cette dernière notion, nous avons dé�ni la notionde la L-bisimulation entre relations. Ensuite, nous avons étendu la L-simulation auxprocessus relationnels. Également, nous avons indiqué par les équations 6.12 et 6.13que sur la base de la L-simulation entre relations, nous pouvons dé�nir d'autres formesde simulation (par conséquent, d'autres bisimulations) par rapport à un ou à plusieursenvironnements ou scénarios de tests.

Par ce chapitre, nous complétons les éléments nécessaires à une formulation del'équation d'interface. Ces éléments sont :

� un modèle pour représenter les systèmes ;

� des opérateurs de composition parallèle ;

� une façon de comparer les systèmes à travers leurs modèles.

Le prochain chapitre traite de la formulation de l'équation d'interface et propose dessolutions pour certaines de ses variantes.

Chapitre 7

Équation d'interface : formulation etrésolution

7.1 Introduction

Dans ce chapitre, il est question de la résolution de l'équation d'interface. Nous abor-dons ce problème de manière à caractériser certaines solutions pour des variantes decette équation.

Le nom � équation d'interface � donné à l'équation sujet de ce chapitre a été employépour la première fois par Shields dans [90]. L'origine de la formulation de la générationd'une spéci�cation sous la forme d'une équation dite équation d'interface n'est pasclairement déterminée mais l'examen des publications [13, 15, 16, 24, 52, 62, 67, 75, 38,90, 91, 100] concernant cette méthode et les méthodes similaires révèle que le méritepourrait revenir à deux groupes d'auteurs.

Le premier groupe est constitué de Cerny et Marin [15, 16] et de Za�ropulo etal. [100]. Les auteurs Cerny et Marin ont appliqué une méthode similaire à celle del'équation d'interface pour la conception et le test de circuits logiques. Quant à Za�-ropulo et al., ils ont décrit une méthode interactive de conception de protocoles.

Le deuxième groupe est formé par Merlin et Bochmann. Ils ont formulé cette mé-thode d'une façon claire sous la forme d'une équation [62] connue aujourd'hui sous lenom d'équation d'interface.

Nous sommes d'avis que l'origine de la formulation de cette approche de générationde spéci�cations revient au deuxième groupe. Les méthodes utilisées par le premiergroupe assument que toutes les actions d'envoi (� sending actions �) des deux modulesinteragissant sont fournies par le concepteur, pendant que les actions de réception(� receiving actions �) sont déduites. Cela implique que le module à chercher est par-tiellement connu. De plus, ces méthodes ne font aucune véri�cation par rapport à unespéci�cation d'un service voulu. Pour ces raisons, nous considérons que l'approche dupremier groupe semble analogue à l'approche utilisant l'équation d'interface, mais aprèsexamen, cette similitude se dissipe.

La prochaine section présente une formulation de l'équation d'interface. Dans lasection d'après, nous présentons une approche procédurale à la résolution de l'équation

159

7. Équation d'interface : formulation et résolution 160

d'interface pour la L-bisimulation. Cette approche est tirée de la littérature [75]. Nousla présentons a�n de montrer la di�érence entre les approches procédurales et notreapproche. Dans la section 7.4, nous abordons la résolution de variantes de l'équationd'interface pour des relations d'abstraction connues. En�n, nous résumons les résultatsde ce chapitre.

7.2 Formulation pour la L-bisimulation

(7.1) Formulation. Soient P et Q des processus relationnels. Soit o un opérateur decomposition parallèle. Résoudre pour le processus relationnel X et la relation d'ab-straction � l'équation suivante :

P o X u-�Q: 2

L'équation de la formulation 7.1 est une équation à deux inconnues : le processusrelationnel X et la relation d'abstraction �. La résolution de l'équation d'interface(telle que présentée par la formulation 7.1) dans le but de trouver des solutions où� est di�érente de ?? est très complexe. Même les formalismes utilisés pour aborderd'une façon procédurale la résolution de telles équations supposent que leurs processusinconnus utilisent les mêmes noms d'actions que les deux processus connus, ce quisemble dire que � est proche de l'identité. En e�et, sous cette hypothèse, si une actiona dans les processus connus est une a�ectation du genre x0 = x + y, alors pour êtrecohérente elle doit être également x0 = x+ y dans le processus inconnu. Ainsi, on peutvoir que � envoie x sur x et y sur y. Cependant, telle que cette action a est détaillée,nous n'avons pas les points de contrôle. C'est pour cette raison que nous disons que � estproche de l'identité. Dans ce chapitre, nous abordons des variantes de cette équationqui se particularisent par une relation d'abstraction � connue. Autrement dit, nousramenons l'équation de la formulation 7.1 à une équation à une seule inconnue.

7.3 Résolution avec CCS : exemple d'une approcheprocédurale

Nous avons indiqué dans l'introduction de la thèse que cette équation a été étudiée dansdi�érents contextes. Pourtant, étant donné le vaste usage de CCS dans la concurrence,les résultats obtenus en utilisant ce formalisme sont les plus connus et les plus utilisés.Pour mieux saisir la di�érence entre notre méthode et les approches procédurales, nousprésentons un exemple illustrant la résolution procédurale en utilisant CCS. La méthodede résolution que nous proposons est celle de Parrow [75]. Elle pose le problème selonla formulation 1.7 et elle suppose que les deux agents connus (A et B dans l'équation(AjX)nL � B) sont des agents à états �nis et que l'agent B est déterministe.

Cette méthode est implémentée dans un outil automatique qui pourvoit à la ma-nipulation et à l'analyse des systèmes concurrents. L'outil est connu sous le nom de


CWB [21]. L'exemple suivant illustre bien la procédure suivie par cette méthode. Nousassumons que le lecteur est familier avec les concepts de base de CCS [66].

(7.2) Exemple. Résoudre pour X l'équation

a:NiljX � a:b:Nil + b:a:Nil

Le premier pas de la procédure de résolution est de deviner les actions initialesde X. Considérons les actions initiales des deux côtés de l'équation. Le côté droitpeut exécuter les actions a et b. De cette manière, le côté gauche doit être capabled'exécuter les mêmes actions. Comme a:Nil ne peut exécuter que a seulement, l'agentinconnu X doit fournir l'action b. Une fois que nous avons deviné que X possèdeb comme unique action initiale, nous pouvons écrire X = b:Y où Y est la nouvelleinconnue. En substituantX par b:Y dans l'équation d'origine, nous obtenons la nouvelleéquation

a:Niljb:Y � a:b:Nil + b:a:Nil

Une autre fois, nous considérons les actions exécutables des deux côtés de l'équation. Lecôté droit peut exécuter les suites d'actions a:b ou b:a et le côté gauche peut exécuterégalement a:b ou b:a. Ainsi, nous devinons que Y doit apporter l'agent nul Nil. Ensubstituant Y par Nil, l'équivalence observationnelle entre le côté droit et le côtégauche de l'équation est obtenue. En somme, l'agent inconnu est

X = b:Nil2

La procédure est basée sur une transformation étape par étape des équations en deséquations où l'agent à déterminer est plus petit (ayant moins d'actions). Commel'exemple précédent le montre, cette approche adopte une procédure à répéter a�nd'aboutir à une solution si elle existe. C'est pourquoi une telle approche est dite uneapproche procédurale. De plus, cette approche suppose que les processus inconnus utili-sent les mêmes noms d'actions que les deux processus connus. Cette supposition sembleindiquer que la relation d'abstraction est une relation très proche de l'identité. Notreapproche consiste à caractériser les processus X solutions d'une équation d'interfaceoù la relation d'abstraction � est connue.

7.4 Résolution de l'équation d'interface pour des abs-tractions connues

Nous présentons des solutions pour des variantes de cette équation pour une relationd'abstraction donnée, ce qui constitue un cas particulier de la formulation 7.1 qui, elle,considère que � est inconnue.

La proposition suivante concerne les identités partielles et facilite la présentationde la démonstration de la proposition d'après.


(7.3) Proposition. Soient a, b et x des identités partielles. Soit R une relation. Nousavons alors

(a) (a u x) ; R v >> ; b () x v a� t R`n(b ; >>) u I,

(b) b ; R` v >> ; (a u x) () R ; b ; >> u Iv a ^ R ; b ; >> u Iv x.

Démonstration.

(a) (a u x) ; R v >> ; b


a u x v (>> ; b)=R

() h théorème 2.4(20) & proposition 2.28(b) &théorème 2.11(a) i

a u x v R`n(b ;>>)

() h théorème 2.4(6) & hypothèse (x v I) i

x v�a t R`n(b ;>>)

�u I


x v a� t R`n(b ;>>) u I

(b) b ; R` v >> ; (a u x)

() h théorème 2.4(20) & hypothèses (a v I; b v I et x v I) &théorème 2.11(a) i

R ; b v (a u x) ;>>

() h >> ; >> = >> & R ; b v R ; b ;>> i

R ; b ;>> v (a u x) ;>>

() h P v Q =) P u R v Q u R & théorème 2.4(37) &I ;>> = >> & P u >> = P i

R ; b ;>> u Iv (a u x) ;>> u I

() h théorème 2.11(f) i

R ; b ;>> u Iv a u x


R ; b ;>> u Iv a ^ R ; b ;>> u Iv x 2

7.4.1 Équation d'interface : cas de la composition parallèle en-trelaçante

Dans cette sous-section, nous abordons la résolution de l'équation d'interface telle quela formulation suivante la présente.

(7.4) Formulation. Soient P et Q des processus relationnels. Soit � une relation.Résoudre pour X l'équation suivante :


P X u-�Q: 2

(7.5) Proposition. Soient P;Q et X des processus relationnels ayant P;Q et X

comme relations associées, respectivement. Soit � une relation. Nous avons

P X u-�Q

()

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q; >> u Iv�P ^ � ;!Q

; >> u Iv!P

^ X v �`n(Q ; �`) ^ � ; Q u P ; � v X ; �

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q; >> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q; >>) u I

Démonstration.

P X u-�Q


P X --�Q ^ Q--�` P X

() h dé�nition 6.10 & dé�nition 5.1 & proposition 5.4 i

(P t X)--�Q ^ Q--�` (P t X)

^ (�P u�X) ; � v >> ;�Q ^ (!P u!X) ; � v >> ;!Q

^ �Q; �` v >> ; (�P u�X) ^ !Q

; �` v >> ; (!P u!X)

() h dé�nition 6.1(b) & théorème 2.4(26) i

�` ; (P t X) v Q ; �` ^ � ; Q v (P t X) ; �

^ (�P u�X) ; � v >> ;�Q ^ (!P u!X) ; � v >> ;!Q

^ �Q; �` v >> ; (�P u�X) ^ !Q

; �` v >> ; (!P u!X)

() h proposition 2.27(b) & théorème 2.4(11)& proposition 7.3(a, b) i

P t X v �`n(Q ; �`) ^ � ; Q v P ; � t X ; �

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;�Q; >> u Iv�P

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!P

() h P t Q v R () P v R ^ Q v R & théorème 2.4(6) i

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ X v �`n(Q ; �`) ^ � ; Q u P ; � v X ; �

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I


De l'expression de l'équation P X u-�Q, nous tirons la condition nécessaire et suf-

�sante à l'existence d'une solution de cette équation. Cette condition correspond aux

termes de cette expression dont les éléments sont connus. Cette condition nécessaire et

su�sante à l'existence d'une solution pour l'équation P X u-�Q est

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ � ; Q u P ; � v��`n(Q ; �`)

�; � ^ � ;�Q

;>> u Iv��P t �`n(�Q

;>>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!�

P t �`n(!Q;>>) u I:

En utilisant les théorèmes 2.416 et 2.11(d), on montre qu'elle est équivalente à la

suivante :

P v �`n(Q ; �`) ^ � ; Q u P ; � v��`n(Q ; �`)

�; �

^ � ;�Q; >> u Iv�P u �`n(�Q

;>>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!P u �`n(!Q

;>>) u I.

Si cette condition n'est pas véri�ée, l'équation P X u-�Q n'admet pas de solution.D'après la proposition 7.5, s'il y a une solution à l'équation, il y a une solu-

tion maximale. En e�et, dans ce cas, les processus relationnels X = ( (J;K ::X

JK);�X ; EX ;!X ; FX), ayant une relation associée X = �`n(Q ; �`) et dont les

relations d'entrée véri�ent

� ;�Q;>> u Iv�X v��

P t �`n(�Q;>>) u I

et les relations de sortie véri�ent

� ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I;

sont des solutions à P X u-�Q.Le théorème suivant présente, sous certaines conditions, des solutions à l'inéquation

linéaire de relations suivante :

(7.6) Q v X ; P .

(7.7) Théorème [Luce]. Soient P et Q des relations. Si R est une relation telle queR v P et Q v >> ; R, alors toutes les relations X telles que Q ; R` v X sont des solu-tions à Q v X ; P . 2

La preuve du théorème 7.7 est dans [56, théorème 5.3]. Le théorème de Luce permetde dégager quelques solutions à l'inéquation linéaire de relations 7.6. Au mieux denotre connaissance, mises à part l'utilisation de ce théorème et l'exploitation des casparticuliers � par exemple, si P est injective et surjective, Q v X ; P () Q ; P` v X�, il y a pas d'autres moyens pour déterminer des solutions à cette équation.

La proposition 7.8 présente des solutions à l'équation P X u-�Q.



P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels ayant comme relations associées P et Q, respectivement.Soit � une relation telle que

P v �`n(Q ; �`);

� ;�Q; >> u Iv�P ;

� ;!Q; >> u Iv!P :

Si � est une relation telle que

� v �;

(� ; Q u P ; �) ; �` v �`n(Q ; �`)

et

� ; Q u P ; � v >> ; �;

alors tout processus relationnel

X = ( (J;K :: XJK

);�X ; EX ;!X ; FX);

ayant comme relation associée X, tel que

(� ; Q u P ; �) ; �` v X v �`n(Q ; �`);

� ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

et

� ;!Q; >> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q; >>) u I;

est une solution à l'équation P X u-�Q.


Démonstration.

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ (� ; Q u P ; �) ; �` v X v �`n(Q ; �`)

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

() h P v Q v R () P v Q ^ Q v R i

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ (� ; Q u P ; �) ; �` v X

^ X v �`n(Q ; �`)

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

=) h hypothèses (� v � et � ; Q u P ; � v >> ; �) & théorème 7.7 i

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ X v �`n(Q ; �`) ^ � ; Q u P ; � v X ; �

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I


P X u-�Q 2

Nous constatons que chaque � véri�ant � v � et � ; Q u P ; � v >> ; � engendre unefamille de solutions. Pour chaque famille non vide, il y a une solution minimale et unemaximale. La solution minimale est un processus ayant

(� ; Q u P ; �) ; �`

comme relation associée, la relation

� ;�Q;>> u I

comme relation d'entrée et la relation

� ;!Q;>> u I

comme relation de sortie. La solution maximale est un processus ayant

�`n(Q ; �`)

comme relation associée, la relation

��P t �`n(�Q

;>>) u I

comme relation d'entrée et la relation

!�P t �`n(!Q

;>>) u I


comme relation de sortie. Étant donné que cette solution maximale est indépendantede �, nous pouvons la tirer également de la proposition 7.5.

Le corollaire suivant découle de la proposition précédente. Il présente des solutionsà l'équation P X u-�Q dans le cas où la relation d'abstraction � est surjective.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels ayant comme relations associées P et Q, respectivement.Soit � une relation surjective telle que

P v �`n(Q ; �`);

� ;�Q; >> u Iv�P ;

� ;!Q; >> u Iv!P

et

(� ; Q u P ; �) ; �` v �`n(Q ; �`):

Alors tout processus relationnel

X = ( (J;K :: XJK

);�X ; EX ;!X ; FX);


(� ; Q u P ; �) ; �` v X v �`n(Q ; �`);

� ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

et

� ;!Q; >> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q; >>) u I;

est une solution à l'équation P X u-�Q.

Démonstration.

P v �`n(Q ; �`) ^ � ;�Q;>> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

^ (� ; Q u P ; �) ; �` v X v �`n(Q ; �`)

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

=) h prendre � = � dans la proposition 7.8car � v � ^ � ; Q u P ; � v >> = >> ; � i

P X u-�Q


(7.10) Exemple.1 Supposons un processusQ qui contrôle deux zones, zone1 et zone2 ,illustrées dans la �gure 7.1, pourvues de plusieurs portes chacune. La zone zone1 estpourvue de trois portes qui permettent d'y entrer et d'en sortir. Une des trois portespermet l'accès en direction ouest-est (entrer dans zone1 ) et en direction est-ouest (sortirde zone1 ). La deuxième porte permet l'accès en direction sud-nord (entrée à zone1 )et en direction nord-sud (sortir de zone1 ). Quant à la troisième porte, elle est situéesur la frontière entre zone1 et zone2 . Elle permet des déplacements ouest-est (quitterzone1 vers zone2 ) et des déplacements est-ouest (quitter zone2 vers zone1 ).

La zone zone2 est pourvue de deux portes qui permettent d'entrer et de sortirde cette zone et d'une troisième porte ne permettant que d'y entrer. Une porte estcommune avec zone1 et correspond à la troisième de cette dernière. La deuxième portede zone2 ne permet que l'entrée à cette zone par un accès nord-sud. La troisième portepermet l'accès en direction est-ouest (entrée à zone2 ) et l'accès en direction ouest-est(sortie de zone2 ). Au maximum, une seule personne est admise dans chacune des deuxzones.

Pour modéliser ce système, nous utilisons des variables zone1 et zone2 dont lesvaleurs indiquent le nombre de personnes dans les zones respectives. Ainsi, du faitqu'au maximum une seule personne est admise dans chacune des zones, les valeurs deces deux variables sont 0 et 1. De plus, nous utilisons une variable nommée abord quiprend ses valeurs dans l'ensemble

fZ1OuestEst;Z1EstOuest;Z1SudNord;Z1NordSud; FrtEstOuest; FrtOuestEst;

Z2OuestEst;Z2EstOuest;Z2NordSudg.

À titre d'exemple, la valeur Z2EstOuest indique un accès à la zone zone2 de l'estvers l'ouest (i.e. entrer dans zone2 ) et la valeur FrtEstOuest indique une traversée de lafrontière entre zone1 et zone2 en direction est-ouest (i.e. passer de zone2 vers zone1 ).

-� -�-�

6?

?

zone1 zone2 -�6?O EN

S

Figure 7.1: Le système formé par les deux zones

Sur l'ensemble U1 = fzone1 ; zone2 ; abordg, le processus Q qui contrôle les deux

zones a la relation associée Q, la relation d'entrée �Q et la relation de sortie !Q

suivantes.1Nous nous somme inspiré d'un exemple traité dans [17] pour construire cet exemple-ci.


Q = f zone1 = 0 ^ zone1 0 = 1 ^ zone2 0 = zone2

^ (abord 0 = Z1OuestEst _ abord 0 = Z1SudNord)

_ zone1 0 = zone1 ^ zone2 = 1 ^ zone2 0 = 0

^ abord 0 = Z2OuestEst

_ zone1 = 0 ^ zone1 0 = 1 ^ zone2 = 1 ^ zone2 0 = 0

^ abord 0 = FrtEstOuest

_ zone1 = 1 ^ zone1 0 = 0 ^ zone2 0 = zone2

^ (abord 0 = Z1EstOuest _ abord 0 = Z1NordSud)


^ abord 0 = FrtOuestEst


^ (abord 0 = Z2EstOuest _ abord 0 = Z2NordSud) g,

�Q = f zone1 0 = zone1 = 0 ^ zone2 0 = zone2 = 0 ^ abord 0 = abord g

et

!Q = ??.

D'un autre côté, supposons deux chambres contiguës, illustrées dans la �gure 7.2,pourvues des portes A, B et C. Des personnes peuvent entrer et sortir par ces portes.Comme pour les deux zones contrôlées par Q, au maximum une seule personne estadmise dans chacune des deux chambres.

chbre1 chbre2-� -�-� -�g dA B C

Figure 7.2: Le système formé par les deux chambres

Pour modéliser ce système, nous employons deux variables chbre1 et chbre2 pour re-présenter les deux chambres, chacune indiquant le nombre de personnes dans la chambrequ'elle représente. Du fait qu'au maximum une seule personne est admise dans chacunedes chambres, les valeurs de ces deux variables sont 0 et 1. De surcroît, nous utilisonsune variable accès qui indique les accès aux chambres et elle prend ses valeurs dansl'ensemble fAdg;Agd;Bdg;Bgd;Cdg;Cgdg. À titre d'exemple, la valeur Bgd indique unpassage par la porte B de la gauche vers la droite.

Les deux systèmes décrits sont di�érents, non seulement par le fait que nous avonsune nomenclature di�érente pour désigner les espaces (dans l'une, des zones, dans


l'autre, des chambres), mais principalement parce que le nombre de portes et les règlesd'accès sont di�érents. Cependant, nous voyons qu'ils sont deux systèmes qui sont trèsproches.

Nous disposons d'un processus P (dont la dé�nition est donnée ci-dessous) qui con-trôle la chambre chbre1 et partiellement la chambre chbre2 . Nous nous proposons dedéterminer un processus X coopérant d'une manière entrelaçante avec le processus Ppour produire un comportement comparable (selon la L-bisimulation) au comporte-ment du processus Q par rapport à une relation d'abstraction �. Autrement dit, il estquestion de résoudre en X l'équation suivante :

(7.11) P X u-�Q.

La relation � suivante représente les associations qui existent entre les ressources dusystème des deux zones et celles du système des deux chambres. La relation � indiqueque nous associons à la chambre chbre1 la zone zone1 et à la chambre chbre2 la zonezone2 . Également, nous associons à la variable accès la variable abord .

Explicitement, la relation � est la suivante.

� = fchbre1 = zone1 0 ^ chbre2 = zone2 0

^�accès = Adg ^ (abord 0 = Z1EstOuest _ abord 0 = Z1NordSud)

_ accès = Agd ^ (abord 0 = Z1OuestEst _ abord 0 = Z1SudNord)

_ accès = Bdg ^ abord 0 = FrtEstOuest

_ accès = Bgd ^ abord 0 = FrtOuestEst

_ accès = Cdg ^ (abord 0 = Z2EstOuest _ abord 0 = Z2NordSud)

_ accès = Cgd ^ abord 0 = Z2OuestEst�

g

Le processus P qui contrôle une partie du système des deux chambres a la relationassociée P , la relation d'entrée�P et la relation de sortie!P suivantes. Ces relationssont données pour U2 = fchbre1 ; chbre2 ; accèsg:

P = f chbre1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ chbre2 0 = chbre2 ^ accès 0 = Adg

_ chbre1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ chbre2 = 0 ^ chbre2 0 = 1

^ accès 0 = Bgd

_ chbre1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ chbre2 0 = chbre2 ^ accès 0 = Agd

_ chbre1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ chbre2 = 1 ^ chbre2 0 = 0

^ accès 0 = Bdg g,

�P = f chbre1 0 = chbre1 = 0 ^ chbre2 0 = chbre2 ^ accès 0 = accès g

et

!P = ??.

Pour pouvoir appliquer le corollaire 7.9 a�n d'obtenir des solutions à l'équation 7.11,il faut que � véri�e les conditions suivantes :


(7.12) � est une relation surjective,

(7.13) P v �`n(Q ; �`),

(7.14) � ;�Q;>> u Iv�P ,

(7.15) � ;!Q;>> u Iv!P ,

(7.16) (� ; Q u P ; �) ; �` v �`n(Q ; �`).

� Véri�cation de la condition 7.12

>> ; �

=

fabord 0 = Z1EstOuest _ abord 0 = Z1NordSud

_ abord 0 = Z1OuestEst _ abord 0 = Z1SudNord

_ abord 0 = FrtEstOuest _ abord 0 = FrtOuestEst

_ abord 0 = Z2EstOuest _ abord 0 = Z2NordSud

_ abord 0 = Z2OuestEstg

= h abord 2 fZ1OuestEst;Z1EstOuest;Z1SudNord;Z1NordSud;FrtEstOuest; FrtOuestEst;Z2OuestEst;Z2EstOuest;Z2NordSudg i

>>

Ainsi, d'après la dé�nition 2.5(e), la relation � est surjective.


La proposition P v �`n(Q ; �`) est équivalente à �` ; P v Q ; �`. D'abord calcu-

lons �` ; P et ensuite calculons Q ; �`.

�`

=

f(zone1 = chbre1 0 ^ zone2 = chbre2 0

^�(abord = Z1EstOuest _ abord = Z1NordSud) ^ accès 0 = Adg

_ (abord = Z1OuestEst _ abord = Z1SudNord) ^ accès 0 = Agd

_ abord = FrtEstOuest ^ accès 0 = Bdg

_ abord = FrtOuestEst ^ accès 0 = Bgd

_ (abord = Z2EstOuest _ abord = Z2NordSud) ^ accès 0 = Cdg

_ abord = Z2OuestEst ^ accès 0 = Cgd�

g


�` ; P


f zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ zone2 = chbre2 0 ^ accès 0 = Adg

_ zone1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = chbre2 0 ^ accès 0 = Agd

_ zone1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Bdg

_ zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ zone2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Bgd g

Q ; �`


f zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ zone2 = chbre2 0 ^ accès 0 = Adg

_ zone1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = chbre2 0 ^ accès 0 = Agd

_ zone1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Bdg

_ zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ zone2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Bgd

_ zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Cdg

_ zone1 = chbre1 0 ^ zone2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Cgd g

Il est facile de constater que �` ; P v Q ; �` et, par ce, la condition 7.13 estvéri�ée.


Il s'agit de véri�er � ;�Q;>> u Iv�P . Nous obtenons

�Q;>> = fzone1 = 0 ^ zone2 = 0g

et

� ;�Q>> u I


f(chbre1 = 0 ^ chbre2 = 0)g u I

=

fchbre1 0 = chbre1 = 0 ^ chbre2 0 = chbre2 = 0 ^ accès 0 = accèsg

v h dé�nition de �P i

�P

Ainsi, la condition 7.14 est véri�ée.


Comme !P = !Q = ??, alors � ;!Q;>> u I = !P = ?? ; ce qui fait que la

condition 7.15 est également véri�ée.



D'abord, nous remarquons que

(� ; Q u P ; �) ; �` v �`n(Q ; �`)


�` ; (� ; Q u P ; �) ; �` v Q ; �`

Nous avons déja calculé Q ; �` lors de la véri�cation de la condition 7.13. Il ne nousreste qu'à calculer �` ; (� ; Q u P ; �) ; �`.

Tous calculs faits, nous trouvons que

� ; Q

=

f chbre1 = 0 ^ zone1 0 = 1 ^ chbre2 = 0 ^ zone2 0 = 0


_ chbre1 = 0 ^ zone1 0 = 0 ^ chbre2 = 1 ^ zone2 0 = 0



^ abord 0 = FrtEstOuest












^ abord 0 = Z2OuestEst g

P ; �

=

f chbre1 = 1 ^ zone1 0 = 0 ^ chbre2 = zone2 0




_ chbre1 = 0 ^ zone1 0 = 1 ^ chbre2 = zone2 0




^ abord 0 = FrtEstOuest g

� ; Q u P ; �

=

f chbre1 = 0 ^ zone1 0 = 0 ^ chbre2 = 1 ^ zone2 0 = 0





^ abord 0 = Z2OuestEst g

(� ; Q u P ; �) ; �`

=

f chbre1 = 1 ^ chbre1 0 = 1 ^ chbre2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Cdg

_ chbre1 0 = chbre1 ^ chbre2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Cgd g

�` ; (� ; Q u P ; �) ; �`

=

f zone1 = 1 ^ chbre1 0 = 1 ^ zone2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Cdg

_ zone1 = chbre1 0 ^ zone2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Cgd g

Nous remarquons que �` ; (� ; Q u P ; �) ; �` v Q ; �`. En e�et, les deux lignes de ladernière expression calculée (i.e. �` ; (� ; Q u P ; �) ; �`) correspondent à la cinquièmeet sixième ligne dans l'expression de Q ; �`, ce qui fait que la condition 7.16 est véri�ée.

Ainsi, les conditions nécessaires à l'application du corollaire 7.9 sont satisfaites.D'après ce dernier, tout processus relationnel

X = ( (J;K :: XJK

);�X ; EX ;!X ; FX);


(� ; Q u P ; �) ; �` v X v �`n(Q ; �`);

� ;�Q;>> u Iv�X v��

P t �`n(�Q;>>) u I

et

� ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I;


est une solution à l'équation P X u-�Q.Puisque seule la relation associée intervient dans le calcul de la famille de relations

de X , on peut choisir une famille à une seule relation comme nous pouvons en choisirune à plusieurs relations. Dans le calcul de la relation associée, nous partons d'unefamille de relations pour obtenir une relation. Dans la détermination d'un processusrelationnel à partir, entre autres, de la relation associée, nous partons de cette dernièreet nous déterminons une famille de relations.

Le processus relationnel

X = (fXJ;Kg;�X ; EX ;??; ;) où J = K = fchbre1 ; chbre2 ; accèsg

où EX = fchbre1 ; chbre2g,XJ;K = (� ; QuP ; �) ; �` qui est déjà calculé à la page 174 et

�X = � ;�Q; >>uIégalement déjà calculé à la page 172, est une solution à l'équation et

correspond à la relation associée X et à la relation d'entrée�X minimales. L'ensemble

EX est un ensemble inclus dans U . De plus, il doit véri�er �EX

;�X; �

EXuI=�X . Avec

la relation associée minimale nous pouvons déterminer d'autres processus relationnels

X qui constituent des solutions à l'équation P X u-�Q. À titre d'exemple, le processus

relationnel

X = (fXfchbre1 g;fchbre1 ;accèsg; Xfchbre2 g;fchbre2 ;accèsg;

Xfchbre1 ;chbre2 g;fchbre1 ;chbre2 ;accèsgg;�X ; EX ;??; ;)

où EX = fchbre1 ; chbre2g,

Xfchbre1 g;fchbre1 ;accèsg=

f chbre1 = 1 ^ chbre1 0 = 0 ^ accès 0 = Adg

_ chbre1 = 0 ^ chbre1 0 = 1 ^ accès 0 = Agd g,

Xfchbre2 g;fchbre2 ;accèsg=

fchbre2 = 1 ^ chbre2 0 = 0 ^ accès 0 = Cgd g,

et en�n

Xfchbre1 ;chbre2 g;fchbre1 ;chbre2 ;accèsg=

fchbre1 = 1 ^ chbre1 0 = 1 ^ chbre2 = 0 ^ chbre2 0 = 1 ^ accès 0 = Cdgg.

D'autres solutions peuvent être obtenues à partir de la relation associée minimale,de la relation associée maximale �`n(Q ; �`) et de toute relation comprise entre cesdeux. 2


Le corollaire suivant présente des solutions à l'équation P X u-IQ.


P = ( (J;K :: PJK

);�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = ( (J;K :: QJK

);�Q; EQ;!Q; FQ)

deux processus relationnels ayant comme relations associées P et Q, respectivement, etqui véri�ent

P v Q;

�Q v�P ;

!Q v!P :

Alors tout processus relationnel

X = ( (J;K :: XJK

);�X ; EX ;!X ; FX);


Q u P v X v Q;

�Q v�X v��P t �Q

et

!Q v!X v!�P t !Q;

est une solution à l'équation P X u-IQ.

Démonstration. Elle découle directement du corollaire 7.9 en prenant � = I et enutilisant le théorème 2.11(f). 2

Ce résultat peut être obtenu aussi directement de la proposition 7.5 (i.e. sans passerpar le théorème de Luce).

(7.18) Exemple. Dans l'exemple 5.11, nous avons déterminé la composition parallèleentrelaçante de deux processus relationnels dits producteur et consommateur. Dans cetexemple, nous supposons que nous disposons du processus producteur P et du proces-sus relationnel R (noté Re dans 5.11) qui est le résultat de la composition parallèleentrelaçante du producteur et du consommateur. Nous nous proposons de déterminerle processus à mettre en concurrence entrelaçante avec le producteur a�n d'obtenir leprocessus R.

Ainsi, la question est de résoudre pour X l'équation P X u-IR. Toute variable deP X doit être retrouvée dans R utilisée pour désigner la même ressource. Les valeurs


de ces variables doivent également exprimer les mêmes situations, que ce soit dansP X ou dans R. C'est pourquoi nous prenons l'identité comme relation d'abstraction.

Comme nous l'avons mentionné au chapitre 5, la L-simulation � et par conséquentla L-bisimulation � compare les processus pris comme systèmes fermés ; alors nousavons besoin de �xer un ensemble universel U . Nous retenons le même que celui del'exemple 5.11 : U = fc; p; x; y; z; tg.

Nous rappelons les éléments nécessaires à cet exemple concernant les processusP et R de l'exemple 5.11.

P = (fPfpgfp;xg

; Pfp;x;ygfp;yg

g;�P ; fp; yg;??; ;)

où

Pfpgfp;xg

= fp = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? g;

Pfp;x;ygfp;yg

= fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg:

La relation associée à P est

P

= h U = fc; p; x; y; z; tg i

f c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z^ t0 = t g

�P

=

fp = 1 ^ y = nilg u I

= h U = fc; p; x; y; z; tg i

fc0 = c ^ p0 = p = 1 ^ x0 = x ^ y0 = y = nil ^ z0 = z ^ t0 = tg

et

!P = ??.

Le processus relationnelR a les relations suivantes comme relation associée, relation

d'entrée et relation de sortie, respectivement.

R

=

f c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z^ t0 = t

_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)^ z0 = tête(y) ^ t0 = t

_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = f(t; z) g


�R

=

fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg u I

et

!R = ??:

D'abord, véri�ons les conditions d'existence d'une solution à P X u-IR. D'après lecorollaire 7.17, les conditions à véri�er sont

P v R;

�R v�P ;

!R v!P :

Nous avons P v Q. En e�et, les deux premiers termes de la disjonction qui exprime Rsont exactement ceux de P . Véri�ons les deux conditions qui restent.

�P = fc0 = c ^ p0 = p = 1 ^ x0 = x ^ y0 = y = nil ^ z0 = z ^ t0 = tg

Ainsi, nous avons �R v�P . De même, nous avons !R =!P = ??. Par conséquent,!R v!P .

Les conditions d'existence d'une solution sont ainsi véri�ées. D'après le corollaire 7.17,tout processus relationnel X , ayant comme relation associée X, véri�ant les conditionssuivantes est une solution à l'équation P X u-IR.

(7.19) R u P v X v R

(7.20) �R v�X v��P t �R

(7.21) !R v!X v!�P t !R

Comme nous avons !R =!P = ??, alors la condition 7.21 donne

!X v I:

Concernant la condition 7.20, nous avons

�R

=

fc0 = c = 1 ^ p0 = p = 1 ^ x0 = x ^ y0 = y = nil ^ z0 = z ^ t0 = tg.

Calculons le terme��P t �R de la condition 7.20.


��P t �R


(�P u I) t �R

=

(fp 6= 1 _ y 6= nilg t fc = 1 ^ p = 1 ^ y = nilg) u I

=

fp 6= 1 _ y 6= nil _ c = 1g u I

Il nous reste à aborder la condition 7.19 en calculant P uR.

P u R

=

f:�(c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t)

_ (c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ z0 = z ^ t0 = t)�

^�c0 = c ^ p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t

_ c0 = c ^ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x

^ z0 = z ^ t0 = t

_ c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y) ^ t0 = t

_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z

^ t0 = f(t; z)�g

=

f:�(c0 = c) ^ (p = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = t

_ p = 2 ^ p0 = 1 ^ x0 = x ^ jyj < N ^ y0 = y � x ^ z0 = z

^ t0 = t)�

^�(c = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y) ^ t0 = t)

_ (c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z

^ t0 = f(t; z))�g

=

fc = 1 ^ c0 = 2 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y)

^ z0 = tête(y) ^ t0 = t

_ c = 2 ^ c0 = 1 ^ p0 = p ^ x0 = x ^ y0 = y ^ z0 = z ^ t0 = f(t; z)g

Nous remarquons que R u P est exactement la relation associée du processus con-sommateur Q dans l'exemple 6.11. Par 7.19, toutes les relations comprises entre RuPet R sont des relations associées à des processus relationnels qui constituent des solu-tions à l'équation P X u-IR (si les relations d'entrée et de sortie véri�ent aussi lesconditions 7.20 et 7.21).


Nous avons remarqué au chapitre 4 que plusieurs processus relationnels peuventavoir une même relation associée. Prenons une relation associée au processus inconnu Xtel que RuP v X v R et construisons des processus relationnels qui ont cette relationassociée. Nous choisissons X = R u P . Ainsi, les processus relationnels suivants sontdes solutions à l'équation P X u-IR :

X = (fXUUg;�R; ER;??; ;);

X = (fXUUg;�R; ER; I; ;);

où XUU

= R u P . Également, les processus suivants sont des solutions.

X = (fXfc;ygfc;y;zg

; Xfc;t;zgfc;tg

g;�R; ER;??; ;);

X = (fXfc;ygfc;y;zg

; Xfc;t;zgfc;tg

g;�R; ER; I; ;);

X = (fXfc;ygfc;y;zg

; Xfc;t;zgfc;tg

g;��P t �R; ER; I; ;);

où

Xfc;ygfc;y;zg

= fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g

et

Xfc;t;zgfc;tg

= fc = 2 ^ c0 = 1 ^ t0 = f(t; z)g:

D'autres processus relationnels peuvent être obtenus avec cette seule relation associée.De plus, en choisissant X = R, nous obtenons d'autres processus relationnels qui

sont des solutions à l'équation P X u-IR. En e�et, les processus relationnels suivants,présentés dans l'unique but d'exhiber des solutions, ont X comme relation associée etconstituent des solutions à l'équation en question.

X = (fXUUg;�R; ER;??; ;);

X = (fXUUg;�R; ER; I; ;);

où

XUU

= R;

ainsi que

X = (fXfpgfp;xg

; Xfp;x;ygfp;yg

; Xfc;ygfc;y;zg

; Xfc;t;zgfc;tg

g;�R; ER;??; ;);

où

Xfpgfp;xg

= fp = 1 ^ p0 = 2 ^ x0 = ? g;

Xfp;x;ygfp;yg

= fp = 2 ^ p0 = 1 ^ jyj < N ^ y0 = y � xg;

Xfc;ygfc;y;zg

= fc = 1 ^ c0 = 2 ^ jyj > 0 ^ y0 = sup-tête(y) ^ z0 = tête(y)g;


Xfc;t;zgfc;tg

= fc = 2 ^ c0 = 1 ^ t0 = f(t; z)g:

Mais nous pouvons également obtenir d'autres processus à partir des autres relationsassociées X comprises entre RuP et R. Ainsi, dans le cadre d'un domaine d'applicationparticulier, il est fort probable qu'on puisse trouver parmi de telles solutions possiblesune solution qui réponde adéquatement au problème pour lequel l'équation est formulée.

2

Ainsi, en utilisant le théorème de Luce (théorème 7.7), nous avons présenté dessolutions à l'équation d'interface telle qu'énoncée par la formulation 7.4. En particulier,nous avons traité le cas où � est surjective.

7.4.2 Équation d'interface : cas de la composition parallèle to-talement synchrone minimale

L'équation d'interface examinée dans cette sous-section est une équation où l'opérateurde composition parallèle est celui qui traduit la concurrence totalement synchroneminimale. La proposition suivante donne des solutions à une variante de l'équationd'interface où

� l'opérateur de composition parallèle est l'opérateur de composition parallèle to-talement synchrone minimal ;

� chacune des familles de relations des processus relationnels P;Q et du processusinconnu X est un singleton noté fP

JPKPg; fQ

JQKQg et fX

JXKXg, respectivement.

De plus, nous supposons que JQ = JX [ JP et KQ = KX [KP . Cette restrictionindique que les composantes contrôlées en lecture (en modi�cation) par le pro-cessus Q sont soit contrôlées en lecture (en modi�cation) par P, ou contrôlées enlecture (en modi�cation) par le processus inconnu X .


P = (fPJPKP

g;�P ; EP ;!P ; FP )

et

Q = (fQJQKQ

g;�Q; EQ;!Q; FQ);

deux processus relationnels ayant comme relations associées P et Q, respectivement, etoù JP ; KP ; JQ; KQ sont des constantes données. Soit � une relation telle que

� ;�Q; >> u Iv�P ;

� ;!Q; >> u Iv!P :

Si � est une relation telle que

� v �;


� ; Q ; �` v PJPKP

u �KQ

et

� ; Q v >> ; �;

alors tout processus relationnel

X = (fXJXKX

g;�X ; EX ;!X ; FX);

tel que

JQ = JX [ JP ^ KQ = KX [KP ;

� ; Q ; �` v XJXKX

v �`n(Q ; �`) t PJPKP

t �KQ;

� ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

et

� ;!Q; >> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q; >>) u I;

est une solution à l'équation P � X u-�Q.

Démonstration.

JQ = JX [ JP ^ KQ = KX [KP

^ � ; Q ; �` v XJXKX


t �KQ

^ � ; Q ; �` v PJPKP

u �KQ

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

^ � ;�Q; >> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

()


^ XJXKX


t �KQ

^ � ; Q ; �` v XJXKX

^ � ; Q ; �` v PJPKP

u �KQ

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

^ � ;�Q; >> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

() h P v Q uR () P v Q ^ P v R & théorème 2.4(6) i


^ XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP

v �`n�Q ; �`

�

^ � ; Q ; �` v XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP


^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

^ � ;�Q; >> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

=) h hypothèses sur � (� v � et � ; Q v >> ; �) & théorème 7.7 &proposition 2.27(b) i


^ �` ; (XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP

) v Q ; �`

^ � ; Q v (XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP

) ; �

^ � ;�Q; >> u Iv�X v��

P t �`n(�Q; >>) u I

^ � ;!Q;>> u Iv!X v!�

P t �`n(!Q;>>) u I

^ � ;�Q; >> u Iv�P ^ � ;!Q

;>> u Iv!P

() h proposition 7.3(a, b) i


^ �` ; (XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP

) v Q ; �`

� ; Q v (XJXKX

u PJPKP

u �KX[KP

) ; �

^ (�P u�X) ; � v >> ;�Q ^ (!P u!X) ; � v >> ;!Q

^ �Q; �` v >> ; (�P u�X) ^ !Q

; �` v >> ; (!P u!X)

() h dé�nition 5.14 & dé�nition 4.5 & dé�nition 6.10 i

(P � X )--�Q ^ Q--�` (P � X )


P � X u-�Q 2

Nous ne donnons pas d'exemple pour illustrer le résultat exprimé par la propo-sition 7.22. Toutefois, nous indiquons qu'un exemple peut être construit à partir del'exemple 5.24 en se donnant le producteur et un processus Q (le résultat de la com-position parallèle totalement synchrone minimale du producteur et du consommateur)et en essayant de déterminer les consommateurs possibles.

Dans la section 7.3, nous avons présenté un exemple illustrant l'approche procé-durale utilisée pour résoudre l'équation d'interface. Cette approche permet d'obtenirune seule solution à l'équation. Notre approche consiste à caractériser des familles derelations (par exemple dans 7.8, une famille pour chaque � v �). De plus, nous avonstraité une variante de l'équation d'interface où l'opérateur de composition parallèle estle totalement synchrone, ce que l'approche procédurale de Parrow [75] ne permet pas,puisqu'elle se base sur CCS qui a une sémantique de concurrence entrelaçante.

7.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons donné une formulation pour l'équation d'interface maisdans le cas où la comparaison des processus se fait grâce à la L-bisimulation. Cetteformulation nous montre qu'en fait, l'équation d'interface dans sa forme générale en


est une à deux inconnues : le processus inconnu X et la relation d'abstraction �. Nousavons abordé l'équation d'interface dans le cas où � est connu. Ce cas rejoint plusieurscas pratiques où il est possible de bâtir ou de connaître la relation d'abstraction. À cesujet, les exemples 6.11 et 7.10 donnent un cas où la relation d'abstraction peut êtreconnue.

D'après la proposition 6.4, montrant la dualité entre la L-simulation et la L�1-simulation, nous remarquons que ce que nous avons présenté concernant l'équationd'interface pour la L-bisimulation peut également être fait pour la L�1-bisimulation.La L�1-bisimulation serait une bisimulation dé�nie de la même manière que la L-bisi-mulation, mais à partir de la L�1-simulation au lieu de la L-simulation.

Chapitre 8

Conclusion et problèmes ouverts

Dans les chapitres de fondements mathématiques, chapitres 2 et 3, nous avons présentéune synthèse de résultats mathématiques tirés de la littérature du calcul relationnel. Auchapitre 3 précisément, nous avons développé et présenté une collection de propriétésdes relations de cylindri�cation et des relations (J , K)-déterminées. Cette collection,au mieux de notre connaissance, est unique dans la littérature. À partir de l'assisemathématique développée ou synthétisée dans ces deux chapitres, nous avons présentéune modélisation relationnelle des processus. Cette modélisation considère les actionsdes processus ainsi que les ressources nécessaires à leur accomplissement. Elle permetde décrire, et avec détails, une très grande classe de processus. Également, elle donnela description d'un processus physique en tant que système ouvert duquel il est facilede dériver la description du processus en tant que système fermé.

Les inconvénients de cette représentation des processus sont reliés à ses avantages.Elle donne des modèles de processus très détaillés pour les variantes de l'équation d'in-terface traitées dans cette thèse. Ces équations utilisent la L-bisimulation qui comparedes processus à travers leurs relations associées. Cependant, cette modélisation est né-cessaire pour la dé�nition d'opérateurs de composition parallèle qui tiennent comptedes ressources et par conséquent peuvent révéler des con�its sur celles-ci ; de telsopérateurs sont présentés au chapitre 5. Pour ces raisons et pour permettre à notremodélisation d'être utilisée avec d'autres objectifs que celui de ce travail, nous avonsjugé bon d'adopter une modélisation qui donne une description �ne des processus phy-siques.

Par ailleurs, nous avons adordé la concurrence entre processus. L'approche présentéedans cette thèse n'est pas basée sur la concurrence uniforme [96]. Nous avons présentécinq opérateurs relationnels permettant, à partir de modèles de processus, d'obtenirun modèle du système qu'ils constituent en fonctionnant en concurrence. Le premieropérateur réduit la concurrence à l'entrelacement. Le deuxième et le troisième ramè-nent la concurrence au synchronisme total. Les quatrième et cinquième traduisent lavraie concurrence. Ces deux derniers sont exprimés uniquement grâce aux opérateursprécédents. Ces opérateurs ont des propriétés très intéressantes (commutativité, asso-ciativité et autres) permettant une facilité de calcul. Ils peuvent révéler des situationsde con�it ou de blocage auxquelles nous avons fait allusion dans les exemples traitésau chapitre 5.

185

8. Conclusion et problèmes ouverts 186

Par la suite, nous avons présenté quatre variantes de simulations qui peuvent existerentre deux relations. Nous avons choisi d'étudier deux simulations : la L-simulation etla L�1-simulation, et nous avons montré l'existence d'une dualité entre elles. De ce fait,nous avons restreint notre étude à la L-simulation. À partir de cette dernière notion,nous avons dé�ni la notion de L-bisimulation entre relations. Ensuite, nous avons étendula L-simulation aux processus relationnels. Ainsi, nous utilisons la L-simulation pourcomparer des processus relationnels.

Par ce, nous avons solutionné les sous-problèmes suivants, déja mentionnés à l'in-troduction de cette thèse, et apparaissant dans le parcours de notre objectif �nal :

1. présentation d'une modélisation des processus ;

2. présentation d'opérateurs binaires modélisant diverses manières de mettre deuxprocessus en parallèle ;

3. élaboration d'une notion qui permet de comparer les modèles de processus.

En�n, nous avons donné une formulation pour l'équation d'interface mais dans lecas où la comparaison des processus se fait grâce à la L-bisimulation par rapport àune relation d'abstraction connue. Nous avons abordé l'équation d'interface pour desvariantes de l'équation ainsi formulée.

D'après la proposition 6.4, montrant la dualité entre la L-simulation et la L�1-simulation, nous remarquons que ce que nous avons présenté concernant l'équationd'interface pour la L-bisimulation peut également être fait pour la L�1-bisimulation.

8.1 Problèmes ouverts

Dans le but de tirer pro�t de la théorie développée dans cette thèse, certains travauxsont souhaitables. Il pourrait s'agir de la résolution de problèmes théoriques perçus lorsde l'élaboration de cette thèse tout comme de travaux touchant les di�érents thèmestraités : modélisation de processus, concurrence, bisimulations et résolution de l'équa-tion d'interface. Nous en suggérons quelques-uns.

8.1.1 Modélisation de processus

Dans cette thèse nous avons présenté les processus relationnels comme modèle mathé-matique des processus. Pour permettre une utilisation accrue de ces processus rela-tionnels dans la représentation des systèmes d'envergure, il est important d'avoir uneméthode de documentation qu'on appliquerait aux systèmes qu'ils modélisent et deprésenter les relations sous une forme lisible et facile à manipuler. À ce sujet, nousnous proposons de concevoir une méthode de documentation précise pour les processusrelationnels a�n que, en tâche de véri�cation ou autres, nous disposions de toute l'infor-mation d'une façon lisible. Dans cette documentation, nous pourrions trouver, à titred'exemples, la liste des variables et les ressources qu'elles représentent, les domaines desvariables, les hypothèses prises dans la modélisation du système considéré et d'autres


informations qui sont reliées à la modélisation. Cette documentation pourrait s'inspirerde ce qui est fait pour les programmes séquentiels [73, 74].

Chaque relation d'un processus relationnel peut être représentée de manière à fa-ciliter sa manipulation et à la rendre compréhensible par davantage de personnes. Àcet égard, nous voyons dans les tables de Parnas [72] une représentation qui réalise cesobjectifs.

Nous constatons également qu'il y a un autre point à examiner concernant les rela-tions associées aux processus relationnels. Nous pensons qu'il est important de chercherdes approches permettant la construction des familles de relations des processus rela-tionnels à partir de la relation associée à ceux-ci. Dans cette thèse, nous avons indiquécomment obtenir une relation associée à un processus à partir de sa famille de relationset d'un ensemble U pris comme ensemble universel. En somme, ce que nous proposonsest de tenter de faire le chemin inverse. À titre d'exemple, étant donnée la relationR suivante, comment pouvons-nous générer automatiquement des familles de relations(J , K)-déterminées dont la relation associée sur un ensemble U est R?

R = fx0 = x ^ y0 = x+ y ^ t0 = t ^ z0 = z + 1g

Nous constatons que les familles suivantes engendrent la relation R comme relationassociée sur U = fx; y; z; tg.

fRfx;y;z;tgfx;y;z;tg

g où Rfx;y;z;tgfx;y;z;tg

= R;

fRfx;ygfyg

; Rfzgfzg

g où Rfx;ygfyg

= fy0 = x+ yg et Rfzgfzg

= fz0 = z + 1g;

fRfx;ygfyg

; Rfx;zgfx;zg

g où Rfx;ygfyg

= fy0 = x + yg et Rfx;zgfx;zg

= fx0 = x ^ z0 = z + 1g:

Dans la résolution de l'équation d'interface (chapitre 7), nous obtenons, entre autres,la caractérisation de la relation associée aux processus relationnels qui constituent dessolutions et nous avons besoin de construire ces processus relationnels à partir de larelation associée et d'autres éléments. On voit ainsi l'utilité de trouver des approchesautomatiques permettant la construction des familles de relations à partir de la relationassociée à celles-ci et d'un ensemble universel U . Ceci constitue un travail pratique àenvisager.

8.1.2 Concurrence

Au sujet de la concurrence, nous entrevoyons deux types de travaux futurs. Le premierconcerne l'utilisation des opérateurs de composition parallèle présentés au chapitre 5 àd'autres �ns que celle de la résolution de l'équation d'interface. Le deuxième consisteà l'amélioration de l'expression de certains des opérateurs présentés.

Concernant l'utilisation des opérateurs de composition parallèle, nous comptonsutiliser ces opérateurs ou du moins nous inspirer d'eux pour dé�nir et étudier l'inté-gration de scénarios concurrents (une généralisation du travail présenté dans [31, 32]).De même, nous entrevoyons l'utilisation des opérateurs de composition parallèle pourl'étude des interactions entre systèmes et la détection de con�its possibles sur les res-sources utilisées par ces systèmes.


Pour ce qui se rapporte à l'amélioration des expressions des opérateurs, nous entre-voyons la dé�nition d'autres opérateurs de composition parallèle totalement synchrone.De même, nous considérons qu'un outil logiciel semi-automatique, du moins pour undomaine d'application particulier, pour réaliser des opérations de composition parallèleet détecter des con�its sur les ressources, serait d'une grande utilité.

8.1.3 Bisimulations

En ce qui a trait à la notion de bisimulation, nous avons constaté, lors de notre tra-vail de recherche, la nécessité d'une étude comparative des bisimulations existantes.Cette étude serait comparable à celle faite par van Glabbeek [96] mais couvrirait lesnouvelles bisimulations introduites récemment dans la littérature. Lors de cette étude,une attention particulière serait portée sur les relations d'abstraction assumées, ce qui,généralement, n'est pas clairement indiqué dans les bisimulations introduites par lesméthodes de concurrence uniforme.

De plus, nous estimons que des travaux pour l'étude des U-bisimulation et U�1-bi-simulation sont à envisager. Ces études s'inspireraient d'une part de notre étude de laL-bisimulation. D'autre part, nous avons mentionné par les équations 6.12 et 6.13 quesur la base de la L-simulation, nous pouvons dé�nir d'autres formes de simulation etpar conséquent d'autres formes de bisimulation. Nous voyons ainsi le grand nombre debisimulations à étudier. Une priorité dans l'étude serait donnée aux bisimulations quiont une importance pratique.

8.1.4 Résolution de l'équation d'interface

En matière de résolution de l'équation d'interface, nous prévoyons des travaux pra-tiques ainsi que théoriques. En ce qui concerne les travaux pratiques, il serait intéres-sant d'appliquer les variantes résolues de l'équation d'interface dans les domaines telsque la conversion de protocoles (du moins des exemples de conversion de protocolessimples), la réutilisation de composantes matérielles et logicielles et d'autres domaines.Certainement, des questions telles que le choix de la � bonne � solution vont se poseret il faut les examiner. En ce qui a trait aux travaux théoriques, il reste à aborderla résolution des variantes non examinées de l'équation d'interface. Ces variantes sontnombreuses. Selon qu'on examine l'opérateur de composition parallèle ou la relation debisimulation, nous pouvons dégager un ensemble de variantes d'équations qui reste àétudier. En tenant compte de l'opérateur de composition parallèle et avec la L-bisimu-lation, il reste à examiner les cas où l'opérateur de composition parallèle est �; � ; � .De plus, il reste à généraliser le résultat de la proposition 7.22 concernant l'opérateur�. Dans le cas où nous considérons la bisimulation, nous avons indiqué au chapitre 6le chemin vers la dé�nition d'autres notions de bisimulation. Cela engendrerait desnouvelles variantes de l'équation d'interface à résoudre.

De plus, pour aborder l'équation à deux inconnues, une combinaison entre l'ap-proche procédurale et notre approche pourrait, nous semble-il, mener à une résolutionde l'équation de la formulation 7.1. Il nous semble possible de déterminer � par l'ap-proche procédurale et par la suite d'appliquer notre méthode pour trouver les processus


relationnels solutions de l'équation. Une autre façon d'aborder ce problème serait dedévelopper une approche procédurale pour obtenir une solution, qu'elle soit intéres-sante ou pas pour le domaine d'application, et par la suite à partir de P et Q et decette solution, de tirer la relation d'abstraction a�n de générer toutes les solutions parnotre approche. Une autre façon d'aborder ce problème serait d'examiner l'équation àdeux inconnues en ajoutant à la dé�nition de P --�Q des contraintes comme

P ;>> v � ; Q ;>>

ou

�P;>> v � ; Q ;>>;

ou encore

�P; P ;>> v � ; Q ;>>:

Pour ce faire, des préparatifs mathématiques nous semblent nécessaires pour pouvoiraller plus loin que là où le théorème de Luce (7.7) nous permet de nous rendre.

Les problèmes qui viennent d'être soulevés nous semblent importants à considérer.De même, les travaux futurs envisagés, qui sont en quelque sorte la continuation de ceque nous avons entamé par cette thèse, nécessitent un e�ort considérable et touchentplusieurs domaines du génie logiciel et de l'informatique théorique.

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Index

agents, 53algèbre de relations hétérogène, 14application, 17atome, 24

bisimulationantérieure, 133ultérieure, 133

bisimulationL-bisimule, 146arborescente, 133arrière-avant, 133bran_L-bisimulation, 134d'observation, 133de saut, 133faible, 133forte, 133

borneinférieure, 22supérieure, 22

CCS, 78CCSP, 78chaîne, 22composition

relationnelle, 13, 14composition parallèle

entrelaçante, 80synchrone maximale, 108synchrone minimale, 95

concurrenceuniforme, 2, 78, 130vraie, 80

CSP, 53, 78CWB, 7, 161cylindri�cation

à droite, 39à gauche, 39

demi-treillis, 24démoniaque, 26inférieurement complet, 24supérieurement complet, 24

ELLA, 8ensemble

linéairement ordonné, 22totalement ordonné, 22

EPA, 8

équationd'interface, ii, 1, 159

équations linéaires de relations, 27état, 56

fonction, 18endofonction, 24monotone, 24

identitéà droite, 15à gauche, 15partielle, 18

identitépartielle, 20, 162

in�mum, 14, 22

(J , K)-déterminée, 46

monotype, 20

notation linéaire, xiin÷ud, 56n÷ud

�nal, 57initial, 57

opérateurde cylindri�cation, 38

198

8. Index 199

point, 18�xe, 24post�xe, 24pré�xe, 24

point �xeplus grand, 24, 141, 148, 149, 151,

152, 157plus petit, 24, 141, 148

problèmedu quotient, 5

processus, 53atomique, 54relationnel, i, ii, 54, 55atomique, 62

quantitécontrôlée, 58lue, 58

réseaux de Petri, 78résidu

à droite, 27à gauche, 27

règlede l'égalité indirecte, xivde Schröder, 15de Tarski, 15

relation, 13, 14équivalence, 14antisymétrique, 14associée, 54complément, 14d'abstraction, 135déterministe, 17difonctionnelle, 18homogène, 13homogène, 15injective, 17inverse, 13, 14ordre, 14ré�exive, 14régulière, 18surjective, 17symétrique, 14totale, 17

transitive, 14relation de

I-cylindri�cation, 37pré-ordre, 14

restrictiond'une fonction, 34

simulationL-simule, 135, 139, 140U-simule, 135arrière, 138avant, 138

sous-processusrelationnel, 54, 64

supremum, 14, 22système

de transition, 53fermé, 59ouvert, 59réactif, 54

treillis, 23atomique, 24booléen, 23borné, 23complémenté, 23complet, 23distributif, 23

type, 14

variablelibre, xiiimuette, xii

vecteur, 18vraie-concurrence, 122

maximale, 125minimale, 124

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