Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre
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Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- [email protected]
Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre
Exemple de Système Complexe SUSPENSION ACTIVE HYDROPNEUMATIQUE
Le rôle d’une suspension est de filtrer les irrégularités de la route et d'amortir les mouvements verticaux pour ne pas les transmettre à la caisse du véhicule. La particularité de la suspension active hydropneumatique est d’être une suspension asservie qui évolue suivant les besoins d’amortissement du véhicule lors des phases de conduite. Pour cela, le système utilise comme suspension un réseau de fluide associé à des sphères hydropneumatiques,
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Rappels
Performances attendues
Performances mesurées
Ecart 1
Performances simulées
Ecart 3
Ecart 2
Domaine du commanditaire
Domaine du laboratoire
Domaine de simulation
Système souhaité
Système en utilisation
Système simulé
Comportement réel du système
Domaine Physique (réel)
Comportement simulé du système
Domaine de simulation Validation
Calcul de la fonction de transfert
Modèle de comportement
Linéarisation autour d’un point de fonctionnement
Modèle de connaissance
Objectif d’étude
Schéma-bloc fonctionnel + équa. diff.
Schéma-bloc + Fonction de transfert
Modélisation des entrées et
du système
2
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Comportement réel du système
Domaine Physique (réel)
Comportement simulé du système
Domaine de simulation
Calcul de la fonction de transfert
Modèle de comportement
Linéarisation autour d’un point de fonctionnement
Modèle de connaissance
Objectif d’étude
Schéma-bloc fonctionnel + équa. diff.
Schéma-bloc + Fonction de transfert
Modélisation des entrées et
du système
3
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Rappels
On appelle fonction de transfert H(p) d’un
système la relation dans le domaine
symbolique telle que :
→ caractérise le comportement intrinsèque
du système et ne dépend ni de l'entrée et
ni la sortie.
E(p) S(p) H(p)
H(p) = S(p)
E(p)
4
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Rappels
Chaque bloc possède un modèle de comportement
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Chacun des blocs possède une fonction de transfert
5
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Rappels
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Calcul de
la FTBF du
système
E(p) S(p) H(p)
6
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Rappels
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Calcul de
la FTBF du
système
E(p) S(p) H(p)
FTBO1
FTBO.
retourdechaineladeFT
1FTBF
7
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
Gain pur S(p) = K.E(p)
8
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
Gain pur S(p) = K.E(p)
Ressort Force Allongement
Vitesse de sortie
Réducteur Vitesse d’entée
Potentiomètre Tension Angle
9
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
1er ordre p.1
K
)p(E
)p(S)p(G
10
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
1er ordre p.1
K
)p(E
)p(S)p(G
Moteur pas à pas se comportant comme un circuit RL Schéma électrique du circuit RL
e(t)
i(t)
u(t)
L
R
Réel Modèle
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
2ème ordre
K : gain statique du système.
z : coefficient d’amortissement (z>0).
ω0 : pulsation propre non amortie du système (ω0 >0)
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
12
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Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
2ème ordre
K : gain statique du système.
z : coefficient d’amortissement (z>0).
ω0 : pulsation propre non amortie du système (ω0 >0)
Modèle : Schéma de modélisation du système masse-ressort-amortisseur
Réel : Système d’amortissement d’un quad
f x(t)
F(t)
M k
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
13
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Exemple de Système Complexe SUSPENSION ACTIVE HYDROPNEUMATIQUE
Le rôle d’une suspension est de filtrer les irrégularités de la route et d'amortir les mouvements verticaux pour ne pas les transmettre à la caisse du véhicule. La particularité de la suspension active hydropneumatique est d’être une suspension asservie qui évolue suivant les besoins d’amortissement du véhicule lors des phases de conduite. Pour cela, le système utilise comme suspension un réseau de fluide associé à des sphères hydropneumatiques,
Etude Temporelle des systèmes du 2ème ordre
Vidéo
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1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
15
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1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
16
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1. Définition
Modèle de comportement des systèmes du 2nd ordre
Fonction de transfert
E(p) G(p)
S(p)
K est le gain statique du système.
z est la coefficient d’amortissement.
ω0 est la pulsation propre non
amortie du système.
)t(Ke)t(sdt
)t(ds.
z2
dt
)t(sd.
1
02
2
20
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
17
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1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
18
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Le comportement dynamique du système
est toujours entièrement défini par les
pôles (racines du dénominateur) et les
zéros (racines du numérateur) de la
fonction de transfert.
200
2
20
22
00
p..z.2p
K
)p1
pz.2
1(
K
)p(E
)p(S)p(G
19
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Le comportement dynamique du système
est toujours entièrement défini par les
pôles (racines du dénominateur) et les
zéros (racines du numérateur) de la
fonction de transfert.
200
2
20
22
00
p..z.2p
K
)p1
pz.2
1(
K
)p(E
)p(S)p(G
21 pp.pp
20
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
21
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p
22
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p )1z.(.4.4.z.4 220
20
20
2
c.a.4b2
23
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p )1z.(.4.4.z.4 220
20
20
2
c.a.4b2
Les pôles de la fonction de transfert dépendent de la
valeur de z, il y a 3 cas de figure possible :
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel négatif double
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués 24
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
25
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
Re
Im
p1
p2 Quand z→∞, p1→0
Quand z→∞, p2→–∞
Représentation dans le plan complexe
26
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel double négatif
2 pôles réels confondus
01p
02p
27
![Page 28: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/28.jpg)
Re
Im
p2 = p1
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel double négatif
Représentation dans le plan complexe
2 pôles réels confondus
01p
02p
28
![Page 29: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/29.jpg)
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués
2 pôles complexes conjugués
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
29
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2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués
2 pôles complexes conjugués
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
Re
p1 pour z=0.7
p2 pour z=0.7 p2 pour z=0
p1 pour z=0
p1 et p2 pour z=1 0
Im Cercle de centre 0 et de rayon ω0
Représentation dans le plan complexe
30
![Page 31: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/31.jpg)
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
31
![Page 32: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/32.jpg)
t
u(t)
0 Théorème de la valeur finale
La tangente à l’origine coupe
l’axe des abscisses en t=τ
s(+∞)= )(.lim)(lim0
pSptstt
= 0
s(+∞)=0
3. Réponse à un échelon
e(t) = a.u(t)
Entrée = échelon, e(t)=a.u(t) E(p)=a/p
L
32
![Page 33: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
33
![Page 34: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/34.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
34
![Page 35: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/35.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
35
![Page 36: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/36.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
36
![Page 37: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/37.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
aKpzp
aKpSptss
ppt.
...2
..lim)(.lim)(lim)(
2
00
2
2
0
00
Théorème de la valeur finale
37
![Page 38: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/38.jpg)
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
aKpzp
aKpSptss
ppt.
...2
..lim)(.lim)(lim)(
2
00
2
2
0
00
Théorème de la valeur finale
aKs .)(
Le régime établi ne dépend que du gain statique K alors
que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire 38
![Page 39: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/39.jpg)
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z > 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Système amorti
Réponse apériodique
K.a e(t) = a.u(t)
39
![Page 40: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/40.jpg)
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Amortissement critique
Réponse apériodique
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z = 1 et K = 1
K.a e(t) = a.u(t)
40
![Page 41: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/41.jpg)
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z < 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
Exemples
PySyLiC
Controlsim
EasyReg
Scialb/Xcos
K.a e(t) = a.u(t)
41
![Page 42: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/42.jpg)
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
42
![Page 43: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/43.jpg)
t
u(t)
0 Théorème de la valeur finale
La tangente à l’origine coupe
l’axe des abscisses en t=τ
s(+∞)= )(.lim)(lim0
pSptstt
= 0
s(+∞)=0
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
e(t) = a.u(t)
Entrée = échelon, e(t)=a.u(t) E(p)=a/p
L
43
![Page 44: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/44.jpg)
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
44
![Page 45: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/45.jpg)
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
Avec
3.1. Réponse pour z > 1
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
45
![Page 46: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/46.jpg)
3. Réponse à un échelon
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
46
![Page 47: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/47.jpg)
3. Réponse à un échelon
Décomposition en
éléments simples
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
21 ppppp)p(S
47
![Page 48: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/48.jpg)
3. Réponse à un échelon
21 ppppp)p(S
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
48
![Page 49: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Réponse à un échelon
a.Kp.p
.a.K
21
20
21
2
211
20
pp
p.a.K
pp.p
.a.K
12
1
122
20
pp
p.a.K
pp.p
.a.K
Calcul des coefficients
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
21 ppppp)p(S
49
![Page 50: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/50.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
21 ppppp)p(S
-1 L
50
![Page 51: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Réponse à un échelon
a.K21
2
pp
p.a.K
12
1
pp
p.a.K
3.1. Réponse pour z > 1
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
21 ppppp)p(S
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u).e.pp
pe.
pp
p1.(a.K)t(s tp
12
1tp
21
2 21
51
![Page 52: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/52.jpg)
3. Réponse à un échelon
t
e(t)=a.u(t)
0
s(t)
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Système amorti
Réponse apériodique
K.a
3.1. Réponse pour z > 1 et K < 1
52
![Page 53: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/53.jpg)
p.1.p.1
K.
p
a
pp.pp
.K.
p
a)p(S
2121
20
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z >>> 1 – Notion de pole dominant
11
p
1
22
p
1
53
![Page 54: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/54.jpg)
p.1.p.1
K.
p
a
pp.pp
.K.
p
a)p(S
2121
20
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z >>> 1 – Notion de pole dominant
Re
Im
p1 p2
Pôle négligé Pôle dominant
t
Facteur 10 mini sur la partie réelle des pôles s(t)
Forme de la réponse
Système du 1er
ordre
e(t)
Exemple → PySyLiC 54
![Page 55: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/55.jpg)
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
55
![Page 56: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/56.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1
56
![Page 57: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/57.jpg)
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1
57
![Page 58: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Réponse à un échelon
21
20
pp
.K.
p
a
Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
2 pôles réels confondus
01p
02p
58
![Page 59: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/59.jpg)
3. Réponse à un échelon
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
59
![Page 60: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/60.jpg)
3. Réponse à un échelon
211 ppppp)p(S
Décomposition en
éléments simples
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
60
![Page 61: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/61.jpg)
3. Réponse à un échelon
a.K a.K0.a.K
Calcul des coefficients 211 ppppp
)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
61
![Page 62: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/62.jpg)
3. Réponse à un échelon
211 ppppp)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
-1 L
62
![Page 63: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/63.jpg)
3. Réponse à un échelon
a.K
a.K
0.a.K
211 ppppp)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u.e.t.e1.a.K)t(s t.0
t. 00
63
![Page 64: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/64.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1 et K > 1
t
e(t)=a.u(t)
0
s(t) K.a.
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Amortissement critique
Réponse apériodique
64
![Page 65: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/65.jpg)
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
65
![Page 66: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/66.jpg)
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1
66
![Page 67: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/67.jpg)
3. Réponse à un échelon
21
20
pp.pp
.K.
p
a)p(S
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
67
![Page 68: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/68.jpg)
3. Réponse à un échelon
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
68
![Page 69: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/69.jpg)
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
Décomposition en
éléments simples +
calcul coefficients 2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
69
![Page 70: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/70.jpg)
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
70
![Page 71: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/71.jpg)
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
-1 L
71
![Page 72: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/72.jpg)
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u.)t.sin(.e.z1
z)t.cos(.e1.a.K)t(s p
t..z
2p
t..z 00
72
![Page 73: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/73.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
t
e(t) = a.u(t)
0
s(t)
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
K.a
73
![Page 74: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/74.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1 pour K = 1
20p
pz1
22T
2z1
.z
1 eD
74
![Page 75: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/75.jpg)
3. Réponse à un échelon
Valeur du dépassement transitoire
Pour z≈0,7 on ne remarque
qu’un seul dépassement
visible qui vaut 5%.
Pour z>0,82 il existe des
dépassements mais qui ne
sont pas visibles à l’œil (ils
sont inférieurs à 1%).
75
![Page 76: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/76.jpg)
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
76
![Page 77: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/77.jpg)
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Z=0.1
Z=0.3
Z=0.5
Z=0.7
Z=0.9
temps(secondes)
répo
nse
3. Réponse à un échelon
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
w0 fixé
3.4. t5% et temps de réponse réduit
77
![Page 78: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/78.jpg)
3. Réponse à un échelon
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
W0=0,5 rad/s
W0=1 rad/s
W0=2 rad/s
W0=5 rad/s
W0=10 rad/s
temps(secondes)
répo
nse
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
z fixé
3.4. t5% et temps de réponse réduit
78
![Page 79: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/79.jpg)
3. Réponse à un échelon
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
W0=0,5 rad/s
W0=1 rad/s
W0=2 rad/s
W0=5 rad/s
W0=10 rad/s
temps(secondes)
répo
nse
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
z fixé
Problème :
Temps de réponse à 5% dépend :
- du coefficient d’amortissement z
- et de la pulsation propre ωo du système
→ On détermine le temps de réponse réduit
3.4. t5% et temps de réponse réduit
79
![Page 80: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/80.jpg)
3. Réponse à un échelon
3.4. t5% et temps de réponse réduit
80
![Page 81: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/81.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
ω0=1rad/s
![Page 82: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/82.jpg)
3. Réponse à un échelon
Valeur du dépassement transitoire
Pour z≈0,7 on ne remarque
qu’un seul dépassement
visible qui vaut 5%.
Pour z>0,82 il existe des
dépassements mais qui ne
sont pas visibles à l’œil (ils
sont inférieurs à 1%).
82
![Page 83: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/83.jpg)
3. Réponse à un échelon
83
![Page 84: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/84.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 85: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/85.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 86: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/86.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 87: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/87.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 88: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/88.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 89: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/89.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 90: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/90.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 91: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/91.jpg)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
![Page 92: Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062420/62aeb49c5989f04bbf7e1cfb/html5/thumbnails/92.jpg)
FIN
92