Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle
Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre
92
Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- [email protected] Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre Exemple de Système Complexe SUSPENSION ACTIVE HYDROPNEUMATIQUE Le rôle d’une suspension est de filtrer les irrégularités de la route et d'amortir les mouvements verticaux pour ne pas les transmettre à la caisse du véhicule. La particularité de la suspension active hydropneumatique est d’être une suspension asservie qui évolue suivant les besoins d’amortissement du véhicule lors des phases de conduite.
Transcript of Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre
Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- [email protected]
Réponse Temporelle des systèmes du 2ème ordre
Exemple de Système Complexe SUSPENSION ACTIVE HYDROPNEUMATIQUE
Le rôle d’une suspension est de filtrer les irrégularités de la route et d'amortir les mouvements verticaux pour ne pas les transmettre à la caisse du véhicule. La particularité de la suspension active hydropneumatique est d’être une suspension asservie qui évolue suivant les besoins d’amortissement du véhicule lors des phases de conduite. Pour cela, le système utilise comme suspension un réseau de fluide associé à des sphères hydropneumatiques,
Rappels
Performances attendues
Performances mesurées
Ecart 1
Performances simulées
Ecart 3
Ecart 2
Domaine du commanditaire
Domaine du laboratoire
Domaine de simulation
Système souhaité
Système en utilisation
Système simulé
Comportement réel du système
Domaine Physique (réel)
Comportement simulé du système
Domaine de simulation Validation
Calcul de la fonction de transfert
Modèle de comportement
Linéarisation autour d’un point de fonctionnement
Modèle de connaissance
Objectif d’étude
Schéma-bloc fonctionnel + équa. diff.
Schéma-bloc + Fonction de transfert
Modélisation des entrées et
du système
2
Comportement réel du système
Domaine Physique (réel)
Comportement simulé du système
Domaine de simulation
Calcul de la fonction de transfert
Modèle de comportement
Linéarisation autour d’un point de fonctionnement
Modèle de connaissance
Objectif d’étude
Schéma-bloc fonctionnel + équa. diff.
Schéma-bloc + Fonction de transfert
Modélisation des entrées et
du système
3
Rappels
On appelle fonction de transfert H(p) d’un
système la relation dans le domaine
symbolique telle que :
→ caractérise le comportement intrinsèque
du système et ne dépend ni de l'entrée et
ni la sortie.
E(p) S(p) H(p)
H(p) = S(p)
E(p)
4
Rappels
Chaque bloc possède un modèle de comportement
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Chacun des blocs possède une fonction de transfert
5
Rappels
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Calcul de
la FTBF du
système
E(p) S(p) H(p)
6
Rappels
S(p)
Chaîne directe
Chaîne de retour
Chaine d’énergie
Chaîne d’information
- +
Ecart ε(t)
H1(p) E(p)
H2(p) H3(p) H4(p)
H(p)
Calcul de
la FTBF du
système
E(p) S(p) H(p)
FTBO1
FTBO.
retourdechaineladeFT
1FTBF
7
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
Gain pur S(p) = K.E(p)
8
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
Gain pur S(p) = K.E(p)
Ressort Force Allongement
Vitesse de sortie
Réducteur Vitesse d’entée
Potentiomètre Tension Angle
9
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
1er ordre p.1
K
)p(E
)p(S)p(G
10
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
1er ordre p.1
K
)p(E
)p(S)p(G
Moteur pas à pas se comportant comme un circuit RL Schéma électrique du circuit RL
e(t)
i(t)
u(t)
L
R
Réel Modèle
11
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
2ème ordre
K : gain statique du système.
z : coefficient d’amortissement (z>0).
ω0 : pulsation propre non amortie du système (ω0 >0)
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
12
Rappels
Modèles de comportement des systèmes les plus
simples
2ème ordre
K : gain statique du système.
z : coefficient d’amortissement (z>0).
ω0 : pulsation propre non amortie du système (ω0 >0)
Modèle : Schéma de modélisation du système masse-ressort-amortisseur
Réel : Système d’amortissement d’un quad
f x(t)
F(t)
M k
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
13
Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- [email protected]
Exemple de Système Complexe SUSPENSION ACTIVE HYDROPNEUMATIQUE
Le rôle d’une suspension est de filtrer les irrégularités de la route et d'amortir les mouvements verticaux pour ne pas les transmettre à la caisse du véhicule. La particularité de la suspension active hydropneumatique est d’être une suspension asservie qui évolue suivant les besoins d’amortissement du véhicule lors des phases de conduite. Pour cela, le système utilise comme suspension un réseau de fluide associé à des sphères hydropneumatiques,
Etude Temporelle des systèmes du 2ème ordre
Vidéo
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
15
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
16
1. Définition
Modèle de comportement des systèmes du 2nd ordre
Fonction de transfert
E(p) G(p)
S(p)
K est le gain statique du système.
z est la coefficient d’amortissement.
ω0 est la pulsation propre non
amortie du système.
)t(Ke)t(sdt
)t(ds.
z2
dt
)t(sd.
1
02
2
20
22
00
p1
pz.2
1
K
)p(E
)p(S)p(H
17
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
18
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Le comportement dynamique du système
est toujours entièrement défini par les
pôles (racines du dénominateur) et les
zéros (racines du numérateur) de la
fonction de transfert.
200
2
20
22
00
p..z.2p
K
)p1
pz.2
1(
K
)p(E
)p(S)p(G
19
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Le comportement dynamique du système
est toujours entièrement défini par les
pôles (racines du dénominateur) et les
zéros (racines du numérateur) de la
fonction de transfert.
200
2
20
22
00
p..z.2p
K
)p1
pz.2
1(
K
)p(E
)p(S)p(G
21 pp.pp
20
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
21
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p
22
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p )1z.(.4.4.z.4 220
20
20
2
c.a.4b2
23
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Calcul des pôles
200
2 p..z.2p )1z.(.4.4.z.4 220
20
20
2
c.a.4b2
Les pôles de la fonction de transfert dépendent de la
valeur de z, il y a 3 cas de figure possible :
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel négatif double
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués 24
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
25
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z > 1 → Δ > 0 → 2 pôles réels négatifs
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
Re
Im
p1
p2 Quand z→∞, p1→0
Quand z→∞, p2→–∞
Représentation dans le plan complexe
26
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel double négatif
2 pôles réels confondus
01p
02p
27
Re
Im
p2 = p1
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z = 1 → Δ = 0 → 1 pôle réel double négatif
Représentation dans le plan complexe
2 pôles réels confondus
01p
02p
28
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués
2 pôles complexes conjugués
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
29
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
Cas z < 1 → Δ < 0 → 2 pôles complexes conjugués
2 pôles complexes conjugués
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
Re
p1 pour z=0.7
p2 pour z=0.7 p2 pour z=0
p1 pour z=0
p1 et p2 pour z=1 0
Im Cercle de centre 0 et de rayon ω0
Représentation dans le plan complexe
30
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
31
t
u(t)
0 Théorème de la valeur finale
La tangente à l’origine coupe
l’axe des abscisses en t=τ
s(+∞)= )(.lim)(lim0
pSptstt
= 0
s(+∞)=0
3. Réponse à un échelon
e(t) = a.u(t)
Entrée = échelon, e(t)=a.u(t) E(p)=a/p
L
32
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
33
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
34
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
35
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
36
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
aKpzp
aKpSptss
ppt.
...2
..lim)(.lim)(lim)(
2
00
2
2
0
00
Théorème de la valeur finale
37
3. Réponse à un échelon
Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :
Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :
0...2
..
1.lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
pppSpptss
ppt → Pente à l’origine =0
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
La tangente à l’origine est une droite horizontale
(ce qui est différent du système du 1er
ordre)
0...2
...lim)(..lim)('lim)0('
2
00
2
2
02
0
pzp
K
p
appSpptss
ppt
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
aKpzp
aKpSptss
ppt.
...2
..lim)(.lim)(lim)(
2
00
2
2
0
00
Théorème de la valeur finale
aKs .)(
Le régime établi ne dépend que du gain statique K alors
que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire 38
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z > 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Système amorti
Réponse apériodique
K.a e(t) = a.u(t)
39
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Amortissement critique
Réponse apériodique
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z = 1 et K = 1
K.a e(t) = a.u(t)
40
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
3. Réponse à un échelon
Réponse pour z < 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
Exemples
PySyLiC
Controlsim
EasyReg
Scialb/Xcos
K.a e(t) = a.u(t)
41
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
42
t
u(t)
0 Théorème de la valeur finale
La tangente à l’origine coupe
l’axe des abscisses en t=τ
s(+∞)= )(.lim)(lim0
pSptstt
= 0
s(+∞)=0
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
e(t) = a.u(t)
Entrée = échelon, e(t)=a.u(t) E(p)=a/p
L
43
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
44
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
Avec
3.1. Réponse pour z > 1
2 pôles réels négatifs
Remarque : 2021 p.p
)1z(..zp 2001
)1z(..zp 2002
45
3. Réponse à un échelon
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
46
3. Réponse à un échelon
Décomposition en
éléments simples
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
21 ppppp)p(S
47
3. Réponse à un échelon
21 ppppp)p(S
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
48
3. Réponse à un échelon
a.Kp.p
.a.K
21
20
21
2
211
20
pp
p.a.K
pp.p
.a.K
12
1
122
20
pp
p.a.K
pp.p
.a.K
Calcul des coefficients
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.1. Réponse pour z > 1
21 ppppp)p(S
49
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z > 1
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
21 ppppp)p(S
-1 L
50
3. Réponse à un échelon
a.K21
2
pp
p.a.K
12
1
pp
p.a.K
3.1. Réponse pour z > 1
21
20
200
2
20
pp.pp
.K.
p
a
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
21 ppppp)p(S
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u).e.pp
pe.
pp
p1.(a.K)t(s tp
12
1tp
21
2 21
51
3. Réponse à un échelon
t
e(t)=a.u(t)
0
s(t)
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Système amorti
Réponse apériodique
K.a
3.1. Réponse pour z > 1 et K < 1
52
p.1.p.1
K.
p
a
pp.pp
.K.
p
a)p(S
2121
20
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z >>> 1 – Notion de pole dominant
11
p
1
22
p
1
53
p.1.p.1
K.
p
a
pp.pp
.K.
p
a)p(S
2121
20
3. Réponse à un échelon
3.1. Réponse pour z >>> 1 – Notion de pole dominant
Re
Im
p1 p2
Pôle négligé Pôle dominant
t
Facteur 10 mini sur la partie réelle des pôles s(t)
Forme de la réponse
Système du 1er
ordre
e(t)
Exemple → PySyLiC 54
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
55
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1
56
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1
57
3. Réponse à un échelon
21
20
pp
.K.
p
a
Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
2 pôles réels confondus
01p
02p
58
3. Réponse à un échelon
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
59
3. Réponse à un échelon
211 ppppp)p(S
Décomposition en
éléments simples
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
60
3. Réponse à un échelon
a.K a.K0.a.K
Calcul des coefficients 211 ppppp
)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
61
3. Réponse à un échelon
211 ppppp)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
-1 L
62
3. Réponse à un échelon
a.K
a.K
0.a.K
211 ppppp)p(S
21
20
pp
.K.
p
a
2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.2. Réponse pour z = 1
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u.e.t.e1.a.K)t(s t.0
t. 00
63
3. Réponse à un échelon
3.2. Réponse pour z = 1 et K > 1
t
e(t)=a.u(t)
0
s(t) K.a.
Tangente horizontale à l’origine Théorème de la valeur finale
Amortissement critique
Réponse apériodique
64
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
65
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1
66
3. Réponse à un échelon
21
20
pp.pp
.K.
p
a)p(S
)z1(..j.zp 2001
)z1(..j.zp 2002
Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
67
3. Réponse à un échelon
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
68
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
Décomposition en
éléments simples +
calcul coefficients 2
002
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
69
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
70
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
-1 L
71
3. Réponse à un échelon
2p
20
02
p2
0
0
.zp
.z
.zp
.zp
p
1.a.K)p(S
)z1(. 20p Avec
200
2
20
p..z.2p
.K.
p
a)p(S
3.3. Réponse pour z < 1
-1 L
Régime permanent Régime transitoire
)t(u.)t.sin(.e.z1
z)t.cos(.e1.a.K)t(s p
t..z
2p
t..z 00
72
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1 et K = 1
t
e(t)=u(t)
0
s(t)
K
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
t
e(t) = a.u(t)
0
s(t)
Tangente horizontale
à l’origine
Système sous amorti
Réponse pseudo-périodique
Tp
D1
t1 =Tp/2
K.a
73
3. Réponse à un échelon
3.3. Réponse pour z < 1 pour K = 1
20p
pz1
22T
2z1
.z
1 eD
74
3. Réponse à un échelon
Valeur du dépassement transitoire
Pour z≈0,7 on ne remarque
qu’un seul dépassement
visible qui vaut 5%.
Pour z>0,82 il existe des
dépassements mais qui ne
sont pas visibles à l’œil (ils
sont inférieurs à 1%).
75
1. Définition
2. Recherche des pôles de la fonction de transfert
3. Réponse à un échelon
Pour z>1
Pour z=1
Pour z<1
Temps de réponse à 5%
Temps de réponse réduit
76
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Z=0.1
Z=0.3
Z=0.5
Z=0.7
Z=0.9
temps(secondes)
répo
nse
3. Réponse à un échelon
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
w0 fixé
3.4. t5% et temps de réponse réduit
77
3. Réponse à un échelon
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
W0=0,5 rad/s
W0=1 rad/s
W0=2 rad/s
W0=5 rad/s
W0=10 rad/s
temps(secondes)
répo
nse
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
z fixé
3.4. t5% et temps de réponse réduit
78
3. Réponse à un échelon
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
W0=0,5 rad/s
W0=1 rad/s
W0=2 rad/s
W0=5 rad/s
W0=10 rad/s
temps(secondes)
répo
nse
Réponses indicielles d’un système du 2ème ordre
z fixé
Problème :
Temps de réponse à 5% dépend :
- du coefficient d’amortissement z
- et de la pulsation propre ωo du système
→ On détermine le temps de réponse réduit
3.4. t5% et temps de réponse réduit
79
3. Réponse à un échelon
3.4. t5% et temps de réponse réduit
80
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
ω0=1rad/s
3. Réponse à un échelon
Valeur du dépassement transitoire
Pour z≈0,7 on ne remarque
qu’un seul dépassement
visible qui vaut 5%.
Pour z>0,82 il existe des
dépassements mais qui ne
sont pas visibles à l’œil (ils
sont inférieurs à 1%).
82
3. Réponse à un échelon
83
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
3. Réponse à un échelon
Exercice – Courbes page 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.5
1.0
1.5
2.0
s(t) / K
Temps en s
z = 0.01
Bande correspond à 0,95.s(∞) et 1,05.s(∞)
FIN
92
