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Chapitre 3: Etats limites de service vis vis de la durabilit de la structure

3.1 Sollicitations de calcul vis vis des tats limites de service (BAEL 91, art.A.3.3.3)

Elles rsultent des combinaisons dactions ci aprs, dites combinaisons rares :

maxG + minG + 1Q + iiQ 0 (3-1)

maxG : lensemble des actions permanentes dfavorables ;

minG : lensemble des actions permanentes favorables

1Q : une action variable dite de base ;

iQ : les autres actions variables dites daccompagnement (avec i > 1)

i0 iQ : une valeur de combinaison

Remarque : Le coefficient i0 est fix par les textes en vigueur ou par des documents

particuliers de march.

3.2 Justifications

3.2.1 Etat limite de compression du bton (BAEL 91, art. A.4.5.2)

La contrainte de compression du bton (bc

) est limite 0.6cjf .

bc 0.6 cjf . (3-2)

Aveccj

f : la rsistance la compression lge j exprim en jours.

3.2.2 Etat limite douverture des fissures (BAEL 91, art. A.4.5.3)

Principe de la justification (BAEL 91, art A.4.5.31)Les formes et les dimensions de chaque lment, ainsi que les dispositions des

armatures, sont conues de manire limiter la probabilit dapparition de fissures dune

largeur suprieure celle qui serait tolrable en raison du rle et de la situation de louvrage.

En effet les fissures de largeur excessive peuvent compromettre laspect des parements,

ltanchit des parois, la tenue des armatures vis vis de la corrosion. IL est cependant

reconnu quil nest pas possible de fixer priori une largeur de fissure respecter, vu la trs

grande variabilit du phnomne ; en outre la durabilit des structures ne parat lie qu unordre de grandeur de louverture des fissures (quelques diximes de millimtres pour les cas

les plus courants) Ainsi la limitation de louverture des fissures savre ncessaire. Cette

limitation est conditionne par :

- le pourcentage des armatures tendues- les diamtres de ces armatures ( proportionner aux dimensions transversales des

pices)

- la rpartition de ces armatures- la contrainte de traction dans les armatures.

La limitation de la contrainte de traction dans les armatures dpend essentiellement de :

- lenvironnement (agressivit)- la nature de la structure (les pices minces et la multiplication des surfaces de

reprise)

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- lutilisation de louvrage (limportance des charges quasi-permanentes et des actionstrs frquentes, le contact avec les produits nocifs).

La valeur limite de la contrainte de traction, notes

, dpend de la nuisibilit de la

fissure.

Cas o la fissuration est considre comme peu prjudiciable (BAEL 91,art.A4.5.32)

Les rgles minimales appliquer sont les suivantes

- Pour viter des fissurations abusives (BAEL91, art. A.4.5.321) dans les picesrelativement sollicites, il convient dfaut de rgles consacres par lexprience de

concevoir des lments non fragiles (au sens de larticle A.4.2 des rgles BAEL 91)

pour les parties ne comportant pas de joint de dilatation et de prvoir sil y a lieu des

armatures de peau conformment larticle A.8.3 BAEL 91).

- Certains lments font lobjet de rgles forfaitaires consacres par lexprience . Ilsagit notamment des sur appuis continus (A.8.2 BAEL 91), des poutres (A.8.3

BAEL 91) et de certains parties de btiments courants (B.5, BAEL 91)

- Pour limiter la fissuration (BAEL91,art.A.4.5.323), il convient dans la mesure dupossible :

-de nutiliser les gros diamtres que dans les pices suffisamment paisses ;

- dviter les trs faibles diamtres dans les pices exposes aux intempries ;

- de prvoir le plus grand nombre de barres compatible avec une mise en place

correcte du bton et assurant une rpartition convenable des fissures (voir

les dispositions des armatures prcises dans le commentaire de larticle

A.4.5.323 des Rgles BAEL 91)

Cas o la fissuration est considre comme prjudiciable (BAEL91 ;artA.4.5.33)

En plus des recommandations indiques ci dessus (relatives au cas de la

fissuration peu prjudiciable :art.A4.5.32 BAEL 91), on observe les rgles

suivantes :

- la contrainte limite de traction (s

) des armatures est gale :

s

= Minimum (

3

2 ef ; 110 tjf ) en (MPa) (3-3)

ef : la limite dlasticit des aciers utiliss

tjf : la rsistance caractristique du bton exprime en MPa.

: un coefficient numrique, dit coefficient de fissuration, qui vaut 1 pour les

ronds lisses y compris les treillis souds forms de fils trfils lisses et 1.6 pour les

armatures haute adhrence, sauf le cas des fils de diamtre infrieur 6 mm pour

lesquels on prend 1.3.

- le diamtre des armatures le plus proche des parois est au moins gal 6 mm.

- dans le cas des dalles et des voiles faisant au plus 40 cm dpaisseur,

lcartement des armatures dune mme nappe est au plus gal la plus petite desdeux valeurs 25 cm et 2 h (h : lpaisseur total de llment)

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Cas o la fissuration est considre comme trs prjudiciable (BAEL91, art.A.4.5.34)

En plus des recommandations relatives au cas de la fissuration peu prjudiciable

(BAEL91, A.4.532), on observe les rgles suivantes :

- la contrainte limite de traction (s

) des armatures est gale :

s

= Minimum (0.5 ef ; 90 tjf ) (en MPa) (3-4)

avec les mmes notations que dans le cas de la fissuration prjudiciable.

- le diamtre des armatures les plus proches des parois est au moins gal 8 mm ;

- dans le cas des dalles et des voiles faisant au plus 40 cm dpaisseur,

lcartement des armatures dune mme nappe est au plus gal la plus petite des

deux valeurs 20 cm et 1.5 h (h :paisseur totale de llment).- les armatures de peau (pour les poutres de grande hauteur) ont une section au

moins gale 5 2cm /mtre de parement ;

- lorsque la membrure tendue dune poutre est constitue de barres de diamtre

suprieur 20 mm, lcartement de celles-ci dans le sens horizontal est au plus

gal trois fois leur diamtre.

3.3 Rgles de calcul en section courante (BAEL 91, A.4.5.1)

Les calculs sont conduits moyennant les hypothses suivantes :

- les sections droites restent planes (hypothse de Navier Bernouilli) ;- pas de glissement relatif entre les armatures et le bton en dehors du voisinage

immdiat des fissures ;

- le bton tendu est nglig ;- le bton et lacier sont considrs comme des matriaux linairement lastiques et il

est fait abstraction du retrait et du fluage du bton ;

- par convention, le rapport n du module dlasticit longitudinale de lacier celui dubton ou coefficient dquivalence a pour valeur 15 (

b

a

E

E= 15 avec

aE : le module dlasticit de lacier, bE : le module diffr du bton)

3.4. Flexion simple aux tats limites de service

3.4.1 Section rectangulaire avec ou sans armatures comprimes

Moment rsistant du bton : rbM Le moment rsistant rbM est le moment de service pour lequel ltat limite de

compression du bton (caractris par bc =

bc = 0.6

cjf ) et ltat limite

douverture des fissures (caractris par s = s

) sont atteints simultanmentcomme le montre la figure 3.1

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18

En posant1

=d

y1

, le diagramme des contraintes reprsent sur la figure 4.1 donne

1

=

bcs

bc

15

15

.

Comme le moment rbM est quilibr par le diagramme des contraintes reprsent sur la

figure 3.1, les quations dquilibre de la section donnent :

bcF

- sF

= 0 bcF

= sF

(3-5)

rbM = bcF

Z

(3-6)

avecbcF

est la force de compression du bton obtenue par intgration des contraintes de

compression du bton (voir la figure 3.1) ;sF

est la force de traction des armatures tendues

et Z

le bras de levier (voir la figure 3.1).

d

1y

0b

serA

bc

15

s

bcF

Z

= d -31y

sF

= serA s

Figure 3.1 : Diagramme de contraintes correspondant rbM

On dsigne par :

1y

: la hauteur du bton comprim correspondant au diagramme des contraintes

passant par les contraintes limites de compression du bton et de traction des

aciers respectivement :

bc et s

.

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Ainsi, compte tenu des quations dquilibre (3-5) et (3-6), on obtient :

rb

M =2

1

( 1 -3

1

)0

b 2d

bc

(3-7)

Calcul des armaturesDonnes :

serM (moment flchissant lELS), 0b , d, 28cf et s

Inconnues : section darmatures tendues lELS (serA ) et section darmatures :

Comprimes : serA' ( ventuellement)

- Si serM rbM bc

bc : Armatures comprimes non ncessaires

Mise en quations :

s =

s

En posant 1 =d

y1 avec 1y : la hauteur du bton comprim quilibrant serM ,

on obtient lexpression suivante de serM :

serM = 2

1

bc 1 (1 - 3

1

) 0b

2

d (3-8)

(1 1

carbc

bc )

Le diagramme des contraintes quilibrantserM (Diagramme similaire celui de

la figure3-1 tout en remplaant

bc par

bc etZ

parbZ ) donne

bc =

15

s

1

1

1

(4-5) et

bZ = d (1 -3

1 ) (3.-9)

Compte tenu de (3-9), serM peut tre donn par lexpression (3-10) suivante :

serM =30

s

1

2

1

1

(1 -

3

1 ) 0b 2

d (3-10)

Lquation (3-10) reprsente une quation du troisime degr en 1

Ainsi la rsolution de (3-10) 1 bZ = d (1 -

3

1 )

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Par consquent la section des armatures tendues serA est donne par lexpression

(3-11)

serA =

sZ

M

b

ser

(3-11)

- Si serM > rbM bc > bc Armatures comprimes ncessaires ( 'serA )Dans ce cas serM peut se mettre sous la forme suivante :

serM = rbM + 2M (avec 2M 0.40 serM )

Le schma dquilibre de la section est similaire celui prsent lELU.

Le diagramme des contraintes de la section est celui correspondant rbM .

Contraintes au niveau des armatures :

Armatures comprimes ( 'serA ) : sc = 15

bc

1

'1

(3-12)

' =d

d'

Armatures tendues (serA ): s = s

(3-13)

Sections daciers :

'

serA =)( 'dd

MM

sc

rbser

(3-14)

serA =

sd

Mrb

)3

11(

+ 'serA

s

sc

(3-15)

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3.5 Calcul des contraintes aux tats limites de service

Les conditions dutilisation dun ouvrage peuvent changer au cours de son exploitation

(variation de la charge dexploitation, la nuisibilit des fissures). Ainsi la vrification des

contraintes aux tats limites de service savre ncessaire.

3.5.1 Cas dune section rectangulaire

Donnes :

- Coffrage: 0b , d (voir la figure3.2)- Armatures : tendues (A) et comprimes ( 'A ) (voir la figure 3.2)- Contraintes limites des matriaux : bton (

bc ), acier (

s

)

- Sollicitation de calcul : Moment flchissant lELS (serM )

Inconnues- Contrainte de compression du bton : bc - Contrainte de traction des armatures tendues : s- Contrainte de compression des armatures comprimes : sc

On dsigne par :

1y : la hauteur du bton comprim

G : le centre de gravite de la section homogne :hB = cB + 15 (A +

'A )

dG

z

y'

d

Bton comprim :c

B 1

y

0b

'A

A

serM

bc

15

sc

15

s

Coffrage de la section Diagramme des contraintes

Figure 3.2: Coffrage de la section et Contraintes

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Calcul des contraintesPour le calcul des contraintes normales, on applique la formule classique de la

rsistance des matriaux ( =I

My) la section homogne : hB . Ainsi le calcul de ces

contraintes ncessite la dtermination du moment dinertie de la section homogne.

- Moment dinertie de la section homogne

En flexion simple, laxe neutre de la section ( hB ), dfini par 1y .comme le montre la figure

3.2, passe le centre de gravit G. Ainsi, dans le repre (G, Gz, Gy), 1y est donn par

lquation (3-16)

Gi

i

iyS

3

1

= 0 (3-16)

avec

1S = laire du bton comprim ( cB ) 1S = 0b 1y et 1Gy = 21

ydans (G, Gz, Gy)

2S = 15'

A et 2Gy = 1y -'

d dans (G, Gz, Gy)

3S = 15 A et 3Gy = - (d - 1y ) dans (G, Gz, Gy)

Compte tenu, des valeurs des couples ( 1S , 1Gy ), ( 2S , 2Gy ), ( 3S , 3Gy ) dfinies ci dessus,

lquation (3-16) scrit comme suit :

2

0b 21y + 15'

A ( 1y -'

d ) 15 A (d - 1y ) = 0 ( 3-17)

Ainsi le moment dinertie de la section homogne rduite par rapport laxe neutre(Gz) est

donne par la formule (3-18)

1I = 0b 3

3

1y + 15 'A 2'1 )( dy + 15 A2

1 )( yd (3-18)

Ainsi les contraintes sont donnes par le systme dquations (3-19)

bc =

1I

Mser1

y

s =

1

15

I

Mser (d - 1y ) (3-19)

sc =

1

15

I

Mser ( 1y -'

d )

Justification des contraintesLa justification des contraintes consiste comparer les contraintes donnes par (3-19) aux

contraintes limites correspondantes ltat limite de compression du bton et ltat limite

douverture des fissures savoir :

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bc

bc

?

s

s

?

sc s

e

f

?

3.5.2 Cas dune section en T

Donnes

- Coffrage : Table de compression (b, 0h ), largeur de la nervure ( 0b ), hauteur utile (d)(voir la figure 3.3)

- Armatures : tendues (A) et comprimes ( 'A ) : voir la figure 3.3)- Contraintes limites des matriaux : bton ( bc ), acier (

s

)

- Sollicitation de calcul : Moment flchissant lELS ( serM )Inconnues

- Contrainte de compression du bton : bc - Contrainte de traction des armatures tendues : s- Contrainte de compression des armatures comprimes :

sc

Dans ce cas, le calcul du moment dinertie dpend de la position de laxe neutre (dfinie par

1

y : voir la figure 3.3). Ainsi, on distingue deux cas :

b

'A

A

0b

d

0h

'd

1y

G z

ybc

15

sc

15

s

serM

Figure 3.3: Coffrage + Contraintes

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- re1 cas : 1y 0h laxe neutre tombe dans la table : Calcul des contraintes dune

section rectangulaire (b, d).

- ime2 cas : 1y > 0h laxe neutre tombe dans la nervure : Calcul des contraintes dune

section en T.

Dans ce cas, lquation (3-16) scrit sous la forme suivante :

0b2

2

1y + 1y [(b - 0b ) 0h + 15 ('

A + A)] [(b - 0b )2

2

0h + 15 ('

A 'd +Ad)] = 0 (3-20)

Dans ce cas, le moment dinertie de la section homogne rduite est donn par la formule

suivante :

1I = b3

31y - (b - 0b )

3

)( 301 hy + 15'

A 2'1 )( dy + 15 A2

1 )( yd ( 3-21)

Remarque : Dans ce cas, les contraintes sont donnes par les formules (3-19)

En fin le problme est Comment dterminer la position de laxe neutre : ( re1 cas ou ime2

cas) Dans ce but, nous dfinissons la fonction f( 1y ) comme suit :

f( 1y ) = 0b

2

2

1y + 1y [(b - 0b ) 0h + 15 ('

A + A)] [(b - 0b )

2

2

0h + 15 ( 'A 'd +Ad)] (3-22)

La fonction f( 1y ) est un polynme du second degr qui peut se mettre sous la forme

suivante :

f( 1y ) = 2

1y + 1y +

avec > 0, > 0 et < 0. le polynme f( 1y ) (donne par (3-22)) admet deux

racines relles de signes contraires. On note ces racines par RC1< 0 et RC2 > 0. Ltude de

signe de ce polynme est donne dans le tableau 3.1.

Racines - RC1 RC2 +

Signe + - +

Tableau 3.1 : Etude de signe de f( 1y )

Le tableau (3-1) montre que :

- si la racine 1y > 0h f ( 0h ) < 0- si la racine 1y < 0h f ( 0h ) > 0

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Rcapitulation :

- calculer f ( 0h )- si f ( 0h ) > 0 1y < 0h : re1 cas (section rectangulaire)- si f ( 0h ) < 0 1y > 0h : ime2 cas (section en T)