Résoudre des problèmes mathématiques

à l'Ecole Maternelle

Animation pédagogique – Aurillac 2 – janvier 2012

Plan�:

Les textes

Comment développer une pensée logique et des compétences

méthodologiques�?

- Développer la pensée logique- Qu'est-ce qu'un problème mathématique�?- Quels types de situations�?- Quels types de problèmes en maternelle�?- Quelles procédures�?- Les phases de résolution

Comment acquérir des compétences notionnelles pour

développer la pensée logique�?

- Quelles compétences�?- Pourquoi les développer�?- Le choix des supports

Des exemples de problèmes pour chercher

Un support particulier�: les albums non numériques

Bibliographie

«�A l'Ecole Maternelle, l'enfant apprend à adopter un autre point de vue que le sien et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement.�»

Les textes

Extraits des programmes de 2008�:

«�Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.�»

«�À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques.�»

Apprendre à l'enfant à�:

formuler des interrogations,

anticiper des situations,

prévoir des conséquences,

observer les effets de ses actes,

construire des relations entre les phénomènes observés,

identifier des caractéristiques susceptibles d'être catégorisées.

L'enfant s'essaie à raisonner.

Développer la pensée logique c'est...

Qu'est-ce qu'un problème ?Définition Jean Brun – Chercheur INRP Neuchâtel

Un problème se caractérise par �:

- Une situation initiale avec un but à atteindre

- Une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but

- Un rapport sujet/situation

Dévolution

Engagement

Construction de réponses

Comment favoriser l'identification de la situation et de la tâche�? (atteindre la dévolution)

- Par la formulation de l'enseignant et les reformulations de la consigne par l'élève,- Par le matériel� qui donne une dimension ludique à la situation�:

- Par l'utilisation d'exemples et de contre exemples�:

Comment favoriser l'engagement de l'enfant� dans la résolution ?

- par l'intérêt porté à l'activité de l'enfant dans l'atelier,- par les encouragements,- par une aide appropriée,- par la mise en valeur du défi à relever.

Comment favoriser la construction de réponses par tous ?

En envisageant une différenciation des activités par le jeu des variables didactiques.

Recenser le matériel de sa classe et réfléchir à son utilisation est fondamental.

Quels types de situations ?

On peut s'appuyer� sur�:

- les situations fonctionnelles�qui naissent d'un besoin réel de la vie de classe,

- les situations rituelles qui se répètent quotidiennement,

- les situations construites qui s'appuient sur un jeu, un matériel... dont l'enseignant maîtrise la situation.

Quels types de problèmes

à l'Ecole Maternelle ?Deux catégories de problèmes, dans les différents domaines mathématiques permettent de travailler des compétences-clés :

- les problèmes pour apprendre,

- les problèmes pour chercher.

Problèmes d'arithmétique Problèmes de logique(arbre de

probabilités, tableau à double

entrée)

Problèmes de topologie

(construction dans l'espace)Numération Calcul Mesure

Mettre le couvert dans le coin cuisine

Distribuer des bonbons

Comparer la taille d'objets, de camarades

Réaliser toutes les soupes possibles avec 4 légumes

Réaliser un pavage

Quelques exemples avec un matériel identique�:- le Tamgram�: Situation 1�: Situation 2�: problème pour apprendre problème pour chercher

- les géoplans �:

Situation 1�: problème pour apprendre

Situation 2�: problème pour chercher

Quelles procédures de résolution

pour un problème de recherche ?

Les élèves ont recours �à différentes procédures :

- par essais et ajustements,

- par induction,

- par déduction.

But de l'activité : compléter une grille

But de l'activité : trouver un objet caché

J'ai caché une de ces pièces...laquelle est-ce ?

Est-ce un carré ? NONEst-elle bleue ? NONEst-elle jaune ? NON

Les différentes phases

de résolution :

Trois phases sont à distinguer�:

- la phase de découverte/d'identification�: elle est essentielle,

- la phase de recherche, de résolution�: c'est le vrai moment de mathématique,

- la phase de familiarisation�: faire et refaire pour installer de vrais acquis .

Des compétences notionnelles

pour favoriser la pensée logique :

- Comparer des objets,

- Ranger, sérier,

- Trier,

- Classer,

- Reconnaître et poursuivre

des rythmes,

- Interpréter et produire des

symboles.

des outils permettant l'accès à de nouveaux savoirs

un moyen pour développer des capacités d'abstraction

Quelques précisions autour de ce vocabulaire :

Sérier/Ranger�:

Une sériation est un algorithme, une alternance.

Un exemple de rangement�: la frise chronologique�

Trier/Classer�:

L'élève effectue un tri.

L'élève effectue un classement.

Le choix du matériel et les activités :

Privilégier le matériel structuré .

Après familiarisation avec le matériel, proposer des jeux de logique�:

Repérer l'intrus�: Retrouver l'élément manquant�:

Jeu du portrait�: Retrouver des différences� entre 2 compositions :

Proposer ensuite des problèmes pour chercher�:

Trouver toutes les associations possibles�:

Trouver le bloc logique choisi au préalable�:

Essais, ajustements

Déduction

Problèmes arithmétiques� de partition�: Les jetons�:

Les boîtes à oeufs�:

Autres situations de problèmes pour chercher :

Les cartes étoilées�:

Les boîtes à points�:

Les voitures et les passagers�:

Grilles, jetons et nombres�:

Problèmes arithmétiques� additifs ou soustractifs, d'échange�:

Les collections cachées �:

Situation But Variables didactiques

Une boîte fermée avec une fente contient une collection initiale de jetons. On en ajoute ou en enlève.

Trouver l'état final (transformation d'une collection)

- Trouver la transformation (combien en ai-je rajouté/enlevé ?)- Trouver la situation initiale (j'ai mis 2 jetons dans la boîte, il y en a maintenant 6, combien y en avait-il auparavant?)- Trouver l'état final avec 2 transformations (j'ajoute 2 puis j'ajoute 3)

Les jeux de piste �:

Situation But Variables didactiques

Déplacement d'un pion sur une piste graduée.

Chercher la position finale (transformation d'une position)

- Trouver la transformation (j'avance/recule de 2) avec un dé, 2 dés.- Trouver la position initiale ( je suis arrivée sur la case 8 après avoir fait un bond de 3 cases. Sur quelle case était mon pion?)- Trouver la position finale après plusieurs jets successifs.

Le jeu greli-grelo �:

Situation But Variables didactiques

Des jetons dans la main gauche, des jetons dans la main droite

Calculer la réunion de 2 collections (réunion de collections)

- Trouver la valeur d'une des 2 collections (on montre la collection totale que l'on partage entre les 2 mains, on montre une des mains, trouver la collection restante)

Les comparaisons �d'état :

Situation But Variables didactiques

Deux collections d'objets Comparer deux collections (plus que, moins que, autant, de plus que, de moins que)

- les deux collections sont composées d'objets identiques, d'objets différents (forme, taille)- les deux collections sont proches/séparées/éloignées

La marchande �:

Situation But Variables didactiques

Prévoir la somme d'argent correspondant à l'achat d'un objet (ou plusieurs)

- un objet contre une pièce- un objet contre plusieurs pièces.- rédiger un bon de commande- acheter plusieurs objets différents (1objet à 2 pièces et un objet à 3 pièces)- acheter plusieurs objets identiques (3 objets à 2 pièces)

Problèmes de logique�: Rechercher tous les possibles�

Mise en valeur des productions des élèves :

Des cercles, des carrés�:

Des voitures�:

La dînette�:

Des sudoku�: Compléter une grille de sudoku avec des éléments différents.Variante : taille et nombre de grille, nombre de pièces à disposition

Des cerfs-volants�: Réaliser des cerfs-volants de 2 couleurs différentes.

Variantes: nombre de pièces à disposition, nombre de cerfs volants à composer (un ensemble de 6, 8, 10 cerfs-volants).

Les réglettes : Problèmes de topologie�:

réglettes

Les pavages : pavages

Les embouteillages (adaptation du jeu Rush Hour)�: Situation But Variables didactiques

Déplacer des véhicules pour sortir la voiture rouge du parking.

Nombre de véhicules encombrant la voiture rouge.

Les tours :

Situation But Variables didactiques

Placer des tours en fonction du nombre de tours qui doivent être visibles à l'extrémité de l'alignement.

- Le nombre de tours et leur hauteur : Alignement de 3 tours = 1 tour de 1, 1 tour de 2, 1 tour de 3. Alignement de 4, de 5 tours...

- Alignement sur un quadrillage : 9 tours, 16 tours

2 3 4 2 1 3

2 1 2

2 1 3 2 2

1 3 2 1 3

2 2 1 3 1

2 3 1

Les abaques – taquins�:

Situation But Règles du jeu :

Partir d'une disposition des boules comme la carte de départ, pour arriver à une disposition correspondant à la deuxième carte.

- Seule la boule supérieure d'une tige peut être retirée et placée sur une autre tige, mais il ne faut pas dépasser 5 boules sur une même tige.- Aucune boule ne peut rester hors des tiges (dans les mains)- Une même boule peut être déplacée plusieurs fois.

Variables :- compter le nombre de déplacements pour atteindre la disposition demandée.- Limiter le nombre de déplacements

Un support particulier :

les albums non numériques

Un exemple�: l'ogre, le loup, la petite fille et le gâteaude Philippe Corentin

- Exposer la situation problème�: l'ogre doit faire traverser la rivière aux personnages et il ne peut en prendre qu'un dans sa barque. Sachant que la petite fille mange le gâteau et que le loup mange la petite fille. Comment s'y prend-il�?

- Ne pas hésiter à matérialiser l'espace (la rivière et les 2 berges) et à mettre en scène�: procéder par essais/ajustements.

D'autres exemples�: le cinquième de Junge, Maman de Ramos, Quatre petits coins de rien du tout de Ruiller...

Bibliographie :

- Apprentissages numériques – GS – ERMEL Hatier

- Découvrir le monde avec les mathématiques D. Valentin – Hatier (2 volumes�: PS/MS - GS)

- Vers les maths – G et S. Duprey - Accès Editions (3 volumes�: PS- MS – GS)