RESOLUTION OPTIMALE DUN GRAPHE DE PLANIFICATION NUMERIQUE A LAIDE DE CSP PONDERES Martin Cooper...

RESOLUTION OPTIMALE D’UN GRAPHE DE PLANIFICATION

NUMERIQUE A L’AIDE DE CSP PONDERES

Martin CooperSylvain Cussat-Blanc

Marie de RoquemaurelCyril de RunzPierre Régnier

Journées Francophones Planification, Décision, Apprentissage

2

Plan

1. Introduction

2. Construction d’un graphe de planification numérique

3. Codage du graphe en WCSP

4. Propagation de contraintes valuées

5. Etude expérimentale

6. Conclusions et perspectives

3

Planification numérique• Etat numérique :

– Fluents propositionnels– Fluents numériques

• Action numérique a : <prec(a),effet(a),coût(a)>– prec(a) : préconditions de a– effet(a) : effets (ajouts, retraits, mises à jour) de a– coût(a) : coût d’application de a

• Problème numérique : <A,I,B>– A : ensemble d’actions numériques– I : état numérique initial du problème– B : but du problème

1. Introduction2. Construction d’un graphe

de planification numérique

3. Codage du graphe en WCSP4. Propagation de contraintes valuées

5. Etude expérimentale6. Conclusions et perspectives

4

Exemple : les vannes

A

B

C

D

varC

varB

varA

but

Actions :

A = <{(varA≥10),{(varB:=5)},10>

B = <{(varA>15)},{(varA-=4),(varC+=7)},5>

C = <{(varB≥5),(varC≥7)},{+but,(varB-=5),(varC-=7)},3>

D = <,{(varA+=6)},30>

Etat Initial : I = {(varA=16),(varB=3),(varC=0)}

But : B = {but}

1. Introduction 2. Construction d’un graphe




5






a

-a

X

Y

Les interactions négatives entre actions

+a

-a

X

Y

d:=b

c+=d

X

Y

d:=b

d<c

X

Y

Del/Prec Del/Add

Modification/Utilisation

Modification/Précondition

d:=b

d+=4

X

YModification/Modification

6


varA 16

varB 3

varC 0

D

NO_vA16

A_16

B_16

NO_vB3

NO_vC0

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

Niveau 0 Niveau 1





AvarA≥10 varB:=5

10

BvarA>15 varA-=4varC+=7

5

CvarB≥5varC≥7

+butvarB-=5varC-=7

3

D varA+=6

30

Actions

7

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

NO_vA16

NO_vB5

NO_vA12

NO_vC7

NO_vB3

NO_vC0

D_vA22

D_vA16

D_vA12

A_vA22

A_vA16

A_vA12

B_vA22_vC7

B_vA22_vC0

B_vA16_vC7

B_vA16_vC0

NO_vA22


varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varA 26

varA 18

varC 14

Niveau 1 Niveau 21. Introduction 2. Construction d’un graphe




8

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varA 26

varA 18

varC 14

C_vB5_vC7

C_vB5_vC14

but


Niveau 2 Niveau 3





…

…

…

…

…

…

…

…

…

……

…

…

…

…

…

…

…

…

…

9

varA 16

varB 3

varC 0

D

NO_vA16

A_16

B_16

NO_vB3

NO_vC0

Niveau 0 Niveau 1

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

C_vB5_vC7

C_vB5_vC14

but

Niveau 2 Niveau 3

NO_vA16

NO_vB5

NO_vA12

NO_vC7

NO_vB3

NO_vC0

D_vA22

D_vA16

D_vA12

A_vA22

A_vA16

A_vA12

B_vA22_vC7

B_vA22_vC0

B_vA16_vC7

B_vA16_vC0

NO_vA22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…






varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varA 26

varA 18

varC 14

10

• Introduction : Les CSP valués

– CSP (Constraint Satisfaction Problem) : <X,D,C>• X={x1,…,xn} ensemble fini de variables• D={d1,…,dn} ensemble des domaines di associés aux variables xi. Les

di sont eux-mêmes des ensembles d’entiers.• C ensemble de contraintes. Une contrainte est un ensemble de

tuples portant sur un sous ensemble de X contenant les affectations non autorisées.

– Affectation : à chaque variable xi, on associe une et une seule valeur du domaine di.

– Une solution est une affectation complète et cohérente (toutes les variables de X sont affectées et aucune contrainte n’est violée)

– Valuation : les contraintes ont un coût. On cherche à minimiser la somme de ces coûts.






11

3. Codage du graphe en WCSP8 étapes :a) Réduction du graphe : en partant du dernier niveau, on supprime toutes les

actions qui ne permettent pas d’obtenir les buts ainsi que leurs préconditions et les mutex associés





varA 16

varB 3

varC 0

D

NO_vA16

A_16

B_16

NO_vB3

NO_vC0

Niveau 0 Niveau 1

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varA 26

varA 18

varC 14

C_vB5_vC7

C_vB5_vC14

but

Niveau 2 Niveau 3

NO_vA16

NO_vB5

NO_vA12

NO_vC7

NO_vB3

NO_vC0

D_vA22

D_vA16

D_vA12

A_vA22

A_vA16

A_vA12

B_vA22_vC7

B_vA22_vC0

B_vA16_vC7

B_vA16_vC0

NO_vA22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

12

b) Réécriture du graphe : en partant du dernier niveau, on renomme chaque fluent en fi

et on numérote chaque action en j






varA 16

varB 3

varC 0

D

NO_vA16

A_16

B_16

NO_vB3

NO_vC0

Niveau 0 Niveau 1

varA 22

varA 16

varB 5

varA 12

varC 7

varB 3

varC 0

varB 5

varC 7

varC 14

C_vB5_vC7

C_vB5_vC14

but

Niveau 2 Niveau 3

NO_vB5

NO_vC7

A_vA22

A_vA16

A_vA12

B_vA22_vC7

B_vA22_vC0

B_vA16_vC7

B_vA16_vC0

f1

1

2

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

13

f2

f1

c) Création des variables et des domaines :

variables = fluents (sauf état initial)

domaines = actions produisant le fluent U {-1} sauf pour les buts


f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1





14

d) Traduction des mutex entre fluents :

Mutex(fi,fj) est traduit par ((fi=-1) ou (fj=-1))


f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f7

f9

f10

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1





f6

f8

15

e) Traduction des mutex entre actions :

Mutex(a,b) est traduit par ((fi=a) => (fj≠b)) avec i≠j, fi Є effet(a) et fj Є effet(b)






f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

16

f) Traduction des arcs d’activité : l’activation d’un fluent fi produit par une action a entraine l’activation des préconditions de a : ((fi = a) => (fj ≠ -1)), fj Є prec(a)


f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f7

f8

f9

f10

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1





f6

17

g) Traduction du coût des actions : pour chaque action a de coût non nul, on ajoute la contrainte unaire valuée : fi≠a (cout(a))


f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f7

f8

f9

f10

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

f6





3

1010 10 5 5 5 5

30 10 5 5

3

18

h) Prise en compte des ajouts multiples : pour chaque action a qui produit plusieurs plusieurs fluents f i, on crée un fluent fiint de domaine {a,-1}. Les fi

sont reliés à une nouvelle action aint de coût nul. On ajoute la contrainte entre fiint et fi :

(fiint=-1) => (fi≠aint), fi Є add(a)






f12

f13

f14

12

13

14

15

16

17

Niveau 0 Niveau 1

f5

f7

f8

f11

f2

f3

f4

1

2

f1

Niveau 2 Niveau 3

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 15 -1 f9 15 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

f6

3

1010 10 5 5 5 5

30 10 5 5

3

f10

f9

f1int 15 -118 18

5

19


f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 -1 f9 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

3

1010 10 5 5 5 5

30 10 5 5

3

f1int 15 -118 18





20


1. Inoduction 2. Construction d’un graphe




• Algorithme AC (Arc Consistency)– Permet simplifier le CSP– On supprime les valeurs des domaines n’ayant pas de support

avec une autre variable (pas d’affectation possible pour la valeur à supprimer et une autre variable du CSP)

• Algorithme FDAC (Full Directionnal Arc Consistency)– Permet de trouver une borne inférieure du coût de la solution par

application de AC puis par projection et extension des contraintes

– Réduit le champ d’exploration des algorithmes de recherche du type branch-and-bound

– Complexité polynomiale

21


f2

f1 1 2

6 73 5 -1 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 -1 f9 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

3

1010 10 5 5 5 5

30 10 5 5

3

f1int 15 -118 18





55

55

8

22






f2

f1 1 2

6 73 5 f3 11 -14 9 f4 -18 10

f5 12 -1 f6 13 -1 f7 14 -1 f8 -1 f9 -1 f10 16 -1 f11 17 -1

18

30

5

f1int 15 -118 18

18

5

55 5 5

10 10 1030 30 30 5 5 5

C=18

Solution : {f1←2, f2←3, f3←-1, f4←10,

f5←-1, f6←13, f7←14, f8←-1, f9←-1, f10←-1, f11←-1, f1int←-1}

Plan :<{A},{B},{C}> = <A,B,C>

Coût = 18

23

Temps CPU

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000B

WT

3

Dep

ots0

1

Mpr

ime0

3

Driv

erlo

g01

Sat

ellit

e01

Zen

otra

vel0

2

Rov

ers0

2

Logi

stic

s01

BW

T4

Mpr

ime0

1

Zen

otra

vel0

4

Sat

ellit

e02

Driv

erlo

g04

Driv

erlo

g04

BW

T5

Mpr

ime0

4

Driv

erlo

g05

Driv

erlo

g08

NC FDAC





Noeuds développés

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

BW

T3

Dep

ots0

1

Mpr

ime0

3

Driv

erlo

g01

Sat

ellit

e01

Zen

otra

vel0

2

Rov

ers0

2

Logi

stic

s01

BW

T4

Mpr

ime0

1

Zen

otra

vel0

4

Sat

ellit

e02

Driv

erlo

g04

Driv

erlo

g04

BW

T5

Mpr

ime0

4

Driv

erlo

g05

Driv

erlo

g08

NC FDAC

5. Etude expérimentaleDescription des tests :

• Machine utilisée: AMD2500+ avec 512Mo de RAM

• Echelle logarithmique

• Problèmes classés par taille de l’espace de recherche

Résultats :

• gain moyen sur le nombre de nœuds développés: 17

• gain moyen sur le temps CPU: 7

• taille des WCSP résolus / WCSP aléatoires :

• 10221 / 1036

• 444 var / 40• 27 valeurs / 8

24

6. Conclusions et perspectives





• Travaux effectués :– Construction d’un graphe de planification

numérique– Utilisation des WCSP pour en extraire un plan-

solution optimal – Impact de l’algorithme de propagation de

contraintes FDAC sur la résolution du WCSP

• Perspectives :– Implémentation d’un GraphPlan avec coûts, puis

numérique– Comparaison de la qualité des plans avec ceux

produits par d’autres approches– Optimisation d’algorithmes WCSP

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