R~,,SOLUTION AU MOYEN DE CALCULATEURS DE PROBL~,MES DE ROUTAGE DAN$ LES R~,,SEAUX MAILL~,,S DE T]~L~,COMMUNICATIONS

par Pa t r ice B E R N A R D

Ing6nieur des T616communications *

SOM~IRe.- L'ossature du rJseau fran~ais est constituJe de Groupes Primaires de t2 circuits tJlJphoniques et de Groupes Secondaires qui sont la rgunion de 5 Groupes Primaires. L'artlcle ci-dessous traite du routage de ces groupes, c'est-~t-dire du choix, technique et gJographique, des moyens de transmission d leur affecter. Les objectifs, parfois contradictoires, consistent d satisfaire la demande dans une dconomie de pJnurie, au meiUeur compte possible, en respectant, autant que faire se peut, les normes techniques, tout en conser~,ant une certaine souplesse, c'est-{t-dire en limitant au strict nJcessaire les boule~,ersements apporttls au rJseau, notamment ~t l'occasion du passage dune exploitation automatique. Les mJthodes classiques en recherche opgrationnelle se pr~taient real gtla rJsolution d'un tel probl~me. On a ~tJ conduit gt une approche glgmentaire dans laquelle on simule un march~ concurrentiel. Sur ce marchJ, l'offre est constituJe par les moyens de transmission, la demande par les groupes de circuits ~t acheminer. Un syst$mc de prix et un m~canisme d'enchJres assurent l'adaptatlon de l'une gt l'autre ~,ers quelque chose qui soit ~,oisin d'un ~ optimum ~ global. Les dd~,eloppements eneisagds concernent l'extension de la mgthode ~t l'ensemble du r~seau avec dJfinition automatique, toujours par une mgthode d'enchJres, des groupes primaires, secondaires et tertiaires les mieux adaptJs au routage de l'ensemble des circuits. Enfin, la mJthode raise au point permettant de simuler le rgseau, elle constitue un outil intJressant pour le choix des in~,estissements ~t moyen et long terme dans

le rgseau public frangais.

P L A N . - �9 I. I n t r o d u c t i o n . �9 I I . R o u t a g e d e s g v a u p e s s e c o n d a i r e s - - I I .A . Raison de cette Jtude. - - I I .B . Position du probl~me. �9 I I I . U n e m d t h o d e e n v i s a g g e e t d e a r t d e :ht p r o g v a m m a t i a n l indaire . - - I I I . A . DifficultJ de tenir toutes les contralntes. - - I I I .B . Di/ficultgs de raise en ssu~re. - - I I I .C . Manque de sou- plesse. �9 IV . Une a p p r o c h e g ldmengaire du p r o b l ~ m e . - - I V .A . PrJcisions suppl~mentaires sur les objec- ti[s. - - IV .B . Principe de base ; une mgthode d'ench~res. - - IV.C. Hypoth~se et algorithme de base. - - IV.D. Pre- miere modification de l'algorithme de base. - - IV.E. Deuxidme modification de l'algorithme de base. �9 V. Cas d 'une d e m a n d e excdden ta i r e . - - V.A. Dgfinition des objectifs. - - V.B. La m~thode. - - V.C. Exemple. - - - - V.D. Discussion. �9 V I. P r o c g d u r e s u p p i g m e n t a i r e de s t a b i l i s a t i a n d e s rou ta f fes G. S . e x~s tan t s . �9 V I I . L i m i t a t i o n du n o m b T e de t r a n s / e r t s . ~ V I I . A . Position du probl~me. - - V I I .B . La m~thode. �9 V I I I . F i l t r e s de t r a n s I e r t d i r e c t . - - V I I I . A . Position du probl~me. - - V I I I . B . Pr~ci- sions supplgmentaires sur les objecti[s. - - V I I I .C . La mgthode. - - V I I I .D . Discussion. - - V I I I . E . Cas d'un probl~me sans solution. - - V I I I . F . Conditions de remise en cause du filtrage. �9 IX . l ~ s u l t a t s a t t e i n t s e t d d v e l a p p e m e n t s e n v i s a y g s - - I X . A . Diversification des routages pour des raisons de sgcuritJ. - - I X .B . Prise en compte du matgriel. - - IX.C. Routage des groupes primaires. - - IX .D. Elargissement d d'autres categories de r&eaux. - - IX .E . Elaboration de plans d'investissement. �9 X . C o n c l u ~ o n . �9 Annexe I : Aper~u de l'organlsatlon du rgseau [ranfais de liaisons ,~ grande distance. �9 Annexe I I : Formulation lingaire du pro-

blJme de routage. �9 Annexe I I1 : Algorithme de Dantzig.

I. INTRODUCTION.

Le r6seau franqais de circuits in te rurba ins com- prena i t au Ier j anv ie r t966 envi ron 65 000 circuits, i 900 Groupes Pr imai res (G. P.) de t2 circuits et 460 Groupes Secondaires (G. S.) de 5 groupes pri- maires.

La t enue h jour de la d o c u m e n t a t i o n conce rnan t ce r6seau est une t ache a u j o u r d ' h u i tr~s lourde, demain plus lourde encore en ra ison de l ' ex tens ion pr6vue pour le r6seau.

L ' A d m i n i s t r a t i o n des Postes et T616communi- cat ions ** s 'est donc souci6e d ' a u t o m a t i s e r cet te

d o c u m e n t a t i o n ; mais, d e v a n t le probl~me pos6 pa r la fo rme ~ lui donner pour qu'el le cons t i tue un outil de gest ion efficace, il est a p p a r u souhai tab le de mener de f ront l '6 tude de l ' a u t o m a t i s a t i o n de le gest ion elle-mgme.

Or, c ' e s t lh un probl~me tr~s vaste . La donn6e de base est la connaissance des flots de t raf ic ent re les diff6rents centres du r6seau. I1 fau t en d6duire les circuits n6cessaires pour l ' a e h e m i n e m e n t du t raf ic (ce qui fair in te rven i r les not ions d 'o rgan i sa t ion hi6rarchique du r6seau et de pol i t ique suivie en mati~re de centres n o d a u x de c o m m u t a t i o n ) . Puis, des consid6rat ions t a n t de t echn ique des t rans- missions que d '6conomie d ic ten t de r6unir cer ta ins

* Au C. N. E. T., D6partement I~ECHERCHES SUR LES MACHINES ]~LECTRONIQUES. ** L'6tude, lanc6e au C. N. E. T. (D6partements c~ RECHERCHES SUR LES MACHINES ]~LECTnONIQUES ~ et r T~ANS-

MISSION ~) $ la demande de la Direction des lignes ~t grande distance par MM. t~. SUEUR, L. J. LIBots et L. GUENOT, est due principalement ~ M. P. BERNARD. Elle a 6t6 dirig6e par un groupe de travail pr6sid6 par M. L. GUENOT, Ing6nieur en Chef ~ la Direction des L. G. D., et compos6 pour la D. G. T. de M. SUTTON (IG) - - pour les L. G. D. de MM. RO- BERT {IGC), HUVET (Chef de Centre), BOURLON (INPAT) - - et pour le C. N. E. T. de M lie A. M. GERVAISE (IG}, de MM. A PROFIT (IG), J. C. LAVENIR (IG), P. BEaNARD (IG}.

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circuits en groupes primaires de t2 circuits, certains de ces groupes primaires en groupes secondaires de 5 groupes primaires (et, bient6t, certains de ces groupes secondaires en groupes tertiaires de 5 groupes secondaires). Enfin, il convient de router ces cir- cuits, groupes primaires, secondaires et tertiaires sur le r6seau de cables ou de faisceaux hertziens existant et de d6terminer, compte-tenu de l 'expan- sion pr6vue pour le trafic et des possibilit6s finan- ci~res, quels sont les investissements auxquels il y a lieu de proc6der.

Si done le but lointain des efforts actuels est de r6soudre aussi les probl~mes d 'acheminement et d'investissement, il a paru sage, dans une premiere 6tape, de se limiter aux probl~mes de routage et de documentation, en s'efforCant toutefois de ne pas perdre de vue qu'il ne devrait s'agir lh un jour que d 'un 61brnent d 'un probl~me beaucoup plus vaste.

L'6tude a 6t6 men6e dans le cadre du r6seau t616- phonique in te rurba in ; toutefois, la nature des r6seaux trait6s n'est pas limitative et la plupart des r6suhats sont susceptibles de g6n6ralisation h d'autres types de r~seaux maill6s, no tamment aux r6seaux urbains h plusieurs centraux.

II. ROUTAGE DES GROUPES SECONDAIRES.

II.A. Raison de cette fitude.

I1 a paru int6ressant de trai ter pour commencer un probl6me partiel qui pr6sente la plupart des difficult6s qui risquent d'gtre rencontr6es ult6rieu- rement, mais d 'une taille relativement restreinte et done plus favorable h la raise au point d 'une m6- rhode g6n6rale. Le choix s'est port6 sur le routage des groupes secondaires (G. S.), qui consti tuent h rheure actuelle le niveau le plus 61ev6 dans la hi6rarchie des groupements effectu6s (el. Annexe I). Mais, comme on le verra, la m6thode raise au point est g6n6rale.

II.B. Position du probl~me.

Le probl~me est celui de l 'adaptat ion d 'une offre ct d 'une demande en respectant eertaines r~gles et recherchant certains objectifs.

a) L ' o t l r e consiste en cables coaxiaux, faisceaux hertziens et cables h paires sym6triques 60 voies, auxquels il convient d 'a jouter des 6quipements : filtres de transfert direct, modulateurs de groupes seeondaires, g6n6rateurs de fr6quence, etc.., en ser- vice dans les stations ou disponibles en magasin.

b) /_~ d e m a , d e consiste en un certain nombre de groupes secondaires h construire. On peut admettre dans un premier temps que le probl~me a une solu- tion, r6servant h plus tard l '~tude du cas o3 il n 'est pas possible de satisfaire toutes les demandes et off il faut choisir celles dont on remet h plus tard la r6alisation.

c) L e s c o , t r a i n t e s peuvent ~tre de nature tech- nique ou non : l 'annexe ! en donne un aper~u en ce qui concerne le r6seau fran~ais de liaisons h grande distance.

P. BERNARD [ANNALE$ DES T~L~COMMUNXCATIONS

d) L e s b u t s poursuivis peuvent ~tre de plusieurs natures, qui s'opposent parfois les unes aux autres.

d. l . t~conomie. - - I1 n'est pas facile de la chiffrer. C'est ainsi qu'on peut consid6rer dans une certaine mesure qu'une fois un cable pos6 et 6quip6, il ne cofite pas plus cher de l'utiliser ou non.

d.2. Souplesse d'exploitation. - - Une solution qui, lors de chaque nouvelle demande de groupe secon- daire, imposerait d 'apporter au routage des groupes existants de profondes modifications serait moins int6ressante, du point de rue de l 'exploitant, qu 'une autre solution qui se limiterait h lui apporter des modifications mineures.

Deux autres objectifs sont relatifs h l 'automa- tisation de la gestion.

d.3. Facilit~ du passage ~t une gestion automatique. - - I1 est extrgmement int6ressant que la raise en service d 'un syst~me automatique de gestion ne se traduise pas par un bouleversement complet des routages existants. I1 est mgme souhaitable que la souplesse du nouveau syst~me lui permette de prendre en charge les routages tels qu'ils existent h une date donn6e, d'6ventuelles modifications n'in- tervenant qu'h l'oecasion de nouvelles demandes ou de la mise en service d '6quipement nouveaux.

d.4. Faible coftt des gquipements de trai tement de l ' in/ormation. - - l~tant donn6 que rabout issement final recherch6 pour les 6tudes entreprises est un syst~me de gestion en temps r6el, e'est-h-dire un ensemble de calcul 61ectronique faisant office de fichier de documentat ion au profit de stations 61oi- gn6es, donnant avec un faible d61ai le routage affecter h des circuits nouveaux ou h des circuits existants victimes de la d6faillance d 'un cable ou d 'un 6quipement, et enfin apportant son aide h l 'Administration dans la d6finition des plans d'in- vestissement, il est n6cessaire de disposer d 'un calcu- lateur particulier h cet effet, et il est souhaitable que le prix de cet ensemble de calcul reste aussi mod6r6 que possible.

I I I . U N E M~.THODE E N V I S A G E E ET ~.CART~.E :

LA PROGRAMMATION LIN~AIRE.

La programmation lin6aire est un outil qui a fair ses preuves en recherche op6rationnelle. I1 6tait done int6ressant de chercher une formulation lin6aire du probl~me du routage de groupes secon- daires. Le lecteur int6ress6 pourra trouver en annexe II des d6veloppements/~ ce sujet.

Nous avons 6t6 amen6s/~ 6carter pour le moment le recours ~ la programmation lin6aire car elle semble mal adapt6e aux buts poursuivis.

III.A. Dffflcultfi de tenir toutes les contralntes.

II semble difflcile de satisfaire toutes les con- traintes avec la souplesse d6sir6e : on peut par exemple limiter le nombre de transferts, mais il y a des cas o3 il n'existe pas de solution satisfaisant une

t . 21, n ~ 1-2, 1966]

telle contrainte, et off l 'on se contenterai t prati- quement d 'une solution qui ne s'en 6carte pas trop. De mgme, il paralt difficile d 'expr imer les conditions de diversification de routages impos6es par des consid6rations de s6curit6. I1 y a plus g rave : la d6termination des filtres de t ransfer t direct ne peut s 'exprimer lin6airement que par un hombre tr~s ~lev6 de variables et de contraintes.

P R O B L E M E S DE R O U T A G E D A N S LES B ~ S E A U X 3/20 complications d 'exploi tat ion dans la phase transi- toire.

II semble donc que, mgme en tablant sur des progrgs h venir dans le domaine de la program- marion lin6aire en nombres entiers, il serait difficile de r6soudre, grace ~ cite, le probl~me du routage des groupes secondaires, sans parler des groupes primaires et des circuits.

III.B. Difflcult~s de raise en oeuvre.

La formulation lin6aire du problgme suppose que l 'on peut dresser la liste de t o u s l e s routages pos- sibles entre lesquels une m6thode de program- marion lin6aire permet ensuite de choisir. Dresser une liste exhaustive est une op6ration beaucoup trop longue qui conduirait en outre ~ une liste de taille d~mesur~e. Choisir a priori un ensemble de routages, parmi lesquels on estime que les meilleurs doivent se t rouver, risque de faire passer h c6t6 de la solution optimale ou d 'une solution tout court, et n 'en reste pas moins une op6ration trgs ardue.

Une autre circonstance regrettable est que le probl6me qui nous int6resse ne concerne que des nombres entiers. Or si la programmat ion lin6aire est un outil tr~s au point, la programmat ion en nombres entiers est un cas particulier assez 6pineux. Les programmes disponibles r6servent parfois de mauvaises surprises quant h la convergence ou au temps de calcul n6cessaire. De plus, les tailles maxi- males autoris6es sont pour le montan t tr~s res- treintes. C'est ainsi que le programme IPM 3, mis

la disposition des utilisateurs regroup6s au sein de l 'organisation SHARE, impose une limite de 200 la somme du nombre de variables et du nombre de contraintes.

I I I.C. Manque de souplesse.

Envisageons le probl~me de raddi t ion d 'un G. S. un r6seau optimal de n G. S. d6jh construit. La

m6thode envisag6e consisterait ~ rechercher le r6seau optimal pour (n + 1) G. S. Dans bien des cas, la solution entra~nerait la seule addition d 'un nouveau G. S. sans modification des routages exis- t an t ou avec des modifications mineures de ces routages. Patrols aussi, sans doute, le r6seau optimal pour (n + 1) G. S. serait tel lement diff6rent du rSseau optimal pour n G. S. qu'il apparal t ra i t peu indiqu6, voire impossible, de faire proc6der sur le r6seau h des modifications qui ne seraient pas h la mesure du gain ~ en a t tendre (en particulier, chaque probl~me peuvent correspondre un grand hombre de solutions dont l 'int6rgt global est iden- tique, mais qui peuvent atre tr~s diff6rentes l 'une de l 'autre).

Dans le m~me ordre d'id6es, il apparal t hautement improbable qu'il existe un syst~me de prix, fussent- ils fictifs, qui donneraient une solution identique ~, ou voisine de l 'atat du r6seau r6el a une date donn6e. I1 appara~t donc que le passage ~ une gestion auto- mat ique n ' i rai t pas sans entralner les plus grandes

IV. UNE APPBOCHE ]~L~.MENTAII:tE DU PI:tOBL~.ME.

IV.A. Pr6cisions supplfimentaires sur les objectfls.

No~.s avons dit de la recherche de l '6conomie et de la souplesse qu'elles 6taient parfois contradic- toires. En fair, la notion d'6conomie est la moins pr6cise des deux, et risque de n 'avoir qu 'un aspect comptable. Si t 'on suppose, en effet, que le probl6me pos6 a une solution, c'est-h-dire qu'il existe une fa~on de router t o u s l e s G. S. demand6s au moyen des cables existants et des 6quipements disponibles, il est illusoire de chercher h tou t prix h minimiser la valeur comptable de ce qui est effect ivement employ6. D'abord, de nombreuses solutions s'6car- t en t peu de ce minimum. Ensuite, ce qui compte vraiment , c'est, avec les moyens disponibles, de faire face le plus longtemps possible h raccrois- sement de la demande. Plus exactement , l ' impor tan t est de t rouver le calendrier d ' invest issements h long terme dont la valeur actualis6e est minimale. Nous verrons ul t6r ieurement que pour un pays pauvre en moyens de t616communications on peut d6finir un autre objectif qui consiste ~ maximiser la satisfac- t ion de la demande avec des moyens donn6s.

Par ailleurs, nous avons eu le souci de rechercher une m6thode telle que la taille de m6moire n6ces- saire h la p rogrammat ion croisse tou t au plus comme la taille du probl~me lui-m~me et non pas comme une puissance de celle-ci sup6rieure h 1.

IV.B. Principe de base : une m6thotle d'ench6res.

Nous avons 6t6 amen6s ainsi h une approche 616mentaire du problgme darts laquelle l 'affectat ion des moyens aux diff6rentes demandes n 'es t pas faite en consid6rant celles-ci darts leur ensemble. A chaque moyen est affect6 un coefficient, t enan t compte de sa rarer6 et de diverses contraintes Lech- niques. Chaque demande est trait6e s6par6ment ; on cherche h minimiser la somme des ressources qu'elle met en jeu. L ' adap ta t ion entre elles des diverses demandes, en r u e de quelque chose qui soit voisin d 'un op t imum global, s 'obt ient en faisant varier les coefficients affect6s aux diverses ressources par un m6canisme analogue g un processus d'enchgres (et pour cette raison nous appellerons d6sormais prix les coefficients dont nous avons parl6).

Compte tenu des prix r6gnant h un certain moment , il faut donc 6tre en mesure de satisfaire au meilleur compte une demande donn6e. Ceci peut se ramener h la recherche d 'un chemin cri t ique en th6orie des graphes. I1 existe un certain nombre

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d'algorithmes qui r6solvent ce probl~me. Nous avons choisi celui de Dantzig, dont le principe est expos~ en annexe III .

I V . C . H y p o t h ~ s e e t a l g o r i t h m e ~ e base .

Dans une premiere phase de l'expos6, nous allons supposer que les filtres de transfert direct sont une donn6e intangible, c'est-$-dire que ron salt dans chaque station quelles sont les positions de G. S. d 'un cable coaxial susceptibles d'gtre arrgt6es et d6modul6es. Une section principale de r6gulation d 'une art~re coaxiale peut donc gtre repr6sent6e au moyen d 'un sch6ma 6clat6, faisant apparaltre la notion de ce que, faute d 'un meilleur vocable, nous appellerons tron~on : une position ou un ensemble de positions sur un cable coaxial ou un faisceau hertzien limit6es par deux points, que nous nom- merons extr6mit6s du tronqon off elles sont arrgt6es et peuvent 6tre d6modul6es. Nous allons 6galement n6gliger provisoirement les 6quipements (modu- lateurs de groupes secondaircs, filtres de transfert secondaire, e tc . . . )dont nous supposerons qu'ils sont disponibles en nombre suffisant.

A chaque tronr sont done associ6s ses extr6, mit6s, sa capacit6 (nombre de G. S. qu'il peut acheminer), sa disponibilit6 (diff6rence entre sa capa- cit6 et le nombre des G. S. qui demandent h l 'em- prunter - - ce nombre peut 6tre n6gatif avant qu'on air abouti h une solution) et son prix. Ce prix a init ialement une certaine valeur, que nous appel- lerons prix de revient, et qui peut effectivement avoir un sens 6conomique et repr6senter par exemple lc prix de renouvellement. Au cours des ench~res, ce prix pourra varier. Nous appellerons prix d'en- chgres sa valeur h chaque instant . Enfin, nous dirons d 'un tron~on qu'il est satur6 si sa disponi- bilit6 est nulle, et engorg6 si elle est n6gative.

Algorithme de base.

Avec ces conventions, l 'algorithme sous sa forme la plus simple se pr6sente comme suit :

a) Chaque demande de G. S. est examin6e h tour de r61e (une demande porte sur un seul G. S. Si plusieurs G. S. sont demand6s entre les mgmes extr6mit6s, ils scront consid6r6s comme const i tuant au tan t de demandes distinctes). A chaque demande est affect6 le routage fourni par l 'algorithme de Dantzig h partir des prix en vigueur.

b) Lorsque routes les demandes ont 6t6 examin6es, on fair r inventai re des diff6rents tron~ons en exami- nant leur disponibilit6, c'est-h-dire la diff6rence entre leur capacit6 et ]a demande dont ils sont l 'objet. Pour ceux dont la disponibilit6 est n6gative, on augmente le prix d 'une certaine quantit6, par exemple une quant i t6 fixe.

c) Lorsque t o u s l e s tron~ons ont 6t6 examin6s, deux cas peuvent se pr6senter :

- - si certains tronr ont une disponibilit6 n6ga- t i re, on recommence une it6ration, c'est-h-dire qu 'on se rebranche h la phase (c a )) d 'examen de chaque demande de G. S., en esp6rant que les modi-

P . B E R N A R D [ANN,~ES DES T~L~COMMUNICATIONS

fications intervenues sur les prix des tronqons engorg6s contribueront h d6tourner la demande qui se porte sur eux ;

- - si tous les trou~ons ont une disponibilit6 posi- tive ou nulle, on a donc un r6seau r6alisable; c'est lui que nous adopterons.

Exemple.

Consid6rons le r6seau de la figure I dans lequel on suppose que chacun des tronr repr6sent6s a une capacit6 unitaire et que les prix de revient sont proportionnels aux longueurs r6elles ; soit alors construire un circuit AC et un circuit AD. Avec les prix de revient iuit ialement en vigueur, le routage d6sir6 par le G. S. AC est ABC ; celui d6sir6 par AD est ABD. Le tron~on AB est done caract6ris6 par une offre de I et une demande de 2, c'est-h-dire une disponibilit6 de - 1. En cons6quence, son prix va monter au cours des it6ratious successives,

E

~ A

0 Fro. t. - - Illustration de l'algorithme de base.

amoindrissant par 1~ l 'int6rgt du G. S. AC ~ passer par B plut6t que par E et celui du G. S. AD h passer par B plut6t que par F. Ceci jusqu 'au moment off celui des 2 G. S. qui a l e moins int6rgt passer par B - - nous supposerons que ce soit AD - - t rouve plus avantageux d'utiliser un autre routage - - en l 'occurrence AFD. Les routages retenus seront done ABC pour AC et AFD pour AD.

Discussion.

Dans l 'hypoth~se d 'un r6seau tr~s 61oign6 de la saturation, dans lequel d~s la premiere it6ration aucune disponibilit6 n 'est n6gative, la solution obtenue sera la mgme que celle r6put6e la plus 6conomique avec une approche macroscopique comme la programmation lin6aire (en effet, la somme d 'opt imums partiels ind6pendants est l 'opti- mum global).

Si certaines parties seulement du r6seau sont engorg6es, les variations de routages dues aux varia- tions de prix seront peu nombreuses. La solution trouv6e coincidera avec la solution macroscopique ou n'en diff~rera que de peu.

En fair, la notion d'ench~res pr6sent6e sous cette forme a une faiblesse : m~me en ne haussant le prix d 'un trongon engorg6 que d 'une quantit6 minime, il peut arriver qu 'un trongon, engorg6 h la fin d 'une it6ration, se trouve h la fin de l ' i t6ration suivante

- - i 4 - -

t. 21, n ~ I-2, 1966]

avoir des disponibilit6s, alors que l'id6al serait qu'il reste satur6, c'est-h-dire qu'il continue h acheminer au tan t de demandes que sa capacit6 le lui permet. Le cas peut se produire lorsque plusieurs G. S. dont le routage donn6 par l 'algorithme de Dantzig emprunte le tron~on consid6r6 cessent de l 'emprun- ter pour un mgme niveau des ench~res. L'exemple suivant 6claircira ce point.

Consid6rons le r6seau de la figure 2, dans lequel les chiffres plac6s h c5t6 d 'un tron~on en indiquent la capacit6. Soit h er6er un G. S. F H et un G. S. GB. Le premier choix sera 6videmment FACBH et GACB, ee qui conduira h une disponibilit6 de - I pour le

f

Fro. 2. ~ Cas oh l 'algori thme de base ne fournit pas la meilleure solution. Illustration de la premiere modification.

tronr CB. Le prix de ce dernier va donc monter jusqu 'au moment off il apparaltra plus int6ressant pour aller de A h B de passer par D et E que par C. Savoir lequel de ces deux G. S. doit garder son ancien routage n 'a pas d'int6r~t global - - puisque le cofit total est le mgme. Si l 'on consid~re les G. S. individuellement, on peut avoir des raisons de pr6- f6rer que l 'un des G. S. garde son ancien routage, soit parce qu'il est d6jh construit alors que l 'autre repr6sente une demande nouvelle, soit qu'inter- viennent des consid6rations sur le nombre de trans- ferts qui feraient pr6f6rer pour F H le routage FACBH et pour GB le routage GADEB ou lieu des routages F A D E B H et GACB. Mais nous reviendrons sur ce point ult6rieurement.

La situation aurait 6t6 plus mauvaise encore si le tron~on DE par exemple avait eu une capacit6 non pas de 2 mais del . La solution trouv6e pr6c6demment n 'aurai t doric pas 6t6 satisfaisante. Deux eas auraient alors pu se produire :

- - celui de la figure 3 dans lequel il existe entre A

F M

Fie. 3. ~ (;as off l 'a lgori thme de base fournit une rnauvalse ~olution. Illustration de la premiere modification.

PIROBLEMES DE ROUT.AGE D A N S LES RESEAUX 5/20

et B un chemin beaucoup plus on6reux mais par lequel les deux G. S. demand6s peuvent passer h la lois. C'est une solution, mais elle est manifestement loin d'etre optimale. Un autre exemple du mgme cas est donn6 par la figure 4 dans lequelle il appa- ralt pour le G. S. F H un routage ne passant pas par AB, ce qui r6sout la question mais la r6sout real ;

F ~ ~ 3

Fro./r . ~ Autre cas oh l 'algori thme de base fournit une mauvaise solution.

- - un cas beaucoup plus grave est celui de la figure 5 dans lequel il n'existe pas de chemin de secours analogue h ceux des figures 3 et 4. On assisterait alors h une oscillation entre les deux solutions ACB et ADEB sans qu'il soit possible de converger vers une solution satisfaisante.

Z

~G 3 D

Fro. 5 . - Cas oh l 'algori thme de base ne fournit pas de solution. Il lustration de la premigre modification.

I V . D . P r e m i e r e m o d i f i c a t i o n d e l ' a l g o r i t h m e d e b a s e .

Nous venons de voir que si l 'application de l'algo- r i thme de Dantzig est syst6matique, on risque d 'aboutir h des impossibilit6s ou h des solutions inuti lement 61oign6es de l 'optimum. I1 faut donc que certains routages soient obtenus autrement . Le mieux et le plus simple, 6videmment, consiste conserver l 'ancien routage essay6 et pour cela

l 'avoir gard6 en m6moire. Notons d'ailleurs que ce routage a 6t6 obtenu par application de l 'algorithme de Dantzig h u n r6seau off les prix qui r6gnaient 6talent plus proches des prix initiaux.

Du point de rue de la programmation, la phase a de notre algoritbme devient la suivante :

a) Chaque demande de G. S. est examin6e h tour de r61e. Si le routage tel qu'il figure en m6moire ne fair appel ~ aueun tron~on qui soit engorg6 au

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6/20

moment de l 'examen du G. S. ce routage est con- serv6. Sinon, on fait appel h l 'algori thme de Dantzig et on affecte au G. S. le routage qu'il indique. Si ce routage est diff6rent de celui qui figurait en m6moire, on met h jour les disponibilit6s des tron~ons en cons6quenee. Les phases b e t c sont inchang6es.

Exemple.

Reprenons l 'exemple de la figure 2 dans lequel les 2 G. S. h cr6er, F H et GB demandent ini t ialement h passer respect ivement par FACBH et GACB. Par suite de la disponibilit6 - I du tron~on CB et des ench6res qui en r6sultent, il arrive une it6ration oh il devient plus avan tageux de relier A et B par D et E que par C. Supposons qu 'au cours de cette it6ra- tion le G. S. F H soit examin6 avant le G. S. GB. Son routage tel qu'il figure en m6moire, FACBH ne donne pas satisfaction puisque CB est engorg6. On fait donc appel h l 'a lgori thme de Dantzig et on affecte en cons6quence au G. S. F H le routage FAD~EBH. Puis on met h jour ]a disponibilit6 des tronr concern6s par le changement. Lors de l 'examen du G. S. GB, on constate que son routage donne satisfaction puisque plus aucun des tronqons qu'il met en jeu n 'est engorg6. On conserve donc le routage en m6moire. A la fin de cette it6ration, l 'examen des diff6rents tron~ons ne fait ressortir aucune indisponibilit6, et la convergence a donc 6t6 atteinte.

Discussion.

Les r6sultats donn6s par cette m6thode sont bien meilleurs que ceux que fournissait la m6thode de base, comme on a pu s'en convaincre sur l 'exemple trait6, et comme on pourra i t s'en persuader en reprenant les eas des figures 3, 5 et 5. Non seulement ces r6sultats sont meilleurs, mais la convergence est mieux assur6e et plus rapide.

La nouvelle m6thode pr6sente toutefois h premiere vue un inconv6nient : t o u s l e s G. S. n 'ont pas les mgmes chances a priori ; l 'ordre dans lequel sont pr6sent6es les demandes a une certaine influence.

C'est lh un inconv6nient plus apparent que r6el. Le premier reproche que l 'on pourrai t faire concerne l ' int6rgt global, et est li6 h la fa~on dont se font les ench~res. Reportons nous h la figure i. On a vu que le r6sultat id6al est que le G. S. AC passe par B e t le G. S. AD par F. Avec notre nouvelle m6thode, si les ench~res sont brutales, il y a un risque que ce soit le deuxi~me G. S. examin6 qui conserve le meilleur routage, et le premier qui prenne le routage de secours. Mais avec la premiere m6thode, c '6taient les deux G. S. qui auraient pris le routage de secours, laissant inoccup6s les tron~ons qu'ils avaient choisis en premier. I1 y a donc gain de toutes les mani~res, et si l 'on veut faire en sorte que ce soit bien le G. S. AC qui passe par B, quel que soit l 'ordre d 'examen des G. S., il faut que les paliers d'enchbres soient suflisamment faibles pour qu'il existe un niveau de prix tel que le G. S. AC ait encore avan- tage h passer par B tandis que le G. S. AD a d6j~

P. B E R N A R D ANNALES DES T~L~COMMUNJCATIONS

avantage h passer par F. De toutes fa~ons, il y a un lien direct entre l 'optimisation globale et la lenteur de progression des ench~res, c'est-h-dire le temps de calcul, mais l 'exp6rience montre que l 'on arrive ~ des r6suhats tou t h fait satisfaisants pour un temps de calcul raisonnable.

Un autre inconv6nient apparent t ient au fait que l 'on a parfois des raisons qui ne sont pas s t r ic tement comptables, de pr6f6rer que tel ou tel G. S. ait le routage le plus court possible. Nous en verrons un exemple lorsque nous trai terons de la l imitat ion du nombre des transferts . Nous verrons h cette occasion un correctif tr~s simple qui permet de tenir compte de pr6f6rences de cet ordre.

Passons main tenant h l ' examen des avantages de cette nouvelle m6thode.

a) Convergence mieux assurde et meilleurs rdsultats.

Un r6seau de groupes secondaires, aussi eomplexe et aussi proche du plein emploi que peut l 'gtre le r6seau fran~ais, est trait6 de fagon satisfaisante et en moins de 5 minutes sur un calculateur IBM 7094 (8 heures sur un caleulateur IBM 1620 h 40 000 carac- t~res d6cimaux de m6moire).

b) Rdduction du temps de calcul.

En effet, la recherche d 'un routage par l'algo- r i thme de Dantzig repr6sente la plus grande part ie du temps consacr6 h l ' examen d 'un G. S. Puisqu 'avee la nouvelle m6thode sont seuls justiciables de cet algorithme les G. S. dont le routage ne donne pas satisfaction, le nombre d'appels h cet algori thme est r6duit dans une proport ion notable , et avec lui le temps de calcul. Si bien que l 'on peut se permet t re des ench~res tr~s progressives conduisant h la meilleure solution possible.

c) Souplesse d'exploitation.

S'il se pose le probl~me de la cr6ation de G. S. suppl6mentaires sur le r6seau existant , on part i ra non pas du r6seau vide mais de l '6tat dans lequel il st t rouve avant l 'extension propos6e. Selon route vraisemblance, on est plus pr6s de la solution, puisque le routage d 'un G. S. exis tant ne sera remis en cause que dans la mesure off l 'un des tron~ons qu'il emprunte est l 'objet d 'une demande suppl6- mentaire de la par t des nouveaux G. S. ~ construire, et ne peut la satisfaire. Il en r6sulte une diminution du temps de calcul. Il en r6sulte sur tout la souplesse d 'exploi tat ion que nous recherchions, puisque il ne sera port6 a t te inte au routage d 'un G. S. existant que dans la mesure off il existera pour un G. S. nouveau un int6rgt 6conomique d6terminant h emprunter un tronqon satur6 occup6 par un G. S. existant. I1 est mgme possible h int6rgt 6gal, de favoriser la stabilit6 du r6seau. I1 suffit pour cela d 'examiner les nouvelles demandes avan t les ancien- nes au cours de chaque it6ration. De la sorte, s'ils n ' y ont pas un int6r~t sup6rieur h celui d 'un G. S. existant, ce seront les G. S. nouveaux qui renon- ceront les premiers aux tron~ons qui font l 'objet d 'une comp6tition.

- - 1 6 - -

t. 21, n ~ 1-2, 1966]

Nous avons done bien a t te in t la souplesse d 'exploi tat ion puisque la m6thode d'ench~res auto- rise tous les remaniements mais les 6ri te chaque lois qu'ils ne se t raduisent pas par un gain pour le r6seau dans son ensemble.

d) Facilitd du passage h la gestion automatiqae.

Puisque tou t ensemble de routages dans lequel aucun trongon n'est engorg6 consti tue une solution valable, il est possible de prendre pour configuration initiale celle des routages r6els h une date donn6e, qui r6pond h cette condition. Ainsi, le jour off la m6thode que nous pr6sentons aujourd 'hui deviendra op6rationnelle, il ne s 'ensuivra aucune per turbat ion imm6diate h apporter h l 'ensemble des routages. Celui-ci sera pris en charge tel qu'it se pr6sentera, et c 'est h par t i r de lh que la m6thode sera appliqu6e pour r6soudre les probl~mes pos6s par les demandes nouvelles et les extensions du r6seau de c~bles.

I V . E . D e u x i 6 m e modi f i ca t ion de l ' a lgor i thme de base .

L'algori thme modifi6 que nous avons d6crit pr6- sente encore un inconv6nient qu'il lustre la figure 6. Soit h construire s u r c e r6seau un G. S. F K et un G. S. GK. Les routages demand6s en premier ehoix sont respect ivement F A C B H K et GACBHK. Ils emprunten t chacun deux tron~ons engorg6s, CB et HK. Nous avons vu que le prix de ces deux tronQons va monter au cours d'ench~res successives jusqu 'au moment od entre A et B le routage le plus avantageux consiste h passer par D et E. Dans le cas g~n6ral, ceci se produira h u n nivcau de prix tel que le routage propos6 passe encore par le deu- xi~me tron~on engorg6, ici HK, l 'al longement pour remplacer ACB par ADEB 6rant plus faible que celui qui correspond au remplaeement de B H K par B I J K . Le routage demand6 par le G. S. F K sera ainsi F A D E B H K . Quand on examinera le G. S. GK, on constatera que l 'engorgement de CB a bien disparu mais non pas celui de HK. En cons6- quence, on ne conservera pas le routage tel qu'il figure en m6moire, mais on fera appel h l 'a lgori thme de Dantzig, ce qui fera perdrc le b6n6flce de la r6servation de place sur CB ~ laquelle on avait proc6d6 au b6n6fice du G. S. GK.

I1 y aurai t pour tan t un moyen de ne pas perdre ce b6n6fice. I1 est en effet 6quivalent, en ce qui concerne le r6sultat slnon le principe, de conserver le routage d 'un G. S. qui n ' emprun te pas de tron~on engorg6 ou de recourir h l 'algori thme de Dantzig en ayan t pris soin de rendre part iculi~rement favorables les prix des tron~ons pr6c6demment emprunt6s par le G. S. consid6r6. Cette nouvelle m6thode est cependant plus souple que Ia premiere car, lorsque certains des tron~ons emprunt6s sont engorg6s, il est encore possible de la faire jouer pour ceux qui ne le sont pas.

Nous l 'avons part ie l lement incorpor6e h notre algorithme, dont la phase a devient la suivante :

a) Chaque demande de G. S. est examin6e ~ tour

- - 17 - -

PROBLEMES DE ROUTAGE hANS LES RESEKUX 7/20

de r6le. Si le routage tel qu'il figure en m6moire ne fair appel fi aucun tron~on qui soit engorg6 au moment de l 'examen du G. S. ce routage est con- serv6. Sinon, on lib~re le routage, c'est-h-dire qu 'on augmente de I la disponibilit6 des trongons qui le consti tuent. Puis on recherche un nouveau routage par l 'algorithme de Dantzig, en consid6rant pour les tron~ons leur prix d'ench~res s'ils sont satur6s ou engorg6s et leur prix de revient s'il leur reste des disponibilit6s. On affecte alors ce routage au G. S. examin6 et on diminue de I la disponibilit6 des trongons mis en jeu.

Les phases be t c sont inchang6es. On volt qu 'avec cette m6thode, aussi longtemps

qu 'un trongon est l 'objet d 'une demande exc6den- taire, c'est son prix d'ench~res qui intervient , puisque mgme si sa disponibilit6 augmente de ~ h l 'occasion de l '6viction provisoire d 'un G. S. dont le routage emprunta i t ce tron~on, il reste au moins satur6. Au contraire, si un tron~on est juste satur6, ou a/ortiori s'il lui reste des disponibilit6s, et que le routage de l 'un des G. S. qui l 'occupent est remis en question par l 'engorgement d 'un autre tron~on, le premier tron~on se pr6sente h un prix aussi avan- tageux que possible, et figurera donc dans le nouvel itin6raire, h moins que l 'engorgement qui provoque l 'examen n'oblige h emprunter un tou t autre rou- tage.

Exemple.

Reprenons l 'exemple de la figure 6 off les deux G. S. ~ cr6er, F K et G K demandent ini t ialement les routages F A C B H K et GACBHK. Lorsque, par suite des ench~res, arrive un moment off le chemin le plus avantageux entre A e t B e s t ADEB mais celui de B h K est encore B H K , le G. S. F K , suppos6 examin6 en premier, demande le rou- tage F A D E B H K . Quand on examine le G. S. GK,

E

3 3

FIG. 6. - - (;as oh ]a premi6re modification de l'algorithme de base ne fournit pas de solution. Illustration de la deuxi~me modification.

on t rouve que le routage qui lui est assoei6 en m6moire, GACBHK, emprunte un tron~on satur6, HK. On lib~re done ce routage. Le tron~on CB cesse alors provisoirement d 'gtre satur6 et reprend son prix de revient : le nouveau routage relie A h B par C comme pr6c6demment et non par D et E

8/20 comme ce vient d'gtre le cas pour le G. S. GK. A la fin de l ' i t6ration consid6r~e, le prix du tron- ton HK, toujours engorg6, va monter, mais lc pro- blame pos6 par le routage entre A et B est r6gl6. A un certain moment celui du routage entre B e tK va ~tre aussi r6solu, l 'un des G. S. passant par H, l 'autre par I e t J. Les deux probl~mes ont 6t6 r6gl6s en quelque sorte ind6pendamment l 'un de l 'autre (et cependant les routages entre A et B auraient pu gtre remis en cause, par exemple par l 'existence d 'un autre chemin AK non repr6sent6 sur la figure).

IV.F. Les ench~res.

Nous n 'avons rien dit jusqu'h pr6sent de la fa~on dont se font les ench~res, car il s'av~re que le r6sul- t a t final en d6pend assez peu. La solution retenue consiste h augmenter d 'une quantit6 fixe le prix des tronqons engorg6s et h diminuer d 'une autre quantit6, plus faible, le prix des tron~ons conservant des disponibilit6s, sans toutefois que le prix d'en- chores d 'un tronqon puisse descendre en dessous de son prix de revient. (Il faut voir dans cette derni~re restriction un souci de ne pas alourdir l 'exploitat ion par des routages que la moindre concurrence vien- drait modifier, mais cette pr6occupation r6pond essentiellement, comme on le verra, au cas d 'unc demandc exc6dentaire.)

Discussion.

Sous cette derni~re version, l 'algorithme donne route satisfaction. La stabilit6 de l 'ensemble des routages lors de nouvelles demandes est hau tement favoris6e sans jamais nuire ~ l 'int6r6t g6n6ral ; la convergence est assur6e et rapide.

P. BERNARD [ANNALE~ DES TI~.L~COMMUNICATION$

V.A. D~flnition des objectifs.

S'il n 'est pas possible de satisfaire toutes les demandes, il convient de d6finir les crit~res qui peuvent permet t re de d6terminer quelles demandes satisfaire et quelles demandes sacrifier.

Un critgre qui vient facilement h l 'esprit est celui de priorit6. Les demandes sont class6es dans l 'ordre du d6sir qu 'on a de les voir satisfaites, et on fait en sorte de ne pas satisfaire une demande si on s'inter- dit par lh de satisfaire une demande de priorit6 sup6rieure.

Nous voyons h cette m~thode deux inconv6nients. L 'un prat ique : il faudrai t pr6senter les demandes une h une, puis ayan t t rouv6 un routage qui a pris en compte les n premieres demandes, pr6senter la (n -4- I e) demande. Si on converge vers une solution, la (n -t- 1) e demande est r6alisable et on peut pr6senter la (n -t- 2) e demande, sinon, on supprime la (n + 1) e demande, qu 'on ne peut r6aliser, on revient h l '6tat du r6seau imm6diatement ant6rieur, et on cherche h satisfaire la (n + 2) e demande. Quoique parfa i tement concevable, ce proc6d6 serait assez lourd.

Le deuxigme point faible du critgre de priorit6 nous semble plus fondamental . La notion de priorit6 est une notion ordinale. I1 nous semble plus int6- ressant de lui substi tuer celle d ' importance, qui est cardinale (les importances s 'ajoutent) . La figure 7 va nous permet t re de pr6ciser ce point. Soit r6aliser un G. S. AB d ' impor tance 102, et des G. S. CD, EF et GH, d ' impor tance respective 101, 100 et 99, l 'ordre des priorit6s 6rant AB, CD, EF

V. C A S D ' U N E D E N I A N D E E X C I ~ , D E N T A I R E .

Nous avions jusqu'h pr6sent fait l 'hypoth~se que le problgme donn6 avait une solution, c'est-h-dire qu'il 6tait possible de router sur le r6seau de cfibles l 'ensemble des Groupes Secondaires propos6s. Dans la rfialit6, deux questions peuvent se poser ; le pro- blame admet-il une solution, et que faire s'il n 'en admet pas. ?

La premiere question est tr~s dfl icate sur le plan th6orique. Mais pra t iquement elle nous a paru de peu d ' importance, pour deux raisons. La premiere est que le mouvement se prouve en marchant , et qu'il nous a sembl~ que nous avions assez de motifs de croire en les performances de notre m6thode pour admet t re que si nous ne trouvions pas de solution dans un d61ai raisonnable, c 'est que tr~s vraisem- blablement il n 'en existait pas. La seconde raison est que si, dans un r6seau off la demande augmente r6guli~rement, on en est h se demander s'il existe une solution, le moment n 'est sans doute pas loin off il n 'y aura plus de solution du tout. Le probl6me impor tan t est donc celui de la conduite h tenir en pr6sence d 'une demande exc6dentaire ou quipara l t telle ; celui de l 'existence d 'une solution pr6sente alors un caract~re quelque peu acad6mique.

B

FIG. 7. - - Opposition de la no!ion d ' impor tance h celle de priorit&

et GH. Puisque le routage du G. S. CD par exemple, n6cessite d ' emprunte r le tronqon I J, on volt que si nous supposons que chacun des tron~ons repr~- sent6s a une capacit6 unitaire, il n 'est pas possible de satisfaire toutcs lcs demandes. Si nous recourons h la notion de priorit6, le G. S. prioritaire AB sera r6alis6 le premier, et sa construct ion emp~chera la r6alisation des autres demandcs. Au contraire si on adopte la notion d ' importance, il apparal t plus avantageux de r6aliser un G. S. CD @ un G. S. EF -}-un G. S. GH, d ' importance totale 300, que de construire le seul G. S. AB d ' importance 102. La notion d ' importance n 'exclut d'ailleurs pas tou t h fait celle de priorit6 car il est toujours possible de conf6rer une priorit6 h u n certain G. S. en lui accor- dant une importance suffisamment grande.

m 18

t. 21, n ~ 1-2, 1966]

V.B. La m~thode.

Si l 'object iI est de rendre maximale la somme des importances satisfaites, on peu t encore penser ~ la p rogrammat ion lin6aire, et il y aurai t peut-~tre une solution dans cette voie, avec routes les r6serves que nous avons d6jh faites.

En fait, nous nous sommes orient6s vers un 61ar- gissement de notre m6thode d'ench6res. En effet, la consid6ration des prix d'ench~res des diff6rents tron~ons (ou 6quipements) in te rvenant dans un rou- tage permet de donner une mesure du prix de ce routage, c 'est-h-dire du sacrifice h consentir pour la r6alisation du G. S. correspondant . La comparaison de ce sacrifice h l ' impor tance reconnue a priori h la construct ion du G. S. permer de d6cidcr, h chaque it6ration, s'il convient de poursuivre les efforts en rue de sa r6alisation ou s'il y a lieu au contraire d ' y renoncer provisoirement . Cette 61immation de cer- taines demandes est graduelle car, au fur et mesure des it6rations, les prix mon ten t et par lh, l ' impor tance des sacrifices h consenter. Cependant , comme, dans notre syst~me d'enchgres, les prix peuvent 6galement baisser, il n 'es t pas impossible que certaines demandes auxquelles on a renonc6 au cours des it6rations se t rouven t n6anmoins fina- lement r6alis6es. Il est h noter que le plancher que nous avons impos6 aux prix d'ench~res a pour effet d '6vi ter que des G. S. peu impor tan t s puissent ~tre r6alis6s au prix de longs d6tours : ils ne pourra ient soutenir la concurrence que ferment nai tre dc nou- vellcs demandes ; leur caract~re provisoire et les modifications de routage entraln6es alourdiraient inut i lement l 'exploi tat ion.

Dans ces conditions, un ra isonnement inspir6 de la p rog rammat ion lin6aire tend h p rouver que la solu- t ion a t te inte correspond h u n m ax i m um , non pas de la somme des impor tances satisfaites, mais de cette m~me somme h laquelle on ra joute la (~ valeur de

P R O B L E M E S D E R O U T & G E D A N S L E S R I ~ S E A U X 9/20

revente du r6seau, h un certain fac teur multipli- catif pros (on entend par r valeur de revente )) la somme, 6tendue h tous les tron~ons, du prix d 'un tron$on multipli6 par sa disponibilit6). Ce facteur mult ipl icatif d6pend du niveau absolu des impor- tances (on suppose donn6es leurs valeurs relatives). C'est seulement lorsque ce niveau est tr~s 61ev6 que le facteur mult ipl icat i f devient nul et que la somme des importances satisfaites est maximale . Dans ]es autres cas, chaque op t imum at te in t repr6sente un certain compromis entre la somme des impor tances satisfaites et les difficult6s d 'exploi ta t ion que peu- vent soulever des modifications du r6seau.

V.C. Exemple.

Consid6rons le r6seau de la figure 8 od le tron c<on AB a une capacit6 de : let un prix de revient de 80, le trc no, on BC une capacit6 de I et un prix de revient de 120. Soit ~ construire un G. S. AB d ' impor tance 100, un G. S. BC d ' impor tance 250 et un G. S. AC d ' impor tance 300. Supposonl encore que les enchgres se fassent de la far suivante : un tronr engorg6 volt son prix monte r de :15, un tronr auquel il reste des disponibilit6s vol t son prix d'ench~res baisser de 5 sans toutefois qu'il puisse descendre en dessous de son prix de revient.

I~ 120 C

r l :m. 8. - - Cas d 'une demandc (~xc6dentalre.

Les routages 6tant impos6s, nous ne nous int6-

resserons qu ' aux prix. Le tableau I r6sume la s i tuat ion au eours des

it6rations suceessives.

TAIH~EAU 1

PtANG DE L'ITIs RATIO N

P R I X DES TRON([()NS

AB BC

80 120 95 135

110 150 110 165 11.0 180 110 195 105 195 105 2[0 100 210

G. S. AB BC AC

IMPOR T A N CE (100 250 300)

CO~T

80 120 200 95 135 230

110" 150 2(;0 1 t0" 1(;5 275 l l 0 * t80 290 t10" 195 305* 105" 195 300 105" 2t0 315" 100 210 310"

[ ) I S P ( ) N I B I L I T ~ t/I":S U I,TA NTE Al l BC

- - I - - 1

- - I - - l

0 - - i 0 - - 1 0 - - I l 0 0 - - 1 1 0 0 0

]~ V I~2N E M E NTN 11EM ARQUAI'~ LEN G.S .

* I N D I Q U E UN V I R T U E L (COUT > ISIPORT)kNCE)

Lc G. S. AB devient vir luel .

Le G. S. AC devient virtuel. Le G. S. AC redevient vir tuel Le G. S. AC redevicnt r6el. Le G. S. AB redevient r6el.

solut ion stable = fin du probl6me

L e s G. S. A B c t BC (importance totale 350) sont r6alis6s, Le G. S. AC (importance 300) ne pourra 8tre r6alis6 qu 'u l t6r ieurement .

- - 1 9 - -

0/20 V.D. Disoussion.

Dans l 'exemple ci-dessus, on a choisi la plus simple mesure possible du cofit du routage : la somme des prix d'ench~res des tron~ons emprunt6s. En fair, de mgme que pour le probl~me des routages, nous avons 6t6 amen6s pour aboutir plus certaine- ment h une solution, h modifier quelque peu cette mesure en appliquant une ristourne, 6gale h u n pas de balsse des ench~res h ceux des tron~ons qui ne sont pas engorg6s.

La m6thode d6crite est donc capable de fairc face aux situations de p6nurie. Celles-ci peuvent gtre chroniques : 6quipement insufflsant de telle ou telle r6gion ; elles peuvent 6galement gtre accidentelles. Supposons par exemple qu 'un c~ble vienne h gtre coup6. L '6 ta t d'6quilibre du r6seau se trouve rompu. Certains des G. S. interrompus n 'ont pas assez d ' importance pour faire face h une comp6tition accrue. D'autres, consid6r6s comme plus essentiels, sont non seulement capables de supporter la d6pense suppl6mentaire d 'un d6tour, mais encore d 'y sou- tenir assez longtemps la comp6tition avec les G. S. qui les occupent, pour forcer ceux-ci soit h faire eux-mgmes un d6tour, soit h cesser temporairement d'exister. La m6thode r6pond donc h toutes les questions qui peuvent se poser lots d 'un d6ran- gement.

I1 ne faudrai t pas terminer cet expos6 de la m6thode g6n6rale d'affectation h laquelle nous avons eu recours sans signaler un point important . On a admis implicitement quc les importances reconnues

l 'existence de tel ou tel G. S. l '6taient par l 'homme. Rien n'emp~che qu'elles le soient par la machine en fonction des importances des groupes primaires qui demandent h emprunter les groupes secon- daires, etc... C'est l~ une solution d'une grande souplesse dans les probl~mes d 'adapta t ion et d'har- monisation des diff6rentes hi6rarchies de r6seaux. Nous reviendrons sur ee point.

VI. P R O C ] ~ D U R E S U P P L ] ~ M E N T A I R E DE S T A B I L I S A T I O N

DES R O U T A G E S D E S G. S. E X I T A N T S .

Nous avons vu que la premiere modification apport6e h l 'algorithme de base avait pour effct d'entralner une certaine stabilit6 des routages. En effet, ceux-ci ne peuvent ~tre modifi6s que dans la mesure off ils empruntent un tronr qui se trouve engorg6 au moment de l 'examen et of 1 il cxiste alors un routage plus avantageux.

Cette c( hyst6r6sis )~ ne joue en fait que d 'une it6ra-

F" \ G

FXClo 9. ~ Stabilisation des routages.

P. B E R N A R D [ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

tion h la suivante. Lorsque le probl~me pos6 se caract6rise par un fort d6s6quilibre entre l'offre et la demande (rupture de cfible ou plan annuel d'inves- t issement par exemple), les nouveaux routages peuvent diff6rer sensiblement des anciens, sans que la nature du probl~me pos6 le requi~re.

C'est ainsi qu'il est possible (fig. 9) que 3 G. S. aient initialement pour routages :

AF = ABDF AF = ACDEF AG = ADEG.

Et finalement : A F = A F = A G =

Le but que nous nous aux G. S. existants leur que cela est possible.

ADEF ACDF ABDEG.

proposons est de conserver ancien routage, chaque fois

La m6thode que nous avons choisie va mettre h profit l'hyst6r6sls d'i t6ration h i teration dont nous disposons. Apr~s avoir obtenu la convergence, on va <r geler )) les routages de certains G. S. : tous ceux, d 'une part, dont le routage est identique ~ l 'ancien routage, tous ceux, d 'autre part, qui sont virtuels. Puis, nous allons affecter d 'autorit6 h tous les anciens G. S. r6els le routage qu'ils avalent au d6but du probl~me, en modifiant en cons6quence les disponibilit6s des tronr emprunt6s ou qui cessent de l'~tre. I1 en r6sulte g6n6ralement un certain d6s6- quilibre du r6seau : eertains tron~ons se t rouvent nouveau engorg6s. Nous appliquons alors ~ nouveau notre algorithme, mais aux seuls G. S. dont le rou- tage n 'a pas ~t6 cr gel6 )). On est stir d 'aboutir ainsi une solution - - ne serait-ce que celle qui a 6t6 obtenue pr6c6demment - - mais plus vraisembla- blement h une solution nouvclle dans laquelle cer- tains G. S. suppl6mentaires ont eonserv6 leur rou- rage primltif. On r162 ggle )~ 6galement leur routage et on recommence le processus une lois ou deux.

Sans que cela soit facile h d6montrer, cette m6- thode conduit effectivement h une grande stabilit6 des routages des G. S. d6jh construits. L'exemple de la figure 9 est signifieatif h cet 6gard : la conver- gence est obtenue dgs la premiere it6ration, avec des routages identiques aux anciens routages.

Une autre mesure h 6galement 6t6 prise en rue d'assurer une plus grande stabilit6 aux routages existants. Lorsqu'on a converg6, certains G. S. ont une importance h peine sup6rieure h leur coilt, pour 6viter qu'ils disparaissent trop facilement roccasion de nouvelles demandes, l ' importance des G. S. effeetivement eonstruits se t rouve major6e d'un certain coefficient, qui est en quelque sorte une prime h la stabilit6.

VII. L I M I N A T I O N D U N O M B R E DE T R A N S F E R T S .

VII.A. Position du probl6me.

L'utilisation d'un tron~on suppose que l'on mo- dule le groupe secondaire de base pour le mettre en

- - 20

t. 21, n ~ 1-2, 1966[

position sur un canal de G. S., qu'on le d6module h l 'autre extr6mit6 et, s'il doit gtre transf6r6 sur un autre tron~on, qu'on utilise un filtre de transfert de groupe secondaire (voir annexe I).

Ces 6quipements sont cofiteux. Il y a donc lieu d'en r6duire l'emploi en faisant, dans certains cas, pr6f6rer un certain d6tour kilom6trique h u n trans- fert suppl6mentaire.

On majore donc le prix de revient initial d 'un tron~on en lui incorporant une p6nalit6 fixe repr6- sentant les op6rations de modulation, de d6modu- lation et de filtrage que son usage impose. Les c~bles

paires sym6triques 60 voles qui, ne sont pas soumis h ces contraintes, sont dispens6s de la p6nalit6 (il convient 6galement d'en dispenser le canal 2 d 'un c~ble coaxial qui peut 6tre extrait sans filtrage).

Ceci, qui r6pond seulement h u n souci 6conomique, a d6jh pour effet de r6duire le nombre de transferts. Toutefois, ceux-ci ont un autre aspect : ils intro- duisent des distorsions, et il importe donc de limiter dans la mesure du possible le nombre des transferts que doit subir chaque G. S. La limite que nous nous sommes fix6s est 3. II serait tr~s facile d'adap- ter cette limite au cas particulier que pose chaque groupe secondaire.

V I I.B. La mfithode.

La m6thode est la suivante : chaque lois que le routage propos6 par l 'algorithme de Dantzig pr6- sente plus de trois transferts introduisant de la distorsion (on exclue donc les transferts sur c~ble h paires sym6triques 60 voies), on fair h nouveau appel h cet algorithme, mais en p6nalisant chaque transfert d 'une somme 61ev6e, 6quivalente par exemple h 500 km de canal de G. S. L'id6e est de faire apparaltre tou t chemin h trois transferts comme plus avantageux que tout chemin h quatre transferts, lequel h son tour apparaltra plus avan- tageux qu 'un chemin h cinq transferts, etc... Cettc m6thode n ' interdi t donc pas les routages pr6sentant plus de trois transferts, elle vise seulement h leur faire pr6f6rer, dans la mesure du possible, des rou- tages h trois transferts ou moins. Ainsi (fig. 10) de L I L L E ~t L Y O N , les G. S. L O N D R E s - M I L A N pr6f6- reront passer par Pxl~is-Echiquier, plutSt que par M~.ZI~RES et NANCY. I1 peut cependant arriver qu'une telle solution, pr6f6rable individuellement, se heurte h une impossibilit6 d'ensemble. C'est le eas de l 'exemple cit6 plus haut si r on suppose que la saturat ion de la station de PARis-Echiquier et l 'absence de liaisons avee les autres stations pari- siennes y interdisent tout transfert . Le proeessus d'enehgres va jouer pour faire monter le prix des trongons PAEIs-t~chiquier-LILLE et PAms-l~chiquier- LYON jusqu'a rendre plus avantageux pour les G. S. LONDI~Es-MILAN le transit par M~zI/~l~ES et NANCY, malgr6 la p6nalit6 qui y est attaeh6e.

I1 ne s'agit done pas d 'une limitation autoritaire du nombre de transferts, qul pourrait se heurter h une impossibilit6, mais seulement de l'expression d 'une pr6f6renee qui est satisfaite dans toute la

PROBLEMES DE ROUTAGE DANS LES RI~SEAUX ii/20

mesure du possible, et eeci d6montre encore une lois la souplesse de la m6thode pr6sent6e.

Nous avons arbitrairement fix6 h trois le nombre de transferts au-delh duquel cette proc6dure inter- vient. En fait, on pourrait faire de ce nombre une caract6ristique du G. S. h construire ; ce serait lh le moyen d'assurer que les G. S. reliant les villes les plus 61oign6es aient une certaine priorit6 sur les G. S. d'int6r6t local.

V I I I . FILTI: tES D E T R A N S F E I : t T D I B E C T .

V I I I . A . Pos i t ion du probI~me.

Les filtres de transfert direct plac6s dans une station permettent de s6parer les G. S. qui conti- nuent sur la m~me art~re de ceux qui sont arr~t6s pour gtre d6modul6s et 6ventuellement transf6r6s. La connaissance de l 'ensemble des filtres de trans- fert direct, qui 6quipent les diff6rentes stations se t rouvant sur une mgme section principale de r6gu- lation, permet de d6finir l'origine, l 'extr6mit6 et la capacit6 de ce que nous avons appel6 des tron~ons (voir annexe I).

Nous avons suppos6 jusqu'ici que ces filtres de transfert direct 6talent une donn6e impos6e. Cette hypoth~se simplificatrice correspond n6anmoins h une patt ie de la r6alit6 : lorsque l'on dolt proe6der h des modifications de routage, on pr6f~re que ce soit au moyen d 'une simple connexion h modifier, plut6t que par un 6change de filtres de t ransfer t direct qui suppose un transport de mat6riel et la satisfaction de certaines conditions techniques (comme l'existence en station de certains 6quipe- ments). - - C'est le cas des probl~mes de reroutage.

I1 faut n6anmoins gtre en mesure, dans le eas d'extension par exemple, de changer les filtres de transfert direct lorsque cela s'av~re n6cessaire. La difficult6 r6side dans le fair que d'une part le nombre de types de filtre est limit6 et qu'en cons6quenee toutes les combinaisons d'arr~t de canaux de groupes secondaires ne sont pas possibles, et d 'autre part qu'il est tr~s difficile, dans la majorit6 des cas, de dire si un ensemble de capacit6s de tron~ons corres- pond h u n ensemble de filtres et, dans ce cas, h quel ensemble. La question est encore compliqu6e par le fair que plusieurs syst~mes coaxiaux ou hertziens peuvent gtre en parall~le entre deux stations, et par l 'existence de points multiples sur le r6seau. En revanche, il est extrgmement simple, 6tant donn6 un certain hombre de systfimes et les filtres de transfert direct qui les 6quipent, d'en d6duire la nature et la capacit6 des diff6rents tron~ons qui en r6sultent.

Nous utiliserons plus loin cette remarque.

V I I I . B . Pr6eis ions supplfimentaires sur les objee - tifs.

II nous faut pr6ciser maintenant la nature du pro- blame que nous voulons traiter. II est certain que le probl~me du routage tel que nous l 'avons abord6

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t2/20

jusqu'ici et celui du choix des filtres de t ransfer t direct r6gissent profond6ment l 'un sur l 'autre. On pourrai t donc penser qu'ils doivent 6tre trait6s ensemble. Nous souscrivons & ce principe avec deux r6serves. La premiere, qu'il faut chercher f 6viter de modifier t rop souvent ces filtres pour les raisons d 'exploitat ion que nous avons expos6es. Nous reviendrons ult6rieurement sur les conditions dans lesquelles le syst~me de filtrage pourra 6tre remis en cause. La deuxi~me r6serve est que les probl~mes de routage et de filtrage peuvent ~tre en fait trait6s s6par6ment, ce qui simplifie ta solution de chacun, tout en 6rant imbriqu6s du point de rue logique.

Londr~s

-

/ , Noncy

Paris- Echiqui~r

M~Tan FiG. 1 0 . - L imi t a l ion du nombre de t rans fe r t s .

D6veloppons ce point. On a vu que la m6thode propos6e pour le routage est it6rative. I1 est donc 6ossible, lorsqu'on a d6cid6 que les filtres peuvent ptre modifi6s, de les consid6rer comme une donn6e intangible au cours d 'une it6ration de routage puis, consid6rant main tenant comme impos6es les capa- cit6s minimales des tron~ons telles qu'elles appa- raissent n6cessaires & la fin d 'une it6ration de rou- rage, d 'essayer de les r6aliser - - ou de s'en approcher le plus possible - - en modifiant les filtres de trans- fert direct. C'est au nouveau r6seau ainsi d6fini que serait appliqu6 le processus d'ench~res et, s'il ne permet pas alors de router l 'ensemble des G. S. demand6s, on repart i ra i t pour une nouvelle i t6ration de routage.

De cette far les probl~mes de routage et de filtrage sont effectivement 6troi tement imbriqu6s, mais il en r6sulte une simplification consid6rable pour le probl~me de filtrage, lequel peut 6tre 6nonc6 ainsi : 6rant donn6 une art6re coaxiale ou un ensemble d'art~res passant par les mgmes stations, t rouver une combinaison de filtres de t ransfer t direct & installer dans cbaque station, de fa~on permet t re d'6tablir un ensemble de liaisons donn6 entre ces diff6rentes stations. Lorsque nous parlons de liaisons, nous voulons dire des liaisons directes, sans d6modulation interm6diaire. I1 peut s 'av6rer n6cessaire de d6moduler une de ces liaisons, mais ceci est pour nous un probl~me de routage, non de filtrage, et dolt ~tre trait6 au cours de l ' i t6ration suivante.

P. BERNARD [ANNALES DES T~L~COMMUNICATIONS

Nous ne parlons pas pour l ' instant d 'opt imum, pour la raison qu'il nous a paru tr~s difficile d'cn d6finir un. Toutefois, la m6thode que nous avons mise au point permet de prendre en compte les cofits des 6quipements et la facilit6 avec laquelle ils peuvent 6tre implant6s dans telle ou telle station ; elle permet 6galement de r6server l 'avenir en s'effor- ~ant de m6nager la possibilit6 d'extensions ult6- rieures.

V I I I . C . L a m 4 t h o d e .

Nous nous occuperons pore" commencer du cas des probl~mes qui admet t en t une solution, laissant pour plus tard celui o~, aucune solution n 'est satis- faisante, et oK il importe donc de d6finir la moins mauvaise.

Nous avons dit qu'il est facile, connaissant les filtres de t ransfer t direct dont sont 6quip6s les diff6- rents centres, d 'en d6duire les capacit6s disponibles entre stations. Cela 6rant, une solution empirique, qui consisterait h essayer l 'un apr~s l 'autre des ensembles de combinaisons de filtrage et ~ en retenir un qui convienne, est th6or iquement possible, car le nombre de tels ensembles est limit6. Cependant, m6me limit6, ce nombre reste souvent tr~s grand, et la m6thode empirique ne peut 6tre envisag6e pra t iquement que si des consid6rations ext6rieures viennent soit, l imiter le hombre de syst~mes & essayer, soit, donner des indications sur les syst~mes qui ont le plus de chances de r6ussir. La m6thode que nous allons exposer r6pond h ces deux condi- tions.

Dans chaque station interm6diaire, l ' inconnue est la combinaison de filtrage h retenir. A chacune de ces combinaisons est at tr ibu6 un prix, qui n 'a 6videmment aucune signification 6conomique. Ce prix a en principe pour valeur initiale z6ro. Cepen- dant, et c 'est 1~ la premiere earact6ristique signal6e, on peut 61iminer a priori un grand nombre de combi- naisons de filtrage en les affectant d 'un prix infini, ou plus simplement en ne les faisant pas figurer sur la liste des combinaisons qui peuvent 6tre prises en consid6rat ion: toutes celles qui ne permet ten t pas d 'arr6ter au tan t de canaux de G. S. provenant d 'une direction que de liaisons en provenance de cette direction et terminales dans le centre consid6r6 (il n ' y a en g6n6ral que deux directions h consid6rer, dans un r6seau lin6aire, mais nous n 'exaluons pas les points multiples). On peut 6galement 61iminer a priori routes les combinaisons de filtrage qui ne laissent pas passer, sans les d6moduler, au moins au tan t de canaux de G. S. d 'une direction & une autre qu'il y a de liaisons correspondantes ~ assurer.

L 'algori thme de recherche est i t6ratif et comprend trois 6tapes.

1. On examine successivement chaque station interm6diaire. Pour chaque stat ion on ehoisit la combinaison de filtrage affect6e du prix minimal. (Lorsque plusieurs combinaisons ont le prix minimal, on ret ient la premiere rencontr6e, et par suite l'or- dre dans lequel sont rang6es les combinaisons a

- - 2 2 m

t. 21, n ~ 1-2, J966]

uue influence, qui esl faiblc mais non n6gligeable.) 2. Ayant ainsi d6termin6 la comblnaison de fil-

trage relative h chaque station, on en d6duit les capacit6s offertes au trafic entre les diverses sta- tions.

3. Liaison par liaison, on examine la capacit6 demand6e et on la compare h la capacit6 offerte. Si cette dernibre est insufflsante, on majore, pour chacune des stations extr6mit6 de la liaison, le prix de la combinaison de filtrage provisolrement retenue d 'une quanti t6 6gale au nombre des demandes insatisfaites.

Si toutes les demandes sont satisfaites, on sort les r6suhats ; sinon, on se rebranche h la premiere 6tape.

V I I I.D. Discussion.

La raison, pour laquelle un algori thme de ce genre converge en un temps raisonnable, est qu 'une combinaison de filtrage grossi6rement inappropri6e entralne l ' insatisfaction d 'un si grand nombre de demandes que son prix augmente de faqon impor- tante. Elle n 'est donc essay6e que re la t ivement rarement , lorsque les prix des autres combinaisons de filtrage relatives ~ la m~me stat ion ont ra t t rap6 son propre prix. Au contraire, une combinaison qui finira par s 'av6rer bonne n 'est refus6e que si les fihres des autres stations ne lui correspondent pas. Le plus souvent donc, la demande insatisfaite est faible et par suite cette combinaison est essay6e plus f r6quemment qu 'une cc mauvaise ~ combinaison puisque, en moyenne, son prix augmente peu lots de ehaque essai. Comme il en va de mgme dans les autres stations, on tombe sur un ensemble satis- faisant de combinaisons de filtrage au bout d 'un nombre acceptable d'it6rations.

Nous avons dit que les prix des combinaisons autoris6es a pr ior i avaient comme valeur initiale z6ro, et que la p6nalit6 inflig6e h une combinaison essay6e 6tait 6gale au nombre de liaisons insatis- faites. En fair, notre m6thode de prix autorise beaucoup plus de souplesse. Ainsi pour favoriser la stabilit6, on pent donner des valeurs initiales n6ga- t i res aux combinaisons de fihrage qui maint iennent un ou plusieurs fihres d6jh en place dans une station. On peut de m~me donner des valeurs initiales posi- tives aux combinaisons qui peuvent etre envisag6es mais qui entralnent duns un centre certains t r avaux ou des d6penses que l 'on d6sirerait 6viter. Ce qui pr6c~de a pour but de re tarder l'essai de telle ou telle combinaison jug6e d6savantageuse; de la m4me far la p6nalit6 appliqu6e pent tenir compte de ces divers facteurs pour favoriser la fr6quence d'essais de tel type de combinaison ou diminuer celle de telle autre, d iminnant par 1~ les chances de la voir adopt6e.

I1 convient de signaler un fair peut-4tre un pen paradoxal mais impor tan t : le temps de t ra i tement , tr6s court lorsque la demande est faible car on t rouve alors rapidement un ensemble de fihres satisfalsants, l 'est 6galement lorsqu'elle est voisine

P R O B L E M E S DE R O U T A G E DANS LES RI~',SEAUX ~T.3/'20 de la saturation, puisque rares sont alors lcs comt, i- naisons qul n 'ont pas 6t6 61imin6es a pr ior i .

VIII.E. Cas d'un probl6me sans solution.

Nous avons suppos6 jusqu'h main tenant que le probl~me pos6 avait une solution. Comment se rendre compte qu'il n 'y en a p a s ? Au moyen d 'une preuve ou d 'une pr6somption. La preuve consiste h constater que toutes les combinaisons de filtrage relatives h une certaine stat ion ont 6t6 61imin6es a pr ior i comme ne r6pondant pas aux crit~res que nous avons 6nonc6s. C'est lh une preuve sumsante, mais elle n 'est pas n6cessaire. La pr6somption est de m~me nature que celle que nous avons mentionn6e pour le probl~me du routage proprement d i t : si nous n 'avons pas t rouv6 de solution dans un d6lai raisonnable, c'est vraisemblablement qu'il n 'en existe pas.

Que faire alors ? Adopter la solution la moins mauvaise en esp6rant des it6rations de routage une am61ioration. A c e sujet, on peut observer que les liaisons demand6es eomprennent une demande locale, telle qu 'une extr6mit6 de G. S. au moins soit dans la zone concern6e par le filtrage 6tudi6, et nn trafic en transit . C'est ce dernier qui dolt 6tre sacrifi6 si un sacrifice s'impose, puisqu'il lui reste la possibilit6 de t rouver un routage qui lui fasse 6viter la zone engorg6e 6tudi6e. On diminue donc arbitrai- rement la demande correspondante et on recherche un systbme de filtrage satisfaisant. Quand on l'a trouv6, c'est lui qui est r6put6 le moins mauvais.

Nous avons dit que notre m6thode s'efforCait de m6nager la possibilit6 d'extensions futures, et elle le fair de la faqon suivante : lorsqu'une modification de filtrage s'av6re n6cessaire, on gonfle artifieiel- lement les demandes en fonction de ce que l 'on pr6voit qu'elles r isquent d'Stre dans un avenir rap- proch6. Puis on cherche ~ satisfaire ces demandes. Si on y parvient , la solution risque d'gtre saris- faisante pendant un temps assez long, ce qui facilite l 'exploitation. Si par contre on ne peut r6aliser Fen- semble des demandes anticip6es, on essaye succes- sivement de r6soudre des cas de plus en plus voisins de celui qui correspond au probl~me r6el. Le calcul s'en t rouve 6videmment allong6, mais ce n 'est pas une perte de temps duns la mesure of~ la solution t rouv6e restera valable plus longtemps.

V I I I.F. Conditions de romise en cause du flltrage.

Reste le point de savoir quand remet t re en cause un filtrage, 6rant entendu que l 'on d6sire que ce soit aussi ra rement que possible. Voici la solution qui a 6t6 adopt6e : on se souvient que chaque tron~on est dot6 de deux prix, un prix d'ench6res et un prix de revient. La comparaison des deux permet de met t re en lumi~re un ~ manque h gagner ~ dO h une capacit6 insuffisante du tron~on. Lorsque cet te diff6- rence de prix est sup6rieure h u n certain scull, on estime que le b6n6fice h a t tendre d 'une modification du filtrage l 'emporte sur la suj6tion pour les services d 'exploi tat ion de l 'entreprendre. Ce scull est 6videm-

23

4/20 ment tr~s bas lorsque ra r t~re h laquelle le tron~on appar t ient est seulement projet6e comme ce peut ~tre le cas dans une simulation d' investissement. I1 n 'y a alors aucun inconv6nient h rechercher le fil- trage optimal.

I1 reste alors h d6finir les art~res ~ consid6rer dans le probl~me de filtrage. Ce seront routes celles qui sont telles qu 'une modification du filtrage, inter- venant sur elles, peut contr ibuer ~ augmenter la capacit~ offerte sur le tron~on engorg6 sans faire intervenir de transferts de groupes secondaires. I1 reste alors seulement ~ rechercher sur fichiers les art~res correspondantes, ce qui ne pr6sente pas de difficuh6 de principe, mais la description de la m6thode sort du cadre de cet article.

IX. I:t~,SULTATS ATTEINTS ET D~VELOPPEMENTS ENVISAGI~.S.

La recherche des routages dans le cas d 'un pro- blame admet t an t une solution a 6t6 programm6e comme il a 6t6 indiqu6.

Sur un calculateur C 90-80 le temps de calcul est de l 'ordre de 5 minutes pour reconst i tuer le r~seau fran~ais de groupes secondaires. Les r6suhats sont tr~s satisfaisants.

Le cas d 'une demande exc6dentaire (w V) est est ~galement programm6. C'est ainsi que si l 'on simule la rupture de c~bles sur le r6seau fran~ais ta machine indique les groupes secondaires h supprimer provisoirement, et les modifications de routage auxquelles il convient de proc6der afin de minimiser l 'effet des coupures.

Le probl~me du fihrage est 6galement programm6, toutefois r in t6gra t ion des probl~mes de routage et de fihrage n 'est pas encore r6alis6e.

Les id6es expos6es et les r6suhats at teints ne repr6sentent qu 'une 6tape dans le probl6me de l 'automatisat ion de la gestion des r6seaux de t616- communications. Elles ne prendront tout leur sens que lorsque l 'ensemble des probl~mes aura 6t6 r6solu. Divers objectifs restent pour cela h at teindre que nous allons ment ionner en esquissant les solutions que nous pensons adopter.

IX.A. Diversification des routages pour des rai- sons de s~eurit~.

I1 est d6sirable d '6viter que la d6faillance d 'un seul 6quipement ou d 'un seul cable affecte l'en- semble des groupes secondaires reliant deux points donn6s. I1 faut done chercher ~ diversifier les rou- rages, dans la mesure du possible. Ce but dolt pouvoir 4tre a t te int en augmentan t provisoirement le prix des 6quipements utilis6s par un certain nombre des G. S. reliant deux points donn6s, de fa~on ~ inciter les autres h 6viter ce routage.

IX,B. Prise en eompte du mat6riel.

I1 ne suffit pas pour router un G. S. de t rouver des positions libres sur un cable. II faut encore que les 6quipements n6cessaires soient disponibles. La

P, B E R N A R D [ANNALES DIF~ T~L]~COMMUNICATION$

r6solution de ce probl~me suppose en premier lieu un impor tan t effort d 'automat isa t ion de la docu- mentat ion. Cet effort est actuel lement en cours. En ce qui concerne la m6thode h adopter, nous pensons que la notion d'ench~res dolt pouvoir gtre 6tendue aux 6quipements.

I X.C. Routage des groupes primaires. Rappelons tout d 'abord qu 'un groupe primaire

(G. P.) est g6n6ralement un ensemble de 12 circuits qui peut gtre achemin6 soit sym6triques, soit au moyen qui r6unissent un hombre primaires.

Le probl~me du routage

sur des c~bles h paires de groupes secondaires, maximal de 5 groupes

des groupes primaires peut gtre consid6r6 de deux fa~ons :

t) si l 'on admet comme des donn6es les groupes primaires h construire et les groupes secondaires et cables h paires sym6triques disponibles h cet effet, le probl~me est identique, ou tou t au moins tr~s semblable h celui du routage des groupes secon- daires. Les m6thodes expos6es peuvent done s'appli- quer ais6ment ;

2) le probl~me peut gtre envisag6 d 'une fa~on beaucoup plus g6n6rale. Elle consiste h consid6rer que les groupes secondaires ne sont pas une donn6e en sol, mais que ce sont des interm6diaires qui servent seulement h acheminer des groupes pri- maires. Les donn6es sont alors d 'une par t les groupes primaires ~ construire et d 'autre par t le r6seau de c~bles ; t rouver le routage des G. P. implique alors de d6terminer les G. S. ~ construire pour router l 'ensemble des G. P. dans le r6seau de c~bles.

On est done tou t naturel lement conduit ~ conce- voir un syst~me d'ench~res ~ deux 6tages. On pr6- sente init ialement aux G. P. un r6seau de G. S. comprenant rensemble des G. S., dont on estime que la r6alisation est sinon possible, ou du moins conce- vable. Sur ce r6seau, et sur les cables ~ paires sym6- triques 12 voles, on cherche alors h r6aliser les groupes primaires jusqu'~ ce qu 'on air converg6, c'est-~-dire jusqu 'au moment o~, au moyen 6ven- tuel lement de l'61imination des G. P. dont le co~t de routage exc~de l ' importance, les ench~res sont arret6es. Les diff6rents groupes secondaires ont alors une importance qui est fonction de celle des groupes primaires qui demandent h les emprunter . On cherche alors ~ construire ces groupes secon- daires sur le r6seau donn~ de cables coaxiaux, cables

paires sym6triques 60 voies et faisceaux hertziens. Lorsqu 'on a converg6, certains des groupes secon- daires demand6s, d ' importance t rop faible, n 'on t pu gtre r6alis6s. On fait alors passer leur capacit6 de 5 groupes primaires ~ 0, en m~me temps qu 'on 6t~ve leur cofit pour dissuader les groupes primaires de les emprunter . Puis on examine h nouveau le r6seau des groupes primaires. ]~tant donn6 que la capacit6 de certains groupes secondaires a 6t6 ramen6e h 0, r6quilibre pr6c6demment a t te int par ce r6seau se t rouve rompu. (Cependant, d~s la fin de la premiere it6ration, on remet t ra h 5 la capacit6 des groupes

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t . 21, n ~ 1-2, 1966]

secondaires supprim6s de fa~on que leur construc- t ion puisse 6ventuellement gtre h nouveau demand6e par les G. P.). On ne peut converger h nouveau que par une modification des routages de groupes pri- maires. Les groupes secondaires demand6s ont alors des importances g6n6ralement diff6rentes de celles qui leur avaient 6t6 conf6r6es pr6c6demment. On cherche h nouveau h r6aliser les G. S. demand6s, etc... Le processus s'arrgte lorsque d 'une fois h l 'autre les groupes secondaires ont tous gard6 la m~me impor- tance. On connalt alors h la lois quels sont les groupes secondaires effectivement r6atis6s et leur routage, et quels sont les groupes primaires effectivement r6ali- s6s ainsi que leur routage.

Le point d61icat, et qui reste h approfondir, est le rapport entre l ' importance des groupes primaires et celle des groupes secondaires. Ce rapport devra 6tre bilat6ral, en ce sens que des groupes primaires importants doivent conf6rer de l ' importance aux groupes secondaires qu'ils empruntent , et que r6ci- proquement ils doivent au tant que possible chercher h utiliser des groupes secondaires dont l ' importance s'accorde h la leur, ou bien, sous une autre forme, s'associer entre groupes primaires d ' importance voisine.

Bien entendu, tout ce qui a 6t6 dit des G. S. concernant la souplesse d'exploitation, la l imitation du nombre des transferts, la diversification des routages pour raisons de s6curit6, la prise en compte du mat6riel, et, le cas 6ch6ant, la (c r6partition de la p6nurie )) reste valable pour les groupes primaires.

IX.D. ]~largissement ~t d'autres categories de rd- seaux.

Ce que nous venons de dire des groupes primaires a en fait une port6e plus g6n6rale. Les notions intro- duites sont celles d 'adaptat ion automatique d'un r6seau de hi6rarchie donn6e (en l'occurrence les groupes secondaires) h u n r6seau de hi6rarchie sup6- rieure (ici les cables coaxiaux, h paires sym6triques 60 voles et faisceaux hertziens) et h u n r6seau de hi6rarchie inf6rieure (ici les groupes primaires), le r6seau de hi6rarchie donn6e se t rouvant lui-mgme en concurrence avec un r6seau de m6me hi6rarchie (ici les cables h paires sym6triques 12 voles).

Nous pensons que ces notions doivent pouvoir ~tre 6tendues ~ des r6seaux de hi6rarchie sup6- rieure (les groupes tertiaires) et inf6rieure (les cir- cuits et les voles t616graphiques). II semble m6me ne pas exister de raison fondamentale - - en dehors de difficult6s techniques certaines - - qui interdise d'acc6der, un jour, h la donn6e de base qu'est le trafic.

A cet 6gard il faut rappeler qu'une m6thode saurait difllcilement conduire h de bons r6sultats sans de bonnes donn6es, et les t ravaux en cours ne pourront aboutir h une gestion optimale du r6seau que lorsqu'on y aura introduit le trafic offert et 6cou16 par les at t i res de t616communications. Un effort est actuellement entrepris en rue d'6quiper les centres nodaux de commutat ion du r6seau fran~ais interurbain de bales d'observation de trafic qui,

PROBLEMES DE ROUTAGE DANS LES RI~-SEAUX i 5 / 2 0

associ6es ~ des 6quipements de transmission de donn6es, seront capables de fournir ~ un calculateur, sous une forme directement assimilable, les 616ments de tra fie.

IX.E. l~laboration de plans d'investissement.

Lorsque les donn6es fournies ~ la machine corres- pondent au r6seau r6el, celle-ci est un outil de gestion. I1 est 6galement possible que ces donn6es correspondent h l '6volution antieip6e du r6seau. La machine joue alors un r61e de simulation, permet tant par exemple de dire dans quelle mesure tel plan d'investissement qui lui est soumis permettra de satisfaire la demande anticip6e. II sera ainsi possible de comparer l'efficacit6 de deux ou plusieurs plans d'investissement. Si ces plans sont le reflet de telle ou telle option technique ou politique, par exemple pr6f6rence accord6e aux syst~mes ~ nombreuses paires coaxiales de bande passante r6duite, ou au contraire syst~mes h petit hombre de paires h large ou tr~s large bande passante, la r6ponse de la machine permettra de se faire une id6e sur l 'int6rgt de teHe ou telle ligne de conduite.

La machine pourrait toutefois avoir un r61e plus actif que la simple simulation dans l'61aboration des plans d'investissement. Voici une m6thode qui nous paralt concevable. Nous nous limiterons dans l'expos6 h u n r6seau de groupes secondaires, mais la m6thode est g6n6rale.

Supposons que l'on connaisse les cr6dits globaux allou6s, et que l 'on h6site entre divers investis- sements plus ou moins concurrents sur le plan tech- nique et g6ographique, dont ont connMt le prix. On va supposer t ous l e s investissements envisag6s r6alis6s, et en supprimer un nombre tel que ceux qui restent correspondent aux possibilit6s finan- ci~res. Or, supprimer un investissement revient h le saturer par une demande fictive correspondant exactement h la capacit6 qu'il apporte. On peut associer h chaque cable ou iaisceau herzien, dont la construction est envisag6e, une demande de G. S. dont l ' importance est proportionnelle au cofit de l 'investissement, en faisant en sorte, par un artifice de programmation, que la d6cision de construire ou de ne pas construire soit la mgme pour tousles G. S. fictifs correspondant h u n mSme investissement. En jouant sur te facteur de proportionnalit6, on fair varlet l ' importance relative des demandes fietives par rapport h celle des demandes r6elles et par cons6- quent te nombre des investissements neutralis6s ; on s'arr6te lorsque ceux qui n 'ont pas 6t6 neutra- lis6s correspondent aux possibilit6s financi6res. L 'examen du r6seau permet alors de savoir quels sont les investissements h r6aliser et quelles sont les demandes satisfaites. Puis on supprime les investis- sements neutralis6s et routes les demandes fictives. On obtient alors les routages des demandes satis- faites.

La m6thode esquiss6e ici s 'appliquerait bien aux plans h court terme. I1 resterait "~ la g6n6raliser pour les plans h long terme. Ceci pourrait se faire

m 25 - -

16/20

en eonsid6rant d'abord une longue p6riode d'invcs- tissement puis, remontant le temps h partir de la date llmite, en supprimant des investissements, toujours au moyen de demandes fictives.

Nous avons beaucoup insist6 sur la notion d'im- portance, qui gouverne la solution de bien des pro- bl6mes. C'est dire tout le soin qui devrait 6tre apport6 h la d6finition de l'importance h conf6rer h chaque demande. Ce choix d61icat paralt gtre du ressort de la Direction G6n6rale des T616commu- nications qui partirait essentiellement pour cela des renseignements qui lui sont transmis par les Direc- tions R6gionales des T616communieations, et qui pourrait 6galement introduire les grandes options prises en mati6re de d6veloppement du r6seau. Certes, les d6veloppements envisag6s n6cessiteront encore beaucoup de temps et d'efforts pour atteindre le stade op6rationnel, mais il nous a paru int6ressant de donner ici l'6bauche de ce que pourrait 6tre l'avenir.

X . C O N C L U S I O N .

Si l'on cherche h dresser un bilan des r6sultats atteints et des espoirs, il convient en premier lieu de souligner la prise de conscience du probl6me. La Direction du Service des Lignes h Grande Distance et la Direction G6n6rale des T616communications ont reconnu l'importance de l'aide que peuvent leur apporter les m6thodes modernes de traitement de l'information. Une collaboration fructueuse s'est 6tablie entre ces services et le Centre National d't~tudes des T616communications qui fournit le ,( support logistique )) de son exp6rience en mati~re de calculateurs.

Par ailleurs, le probl6me a 6t6 reconnu dans son ensemble. Une m6thode a 6t6 mise au point, la m6thode d'ench6res, qui a donn6 route satisfaction jusqu'ici, et dont la souplesse et la facilit6 de mise en oeuvre laissent penser qu'elle servira de principe de base dans les travaux ult6rieurs, en raison en parti- culier de la Iacilit6 qu'elle autorise pour l'int6gration et l'harmonisation de diff6rents probl~mes.

A long terme, il semble qu'on puisse esp6rer aboutir h une gestion entibrement automatique des probl~mes de routage et h une contribution impor- tante h la d6finition des programmes d'investis sement.

ANNEXE I

A P E R C U D E L ' O I : t G A N I S A T I O N DU R~.SEAU FRANCAIS

D E L I A I S O N S A G B A N D E D I S T A N C E

Les d6finitions donn6es ci-dessous ne pr6tendent pas h l'exactitude et h l'orthodoxie; elles visent seulement h donner au lecteur peu familiaris6 avec les t616communications les 6claircissements qui peuvent lui ~tre n6cessaires pour suivre les d6velop- pements expos6s.

P . B E R N A R D [ANNALES DES T~L]~COMMUNICATIONS

Le trafie s'~coule stir des circuits qui sont te support de la communication entre deux commu- tateurs.

Alors que la dur6e d'une communication est courte (quelques minutes), le circuit est une entit6 laquelle est attach6e une dur6e beaucoup plus longue, g6n6ralement de quelques ann6es, parfois plus courte (trafic saisonnier ou exceptionnel).

Dans ce qui s'appelle le r6seau haute fr6quence, qui constitue l'ossature du r6seau fran~ais de liaisons

grande distance, les signaux appartenant h diff6- rents circuits font l'objet d'une transposition de fr6quence (modulation) avant d'etre transmis sur les art6res de t616communications. L'op6ration inverse (d6modulation) est effectu6e h l'autre extr6mit6.

En fair, il serait extrgmement difficile et cofiteux de moduler et d6moduler individuellement les cir- cuits. C'est pourquoi ils sont r6unis par une premi6re modulation en groupes primaires, comprenant g6n6- ralement 12 circuits. Ces Groupes Primaires (G. P.) peuvent 6tre achemin6s soit individuellement sur des art6res qu'ils occupent enti~rement (cables h paires sym6triques 12 voies ou 2 • 12 voles) soit, par une deuxi6me modulation, ~tre eux-mgmes r6unis en Groupes Secondaires (G. S.) de 5 groupes primaires. A leur tour, ces groupes secondaires peuvent gtre achemin6s individuellement (cables paires sym6triques 60 voles) ou collectivement apr~s une troisi~me modulation stir des cables h paires coaxiales 1,3 MHz ou 4 MHz ou des faisceaux hertziens. Enfin, avec l'apparition de cables h paires coaxiales h tr6s grande largeur de bande (t2 MHz) une troisi6me possibilit6 va gtre offerte pour l'ache- minement des groupes secondaires : les r6unir en Groupes Tertiaires (G. T.) de 5 groupes secondaires, eux-mgmes transmis collectivement apr6s une qua- tri6me modulation dans la bande de ~r6quence qui s'6tend au delh de 4 MHz, les fr6quences ini6rieures

4 MHz continuant h gtre utilis6es pour l'achemi- nement de groupes secondaires modul6es indivi- duellement.

I1 convient d'ajouter une autre possibilit6 offerte pour router les circuits : emprunter le r6seau basse fr6quence sur lequel ils sont trait6s soit indivi- duellement, soit r6unis en ensembles d'un petit hombre de circuits. Ce r6seau basse-fr6quence est compl6mentaire et parfois concurrent du r6seau haute-fr6quence : un circuit peut emprunter succes- sivement des 616ments appartenant h l'un et l'autre.

Nous avons dit que les groupes secondaires peuvent au moyen d'une modulation, l!tre plac6s sur un (( canal de groupe secondaire )) qui occupe une certaine gamme de fr6quence. Ces canaux de G. S. sont au nombre de 16 sur un cable coaxial de 4 MHz de bande passante, de 5 sur un cable /i 1,3 MHz. Ils sont num6rot6s par fr6quenee croissante.

La r6gulation de l'amplification sur une ligne coaxiale met en jeu des signaux parfaitement cali- br6s, envoy6s h des fr6quences dites fr6quences pilotes, qui sont ajout6s h l'information transmise. Des consid6rations de stabilit6 limitent h quelques

- - 2 6

t . 2 1 , n ~ 1-2 , 1966]

centaincs de kilom~trcs ]a longueur de ligne qu'il est possible de rhguler grace h ces signaux. II appa- ral t ainsi la notion de (( section principale de r6gu- lation )) termin6e par des (( centres pr incipaux de d6modulat ion )) dans lesquels, h de rares exceptions pr6s, tous les groupes secondaires sont d6modul6s et ramen6s h ce qu'il est convenu d 'appeler le groupe secondaire de base, qni occupe la bande de fr6- quence 312-552 kHz.

Entre ces centres pr incipaux de d6modulat ion se t rouven t g6n6ralement d 'au t res centres dans lesquels il est possible d 'extra i re des G. S. Ceci suppose tout d 'abord un filtre, passe-haut , passe-bas, ou passe- bande, d6nomm6 filtre de t ransfer t direct, qui laisse passer un certain hombre de G. S. et arr~te tes autres. Si l 'on veut extraire ceux-ci, il faut les d6mo- duler par la fr6quence ((( por teur de G. S. ))) appro- pri6e. Ces fr6quences sont fournies par des g6n6ra- teurs de fr6quence et des amplif icateurs-distr i- buteurs. Les modulateurs s 'appel lent ~( modula teurs de groupes secondaires )). Le signal d6modul6 peut subir une deuxi~me d6modulat ion pour scinder le groupe secondaire en ses gronpes primaires consti- tutifs. I1 est 6galement fr6queut que t 'on d6sire remoduler le groupe secondaire, soit pour l ' envoyer sur un autre groupe coaxial soit sur le m~me, mais h une autre fr6quence, soit encore h la m6me fr6-

(Fr~uence croissante)

num&o du GS

16 15

14

l" 12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

F ~ a . A . L 1 . - - E n s e m b l e d+'s

P R O B L E M E S DIE R O U T A G E D A N S I, ES R I ~ , S E A U X t7/20 possible. II fau t signaler le cas part iculier du G. S. n ~ 2 dont la bande de fr6quence correspond au groupe secondaire de base et qui peut donc 6tre extrai t d i rectement sans d6modulation.

F i l t r e s de t r a n s f e r t d i r e c t .

Ces filtres, dont le but est de laisser passer cer- taines G. S. et d 'en arr~ter d 'autres , appar t i ennen t h u n pet i t hombre de filtres normalis6s. C'est ainsi que, pour un cfible h 4 MHz (i6 G. S.), sur les 2 le = 65 536 combinaisons th6or iquement possibles 10 seulement sont disponibles (y compris l ' a r r6t de t o u s l e s G. S. (d6modulation totale) et l 'absence totale de d6modulat ion (transfert direct)).

La donn6e, pour un groupe coaxial, des diff6rents filtres de t ransfer t direct qui 6quipent les diff6rents centres travers6s d6finit doric de fafon trbs simple le uombre des canaux de G. S. reliant deux de ces centres : c 'est celui des canaux qui sont arrgt6s dans les deux centres consid6r6s et qui ne le sont pas dans les centres se t rouvan t sur la ligne entre les deux centres en question. I1 appara l t ainsi la notion de ce que, dans le corps de l 'article, nous nommons (< tron~on ), : un ensemble de canaux de G. S. reliant deux centres o~t ils sont d6modul6s, sans d6modu- lation interm6diaire. La capacit6 du tron~on est le nombre de tels canaux.

Bande pass, ante des filtres de transfert direct

,, ,J I

1 I

I I

I I

r I

I I

f i

I J

I I

I I 1

I k,

I �9 I I I

A g C O eanau• de G. S. d ' u n e~ble coa• ~_ t 6 e a n a u x de G. S. - - - - - -

J

I

E C a n a l d e G . S.

quence (simplement parce que le filtre de t ransfer t direct utilis6 ne laissait pas passer le groupe secon- daire consid6r6). Dans ces derniers cas ((( t ransfer t ))) il faut ins6rer entre les deux modulateurs de groupe secondaire un (< filtre de t ransfer t de groupe secon- daire )) dont le rble est d 'ar r6ter les produits de modulat ion parasites. Los divers 6quipements men- tionn6s ne se t rouven t pas n6cessairement dans chaque centre ct, tn@le lorsqu'ils sont disponibles en magasin, leur installati()n n'est pas toujours

La figure A I - I repr6sente un cable coaxial h 16 canaux de G. S. reliant les centres A e t E, off t o u s l e s G. S. sont d6modul6s, en passant par les centres B, C et D, oh les t ra i ts ve r t i caux repr6- sentent les bandes passantes des filtres de t ransfer t direct. Les trai ts hor izontaux repr6sentent des canaux de G. S., rang6s de bas en haut par ordre de fr6quences croissantes. La figure AI-2 donne une representat ion sch6matique de cet te a t t i r e coaxiale sous forme d 'un r6seau 6clat6 off appara l t la notion

- - 27 - -

i8/2o de tron~on. Les capacit6s de ces tron~ons se d6dui- sent de la figure AI-l.

ANNEXE II

F O R M U L A T I O N LINI~.AIRE D U I:*BOBLI~..ME D U R O U T A G E

Rappelons que la programmation lin6aire permet de trouver l 'optimum (maximum ou minimum) d'une fonction lin6aire de plusieurs variables li6es entre elles par un certain nombre d'6quations et d'in6quations lin6aires. Ces 6quations s'appellent contraintes ; la fonction est dire fonction 6cono- mique.

Un G. S. reliant l'origine O~ ~ l'extr6mit6 E~ peut gtre r6alis6 d'un certain nombre de fa~ons C~.~ofi ] d6note la r6alisation retenue parmi toutes celles qui sont possibles. Si N~ est le nombre de G. S. h r6aliser entre O~ et E~, on peut 6crire :

N~ = Z ~.~,

ou ~.~ est un hombre entier, positif ou nul, qui exprime eombien de G. S. O~ Ei sont r6alis6s de la ]* fa~on.

Si l'on appelle e~ un 616ment - - (tel que position de G. S. sur un c~ble ou 6quipement) et si l'on d6- signe par Fc~.~ un nombre qui prend la valeur i, si

C

! 1 D

9

Fro. A.I.2. ~ Repr6sentation sch6matique d'une art6re coaxiale sous forme d'un r6seau 6clat6.

3 1~: tron~on AB, capacit6 3.

l'616ment ejr intervient dans la ]e r6alisation du G. S. 0~ E~, sinon la valeur 0, le hombre d'616- ments ex effectivement utilis6s est :

4

le nombre E~ est assujetti h la condition d'etre inf6rieur ou 6gal au nombre D~ qui indique le nombre d'616ments e~ disponibles.

Dans ce probl~me, les inconnues sont les ~.~" puisque leur connaissance suffit h d6terminer le

P. B E B N A R D [ANNALES DES TI~L]~COMMUNICATION$

r6seau, une fols qu'on a dress~ la table des r6ali- sations possibles pour chaque G. S. Les contraintes sont :

Z ~.J = N~,

Z ~.~, F~.~.K ~< Dx,

qui indiquent respectivement que ]e hombre voulu de G. S. 0~ E~ a 6t6 construit, et que ]e stock dispo- nible d'616ments e K n'a pas 6t6 d6pass6. Les nombres Fct.K peuvent 6tre consid6r6s comme r6sultant d'une analyse ant6rieure du probl~me.

Nous n'avons rien dit jusqu'h present de la fonc- tion 6conomique h optimiser. Cette fonction pour- rait repr6senter un cofit h minimiser.

C = X Z X ~.~ F~.~.,~ PK,

off P , repr6sente ]e prix unitaire de l'616ment K. Nous avons eu l'occasion de signaler ce que ce cofit peut avoir d'arbitraire, lorsqu'il s'agit non pas d'un probl~me d'investissement mais d'un probl~me de gestion dans lequel les d6penses sont d6jh connues.

Nous verrons au paragraphe V qui traite du cas d'une demande exc6dentaire que l'on peut envisage, une autre fonetion 6conomique, h maximiser eette fois : l'importance (d6finie au w V) qui est la somme des importances 616mentaires satisfaites.

l= ZZTh.t,

off 3i.t est l'importance du 1 e G. S. reliant O~ h E~" Dans ce cas la contrainte Y, ~.~--~ Ni disparalt

puisque par hypoth~se on n'est plus capable de la tenir. (Voir le w V pour des 6elaircissements sur la notion d'importance.)

L'un des probl~mes 6pineux assoei6s h la formu- lation lin6aire expos6e ci-dessus eonsiste h dresser la table F,.~.~ : ou bien l'on envisage tousles chemins possibles entre O~ et E~ - - et le probl~me devient alors, de par sa taille, inextricable - - ou bien l'on ne retient que les n meilleurs chemins, mais ce pro- blame est lui-m~me fort ardu, h molns d'interven- tion manuelle, et on risque de plus de passer h c6t6

E de l 'optimum ou mgme de la seule solution possible.

Un autre point d61icat concerne la formulation lin6aire du probl~me des filtres de transfert direct. Cette formulation est possible, en faisant appel h d'autres variables d'exclusion du genre des ~.~ qui ont 6t6 utilis6s pour des routages proprement dits, mais le nombre de telles variables h consld6rer est excessivement 61ev6.

ANNEXE III

ALGORITHME DE DANTZIG

Cet algorithme a pour but de fournir le plus court chemin entre deux points d'un r6seau connexe, c'est-h-dire tel qu'il existe au moins un chemin entre deux points quelconques. La m6thode consiste h

- - 2 8 - -

t. 21, n ~ 1-2, 1966] PROBLEMES DE ROUTAGE DANS LES RESEAUX

rechereher la plus e o u r t e d i s t a n c e de l 'origine h t o u s

les nceuds du r6seau, en commengant par les plus pr6s de l'originc, mais en s 'arr6tant d6s que le nceud le plus pr6s ainsi t rouv6 est le nceud extr6- mit6. Nous illustrerons l 'expos6 par l 'exemple du r6seau de la figure AI I I - I dans lequel on recherche le plus court ehemin de B h G (les nombres plac6s le long d 'un are en repr~sentant la longueur).

Supposons que l 'on eonnaisse d6jh la plus eourte distance de l 'origine B aux n nceuds les plus pr6s, que nous appellerons nceuds (( marqu6s )~ - - dans l 'exemple de la figure AI I I - t , outre B dont la dis- tance h l 'origine est 0, imaginons que l 'on connaisse la plus courte distance de B aux 2 n(euds les plus pr6s, A e t K, ce que nous repr6senterons en entou- rant d 'un pet i t cercle les nceuds B, A e t K. Soit h t rouver le (n -4- i) e nmud le plus pr6s et sa distance h l'origine. Ce nceud est n6cessairement reli6 par un arc h l 'un au moins des noeuds marqu6s - - sinon, il faudrai t , pour relier ce nmud h l'origine, passer par au moins un nceud non marqu6, qui d6s lors serait plus pr6s que lui de i 'origine (c'est ainsi que sur la figure A I I I - i off l 'on connalt d6jh 3 nceuds marqu6s B, A e t K, H ne saurait gtre le 4 e n(eud h marquer car il faut pour aller de H h B, passer soit par I soit par G. L 'un au moins de ces deux points sera donc marqu6 avant H. Le 4 e nceud h marquer appar t ient n6cessairement h l 'ensemble C, J, I, L).

Pour chaque nceud non marqu6 mais tell6 par un are h au moins un nceud marqu6 (nceud (( a t te int ))) (C, J, I, L, dans notre exemple), on peut d6finir sa distance h l 'origine comme le minimum, pour tous les nceuds marqu6s auquel ce nceud a t te int est reli6 par un arc, de la somme de la ]ongueur de l 'arc et de la distance du nceud marqu6 h l'origine.

t9/2o Example :

d i s t a n c e de A = 20, distance de K = 45, done,

distance de C = CB + d i s t a n c e de B ~ B -- 73,

d i s t a n c e de J = Min ((JB q- d i s t a n c e d e B/~ B = t49),

(JK ~- d i s t a n c e de K ~ 98) B = ~ ,

distance d e I = IK + d i s t a n c e de K h B = 63,

d i s t a n c e d e L = LK ~- d i s t a n c e de K h B = 96 .

Le (n q- t) e neeud ~t marquer va donc ~tre celui des nceuds at teints dont la distance ~ l 'origine e s t

la plus faible - - iei, I. Sa connaissance va modifier la si tuation de deux fagons :

- - d 'une par t certains nceuds qui n 'ava ien t pas encore 6t6 at teints vont le devenir ( G e t H dans notre exemple), leur distance h l'origine, selon n o t r e

d6finition, va ~tre la somme de la longueur de Pare qui les relic au nmud qui vient d'gtre marqu6, et de la distance de celui-ei h l 'or igine: distance de H ---- 42 q- 63 ---- 105, distance de

G----45 + 6 3 = 108;

- - d 'aut re part , la distance h l 'origine de certains nceuds d6jh at teints peut sc t rouver r6duite. C'est le cas de notre exemple off la distance de J passe de sa valeur pr6c6dente, 98, h la valeur 20 + 64 = 83.

L 'a lgori thme de Dantzig n 'est que la formulat ion prat ique de ce raisonnement. Chaque 6tape it6ra- rive consiste h rechercher le nceud non marqu6 le plus proche de l'origine, h le marquer et h voir si les arcs passant par ce nceud permet ten t d'am61iorer la distance de noeuds non marqu6s. Init ialement, le seul nceud marqu6 est l 'origine et on donne une valeur infinie h la distance des nceuds non marqu6s. On s'arr6te lorsque l 'extr6mit6 a 6t6 marqu6e. On

PIVOT

DISTANCE DU PIVOT

A L'ORIGINE

PLUSCOURTE DISTANCE A'L'ORIGINE DE :

A B C D E F G H I J K L

B 0 ~ _ ~ 73 . . . . . . 149 45 -

A 20 . . . . . . . ~ ) -

K 45 . . . . . . ~ ) 98 - 96

I 63 ~ ) - - - 108 105 83 -

C 73 10O 214 - - - ~ -

J 83 - 196 - * ~ - ~ )

L 96 ~ ) . . . .

D lOO - - ~

H 105 - - ~ . )

g FIN 108 "-t F, tN

TABLEAU A.IIIA. - - Recherchc du plus court chernin entre deux points h l'aide de l'algorithme de Dantzig.

- - 2 9 - -

20/20

connait alors sa plus courte distance h l'origine. Divers proc6d6s permettent alors de connattre le chemin correspondant. Le plus simple consiste, chaque lois qu'on a am61ior6 la distance d'un nceud,

noter l'arc ou le nceud marqu6 qui a permis cette am61ioration. Lorsqu'on cherche le chemin entre l'origine et l'extr6mit6, il n'y a qu'h remonter de

j l. 14

C 2 7 ~ D

F~r A. III. ~. - - Recherche des chcmins entrc I3 et G.

P. B E R N A R D [ANNALES DES T~L]~COMMUNICATION~

proche en proche h par t i r de l 'ext r6mit6 la chMne des nceuds qui ont permis d ' a t t e indre un nceud donn6.

Le tableau AIII- i donne l'historique de la recherche du chemin entre Be t G sur Ia figure AIII-I. Chaque ligne indique le nceud marqu6 utilis6 comme pivot , c 'est-h-dire le nceud le plus r6cemment marqu6. Certains noeuds sont tels que la valeur obtenue en faisant la somme de la longueur de l 'arc qui les relie au pivot (lorsqu'il existe) et de la distance de celui-ci h l 'origine soit inf6rieure h la distance trou- v6e ant6r ieurement . Celle-ci prend alors la valeur trouv6e. Puis on recherche pa rmi t o u s l e s nceuds non marqu6s celui dont la distance est la plus faible et on le choisit comme pivot . Le processus s 'arr6te lorsque le pivot ainsi t rouv6 est l 'extr6mit6. Un ast6risque ~ l ' intersection d 'une ligne et d 'une colonne indique que le pivot cor respondant /~ la ligne est reli6 par un arc au nceud correspondant h la colonne mais que l 'arc en question ne pe rmet pas d'am61iorer la distance du n~eud h l 'origine. Une distance entour6e d 'un cercle signifie que le nceud correspondant est le prochain p ivot car c 'es t de tous les nceuds pas encore marqu6s celui dont la dis- tance h l 'origine est la plus faible. Un t i re t indique une distance inchang6e.

Manuscri t recu le l0 no~,embre 1965.

COMPTES RENDUS DE LIVRES

E m p l o i des tubes ~lectr iques

et des trans i s tors *

de J. F A G O T

P . P Cet ouvrage, qui d6veloppe, le cours rofess6 ar l 'auteur h 1 ]~cole sup6rieure d 61ectrieit6 depuls 1963, est surtout p6dagogique ; c'est dire que la clart6 est pr6f6r6e ~ l'~rudition et au d6tail. Que l'ing6nieur des circuits ne s'attende donc pas h y trouver des montages n our ea ux .

N~anmoins, il poss~dc un earact~re qui le rend ins- tructif m~me pour des ing.~nieurs exp~riment6s : c'est la premiere fois, h ma connmssance, flue nous est pr6sent6 un parall~le aussi syst~matique du tube et du transistor en ce qui coneerne leur utilisation. La comparaison de ces deux 616ments 6claire leur fonctionnement d'un jour nouveau, permet de mieux appr~cier leurs avantages et inconv6nients respectifs, et montre enfin dans quell e mesure los analogies sont justifi6es et utiles, et ~ part~r de quand elles deviennent fantaisistes et fallaeieuses.

Apr~s un rappel sur les ~16ments aetifs et leur repr6-

sentation par quadrip61es 6quivalents, l 'auteur traite de l'emploi des tubes et des transistors de la fa~on que voici : chaque chapitre se rapporte h une fonction bien d6finie (par exemple, amplification basse fr6quence) et commence par des g6n6ralit6s valables quel que soit l'$16ment actif employ6 (si l 'on reprend le mgme exemple, les notions de ehalne d'amplificatlon, de gain, de dis- torsion, s'appliquent dans tousles cas) ; une deuxi~me partie donne alors des indications sur la fagon de r6aliser la fonetion consid6r6e au moyen de tubes, et elle a pour pendant une troisi6me partie relative aux transistors.

Les chapitres sont class6s sous trois chefs principaux savoir: amplificateurs, auto-oscillateurs, modulation- d6modulation et conversion-multiplication. Les deux derni6res parties, assez succinctes, ne comprennent qu.'un chapitre ; la premi6re, plus 6toff6e, en comprte cmq, dont les titres sont : amplicateurs basse-fr6quence, contre-r6aetion, amplificateurs vid6o-fr6quences, ampli- ficateurs haute fr6quence, bruit des tubes et des tran- sistors.

H. SOULIER.

* Ed. Masson, Paris (1966) ; I vol. reli6 17 • 25; viii + 265 p. ; 301 fig. ; 13 tabl., bibl. (33 r6f.l. - - Prix : 66 F - - Ouvrage regu en service de presse, "annonc6 dans le Bulletin signal~tique des t~l~cornmunications (d6cembre 496t*) sous la cote L 7 570.

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