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Reseaux SociauxMaster 1 informatique RIF IFI - Systemes Artificiels Complexes

Sebastien [email protected]

www.i3s.unice.fr/∼verel

Universite Nice Sophia AntipolisLaboratoire I3S

Equipe DOLPHIN - INRIA Lille Nord Europe

26 octobre 2012

Reseaux aleatoirePropagation d’information

Reseaux petit mondeReseaux sans echelle caracteristique

Plan

1 Reseaux aleatoire

2 Propagation d’informationModele SI

3 Reseaux petit monde

4 Reseaux sans echelle caracteristique

Sebastien Verel Metaheuristiques



Commencons par un peu de litterature... in English bitte

”I read somewhere that everybody on this planet is separated byonly six other people. Six degrees of separation between us and

everyone else on this planet. The President of the United States, agondolier in Venice, just fill in the names. I find it A) extremely

comforting that we’re so close, and B) like Chinese water torturethat we’re so close because you have to find the right six people tomake the right connection... I am bound to everyone on this planet

by a trail of six people.”John Guare, 1990




L’univers des reseaux

Reseaux

Relation binaire :relation directe entre 2 entitees

Graphe :

Ensemble de Noeuds ou sommetEnsemble d’Arcs (oriente) ou aretes (non-oriente)

Reseau : graphe + echange d’informationsmessages entre personnes, paquets entre machines,agent chimique entre genes, voiture entre villes, etc.

⇒ un de ces universaux capables de modeliser de nombreusessituations existantes




Reseau social

Graphite, Diamant :pas d’echange d’information

→ ”juste” graphe, statique,regulier.

Relations amicales :Reseau, raison d’exister est

l’echange d’information

structure moins repetitive, sansregularite, tres imbriqueeArrive / depart d’individus




Reseau social

Reseau social

Reseau dont les relations ou les entitessont issue d’activites sociales

Relations sociales :systeme complexe

Relations inter-individuelles simples⇒ emergence de proprietescollectives(partage information, resistancevirale, etc.)




Reseaux

Reseaux (graphes)

modelisent la structure de nombreux systemes complexes(social, biologique, informatique, etc.)

Grandes questions :

Structure des grands reseaux

Evolution de cette structure

Phenomene de diffusion d’information dans ces reseaux




Definitions basiques

Graphe, reseau

Un graphe oriente G est un coupleG = (V ,E ) ou :

V est l’ensemble des noeuds

E est l’arc des arcs E ⊂ V 2.




Definitions basiques

Degre sortant

deg+(v) est le nombre de noeuds w enrelation depuis v : (v ,w) ∈ E .

Degre entrant

deg−(v) est le nombre de noeuds w enrelation vers v : (w , v) ∈ E .




Chemin et composante connexe

Chemin

Un chemin P(v ,w) est une suite denoeuds (v0, v1, . . . , vk) ou :

v0 = v et vk = w

∀i ∈ [|0, k − 1|], (vi , vi+1) ∈ E

S’il n’y qu’un seul groupe, tous lesetudiants sont relies par un chemin,le graphe G est dit connexe

Un sous-graphe connexe est unecomposante connexe, i.e. ungroupe d’etudiants




Graphe aleatoire

Random graph : the easiest model for any network

Simple underlying asumptionbut more realistic than regular graph

First family of network studied (≈ 1950)

exact results possible

Basic idea :

Edges are added at random between a fixed number n ofvertices

Many models were developped, but the most important

the Erdos-Renyi random graphthe Gilbert random graph




Graphe aleatoire Erdos-Renyi

Definition

Gn,m ensemble des graphes a n noeuds et m arcs.Probabilite uniforme de tirer un graphe dans cet ensemble.




Graphe aleatoire de Gilbert

Definition

Gn,p est un graphe a n noeuds danslequel un arc (v ,w) existe avec uneprobabilite p.

Easy to construct iteratively

Relation between random graph models

if m ≡ p.n the two models Gn,m andGn,p are almost interchangeable.




Simulation en Netlogo

to setupset-default-shape turtles "circle"reset-ticks

end

to gomake-node

end

to make-nodecreate-turtles 1 [setxy random-pxcor random-pycorcreate-links-with other turtles

with [ random-float 1.0 < p ]]

end




Distribution des degres

nature de la distribution des degres

”En gros une bosse autour de la moyenne”

Plus precisement :

Distribution binomial de parametre (n − 1, p)

Probabilite d’avoir k relations :(n−1

k

)pk(1− p)n−k ,

Moyenne : p(n − 1)

Tout le monde a a peu pres le meme nombre de relation proche dela moyenne....




Formation du reseau

Reseau non-regulier

D’abord nombreux noeuds isoles

Puis peu de noeuds isoles, unecomposante connexe majoritaire

A partir d’une certaine valeur seuilde p, une seule composante




Resultat sur les composantes connexes

Nombre et taille des groupes

Lorsque p < 1n ,

grande probabilite que les composantes connexes du grapheaient une taille de l’ordre de log(n).

Lorsque 1n < p,

il existe presque surement une composante connexedominante dont la taille est une fraction de n,et les autres composantes ont des tailles encore une fois trespetite de l’ordre de log(n).




Resultat sur les composantes connexes

Seuil critique : changement de connexite rapide

Soit ε > 0 :

Si p > (1 + ε) log(n)n

alors le graphe est connexe presque surement.

Si p < (1− ε) log(n)n

alors le graphe n’est pas connexe presque surement.




Modele SI

Modele de propagation de maladieModele a compartiments

Principe

Les individus peuvent etre dans differents etats : descompartiments

Des regles definissent les changements d’etats




Modele SI

Modele SI

Un individus peut etre dans l’etat :

S : Susceptible d’etre infecteI : Infecte

Un individus devient infecte au contact d’un individus infecteselon le taux β




Modele SI

Parlons un peu de percolation...

Masque a gaz : constitue granulesde carbone poreux. Reseaualeatoire de petits tunnelsinterconnectes.

Pores larges : gaz passe a traversPores trop petits : plus detraverse

Cafe : serrage plus au moins fortdu filtre. Agglomerat de finesparticules (milieu aleatoireinhomogene)Densite a laquelle l’eau ne passeplus

→ Seuil de percolation




Modele SI

Exemples

Archipel au contient : baissedu niveau de l’eau

Reseau de communication :n stations reliees avec uneprobabilite p

Melange de 2 poudres :proportion p de poudreconductrice, 1− p denon-conductrice

→ Seuil critique de percolation




Modele SI

Definition

1954, Broadbent

utilisation des methodes de Monte-Carlo pour analyser lapenetration d’un fluide dans un labyrinthe de passage ouver ouferme

Terminologie (en reference au cafe) 1957 : S.R.BROADBENT et J.M. HAMMERSLEY :Modele dual de la diffusion

Processus de propagation aleatoire d’un fluide a travers un milieu

Diffusion Percolation

Mouvement du fluide aleatoire deterministe

Structure du milieu deterministe aleatoire




Modele SI

Dualite diffusion/percolation

Diffusion

milieu deterministe,deplacement aleatoire

Percolation

milieu aleatoire,deplacement deterministe




Modele SI

Communication de l’information

probleme de transmission

milieu etendu

distribution reguliere d’un grand nombre de ”sites”

susceptibles de relayer localement une information

communication entre sites : liens d’efficacite aleatoire

Selon la proportion de liaisons actives :

possibilite ou non de transmission information a longuedistance

pc seuil de percolation




Modele SI

Modele SI dans un reseau aleatoire




Modele SI

Transition de phase

Avant log(n)/n :peu de noeuds infectes

Apres log(n)/n :quasiment tous les noeudsinfectes

Nombreuses consequences

Transmission de maladiesinfectieuses

Propagation d’informationdans un reseau type”twitter”

etc.




Modele SI

Clustering Coefficient, coefficient d’agglomeration

Introduit par Watts and Strogatz en 1998 (des physiciens !)

Rapport entre le nombre de triangles de connaissance et lenombre maximum de triangles possibles (k(k − 1)/2)

Donne une bonne indication de la cohesion locale entre lesindividus.




Modele SI

Clustering Coefficient, formal definition

Clustering Coefficient

cc(v) = e(N(v))deg+(v)(deg+(v)−1) where N(v) is the nodes in the

neighborhood of v and e(N(v)) is the number of edges in theneighborhood.




Modele SI

Clustering Coefficient : exemples




The small world problem, Milgram

Question : What is the distance betweenpeople in the social network ?

Experiment of 1967 :

send a letter to 60 people randomlyselected from Omaha (Nebraska)

explain the study to people

Ask them to send the letter to a person inBoston (Massachusetts) with only thename, the profession and the city. (1933 - 1984)

http://maps.google.fr/maps?f=d&source=s d&saddr=Omaha,+Nebraska&daddr=Sharon,+Massachusetts&hl=fr&geocode=&mra=ls&sll=47.15984,2.988281&sspn=15.664847,39.375&ie=UTF8&ll=42.182965,-83.56269&spn=34.027051,78.75&z=4


http://maps.google.fr/maps?f=d&source=s_d&saddr=Omaha,+Nebraska&daddr=Sharon,+Massachusetts&hl=fr&geocode=&mra=ls&sll=47.15984,2.988281&sspn=15.664847,39.375&ie=UTF8&ll=42.182965,-83.56269&spn=34.027051,78.75&z=4







The small world problem, Milgram

Some letters goes to the right person !

When it arrives, only 6 persons between source and destination

The diameter of the social network is small

−→ six degrees of separation

As usual in science, there is some critisms :

The effect of motivation increase the rate of succes :Is the social network changed with money ?

The sociology of people has some effects on the succes rate :The social network have some small network,but it is not sure all the social network is small.




Small Word phenomenon back to physicians

from the experiment ofMilgram, no convincingnetwork model generating anetwork with high ClusteringCoefficient or average shortpath length

Watts and Strogatts startedthree king of real networks

small world network : neithergrid-like network neither fullrandom network




Examples

actor collaboration graph (Tjaden, 1997) :2 actors are connected by an undirected edge if they haveacted in at least one film

The power grid of the United States (Phadke and Thorp,1988) :

Neural network of the nematode C. elegans (White et al.1992) :




Examples

Diameter and Clustering Coefficient of the 3 real networkscompared to random graph

D D random CC CC random

actor collaboration 3.65 2.99 0.79 0.00027power grid 18.7 12.4 0.08 0.005Neural network 2.65 2.25 0.28 0.05

Small World Network

A small world network is a network with a dense local structureand a diameter comparable to a random graph with the samenumbers of nodes and edges.




From random to order networksWatts-Strogatz models

Small world Network

Neither :

Grid-like networks : regularity and locality, but a high averagepath length and diameter ;

Random graph : clustering coefficient of p

Watts and Strogatz proposed a mixture of both





Generative Watts-Strogatz model :

Build a ring of n vertices and connect each vertex with its kclockwie neighbors on the ring

Draw a random number between 0 and 1 for each edge

Rewire each edge with probability p :

if the edge’s random nimber is smaller than p : keep the sourcevertex of the edge fixed, and choose a new target vertexuniformly at random from all other vertices.





For p = 0, network is totaly regular.

CC is approaching 3/4 for large kdiameter in O(n)

For p = 1, network is regular random network

CC is approaching p for large kdiameter in O(log n)




Watts-Strogatz models




Disease Spreading in Structured populations

A lot of works from 1980 and 1990 study the deseasespreading :

topology grid, ring, starsometime different of relation between individuals

Conclusion : spatial structured can affect the speading

BUT None of this work : treat the global dynamical propertiesof the system as a function of the network structure




Disease Spreading in Structured populationsSIR model (D. Watts)

3 possible states for eachelement :

susceptible : could beinfected

infected : is infected

removed : wasinfected

At each time step t :

every infected element can infecteach one of is neighbbors with theprobability p

a newly infected elements remainsinfected during 1 time step andbecomes removed prematly fromthe population

A time t = 0, a single element isinfected




Disease Spreading in Structured populationsMeasure

The disease will have run its course and died out,Fraction Fs of the population is uninfected

The whole population will have been infected (Fs = 0),in some characteristic time T

Is Fs and T can be understood in terms of path length orclustering coeffcient ?




Disease Spreading in Structured populationsResults

p ≤ 1/(k − 1) : for alltopologies, disease infectsonly a negligibe fraction ofthe population

1/(k − 1) < p : differenttopologies yield different Fs ,it’s depends on th CC

p ≥ 0.5, for all topologies,all population infected




Constrction d’un reseau petit-monde

n noeuds repartis spacialement

Chaque noeud est relie aux k plus proches voisins

Chaque noeud etabli q lien longue distance

Probabilite d’etablir une relation ’longue distance’ entre ai etaj : 1/d(ai , aj)

r .parametre r : tendance a se parler loin

Quelles sont les proprietes de ce reseau ?




Exemple de reseau

100 nœuds, k = 3, q = 1 etr = 2.0 :

Coefficient d’agglomeration 0.35,distance moyenne 4.18.

Principe de formation du reseau :

En bleu : les liens courtedistance avec les k plusproches etudiants

En vert : les liens longuedistance




Reseaux petit monde

Coefficient d’agglomeration : Distance moyenne :

Observations :

Forte agglomeration, Courte distance

⇒ Reseau petit monde




Exercice

Exercice

Ajouter le modele SIR au reseau petit monde et dessiner la memecourbe que Watts-Strogatts




Communication et utilisation des proprietes du reseau

Kleinberg, nagivabilite (2000)

Comment communiquer un message dans un tel reseau (cf. S.Milgram) ?

Comment trouver une ressource dans un tel reseau ?

Principe glouton :

Transmettre le message au plus proche du but !

La distance physique entre etudiants peut etre remplacee par une’distance’ abstraite a un but




Exercice

Exercice

Etudier le taux de transmission pour n = 500, k = 3 et q = 1.

Dessiner en jaune les optima locaux de la transmission

Proposer une heuristique ameliorant le principe glouton.




Quelques ecart a la realite dans certains cas

Les deux types de reseaux, les noeuds ont des degres similaires :

Pour le reseau aleatoire,distribution binomiale autour de la moyenne

Pour les reseaux petit monde,distribution normale autour du degre k

Pourtant, dans beaucoup de reseaux sociaux ce n’est pas le cas...




Carte du trafic sur l’internet

Il existe des noeuds avec un tres grand degre : les hubs




Definition

Reseau sans echelle caracteristique

La distribution des degres suit une loi de puissance :Le nombre de noeuds de degre k est proportionel a kα

A toutes les echelles d’observation, on ”voit” le meme reseau

Beaucoup de noeuds peu connecte

Un tres petit nombre de noued fortement connecte




Exemples

Traffic (nombre de passager, lignes) des aearoport

Collaborations scientifique

Proximite semantique des mots

Les partenaires sexuels pour les humains

Les interaction de reseau de proteines

Question

Quels modeles de formation pour ces reseaux ?




Un principe de formation : attachement preferentiel

Attachement preferentiel

Pour tout etudiant u,

∀v ∈ V , Pr({u, v} ∈ E ) =deg(v)∑

w∈V deg(w)

Les riches deviennent plus riches




Exemple de formation




Comparaison des distributions des degres

Reseau de troisieme annee (scale free)

Reseau de premiere annee (aleatoire Erdos-Renyi)




Distance moyenne

Attachementavec et sans preference

Les distances sont pluscourtes avec attachementpreferentiels

Les hubs jouent le role deraccourcis




Infection / Communication




Exercice

Exercice

Simuler le modele SIR

Simuler des ”pannes” de transmission : certains noeudsaleatoires sont initialement dans l’etat R

Simuler des attaques : certains noeuds hub sont initialementdans l’etat R

Comparer le taux d’infection de ces simulations




Robustesse aux pannes et attaques

Reseau aleatoire :

Sensible aux pannesaleatoires

Tres robuste aux attaquesciblees

Reseau scale free :

Tres robuste aux pannesaleatoires

Tres sensible aux attaquesciblees




Conclusions

Differents modes de formation (regles locales)

Attachement uniforme : Reseaux aleatoires

Creation de lien courte et longue distance : Reseaux petitmonde

Attachement preferentiel : reseaux sans echelle caracteristiques

Trois proprietes principales

Distance moyenne (et diametre)

Coefficient d’agglomeration

Distribution des degres

Selon la structure, differentes proprietes globales... a exploiter




Decomposition en communautes

Sous-graphes

Sous-ensemble de noeuds avec les arcs correspondantsSous-graphes particuliers :

Arbres, cliques (sous-graphe complet)

Communaute

Pas de definition admise par tous.Informellement, ensemble de noeuds fortement connectes entre eux

Beaucoup d’interet a detecter les communautes des (grands)reseaux




Exemple de communautes

Reseau d’optima locaux d’un probleme d’optimisation combinatoire




Bibliography

D. J. Watts and S. H. Strogatz, Collective dynamics of’small-world’ networks, Nature 393 (1998), 440–442.

D. J. Watts, Networks, Dynamics, and the Small-WorldPhenomenon, American Journal of Sociology 105 2, (1998),493–527.

A-L. Barabasi and R. Albert, Emergence of scaling in randomnetworks, Science 286 (1999), 509–512.

D. J. Watts, The ”new” science of networks, Annual Review ofSociology 30 (2004), 243–270.




Bibliography

Katharina Anna Lehmann, Michael Kaufmann.Random Graphs, Small-Worlds and Scale-Free Networks.Peer-to-Peer Systems and Applications (2005) 57-76

F. Vazquez, V.M. Eguiluz, and M. San Miguel.Generic Absorbing Transition in Coevolution DynamicsIn Phys. Rev. Lett. 100, 108702 (2008)

J. Kleinberg,”Navigation in a small world.”Nature 406 (2000)


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