REPUBLIQUE TUNISIENNE alielass

Épreuve de

Systèmes Techniques Automatisés

REPUBLIQUE TUNISIENNE

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Concours Nationaux d'Entrée aux Cycles de Formation d'Ingénieurs

Session 2018

alielass ee;

Cfre4‘ .)teC J-1). 414*-4 z.4.) 2018s

Concours Mathématiques - Physique & Physique - Chimie

Date : Mardi 05 Juin 2018

Heure : 8.00 H

Durée : 3 Heures

L'épreuve comporte trois parties :

Conception Mécanique Mécanique des Solides Indéformables (M.S.I) Automatique

Le sujet de l'épreuve remis au candidat comporte trois dossiers :

Mise en situation, Données et Hypothèses Document Réponses Documents Techniques : DT-01 & DT-02

Important :

(03 pts) (09 pts) (08 pts)

Aucun autre document n'est autorisé. Seules les calculatrices de poche non programmables sent autorisées. Il n'est fourni au candidat qu'une seule et unique copie du «Dossier document réponses » qui doit

être rendu en totalité, à la fin de l'épreuve, même sans réponses. Le document réponses doit être rendu en intégralité (aucune feuille ne doit être supprimée). Cet

acte est considéré comme étant une tentative de fraude.

pairsimeisq mumentins,

Dossier Mise en situation, Données et Hypothèses

Ce dossier comporte 13 pages numérotées de 1 à 13 et deux documents techniques DT-01 & DT-02

è Mise en situation : Page 1 à 3

Documents techniques : DT-01 & DT-02

Données et hypothèses : Page 4 à 13

Conception Mécanique : Page 4

Mécanique des Solides Indéformables (M.S.I) : Page 5 à 7

Automatique : Page 8 à 13

••,

Concours MP-PC Épreuve S:TA Mise en situation, Données & Hypothèses

ÉTUDE D'UNE LIGNE DE REMPLISSAGE ET DE BOUCHAGE DE BOUTEILLES

j) ,

J?ice 1- Mise en situation

Le système proposé à l'étude représente une chaîne de conditionnement de produits liquides. Il

est constitué, comme l'illustre le document technique DT-01, de trois unités ayant pour fonctions

respectives : le stockage et l'alimentation en produit le remplissage du produit dans des

bouteilles et le bouchage des bouteilles.

La première unité (Unité I) comporte la cuve de stockage, l'électrovanne A, la vanne B et un

ensemble de tubes assurant le transfert du produit vers l'unité de remplissage (Unité II).

Les éléments constituants l'unité H sont principalement :

Un convoyeur linéaire (CL1) formé par le tapis (Ti) entrainé en mouvement par

l'intermédiaire du motoréducteur (M1). Il assure le transfert des bouteilles remplies vers

l'unité de bouchage (Unité III),

Un dispositif de remplissage formé de 4 buses,

Un ensemble composé de 4 vérins V1, V2, V3 et V4, assurant le mouvement d'approche

des buses ainsi que le maintien en position des bouteilles durant la phase de remplissage.

L'unité III est formée des éléments suivants :

Un convoyeur linéaire (CL2) formé du tapis ('r2) qui est entrainé en mouvement par

l'intermédiaire du motoréducteur (M2). H assure l'évacuation des bouteilles bouchées,

Un ensemble constitué d'un magasin de stockage de bouchons, d'une goulotte et d'un

mécanisme de pose de bouchons,

Un mécanisme de transfert des bouteilles, formé d'un motoréducteur (M3), d'un

mécanisme à croix de Malte solidaire d'une étoile de transfert (DT-02),

Un dispositif pneumatique formé principalement par le vérin VS équipé d'un

moteur (M5) ayant pour rôle le vissage des bouchons.

2. Fonctionnement du système

Le convoyeur linéaire d'alimentation (CL1) emmène les bouteilles au poste de remplissage. Les

vérins V1, V2 et V3 actionnent un dispositif pour bloquer les bouteilles, en position face aux

buses d'injection du produit Le vérin V4 assure le mouvement d'approche des buses d'injection

vers les cols des bouteilles.

Après remplissage, les bouteilles sont guidées vers l'étoile de transfert, celle-ci est liée à un

mécanisme à croix de Malte composé, comme l'indique les Figures 1 et 2, du maneton (1), du galet

(3) et de l'ensemble (2) (croix de Malte + étoile de transfert). Le maneton (1), mis en mouvement

par un motoréducteur à courant continu, est en rotation autour de l'axe vertical et entraîne dans

son mouvement le galet (3). Au cours d'un tour du maneton (1), le galet (3) s'engage dans une

rainure de la croix de Malte (ensemble (2)) puis s'en dégage comme le montre la Figure 3.

L'ensemble (2) est donc entraîné en rotation autour de son axe de façon intermittente par le

maneton (1).

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 4 Page 1113

Table

Croix de Malte

Maneton

Motoréducteur

Concours MP-PC Épreuves TA Mise en situation, Données & Hypothèses

Dans son mouvement, l'ensemble (2) entraîne l'étoile de transfert, la bouteille (Btj) est alors

amenée par la rainure (j), sous le système de pose de bouchon. La bouteille (Btj+i) prend place

dans la rainure (j + 1). Dans son mouvement vers le poste de bouchage, le bouchon est posé sur

le col de la bouteille (Btù via une languette élastique assurant sa stabilité. Sous la tête de

bouchage, la bouteille est immédiatement bloquée par le vérin de serrage (VS). Lorsque le

bouchon est vissé, le maneton (1) entraîne à nouveau l'ensemble (2), la bouteille (Btj) est dirigée

vers l'évacuation par le convoyeur linéaire (CL2) et la bouteille (Btj+i) est conduite à son tour

sous la tête de vissage.

Etoile de transfert

Figure 1- Mécanisme de guidage et de transfert de bouteilles de l'unité III

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 éPage 2 I 13

Maneton (1 Etoile de transfert

otoréducteur

Croix de Malte (Ensemble (2) )

Figure 2- Schéma de principe du mécanisme de croix de Malte

Maneton 1

(a)

Concours MP-PC Épreuves l'A Mise en situation, Données & Hypothèses

Figure 3- (a) Maneton en position d'engagement, (b) Maneton en position de dégagement


(0) à

Moteur à courant continu

04

05 =

A

3

06

Concours MP-PC Épreuve S.T.A Conception Mécanique Mise en situation, Données & Hypothèses

Partie A: Conception Mécanique

Cette partie comporte :

- l'analyse fonctionnelle de la ligne de remplissage et de bouchage de bouteilles,

- l'analyse technique du mécanisme d'entraînement de l'étoile de transfert illustré par le

schéma cinématique de la Figure 4 et du Document Technique DT-02.

Figure 4- Schéma cinématique du motoréducteur M3 (Mécanisme d'entraînement de l'étoile de transfert)

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 eiPage 4 l 13

Ensemble 2

Maneton (1) Galet 3

Bâti (0)

Figure 5-Schéma de principe du maneton et de la croix de Malte

Concours MP-PC Épreuve S.TA

M.S.1 Mise en situation, Données & Hypothèses

Partie B : Mécanique des Solides Indéformables (M.S.1)

Dans cette partie, on s'intéresse à l'étude mécanique du sous-système formé du maneton (1), de

l'ensemble (2) et du galet (3). Ce mécanisme permet de transformer le mouvement de rotation

continu du maneton (1), à vitesse angulaire constante tu, en un mouvement intermittent de

l'étoile de transfert via la croix de Malte qui lui est solidaire. La Figure 2 illustre l'emplacement du

mécanisme par rapport au motoréducteur à courant continu. La Figure 5 schématise le principe

de fonctionnement du mécanisme d'entrainement de l'étoile de transfert. La Figure 6 présente le

schéma cinématique minimal de ce mécanisme.

2

Figure 6- Schéma cinématique minimal du mécanisme de la croix de Malte


Concours MP-PC Épreuve STA M.S.I Mise en situation, Données & Hypothèses

B.1- Repères et paramètres

Repères

R0(0,41 90,4): Repère lié au bâti (0), il est pris pour un repère galiléen avec

(0,4) comme axe vertical ascendant,

Bi (0, ±.2,91, 4): Repère lié au maneton (1),

R2 (B, 4): Repère lié à l'ensemble (2),

Avec 4 = = i2 et OB = Di° (D est une constante dimensionnelle du mécanisme).

Paramètres géométriques

Les paramètres du mécanisme se présentent comme suit :

La rotation du maneton (1) autour de l'axe (0,4) est représentée par l'angle 0, il est tel

que :8 = Cio, = (.9o, 51)

La rotation de l'ensemble (2) autour de l'axe (8,4) est représentée par l'angle fi, il est

tel que: = (20,12) = 92)

La position du centre A du galet (3) est définie par les vecteurs :

OA = R1i1 et AB = 222, (2 est variable)

où /21 est une dimension constante liée au maneton et À la distance séparant le centre A

du galet (3), du point B.

8.2- Données relatives à l'étude dynamique et énergétique

Caractéristiques d'inertie

L'ensemble (2) formé par la croix de Malte et l'étoile de transfert admet pour :

masse : m2

centre d'inertie G2 avec BG2 = r222 hio

A2 0 A2 0 O C2 03.£2.Y2.i2)

matrice d'inertie au point B : U218 =

Efforts appliqués à l'ensemble (2)

Le galet (3), de masse supposée négligeable, est un composant intermédiaire entre le maneton

(1) et l'ensemble (2). Son rôle consiste à réduire les frottements au niveau de son contact en I

avec la croix de Malte (ensemble (2)).

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 •Page 6 113

Concours MP-PC Épreuve S. TA M.S.1 Mise en situation, Données & Hypothèses

En fonctionnement normal, cet ensemble est soumis aux actions mécaniques suivantes :

poids propre de l'ensemble (2) (accélération de la pesanteur j =

action du bâti (0) au point B transmise par la liaison pivot d'axe (8,4) supposée parfaite,

couple résistant représentant les frottements des bouteilles appuyées sur la table, il est

modélisé par: ef = Crio avec cf > o,

action ponctuelle du galet (3) au point / : Ét, = F192 avec Fi > 0 et AI = r392 où r3 est le

rayon du galet.

Données relatives à l'étude énergétique

Le motoréducteur (M3), schématisé par la Figure 4, est formé d'un réducteur et d'un moteur à

courant continu. À l'entrée du réducteur, le moteur développe, à vitesse de rotation

constante il = aimiéo, un couple Cm = Crnio.

Compte tenu du faible diamètre du galet (3) ; le point de contact I de l'ensemble (2) avec le galet

(3) sera supposé confondu avec le centre A du galet Le réducteur est caractérisé par son

rendement nr et son rapport de réduction Pr défini par : Pr = I cicoml

On se propose de déterminer le couple moteur Cm nécessaire à l'entrainement de l'ensemble (2),

dans son mouvement par rapport au bâti (0).

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 1Page 7 I 13

V4 TT

Arrivée du liquide

V2

Buse BI Buse B4

Concours MP-PC Épreuve S TA Automatique Mise en situation, Données 8i Hypothèses

Partie C : Automatique

L'objet de cette partie est l'étude de l'automatisation du système d'embouteillage constitué de

trois unités comme le montre le document technique DT-01.

C-1. Étude séquentielle de l'unité de remplissage des bouteilles

Cette unité, présentée par la Figure 7, permet de remplir des bouteilles par lot de quatre qui

seront ensuite déplacées devant l'unité III afin de les boucher.

Tapis Ti

T : arrivée des bouteilles

V3 VI

Figure 7- Unité de remplissage (Unité II)

Description du fonctionnement de l'unité de remplissage

L'action sur un commutateur à deux positions (Marche /Arrêt), sur la position marche « m », met

le tapis Ti en fonctionnement par action du moteur Ml. Ce tapis Ti permet d'amener les

bouteilles vides devant le poste de remplissage (Ti restera en fonctionnement tant que l'arrêt du

système n'est pas demandé). Dès qu'une bouteille arrive devant la buse 131, détectée par un

capteur bl, la tige du vérin V1 sort bloquant ainsi le passage des bouteilles (a11 = 1). Lorsque

quatre bouteilles sont présentes devant les quatre buses de remplissage, un signal Si autorise la

sortie de la tige du vérin V2 pour assurer le maintien des bouteilles lors du remplissage,

actionnant ainsi le capteur a21 (a21 = 1) qui, à son tour, autorise le vérin V4 pour faire descendre

les quatre buses (a41 = 1) pendant cinq secondes (temps nécessaire pour le remplissage des

bouteilles). Lorsque les cinq secondes sont écoulées, on aura la montée de la tige du vérin V4

(a40 = 1), ensuite la rentrée de la tige du vérin V2 (an = 1), suivie par la rentrée de la tige du

vérin V1 (au = 1) autorisant l'évacuation les bouteilles remplies et la sortie de la tige du vérin

V3 (an = 1) bloquant l'avancement des bouteilles vides jusqu'à ce que les quatre bouteilles

remplies soient évacuées. Un signal 52 indiquant l'évacuation des quatre bouteilles, commande

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 eage 8 l ia

Concours MP-PC Épreuve S.TA Automatique Mise en situation, Données & Hypothèses

la rentrée de la tige du vérin V3 (a» = 1) autorisant ainsi un nouveau cycle de remplissage si

l'arrêt de l'unité n'est pas demandé.

L'action sur la position arrêt « Ar », du commutateur à deux positions (Marche /Arrêt), permet

d'arrêter le système lorsque le cycle de remplissage est terminé.

ableau-1 résume les différentes abréviations à utiliser dans la présente partie.

Tableau -1 : Abréviations adoptées pour l'unité étudiée

7/1Abréviadon Description

m (Ar) Commutateur à 2 positions : marche (Arrêt)

b1 Présence bouteille devant la Buse B1

Si Signal de commande de la sortie de la tige du vérin V2

52 Signal de commande de la rentrée de la tige du vérin V3

aie (resp. an) Présence en position limite rentrée (resp. sortie) du vérin V1

an (resp. an) Présence en position limite rentrée (resp. sortie) du vérin V2



V1 Vérin à double effet pour bloquer les bouteilles avant le remplissage

V2 Vérin à double effet pour maintenir les bouteilles pendant le remplissage

V3 Vérin à double effet pour bloquer les bouteilles vides lors de l'évacuation des bouteilles remplies

V4 Vérin à double effet permettant le mouvement d'approche des buses de remplissage

11.1‘41 Contacteur moteur du tapis Ti

NB: Pour l'activation d'un actionneur bistable Vn, on utilise la notation Vn: = 1

Pour la désactivation d'un actionneur bistable Vn, on utilise la notation Vn : = 0

C-2. Étude du circuit combinatoire générant les signaux Si et S2

L'objectif de cette partie est l'étude d'un circuit combinatoire permettant de générer les deux

signaux Si et S2 comme l'illustre la Figure 8.

b1 b2 63 64

Circuit combinatoire >52

Figure 8- Schéma synoptique du circuit gérant les signaux Si et 52


Concours MP-PC Épreuve S.T.A Automatique Mise en situation, Données & Hypothèses

Principe de fonctionnement

Afin de s'assurer que les quatre bouteilles soient en position de remplissage Si = 1, de même

pour s'assurer de l'évacuation de ces bouteilles après remplissage S2 = 1 on a placé quatre

capteurs (14, b3, b2 et b1) qui permettent de détecter le passage ou la présence de bouteille

respectivement devant les buses B4, B3, B2 et Bi.

Le signal Si prend la valeur 1 si et seulement si les quatre bouteilles sont présentes en position

de remplissage (lors de leur arrivée, la distance entre les bouteilles est aléatoire).

Le signal S2 prend la valeur 1 si et seulement si les quatre bouteilles sont évacuées de l'unité de

remplissage (pendant l'évacuation, les bouteilles sont forcément équidistantes).

C-3. Régulation du niveau du liquide dans la cuve de stockage alimentant les bouteilles

On considère la régulation automatique du niveau du liquide dans une cuve de stockage, de

section S = 0.5 m2, schématisée par la Figure 9.

Electrovanne A

F. \/ q1(t)

Capteur Ultrason

, 01(0

Réducteur HI (r)

u ( t )1

Vanne B

Al

v(t)iAmplificateur

q2(t )

Figure 9- Schéma de l'asservissement

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 •Page 10 I 13

Arg

Tm

(R

O (

degr

é)

-90


Modélisation de la chaîne d'asservissement

Le débit q1 (m3/s) est réglé par une électrovanne A motorisée ; il est proportionnel à l'angle

ei(rad) d'ouverture de cette électrovanne :

ch (0 = k1. 91(0 avec k1 = 0.01 m3 /(s.rad) (1)

q2 représente le débit de sortie lié à l'utilisation du liquide de la cuve de stockage, commandée

manuellement par la vanne B.

Le moteur (M) est alimenté par une tension u(t), créée par un comparateur suivi d'un

amplificateur de gain A1:

u(t) = Advc(t) — MO], A1 > 0 (2)

Le moteur (M) tourne à la vitesse corn, son modèle (entrée tension, sortie vitesse) est un premier

ordre de fonction de transfert Tm(p) ayant un gain statique Km et une constante de temps rm; la

position angulaire de son arbre est On,(t) . Les courbes de Bode caractérisant la fonction

harmonique Tm(jw) du moteur sont représentées par la Figure 10.

le

le co (rad/s)

Figure 10- Courbes de Bode caractérisant la fonction Tm(1w)

Le moteur (M) ouvre ou ferme l'électrovanne A par l'intermédiaire d'un réducteur (r).

01(0 = rOm(t) avec r = 1

(3)

Le potentiomètre d'entrée PC délivre une tension v(t) proportionnelle au niveau de

consigne hc(t) demandé.

vc(t) = kehe(t) avec kc = 20 V/m (4)

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 eage 11 I 13

G2 (P) G3 (p)

vs (p)

G4 (p) — G5 (p)

G9 (P)

(p)

He (p Ve (p)


Le capteur ultrason mesure le niveau h(t) dans la cuve de stockage. Il délivre une tension

vs(t) proportionnelle à hs(t)obéissant à la loi suivante :

vs(t) = kshs(t)

(5)

On prendra k, = k,

Les fonctions de transfert de la cuve de stockage sont :

et 115(p) 1 Qi(P) S. P

s(p) 1

Q2 (P) S' P (6)

L'asservissement de la Figure 9 peut être représenté par le schéma fonctionnel de la Figure 11.

Cuve de stockage

Q2 (P)

u(P) am (P) o. (p) el (p) QI (p)

Figure 11- Schéma fonctionnel de l'asservissement à étudier

Amélioration des performances de la chaîne d'asservissement

La régulation par une simple boucle ne permet pas de garantir la stabilité du système. Par

conséquent on propose d'utiliser une structure en cascade (Figure 12) comportant deux boucles

imbriquées. Une boucle interne qui contrôle l'ouverture de l'électrovanne A et une boucle externe

de régulation de niveau h5(t) dans la cuve de stockage.

On mesure avec un autre potentiomètre la position de l'électrovanne ; celui-ci délivre une tension

vm(t) telle que tzen(t) --= b. (t) avec b = 20 V/rad ; le signal de commande est élaboré grâce à

un comparateur et un amplificateur de gain A2.

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 6Page 12 13

----D Mt)

Réducteur FA (r)

u(t)

Concours MP-PC Épreuve s. TA Automatique Mise en situation, Données & Hypothèses

Capteur Ultrason Electrovanne A

HF (t)—

Amplificateur u ( t

h, (t)

Vanne B

Al

Mt/Amplificateur `

vs(t)

Figure 12- Schéma du nouveau asservissement

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 éPage 13 f 13

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A Partie A: Conception mécanique Document Réponses

Bouteilles Vides et bouchées

£2. Compléter le diagramme FA a foncti rvice « bouchage des bouteilles remplies»

Tapis Roulant Ti

Etoile de transfert

Système de Distnbuton de bouchons

Système de pose de bouchons

Qfi

Boucher les bouteilles

Déposer et maintenir les

bouchons

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 dl Page 1 I 14

Produit Liquide

Bouchons

Réglages

Énergie électrique

Énergie pneumatique

Consignes

tBouteilles remplies

Encoche/ plateau

Mécanisme de croix de Malte

Libérer les •••••

bouteilles bouchées

Partie A: Conception mécanique

1- Analyse fonctionnelle

Al. Compléter l'actigramme A-0 de la ligne de production.

Vérin VS Unité de vissage 1

Serrer /visser les bouchons

Tapis Roulant T2


2- Analyse technique du mécanisme d'entraînement de l'étoile de transfert

A.3. On considère le schéma cinématique du motoréducteur de la Figure 4 en position

d'engagement du galet dans la rainure. Compléter le graphe de liaisons, en précisant le centre,

l'axe et la nature de la liaison.

Ov L01 : Pivot d'axe (0,4) ti Lis : P ax A, i0)

L02 : Pivot d'axe (B,20) bre0 Cr k ,• onctuelle de centre A6

L004 : Pivot d'axe (A1, x0 a

°23 : Ponctuelle de centre I

Loos : Pivot d'axe , la,

e L0405 : Ponctuelle de centre 2

L006 : Ps;vo,. i ,,LNY Ti e , % • . 5, ...0L c.) L0506 : Ponctuelle de centre A4

A.4. En se basant sur le docum nt technique DT-02, identifier les composants indiqués par leurs

numéros dans le tableau suivant et préciser leurs rôles.

N° Nom technologique du composant Rôle

(2) Etoile de transfert

Transférer les bouteilles pour le posage du

bouchon, le bouchage et l'évacuation

(4) Clavette Lier en rotation l'étoile de transfert à

l'arbre (6)

(5) / (20) Plateaux inférieur et supérieur Contenir le mécanisme de croix de Malte

(6) Arbre de l'étoile de transfert Rotation de l'étoile de transfert

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 é Page 21 14


A5. Justifier l'utilisation d'un moteur à courant continu pour l'entraînement de l'étoile de

transfert

Pour la synchronisation des vitesses entre l'avance du tapis et la rotation de l'étoile

Synchronisation des durées des différentes opérations (bouchage...)

A.6. Combien faut-il de tours du maneton (1)

complet ? Justifier.

4 tours

e-i.t4ve

4 postes /45°

9 (Z2 get

2) puisse effectuer un tour

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 é Page 3114

(191/010 = f-d1/0 = 1971 I V010 7-73

B.2. Exprimer, au point B, et ), le torseur cinématique représentant le

au centre A du galet :

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A

Partie B : M.S.I Document Réponses

Partie B : Mécanique des Solides Indéformables (M.S.I)

1- Étude cinématique

B.1. Utiliser la base (21,91, pour exprimer le torseur cinématique représentant le mouvement

du maneton (1) par rapport au bâti (0):

au point 0 :

Mouvement du maneton (1) par rapport au bâti (0) : rotation d'axe -to = îi

.11/0 = tin et Vo») = ii

mouvement de l'ensembl ar rappo âti (0).

Mouvement pport au bâti (0) : rotation d'axe io = îi -

[02/0)3 = P.12/0 = V810 =

B.3. Déterminer la vitesse du centre A du galet (3) par rapport au bâti (0), en passant par le

point B; et l'exprimer dans la base (5e2, 22).

"

(dBA) d

VA = î ll (—IX-.2) = ;112 + ii>2/o A ->WA/o /1112 0

VA/0 = 4i2 213-332

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 é Page 4 I 14

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A Partie B: M.S1 Document Réponses

Écrire les relations cinématiques traduisant la fermeture de la chaîne (0 — 1 — 3 — 2 — 0).

D'une part : Vivo = R16 y1 = + coseo )

D'autre part : Vivo = —25t2 APY2

V1410 = 4.(COSn0 — sinn0)+ A/3(sinfl£0 + cosno )

Vivo = (— Acos fi + ((sinfl + alicosfl)Y0)

Par identification :

-Ribsine = -kosf3 + Âftsinf3 (1)

R1ècos0 = ;Isle + ecosf3 (2)

En déduire les relations géométriques traduisant la f re de Jafhaîne (0 — 1 — 3 — 2 —

0) tout en précisant les valeurs que doivent vérifi gration. Montrer alors

4 Rico

3 Reine -.Isle

En utilisant la chaine (0-1-2-0) : on montre Cl = D et C2 =

Ainsi : kosfl = D - R1cos0 (5) et Asinfl = Risine (6)

Reine que la relation : tel = D-Ricose représente la

-R1èsin0 = + 2i3sin = - (-ita [2cos13] (3) 0

Riècose = ;trie + .1j1 2) 3 et, no,=1P-sinfl] (4)

L'intégration des rel (3) et (4e tilt à: (54

Reine En divisant membre à membre (5) et (6), on obtient tgfl = D-Ricose

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 4 Page 5 I 14

B.7. Exprimer, en fonction de D et de R1, la course Co effectuée p

que celle-ci est définie par la relation : Co = Amax — km

rapports (2-) et Pt). En quoi ces rapports pourront êtr R, R,

Co = lmax Âmin

ntre A du galet (3) sachant

er les valeurs numériques des

2 + D

3 +

(C0 \ 1 ( 1

kR i)

Il suffit de fixer une dim

8.8. Utiliser la loi

angulaires de l'ense e (2) p

les exprimer en fonction de R1, w D.

Cn — (V,-- 1

2 3 + = 1.073

duire les autres

stion 8.5, pour déterminer la vitesse et P accélération

au bâti (0) correspondant à la position (9 = 0, fi = 0) ; ortie de 1

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A Partie B: MS.I Document Réponses

B.6. Déterminer, en fonction de D et de R1, les relations exprimant les limites extrêmes .1„„i„ et

Àmax de À qui correspondent aux positions respectives (0 = 0, = 0) et (0 = 30°, fi' = 451.

La position (0 = 0, fi = 0) est traduite par la relation : Ri + Àm jfl = D

La position (0 = 300 , = 45°) est traduite par les relations :

il.§ Nrî. 1 \,/7

2 —Ri 2 max

= D et —Ri 2m" = 0 2

Tout calcul fait, on montre :

1 Àmi

n = (Vj — 1) 111,

2

1 ax = —Ri et D = —

2(i§ + 1)Ri

R isin0 tli =1 D — R 1cos0

R icocos0 Rtanin2 + tg2 — D— R 1cos0 (D — R 1cos0)2

Compte tenu des valeurs des deux angles on montre que:

= Rico

Le développement des calculs donne : = 0


B.10. Modéliser, eçts calculés au point B, toutes les actions extérieures C'4

me de t

Concours MF-PC - Épreuve S.T.A

Partie B: M.S.I

Document Réponses

2-. Étude dynamique

Dans cette partie, les calculs à développer se rapportent à un fonctionnement normal du

mécanisme, lorsque celui-ci se trouve instantanément dans la position de passage (0 = 0, = 0).

8.9. Déterminer le torseur dynamique au point B de l'ensemble (2) dans son mouvement par

rapport au bâti (0) ; l'exprimer en fonction de m2, r2, E2, R1, D et (.0.

Le torseur dynamique est définie au point B par [D21013 = tii2/014/01

Avec irt2/0 = m2fG2/0 = m2r2(fl2Y2 gil2) et 68/0 = Tad (e1310)

-6810= [j2]8. n210 = —E202 ± C2:00

gB/0 = —E2e2 E2/125i2

Dans la position (0 = 0 , = 0)

La résultante : it.2/0 = 11121'G2io = m2r213

Le moment dynamique en B s'éc

s'exerçant sur l'ense e (2) (4 j de projections devront être précisées).

il {F2IMB(pe/2)} - - pe/218 Action de la pesanteur au point B :

13)2 = —111200

liliB(pe/2) = BG2A ri2 = —(r22 + 1ti0)Am29-i0 = m2.97-292

Dans la position (0 = 0 , (3 = 0), le torseur admettra pour expression :

frpe/2}8 = t—m2941m2.9rigol

é Action du bâti (0) au point B

{ro/2)8 = tito/2 = xe0 + Ys° + 4101m/3(3R) = L30 + masiol

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 è Page 7 I 14

appliqué à l'ensemble (2) dans son m

Théorème de la résultante d

eo °e,

t par rc repère galiléen Ro.

Re» )2 --. m2r2 It , yole i jurr i = D-y

=0

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A Partie B: M.S.I Document Réponses

é couple résistant :

frr/2}B = fOr/2 = OIC, = Cji0}

è Action ponctuelle du galet (3)

tr3/218 = {P3/2 = F151211T1B(312) = BI AF 1-3;z1

Avec BI = BA+ AI = + r3Y2

Cela conduit à ite(312) = (—e2 + r3-92)AF/Y2 =

Dans la position (0 = 0 , fi = 0), le torseur adm ftour expression :

fr3/218 = (FiYol—F

&IO Écrire les équations dynamiques qui détalent du éor e de la résultante dynamique

Écrire les équ ons d qui découlent du théorème du moment dynamique

appliqué à l'ensemble (2) dans son mouvement par rapport au repère galiléen Ro.

Théorème du moment dynamique

LB =

RiW \2

MB + 7712r2 E2 — Ri) —o

—Fi ( D— R1) + Cf = — FlAmin ± Cf =


8.15. Calculer la puissance motrice mo'téur à l'entrée du réducteur. o

Dans la position (0 = 0 , 13 = 0) ; 5)72 = Yi YO

La puissance instantanée à l'instant de passage est al

Pm (Cm)f0m

8.16. Déduire le c oteur ; et l'exprimer en fonction de gr, pr, Cf . R1 et D. velo

?Ir C f Rico f R1

D — Ri)Cmwn, (D — Ri)C„,

CancoursMP-PC - Épreuve S.T.A Partie B: NIS1 bocument Réponses

8.13. Déterminer l'expression de l'action ponctuelle F1 ; et l'exfrimer en fonction de Cf ,D et R1.

Cf Cf = =

Amin D — Ri

3-. Étude Énergétique

13.14. Déterminer la puissance développée par l'action ponctuelle du galet au point de contact I,

dans le mouvement du maneton (1) par rapport au bâti (0). Que devient cette puissance dans la

position instantanée (8 -= 0, /3 = O)?

PurF.r) = eA/0 F/Y2. R16511

On en déduit :

Cm = nr(D — R1)

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 é Page 9 114

prCfRi

KM' :=1

alio. un. a30. a40. m

KM1

KIVU

V2:=1

V4:=1 T

KM1 V4:=O

0

KM1 V2:— 0

KM1 V1:=0 V3:=1

Ar a30 m a30

S2. am • am

KM 1 V3:=0


Partie C : Automatique Document Réponses

Partie C : Automatique

1-. Étude séquentielle de l'unité de remplissage des bouteilles

C.1. Compléter le grafcet, de point de vue commande, décrivant le fonctionnement de l'unité de

remplissage des bouteilles.

Grafcet de l'unité de remplissage des bouteilles

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 è Page 10 l 14

Concours MP-PC - Épreuve S.T.A Partie C: Automatique Document Réponses

2. Étude du circuit générant les signaux Si et 52

C.2. Compléter la table de vérité ainsi que les tableaux de karnaugh relatifs aux signaux Si et 52.

En déduire les équations des deux signaux.

Remarque : On utilisera le symbole (4) pour les cases indéterminées.

b4 b3 b2 b1 Si S2

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 4)

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 th

0 1 0 1 0 4)

0 1 1 0 0 •

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 4 1 0 1 0 0 4 1 0 1 1 0 4)

1 1 0 0 0 4 1 1 0 1 0 4

1 1 1 0 0 tle

1 1 1 1 1 0

Le signal S1 : ba 61

oo 01 11 )___;..,:;e 1

14. ba

00 0 0 0 0

01 0 0 0 0

11 0 0 1 0

10 0 0 0 0

S1= b1 b2 b3 b4

Le signal 52. b2 b1

00 01 11 10 b4 b3 ir

00 o t) 0 0 4) 01 ei 4 0 4) 11 (521 th 0 4

ê (1)-kNifi 7 . 4 4

3. Régulation du niveau du

C.3. En se référant aux Fi

situation, données et h

fonctionnels de 1

dans Is6&de stockage

et 10, ain,Ø%,quShx équations de (1) à (6) du document « mise en eses», d4 Wier les expressions analytiques des différents blocs

G3 (P)

K.

G4 (P) -

G5 (P)

G6 (P)

1

k1

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 • Page 11114

C.5. Pour q2(t) = 0, montrer qu

(P) 1+ AIK.rki ks Sp2(1+ p)+ kl ks

0 Sp2(1+ rm p)

S.) G G2Ly,

emeir

tion detan (p) admet pour expression :

A1

p3 + 10/02 +441

QÀIKmrki ks Sp2(1+ p) = AI K.rkiks


G8 (p) = S.p

G9(P)

C.4. En déduire les expressions numériques de Gi(p), 63(,p), G4(P), Gs(P), G6(P),G7(,p), G8(p)

et G3(p):

20

G3 (p) = 0.5 1+ 0.1.p

G5( 2) = 0.05

G7 (P) 1 0,5p

G8 (la) =

G9 (P)

1 S.p

C90

p2+m 0.5 0.05 p+ p3 +A1

Km rki ks Kin rki ks 0.05 0.05 A1

TU)) = p

3 +10p2+ A,

C6. Étudier et justifier la stabilité du système de fonction de transfert T1(p).

Le système est instable, absence du coefficient en ln

Partie C: Automatique Document Réponses

Concours nationaux d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs Session 2018 é Page 12 I 14

(p) 0.05 G (p) -

1J(p) -

4(p) A203 G4 G5

(p) 1+ bA2G3 G4 G5

rK.A2 0.05 CKP) 1 1

5A2 P2+ 0,5A2 p +1

1 + 0.5A

En déduire les expr

coefficient d'amorti

ue K, de la pulsation propremon amortie wo et du

e A2.

% 2

2e I coo

0,5A2— eekl A2 A2


Partie C: Automatique Document Réponses

C.7. En se référant à la Figure 12, compléter le schéma fonclonnel du nouveau asservissement

représenté ci-dessous.

Hs

UI

Vs

09

G2

A2G3 G4 G5 — G6 G7

He G

0 Montrer que la fonction de transfert G(p) = est donnée par:

Calculer 442 pour avoir le temps de réponse le plus rapide de 81(0

Ng 5 1 Le temps de réponse le plus rapide -> = = #7‘. 1/177. -J —2 -> —A2 = -2-

/12=10


Équation caractéristique :

0.01p3 + 0.1p2 + 0,5p+ 0.1A1 =

Tableau de Routh:

Partie C: Automatique Document Réponses Concours MP-PC - Épreuve S.T.A

C11. Pour q2(t) = 0, et en considérant une valeur de A2 = 10 , étudier la stabilité du système de

fonction de transfert 7'2(p) = e en fonction de .41.

T2(P) il(Plisc(P))

0.05A.Ik1kc G2 GG6 G7 Gi 7,2(p) .=

T2(Pr= 1+G2 GG6G7G9 Sp( 1 p2 + 1 p+1)+ 0.05AlkIks 5A2 0,5A2

0.1A1 7.2(P) 0.01p3 + 0.1p2 + 0,5p+ 0.1A1 2± p3 —1 p2 + 0,5p + 0.05AiklkS

A2 A2

le an r\V p9 ev 0.5

133 0.1)-1

ci ‘S?

V 0.1A1

Pi i'.i1Ai 0

V) 0.1A1 0 X

Conclure sur 1

Ai étant u 4 ositif ee, me est stable si et seulement si

OS - 0.01k. > 0 soit 0.5 .01M. 4 0 <Ai < 50


REPUBLIQUE TUNISIENNE alielass

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