ReprésentationMathématique des SignauxNumériques · Représentation des signaux Numériques. 1...

GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 1

01/10/07

Représentation Mathématiquedes

Signaux Numériques


01/10/07

CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.

2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.

2 Représentation vectorielle, constellation.

3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)

4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.


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ReprReprReprRepréééésentation Mathsentation Mathsentation Mathsentation MathéééématiquematiquematiquematiqueDes DonnDes DonnDes DonnDes Donnéééées Numes Numes Numes Numéééériques et riques et riques et riques et

des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.

Temps Discret

Information Numérique

Modulateur Démodulateur

Signal Analogique

Temps Continu

M∈CEchantillonnage Symbole

ReprésentationVectorielleConstellation des M points

Détection

valeursM

{ }kd

valeursM

formesM

( ) ( )k sk

s t g t kT= −∑

1 1 1 0 1 0 0 1 1


01/10/07

ReprReprReprRepréééésentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numéééériques :riques :riques :riques :

Information NumInformation NumInformation NumInformation Numéééérique :rique :rique :rique : Quantifiée & Discrète⇒ Formes Analogiques & Emises Régulièrement

Quantifiée :

Alphabet AAAA de taille M fini borné, représentation mathématique : { }, , ,k Md a a a1 2∈ =A ⋯

Formes Analogiques si(t) :

Alphabet de Signaux d’Énergie Finie

{ }

{ }

, , ,

correspondance biunivoque

( ) ( ), ( ), , ( )

k M

k M

d a a a

Symbole

g t s t s t s t

1 2

1 2

∈

∈

⋯

վ

⋯

Émise Régulièrement : Période SymboleT

Symbole émis à l’instant skT : ( ) ( ) k k sg t g t kT→ −

Signal émis = superposition de symboles décalés dans le temps : ∑ −=k

sk kTtgts )()(

Débit Symbole : en Symbole/sss

DT

1= ou Rapidité de Modulation Bauden sDR =

(Émile Baudot 1875 Télégraphe)

1 1 1 0 1 0 0 1 1


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Formes simples (2-PAM ou MIA-2)

Une seule impulsion ( )g t deux états d’amplitude M = 2

Deux formes émises ( ) ( )s t g t1 = + et ( ) ( )s t g t2 = −

Impulsion NRZ

-5 0 5 10 15

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

Impulsion RZ 50%

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

-5 0 5 10 15

Impulsion en “cosinus surélevé” pour tansmission sur canal à bande limitée

-5 0 5 10 15

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1


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Modulateur (BdB ou Fréquence Porteuse)Transforme les Données Numériques en Signaux Analogiques

Codage Binaire M-aire(ou transcodage)

Mise en Forme Analogique= Modulation

b k { }

Source Binaire

Source

d k { }

M − aire Codage ou

Transcodage D b D

s

Source

Formes Analogiques

d k { }

M − aire Signal Emis

s ( t ) D s

D s

Modulation

1 1 1 0 1 0 0 1 1


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DonnéesDonnéesDonnéesDonnées Numériques : Numériques : Numériques : Numériques :

Codage Binaire M-aire : (ou transcodage) bits

éléments

Mots

Binaires

Mots -aires

b

M

s

N

P PM

N T

T

α α α α α α α α α α1 2 3 1 3 1 2 1 2

101 110 110 100 101

⋅

⋅

��

��

Synchronisation sans perte de données : b sN T P T⋅ ≥ ⋅

bits possibilités

éléments possibilités

-aire

N

P

N

PM

M

→ 2

→

Pas de perte

si P NM ≥ 2

soit ( ) s b b

b s

T D DP Log M N P P P

T D R2⋅ ≥ ≥ ⋅ = ⋅ = ⋅

d’où ( )bD R Log M2≤ ⋅

si = Pas de redondance ajoutée si > Redondance : Tous les états du code ne sont pas utilisés si < Perte de données

b k { }

Source Binaire

Source

d k { }


Transcodage D b D

s


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Signaux Numériques Signaux Numériques Signaux Numériques Signaux Numériques AnalogiquesAnalogiquesAnalogiquesAnalogiques: : : :

Mise sous Forme Analogique (mise en forme) = Modulation

AssociationEmis en directe ( ) ( )s

k k k s

k Td g t g t kT

⋅→ → −

{ }

{ }correspondance biunivoque

, , , ,

( ) ( ), , ( ), , ( )

k i M

k i M

d a a a

Symbole

g t s t s t s t

1

1

∈

∈

⋯ ⋯

վ

⋯ ⋯

{ }{ }

mêmes probabilités

Pr

Pr ( ) ( )

i k i

k i

p b

g t s t

α = = = =

Formes d’onde ( )is t = signaux déterministes d’énergie finie ( 2∈ L ) 2( ) di iE s t t⌠

⌡

+∞

−∞=

Distance entre formes : | ( ) ( ) | dij i jd s t s t t⌠⌡

2 2= −

Distance minimale : min min { }iji j

d d2 2≠

=

s1(t)

s2(t)

s3(t)

0 Ts

Source

Formes Analogiques

d k { }

M − aire Signal Emis

s ( t ) D s

D s

Modulation


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Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :

Émission d’une suite de symboles

Suite M –aire d d d d dα α α α α0 2 1 1 2 3 3 3 4 2= = = = =

t

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

Formes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s ss t s t T s t T s t T s t T2 1 3 3 1− − 2 − 3 − 4

Symboles ( )

( )

g t

s t

0

0= ,

( )

( )

g t

s t

1

1= ,

( )

( )

g t

s t

2

3= ,

( )

( )

g t

s t

3

3= ,

( )

( )

g t

s t

4

2=.

Signal émis = Signal Aléatoire de Puissance finie

( ) ( ) (( ) ( ) )k ss s

k

g t g t T g t Ts t g t kT 0 1 2= += − + −2 +−∑ ⋯ ⋯

Puissance moyenne finie : s s b bP E D E D= = ⇒ sb s

b

DE E

D=

Énergie moyenne par bit sur le signal émis = bE

Énergie moyenne par symbole sur le signal émis = { }2E ( ) d

M

s i i i

i

E s t t E p⌠⌡

=1= = ⋅∑


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Modulations Linéaires surFréquence porteuse

MAQ-M MDP-M M-QAM M-PSK

Équivalent en Bande de Base

ReprReprReprRepréééésentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numéééériques :riques :riques :riques :


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( )x

S fαf

f0f0− 0 /B 2

EEEEEEEEqqqqqqqquuuuuuuuiiiiiiiivvvvvvvvaaaaaaaalllllllleeeeeeeennnnnnnntttttttt BBBBBBBBaaaaaaaannnnnnnnddddddddeeeeeeee ddddddddeeeeeeee BBBBBBBBaaaaaaaasssssssseeeeeeee ((((((((BBBBBBBBddddddddBBBBBBBB)))))))) ((((((((RRRRRRRRaaaaaaaappppppppppppppppeeeeeeeellllllllssssssss))))))))

( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )s t p t t q t tω ω0 02⋅ ⋅ ⋅ ⋅2= −Signal Modulé =Signal Passe Bande

{ }( ) Re ( ) j tss t t e ωα 0⋅ 2= ⋅

( ) ( ) ( )s t p t jq tα = +

Enveloppe Complexe

( ) ( ) ; ( ) ( )p q pq qpS f S f S f S f= = −

ssP Pα=

Filtrage : ( ) ( ) ( )y t s t h t= ∗ ( ) ( ) ( )y s ht t tα α α12= ∗

BABG : BABG / BABG / 2 BABG /

indépendants

( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )b b

N N N

b t p t t q t tω ω

0 0 0

0 02 ←→ 2

= ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅ réels

b

BBG BBG / BBG /

( ) ( ) ( )b b

N N N

t p t j q tα

0 0 02 2

= + complexes

( )( ) ( ) ( )x xxS f S f f S f fα α0 0

1= ⋅ − + − −2

( )xS ff

f0minf maxff0− 0

B


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MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss NNNNNNNNuuuuuuuummmmmmmméééééééérrrrrrrriiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeeessssssss LLLLLLLLiiiiiiiinnnnnnnnééééééééaaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeeessssssss ((((((((MMMMMMMMIIIIIIIIAAAAAAAA MMMMMMMMDDDDDDDDPPPPPPPP MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ))))))))

MMoodduullaatteeuurr { }pkd

{ }kb

{ }qkd

( )s tCodage

Binaire/M-aire

( )g t

( )g t

cos( )tω02

sin( )tω0− 2

( )p t

( )q t

RReepprréésseennttaattiioonn

{ }( ) Re ( ) e j tss t t

ωα 0= ⋅ 2 ⋅ ( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )s t p t t q t tω ω0 0= ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅

( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )pk s qk sk ks t d g t kT t d g t kT tω ω0 0= ⋅ − ⋅ 2 ⋅ − ⋅ − ⋅ 2 ⋅∑ ∑

ÉÉqquuiivvaalleenntt eenn BBaannddee ddee BBaasseeEnveloppe complexe : ( ) ( ) ( )s t p t jq tα = + ( ) ( )pk sk

p t d g t kT= ⋅ −∑ PAM

( ) ( )qk skq t d g t kT= ⋅ −∑ PAM

Composantes pas toujours indépendantes

( ) ( )s k skt d g t kTα = ⋅ −∑

k pk qkd d jd= +


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Densité Spectrale de Puissance

Évalue l’Étalement Spectral des Codes et Modulations et détermine la possibilité de les utiliser et de les multiplexer

sur un Canal à Bande Limitée.


01/10/07

Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.

Les Multiplex son émis sur des Canaux Physiques limités et encombrés :

� Canal Radio (Différentes Fréquences, Différents Environnements).

� Canal Acoustique (Air & Eau).

� Câbles.


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Canaux Canaux Canaux Canaux Supports de Transmission : Supports de Transmission : Supports de Transmission : Supports de Transmission :

Transmissions sur câbles :

Câbles métalliques (paires torsadées, câbles coaxiaux) Faibles débits 32kbit/s voie φ, 240kbit/s AppleTalk, 100Mbit/s Ethernet. Ou Faible portée ADSL ~ 1km. (Aff en dk f eα⋅ )

Câbles à fibres optiques. (λ=1,5µm, Aff en αd ~ 0,2 dB/km) Débits élevés ~ 10Gbit/s, grandes distances >100km.

Ex : Sea-Me-We 3 ; 40 000 km ; 33 pays en Europe, Afrique, Asie Australie ; 39 atterrissages ; 2 paires de fibres WDM de 8×2.5Gbit/s soit 40Gbit/s.

Transmissions Acoustiques : Sous-marins (~ 10kHz).

Transmissions Optiques : Infrarouge (Télécommandes) ; Visible, Laser (civil/militaire).


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Transmissions Radioélectriques : (Aff en dα)

(~ 3kHz - 3MHz) (LF, MF) Diffusion, Communications.(~ 3MHz - 30MHz) (HF) Diffusion, Balises, Militaire.(~ 30MHz - 3GHz) (VHF, UHF) Diffusion, Coms, Militaire, Signalisation, Navigation.(~ 3GHz - 30GHz) (SHF) Radars, Coms FH Satellites.(> 30GHz) (EHF) Communications µ-cellulaires & Militaire.

Multiples de 103

normalisés.

yocto (y), zepto (z),

atto (a), femto (f),

pico(p), nano(n),

micro(µ), mili (m),

unité,

kilo (k), méga (M),

giga (G), tera (T),

penta (P), exa (E),

zetta (Z) et yotta (Y).

100 pm

1 nm

10-8 m

10-7 m

1 µm

10-5 m

10-4 m

1 mm

1 cm

10 cm

1 m

10 m

100 m

1 km

10 km

100 km

1 EHz

1017 Hz

1016 Hz

1 PHz

1014 Hz

1013 Hz

1 THz

1011 Hz

1010 Hz

1 GHz

100 MHz

10 MHz

1 MHz

100 kHz

10 kHz

1 kHz

THF

EHF

SHF

UHF

VHF

HF

MF

LF

VLF

Rayons X

UV

Visible 0.4-0.8µ

Infrarouge

milimétrique

Micro Ondes

Ondes Courtes

Ondes Longues

Liaisons optiquesFibres optiques

Satellites

Expérimental

FaisceauxHertziens

FMCâblesCoax

Radio-coms

TV

Câblesà

pairesAM

MaritimeNavigation

Navigation


01/10/07

Densité Spectrale de PuissanceCalcul Nécessaire pour évaluer l’Étalement Spectral

des Codes et Modulations.

DSP = TF(FAC)Fonction d’Auto-Corrélation


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Suite discrète Binaire : { }kb

{ },kb ∈ 0 1 Variable Aléatoire { }Pr k kb p= 1 = { }Pr k kb p= 0 = 1−

Suite { }kb Stationnaire kp p k⇒ = ∀

Suite { }kb à éléments Indépendants { } { } { }k l k lE b b E b E b⇒ ⋅ = ⋅

{ } { }k l kE b b E b2⇒ ⋅ = si Stationnaire

Moyenne stationnaire : { } ( )kE b p p p= 1⋅ + 0 ⋅ 1− =

Corrélation stationnaire : { }( )b k k nR n E b b∗−⋅≜ , { } { }

si centré( )b k kR E b E bσ σ22 2 20 = = − =

Corrélation (FAC) des Signaux Numériques :

Synoptique Émission :

b k { }

Source Binaire

Source

Formes Analogiques

d k { }


Transcodage

Signal Emis

s ( t ) D b D

s D s

Modulation

{ }( ), ( ), , ( ), , ( )

( )

i M

k

s t s t s t s t

g t

1 2

↓

⋯ ⋯


01/10/07

CorrélationCorrélationCorrélationCorrélation des Signaux Numériques : des Signaux Numériques : des Signaux Numériques : des Signaux Numériques :

Suite M-aire : { }kd suite discrète

{ }Mkd ααα ,,, 21 ⋯∈ Variable Aléatoire { } kiik pd ,Pr == α

Suite { }kd Stationnaire ⇒ kpp iki ∀=,

Suite { }kd à éléments Indépendants { } { } { } { }klklk dEdEdEddE 2=⋅=⋅ si Stationnaire

Moyenne stationnaire : { } ∑=

⋅=M

i

iik pdE

1

α

Corrélation stationnaire : { } ,( )M M

d k k n i j ij ni j

R n E d d pα α∗ ∗−

=1 =1⋅ = ⋅∑∑≜ .

,ij np Loi Jointe des VA { }kd et { }nkd −

, , ,ij n i n j k np p p −= ⋅ si les VA { }kd et { }nkd − sont Indépendantes

Suite i.i.d = Suite à éléments indépendants et identiquement distribué (c.a.d stationnaire)

, , , ,i k i lp p k l i= ∀A valeurs équiprobables ( , , , , ,i k j l M

p p k l i j1= = ∀ ) ou à valeurs Non Equiprobales i jp p≠

b k { }

Source Binaire

Source

d k { }


Transcodage D b D

s


01/10/07

Calcul de l’espérance

1) Si ( n ≠ 0 ) Il y a 3 VA : ,k k ng g − discrètes et φ indépendante continue 2) Si ( n = 0 ) Il y a 2 VA : kg discrète et φ indépendante continue

Densité Spectrale de Puissance. (D.S.P)

{ }( ) TF ( )s sS f R τ= avec Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −

( ) ( )k s

k

s t g t kT φ= − +∑ { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯

Suite { }( )kg t discrète stationnaire 2nd ordre

{ }Pr ( ) ( )i k ip g t s t= = { }( ) Pr ( ) ( ) et ( ) ( )ij k i k n jp n g t s t g t s t−= = = loi jointe

( )s t est Processus Aléatoire Cyclostationnaire période sT si φ V.A. équirépartie sur [ , [sT0 ( )s t⇒ est P.A. Stationnaire du 2nd ordre

Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −

2 VA = 2 échantillons du même PA

( ) E ( ) ( )k ls

k l

R t kT t lTg gτ φ φ τ∗ = − + ⋅ − + −

∑∑ �� { }( ) E ( ) ( )s k k n

k n

R g u g u nTτ τ∗−= ⋅ + −∑∑


01/10/07

Densité Spectrale de Puissance. (DSP)

{ }Pr ( ) ( )i k ip g t s t= =

{ }( ) Pr ( ) ( ) et ( ) ( )ij k i k n jp n g t s t g t s t−= = = loi jointe

Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )i i js s i s s s ij

s i n i j

R R p R nT p nT

τ τ τ≠0

1 = ⋅ + − ⋅

∑ ∑ ∑∑

DSP TF( ) ( ) ( ) ( ) ei j

j fnTs s i jR nT S f S f πτ δ τ ∗ − 2∗ − → ⋅ ⋅

• Modulation d’impulsion en amplitude (MIA) ou (PAM) ( ) ( )k kg t d g t= ⋅

( ) ( )k s

k

s t d g t kT φ= ⋅ − +∑ { }( ) ( ) , , ,i i k Ms t g t dα α α α1 2= ⋅ ∈ …

DSP du PAM. = Formule de Bennett (1960)

( ) ||| ( )( ) | |

( ) ( ) e s

s

f

nj fnT d

s d dTs sn

G f mS f R n m

T T

π2 2=+∞

2 − 21

=−∞

= ⋅ − ⋅ + ⋅ ∑


01/10/07

Exemple de Codes et

leurs DSP

(Calculs en TDs)


01/10/07

Codes élémentaires en BdB : Formes simples pour MIA (PAM)

NRZ

Impulsion NRZ : [ , ]

( )ailleurs

A t Tg t

∈ 0= 0

sTsT

2

V+

V−

RZ50%

Impulsion RZ 50% : [ , ]

( )ailleurs

TA t

g t

∈ 0= 2 0 sTsT

2

V+

V−

BiphaseouManchester Impulsion Horloge :

[ , ]( )

[ , ]

Tt

g tT

t T

+1 ∈ 0 2= −1 ∈ 2

sTsT

2

V+

V−

( ) ( )sT

G f f1≡ Π

pour canal passe bande

(Approximation)

Impulsion sinus cardinal

( ) sinc s

s

Tg t t

T

π 2 = − 2 sTsT

2

V+

V−


01/10/07

DSP Codes Binaire (2-PAM) : Formes simples.

Tracés en linéaire Tracés en décibel

sR D R= 2 sR D R= 2

Forme NRZ

Forme RZ 50%

Forme en “cosinus surélevé” pour tansmission sur canal à bande limitée


01/10/07

Codes élémentaires en BdB

Code Manchester (Fibres optiques)

,

( )

,

TA t

s tT

A t T

0

1

1

∈ 0 2 = ∈ 2

,

( )

,

TA t

s tT

A t T

1

2

0

∈ 0 2 = ∈ 2

sT

A1+

A0+

sT2 sT3 sT5 sT8

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Code Biphase

Ethernet 10Base5, 10Base2, 10BaseT,10BaseFL.

sT sT2 sT3 sT5 sT8

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1V+

V−

Code 2B1Q

RNIS/ISDN et HDSL.

V−

1 0 1 1 0 0 1 0 0 1

V−3

V+3

V+

sT8sT5sT3sT2sT


01/10/07

Codes élémentaires en BdB

Codes à inversion des “1” (AMI alternate mark inversion) MAMI modified AMI, inversion des “0”

Bipolaire d’ordre 1 (HDB3 Câbles 2, 8 Mbit/s)

à l'inverse du 1 précédent

0 → 0 +1 → 1 −

CMI (coded mark inversion) ou 1B/2B (Fibres optiques)

inverse

du 1 précédent

0 →

1 →

– +

+ +

– –

Code de Miller (delay modulation) (MDP2 ou BPSK. Enregistrements magnétiques)

10 → 2

31 → 4

+ +

– –

–+

– +

⋯

⋯

⋯

⋯

avec Continuité de niveau0 →1

1 → 0


01/10/07

Codes élémentaires en BdB :

Le codage modifie la DSP

Tracés en linéaire Tracés en décibel

sR D R= 2 sR D R= 2

Binaire NRZ

Bipolaire d’ordre 1 NRZ

Bipolaire d’ordre 1 RZ 50% (HDB3 Câbles 2, 8 Mbit/s)


01/10/07

MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss NNNNNNNNuuuuuuuummmmmmmméééééééérrrrrrrriiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeeessssssss LLLLLLLLiiiiiiiinnnnnnnnééééééééaaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeeessssssss PPPPPPPPAAAAAAAAMMMMMMMM &&&&&&&& QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM

( ) S fα PPAAMM NNRRZZ

0

R

R/2

{ }( ) ( ) ( ) sS f S f f S f fα α0 01= − + − −2

RR

f0-f0 0

EEffffiiccaacciittéé ssppeeccttrraallee (Modulation Filtrée. W largeur de bande de la modulation )

/b bD

WL M

Dog

Rη 2< = 22≜ bb D

Log MR

D

Wη 2< =≜

FFiillttrraaggee NNyyqquuiisstt ( )R RW R α= 1+ < 2<

MMoodduullaattiioonn NNoonn FFiillttrrééee ⇒ Gabarit en Fréquence (Largeur de Bande / Affaiblissement)

RR

f0-f0 0

x dBx dB

BB

Gabarit

DSPDSPDSPDSPDSPDSPDSPDSP

(η En bit/s/Hz)


01/10/07

ReprReprReprRepréééésentation Vectoriellesentation Vectoriellesentation Vectoriellesentation Vectorielledesdesdesdes

Symboles Symboles Symboles Symboles éééémis.mis.mis.mis.

Temps Discret

Information Numérique

Modulateur Démodulateur

Signal Analogique

Temps Continu

M∈CEchantillonnage Symbole

ReprésentationVectorielleConstellation des M points

Détection

valeursM

{ }kd

valeursM

formesM

( ) ( )k sk

s t g t kT= −∑

1 1 1 0 1 0 0 1 1


01/10/07

Représentation Vectorielle :Des formes émises { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯

Base orthonormée (arbitraire) : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥

Produit scalaire : dans L 2

( )

( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( )

( ), ( ) et ( ), ( )

i j i j

i i i j

t t t t dt

t t t t

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+∞∗

−∞

= ⋅

= 1 = 0

∫

Espace vectoriel associé :

(Base de NC )

( )

{ }( ) , , ,

et 2Re =

T

H Hi i i i j

tϕ1 12

⋅ ⋅

→ 1 0 … 0 =

= = 1 0

ϕϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕFormes émises :

( )

( )

( )

( ),

, , ,

( ) ( ) ( )Hj j j

T

j

Ns t

s s t t s t

s

t

s

t d

s

ϕ ϕ

11 12 1 11+∞

∗1 1 1 1

−∞

→

⋅ = = = ⋅

=

…

∫

s

sϕϕϕϕ ( ) ( )

N

n n

n

s t s tϕ1 1=1

= ∑

Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.

NRZ, RZ, Modulations ….


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ReprReprReprRepréééésentation Vectorielle. sentation Vectorielle. sentation Vectorielle. sentation Vectorielle. Exemple : Code Exemple : Code Exemple : Code Exemple : Code àààà 3 formes3 formes3 formes3 formes

Formes { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯

Bas e or th on orm ée :

{ }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥

Formes émises :

( )

( )

( )

( ),

, , ,

( ) ( ) ( )Hj j j

T

j

Ns t

s s t t s t

s

t

s

t d

s

ϕ ϕ

11 12 1 11+∞

∗1 1 1 1

−∞

→

⋅ = = = ⋅

=

…

∫

s

sϕϕϕϕ

( ) ( )N

n n

n

s t s tϕ1 1=1

= ∑ Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.

3( )tϕ

2 ( )tϕ

1( )tϕ

0 1 2 3 4

1/2

3ϕϕϕϕ

2ϕϕϕϕ

1ϕϕϕϕ12s

1s

3sconstellation

0 1 2 3 43( )s t

1( )s t

2 ( )s t

1

11/2

M = 3

N = 3


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EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn dddddddd’’’’’’’’AAAAAAAAmmmmmmmmpppppppplllllllliiiiiiiittttttttuuuuuuuuddddddddeeeeeeee MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ--------MM ddddddddeeeeeeee DDDDDDDDeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx PPPPPPPPoooooooorrrrrrrrtttttttteeeeeeeeuuuuuuuusssssssseeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn QQQQQQQQuuuuuuuuaaaaaaaaddddddddrrrrrrrraaaaaaaattttttttuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee MM--------QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM

{ }pkd

{ }kb

{ }qkd

( )s tCodage

Binaire/M-aire

( )g t

( )g t

cos( )tω02

sin( )tω0− 2

( )p t

( )q t

NM = 2

N Pair ⇒ MAQ-4, 16, 64, 256, ...

Voie en Phase { , , , ( )}pkd M∈ ±1 ±3 … ± −1

Voie en Quadrature { , , , ( )}qkd M∈ ±1 ±3 … ± −1

N Impair ⇒ MAQ-8, 32, 128, 512, ...

Autres Constellations Croix, Carrés Bords Arrondis

0000

0001

0010

0011

0100

0101 0111

0110

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

MAQ-16

000

011

010

111

101

100

A B

110

001

MAQ-8

( ) ( ) cos( )s t g t tω1 0= ⋅ 2 ⋅( ) ( ) sin( )s t g t tω2 0= ⋅ 2 ⋅

( )s t2

( )s t1


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CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.

2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.

2 Représentation vectorielle, constellation.

3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)

4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.


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CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11

5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.

6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.

1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage


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Codes Différentiels Relations récursives 1k k ka a b−= ⊕

NRZI (No Return to Zero Inverted). (SDDI et bus USB)

conserve l'état courant

à l'inverse du 1 précédent

0 → +1 → 1 −

Biphase différentiel

(Apple Talk)

sT sT2 sT3 sT5 sT8

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1V+

V−

MLT3 (Multi Level Transmission)(CDDI, Fast Ethernet (100BaseTX, 100BaseT4), ATM)

conserve l'état courant

séquence , , , , , , etc.V V V V

0 →1 → + 0 − + 0 −

Spectre très compact car peu de transitions

Codes à Réponse Partielle Relation Markovienne > 1 ⇒ IES connues

Permet de déformer le Spectre par Filtrage RIF de la suite { }kb : N

k n k n

n

d c b −=0

= ∑ )

et/ou correction d’erreurs au décodage (ex code duobinaire k k kd b b −1= + )


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Codes à Somme BornéeSomme courante Bornée ⇒⇒⇒⇒ DSP nulle en BF

Codes HDB3 B8ZS

HDBn (Haute Densité Binaire d'ordre n).BnZS (Bipolar with n Zero Substitution).

Hiérarchie E1, E2 pour le HDB3Hiérarchie T1 pour le B8ZS et hiérarchie T2 pour le B3ZS.

Codes binaire/binaire

Bits supplémentaires pour détection et correction d’erreurs.

5B/6B et 12B/1P/1C Manchester en transmission optique4B/5B sur Fast Ethernet et le 8B/10B sur Gigabit Ethernet sous forme NRZI ou MLT3.

Codes à Alphabet 4B/3T, 12B/1P/1C.Table de conversion

Code 4B/3T Quatre binaires pour trois ternairescâbles à 34, 140 Mbit/s de la hiérarchie E3, E4.

C’est aussi un code à somme bornée


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Code HDB3 (Haute Densité Binaire d'ordre 3). (Câbles 2, 8 Mbit/s).

Bipolaire d’ordre 1 avec supression des zéros (Viols & Bourrages)

sT sT2 sT3 sT5 sT8

1111 1111 0000 0000 0000 0000 1111 0000 0000 0000V+

V−

0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 0000

4444 4444 4444

V

V

VB

Moyenne nulle ⇒ pas de BF.

DSP compliquée. Mémoire ⇒ Chaîne Markov à beaucoup d’états.


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