REND. SEM. MAT. UNIVERS. POLITECN. TORINO

Vd. 46°, 3 (1988)

M. Baptista de Campos

LA CONNEXITE DE CERTAINS SCHEMAS QUOTp

Introduction

Let but de cet article c'est de demontrer que QuotpiN.pn / s c est

connexe, si IK est un corps algebriquement clos - theoreme 1 du §3; et aussi de donner des conditions necessaires et suffisantes pour que ce schema soit non vide, qui se traduisent par Hilbpn /SpecK ^ o u Hilbpn / 5 p e c K ^ 0, ou P' est un polynome lie a P, d'oii ce probleme se ramene a Tanalyse de la verification du critere fourni par le corollaire (5.9) de [7] - theoreme 2 du §3.

Apres Introduction et la demonstration de la representabilite du Quotp

/Y/5, ou X est projectif sur S noetherien et T coherent, dues a A.Grothendieck dans [5], R. Hartshorne, en Decembre 1964, etablit la connexite de HilbprfS, si S est un schema noetherien et connexe - [7]; la question de savoir si Quotp

iN/X3n . est connexe ou non restant neanmoins inconnue.

R. Hartshorne, dans sa, demonstration de la connexite de HilbprjS, utilisa Taction du groupe triangulaire, T r+i, sur P ^ - corollaire (5.3) de [7]

Classificazione per soggetto: AMS (MOS, 1980): 14CXX

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- , aussi bien que le theoreme du point fixe de Borel - (10.4) de [2] - , sous une forme implicite, pour effect uer la preuve de la proposition (5.2) de [7]. J. Briangon et A. Iarrobino, dans leur etude de la dimension du schema de Hilbert ponctuel [3], firent usage aussi du theoreme du point fixe de Borel, par rapport a une action du groupe triangulaire sur ce schema. A. Hirschowitz a eu l'espoir de voir appliquer a l'etude des schemas Quot^N/pn .g e c K de Grothendieck

et des modules de faisceaux semi-stables, Mp» /speciK(#)> introduits par Maruyama dans [9], Paction induite sur eux par celle du groupe triangulaire, T„-+i, sur Pg<5 et les points fixes respectifs - voir [1].

Etant donne que chaque composante connexe de Quot^N . est

Tn+i-stable - debut de la preuve du theoreme 1 - , l'existence d'un quotient triangulaire dans chacune, nous permet d'analyser la possibilite d'en relier deux quelconques, moyennant un sous-schema connexe, c'est-a-dire trouver un sous-schema connexe de Quot„N lv%n contenant. tous deux, d'ou

decoulerait la connexite.

A. Hirschowitz avait des topiques de probables projets de demonstration de la connexite, par cette voie, qu'il nous a communiques. En travaillant la-dessus, nous reussimes a en accomplir celui qui fonde la preuve ici presentee.

Voici le plan de ce travail:

Au §0, on demontre que les points fixes de Quot^N. . respectifs

sont linearisables.

Au §1, on justifie la possibilite de relier, par un schema connexe, un quotient triangulaire quelconque a un autre du type 0/J\ © . . . © O/JN -proposition 1.

Dans le §2, numero 1), on montre qu'etant donne un quotient C7/Ji©.. .0 O/JN € QuotpNipn ,s ecK> alors, pour chaque entier p e [1,N — 1], il existe un sous-schema connexe de celui-ci, qui contient le quotient de depart, aussi bien qu'un autre ayant la forme 0 / J i © . • •@0/(JpnJp+i)@0/(Jp + j p + i ) 0 . . .®OJJN

-p ropos i t ion^ .

Le numero suivant traite de prouver qu'un quotient Oj3\ © . . . © 0/JNl

ou les Jj nuls soient tous places a la fin et ou il y ait quelques Jj egaux a O, peut etre relie, au moyen d'un schema connexe, a un quotient 0/J\ © . . . © 0/Jr © . . . © 0 © . . . © 0 © O m - proposition 3.

Les schemas reduits, associes aux faisceaux d'ideaux triangulaires sont des varietes lineaires, coTncidant avec les varietes du drapeau fixe par le groupe triangulaire. Ainsi la proposition 4 de 3) nous assure qu'un quotient ayant la

)

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forme Oj J\ © . . . © (9/J r © . . . © 0 © . . . © 0 © Om, ou le schema reduit attache a Jr possede p composantes irreductibles de dimension maximale d pourra etre relie, par un schemaconnexe, a un autre: O / 7 i 0 . . .®0/Jr-2®01J'r-\®01J'r® 0©.. .©0©(9m, ou le support deO/J'r ou bien aura une dimension moindre que celle du schema rattache a G/Jr, ou bien aura tout au plus p- 1 composantes de dimension maximale d. La preuve de cette assertion est fondee sur le lemme 5.

Tous les resultats exposes aux numeros 1), 2) et 3) nous fondent la methode utilisee, dans 4), pour ramener la preuve de la connexite du SH^Ar/pn /specK a celle de EMbp«/9pecK ou de EMp^/specK' Cette methode

' IK * *

nous est fournie par le lemme 7: en partant d'un quotient O/ J\ © . . . © 0/Jr © 0 © . . . © 0 © O m , on le relie, par un schema connexe, a un autre du type O/Ji ©...©C?/7 r_2©0/w4 r-i © 0 © . . . © 0 © O m ; et on repete le processus, par recurrence, jusqu'a parvenir a un quotient C?/.4©0©.. .©0©Om(Ar—m— 1 termes nuls) (m eventuellement egal a, zero, c'est-a-dire le dernier terme pourra ne pas figurer). Voici l'essence de cette demonstration: chaque fois que Ton a un quotient 0 / £ i © . . . © 0 / £ r _ ! ©C7/£r©0© .. .©0©O m , ou les d defmissent des schemas dont les reduits sont des reunions de varietes lineaires, on lui applique la proposition 4, en general a plusieurs reprises, afin d'abaisser la dimension du schema rattache a la rkme composante. Cette technique, par repetition, nous amene a une composante nulle d'ordre r.

Le materiel preparatoire des deux premiers paragraphes se fraye un passage pour aboutir aux theoremes du §3.

Notes: Quand il ne sera precise, IK jouera le role d'un corps algebriquement clos (de caracteristique quelconque). PJ^, comme d'habitude, sera sous-entendu en tant que ProjIK[x0,.. . ,*»]; et O designera son faisceau structural.

On appellera ideal triangulaire de !K[a;o».-.a?n]» un ideal Tn+i-invariant, a l'egard de Paction du groupe triangulaire, Tn+\. On dira qu'un faisceau d'ideaux y de O est triangulaire si T+(y) en est.

On note par 0N la somme directe de N termes egaux a O.

Quand un produit schematique, X x Y, sera represents sans mentionner le schema de base, il doit etre sous-entendu, bien sur, qu'il s'agit du produit au-dessus de specIK.

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§0 - Deux assertions preliminaires

En tenant compte des definitions de [1], on enonce les resultats suivants:

PROPOSITION 0 - Sort G un sous-groupe algebrique ferme de GL(N-fl), connexe et resoluble et X un sous-schema ferme de PN invariant par rapport a Paction naturelle de G sur P ^ . Si T est un faisceau algebrique coherent sur X, alors il y a un action de G sur QU0^F!xis K (o u P es^ u n certain polynome de Hilbert) deduite de celle sur P ^ et, dans tout ferme invariant de Quot, il y a au moins un faisceau G semi-linearisable.

Demonstration : Si Ton considere le faisceau universel U sur Q x X1 et le morphisme cr x \q de G x X x Q dans X x Q, ou <r est Paction, Puniversalite de U implique Pexistence d'un morphisme r de G x Q dans Q tel que (r x \x)*U ~ (<T x 1Q)*U et on conclut facilement que r est une action sur Q. Le theoreme de Borel -..[2] - nous assure Pexistence d'un point ferme fixe q dans tout ferme invariant de Q. Alors si T' est le faisceau associe a g, le diagramme:

GxX = Gx{q}xX —• {q}xX = X

; ' = lox;xlx j x l x

GxQxX TXlx —-+ Q x X ,

ou j est Pinjection canonique et le morphisme horizontal superieur s'identifie a la projection p, nous montre que

j'*(r x lx) * U ~ j'*(<r x \Q) *U ~<r*Uq = (T*T' ~ p*Uq — p*F' et ainsi on

voit que P est semi-linearisable.

COROLLAIRE : Si dans Penonce de la proposition T — 0®N , alors le faisceau T' correspondant est linearisable.

Demonstration : En effet, etant donne que le quotient O^x —*~¥ U

represente le foncteur Quot^9N,.x. ecK, le quotient 0^'QxX —•-» (r x lx)*U

est isomorphe au quotient (a x 1Q)*0QXJC —*"~* i* x ^QYU e^ l'isomorphisme

^On designe le Quot par Q.

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respectif deduit par restriction a G x {q} x X implique Texistence dti carre commutatif:

<r*0%N' » — (r*Uq=o*T'

p*0%N'

«

p*Uq = p*F

qui nous montre que dans ce cas la condition de cocycle est verifiee, puisqu'on peut lui appliquer les foncteurs (la x <r)*,(/i x 1*)* et p%3 et aboutir a un triangle

ill x lxy<r*OxN' (fi X IxY <T* T

P 2 3 W o ( l G X < T ) * ( ^ ) = I/ r = (//xlxrW

* „ * T * /

(^x-lx)V^

qui est commutatif soit a Pegard de v soit de r.

§1 —• Comment relier, moyennant un sous-schema connexe, un quotient triangulaire quelconque a un autre du type O/Ji®.- .®0/JN9

ou les Ji sont des faisceaux d'ideaux triangulaires

Afin de rendre plus perceptibles les preuves des lemmes ci-apres, nous faisons prealablement les remarques suivantes:

REMARQUE I - L'analyse de la demonstration de la proposition (5.4) de [7] nous amene a conclure qu'un ideal homogene triangulaire de JK[x0,... ,#„], ou IK est un corps iniini, est engendre par des monomes et les generateurs jouissent de la propriete enoncee dans la definition de la page 40 de cette reference - la.

Alors, quand IK est un corps iniini, l'acceptation de l'assertion qui suit est immediate:

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REMARQUE II - Soit A un ideal homogene triangulaire de IK[a?o,-•• i«n]> possedant un systeme de generateurs constitue par des monomes, tous du meme degre d. Considerons 1'ensemble des monomes de degre d, ordohne lexicographiquement: --""

En supposant les indeterminees de chaque monome disposees selon Pordre naturelle,

XQ°X°1 . . . x?'... < n < xpQ°x{1 . . . xf*... xfr <S> en debutant a compter les

indices a partir de la droite vers la gauche, i en est le premier ou x"( ^ xfi et oti < ^. Alors Pi deal A est engendre par Pelement maximal de cet ensemble-la parmi ceux appartenant a A et par les monomes qui le precedent.

REMARQUE III - Etant donnes deux ideaux homogenes triangulaires, engendres tous deux par des monomes de degre d, alors Pun est contenu dans l 'autre, puisque, si l'on compare les elements maximaux referes, conformement a la remarque anterieure, les generateurs de 1'ideal rapporte au moindre appartiennent aussi a l 'autre.

LEMME 1 - Solent M i—• ON —•—> T un point fixe de Quot^N /r>n . par

rapport a Paction induite par celle du groupe triangulaire, Tn + 1 , sur P n , et. yi,"-iVN l e s sections globales suivantes de H0{P1^,ON) : y\ = (1,0,.. .,0),t/2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , PN = (0 , . . . , 0 , . . . , 1). Alors il existe un entier £ positif tel que Af(£) est engendre par des sections globales du type: M(YliLi aiyi) > o u M est un monome (et, eventuellement, un seul des t/t- pourra etre non nul). Ainsi M{£) est, a fortiori, engendre par toutes les sections globales M(YALI

aiVi) o u M soit un monome de degre £ et YliLi a*y* u n e f ° r m e lineaire parmi celles utilisees ci-dessus pour exprimer les sections respectives. En outre, pour chaque forme l i n e a i r e j ^ j c t/,- echue, 1 'ensemble des monomes M tels que M(J™=1 a ^ ) soit une section globale de Af(£) - engendre un ideal triangulaire de JK[x0,... ,#„], qui definit un faisceau d'ideaux triangulaire.

Preuve - Les points fixes Qwo^w m n . „, a l'egard de Paction dont on a fait allusion dans Penonce sont linearisables - §0 - et done il en est de meme de JV, d'ou 1'existence d'une action duale sur 7/°(PJc,A/'(^)), qui est d'ailleurs induite par celle sur H°(P1^,ON(£)) - p a g e s 25 et 32 de [10] adaptees au cas d'un faisceau quelconque et le §3 de [1] - . Le groupe triangulaire, 7"n+i, contient le groupe diagonal, Dn+i> et ainsi Af est aussi Dn+\ - linearisable et la respective linearisation pourra etre envisagee comme induite par celle relative a Tn+i, au moyen de Pinclusion de Dn+i dans Tn+i.

On sait que Paction d'un groupe algebrique sur un espace vectoriel de

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dimension ilnie peut toujours etre envisagee moyennant une representation rationnelle. Ainsi, le theoreme de Lie-Kolchin - 17.6 de [8] - nous permet de prendre une section £>n+i-semi-invariante de M(€)[i choisi de sorte que Af(£) soit engendre par des sections globales, conformement au theoreme bien connu de Serre - III (2,2.2) de [4]], soit s\. Etant donne que Dn+\ est reductif et completement reductible (ou lineairement reductif, selon certains auteurs) - '[11] - , le sous-espace de 7/0(PJ,

K,Ar(^)) engendre par «i admet un s u p p l e m e n t a l invariant, d'ou l'existence d'une section jDn+i-semi-invariante s2; et, ainsi de suite, on reussirait a, construire une base de i/°(Pgc,jV(£)) constituee par des sections Dn+1-semi-invariantes.

On remarque que les sections globales de Af(£) sont des elements homogenes de ©JvlK[jco,'-.--»a;n]» de degre L Ainsi, etant donne que le corps est iniini, en considerant, pour chaque i, plusieurs matrices de JD„+I, ay ant l'identite sur toute la diagonale principale sauf dans la ligne i+ l , on concluerait que tous les monomes de l'expression d'une section £)n+i-semi-invaxiante, exprimable en fonction des y;-, auraient le meme exposant en a;,-, quel que soit t; d'ou on infererait qu'elle est du type mentionne dans l'enonce.

L'assertion concernant la derniere periode de la these decoule immediatement des faits suivants: 7/°(PJ<,^/"(^)) est un sous-espace Tn+\-invariant de H0(P^,ON(C))\ et fixee une forme YltLi a*2/*' parmi celles apparues, Pi deal engendre par toutes les formes F de degre t telles que F(J2i=i a*Vi) soit un element de //°(P5<)A/'(0)? est triangulaire et done possede une base constituee par des monomes - Remarque I - , ce qui en.traine que, pour tout monome M figurant dans chacune des ces formes F}M(%2i=1aiyi) est une section de A/^).

LEMME 2 - Supposons verifiees les hypotheses du lemme 1. Alors il existe une base de H0{P^,ON) composee d'un systeme independant maximal de vecteurs contenus dans l'ensemble des formes £It_i anyi echues y referes et, eventueellement, ajoutes de quelques T/,- supplementaires, de sorte que A/*(^)-| choisi satisfaisant la condition du lemme precedent - soit engendre par des sections globales du type Mj/J, oil M est un monome de degre I et y\ un vecteur de la nouvelle base. Et M est une somme directe de faisceaux d'ideaux triangulares.

Demonstration - La remarque III nous renseigne que la famille des ideaux triangulaires cites a la fin de l'enonce du lemme 1 forme une chaine; mais il pourra arriver que deux formes lineaires distinctes soient associees au meme ideal (bien sur, la chaine sera, dans les cas exceptionnels, reduite a un seul

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ideal). Si aucune forme 5^ l = 1 a,j/,- ayant au moins deux a, ^ 0 n'apparaissait, le lemme deviendrait trivial. Sinon, la methode de construction de la base est la suivante: on prend d'abord une forme J2iLiaiy* * laquelle corresponde Pi deal' triangulaire possedant l'ensemble de generateurs le plus grand. S'il y eh a d'autres ainsi, on choisit ensuite une deuxieme independante de la precedente; et s'il en existe une troisieme independante des deux premieres, on la prend; et ainsi de suite, jusqu'a trouver un ensemble maximal de formes, lineairemerit independantes, toutes rapportees au meme ideal. Puis, si la chaine a plus d'ideaux, on choisit une forme associee a, 1'ideal triangulaire qui soit le second element de la chaine descendante, qui soit independante des anterieures, s'il y en a. Et, le cas echeant, on poursuit, en prenant toujours, a chaque reprise, parmi les formes qui restent et non exprimables comme combinaisons lineaires de celles anterieurement choisies, la forme (ou Pune des formes) attachee (ou attachees) a Pideal de Pet ape respective; et, apres avoir epuise les formes'de celui-ci, en passant ensuite a l'ideal suivant de la chaine descendante. Et ainsi on obtiendrait un systeme independant de vecteurs extraits de l'ensemble des formes apparues et qui serait maximal dans celui-ci. En invoquant le theoreme de Steinitz (ou de Pechange), on ajouterait, si Pon a besoin, des j/,-.au systeme anterieur, afin de reussir a, trouver une autre base de H0(P^}O

N).

Et i/°(PJc,Ar(^)) est une somme directe d'espaces vectoriels chacun

desquels engendre par des sections qui sont des multiples monomiaux de Pun des vecteurs du systeme lineairement independant maximal anterieur. En effet, si M(J2i=iaiyi) e s^ u n e section de' Js[(t) dont YliLi a»2/« n'appartienne pas a ce systeme-la, il existe un rn minimum tel que cette forme lineaire s'exprime en tant que combinaison lineai re des m premieres du systeme et, par la construction efFectuee, M est un monome appartenant aux ideaux triangulaires attaches a celles-ci. Et, pour £' > £}H°(Pfa,//[?)) est aussi une somme directe d'espaces vectoriels satisfaisant aux memes conditions que ceux concernant II°{P^,//(£)). Done, A/* est une somme directe des faisceaux d'ideaux triangulaires attaches aux formes lineaires du systeme maximal ci-dessus construit - 11(2.7.11) (i) et II (2.7.3) (ii) de [4].

LEMME 3 - Sous les hypotheses des lemmes precedents, il y a un quotient de 0%L,NKsxpB sur GL(NfJK) x P j^ , qui est GL(iV,IK)-plat, et dont la fibre correspondante a la matrice identite est Af i—»• ON -—>—> T\ et il existe un automorphisme de Opn ou la fibre associee est de la forme:

J\ 0 h 0 •.. 0 JN •—• 0N —•-* 0/Ji®0/J2 ® . . . e /JN, OU les Jt- sont des faisceaux d'ideaux triangulaires.

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Demonstration - Consideronsle quotient universel sur Q x Pj^ (ou Q designe le Quotp respectif) Ooxpn -?-+—> U et r#GL(7v(K)XQ-automorphisme, i/>, de

• IK

®GL(NJK)XQ defini par V(#i ® 1) = ICjli ^ j ®^i;? o u l e s iEj] constituent la base standard de H0(GL(N}lK),O^L,NlK^) et les Uj sont les restrictions des fonctions coordonnees de A§£ a l'ouvert principal correspondant a G/(AT,1K). Soient p2 3 et p i 2 le projections de GL(N} IK) x Q x PJk et envisageons le quotient Phi?) e* ^a composition de p23(y>) avec Pi2(V0- Alors l'universalite et III (7.9) de [4] entrainent I'existence d'un morphisme r de GL(N,IK) x Q dans Q tel que (r x lPn)*(v?) ~ p23(^)oPi2(V0 e* (r x lpn)*C/ ~ P23J7; e* o n constate que r est une action.

Si l'on represente par qr le point de Quotp associe au quotient M \—• ON —•-- r et par j 1'injection de GL{N,JK) x {q} x P ^ - identifie a GL(N,IK) - dans GL(7V,IK) x Q x Pfc, alors j* ( r x lp»)*(y?) est le quotient GL(N,IK)-plat refere dans la these - theoreme (1.2) de [7].

L'automorphisme de Opn correspondant au changement de base entre celle des {j/;} et celle construite dans le lemme anterieur, est associe a un point ferme de GL(N,JK) dont la fibre du quotient j*(t x lPn)*(y?) est de la forme:

Ji © . . . ® JN I—• 0N —•—• O/Ji 0 . . . 0 O/JN, et les «/,- son les faisceaux d'ideaux concernant la derniere assertion du lemme 2.

Nous remarquons que, si Ton a besoin d'ajouter quelques yi au systeme maximal pris dans 1'ensemble des formes lineaires echues, selon la methode indiquee au lemme precedent, alors les Jj correspondants a ces derniers vecteurs de la base sont mils.

PROPOSITION 1 - A tout point fixe de Quot^N/pn /s e c K , a Tegard de faction

induite par celle du groupe triangulaire, T n + i , sur P n , en est associe un autre

du type Ji e J2 e . . . eVjv >—• oN —•-• o/Ji e O/J2 e . . . e O/JN , ou les J, sont des faisceaux d'ideaux triangulaires, de sorte que les deux sont relies par un sous-schema connexe de ce Quotp. S'il y a des Jj nuls, ils sont tous places a la fin.

Preuve - Soient J\f v—• 0N —•—• T le point fixe de depart et q le point respectif de Quotp associe. Plac^ons-nous dans la demonstration du lemme 3. Alors celui-ci nous assure I'existence du quotient signale. Et 1'adherence de l'orbite de q relative a Taction de GL(N,JK) est le sous-schema connexe cite.

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§2 — Ramener le probleme de relier deux objets tr iangulares de Quot^Nlnn '• moyenhant un sous-schema connexe, a celui de relier

deux autres de Hilbpn /svccJK ou de Hilbpn is cclK} par un sous-schema connexe.

1) Relier, par un sous-schema connexe, un quotient G/J\ © . . . © 0/Jp(B O/Jp+i 0 . . . 8 O/JTV a un quotient O/Ji ©. . . © 0 / ( J P nVp + i ) © 0 / (J p + Jp+1) © . . . © C7//7V.

LEMME4 -So'it F = 0/Ji®0/J2@.. .@0/JN un element de QMO<£„/T>W . . , , ou quelques /,- puissent eventuellement etre nuls ou egaux a O (termes nuls de J7). Alors, pour chaque entier p £ [1,7V* - 1], il existe un quotient coherent

, sur Pjk x PJK? defmissant une famille plate parametree par PJK,

dont toutes les fibres ont le meme polynome de Hilbert P; et, si Ton desigrie par (to,t\) les coordonnees de P ^ , la fibre de Q au point (0,1) = oo est T et celle associee au point (1,0) = 0 est O/Jy © .. .®C/(JP D Jp+i)®Of(Jp -f J p + i )© ...®G/JN.

Demonstration - Cette preuve sera subdivisee en deux parties: I) la construction de Q\ et II) 1'analyse de la platitude et du polynone de Hilbert.

I) II existe un entier I et des entiers ra, m!_ et rn!!_ tels que JP(C) est engendre par m sections globales, Fx,..., Fm, Jp+i(£) est engendre par rr/ sections globales, F'u.:.yF'm,, et (Jp D Jp + i) par ra^. sections globales, F",... F^,,. [en particulier, on pourra avoir F\ — 0 , . . . }Fm = 0 si Jp est nul et, analoguement, iri = 0 , . . . , i ^ , = 0si Jp + 1 = 0].

Soient U = D+(ti) = specJK[t0,ti](tl) = specJK[t0] et UQ = D+(t0) = speclK[to}ti](toy= speclK[ti\. Envisageons sur PJk x [ / 0 le (9-sous-faisceau de 0?pn xUo(fy on regarde les composantes d'ordres p et p + 1 de 0N - engendre par les sections suivantes: {t\Fu-F{)}..., (txFm, -Fm), (0,.F[),... (0, F,',,); et considerons de O-sous-faisceau de 0?pn-xU(£) engendre par les m' dernieres sections de Panterieur ajoutees des m sections a savoir:

(Fi,-toFl),...f(Fmi-t0Fm) [evidemment, on a identifie — a /0 et — a tx, ti to

comme d'habitude]. Les deux sous-faisceaux coincident sur Pjk x (U0 D Ui) puisque, sur UQ C\UI, — et — sont des sections inversibles; et ils definissent

t\ to done un (9-sous-module coherent de (9p n v p l (C), et ainsi son tordu de -£ unites

* I K X t K

est un (9-sous-module de 0"Ln p l , designe par / / ' . * IK A 1 K

Analoguement, considerons les sous-faisceaux de 0?pn xUo(£) et de

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0?pn yt/iW engendres respectivement par les sections globales suivantes:

(F1, , ,0), . . . ,(F^„,0); et (toFt',0),.. .,(ioF£,,,0). lis induisent le meme

faisceau sur PJk x (C/0 n f/i), puisque, sur t/0 n[/i,<0 est inversible; et il existe done un O-sous-module coherent de O L vT>i (£), obtenu par recollement des

* K X * IK

faisceaux anterieurs, lequel de/init un sous-module / / " de 0"Ln vr»i , en prenant * K X 1 BK

son tordu respectif. Le faisceau H = / / ' + H" sera envisage en tant que sous-faisceau de la

somme directe des composantes d'ordres p et p-f 1 de 0p„ v p i . Pour chaque D^ IK

corhposante d'ordre j de ce faisceau diJTerente de celles-la, on prend le sous-faisceau p*(Jj)y oh p est la premiere projection de PJ[< x P ^ . La somme directe de ceux-ci et de / / , selon l'ordre respective, sera le faisceau dont le conoyau de 1'inclusion dans 0^n vT>i jouera le role du Q de la these.

* I K X 1 IK

On constate facilernent que la fibre au poins oo de 02/H est 0/Jp © O/Jp+i et celle correspondante au point 0 est 0/(Jp D JP+i) © Of(Jp -f J r+i) .

II) Pour conclure la P^-platitude de £7, il nous suifit de verifier que le polynome de Hilbert de 02/H est le meme a chaque fibre - theoreme (1.2) de [7]. Cette justification comportera deux etapes: a) nous demontrerons d'abord que le polynome de Hilbert est invariant dans l'ensemble des points fermes; b) ensuite on analysera le point generique, g.

a) Pour accomplir notre but, etant donne que le foncteur image inverse est exact a droite, on se ramenera a voir que les differentes images de <p(t0, ti) ont le meme polynome de Hilbert, ou <p est l'inclusion de / / dans O2. On utilisera directement la definition associee au theoreme classique de Hilbert-Serre-III (2.5.3) et (2.5.4) de [4]; e'est-a-dire on comparera les dimensions des espaces vectoriels des sections globales des plusieurs fibres, tordues d'un entier H suffisamment grand.

En nous rappelant de la suite exacte 0/(Jp n Jp+i) i—• 0/Jp © 0/Jp+i —•—• 0/(Jp -f «7p+i), il est clair que les polynomes de Hilbert aux points 0 et oo coincident; done il nous suflit de constater que, pour chaque £_ assez grand, dim.^H°(V^,lmip(\,t))((!)) est independante de la valeur de t^

En prenant un t_ tres haut, si to ^ 0, le IK-espace vectorieldes sections globales de /m^(<o, h)(£') coincide avec le /fc-espace vectoriel constitue par les composantes de degre £ du JK[x0t.. . ,a;„]-sous-module gradue de JK[xQ,... }xn] © IK[rr0,. ..xn]j engendre par les generateurs des trois types suivants: ( ^ , - F O , . . . , (< i^ m , -F m ) ; (0 ,F0 , . • • , (0 , i ^ , ) ; et (Ff ' ,0), . . . , ( C , 0 ) [ici ti est interprete comme un element de JK] - consequence de II (2.6.2.3) et

300

(2.7.3) (ii) de [4].

Un systeme DC - lineairement independant maximal de /f°(PJ<)

lm<p(l,ti)(£')) pourra etre obtenu de la facjon suivante: on envisage les trois sous-espaces vectoriels associes aux sous-modules engendres par tous les generateurs de chacune des trois classes; on prend une base dans chacun de ceux relatifs aux deux dernieres, repectivement notees B et C; et ensuite oil leur ajoute un systeme convenable d'elements homogenes, lineairement independants, appartenants au premier sous-espace, designe par A (en particulier, A pourra etre vide, ce qui entrainerait la trivialite de quelques assertions qui suivent).

Nous distinguerons, dans la preuve, deux cas: 1) l'invariance de dimjKH^P'^IrrKpilM)^)) dans U0-{0}', et 2) l'egalite dim1KH0(P^lm(p (1,0) (£')) = dimKHOiPkMrthiiW)), Pour un h ^ 0. • ' /

1) Nous montrerons qu'en maintenant t0 fixe et egal a 1, l'echange, dans les elements de A, de /{ ^ 0 pour atu ou a est un element non nul du corps, n'altere pas l'independance du systeme A U B U C, d'ou l'invariance, vu la generalite de a. En efFet, admettons une combinaison lineaire nulle des vecteurs A' U B U C, ou ^4'est resultant de A, en changeant tt pour a£x, dans la generateurs de chaque vecteur; et dont les coefficients sont designes respectivement par a,-,^- et j q . Si.,_ilans les vecteurs de A', on associe a, a <k)(Qia) jouera le role de coefficient d'un vecteur de A\ et, afin de compenser cette association, si l'on substitue (faa) kfij, on obtiendra une combinaison lineaire nulle du systeme AUBUC, initial. Done les (aa,),(a/?j) et j q sont tous zero; et les a,-, fy et yq nuls, car a ^ 0.

2) En partant, comme ci-dessus, d'une combinaison lineaire nulle des vecteurs de A'UBUC, ou A' maintenant provient de A en remplagant tt par 0 dans les premieres composantes des generateurs, et en continuant a nommer a,',./?j.et jq les coefficients respectivement de A'}B et C, on conclut tout de suite que les yq sont nuls. Vu que les vecteurs de B sont independants, si les coefficients de A' U B n'etaient pas tous nuls, alors il y aurait au moins un a,- qui serait diflerent de zero. En regardant la deuxieme composante de la combinaison des elements de A\ on constate qu'elle appartient a H°(P^,Jp(i')) et aussi a i7°(Pjj<, JP+i(t')). Alors la deuxieme composante de la combinaison des vecteurs de A' est dans i / ° (PJ c , ( J p nJ p +i)( f ) ) , d'ou, en remplagant chaque vecteur de A' par le correspondant de A et en additionnant une combinaison d'elements de C - dont la premiere composante soit egale au produit de t\ par la deuxieme composante de la combinaison, a coefficients a,-, des elements

301

de i4'.-, on obtiendrait une combinaison lineaire nulle de A U B U C, ce qui entrafnerait la nullite des a,- et des fy, comme pretendu. Et ainsi, on vient de voir que, si

h ± O.rfimfciar^PSc/m^l,*!)^)) < Aro K f f ° (P ik ,W(l ,0 ) (O)-

Pour verifier l'inegalite au sens contraire, prenons une base de /fo(P[[c,/m^(l,0)(^ /)), qui pourra etre constitute par BUCUA", oil A" soit une famille de vecteurs independants, convenable, contenus dans le sous-espace associe aux generateurs du premier type. En changeant chaque 'element (0,G) de A" contre (-t\G,G), on parviendra a un ensemble A dont AUBUC est un systeme independant de /f0(PJc , /m^(l,<i)(f)), selon qu'il est immediatement verifiable. Les cas-A" = 0 serait trivial.

b) On se ramenera a l'ouvert U0 et on fera — = t. Tout d'abord, on signale qu'a partir d'un systeme lineairement independant de vecteurs de /f°(PJc,/mv?(l,l)(^))? defini comme dans a), pour le cas particulier t± — 1, on construit un ensemble IK-independant de i/°(PJ< x Uo,lm<p\pn xu0(^)) e n

substituant t a t\ = 1, dans les premieres composantes de A. Et ensuite on peut verifier que cette famille de generateurs de ce module est IK[£]-libre. En effet, apres avoir regarde chacune des deux composantes d'une combinaison nulle, a, coefficients_dans IK[<], et conclu que les termes de degre o de ceux-ci qui sont rapportes aux elements de C sont nuls, on reussira, si Ton tient compte de la possibilite de ramener, a chaque etape, la preuve a la IK-independance, en considerant, pour chaque r, deux combinaison nulles: celle concernant les premieres composantes, associees aux termes de degre r en t des coefficients des elements de A et a ceux de degre r + 1 relatifs aux coefficients des elements de C; et la combinaison des deuxiemes composantes attachees aux termes de degre r des coefficients des elements de A et B. Puisque H°(P^,tylm<p(g)(£')) = # ° ( P J K XU0, lm<p{P^>cUo{e))®K[tYK(t), si £ est suffisamment grand - II (2.8.10) et consequence de la combinaison de II (2.7.3) (ii) et (2.7.11) (i) de [4] - , on en infere que dim^{t)H

Q(V^{t)Mip{g){t')) = (fim1K//°(PS<,/m^(l, l ) (f)) , pour un tel £ , ce qui acheve la demonstration de b). cq.f.d.

PROPOSITION 2 - Pour tout quotient de Quot£N/pn /s ecK du type O/Ji ©

0/J2 © . . . © O/JN et pour chaque entier p € [1, N - lj , il existe un sous-schema

connexe du meme Quotp qui le contient aussi bien qu'un autre ayant la forme

O/JX ©... © o/(Jp n Jp+l) ®o/(jp + JP+I) e . . . e O/JN.

302

Preuve .-. Le lemme 4 et la representabilite du foncteur Quot^N ,pn tSpecJK par

le schema QuotpNlvtn ._ _., nous assurent Pexistence d'un morphisme de P L

dans le Quotp refere, dont Padherence de Pirnage est un sous-schema connexe, satisfaisant aux conditions enoncees dans la these.

2) Comment relier, par un sous-schema, connexe, un quotient 0/J\ © .. .QO/JN, OU les Jj nuls soient tous places a /a fin et il y ah quelques 3) — O, a un quotient 0/J\ © .. :<&0/Jr © 0 0 . . . © 0 9 Om-(m eventuellement nul).

PROPOSITION 3 - Soit O/Ji © .. . © C/JN un element de Quot^N/pnfSpccW.. Admettons que s'il y apparaft des Jj nuls, ils sont tous places a la fin. S'il y a des termes O/Jj = O/O = 0, alors il existe un sous-schema connexe du Quotp considere, contenant le quotient initial et aussi un autre du type 0/J\ 0 . . . 0G/Jr 0 0 0 . . .© 0©C7m-il s'agit de mettre tous les zeros juste avant Om. De plus, le nombre m est bien determine.

Preuve - En utilisant la proposition 2 dans le cas ou Jp = O et Jp+i j= G, successivement, a plusieurs reprises, s'il est necessaire, on aboutira a une suite finie de schemas connexes du Quotp envisage, dont Pintersection de chacun (sauf le dernier) avec le suivant est non vide, d'ou il decoule que leur reunion jout de la propriete desiree dans la these.

Le nombre de Os figurant dans Pexpression est bien determine et le meme pour tous les quotients de ce Quotp ecrits sous cette forme-la, puisqu'il est attache au coefficient du terme de degre n du polynome de Hilbert, P.

3) Prendre connaissance des cycles associes aux Jj triangulares et deplacement de certains cycles lineaires y rapportes.

LEMME 5 - Soient J un faisceau d'ideaux sur Pj^ et W une variete lineaire qui est une composante irreductible du schema reduit associe a. celui defmi par J. Si la dimension de W est m < n et si W est contenue dans une reunion de varietes lineaires, 14,..,/, K , de dimensions inferieures a, ??., alors il y a une variete lineaire, V% de dimension m, qui n'y est plus contenue. En outre, si a est Paction de GL(n -f 1,IK) sur P^,a*(0/J) est une famille GL(n + 1,IK)-plate, dont la fibre relative a I'identite est O/J, et il existe un point ferme de GL(n + 1,IK) 011 le schema reduit attache a la fibre deformee de O/J contient V au lieu de W.

Demonstration - L'assertion concernant Pexistence de V est trps elementaire.

Considerons Pespace vectoriel IKn+1 , associe a PJ^, et les espaces vectoriels V et W, attaches respectivement a V et W. Prenons une base

303

de V , une autre de W et ajoutons a chacune n — m vecteurs, de fac,ori a obtenir deux bases de IKn+1. Soit a la matrice qui definit la transformation menant de la base construite a partir de celle de V a 1'autre. La transposees de a,aT, est attachee a un /C-automorphisme de IK[xo, • • • ,#n] qui transforme W en V. <T*(0/J) est un faisceau sur Pjk x GL(n + 1, IK), dont toutes les fibres ont le meme polynome de Hilbert, et done GL(n + l,IK)-plat, en vertu du theoreme (1.2) de [7]; et aT est le point ferme de GL(n + 1,IK) correspondant a la fibre desiree.

PROPOSITION 4 - S o j t O / J 1 e . . . e O / J r - i 0 C 7 / J r e O e . . . e O e O m un quotient de ON appartenant an Quotp fixe, oil les «/,- ^ 0,0(i = 1 , . . . , r) et r > 1. Notons Xi les sous-schemas fermes et reduits de Pn associes aux J,-. Supposons que:

1) Toute composante irreductible des Xi soit un sous-espace lineaire de

P n .

2) La dimension de Xr est egale a d et Xr possede p composantes de

dimension maximale d.

Alors, il est possible de connecter, dans le meme Quotp, moyennant un sous-schema connexe, le quotient donne a un autre de la forme: 0/J\ ® . . . ® 0/«/;_! ® 0/J'r ® 0 0 . . . ® 0 e O m , ou les j ; _ ! , j;,X'r_1 et X'r - schemas reduits rattaches respectivement a J^_x et J'r - verifient encore la condition 1); et, en outre, si la dimension de X'r n'est pas plus petite que d, X'r aura tout au plus p— 1 composantes de dimension maximale d.

Demonstration - II faut distinguer deux cas: 1) il y a une composante irreductible de Xr, de dimension d qui n'est pas contenue dans la reunion des composantes de X r_i ; 2) il n'y en a aucune dans les conditions anterieures.

1) On appliquera la proposition 2. Et ainsi il y a un sous-schema connexe du Quotp envisage contenant le quotient initial et G/J\ © . . . © (9/(J r_i D Jr) © 0/(Jr-i -f J r ) © 0 © .. . © 0 © O m , le schema associe a Of(Jr-i -f Jr) etant ou de dimension inferieure arfou bien ayant au plus p— 1 composantes de dimension d.

2) En fixant Tune de telles composantes de Xr, on la fera jouer le role du W du lemme 5. Si p' est la premiere projection de Pj^ x GL(n 4- 1,IK), la somme directe du faisceau construit dans le lemme 5 - <r*(0/Jr) - et des images inverses par p' des autres termes de 0/ J\ © . . . © 0/ Jr -1 © 0/Jr © 0 ©. . . © 0 © Om,

en respectant l'ordre des N composantes, definit un quotient GL(n+ l,IK)-plat, qui nous assure - du a la representabilite du foncteur Quotp

N.pn /5pecIK par QuotpM,rn /s ecK et aux proprietes du faisceau universel respectif - l'existence

304

d'un morphisme de GL(n + 1,IK) dans Quot^N /<? •• , dont l'adherence de

l'image est un schema connexe du meme Quotp, auquel le quotient donne et aussi O/Ji 0 •. . 0 0 / j ; e O e O e . • . 0 0 0 C?m, ou j ; = (aT)*Jr - selon la notation de la preuve du lemme 5 - , appartiennent. Et, dans le schema reduit associe a O/J^la respective composante transformed de W n'est plus contenue dans la reunion des composantes de Xr-\. Ainsi, au moyen du quotient obtenu, nous nous sommes ramenes au cas 1). Alors le raisonnement y effectue nous amenera a la these.

4) En partant d'un quotient triangulaire O/Ji®.. .eC7/J r0O0. . .0000™ deQuotp„.pn /s c c K , trouver un quotient du type C7/^t0O0.. . 0O0(9 m (ou m

pourra eventuellement etre nul) du meme Quotp et un sous-schema connexe de celui-ci contenant tous deux.

LEMME 7 - Etant donne un quotient triangulaire de Quotp p n ' du

type O/J'i 0 . . . 0 0/Jr 0 0 0 . . . 0 0 0 Om (soit la composante Om soit les composantes nulles peuvent ne pas figurer; en particulier, on pourra avoir r = TV),- il existe un quotient O/A 0 0 0 . . . 0 0 0 Om du meme Quotp et un sous-schema connexe de celui-ci auquel ils appartiennent tous deux.

Demonstration - La preuve sera efTectuee par recurrence. Ainsi nous debuterons par demontrer que le quotient de depart est relie, par un sous-schema connexe, a un autre du type 0/Ji<$.. . e O / J r _ 2 ® ^ / ^ r - i 0 O 0 , . .0O0(T\ (ou le support reduit de 0/Ar~\ est, une reunion de varietes lineaires de dimension inferieure a n),

L,a proposition 4 nous permet de relier, par un sous-schema connexe, le quotient initial a un autre dont: 1) Ou bien la dimension de X'r - on conserve les notations de la proposition anterieure - soit inferieure a celle de Xr; 2) ou bien le nombre de composantes irreductibles de dimension maximale d de X'r

est inferieure a p , celui de Xr.

Dans le premier cas, on reussit tout de suite a abaisser la dimension; et, dans le second, encore par l'application successive de la proposition 4, au plus p- 1 fois, on atteindrait le meme but. L'utilisation repetee de la meme proposition nous permettrait d'arriver a un quotient ou le support-de la r~kme

composante serait vide et celle-ci nulle. Si l'on tient compte que les schemas conriexes ou l'on aboutit, par la voie de la proposition 4, constituent une suite finie, chacun ayant une intersection non vide avec le suivant, on concluera la veracite deTassertion du debut.

Et, par recurrence, la methode exposee nous permettrait de parvenir,

305

de proch'e en proche, a la these.

3. Demonstrat ion des theoremes annonces

THEOREME 1 - Si IK est un corps algebriquement clos, alors

S ^ N / P n c / 5 p e c K e s t connexe.

Demonstration - Un ferme de Quotp est connexe si et seulement s'il en est de meme de ['ensemble de ses points fermes - 0 (2.6.2) et I (6.5.2) de [6]; et les composantes connexes de Quotp et de l'ensemble de ses points fermes se correspondent bijectivement. Le §0 nous assure que le groupe triangulaire, T n + i , agit sur Quotp. L'alinea d) de la proposition dans (8.2) de [8] nous renseigne que chaque composante connexe de Tensemble des points fermes de Quotp est stable relativement a cette action; et done chaque composante connexe de Quotp en est aussi. Ainsi, en tenant compte du corollaire du §0, on conclut que dans chaque composante connexe de Quotp, il y a un quotient triangulaire (linearisable).

La preuve sera accomplie, si l'on parvient a montrer qu'etant donnes deux quotients triangulares, alors il y a un sous-schema ferme connexe les contenant. En face du lemme 7, il nous sufFit de prouver qu'il est possible de relier, par un sous-chema connexe, deux quotients qui soient simultanement de Tune des formes: 0 / ^ 0 0 0 . . .0O0C7m; O / A 0 O 0 . . . 0 0 ; et O 0 . . . 0 O 0 ( 9 m .

Le troisieme quotient est unique; done, dans ce cas, il n'y a rien a demontrer. Quant a ceux des deux premiers types, la these sera manifeste., en vertu du theoreme, du a Hartshorne, de la connexite de Hilbpn /SpecK - corollaire (5.9) de [7]. En effet, tous les faisceaux O/A auxquels on aboutira, ayant le meme polynome de Ililbert P' - P' egal a la difference entre P et le polynome de Hilbert de Om, ou P' egal a P , selon il subvient respectivement la premiere ou la deuxieme situation - , ils appartiennent a HUbpn /spccK- Et , si Ton envisage le faisceau universel respectif, U, sur Hilbpn iq^rK x P L alors les sorrimes directes C/0 0 0 . . .0O0C?"".IlP,

f^/^pecii 1K7 Htlb^n / S p e c i K x P i K IK

et U 0 0 0 . . . 0 0 - oil il y a respectivement N - 2 et A - 1 termes nuls - sont des quotients de O1? P, Ttn y Hilbpn /SpecK- plats; en decoulant done,

^ ^ P " /SpecKXI IK • K '

du a la representabilite de Quot^N ,pn ,s K , un morphisme de Hilbpn fspec^

dans Quotpn . . s •, par lequel 1 'adherence del ' image de Hilbpn /5;,ecn< est

306

un schema connexe contenant les quotients du premier type ou du second -selon le cas - d'ou l'on est parti.

THEOREME 2 - Soit K un corps algebriquement clos. Alors on a:

I) Quot'lsr.nn lo „, est non vide si et seulement si l'une des trois conditions suivantes est verifiee: 1) P est de degre inferieur a n et Hilbpn fspccWi i1 » 2) le terme de degre n de P est egal a m fois le terme correspondant du polynome de Hilbert de O et la difference entre P et le polymome de Hilbert de Om est un polynome P' dont Hilbpn / 5 - B c K ^ 0, ou

IK * ' v

m est suppose inferieur ou egal a N; 3) il existe un m < N tel que P coincide avec le polynome de Hilbert de Om

II) Quot^tTyn . / 0 <=> P est le polynome de Hilbert de Om pour un •",,—~ ' " K*J I K *** / 8J)GC1TV

certain m < N; ou P, ou P' introduit dans 2), quand il est ecrit sous la forme E£o(™<. 0 , ou 777, G Z et g(P} n) = (£») - (*+j7") - page 284 de [7] - jouit des proprietes suivantes: mo > mi > . . . > mn_i > 0 et mn = m n + i = . . . = 0.

Demonstration - I) Si Quot^\,pn , e c K est non vide, les propositions 1 et 3 et

le lemme 7 nous assurent 1'existence dans ce Quotp d'un quotient ayant l'un des trois aspects: <3/.4e0®. . . 0 O 0 0 m ; ou O/A®0e.. .00 ; ou 0 0 . . . 0 0 0 ( 7 " .

Reciproquement, si Htibpn ,svccW / 0 et 0/^4 est un quotient de celui-IK *

ci, alors O/A 0 0 0 . . . 0 0, ou le terme zero figure N — 1 fois, est un element de Q « Q ^ „ . . e c K ; si 0 / .4 e //?76pn.yjpcclK, on constate tout de suite que

' IK i *

C7/A0O0.. .0O0(T% ou la composante nulle figure N - m- 1 fois, appartient a Quot^Nypn-y ec]I<; et si P-et-lepolynome.de Hilbert de (9m coincident, alors

0 0 . . .0O0(9 m est un element de ©tio^^,B . _. si les N -rn premiers termes

sont nuls. II) Inequivalence referee est une consequence du corollaire (5.9) de [7].

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BAPTISTA DE CAMPOS Rua de Lisboa n° 1 4A 2765 Estorie - Portugal

Lavoro pervenuto in redazione il 10.6.1988

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