Relativité_TS_ressources.pdf

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Temps et relativit restreinte__________________________________________________________

I. Le postulat de linvariance de la vitesse de la lumire

I.1. IntroductionI.2. Enjeux pdagogiquesI.3. Les tests exprimentaux

Exprience du prisme mobile dAragoExprience de Michelson et MorleyExprience dAlvger

II. La dilatation des duresII.1. Introduction

Dfinir la notion dvnementReprer un vnementSynchroniser des horlogesNotion de temps propre,

II.2. Dilatation des duresDilatation des dures : Exprience de la lanterne sur le mt dun bateauDilatation des dures : Horloge de lumire

II.3. La dilatation des dures : un effet mesurableUn effet mesurableQuel en est la cause ?Un effet rciproqueLa question des paradoxes

II.4. La dilatation des dures : les consquences exprimentalesLe facteur gammaDfinition de la secondeMuons dans lacclrateur du CERNMuons cosmiques : exprience de D.H. Frisch et J.H. SmithMuons cosmiques : la roue cosmiqueHorloges atomiques embarques : exprience de Hafele et KeatingHorloges atomiques embarques : bord dune navette spatiale

Horloges atomiques embarques : le systme GPS

III. Prolongements connexesIII.1. La question de la simultanitIII.2. Les diagrammes despace-tempsIII.3. Contraction des longueurs

Annexe 1 : Le programme et les commentaires

Annexe 2 : Diagrammes despace-temps


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Temps et relativit restreinte__________________________________________________________

La notion de temps dans le cadre de la relativit restreinte est introduite dans la partie

temps, mouvement et volution du nouveau programme de terminale S. Lextrait deprogramme correspondant ainsi que les commentaires qui lui sont associs, parus dans lebulletin officiel spcial n8 du 13 octobre 2011, figurent en annexe 1.

Cette partie du programme vise proposer aux lves des classes de terminale S deslments scientifiques et culturels autour de la problmatique du temps dans le cadre de larelativit restreinte. Il sagit dune premire approche, dune premire sensibilisation. Lesthmes traits sont limits par les comptences exigibles mentionnes dans le programmeet certaines ides essentielles ne sont donc pas abordes.Cette premire dcouverte vise donner un clairage sur un domaine de la physiquecontemporaine o les applications technologiques ont un impact direct sur notre quotidien. Si

lun des objectifs de cette partie est de donner envie certains lves de poursuivre leurparcours scolaire dans une filire suprieure scientifique, elle doit permettre de lessensibiliser tous la manire dont voluent les connaissances en science, avec des remisesen cause, parfois radicales, de certaines reprsentations que nous avons pu avoir ou avonsencore du monde.

Ce document, destin au professeur, analyse cette partie du programme de terminale S. Enparticulier, il montre quelles sont les incidences du postulat de linvariance de la vitesse de lalumire sur la notion de temps. Il ne sagit en aucun cas dun cours pour les lves, mmesil suggre quelques pistes au professeur pour laborer des activits, sans aucun objectifprescriptif. Il apporte galement des lments de rponse aux questions que les lvespourront poser.

En classe terminale, laccompagnement personnalis prend appui sur les enseignementsspcifiques, et sur les enseignements constituant les dominantes disciplinaires des sriesconcernes (bulletin officiel spcial n1 du 4 fvrier 2010). A ce titre, les prolongementsdcrits dans le paragraphe III peuvent constituer des exemples daxes de travail dans lecadre dactivits dapprofondissement.

En 1905, dans le clbre article sur llectrodynamique des corps en mouvement1, Einsteinpostule, en autre, le principe de la constance de la vitesse de la lumire.

Dans un article sur la localisation par satellite publi en janvier 2003 dans le dossier Pourla Science n38, Thomas Herring crit :

Lorsque le premier satellite GPS fut lanc en juin 1977, certains doutaient encore de laralit des effets relativistes. Dans lhorloge atomique du satellite, les ingnieurs avaientinclus un synthtiseur de frquence. Si, aprs la mise en orbite, le rythme de lhorloge taitcelui prvu par la relativit gnrale, le synthtiseur serait mis en marche afin que lalocalisation puisse fonctionner correctement. Aprs 20 jours danalyse du rythme delhorloge, le synthtiseur fut allum. Sans corrections, la localisation serait dcale de 30 cmpar seconde ! Quels effets relativistes doivent tre corrigs ? [] . Ce texte montre que lesystme GPS est tellement prcis quil est ncessaire deffectuer des corrections de relativitrestreinte et gnrale ; cet instrument de mesureconstitue ainsi une remarquable illustrationde la validit de la thorie de la relativit dEinstein dont les fondements datent du dbut duXXme sicle.

1Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Krper ,Annalen der Physik, vol. 17, 30 juin 1905, p. 891-921


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I. Le postulat de linvariance de la vitesse de la lumire__________________________________________________________

I.1. Introduction

Le programme ne retient des deux postulats dEinstein que celui relatif la constance de lavitesse de la lumire. En cela, il ne constitue pas une premire approche de la thorie de larelativit restreinte mais simplement une tude de la relativit du temps dans le cadre de larelativit restreinte. Ainsi la structure de lespace-temps nest absolument pas abordemme si le phnomne de la dilatation des dures est discut.

Les deux postulats2 dEinstein snoncent classiquement de la manire suivante :

Invariance des lois de la physique : les lois de la physique se formulent de lamme manire dans tous les rfrentiels galilens.

Constance de la vitesse de la lumire : la vitesse de la lumire est la mme danstous les rfrentiels galilens.

Concernant linvariance des lois de la physique, il est intressant de rappeler la formulationdu principe de relativit (au sens restreint du terme) propose par Einstein3 : Si K estrelativement K un systme de coordonnes qui effectue un mouvement uniforme sansrotation, les phnomnes de la nature se droulent, relativement K, conformment auxmmes lois que relativement K. [] Mais avec le dveloppement plus rcent delElectrodynamique et de lOptique, il devint de plus en plus manifeste que la Mcaniqueclassique tait une base insuffisante pour la description de tous les phnomnesphysiques.

Il est important de souligner que dans la formulation du principe de relativit dEinstein leslois de la physique sont celles de la mcaniqueet de llectromagntisme. Celui formulpar Galile ne concerne que les lois de la mcanique. Ainsi aucune exprience demcanique et dlectromagntisme ralise dans un systme en mouvement rectiligneuniforme par rapport un rfrentiel galilen ne permet de mettre en vidence lemouvement de ce systme.

Les connaissances encore embryonnaires des lves de classe terminale scientifique dansle domaine de llectromagntisme, ne permettent pas dinsister sur ce premier postulat. Ilest nanmoins possible de sensibiliser les lves lide que lune des ides fortes de la

relativit restreinte est celle dune formulation identique4 des lois de la physique dans toutrfrentiel galilen.

2Selon les ouvrages, les noncs des deux postulats peuvent varier : pour le premier certains soulignent quil

sagit la fois des lois de la mcanique et de llectromagntisme, dautres que tous les rfrentiels galilenssont quivalents. Concernant le second, il est courant de voir ajouter lindpendance vis--vis du mouvement dela source, de lobservateur (en mouvement vitesse constante) et des considrations sur lisotropie. Ces

variations dans les formulations ont surtout des objectifs pdagogiques.3Einstein, La thorie de la relativit restreinte et gnrale , page 15, Dunod 1999.

4Ceci ne signifie pas que les mesures des grandeurs physiques soient les mmes dans deux rfrentiels

galilens ce sont les lois qui relient les diffrentes grandeurs qui ont la mme structure.


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I.2. Enjeux pdagogiques

La comptence exigible sur ce thme est formule de la manire suivante : llve doit savoir que la vitesse de la lumire dans le vide est la mme dans tous les rfrentielsgalilens . Ce postulat est formul de manire tre autonome et parfaitement rigoureux.Sous cette forme, il perd un peu de son sens physique (on ne fait plus allusion la source ou

lobservateur) et pose implicitement le problme de la transformation des vitesses qui nestjamais explicitement au programme.

Le premier enjeu est de montrer le caractre tout fait tonnant de ce postulat sans faire dela formule de composition galilenne des vitesses un passage obligatoire. Il est sans douteassez naturel pour un lve de comprendre que sil se dplace vers lavant 5 km/h dans untrain, qui roule 100 km/h par rapport au quai, alors sa vitesse par rapport au quai sera de105 km/h, et que sil effectue ce mme dplacement vers larrire elle ne sera plus que de95 km/h. On utilise ainsi une image issue de la mcanique et cest laspect corpusculaire dela lumire qui est interpell. On peut aussi chercher des images dans le domaine des ondes,largement abord en classe de terminale, et sintresser alors laspect ondulatoire de lalumire. Ce postulat modifie fondamentalement la reprsentation que llve pouvait avoir dela manire dont se composent les mouvements dans le cadre de la mcanique classique.

Cette proprit tonnante est une consquence directe de linvariance des quations deMaxwell qui pilotent les ondes lectromagntiques, cest ce que souligne Einstein5 encrivant propos des phnomnes lectromagntiques et optiques : les expriences dansce domaine conduisent ncessairement une thorie des phnomnes lectromagntiquesqui a comme consquence invitable la constance de la vitesse de la lumire dans le vide.

Linvariance de la vitesse de la lumire dans le vide a des consquences immdiates sur lesquestions de la simultanit et de la dilatation des dures. Le second enjeu consiste donc mettre en relief que le phnomne de la dilatation des dures est une consquence naturellede linvariance de cet faire partager la logique du raisonnement qui conduit au phnomne

de la dilatation des dures.Les commentaires du programme figurant en introduction suggrent deux approchespossibles en voquant la libert pdagogique du professeur. Il sagit donc de choisir entreune approche plutt conceptuelle et historique ou une approche plus ancre sur des preuvesexprimentales dtailles ci-aprs.

On peut souligner quil semble quEinstein, lorsquil publia son article sur llectrodynamiquedes corps en mouvement en 1905, nait pas t influenc par le rsultat ngatif delexprience de Michelson et Morley (dcrite en page 6 de ce document). Einstein tudiaitdes questions en rapport avec llectromagntisme comme des expriences dinduction6 aimant-spire analyses du point de vue de la spire ou bien de laimant ou en sedemandant ce quil verrait sil chevauchait un faisceau de lumire .

I.3. Les tests exprimentaux

Il ne sagit certainement pas dtre exhaustif dans ce domaine mais il convient de sensibiliserles lves sur le fait que la question de la vitesse de la lumire (valeur, influence de lavitesse de la source ou de lobservateur, nature du milieu support de londelumineuse,) a proccup les physiciens ; des expriences ont t ainsi ralises ds ledbut du XIXme et sont encore ralises actuellement.

5Albert Einstein, La thorie de la relativit restreinte et gnrale , page 22, Dunod 1999.

6Jean-Marie Vigoureux, Lunivers en perspective , Ellipses, 2006. Le chapitre XIV, sur la covariance des lois

physiques, aborde en dtail cette exprience dinduction.


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Exprience du prisme mobile dArago (1810)

En 1810, Franois Arago prsente, lors dune communicationorale l'Acadmie des Sciences, un mmoire7 sur la vitessede la lumire. Lexprience consiste tudier la dviation de lalumire induite par un prisme achromatique en observant la

mme nuit des toiles desquelles on sapproche ou onsloigne, selon lheure dobservation, en raison du mouvementde la Terre. La dviation devait varier et correspondre uneaugmentation ou une diminution relative de 1/10000 de lavitesse de la lumire8. La qualit du dispositif exprimentalpermettait une ventuelle dtection de cette variation, Franois

Arago nobserva aucune variation et tira les conclusions reproduites ci-dessous.

Comptes-rendus hebdomadaires des sances de lAcadmie des Sciences1853 (tome 36)

Lexprience dArago, relate par le texte historique, peut constituer un support pdagogiquepertinent pour une utilisation en classe mais il est clair que les conclusions formules parFranois Arago doivent tre comprises dans le cadre du contexte scientifique de lpoque, cequi nest pas ais pour un lve.

Exprience de Michelson et Morley9 (1887)

Cette exprience, dcrite dans de nombreux ouvrages10, a t refaite maintes et maintes foisen utilisant des dispositifs toujours plus performants et dans des conditions trs varies ;avec la prcision atteinte actuellement, on peut dduire que la vitesse de la lumire restebien identique dans toutes les directions de lespace 0,5 mm/s prs.

7Ce mmoire a t publi en 1853 dans les comptes-rendus des sances orales de lAcadmie des Sciences.

Ce document est tlchargeable sur le site de la Bibliothque Nationale de France.8

Cela correspond au rapport de la vitesse de la Terre dans son mouvement par rapport Soleil sur la vitesse dela lumire. On peut noter que dans ses commentaires, Franois Arago voque lexistence dun mouvementpropre des toiles : il souligne que Quelques toiles doivent se mouvoir dans lespace avec des vitesses trs

considrables .9On pourra se rfrer au livre de J.Ph. Prez, Relativit , Dunod 1999

10Jean-Marie Vigoureux, Lunivers en perspective , Ellipses, 2006. Chapitre IIIStephen T.Thornton et Andrews Rex, Physique moderne , De Boeck, 2010


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Le rsultat de lexprience ft clairement ngatif, ainsi, en prenant en compte dautresarguments comme lobservation de laberration des toiles, les physiciens ont commenc

douter srieusement de lexistence de lther.

Lame semi-rflchissante

2

1

lunettedobservation

miroir M2

miroir M1source de

lumire

vr

vitesse de dplacement

par rapport lther

On supposait lpoque que la vitesse de la lumire par rapport un milieu hypothtiquesupport de londe lumineuse, appel lther , tait gale c. Lobjectif de lexpriencetait de mettre en vidence le mouvement de la Terre par rapport lther. Pour cela onutilisa le mouvement de la Terre sur son orbite autour du Soleil dont la vitesse est delordre de 30 km.s-1, ainsi selon une vision classique de la mcanique, la vitesse de lalumire devait soit tre plus grande soit plus petite selon la manire dont seffectue lacomposition des vitesses. Les variations relatives de la vitesse tant de lordre de 10 -4,

Michelson eut lide de recourir une mthode optique.

Schma de principe

La lumire mise par une source est partiellement transmise ou rflchie par la lamesemi-rflchissante et peut emprunter ainsi deux chemins diffrents. Les deux ondespeuvent alors interfrer au niveau de la lunette o lon observe des franges dinterfrence.Le dispositif plac, sur un bloc de pierre, repose sur une pice en bois place sur un bainde mercure. Ce dispositif dont la taille est de lordre du mtre permet de rduire lesvibrations et de faire tourner lentement linterfromtre autour dun axe vertical.

Sans entrer dans le dtail des calculs, si lon note vr

la vitesse du laboratoire par rapport

lther et si on adopte la configuration dcrite sur la figure ci-dessus, puis celle olappareil a effectu une rotationde 90, ce qui permet dchanger le rle des deux voies

de linterfromtre, la diffrence t des diffrences des dures de parcours de la lumire

entre le trajet utilisant M1 et celui utilisant M2 est donne par lexpression ( )2132

ll +c

vt .

En utilisant un repliement astucieux des rayons, la longueur des bras tait de lordre de11 m et ainsi pour une longueur donde de 550 nm, on sattendait un dplacement de0,4 frange ; la sensibilit du dispositif permettait alors de dtecter une variation de lordrede 0,01 frange.


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Il est ici plus important de se focaliser sur le principe de ce type dexprience et davantageencore sur les enseignements que lon en tire, que sur une tude quantitative de lexpriencede Michelson et Morley, mme si les lves de terminale S possdent des savoir-faire dansle domaine des interfrences lumineuses.

Notons enfin que lexprience de A. Brillet* et J. L. Hall11 faite en 1979 a conclu lisotropiede vitesse de la lumire 3.10-15 prs environ.

Exprience dAlvger12 (1964)

Cette exprience, faite au CERN en 1964 utilise un faisceau de pions neutres o ; ils sontproduits par laction de protons de haute nergie sur une cible en Bryllium. Ces pions,dune nergie de 6 GeV, ont une vitesse voisine de 0,999 75 c. Cette particule instable aune dure de vie de lordre de 0,84.10-16 s, elle se dsintgre en deux photons selonlquation : o + . On dispose ainsi dune source de lumire qui se dplace unevitesse de 0,999 75 cpar rapport au rfrentiel du laboratoire. Les exprimentateurs ontmesur le temps mis par des paquets de photons pour parcourir les 31,450 0,0015

m qui sparaient deux dtecteurs A et B, cette dure tait denviron 104,9 ns. Ils ont euainsi accs la valeur de la vitesse des photons gamma et ont constat quelle tait gale 10-4 prs celle mesure lorsque la source est fixe.

Schma de principe de lexprienceLes aimants placs sur le trajet des photons sont destins liminer les particules charges.

Sil nest pas forcment souhaitable de stendre trop sur les dtails de la mise en uvre decette exprience, il est pertinent dinsister sur le rsultat - la vitesse de la lumire estindpendante de la vitesse de la source - et de montrer que lon doit accompagner cetteaffirmation dune incertitude relative de lordre de 10-4.

11A. Brillet

*et J. L. Hall, Phys. Rev. Lett. 42, 549552 (1979)

12Alvger, T.; Farley, F. J. M.; Kjellman, J.; Wallin, L. (1964), "Test of the second postulate of special relativity in

the GeV region", Physics Letters12 (3): 260262

anneau acclrateur de protons

pions

photons gamma

L = 31,45 m

M : aimants dflecteurs

cran

PM : aimant permanent

collimateur

cible en Be


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Il y a naturellement de nombreuses autres expriences que lon peut utiliser dans le cadredun enseignement en TS pour illustrer la thmatique de la constance de la vitesse de lalumire, comme par exemple lobservation du mouvement des toiles doubles effectue parde Sitter13 en 1913.A nouveau on conclut, quaux incertitudes de mesure prs, la vitesse de la lumire estindpendante de celle de la source.

II. La dilatation des dures__________________________________________________________

II.1. Introduction

Dfinir la notion dvnement

En relativit, il faut imprativement dfinir proprement les vnements qui feront ensuitelobjet dune tude en changeant souvent de point de vue, cest--dire de repre oudobservateur. Un vnement est un phnomne objectif observable : quelque chose sepasse , un flash de lumire, un clair, laiguille dune horloge qui concide avec uneindication du cadran, une explosion, un astronaute qui fte ses 20 ans en regardant la datesur lhorloge de la fuse, etc. Beaucoup dambiguts rsultent dune dfinition imprcise delvnement tudi.

Reprer un vnement

Pour reprer un vnement, il convient de se donner un rfrentiel, on peut alors imaginerun rseau tridimensionnel de rgles et mailler ainsi lespace. Dans chaque cellule ainsidfinie, on place une horloge et toutes les horloges sont parfaitement synchronises par uneprocdure aborde ci-aprs. On peut ainsi attribuer des coordonnes spatio-temporelles cet vnement, ce sont les coordonnes despace-temps.La figure ci-dessous illustre le reprage dun vnement dans un espace deux dimensionsspatiales :

13De Sitter, Proc. Amsterdam Acad.16-1913-395

x

y

O

clair : (30; 20; 15 h)

0


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Cette manire de prsenter le reprage spatio-temporel dun vnement est largementutilise, elle a linconvnient de ne pas souligner quen ralit ltalon de longueur est dfini partir dune vitesse et dune mesure de dure. Ainsi, la dfinition du mtre14 est :

Le mtre (m) est la longueur du trajet parcourue dans le vide par la lumirependant une dure de 1/299 792 458 de seconde.

La mesure de la distance Terre Lune partir de tirs laser en est une excellente illustration.

Mesure dune distance par un temps de vol

Synchroniser des horloges

Pour synchroniser deux horloges fixes dans un mme rfrentiel et donc pour diffuser letemps en chaque point dun rfrentiel, on peut procder15 de la manire suivante :lobservateur plac en A envoie une impulsion lumineuse la date tA, puis une autre ladate tA+Too To est la priode de lhorloge place en A. Un observateur plac en B dsiresynchroniser son horloge avec celle de lobservateur A, pour cela il renvoie le signal laidedun miroir et lobservateur plac en A reoit en retour les deux signaux lumineux aux datestA et tA + To. Pour rgler le rythme de son horloge, lobservateur B ajuste la priode de sonhorloge To en observant les deux signaux qui lui arrivent. Pour rgler lheure, lobservateur

B note la date darrive du signal avec son horloge, dtermine lcart avec la valeur

souhaite2

'

AA tt + que lui a communiqu lobservateur A, puis modifie ventuellement le

rglage de son horloge pour compenser cet cart.

Notion de temps propre

Le terme de temps propre a t introduit par Minkowski en 1908. La dure propre entredeux vnements est lintervalle de temps mesur par une horloge fixe dun systme derfrence o les deux vnements se produisent au mme point. On utilise les termes de temps propre ou dure propre .

14On peut consulter sur ce thme le site du Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) :

http://www.bipm.org/fr/si/base_units/15

Il existe de nombreuses autres mthodes pour synchroniser un rseau dhorloges.

miroir

observateur A observateur B

cTo

0

miroir2

0

tc=l


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II.2. Dilatation des dures

Les commentaires du programme sur ce thme sont les suivants : on remarquera que ladilatation des dures se prte analyse quantitative : la relation tm= tp avec = 1/(1 (v/c)2)1/2entre dure mesure tm et dure propre tp peut tre aisment justifie .Il est en effet possible dapporter une justification au phnomne de dilatation des dures en

le reliant explicitement linvariance de c. Lexpression de la relation associe la dilatationdes dures peut tre justifie par deux approches exposes ci-dessous et dont lesavantages et inconvnients seront discuts.

Dilatation des dures : Exprience de la lanterne sur le mt dun bateau16Un marin allume une lanterne au sommet du mat dun navire, il sagit de mesurer ladure mise par la lumire pour arriver au pied du mt en adoptant deux points de vue :celui dun observateur situ dans le bateau et celui dun autre situ sur la berge.

Dans le rfrentiel li la berge :

On note tla dure mise par la lumire pour aller du haut du mt au bas du mt dans lerfrentiel de la berge. Le calcul sappuie sur la figure ci-dessus et utilise explicitementle fait que la vitesse de la lumire est aussi gale cdans le repre de la berge. Ennotant v la vitesse du bateau par rapport la berge et en utilisant le thorme de

Pythagore on tablit que c2(t)2 = d2 + v2(t)2 et, comme d = cto, il vient :

ott = avec 2

2

1/1c

v=

Comme est toujours plus grand que 1, on utilise le terme de dilatation des dures .

16Cette prsentation sinspire largement de celle de louvrage de J.M. Vigoureux : Lunivers en perspective ,

Ellipses, 2006, page 77.

d

vt

ct

d = cto

Dans le rfrentiel li au bateau :

La dure to mise par la lumire pour aller duhaut du mt au bas du mt dans le rfrentieldu bateau scrit :

d = cto

o dest la hauteur du mt et c la vitesse de lalumire dans le vide.


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Dans cette prsentation uniquement base sur le thorme de Pythagore, la consquencede linvariance de c est limpide : dans le rfrentiel li la berge, il faut que la lumireparcourt une distance plus grande, la vitesse tant la mmeil lui faut donc plus detemps ! La dilatation des dures apparat comme naturelle.

Cet exemple sinscrit dans la logique de lexprience de la pierre lance du mt (expriencefaite par Pierre Gassendi Marseille17 en 1662) donc dans la logique de la relativit au sensde Galilemais avec de la lumire, cest conceptuellement trs pertinent.

Soulignons tout de mme quil ne sagit pas vraiment ici dun temps propre , car dans lerfrentiel du bateau on a deux lieux diffrents mme si lhorloge est fixe. Ceci peutconstituer un obstacle pour les lves si lon dsire tre trs vigilant sur la notion de tempspropre.

Notons enfin quil y a un biais dans cette prsentation simple : le temps y est spatialis ,cest le rle du mt, on suppose quil ny pas de contraction des longueurs dans une directionorthogonale celle du mouvement du bateau.

Dilatation des dures : Horloge de lumire18

On utilise la rflexion dune impulsion lumineuse sur un miroir, lensemble miroir-source-

rcepteur tant mobile vitesse vr

constante par rapport un rfrentiel galilen. A

nouveau on regarde lexprience du point de vue dun observateur li lensemblemiroir-source-rcepteur et du point de vue dun observateur du laboratoire. On considreles deux vnements A : mission de limpulsion lumineuse et B : la rception de cetteimpulsion lumineuse aprs rflexion sur le miroir.

En utilisant la mme dmarche que prcdemment et les mmes argumentsgomtriques, on tablit la relation qui montre que le temps mesur est toujours plusgrand que le temps propre :

ott = avec 2

2

1/1c

v=

17J.M. Vigoureux : Lunivers en perspective , , Ellipses, 2006, page 28

18Cette prsentation est celle adopte par de nombreux ouvrages, par exemple : D.Halliday, R.Resnick et

J.Walker, Physique , tome 3, Dunod, 2004

2

2

22

+=

tvdtc

vnement A vnement B

Rfrentiel du systme

miroir-source-rcepteur

dtc o 2=

d

Rfrentiel du laboratoire

d

vt

miroir miroir vr

source - rcepteur


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Cette prsentation est peine plus complexe que la prcdente au niveau gomtrique. Laconsquence de la constance de cest toujours limpide : dans le rfrentiel du laboratoire, lalumire parcourt une distance plus grande, la vitesse tant la mmeil faut nouveau plusde temps ! La dilatation des dures simpose delle mme.

Il sagit cette fois dun temps propre, dans le rfrentiel li au systme miroir-source-rcepteur, les vnements A et B se droulent au mme endroit et la dure entre ces deuxvnements est value par une horloge fixe par rapport ce systme.

Cet exemple, connu sous de nom d horloge de lumire , suggre la possibilit dutiliser cemouvement de va et vient comme signal dhorloge.

On suppose ici galement quil ny pas de contraction des longueurs dans une directionorthogonale celle du mouvement du systme miroir-source-rcepteur.

Il est noter que ces deux raisonnements imposent que la vitesse vsoit plus petite que c,ainsi la vitesse de la lumire dans le vide apparat comme une vitesse limite 19 quun objetmatriel ne peut pas dpasser.

On peut trouver des animations

20

trs attractives sur le thme de la dilatation des dures. Ilconvient cependant de les analyser pour en percevoir les limites au niveau desreprsentations quelles induisent.

II.3. La dilatation des dures : un effet mesurable

Un effet mesurable

Il convient dinsister sur la ralit du phnomne de la dilatation des dures, on peut pourcela souligner quil nest pas facile dtecter car souvent faible mais que de nombreusesexpriences le confirment avec deux logiques diffrentes : la vitesse est trs voisine de cellede la lumire dans le vide donc leffet est alors trs sensible, les vitesses sont faibles devantcmais les horloges permettant de mesurer les dures sont trs prcises.

Ltude de la dsintgration des muons dorigine cosmique ou bien obtenus par descollisions dans des acclrateurs permet dillustrer le premier point : la vitesse des muonsest proche de celle de la vitesse de la lumire. Lutilisation dhorloges atomiquesembarques dans des avions, la navette spatiale ou des satellites illustre le second point :les vitesses sont faibles mais on utilise des horloges ultra-prcises. Ces exemples font lobjet

dune prsentation plus dtaille ci-aprs.

Quelle en est la cause ?

Des questions autour de lorigine de cet effet peuvent merger comme par exemple autourde lexistence dun phnomne physique ventuel qui ralentirait les horloges en mouvement,ou bien de savoir si tous les phnomnes biologiques sont concerns

19

William Bertozzi, a effectu en 1964, une exprience sur des mesures de vitesse et dnergie cintiquedlectrons relativistes. Rappelons pour mmoire, la rcente discussion autour dune mesure de vitesse deneutrinos suprieure c dans lexprience OPERA.20

http://www.scivee.tv/node/3007


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On peut souligner que ce type de questionnement a historiquement exist ds la parution delarticle dEinstein de 1905, les questions sur la nature mme du phnomne sont lgitimes,elles ont fait et font encore lobjet de dbats passionns qui ont souvent dpass le cadre dela communaut scientifique.

Pour lobservateur en mouvement, tous les processus naturels se droulent de la mmemanire : lastronaute dans une fuse en mouvement hypothtique rectiligne la vitesse de0,9c (= 2,3 environ) par rapport un observateur rest sur Terre a toujours le mmerythme de vie, le temps scoule pour lui de la mme manire, il mange toujours en 1 heureenviron et dort toujours 8 h, et il en va de mme pour tous les phnomnes naturels car leslois de la nature se formulent de la mme manire dans le rfrentiel de lastronaute.Par contre, si je lobserve21 depuis la Terre avec mon horloge, les mesures de dures que jeferais en lobservant manger ou dormir me montreraient quil mange en 2,3 h et dort pendantplus de 18 h ! Mais si jobservais une horloge de la fuse je me rendrais compte quelleindique bien une dure de repas gale 1 heure et une dure du sommeil gale 8 h. Il nya donc aucun processus qui ralentisse le rythme des horloges dans la fuse ; cest un effetcinmatique.

Dans son ouvrage Lunivers en perspective , J.M. Vigoureux propose une image

particulirement fconde, en soulignant que ce qui est en cause, cest la relation entre unobservateur dun repre et celui dun autre repre en mouvement par rapport au premier, ilintroduit la notion de perspective dynamique , celle lie au mouvement par analogie avecla perspective statique : si tu es loin de moi, je te perois objectivement plus petit maistu nas pas chang de taille .

Un effet rciproque

Il est essentiel de souligner que leffet est rciproque, ainsi, dans lexemple prcdent, silastronaute observait vivre une personne reste Terre, il constaterait lui aussi quellemange en 2,3 h et dort pendant plus de 18 h ! Il convient dinsister sur cette rciprocit, elle

est naturelle dans la mesure o il ny a pas de rfrentiel privilgi, lutilisation de lanotion de perspective dynamique permet aussi de bien apprhender cette rciprocit.Cette notion reste cependant une source de difficults et a donn naissance de nombreuxdbats comme celui du paradoxe des jumeaux de Langevin .

La rciprocit du phnomne de dilatation des dures

21Il faut tre attentif ici au terme observer , on ne prend pas en compte la dure de propagation des signaux

lumineux dans ce type dapproche. On peut, par exemple, utiliser plusieurs observateurs fictifs du rfrentiel Terre , le premier qui concide avec lastronaute au moment du dbut du repas note la date dans le repreTerre, puis celui qui concide avec ce mme astronaute la fin du repas note la date de la fin du repas, puis onvalue par diffrence la dure du repas mesure dans le rfrentiel Terre.

R R

ev ton horloge

retarde !ton horloge

retarde !


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La question des paradoxes

Le paradoxe le plus clbre est celui des jumeaux de Langevin. Il sagit de deux jumeaux,lun reste sur Terre et lautre effectue un voyage aller-retour dans une fuse qui se dplace grande vitesse. Si, par exemple, au moment du dpart les deux jumeaux ont 20 ans, si lafuse vole 0,8c laller comme au retour, si la dure du demi-tour est ngligeable et si ladistance parcourir laller comme au retour est de 8 a.l. alors la dure totale du voyage

pour lobservateur rest sur Terre est de 20 annes et lobservateur rest sur Terre aura 40ans au moment du retour de son jumeau. Pour le jumeau astronaute, la dure du voyage

nest que de 2 10 2

)8,0(1 = 12 ans, il aura donc 32 ans son retour : il est donc plus

jeune que son frre rest sur Terre. Le paradoxe rside dans une analyse trop rapide de larciprocit, on pourrait penser que le jumeau voyageur pourrait tenir le mme raisonnementet conclure que lui aussi prdirait que cest son frre rest sur Terre qui devrait tre plusjeune au moment des retrouvailles ! En ralit la situation nest pas symtrique, le jumeauvoyageur change de repre en subissant une variation de vitesse au moment o il dcide dechanger de direction. Il faut donc faire intervenir un troisime repre et, mme dans le cadrede la relativit restreinte, une tude soigne lve ce paradoxe22.

Si un lve curieux de terminale S souhaite en savoir plus, il est sans doute pertinent de lesensibiliser cette dissymtrie entre les rles jous par les deux frres en insistant sur lancessit de faire intervenir trois repres, sans pour autant chercher conduire une analyseplus complte qui reste un peu dlicate et ne constitue pas un lment essentiel de larelativit.

II.4. La dilatation des dures : les consquences exprimentales

Le facteur gamma

Le facteur gamma est donn par la relation :

2

2

1

1

c

v

=

Pour illustrer leffet de ce facteur dans le phnomne de la dilatation des dures, on peut serfrer des exemples simples dont certains sont rassembls ci-aprs.

Au repos v = 0

= 1

Vlo v = 20 km/h

= 1 + 1,7x10-16

22On pourra trouver une description de ce paradoxe dans le livre de Stephen T.Thornton et Andrews Rex,

Physique moderne , De Boeck, 2010.


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TGV v = 300 km/h

= 1 + 3,9x10-14

Navette spatiale v = 7,7 km/s

= 1 + 3,3x10-10

Muons cosmiques : v = 0,993c

= 8.5

Dfinition de la seconde

Daprs le site du BIPM23, la seconde est dfinie de la manire suivante :

La seconde est la dure de 9 192 631 770 priodes de la radiation correspondant latransition entre les deux niveaux hyperfins de l'tat fondamental

de l'atome de csium 133.

Cette dfinition se rfre un atome de csium au repos, une temprature de 0 K.

Pour la ralisation pratique de la dfinition de lunit de temps, une annexe prcise que pourlhorloge atomique : La dfinition de la seconde doit tre comprise comme la dfinition delunit de temps propre : elle sapplique dans un petit domaine spatial qui accompagnelatome de csium dans son mouvement.

Dans un laboratoire assez petit pour que la non-uniformit du potentiel gravitationnel ait deseffets ngligeables par rapport lincertitude de la ralisation de la seconde, la secondepropre sobtient en apportant une correction pour la vitesse de latome dans le laboratoiredaprs la thorie de la relativit restreinte. Il ny a pas lieu de faire de correction pour lechamp gravitationnel ambiant.De mme, cette dfinition se rfre des atomes non perturbs, au repos, unetemprature de 0 K.

On remarque donc que les corrections de relativit restreinte y sont explicitement voques.

23http://www.bipm.org/fr/si/base_units/


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Muons dans lacclrateur du CERN

Les muons sont des particules instables qui se dsintgrent en un lectron ou un positonen produisant des neutrinos. Par exemple, pour un muon ngatif on peut crire la ractionsous la forme suivante :

++

ee

La dure de vie des muons au repos, note o, vaut environ 2,2 s. Cela signifie que si

lon considre une population de No muons au repos une date prise comme originedes temps dans le rfrentiel o ils sont au repos, alors la date t il ne reste plus que

o

t

oeNtN

=)( muons.

En 1976, au Centre Europen pour la Recherche Nuclaire, le CERN, on a compar la

dure de vie des muons au repos o celle de muons en mouvement trs rapide, la

vitesse de 0,9994c. On a mesur dans le laboratoire une dure de vie environ gale 63,8 s. Ceci est conforme la prdiction de la relativit restreinte sur le phnomne de

la dilation des dures, sachant que 291/12

2

=

c

v et que 29

o

, on constate

que o = . On dispose dune sorte dhorloge muons.

Muons cosmiques : exprience de D.H. Frisch et J.H. Smith24

Comme nous lavons vu ci-dessus, les muons sont des particules instables qui sedsintgrent en un lectron ou un positon en produisant des neutrinos. Par exemple, pour unmuon ngatif, on peut crire la raction sous la forme suivante :

++

ee

Les muons cosmiques sont produits par les rayons cosmiques, essentiellement des protons,qui rentrent en collision avec les molcules de la haute atmosphre, ce qui cre desparticules en cascade suivant le schma ci-dessous.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_cosmique24

D.H. Frisch et J.H. Smith, Measurement of the Relativistic Time Dilatation Using _Mesons, AJP 31,342(1963). Il existe aussi un film qui prsente cette exprience : http://www.scivee.tv/node/2415.


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Lexprience de Frisch et Smith, ralise en 1963, consiste compter les muons qui sedsintgrent dans un dtecteur conu pour slectionner des muons de vitessescomprises dans une tranche fixe au voisinage de 0,993c, ceci pendant une duredtermine. Lexprience a t implante dune part au sommet du mont Washington une altitude h = 1900 m environ et dautre part Cambridge au niveau de la mer.

Laphotographie ci-dessous montre le Dr Smith devant le dtecteur constitu dun bloc defer, cach ici par la brique, qui combin avec le dtecteur en lui-mme, est destin

slectionner une tranche de vitesse pour les muons. Le scintillateur du dtecteur dtecte la fois le muon et llectron (ou le positon) issu de sa dsintgration.

American Journal of Physics AJP 31,342(1963)

dtecteur 1

dtecteur 2

h

muons cosmiques


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En effectuant plusieurs comptages pendant une dure gale une heure, Frisch et Smithont mesur au sommet du mont Washington N1 = 563 10 dsintgrations et au niveau dela merN2= 408 9 dsintgrations.La vitesse moyenne des muons slectionns est de 0,993c, ce qui donne un coefficientgamma gal 8,4 2. Lincertitude assez leve sur cette premire dtermination est souligne. Pour plus de dtails, on pourra se rfrer larticle25 donn en rfrence.

Soit la dure de vie des muons cosmiques mesure dans le rfrentiel du laboratoire. La

dure mise par les muons pour parcourir la distance h est gale ch 993,0/ . On peut

effectuer une dtermination de laide de la loi

=

c

hNN

993,0exp12 . On en dduit

une valeur de de lordre de 19,8 s. Lutilisation de la formule de dilatation des dures

o = permet une seconde dtermination de gamma : 9.

Cette valeur est compatible avec la premire dtermination de gamma et constitue unepreuve de la dilatation des dures. On peut noter quun calcul plus rigoureux prenant encompte les incertitudes de mesures donne pour cette seconde dtermination de gamma := 8,8 0,8.

Il est possible de profiter des donnes fournies par Frisch et Smith pour sensibiliser leslves aux mesures exprimentales et leurs incertitudes.

La prsentation choisie ici est celle de larticle original de Frisch et Smith. On peut aussi fairele choix de privilgier la comparaison des dures de vie plutt que des coefficients gamma,ce qui pdagogiquement est sans doute plus direct.

Le problme peut galement tre analys du point de vue des muons, donc dans le

rfrentiel li aux muons. La dure de vie est o, les muons voient latmosphre sedplacer la vitesse de 0,993c. Ce qui change, cest la distance parcourir qui est

contracte, la distance perue tant gale

h. On dtermine

=

oc,

hexpNN

993012,

expression identique

=

c

hNN

993,0exp12 .

La rciprocit de lanalyse utilise ici le phnomne de contraction des longueurs.

Muons cosmiques : la roue cosmique

La roue cosmique est un tlescope muons, une sorte de mini-laboratoirepermettant de mettre en vidence un

grand nombre de phnomnes relevantde lastrophysique, de la physique desparticules, de la statistique et de larelativit restreinte.

Pour plus dinformations on peut serfrer au site de Sciences lcole26 ou consulter le site du centre dephysique des particules de Marseille27.

25

D.H. Frisch et J.H. Smith, Measurement of the Relativistic Time Dilatation Using _Mesons, AJP 31,342(1963)26

http://www.sciencesalecole.org/nos-actions-didactiques/cosmos-a-lecole.html27

http://marwww.in2p3.fr/IMG/pdf/roue_cosmique.pdf


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Horloges atomiques embarques : exprience de Hafele et Keating28

En 1971, Hafele et Keating ont fait voler quatre horloges au Csium bord davionscommerciaux et compar leurs indications avec celle dune rfrence atomique au repos lObservatoire naval de Washington. Deux parcours ont t successivementemprunts par les quatre horloges : le premier vers lest a dur 65,4 heures et le secondvers louest 41,2 heures. La dure totale de lobservation du rythme des quatre horloges

atomiques sest tendue sur plus de 600 heures.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Am%C3%A9rique

Les rsultats sont rsums sur le tableau suivant :

)(ns : mesur )(ns : attendu

voyage vers lest -59 10 -40 23

voyage vers louest + 273 7 + 275 21

est lcart temporel, lissue du voyage, entre les horloges embarques et la

rfrence atomique reste sur Terre. Le signe ngatif indique que les horlogesvoyageant vers lest ont pris du retard par rapport celle reste sur Terre.

Les donnes fournies par Hafele et Keating peuvent tre loccasion de sensibiliser les lvesaux mesures exprimentales avec leurs incertitudes et la comparaison entre valeursattendues et valeurs mesures.Lanalyse thorique de cette exprience est dlicate puisquelle fait appel des correctionsrelevant de la relativit restreinte et de la relativit gnrale. Elle est hors de porte deslves mais les ordres de grandeurs des carts temporels observs peuvent tre souligns.

28J.C. Hafele et R.E. Keating, Science, 177, 166-170 (1972)

vers louest vers lest


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Horloges atomiques embarques : bord dune navette spatiale29

En 1985, la navette spatiale Challenger a pris son bord une horloge atomique aucsium. La dure de la mission tait de sept jours et les paramtres de la trajectoire lessuivants : vitesse gale 7700 m/s et altitude h gale 330 km en orbite pratiquementcirculaire.

Lancement de la navette Challenger le 18 juin 1983

http://fr.wikipedia.org/wiki/Challenger_(navette spatiale)

Lhorloge atomique embarque retardait sur son homologue reste Terre de -295 ps/senviron. Leffet imputable la relativit30 gnrale est de +35 ps/s, il est li, entre autre,au fait que, le champ de gravitation y tant plus faible, lhorloge voit son rythmeaugmenter.

On peut estimer la variation, par seconde, de la priode T due la relativitrestreinte :

on a psc

vTTTT TerreTerrefusefuse 33011 2

2

== en prenant TTerre = 1 s.

Cet ordre de grandeur peut tre retrouv en notant que -295 35 = -330 ps.

Ltude de cette situation peut tre enrichie en tablissant le lien entre laltitude et la vitessedans le cas de la trajectoire circulaire et en valuant lcart entre les deux horloges lissuede la mission. Mais il convient ici encore dtre prudent sur les questions de rciprocit.

29Cet exemple sinspire de celui expos dans louvrage de Stephen T.Thornton et Andrews Rex, Physique

moderne , De Boeck, 2010, page 46.

30 On peut valuer la correction relative lie la gravitation en utilisant lexpression 2c

U

T

T

, o Uest lnergie

potentielle massique du champ de gravitation au niveau de lhorloge embarque en prenant une rfrencednergie potentielle massique nulle la surface de la Terre.


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Horloges atomiques embarques : le systme GPS31

Le GPS Global Positioning System constitue un autre exemple dapplication concrteillustrant le phnomne de la dilatation des dures.

La constellation des 24 satellites du GPShttp://fr.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

Se localiser en mesurant un temps

Pour illustrer la problmatique du GPS, on peut commencer par lanalyse dun problme une dimension. On suppose dans un premier temps que lobservateur qui souhaite selocaliser dispose dune horloge prcise mais qui nest pas forcment synchronise avec leshorloges des balises du systme de reprage. Cest le cas du capteur GPS portatif . Eneffet, les satellites utiliss par le systme GPS (ce sera la mme chose pour le systmeGalilo) ont chacun une horloge atomique embarque ce qui nest videmment pas le cas durcepteur portatif du randonneur ou de lautomobiliste.

Considrons deux balises fixes A et B, places sur un axe et un promeneur qui dsire sepositionner entre les deux balises. Ces deux balises sont spares par une distance dconnue et elles ont t synchronises par une procdure analogue celle dcrite en II.1.A linstant tA la balise A met un signal lumineux qui est reu par le promeneur une date

tAM mesure par lhorloge locale du promeneur qui peut tre en retard ou en avance de

par rapport au temps des balises : on a donc += t't . On dfinit de mme les dates tB ettBMpour la balise B.Le schma ci-dessous illustre la situation.

Les mesures prcdentes permettent par exemple de dduire la valeur de dA:

( ))tt()tt(cdd B'BMA'AMA +=22

.

Le promeneur peut se positionner en mesurant des dures et il peut aussi dterminer son

avance ou son retard et ainsi avoir lheure exacte !

31Cet exemple sinspire de larticle de Jean-Michel Courty et Edouard Kierlik, Connatre sa position, un

problme de relativit , Pour la Science, Dcembre 2004.

balise A balise B

d

dA


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On peut aisment imaginer qu la surface de la Terre, il est ncessaire dutiliser quatrebalises donc quatre satellites et un rcepteur portatif pour dterminer sa position danslespace et disposer aussi de lheure. Cest le principe utilis pour le positionnement GPS.

Localisation et dilatation des dures

Placs une altitude de plus de 20 000 km, les satellites ont une vitesse de 3,87 km/s : ilsne constituent pas un rseau de balises fixes. Ils sont mobiles par rapport au promeneurdont on dsire obtenir la position. Pour valuer les distances, il faut disposer chaqueinstant des temps quindiqueraient des horloges fictives fixes par rapport au sol et setrouvant au mme endroit que les satellites. Cest ici quintervient le phnomne de dilatationdes dures : si un observateur terrestre mesure la priode de lhorloge atomique dunsatellite, il mesurera une priode toujours plus grande.

Localisation et ordre de grandeur

Si lon souhaite se positionner au mtre prs, il faut faire des mesures de dures moins de30 ns prs, ce qui impose dutiliser des horloges trs prcises. Les corrections relatives,

lies au phnomne de dilatation des dures, sont de lordre de2

2

2

1

c

v, ce qui reprsente par

exemple 83 ps par seconde et donc les horloges embarques retardent de 7,2 s par jour,ce qui, exprim en terme de distance, reprsente une drive de positionnement de plus dedeux kilomtres par jour. On note bien que cette drive doit imprativement tre corrige.

Il est ncessaire de prendre en compte un autre effet dcrit par la relativit gnrale. Pourles horloges des satellites, la gravit est plus faible quau niveau du sol. Les horloges dessatellites ont un rythme augment et donc avancent par rapport celles situes au niveau dusol. Cette avance est de lordre de 45,7 s par jour.

Si lon combine les deux effets prcdents, on constate que les horloges des satellitesavancent de 45,7 7,2 = 38,5 s par jour. En pratique, un synthtiseur de frquence permetde compenser cette avance.

Lexemple du positionnement utilisant le systme GPS ou Galilo est une illustrationparticulirement attractive et pertinente de la ncessit de la prise en compte de correctionsrelativistes et de la ralit du phnomne de dilatation des dures.A partir de cet exemple, le professeur peut trs aisment laborer des activits de synthse

qui utilisent des notions simples de cinmatique et des connaissances exigibles relatives la mcanique et au temps en relativit restreinte.


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III.Problmes connexes__________________________________________________________

Les questions traites de manire plus brve ci-aprs ne sont pas incluses dans leprogramme de TS. Elles peuvent nanmoins tre abordes en accompagnementpersonnalis, dans le cadre dactivits dapprofondissement.

III.1. La question de la simultanit

Prsentation

Deux vnements sont simultans par rapport un rfrentiel donn sils se produisent aumme instant. Ils ont donc la mme coordonne temporelle dans ce rfrentiel.

Largumentation peut tre prsente de la manire suivante.

On considre deux clairs qui frappent simultanment dans le rfrentiel du quai en A1 et B1un train 1 immobile dans une gare, un observateur de ce train 1 plac en O1 juste au milieude A1 et B1 verra les deux flashs lumineux arriver en mme temps et pourra dduire que cesvnements sont simultans dans le rfrentiel de ce train.

Un second train (train 2), qui roule la vitesse vr

par rapport au quai, est aussi touch par

ces deux clairs en A2 et B2, un observateur li au train 2 est plac en O2 gale distancede A2 et B2. La figure 1 illustre le problme linstant (mesur dans le rfrentiel li au train1) o les deux clairs frappent les deux trains.

figure 1 : situation initiale (par rapport au rfrentiel du train 1)

figure 2 : les deux flashs lumineux arrivent en O1 (par rapport au rfrentiel du train 1)

On constate clairement que, pour un observateur du rfrentiel du train 1, le flash issu delclair B arrive en O2 avant celui de lclair A. Il est naturel

32 de supposer quil en est demme pour lobservateur du train 2 plac en O2. Comme A2 et B2 sont gale distance deO2, supposer que la vitesse de la lumire est la mme dans le rfrentiel du train 2 revient imposer que dans le rfrentiel li au train 2 lclair a frapp B2 avant A2. Il y a donc relativitde la simultanit.

32Il faut supposer que lordre des vnements arrives des flashs lumineux en O2 est le mme dans les deux

rfrentiels.

A2

A1

O2

O1 B1

B2 v

r

train 2

train 1

clair A clair B

A2

A1

O2

O1 B1

B2vr

train 2

train 1


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Commentaires

Dans cette prsentation, les deux vnements dont on discute la simultanit sont bienlimpact des deux clairs en A2 et B2

: ils sont simultans dans le rfrentiel du quai (donc dutrain 1) et non simultans par rapport au rfrentiel du train 2. Il ne faut pas confondre cettequestion avec celle de la rception des deux flashs lumineux par les deux observateurssitus en O1 et O2.

Lenseignement essentiel que lon peut tirer de la relativit de la simultanit est clairementprsent par le texte dEinstein33 suivant : Des vnements qui sont simultans par rapport la voie ferre ne sont pas simultans par rapport au train et inversement (relativit de lasimultanit). Chaque corps de rfrence (systme de coordonnes) a son temps propre ;une indication de temps na de sens que si lon indique le corps de rfrence auquel elle serapporte .Llment important de lanalyse est bien linvariance de c: la vitesse de la lumire est lamme dans tous les rfrentiels galilens.Il convient dinsister sur le fait que labandon de lide dun temps absolu permet dersoudre le problme de la compatibilit entre invariance de la vitesse de la lumire dans levide et principe de relativit.

Comme pour le thme de la dilatation des dures, on peut trouver des animations34

trsattractives sur le thme de la simultanit. Il convient galement de les analyser pour enpercevoir les limites au niveau des reprsentations quelles induisent.

III.2. Les diagrammes35 despace-temps

Principe

Pour dcrire les vnements en relativit, on peut utiliser des diagrammes36

despace-temps.Dans un souci de simplification, on se limitera une dimension spatiale. On dfinit alors leplan (x ; ct). Un point du plan dfinit un vnement par ses coordonnes spatio-temporelles.Les lignes horizontales reprsentent les lignes de simultanit et les lignes verticales sontassocies au chemin spatio-temporel (ou ligne dunivers) de lvolution dans le temps dunphnomne qui se droule en un lieu fixe.

33Albert Einstein, La thorie de la relativit restreinte et gnrale , pages 29 et 30, Dunod 1999

34

http://www.scivee.tv/node/302535On pourra consulter louvrage de Tatsu Takeuchi, An illustrated Guide to Relativity , Cambridge, University

Press, 201036

Encore appels diagrammes de Minkowski quil a introduits en 1908.

O

Diagramme despace-temps

x

ct

lignes desimultanit


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Il est possible par exemple de reprsenter les vnements dcrits dans le paragraphe sur lasimultanit dans le rfrentiel du quai. Les signaux tant des signaux lumineux, les pentesdes deux lignes dunivers sont 1 ou -1.Le diagramme fait apparatre que les deux clairs sont bien simultans dans le rfrentiel duquai et quils sont reus simultanment en O1 la date to.

Lignes dunivers

Un diagramme despace-temps permet galement de dcrire les lignes dunivers desjumeaux du paradoxe des jumeaux de Langevin. Le jumeau voyageur voyage lallercomme au retour sur une fuse qui vole 0,8c, la dure du demi-tour est ngligeable et ladistance parcourir laller comme au retour est de 8 a.l. En se plaant du point de vue dujumeau terrien rest sur Terre, on peut noter quen diagramme (x ; ct) la pente de la lignedunivers du jumeau voyageur est de 1/0,8 = 1,25. Le point O est choisi comme originedu temps et de lespace.

Jumeaux de Langevin : en bleu le voyageur , en rouge le terrien

x(a.l.)O 8

x

ct

OO1A1 B1

cto

ct(a.l.)

10

20

voyageretour

voyagealler


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On peut enfin voquer le cne de lumire : dorigine O, il est dlimit par les deux droitesde pente 1 et -1. Chacune de ces droites correspond la ligne dunivers dun signallumineux. On dlimite ainsi trois domaines nomms : le futur, le pass et lailleurs.

Le futur et le pass sont constitus des rgions o les vnements peuvent avoir un liencausal avec le prsent (0,0), les vnements associs aux points de lailleurs ne peuventni affecter le prsent ni tre affects par le prsent.

Commentaires

Les diagrammes despace-temps peuvent constituer un support visuel intressant qui permetdappuyer une partie du programme un peu abstraite. Ils ne trouveront leur vritable intrtque dans lenseignement suprieur o ils peuvent tre utiliss comme outil de visualisationdes changements de repres en relativit37.La mise en uvre de logiciels de visualisation des lignes dunivers peut tre envisage. Il

faut nanmoins tre attentif deux points : dune part, cette mise en uvre doit apporter uneaide llve et donc ne pas constituer un obstacle supplmentaire ; dautre part, llvedevra bien faire la diffrence avec la trajectoire dune particule dans lespace.

III.3. Contraction des longueurs

Le programme de TS ne mentionne pas le phnomne de contraction des longueurs ,cest un choix dlibr. Ce phnomne peut cependant tre aisment introduit ensappuyant sur la dilatation des dures38. Il permet, dans le problme de la dsintgration

des muons cosmiques, danalyser la situation dans le rfrentiel li aux muons enmouvement et de trouver ainsi davantage de cohrence lensemble (voir paragraphe II.4.).

Les lves qui continueront dans la voie scientifique auront le plaisir de complter leur visionde la relativit en dcouvrant par exemple les notions dintervalle entre deux vnements et dinvariants .

37 Cf. lannexe 238 On pourra par exemple consulter louvrage de D.C.Giancoli, Physique Gnrale 3 , De Boeck, 1993, page

207

x

ct

O

pass

futur

ailleurs ailleurs


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Annexe 1 : le programme et les commentaires

Temps et relativit restreinte

Temps et relativit restreinteInvariance de la vitesse de la lumire et caractrerelatif du temps.

Postulat dEinstein. Tests exprimentaux delinvariance de la vitesse de la lumire.

Notion dvnement. Temps propre.Dilatation des dures.Preuves exprimentales.

Savoir que la vitesse de la lumire dans le videest la mme dans tous les rfrentiels galilens.

Dfinir la notion de temps propre.Exploiter la relation entre dure propre et duremesure.Extraire et exploiter des informations relatives une situation concrte o le caractre relatif dutemps est prendre en compte.

Temps et relativit restreinte : introduction au programme de TS

Temps, mouvement et volution

La dfinition du temps atomique et la ralisation des horloges associes font accder deschelles de prcision telles quelles mettent directement en vidence le caractre relatif dutemps en fonction de la vitesse relative de lhorloge et de lobservateur, qui est la base dela relativit restreinte.

Les postulats dEinstein (1905), qui constituent cette base, aboutissent affirmer que lavitesse de la lumire dans le vide est la mme dans tous les rfrentiels galilens. Cest uneconstante fondamentale de la physique.

Ltude de cette proprit fondamentale dans le cadre dun enseignement illustre bien la

problmatique du choix didactique face la subtilit de la dmarche scientifique. Cettesubtilit est en loccurrence celle de linterrogation dEinstein se posant la question de lunitde la physique, entre llectromagntisme faisant apparatre une vitesse de propagation desondes dans le vide indpendante du rfrentiel et la mcanique newtonienne posantladditivit des vitesses, sans que lon sache vraiment si la rponse dEinstein avait pu treinspire de tests exprimentaux comme lexprience de Michelson et Morley.

La rponse dEinstein sous forme de postulat remet en cause le cadre de la mcaniquenewtonienne, savoir une vitesse de la lumire relative et un temps absolu, au profit dunevitesse de la lumire absolue et un temps relatif.

Linvariance de la vitesse de la lumire dans le vide a t abondamment confirme parlexprience (prisme mobile dArago 1810, Michelson et Morley 1887, Alvger 1964, HallBrillet 1979, toiles doubles,). La libert didactique du professeur consiste faire un choix,notamment entre une approche historique, pouvant demble annoncer le postulat et le fairesuivre par des tests exprimentaux, et une approche plus pdagogique partant desrsultats exprimentaux pour rendre plus naturelle ensuite lhypothse dEinstein. En cesens le programme se prsente selon un ordre qui ne saurait tre prescriptif, selon lespritgnral qui lanime.

Il en va de mme du caractre relatif du temps, entre ses notions affrentes (vnement,temps propre, temps mesur, dilatation des dures) et ses confirmations exprimentales ousituations concrtes (dsintgration des muons dans latmosphre, particules instables dansles acclrateurs, horloges atomiques embarques, GPS,). A ce titre, on remarquera quela dilatation des dures se prte analyse quantitative : la relation tm = tp avec

= 1/(1 (v/c)2)1/2 entre dure mesure et dure propre peut tre aisment justifie (horlogede lumire, exprience de la lumire mise dans un bateau).


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D.Obert 01/201228

Annexe 2 : Diagrammes despace-temps

Lobjectif de cette annexe est de donner quelques complments sur les diagrammes enmontrant comment, par exemple, ils permettent de prsenter la question de la simultanit.

La transformation de Lorentz-Poincar

On considre deux rfrentiels galilens R et R. R est en translation rectiligne par rapport

R la vitesse xeevr

. Le lien entre les coordonnes dun vnement (x,y,z,ct) dans R et celles

dans R (x,y,z,ct) en supposant que les origines O et O de R et R concident aux instants t

= t= 0 constitue la transformation de Lorentz-Poincar.

La transformation de Lorentz-Poincar :

( )

( )'x'ctct'zz

'yy'ct'xx

ee

ee

+=

=

=+=

avecc

vee = et

2

2

1

1

c

vee

=

Les diagrammes despace-temps

Ils permettent dintroduire de manire lgante et gomtrique la problmatique duchangement de rfrentiel.

R R

y

z

x

x

z

y

ev

O O


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Lecture des coordonnes dans les deux rfrentiels

On peut souligner que etan = et que suivantxet ctil faut multiplier la valeur lue par le

coefficient2

2

1

1

e

e

+.

Lignes de simultanit

Les vnements A1 et A2 sont simultans dans R car ils sont sur une mme ligne de

simultanit de R mais pas dans R.

De mme les vnements B1 et B2 sont simultans dansR car ils sont sur une mme ligne

de simultanit de R mais pas dans R.

Ceci illustre de manire limpide la relativit de la simultanit

lignes de simultanit

pourR

lignes de

simultanit ourR

x

ct

O

x

ct

A1 A2

B1

B2

x

ct

O

x

vnement A

ct

xA

xA

ctA

ctA

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