RELATIONS MTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE

I. Aire dun triangle quelconque Laire A du triangle ABC est: OrDans lexpression de A, on remplace h pardonc

On peut dmontrer aussi que:Laire dun triangle quelconque est gale au demi-produit de deux cts par le sinus de leur angle.

Calculer laire du triangle ABCDonnes du problme:a = 8; c = 6; Application:

II. Relation entre les cts et le sinus de langle oppos. Multiplions gauche et droite par 2Divisons gauche et droite par cCe qui est quivalent

On pourrait dmontrer de la mme manire:DoncDans un triangle, les cts sont proportionnels aux sinus des angles opposs.

Application:Calculer les mesures des angles B et C du triangle ABC Donnes du problme:a = 35; c = 20;

On rappelle que dans un triangle, la somme des mesures des angles est gale 180, soit radians.

III. Relation entre les cts et le cosinus de langle oppos: Dans lexpression de BC, remplaons BH par lexpression trouve ci-dessus.Dveloppons cette expression: attention lidentit remarquable:Dans le triangle rectangle BHC, on peut crire ( Pythagore)Or,et

On rappelle que:doncOr, dans le triangle AHC:Remplaons donc AH+HC par AC.

OrdoncRemplaons dans BC, AH par cette expression:Ou bien, en changeant lordre des termesCe qui scrit aussi:

On dmontrerait de la mme manire:Dans un triangle, le carr dun ct est gal la somme des carrs des deux autres cts diminue de leur double produit par le cosinus de leur angle.

Application:

On donne OA = 5; AB = 3. Calculer OB. On utilisera, dans le triangle OAB, la formule:On rappelle que langle plat, cest dire de 180 vaut radians.Dans le triangle OMA, on a :Rduisons au mme dnominateur:doncIl faut donc dterminer la mesure de langle A dans le triangle OAB.

Rduisons au mme dnominateur:doncCe qui donne:Dans le triangle AOM, on a:

Dans le triangle OAM, on a:Donc, dans le triangle OAB, on a:

Reprenons notre formule:Il nous reste remplacer chaque terme par sa valeur: