Recherche Opérationnelle : Cours 3PCM : Complément du cours

Prof Kaninda Musumbu

1Université de BordeauxM1 - MIAGE

K Musumbu Warshall

PCM entre deux sommets quelconques

objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.

RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que

∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k

Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.

K Musumbu Warshall

PCM entre deux sommets quelconques

objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.

RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que

∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k

Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.

K Musumbu Warshall

PCM entre deux sommets quelconques

objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.

RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que

∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k

Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.

K Musumbu Warshall

PCM entre deux sommets quelconques

objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.

RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que

∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k

Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.

K Musumbu Warshall

PCM entre un couple de sommets quelconques

Algorithme

K Musumbu Warshall

Exemple

K Musumbu Warshall

Exécution de l’algorithme

Initialisation

K Musumbu Warshall

Exécution de l’algorithme

Itération : premier tour

K Musumbu Warshall

Exécution de l’algorithme

Itération : deuxième tour

K Musumbu Warshall

Exécution de l’algorithme

Itération : troisième tour

K Musumbu Warshall

Exécution de l’algorithme

Itération : quatrième tour

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.

Matrice initiale k = 1 :

M =

1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0

Initialisation k = 0 :

D0 = M

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.

Matrice initiale k = 1 :

M =

1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0

Initialisation k = 0 :

D0 = M

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.

Matrice initiale k = 1 :

M =

1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0

Initialisation k = 0 :

D0 = M

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Matrice de Père k = 0Matrice initiale :

Pere0 =

1 2 3 4 51 NIL NIL NIL NIL NIL2 NIL NIL NIL NIL NIL3 NIL NIL NIL NIL NIL4 NIL NIL NIL NIL NIL5 NIL NIL NIL NIL NIL

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Itéeartion k = 1 :

D1 =

1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 5 −5 0 −25 ∞ ∞ ∞ 6 0

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Matrice de Père k = 1

Pere0 =

1 2 3 4 51 NIL 1 1 NIL 12 NIL NIL NIL 2 23 NIL 3 NIL NIL NIL4 4 1 4 NIL 15 NIL NIL NIL 5 NIL

Reamarque

Pere[i , j] signifie que j est le père de i

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Matrice de Père k = 1

Pere0 =

1 2 3 4 51 NIL 1 1 NIL 12 NIL NIL NIL 2 23 NIL 3 NIL NIL NIL4 4 1 4 NIL 15 NIL NIL NIL 5 NIL

Reamarque

Pere[i , j] signifie que j est le père de i

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Itéeartion k = 5 :

D5 =

1 2 3 4 51 0 1 −3 2 −42 3 0 −4 1 −13 7 4 0 5 34 2 −1 −5 0 −25 8 5 1 6 0

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Matrice de Père k = 5

Pere5 =

1 2 3 4 51 NIL 3 4 5 12 4 NIL 4 2 13 4 3 NIL 2 14 4 3 4 NIL 15 4 3 4 5 NIL

Reamarque

Pere[i , j] signifie que j est le père de i

K Musumbu Warshall

Corrigé Exercice 1

Matrice de Père k = 5

Pere5 =

1 2 3 4 51 NIL 3 4 5 12 4 NIL 4 2 13 4 3 NIL 2 14 4 3 4 NIL 15 4 3 4 5 NIL

Reamarque

Pere[i , j] signifie que j est le père de i

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 2Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ci-dessous

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;

l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11

Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;

l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11

Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;

l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11

Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?

K Musumbu Warshall

Travaux Dirigés

Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;

l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11

Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?

K Musumbu Warshall