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Mathmatiques pour lEconomie et la Gestion Sance dExercices Dirigs Leon 1

Sance dexercices dirigs Leon 1 Exercice 1 : On donne, dans le plan, 5 points A(2,5), B(3,7), C(6,4),D(4,3), E(2,3) question 1 Reprsentez ces 5 points sur un graphique . question 2 Caractrisez par des inquations le pentagone dlimit par ces 5 points. question 3 Placez dans le dessin le point F(3, 4). On dcide de retirer du pentagone prcdent le carr de diagonale EF. On obtient ainsi une nouvelle figure 7 cots. Est il possible de caractriser cette figure par des ingalits ? Exercice 2 : question 1 Tracer dans le plan les droites dquations y = 2x + 5 y = 1.5x - 6 question 2 Calculer les coordonnes du point dintersection M(x0, y0) de ces deux droites Exercice 3 : a) Les droites dquations 3x + 5y = 5 6x + 10y = 9 sont-elles parallles ? Si non, calculez les coordonnes de leur point dintersection. b) Mme question pour les droites dquations 2x + 7y = 9 1.4x + 4.9y = 14 c) Mme question pour les droites dquations 5x + 7y = 6 4x + 5.2y = 12 Exercice 4 a) Calculez la pente de la droite dquation 3x + 7y = 18 b) Parmi les 8 droites dont les quations sont les suivantes, lesquelles sont parallles entre elles ?

12.6x - 8.8y = -7 1.5x + 2y = 143x + 5y = 19 9x - 6y = -3

1.2x + 4.2y = 12 1.8x + 3y = 122x + 7y = 21 5.4x - 3.6y = +6

Exercice 5 Reprsentez sur un plan lensemble des points M(x, y) tels que 3x + 5 y 3000

6x + 2y 3600 3x + 2y 2400 12x + 8y 12000

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Exercices dirigs Leon 2 Exercice 1 Dans chacun des deux questions suivantes, la variable B reprsente le bnfice dune fruitire la variable x reprsente la quantit x de yaourts maison vendus et la variable y la quantit de tome de Savoie. a) B = 5x + 20y Reprsentez sur un plan les courbes diso-bnfice. b) B = 6x + 15y Reprsentez sur le graphique suivant les courbes diso-bnfice

0

25

50

75

100

0 20 40 60 80 100 120x

y Exercice 2 Rsoudre par la mthode graphique le programme maximiser B = 5x + 4y 2x + 4y 36 2x + 3y 30 x 0 , y 0 Exercice 3 Rsoudre par la mthode graphique le programme : minimiser A = 4x + 6y x + 3y 9 4x + 2y 16 x 0 , y 0

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Exercice 4 On se donne dans le plan, le polygone convexe OABCDE. On sait simplement que

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2 3 8 13 18

AB

C

D

E x

y

O

coordonnes pente des droites A(0,15) droite AB pente -2/5 B(5,13) droite BC pente -2/3 C(11,9) droite CD pente -3/2 D(13,6) droite DE pente -3 E(15,0)

Cherchez, dans ce domaine, le ou les points qui maximisent les fonctions a) 4x + 4y b) 2x + 2y c) 3x + 2y d) 5x + 2y Exercice 5 : Des militaires doivent organiser au moindre cot un pont arien entre le centre de Durlaboue (Guyane) et le poste de Mollaboue (dans la fort o une zone a t dgage pour latterrissage dhlicoptres) pour transporter des hommes et du matriel : Ils ont en effet 90 tonnes de matriel transporter 140 personnes transporter Ils disposent pour cela de 2 hlicoptres , lAvette et la Colombe qui pourront effectuer autant de voyages que ncessaire. Chaque hlicoptre dispose de deux soutes : dans la premire on ne peut mettre que des hommes, dans la seconde que du matriel. L Avette peut transporter en un seul voyage 20 personnes accompagnes de 6 tonnes de matriel. La Colombe peut transporter en un seul voyage 10 personnes accompagnes de 15 tonnes de matriel . Le prix de revient dun voyage aller retour avec l Avette est de 2 cus (la monnaie locale peu prs quivalente 1000 francs), il est de 3 cus avec la Colombe. question 1 : On dsigne par x le nombre de voyages queffectue lAvette et y le nombre de voyages queffectue la Colombe. Les militaires doivent dterminer un couple de nombres (x, y), ce que lon appellera un plan de manuvre.

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a) Donner en fonction de x et y cot de revient de x voyages effectus par lAvette et de y voyages effectus par la Colombe. b) Les militaires envisagent le plan de manuvre (6,9) : lAvette effectuera 9 voyages et la Colombe 6 voyages, quel est le cot associ ? Quelle relation lie x et y si le plan de manuvre (x, y) cote autant que le plan de manuvre (6,9) ? c) Reprsentez sur un graphique lensemble des plans de manuvre qui cotent autant que le plan de manuvre (6,9) . Dsignez sur ce graphique les plans de manuvre qui cotent plus cher que le plan de manuvre (6,9) et ceux qui cotent moins cher . d) Reprsentez sur le mme graphique lensemble des plans de manuvre (x, y) qui cotent autant que le plan de manuvre (5,7). question 2 a) A quelle condition le plan de manuvre (x, y) permet-il de transporter tous les hommes ? A quelle condition le plan de manuvre (x, y) permet-il de transporter tout le matriel ? b) Reprsentez sur un dessin lensemble des plans de manuvre (x, y) qui permettent de transporter tous les hommes et tout le matriel. c) En vous servant des rsultats de la question 1, quel est le plan de manuvre qui permet de raliser le transport des hommes et du matriel au moindre cot ? question 3 Ltat major dcide de raliser le transport des hommes et du matriel dans le temps le plus court possible (il nest plus question de cot, il faut faire vite). Une rotation de lAvette (un voyage aller retour) prend 5 heures, une rotation de la Colombe prend 7 heures. Quel plan de manuvre permet dassurer le transport des hommes et du matriel le plus vite possible. Dans la suite des exercices sur la leon 2, nous allons insister sur les problmes de mise en quation . En effet, une des grandes difficults de cette partie du cours est quil faut passer dun problme pos en termes conomiques , cest dire en langage ordinaire un problme mathmatique. Lpreuve de mise en quation tant passe, il faudra tenter de rpondre aux questions poses, On pourra sappuyer, pour ce faire, sur les problmes a moiti rsolus donns plus bas . Nous nous restreignons ici des problmes comportant deux variables. Nous verrons plus loin dautres problmes de mise en quations comportant 3 variables ou plus .

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A Exercices portant sur la production Exercice 6 Une entreprise vend deux produits A et B 205 et 216 F lunit. La fabrication de chacun de ces produits entrane les charges suivantes :

A B Matire premire 50 F 85 F

Opration n1 1 h 1.5 h Opration n2 0.5 h 1 h opration n3 2 h 1 h

Lopration n1 est mene sur une machine M1, lopration n2 est mene sur une machine M2, lopration n3 est mene sur une machine M3. Lentreprise dispose de 2 machine M1, dune seule machine M2 et de 2 machines M3. Chaque machine fonctionne au plus 120 h par mois. Le cot horaire de fonctionnement de chaque machine est de 20 F pour M1, 30 F pour M2, et 40 F pour M3. question 1 : dterminer les profits unitaires pour un produit de type A et pour un produit de type B. question 2 : dterminer le programme de production qui maximise le profit total du mois. question 3 : les machines de type M1 doivent souvent tre mises en rparation : du coup, ce ne sont plus 240 heures au total que lon dispose pour faire lopration n 1, mais T heures , T tant infrieur ou gal 240 . On envisage de faire dcrotre T vers 0. A partir de quelle valeur de T va ton devoir modifier la production. Dcrire alors qualitativement comment va se rorganiser la production. Y a t-il une valeur de T pour laquelle on ne produira plus quun seul produit ? Lequel ? Exercice 7 Une entreprise fabrique des magntophones et des postes de tlvision. 150 ouvriers travaillent la fabrication. Le prix de revient, pices et main duvre dun magntophone est de 400 F et celui dun poste de tlvision est de 450 F. Les services comptables de lentreprise donnent la consigne de ne pas dpasser la somme de 360 000 F par semaine, pices et main duvre. Chaque ouvrier travaille 40 heures par semaine, et les chefs de service estiment quil faut 10 heures de main duvre douvrier pour fabriquer un magntophone, et 5 heures de main duvre douvrier pour fabriquer un poste de tlvision. question 1 Les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 500 magntophone et 500 postes de tlvision par semaine. Les prix de vente sont tels que lentreprise, tous frais pays, fait un bnfice de 240 F par lectrophone et de 160 F par poste de tlvision. Dterminer la fabrication qui assure un bnfice maximum l entreprise. question 2 par suite de l arrive dun nouveau concurrent qui casse les prix, les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 300 magntophone et 250 postes de tlvision par semaine. Les prix de vente restent inchangs. Dterminer la fabrication qui assure un bnfice maximum l entreprise.

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Exercice 8 Une usine est spcialise dans la fabrication de deux types de chaises longues : des chaises longues de luxe et des chaises longues modernes. Une chaise longue de luxe ncessite 3 m2 de toile et une chaise longue moderne 2 m2 de toile; le stock journalier de toile est de 36 m2. 10 ouvriers travaillant 6 heures par jour sont affects la fabrication des chaises longues, et il faut 6 heures pour la fabrication dun chaise longue de luxe et 2 heures pour celle dun chaise longue moderne. Les montants de chaises longues sont en bois : il faut compter 6 mtres de tasseaux pour faire une chaise longue de luxe et 8 mtres de tasseaux pour faire une chaise longue moderne : le stock journalier de lentreprise est de 120 mtres. Le bnfice sur un chaise longue de luxe est de 200 F et celui dun chaise longue moderne est de 240 F. question 1 Rechercher la combinaison des productions qui maximise la bnfice de lentreprise si elle peut couler sans contrainte toute sa production. question 2 A la suite dun accord avec les fabricants de chaises longues, lentreprise accepte de limiter sa production : elle ne vendra pas plus de F0 chaises longues en tout. A partir de quelle valeur de F0 devra-telle limiter le travail de ses ouvriers ? Exercice 9 Une compagnie minire possde deux puits diffrents dextraction dun certain minerai. Les puits sont en deux lieux distincts et nont pas la mme capacit de production. Le minerai est dabord concass, puis rang dans lune des trois qualits : minerais riche, moyen, pauvre. Les trois qualits sont demandes par le march. La compagnie minire na quun seul client : une fonderie auprs de laquelle elle sest engage fournir au moins 12 tonnes de minerai riche, au moins 8 de moyen et au moins 24 tonnes de minerai pauvre par semaine. Lexploitation du premier puits cote la compagnie 200 cus par jour et celle du second puits 160 cus par jour. Mais, en un jour dexploitation, le premier puits produit 6 tonnes de minerai riche, 2 tonnes de minerai moyen et 4 tonnes de minerai pauvre.; le second puits fournit en un jour dexploitation 2 tonnes de minerai riche, 2 tonnes de minerai moyen et 8 tonnes de minerai pauvre. question 1 Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus conomiquement possible ? question 2 On suppose maintenant que, en plus des cots dexploitation, la compagnie minire doit supporter des cots de transport : toute la production des puits est envoye la fonderie . Le cot de transport est de 10 cus par tonne de minerai transporte du premier puits vers la fonderie et de 20 cus par tonne de minerai transporte du second puits. Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus conomiquement possible ?

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B Exercices comportant 3 variables que lon ramne 2 variables Exercice 10 Les halles dune ville reoivent des pommes de terre de 3 kolkhozes ; celles du premier cotent 4 kopecks le kg, celles du second 3 kopecks le kg et celles du troisime, 5 kopecks. Pour transporter les pommes de terre, chaque kolkhoze est reli aux halles par un transporteur bandes. Pour transporter une tonne de pommes, il faut une minute au premier kolkhoze, 4 minutes au second et 3 minutes au troisime. Pour que le produit arrive temps aux halles, il faut que les 12 tonnes ncessaires chaque jour ne soient pas transportes en plus de 40 minutes. Le premier kolkhoze peut fournir chaque jour au plus 10 tonnes au plus, le second 8 tonnes au plus et le troisime au plus 6 tonnes ? Combien faut-il amener de pommes de terre de chaque kolkhoze pour que le prix global des pommes de terre soit minimum, sachant que question 1 les trois transporteurs bande peuvent fonctionner simultanment question 2 Supposons maintenant que les trois transporteurs bande peuvent fonctionner simultanment et que le cot dapprovisionnement depuis le premier kolkhoze augmente fortement : dcrire qualitativement comment va varier la solution optimale en fonction de ce prix. question 3. Par pnurie dlectricit, un seul transporteur peut fonctionner la fois, et les cots sont ceux de la question 1 Pour rsoudre cet exercice, on appellera x la quantit fournie par le premier kolkhoze, y celle fournie par le second, puisque le total fourni est de 12 tonnes, la quantit fournie par le troisime kolkhoze est donc gale ( 12 x y ) Exercice 11 Pour cet exercice, on ne donne pas de graphique daide Un fermier lve des poulets, des canards et des dindons. Il veut avoir 500 volatiles, mais pas plus de 300 canards la fois. Supposons que llevage dun poulet revienne 15 francs, celui dun canard 10 F celui dun dindon 40 F. Admettons que le fermier puisse vendre ses poulets 30 F pice, les canards 20 F pice et les dindons D francs. Il voudrait savoir quelles volailles il faut lever pour raliser le profit maximum. question 1 Soit x le nombre de poulets et y le nombre de canards. Le nombre de dindons est donc 500 - x - y. Quelles contraintes portent sur x et y ? Reprsentez sur un graphique lensemble des couples (x, y) possibles. question 2 donnez en fonction de D, x et y lexpression du profit. question 3 Dans chacune des hypothses suivantes, donnez la politique dlevage optimale du fermier : a) D = 60 F b) D = 50 F c) D = 55 F

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C Exercices comportant une utilisation forcene de la rgle de trois Pour les exercices suivants, on ne donne pas de graphique daide Exercice 12 On dispose dun camion de 7 tonnes de charge utile, et dune capacit maximale de 12 m3. Il sagit de transporter une mme destination des marchandises en vrac dont le nom est secret et que nous dsignerons par leur code X33 et Y25 avec les frets unitaires suivants : 30 F par tonne pour le X33 et 20 F par m3 pour le Y25 . Le poids spcifique du X33 est de 1 tonne par m3, celui du Y25 est de 0.25 tonnes par m3. question : Le camion ne peut effectuer quun seul voyage : comment doit-on composer le chargement pour obtenir le meilleur chiffre daffaires ? Exercice 13 Un fabricant de plats cuisins commercialise des cannelloni et des ravioli prsents en barquettes de 500 g, vendues respectivement aux prix de 42 F et 33 F lunit. Ces barquettes doivent tre stockes au froid ds leur fabrication. Les quantits dingrdients disponibles permettraient de fabriquer jusqu 600 barquettes de cannelloni et 500 barquettes de ravioli lors de la prochaine prparation, mais les rfrigrateurs , dj chargs, ne peuvent accueillir que 350 barquettes au maximum. Toutefois, certains ingrdients sont eux-mmes conservs au froid, de sorte que leur utilisation libre les espaces de stockage rfrigrs quils occupent. Ainsi, la fabrication de deux barquettes de cannelloni libre la place de stockage dune barquette, de mme, la fabrication de quatre barquettes de ravioli libre la place de stockage de trois barquettes. Sachant que les cots unitaires de fabrication des cannelloni et des ravioli sont respectivement de 40 F et 33 F le kilo, et que le cot des barquettes vides est de 2 F pour une barquette de cannelloni et de 1,50 F pour une barquette de ravioli, on souhaite dterminer le programme de fabrication qui maximise le bnfice du fabricant. question 1 Le fabricant dcide de produire un nombre x de barquettes de cannelloni et un nombre y de barquettes de ravioli. Donnez en fonction de x et y le nombre de barquettes dingrdients quil utilisera question 2 Compte tenu de la rponse la question 1 et des 350 places vides dans le rfrigrateur, quelle contrainte porte sur x et y pour que le fabriquant puisse mettre au frais sa production ? question 3 Rsoudre le problme du fabricant par la mthode graphique.

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D Exercice dit de programmation dynamique Exercice 14 Un levage de poules possde 10 poules et 32 ufs. Dans une priode donne, une poule peut, soit couver 4 ufs (jamais 3, ni 5 ), soit en pondre 6. Un uf couv une priode donne donne naissance une nouvelle poule ( cest trange, mais cest comme a). Le fermier veut utiliser tout ce dont il dispose durant deux priodes, la fin desquelles il vendra toutes ses poules et tous ses ufs

Il pourra utiliser au cours de la seconde priode les produits de la premire : en particulier, un uf non couv la premire priode pourra tre couv en seconde, un uf jamais couv peut tre vendu en fin de seconde priode.

Son problme est de maximiser son revenu en vendant , en fin de seconde priode ufs et poules. question 1 On note x le nombre de poules qui couvent en premire priode et y le nombre de celles qui couvent en seconde priode. a) donnez les contraintes qui portent sur x et y b) combien dufs et de poules obtient-on en fin de deuxime priode question 2 Les ufs se vendent 2 F pice et les poules 10F. Pour quelles valeurs de x et de y le revenu du fermier est-il maximum ?

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programmes a moitie rsolus problme 1 deux produits A et B (M1) x1 + 1.5 x2 240 (M2) 0.5x1 + x2 120 (M3) 2x1 + x2 120

x1 0, x2 0

0

40

80

120

160

200

240

280

0 60 120 180 240 300

M3M2

M1

x1

x2

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problme 2 magntophone et tlvision

(M1) 10x1 + 5 x2 6 000 (M2) 400x1 + 450x2 360 000

x1 0, x2 0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 200 400 600 800 1000

M1

M2

x2

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problme 3 chaise longue

(M1) 2x1 + 3x2 36 (M2) 6x1 + 8x2 120 (M3) 6x1 + 2x2 60

x1 0, x2 0

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

M1

M2

x1

x2

M3

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problme 4 mines

(M1) 6 x1 + 2x2 12 (M2) 2x1 + 2x2 8 (M3) 4x1 + 8x2 24

x1 0, x2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

M1

M2

x1

x2

M3

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problme kolkhoze (M1) 4x1 + x2 4 (M2) x1 + x2 12

x1 0, x2 0

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14

M1

M2

x1

x2

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Sance dexercices dirigs Leon 3 Le but de cette sance est de sexercer utiliser la mthode du Pivot de Gauss Exercice 1 : A laide de la mthode du pivot, rsoudre les trois systmes suivants :

a) 2 53 4

x yx y+ = =

96

2

36

4

ab

b) 3 9 7 15 6 5

4

x y zx y zx y z

+ = + =+ + =

c)

x y z tx y z tx y z tx y z t

+ + + = + =+ + =+ + =

52

2 22 2 3 4

Souvent, on doit rsoudre plusieurs fois le mme systme, mais avec des valeurs diffrentes. la tentation est alors forte de rsoudre une version paramtre des systmes . Supposons, par exemple que nous devions rsoudre les trois systmes :

2 6 94 5

2 6 64 2

2 64 1

x yx y

etx y

x yet

x yx y

= =

= =

= =

Il apparat que nous allons recommencer plusieurs fois le mme type de calculs. Aussi, on peut dcider de rsoudre un seul systme paramtre :

2 64

x yx y

= =

On rsout ce systme avec les nombres a et b comme des paramtres , puis on remplacera a et b par leurs valeurs pour obtenir les solutions des trois systmes proposs : le systme prcdent peut se rcrire sous la forme : (notez que lon a rajout deux colonnes pour les paramtres a et b ; bien entendu ,

le trait vertical qui spare les colonnes x, y / a, b est la place du signe =

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x y a b 2 -6 1 0 1 -4 0 1

Prenons comme ligne pivot la ligne du bas ( L2 ), on obtient : x y a b x y a b 2 -6 1 0 l1 = L1-2lp 0 2 1 -2 (1) -4 0 1 l2 = lp 1 -4 0 1 1 -4 0 1 lp = L2 Prenons comme ligne pivot la ligne du haut ( L1 ), on obtient : x y a b x y a b 0 (2) 1 -2 l1 = lp 0 1 0.5 -1 1 -4 0 1 l2 = L2+4lp 1 0 2 -3 0 1 0.5 -1 lp =(1/2) L1 le systme se rcrit :

y ax a= =

052 3. b

b

la solution du premier systme sobtient en remplaant a par 9 et b par 5 : x = 8 y = -0.5 la solution du premier systme sobtient en remplaant a par 6 et b par 2 : x = 6 y = 1 la solution du premier systme sobtient en remplaant a par -4 et b par 1 : x = -11 y = -3 Exercice 2 : En vous servant de raisonnements analogues trouvez les solutions des systmes :

a) 2 5

92 7

112 5

4x y

x yx y

x yx y

x y =+ =

=+ =

= + =

et et

b) x y zx y zx y z

x y zx y zx y z

x y zx y zx y z

+ + =+ = =

+ + =+ = = +

+ + =+ = = +

93 2 5

4

113 2 4

6

03 2 1

1 et et

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Sance dexercices dirigs Leon 4

exercice 1 Mettez les programmes linaires suivants sous forme canonique, puis sous forme de tableaux a) Maximiser S

S = 9x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5 (u1) 4x1 + 2x2 + 8x3 + 9x4 - 5x5 25 (u2) 5x1 + 4x2 + 6x3 - 8x4 + 5x5 34 (u3) 7x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 + 3x5 46 (u4) 3x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 + 2x5 29 (u5) 6x1 + 7x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5 32 x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0 b) maximiser T

T = 12a + 4b - 9c + 6d + 2e + 5f + 7g ( x ) 32a + 24b + 5c + 9d + 5e + 14f + 4g 543 ( y ) 23a + 31b - 9c + 6d + 9e + 11f - 12g 245 ( z ) 17a - 18b - 8c + 7d - 8e - 21f + 17g 351

a 0, b 0, c 0, d 0, e 0, f 0, g 0 exercice 2 a) Donnez les programmes linaires, sous forme canonique, puis sous forme initiale correspondants aux tableaux suivants : H a b c d u v w x 0 4 5 2 6 1 0 0 0 19 0 5 7 3 5 0 1 0 0 24 0 7 -4 2 8 0 0 1 0 34 0 4 2 5 3 0 0 0 1 38 1 -15 -18 -14 -18 0 0 0 0 0 H x y z t u1 u2 u3 u4 0 3 0 0 5 2 0 0 1 29 0 4 1 0 6 -6 0 0 0 17 0 2 0 0 3 0 2 1 0 12 0 4 0 1 5 5 3 0 0 23 1 26 0 0 28 -13 -7 0 0 149 b) Pour chacun de ces programmes dire sur quelle colonne on pivote, et pivotez. La solution obtenue est-elle optimale ? Dans le cas dune rponse affirmative, donnez cette solution.

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exercice 3 rsoudre les problmes suivants : a) maximiser S

S = 10x + 13y + 2z + 3t ( h1) 5x 4y 2z 3t 22 ( h2) 4x 5y 2z 5t 25 ( h3) 3x 4y 5z 2t 35 x 0, y 0, z 0, t 0

b) maximiser T T = 2a + 4b + 5c

( u ) a + 2b + 6c 42 ( v ) 2a + 5b + 3c 25 ( w ) 4a + 2b + 6c 26 a 0, b 0, c 0

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Sance dexercices dirigs Leon 5 exercice 1 On donne ici les tableaux initiaux et finaux obtenus par application de la mthode du simplex.

tableau initial : H x y z t u v w 0 2 6 12 1 0 0 0 13 0 3 7 2 0 1 0 0 14 0 5 6 8 0 0 1 0 17 0 4 3 6 0 0 0 1 21 1 -10 -15 -21 0 0 0 0 0

tableau final :

H x y z t u v w 0 0 0 1 0.085 -0.090 0.020 0 0.185 0 0 1 0 0.070 0.220 -0.160 0 1.270 0 1 0 0 -0.220 -0.120 0.360 0 1.580 0 0 0 0 0.160 0.360 -1.080 1 9.760 1 0 0 0 0.635 0.210 1.620 0 38.735

a) Donnez le programme linaire de maximisation que ce tableau est cens rsoudre( forme canonique et forme initiale), ainsi que sa solution. b) On suppose maintenant que les contraintes du problme sont changes et que le nouveau tableau initial est :

nouveau tableau initial : H x y z t u v w 0 2 6 12 1 0 0 0 12 0 3 7 2 0 1 0 0 15 0 5 6 8 0 0 1 0 18 0 4 3 6 0 0 0 1 22 1 -10 -15 -21 0 0 0 0 0

Donnez le nouveau programme pos par ce tableau ainsi que sa solution . exercice 2 On considre le tableau suivant :

H m n p q r s t 0 1 3 2 4 1 0 0 230 0 2 6 7 3 0 1 0 170 0 4 2 6 5 0 0 1 250 1 -8 -12 -13 -7 0 0 0 0

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a) Quel programme de maximisation ce tableau est il cens poser ? ( forme canonique et forme initiale),

b) Aprs application de la mthode du pivot, on obtient :

H m n p q r s t 0 0 0 -1.5 2.5 1 -0.5 0.0 127 0 0 1 0.8 0.1 0 0.2 -0.1 9 0 1 0 1.1 1.2 0 -0.1 0.3 58 1 0 0 5.4 3.8 0 1.6 1.2 572

Quelle est la solution du problme de maximisation ? c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du nouveau problme :

Maximiser H H = 8x + 12y + 13z + 7t (u) x + 3y + 2z + 4t 220 (v) 2x + 6y + 7z + 3t 190 (w) 4x + 2y + 6z + 5t 210 x 0, y 0, z 0, t 0

d) On s'intresse maintenant encore un nouveau problme :

Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 21t (u) x + 3y + 2z + 4t 220 (v) 2x + 6y + 7z + 3t 190 (w) 4x + 2y + 6z + 5t a x 0, y 0, z 0, t 0

Pour quelle valeur du paramtre a la solution de ce problme est elle obtenue "presque directement" par application du tableau prcdent ? exercice 3 On considre le tableau suivant :

H a b c d e f g 0 2 3 4 3 1 0 0 10 0 5 2 6 7 0 1 0 14 0 3 5 2 4 0 0 1 18 1 -10 -25 -32 -21 0 0 0 0

a) Quel programme de maximisation ce tableau est il cens poser b) Aprs application de la mthode du pivot, on obtient : H a b c d e f g

0 2/3 1 4/3 1 1/3 0 0 10/3 0 11/3 0 10/3 5 -2/3 1 0 22/3 0 -1/3 0 -14/3 -1 -5/3 0 1 4/3 1 20/3 0 4/3 4 25/3 0 0 250/3

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Quelle est la solution du problme de maximisation ? c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problme :

Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 19t (x) 2x + 3y + 4z + 3t 10 (y) 5x + 2y + 6z + 7 t 14 (z) 3x + 5y + 2z + 4 t 18 x 0, y 0, z 0, t 0

d) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problme :

Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 21t (u) 2x + 3y + 4z + 3t 10 (v) 5x + 2y + 6z + 7t 14 (w) 3x + 5y + 2z + 4t 18 x 0, y 0, z 0, t 0

exercice 4 On considre les deux tableaux suivants utiliss pour rsoudre un problme de programmation linaire.

tableau initial

H x y z t u v

0 2 4 1 0 0 0 24

0 3 1 0 1 0 0 15

0 4 3 0 0 1 0 24

0 2 3 0 0 0 1 30

1 -20 -10 0 0 0 0 0

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tableau final

H x y z t u v

0 0 0 1 2 -2 0 6

0 1 0 0 3/5 -1/5 0 21/5

0 0 1 0 -4/5 3/5 0 12/5

0 0 0 0 6/5 -7/5 1 72/5

1 0 0 0 4 2 0 108

a) quel programme ces tableaux sont-ils censs rsoudre ?(forme canonique et forme initiale) b) quelle est la solution de ce programme ? c) utiliser le graphique suivant pour rsoudre ce programme par la mthode graphique.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 6 12 18

3x + y = 15

2x + 4y = 24

4x + 3y = 24

2x + 3y = 30

x

y d) on envisage maintenant de modifier la fonction de cot : les paramtres de cot sont remplacs par H = 25x + 15y donnez la nouvelle solution de ce programme en utilisant d'une part la technique des tableaux, d'autre part la technique (l'astuce ! ) vue dans la leon 2.

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Sance dexercices dirigs Leon 6 Vous trouverez ci-aprs 5 couples de tableaux : les tableuax initiaux et finaux obtenus en adoptant l'algorithme du simplex. On demande pour chacun de ces couples :

a) donnez le programme de maximisation associ b) donnez son programme dual c) donnez la solution du programme intial et du programme dual. exercice 1

tableau initial 1 A q r s t u v w 0 2 3 6 7 1 0 0 21 0 3 4 2 5 0 1 0 43 0 4 2 6 3 0 0 1 17 1 -21 -24 -32 -18 0 0 0 0

tableau final 1

A q r s t u v w 0 0 1 3/2 11/4 1/2 0 -1/4 25/4 0 0 0 -25/4 -33/8 -5/4 1 -1/8 117/8 0 1 0 3/4 -5/8 -1/4 0 3/8 9/8 1 0 0 79/4 279/8 27/4 0 15/8 1389/8

exercice 2

tableau initial 2 Z a b c d e f g 0 3 -12 45 24 1 0 0 15 0 -8 5 32 15 0 1 0 26 0 2 4 16 15 0 0 1 32 1 -12 -15 -4 -9 0 0 0 0

tableau final 2

Z a b c d e f g 0 0 0 241/2 307/4 7/6 1 9/4 231/2 0 0 1 -7/6 -1/12 -1/18 0 1/12 11/6 0 1 0 31/3 23/3 1/9 0 1/3 37/3 1 0 0 205/2 327/4 1/2 0 21/4 351/2

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exercice 3 tableau initial 3

Q u1 u2 u3 u4 u5 u6 0 4 5 2 6 1 0 12 0 3 2 6 4 0 1 18 1 -24 -20 -24 -48 0 0 0

tableau final 3

Q u1 u2 u3 u4 u5 u6 0 9/14 13/14 0 1 3/14 -1/14 9/7 0 1/14 -2/7 1 0 -1/7 3/14 15/7 1 60/7 124/7 0 0 48/7 12/7 792/7

exercice 4

tableau initial 4 H x1 x2 x3 x4 x5 u v 0 2 3 5 7 5 1 0 18 0 4 5 3 2 4 0 1 14 1 -16 -30 -30 -28 -40 0 0 0

tableau final 4

H x1 x2 x3 x4 x5 u v 0 -2/3 -13/18 5/18 1 0 2/9 -5/18 1/9 0 4/3 29/18 11/18 0 1 -1/9 7/18 31/9 1 56/3 128/9 20/9 0 0 16/9 70/9 1268/9

exercice 5

tableau initial 5 M x y z1 z2 z3 z4 0 4 5 1 0 0 0 20 0 3 7 0 1 0 0 21 0 2 8 0 0 1 0 20 0 5 4 0 0 0 1 18 1 -12 -20 0 0 0 0 0

tableau final 5

M x y z1 z2 z3 z4 0 0 0 1 0 -9/32 -11/16 5/8 0 0 0 0 1 -23/32 -5/16 3/8 0 0 1 0 0 5/32 -1/16 15/8 0 1 0 0 0 -1/8 1/4 5/2 1 0 0 0 0 13/8 7/4 135/2

Exercice 4Exercice 5Exercices dirigs Leon 2T = 12a + 4b - 9c + 6d + 2e + 5f + 7g( x ) 32a + 24b + 5c + 9d + 5e + 14f + 4g ( 543( y ) 23a + 31b - 9c + 6d + 9e + 11f - 12g ( 245( z ) 17a - 18b - 8c + 7d - 8e - 21f + 17g ( 351H

T = 2a + 4b + 5cQuelle est la solution du problme de maximisatiH = 8x + 12y + 13z + 7tH = 9x + 22y + 28z + 21tQuelle est la solution du problme de maximisatiH = 9x + 22y + 28z + 19tH = 9x + 22y + 28z + 21tSance dexercices dirigs Leon 6

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