2A : Réacteurs non-idéaux

ECOULEMENTS DANS LES REACTEURS

DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR

H. DELMAS

A.M. WILHELM

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PLAN DU COURS :

I-DTS : définitions

II- DTS : détermination expérimentale

II-1- Traceur

II-2- Injection-impulsion

II-3- Injection-échelon

II-4- Méthode des deux mesures

III- MOMENTS

IV- REACTEURS IDEAUX

IV-1- Réacteur parfaitement mélangé

IV-2- Réacteur piston

V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS

V-1- Forme adimensionnelle

V-2- Echantillonnage

V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements

V-4- Réacteurs polyphasiques

VI- MODELES D’ECOULEMENT

VI-1- Bacs en cascade

VI-2- Modèle piston-dispersion

VI-3- Association de réacteurs idéaux

VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION

VII-1- Bacs en cascade-Associations de réacteurs idéaux

VII-2- Modèle piston-dispersion

VII-3- Modèle des filets en parallèle

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Introduction

Réacteur ouvert en régime d’écoulement permanent.

Temps de séjour d’une molécule : temps passé par une molécule dans

le réacteur.

Etat de mélange du réacteur relié à la distribution des temps de

séjours :

- RPiston : toutes les molécules ont le même temps de séjour

- RAC : temps de séjour très différents.

Objectifs du cours :

- Caractériser l’état de mélange d’un réacteur

- Identifier ses défauts d’écoulement

- Représenter le réacteur par un modèle

- Prévoir les performances en réaction

Démarche :

Distribution des temps de séjour

Exemples d’application :

Réacteurs monophasiques ouverts (gaz , liquide, ou solide).

Réacteurs polyphasiques : étude de chaque phase.

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I- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : définitions

Hypothèses :

- phénomènes déterministes

- écoulement en régime permanent

- fluide incompressible

Définitions de E(t) et F(t):

E(t), distribution des temps de séjour, est telle que E(t).dt est la

fraction du débit de sortie qui est restée dans le réacteur un temps

compris entre t et t+dt.

Propriétés de E(t) :

- E(t) est toujours positive

- E(t) est normée : 1dt).t(E0

=∫∞+

- E(t) [T-1]

réacteurledanstettentrerestéedébitdefraction:dt).t(E 21

t

t

2

1

∫

F(t), distribution cumulée des temps de séjour, est la fraction de

débit qui est restée moins de t dans le réacteur (plus jeune que t).

∫=t

0

'dt).'t(E)t(F

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II- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : détermination

II-1- Traceur

Il marque le fluide, sans le perturber.

- Mêmes propriétés que le fluide

- Inerte

- Mesurable en continu

- Injection et détection sur toute la section.

II-2- Injection impulsion (ou Dirac)

Introduction d’un nombre de moles n0 pendant un temps très court.

Mesure de la concentration cI(t) en sortie de réacteur.

Bilans en traceur :

- en sortie, pendant un temps dt :

dttettentreséjournéayanttraceurdufractiondt).t(En

dt)t(Qc

0

I +=

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- entrée-sortie du réacteur :

∫∞+

=0

I0 dt).t(c.Qn

∫∞+

=

0I

I

dt)t(c

)t(c)t(E si le débit est uniforme.

La DTS E(t) est donc la réponse normée du réacteur à une injection-

impulsion.

II-3- Injection échelon

Echelon-positif : l’entrée passe brusquement de la concentration nulle

à la concentration c0. On mesure en sortie la concentration : cE(t)

)t(F'dt).'t(Ec

)t(c t

00

E == ∫

fraction de fluide entrée après t=0 (plus jeune que t).

La fonction F(t) apparaît comme la réponse adimensionnelle du

réacteur à un échelon-positif de traceur.

dt

dF)t(E = on peut donc calculer E(t) à partir de F(t).

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Echelon-négatif (ou purge-échelon): l’entrée passe brusquement de la

concentration c0 à la concentration nulle. On mesure en sortie la

concentration : cPE(t).

)t(F1'dt).'t(Ec

)t(c

t0

PE −== ∫∞+

fraction de fluide plus vieille que t

II-4- Entrée quelconque, méthode des deux mesures.

Afin de s’affranchir des méthodes d’injection et de détection, on peut

faire deux mesures de concentration à deux niveaux dans le réacteur :

x(t) et y(t).

Si les deux fonctions sont normées : ∫ ∫∞+ ∞+

==0 0

1dt)t(ydt)t(x

∫ −=2t

011212 dt).tt(E).t(x)t(y

Si le système est linéaire, on peut appliquer la transformée de Laplace

L(f) à x(t) et y(t) pour obtenir X(s) et Y(s).

∫∞+

−=0

dt).t(f).stexp()f(L

Y(s)= X(s).G(s) G(s) fonction de transfert du système G=L(E)

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III- MOMENTS

Définition du moment µn et du moment centré µ’n d’ordre n de la

distribution E(t) :

∫∫∞+∞+

−=µ=µ0

nn

0

nn dt).t(E.)tt('dt).t(E.t

Moment d’ordre 1 :

∫∞+

=µ=0

1 dt).t(E.tt temps de séjour moyen

Q

Vt =τ= (s’il n’y a pas de dispersion en entrée-sortie du

réacteur).

Moment centré d’ordre 2 :

22

0

22

2 tdt).t(E.)tt(' −µ=−=µ=σ ∫∞+

σσσσ2 : variance de la distribution ; σ : écart-type.

Caractérise l’étalement de la distribution E(t), donc le mélange dans le

réacteur.

Systèmes linéaires :

( )

∂

∂−=µ → n

n

0sn

ns

Glim.1 théorème de Van der Laan.

Les moments du système situé entre les 2 points de mesure x(t) et y(t)

s’écrivent :

2x

2y

2sxys ttt σ−σ=σ−=

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IV- REACTEURS IDEAUX

IV-1- Réacteur parfaitement mélangé.

Réponse impulsionnelle :

−=

−=

t

texp.

t

1)t(E

t

texp.c)t(c 0I

Réponse à un échelon :

−−=

−−=

t

texp1)t(F

t

texp1.c)t(c 0E

Moments : 22 tt =στ= .

IV-2- Réacteur piston

Distributions E et F :

)tt(H)t(F)tt()t(E −=−δ=

Moments : 0t 2 =στ=

V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS.

V-1- Forme adimensionnelle.

Variable adimensionnelle θ et fonctions adimensionnelles Eθ et Fθ:

)t(FF)t(E.tEt

t===θ θθ

10

11

V-2- Traitement d’un signal échantillonné

Cas 1 Cas 2

Cas 1 : échantillonnage d’un signal continu (ti ;cIi).

Cas 2 : prise d’échantillons discrets (ti-ti+1 ;cIi)

- On peut travailler sur les moments de E(t) ou ceux de cI(t) :

0

nn

0I

nn

0

nn

m

mdt).t(c.tmdt).t(E.t =µ==µ ∫∫

∞+∞+

- Approximation des intégrales par des sommes (trapèzes par

exemple) :

Cas 1 : ∑=

∆=µN

1iii

nin t.E.t Cas 2 : ∑

=

∆=µN

1iii

nin t.E.t

où it est le milieu de l’intervalle [ti,ti+1].

On effectue les calculs suivants :

- moments : m0, m1, m2 puis µ1, µ’2 ou directement µ1, µ’2 .

- E(ti)=cIi/m0

- Temps de séjour moyen : 0

11

m

mt =µ=

- Variance : 2

0

2

0

2222

2 tm

m

m

'mt' −==−µ=µ=σ

- Adimensionnalisation de la DTS : iii

i E.tEt

t==θ θ

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V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements.

Volume mort

Si le temps de séjour mesuré est inférieur au temps de passage :

mauvaise estimation du volume offert au fluide.

Volumes stagnants

Traînée de courbe : diffusion vers les zones stagnantes.

Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ.

Si le signal est coupé, t<τ.

Court-circuit

Premier pic fin : sortie du court-circuit.

Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ.

Si le signal est tronqué (fréquence d’échantillonnage trop faible), t>τ.

V-4- Réacteurs polyphasiques

Si un réacteur comporte plusieurs phases, on réalise une DTS pour

chaque phase.

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VI- MODELES D’ECOULEMENT

VI-1- Bacs en cascade

N RAC en série

DTS : )!1N(

t

Ntexp

.t.t

N)t(E 1N

N

−

−

= −

Moments : N

t.Nt.Nt

22

NN =στ==

τN, tN : temps de passage ou temps de séjour moyen dans un RAC.

VI-2- Modèle piston-dispersion

Modèle Piston + Dispersion axiale

Flux de j : S.z

c.Dc.QF

jAjj

∂

∂−= (convection + dispersion)

DA : coefficient de dispersion axiale (m2.s

-1)

S : section de la colonne

Bilan en régime transitoire avec réaction ( 0A. jj

j =ν∑ ) :

t

c

z

c.D

z

c.vr

j

2

j2

Aj

j∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=ν

14

Conditions limites :

Entrée : fermé

+=

∂

∂−=

0z

jAj0

z

c.Dc.Qc.Q

Ouvert c0=cz=0+

Sortie : fermé 0z

c

Lz

=

∂

∂

=

Ouvert cz=L=cs

Bilan en traceur :

0c

x

c.

Pe

1

x

cou0

t

c

z

c.D

z

c.v

j

2

j2

jj

2

j2

Aj

=θ∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

avec : t

t

L

zx

D

L.vPe

A

=θ==

Solution en ouvert-ouvert :

( )

−−

π

=t.t.4

tt.Peexp.

t.t.

Pe.

2

1)t(E

22

1

Pour les autres conditions limites, pas de solution analytique.

DA

DA

DA

DA=0

DA=0

DA=0

DA

DA=0

Fermé-fermé

Fermé-ouvert

Ouvert-fermé

Ouvert-ouvert

15

Moments :

Conditions limites

Moment 1 :

τ

t

Moment 2 :

2

2

τ

σ

Ouvert-ouvert Pe

21+

2Pe

8

Pe

2+

Ouvert-fermé

ou

fermé-ouvert

Pe

11+

2Pe

3

Pe

2+

Fermé-fermé 1 ( ))Peexp(1.

2Pe

2

Pe

2−−−

Allure des courbes E(τ) :

16

DA ou Pe sont donnés par des abaques ou corrélations dépendant du

contacteur :

- tube vide :

régime laminaire : mm

22

mAD.8

vR

R

Lpour

D.48

RvDD >+=

régime turbulent : 5

A

t 10Repour5D

d.v>=

17

18

VI-3- Associations de réacteurs idéaux

Mise en série ou parallèle de réacteurs idéaux : RAC, RP, ou volume

morts.

19

20

VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION

VII-1- Bacs en cascade- Association de réacteurs idéaux

On calcule la concentration en sortie avec le modèle d’association de

réacteurs idéaux :

- calcul de concentration en sortie de chaque réacteur

ex : cinétique d’ordre 1

RAC : τ+

=.k1

1

c

c

0

s RP : cs=c0.exp(-k.τ)

- réacteurs en série : sortie du 1er =entrée du 2

nd

- branches en parallèle : bilan aux nœuds (conservation du flux)

Bacs en cascade- Cinétique d’ordre 1 :

( )NN0

s

.k1

1

c

c

τ+=

VII-2- Modèle piston-dispersion

0t.rdx

cd.

Pe

1

dx

dcou0r

dz

cd.D

dz

dc.v

2

j2

j

2

j2

Aj

=+−=+−

Pour une cinétique d’ordre 1 (r=kc) et des conditions ferme-fermé,

cette équation a une solution analytique :

Pe

t.k.41savec

2

Pe.sexp)s1(

2

Pe.sexp)s1(

2

Peexp.s.4

c

c

220

s +=

−−−

+

=

21

22

Les limites de cette équation sont :

)D(RACpourtk1

1

c

clim

)0D(RPpour)t.kexp(c

clim

A0

s

A0

s

∞→+

=

→−=

VII-3- Modèle des filets en parallèle ou de ségrégation totale

Calcul des performances du réacteur avec uniquement E(t).

Hypothèse : Les molécules de même temps de séjour voyagent

ensemble et ne se mélangent pas aux molécules de temps de séjour

différent.

dt).t(E.c

)t(c

c

c

0 00

s ∫∞+

= où c(t) est la concentration en fin de filet

de temps de séjour t, donc en sortie d’un RP de temps de passage t.

Pour une cinétique d’ordre 1, c(t)=c0.exp(-k.t) et :

∫∞+

−=00

s dt).t(E).t.kexp(c

c

OUVRAGES DE REFERENCE :

S. Fogler, Elements of chemical reaction engineering, Prentice Hall,

1999.

O. Levenspiel, Chemical reaction engineering, John Wiley, 1999.

P. Trambouze, J.P. Euzen, Les réacteurs chimiques, Technip, 2002.

J. Villermaux, Génie de la réaction chimique, Tec Doc, 1995.

(La majorité des figures sont issues de cet ouvrage.)