Université de Boumerdes Année 2000-2001Faculté des sciences septembre 2001Département de physique

Rattrapage : Mécanique RationnelleDurée : 2 heures

Exercice 01 : (06 pts)Déterminer les coordonnées du centre d’inertie de la figure suivante par intégration et par le théorème de Guldin.

R R

R

x

y

1,5m

1,5m

2m A

E

B

C

z

D

x

y

1,5m 1,5m

Exercice 02 : (06 pts)Une poutre de poids P = 300 N et de longueur 2L est maintenue en position horizontale par deux câbles DB et CB comme indiqué sur la figure. On suspend à son extrémité une charge Q = 500 N .L’articulation au point A est sphérique.Déterminer les tensions dans les deux câbles et la réaction au point A.

Exercice 03 : (08 pts)Un corps est constitué par l’assemblage de cinq (05) barres homogènes de masse linéique . Les barres forment un carré ABCD de côté a , muni de la diagonale BD.On se donne deux repères : et

1) Donner la matrice de passage du repère vers le repère  ;

2) Déterminer le tenseur d’inertie de la barre BD dans le repère  ;

3) En déduire le tenseur d’inertie de la barre BD dans le repère  ;

4) Déterminer les tenseurs d’inertie dans pour chacune des barre du

carré ;5) En déduire le tenseur d’inertie du système

(carré + diagonale) dans

B A

x0

x1

y0

y1

D C

a/2 a/2

a/2

a/2 O

Solution :Exercice 01 (06 points) :

1) Par intégration : L’axe (Oy) est un axe de symétrie donc :

a) Centre d’inertie du disque plein de rayon R

Le solide est un demi disque, sa masse est donnée par :

où : est la densité surfacique

et ds un élément de surface. L’élément de surface

ds a pour coordonnées : avec :  ;

d’où :

a) Centre d’inertie de la surface triangulaire

Masse du triangle plan :

Calculons

L’élément de surface est donné par :  ; avec  ;

Dans les triangles semblables ABC et DEC , nous avons :

ce qui donne : avec

;

Centre d’inertie du solide de la figure 01 :

x

drrdds

y

x

y

o (b)

D

C

dy

y

x y

o

E

B A R R

FE

Centre d’inertie du solide de la figure 01 par le théorème de Guldin :

Exercice 02 (06 points) :

P = 300 N ; Q = 500 N ;  ;  ;  ;  ;

Le système est en équilibre statique. La résultante des fores est nulle et le moment résultant de

toutes les forces par rapport au point A est nul. Nous avons alors :

(1)

(2)

Articulation sphérique en A :

Tensions dans les câbles BC et BD :

Les vecteurs unitaires suivant les axes BC et BD  sont donnés par :

Les tensions dans les deux câbles s’écriront sous la forme :

La projection de l’équation (1) sur les axes donne les trois équations scalaires :

(3)

(4)

(5)

L’équation (2) s’écrira :

En développant ce produit vectoriel, nous obtenons les trois équations suivantes :

Sur l’axe oy : (6)

Sur l’axe oz : (7)

Comme

(3)

(4)

(5)

Exercice 02 (06 points) :

1) Matrice de passage de R1 vers R0

2) Tenseur d’inertie de la barre BD dans le repère R1

Masse de la barre BD :

 ;

3) Tenseur d’inertie de la barre BD dans le repère R0

4) Tenseur d’inertie de chacune des barres dans le repère R0

a) Barres : AB et CD

a) Barres : AD et BC

5) Tenseur d’inertie du système (carré + diagonale) dans le repère R0

A

CD

B

x

y

A

CD

B

x

y