Mastere procede de compaction de prothese vasculaire en pet par nasr litim
Rapport Mastere Mariam
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Ecole DoctoraleSciences et Technologies
Mémoire de MASTERE
Mécanique et Ingénierie
N° d’ordre: 2010− 07
République TunisienneMinistère de l’Enseignement Supérieur,
De la Recherche Scientifique
Université de SfaxÉcole Nationale d’Ingénieurs de Sfax
MEMOIRE
Présenté à
L’Éc ole Nat ionale d ’ Ingénieurs de Sfax
en vue de l’obtention du
MASTERE
Dans la discipline Mécanique et Ingénierie
Par
Mariam MILADI épouse CHAABENE
Caractérisation vibratoire des
structures par analyse modale
opérationnelle
Soutenu le 24 Avril 2010, devant le jury composé de :
Mr. Mohamed HADDAR (Professeur, ENIS) Président
Mr. Fakher CHAARI (Maître Assistant Habilité, ENIS) examinateur
Mr. Tahar FAKHFAKH (Maître de Conférences, ENIS) Encadreur
Mr. Mohamed Slim ABBES (Maître Assistant, ENIS) Encadreur
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Dédicace
DE PLUS PROFOND DE MON CŒUR
A MON MARI,
A MES PARENTS,
A MES FRERES,
A TOUTE LA FAMILLE,
ET AU ‘’MINI NOUS’’ QUI ARRIVERA BIENTÔT.
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Remerciement
Remerciements
Ce travail de recherche a été dirigé au sein de l’Unité de Mécanique, Modélisation et Produc-
tion (U2MP) du département de génie mécanique de l’Ecole Nationale d’Ingénieur de Sfax
par Monsieur Tahar FAKHFAKH, Maître de Conférences à l’ENIS et Monsieur Mohamed
Slim ABBES, Maître Assistant à l’ENIS.
En premier lieu, Je tiens à exprimer ma respectueuse gratitude à Monsieur Tahar FAKH-
FAKH et Monsieur Mohamed Slim ABBES pour leurs nombreux conseils, leur bonne hu-
meur, leur disponibilité et leurs encouragements le long du déroulement de ce mémoire.
Mes remerciements vont aussi à Monsieur Ali AKROUT pour l’aide qu’il a présenté pour le
développement de ce travail de recherche.
Je suis particulièrement honorée que Monsieur Mohamed HADDAR, Professeur à l’ENIS,
soit le président du jury de ce mémoire et je tiens à bien le remercier pour son accueil au sein
de l’U2MP et pour les discussions fructueuses qu’on a eu ensemble et qui ont été intéressants
pour le développement de ce travail de recherche.
J’adresse également mes remerciements à Monsieur Fakher CHAARI, Maître Assistant Habi-
lité, pour avoir accepté de rapporter ce mémoire.
Enfin, pour finir, j’exprime ma profonde et sincère amitié à tous les chercheurs de l’U2MP et
je remercie tous ceux qui ont contribué de loin ou de près à l'achèvement de ce travail.
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Sommaire 1
Sommaire
Introduction générale ..................................................................................................................... 6
Chapitre I.Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources
1. Bref historique ....................................................................................................................... 10 2. Modélisation du problème .................................................................................................... 10
2.1. Mélange linéaire instantané ....................................................................................................... 11 2.1.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 11 2.1.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 12 2.1.3. Indéterminations .................................................................................................................. 13 2.1.4. La séparation ....................................................................................................................... 13
2.2. Mélange linéaire convolutif ....................................................................................................... 14 2.2.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 14 2.2.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 14 2.2.3. La séparation ....................................................................................................................... 14 2.2.4. Indétermination ................................................................................................................... 15
3. Etat de l’art ............................................................................................................................ 15 3.1. Introduction ................................................................................................................................ 15 3.2. Mélange instantané .................................................................................................................... 15
3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19
3.3. Mélange convolutif ..................................................................................................................... 19
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Sommaire 2
3.3.1. Statistique d'ordre élevée .................................................................................................... 19 3.3.2. Statistique du second ordre ................................................................................................. 20 3.3.3. Approches fréquentielles ..................................................................................................... 20
3.4. Applications ................................................................................................................................ 21 4. Conclusion ............................................................................................................................. 22
Chapitre II. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle
1. Introduction ........................................................................................................................... 24 2. Analyse en composantes indépendantes (ACI) .................................................................. 24
2.1. Motivation ................................................................................................................................... 24 2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29
3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3. Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ? ...................................................................... 33
4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34 4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36
4.2.1. Kurtosis ............................................................................................................................... 36 4.2.2. Néguentropie ....................................................................................................................... 40
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43
5. Traitement pour ACI ............................................................................................................ 44 5.1. Centrage ...................................................................................................................................... 44 5.2. Blanchiment ................................................................................................................................ 44
6. Analyse modale opérationnelle ............................................................................................ 46 6.1. Définition .................................................................................................................................... 46 6.2. Avantages .................................................................................................................................... 47
7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50
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Sommaire 3
Chapitre III. Mise en œuvre numérique de l’approche
1. Introduction ........................................................................................................................... 53 2. Présentation de l’algorithme RobustICA ........................................................................... 53
2.1 Extraction d’une composante indépendante ............................................................................. 54 2.2 Déflation ..................................................................................................................................... 55
3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58
3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale ................................................... 58 3.1.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 59 3.1.3. Résultats numériques ........................................................................................................... 60
3.2. Système libre avec amortissement ........................................................................................... 69 3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale ...................................................... 69 3.2.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 71 3.2.3. Détermination des paramètres structuraux ......................................................................... 72
4. Conclusion ............................................................................................................................. 82
Chapitre IV. Détermination des caractéristiques modales des
structures par analyse modale opérationnelle
1. Introduction ........................................................................................................................... 85 2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion ................................................................ 85
2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97
2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104
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Sommaire 4
2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108 3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108
3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110
3.2.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 110 3.2.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 112
3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116
3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116 3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120
4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique 0 .......................... 126 4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128
4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131
4.4.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 131 4.4.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 133
4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137
4.6.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 137 4.6.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 139 4.6.3. Les critères de performances ............................................................................................. 141
5. Conclusion ........................................................................................................................... 142
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Sommaire 5
Conclusion générale ................................................................................................................... 143 Références bibliographiques ..................................................................................................... 145 Annexes ....................................................................................................................................... 150
Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimal .............................................................. 151 Annexe B : Expressions des fréquences analytiques ............................................................... 153
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 6
Introduction générale
L’analyse modale permet la détermination, à partir de l’expérimentation, des caractéristiques
dynamiques des structures tels que : les fréquences de résonance, l’amortissement et les
déformées modales. La connaissance de ces paramètres structuraux est essentielle à la résolution
de plusieurs problèmes de vibration. La technique d’analyse modale a été développée d’abord
dans l’industrie aéronautique dans les années 1940 et est devenue très populaire dans beaucoupde domaines technologiques à partir des années 1970. L’analyse modale est très largement
appliquée à nos jours.
La réalisation d’un essai d’analyse modale classique, menée en laboratoire, nécessite
généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi que de la force d’excitation
en différents points permettant ainsi le calcul de la Fonction de Réponse en Fréquence (FRF).
Cependant, pour des grandes structures encombrantes, comme par exemple un pont, un avion ou
un train, il est difficile de faire un tel type d’analyse. Une autre méthode d’analyse modale dite
opérationnelle (AMO) constitue une alternative dans ce type de cas et permet des mesures en
environnement opérationnel. C’est une analyse modale où la structure est étudiée « in situ » et en
conditions de fonctionnements réelles. Ainsi, pour un pont, on pourra déterminer les modes du
pont excités par le vent et/ou par le passage de véhicules sur le tablier. L’analyse modale
opérationnelle permet alors de déterminer les paramètres modaux d’une structure à partir de sa
réponse à l’excitation à laquelle cette structure est habituellement soumise.
Ce manuscrit présente une approche numérique basée sur l’application de la procédure de
séparation aveugle de sources en analyse modale opérationnelle. La mise en œuvre d’une
méthode d’analyse en composantes indépendantes (ACI) et le développement des techniques
d’analyse modale dans le domaine temporel ont permis l’identification des paramètres
dynamiques des structure sans connaissance a priori les sources excitatrices. Dans le but de
montrer l’efficacité de la méthode développée dans ce travail de recherche l’étude est réalisée sur
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 7
trois différents types de structures : unidimensionnelle, bidimensionnelle et tridimensionnelle.
Dans une première étape, nous avons étudié le comportement dynamique de chaque type de
structure. Les réponses temporelles simulées aux différents nœuds sont ensuite utilisée pour
extraire par analyse modale opérationnelle les paramètres modaux (fréquence, amortissement et
déformée) des structures.
Ce manuscrit est donc décomposé comme suit :
Le premier chapitre est consacré à la présentation générale du problème de séparation de sources
en donnant son modèle mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas
d’un mélange linéaire convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthodes de séparation
de sources et en citant quelques exemples d’applications de la séparation de sources.Le second chapitre concerne la présentation de l’une des voies majeures de la séparation aveugle
de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes (ACI) en montrant comment elle peut
être utiliser en analyse modale opérationnelle.
Le troisième chapitre à pour objet le développement et la mise en œuvre d’une méthode
numérique permettant d’extraire les paramètres modaux (fréquence, amortissement et déformée)
des structures en utilisant l’algorithme RobustICA comme approche numérique permettant
l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse modale opérationnelle. Un
exemple de système masse ressort à trois degrés de liberté est retenu pour la validation du modèle
numérique développé.
Le dernier chapitre est consacré à l’analyse modale opérationnelle de trois différents types de
structures :
- structure unidimensionnelle : poutre encastrée-libre, poutre encastrée-encastrée,
- structure bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords,
- structure tridimensionnelle : système double parois.
L’identification des caractéristiques modales et l’analyse des résultats sont effectuées pourchaque exemple de structure.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 8
Chapitre I
Etude bibliographique : Séparation aveugle de
sources
1. Bref historique ....................................................................................................................... 10 2. Modélisation du problème .................................................................................................... 10
2.1. Mélange linéaire instantané ....................................................................................................... 11 2.1.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 11 2.1.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 12 2.1.3. Indéterminations .................................................................................................................. 13 2.1.4. La séparation ....................................................................................................................... 13
2.2. Mélange linéaire convolutif ....................................................................................................... 14 2.2.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 14 2.2.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 14 2.2.3. La séparation ....................................................................................................................... 14 2.2.4. Indétermination ................................................................................................................... 15
3. Etat de l’art ............................................................................................................................ 15 3.1. Introduction ................................................................................................................................ 15 3.2. Mélange instantané .................................................................................................................... 15
3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19
3.3. Mélange convolutif ..................................................................................................................... 19 3.3.1. Statistique d'ordre élevée .................................................................................................... 19 3.3.2. Statistique du second ordre ................................................................................................. 20
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 9
3.3.3. Approches fréquentielles ..................................................................................................... 20 3.4. Applications ................................................................................................................................ 21
4. Conclusion ............................................................................................................................. 22
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 10
1. Bref historique
La séparation de sources est un problème récent en traitement du signal. Il a été tout d’aborddéveloppé en 1984 par les travaux d’Hérault et Ans [31] et Jutten [32]. Malgré son importance et
ses nombreuses applications en traitement de signal, son origine est liée à la modélisation d'un
phénomène biologique [11,31] pour modéliser biologiquement le codage du mouvement (étudier
les réponses musculaires émises à l’issue de différentes sortes d’excitations). L'algorithme
développé en 1984 était robuste mais les explications théoriques de ses propriétés étaient
incomplètes.
Un premier formalisme du problème de séparation aveugle de sources, ainsi qu'un algorithme
permettant d'en obtenir une solution, a été proposé par C. Jutten et J. Hérault en 1991. Ensuite les
travaux de Comon en 1994 [33] ont permis la formalisation mathématique dans le cas le plus
simple d’un mélange linéaire instantané aboutissant au concept de l’analyse en composantes
indépendantes.
Depuis les années 90 et à partir de ces travaux, la recherche dans ce domaine devint très active
et des chercheurs du monde entier s'intéressent au problème de séparation de sources. C'est
maintenant, un problème très général qui se manifeste dans plusieurs domaines et dans plusieures
applications.
2. Modélisation du problème
Le problème de la séparation de sources est modélisé d’une manière générale indépendamment
du domaine d’application comme suit : des signaux (sources) émis par un nombre fini
d’émetteurs indépendants, traversant un mélange de dimension (environnement de
propagation), sont reçus par un nombre fini
de capteurs.
En se plaçant au niveau des capteurs, on a accès seulement aux signaux reçus (mélangés), les
signaux émis ainsi que le mélange sont tous inconnus. L’objectif est alors de restituer les signaux
émis en utilisant uniquement les signaux reçus. Pour se faire plusieurs hypothèses sur les sources
et le mélange sont nécessaires. Les chercheurs se basent essentiellement sur l’hypothèse de
l’indépendance mutuelle des signaux sources, c’est à dire que, la densité de probabilité des
signaux sources est égale au produit de ses densités de probabilités marginales afin de déterminer
les signaux estimés. Dans ce cas le problème est connu aussi sous le nom de l’analyse en
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 11
composantes indépendantes. Le mélange peut être linéaire ou non linéaire, instantané ou
convolutif. Aussi, il peut être variant ou invariant dans le temps. En général, c’est le modèle
linéaire invariant dans le temps qui est considéré dans la plupart des algorithmes proposés. La
séparation consiste à chercher un système de séparation qui permet de retrouver les signaux
sources estimés.
Afin de modéliser le problème de séparation des sources dans le cas où le mélange est linéaire, on
considère la version discrète dans laquelle les signaux sont à variable de temps discrète n
(échantillons temporels).
Dans ce qui suit, on utilise la notation suivante :
- les signaux mélangés : (pour 1, . . . , )- les signaux sources : (pour 1, . . . ,
- Les signaux estimés :
- matrice des filtres où matrice des mélanges
- matrice de séparation
Le phénomène se présente comme suit :
Figure 1-1. Structure générale de la séparation de sources
2.1. Mélange linéaire instantané
2.1.1. Modèle du mélange
Dans le cas instantané, les réponses impulsionnelles des filtres de propagation, exprimées par la
matrice sont toujours nulles sauf à l’instant d’indice 0, les signaux mélangés seront
alors instantanément établis et est une matrice de scalaires noté .
Donc, dans le cas d’un mélange instantané et pour un système avec émetteurs et capteurs, signaux sources sont émis à travers un système de mélange instantané (sans mémoire).
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 12
Chacun des signaux reçus, représente un mélange linéaire des signaux sources émis. Le
modèle se traduit par l’équation suivante :
, 1 , … ,
1.1
ou bien sous forme matricielle par :
1.2
où , … , est le vecteur des observations, , … ,
est
le vecteur contenant les signaux sources, tandis que , … , est la matrice de
mélange de dimension ( , … , , 1, . . . , est le jème vecteur colonne
de ), elle représente un mélange instantané et est un possible bruit additif.
2.1.2. Hypothèses
En général afin d’accomplir la séparation des signaux sources, quelques hypothèses sur lesquelles
la séparation des sources est basée sont nécessaires. On distingue des hypothèses sur les sources
et d’autres sur l’environnement de propagation et les mélanges.
Dans le cas d’un mélange instantané, on a les hypothèses suivantes :
Hypothèses sur les sources :
Hypothése1 : Presque tous les algorithmes de séparation aveugle des sources supposent que les
signaux sources sont indépendants et identiquement distribués et mutuellement indépendants.
Hypothése2 : Les sources sont non gaussiennes sauf au plus une.
Hypothèses sur l’environnement de propagation et les mélanges
Hypothése3 : En général, on suppose que le nombre des capteurs est égal au nombre
d’émetteurs . Certaines méthodes traitent le cas particulier
Hypothése4 : La matrice de mélange est de rang complet .
Hypothése5 : Le bruit est additif indépendant des signaux sources.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 13
On peut avoir d’autres hypothèses sur les signaux sources, le bruit et/ou la matrice de mélange ce
qui permet la conception de nouveaux algorithmes.
2.1.3. Indéterminations
Dans le cas où les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus, la séparation
peut être obtenus avec une infinité de vecteurs . On remarque que le même vecteur peut
être généré à partir d’une infinité de vecteurs . En effet, l’ordre des signaux est arbitraire car
toute permutation appliquée sur les signaux sources et sur les lignes de la matrice
correspondantes donne le même vecteur
. Donc les signaux sources ne peuvent être
récupérés qu’à une permutation près (Ambiguïté de permutation). En plus, la multiplication d'unecolonne de la matrice de mélange et la division d'un signal source par le même scalaire ne
changera pas le vecteur mélangé (Ambiguïté d'échelle). Ceci peut être montré facilement à
travers l’équation suivante :
1.3
Donc, les signaux sources sont estimés à une permutation et un facteur d’échelle près. Ceci est dû
au fait que les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus.
2.1.4. La séparation
L'idée de séparation aveugle de sources consiste à trouver une matrice permettant d’obtenir
des signaux sources qui sont mutuellement indépendants, ou encore de calculer l’inverse de la
matrice de mélange
. Alors, on a :
1.4
avec est la matrice de séparation de dimension permettant de récupérer les signaux
sources à partir des signaux reçus qui sont mesurés par les capteurs à un facteur d’échelle et une
permutation près.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 14
2.2. Mélange linéaire convolutif
2.2.1. Modèle du mélange
Dans le cas d’un mélange linéaire convolutif le signal reçu se modélise comme suit :
1.5
Avec , … , est le vecteur des observations,
, … , est le vecteur contenant les signaux sources, le vecteur bruit et , 0, . . . , , la suite des 1 matrices de dimension de la réponse impulsionnelle
(des filtres de propagation) du canal.
2.2.2. Hypothèses
Afin de réaliser la séparation, des hypothèses sur les signaux sources et le mélange sont
nécessaires. Dans le cas convolutif, en plus des hypothèses H1, H2 et H5, on considère les
hypothèses suivantes:
Hypothése6 : , c’est à dire que le nombre des capteurs est strictement supérieur au
nombre d’émetteurs.
Hypothése7 : La matrice de transfert est une matrice irréductible, c'est-à-
dire: ,
Hypothése8 : La matrice de transfert est une matrice à colonnes réduites, c’est à dire :, , … , , 2.2.3. La séparation
En considérant les hypothèses déjà citées, il existe un filtre inverse du mélange. L’objectif de la
séparation de sources est de calculer un filtre séparateur W(n) qui permet d’inverser la matrice du
mélange. La sortie du filtre séparateur s’écrit alors :
1.6
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 15
2.2.4. Indétermination
Comme dans le cas d’un mélange instantané, la séparation ne peut se faire qu’à un facteur
d’échelle et une permutation prés. En plus, la séparation ne peut être accomplie qu’à un filtrage
près. En effet, le plus souvent la séparation des mélanges convolutifs de sources est ramenée à un
ensemble de séparations instantanées. Ceci est réalisé par le passage dans le domaine fréquentiel
en utilisant la transformée de Fourier, où on obtient un modèle de mélange instantané à chaque
fréquence. Ainsi, des ambiguïtés peuvent se produire à chaque fréquence ce qui implique un
filtrage des signaux dans le temps.
1.7
3. Etat de l’art
3.1. Introduction
Selon ce que l’on trouve dans la littérature [25, 6, 7, 51, 12,26,…], le problème de séparation de
sources a été formulé initialement par Ans, Hérault [31] et Jutten [32], qui publiaient en 1985 le
premier algorithme de séparation de sources dans le cas d’un mélange linéaire instantané. Lespremiers travaux concernant le problème de séparation des mélanges convolutifs de sources ont
été initiés au début des années 90. Ainsi, le premier travail qui traite le mélange convolutif est
celui de Jutten et L. Nguyen [15,27]. On remarque que par rapport au mélange instantané, le
mélange convolutif a été moins étudié.
Dans ce qui suit, on va essayer de classer les différentes méthodes de séparation de sources pour
chaque type de mélange instantané ou convolutif suivant leur aspect le plus remarquable.
3.2. Mélange instantané
Plusieurs algorithmes basés sur différents critères existent dans la littérature par exemple :
approches basées sur le maximum de vraisemblance, approches basées sur l'information
mutuelle, approches basées sur la déflation, approches géométrique, approches basées sur le
maximum d'entropie … .
Dans ce qui suit, quelques exemples de critères sont présentés.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 16
3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants
Pour une architecture récursive, Jutten et J. Hérault dans [14,13] cherchent une matrice
telque et . Donc le problème se réduit à estimer les autres
coefficients suivant la règle :
1 1.8
où et sont deux fonctions impaires si les sources sont à densité de probabilité symétrique, de
sorte que les moments d'ordre impair sont nuls [43] et
un scalaire appelé pas d’adaptation.
Afin de généraliser leur application à toutes les sources indépendamment de leur loi de
probabilité, Jutten et al. [16] ont suggéré d'ajuster les coefficients de par annulation des
cumulants croisés , .
3.2.2. Fonctions de contraste
Une fonction de contraste pour la séparation de sources est une fonction d’évaluation de la
distribution d’un vecteur aléatoire qui se réduit au minimum quand la séparation de sources est
réalisée.La première fonction de contraste introduite par Comon [44,45] était la somme au carrée des
auto cumulants d'ordre quatre des signaux estimés :
|| 1.9
La minimisation de cette fonction de contraste est difficile. C’est pour cette raison qu’une autre
fonction qui est la somme en valeur absolue des cumulants de quatrième ordre est proposée par
Moreau et Macchi [21]:
|| 1.10
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 17
Cette fonction de contraste est valable pour des sources de même signe de kurtosis et nécessite
une étape de blanchiment (voir chapitre 2 : paragraphe 5.2).
Dans [42,22], Macchi et Moreau proposent une autre fonction de contraste (dans le cas où 1 , 0 ) qui ne nécessite pas une étape de blanchiment.
||
1.11
3.2.3. Déflation
Pour les signaux de même signe de kurtosis, Delfosse et Loubaton [38] proposent une méthode
de déflation (c'est-à-dire restituer un signal à chaque étape).
Après blanchiment, ils minimisent une fonction de contraste, par rapport à un vecteur
séparateur . Soit cette fonction de contraste définie par :
4 1.12
Si
correspond au minimum de
, alors le signal
est l'une des sources
estimées. Et ainsi, on sépare une source à chaque étape et on diminue le nombre des sourcesd'une unité à la fois. Pour avoir la séparation totale, il faut appliquer leur algorithme 1 fois.
C’est la seule méthode qui ne présente pas des solutions parasites et qui peut être étendue au cas
où les signes de kurtosis sont quelconques [39]. Pour cela, il suffit de remplacer la fonction K par
la fonction J définie par :
3
4 1.13
3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles
L’information mutuelle dépend des densités des variables aléatoires et elle est définie par :
∏ 1.14
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 18
Comon et Lacoume ont montré [47] que l'information mutuelle est une fonction de contraste. Par
conséquent, des algorithmes de séparations peuvent être conçus en se basant sur sa maximisation.
3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance
La séparation avec un estimateur de maximum de Vraisemblance est considérée parmi les
méthodes les plus utilisées dans la séparation des sources.
Gaeta et Lacoume [36] proposent une approche fondée sur le maximum de vraisemblance. Pour
approximer la densité de probabilité des sources, ils utilisent le développement de Gram-Charlier.
D’autre part Pham et al. [19] proposent eux aussi une approche fondée sur le maximum de
vraisemblance en supposant que les sources sont identiquement distribuées avec des densités deprobabilités connues.
Dans le cas de communications numériques les distributions des sources étant connues,
Belouchrani [4,5] propose deux algorithmes MLS (Maximum Likelihood Séparation) et SMLS
(Stochastic Maximum Likelihood Separation) en se servant de l’algorithme EM [57,37].
3.2.6. Statistique du second ordre
Les algorithmes basés sur les statistiques du second ordre utilisent le fait que dans de nombreux
cas les signaux ont des échantillons temporellement corrélés. Ils utilisent des matrices de
covariance des signaux à différents instants et nécessitent que les densités spectrales de sources
sont distinctes [20].
Pour des sources mutuellement indépendantes mais temporellement corrélées, il existe 0, tel
que :
1.15
où est l'espérance mathématique et la matrice est une matrice diagonale non nulle.
Féty [34] propose de diagonaliser plusieurs matrices de covariance des signaux observés jusqu' à
la séparation souhaitable:
1.16
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 19
Cette idée a été améliorée par les travaux de Tong [35] et Comon [46]. L'algorithme proposé par
Comon est détaillé dans [47].
3.2.7. Approche Géométrique
Une autre méthode pour la séparation de sources est l’algorithme géométrique de séparation de
source. Cette approche est basée sur l’interpolation géométrique de l’indépendance des variables
indépendantes et elle est essentiellement restreint au cas de deux sources par exemple dans [24],
on trouve un algorithme de ce type.
3.3. Mélange convolutif
Dans le cas des mélanges linéaires instantanés, on a estimé le milieu de propagation des signaux
sources par une matrice de mélange à coefficient scalaire. Cependant, dans plusieurs applications
ce n’est pas le cas, car il faut tenir compte de la propagation dans le milieu. Par conséquent,
chaque source traverse différentes fonctions de transfert pour arriver aux différents capteurs.
Les algorithmes existants pour résoudre ce problème peuvent être principalement divisés dans
deux catégories différentes : les algorithmes dans le domaine de temps (statistique d’ordre élevée
et statistique du second ordre) et les algorithmes dans le domaine de fréquence.
3.3.1. Statistique d'ordre élevée
Parmi les premiers algorithmes, on trouve l’algorithme proposé par Jutten et L. Nguyen [17] qui
est une généralisation de leur méthode déjà développée pour le mélange instantané. Dans cet
algorithme, ils proposent une façon adaptative pour annuler les moments croisés d’ordre impair
des sources estimées prises à différents instants.
0 1.17
où f et g sont deux fonctions non linéaires et impaires.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 20
3.3.2. Statistique du second ordre
Ces algorithmes emploient une approche du second ordre pour convertir le mélange, qui sera
séparé par une approche d’ordre supérieur.
Les algorithmes apparus pour le mélange convolutif sont généralement des méthodes de sous-
espace et supposent que le nombre de capteurs est plus grand que celui de sources .
Par exemple Delfosse et Loubaton ont montré que la séparation d’un mélange convolutif peut se
faire en trois étapes [40] : prédiction linéaire, séparation instantané et mise en œuvre de l’inverse
du filtre prédicateur en supposant que le filtre de mélange H(z) est causal et rationnel et de rang
plein
(en plus que le nombre de capteurs est supérieur à celui de sources).
3.3.3. Approches fréquentielles
La transformée de Fourier, de l’équation 1.5 (en ne tenant pas compte du bruit additif), donne :
1.18
La matrice est constante pour une fréquence donnée, ce qui permet d’obtenir un mélange
linéaire instantané dans chaque bande de fréquence considérée. En séparant les sources danschacune de ces bandes, il est alors possible de remonter aux signaux d’origine par transformée de
Fourier inverse et sommation des sorties associées à chaque bande. Ce type de problème peut
alors être résolu par les méthodes de séparation de source classiques, c-à-d applicables à des
mélanges linéaires instantanés.
Il apparait alors que le problème semble très simple : il suffit d’appliquer les méthodes utilisées
pour les mélanges instantanés et de reconstruire chaque source (mais avec une matrice de
mélange variable).
Cependant les indéterminations sur le facteur d’échelle et la permutation sont autant d’obstacles
majeurs à ces approches. En effet, à cause des permutations rien ne garantit a priori que les
contributions fréquentielles extraites sur une sortie pour les différentes bandes proviennent de la
même source. De plus l’indétermination sur l’amplitude amenée par les méthodes normalisant les
signaux de sortie va également perturber la reconstruction des différentes bandes de fréquences :
avec ce type de méthode aucune information n’est disponible sur la vraie amplitude du signal
dans une bande par rapport à une autre.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 21
Quelques travaux ont ainsi été réalisés en bande étroite. D’autres études portent toutefois sur le
problème en large bande.
Il faut noter en outre que la transformée de Fourier a tendance à gaussianiser les signaux, ce qui
ne facilite pas leur séparation par les méthodes habituelles hormis pour des cas bien particuliers.
Ainsi l’approche fréquentielle possède un réel problème d’indétermination pouvant amener à une
reconstruction erronée des sources.
3.4. Applications
Le problème de séparation de sources attire l'attention d'un grand nombre de chercheurs. Dans ce
paragraphe, on essaie d'énumérer quelques applications de séparation de sources:
• La séparation de sources sert au rehaussement de parole. : Dans [28], Le principe de la
séparation de sources permet de rehausser la parole quelle que soit la nature de
perturbation, en plus il est capable de restituer tous les signaux primitifs dans un mélange
de prise de son.
• En sismique: Thirion, Mars et Lacoume exploitent certains concepts de la séparation de
sources afin d’adopter des réponses à la question de la séparation aveugle d’onde
acoustique [41].
• Un domaine nouveau dans lequel la séparation aveugle de sources intervient est
l’interface machine/homme : plusieurs travaux de recherche traitent la séparation des
sources vibratoires des machines tournantes pour le diagnostic de l’état de santé de la
machine [56].
• La séparation de sources a été employée par Nuzillard en astronomie et en traitement
d'images astronomiques [18].• En biomédecine, Yannick Deville [57] présente un panorama des applications
biomédicales des méthodes de séparation aveugle de sources des signaux
ElectroCardiographiques (ECG), MagnétoEncéphaloGraphiques (MEG) et
ElectroEncéphaloGraphiques (EEG). Par exemple la séparation de source est utilisée
pour l’extraction de battements cardiaques fœtaux à partir d’un ensemble de signaux
ECG enregistrés à l’aide d’électrodes cutanées placées sur la peau de la mère.
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Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 22
4. Conclusion
Dans ce premier chapitre, on a donné un aperçu général sur le problème de séparation desources : modélisation du problème dans le cas d’un mélange linéaire instantané et convolutif, les
hypothèses utilisées, les ambiguïtés de la séparation, un état de l’art sur les différents critères
utilisés et quelque exemple d’applications.
On retient que la solution fournie par les méthodes de séparation aveugle n’est pas unique mais
les sources sont déterminées à une permutation et un facteur d’échelle (dans le cas instantané) et
à un filtrage prés (dans le cas convolutif).
Dans le deuxième chapitre, on va s’intéresser à l’une des méthodes les plus utilisées dans la
séparation aveugle de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes en montrant
comment elle peut être appliquée en analyse modale opérationnelle.
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 23
Chapitre II
Application de l’ACI en analyse modale
opérationnelle
1. Introduction ........................................................................................................................... 24 2. Analyse en composantes indépendantes (ACI) .................................................................. 24 2.1. Motivation ................................................................................................................................... 24
2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29
3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3.
Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ?
...................................................................... 33 4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34
4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36
4.2.1. Kurtosis ............................................................................................................................... 36 4.2.2. Néguentropie ....................................................................................................................... 40
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43
5. Traitement pour ACI ............................................................................................................ 44 5.1. Centrage ...................................................................................................................................... 44 5.2. Blanchiment ................................................................................................................................ 44
6. Analyse modale opérationnelle ............................................................................................ 46 6.1. Définition .................................................................................................................................... 46 6.2. Avantages .................................................................................................................................... 47
7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 24
1. Introduction
La connaissance des paramètres structuraux est essentielle à la résolution de plusieurs problèmesde vibration. Ceci nécessite généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi
que de la force d’excitation en différents points. Or dans presque toutes les structures réelles,
comme les structures de génie civil et de génie mécanique, il est parfois très difficile de connaitre
les forces d’excitation puisqu’ils sont exercés par des phénomènes naturels (le vent, les
vagues,…) où par des forces d’opération (les vibrations, les surcharges, …). C’est pourquoi
l’analyse modale opérationnelle des structures est basée sur les conditions d’opération naturelle.
Il consiste à caractériser les modes propres de structure en fonctionnement sans connaitre ni la
source d’excitation ni la structure. La méthode doit donc se baser uniquement sur la réponse de la
structure.
Dans ce chapitre, on présente l’une des méthodes les plus utilisées dans la séparation aveugle de
sources qui est l’analyse en composantes indépendantes et on montre comment elle peut être
utilisée en analyse modale opérationnelle [29, 53, 30,54].
2. Analyse en composantes indépendantes (ACI)
2.1. Motivation
Considérant une chambre où deux personnes parlent simultanément. On dispose de deux
microphones placés dans des endroits différents. Chaque microphone enregistre la superposition
des discours des deux personnes à ses alentours en fonction de temps, qu’on peut noter par
et avec et les amplitudes, et t l'indice de temps. Chacun de ces signaux enregistrés est
un mélange des discours émis par les deux personnes, qu’on note par et (figure2-1).
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 25
Figure 2-1. Schématisation du problème
Ce problème peut s’exprimer sous la forme suivante:
2.1
2.2
où , , et sont des paramètres qui dépendent des distances entre chaque
microphone et les deux personnes (on omet qu’il n’existe aucun retard ou facteurs influant sur le
mélange). Il serait très utile si on peut maintenant estimer les deux discours originaux
et
, en utilisant seulement les deux signaux enregistrés
et
. Ceci s'appelle le
problème de la soirée cocktail «cocktail-party ».
Comme illustration, on considère les formes d'ondes présentées dans la figure 2-2 et la figure 2-3.
Ces formes d’onde ne présentent pas des sons réels, mais elles suffisent pour cette illustration.
Les discours originaux pourraient ressembler à ceux représentés dans la figure 2-2 et les discours
mélangés pourraient ressembler à ceux dans la figure 2-3.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 26
Figure.2-2. les signaux originaux
Figure 2-3. Le mélange observé des signaux originaux de la figure 2-2
Le problème consiste alors à récupérer les signaux originaux dans la figure 2-2 en utilisant
seulement le mélange observé dans la figure 2-3.
Si les paramètres sont connus, on pourra résoudre les équations linéaires (2.1) et (2.2) par des
méthodes classiques. Ceci n’est pas toujours le cas : le problème est très complexe.
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 27
Une approche pour résoudre ce problème serait d'employer les informations sur les propriétés
statistiques des signaux
pour estimer les
. En fait, il suffi de supposer que
et
à
chaque instant t sont statistiquement indépendants.
La technique récemment développée de l'analyse en composantes indépendantes (ACI), peut être
employée pour estimer les en se basant sur l'information de leur indépendance, ce qui permet
la séparation des deux signaux originaux et de leurs mélanges et . La
figure 2-4 donne les deux signaux estimés par la méthode d'ACI.
Figure. 2-4. Les signaux estimés en utilisant seulement les signaux observés dans la figure 2-2
2.2. Définition
L’ACI est l’une des voies majeures de la séparation aveugle de sources (Une " source " signifie
ici un signal original, c.-à-d. composant indépendant, " aveugle " signifie qu’on ne connait riensur la matrice de mélange). Elle permet d’obtenir des signaux de sorties statistiquement
indépendants, égaux aux signaux sources aux indéterminations d’échelle et de permutation prés
dans le cas de mélanges linéaires instantanés. On va étudier le cas où le nombre des signaux
observés est égal au nombre des signaux sources .
On suppose qu’on observe mélanges linéaires , … , de composantes indépendantes.
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 28
; 1,… 2 .3
On suppose que chaque mélange aussi bien que chaque composante indépendante est une
variable aléatoire. Les valeurs observées sont alors un échantillon de cette variable
aléatoire. Sans perte de généralité, on peut supposer que les variables mélangées et les
composantes indépendantes sont centrées (leur moyenne est nulle): même si ce n'est pas vrai, les
variables observées peuvent toujours être centrées en soustrayant leur valeur moyenne.
Il est recommandé d'employer la notation matricielle. On note par le vecteur aléatoire dont les
éléments sont les mélanges
, … , et de même par
le vecteur aléatoire avec des
éléments , … , . On note par la matrice avec les éléments . En utilisant cette notation
matricielle, le modèle de mélange s’écrit :
2.4Parfois on a besoin des colonnes de la matrice ; qu’on note par . Le modèle peut être écrit
sous la forme suivante :
2.5Les composantes indépendantes sont des variables latentes, signifiant qu'elles ne peuvent pas être
directement observées. Aussi, on assume que la matrice de mélange est inconnue. Tout ce qu’on
observe est le vecteur aléatoire et nous devons estimer et en l’utilisant.
Le point de départ pour l’ACI est l’hypothèse très simple que les composantes sont
statistiquement indépendantes.
L'indépendance statistique sera rigoureusement définie dans le paragraphe 3 et on montre ensuitequ’on doit également supposer que les composantes indépendantes doivent avoir des
distributions non gaussiennes. Pour la simplicité, on suppose que la matrice de mélange est
carrée. Ensuite, après avoir estimé la matrice on peut calculer son inverse, noté et obtenir
les composantes indépendantes simplement par:
2.6
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 29
Dans beaucoup d'applications, il serait plus réaliste de supposer qu'il y a un certain bruit dans les
mesures, qui signifierait d’ajouter un terme de bruit dans le modèle. Mais pour la simplicité, on
omet tous les termes de bruit, puisque l'évaluation du modèle sans les termes de bruit semble être
suffisante pour beaucoup d'applications.
2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes
Dans le modèle de l’ACI décrit par l’équation 2.5, il est facile de voir les ambiguïtés suivantes :
1. On ne peut pas déterminer les variances (énergies) des composantes indépendantes.
La raison est que,
et
étant inconnus, n'importe quel multiplicateur scalaire dans une des
sources pourrait toujours être simplifiés en divisant la colonne correspondante de par la
même grandeur scalaire; voir l'équation 2.5. Par conséquent, on peut fixer les importances des
composantes indépendantes; puisqu’ils sont des variables aléatoires, on suppose que chacune a
une variance égale à l’unité: 1. Alors la matrice sera adaptée dans les méthodes
d'ACI pour tenir compte de cette restriction.
2. on ne peut pas déterminer l'ordre des composantes indépendantes.
La raison est que, et étant encore inconnus, on peut librement changer l'ordre des termes
dans la somme de l’équation 1.5, et appeler n'importe quelle composante indépendante la
première. Formellement, une matrice de permutation et son inverse peuvent être substitués
dans le modèle pour donner . Les éléments de sont les variables indépendantes
originales mais dans un autre ordre. La matrice est une nouvelle matrice de mélange
inconnue, qui va être résolue par les algorithmes d'ACI.
2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes
Afin d’illustrer le modèle d'ACI en termes statistiques, on considère deux composantes
indépendantes qui ont les distributions uniformes suivantes:
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 30
1
2√ 3|| √ 3
0 2.7
Les valeurs pour cette distribution uniforme ont été choisies afin de rendre la moyenne égale à
zéro et la variance égale à un. La densité commune de et de est alors uniforme (carré).
C’est la conséquence de la définition de base : la densité commune de deux variables
indépendantes est le produit de leurs densités marginales (l'équation 2.9). La densité commune
est illustrée sur la figure 2-5.
Figure 2-5. La distribution commune des composantes indépendantes et avec une
distribution uniforme. L’axe horizontal correspond à , l’axe vertical correspond à
En prenant la matrice de mélange suivante:
2 32 1 On obtient deux variables mélangées et . Les données mélangées ont une distribution
uniforme sur un parallélogramme, comme représenté sur la figure 2-6. On remarque que les
variables aléatoires
et
ne sont pas indépendantes. Une manière facile de voir ceci est de
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 31
considérer, s’il est possible de prévoir la valeur de l’une connaissant la valeur de l'autre.
Clairement si
atteint un de ses valeurs maximum ou minimum, on peut déterminer la valeur
de . Elles sont donc non indépendantes. (Pour les variables et la situation est différente:
à partir de la figure 2-5 on peut voir que la connaissance de la valeur de ne peut donner
aucune information sur la valeur de .)
Figure 2-6. La distribution commune des mélanges observés x1 et x2. L’axe horizontal
correspond à x1, l’axe vertical correspond à x2
Le problème d'estimer le modèle d'ACI est maintenant d'estimer la matrice de mélange en
utilisant seulement l'information contenue dans les mélanges et . En fait, on peut voir de la
figure 2-6 une manière intuitive d’estimer . Les bords du parallélogramme sont dans les
directions des colonnes de
. Ceci signifie qu’on peut, en principe, estimer le modèle d'ACI en
estimant d'abord la densité commune de et de , et alors localisant les bords. Ainsi, leproblème semble avoir une solution.
En réalité, ce serait une méthode très faible parce que cela fonctionne seulement avec les
variables qui ont exactement des distributions uniformes.
Dans la suite, on considère la définition exacte de l'indépendance avant de commencer à
développer des méthodes pour l'évaluation du modèle d'ACI.
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 32
3. Concept de l’indépendance des signaux
3.1. Définition et propriétés fondamentales
Pour définir le concept de l'indépendance, on considère deux variables aléatoires et .
Fondamentalement, les variables et seraient indépendantes si l'information sur la valeur de ne fournit aucune information sur la valeur de , et vice versa. Dans le paragraphe précédent,
on a noté que c'est le cas avec les variables et , mais pas avec les variables mélangées
et .
Techniquement, l'indépendance peut être définie par les densités de probabilité. On note par
, la fonction de densité de probabilité commune de et de et par la densitéde probabilité marginal de et par la densité de probabilité marginal de : , , 2.8
et de même pour
.
Alors et sont indépendantes si et seulement si leur densité de probabilité commune peutêtre factorisée de la manière suivante:
, 2.9
Cette définition se prolonge pour tout nombre de variables aléatoires. Dans ce cas la densité
commune est un produit de termes.
La définition peut être employée pour dériver la propriété la plus importante pour les variables
aléatoires indépendantes. En se donnant deux fonctions, et , le moment croisée d’ordre deux
des deux variable et s’écrit :
. 2.10
Ceci peut être prouvé comme suit:
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 33
,
, 2.113.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes
Une forme plus faible de l'indépendance est le décorrélation. Deux variables aléatoires et
seraient décorrélatives, si leur covariance est nulle:
0 2.12Si les variables sont indépendantes, elles sont décorrélatives, ce qui peut être directement
démontré de l’équation 2.10 en prenant et .
D'autre part, la décorrélation n'implique pas l'indépendance. Par exemple, on suppose que
et sont des valeurs discrètes et que la paire , est égale à n'importe quelle des valeurs
suivantes: (0.1), (0, -1), (1.0), (-1.0) avec la probabilité 1/4. Alors,
et
sont décorrélatives.
D'autre part,
0 , 2.13
Ainsi la condition dans l’équation 2.10 n’est pas respectée et les variables ne peuvent pas être
indépendantes.
3.3. Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ?
La restriction fondamentale dans l’ACI est que les composantes indépendantes doivent être non
gaussiennes pour que l’analyse en composantes indépendantes soit possible.
Pour voir pourquoi les variables gaussiennes rendent l’ACI impossible, on suppose que la matrice
de mélange est orthogonale et les sont gaussiennes. Aussi, on suppose que les sont
gaussiennes, décorrélatives, et de variance égale à l'unité. On considère le cas où 2. La
densité commune de
et
est donnée par :
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 34
, 12
2 2.14
Cette distribution est illustrée dans la figure 2-7. La figure prouve que la densité est
complètement symétrique. Par conséquent, elle ne contient aucune information sur les directions
des colonnes de la matrice de mélange . C'est pourquoi ne peut pas être estimée.
Figure 2-7. Distribution multivariable de deux variables gaussiennes indépendantes
Plus rigoureusement, on peut montrer que la distribution de n'importe quelle transformation
orthogonale du gaussien , a exactement la même distribution que , , et que et
sont indépendantes. Ainsi, la matrice n'est pas identifiable pour les composantes indépendantes
gaussiennes. (En fait, si juste une des composantes indépendantes est gaussienne, le modèle de
l’ACI peut encore être estimé.)
4. Critères de l’ACI
On peut définir de façon générale l’ACI de la manière suivante : L’ACI d’un vecteur aléatoire
consiste à trouver une transformée linéaire de telle façon que les signaux soient aussi
indépendants que possible, dans le sens de la maximisation ou minimisation d’une fonction qui
mesure l’indépendance (figure 2-8).
-5 0 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 35
Figure 2-8. Principe de la séparation par la méthode d’ACI
4.1. Maximisation de la non-gaussianité
Intuitivement parlant, la clef à estimer le modèle d'ACI est la non-gaussianité. En fait, sans non-
gaussianité l'évaluation n'est pas possible du tout, comme mentionné dans le paragraphe 3.3.
Le théorème de limite centrale, un résultat classique dans la théorie des probabilités, indique que
la somme de variable aléatoires tend vers une distribution gaussienne. On considère alors qu’une
combinaison linéaires de sources aléatoires non gaussiennes, de même distribution, est plusgaussienne que les sources elles mêmes.
On suppose dans ce paragraphe que toutes les composantes indépendantes ont des distributions
identiques.
Pour estimer une des composantes indépendantes, on considère une combinaison linéaire des tel que
∑
où
est un vecteur à déterminer. Si
était une des rangées de
l'inverse de cette combinaison linéaire égalerait réellement à l’une des composantesindépendantes. La question est maintenant: Comment peut on employer le théorème de la limite
centrale pour déterminer le vecteur de sorte qu'il soit égal à une des rangées de l'inverse de ? Dans la pratique, on ne peut pas déterminer un tel exactement, parce qu’on n’a aucun
information sur la matrice , mais on peut trouver un estimateur qui donne une bonne
approximation.
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 36
Afin de voir comment ceci mène au principe de base de l'évaluation d'ACI, on va faire un
changement de variable : En définissant
, on a alors
, y
est ainsi une combinaison linéaire de avec des coefficients donnés par . Puisque la somme de deux variables aléatoires indépendantes est plus gaussienne que les
variables originales, est plus gaussien que n'importe qu’elle et devient moins gaussien
quand il égale un des . Dans ce cas, seulement un des éléments de est différent de zéro.
Par conséquent, on peut prendre comme un vecteur qui maximise la non-gaussianité de .
Un tel vecteur correspond nécessairement à un qui a seulement une composante différente de
zéro. Ceci signifie que
égale une des composantes indépendantes : La
maximisation du non-gaussianité de donne ainsi une des composantes indépendantes. Enfait, le paysage d'optimisation pour la non-gaussianité dans l'espace n-dimensionnel des vecteurs a 2 maximum locaux, deux pour chaque composante indépendante, correspondant au et (rappelant que les composantes indépendantes peuvent être estimées seulement à un signe
multiplicatif). Pour trouver plusieurs composantes indépendantes, on doit trouver tous ses
maximums locaux. Ce n'est pas difficile, parce que les différentes composantes indépendantes
sont décorrélatives : on peut toujours contraindre la recherche à l'espace qui donne des
évaluations décorrélatives avec les précédentes. Ceci correspond à l'orthogonalisation dans unespace convenablement transformé (c.-à-d. blanchi).
4.2. Mesure de la non-gaussianité
Pour employer la non-gaussianité dans l'évaluation d'ACI, on doit avoir une mesure quantitative
de la non-gaussianité d'une variable aléatoire, noté . Pour la simplification, on suppose que est
centrée (de moyenne nulle) et a une variance égale à l’unité.
4.2.1. Kurtosis
Le tout premier critère utilisé pour évaluer la non-gaussianité fut le Kurtosis ou auto-cumulant
d’ordre 4. On considère la forme simplifiée suivante :
,,, 3 2.15
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 37
En fait, puisque on a supposé que a une variance égale à l’unité 3. Ceci
montre que le kurtosis est simplement une version normalisée du moment d’ordre quatre
Ey
.
Pour une variable aléatoire gaussienne, le moment d’ordre quatre est égal à 3Ey. Ainsi, le
kurtosis est nul pour une variable aléatoire gaussienne.
Le kurtosis peut être positif ou négatif. Les variables aléatoires qui ont un kurtosis négatif
s'appellent sous-gaussienne, et celles avec le kurtosis positif s'appellent sur-gaussienne.
Les variables aléatoires sur-gaussienne ont typiquement une fonction de densité de probabilité
fdp ‘aigu’ avec des queues lourdes, c.-à-d. la fdp est relativement grand à zéro et à des grandes
valeurs de la variable, tout en étant petit pour des valeurs intermédiaires.
Un exemple typique est la distribution de Laplace, dont la fdp (normalisée pour une variance
égale à l’unité) est donnée par :
1√ 2 exp√ 2|| 2.16
Cette fdp est illustrée dans la figure 2-9 (Pour la comparaison, la densité gaussienne est
représentée par des traits discontinus. Les deux densités sont normalisées afin d’avoir une
variance égale à l'unité).
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 38
Figure 2-9. La fonction de densité de probabilité d’une distribution de Laplace, qui est une
distribution sur-gaussienne.
D’ autre part, les variables aléatoires sous-gaussiennes, ont typiquement une fdp ‘plate’, qui est
plutôt constante près de zéro, et très petite pour des grandes valeurs de la variable. Un exemple
typique est la distribution uniforme dans l’équation 2.7.
Le kurtosis, ou plutôt sa valeur absolue, a été largement répandu comme mesure de non-
gaussianité dans l’ACI. La raison principale est sa simplicité, informatique et théorique.
Informatiquement, le kurtosis peut être estimé simplement en employant le moment d’ordre
quatre des données échantillonnés. L'analyse théorique est simplifiée en raison de la propriété
suivante de linéarités: Si
et
sont deux variables aléatoires indépendantes, on a :
2.17et
2.18
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
variable
d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é
fonction densité de probabilité
laplace
normale
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 39
où est une grandeur scalaire. Ces propriétés peuvent être facilement prouvées en utilisant la
définition.
Pour illustrer dans un exemple simple à quoi le paysage d'optimisation pour le kurtosis
ressemble, et comment les composantes indépendantes ont pu être trouvées par minimisation ou
maximisation de kurtosis, on prend un modèle à deux dimensions . On suppose que les
composantes indépendantes et ont des valeurs de Kurtosis notées et
respectivement, tous les deux sont différentes de zéro. On rappelle qu’on a supposé qu'elles ont
des variances égales à l'unité. On cherche une des composantes indépendantes telles que
.En effectue encore la transformation , on a alors . Maintenant, en se basant sur la propriété additive du kurtosis, on a :
D' autre part, on a la contrainte que la variance de y est égale à 1 en se basant sur la même
hypothèse concernant et . Ceci implique une contrainte sur z : .
Géométriquement, ceci signifie que le vecteur est contraint au cercle d'unité dans un plan à
deux dimensions. Le problème d'optimisation consiste à situer les maximums de lafonction || | | sur le cercle d'unité? Pour la simplicité, on
peut considérer que les valeurs du kurtosis sont du même signe, dans ce cas les opérateurs de
valeur absolue peuvent être omis. Le graphique de cette fonction est le paysage d'optimisation
pour le problème.
Les maximum sont aux points où exactement l’un des éléments du vecteur z est zéro et l'autre
différent de zéro; en raison de la contrainte de cercle d'unité, l'élément différent de zéro doit être
égal à 1 ou à -1. Mais ces points sont exactement ceux quand y est égale à l’une des composantes
indépendantes et le problème a été résolu.
Dans la pratique on commence à partir d'un certain vecteur , on calcule la direction suivant
laquelle le kurtosis se développe le plus fortement (si le kurtosis est positif) où
diminue le plus fortement (si le kurtosis est négatif) en se basant sur les échantillons disponibles 1 . . , du vecteur de mélange et en employant la méthode du gradient ou un de ces
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 40
prolongements pour la détermination d’un nouveau vecteur w. L'exemple peut être généralisé
aux dimensions arbitraires.
4.2.2. Néguentropie
L’entropie est le concept de base de la théorie de l’information. L’entropie d’une variable
aléatoire peut être interprétée comme le degré d’information que l’observation de la variable
fournit. Plus la variable y sera aléatoire et plus grande sera sa valeur de l’entropie.
L’entropie est définie pour une variable aléatoire discrète par :
2.19
où sont les valeurs possibles de
Cette définition peut être généralisée pour des variables aléatoires continues, dans ce cas elle
s’appelle l’entropie différentielle. Elle est définie par : log 2.20
où . est la densité de probabilité de la variable aléatoire .
Un résultat fondamental de la théorie de l’information est qu’une variable gaussienne a la plus
grande entropie parmi toutes les variables aléatoires à variance donnée.
Ceci signifie que l’entropie pourrait être employée comme mesure de non gaussianité. On emploi
souvent une version légèrement modifiée de la définition de l’entropie différentielle, appelée
néguentropie. Elle est définie comme suit :
2.21
est toujours positive ou nulle. En particulier, elle est nulle si est seulement si a une
distribution gaussienne. C’est donc une bonne mesure de non-gaussianité, bien justifiée par les
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 41
théories statistiques. L’inconvénient de la néguentropie est qu’elle nécessite l’estimation des
densités de probabilité des sources qui sont inconnues. Pour cette raison la néguentropie peut être
approximée en utilisant les cumulants d’ordre supérieur comme suit :
112 148 2.22
Cette approximation est non robustesse. C’est pourquoi une autre forme plus générale de
l’approximation de la néguentropie est introduite :
2.23
où : sont des constantes positives : sont des fonctions non-quadratiques.
Une autre approche consiste à n’utiliser qu’une seule fonction non-quadratique
. Dans ce cas,
l’approximation devient : 2.24
On remarque qu’en prenant , on obtient alors exactement l’équation 2.22. Mais le
point fort ici est celui en choisissant soigneusement, on obtient des approximations de
néguentropie qui sont meilleures que celle donnée par l’équation 2.22. Les choix suivants de
sont prouvés être très utiles:
1 , exp 2
où 1 2 est une constante appropriée.
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 42
4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance
Une approche très populaire pour le modèle de l’ACI est l’estimation du maximum devraisemblance. Le but est de trouver les paramètres du mélange qui maximisent la probabilité
d’occurrence des observations. Ainsi, à partir de l’expression matricielle du mélange , on
peut exprimer la densité de probabilité du vecteur en fonction des densités de probabilité des
sources supposées indépendantes et du déterminant de l’inverse , … , de la
matrice de mélange
|det| 2.25
|det|
Cette relation peut être exprimée par rapport aux colonnes de la matrice et aux
observations :
|det| 2.26
Si on considère échantillons de , alors la vraisemblance peut être obtenue comme le
produit de cette densité évaluée à ces points et peut s’exprimer comme une fonction de :
∏ |det| ∏ 2.27
Il est souvent plus pratique de considérer le logarithme de la vraisemblance qui s’écrit :
log
|det| 2.28
Ce qui donne, en divisant par et en considérant la moyenne empirique notée . ,
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 43
1 log log
|det| 2.29
Comme pour la néguentropie, le principal inconvénient de la vraisemblance est que l’on ne
connait pas les densités de probabilité des sources. On peut alors supposer soit qu’elles sont
connues à priori, soit qu’elles appartiennent à une famille de distributions donnée. En utilisant les
fonctions score . log . et en supposant que le déterminant de est constant,
alors maximiser la vraisemblance correspond à minimiser la néguentropie ou maximiser
l’entropie. Les fonctions score
. s’appellent Infomax.
4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle
En utilisant le concept de l’entropie différentielle, on définit l’information mutuelle entre
variable comme suit :
, , … ,
2.30
L’information mutuelle est une mesure naturelle de la dépendance entre des variables aléatoires.
Elle est toujours positive ou nulle. En particulier, elle est nulle si et seulement si les variables sont
statistiquement indépendantes. Ainsi, on peut utiliser l’information mutuelle comme un critère
pour l’ACI. En effet, une propriété importante de l’information mutuelle est que pour une
transformation linéaire On a :
, , … , |det| 2.31
Pour de variance unité, on a : , et on a :d e t 1
Ceci implique que doit être constant. Donc, pour de variance égale à l’unité,
l’information mutuelle et néguentropie diffèrent seulement par une constante et le signe. Ainsi on
obtient,
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 44
, , … , .
2.32
Cette relation montre donc le rapport entre l’information mutuelle et la néguentropie.
5. Traitement pour ACI
Dans le paragraphe précédent, on a présenté les méthodes fondamentales des principes
statistiques de l’ACI. Cependant, avant d'appliquer un algorithme d'ACI sur les données, il est
habituellement très utile de faire un certain prétraitement. Dans cette section, on présente
quelques techniques de prétraitement qui rendent le problème de l'évaluation d'ACI plus simple.
5.1. Centrage
Le prétraitement le plus fondamental et le plus nécessaire dans l’analyse en composantes
indépendantes est le centrage de c.-à-d. la soustraction de son vecteur moyen afin
que devient de moyenne nulle et donc est aussi de moyenne nulle (ceci peut être démontré enprenant les espérances des deux côtés de l’équation 2.4.
Le seul but de ce prétraitement est la simplification des algorithmes d'ACI: Il ne signifie pas que
la moyenne ne pourrait pas être estimée. Après avoir estimé la matrice de mélange avec des
données centrées, on peut accomplir l'évaluation en ajoutant le vecteur moyen de aux
évaluations centrées de . Le vecteur moyen de est donné par où m est la moyenne qui
a été soustraite dans le prétraitement.
5.2. Blanchiment
Une autre stratégie utile de prétraitement dans l’ACI est le blanchiment des variables observées.
Ceci signifie qu'avant l'application de l'algorithme d'ACI (et après centrage), on transforme le
vecteur observé linéairement de sorte qu’on obtient un nouveau vecteur qui est blanc, c.-à-d.
ses composantes sont non-corrélées et leur variance égale à l’unité. En d'autres termes, la matrice
de covariance de
est égale à la matrice identité:
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 45
2.33
La transformation de blanchiment est toujours possible. Une méthode populaire pour blanchir est
d'employer la décomposition en valeur propre de la matrice de covariance tel que : où est la matrice orthogonale des vecteurs propres de et est la matrice
diagonale de ses valeurs propres , . . . , . peut être estimée des échantillons disponibles 1, . . . , . Le blanchiment se fait
alors comme suit :
2.34
où la matrice est calculée par l’opération suivante : , . . . , .
Le blanchiment transforme la matrice de mélange à une nouvelle matrice noté . On a à partir
des équations 2.4 et 2.34:
2.35
L'utilité du blanchiment réside dans le fait que la nouvelle matrice de mélange est orthogonale.
Ceci peut être remarqué à partir de :
2.36
Ici on peut voir que le blanchiment réduit le nombre des paramètres à estimer. Au lieu d’estimer
paramètres qui sont les éléments de la matrice originale , on doit seulement estimer la
nouvelle matrice de mélange orthogonale. Une matrice orthogonale contient 1 2⁄ degrés
de liberté. Par exemple, en deux dimensions, une transformation orthogonale est déterminée par
un paramètre simple d'angle. Dans de plus grandes dimensions, une matrice orthogonale contient
seulement environ la moitié du nombre de paramètres d'une matrice arbitraire. Ainsi, on peut
indiquer que le blanchiment résout la moitié du problème d'ACI.
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 46
Une illustration graphique de l'effet du blanchiment peut être vue sur la figure 2-10, dans lequel
les données sur la figure 2-6 ont été blanchies. Le carré définissant la distribution est maintenant
clairement une version tournée du carré original sur la figure 2-5. Tout ce qui reste est
l'évaluation d'un angle simple qui donne la rotation.
Figure 2-10. Distribution commune des mélanges blanchis
6. Analyse modale opérationnelle
6.1. Définition
L’analyse modale opérationnelle (AMO) est la technique d’analyse modale basée sur seulement
les réponses de la structure afin de déterminer ses paramètres modaux: les pulsations propres, les
modes propres et les coefficients d’amortissement. La technique est appliquée en remplacement
des méthodes classiques lorsqu’il est difficile d’exercer une force artificielle sur la structure [51,
55, 23].
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 47
6.2. Avantages
Les avantages principaux de l'AMO sont:- La réponse mesurée représente des vraies conditions de fonctionnement de la
structure.
- L'installation est simple, franche et rapide, parce que seulement des accéléromètres
sont utilisés.
- Le prix d’exécution est très bas.
- L’opération ne demande pas un arrêt de production.
7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI
L'analyse en composante indépendante (ACI) / séparation aveugle des sources (BSS) est un
secteur naissant de recherche dans le domaine du traitement des signaux. Le but des techniques
d'ACI / BSS est d'identifier statistiquement des sources indépendantes et non gaussiennes d'un
mélange linéaire de telles sources. Il extrait également la matrice inconnue de mélange dans le
processus. Le but de ce travail est d’explorer la possibilité d’utiliser ce concept d’ACI dans
l'analyse modale opérationnelle dans laquelle le système est identifié seulement sur la base de ses
réponses qui sont une fonction des forces inconnues et des caractéristiques fondamentales du
système.
L’identification des paramètres modaux consiste à déterminer les fréquences naturelles, les
facteurs d’amortissement et les déformées modales.
Considérons l’équation de mouvement suivante d’un système à n degrés de liberté en vibration
libre soumis à des conditions initiales données ( et ) :
0 2.37
avec :: Matrice masse , : Matrice d’amortissement , : Matrice de rigidité , : Vecteur déplacement ,
: Vecteur vitesse
,
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 48
: Vecteur accélération .
En utilisant la méthode de superposition modale, La réponse s’écrit sous la forme matricielle
suivante :
2.38
avec : : Vecteur des grandeurs physiques mesurées (déplacement),
: Matrice modale composée des déformées modales
,
: Vecteur contenant les réponses modales. Ce dernier s’écrit sous la forme suivante :
exp sin 2.39
avec :
: Coefficients d’amortissements modaux
: Fréquences naturelles du système : Fréquences amortis du système : Angles de phase : Constantes à déterminer à partir des conditions initiales : Temps
Donc peut s’écrire :
exp sin 2.40
L’analyse modale opérationnelle consiste à déterminer la matrice des déformées modales , les
fréquences naturelles et les coefficients d’amortissements contenu dans en utilisant
seulement les signaux de sortie . D’où la similarité entre l’analyse modale et l’analyse en
composantes indépendantes.
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 49
En résumant, l'idée principale est d'interpréter les coordonnées physiques d’une structure en tant
que sources virtuelles avec différents contenus spectraux. En utilisant certaines hypothèses, les
techniques d'ACI fournissent la matrice de mélange et les réponses modales de la structure, ce
qui forme la base d'un procédé d'analyse modale véritablement simple:
(1) Effectuer les mesures expérimentales des réponses du système examinées dans différentes
positions.
(2) appliquer les techniques d'ACI aux mesurés pour estimer la matrice de mélange H et les
sources s(t).
(3) les déformées modales sont contenues dans la matrice de mélange
(4) on peut alors identifier la fréquence naturelle et le coefficient d'amortissement du modecorrespondant de vibration.
Le processus intégral est illustré dans la figure 2-11.
Figure 2-11. Processus de l’application de l’ACI dans l’AMO
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 50
Critères de performances
Afin de comparer la matrice propre théorique et estimée, on utilise les deux critères suivants :
Critère Modal d'Assurance Modale (MAC) :
Il est défini par :
2.41
avec et représentent respectivement les vecteurs modaux théoriques et estimés.
Si le critère d'assurance modale a une valeur près de zéro, donc les vecteurs modaux ne sont pas
conformes.Si le critère d'assurance modale a une valeur près de l'unité, ceci est une indication que les
vecteurs modaux sont conformes. Mais, Ceci ne signifie pas nécessairement qu'ils sont corrects.
L’erreur de l'approximation des déformées modales (Er), est la distance euclidienne de deux
vecteurs de la déformée modale. Il est défini par :
2.42
Afin de comparer les fréquences propres théoriques et estimées, on utilise le critère suivant :
L’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par
l’analyse modale opérationnelle (Ef), est définie de la manière suivante :
% 100 2.43
avec et représentent respectivement les fréquences propres théoriques et estimées.
8. Conclusion
L’analyse en composantes indépendantes est un problème fondamental en traitement de signal
qui peut être appliquée dans plusieurs domaines. Dans ce chapitre, on a présenté cette méthode en
commençant par une motivation afin de comprendre le principe de l’ACI et en présentant ces
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Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 51
principaux critères de séparation (maximisation de la non-gaussianité, maximisation de la
vraisemblance et minimisation de l’information mutuelle). A la fin on a montré comment l’ACI
peut être appliquée en AMO en prenant l’équation de mouvement d’un système discret à n degrés
de liberté en vibration libre soumis à des conditions initiales.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 52
Chapitre III
Mise en œuvre numérique de l’approche
1. Introduction ........................................................................................................................... 53
2. Présentation de l’algorithme RobustICA ........................................................................... 53 2.1 Extraction d’une composante indépendante ............................................................................. 54 2.2 Déflation ..................................................................................................................................... 55
3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58
3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale ................................................... 58 3.1.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 59 3.1.3. Résultats numériques ........................................................................................................... 60
3.2.
Système libre avec amortissement ........................................................................................... 69
3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale ...................................................... 69 3.2.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 71 3.2.3. Détermination des paramètres structuraux ......................................................................... 72
4. Conclusion ............................................................................................................................. 82
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 53
1. Introduction
Dans le chapitre précédent, on a discuté les méthodes fondamentales des principes statistiques del’ACI tel que la maximisation du non gaussianité en utilisant comme critère de mesure le
Kurtosis ou la néguentropie, la maximisation de la vraisemblance et la minimisation de
l’information mutuelle.
Dans ce chapitre, on propose un nouvel algorithme pour l’ACI à déflation appelée RobustICA
qui consiste à réaliser l’optimisation exacte du Kurtosis et on va l’appliquer en analyse modale
opérationnelle d’un système mécanique discret en utilisant seulement les réponses au niveau des
masses discrétisées.
Dans une première partie, on va présenter l’algorithme RobustICA. Dans la deuxième partie, on
va valider l’algorithme en l’appliquant à un système discret (masse-ressort) à trois degrés de
liberté sans et avec amortissement. L’idée consiste alors à déterminer à partir des réponses
seulement les caractéristiques modales de la structure.
2. Présentation de l’algorithme RobustICA
RobustICA est un algorithme d’analyse en composantes indépendantes basé sur le kurtosiscomme critère de maximisation du non gaussianité afin de déterminer les composantes
indépendantes. Ce dernier est défini comme le cumulant marginal normalisé d’ordre quatre
[52,53].
Κ || 2|| |||| 3.1
On peut voir que ce critère est peu sensible au facteur d’échelle c'est-à-dire :Κ Κ , 0
Puisque cette indétermination d’échelle est en général sans importance, on peut imposer, sans
perte de généralité, la normalisation 1.
Le critère de maximisation du Kurtosis basé sur l’équation 3.1 est tout à fait général parce qu'il
n'exige pas que les observations soient blanchies et peut être appliqué à des sources complexes
ou réelles sans aucune modification.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 54
2.1 Extraction d’une composante indépendante
L’approche consiste à réaliser l’optimisation exacte de la direction de recherche du contrasteabsolu de Kurtosis défini dans l’équation 3.1.
arg|Κ| 3.2
La direction recherchée est typiquement mais pas nécessairement le gradient, Κw
défini par :
Κw 4|| E|| EyxEy || || EyxE|y| 3.3
Le pas optimal menant au maximum global du contraste dans cette direction se trouve parmi les
racines d’un polynôme de quatrième degré.
À chaque itération, RobustICA cherche le pas optimal et il comporte les étapes suivantes :
S1) calculer les coefficients du polynôme du pas optimal.
Pour le contraste de kurtosis, le polynôme de pas optimal est donné par:
3.4
Les coefficients peuvent être obtenus à chaque itération à partir des signaux observés et
les valeurs actuelles de w et g. Leurs expressions se trouvent dans l’Annexe A [54]. Le
traitement numérique dans la détermination de peut être amélioré en normalisant le vecteur
de gradient à l'avance.
S2) Extraire les racines de polynôme de pas optimal
S3) choisir la racine menant au maximum absolu du contraste le long de la direction de
recherche .
arg|Κ | 3.5
S4) mettre à jour w :
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 55
3.6
S5) Normaliser :
3.7
L’algorithme peut être arrêté quand
1 || 3.8
avec est une petite constante statique qui peut être définie par : / avec 1
2.2 Déflation
Pour extraire plus d'un composant indépendant, le procédé déflationniste d'orthogonalisation de
Gram-Schmidt peut être employé dans RobustICA avec blanchiment, même si le blanchiment
n'est pas obligatoire pour cette méthode. Après l'étape 4, le vecteur extrait mis à jour est contraintpour se situer dans le sous-espace orthogonal des vecteurs extraits précédemment trouvés , , … , .Dans l'approche de régression linéaire à la déflation, après la convergence de l'algorithme de
recherche, la contribution de la source estimée à l'observation est calculée par l'intermédiaire de
la solution minimum de carré moyenne d’erreur au problème de régression linéaire ̂,
donné par :
arg ̂ ̂|̂| 3.9
Les observations sont alors dégonflées avant de réinitialiser l'algorithme dans la recherche de la
prochaine source comme suit : ̂ 3.10
Si le blanchiment n'est pas exécuté, l'orthogonalisation n'est plus une option alors que la
régression devient forcée.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 56
Initialisations : ;
Entrées: ; pewhi; do-reg; tol2; max-it
Centrage
Prewhi
=?
Blanchiment
1Initialisation de ⁄
1
1
Calcul et
(Fonction kurt-gradient-optstep) 1
1
2 0
:
Do-reg
= ?
: ,
= ?
Fonction :deflation-regression
1
010
Vrai
Faux
Faux
Vrai
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 57
Fonction kurt-gradient-optstep Fonction :deflation-regression
Figure 3-1. Organigramme simplifié de la méthode de séparation de sources
3. Validation de la méthode
Afin de valider le programme RobustICA. On va utiliser dans une première partie la méthode de
superposition modale pour déterminer les paramètres modaux théoriques (les fréquencesnaturelles, les facteurs d’amortissements et les déformées modales) dans le cas d’un système
discret à trois degrés de liberté. Ensuite, on va utiliser le programme de séparation de sources
RobustICA pour estimer ces paramètres et enfin on va comparer les résultats obtenus par les deux
méthodes.
Initialisations : 0
Entrées: Calcul de
?
⁄ Calul des
arg| |
Entrées: ;
arg
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 58
3.1. système libre sans amortissement
3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale
On considère le système libre sans amortissement à plusieurs degrés de liberté défini par l’Eq.
(3.11) :
0à 0 3.11
La méthode de superposition modale convertit un ensemble couplé d'équations différentielles en
des équations désaccouplées en utilisant une transformation appropriée des coordonnées.
La transformation est représentée par :
3.12
avec est la matrice des déformées modales et est un vecteur de transformation des
coordonnées appelé vecteur des réponses modales.
La substitution de l’équation 3.12 dans l’équation de mouvement 3.11 et la multiplication des
deux cotés de l’équation résultante par , donnent : 0 3.13
En utilisant les propriétés d’orthogonalité de la matrice masse et de la matrice de rigidité, on
obtient l’équation de mouvement non couplée :
3.14
L’équation 3.14 peut être écrite aussi sous la forme suivante :
0 1,2, … , 3.15
L’équation 3.15 est composée de équations de mouvement d’un système à un seul degré de
liberté.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 59
Avant de résoudre l’équation 3.15, on doit convertir les conditions initiales et du système
de coordonnées physiques au système de coordonnées modales. On les note par
et
, on a :
3.16
De même pour le vecteur de vitesse initial :
3.17
Le système de vibration libre dans l’espace modal est donné par :
0 1 , 2 , … , à 0 3.18
La solution de l’équation i est la même que celle d’un système à un seul degré de liberté.
cos sin 3.19
Une fois que la solution est trouvée dans l'espace modal, on emploie la transformation modale
donnée par l’équation 3.12 pour retourner à l'espace des coordonnées physiques .
3.1.2. Description de l’exemple
Le premier exemple est un système discret sans amortissement à 3 degrés de liberté en vibration
libre soumis à des conditions initiales (Figure3-2).
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 60
Figure3-2. Système vibratoire à trois degrés de liberté sans amortissement
On veut chercher les paramètres modaux de la structure par la méthode classique de
superposition modale et l’analyse modale opérationnelle.
3.1.3. Résultats numériques
3.1.3.1. Méthode classique
L’équation du mouvement du système est : 0
avec
La matrice de masse est:
2 0 00 1 00 0 1
La matrice de rigidité est: 2 1 01 2 10 1 1 Les déplacements initiaux sont : 100 Les vitesses initiales sont : 000
En utilisant la méthode de superposition modale, on obtient la matrice modale
0.3602 0.7071 0.23380.5928 0.0000 0.85240.7204 0.7071 0.4676 et les pulsations propres : 0.42091.00001.6801
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 61
Les réponses modales qui représentent les signaux sources à déterminer à partir de la méthode de
séparation de source
ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-3.
Figure 3-3.les réponse modales et leur spectre
Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence
propre du mode i (i=1, 2, 3). Les fréquences propres du système sont : 0.0670.15920.2674
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 62
3.1.3.2. Méthode d’analyse modale opérationnelle
En partant des réponses physiques mesurées au niveau des masses i (i=1,2 et 3), on utilise le
programme RobustICA afin de déterminer les signaux sources estimés qui contiennent les
informations sur les fréquences propres estimées et la matrice de mélange qui présente la matrice
modale estimée.
Les coordonnées physiques (où signaux observés) au niveau des masses i (i= 1, 2, 3) ainsi que
leur spectre sont présentés dans la figure 3-4.
Figure 3-4. Réponses vibratoires du système et leur spectre
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 63
On constate que le contenu spectral des signaux observés présente les différentes fréquences
propres du système discret étudié.
Afin de trouver les signaux séparés (les réponses modales), on va appliquer le programme
RobustICA dans un premier temps sans matrice de permutation et dans un deuxième temps avec
matrice de permutation puisque l’analyse en composantes indépendantes permet la séparation à
un facteur d’échelle et une permutation prés.
- Sans matrice de permutation
Les résultats de la séparation des signaux observés sont donnés par la figure 3-5 et la figure 3-6.
La figure 3-5 présente une comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.
La figure 3-6 représente le spectre des signaux estimés.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 64
Figure 3-5. Comparaison des réponses modales théoriques et estimées
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 65
Figure 3-6. Spectres des réponses modales estimées
Il est clair que les signaux sources sont estimés à un facteur d’échelle et une permutation prés.
Pour la permutation: la première source estimée correspond à la deuxième source théorique et la
deuxième source estimée correspond à la première source théorique.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=0.16Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
f=0.07Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=0.27Hz
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 66
Pour le facteur d’échelle : la première réponse modale est déterminée à un facteur d’échelle égal
à 0.5. La deuxième est déterminée à un facteur d’échelle égal à -1. La troisième est déterminée
à un facteur d’échelle égal à .
La matrice de mélange estimée fournit les informations sur les déformées modales. Les résultats
de la séparation après avoir ordonné les modes sont présentés dans le tableau 3-1.
Les déformées modales
Mode1 Mode2 Mode3
théorique estimée théorique estimée théorique estimée
0.3602 -0.1875 0.7071 -0.7064 0.2338 -0.07770.5928 -0.3034 0.0000 -0.0081 0.8524 0.28850.7204 -0.3732 0.7071 0.7040 0.4676 -0.1566
Tableau 3-1. Comparaison des déformées modales théoriques et estimées
- Avec matrice de permutation
Après avoir estimé les signaux sources, le programme RobustICA permet l’utilisation d’une
matrice de permutation qui permet de comparer les signaux sources estimés avec ceux théoriqueset les ordonnées en résolvant l’indétermination d’échelle tel que
Dans notre cas :
0 0.5167 00.9999 0 00 0 0.3357 La figure 3-7 présente une comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.
La figure 3-8 représente le spectre des signaux estimés.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 67
Figure 3-7. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 68
Figure 3-8. Spectre des signaux estimés
Pour chaque coordonnée modale, le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la
fréquence propre estimée du mode i (i=1, 2, 3). D’où les fréquences propres estimées du
système :
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=0.07Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
f=0.16Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
500
1000
1500
2000
2500
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=0.27Hz
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 69
0.070.160.27
Hz
Les déformées modales
Mode1 Mode2 Mode3
théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 -0.3628 0.7071 0.7079 0.2338 0.23110.5928 -0.5872 0.0000 0.0081 0.8524 -0.85820.7204 -0.7223 0.7071 -0.7055 0.4676 0.4599
Tableau 3-2. Comparaison entre les déformées modales théoriques et estimées
L’erreur de l’approximation des déformées modales ainsi que le critère d’assurance modale sont
présentés dans le tableau suivant :
N° du mode MAC Er
1 1.0000 0.0065
2 0.9999 0.0083
3 0.9999 0.0100
Tableau 3-3. Critères de performance
Dans cette partie, on a essayé de valider la performance de l’algorithme RobustICA dans le cas
d’un système en vibration libre soumis à des conditions initiales et on a montré les ambigüités de
l’analyse en composantes indépendantes qui permet d’estimer les sources à un facteur d’échelle
et une permutation près.
Dans la suite de ce chapitre, on va utiliser le programme RobustICA avec la matrice de
permutation.
3.2. Système libre avec amortissement
3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale
On considère l’équation de mouvement d’un système libre avec amortissement à plusieurs degrés
de liberté :
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 70
0
à
0
3.20
Pour appliquer la méthode de superposition modale, on va utiliser la transformation des
coordonnées physiques donnée par l’équation 3.12.
La substitution de l’équation 3.12 dans l’équation de mouvement et la multiplication des deux
cotés par , donnent l’équation de mouvement suivante dans l’espace des coordonnées
modales.
0à 0 3.21Si les coefficients d’amortissement pour tous les modes , , … , sont connus pour une
structure à degrés de liberté, la matrice d’amortissement transformée peut s’écrire :
2 0 00 … 0
0 0 2
3.22
La substitution de l’équation 3.22 dans l’équation de mouvement 3.21 donne le système
d’équation suivant :
2 0 1 , 2 , … , à 0 3.23
La solution de l’équation i est la même que celle d’un système à un seul degré de liberté.
On distingue 3 cas :
• Système amorti critique : 1 3.24
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 71
Le mouvement n'est pas oscillant
•
Système sur amorti: 1 3.25
avec
et sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales et
sont les pulsations propres amorties qui sont données par :
1 3.26
• Système sous amorti: 1
cos sin 3.27
avec sont données par :
1 3.28
La solution donnée par l’équation 3.28 peut être écrite sous la forme suivante :
sin 3.29
3.2.2. Description de l’exemple
Le deuxième exemple est un système discret à trois degrés de liberté avec amortissement en
vibration libre suomi à des conditions initiales comme illustré dans la figure 3-9.
Figure3-9. Système discret à trois degrés de liberté avec amortissement
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 72
Afin de valider le programme RobustICA en présence d’amortissement, on va considérer deux
cas. Le premier cas
0 . 0 1 , 1 , 2 , 3. Dans le deuxième cas, on augmente les valeurs des
coefficients d’amortissement en prenant 0.02, 1, 2,3
3.2.3. Détermination des paramètres structuraux
3.2.3.1. Méthode de superposition modale
L’équation du mouvement du système est : 0
avec la matrice de masse, la matrice de rigidité, les déplacements initiaux et les vitesses initiales
sont les mêmes que l’exemple1.
En utilisant la méthode de superposition modale, on obtient la matrice modale :
0.3602 0.7071 0.23380.5928 0.0000 0.85240.7204 0.7071 0.4676 et les pulsations propres : 0.42091.00001.6801
Les réponses modales qui représentent les signaux séparés à déterminer à partir de la méthode de
séparation de source
ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-10 pour le
premier cas, et par la figure 3-11 pour le deuxième cas.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 73
Figure 3-10. Les réponses modales théoriques et leur spectre pour 0 . 0 1 , 1 , 2 , 3
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 74
Figure 3-11. Les réponses modales théoriques et leur spectre pour 0 . 0 2 , 1 , 2 , 3
3.2.3.2. Méthode d’analyse modale opérationnelle
Cas1 : . , , ,
Les signaux observés ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-12.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 75
Figure 3-12. Les signaux observés et leur spectre
Le résultat de la séparation par la méthode d’analyse modale opérationnelle des signaux observés
est donné par la figure 3-13 qui présente une comparaison entre les réponses modales théoriques
et estimées.
La figure 3-14 présente les spectres des réponses modales estimées.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 76
Figure 3-13. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 77
Figure 3-14. Spectres des réponses modales estimées
Les fréquences propres estimées du système sont:
0.070.160.27 Hz
La matrice de mélange estimée fournit les informations sur les déformées modales. Les résultats
de la séparation sont présentés dans le tableau 3-4.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
500
1000
1500
2000
2500
3000
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=0.07Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
f=0.16Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
200
400
600
800
1000
1200
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=0.27Hz
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 78
Les déformées modales
Mode1 Mode2 Mode3
théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 -0.3587 0.7071 0.7086 0.2338 0.24990.5928 -0.5922 0.0000 0.0048 0.8524 -0.85210.7204 -0.7224 0.7071 -0.7042 0.4676 0.4521
Tableau 3-4. Comparaison des déformées modales et théoriques
L’erreur de l’approximation des déformées modales ainsi que le critère d’assurance modale sont
présentés dans le tableau 3-5
N° du mode MAC Er
1 1.0000 0.0026
2 1.0000 0.0058
3 0.9995 0.0224
Tableau 3-5. Les critères de performances
Cas2 : . , , ,
Les signaux observés ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-15.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 79
Figure 3-15. Les signaux observés et leur spectre
Le résultat de la séparation par la méthode d’analyse modale opérationnelle des signaux observés
est donné par la figure 3-16 qui présente une comparaison entre les réponses modales théoriques
et estimées.
La figure 3-17 présente les spectres des réponses modales estimées.
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 80
Figure 3-16. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
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Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 81
Figure 3-17. Spectres des réponses modales estimées
On constate que les signaux estimés ne sont pas conformes aux signaux sources.
Le tableau 3-6 présente les résultats de la séparation.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
500
1000
1500
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
500
1000
1500
2000
2500
F F T ( Y ' 2 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.5
0
0.5
1
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 82
Les déformées modales
Mode1 Mode2 Mode3
théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 0.2655 0.7071 0.8773 0.2338 00.5928 -0.5432 0.0000 0.2447 0.8524 00.7204 -1.3868 0.7071 -0.3666 0.4676 0
Tableau 3-6. Comparaison entre les déformées modales théoriques et estimées
L’erreur de l’approximation des déformées modales ainsi que le critère d’assurance modale sont
présentés dans le tableau 3-7
N° du mode MAC Er
1 0.6560 0.9155
2 0.8026 0.4525
3 NaN 1.0000
Tableau 3-7. Critères de performances
Suite à ces deux cas, on remarque que les coefficients d’amortissements affectent la performance
de l’algorithme RobustICA. Plus le coefficient d’amortissement augmente plus la séparation est
incorrect. On peut donc conclure que le programme RobustICA est fiable en absence
d’amortissement où dans le cas où les coefficients d’amortissements sont très faibles.
4. Conclusion
Dans ce chapitre, un nouvel algorithme d’analyse en composantes indépendantes ‘RobustICA’est proposé pour l’analyse modale opérationnelle. Suite à son application à un système discret à
3 degrés de liberté, on a pu le valider dans le cas non amortis. Pour l’autre cas c'est-à-dire pour
des systèmes discrets amortis, le programme reste fiable pour des coefficients d’amortissement
très faible.
Dans la suite de ce rapport, on va considérer seulement des structures dynamiques déformables
de géométrie plus au moins simple sans amortissement.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 83
Chapitre IV
Détermination des caractéristiques modales des
structures par analyse modale opérationnelle
1. Introduction ........................................................................................................................... 85 2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion ................................................................ 85
2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97
2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104 2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108
3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108 3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110
3.2.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 110 3.2.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 112
3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116
3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 84
3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120
4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique
0 .......................... 126
4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128
4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131
4.4.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 131 4.4.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 133
4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137
4.6.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 137 4.6.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 139 4.6.3. Les critères de performances ............................................................................................. 141
5. Conclusion ........................................................................................................................... 142
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 85
1. Introduction
Ce chapitre est consacré à l’étude du comportement vibratoire de différents types de structure paranalyse modale opérationnelle en utilisant le programme RobustICA présenté dans le chapitre
précédent. Les structures étudiées sont :
- Structure unidimensionnelle : Poutre encastrée libre et poutre encastrée-encastrée,
- Structure bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords,
- Structure tridimensionnelle : système double parois.
Pour chaque structure : D’abord, on va valider le modèle de l’élément fini. Ensuite, On va
chercher les paramètres modaux (fréquences propres et déformées modales) dans un premier
temps en appliquant la méthode de superposition modale et dans un deuxième temps en
appliquant la méthode d’analyse modale opérationnelle. Enfin, on va comparer les résultats
obtenus par les deux méthodes.
2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion
On considère une poutre en acier. Ces caractéristiques sont :
Longueur : 1
Section: 2 1 0
Module d’Young: 2 1 0/²
Coefficient de Poisson : 0 . 2 9Masse volumique : 7858 /
On va étudier deux cas pour la fixation de la poutre :
- Poutre encastrée-libre,
- Poutre encastrée-encastrée.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 86
2.1. Poutre encastrée-libre
2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini
Les fréquences analytiques sont calculées, pour un mode i donné, de la manière suivante (Annexe
B [50]):
2 ;1,2,3,… 4.1
avec :
Longueur de la poutre
Masse par unité de longueur de la poutre
: Module de Young
: Moment d’inertie de la poutre
1 1.8751047
2 4.69409113 3 7.85475744 4 10.99554073 5 14.13716839 5 41 2
Tableau 4-1. Les valeurs de
dans le cas d’une poutre encastrée-libre (Annexe B [50])
Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 20 éléments (21 nœuds) :
Figure 4-1. Maillage de la poutre par 20 éléments
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 87
Figure 4-2.Comparaison des calculs numériques et analytiques
2.1.2. Méthode de superposition modale
2.1.2.1. Les fréquences propres
La figure 4-3 présente les quatre premières réponses modales de la poutre et leur spectre.
1 2 3 4 5 60
200
400
600
800
1000
1200
1400
n°du mode
f r é q u e n c e s e n H z
fréquences analytiques
fréquences numériques
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 88
Figure 4-3. Réponses modales de la poutre et leur spectre
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
Y ( 1 )
temps(s) 0 200 400 600 800 10000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F F T ( Y ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-4
-2
0
2
4x 10
-7
Y ( 2 )
temps(s) 0 200 400 600 800 10000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
F F T ( Y ( 2 ) )
fréquence(Hz)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2
-1
0
1
2x 10
-7
Y ( 3 )
temps(s)
0 200 400 600 800 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
F F T ( Y ( 3 ) )
fréquence(Hz)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2
-1
0
1
2
x 10-8
Y ( 4 )
temps(s)
0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.5
1
1.5
2x 10
-3
F F T ( Y ( 4 ) )
fréquence(Hz)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 89
Pour chaque réponse modale le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence
propre de la poutre. Le tableau 4-2 regroupe les fréquences propres théoriques de la poutre
encastrée-libre.
N° du mode Fréquence propres (Hz) N° du mode Fréquences propres (Hz)
1 16.29 11 5067.7
2 102.1 12 6090.6
3 286.02 13 7213
4 560.51 14 8437.7
5 926.6 15 9767.4
6 1384.6 16 11205
7 1934.5 17 12750
8 2576.9 18 14398
9 3312.5 19 16116
10 4142.3 20 17718
Tableau 4-2. Fréquences propres théoriques de la poutre encastrée-libre
2.1.2.2. Les déformées modales théoriquesLa figure 4-4 présente les six premières déformées modales de la poutre.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 90
Figure 4-4. Déformées modales de la poutre
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
-1
0
m o
d e 1
x(m)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 2
x(m)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 3
x(m)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d
e 4
x(m)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 5
x(m)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 6
x(m)
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 94/158
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 91
2.1.3. Signaux observés
Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par l’analyse modale
opérationnelle, on utilise les 20 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentés en bleu sur la
figure 4-5. La poutre est en vibration libre soumises à des conditions initiales aléatoires générées
selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal à 10.
.
Figure 4-5. Emplacement des signaux observés sur la poutre
Les signaux observés sont numérotés de 1 à 20. La figure 4-6 présente quelques signaux
observés au niveau des nœuds 2, 6, 12 et 16.
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 95/158
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 92
Figure 4-6. Signaux observés et leur spectre
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
X ( 1 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
F F T ( X ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6
X ( 5 )
temps(s) 0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
F F T ( X ( 5 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-6
X ( 1 1 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
F F T ( X ( 1 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
-1
0
1
2x 10
-6
X ( 1 5 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F F T ( X ( 1 5 ) )
fréquence(Hz)
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 96/158
Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 93
2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle
2.1.4.1. Les fréquences propres estimées
En partant des réponses vibratoires i 1, …20, on utilise le programme RobustiCA afin de
déterminer les réponses modales 1 … 2 0 qui contiennent les fréquences propres
estimées. La figure 4-6 présente une comparaison entre les quatre premières réponses modales
théoriques et estimées ainsi que les spectres des réponses modales estimées.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 94
Figure4-6. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées ainsi et les spectres
des réponses modales estimées
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0.5
0
0.5
1x 10
-6
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 200 400 600 800 10000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
16Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4
-2
0
2
4x 10
-7
temps(s)
Rés ultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, e n rouge Y(2) es timé
0 200 400 600 800 10000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
102Hz
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2
-1
0
1
2x 10
-7
temps(s )
Rés ultat de la sé paration: en bleu Y(3) théorique, en r ouge Y(3) estimé
0 200 400 600 800 10000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
286Hz
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2
-1
0
1
2x 10
-8
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(4) théorique, en r ouge Y(4) estim é
0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.5
1
1.5
2x 10
-3
F F T ( Y ' ( 4
) )
fréquence(Hz)
561Hz
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 95
Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui est la
fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-3 présente les fréquences propres
estimées
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
1 16 11 5068
2 102 12 6091
3 286 13 7213
4 561 14 8438
5 927 15 9767
6 1385 16 11205
7 1934 17 12750
8 2577 18 14398
9 3312 19 16116
10 4142 20 17718
Tableau 4-3. Les fréquences propres estimées
2.1.4.2. Les déformées modales estimées
La figure 4-7 présente une comparaison entre les six premières déformées modales de la poutre
estimées et théoriques.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 96
Figure 4.7. Comparaison des déformées modales estimées et théorique de la poutre
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
-1
0
m o d e 1
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(1) théorique, en rouge mode(1) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 2
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu m ode(2) théorique, e n rouge mode (2) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 3
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(3)théorique, en rouge mode(3) estimé
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 4
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(4} théorique, en rouge mode(4} estimé
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1
-2
0
2
m o d e 5
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(5) théorique, en rouge mode(5) estimé
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 6
x(m)
Résultat de la sépara tion: en bleu m ode(6) théorique, e n rouge mode (6) estimé
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 97
2.1.5. Les critères de performances
Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela poutre encastrée-libre.
MAC Er Ef (%) MAC Er Ef (%)
Mode 1 1.0000 0.0036 1.7802 Mode 11 1.0000 0.0006 -0.0059
Mode 2 1.0000 0.0094 0.0979 Mode 12 1.0000 0.0008 -0.0066
Mode 3 1.0000 0.0083 0.0069 Mode 13 1.0000 0.0005 0.0000
Mode 4 1.0000 0.0067 -0.0874 Mode 14 1.0000 0.0008 -0.0036
Mode 5 1.0000 0.0015 -0.0431 Mode 15 1.0000 0.0004 0.0041
Mode 6 1.0000 0.0101 -0.0288 Mode 16 1.0000 0.0004 0.0000
Mode 7 1.0000 0.0007 0.0258 Mode 17 1.0000 0.0020 0.0000
Mode 8 1.0000 0.0022 -0.0039 Mode 18 1.0000 0.0021 0.0000
Mode 9 1.0000 0.0007 0.0151 Mode 19 1.0000 0.0026 0.0000
Mode 10 1.0000 0.0208 0.0072 Mode 20 1.0000 0.0007 0.0000
Tableau 4-4. Les critères de performances
On remarque que le critère d’assurance modal MAC est égal à 1 pour les 20 modes et que l’erreur
de l’approximation des déformées modale Er n’a pas dépassé 0.03. En plus, l’erreur relative entre
les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par l’AMO Ef n’a pas dépassé
2%. Donc, les résultats obtenus par la méthode de superposition modale et la méthode d’analyse
modale opérationnelle sont très proches.
2.2. Poutre encastrée-encastrée
2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini
Les fréquences analytiques sont calculées en utilisant l’équation 4.1, avec les valeurs de données par le tableau 4-5.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 98
Tableau 4-5 .Valeurs de pour une poutre encastrée-encastrée (Annexe B [50])
Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 20 éléments.
Figure 4-8. Maillage de la poutre par 20 éléments
Figure 4-9. Comparaison des calculs numériques et analytiques
1 4.73004074
2 7.85320462 3 10.9956078 4 14.1371655 5 17.2787597 5 21 2
1 2 3 4 5 60
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
n°du mode
f r é q u e n c e
s e n H z
fréquences analytiques
fréquences numériques
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 99
2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale
2.2.2.1. Les coordonnées modales
La figure 4-10 présente les quatre premières réponses modales de la poutre et leur spectre.
Figure 4-10. Réponses modales de la poutre et leur spectre
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
Y ( 1 )
temps(s) 0 500 1000 1500 20000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F F T ( Y ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7
Y ( 2 )
temps(s)
0 500 1000 1500 20000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
F F T ( Y ( 2 ) )
fréquence(Hz)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-2
-1
0
1
2x 10
-7
Y ( 3 )
temps(s)
0 500 1000 1500 20000
0.005
0.01
0.015
0.02
F F T ( Y ( 3 ) )
fréquence(Hz)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-
Y ( 4
)
temps(s)
0 500 1000 1500 20000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
F F T ( Y
( 4 ) )
fréquence(Hz)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 100
Pour chaque réponse modale le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence
propre du mode correspondant. Le tableau 4-6 regroupe les fréquences propres théoriques de la
poutre encastrée-libre.
N° du mode Fréquences propres en
Hz
N° du mode Fréquences propres en
Hz
1 103.72 11 6091.8
2 285.91 12 7215.2
3 560.52 13 8441.44 926.66 14 9773.5
5 1384.6 15 11214
6 1934.5 16 12765
7 2576.9 17 14419
8 3312.6 18 16144
9 4142.6 19 17743
10 5068.4Tableau 4-6. Les fréquences propres théoriques de la poutre encastrée-libre.
2.2.2.2. Les déformées modales théoriques
La figure 4-11 présente les six premières déformées modales théoriques de la poutre encastrée-
encastrée.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 101
Figure 4-11. Les déformées modales théoriques de la poutre encastrée-encastrée.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
0.5
1
1.5
m o
d e 1
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 2
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 3
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e
4
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 5
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2
0
2
m o d e 6
x(m)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 102
2.2.3. Signaux observés
Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analyse
modale opérationnelle, on utilise les 19 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentées en
bleu sur la figure 4-12.
Figure 4-12. Emplacement des signaux observés sur la poutre
Les signaux observés sont numérotés de 1 à 19. La figure 4-13 présente quelques signaux
observés au niveau des nœuds 2, 6, 12 et 16. La poutre est en vibration libre soumise à des
conditions initiales aléatoires générées selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et
d’écart type égal à
10.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 103
Figure 4-13.Quelques réponses vibratoires au niveau de la poutre.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
X ( 1 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
F F T ( X ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6
X ( 5 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
F F T ( X ( 5 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
-1
0
1
2x 10
-6
X ( 1 1
)
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
F F T ( X ( 1
1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6
X ( 1 5 )
temps(s)0 0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
F F T ( X
( 1 5 ) )
fréquence(Hz)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 104
2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle
2.2.4.1. Les fréquences propres estimées
En partant des réponses vibratoires 1,…,19, on utilise le programme RobustiCA afin de
déterminer les réponses modales estimées 1,…,19 qui contiennent les fréquences
propres estimées. La figure 4-14 présente les quatre premières réponses modales de la poutre
encastrée-encastrée.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 105
Figure 4-14. Réponses modales de la poutre encastrée-encastrée.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
temps(s)
Résultat de la sé paration: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estim é
0 500 1000 1500 20000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=104Hz
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 500 1000 1500 20000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
f=286Hz
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-2
-1
0
1
2x 10
-7
temps(s)
Résultat de la sé paration: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
0 500 1000 1500 20000
0.005
0.01
0.015
0.02
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=561Hz
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7
temps(s)
Résultat de la sé paration: en bleu Y(4) théorique, en rouge Y(4) estim é
0 500 1000 1500 20000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
F F T ( Y ' ( 4 ) )
fréquence(Hz)
f=927Hz
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 106
Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui est la
fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-7 présente les fréquences propres
estimées.
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
1 104 11 6092
2 286 12 7215
3 561 13 84414 927 14 9774
5 1385 15 11214
6 1935 16 12765
7 2577 17 14419
8 3313 18 16155
9 4143 19 17743
10 5068Tableau 4.7. Les fréquences propres estimées de la poutre encastrée- encastrée
2.2.4.2. Les déformées modales estimées
La figure 4-15 présente une comparaison entre les six premières déformées modales de la poutre
estimées et théoriques.
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 107
Figure 4-15. Comparaison des déformées modales de la poutre estimées et théoriques.
0 0.5 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10
0.5
1
1.5
m o d
e 1
x(m)
Résultat de la sépara tion: en bleu mode(1) théorique, en rouge mode(1) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 2
x(m)
Résultat de la sépara tion: en bleu mode (2) théorique, e n rouge mode(2) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 3
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu m ode(3) théorique, en rouge mode(3) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 4
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(4) théorique, en rouge mode(4) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
-1
0
1
2
m o d e 5
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu m ode(5) théorique, en rouge m ode(5) estimé
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2
0
2
m o d e 6
x(m)
Résultat de la séparation: en bleu mode(6) théorique, en rouge mode(6) estimé
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 108
2.2.5. Les critères de performances
Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela poutre encastrée-encastrée.
MAC Er Ef (%) MAC E Ef (%)
Mode 1 1.0000 0.0006 -0.2700 Mode 11 1.0000 0.0004 -0.0033
Mode 2 0.9996 0.0751 -0.0315 Mode 12 1.0000 0.0062 0.0028
Mode 3 1.0000 0.0015 -0.0856 Mode 13 1.0000 0.0002 0.0047
Mode 4 1.0000 0.0016 -0.0367 Mode 14 1.0000 0.0010 -0.0051
Mode 5 1.0000 0.0034 -0.0289 Mode 15 1.0000 0.0012 0Mode 6 1.0000 0.0019 -0.0258 Mode 16 1.0000 0.0027 0
Mode 7 1.0000 0.0010 -0.0039 Mode 17 1.0000 0.0005 0
Mode 8 1.0000 0.0005 -0.0121 Mode 18 1.0000 0.0005 -0.0681
Mode 9 1.0000 0.0079 -0.0097 Mode 19 1.0000 0.0038 0
Mode 10 1.0000 0.0007 0.0079
Tableau 4-8. Les critères de performances
On remarque que le critère d’assurance modal MAC est égal à 1 sauf pour le deuxième mode(0.9996) et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas dépassé 0.08. En
plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par
l’AMO Ef varie entre 0 et 0.27%. Donc, les résultats obtenus par la méthode de superposition
modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très proches.
3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords
3.1. Validation du modèle de l’élément fini
Les fréquences analytiques sont calculées, pour un mode i donné, de la manière suivante (Annexe
B [50]) :
2 121 ; 1,2,3,…;1,2,3,… 4.2
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 109
avec :
1 . 2 : Longueur de la plaque
0 . 8 : Largeur de la plaque
: En fonction de
0 . 2 9 : Coefficient d’amortissement
4620 10/² : Masse par unité de surface
2 1 0 : Module de Young
0.004: Épaisseur de la plaque
Tableau 4.9. Valeurs de pour une plaque encastrée sur les quatre bords (Annexe B [50])
Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 324 éléments QKT.
1 2 3 4 5 6 1.5
60.77
(1,1)
93 .86
(2,1)
148.8
(1,2)
149.74
(3,1)
179.7
(2,2)
226.9
(4,1)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 110
Figure4-16. Comparaison des calculs numérique QKT et analytique
3.2. Méthode de superposition modale
3.2.1. Les fréquences propres théoriques
La figure 4-17 présente les quatre premières réponses modales de la plaque et leur spectre.
1 2 3 4 5 660
80
100
120
140
160
180
200
220
240
n°du mode
f r é q u e n c e e n H z
fréquences analytiques
fréquences numériques
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 111
Figure4-17. Réponses modales de la plaque et leur spectre
0 0.05 0.1 0.15-2
-1
0
1
2x 10
-6
Y ( 1 )
temps(s)0 200 400 600 800
0
0.02
0.04
0.06
0.08
F F T ( Y ( 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
Y ( 2 )
temps(s) 0 200 400 600 8000
0.01
0.02
0.03
0.04
F F T ( Y ( 2
) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15-2
-1
0
1
2x 10
-7
Y ( 3 )
temps(s) 0 200 400 600 8000
1
2
3
4
5x 10
-3
F F T ( Y
( 3 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6
Y ( 4 )
temps(s) 0 200 400 600 8000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
F F T ( Y ( 4 ) )
fréquence(Hz)
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 112
Pour chaque réponse modale le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence
propre du mode correspondant. Le tableau 4-10 regroupe les fréquences propres théoriques de la
plaque encastrée à ces quatre bords.
N° du mode Fréquences propres (Hz) N° du mode Fréquences propres (Hz)
1 63.0178 14 436.4142
2 96.9054 15 456.7740
3 154.2756 16 476.6319
4 154.4067 17 502.28375 184.5595 18 524.1467
6 234.0256 19 525.9426
7 236.6691 20 546.0240
8 292.3649 21 599.4082
9 310.8788 22 608.7174
10 320.2663 23 636.5955
11 334.9091 24 662.518812 368.0194 25 691.1654
13 406.8240
Tableau. 4-10. Les fréquences propres théoriques de la plaque encastrée à ces quatre bords.
3.2.2. Les déformées modales théoriques
La figure 4-18 présente les six premières déformées modales de la plaque.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 113
Mode 1 :
63.0178Mode 2 :
96.0178
Mode 3 : 154.2756 Mode 4 : 154.4067
Mode 5 : 184.5595 Mode 6 : 234.0256
Figure 4-18. Déformées modales de la plaque
0
0.5
1
0
0.5
-0.4
-0.2
0
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
x 0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
xy
w
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 114
3.3. Signaux observés
Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analyse
modale opérationnelle, on utilise les 25 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentés en
bleu sur la figure 4-19. La plaque est en vibration libre soumise à des conditions initiales
aléatoires générées selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal
à 10.
Figure 4-19. Emplacement des signaux observés
Les signaux observés sont numérotés de 1 à 25. La figure 4-20 présente quelques signaux
observés au niveau des nœuds 64, 124, 175 et 298.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 115
Figure.4-20. quelques signaux observés au niveau de la plaque
(b1) (a1) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-5
0
5x 10
-7
X ( 2 )
temps(s)0 200 400 600 800
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
-3
F F T ( X ( 2 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
X ( 8 )
temps(s)0 200 400 600 800
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
F F T ( X ( 8
) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
X ( 1 1 )
temps(s)0 200 400 600 800
0
0.005
0.01
0.015
0.02
F F
T ( X ( 1 1 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-7
X ( 2 4 )
temps(s)0 200 400 600 800
0
2
4
6
8x 10
-3
F
F T ( X ( 2 4 ) )
fréquence(Hz)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 116
3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle
3.4.1. Les fréquences propres estimées
En partant des réponses vibratoires 1,…,25, on utilise le programme RobustiCA afin de
déterminer les réponses modales 1 , … , 2 5 qui contiennent les fréquences propres
estimées. La figure 4-21 présente une comparaison entre les quatre premières réponses modales
théoriques et estimées de la plaque ainsi que les spectres des réponses modales estimées.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 117
Figure.4-21. Comparaison des réponses modales théoriques et estimées
0 0.05 0.1 0.15-2
-1
0
1
2x 10
-6
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 200 400 600 8000
0.02
0.04
0.06
0.08
F F T ( Y ' ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=63Hz
0 0.05 0.1 0.15-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-6
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en r ouge Y(2) estimé
0 200 400 600 8000
0.01
0.02
0.03
0.04
F F T ( Y ' ( 2 ) )
fréquence(Hz)
f=97Hz
0 0.05 0.1 0.15-2
-1
0
1
2x 10
-7
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) est imé
0 200 400 600 8000
1
2
3
4x 10
-3
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=154Hz
0 0.05 0.1 0.15-2
-1
0
1
2x 10
-6
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(4) théorique, en r ouge Y(4) estimé
0 200 400 600 8000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
F F T ( Y ' ( 4 ) )
fréquence(Hz)
f=154.5Hz
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 118
Pour chaque réponse modale estimée le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui
est la fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-11 présente les fréquences
propres estimées.
N° du
mode
Fréquences propres
estimées (Hz)
N° du
mode
Fréquences propres
estimées (Hz)
1 63 14 436.5
2 97 15 457
3 154 16 476.54 154.5 17 502.5
5 184.5 18 524
6 234 19 526
7 236 20 546
8 292.5 21 599
9 311 22 608.5
10 320.5 23 636.511 335 24 662.5
12 368 25 691
13 407
Tableau.4-11. Les fréquences propres estimées.
3.4.2. Les déformées modales estimées
La figure 4-22 présente les six premières déformées modales estimées de la plaque.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 119
Mode 1 : 64 Mode 2 : 97
Mode 3 : 154 Mode 4 : 154.5
Mode 5 : 184.5 Mode 6 : 234
Figure 4-22. Les déformées modales estimées de la plaque.
0
0.5
1
0
0.5
-0.4
-0.2
0
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
00.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
00.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 120
3.4.3. Les critères de performances
Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela plaque encastrée à ces quatre bords.
Tableau4-12. Les critères de performances
On remarque que le critère d’assurance modal MAC a des valeurs égales à 1 ou à peu prés égales
à 1 pour les 25 modes et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas
dépassé 0.17. En plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les
fréquences estimées par l’AMO Ef n’a pas dépassé 0.3%. Donc, les résultats obtenus par laméthode de superposition modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très
proches.
MAC Er Ef (%) MAC Er Ef (%)
Mode 1 1.0000 0.0010 0.0284 Mode 14 1.0000 0.0042 -0.0196
Mode 2 1.0000 0.0018 -0.0976 Mode 15 0.9992 0.0091 -0.0495
Mode 3 0.9998 0.0076 0.1787 Mode 16 0.9999 0.0078 0.0277
Mode 4 0.9933 0.1298 -0.0604 Mode 17 0.9997 0.0039 -0.0431
Mode 5 0.9998 0.0046 0.0323 Mode 18 0.9248 0.0377 0.0280
Mode 6 1.0000 0.0074 0.0109 Mode 19 0.8500 0.0077 -0.0109
Mode 7 0.9997 0.0059 0.2827 Mode 20 1.0000 0.0264 0.0044
Mode 8 0.9909 0.0013 -0.0462 Mode 21 1.0000 0.0004 0.0681
Mode 9 0.9988 0.1606 -0.0390 Mode 22 1.0000 0.0105 0.0357
Mode 10 0.9999 0.0046 -0.0730 Mode 23 1.0000 0.0035 0.0150
Mode 11 1.0000 0.0024 -0.0271 Mode 24 1.0000 0.0176 0.0029
Mode 12 1.0000 0.0074 0.0053 Mode 25 0.9999 0.0912 0.0239
Mode 13 0.9898 0.0035 -0.0432
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 121
4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois
4.1. Description de l’exemple
On considère le système double parois schématisé par la figure suivante :
Figure. 4-23. Système double parois
Ce système est constitué de deux plaques minces reliées bords à bord par un joint viscoélastique
de rigidité linéique et d’amortissement linéique nul. L’ensemble plaques-joint est placé, à
l’aide de deux autres joints viscoélastiques de rigidité linéique comme indiqué par la figure. Lesdeux plaques sont supposées minces, d’épaisseurs constantes et en flexion pure.
4.2. Equation du mouvement du système double parois
On présente dans ce paragraphe une formulation variationnelle des deux plaques et des joints
viscoélastiques ce qui conduit à la détermination de la formulation variationnelle totale du
système couplé. Cette formulation est établie en termes de déplacement des deux plaques.
La discrétisation par éléments finis de la formulation variationnelle du système couplé conduit à
un système matriciel symétrique dont la résolution permet la détermination des déplacements
transversaux des deux plaques.
4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé
La fonctionnelle d’énergie associée au système double parois s’écrit (la masse des joints étant
négligée par rapport à celle des plaques) :
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 122
é
é
é
é
é
é
é 4.3
Les différentes quantités énergétiques du système couplé sont définies par :
12 ∑ ∑ 4.4
2 ∑ ∑ 4.5
é 12 ∑ 4.6
é
12
∑ 4.7
é 12 ∑ 4.8
avec :
: La rigidité à la flexion de la plaque i (i=1,2)
121 4.9
: sont respectivement le module d’Young et le coefficient de Poisson du matériau
isotrope constitutif de la plaque i
: est la masse volumique de la plaque i
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http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 126/158
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 123
: est l’épaisseur de la plaque i.
4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie
La discrétisation par éléments finis de la fonctionnelle d’énergie associée à la formulation
variationnelle du système double parois permet la construction d’un système matriciel dont la
résolution aboutit à la détermination des inconnues du problème qui sont les déplacements des
deux plaques et .
Les deux plaques sont discrétisées par un élément finis surfacique rectangulaire à quatre nœuds et
trois degrés de liberté par nœud : le déplacement transversal
et les deux rotations de la normale
à la plaque autour des axes et .
Figure 4-24. Elément fini plaque
Les déplacements des deux plaques qui sont respectivement et s’écrivent comme suit :
4.10
4.11
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 124
et : sont les fonctions d’interpolation respectivement pour la plaque 1 et la
plaque 2.
et : sont les vecteurs déplacements nodaux respectivement de la plaque 1 et de la
plaque 2.
: est l’élément de référence de coordonnées et .
4.2.3. Energie de déformation de la plaque L’énergie de déformation de la plaque
1,2s’écrit sous la forme discrète suivante :
12 ∑∑ ∑4.12
Le terme
s’écrit de la manière suivante :
4.13
avec et
, où représente la matrice Jacobéenne de la transformation géométrique del’élément de référence à l’élément réel.
Le terme s’écrit de la manière suivante :
, , , 4.14
ξ 1ξ 2ξ
[ ] [ ]
1
j J
−
= [ ]J
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 125
avec :
et
, , , : représente l’opérateur de dérivation pour la transformation des dérivées
secondes de l’élément de référence à l’élément réel.
On pose :
, , , 4.15
4.16
En faisant une intégration sur l’élément de référence, on obtient :
∑
J : est le déterminant de la matrice Jacobéenne
On définit la matrice de rigidité associée à la plaque par :
∑ ∑ 4.18
D’où :
4.19
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 126
4.2.4. Energie cinétique de la plaque i
L’énergie cinétique de la plaque i (i= 1,2) s’écrit sous la forme suivante :
2 ∑∑ ∑ 4.20
L’intégration sur l’élément de référence du terme ∑ donne :
∑ 4.21
On définit la matrice masse associée à la plaque i par :
4.22∑ ∑
D’où :
2 4.23
4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique
On considéré le joint viscoélastique reliant les deux plaques par leurs bords. L’énergie de
déformation du joint s’écrit :
é – 4.24
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 127
On pose
12 1 , 2 4.25
12 1,2; 1,2 4.26
:Traduit l’énergie de couplage des deux plaque.
L’intégration sur l’élément de référence du terme donne :
12 1 , 2 4.27
4.28
On pose :
1 , 2 4.29
12 1 , 2 4.30
L’intégration sur l’élément de référence du terme donne :
12 1,2; 1,2 4.31
4.32 On pose :
1,2; 1,2 4.33
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 131/158
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 128
12
1,2; 1,2 4.34
4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2)
On a :
é 12 4.35
L’intégration sur l’élément de référence du terme donne :
4.36
On pose :
1 , 2 4.37
é 12 1 , 2 4.38
4.2.7. Equation matricielle
Pour le système double parois, la fonctionnelle d’énergie s’écrit alors :
12
12
2
2
12 12 12 12 12 12 4.39
La discrétisation de la fonctionnelle d’énergie, associée au système total couplé conduit à
l’équation matricielle suivante :
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 129
0
0 4.40
Cette écriture matricielle peut s’écrire sous la forme suivante :
00 00 4.41
On pose :
é 4.42
é 00 4.43
é 4.44
On obtient alors le système aux valeurs propres suivant :
é é é à 0 é é
é é 4.45
4.3. Validation du modèle de l’élément fini
Plaques
Les deux plaques sont identiques et espacées d’une distance e :
Espacement : 0.01
Longueur : 1 . 2
Largeur: 0 . 8
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 130
Module d’Young: 7 2 . 1 0N/m² Coefficient de Poisson : 0 . 2 2Epaisseur : 0.004
Masse volumique : 2500 / Les joints
Les trois joints sont identiques (l’amortissement n’est pas pris en compte) et ont pour rigidité
linéique :
0.264 10/²
En comparant les résultats pour 3 types de maillage on va utiliser celui d’un maillage 1 6 1 6(puisque la variation des fréquences par rapport à celui de 1 0 1 0 est faible (figure 4-25).
Figure 4-25. Choix du maillage
1 2 3 4 5 620
30
40
50
60
70
80
n°du mode
f r é q u e n c e s e n H z
maillage 7X7
maillage 10X10
maillage 16X16
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 131
4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale
4.4.1. Les fréquences propres théoriques
Les déformées modales des plaques reliées par des joints sont différentes des celles que l’on a
l’habitude de rencontrer (plaques encastrée ou simplement appuyées). Pour cette raison, on va
présenter le cas d’une plaque seule (figure 4-26). Ceci facilitera l’analyse des modes propres
couplés.
Figure 4-26. Plaque supporté par des joints
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 132
plaqueSystème double
paroisplaque
Système double
parois
Mode1 22.1461 22.1484 Mode 19 270.1584 161.9355
Mode 2 42.1660 22.3379 Mode 20 280.6785 165.3001
Mode 3 67.2508 42.1669 Mode 21 302.6300 180.3477
Mode 4 75.4712 42.7133 Mode 22 330.9799 182.2922
Mode 5 85.5372 67.2503 Mode 23 331.1592 184.8501
Mode 6 116.1881 68.3922 Mode 24 341.8613 191.6627
Mode 7 121.7125 75.4710 Mode 25 346.2985 214.1965
Mode 8 139.5177 76.6664 Mode 26 352.9659 220.4762
Mode 9 155.4216 85.5364 Mode 27 357.7432 223.5518
Mode 10 159.1653 87.7125 Mode 28 372.2579 233.5633
Mode 11 180.3476 116.1886 Mode 29 400.9319 233.7431
Mode 12 182.2921 120.0102 Mode 30 401.3528 246.9886
Mode 13 214.1963 121.7129 Mode 31 402.9998 248.2131
Mode 14 220.4761 124.0912 Mode 32 420.0719 250.5317
Mode 15 233.7432 139.5176 Mode 33 440.0263 258.7671Mode 16 246.9887 144.2061 Mode 34 443.5897 263.9222
Mode 17 250.5317 155.4215 Mode 35 457.6291 269.6979
Mode 18 269.6980 159.1653 Mode 36 467.4175 270.1583
Tableau 4-13. Fréquences propres du système double parois et de la plaque soumise par des joints
L’analyse des fréquences propres du système couplé, formé des deux plaques et des joints et
celui de la plaque seule montre qu’on retrouve toutes les fréquences de la plaque seule dans le
système couplé. Pour ces fréquences les plaques vibrent en phase. Pour les autres modes lesplaques vibrent en opposition de phase : Le joint intermédiaire pousse les deux plaques.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 133
4.4.2. Les déformées modales théoriques
Mode 1 : 22.1461 Mode 2 : 42.1660
Mode 3 : 67.2508 Mode 4 : 75.4712
Mode 5 : 85.5372 Mode 6 : 116.1881
Figure 4-27. Déformées modales de la plaque
0
0.5
1
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-1
0
1
xy
w
00.5
1
0
0.5
-1
0
1
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-1
0
1
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-1
0
1
xy
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 134
Mode 1 : 22.1484 Mode 2 : 22.3379
Mode 3 : 42.1660 Mode 4 : 42.7133
Figure.4-28. Les déformées modales du système double parois
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 135
4.5. Signaux observés
Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analysemodale opérationnelle, on utilise les 32 réponses vibratoires du système double parois 1,…32 au niveau des nœuds présentés en bleu sur la figure 4-29 (16 nœuds au niveau de chaque
plaque). Les signaux observés sont numérotés de 1 à 32. Le système double parois est en
vibration libre soumis à des conditions initiales aléatoires générées selon une loi de probabilité
uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal à 10 au niveau de la plaque 1.
Figure.4-29. Emplacement des signaux observés au niveau du système double parois
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 136
La figure 4.30 présente quelques signaux observés pour le système doubles parois au niveau des
nœuds 166, 246, 417 et 502.
Figure 4-30. Quelques signaux observés pour le système doubles parois
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7
X ( 1 0 )
temps(s)0 50 100 150 200 250 300
0
1
2
3
4x 10
-4
F F T ( X ( 1 0 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1 x 10
-7
X ( 1 4 )
temps(s)
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3x 10
-4
F F T ( X ( 1 4 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7
X ( 2 5 )
temps(s)
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4x 10
-4
F F T ( X ( 2 5 ) )
fréquence(Hz)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-5
0
5
10x 10
-8
X ( 3 0 )
temps(s)
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4x 10
-4
F F T ( X ( 3 0 ) )
fréquence(Hz)
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 137
4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle
4.6.1. Les fréquences propres estimées
En partant des réponses vibratoires 1, …32, on utilise le programme RobustiCA afin de
déterminer les réponses modales estimées 1 … 3 2 qui contiennent les fréquences propres
estimées. La figure 4-31 présente une comparaison entre les quatre premières réponses modales
théoriques et estimées ainsi que les spectres des réponses modales estimées.
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 138
Figure.4-31. comparaison entre les quatre premières réponses modales théoriques et estimées
ainsi que les spectres des réponses modales estimées
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4
-2
0
2
4x 10
-9
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-5
F F T ( Y ( 1 ) )
fréquence(Hz)
f=22Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2
-1
0
1
2x 10
-9
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en rouge Y(2) estimé
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5x 10
-5
F F T ( Y ' (
2 ) )
fréquence(Hz)
f=22.5Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-8
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5x 10
-5
F F T ( Y ' ( 3 ) )
fréquence(Hz)
f=42Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-9
temps(s)
Résultat de la séparation: en bleu Y(4) théorique, en rouge Y(4) estimé
0 50 100 150 200 250 3000
2
4
6
8x 10
-6
F F T ( Y ' ( 4 ) )
fréquence(Hz)
f=42.5Hz
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Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 139
Pour chaque réponse modale estimée le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui
est la fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-14 présente les fréquences
propres estimées du système double parois.
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
N° du
mode
Fréquences propres estimées
(Hz)
1 22 17 155.5
2 22.5 18 159
3 42 19 1624 42.5 20 165.5
5 67.5 21 180.5
6 68.5 22 182.5
7 75.5 23 185
8 76.5 24 191.5
9 85.5 25 214
10 87.5 26 220.511 116 27 223.5
12 120 28 233.5
13 121.5 29 234
14 124 30 247
15 139.5 31 248
16 144 32 250.5
Tableau4-14. Les fréquences propres estimées du système double parois.
4.6.2. Les déformées modales estimées
La figure 4-32 présente les six premières déformées modales du système double parois estimées.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 140
Mode 1 : 22 Mode 2 : 22.5
Mode 3 : 42 Mode 4 : 42.5
Figure 4-32. Les déformées modales du système double parois estimées.
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
0
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0.5
xy
w
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 141
4.6.3. Les critères de performances
Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dusystème double parois.
MAC Er Ef (%) MAC Er Ef (%)
Mode 1 0.9976 0.0041 0.6700 Mode 17 0.9999 0.0026 -0.0505
Mode2 0.9823 0.0516 -0.7257 Mode 18 0.9986 0.0143 0.1039
Mode3 0.9999 0.0044 0.3958 Mode19 0.9973 0.0194 -0.0398
Mode4 0.8579 0.0319 0.4994 Mode20 0.6029 0.0669 -0.1209
Mode5 0.9990 0.0078 -0.3713 Mode21 0.9739 0.0380 -0.0844
Mode6 1.0000 0.0052 -0.1576 Mode22 1.0000 0.0031 -0.1140
Mode7 1.0000 0.0095 -0.0384 Mode23 0.9988 0.0508 -0.0811
Mode8 0.4290 0.4122 0.2170 Mode24 0.9667 0.0444 0.0849
Mode9 0.9988 0.0079 0.0426 Mode25 0.8701 0.0899 0.0917
Mode10 0.9998 0.0228 0.2423 Mode26 0.9999 0.0132 -0.0108
Mode11 1.0000 0.0018 0.1623 Mode27 0.9995 0.0325 0.0232
Mode12 0.9971 0.0124 0.0085 Mode28 0.9519 0.0508 0.0271
Mode13 0.9914 0.0075 0.1749 Mode29 0.0790 0.3331 -0.1099
Mode14 0.9995 0.0085 0.0735 Mode30 0.9957 0.0256 -0.0046
Mode15 0.9898 0.0391 0.0126 Mode31 0.8778 0.1391 0.0859
Mode16 0.9583 0.0167 0.1429 Mode32 0.8699 0.0306 0.0127
Tableau 4-15. Les critères de performances
On remarque que le critère d'Assurance Modal (MAC) a des valeurs proches de 1 dans presque
touts les modes sauf pour les modes 8, 20 et 29. Dans ces trois cas, l’erreur de l'approximation
des déformées modales (Er) est plus ou moins remarquable 0.4122, 0.0669 et 0.3331. Aussi,
l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par
l’analyse modale opérationnelle (Ef) n’a pas dépassé 1%. En résumant, on peut dire que les
résultats obtenus par la l’AMO restent acceptables pour tous les modes.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 142
5. Conclusion
Durant ce chapitre, on a essayé de déterminer les fréquences propres et les déformées modalespour des structures dynamiques déformables de géométries plus au moins simples (poutre,
plaque, système double parois) en utilisant la méthode d’AMO.
En calculant les critères de performance, on montre que les résultats sont très proches des
résultats théoriques calculés par la méthode de superposition modale pour les deux cas de la
poutre et de la plaque. Pour le système double parois, malgré que l’erreur de l’approximation des
déformées modale Er a augmenté pour quelques modes (3 sur 32), les résultats obtenus par
l’AMO restent acceptables et proches des résultats théoriques.
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http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 146/158
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Conclusion générale 143
Conclusion générale
Ce mémoire de mastère est focalisé sur l’analyse modale opérationnelle des systèmes
dynamiques en appliquant l’une des techniques de la séparation aveugle de sources qui est l’ACI.
L’algorithme de séparation de sources proposé est RobustICA basé sur le Kurtosis comme critère
de séparation.
Tout d’abord, on a présenté le problème de séparation de sources en donnant son modèle
mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas d’un mélange linéaire
convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthode de séparation de source et en citant
quelques exemples d’applications de la séparation de sources. Puis, on a présenté la technique de
l’analyse en composantes indépendantes en montrant comment elle peut être utilisée en analyse
modale opérationnelle. Ensuite, on a proposé l’algorithme RobustICA comme approche
numérique permettant l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse
modale opérationnelle et on a pu le valider en l’appliquant pour un système discret à trois degrés
de liberté en vibration libre dans le cas non amortis où pour des coefficients d’amortissement très
faible. Enfin, on a étudié le comportement vibratoire de différents structure dynamiques
déformables de géométrie plus ou moins simple (unidimensionnelle : poutre en flexion,
bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords, tridimensionnelle : système double
parois) en déterminant leurs fréquences propres et leurs déformées modales par la méthode
d’analyse modale opérationnelle. Pour les trois cas étudiés, on a montré que les résultats obtenus
sont proches à ceux calculés théoriquement. Donc, l’analyse en composantes indépendantes peutêtre appliquée en analyse modale opérationnelle pour déterminer les caractéristiques modales des
structures dynamiques en utilisant seulement les réponses vibratoires mesurées sur quelques
points de la structure étudiée.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
Conclusion générale 144
Ce travail a été limité au cas des systèmes en vibration libre sans amortissement. Cependant il
peut être prolongé au cas des systèmes amortis avec force d’excitation quelconque et aux
structures à géométrie complexe. Il serait aussi intéressant de mener des études expérimentales
pour analyser le comportement vibratoire des systèmes dynamiques en utilisant l’analyse modale
opérationnelle.
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Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI
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Annexes 150
Annexes
Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimalAnnexe B : Expressions des fréquences analytiques
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Annexes 151
Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimal
Le contraste évalué à devient une fonction de seulement, et est donné par la fraction
rationnelle :
Κ || |||| 2 2
Avec , , , ||, ||,
et
||
.
Notons par :
Après une certaine manipulation algébrique pénible mais autrement franche, les polynôme ci-
dessus s'avèrent être :
Avec |²| ||² 4|| 4 4² 2|||| 4|| 2
4|| 4
|²| ||²
||, 2||, || Par conséquent, le dérivé de par rapport à s’écrit :
Κ 2
Donc, le polynôme est donné par l’équation (3.4) avec :
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Annexes 152
2
4 2 3 3 2 4 2 Les parties réelles des racines de ce polynôme sont les pas optimal à trouver dans l’étape 2 de
l’algorithme. Ces racines sont alors branchés de nouveau dans les équations pour vérifier lequel
de ces valeurs fournit la valeur optimale de de ||; cette valeur est alors le pas
optimale cherchée dans l'étape 3 de l'algorithme
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Annexes 153
Annexe B : Expressions des fréquences analytiques
B.1. Single-Span Beams
Notation: =distance along span of beam; =mass per unit length of beam; =modulus of
elasticity; = area moment of inertia of beam about neural axis; =span of beam.
Natural frequency (hertz):
; , , , …
Description : , , , … Mode shapes, : , , , …- Clamped- Free 1.875104074.694091137.8547574410.9955407314.137168392 1
2; 5
cosh cos sinh sin
0.7340955141.018467319 0.999224497 1.000033553 0.999998550 1.0 ; 5
- Clamped-Clamped 4.730040747.8532046210.995607914.137165517.27875972 1 2 ; 5
cosh cos sinh sin
0.9825022151.000777312 0.999966450 1.000001450 0.999999937 1.0 ; 5
B.2. Rectangular Plates
Notation: a= length of plates; b= width of plates; h= thickness of plate; i= number of half-waves
in mode shape along horizontal axis; j= number of half-waves in mode shape along vertical axis;
C= clamped edge; E= modulus of elasticity; = mass per unit area of plate ( for a plate of a
material with density ); = Poisson’s ratio.
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Annexes 154
Natural frequency (hertz):
; , , , … ; , , , …
Description and ,
- Clamped- Clamped-Clamped- Clamped
is independent of
1 2 3 4 5 60.4 23.65
(11)
27.82
(12)
35.45
(13)
46.70
(14)
61.55
(15)
63.10
(21)
23 27.01
(11)
41.72
(12)
66.14
(21)
66.55
(13)
79.85
(22)
100.9
(14)1.0 35.99
(11)
73.41
(21)
73.41
(12)
108.3
(22)
131.6
(31)
132.2
(13)1.5 60.77
(11)
93 .86
(21)
148.8
(12)
149.74
(31)
179.7
(22)
226.9
(41)2.5 147.8
(11)
173.9
(21)
221.5
(31)
291.9
(41)
384.7
(51)
394.4
(12)
5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/rapport-mastere-mariam 158/158
Carac t ér isa t ion v ibra t o i re des s t ruc t ures par
Analyse Modale Opérat ionnel le
Mariam MILADI épouse CHAABENE
Résumé : L’Analyse Modale Expérimentale (AME) n’est pas toujours réalisable dans toutesles structures réelles de génie civil et de génie mécanique : taille importante, inaccessibili-
té…etc. Il faut donc faire appel à d’autres méthodes d’analyse.
Le sujet de recherche objet de ce mémoire rentre dans ce cadre. Il consiste à étudier une nou-
velle approche d’Analyse Modale appelée Analyse Modale Opérationnelle (AMO) qui est en
mesure de caractériser les modes propres de structures en fonctionnement sans connaître ni la
source ni la structure. Cette approche est basée sur l’Analyse en Composantes Indépendantes
(ACI) qui est l’une des méthodes les plus utilisées dans la Séparation Aveugle de Sources.
La technique d’AMO développée est appliquée ensuite pour la caractérisation vibratoire de
différents types de structures : structure unidimensionnelle (poutre encastrée-libre et poutre
encastrée-encastrée), structure bidimensionnelle (plaque encastrée à ces quatre bords) et struc-
ture tridimensionnelle (système double parois). Les résultats sont comparés à ceux obtenus
numériquement par la méthode de superposition modale.
Mots clés: Analyse Modale Opérationnelle (AMO), Analyse en Composantes Indépendantes
(ACI), Séparation Aveugle de sources (SAS), Méthode de superposition modale, Caractéris-
tiques modales, poutre, plaque, système double parois.
Abstract: The Experimental Modal Analysis (EMA) is not always realizable in all the real
structures of civil engineering and mechanical engineering: big dimensions, inaccessibility...
etc. It is thus necessary to call upon other methods of analysis.
It’s with this context that the present research work is presented. It consists in studying a new
approach of Modal Analysis called Operational Modal Analysis (OMA) which is able to cha-racterize eigenmodes of structures during operation without knowing neither the source nor
the structure. This approach is based on the Independent Component Analysis (ICA) which is
one of the major ways in Blind Source Separation.
The developed technique of OMA is then applied for vibratory characterization of various
types of structures: one-dimensional structure (clamped-free beam and clamped-clamped
beam), two-dimensional structure (plate clamped on these four boards) and three-dimensional
structure (double panel system). The results are compared with those numerically achieved by
the modal recombination method
Key-words: Operational Modal Analysis (OMA), Independent Component Analysis (ICA),
Blind source separation (BSS), modal recombination method, modal characteristics, beam,
plate, double panel system.
Ecole DoctoraleSciences et Technologies
Mémoire de MASTERE
Mécanique et Ingénierie
N° d’ordre: 2010− 07
République TunisienneMinistère de l’Enseignement Supérieur,
De la Recherche Scientifique
Université de SfaxÉcole Nationale d’Ingénieurs de Sfax