Université de LiègeFaculté des sciences appliquées

Rapport de StageProfesseur responsable : Jean Lebrun

Implémentation de la fonction de transfert dans un programme de simulation thermique pour le 

bâtiment.

Quoilin Sylvain

Troisième épreuve du grade d'ingénieur civil électromécanicien, Orientation Energétique.

Novembre 2006

Index

1. Présentation de l'organisme d'accueil 32. Objectifs du stage 43. La méthode de la fonction de transfert 7

1. Définition et calcul de la fonction de transfert 72. Calcul des coefficients de la fonction de transfert 11

1. Réponse temporelle du système à une excitation 122. Calcul des résidus 133. Transformée en z 144. Identification des coefficients 165. Evaluation de l'intervalle de recherche des pôles nécessaire 186. Vérification des coefficients en régime permanent 19

3. Bilans de chaleur1. Bilan de chaleur dans un mur extérieur 202. Bilan de chaleur dans un mur intérieur 223. Bilan de chaleur dans les fenêtres 224. Bilan de chaleur dans l'air de la zone 23

4. Description des ajouts et modifications au programme1. Programme Matlab 252. Programme Visual Basic 27

1. Modifications graphiques 272. Modifications du code 29

5. Résultats 306. Perspectives et recommandations 367. Conclusion 388. Références 39

2

1. Présentation de l'organisme d'accueil.

Le stage s'est déroulé au Chili, à l'université de Concepcion.  Cet échange entrait dans le cadre de la longue entente liant l'université de Liège avec celle de Concepcion.

Plus précisément, l'entièreté du travail réalisé a eu lieu au sein du département de mécanique sous la surveillance du professeur Adelqui Fissore.  Le Pr Fissore y est professeur de Mécanique des fluides, théorie de mesures, et de climatisation.  

Le département dispose d'un laboratoire de thermofluides, principalement dédié aux travaux pratiques pour les étudiants et employant plusieurs techniciens ainsi qu'un chef de labo.  

Outre ses activités d'enseignement, le département possède un important pôle dédié à la recherche. La principale partie des activités de recherche s'effectue au travers de « magisters » effectués par des étudiants diplômés  Ces magisters ont une durée de 2 ans et peuvent éventuellement se prolonger par un doctorat.  Ils doivent se conclure par la rédaction d'un rapport et la publication d'un article scientifique.

Le professeur A. Fissore se consacre principalement à la recherche et au développement d'applications pour la climatisation et l'utilisation rationnelle de l'énergie dans le bâtiment.  C'est ainsi que depuis plusieurs années, il développe au sein de son département plusieurs logiciels de simulation thermique pour le bâtiment, destinés aux architectes et autres professionnels de la construction.  De même, plusieurs modèles de convection et de radiation solaire spécifiques pour le Chili ont été développés.  Ces modèles prennent en compte les spécificités du Chili tant au niveau de son climat (situation dans l'hémisphère sud, variations importantes selon les régions) que des caractéristiques de ses constructions (utilisation quasi exclusive de simple vitrage, etc).De nombreuses études énergétiques sont aussi effectuées par le laboratoire pour des constructions de grande dimension.

Le travail s'est déroulé au sein du laboratoire lui même et en compagnie des « postgrados » effectuant leur magister.  Le fait de travailler avec d'autres étudiants sur un projet du même domaine a été un grand avantage : il a permis un échange d'informations et de documentations facilité.  De plus, les étudiants ont toujours été d'une grande aide pour tous les problèmes liés à la langue.

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2. Objectifs du stage

Le stage a été divisé en deux parties : 

La première partie, correspondant à la première semaine de stage, a été réalisée au sein même du laboratoire de thermofluides.  L'objet du travail était d'assister Vincent Lemort, doctorant au laboratoire de thermodynamique de Liège et également en voyage au Chili dans son travail d'instrumentation du laboratoire.  Le but était de moderniser et d'automatiser entièrement l'acquisition des données sur les différents bancs d'essai.  Un budget étant disponible pour l'achat du matériel, le travail consistait en la réalisation d'une proposition d'achat de matériel dans les limites de ce budget.Pour chaque banc d'essai, il était nécessaire de définir la carte d'acquisition appropriée, ainsi que les différents instruments de mesures : thermocouples, transducteurs de pression, débimètres, diaphragmes et/ou tuyères de mesure de débit de gaz, ...Un des bancs d'essai devait également comporter une possibilité de commande à distance, avec des moteurs pas à pas et une webcam pour le suivi de l'expérience.Un fichier EES de modélisation du banc d'essai a chaque fois été réalisé afin de calculer les fonds d'échelle nécessaires pour chaque instrument de mesure.Il fallait ensuite se référer aux catalogues disponibles pour le Chili afin de récupérer les références des instruments les plus appropriés.Cette première partie étant relativement courte et ne constituant pas l'objet principal du stage, elle ne fera pas l'objet d'explications supplémentaires dans le présent rapport.

La deuxième partie du stage, qui est aussi la principale, consistait en la contribution au développement d'un logiciel de simulation thermique pour le bâtiment. Depuis plusieurs années, le département développe un logiciel de simulation semblable à TRNSYS. Ce logiciel est en constante évolution : de nouveaux modèles et améliorations ne cessent de s'y ajouter, plusieurs étudiants « postgrados » ayant travaillé sur le sujet.Les fonctionnalités du programme sont  :

● Plusieurs modèles de convection intérieure et extérieure● Modèles très complets de radiation infrarouge intérieure et extérieure● Etude solaire poussée● Modèles détaillés de simple vitrage avec protection

Ses limitations sont :● Possibilité de calcul d'une seule zone thermique à la fois.  Il est donc difficile de modéliser 

des bâtiments complexes, comportant plusieurs pièces.● Temps de calcul important

Le programme a été développé en effectuant le moins de simplifications possible  dans les modèles de transfert de chaleur.  De plus, les modèles utilisés ont été sélectionnés afin de répondre mieux que les autres programmes du marché aux besoins spécifiques du pays.  C'est ainsi que, par exemple, le modèle de simple vitrage a été développé au maximum, le Chili utilisant très peu le double ou le triple vitrage.  Une version simplifiée du programme est dores et déjà distribuée pour les architectes désirant une évaluation sommaire des besoins en chauffage et en climatisation de leurs constructions.

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Le but du présent travail a été d'apporter une solution au problème de la lenteur du calcul.  Le programme peut en effet parfois calculer pendant plus d'une demi heure les échanges de chaleur dans une seule zone thermique durant un an, ce qui le rend difficilement utilisable et donc impossible à distribuer dans son état actuel.La solution envisagée a été l'implémentation de la méthode de la fonction de transfert, au lieu de la méthode des différences finies utilisée actuellement.  La méthode de la fonction de transfert est apparue fin des années 60 est est aujourd'hui la méthode la plus répandue pour les programmes de simulation comme TRNSYS ou DOE­2.La stratégie était d'incorporer en premier lieu le « moteur » de la fonction de transfert, et de venir y greffer un à un les différents modèles convectifs ou radiatifs présents dans le programme.  

Il était clair dès le début qu'il ne serait pas possible, dans le cadre d'un stage de deux mois, d'implémenter complètement la fonction de transfert, avec tous les modèles qui y sont liés.  Le travail demandé était donc d'implémenter le moteur de la fonction de transfert, sans forcément implémenter les modèles de convection, radiation infrarouge ou solaire, fenêtres, etc.  Ces modèles pourraient être implémentés par la suite s'il restait du temps.  Afin d'assurer la continuité, la dernière semaine de stage devrait être réservée à la rédaction d'un rapport détaillé en Espagnol, ce rapport ayant pour but de permettre à l'étudiant qui reprendrait le travail de prendre le code en main sans trop de difficultés (cfr annexe 3).

Description du programme :

Le programme comporte en premier lieu une série de formulaires d'introduction des données constructives.  Toute cette partie sera conservée et mise à profit pour la fonction de transfert.Viennent ensuite les options de choix des modèles, d'introduction des données climatiques, etc.Les modèles présents dans le programme sont les suivants : 

● Superficies extérieures :  ­ Modèles convectifs : Modèle MoWitt, Modèle Détaillé      ­ Modèles de radiation :  Température apparente du ciel

 Facteurs de forme  avec l'environnement      ­ Modèle de radiation solaire : Orgin & Hollands, Lui Jordan

● Superficies intérieures :   ­ Modèles convectifs : C. Cuevas, ASHRAE      ­  Echanges radiatifs et facteurs de forme      ­  Radiation solaire intérieure

● Conduction :        ­ Murs denses      ­ Murs peu denses

Une description détaillée de chaque modèle utilisé peut être obtenue en consultant la thèse de Magister de R. Egas Biava (référence 2).

Le calcul de la conduction est réalisé par la méthode des différences finies, chaque mur étant divisé en plusieurs éléments caractérisés par une température uniforme dans chacun d'eux.  Cette méthode possède l'inconvénient de nécessiter une charge de calcul importante : à chaque itération, la température de chaque élément doit être calculée.  De plus, la condition de stabilité de la méthode 

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MDF impose un incrément de temps ne dépassant pas une certaine limite.  Cette condition multiplie le nombre d'itérations nécessaires et donc le temps de calcul.

Formulaire de saisie du choix des modèles convectifs, radiatifs, de chauffage, etc : 

Formulaire de saisie des données de simulation : 

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3. La méthode de la fonction de transfert.

La méthode de la fonction de transfert est actuellement la méthode la plus moderne et la plus utilisée pour le calcul des transferts de chaleur dans le bâtiment.  C'est une méthode basée sur l'analyse dynamique des échanges de chaleur, qui permet de calculer avec une bonne précision la conduction dans les murs en régime transitoire.Chaque mur est considéré comme une « boite noire » et est défini par 4 coefficients qui reflètent son comportement thermique.  Le calcul de ces coefficients, prenant en compte les propriétés de chaque couche constituant le mur, constitue la majore partie des calculs préliminaires à l'implémentation de la méthode.L'incrément de temps utilisé est de une heure, ce qui explique que cette méthode soit beaucoup plus rapide que celle des différences finies.  Le principal problème, comme nous le verrons plus tard, vient du fait que les coefficients  de radiation doivent être linéarisés.  Il ne sera donc pas possible de récupérer les modèles radiatifs existants dans le programme original pour la fonction de transfert.  Les coefficients convectifs ainsi que l'étude de la radiation solaire, par contre, seront conservés et utilisés.

Une des difficultés majeure durant le travail a été la collecte d'informations. En effet, la méthode de la fonction de transfert est une méthode utilisée et éprouvée depuis le début de années 70.  Les articles scientifiques datant de cette période sont trop vieux et ne sont plus disponibles à la bibliothèque de l'université de Concepción.  Bien qu'utilisée dans la plupart des logiciels, la méthode a connu peu d'évolution depuis cette période. Par conséquent, peu d'articles récents traitant de ce sujet ont été trouvés, et aucun ouvrage ne détaille les différentes étapes du calcul.  Il a donc été nécessaire de se baser sur les quelques articles postérieurs disponibles pour reconstituer les développements nécessaires à l'établissement des équations du calcul des coefficients.  Le présent travail se base également sur un travail effectué en 2004 au sein du département de mécanique de l'université de Concepcion par R. Egas, et proposant une méthode de calcul très simplifiée pour la fonction de transfert.  Le manuel de TRNSYS 16 a aussi constitué une aide appréciable, notamment pour la mise en place des équations de bilan de chaleur.

Dans les chapitres suivants seront présentés tous les calculs effectués au cours du stage, aboutissant aux équations finales implémentées dans le programme. 

3.1 Définition et calcul de la fonction de transfert 

Le problème posé est de calculer les flux de chaleur au niveau des faces intérieure et extérieure du mur en fonction des températures de superficie.On calcule séparément le facteur de réponse de chacune des couches composant le mur.  Les différents facteurs de réponse sont ensuite combinés pour obtenir celui du mur tout entier.

L'équation de conduction dans une couche s'écrit :∂T∂ t

=∂

2 T∂ x2 (3.1)

En appliquant la transformée de Laplace a cette équation, on obtient : 

7

sT s , x =

2T s , x x2

Dont la solution la plus générale s'écrit : 

T s , x =A sinh sB cosh

s (3.2)

Nous allons ensuite calculer la fonction de transfert du système pour une excitation en température au niveau de la surface du mur.  Les réponses à des excitations au niveau des surfaces interne et externe sont calculée séparément et ensuite additionnées pour obtenir la réponse totale.La fonction de transfert es la réponse (fréquentielle) du système à une impulsion de Dirac :

T t =t dont la transformé de Laplace vaut :

  T s =1 .

Excitation à droite : 

Les conditions aux limites sont données par :   T 0t =0 ,   T 1t =t       =>       T s , 0=0        T s , d 1=1

en supposant  T t0, x =0

Ce qui nous permet de déduire les constantes d'intégration : B=0

A= 1

sinh s

d 1

La fonction de transfert pour une excitation à droite s'écrit donc : 

8

figure 1 : schéma général d'un mur multi­couche

H T , d=T s , x T 1 s

=

sinh s

x

sinh s

d 1

(3.3)

Excitation à gauche :

On procède de la même manière que précédemment :   T 0t =t ,   T 1t =0       =>       T s , 0=1        T s , d 1=0

B=1

A=−

cosh s

d1

sinh s

d 1

Dans ce cas, la fonction de transfert pour une excitation à gauche s'écrit : 

H T ,i=T s , xT 0 s

=

cosh s

x sinh s

d 1−sinh s

x cosh s

x

sinh s

d 1

=

sinh sd 1−x

sinh s

d 1

(3.4)

Les fonctions de transfert pour le flux de chaleur s'obtiennent en dérivant les fonctions de transfert en température : 

q x ,t =−k∂T x ,t

∂ x

   => H q ,i=q s , x T 0 s

=k s

cosh sd 1−x

sinh s

d 1

(3.5)

       H q ,d=q s , x T 1 s

=−k s

cosh s

x

sinh s

d 1

(3.6)

La réponse totale est égale à la somme des deux contributions :

q s , x =H q , iT 0 sH q ,d T 1 s

9

Ce qui nous intéresse est le flux de chaleur au niveau des deux surfaces, i.e pour  x=0 et  x=d 1  :

[q0

q1]= [

H q ,i ,0 H q , d , 0

H q ,i ,1 H q , d , 1] [

T 0

T 1] (3.7)

Nous pouvons ensuite exprimer les variables de la surface 0 en fonction des variables de la surface 1:

[T 0

q0]= [A B

C D ] [T 1

q1]= [

−H q ,d ,1

H q ,i ,1

1H q , i , 1

−H q , i , 0

H q ,i , 1H q ,d ,1H q , d , 0

H q , i , 0

H q , i , 1] [T 1

q1] (3.8)

En identifiant les éléments A, B, C et D de la matrice de transfert, on obtient : 

A=cosh d s C=k

s

sinh d s

B= 1

k s

sinh d s D=cosh d

s

Il est possible de transformer les fonctions hyperboliques en fonction trigonométriques en effectuant le changement de variable :

s=−=i2 ,   étant un réel positif.

Grâce au relations  cosh ix=cos x et  sinix=i sin x , on obtient :

A=cos d

C=−k

sind

B=1

k

sind

D=cos d

(3.9)

Nous avons calculé la matrice de transfert pour une couche.  Afin d'obtenir la matrice de transfert pour le mur tout entier, il est nécessaire de multiplier les matrices de chaque couche :

Si  M i= [ Ai B i

C i Di] est la matrice de transfert de la couche i et si M est la matrice du mur, 

[T 0

q0]=M 1[

T 1

q1]=M 1 M 2[

T 2

q2]=...=∏

1

n

M i[T f

q f]

10

=>  M=∏1

n

M i (3.10)

Et si on désire obtenir les flux de chaleur en fonction des températures de superficie du mur, le système devient : 

  (3.11)

A, B, C y D étant les éléments de la matrice de transfert du mur (M)

3.2 Calcul des coefficients de la fonction de transfert 

Dans cette section seront développées les équations permettant  de calculer les coefficients ak , bk , ck , d k  de la fonction de transfert et qui nous conduiront au résultat final de la conduction 

de chaleur au travers du mur tel que repris ci­dessous : 

q i=∑k=0

Ncoef

bk T o t−k

−∑k=0

Ncoef

ck T it−k

−∑k=1

Ncoef

d k q i t−k (3.12)

qo=∑k=0

Ncoef

ak T ot−k

−∑k=0

Ncoef

bk T it−k

−∑k=1

Ncoef

d k qot−k (3.13)

Les coefficients  ak , bk , ck , d k sont des caractéristiques intrinsèques du mur.  Ils rendent compte de toutes les informations de conduction, capacité calorifique et épaisseur de chaque couche du mur.Les flux de chaleur  q0 et  q i sont les flux de chaleur en conduction respectifs des faces externes et internes du mur.  Ils sont tous les deux dirigés vers l'intérieur de la zone thermique.Les températures  T i

t−k et  T ot−k sont les températures des faces internes et externes, k 

intervalles de temps avant le temps t.  Le calcul du flux de chaleur par la fonction de transfert fait donc appel à l'historique des flux et températures au niveau des deux surfaces du mur.

11

[q0

q f]=[

D s B s

−1

Bs 1

B s −

A sBs

][T 0

T f]

3.2.1 Réponse temporelle du système a une excitation :

Afin d'obtenir les coefficients, on calcule la réponse du système a une excitation particulière en température.  On choisit d'imposer comme entrée une rampe  T t = t dont la transformée de 

Laplace vaut  T s =1s2

En utilisant l'équation (3.11), on peut déduire les réponses des flux de chaleur aux excitations en température.

Par exemple pour une excitation en  T f , la réponse sur  q f  sera : 

q i s=−As B s

1s2 ,   q0, T 0, q f ,T f  ayant été renommés en  qo , T o , qi ,T i

Pour obtenir la réponse en temporel, il faut effectuer la transformée de Laplace inverse.  

L−1[ X r ]=2 j ∫

− j∞

j∞

ez⋅t X r z dz , avec  X r=−A sB s

1s2  et  ∈ℝ (3.14)

On se sert pour cela du théorème des résidus : 

L−1[ X r ]=2 j

12 j∑k=0

∞

r k t =∑k= 0

∞

rk t (3.15)

 les  r k  étant les résidus de  ez⋅t X r z =−As B s

1s2 ez⋅t  

12

Contour d'intégration

3.2.2 Calcul des résidus :

Pour la recherche des résidus, il est nécessaire de rechercher au préalables les pôles de la fonction. Si le mur se compose d'une seule couche, les pôles sont les racines de  

B=1

k

sind  

Données par  d =k , avec  k=1,2 ,3 ,4 , ..

Les pôles sont donc donnés par : 

=k=k2

2

d2 (3.16)

En terme de s : s=−k (3.17)

Ces pôles sont donc tous situés sur l'axe réel, du coté négatif.

Dans cas où le mur est composé de plusieurs couches, la recherche des pôles se fait numériquement.

Nous avons également un pôle double en  s=0

Les résidus sont donc donnés par : 

r k=sk[−es⋅t 1

s2

A sBs ]

s=−k

(3.18)

On peut évaluer l'expression  lims−k

[sk

B s ]  en utilisant le développement de Taylor de B autour 

de  −k :B s=B −k sk ⋅B' −k ...

On a donc : 

lims−k

[sk

B s ]=B ' −k

Et donc :

r k=sk[−es⋅t 1s2

As B s ]s=−k

=−e−k⋅t 1k

2

A−k

B ' −k (3.19)

Le résidu en zéro vaut : 

r 0=

s [ s2 es⋅t 1s2−As

B s ]

s=0

=t [−As B s ]

s=0

[dds

−As Bs

]s=0

(3.20)

Les dérivées de A, B, C, D sont les éléments de la matrice dMds

, donnée par : 

dMds

=∑i=1

n

[ ∏j=1

i−1

M j dM i

ds ∏j=i1

n

M j ] (3.21)

13

avec : 

dM i

ds=−

dMi

d =[

d i

2 isin d i

i −

d2k i

cos d ii

i

2ki

−

32 sind i

i

d i k i

2i

cos d ii

k i

2 isin d i

i

d i

2 isin d i

i ]

(3.22)

Nous connaissons donc à présent la réponse temporelle  q i  du système à la rampe  T i=t

Les calculs pour les réponses  q i  et  qo  à des excitations en  T i  et  T o  se déroulent de 

manière identique, A sBs

étant remplacé par D s B s

ou 1

B s  dans le calcul des résidus.

3.2.3 Transformée en z : 

Les équations obtenues nous donnent la réponse temporelle du système à une entrée continue. Hors, dans un programme de simulation thermique, les données d'entrée sont discrètes (généralement horaires).  Nous allons donc calculer les facteurs de réponse à l'aide de la transformée en z.

L'équation (3.11) devient : 

(3.23)

L'expression de chaque fonction de transfert s'obtient en effectuant la transformée en z de l'équation 3.15.  Le premier résidu doit être développé, car il possède un terme dépendant de t (remplacé ici par n ) :

L−1[ X r ]=C 0⋅tC1∑

k=1

∞

r k t =C0⋅n⋅C1∑k=1

∞

rk n⋅ (3.24)

C0 et  C1  sont donnés par l'équation 3.20, et les  r k  par l'équation 3.19.

Par exemple, pour le cas  −As B s

, on a

C0=[−A s

B s ]s= 0

(3.25)

C1=[dds

−As

B s ]

s=0(3.26)

A, B, C, D en 0 sont les éléments de la matrice :

14

[qo zq i z ]=[

D z B z

−1

B z 1

B z −

Az B z

][T o zT i z ]

 M s=0=∏

1

n

M i ,s= 0=∏1

n

[1d i

k i

0 1 ]=[1 Rtot

0 1 ](3.27)

Avec  Rtot=∑1

n d i

k i

Les dérivées de A, B, C et D sont les éléments de la matricedMds s=0

donnée par l'équation 3.21 

avec:

dM i

ds s=0=[

d i2

2

d i2

2 k ii

d i k i

i

d i2

2i]

On trouve, en effectuant la multiplication et la sommation : 

dMds s=0

=d tot

2

2 tot [1

Rtot

32

R tot

1 ] (3.28)

Avec  d tot=∑1

n

d i et tot=∑1

n

i

Ces résultats nous permettent de calculer chaque terme de la transformée en z qui s'écrit : 

Xr z =C 0⋅

1−z−1

2

C1

1−z−1∑

k=1

∞ rk

1−e−k⋅ z−1(3.29)

X r  est la réponse à un rampe en température, donnée par  T=t=n⋅

La fonction de transfert s'écrit donc : 

H z =

C 0⋅

z 1−z−1

2

C1

1−z−1∑

k=1

∞ r k

1−e−k⋅ z−1

z 1−z−12

(3.30)

Le résultat ci­dessus peut être utilisé pour chacun des éléments de la matrice de l'équation (3.23). Seuls les constantes  C0 et  C1  et les résidus  r k varieront selon le cas .

On peut développer ces fonctions de transfert en polynômes en  z−i : 

D z B z

=

∑k=0

∞

ak z−k

1∑k=1

∞

d k z−k

1B z

=

∑k=0

∞

bk z−k

1∑k=1

∞

dk z−k

A z B z

=

∑k=0

∞

ck z−k

1∑k=1

∞

d k z−k(3.31)

15

L'utilisation de l'unité comme premier terme du polynôme au dénominateur sera justifiée par la suite.De même, la transformée en z des flux de chaleur et des températures est définie de la manière suivante : 

qo z =∑k=0

∞

qo k z−k q i z =∑k=0

∞

qik z−k(3.32)

T o z =∑k=0

∞

T o k z−k T i z=∑k=0

∞

T ik z−k(3.33)

 étant l'incrément de temps, qui est généralement d'une heure.

L'expression du flux de chaleur  q i  en fonction des températures devient (en temporel) : 

∑k=0

∞

qi k z−k

1∑k=1

∞

dk z−k

=∑k=0

∞

T ok z−k

∑k=0

∞

bk z−k

−∑k=0

∞

T ik z−k

∑k=0

∞

ck z−k

Elle peut être réorganisée de la manière suivante : 

∑k=0

∞

q ik D k z−k=∑

k= 0

∞

Bk z−k−∑

k=0

∞

C k z−k(3.33)

avec :  

Dk=∑k=0

∞

d j qi[ k− j ] Bk=∑k=0

∞

b jT o[k− j ] C k=∑k=0

∞

c j T i[ k− j ] (3.34)

En identifiant les facteurs multipliant chaque  z−k , on obtient l'expression de la conduction de chaleur annoncée au début du chapitre (équation 3.12) :

q ik=Bk – Ck−Dk=∑j=0

∞

b j T o[ k− j ]−∑j=0

∞

c j T i[k− j ]−∑j=0

∞

d j qi [k− j ]

En pratique seuls les n premiers coefficients sont pris en compte, leur importance diminuant fortement quand on remonte dans le temps.  Un critère d'arrêt doit être défini pour déterminer n. Dans le programme, on prendra comme critère  d n110−9

L'expression du flux de chaleur au niveau de la surface externe du mur (équation 3.13) s'obtient de manière similaire.

3.2.4 Identification des coefficients

L'équation de la conduction ayant été obtenue, il ne nous reste plus qu'à identifier les coefficients a, b, c, et d en comparant les expressions de la fonction de transfert données par les équations 3.30 et 3.31.

16

On égale les dénominateurs pour obtenir les coefficients  d k :

∏k=1

n

1−e−k⋅z−1 =1∑k=1

∞

d k z−k

=>  d 1=−h1h2h3..hn

d 2=h1 h2h1 h3...h2 h3h2 h4...hn−1 hn

... (3.35)d n=−1n h1 h2 h3 ...hn

avec  hk=e−k⋅

Calculons maintenant, à titre d'exemple, les coefficients  bk :

Dans ce cas­ci, on prend Xr z =1

B z(cfr équation 3.23).  On l'exprime de la façon suivante : 

Xr z =∑k=0

n

ok⋅ z−k   (3.36)

avec :

o t =C 0 tC1∑k=1

∞

r k e−k t(3.37)

Les constantes  C1 ,  C0  et les résidus étant ceux correspondant à 1

B z

On a alors : 

Xr z

z 1 – z−1

2

=

b⋅z∑k=0

∞

bk z−k

1∑k=1

∞

d k z−k

Il faut un terme en  z  au numérateur du deuxième membre, afin que les polynômes soient identiques.  En remplaçant  Xr , on obtient : 

b⋅z∑k=0

2n1

bk z−k=

z 1 – z−1

2

∑k=0

n

o k⋅ z−k 1∑k=1

n

dk z−kLes  bk  sont donc donnés par : 

b=m⋅o 0b0=m0⋅o0 m⋅ob1=m 1⋅o0m0⋅o m⋅o 2b2=m2⋅o0 m1⋅om0⋅o2 m⋅o3... (3.38)

bk=∑j=0

k

mk− j⋅o j⋅ m⋅o[k1 ]

...

bn=∑j=0

k

mn− j⋅o j⋅m⋅o[ n1]

Il n'est pas nécessaire de calculer les 2n1 coefficients b.  Les  n  premiers suffisent

17

Les coefficients  m k  sont définis de la manière suivante : 

m=1

m0=1 d1 – 2

m1=1 d2 – 2 d11

...

m k=1 d k1 – 2 d kdk−1 (3.39)

...

mn=1 – 2 d ndn−1

Afin d'éviter le terme en z au numérateur, Mitalas suggère de prendre  C1=−∑k=1

n

d k au lieu de la 

sa valeur réelle donnée par l'équation 3.25.  Dans ces conditions, on a alors  o 0=0 et donc b=0   On retrouve alors l'expression de la fonction de transfert en  z  telle que définie à 

l'équation 3.31.

Le calcul des  ak  et des  ck  se déroule de la même manière que pour  bk , seuls les résidus et les constantes  C  changent.

3.3.5 Évaluation de l'intervalle de recherche des pôles nécessaire :

L'espace entre deux pôles consécutifs varie selon les propriétés constructives du mur.  L'intervalle de recherche de ces pôles varie donc également.  Essayons d'évaluer cet intervalle à l'aide d'une simplification permettant de calculer analytiquement les racines de B.  On suppose le mur composé d'une seule couche uniforme, dont les caractéristiques physiques medio et d tot sont données par des valeurs moyennes de chaque couche : 

medio=1n ∑

i=1

n

i (3.40)

d tot=∑i=1

n

d i (3.41)

Les racines de  B= 1

k medio

medio

sin d tot

medio

 sont données par : 

d tot k

medio

=k   =>   k=k 2

2medio

d tot2 (3.42)

Si par exemple on désire obtenir 5 pôles, on définit k=5 , on remplace dans (3.42) et on en déduit une borne supérieure pour l'intervalle de recherche.

18

3.2.6  Vérification des coefficients en régime permanent : 

En régime permanent, il n'y a plus de variation de température ou de flux de chaleur dans le temps. Les équation (3.12) et (3.13) se réduisent donc à :

q i= ∑k=0

Ncoef

bk T o− ∑k=0

Ncoef

ck T i− ∑k=1

Ncoef

d k qi

qo= ∑k=0

Ncoef

ak T o− ∑k=0

Ncoef

bk T i− ∑k=1

Ncoef

d k qo

En régime permanent, nous pouvons également écrire : q i=qo=U T o−T i

Ce qui nous permet de déduire une relation entre U et les coefficients de la fonction de transfert : 

U=

∑k=0

Ncoef

bk

1∑k=1

Ncoef

d k =

∑k=0

Ncoef

ck

1∑k=1

Ncoef

d k =

∑k=0

Ncoef

ak

1∑k=1

Ncoef

d k (3.43)

Cette relation permet de vérifier rapidement si les coefficients obtenus sont réalistes ou pas.  

19

3.3 Bilans de chaleur

Dans ce chapitre, nous réaliserons les bilans de chaleur sur les murs extérieurs et intérieurs, sur les fenêtres et dans l'air intérieur.  Ces bilans nous conduiront a l'équation donnant la nouvelle température dans l'air de la zone en fonction des données disponibles.

3.3.1 Bilan de chaleur dans un mur extérieur

Face externe : he T amb−T o=qo−Sext (3.44)

Face interne :h iT i−T r=q iS i (3.45)

Les coefficients h i et he sont des coefficients convectifs ET radiatifs.  Cela constitue donc une approximation non négligeable.  Il faudrait implémenter un modèle prenant en compte la température (virtuelle) du ciel, la température des alentours, les échanges radiatifs entre murs à l'intérieur de la zone.Par la théorie de la fonction de transfert, on peut exprimer les flux de chaleur en conduction dans les murs en fonction de des températures internes et externes, ainsi que des historiques de flux/température (équations 3.11 et 3.12) :  

q i=b0T o−c0T iK i (3.46)qo=a0 T o−b0 T iK o (3.47)

Les termes K i y  K o sont définis par :

K i=∑k=1

Ncoef

bk T o t−k

−∑k=1

Ncoef

ck T it−k

−∑k=1

Ncoef

d k q i t− k (3.48)

20

K o=∑k=1

Ncoef

ak T ot−k

−∑k=1

Ncoef

bk T it−k

−∑k=1

Ncoef

d k qo t− k (3.49)

En combinant les équations antérieures pour éliminer  T i et  T o , on obtient

1c0

hiqi=b0 T amb−

b0

heqo

b0

heSext−c0T r−

c0

hiS iK i

1a0

heqo=a0T amb

a0

heS ext−b0T r−

b0

h iq i−

b0

hiS iK o

On combine ensuite ces deux équations pour éliminer qo :

1c0

hi

−b0

2

hihea0q i=b0−

b0 a0

hea0

T amb−c0b0

2

hea0

T rb0

he

−b0 a0

he hea0S ext

−c0

hi

b0

2

hi hea0S i−

b0

hea0

K oK i (3.50)

Ce qui peut s'écrire : 

qi=B T ambC T rD (3.51)

Avec :

B=ea he

1eb(3.52)

C=ea b0−c0

1eb(3.53)

D=1

1ebea S ext−eb S i−ea KoK i (3.54)

ea=b0

hea0(3.55)

eb=c0

hi

−b0

2

hihea0(3.56)

21

3.3.2 Bilan de chaleur sur un mur intérieur :

Les murs intérieurs se modélisent de la même façon que les murs extérieurs, sauf qu'il y a une seule température, celle de l'air intérieur, et que  Sext  devient  S i .  Le coefficient de convection extérieur est remplacé par un coefficient de convection intérieur. : 

qi=BC T rD (3.57)

Avec : 

ea=b0

hia0(3.58)

eb=c0

hi

−b0

2

hihia0(3.59)

D=1

1ebea S i−eb S i−ea KoK i (3.60)

B et C restent identiques.

Il ne faut pas oublier de considérer les deux superficies du mur.  La seconde superficie peut être considérée comme un mur indépendant, qui aurait les mêmes coefficients que la première, mais avec les  ak et les ck interchangés.

3.3.3 Bilan de chaleur dans les fenêtres

Seul le modèle des fenêtre simple vitrage sans protection a été réalisé.  Les modèles de calcul de coefficients convectifs pour les fenêtres avec protection devront être implémentés par la suite.Les fenêtres sont considérées comme des éléments sans masse thermique.  Le flux de chaleur en conduction s'écrit donc : 

qcond=q i=qo=U T o−T i ,   U=kd

Ce qui est équivalent à un mur dont les coefficients seraient : a0=b0=c0=U , tous les autres coefficients étant nuls. (3.61)

Le flux radiatif Qext est remplacé par l'énergie radiative absorbée par le verre : Qext '=vidrio Qext (3.62)

Qi '  est supposé nul.

Le flux radiatif transmis par la fenêtre est réparti également sur tous les murs intérieurs.

Dans le cas de fenêtres situées sur des mur intérieurs, il n'est pas nécessaire d'implémenter un modèle, car la fenêtre n'a pas de masse thermique et n'influence donc pas la température de l'air intérieur.

22

3.3.4 Bilan de chaleur dans l'air de la zone

On considère une zone thermique composée de murs extérieurs, intérieurs, et de fenêtres.

V C pT n

−T n−1

t=Q convQload (2.63)

Où   Qconv est le flux de chaleur émis en convection par les murs. Qload  est un terme qui somme tous les gains internes (chaleur émise par les personnes et 

le matériel, ventilation, chauffage, air conditionné, etc)

Qconv= ∑j=1

Nmuros

qi , jS i , j A j

=>  T n=T n−1

t

V C p[∑

j=1

Next

B ext , j A jT amb∑j=1

Next

C ext , j A jT r∑

j=1

Next

D ext , j∑j=1

Ntot

S i , j ]

tV C p

[∑j=1

Nint

Binter , jC inter , jB ' inter , jC ' inter , j T r∑j=1

Nint

Dinter , jD ' inter , j ]

tV C p

[∑j=1

Nvent

Bvent , j A jT amb∑j=1

Nvent

C vent , j A jT r∑

j=1

Nvent

Dvent , jQ load ] (3.64)

Où :    Next  :  Nombre de murs extérieursNint  : Nombre de murs intérieursNtot  : Nombre total de surfaces :  Ntot=Next2NintA j : Superficie du mur ou de la fenêtre jBext , j , C ext , j , Dext , j  : Coefficients correspondant à chaque mur 

externeBinter , j ,C inter , j , Dinter , j  : Coefficients correspondant à chaque mur 

interneB ' inter , j , C ' inter , j , D' inter , j  : Coefficients correspondant à la seconde 

surface de chaque mur interne.B vent , j ,C vent , j , Dvent , j  : Coefficientss correspondant à chaque fenêtre

T r=T r

n−1T r

n

2Température moyenne durant l'intervalle de 

temps 

=>  1− f sT rn=1 f sT r

n−1

tV C p [ ∑j=1

Next

B ext , j A j∑j=1

Nvent

B vent , j A j T amb∑j=1

Next

Dext , j∑j=1

Ntot

S i , j ]   

tV C p

[∑j=1

Nint

Dinter , jD ' inter , j∑j=1

Nvent

D vent , jQload ] (3.65)

Avec : 

f s= t

2V C p[∑

j=1

Nint

Binter , jC inter , jB' inter , jC ' inter , j∑j=1

Next

C ext , j A j∑j=1

Nvent

C vent , j A j ] (3.66)

23

On est donc maintenant en mesure de déterminer la nouvelle température de la zone.  On peut ensuite utiliser cette température pour déduire les températures internes et externes de chaque mur ainsi que les flux de chaleur.

Le flux de chaleur au niveau de la face interne du mur j vaut : 

q i , j=B jT ambC j TrD j  (dans les cas d'un mur interne, on remplace  T amb  par  T r )

de l'équation (3.45), on peut déduire la température de la surface intérieure :

T i , j=T rqi , jS i , j

h i(3.66)

En combinant les équations (3.44) et (3.51), on obtient une expression de T o , j  : 

1a0, j

heT o , j=T amb

b0, j

heT i , j –

Ko j – S ext , j

he(3.67)

Et on peut enfin calculer qo , j  :

qo , j=he T o , j−T ambS ext , j (3.68)

4. Description des ajouts et modifications au programme

Dans ce chapitre sera exposée la méthodologie utilisée pour implémenter dans le programme les équations développées dans les sections précédentes.  Pour implémenter la méthode de la fonction de transfert, nous distinguerons 3 procédures principales qui seront implémentées indépendamment.

● Recherche des pôles : fonction qui calcule les pôles de la fonction de transfert.  La méthode numérique utilisée est celle de la dichotomie  Les paramètres de la fonction sont l'intervalle de recherche et le nombre de subdivisions de cet intervalle (cfr section 3.2).

● Calcul des coefficients : Fonction qui calcule les 4 coefficients de la fonction de transfert pour chaque mur à partir des pôles et des données constructives. (cfr section 3.2)

● Bilan de chaleur : Fonction qui effectue les bilans de chaleur de la section 3.3, afin de déterminer la nouvelle température de l'air, les températures externes et internes de chaque mur, ainsi que les flux de chaleur.  La température de l'air intérieure est d'abord calculée et ensuite sont déduits les autres températures et les flux de chaleur.

Les deux première procédures impliquent plusieurs manipulations de matrices et l'utilisation de fonction mathématique avancées comme les sinus et cosinus hyperboliques. Ces opérations sont assez compliquées à implémenter dans Visual Basic.

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La troisième procédure est simplement une boucle dans le temps avec des sommes et des équations relativement simples.Par conséquent, les deux première fonctions ne seront pas implémentées directement dans Visual Basic, mais seront programmées en langage Matlab et compilées en objets ActiveX sous la forme de fichiers dll. Ces fichiers seront appelés par le programme Visual Basic pour exécuter les procédures qui leurs correspondent.La troisième procédure étant plus simple, elle sera introduite directement dans le programme.  

4.1 Programme Matlab

Le code Matlab s'inspire d'un code écrit en 2004 par Rolando Egas.  Le code original était cependant trop simple, et comportait un nombre important d'erreurs.  Il pouvait calculer approximativement le flux en conduction dans un seul mur à partir des températures des superficies interne et externe, et non pas à partir des températures de l'air.  Tout le code a donc été révisé et réécrit.Les différents fichiers et les fonctions qui leur correspondent sont expliqués ci­dessous : 

Fichier Description

mitalaspoly.m Programme "mère" : C'est lui qui définit les données constructives et climatiques, puis qui appelle successivement les procédures de recherche des pôles et de calcul des coefficients.  Il effectue ensuite le bilan de chaleur pour chaque heure de l'année et les affiche sous forme de divers graphiques.Ce fichier sert juste au test du bon fonctionnement des deux fonctions (recherche des pôles et des coefficients).  Il ne sera pas implémenté dans le programme final.

busq.m Fonction de recherche des pôles (zéros de la fonctions B).Arguments :  ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                      ­ Intervalle de recherche                      ­ Nombre de subdivisions                       ­ Nombre de couchesL'intervalle de recherche est subdivisé en sous­intervalles, et pour chacun d'eux, le signe de la fonction B est évalué aux extrémités.  Si un changement de signe a lieu (présence d'un pôle dans ce sous­intervalle), la fonction elpolo2.m est appelée pour déterminer la position exacte de ce pôle. La valeur de la fonction B est obtenue en faisant appel au fichier matrizm.m qui renvoie la matrice M au point considéré.Les arguments en sortie sont : ­ Un vecteur contenant les pôles                                                 ­ Une variable contenant le nombre de pôles

matrizm.m Fonction de calcul de la matrice M, donnée par l'équation 3.10Arguments : ­ Valeur du point s considéré                     ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                     ­ Nombre de couches

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Fichier Description

Ce fichier implémente l'équation 3.10.  Les matrices  M i sont obtenues en faisant appel aux fichiers funcA.m, funcB.m, funcC.m et funcD.mSon unique argument en sortie est la matrice M au point s considéré.

funcA.mfuncB.mfuncC.mfuncD.m

Fonctions de calcul des éléments de la matrice  M i pour une couche spécifique.Arguments : ­ Valeur du point s considéré                     ­ i , d i , k i pour la couche en questionLes équations implémentées par ces 4 fichiers sont données en (3.9)Arguments en sortie : Valeur de la fonction au point considéré

elpolo2.m Recherche du pôle dans un intervalle où l'on sait qu'il existeArguments :  ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                      ­ Intervalle de recherche                      ­ Nombre de subdivisions                      ­ Nombre de couchesOn procède de la même manière que pour busq.m, mais en réduisant chaque fois l'intervalle pour arriver à une précision suffisante.  On s'arrête lorsque l'intervalle es plus petit que  10−14  ou que  B s10−12

Arguments en sortie : ­ Valeur du pôle                                    ­ Valeur du pivot où l'on doit continuer à chercher

coefFT.m Calcul des coefficientsArguments :  ­ Pôles de la fonction de transfert                      ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                      ­ Nombre de couchesArguments en sortie : ­ Matrice des coefficients                                    ­ Nombre de coefficientsLe fichier fait appel à 4 sous­routines : cofDs.m, residuo.m, coefos.m, coefms.m, coefbs.m

cofDs.m Calcul des coefficients  d k

Arguments : Pôles de la fonctionArguments en sortie : Vecteur des coefficients  d k

Le code retranscrit l'équation 3.35

residuo.m Calcul des résidus et des constantes  C0  et  C1

Arguments :  ­ Pôles de la fonction de transfert                      ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                      ­ Nombre de couchesArguments en sortie : ­ Résidus                                    ­ Constantes d'intégration

Les résidus pour chaque cas (D s B s

,1

B s ,

A sB s

) sont calculés à l'aide 

de l'équation 3.19Les constantes C0 et C1 pour chaque cas sont calculées par les équations 3.25 et 3.26Le fichier fait appel à deux sous­routines : matrizm.m, matrizdm.m

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Fichier Description

matrizdm.m Calcul de la dérivée de la matrice MArguments : ­ Valeur du point s considéré                     ­ Données de chaque couche du mur :  R , , d , k                     ­ Nombre de couchesArguments en sortie : ­ matrice dM

Ce fichier implémente l'équation 3.21.  Les matrices dM i

dssont obtenues 

en faisant appel aux fichiers funcdA.m, funcdB.m, funcdC.m et funcdD.m

funcdA.mfuncdB.mfuncdC.mfuncdD.m

Fonctions de calcul des éléments de la matrice dM i

dspour une couche 

spécifique.Arguments : ­ Valeur du point s considéré                     ­ i , d i , k i pour la couche en questionArguments en sortie : Valeur de la fonction au point considéréLes équations implémentées par ces 4 fichiers sont données en (3.22)

coefos.m Calcul des coefficients os définis par l'équation 3.37

coefmns.m Calcul des coefficients m définis par l'équation 3.39

coefbs.m Calcul des coefficients  ak , bk et  ck par l'équation 3.38.Arguments : ­ Coefficients os                     ­ Coefficients m                     ­ Nombre de coefficientsArguments en sortie : ­ Matrice des  ak , bk et  ck

Le détail du code pour chaque fichier est consultable en annexe 1.

Afin d'être utilisé dans le programme Visual Basic, le code a été compilé en librairies dll, qui sont ensuite chargée dans le programme. On compile deux fichiers dll : un pour la fonction de recherche des pôles et un pour la fonction de calcul des coefficients.  Ils sont compilés avec Matlab comme objets ActiveX. Le compilateur C++ utilisé est « Microsoft Visual C++ 6.0 » et la version de Matlab est la 7.0 (r14).  Il est important de noter que pour que ces dll fonctionnent sur un ordinateur ne possédant pas Matlab 7, il est nécessaire d'installer préalablement le "Matlab Runtime Components", distribué gratuitement par Mathworks.  

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4.2 Modification du programme Visual Basic

Le programme original est conservé, afin de pouvoir effectuer des comparaisons entre les résultats donnés par la méthode des différences finies et par celle de la fonction de transfert. Plusieurs formulaires et modules sont ajoutés afin d'y intégrer le code de la fonction de transfert.Le programme Visual Basic ayant été mis au point pour la MDF, les modèles utilisés ne sont pas tous adaptables à la méthode de la fonction de transfert.Les éléments du programme original mis à profit sont : 

● Le recueil des données constructives● L'étude solaire● Le calcul des coefficients convectifs.

Tout ce qui concerne les flux de chaleur infrarouges n'a pas pu être utilisé car la méthode de la fonction de transfert nécessite des coefficients linéarisés.Le modèle des fenêtres n'a pas pu être récupéré non plus.

4.2.1 Modifications graphiques : 

Peu de modifications à l'interface graphique sont effectuées puisque la "base" du programme est conservée.

Fenêtre de simulation : 

Un onglet est ajouté, afin de différencier le bouton de commande de la fonction de transfert de celui prévu pour la MDF.

Un bouton de calcul des coefficients est également ajouté et doit être pressé avant de commencer la simulation. 

Formulaire de Calcul des coefficients :

Ce formulaire est ajouté.  C'est lui qui appelle les deux librairies Matlab détaillées plus haut.  Il permet de définir l'intervalle de recherche des pôles, ainsi que le nombre de subdivisions.  Il effectue aussi la recherche de l'intervalle optimal (voir section 3.2.5) et la vérification des coefficients en régime permanent (section 3.2.6).  L'intervalle optimal est placé dans le formulaire comme valeur 

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par défaut mais peut être modifié par l'utilisateur.Il permet également de visualiser les pôles et les coefficients de chaque mur.Ce formulaire est nécessaire pour la mise au point du programme, mais il pourra être supprimé dans une version plus définitive, l'utilisateur final ne portant normalement aucun intérêt aux détails du calcul des coefficients.

 

4.2.2 Modification du code : 

La principale modification est l'ajout d'un module appelé "transferencia", appelé par la commande "Simulation" citée plus haut.  L'organisation du module est calquée sur celle du module "MDF" présent dans le programme original qui contient le "moteur" du calcul par les différences finies.  Ce nouveau module comprend toutes les équations de bilan de chaleur développées dans la section 3.3.

Les unités standard utilisées pour la fonction de transfert sont le Kj et l'heure, alors que les unités standard du programme sont celle du système international (watt, seconde).  Il a donc fallu être très prudent avec les unités en écrivant le code.  Toutes les puissances ont dû être multipliées par 3,6.

Un autre problème est apparu pour le calcul des coefficients convectifs : dans le programme original, les coefficients sont dépendants de la température et sont calculés avec les températures de l'intervalle de temps précédent.  Cela ne pose aucun problème pour la méthode MDF, l'intervalle de temps étant très faible (quelques secondes), mais pose un problème pour la méthode de la fonction de transfert qui possède un intervalle de temps de une heure.  Malgré de nombreuses recherches et la consultation du professeur Fissore, il n'a pas été trouvé de solution acceptable à ce problème. Les coefficients convectifs sont donc toujours "en retard" d'une heure.  Une évaluation de l'erreur commise devra être effectuée, et si cette erreur est trop importante, il n'y aura pas d'autre solution que de recourir à un processus itératif ou d'utiliser des modèles non dépendants de la température.

Un modèle de chauffage et de climatisation très basique a aussi été implémenté en guise d'essai. C'est un modèle on/off dont l'unité de temps est de une heure.  Cela signifie que si la température dépasse la limite maximale au début de l'heure, la réaction (arrêt du chauffage et/ou démarrage de la climatisation) n'aura lieu qu'à la fin de l'heure.  Le modèle n'est donc pas réaliste et devra être amélioré.

D'autre modifications de code mineures ont été effectuées comme l'ajout d'une fonction d'enregistrement des résultats obtenus par la fonction de transfert, la correction de quelques erreurs de programmation, la modification du nom de certaines variables, etc.

Les détails du code sont consultables en annexe 2 et la description des modifications effectuées est consultable en annexe 3, dans le rapport rendu au professeur Fissore.

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5. Résultats

Dans cette section seront exposés quelques résultats de simulation pour des configurations différentes.  Tous les modèles n'ayant pas pu être implémentés par manque de temps, il ne sera pas possible de comparer efficacement les résultats obtenus par MDF et par la fonction de transfert. Nous commencerons par analyser des modèles très simples, puis nous ajouterons progressivement des fenêtres, des murs intérieurs et extérieurs pour voir leur influence sur les résultats.

1) Régime permanent :On compare les résultats du programme en régime permanent avec les résultats obtenus à la main, pour être surs qu'il n'y a pas d'erreur dans les bilans de chaleur.On impose une température intérieure constante T r=15 et une température extérieure constante

T amb=20 .  Tous les flux radiatifs sont imposés nuls.

Les résultats obtenus pour les températures internes et externes et pour le flux de chaleur sont : Calculé  : 

T i=16.761658031        T o=19.119170984         q=35.233160622

Programme : T i=16.7658031086 T o=19.11917044 q i=35.2331606217754

2)  2 murs extérieurs, pas de fenêtre :Cette configuration serait l'équivalent d'un parallélépipède rectangle dont 4 de ses murs sont adiabatiques.  Les deux murs restants échangent par convection avec l'intérieur et l'extérieur.  La radiation solaire est supposée nulle.

On remarque une température de l'air intérieur légèrement supérieure dans le cas de la fonction de transfert.  Cela est dû à l'absence de modèle de radiation infrarouge : Le modèle MDF considère en plus des échanges radiatifs avec la voûte céleste, avec le sol et avec les environs, ce qui n'est pas le cas de la fonction de transfert.Si l'on modifie la température ambiante pour prendre en compte la température du ciel dans la fonction de transfert, les deux courbes peuvent se superposer, comme nous allons le voir sur ce "zoom", de l'heure 450 à l'heure 500 : 

30

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

2 muros exteriores, sin ventana

Temperatura Aire, Transferencia

Temperatura Aire, MDF

horas

tem

pera

tura

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

Temperatura Aire, Transferencia

Temperatura Aire, MDFTemperatura Exterior

  T amb=T exterior : T amb=0.85T exterior0.15Tcielo :

Cette modification ne possède évidemment aucune base physique valable, mais permet  de montrer qu'avec un modèle de radiation infrarouge approprié, les deux courbes devraient coïncider.On remarque aussi sur le premier graphique qu'au début de la simulation, la méthode met un certain temps à se stabiliser et à donner les températures adéquates.  Il est donc important de prendre avec précaution les résultats de début de simulation.

3) Ajout d'un mur intérieur : A l'exemple ci­dessus, on ajoute un mur intérieur, toujours sans aucune fenêtre.  Ce mur va jouer le rôle de régulateur de température à l'intérieur de la zone grâce à sa capacité thermique.  La courbe devrait donc être adoucie par rapport à l'exemple sans mur intérieur.  On vérifie que c'est bien le cas sur le graphique suivant (les pics de températures sont moins violents) : 

4) Ajout de 4 murs intérieurs, avec radiation solaire : Cet exemple (2 murs extérieurs et 4 murs intérieurs) n'est pas réaliste.  En effet, nous avons un volume d'air intérieur de 22,5 m3 et chaque mur possède une superficie de 7,5 m2 .  Nous avons donc une trop grande capacité thermique à l'intérieur de la zone.  On remarque que dans ce cas, la méthode de la fonction de transfert est instable (à cause d'un intervalle de temps trop grand) : si les murs intérieurs sont plus chaud que l'air de la zone, il fournissent de la chaleur à l'air, qui se réchauffe.  A l'intervalle de temps suivant, l'air est plus chaud que les murs intérieurs (ce qui n'est physiquement pas acceptable), et fournit de la chaleur aux murs. Le processus se poursuit ainsi sans stabilité.

31

­5

­2,5

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

Temperatura Aire, Transferencia

Temperatura Aire, MDFTemperatura Exterior

Temperatura Cielo

Température à l'intérieur de la zone, avec et sans mur intérieur

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

Temperatura Aire sin muro interior (transferencia)

Temperatura Aire, muro interior (Transferencia)

horas

tem

pera

tura

Volumen=22.5 m3 :

(La courbe bleue correspond au cas sans murs intérieurs)

Volumen=150 m3

(La courbe bleue correspond au cas sans murs intérieurs)

Si l'on augmente le volume de la zone à une valeur plus réaliste au vu du nombre de murs, le problème disparait.  On remarque alors une courbe très plate, les variations étant très fortement atténuées par l'importance du volume d'air et par la capacité thermique des murs intérieurs.

5) 6 murs externes, 1 mur interne, 2 fenêtres

Ce dernier exemple se veut plus réaliste que les exemples précédents, nous essayerons de commenter plus en profondeur les résultats obtenus.  Il s'agit d'un cube de 3 mètres de coté, comportant un mur intérieur d'une superficie de 5 m².  Les murs externes sont composés d'une couche de brique de 20 cm et d'une couche d'isolant de 5 cm sur la face interne.  Le mur intérieur ne comporte que la couche de brique de 20 cm.  Les 2 fenêtres ont une superficie de 0,5 m² et sont disposées sur les murs nord et sud.Les propriétés des matériaux choisis sont les suivantes : Brique :  k=1,4 [W /m K ] c=0,92[Kj / kgK ] =2000[ kg/m3

]

Isolant :  k=0,04 [W /m K ] c=0,84[Kj /kg K ] =91[kg /m3]

32

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

Temperatura Aire, Transferencia

Temperatura Aire TransferenciaTemperatura Exterior0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

Temperatura Aire, TransferenciaTemperatura Aire Transferencia, 4 muros interiores

Temperatura Exterior

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

2 muros exteriores, sin ventana

Temperatura Aire, Transferencia

Temperatura Aire Transferencia, 4 muros exteriore, V = 100 m^3

horas

tem

pera

tura

On voit que la température qui varie le plus est celle de la face externe du mur, à cause du rayonnement solaire absorbé.  On voit aussi qu'elle se rapproche très fort de la température extérieure quand la radiation devient nulle pendant la nuit.  La température de la face interne est logiquement comprise entre la température de la face externe et la température de l'air de la zone.

On s'intéresse aussi au flux de chaleur transmis par les murs (ici le mur nord) : 

Il s'agit, en orange, du flux externe en conduction et en violet du flux de convectif entre l'air extérieur et le mur.  La différence entre les deux est évidemment égale à la quantité de radiation solaire absorbée par le mur, ce qui explique les fortes variations.

On remarque ici des valeurs très inférieures à celles du graphique précédent.  Cela est dû à la nature isolante de la face interne et à un niveau de radiation solaire absorbée inférieur.

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On voit ici que le flux est généralement négatif, ce qui signifie que la fenêtre tend à diminuer la température de la zone.  La différence fondamentale entre une fenêtre et un mur est qu'elle n'absorbe pas (ou très peu) de radiation solaire, ce qui explique l'allure de ce graphique.

Un résultat très intéressant est celui du bilan de chaleur global (sur un an) au niveau du mur : on calcule la chaleur totale ayant transité au niveau de la face interne et on la compare avec la chaleur ayant transité par la face externe.  Ces deux résultats devraient être similaires.  On obtient : 

q i , an=−37317,45 Kj qo , an=−36578,18 Kj q=739 Kjqi est négatif, il s'agit en fait de l'énergie solaire qui est entrée par les fenêtres et qui est évacuée par transmition au travers des mur.La différence entre les deux valeurs peut en partie être expliquée par une par une température de mur différente entre le début et la fin de l'année.  On note en effet un t de 0,66 °C au niveau de la face externe.  Si l'on néglige la capacité thermique de l'isolant et que l'on considère que la brique est à une température uniforme égale à sa température de superficie, on peut évaluer la quantité d'énergie emmagasinée correspondant à ce  t :

E=⋅A⋅d⋅c⋅ t=2000⋅1⋅0,2⋅0,92⋅0,66=243 Kj

L'erreur commise par la méthode de la fonction de transfert est donc de : 

Err=q i , an−qo , anE

qi ,an

=0.0133

On a donc une erreur relative sur le bilan de 1,33 %

Conclusion sur les résultats obtenus

Nous voyon que chaque nouveau modèle apporte une modification physiquement plausible aux résultats.  Il est cependant regrettable de ne pas être en mesure, dans l'état d'avancement du programme, de comparer les résultats avec un autre programme de simulation ayant fait se preuves.  On ne peut pas, avec les résultats à notre disposition, conclure que la simulation fournie par le programme est correcte, même si elle semble plausible.

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6) Temps de simulation

Le temps de simulation a été fortement amélioré.  A titre d'exemple les temps de simulation des configuration n° 2 et 4 reprises ci­dessus son repris dans le tableau suivant:

Configuration Temps de calcul  des coefficients  

de la fonction de  transfert

Temps de  Simulation de la  

fonction de  transfert

Temps total de la  fonction de 

transfert

Temps de  simulation de la  

MDF

2 2.61 secondes 2.36 secondes 4.97 secondes 48.56 secondes

4 5.14 secondes 5.77 secondes 10.91 secondes 176.95 secondes

On remarque une amélioration importante du temps de calcul.  Il est aussi important de noter que le temps de calcul de la MDF dépend fortement du maillage utilisé lors de la discrétisation.  Les temps ci­dessus correspondent à une division de chaque mur en 4 éléments, ce qui est trop peu pour obtenir des résultats précis.  Si l'on divise le mur en 10 éléments, le temps de simulation dépasse 30 minutes dans le deuxième cas.

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6. Perspectives et recommandations

Faute de temps, de nombreux modèles n'ont pu être implémentés dans le cadre du stage. Le programme dans son état actuel, ne peut donc pas être utilisé.   Il est prévu qu'un étudiant de Magister de l'Université de Concepción continue le travail commencé.  La dernière semaine du stage a donc été consacrée à la rédaction d'un rapport en espagnol détaillant avec précision chaque partie du programme, afin de rendre la prise en main aussi aisée que possible. Les principales améliorations à apporter au programme dans le futur sont : 

● Inclure les modèles de radiation externes et internes.  Pour la radiation externe, il est peut­être possible de récupérer les modèles de température de la voûte céleste, du sol, et des alentours, ainsi que les facteur de forme qui y correspondent et qui sont déjà présents dans le programme.Pour la radiation interne, il faudra implémenter la méthode " T star " (Seem, 1987) : Dans sa thèse de doctorat, Seem propose une méthode pour transformer le réseau de résistances radiatives entre chaque mur, en un réseau en étoile dont le noeud central est la zone thermique.  

● Modèles de fenêtre et de protection :Il faudra s'inspirer des modèles déjà existants (Egas, 2006) et les adapter pour qu'il puissent fonctionner avec la fonction de transfert (linéarisation des coefficients radiatifs, etc)

● Solutionner le problème du chauffage cité plus haut.Il faut trouver une solution à l'intervalle de temps trop grand pour prendre en compte les variations des niveaux de chauffage et de climatisation requis.Dans ses premiers articles sur la fonction de transfert (qui n'ont pas pu être obtenus lors du stage), Mitalas propose une méthode pour implémenter un modèle dynamique du chauffage, qui fait de nouveau appel à la fonction de transfert.De même, Seem, dans sa thèse de doctorat expose une méthode traitant de ce sujet.

● Rendre le programme "multizone".Dans ce cas, l'équation du bilan de chaleur dans l'air intérieur (équation 3.65) se convertit en un système d'équations avec les températures de chaque zone comme inconnues.  Il suffit donc d'inverser une matrice pour obtenir ces températures.

● Faire en sorte que la simulation débute quelques jours avant le jour défini, afin de laisser le temps à la méthode de la fonction de transfert de se stabiliser.  Le temps nécessaire pour la stabilisation devra être évalué.

● Faire en sorte que l'intervalle de recherche de pôles soit spécifique pour chaque mur.  Dans son état actuel, le programme évalue l'intervalle requis pour chaque mur, et prends le plus grand.  Cela signifie que si les murs sont très différents, il peut arriver que la recherche s'effectue sur un intervalle de 200 alors qu'un intervalle de 100 est suffisant (par exemple). Cela augmente de le temps de calcul et implique plus de subdivisions de l'intervalle pour être sûr de ne manquer aucun pôle.

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● Implémenter la méthode de Hittle (référence 8) pour la recherche de pôles : dans son article, Hittle propose une méthode qui utilise les changements de signe de la fonction A pour détecter les pôles de la fonction B.  Cette méthode permet de rechercher les pôles avec moins de subdivisions et y une probabilité plus faible de "sauter" des pôles.

● Développer une méthode d'installation automatisée du programme : A cause de l'utilisation de composant ActiveX (fichiers dll), le programme exécutable ne peut pas être transplanté sur n'importe quel ordinateur sans installation.  Il est nécessaire d'enregistrer les fichiers dll du programme et ceux de Matlab.  La nécessité d'installer le "Matlab Runtime Components" n'est pas acceptable pour un programme destiné à être distribué, car le fichier est très volumineux et seule une toute petite partie des librairies installées sont utilisées.  

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7. Conclusion 

Ce stage a été une expérience très positive.  Il m'a permis de prendre contact avec le monde de la recherche en université. J'ai eu l'opportunité d'appliquer les connaissances acquises, notamment en transfert de chaleur, et en théorie de systèmes.

Le fait d'effectuer ce stage en Amérique du sud a été un plus : j'ai en effet été confronté à la nécessité de communiquer avec le staff du laboratoire dans une langue qui n'est pas ma langue maternelle, à prendre des contacts par téléphone, à effectuer des recherches en bibliothèque, etc.  De plus, j'ai pu rencontrer des chercheurs et des professeurs avec lesquels je garderai de bon contacts et avec qui je pourrais potentiellement établir une collaboration dans le futur.J'ai aussi pu me rendre compte de leur manière de conduire la recherche, sensiblement différente de la nôtre.  Les contacts avec l'industrie y sont très peu développés, et une grande partie de leurs professeurs effectuent leur doctorat à l'étranger.

La première semaine de travail, qui consistait à instrumenter le laboratoire pour les étudiants, a été très enrichissante sur le plan pratique et expérimental.  J'ai appris à choisir et utiliser les différents capteurs, cartes d'acquisition et à la manière de les rechercher sur internet et par catalogue.  Je me suis rendu compte des problèmes pratiques qui apparaissent lors de l'utilisation de bancs d'essai, ainsi que des solutions à apporter.

Le développement du programme de simulation thermique durant tout le reste du stage a aussi été très enrichissant, et les résultats obtenus ont dépassé les espérances et les objectifs fixés au début de stage par le professeur Fissore.J'ai été amené à me familiariser avec les problèmes gestion de l'énergie dans le bâtiment, les méthodes de simulation, et les différents modèles de convection, radiation, radiation solaire, obtention des données climatiques, etc.Il a fallu prendre en main un langage de programmation et comprendre le programme dans son état original pour pouvoir le modifier efficacement, ce qui a pris un temps non négligeable au cours du stage.La recherche d'articles et de documentation sur le sujet a aussi occupé un temps important au début du stage, car il était nécessaire de reconstituer les différents développements pour bien appréhender et comprendre la méthode de la fonction de transfert.

Même si, par manque de temps, le programme n'a pas pu être finalisé, les résultats obtenus tendent à montrer que ce qui a été implémenté est correct.  La méthode a également répondu à nos espérances en termes de rapidité de calcul.  Un travail important reste cependant à effectuer pour finaliser le programme.  Certains problèmes n'ont par ailleurs pas encore pu être résolus et nécessiteront des recherches plus poussées.

La dernière phase sera la phase de test et de validation du programme.  Cela avait déjà été réalisé par Rolando Egas pour le programme original grâce à la méthode BESTEST.  Cette méthode consiste à étudier une série de cas­test représentatifs, permettant de valider chaque modèle en comparant les résultats avec un autre programme déjà validé ou expérimentalement.

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8. Références

1) Manuel de TRANSYS 16, Multizone Building2) Egas Biava R. F., Creación de un programa detallado para la simulación térmica de una 

construcción, Tesis de Magister, Septiembre 2006, Universidad de Concepción3) Egas Biava R. F., Métodos de Calculo de transferencia de Calor en Régimen Transiente en 

una Construcción, Informe de Proyecto de Ingeniería Mecánica, Julio 2004, Universidad de Concepción

4) Mitalas G. Comments on the Z­Transfer function method for calculating heat transfer in buildings, ASHRAE Transactions vol. 84(1), pp. 667­674

5) Giacono C., Orioli A., Transfer function method. Analisi dei metodi di calcolo dei coefficienti, La Termotecnia, Marzo 1999, pp. 103­111

6) Giacono C., Orioli A.,Transfer function method. Analisi delle basi teoriche, La Termotecnia, Mayo 1997, pp.65­73

7) Hittle D., Bishop R., An improved root­finding procedure for use in calculating transient  heat flow through multilayered slabs, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 26 No. 11, pp. 1685­1693.

8) Seem J., Modeling of Heat Transfer in Buildings, Tesis Doctoral 1987, University of Wisconsin­Madison.

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