Rapport de Stage - Page web d'Idriss MazariTABLE DES MATIÈRES L3 Introduction Remerciements Ce...

LJLLLaboratoire Jacques-Louis LionsUniversité Paris VIFrancehttps:

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Idriss MazariÉ.N.S de Lyon

Année scolaire 2013-2014

Rapport de Stage

Autour de l’optimisation de forme :Inégalité isopérimétrique et inégalité de

Krahn-Faber

Directeurs de stage :Grégoire NADINYannick PRIVAT

Juin 2014

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Table des matières

I L’inégalité isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A Position du problème et notion de volume . . . . . . . . . . . 3

A.1 Le contenu de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 3A.2 Le périmètre et la formule de Fleming-Rishel . . . . . 3

B L’inégalité isopérimétrique dans R2 . . . . . . . . . . . . . . 7C Généralisation aux dimensions supérieures . . . . . . . . . . 8

C.1 L’inégalité de Prékopa-Leindler . . . . . . . . . . . . . 9C.2 L’inégalité de Brunn-Minkowski et ses conséquences . 10

II L’inégalité de Faber-Krahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A Préliminaire : le théorème de Sard et les fonctions surharmo-

niques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12B Le réarrangement de Schwarz et ses premières propriétés . . 13

B.1 Définitions et propriétés admises . . . . . . . . . . . . 13B.2 Deux inégalités importantes . . . . . . . . . . . . . . 14

C L’inégalité de Polya-Szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15D L’inégalité de Faber-Krahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

D.1 Rappels d’analyse spectracle . . . . . . . . . . . . . . 17D.2 Mise sous forme d’un quotient de Rayleigh et conclusion 19

III Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

TABLE DES MATIÈRES L3

Introduction

Remerciements

Ce rapport conclut le stage de L3 effectué en juin-juillet 2014 au laboratoireJacques-Louis Lions. Je tiens tout d’abord à remercier Yannick Privat 1 et GrégoireNadin 2 pour leur accueil chaleureux et pour leur accompagnement tout au long dece stage. Cette expérience m’a donné l’occasion de me confronter au monde de larecherche et m’a conforté dans l’idée que j’avais de m’orienter vers cette voie.

Présentation

Ce document présente la preuve de diverse inégalités liées à l’optimisation deformes : l’inégalité isopérimétrique, l’inégalité de Krahn-Faber...L’inégalité isopérimétrique est un problème qui nous arrive tout droit de l’antiquitéet nous est parvenue par l’Énéide de Vrigile : il s’agit, à périmètre fixé, de trouverla forme maximisant l’aire. On en donne ici une preuve s’appuyant sur l’inégalitéde Brunn-Minkowski. Il est à noter que les premières preuves rigoureuses sont asseztardives : on peut penser à la démonstration de Jakob Steiner, via la symétrisationqui porte son nom, ou encore aux travaux de Schwarz (en 1890) pour la dimension3. En ce qui concerne les méthodes de Steiner, il est intéressant de voir que dans sapreuve, parue en 1842, il résout le problème isopérimétrique à condition qu’unesolution existe. Son raisonnement repose sur une certaine forme de symétrisation,la symétrisation de Steiner, qui est passée à la postérité. Donnons le schéma de sapreuve : il considère la forme optimale, c’est-à-dire un domaine Γ délimité par unecourbe simple fermée. Il montre dans un premier temps que Γ est un domaine convexe.La deuxième étape est de prouver que Γ peut être séparé en deux domaines d’aireet de périmètre égaux. Steiner conclut en montrant que ces deux parties sont deuxdemi-cercles collées suivant leur diamètre. Le gros problème qui reste est donc demotnrer l’existence d’un minimiseur. Pour plus de détails, le lecteur intéressé peutconsulter [5].L’inégalité de Krahn-Faber porte sur la minimisation de la première valeur propre duLaplacien et fut présenté par Lord Rayleigh dans son ouvrage The theory of Sound(1877) :"If the area of a membrane be given, there must evidently be some form ofboundary for which the pitch (of the principal tone) is the gravest possible, and thisform can be no other than the circle". Trouver cette forme optimale, c’est exactementminimiser la première harmonique. On en présente la preuve traditionnelle utilisantl’inégalité de Polya-Szego et le réarrangement décroissant des fonctions.

Notations

Dans tout ce document, on notera• µ(p) la mesure de Lebsgue p-dimensionnelle.• Hp la mesure de Hausdorff p dimensionnelle.• ωn la mesure de Lebesgue n-dimensionnelle de la boule unité en dimension n.• Pour des fonctions à valeurs vectorielles de Rn dans Rn, on note C∞

c (K,Rn), avecK un compact de Rn, l’ensemble des φ = (φ1, . . . , φn) C∞ vérifiant φi ∈ C∞

c (K,R)pour tout i ∈ 1, . . . , n.On munit cet espace de la norme || · ||∞ : φ 7→ sup

x∈K

√∑i |φi(x)|2 = sup

x|φ(x)|2

• Parler de la "sclaing invariance" de l’inégalité isopérimétrique, de facon à expliquerles puissances en n, n− 1 intervenant dans l’expression de cette inégalité.

• Parler du lien inégalité isopérimétrique-injections de Sobolev

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2. http://www.ann.jussieu.fr/~nadin/

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I. L’INÉGALITÉ ISOPÉRIMÉTRIQUE L3

I. L’inégalité isopérimétrique

I-A. Position du problème et notion de volume

I-A- 1. Le contenu de Minkowski

Comme expliqué dans l’introduction, l’inégalité isopérimétrique relie le périmètred’une partie et son aire. Mais qu’entend-on par "périmètre" et par "aire" ? Si lesdéfinitions dans R2 sont assez claires, pour travailler en dimensions supérieures, il fautraffiner les notions. On pourrait penser à la mesures de Hausdorff n−1 dimensionnelle,notée Hn−1 pour parler de périmètre, la notion d’aire étant quant à elle obtenue enconsidérant µ(n) la mesure de Lebsgue n-dimensionnelle. En fait, si l’aire est ainsicorrectement définie, il faut prendre une définition différente du périmètre, qui restenéanmoins intimement liée aux mesures de Hausdorff. Il s’agit de la notion de contenude Minkowski.

Définition I.1 : Contenu p-dimensionnel de Minkowski . Soit p ≤ n. Soit D uncompact de Rn. Son contenu p-dimensionnel de Minkowski est la quantité

Mp(D) := lim inft→0

µ(n)[D + tBn]− µ(n)[K]

µ(n−p)[tBn−p](I.1)

avec Bj la boule unité en dimension j

Explicitons à présent le lien avec les mesures de Hausdorff. On convient d’appelerensemble p-rectifiable une partie E de Rn telle qu’il exite une famille dénombrable(fk)k∈N d’applications différentiables de Rp dans Rn vérifiant

Hp[E\ ∪k∈N fk(Rp)] = 0

On peut démontrer, mais il s’agit d’un théorème compliqué (on peut se reporter à [4]),que dans le cas d’un ensemble p-rectifiable, le contenu p-dimensionnel de Minkowski etla mesure p-dimensionnelle de Hausdorff sont égales. L’important est que les ensemblesrectifiables sont nombreux. En fait, si l’on choisit cette définition de périmètre, c’estavant tout que cette expression s’obtient facilement à partir d’inégalités plus connues.Il s’agit des objets différentiels de la théorie géométrique, au sens que l’on peut définirdes notions d’espaces "presque tangents en un point". Encore une fois, cela nousentraînereait trop loin, et l’on renvoie à [4].Notre objectif est de démontrer l’inégalité isopérimétrique, c’est à dire

Si K est un compact de Rn, alors

Mn−1(∂K)n

µ(n)[K]n−1≥ Mn−1(∂B

n)n

µ(n)[Bn]n−1

I-A- 2. Le périmètre et la formule de Fleming-Rishel

Dans la deuxième section, on aura besoin d’une autre notion de périmètre qui estla définition formelle du périmètre, appelée périmètre de De Giorgi, qui permet deconsidére un périmètre pour toute partie mesurable de Rn.

Définition I.2. Soit E un ensemble mesurable inclus dans une partie mesurableΩ, éventuellement égale à Rn. On appelle périmètre de E suivant Ω la quantité

PΩ(E) := sup∫E

div (φ)dµ(n), φ ∈ C∞c (Ω)n, ||φ||∞ ≤ 1 (I.2)



Remarquons déjà que la formule de Green donne

PΩ(Ω) = 0

Proposition I.1. Soit Ω un ouvert borné de Rn de classe C1. Alors, si n ≥ 2

PRn(Ω) =

∫∂Ω

dHn1

On a en fait le théorème plus général suivant :Si Uest un ouvert borné inclus dans Ω tel que ∂U ∩ Ω soit de classe C1, alors

PΩ(U) =

∫∂U∩Ω

dHn−1

Démonstration de la proposition I.1. Par commoditté, on ne démontre que lapremière assertion. La démonstration s’adapte immédiatement. Soit φ ∈ D(Rn)n.∫

Ω

div(φ)dµ(n) =n∑

i=1

∫Ω

∂iφidµ(n)

=

∫∂U

φ(x) · −→n (x)dHn−1(x)

≤ ||φ||∞∫∂U

dHn−1

AinsiHn−1[∂U ] ≥ PΩ(U)

Pour obtenir l’autre inégalité, on va se servir de l’application de Gauss, c’est-à-direde −→n : x ∈ ∂U 7→ −→n (x). Comme U est supposé être un ouvert de classe C1, −→n est declasse C1. On peut l’étendre à Rn en un champ de vecteurs de classe C1. Admettonscela, il doit probablement s’agir d’un raffinement du théorème de Tietze-Urysohn. Parailleurs, cette extension V vérifie ||V || ≤ 1. Notons que de la propriété D(Ω) = C1

c (Ω)et de C1

c (Ω) · V ⊂ C1c (Ω)

n il vient

PRn(U) = sup∫U

div(φ)dµ(n), φ ∈ C1c (Rn)n, ||φ|| ≤ 1

≥ sup∫U

div(ψV ), ψ ∈ C1c (Rn), ||ψ|| ≤ 1

= sup∫∂U

ψV · −→n dHn−1, ψ ∈ C1c (Rn), ||ψ|| ≤ 1

Mais V · −→n = 1 sur ∂U . Ainsi

PRn(U) ≥ sup∫∂U

ψ · −→n dHn−1, ψ ∈ C1c (Rn), ||ψ|| ≤ 1

Comme il existe une suite ψj ∈ C∞c (Rn) telle que ψj(x) → 1 pour tout x ∈ U , qui est

compact car U est borné, on obtient l’inégalité voulue.

Enfin, il convient d’indiquer une formule importante, que l’on admet :

Théorème I.1 : Formule de Fleming-Rishel . Si u ∈W 1,1(Ω), alors∫Ω

|∇u|dµ(n) =

∫RPΩ(u ≥ t)dt (I.3)



Démonstration du théorème I.1. Cette preuve est tirée de [13].On admet un théorème d’usage courant en analyse fonctionnelle, qui nous dit queC∞(Ω) ∩W k,p(Ω)

||·||k,p= W k,p(Ω). Il nous faudrait ensuite une notion de continuité

pour le périmètre de De Giorgi (à traiter), mais cela nous entrainerait trop loin etserait par trop technique. On procède par double inégalité.Considérons donc, pour u ∈ C∞(Ω)∩W 1,1(Ω) l’application V : x 7→ ∇u

|∇u| (x)1∇u(x)=0.On remarque immédiatement que |V | ≤ 1. On utilise ensuite la technique clas-sique de régularisation pour dire qu’il existe une suite (φj)j∈N ∈ (C∞

c (Ω)n)N telle

que supj∈N

|φj | ≤ 1 et convergeant µ(n)-presque partout vers V . On peut par exemple

prendre la convolée avec une approximation de l’unité. Les hypothèses du théorèmede convergence dominée sont évidemment réunies, ce qui nous permet d’écrire∫

Ω

|∇u|(x)dµ(n)(x) = limj→+∞

∫Ω

∇u(x) · φj(x)dµ(n)(x)

Par la formule de Green, on a l’égalité∫Ω

∇u · φjdµ(n) = −

∫Ω

udiv(φj)dµ(n)

et un théorème de Fubini mène à l’égalité

−∫Ω

udiv(φj)dµ(n) = −

∫ +∞

−∞

∫u>t

div(φj)(x)dµ(n)(x)dt

Détaillons un peu cette dernière étape : le théorème de Fubini utilisé est le suivant :

Soit f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) 3 telles que f soit minorée par a > −∞. Alors∫Ω

fgdµ(n) = a

∫Ω

gdµ(n) +

∫ +∞

a

∫f>t

g(x)dµ(n)(x)dt

On passe ensuite (je pense) au cas général par une technique classique d’ecrêtement etpar l’emploi du théorème de convergence monotone, telle qu’elle est expliquée dans lepolycopié de Grégory Miermont. Expliquons ce lemme. Notons que l’on travaille surdes espaces de mesure finie et qu’ainsi pour tout réel p dans [1,+∞] on a l’inclusionLp ⊂ L1.

f(x)− a =

∫ f(x)

a

dµ(1)(t)

=

∫ +∞

a

1]a;f(x)[(t)dµ(1)(t)

Ainsi, on a la série d’égalités ci-dessous.

∫Ω

(f(x)− a)g(x)dµ(n)(x) =

∫ +∞

a

∫Ω

g(x)1]a;f(x)[(t)dµ(n)(x)dµ(1)(t)

=

∫ +∞

a

∫Ω

g(x)1f>t(x)dµ(n)(x)dµ(1)(t)

L’emboîtement des espaces de Lebesgue nous permet alors de conclure. Revenons à ladémonstration de la formule de Fleming-Rishel : On remarque que, tous les φj étantà supports compacts,

∫Ω

div(φj)dµ(n) = 0 par la formule de la divergence. La formule

énoncée plus haut est donc encore valable.

3. ce qui est le cas car div(φj) est C∞.



Comme −∫ +∞−∞ dt

∫u>t div(φj)dµ

(n)(x) ≤∫ +∞−∞ PΩ(u > t)dt on obtient en passant à

la limite une première inégalité, à savoir∫Ω

|∇u|dµ(n) ≤∫ +∞

−∞PΩ(u > t)dt

Passons à présent à la deuxième inégalité. Traitons dans un premier temps le casu ∈ W 1,1 ∩ C∞.voir si ce passage s’adapte pour la raisonnement par den-sité ci-dessus. On considère une suite (ψϵ) indexée par les réels strictement positifsd’éléments de D(Ω) vérifiant les conditions suivantes :• Si δ < ϵ, 0 ≤ ψϵ ≤ ψδ ≤ 1.• Pour tout x ∈ Ω, ψϵ(x) →

ϵ→01.

Servons nous une nouvelle fois du théorème de convergence dominée, grâce auquel,après justification, on obtient l’égalité suivante :∫

Ω

|∇u|(x)dµ(n)(x) = limϵ→0

∫Ω

ψϵ(x)|∇u|2(x)√ϵ+ |∇u|2(x)

dµ(n)(x)

Considérons le membre de droite dans l’égalité précédente. Si on lui applique la for-mule de Green puis la même formule de Fubini que précedemment, on obtient toutesles égalités suivantes :∫

Ω

ψϵ|∇u|2(x)√ϵ+ |∇u|2(x)

dµ(n)(x) = −∫Ω

udiv(ψϵ∇u(x)√

ϵ+ |∇u|2(x))dµ(n)(x))

= −∫ +∞

−∞dt

∫u>t

div(ψϵ∇u(x)√

ϵ+ |∇u|2(x))dµ(n)(x))

En effet,∫Ω

div(ψϵ∇u√

ϵ+|∇u|2)dµ(n) = 0 car ψϵ est à support compact. Par le théorème

de Sard, que l’on rappelle plus bas, presque sûrement, u−1(t) est une sous-variétédifférentielle de dimension n − 1 sur laquelle ∇u ne s’annule pas. Ainsi, par un rai-sonnement que l’on retrouvera plus bas, presque sûrement, u > t est un ouvert àbord C∞, et en un point de la frontière −→n (x) = −∇u

|∇u| (x). Posons Uϵ =∇u√

ϵ+|∇u|2. Par

la formule de la divergence, on obtient

−∫ +∞

−∞dt

∫u>t

div(ψϵUϵ)dµ(n) =

∫ +∞

−∞dt

∫∂u>t

ψϵ|Uϵ|dHn−1

Quand ϵ tend vers 0, le second membre de l’égalité tend vers une expression bienconnue :

limϵ→0

∫ +∞

−∞dt

∫∂u>t

ψϵ|Uϵ|dHn−1 =

∫ +∞

−∞dt

∫∂u>t

dHn−1

Comme on le verra dans la preuve de l’inégalité de Krahn-Faber, ∂u > t\u−1(t) estpresque sûrement de mesure nulle. On peut donc écrire∫ +∞

−∞dt

∫∂u>t

dHn−1 =

∫ +∞

−∞dt

∫u−1(t)

dHn−1 =

∫ +∞

−∞PΩ(u > t)dt

La dernière égalité provient de la proposition précédente.Enfin, pour traiter le cas général, c’est-à-dire si u ∈ W 1,1(Ω) on peut trouver unesuite (un)n∈N d’éléments de C∞ ∩ W 1,1(Ω) convergeant vers u presque partout etfortement au sens de W 1,1(Ω). Alors 1un>t(x) converge presque partout vers 1u>t(x)pour presque tout t. Par la semi-continuité inférieure, on obtient lim inf PΩ(un > t) ≥PΩ(u > t). Le lemme de Fatou permet finalement d’écrire∫

RPΩ(u > t)dt ≤ lim inf

∫RPΩ(un > t)dt = lim inf

∫Ω

|∇un|dµ(n) =

∫Ω

|∇u|dµ(n)



I-B. L’inégalité isopérimétrique dans R2

On travaille ici dans le cas d’un domaine régulier, c’est-à-dire de frontière aumoins C1.

Lemme I.1 : Inégalité de Wirtinger . Soit f ∈ C1(R,R) une fonction 2π-périodique.Supposons par ailleurs que f est d’intégrale nulle sur sa période. Alors∫ 2π

0

|f |2 ≤∫ 2π

0

|f ′|2 (I.4)

Démonstration du lemme I.1. Comme f est de classe C1, on peut lui appliquerl’égalité de Parseval, ainsi qu’à f ′. En notant cfn le n-ième coefficient de Fourier de fet en utilisant la formule cf

′

n = incfn, on obtient, comme cf0 = 0 par hypothèse

||f ||22 =

+∞∑n=1

|cfn|2 + |cf−n|2, ||f ′||22 =

+∞∑n=0

|cf′

n |2 + |cf′

−n|2

Or cf′

0 = 0. Donc

||f ||22 ≤+∞∑n=0

n2(|cfn|2 + |cf−n|2)

= ||f ′||22

On voit également que l’on ne peut avoir égalité que si pour tout |n| ≥ 2, cfn = 0.Cette condition est nécessaire et suffisante.

Théorème I.2 : Inégalité isopérimétrique en dimension 2 . Pour toute courbesimple fermé C de classe C2, on désigne par AC (resp. LC) l’aire (respectivementle périmètre) du compact KC bordé par C. Pour une telle courbe, on a l’inégalitéisopérimétrique

AC ≤ (LC)2

4π

et le cas d’égalité correspond au cercle.

Démonstration du théorème I.2. Par homothétie, on peut se ramener à unecourbe de longueur 2π. On doit donc démontrer que AC ≤ π. On prend une pa-ramétrisation normale 4 de C :

(f, g) : [0; 2π] −→ R2

x 7−→ (f(x), g(x))

4. C’est à dire que l’on parcourt la courbe à vitesse 1.



On peut également supposer, par translation, que∫ 2π

0f = 0. Ainsi

AC =

∫KC×KC

dxdy

=

∫Cxdy

=

∫ 2π

0

fg′

≤ 1

2(||f ||22 + ||g′||22)

≤ 1

2(||f ′||22 + ||g′||22)

=1

2

∫ 2π

0

(f ′)2 + (g′)2

= π

La dernière égalité est vraie car la paramétrisation est normale. Supposons que l’onait égalité. Toutes les inégalités sont donc des égalités. En particulier, f est de laforme a · cos+b · sin, et

∫[0,2π]

(f − g′)2 = 0. Donc f = g′ et ainsi g = a · sin−b · cos+c.Soit t tel que cos(t) = a√

a2+b2, sin(t) = b√

a2+b2. Alors on vérifie (le faire) que , f(x) =

√a2 + b2 cos(t+ x), g(x) =

√a2 + b2 sin(t+ x) + c. Donc C est un cercle.

Remarque I.1. C’est une démonstration assez élégante de l’inégalité isopérimétrique,mais il ne faut pas oublier que bien d’autres sont possibles :• Par une approche variationnelle : Ici, on suppose qu’il existe une solution au pro-

blème isopérimétrique, c’est-à-dire une courbe notée C qui vérifie l’égalité. On in-troduit une variation infinitésimale de la courbe (en décalant des petits morceauxd’une distance ϵ), sachant que la courbe modifiée doit avoir la même aire. La conser-vation de l’aire permet de montrer que la courbure de C est constante, donc qu’ils’agit d’un cercle.

• Par l’équation d’Euler-Lagrange : Cette équation est la pierre angulaire du calculvariationnel : elle stipule que si f :]x0, x1[×Rn × Rn est une fonction intégrable enla première variable de classe C2, si y :]x0, x1[→ Rn est de classe C1, une conditionnécessaire pour que y soit un extremum local de

∫ x1

x0f(x, y, y)dx est que y vérifie

l’équation∂f

∂y− d

dx(∂f

∂y) = 0

Pour une étude détaillée de ces deux méthodes, on peut se reporter à [5].

I-C. Généralisation aux dimensions supérieures

Malheureusement, de telles méthodes se révèlent impuissantes dans les dimensionssupérieures... Il faut donc recourir à d’autres outils et à d’autres inégalités, commel’inégalité de Brunn-Minkowski. Avant de la donner dans le cas général, expliquonsce à quoi elle correspond en dimension 1 : si A et B sont deux ensembles mesurablesde R tels que A+B soit encore mesurable, alors µ(1)[A+B] ≥ µ(1)[A] + µ(1)[B]. Lapreuve en est relativement simple : la régularité intérieure de la mesure de Lebesgue 5

permet de supposer que A et B sont compacts. On remarque qu’alors B+sup(A)⊔A + inf(B) ⊂ A + B, ce qui donne immédiatement l’inégalité. On étudie ici unegénéralisation de cette inégalité aux dimensions supérieures.

5. C’est à dire que pour toute partie mesurable A de Rn, µ(n)[A] =supµ(n)[K], K compact, K ⊂ A.



I-C- 1. L’inégalité de Prékopa-Leindler

Théorème I.3. Soient f, g, h trois fonctions intégrables positives définies sur Rn

et λ ∈]0; 1[. Si

∀(x, y) ∈ Rn × Rn, h(x+ y) ≥ f(x)1−λg(y)λ

alors ∫Rn

hdµ(n) ≥ 1

(1− λ)n(1−λ)λnλ(

∫Rn

fdµ(n))1−λ(

∫Rn

gdµ(n))λ (I.5)

Démonstration du théorème I.3. Cette célèbre inégalité peut être démontrée deplusieurs manières, la plus courante étant la preuve faisant appel à la théorie dutransport optimal. Cela nous emmènerait trop loin, et on renvoit le lecteur intéressépar le sujet au livre de Cédric Villani, [15].On donne ici une preuve légérement différente, celle donnée par Terence Tao surson blog : On voit tout d’abord que cette inégalité est compatible avec le produittensoriel, au sens où si elle est vraie dans Rn1 et dans Rn2 , elle est également vraiedans Rn1×Rn2 . En effet, si f, g, h, λ vérifient les hypothèses de l’énoncé, on a l’inégalité

∀(x1, y1) ∈ Rn1 × Rn1 , (1− λ)n2(1−λ)λn2λH(x1 + y1) ≥ F (x1)1−λG(y1)

λ

avec F (x1) =∫Rn2

f(x1, x2)dµ(n2)(x2), G(x1) =

∫Rn2

g(x1, x2)dµ(n2)(x2) et H(x1) =∫

Rn2h(x1, x2)dµ

(n2)(x2). On applique ensuite sur Rn1 l’inégalité de Prékopa-Leindlerà F,G et (1− λ)n2(1−λ)λn2λH ce qui nous donne le résultat.Il suffit donc de démontrer l’inégalité pour n = 1. On suppose donc vérifiées leshypothèses de l’énoncé dans le cas unidimensionnel. Par hypothèse, on a la relationsuivante entre ensembles de niveaux :

∀σ > 0, f > σ+ g > σ ⊂ h > σ

Le cas unidimensionnel de Brunn-Minkowski donne ainsi

∀σ > 0, µ(1)[f > σ] + µ(1)[g > σ] ≤ µ(1)[h > σ]

On se sert ensuite de la formule de sommation par tranches : si φ est une fonctionmesurable positive définie sur un espace mesuré (X,µ), alors∫

Rµ[φ > t]dt =

∫X

φdµ

On en déduit l’inégalité suivante∫Rhdµ(n) ≥

∫Rfdµ(n) +

∫Rgdµ(n)

L’inégalité de Prékopa-Leindler vient alors de l’inégalité arithmético-géométrique x+y ≥ x1−θyθ. 6 Comment démontre-t-on cette inégalité ? En utilisant la concavité dulogarithme, qui permet décrire, si

∑wi = w la série d’inégalités suivantes :

ln(

∑wixiw

) ≥ 1

w

∑wi ln(xi)

= ln(w√∏

xwii )

6. Penser à écrire x =(1−θ)x1−θ

...



Remarque I.2. Dans Rn, l’inégalité de Holder s’écrit :

∀(fi)i∈Nm ∈m∏i=1

Lpi(Rn),m∑i=1

1

pi= 1,

∫Rn

m∏i=1

fidµ(n) ≤

m∏i=1

||fi||pi

Soit 0 < λ < 1. Posons m = 2, 1p1

= 1− λ, 1p2

= λ. Si f = fp1

1 et g = fp2

2 alors∫Rn

f(x)1−λg(x)λdµ(n)(x) ≤ (

∫Rn

fdµ(n))1−λ(

∫Rn

gdµ(n))λ

On peut réécrire l’inégalité de Prékopa-Leindler sous la forme∫Rn

supf(x)1−λg(y)λ;x+ y = zdµ(n)(z) ≥ (

∫Rn

fdµ(n))1−λ(

∫Rn

gdµ(n))λ

On voit donc que l’on a, un en certain sens, une réciproque de l’inégalité de Holder.En effet, une généralisation immédiate est∫

Rn

supm∏i=1

fi(xi);m∑i=1

xipi

= zdµ(n)(z) ≥m∏i=1

||fi||pi

I-C- 2. L’inégalité de Brunn-Minkowski et ses conséquences

L’objectif de cette partie est de démontrer l’inégalité suivante :

Proposition I.2 : Inégalité de Brunn-Minkowski . Soient X et Y deux ensemblesmesurables bornés de Rn tels que X+Y soit encore mesurable. Alors on a l’inégalitéde Brunn-Minkowski

µ(n)[X + Y ]1n ≥ µ(n)[X]

1n + µ(n)[Y ]

1n (I.6)

Démonstration de la proposition I.2. On donne ici deux preuves de cette inéga-lité.

• Une preuve par Prékopa-Leindler : Fixons λ := µ(n)[Y ]1n

µ(n)[X]1n +µ(n)[Y ]

1n

. On prend en-

suite f := 1X , g := 1Y , h := 1X+Y . Les conditions du théorème I.3 sont clairementvérifiées. On en tire donc

µ(n)[X + Y ] ≥ µ(n)[X](1−λ)

(1− λ)n(1−λ)

µ(n)[Y ]λ

λnλ

= (µ(n)[X]1n + µ(n)[Y ]

1n )n(1−λ)(µ(n)[X]

1n + µ(n)[Y ]

1n )nλ

• Une preuve directe Cette preuve est tirée de [6].On procède ici par récurrence : onmontre d’abord l’inégalité dans le cas de deux pavés élémentaires, avant de passerau cas général : on utilise la propriété d’approximation d’ensembles mesurablesbornés par des unions dénombrables de tels pavés élémentaires. Soit donc X (resp.Y ) un pavé élémentaire, i.e de la forme

∏]ai; bi[ de côtés de longueurs respectives

xi (respyi). En appliqaunt l’inégalité arithmético-géométrique, on obtient

(n∏

i=1

xixi + yi

)1n + (

n∏i=1

yixi + yi

)1n ≤ 1

n

n∑i=1

xi + yixi + yi

ce qui est l’inégalité que l’on voulait.Supposons à présent que X et Y soient des unions finies de pavés élémentaires.Quitte à translater X, on peut supposer que Hn := xn = 0 sépare au moins deuxdes pavés élémentaires qui composent X. On note X+ := X ∩ xn ≤ 0, X− :=



X ∩xn ≥ 0. On prend les mêmes notations pour Y . On peut translater Y jusqu’àavoir

µ(n)[X+]

µ(n)[X]=µ(n)[Y +]

µ(n)[Y ],µ(n)[X−]

µ(n)[X]=µ(n)[Y −]

µ(n)[Y ]

Maintenant, on remarque que X+ + Y + ⊂ xn ≥ 0 et que X− ∪ Y− est composéde moins de boites élémentaires que X ∪ Y . En particulier

µ(n)[X + Y ] ≥ µ(n)[X+ + Y +] + µ(n)[X− + Y −]

≥ (µ(n)[X+]1n + µ(n)[Y +]

1n )n + (µ(n)[Y −]

1n + µ(n)[Y −]

1n )n

= µ(n)[X+](1 +µ(n)[Y ]

1n

µ(n)[X]1n

)n + µ(n)[X−](1 +µ(n)[Y ]

1n

µ(n)[X]1n

)n

= (µ(n)[X]1n + µ(n)[Y ]

1n )n

ce qui achève la preuve.

On peut désormais passer à la démonstration de l’inégalité isopérimétrique endimension n.

Théorème I.4. Si K est un compact de Rn, alors

Mn−1(∂K)n

µ(n)[K]n−1≥ Mn−1(∂B

n)n

µ(n)[Bn]n−1

Démonstration du théorème I.4. Remarquons que pour tout réel t, par l’inégalitéde Brunn-Minkowski, en notant ωn := µ(n)[Bn]

µ(n)[K + tBn] ≥ (µ(n)[K]1n + tω

1nn )n

≥ µ(n)[K] + nµ(n)[K]n−1n ω

1nn t

comme on le voit en développant le membre de droite de la première inégalité. On entire

∀t ∈ R∗,µ(n)[K + tBn]− µ(n)[K]

t≥ nµ(n)[K]

n−1n ω

1nn (I.7)

En appliquant la définition du contenu n− 1-dimensionnel de Minkowski, on obtientdonc

Mn−1(∂K)n

µ(n)[K]n−1≥ Mn−1(∂B

n)n

µ(n)[Bn]n−1(I.8)


II. L’INÉGALITÉ DE FABER-KRAHN L3

On ne travaille dans cette section qu’avec un ouvert Ω borné de classe C1, de sorteque son périmètre de De Giorgi soit égal à sa mesure de Hausdorff n−1-dimensionnelle.

II. L’inégalité de Faber-Krahn

II-A. Préliminaire : le théorème de Sard et les fonctionssurharmoniques

On se sert à de nombreuses reprises dans la suite du document du petit théorèmede Sard :

Théorème II.1 : Petit théorème de Sard . Soit f : Rn → Rm, n,m ≥ 1 de classeC∞. Soit C l’ensemble des points critiques de f (les points où dfx n’est pas sur-jective). Alors

µ(m)[f(C)] = 0

Démonstration du théorème II.1. On peut se reporter à [14] pour une preuve.

Remarque II.1. Le grand théorème de Sard affirme que si M et N sont deux variétésdifférentielles générales (que l’on peut voir comme sous-variétés différentielles par unthéorème de Whitney) de dimensions respectives m et n, si f : M → N est uneapplication de classe Ck, k ≥ max(1, n−m+1), alors V alcrit(f), l’ensemble des valeurscritiques de f 7, est Lebesgue négligeable. Le théorème est déjà dur à démontrer pourune application de classe C∞. On peut par exemple se reporter à [14].

On utilise également à la fin de ce mémoire une propriété des fonctions sur-harmoniques, la propriété de la surmoyenne :Si f est une fonction C∞ sur un ouvert Ω de Rn vérifiant ∆f ≤ 0 alors

∀x ∈ ∂Ω, ∀r ∈ d(x, ∂Ω), f(x) ≥ 1

µ(n)[B(x, r)]

∫B(x,r)

f

Donnons en une preuve rapide s’appuyant majoritairement sur la formule de Green :En effet, on sait que ∇|x|2 = 2x et que ∆|x|2 = 2n.Pour simplifier les notations, on travaille autour de 0 , avec un rayon r et on noteB := B(0, r). La démonstration s’adapte immédiatement au cas général. Plutôt quede considérer la norme euclidienne, on va considérer la norme perturbée, i.e |x|2 −α.On déterminera plus tard cette constante.∫B

f(x)dµ(n)(x) =1

2n

∫B

f(x)∆(|x|2 − α)dµ(n)(x)

=1

2n

n∑i=1

∫B

f(x)∂2ii(|x|2 − α)dµ(n)(x)

=1

2n

n∑i=1

[

∫∂B

f(x)∂i(|x|2 − α)ν(x) · eidHn−1(x)−∫B

∂if(x)∂i(|x|2 − α)dµ(n)(x)]

7. C’est-à-dire f(x), x point critique de f.



Mais ν(x) · ei = xi

||x|| et ainsi, en continuant le calcul, on obtient∫B

f(x)dµ(n)(x) =1

n

∫∂B

f(x)rdHn−1(x)

− 1

2n

n∑i=1

[

∫∂B

∂if(x)(|x|2 − α)ν(x) · eidHn−1(x)

−∫B

∂2iif(x)(|x|2 − α)dµ(n)(x)]

En choisissant α = r2, on voit que le second terme saute. Par ailleurs, on en déduitégalement que, f étant sous-harmonique,∫

B

f(x)dµ(n)(x) ≤ r

n

∫∂B

f(x)dHn−1(x)

Introduisons enfin la fonction f : r 7→ 1µ(n)[B(0,r)]

∫B(0,r)

f(x)dµ(n)(x) = 1rnωn

∫B(0,r)

f(x)dµ(n)(x)

f est dérivable, de dérivée r 7→ 1µ(n)[B(0,r)]

∫∂B(0,r)

fdHn−1− nrµ(n)[B(0,r)]

∫B(0,r)

fdµ(n)

Donc f est C1, si l’on admet que la dérivée de Lebesgue n-dimensionnelle sur un do-maine dépdant de la variable d’espace est la mesure de Hausdorff. Ceci est valablepour un ensemble rectifiable, je pense, car il suffit d’appliquer la notion de contenun− 1 dimensionnel. Ainsi, f est décroissante, et le théorème de densité de Lebesguedonne f(0) = g(0), d’où f(r) ≤ g(0), ce qui est exactement le résultat voulu.

II-B. Le réarrangement de Schwarz et ses premières propriétés

II-B- 1. Définitions et propriétés admises

Dans cette partie, on va mettre la première valeur propre du laplacien sous laforme d’un quotient de Rayleigh, c’est-à-dire d’un certain produit scalaire que l’on vasymétriser de manière à le rendre plus agréable à traiter. C’est le but du réarrange-ment de Schwarz. Dans toute la suite, on travaille avec des fonctions mesurablespositives f telles que

∀λ ∈ R∗+, µ

(n)[f ≥ λ] < +∞

Définition II.1. Pour tout ensemble mesurable ω de Rn, on note ω∗ la boulede centre 0 de même volume que ω. Si f un fonction mesurable positive sur unborélien Ω nulle sur ∂Ω, on note, pour λ ∈ R+, Ωλ

f := x ∈ Ω, f(x) ≥ c sesensembles de niveaux. On définit alors le réarrangement de Schwarz de f par

f∗ :

Ω∗ −→ R+

x 7−→ supλ ≥ 0, x ∈ (Ωλf )

∗

On voit que f∗ est radiale décroissante et que

∀λ > 0, µ(n)[f∗ ≥ λ] = µ(n)[f ≥ λ]

Pour une étude plus fine des propriétés du réarrangement de Schwarz, on peut sereporter à [11] ou à [12]. Donnons un exemple tiré de [12], celui du réarrangementd’une fonction étagée : les images correspondent à une fonction étagée avant et aprèsréarrangement.

Remarque II.2. On voit que l’on peut également définir f∗ par

f∗(x) =

∫ +∞

0

1f>t∗(x)dt



Ceci a pour conséquence que, si φ est une fonction croissante (au sens large) à valeurspositives définie pour R+, alors

(φ f)∗ = φ f∗

II-B- 2. Deux inégalités importantes

Proposition II.1. Soient f, g deux fonctions positives sur un ouvert Ω. On a, pours ≥ 0 l’inégalité ∫

Rn

f1g≤s ≤∫Rn

f∗1g∗≤s (II.1)

Démonstration de la proposition II.1. Il suffit de le démontrer dans le cas d’in-dicatrices d’ensembles mesurables, par la technique classique utilisée pour démon-trer des inégalités. Soient donc A et B deux ensembles mesurables de volumes finis.Supposons par exemple µ(n)[A] ≤ µ(n)[B]. Remarquons qu’alors A∗ ⊂ B∗ et doncµ(n)[A∗ ∩B∗] = µ(n)[A] ≥ µ(n)[A ∩B]. En effectuant le calcul, on voit que∫

Rn

1A11B≤s =

µ(n)[A] si s ≤ 1

µ(n)[A]− µ(n)[A ∩B] sinon(II.2)

et que ∫Rn

(1A∗)11B∗≤s =

µ(n)[A] si s ≥ 1

µ(n)[A]− µ(n)[A∗ ∩B∗] sinon(II.3)

d’où l’inégalité annoncée.

Proposition II.2. Soit φ une fonction positive convexe sur R s’annulant en 0. Soientf et g deux fonctions positives sur Rn. Alors∫

φ(f∗ − g∗) ≤∫φ(f − g)

Remarque II.3. En prenant φ := | · |p, p ≥ 1 on obtient une forme de continuité : si

W 1,p(Ω) ∋ unLp(Ω)−→n→∞

u alors W 1,p(Ω∗) ∋ u∗nLp(Ω∗)−→n→∞

u∗ .

Démonstration de la proposition II.2. On décompose φ en l’écrivant φ = φ+ +φ− avec φ+ = φ sur R+ et 0 sur R− (et de manirère analogue pour φ−). Alors φ+ etφ− sont convexes et il suffit de montrer l’inégalité pour φ+ et φ− séparément. Par lesthéorèmes généraux sur les fonctions convexes, φ+ est dérivable à droite (de dérivéea droite φ+

d ) et pour tout t ≥ 0, φ+(t) =∫ t

0φ+d .



On peut donc écrire, pour x ∈ Rn

φ+(f(x)− g(x)) =

∫ f(x)

g(x)

φ+d (f(x)− s)ds

=

∫ +∞

0

φ+d (f(x)− s)1g≤sds

φ+d est croissante au sens large et , comme φ(0) = 0, positive sur R+. On utilise

ensuite le théorème de Fubini après avoir intégré en x. L’intégrale considérée devientalors ∫ +∞

0

∫Rn

φ+d (f(x)− s)1g≤sds

En utilisant la remarque II.2 et la proposition II.1, on obtient le résultat voulu. Onapplique le même raisonnement à φ−

d .

II-C. L’inégalité de Polya-Szego

On aura besoin dans toute la suite d’une formule célèbre, la formule de la co-aire : Si f est une fonction de Rn dans R lipschitzienne (donc dérivable µ(n) presquepartout. Il s’agit du théorème, compliqué, de Rademacher), alors, si g est une fonctionmesurable de Rn dans R, on a l’égalité

∫Rn

g · |∇f |dµ(n) =

∫R

∫f−1(t)

gdHn−1dt (II.4)

où Hn−1 désigne la mesure de Hausdorff n− 1 dimensionnelle (par le théorème deSard, f−1(t) est presque sûrement une sous-variété). Cette formule, assez compliquéeà démontrer, est étudiée en profondeur au chapitre 3 de [7]. Remarquons qu’en prenantg := |∇f |−1 · 1f(x)∈[t1,t2[,∇f(x)|=0 on obtient∫ t2

t1

∫f−1(t)

|∇f |−1dHn−1dt = µ(n)[x, f(x) ∈ [t1, t2[,∇f(x) = 0]

On admet un résultat très dur, démontré par Almgren et Lieb dans [10] : Le volume despoints critiques décroît par symétristion de Scwharz. On en déduit donc la propriétésuivante :

λ− pp

∫f−1(t)

|∇f |−1dHn−1 ≤∫(f∗)−1(t)

|∇f∗|−1dHn−1

Passons à présent à l’inégalité principale de cette section, sur laquelle repose l’in-égalité de Krahn-Faber : l’inégalité de Polya.

Théorème II.2. Soit Ω un ensemble mesurable de Rn de mesure finie. Soit f ∈W 1,p

0 (Ω), p < +∞ positive. Alors f∗ ∈W 1,p0 (Ω∗) et∫

Ω

|∇f |pdµ(n) ≥∫Ω∗

|∇f∗|pdµ(n) et∫Ω

|f |pdµ(n) =

∫Ω∗

|f∗|pdµ(n) (II.5)

Démonstration du théorème II.2. Pour prouver la deuxième égalité, il suffit deréaliser une sommation par tranches.La première inégalité est autrement plus coriace.On sait par un théorème de Friedrichs([1]) que C∞

c (Ω) est dense dans W 1,p0 .



1. Le cas p = 1 Comme f ≥ 0 sur Ω et que f = 0 sur ∂Ω, on peut démontrer (cfKesavan) que

PRn(f > t) = PΩ(f > t), t > 0

Ainsi, par le théorème II.2 et par l’inégalité isopérimétrique∫Ω

|∇f | =∫ +∞

0

PRn(f > t)dt

≥∫ +∞

0

PRn(f∗ > t)dt

=

∫Ω∗

|∇f∗|

2. le cas 1 < p < +∞ On applique la formule de la coaire pour écrire∫Ω

|∇f |p =

∫ ∞

0

∫f−1(t)

|∇f |p−1dHn−1

Notons Ωt := x ∈ Ω, f(x) > t pour t > 0. Remarquons que ∂Ωt ⊂ f−1(t).Parailleurs, , f = t/∂Ωt est de mesure nulle car le théorème de Sard affirme quef = t est presque sûrement une sous-variété différentielle de dimension n− 1,et est donc de mesure de Lebsgue n-dimensionnelle nulle. Donc∫

|∇f | =∫ ∞

0

∫∂Ωt

|∇f |p−1dHn−1

Comme ∂Ωt a presque sûrement un périmètre fini (par la formule de la co-aire) que l’on peut supposer non-nul (l’inégalité étant sinon évidente) , on peutappliquer l’inégalité de Jensen pour obtenir∫

f−1(t)

|∇f |p−1 dHn−1

PRn(f > t)≥ (

∫f−1(t)

|∇f |−1 dHn−1

PRn(f > t))1−p

Par l’inégalité isopérimétrique, f et f∗ ayant des ensembles de niveaux de mêmemesure, on sait que

PRn(f∗ > t) ≥ PRn(f > t)

Ainsi,∫f−1(t)

|∇f |p−1dHn−1 ≥ PRn(f > t)p(

∫f−1(t)

|∇f |−1dHn−1)1−p

≥ PRn(f∗ > t)p(

∫(f∗)−1(t)

|∇f∗|−1dHn−1)1−p

=

∫(f∗)−1(t)

|∇f∗|p−1dHn−1

la dernière égalité venant du cas d’égalité dans le théorème de Jensen : comme f∗est radiale, ∇f∗ est constante sur les lignes de niveaux. On conclue en intégranten temps.Enfin, pour sortir du cadre de fonctions lisses, on sait qu’il existe une suite(un)n∈N ∈ D(Ω)N, un ≥ 0 qui converge vers u en norme W 1,p

0 ). On sait que∫Ω∗

|∇u∗n|pdµ(n) ≤∫Ω

|∇un|pdµ(n)

donc (u∗n)n∈N est bornée dans W 1,p(Ω∗). Comme p ∈]1;+∞[, on peut appliquerle théorème de Rellich pour en extraire une sous-suite qui converge faiblementdans W 1,p(Ω∗) et qui converge fortement dans Lp(Ω∗).Comme u∗n → u∗ en norme Lp(Ω∗), on en déduit que u∗ ∈ Lp(Ω∗) par le



caractère fermé des espaces de Lebesgue et que l’on a convergence faible dansW 1,p(Ω∗). Comme la norme est faiblement semi-continue inférieurement on peutécrire, par une proposition de [1],∫

Ω∗|∇u∗|p ≤ lim inf

∫Ω∗

|∇u∗n|p ≤ lim inf

∫Ω

|∇un|p =

∫Ω

|∇u|p

et ainsi u∗ ∈W 1,p(Ω∗) et l’inégalité est démontrée.

II-D. L’inégalité de Faber-Krahn

II-D- 1. Rappels d’analyse spectracle

L’objectif de cette section est de minimiser, à volume du domaine constant, lapremière valeur propre du laplacien vu comme opérateur sur H1

0 (Ω) avec µ(n)[Ω] <+∞. Rappelons que H1

0 (Ω) est un espace de Hilbert. On dispose du théorème suivant :

Théorème II.3. Soit H un espace de Hilbert séparable et T un opérateur auto-adjoint, compact et positif. Il existe alors une suite (λn)n∈N ∈ RN tendant vers0 de valeurs propres positives et une base de Hilbert (en)n∈N de H formée desvecteurs propres associés :

∀n ∈ N, T (en) = λnen

Démonstration du théorème II.3. On trouve une démonstration de ce résultatdans [1].

Donnons quand même une idée de la preuve :

Proposition II.3. Soit A un opérateur compact auto-adjoint. Notons σ(A) l’ensembledes valeurs propres de A, σ(A) := λ ∈ C, A− λI /∈ GL(E).Alors

— A a au plus une infinité dénombrable de valeurs propres, dont le seul pointd’accumulation possible est 0.

— Les valeurs propres de A sont réelles et des vecteurs propres correspondantà des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Les valeurs propres de A peuvent donc être rangées en une suite tendant vers 0.

Théorème II.4. Notons (λn)n∈N les valeurs propres de A, limλn→∞ = 0 Alorsil existe une base hilbertienne (en)n∈N de ker(A)⊥ telle que

∀x ∈ E, x = x0 +∑n∈N

(x, en)en, x0 ∈ ker(A) (II.6)

Théorème II.5. Soit A : E → F un opérateur compact. Il existe une suite(σj)j∈N ∈ (R+)

N et deux familles orthonormales (ej)N, (fj)N de E et F respecti-vement telles que

1. (σj)j∈N est décroissante et tend vers 0.



2. Aej = σjfj et A∗fj = σjej , j ∈ N3. ∀x ∈ Ex = x0 +

∑n∈N(x, en)en, x0 ∈ ker(A)

4. ∀(x, y) ∈ E × FAx =∑∞

j=1 σj(x, ej)fj , A∗y =

∑∞j=1 σj(y, fj)ej

La suite (ej)j∈N est une base hilbertienne de ker(A)⊥, la suite (fj)j∈N est unebase hilbertienne de Im(A).

Démonstration de la proposition II.3. On fait la démonstration dans le cas oùA est défini positif. La démonstration de cette proposition est plutôt longue ; on vaavoir besoin de deux résultats préliminaires :

Lemme II.1. Soit V un espace de Hilbert et A une aplication linéaire continue auto-adjointe compacte de V dans V . On définit

m := infu∈V−0(Au,u)||u|| ,M := supu∈V−0

(Au,u)||u||

Alors ||A||L(V ) = max(| m |, |M |) et m ou M est une valeur propre de A.

Lemme II.2. Soit V un espace de Hilbert, A une application linéaire continue compactede V dans V . Pour tout δ > 0, il existe au plus un nombre fini de valeurs propres deA en dehors de ]δ, δ[.

Donc l’ensemble des valeurs propres n’est pas vide et le deuxième résultat préli-minaire montre que cet ensemble est soit fini, soit infini dénombrable avec 0 commeseul point d’accumulation.On introduit ensuite W := v ∈ V, ∃K ≥ 1, v =

∑Kk=1 vk, vk ∈ Vk.On montre que

cet ensemble est dense dans V .On construit finalement une base hilbertienne de V en considérant une base ortho-normée de chacun des Vk. Les réunions de ces bases forment une base hilbertienne deV , les Vk étant deux à deux orthogonaux.

Démonstration du théorème II.4. On développe le vecteur à l’aide du théorèmeprécédent.

Démonstration du théorème II.5. 1. Considérons l’auto-adjoint T = A∗A. Test compact comme composé de A compact et de A∗ compact. Donc T a unesuite de valeurs propres non nulles (λj)j∈N ∈ R∗ et de vecteurs propres (ej)Ntels que Tej = λej et, si x ∈ E, ∃x0 ∈ Ker(T ), x = x0 +

∑j≥1(x, ej)ej .

Supposons les (λj)j∈N rangés en une suite décroissante, chaque valeur étantcomptée avec son ordre de multiplicité. Observons alors que ∀j, λj > 0, commeλj = (Tej , ej) = (A∗Aej , ej) = ||Aej ||2 ≥ 0 et λj = 0 par hypothèse. On posealors σj := λ

1/2j ≥ 0, fj =

Aejσj

∈ Im(a) ⊂ F.

Alors A∗fj =A∗Aejσjσk

=λk(ej ,ek)

σjσk= (σk

σj)1/2δj,k = δj,k.

2. Immédiat.3. Remarquons que Ker(T ) = Ker(A).4. Posons, pour x ∈ E,X :=

∑∞j=1 σj(x, ej)fj . La série est convergente dans E,

avec ||X|| ≤ σ1||x||, X ∈ ImA. Par conséquent, X − Ax ∈ KerA∗ ∩ ImA =KerA∗ ∩ (kerA∗)⊥ donc X = Ax. On établit le second développement de lamême manière.



Montrons à présent que l’on peut procéder à une décomposition spectrale du La-placien. Considérons le problème de Dirichlet associé à f ∈ L2(Ω)

−∆u = fu|∂Ω = 0

(II.7)

On sait qu’il existe une unique solution uf ∈ H10 (Ω) (grâce au théorème de Lax-

Milgram) à ce problème, ce qui permet de considérer l’application

A :

L2(Ω) → H1

0 (Ω) ⊂ L2(Ω)f 7→ uf

On applique le théorème de décomposition spectrale à H = L2(Ω).• A est positif : si f ∈ L2(Ω) alors (uf , f) =

∫Ωfuf =

∫Ω|∇uf |2.

• A est auto-adjoint : pour tout (f, g) ∈ L2(Ω)2, (uf , g) = (f, ug) comme on le voitimmédiatement.

• A est compact : Il s’agit d’une conséquence directe du théorème de Rellich.

On en déduit donc qu’il existe une base de Hilbert (en)n∈N de L2(Ω) et une suite(νn)n∈N de réels tendant vers 0 tels que

∀n ∈ N, A(un) = νnun

On voit donc que

−∆un =1

νnun

Posons donc λn := ν−1n , on obtient une suite de valeurs propres λn(Ω) tendant vers

+∞ associées au domaine Ω. Notre objectif est alors de minimiser la premieère valeurpropre de Ω pour µ[Ω] > 0 fixé, notée λ1.Notons que l’on peut démontrer qu’en fait ∀n ∈ N, un ∈ H1

0 (Ω) ∩ C∞(Ω).

Remarque II.4. On considère −∆ plutôt que ∆ pour avoir des valeurs propres posi-tives.

II-D- 2. Mise sous forme d’un quotient de Rayleigh et conclusion

Le réarrangement de Schwarz va nous permettre de donner une réponse rapidesi l’on réussit à exprimer λ1(Ω) à l’aide des normes Lp. On voit par la théorie desquotients de Rayleigh que

λ1(Ω) = infu∈H1

0 (Ω)

||∇u||22||u||22

Le problème de la minimisation s’écrit

λv1 = infµ[Ω]=v

λ1(Ω)

Supposons acquis le résultat suivant :

Proposition II.4. Il existe une fonction propre f1 ∈ H10 (Ω) non nulle, positive,

associée à la valeur propre λ1(Ω∗).

On peut donc procéder au réarrangement d’une fonction propre. On voit alorsdirectement, par l’inégalité de Polya, que

λ1(Ω∗) ≤ ||∇f∗1 ||22

||f∗1 ||22≤ ||∇f1||22

||f1||22= λ1(Ω)

et donc on a le théorème cherché, à savoir



À volume fixé, c’est la boule qui minimise la première valeur propre de −∆.

Il faut donc prouver la proposition.

Démonstration de la proposition II.4. On suit ici la preuve de [12]. Notons E1

l’espace propre associé à λ1. On peut supposer sans problème que Ω est connexe :l’ensemble des valeurs propres est donné par l’union des valeurs propres sur chacunedes composantes connexes et la dimension de l’espace propre est la somme des dimen-sions des espaces propres de chaque composante connexe.Montrons d’abord que E1 est de dimension 1. On sait que l’espace H1

0 (Ω) est stablepar passage à la valeur absolue et que, si f ∈ H1

0 (Ω),∇|f | = (1f>0 − 1f<0)∇f ([8]).Ses éléments admettent par ailleurs des représentants continus.Soit donc f ∈ E1. Alors ∆|f | = −λ1|f | ≤ 0 : |f | est surharmonique et vérifie ainsi lapropriété de la surmoyenne :

∀x ∈ Ω, ∀r < d(x, ∂Ω), |f |(x) ≥ 1

µ(n)[B(x, r)]

∫B(x,r)

|f |

Donc par connexité, si f s’annule en un point, elle est nulle sur Ω.Soient e et f deux fonctions non nulles de E1. Soit x ∈ Ω, e(x) = 0. f − f(x)

e(x) e ∈ E1

et s’annule en x. Donc e engendre E1. En particulier, e garde un signe constant(sinon, elle s’annule). Comme on travaille avec un sous-espace vectoriel, on peut doncchoisir une fonction propre non nulle et positive, ce qui conclue la démonstration dela proposition.


III. CONCLUSION L3

III. Conclusion

Ainsi, de même que pour la quadrature du cercle qui dut atteindre la découvertede la notion de transcendance pour qu’en soit démontré l’impossibilité, le problèmeisopérimétrique n’a pu être résolu qu’après l’émergence de la théorie géométrique dela mesure. Il serait intéressant d’en étudier la généralisation à des surfaces plus géné-rales que le plan euclidien, comme des variétés riemaniennes (une variété différentiellemunie d’un ensemble de géodésiques). Au cours de ce stage, j’ai par exemple pu tom-ber sur un article ([3]) faisant le lien, sur une variété compacte, entre une inégalitéisopérimétrique de type Faber-Krahn et des injections de Sobolev (i.e des injectoinsdu type Wn,p → Lq). Les outils de géométrie différentielle sont par contre bien pluscomplexes à manipuler que les notions utilisées dans ce mémoire.Pour revenir sur l’inégalité de Faber-Krahn dans Rn, une extension naturelle du pro-blème est la minimisation de λ2 : on peut démontrer (cf. [9]) que le minimiseur estl’union de deux boules de même volume. On peut alors imposer une contrainte deconnexité, de convexité. . . Les ramification sont innombrables et c’est un domaine derecherche assez actif, en interaction permanente avec le monde des simulations nu-mériques. D’autres problèmes restent encore ouverts : on pourrait par exemple parlerde la minimisation de "gaps", c’est dire d’expressions de la forme λ2(Ω) − λ1(Ω).On dispose de nombreux résultats d’existence de minimiseurs et de certains résul-tats concernant la forme du minimiseur. On trouvera un compte-rendu des problèmesencore ouverts dans [9].


Bibliographie

[1] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa-tions. Springer, (Dernière édition) 2010.

[2] Almut Burchard. A short Course on rearrangement inequalities. Disponible enligne, 2009.

[3] Carron. Inégalités de Faber-Krahn et conséquences. Actes de la table ronde degéométrie différentielle en l’honneur de M. Berger, 1994.

[4] Herbert Federer. Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, 1969.[5] Alessio Figalli. Autour des inégalités isopérimétriques. Éditions de l’École Poly-

technique, 2011.[6] R.J. Gardner. The Brunn-Minkowski Inequality. AMS, 2001.[7] Lawrence Evans-Ronald F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of

Functions. CRC Press, 1992.[8] Emmanuel Grenier. Cours d’analyse II-L3 Ens de Lyon. Transcrit par I. Mazari,

disponible sur internet.[9] Antoine Henrot. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators.

Birkhauser-Frontiers in Mathematics, 2006.[10] Frederick J. Almgren Jr.-Elliott H. Lieb. The (Non)-Continuity of symmetric

decreasing rearrangement. Symposia Mathematica, 1989.[11] Frederick J. Almgren Jr.-Elliott H. Lieb. Analysis. Graduate Studies in Mathe-

matics, 2001.[12] Nicolas Dreyfuss-Titus Lupu. Exposé de Maîtrise : minimisation des valeurs

propres du laplacien et réarrangements. 2009.[13] Jean-Michel Rakotson. Rárrangement relatif. Springer, 2008.[14] Jean-Claude Sikorav. Géométrie avancée. Polycopié disponible en ligne, 2013.[15] Cedric Villani. Topics in Optimal Transportation. Graduate Studies in Mathe-

matics, 2003.

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BIBLIOGRAPHIE L3


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