Rapport de stage :Analyse de sensibilité de problèmes

de contact avec frottement

Aymeric Jacob de Cordemoy

Sous la direction de Fabien Caubet et la co-direction de Loïc Bourdin.

Stage effectué à l’Université de Pau et des Pays de l’Adour (UPPA),au Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau (LMAP),

dans le but de valider le :Master 2 : Mathématiques de la Modélisation

de la Sorbonne Université - Faculté des Sciences et Ingénierie.

Le 24 août 2020

Je tiens à remercier mes responsables de stage, Loïc Bourdin et Fabien Caubet, pour leurs encou-ragements et leur disponibilité malgré les difficultés liées à la réalisation de ce stage, qui a dû êtreeffectué à distance en raison de la crise sanitaire de la COVID-19. Je tiens également à remercierma famille pour le soutien qu’elle m’a apporté tout au long de cette période.

Table des matières

1 Introduction 11.1 Présentation du modèle du corps élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Loi de contact de Signorini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Loi de frottement de Coulomb et de Tresca dans le cas statique . . . . . . . . . . . 51.4 Résultats principaux et organisation du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Sur le cas scalaire −∆u+ u = f 82.1 Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Problème de Signorini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Analyse de sensibilité du problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Analyse de sensibilité du problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Fonctionnelle de Tresca paramétrée et épi-dérivée du second ordre . . . . . 182.2.3 Caractérisation de u′0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Simulations numériques sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Sur le cas scalaire −∆u = f 303.1 Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Problème de Signorini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 Problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Analyse de sensibilité du problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 Analyse de sensibilité du problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann 413.2.2 Fonctionnelle de Tresca paramétrée et épi-dérivée du second ordre . . . . . 413.2.3 Caractérisation de u′0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Simulations numériques sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Vers le cas de l’élasticité 514.1 Problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Problème de Signorini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Conclusions 76

A Annexe : outils d’analyse fonctionnelle 76

B Annexe : outils d’analyse convexe et non lisse 82

C Annexe : algorithmes de "switching" 86C.1 Algorithme de "switching" pour le problème de Signorini . . . . . . . . . . . . . . 86C.2 Algorithme de "switching" pour le problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1 Introduction

Contexte physique et motivation. Les phénomènes de contact avec frottement sont trèsprésents dans la vie courante, comme par exemple le frottement d’une roue d’un véhicule avec lesol (automobile, aéronautique, etc.). C’est pourquoi ces manifestations physiques sont étudiés pourleurs applications industrielles, notamment par exemple afin d’améliorer le système de freinage d’unvéhicule automobile afin de dissiper l’enérgie de manière optimale.La mécanique du contact est un domaine de recherche très actif qui décrit le comportement dedeux solides qui se touchent au niveau de leur frontière et sans s’interpénetrer. Nous considéreronsdans ce rapport, un solide élastique, c’est-à-dire un matériau qui est capable de retrouver sa formed’origine après déformation, qui entre en contact avec un obstacle rigide. Ce solide élastique est alorssoumis à des forces volumiques et à des forces de traction à sa surface (voir par exemple [11]). Entermes de modélisation mathématique du phénomène, les conditions de non-perméabilité prennentla forme d’inégalités sur la surface de contact appelées conditions de Signorini, tandis que lesfrictions sont décrites par les conditions de Coulomb ou de Tresca ([14]). Ces différents modèlessont décrits plus bas dans la sous-section 1.2 et la sous-section 1.3.

Objectif. L’objectif principal de ce rapport est d’analyser la sensibilité par rapport aux forcesvolumiques et de frottement de différents problèmes aux limites faisant intervenir les conditionsde Tresca, appelé problème de Tresca. Dans ce rapport, nous obtiendrons des résultats dans lecas scalaire, le but étant de généraliser plus tard au cas vectoriel. L’analyse de sensibilité est trèsimportante en optimisation afin de résoudre numériquement des problèmes de minimisation souscontraintes, notamment en utilisant l’algorithme de descente du gradient. Par exemple, considéronsle problème d’optimisation suivant

minλ∈Rp

h(u(λ),λ)=0

f(u(λ), λ),

où f : Rn × Rp → R est la fonctionnelle que l’on cherche à minimiser, h : Rn × Rp → R unecontrainte et on suppose que pour tout λ ∈ Rp, u(λ) ∈ Rn est l’unique solution de h(u, λ) = 0,avec n, p ≥ 1. Si λ∗ est une solution, pour obtenir une condition nécessaire d’optimalité on peut laperturber en considérant λt = λ∗ + tµ, où t > 0 et µ ∈ Rp quelconque. On a alors par optimalité

f(u(λt), λt)− f(u(λ∗), λ∗)

t≥ 0, ∀t > 0,∀µ ∈ Rp.

Pour passer à la limite t→ 0+, on a besoin de connaître

limt→0+

u(λt)− u(λ∗)

t,

et donc de faire l’analyse de sensibilité de l’équation de contrainte h(u(λ), λ) = 0, c’est-à-dire étu-dier comment évolue u(λ) quand on perturbe λ par λt = λ+ tµ, où t > 0 et µ ∈ Rp.Dans ce rapport, l’analyse de sensibilité va donc consister à caractériser la dérivée de la solutiond’un problème de Tresca, dont le terme source et le terme de frottement seront perturbés. Autre-ment dit, nous introduirons un problème de Tresca paramétré par un indice t ≥ 0. Pour chaque t,nous aurons ainsi une solution et nous caractériserons alors la dérivée, dite, du problème de Trescaparamétré.

1

Avant de faire cette analyse, nous aurons besoin d’introduire différents problèmes aux limites etnous définirons une solution forte, ainsi qu’une solution faible, de ces problèmes. Nous démontreronsleur équivalence puis l’unicité de la solution faible. L’une des difficultés à l’analyse de sensibilité duproblème de Tresca est que ce problème est non-linéaire. Afin d’y arriver, nous aurons donc besoinde nombreux outils d’analyse fonctionnelle, d’analyse convexe et non lisse et ceux-ci sont rappelésdans les annexes. En particulier, l’opérateur proximal sera employé afin de caractériser la solutionfaible d’un problème de Tresca, tandis qu’à l’aide de la notion d’épi-différentiabilité d’ordre 2 nousserons en mesure de caractériser la dérivée du problème de Tresca paramétré. Enfin à l’aide dulogiciel Freefem++ ([13]), nous illustrerons numériquement les résultats principaux résumés dansla sous-section 1.4.

Mentionnons que l’analyse de sensibilité des problèmes de contact qui sont étudiés ici a déjà ététraitée dans la littérature, mais dans le cas où seulement le terme source était perturbé (voir [2]).Le cas où le frottement est aussi perturbé n’avait cependant jamais encore été traité. Les contri-butions de ce stage, résumés dans la sous-section 1.4, sont donc nouveaux.

Expliquons maintenant le cadre dans lequel on se place, en commençant par la présentation dumodèle du corps élastique dans la sous-section 1.1, puis la loi de Signorini dans la sous-section 1.2,et enfin la loi de Tresca dans la sous-section 1.3. Quant à la sous-section 1.4, un court résumé durapport y est présenté ainsi que les résultats principaux.

Nous rappellons que D(Ω) désigne l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à supportcompact (Définition A.0.6) et pour H un espace vectoriel normé quelconque, H′ désigne son dualtopologique (Définition A.0.1). De plus, nous emploierons régulièrement la notation BΓ(s, ε), quidésigne la boule ouverte de Γ, de centre s ∈ Γ et de rayon ε > 0. Enfin, de nombreuses injections,sur les espaces de Lebesgues et Sobolev usuels, seront utilisées et celles-ci sont rappelées dans laProposition A.0.9.

1.1 Présentation du modèle du corps élastique

Dans ce rapport, on considère un ouvert Ω borné lipschitzien et connexe de Rd avec d = 2, 3

et soit Γ := ∂Ω sa frontière. On note n le vecteur normal unitaire extérieur à la surface Γ (voirFigure 1). Cet ouvert Ω représente la forme géométrique d’un corps solide élastique. Dans la suite,u : Ω→ Rd désigne un champ de déplacement, dont la régularité sera précisée plus loin.

Le solide élastique est notamment caractérisé par un tenseur symétrique d’ordre 2 : le tenseurdes contraintes σ. Celui-ci décrit l’état de contrainte du corps en chacun de ses points, c’est-à-dire les forces que les particules du solide exercent les unes sur les autres. Par ailleurs, le vecteurcontrainte T est donné par

T = σn = σn · n + στ = σnn + στ , (1.1)

où σn est la contrainte normale et στ la contrainte tangentielle ou cisaillement. Notons par ailleursque si la contrainte normale σn est positive, alors cela signifie que l’extérieur exerce une force detraction sur le solide orientée suivant n, tandis que si elle est négative, alors l’extérieur exerce uneforce de compression orientée suivant −n.

2

On peut également décomposer le champ de déplacement u en sa composante normale et sa com-posante tangentielle,

u = u · n + uτ = unn + uτ . (1.2)

L’hypothèse d’un corps solide élastique est importante. Effectivement, dans le cas où le corps estun solide élastique et que celui-ci ne subit que de petites déformations, alors il obéit à la loi decomportement de l’élasticité linéaire. C’est-à-dire que le tenseur des contraintes est donné pourtout champ de déplacement u par

σ = Ae(u), (1.3)

où A est un tenseur symétrique d’ordre 4 : le tenseur des rigididés (ou bien encore tenseur desconstantes élastiques). Quant à e, il s’agit du tenseur des déformations défini pour tout champ dedéplacement u par

e(u) =1

2(∇u+∇u>). (1.4)

Par ailleurs, nous supposerons que les coefficients de A sont mesurables (notés aijkl pour (i, j, h, l) ∈1, ..., d4) et qu’il existe deux constantes M > 0 et α > 0 telles que les coefficients de A et lescoefficients de e (noté εij pour (i, j) ∈ 1, ..., d2) vérifient pour tout champ de déplacement u, v,

aijkl(x) = ajikl(x) = alhij(x), aijkl(x)εij(v)εkl(u) ≥ αεij(v)εij(u) et |aijkl(x)| ≤M, ∀x ∈ Ω.

(1.5)

Remarque 1.1.1. On a utilisé ici la notation indicielle aijkl(x)εij(v)εkl(u) ≥ αεij(u)εij(v), qu’ilfaut comprendre comme :

d∑i=1

d∑j=1

d∑k=1

d∑l=1

aijkl(x)εij(v)εkl(u) ≥ αd∑i=1

d∑j=1

εij(v)εij(u).

Dans la suite cette notation sera souvent utilisée (voir [11], partie 1.5, page 10 pour plus de détails).

Remarque 1.1.2. Dans le cas particulier où le corps élastique est isotrope, c’est-à-dire que sespropriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions, alors le tenseur des rigidités estdéfini pour une matrice S symétrique par

AS = 2µS + λTr(S)Id,

où µ et λ sont les coefficients de Lamé et Id la matrice identité d’ordre d. On obtient alors la loide Hooke :

σ = 2µe(u) + λTr(e(u))Id.

Nous ferons l’hypothèse que le corps élastique est statique et qu’il est soumis à une densitévolumique de forces f ∈

(L2(Ω)

)d dans Ω (pour la définition des espaces (Lp(Ω))d pour 1 ≤ p ≤

+∞, voir Définition A.0.11). Par conséquent, l’équation d’équilibre est donnée par ([11], chapitre5, page 45)

−divσ = f dans Ω,

ou bien encore, d’après la loi de comportement de l’élasticité linéaire (1.3)

−div (Ae(u)) = f dans Ω,

3

qu’on appelle aussi l’équation de l’élasticité.Sur la frontière Γ, différentes conditions peuvent être présentes, par exemple une condition

de type Dirichlet sur une certaine partie de Γ et une condition de type Neumann sur une autre,etc. Nous allons maintenant introduire les conditions de type Signorini, ainsi que de Tresca, quitraduisent des phénomènes de contact et sont au coeur du travail effectué dans ce rapport.

Ω

ΓD

ΓN

h

n

Figure 1 – Le corps élastique Ω soumis à une densité surfacique de forces h ∈(L2(ΓN )

)d surune partie de sa frontière ΓN (condition de Neumann) et les déplacements des points de ΓD sontimposés et égaux à U ∈

(L2(ΓD)

)d (condition de Dirichlet), où Γ = ΓD ∪ ΓN et ΓD ∩ ΓN = ∅ (cecas est traité en détail dans la partie 4.1).

4

1.2 Loi de contact de Signorini

A. Signorini (1888-1963) a proposé en 1933 ([20]) une loi de contact unilatéral entre un solideélastique et un obstacle rigide qui est maintenant très répandue dans la littérature. Supposons quele solide élastique soit en contact avec un obstacle rigide sur une partie de sa frontière ΓS ⊂ Γ. Laloi de contact de Signorini s’écrit alors sous la forme suivante

un ≤ 0, σn ≤ 0 et unσn = 0 sur ΓS ,

où σn est la contrainte normale (1.1) et un est la composante normale du champ de déplacementu. Ces trois conditions se traduisent physiquement de la manière suivante :

— un ≤ 0 signifie que le solide élastique et le corps rigide ne peuvent pas s’interpénétrer ;

— σn ≤ 0 signifie que le corps rigide ne peut pas exercer de force de traction sur le solideélastique ;

— unσn = 0 signifie que si un < 0 alors le solide n’est plus en contact avec l’obstacle rigide etcelui-ci n’exerce donc plus de force de compression donc σn = 0. Si σn < 0 alors le solide etla surface sont en contact et donc un = 0.

Par ailleurs, dans ce rapport nous allons principalement traiter la loi de Signorini dans le casscalaire :

u ≤ 0, ∂nu ≤ 0 et u∂nu = 0 sur ΓS .

Remarque 1.2.3. Dans les problèmes que nous allons traiter, nous considérerons souvent unecondition de Signorini

u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh sur ΓS ,

avec la présence supplémentaire d’une fonction h. C’est un cas plus génèral que précédemment etil sera nécessaire lors de l’analyse de sensibilité du problème de Tresca.

1.3 Loi de frottement de Coulomb et de Tresca dans le cas statique

Cette loi fut formulée par de C.A. Coulomb (1736-1806) ([9]) et permet de modéliser le frotte-ment d’un solide élastique qui est en contact sur une partie de sa frontière ΓT ⊂ Γ avec un obstaclerigide. Cette loi s’écrit

‖στ‖ ≤ −µsσn,

si ‖στ‖ < −µsσn, alors uτ = 0,

si ‖στ‖ = −µsσn, alors il existe λ ≥ 0 tel que uτ = −λστ ,

sur ΓT . On a notamment στ la contrainte tangentielle, σn la contrainte normale qui est négative(pour la même raison que pour la loi de Signorini), uτ la composante tangentielle du champ dedéplacement u et µs le coefficient de frottement statique qui est positif et qui dépend de plu-sieurs paramètres, notamment des matériaux dont sont constitués le solide élastique et l’obstaclerigide. Cette loi signifie physiquement que, tant que la contrainte tangentielle est inférieure au seuild’adhérence donné par −µsσn, alors le solide élastique ne glisse pas sur l’obstacle rigide. Lorsquece seuil est atteint, alors le solide se met à glisser et son déplacement s’effectue dans la mêmedirection mais de sens opposé à la contrainte tangentielle.

5

La loi de Tresca est une simplification de la loi de Coulomb et s’écrit‖στ‖ ≤ g,

si ‖στ‖ < g, alors uτ = 0;

si ‖στ‖ = g, alors il existe λ ≥ 0 tel que uτ = −λστ ,

où g est une fonction positive sur ΓT et représente le seuil d’adhérence et ne dépend plus de σn.Par ailleurs, on peut montrer par l’inégalité de Cauchy-Schwartz, que cette loi peut également seformuler de la manière équivalente suivante

‖στ‖ ≤ g et uτ · στ = −g ‖uτ‖ .

C’est sous cette forme que l’on utilisera la loi de Tresca tout au long du rapport. En particulier,nous utiliserons la loi de Tresca dans le cas scalaire :

|∂nu| ≤ g et u∂nu = −g |u| .

Remarque 1.3.4. Dans le cas dynamique, la loi de Coulomb s’exprime de manière similaire enremplaçant la composante tangentielle du champ de déplacement uτ par la vitesse tangentielle ∂tuτ ,ainsi que le coefficient de frottement statique µs par le coefficient de frottement dynamique µd.

1.4 Résultats principaux et organisation du rapport

Comme annoncé au début de l’introduction, nous aborderons principalement dans ce rapportle cas scalaire et non vectoriel.

Les prochaines sections 2 et 3 du rapport suivent le même schéma :

— dans une première sous-section, nous introduisons les différents problèmes aux limites quiseront nécessaires pour la seconde sous-section ;

— dans la seconde sous-section, nous étudions l’analyse de sensibilité du problème de Tresca ;

— dans la troisième sous-section, nous illustrons le résultat obtenu dans la sous-section précé-dente à l’aide de simulations numériques.

Dans la section 2, on se placera donc dans le cas scalaire. Nous considérons alors l’équation :

−∆u+ u = f sur Ω,

qui est une équation assez proche de celle de l’élasticité, mais avec la présence supplémentaire duterme " +u ". Celui-ci sera nécessaire afin d’avoir de la coercivité dans les problèmes étudiés danscette section. Le résultat principal de cette section affirmera alors que, sous certaines hypothèsesdécrites dans le Théorème 2.2.26, pour tout t ≥ 0, si ut ∈ H1(Ω) est l’unique solution du problèmede Tresca paramétré suivant

−∆ut + ut = ft dans Ω,

|∂nut| ≤ gt et ut∂nut = −gt|ut| sur Γ,

6

alors l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et u′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solutionfaible du problème de Signorini suivant :

−∆u′0 + u′0 = f ′0 dans Ω,

∂nu′0 = g′0

∂nu0

g0sur Γu0,g0

SN,

u′0 = 0 sur Γu0,g0

SD,

u′0 ≤ 0, ∂nu′0 ≤ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

S− ,

u′0 ≥ 0, ∂nu′0 ≥ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

S+ .

Avec notamment la décomposition Γ = Γu0,g0

SN∪ Γu0,g0

SD∪ Γu0,g0

S− ∪ Γu0,g0

S+ qui dépend de u0 et deg0 ∈ L2(Γ). On a aussi f ′0 ∈ L2(Ω) qui désigne la dérivée de l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) ent = 0, et g′0 ∈ L2(Γ) est l’application définie pour presque tout s ∈ Γ par

g′0(s) = limt→0+

gt(s)− g0(s)

t,

où gt ∈ L2(Γ) pour tout t ≥ 0.

Dans la section 3, on restera encore dans le cas scalaire mais on se rapprochera de l’équationde l’élasticité en enlevant le "+u" présent dans la section 2. Nous aurons alors l’équation :

−∆u = f sur Ω.

Afin de garder la coercivité dans les problèmes de cette section, on décomposera Γ en sous-ensemblesmesurables et disjoints deux à deux,

Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT ,

et on posera une condition de Dirichlet homogène u = 0 sur ΓD qu’on supposera de mesure nonnulle. Le résultat le plus important de cette section démontre alors que, pour t ≥ 0, si ut ∈ H1(Ω)

est l’unique solution du problème de Tresca paramétré suivant−∆ut = ft dans Ω,

ut = 0 sur ΓD,

∂nut = kt sur ΓN ,

|∂nut| ≤ gt et ut∂nut = −gt|ut| sur ΓT ,

alors l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et u′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solutionfaible du problème de Signorini suivant

−∆u′0 = f ′0 dans Ω,

u′0 = 0 sur ΓD ∪ Γu0,g0

TSD,

∂nu′0 = k′0 sur ΓN ,

∂nu′0 = g′0

∂nu0

g0sur Γu0,g0

TSN,

u′0 ≤ 0, ∂nu′0 ≤ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

TS−,

u′0 ≥ 0, ∂nu′0 ≥ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

TS+,

sous certaines hypothèses précisées dans le Théorème 3.2.21. Enfin, la décomposition de ΓT =

Γu0,g0

TSN∪ Γu0,g0

TSD∪ Γu0,g0

TS−∪ Γu0,g0

TS+dépend de u0 et de g0 ∈ L2(ΓT ), f ′0 ∈ L2(Ω) désigne la dérivée

7

de l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) en t = 0 et k′0 ∈ L2(ΓN ) est la dérivée de l’applicationt ≥ 0 7→ kt ∈ L2(ΓN ) en t = 0. Enfin, g′0 ∈ L2(ΓT ) est l’application définie pour presque touts ∈ ΓT par

g′0(s) = limt→0+

gt(s)− g0(s)

t,

où gt ∈ L2(ΓT ) pour tout t ≥ 0.

Dans la section 4 on considère le cas vectoriel de l’élasticité :

−div (Ae(u)) = f dans Ω.

La section n’a malheureusement pas pu être terminée mais les différents problèmes aux limitesnécessaires à l’analyse de sensibilité ont pu être traités. La suite sera donc menée dans un travailde thèse.

2 Sur le cas scalaire −∆u + u = f

Dans cette section, on considère une équation proche de celle de l’élasticité mais dans le casscalaire. Dans la sous-section 2.1, nous introduisons différents problèmes avec des conditions auxbords différentes. D’abord un problème avec une condition de Neumann, puis ensuite un problèmeavec des conditions de Signorini et enfin un problème avec une condition de Tresca. Pour chacunde ces problèmes, une formulation forte et une formulation faible seront introduites et l’équivalenceentre ces deux formulations sera démontrée. Enfin, nous démontrerons l’existence et l’unicité dela solution faible. Les résultats obtenus dans la sous-section 2.1 seront ensuite utilisés dans lasous-section 2.2 afin de faire l’analyse de sensibilité du problème de Tresca et obtenir le résultatprincipal de cette section, c’est-à-dire le Théorème 2.2.26 qui caractérise la dérivée d’un problèmede Tresca paramétré. Puis, nous conclurons cette section avec la sous-section 2.3 dans laquelle nousillustrerons ce résultat avec des simulations numériques sur un exemple particulier.

2.1 Problèmes aux limites

Dans la suite, f , h et g désignent des fonctions telles que f ∈ L2(Ω), h ∈ H−1/2(Γ) et g ∈ L2(Γ),avec g ≥ 0 presque partout sur Γ.

2.1.1 Problème de Neumann

Soit le problème de Neumann−∆F + F = f dans Ω,

∂nF = h sur Γ.(2.1)

Définition 2.1.1 (Solution forte du problème de Neumann). Une solution forte du problème deNeumann (2.1) est une fonction F : Ω → R telle que F ∈ H1(Ω), −∆F + F = f dans D′(Ω) et∂nF = h dans H−1/2(Γ).

8

Définition 2.1.2 (Solution faible du problème de Neumann). Une solution faible du problème deNeumann (2.1) est une fonction F : Ω→ R telle que F ∈ H1(Ω) et telle que, pour tout v ∈ H1(Ω),∫

Ω

∇F · ∇v +

∫Ω

Fv =

∫Ω

fv + 〈h, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) . (2.2)

Proposition 2.1.3. Une fonction F est une solution forte du problème de Neumann (2.1) si etseulement si F est une solution faible du problème de Neumann (2.1).

Démonstration. ⇒ Supposons que F soit une solution forte du problème de Neumann (2.1).Alors, −∆F + F = f dans D′(Ω) et comme F − f ∈ L2(Ω), alors, ∆F = F − f dans L2(Ω). On aalors en multipliant par v ∈ H1(Ω) et en intégrant sur Ω,

−∫

Ω

v∆F +

∫Ω

Fv =

∫Ω

fv, ∀v ∈ H1(Ω).

On obtient donc, en utilisant la formule de Green (Corollaire A.0.15),∫Ω

∇F · ∇v − 〈∂nF, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) +

∫Ω

Fv =

∫Ω

fv, ∀v ∈ H1(Ω).

Comme ∂nF = h dans H−1/2(Γ) on obtient bien (2.2).⇐ Réciproquement, supposons que F soit une solution faible du problème de Neumann (2.1).Alors, en prenant v = ϕ ∈ D(Ω) dans la formulation faible (2.2), on obtient

−∫

Ω

F∆ϕ+

∫Ω

Fϕ =

∫Ω

fϕ,

c’est-à-dire〈F,∆ϕ〉D′(Ω)×D(Ω) = 〈F − f, ϕ〉D′(Ω)×D(Ω) , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Ainsi, ∆F = F − f dans D′(Ω) et comme F − f ∈ L2(Ω), alors, ∆F = F − f dans L2(Ω).On obtient donc par la formule de Green (Corollaire A.0.15) appliquée dans la formulation faible (2.2),

−∫

Ω

v∆F + 〈∂nF, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) +

∫Ω

Fv =

∫Ω

fv + 〈h, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) , ∀v ∈ H1(Ω),

et donc〈∂nF, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) = 〈h, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) , ∀v ∈ H1/2(Γ).

Ainsi ∂nF = h dans H−1/2(Γ) et cela conclut la preuve.

Proposition 2.1.4. Il existe une unique solution faible F ∈ H1(Ω) au problème de Neumann (2.1).De plus, il existe une constante C > 0 (qui dépend seulement de Ω) telle que l’estimation d’énergiesuivante est satisfaite,

‖F‖H1(Ω) ≤ ‖f‖L2(Ω) + C ‖h‖H−1/2(Γ) .

Démonstration. Pour montrer l’existence et l’unicité, on applique le théorème de Lax-Milgram(Théorème A.0.5).Soit a l’application bilinéaire définie par

a : H1(Ω)×H1(Ω) −→ R

(u, v) 7−→∫

Ω

∇u · ∇v +

∫Ω

uv,

(2.3)

9

et soit ` l’application linéaire définie par

` : H1(Ω) −→ R

v 7−→∫

Ω

fv + 〈h, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) .

On a alors :1. l’application a est continue : en effet ∀u, v ∈ H1(Ω) on a

|a(u, v)| ≤ ‖∇u‖L2(Ω) ‖∇v‖L2(Ω) + ‖u‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) ≤ 2 ‖u‖H1(Ω) ‖v‖H1(Ω) ;

2. l’application a est coercive : en effet, pour tout v ∈ H1(Ω),

a(v, v) = ‖v‖2H1(Ω) ;

3. l’application ` est continue : en effet, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le théorèmede trace (Théorème A.0.8), il existe une constante C > 0 telle que, pour tout v ∈ H1(Ω),

|`(v)| ≤ ‖f‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) + ‖h‖H−1/2(Γ) ‖v‖H1/2(Γ)

≤ ‖f‖L2(Ω) ‖v‖H1(Ω) + C ‖h‖H−1/2(Γ) ‖v‖H1(Ω) ≤(‖f‖L2(Ω) + C ‖h‖H−1/2(Γ)

)‖v‖H1(Ω) .

Comme H1(Ω) est un espace de Hilbert on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram (Théo-rème A.0.5) et ainsi obtenir l’existence et l’unicité de la solution.Pour finir, en considérant v = F dans la formulation faible (2.2) et en procédant comme ci-dessus,alors il existe une constante C > 0 telle que

‖F‖2H1(Ω) ≤ ‖f‖L2(Ω) ‖F‖L2(Ω) + ‖h‖H−1/2(Γ) ‖F‖H1/2(Γ) ≤(‖f‖L2(Ω) + C ‖h‖H−1/2(Γ)

)‖F‖H1(Ω) .

D’où l’estimation d’énergie annoncée.

Remarque 2.1.5. Les résultats sont toujours valides dans le cas où h ∈ L2(Γ), étant donné lesinjections suivantes :

H1/2(Γ) →dense

L2(Γ) →dense

H−1/2(Γ).

On a alors par la Proposition A.0.13, pour tout v ∈ H1(Ω),

〈h, v〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Γ

hv.

2.1.2 Problème de Signorini

Supposons que Γ se décompose sous la forme

Γ = ΓSN∪ ΓSD

∪ ΓS− ∪ ΓS+,

où ΓSN,ΓSD

,ΓS− et ΓS+ sont des sous-ensembles mesurables de Γ, deux à deux disjoints. Onsuppose également que h ∈ L2(Γ). On considère le problème de Signorini suivant :

−∆u+ u = f dans Ω,

∂nu = h sur ΓSN,

u = 0 sur ΓSD,

u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh sur ΓS−,

u ≥ 0, ∂nu ≥ h et u∂nu = uh sur ΓS+.

(2.4)

10

Remarque 2.1.6. La condition sur ΓS− est une condition de Signorini. Sur ΓS+, il s’agit d’unecondition de Signorini appliquée à −u qui sera nécessaire lors de l’analyse de sensibilité. La condi-tion sur ΓSN

est une condition de Neumann, tandis que sur ΓSDc’est une condition de Dirichlet

homogène.

Définition 2.1.7 (Solution forte du problème de Signorini). Une solution forte du problème deSignorini (2.4) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ H1(Ω), −∆u+ u = f dans D′(Ω), ∂nu ∈L2(Γ), u = 0 presque partout sur ΓSD

et ∂nu = h presque partout sur ΓSN. De plus, u doit vérifier,

u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh presque partout sur ΓS−, ainsi que u ≥ 0, ∂nu ≥ h et u∂nu = uh

presque partout sur ΓS+.

Définition 2.1.8 (Solution faible du problème de Signorini). Une solution faible du problème deSignorini (2.4) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ K1(Ω) et telle que, pour tout v ∈ K1(Ω),∫

Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫Ω

u(v − u) ≥∫

Ω

f(v − u) +

∫Γ

h(v − u), (2.5)

où K1(Ω) est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de H1(Ω) défini par

K1(Ω) :=v ∈ H1(Ω), v ≤ 0 sur ΓS−, v = 0 sur ΓSD

et v ≥ 0 sur ΓS+

.

Pour montrer l’équivalence entre la formulation forte et la formulation faible, on fait l’hypothèseque la décomposition Γ = ΓSN

∪ ΓSD∪ ΓS− ∪ ΓS+ est régulière.

Définition 2.1.9. La décomposition Γ = ΓSN∪ ΓSD

∪ ΓS− ∪ ΓS+ est dite régulière si :

1. pour presque tout s ∈ ΓS− ∪ ΓS+, s est dans ˚ΓS− ou ˚ΓS+ ;

2. l’ensemble K1/2(Γ) défini par

K1/2(Γ) :=v ∈ H1/2(Γ), v ≤ 0 sur ΓS−, v = 0 sur ΓSD

et v ≥ 0 sur ΓS+

,

(qui est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de H1/2(Γ)) est dense dans le sous-ensemble non vide, fermé et convexe K0(Γ) ⊂ L2(Γ) défini par

K0(Γ) :=v ∈ L2(Γ), v ≤ 0 sur ΓS−, v = 0 sur ΓSD

et v ≥ 0 sur ΓS+

.

Proposition 2.1.10. Soit u ∈ H1(Ω). Alors,

1. Si u est une solution forte du problème de Signorini (2.4) alors u est une solution faible duproblème de Signorini (2.4).

2. Si u est une solution faible du problème de Signorini (2.4) telle que ∂nu ∈ L2(Γ) et telle quela décomposition Γ = ΓSN

∪ ΓSD∪ ΓS− ∪ ΓS+ est régulière, alors u est une solution forte du

problème de Signorini (2.4).

Démonstration. Commençons par prouver la première assertion.Supposons que u soit une solution forte du problème de Signorini (2.4). Alors d’après les conditionsaux bords, u ∈ K1(Ω) et −∆u+ u = f dans D′(Ω). Par ailleurs, u− f ∈ L2(Ω) donc ∆u = u− fdans L2(Ω). On peut alors multiplier par v−u, avec v ∈ K1(Ω), puis intégrer sur Ω et enfin utiliserla formule de Green (Corollaire A.0.15) pour obtenir,∫

Ω

∇u · ∇(v − u)− 〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) +

∫Ω

u(v − u) =

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

11

De plus, ∂nu ∈ L2(Γ) et H1/2(Γ) →dense

L2(Γ), donc par la Proposition A.0.13,∫Ω

∇u · ∇(v − u)−∫

Γ

(v − u)∂nu+

∫Ω

u(v − u) =

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

Par ailleurs, on a :

— sur ΓSD, u = v = 0, donc,

∫ΓSD

(v − u)∂nu =

∫ΓSD

h(v − u) = 0 ;

— sur ΓSN, ∂nu = h, donc,

∫ΓSN

(v − u)∂nu =

∫ΓSN

h(v − u) ;

— sur ΓS−, étant donné les conditions de u, ∂nu et v, on a,∫ΓS−

(v − u)∂nu =

∫ΓS−

v∂nu− u∂nu ≥∫

ΓS−

hv − hu =

∫ΓS−

h(v − u);

— sur ΓS+, on a de la même manière∫

ΓS+

(v − u)∂nu ≥∫

ΓS+

h(v − u).

Ainsi, on obtient∫Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫Ω

u(v − u) ≥∫

Ω

f(v − u) +

∫Γ

h(v − u), ∀v ∈ K1(Ω),

ce qui conclut la preuve de 1.Prouvons la seconde assertion.Supposons que u soit une solution faible du problème de Signorini (2.4), ∂nu ∈ L2(Γ) et que ladécomposition

Γ = ΓSN∪ ΓSD

∪ ΓS− ∪ ΓS+,

est régulière. Alors, u ∈ K1(Ω) et en prenant v = u ± ϕ ∈ K1(Ω) dans la formulation faible (2.5)avec ϕ ∈ D(Ω), on obtient∫

Ω

∇u · ∇ϕ+

∫Ω

uϕ =

∫Ω

fϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω),

ou encore−∫

Ω

u∆ϕ+

∫Ω

uϕ =

∫Ω

fϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Ainsi,

〈u,∆ϕ〉D′(Ω)×D(Ω) =

∫Ω

(u− f)ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω),

et par conséquent ∆u = u− f dans D′(Ω). Par ailleurs, f ∈ L2(Ω) et u ∈ K1(Ω), donc ∆u = u− fdans L2(Ω).On peut alors utiliser la formule de Green (Corollaire A.0.15) dans la formulation faible (2.5), afind’obtenir pour tout v ∈ K1(Ω),

〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≥∫

Γ

h(v − u).

De plus, ∂nu ∈ L2(Γ) et H1/2(Γ) →dense

L2(Γ), donc d’après la Proposition A.0.13, on a pour tout

v ∈ K1(Ω), ∫Γ

∂nu(v − u) ≥∫

Γ

h(v − u),

12

et donc aussi pour tout v ∈ K1/2(Γ). Comme la décomposition de Γ est régulière, alors K1/2(Γ)

est dense dans K0(Γ) et donc l’inégalité précédente est vraie pour tout v ∈ K0(Γ). Par ailleurs,v = u = 0 sur ΓSD

, donc∫ΓSN

∪ΓS+∪ΓS−

∂nu(v − u) ≥∫

ΓSN∪ΓS+∪ΓS−

h(v − u), ∀v ∈ K0(Γ). (2.6)

Considérons alors v = u± w ∈ K0(Γ), où w ∈ L2(Γ) est définie par

w :=

γ sur ΓSN

,

0 sur Γ\ΓSN,

avec γ une fonction quelconque de L2(ΓSN). On a alors∫

ΓSN

γ∂nu =

∫ΓSN

hγ, ∀γ ∈ L2(ΓSN),

et comme ∂nu, h ∈ L2(Γ) ⊂ L2(ΓSN), on obtient

∂nu = h presque partout sur ΓSN.

Soit s ∈ ΓS− ∪ΓS+, un point de Lebesgue de ∂nu ∈ L2(Γ) et de h ∈ L2(Γ), tel que s soit dans l’undes sous-ensembles ˚ΓS− ou ˚ΓS+.

— Si s ∈ ˚ΓS−, alors on considère la fonction ψ ∈ L2(Γ) définie par

ψ :=

1 sur BΓ(s, ε),

0 sur Γ\BΓ(s, ε),

pour ε > 0 assez petit, qui satisfait BΓ(s, ε) ⊂ ΓS−. On obtient avec v = u−ψ ∈ K0(Γ) dansl’inégalité (2.6),

1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

∂nu ≤1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

h.

Puis, en passant à la limite lorsque ε→ 0, on obtient ∂nu(s) ≤ h(s).— Si s ∈ ˚ΓS+, alors pour la même fonction ψ, en prenant v = u+ψ ∈ K0(Γ) dans l’inégalité (2.6),

pour ε > 0 assez petit, qui satisfait BΓ(s, ε) ⊂ ΓS+, on a

∂nu(s) ≥ h(s).

Enfin, en considérant v = 0 ∈ K0(Γ), puis v = 2u ∈ K0(Γ) dans l’inégalité (2.6), on obtient∫ΓS−∪ΓS+

u∂nu =

∫ΓS−∪ΓS+

uh,

ou encore ∫ΓS−∪ΓS+

u(∂nu− h) = 0.

Or, presque tous les points de ΓS−∪ΓS+ sont des points de Lebesgue pour ∂nu ∈ L2(Γ) et h ∈ L2(Γ)

et sont dans ˚ΓS− ou ˚ΓS+. Alors, d’après ce qui precède, l’intégrande est positive presque partoutsur ΓS− ∪ ΓS+ et on a alors

u(s)∂nu(s) = u(s)h(s),

pour presque tout s ∈ ΓS− ∪ ΓS+, ce qui conclut la preuve de 2.

13

Proposition 2.1.11. Le problème de Signorini (2.4) admet une unique solution faible u qui estdonnée par

u = projK1(Ω)(F ),

où F est la solution faible du problème de Neumann (2.1) et projK1(Ω) est l’opérateur de projec-tion classique sur le convexe fermé non vide K1(Ω) de H1(Ω) pour le produit scalaire 〈·, ·〉H1(Ω)

(Théorème A.0.4).

Démonstration. Soit F ∈ H1(Ω) la solution faible du problème de Neumann (2.1). Alors u estsolution faible du problème de Signorini (2.4) si et seulement si pour tout v ∈ K1(Ω),∫

Ω

∇(F − u) · ∇(v − u) +

∫Ω

(F − u) · (v − u) ≤ 0,

c’est-à-dire si et seulement si pour tout v ∈ K1(Ω),

〈F − u, v − u〉H1(Ω) ≤ 0,

donc si et seulement siu = projK1(Ω)(F ).

Remarque 2.1.12. Dans le cas où la décomposition de Γ n’est pas régulière, on a toujours lasolution forte qui est aussi solution faible, mais on n’a plus la réciproque. L’existence et l’unicitémontrées plus haut ne concerne alors que la solution faible.

2.1.3 Problème de Tresca

Soit le problème de Tresca suivant :−∆u+ u = f dans Ω,

|∂nu| ≤ g et u∂nu = −g|u| sur Γ.(2.7)

On rappelle que g ∈ L2(Γ), avec g ≥ 0 presque partout sur Γ.

Définition 2.1.13 (Solution forte du problème de Tresca). Une solution forte du problème deTresca (2.7) est une fonction u : Ω → R telle que u ∈ H1(Ω), −∆u + u = f dans D′(Ω),∂nu ∈ L2(Γ), |∂nu(s)| ≤ g(s) et u(s)∂nu(s) = −g(s)|u(s)| pour presque tout s ∈ Γ.

Définition 2.1.14 (Solution faible du problème de Tresca). Une solution faible du problème deTresca (2.7) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ H1(Ω) et telle que, pour tout v ∈ H1(Ω),∫

Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫Ω

u(v − u) +

∫Γ

g|v| −∫

Γ

g|u| ≥∫

Ω

f(v − u). (2.8)

Proposition 2.1.15. Une fonction u est une solution forte du problème de Tresca (2.7) si etseulement si u est une solution faible du problème de Tresca (2.7).

Démonstration. ⇒ Supposons que u soit une solution forte du problème de Tresca (2.7). Alorson a −∆u+ u = f dans D′(Ω) et comme u ∈ H1(Ω) et f ∈ L2(Ω), on a, −∆u+ u = f dans L2(Ω).

14

On peut alors mutliplier par v− u, où v ∈ H1(Ω), puis intégrer sur Ω et enfin appliquer la formulede Green (Corollaire A.0.15), pour obtenir∫

Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫Ω

u(v − u)− 〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Γ

f(v − u), ∀v ∈ H1(Ω).

Or, ∂nu ∈ L2(Γ) et H1/2(Γ) →dense

L2(Γ), donc par la Proposition A.0.13,∫Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫Ω

u(v − u)−∫

Γ

∂nu(v − u) =

∫Γ

f(v − u), ∀v ∈ H1(Ω).

De plus, d’après la condition de Tresca sur le bord Γ, on a pour presque tout s ∈ Γ :

— si |∂nu(s)| < g(s), alors u(s) = 0 et par conséquent,

−∂nu(s)(v(s)− u(s)) ≤ g(s)|v(s)| − g(s)u(s) = g(s)|v(s)| − g(s)|u(s)|;

— si |∂nu(s)| = g(s), alors il existe λ ≥ 0 telle que u(s) = −λ∂nu(s) et par conséquent,

−∂nu(s)(v(s)−u(s)) ≤ |∂nu(s)||v(s)|−λ|∂nu(s)|2 = g(s)|v(s)|−g(s)|λ∂nu(s)| = g(s)|v(s)|−g(s)|u(s)|.

Ainsi, on a donc toujours −∂nu(s)(v(s) − u(s)) ≤ g(s)|v(s)| − g(s)|u(s)| pour presque tout s ∈ Γ

et on obtient alors la formulation faible (2.8).⇐ Réciproquement, supposons que u soit une solution faible du problème de Tresca (2.7). Alorsen prenant la fonction v = ϕ ± u, où ϕ ∈ D(Ω), dans la formulation faible (2.8), on obtient,−∆u + u = f dans D′(Ω) et donc comme précédemment, aussi dans L2(Ω). On obtient alors, enappliquant la formule de Green (Corollaire A.0.15) dans la formulation faible (2.8),

−〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≤∫

Γ

g|v| −∫

Γ

g|u|, ∀v ∈ H1(Ω).

Prenons v = u± φ avec φ ∈ H1(Ω) quelconque. On obtient alors∣∣∣〈∂nu, φ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ)

∣∣∣ ≤ ∫Γ

g|φ|.

Par ailleurs, comme H1/2(Γ) ⊂ L2(Γ), alors par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,∣∣∣〈∂nu, φ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ)

∣∣∣ ≤ ‖g‖L2(Γ) ‖φ‖L2(Γ) , ∀φ ∈ H1/2(Γ),

et par la Proposition A.0.13, on a alors, ∂nu ∈ L2(Γ) et

〈∂nu, φ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Γ

φ∂nu, ∀φ ∈ H1/2(Γ).

Ainsi,

−∫

Γ

∂nu(v − u) ≤∫

Γ

g|v| −∫

Γ

g|u|, ∀v ∈ H1/2(Ω). (2.9)

Par ailleurs, comme H1/2(Γ) est dense dans L2(Γ), la relation précédente est vraie pour toutv ∈ L2(Γ). Soit s ∈ Γ un point de Lebesgue de ∂nu ∈ L2(Γ) et de g ∈ L2(Γ). Considérons v = u±ψdans l’inégalité (2.9), avec ψ ∈ L2(Γ) définie pour ε > 0, par

ψ :=

1 sur BΓ(s, ε),

0 sur Γ\BΓ(s, ε).

15

On obtient alors± 1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

∂nu ≤1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

g.

Puis, en passant à la limite lorsque ε→ 0, on a

|∂nu(s)| ≤ g(s).

Comme presque tous les points de Γ sont des points de Lebesgue pour ∂nu ∈ L2(Γ) et g ∈ L2(Γ),on en déduit que |∂nu(s)| ≤ g(s) pour presque tout s ∈ Γ. De plus, en prenant v = 0 ∈ L2(Γ) dansl’inégalité (2.9), on obtient ∫

Γ

u∂nu+ g|u| ≤ 0.

Par ailleurs, d’après ce qui précède, |u∂nu| ≤ g|u| presque partout sur Γ et par conséquent,

u(s)∂nu(s) = −g(s)|u(s)|,

pour presque tout s ∈ Γ, ce qui conclut la preuve.

Définition 2.1.16 (Fonctionnelle de Tresca). On appelle fonctionnelle de Tresca l’application φ

définie parφ : H1(Ω) −→ R

w 7−→∫

Γ

g|w|.

Proposition 2.1.17. Le problème de Tresca (2.7) admet une unique solution faible donnée par

u = proxφ(F ),

où F est la solution faible du problème de Neumann (2.1) dans le cas homogène (h = 0), φ lafonctionnelle de Tresca et proxφ l’opérateur proximal associé à φ (Définition B.0.10).

Démonstration. On a φ ∈ Γ0(H1(Ω)) (Définition B.0.9). En effet, φ est convexe car |·| l’est etest continue (en utilisant l’injection continue de H1(Ω) dans L2(Γ)) et donc est semi-continueinférieurement (Définition B.0.4 et Remarque B.0.5).De plus, on a avec la formulation faible de Tresca (2.8) et la formulation faible de Neumann (2.2),que u est solution faible du problème de Tresca (2.7) si et seulement si pour tout ϕ ∈ H1(Ω),

〈F − u, ϕ− u〉H1(Ω) ≤ φ(ϕ)− φ(u),

c’est-à-dire si et seulement siF − u ∈ ∂φ(u),

donc si et seulement siu = (I + ∂φ)−1(F ) = proxφ(F ).

Où ∂φ(u) désigne le sous-différentiel de φ en u (Définition B.0.8).

16

2.2 Analyse de sensibilité du problème de Tresca

Dans la sous-section précédente, nous avons montré l’équivalence entre la solution faible et lasolution forte du problème de Tresca (2.7), ainsi que l’existence et l’unicité de la solution faible.Nous allons maintenant faire l’analyse de sensibilité du problème de Tresca en perturbant le termesource f , ainsi que le terme de frottement g. Autrement dit, on considère pour tout t ≥ 0, ft ∈ L2(Ω)

et gt ∈ L2(Γ), avec notamment pour t > 0, gt ≥ 0 presque partout sur Γ et pour t = 0, g0 > 0

presque partout sur Γ.Le problème de Tresca paramétré s’écrit alors

−∆ut + ut = ft dans Ω,

|∂nut| ≤ gt et ut∂nut = −gt|ut| sur Γ,(2.10)

pour t ≥ 0.Le but est alors de montrer que l’application t ≥ 0 → ut ∈ H1(Ω), où ut est l’unique solutiondu problème de Tresca paramétré pour l’indice t, est dérivable en t = 0 et de caractériser u′0comme solution d’un certain problème aux limites. Une des difficultés de l’analyse de sensibilitédu problème de Tresca est que celui-ci est un problème non-linéaire. Nous allons donc commencerpar faire l’analyse de sensibilité du problème de Neumann (2.1), qui est plus simple car linéaire etqui de plus, sera utile afin de faire l’analyse de sensibilité du problème de Tresca.

2.2.1 Analyse de sensibilité du problème de Neumann

Pour l’analyse de sensibilité du problème de Neumann (2.1), nous perturbons le terme sourcef ∈ L2(Ω), ainsi que le terme h ∈ H−1/2(Γ).

Proposition 2.2.18. Soit le problème de Neumann paramétré défini pour t ≥ 0 par−∆Ft + Ft = ft dans Ω,

∂nFt = ht sur Γ,(2.11)

où pour tout t ≥ 0, ft ∈ L2(Ω) et ht ∈ H−1/2(Γ).Supposons que :— l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) est dérivable en t = 0 ;— l’application t ≥ 0 7→ ht ∈ H−1/2(Γ) est dérivable en t = 0.

Alors, l’application définie par t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et F ′0 ∈ H1(Ω) estl’unique solution du problème :

−∆F ′0 + F ′0 = f ′0 dans Ω,

∂nF′0 = h′0 sur Γ.

(2.12)

Démonstration. Soit W ∈ H1(Ω) la solution du problème :−∆W +W = f ′0 dans Ω,

∂nW = h′0 sur Γ.

Comme le problème de Neumann paramétré (2.11) est linéaire, alors on aFt − F0

t−W ∈ H1(Ω)

qui est l’unique solution du problème :−∆

(Ft−F0

t −W)

+(Ft−F0

t −W)

= ft−f0

t − f ′0 dans Ω,

∂n

(Ft−F0

t −W)

= ht−h0

t − h′0 sur Γ.

17

D’après l’estimation d’enérgie de la Proposition 2.1.4, il existe C > 0 telle que∥∥∥∥Ft − F0

t−W

∥∥∥∥H1(Ω)

≤∥∥∥∥ft − f0

t− f ′0

∥∥∥∥L2(Ω)

+ C

∥∥∥∥ht − h0

t− h′0

∥∥∥∥H−1/2(Γ)

.

Or par hypothèse,

limt→0

(∥∥∥∥ft − f0

t− f ′0

∥∥∥∥L2(Ω)

+ C

∥∥∥∥ht − h0

t− h′0

∥∥∥∥H−1/2(Γ)

)= 0.

On en déduit donc que l’application t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et F ′0 = W ∈ H1(Ω),ce qui conclut la preuve.

2.2.2 Fonctionnelle de Tresca paramétrée et épi-dérivée du second ordre

Revenons maintenant au problème de Tresca paramétrée (2.10). La fonctionnelle de Tresca(Définition 2.1.16) qui avait été énoncée dans la partie 2.1.3, dépend maintenant du paramètre tet s’écrit alors pour tout t ≥ 0,

φt : H1(Ω) −→ R

w 7−→∫

Γ

gt|w|.

On peut alors considérer la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ, définie par

Φ : R+ ×H1(Ω) −→ R

(t, w) 7−→ φt(w) =

∫Γ

gt|w|.

(2.13)

On a alors pour tout t ≥ 0, Φ(t, ·) = φt.Remarquons que, comme, pour tout t ≥ 0, φt ∈ Γ0(H1(Ω)), alors Φ ∈ Γ0(·,H1(Ω)). Par ailleurs,comme ∂Φ(0, ·)(w) désigne le sous-différentiel de la fonction v ∈ H1(Ω) 7→ Φ(0, v) ∈ R en w ∈H1(Ω), alors, pour tout w ∈ H1(Ω),

∂Φ(0, ·)(w) = ∂φ0(w).

D’après la Proposition 2.1.17, pour tout t ≥ 0, l’unique solution ut du problème de Tresca para-métré (2.10) pour l’indice t est alors donnée par

ut = proxφt(Ft) = proxΦ(t,·)(Ft), (2.14)

où Ft est l’unique solution du problème de Neumann paramétré (2.11) mais dans le cas homogène(ht = 0 sur Γ, ∀t ≥ 0). Autrement dit, pour tout t ≥ 0, Ft est l’unique solution du problème deNeumann homogène suivant :

−∆Ft + Ft = ft dans Ω,

∂nFt = 0 sur Γ.(2.15)

On montre alors de la même manière que dans la partie 2.2.1, que si l’application t ≥ 0 7→ ft ∈L2(Ω) est dérivable en t = 0, alors l’application t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 etF ′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solution du problème :

−∆F ′0 + F ′0 = f ′0 dans Ω,

∂nF′0 = 0 sur Γ.

(2.16)

18

Introduisons maintenant le problème annexe suivant, défini pour tout u ∈ H1(Ω) par−∆v + v = 0 dans Ω,

∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)) sur Γ,(2.17)

qui sera utile afin de caractériser le sous-différentiel de la fonctionnelle de Tresca paramétrée. Pouru ∈ H1(Ω) fixée, une solution du problème (2.17) est une fonction v ∈ H1(Ω) telle que −∆v+v = 0

dans D′(Ω), ∂nv ∈ L2(Γ) et ∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)) pour presque tout s ∈ Γ.

Remarque 2.2.19. Pour u ∈ H1(Ω) et s ∈ Γ, ∂g0(s)|·|(u(s)) est le sous-différentiel de la fonctionx ∈ R 7→ g0(s)|x| ∈ R en u(s) ∈ R.

Lemme 2.2.20. Soit u ∈ H1(Ω) fixée. Alors,

∂φ0(u) = l’ensemble des solutions du problème (2.17),

où φ0 est la fonctionnelle de Tresca du problème de Tresca paramétré (2.10) pour t = 0.

Démonstration. Soit u ∈ H1(Ω) fixée.⇒ Supposons que v ∈ H1(Ω) soit une solution du problème (2.17). Alors ∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s))

pour presque tout s ∈ Γ. En particulier, on a pour tout ϕ ∈ H1(Ω),

∂nv(s)(ϕ(s)− u(s)) ≤ g0(s)(|ϕ(s)| − |u(s)|),

pour presque tout s ∈ Γ. De plus, comme ∂nv ∈ L2(Γ), on obtient pour tout ϕ ∈ H1(Ω),∫Γ

∂nv(ϕ− u) ≤∫

Γ

g0(|ϕ| − |u|).

Or on a, -∆v + v = 0 dans D′(Ω) et comme v ∈ H1(Ω), on a aussi -∆v + v = 0 dans L2(Ω). Ainsi,d’après la formule de Green (Corollaire A.0.15) on a∫

Ω

∆v(ϕ− u) +

∫Ω

∇v · ∇(ϕ− u) ≤∫

Γ

g0(|ϕ| − |u|), ∀ϕ ∈ H1(Ω),

donc〈v, ϕ− u〉H1(Ω) ≤ φ0(ϕ)− φ0(u),

c’est-à-dire v ∈ ∂φ0(u).⇐ Réciproquement, soit v ∈ H1(Ω) telle que v ∈ ∂φ0(u). Alors pour tout ϕ ∈ H1(Ω),

〈v, ϕ− u〉H1(Ω) ≤ φ0(ϕ)− φ0(u),

ou encore ∫Ω

v(ϕ− u) +

∫Ω

∇v · ∇(ϕ− u) ≤∫

Γ

g0|ϕ| −∫

Γ

g0|u|. (2.18)

En prenant ϕ = u± ψ ∈ H1(Ω) dans l’inégalité précédente, où ψ ∈ D(Ω), on obtient ∆v = v dansD′(Ω) et comme v ∈ H1(Ω), alors l’égalité est aussi vraie dans L2(Ω). On peut alors appliquer laformule de Green (Corollaire A.0.15) dans l’inégalité (2.18). On obtient pour tout ϕ ∈ H1(Ω),

〈∂nv, ϕ− u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≤∫

Γ

g0|ϕ| −∫

Γ

g0|u|.

19

En particulier avec ϕ = u± ψ, où ψ ∈ H1(Ω), on a∣∣∣〈∂nv, ψ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ)

∣∣∣ ≤ ∫Γ

g0|ψ| ≤ ‖g0‖L2(Γ) ‖ψ‖L2(Γ) , ∀ψ ∈ H1/2(Γ),

et on peut ensuite appliquer la Proposition A.0.13 en utilisant l’injection H1/2(Γ) →dense

L2(Γ). On

a alors ∂nv ∈ L2(Γ) et∫Γ

∂nv(ϕ− u) ≤∫

Γ

g0|ϕ| −∫

Γ

g0|u|, ∀ϕ ∈ H1/2(Γ).

Par ailleurs, d’après l’injection précédente, l’inégalité reste vraie pour tout ϕ ∈ L2(Γ).Considérons alors s ∈ Γ un point de Lebesgue de ∂nv ∈ L2(Γ), de u∂nv ∈ L1(Γ), de g0 ∈ L2(Γ) etde g0|u| ∈ L1(Γ). Alors, en prenant la fonction ϕ ∈ L2(Γ) définie pour ε > 0 et x ∈ R par

ϕ :=

x sur BΓ(s, ε),

u sur Γ\BΓ(s, ε),

on obtient ∫BΓ(s,ε)

∂nv(x− u) ≤∫BΓ(s,ε)

g0|x| −∫BΓ(s,ε)

g0|u|,

ou bien encore

1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

∂nv(x− u) ≤ 1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

g0|x| −1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

g0|u|.

Puis, en passant à la limite lorsque ε→ 0, on a

∂nv(s)(x− u(s)) ≤ g0(s)(|x| − |u(s)|).

Comme x ∈ R est arbitraire, on obtient

∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)).

Par ailleurs, presque tous les points de Γ sont des points de Lebesgue pour ∂nv ∈ L2(Γ), u∂nv ∈L1(Γ), g0 ∈ L2(Γ) et g0|u| ∈ L1(Γ), donc cela conclut la preuve.

Proposition 2.2.21. On considère la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ définie par (2.13).Alors, en reprenant la notation de la Définition B.0.20, on a pour tout t > 0, u ∈ H1(Ω), etv ∈ H1(Ω) telle que v ∈ ∂φ0(u),

∆2tΦ(u|v)(w) =

∫Γ

∆2tG(s)(u(s)|∂nv(s))(w(s))ds, ∀w ∈ H1(Ω), (2.19)

où, pour presque tout s ∈ Γ, G(s) est définie par

G(s) : R+ × R −→ R(t, x) 7−→ gt(s)|x|.

Remarque 2.2.22. Remarquons que, pour presque tout s ∈ Γ et pour tout t ≥ 0, la fonctiongt(s)|·| est dans Γ0(R), donc G(s) ∈ Γ0(·,R). Par ailleurs, on a pour tout x ∈ R,

∂g0(s)|·|(x) = ∂ [G(s)(0, ·)] (x).

20

Démonstration. Soient t > 0, u ∈ H1(Ω), v ∈ ∂φ0(u) et w ∈ H1(Ω). Alors d’après le Lemme 2.2.20,−∆v + v = 0 dans D′(Ω) et donc aussi dans L2(Ω) car v ∈ H1(Ω). On peut alors multiplier parw ∈ H1(Ω), puis intégrer sur Ω et enfin appliquer la formule de Green (Corollaire A.0.15) pourobtenir

〈v, w〉H1(Ω) = 〈∂nv, w〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) .

Par ailleurs, ∂nu ∈ L2(Γ) et H1/2(Γ) →dense

L2(Γ), donc par la Proposition A.0.13,

〈v, w〉H1(Ω) =

∫Γ

w∂nv, ∀w ∈ H1(Ω).

Ainsi, on a pour tout w ∈ H1(Ω),

∆2tΦ(u|v)(w) =

φt(u+ tw)− φt(u)− t 〈v, w〉H1(Ω)

t2

=

∫Γ

gt(s)|u(s) + tw(s)| − gt(s)|u(s)| − tw(s)∂nv(s)

t2ds.

De plus, comme ∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)) pour presque tout s ∈ Γ, on a bien

∆2tΦ(u|v)(w) =

∫Γ

∆2tG(s)(u(s)|∂nv(s))(w(s)), ∀w ∈ H1(Ω),

ce qui termine la preuve.

Nous allons maintenant calculer dans l’égalité (2.19), l’intégrande du terme de droite. Pour celanous allons avoir besoin de la proposition qui suit.

Proposition 2.2.23. Soient x ∈ R et y ∈ ∂|·|(x). Alors,

d2e|·|(x|y) = IKx,y

,

où

Kx,y :=

R si x 6= 0,

R+ si x = 0 et y = 1,

R− si x = 0 et y = −1,

0 si x = 0 et y ∈ (−1, 1).

Avec notamment I la fonction indicatrice de l’ensemble Kx,y (voir Définition B.0.3), tandis qued2e|·|(x|y) désigne l’épi-dérivée du seconde ordre de |·| en x pour y au sens de la Définition B.0.19.

Remarque 2.2.24. On rappelle que pour tout x ∈ R,

∂|·|(x) :=

1 si x > 0,

−1 si x < 0,

[−1, 1] si x = 0.

Démonstration. On utilise la caractérisation de la Mosco épi-convergence (Proposition B.0.18) dansle cas de la dimension finie (donc les limites faibles sont également des limites fortes). On reprendles notations utilisées dans la Définition B.0.19.

21

— Si x 6= 0 et y ∈ ∂|·|(x), alors pour t assez petit, on a pour tout z ∈ R,

δ2t |·|(x|y)(z) =

|x+ tz| − |x| − tyzt2

= 0,

donc d2e|·|(x|y) = IR.

— Si x = 0 et y = 1 alors,

δ2t |·|(0|1)(z) =

|z| − zt

=

0 si z ≥ 0,−2t z si z < 0,

donc d2e|·|(0|1) = IR+ .

— Si x = 0 et y = −1 alors,

δ2t |·|(0| − 1)(z) =

|z|+ z

t=

2t z si z > 0,

0 si z ≤ 0,

donc d2e|·|(0| − 1) = IR− .

— Si x = 0 et y ∈ (−1, 1) alors,

δ2t |·|(0|y)(z) =

|z| − yzt

=

(1−y)t z si z > 0,

−(1+y)t z si z < 0,

0 si z = 0,

donc d2e|·|(0|y) = I0.

Ceci conclut la preuve.

Proposition 2.2.25. Supposons que, pour presque tout s ∈ Γ, la fonction t ≥ 0 7→ gt(s) ∈ R+

soit dérivable en t = 0. Alors, pour presque tout s ∈ Γ, pour tout x ∈ R et y ∈ ∂g0(s)|·|(x),

D2eG(s)(x|y)(z) = IKx,

yg0(s)

(z) + g′0(s)y

g0(s)z, ∀z ∈ R,

où D2eG(s)(x|y) désigne l’épi-dérivée du second ordre au sens de la Définition B.0.20 de la fonction

G(s) en x pour y.

Démonstration. On utilise les notations utilisées dans la Définition B.0.19 et dans la Défini-tion B.0.20. Soit x ∈ R. Remarquons que, comme g0 ∈ L2(Γ) est strictement positive presquepartout sur Γ, alors ∂g0(s)|·|(x) = g0(s)∂|·|(x) pour presque tout s ∈ Γ. Ainsi, pour presque touts ∈ Γ, si y ∈ ∂g0(s)|·|(x), alors y = g0(s)v où v ∈ ∂|·|(x).On a alors, pour presque tout s ∈ Γ, pour tout y ∈ ∂g0(s)|·|(x) et pour tout z ∈ R,

∆2tG(s)(x|y)(z) =

gt(s)|x+ tz| − gt(s)|x| − tg0(s)vz

t2

= gt(s)|x+ tz| − |x| − tvz

t2+gt(s)− g0(s)

tvz,

donc∆2tG(s)(x|y)(z) = gt(s)δ

2e |·|(x|v)(z) +

gt(s)− g0(s)

tvz.

22

Ainsi, en utilisant la caractérisation de la Mosco épi-convergence (Proposition B.0.18) et le résultatde la Proposition 2.2.23, on obtient pour tout z ∈ R,

D2eG(s)(x|y)(z) = g0(s)IKx,v

(z) + g′0(s)vz = IKx,y

g0(s)

(z) + g′0(s)y

g0(s)z,

ce qui conclut la preuve.

2.2.3 Caractérisation de u′0

On est désormais en mesure de montrer le résultat principal de la section 2.

Théorème 2.2.26. Soit ut l’unique solution du problème de Tresca paramétré (2.10) pour l’indicet. Supposons que :

1. l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) est dérivable en t = 0 ;

2. pour presque tout s ∈ Γ, l’application t ≥ 0 7→ gt(s) ∈ R+ est dérivable en t = 0, avecg′0 ∈ L2(Γ) ;

3. la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ donnée par (2.13) est épi-différentiable d’ordre 2 (ausens de la Définition B.0.20) en u0 pour F0 − u0 ∈ ∂φ0(u0) et est telle que son épi-dérivéedu second ordre soit donnée, pour tout w ∈ H1(Ω), par

D2eΦ(u0|F0 − u0)(w) =

∫Γ

D2eG(s)(u0(s)|∂n(F0 − u0)(s))(w(s))ds, (2.20)

où F0 est la solution du problème de Neumann homogène (2.15) pour t = 0.

Alors, l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et u′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solutionfaible du problème de Signorini suivant

−∆u′0 + u′0 = f ′0 dans Ω,

∂nu′0 = g′0

∂nu0

g0sur Γu0,g0

SN,

u′0 = 0 sur Γu0,g0

SD,

u′0 ≤ 0, ∂nu′0 ≤ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

S− ,

u′0 ≥ 0, ∂nu′0 ≥ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

S+ ,

(2.21)

où Γ = Γu0,g0

SN∪ Γu0,g0

SD∪ Γu0,g0

S− ∪ Γu0,g0

S+ et

Γu0,g0

SN= s ∈ Γ, u0(s) 6= 0 ,

Γu0,g0

SD= s ∈ Γ, u0(s) = 0 et ∂nu0(s) ∈ (−g0(s), g0(s)) ,

Γu0,g0

S− = s ∈ Γ, u0(s) = 0 et ∂nu0(s) = g0(s) ,

Γu0,g0

S+ = s ∈ Γ, u0(s) = 0 et ∂nu0(s) = −g0(s) .

Remarque 2.2.27. L’hypothèse (2.20) revient à inverser les symboles ME-lim et∫

Γdans la for-

mule (2.19). C’est une hypothèse assez importante qui est détaillée plus en détail dans [2], Remarque3.18, page 16 et Annexe B, page 21.

23

Démonstration. En utilisant la formule (2.20) et la Proposition 2.2.25, on a pour tout w ∈ H1(Ω),

D2eΦ(u0|F0 − u0)(w) =

∫Γ

[IK

u0(s),∂n(F0−u0)(s)

g0(s)

(w(s)) + g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w(s)

]ds

= IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(w) +

∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w(s)ds,

où Ku0,

∂n(F0−u0)g0

est un ensemble convexe, fermé et non vide de H1(Ω) défini par

Ku0,

∂n(F0−u0)g0

:=

w ∈ H1(Ω), w(s) ∈ K

u0(s),∂n(F0−u0)(s)

g0(s)

pour presque tout s ∈ Γ

.

Par ailleurs, comme ∂nF0 = 0 sur Γ on a également

Ku0,

∂n(F0−u0)g0

:=w ∈ H1(Ω), w(s) ≤ 0 sur Γu0,g0

S− , w(s) ≥ 0 sur Γu0,g0

S+ , w(s) = 0 sur Γu0,g0

SD

,

où les sous-ensembles Γu0,g0

SN, Γu0,g0

SD, Γu0,g0

S− et Γu0,g0

S+ sont définis plus haut.Montrons que D2

eΦ(u0|F0 − u0) appartient à Γ0(H1(Ω)).

— En prenant la fonction nulle, w := 0 ∈ H1(Ω), on aD2eΦ(u0|F0−u0)(0) = 0, doncD2

eΦ(u0|F0−u0) est propre.

— Soient w1, w2 ∈ H1(Ω) et λ ∈ (0, 1). Alors,∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)(λw1(s) + (1− λ)w2(s))ds

= λ

∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w1(s)ds+ (1− λ)

∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w2(s)ds.

Par ailleurs, d’après le Corollaire B.0.7, comme IKu0,

∂n(F0−u0)g0

est convexe (car Ku0,

∂n(F0−u0)g0

l’est) alors D2eΦ(u0|F0−u0) est bien une fonction convexe par somme de fonctions convexes.

— Soient w1, w2 ∈ H1(Ω). Alors comme H1(Ω) ⊂ L2(Γ) on a∣∣∣∣∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)(w1(s)− w2(s))ds

∣∣∣∣≤

(∫Γ

|g′0|2∣∣∣∣∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)

∣∣∣∣2 ds

) 12

‖w1 − w2‖L2(Γ) ,

De plus, comme∣∣∣∣∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)

∣∣∣∣ ≤ 1 (c’est un élément du sous-différentiel de |·| d’après la

Proposition 2.2.25) et en utilisant l’injection continue de H1(Ω) dans L2(Γ), on a∣∣∣∣∫Γ

g′0(s)∂n((F0 − u0)(s))

g0(s)(w1(s)− w2(s))ds

∣∣∣∣ ≤ C ‖g′0‖L2(Γ) ‖w1 − w2‖H1(Ω) ,

24

où C > 0 est une constante qui ne dépend que de Ω. Ainsi, la fonction w ∈ H1(Ω) 7→∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w(s)ds ∈ R est continue, donc semi-continue inférieurement (Défini-

tion B.0.4 et Remarque B.0.5).Par ailleurs, comme K

u0,∂n(F0−u0)

g0

est un fermé de H1(Ω), alors IKu0,

∂n(F0−u0)g0

est semi-

continue inférieurement sur H1(Ω) (Corollaire B.0.7) et donc D2eΦ(u0|F0 − u0) l’est aussi

par somme de fonctions.

Ainsi, on a bien D2eΦ(u0|F0 − u0) ∈ Γ0(H1(Ω)).

D’après l’hypothèse 1., on a vu à l’aide de la Proposition 2.2.18, que l’application t ≥ 0 7→ Ft ∈H1(Ω) est dérivable en t = 0 et F ′0 ∈ H1(Ω) est solution du problème de Neumann (2.16). Alors,d’après (2.14) et le Théorème B.0.21, l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 etu′0 ∈ H1(Ω) vérifie :

u′0 = proxD2eΦ(u0|F0−u0)(F

′0).

Ce qui signifie,F ′0 − u′0 ∈ ∂D2

eΦ(u0|F0 − u0)(u′0).

Ainsi, pour tout v ∈ H1(Ω),

〈F ′0 − u′0, v − u′0〉H1(Ω) ≤ D2eΦ(u0|F0 − u0)(v)−D2

eΦ(u0|F0 − u0)(u′0),

ou encore pour tout v ∈ H1(Ω),∫Ω

∇(F ′0 − u′0) · ∇(v − u′0) +

∫Ω

(F ′0 − u′0)(v − u′0)

≤ IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(v)− IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(u′0) +

∫Γ

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

Par ailleurs, comme ∂nF0 = 0 sur Γ et que F ′0 est solution du problème de Neumann (2.16), on aalors en utilisant sa formulation faible (2.2), pour tout v ∈ H1(Ω),∫

Ω

∇u′0 · ∇(v − u′0) +

∫Ω

u′0(v − u′0)

≥∫

Ω

f ′0(v − u′0)− IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(v) + IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(u′0) +

∫Γ

g′0(s)∂nu0(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

De plus, comme u′0 et v sont dans H1(Ω), alors∣∣∣∣∫Ω

∇u′0 · ∇(v − u0′) +

∫Ω

u′0(v − u0′)

∣∣∣∣ ≤ 2 ‖u′0‖H1(Ω) ‖v − u′0‖H1(Ω) < +∞.

Par conséquent u′0 ∈ Ku0,∂n(F0−u0)

g0

et on a alors pour tout v ∈ Ku0,

∂n(F0−u0)g0

,

∫Ω

∇u′0 · ∇(v − u0′) +

∫Ω

u′0(v − u0′) ≥∫

Ω

f ′0(v − u′0) +

∫Γ

g′0(s)∂nu0(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

Ainsi, d’après la définition de la solution faible du problème de Signorini (Définition 2.1.8), u′0 estl’unique solution faible du problème de Signorini (2.21).

25

Remarque 2.2.28. Le problème (2.21) est bien posé car pour presque tout s ∈ Γ,∣∣∣∂nu0(s)g0(s)

∣∣∣ ≤ 1.Ainsi, ∣∣∣∣g′0 ∂nu0

g0

∣∣∣∣ ≤ |g′0| ,et étant donné que g′0 ∈ L2(Γ), alors g′0

∂nu0

g0∈ L2(Γ).

Remarque 2.2.29. Dans le cas où la décomposition Γ = Γu0,g0

SN∪Γu0,g0

SD∪Γu0,g0

S− ∪Γu0,g0

S+ est régulière,alors, d’après la Proposition 2.1.10, u′0 est aussi une solution forte du problème de Signorini (2.21).

Pour finir, on conclut avec le corollaire suivant qui est obtenu par la Proposition 2.1.11.

Corollaire 2.2.30. Soit ut la solution du problème de Tresca paramétrée (2.10) pour l’indice t. Siles conditions du Théorème 2.2.26 sont vérifiées, alors u′0 est donnée par

u′0 = projKu0,

∂n(F0−u0)g0

(F ) ,

où F est la solution du problème de Neumann (2.1) pour h = g′0∂nu0

g0∈ L2(Γ).

2.3 Simulations numériques sur un exemple

Dans cette sous-section, nous allons illustrer le résultat du Théorème 2.2.26 avec un exempleparticulier. Les simulations seront faites avec le logiciel Freefem++ (voir [13] pour une documen-tation du logiciel). L’algorithme utilisé pour résoudre le problème de Signorini est un algorithmede "switching" devéloppé par J.M. Aitchison et M.W Poole [3]. Enfin, cet algorithme est adaptéafin de pouvoir être appliqué au problème de Tresca. Pour plus de détails et d’explications surces algorithmes, voir [2], section C, page 25, ou bien encore l’annexe C de ce rapport. Il est ànoter que ces algorithmes n’ont rien d’efficaces et en particulier, que l’algorithme de Tresca uti-lisé n’a pas de preuve de convergence, mais qu’il est tout de même validé expérimentalement surcet exemple. Le but principal de cette sous-section n’étant pas d’étudier rigoureusement ces al-gorithmes mais simplement d’illustrer le théorème sur un exemple simple. Il existe cependant desalgorithmes beaucoup plus efficaces et dont la convergence est prouvée, comme par exemple la mé-thode de Nitsche (voir par exemple [8]) ou bien encore les méthodes hybrides (voir notamment [6]).

Pour illustrer le Théorème 2.2.26, nous allons calculer numériquement la solution faible ut duproblème de Tresca paramétré (2.10) pour l’indice t > 0. Solution, qui d’après le théorème, peutêtre approchée pour t assez petit, par u0 +tu′0, où u0 est la solution du problème de Tresca paramé-tré (2.10) pour t = 0 et u′0 la solution faible du problème de Signorini (2.21). Enfin, en calculant lanorme H1 de la différence entre ut et son approximation du premier ordre u0 + tu′0, nous pourronsillustrer le Théorème 2.2.26 pour l’exemple particulier qui est défini dans la sous-section qui suit.

2.3.1 Exemple

Nous nous plaçons dans le cas où d = 2 et où Ω est le disque unité de R2. Soit la fonctionf ∈ L2(Ω) définie par

f : Ω −→ R

(x, y) 7−→ 1

2

(x2 + y2 − 5

)ξ(x)− 2xξ′(x)− 1

2(x2 + y2 − 1)ξ′′(x),

26

et où ξ est définie par

ξ : [−1, 1] −→ R

x 7−→

−1 si −1 ≤ x ≤ − 1

2 ,

sin(πx) si − 12 ≤ x ≤

12 ,

1 si 12 ≤ x ≤ 1.

(2.22)

On considère alors la fonction ft ∈ L2(Ω) définie pour tout t ≥ 0 par

ft : Ω −→ R(x, y) 7−→ exp(t)f(x, y),

ainsi que la fonction gt ∈ L2(Γ) définie pour tout t ≥ 0 par

gt : Γ −→ R(x, y) 7−→ 1 + t.

Le choix de ces fonctions nous permet de déterminer explicitement l’unique solution u0 du problèmede Tresca paramétrée (2.10) pour t = 0, c’est-à-dire l’unique solution du problème

−∆u0 + u0 = f0 dans Ω,

|∂nu0| ≤ g0 et u0∂nu0 = −g0|u0| sur Γ,

où f0 = f dans L2(Ω) et g0 = 1 dans L2(Γ). En effet, on vérifie aisément que u0 est donnée par

u0 : Ω −→ R

(x, y) 7−→ 1

2

(x2 + y2 − 1

)ξ(x).

(2.23)

De plus, comme ∂nu0 = ξ et u0 = 0 presque partout sur Γ, alors on peut expliciter la décomposition

Γ = Γg0

SN∪ Γg0

SD∪ Γg0

S− ∪ Γg0

S+

donnée dans le Théorème 2.2.26. Ce qui donne :

Γg0

SN= (x, y) ∈ Γ, u0(x, y) 6= 0 = ∅;

Γg0

SD= (x, y) ∈ Γ, u0(x, y) = 0 et ∂nu0(x, y) ∈ (−1, 1) =

(x, y) ∈ Γ, − 1

2< x <

1

2

;

Γg0

S−= (x, y) ∈ Γ, u0(x, y) = 0 et ∂nu0(x, y) = 1 =

(x, y) ∈ Γ, x ≥ 1

2

;

Γg0

S+= (x, y) ∈ Γ, u0(x, y) = 0 et ∂nu0(x, y) = −1 =

(x, y) ∈ Γ, x ≤ −1

2

.

Par ailleurs, on a

limt→0

∥∥∥∥ft − f0

t− f

∥∥∥∥L2(Ω)

= 0,

et pour presque tout (x, y) ∈ Γ,

limt→0

∣∣∣∣gt(x, y)− g0(x, y)

t− 1

∣∣∣∣ = 0.

27

Ainsi, f ′0 = f dans L2(Ω) et pour presque tout (x, y) ∈ Γ, g′0(x, y) = 1 et par conséquent, g′0 = 1

dans L2(Γ).

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer numériquement la solution u′0 du problèmede Signorini (2.21), ainsi que la solution ut du problème de Tresca paramétré (2.10) pour l’indicet.

2.3.2 Résultats numériques

Les simulations numériques ont été faites en utilisant la méthode des éléments finis P2 et avecune discrétisation du bord constituée de 150 points. Le tableau qui suit donne quelques valeursobtenues de ‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) pour différentes valeurs de t et la figure 2 sa représentation enéchelle logarithmique. Enfin, la figure 3 est la représentation de la solution numérique ut et de sonapproximation du premier ordre u0 + tu′0 pour t = 0.1.

Paramètre t 0.60 0.40 0.20 0.1 0.075 0.05 0.025 0.01‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) 0.5254 0.2135 0.0484 0.0114 0.0065 0.0033 0.0021 0.0021

Tableau 1 – Différence pour la norme H1 entre ut et son approximation du premier ordre u0 + tu′0pour différentes valeurs de t.

Figure 2 – En rouge ‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) en fonction de t et en bleu la fonction t ≥ 0 7→ t2,1 enéchelle logarithmique.

La droite en bleu présente sur la figure 2, dont la pente est de 2.1, nous permet de conjecturer

28

qu’il existe une constante C ∈ R telle que

log (‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω)) ≤ 2.1 log t+ C,

et donc‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) ≤ exp(C)t2.1.

Par conséquent, ∥∥∥∥ut − u0

t− u′0

∥∥∥∥H1(Ω)

= O(t1.1),

ce qui est en corrélation avec le théorème 2.2.26.

Remarque 2.3.31. On peut remarquer que la courbe admet un seuil à partir d’environ t = 0.03.Cela est dû aux nombreuses approximations qui sont faites, en particulier aux algorithmes utilisésqui sont loin d’être optimaux, comme cela a déjà été remarqué au début de cette sous-section 2.3.

29

Figure 3 – Cas t=0.1 : en haut la solution ut et en bas l’approximation u0 + tu′0.

3 Sur le cas scalaire −∆u = f

Nous supposons dans cette section, l’hypothèse plus forte que Ω est de classe C1 et que lafrontière Γ se décompose sous la forme

Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT ,

où ΓN , ΓD, ΓT sont des sous-ensembles mesurables de Γ, deux à deux disjoints. Cette hypothèseplus forte sur la régularité de Ω est suffisante afin d’avoir la densité de l’espace H1/2

00 (ΓN ∪ ΓT )

dans L2(ΓN ∪ ΓT ), dont la définition est rappelée dans la Proposition A.0.9 (pour plus de détails,

30

voir [10], chapitre 7, section 2 page 395). Nous faisons également l’hypothèse que ΓD est de mesurestrictement positive.

Cette fois nous nous rapprochons du cas de l’élasticité. Pour cela, nous allons enlever le terme"+u" de l’équation −∆u+u = f qui était présent dans la section 2. Nous traiterons donc désormaisle cas −∆u = f .

Afin de garder une forme bilinéaire coercive dans les problèmes qui vont suivre, nous faisonsl’hypothèse que u s’annule sur un sous-ensemble de mesure non nulle (d’où la définition de ΓD).Le but de la sous-section 3.1 est similaire à celui de la sous-section 2.1, c’est-à-dire que nous allonsintroduire trois problèmes avec des conditions aux bords différentes et y définir, pour chacun d’entreeux, une solution forte et une solution faible. Puis, nous démontrerons l’équivalence entre ces deuxformulations et enfin l’existence et l’unicité de la solution faible. Ainsi, à l’aide de ces résultats,nous pourrons faire dans la sous-section 3.2, l’analyse de sensibilité d’un problème de Tresca afind’obtenir le résultat principal de la section 3, c’est-à-dire le Théorème 3.2.21. Enfin, dans la dernièresous-section 3.3, nous illustrerons ce théorème avec des simulations numériques sur un exemple.

3.1 Problèmes aux limites

Dans la suite, nous supposons que f ∈ L2(Ω), k ∈ L2(ΓN ), h ∈ L2(ΓT ) et g ∈ L2(ΓT ) telle queg ≥ 0 presque partout sur ΓT .

3.1.1 Problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann

Soit le problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann (noté D.-N.) suivant :−∆F = f dans Ω,

F = 0 sur ΓD,

∂nF = k sur ΓN ,

∂nF = h sur ΓT .

(3.1)

Définition 3.1.1 (Solution forte du problème D.-N.). Une solution forte du problème D.-N. (3.1)est une fonction F : Ω → R telle que F ∈ H1(Ω), −∆F = f dans D′(Ω), F = 0 presque partoutsur ΓD, ∂nF ∈ L2(ΓN ∪ΓT ), ∂nF = k presque partout sur ΓN et ∂nF = h presque partout sur ΓT .

Définition 3.1.2 (Solution faible du problème D.-N.). Une solution faible du problème D.-N. (3.1)est une fonction F : Ω→ R telle que F ∈ HD et telle que pour tout ϕ ∈ HD,∫

Ω

∇F · ∇ϕ =

∫Ω

fϕ+

∫ΓN

kϕ+

∫ΓT

hϕ, (3.2)

où HD :=ϕ ∈ H1(Ω), ϕ = 0 presque partout sur ΓD

est un sous-espace vectoriel fermé de H1(Ω).

Proposition 3.1.3. Une fonction F est une solution forte du problème D.-N. (3.1) si et seulementsi F est une solution faible du problème D.-N. (3.1).

Démonstration. ⇒ Supposons que F soit une solution forte du problème D.-N. (3.1). Alors,−∆F = f dans D′(Ω). De plus, étant donné que f ∈ L2(Ω), alors, −∆F = f dans L2(Ω). On

31

peut alors multiplier par ϕ ∈ HD, puis intégrer sur Ω et enfin appliquer la formule de Green(Corollaire A.0.15), afin d’obtenir∫

Ω

∇F · ∇ϕ− 〈∂nF,ϕ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

fϕ, ∀ϕ ∈ HD.

De plus, pour tout ϕ ∈ HD, ϕ ∈ H1/200 (ΓN ∪ΓT ) qui est un sous-espace vectoriel de H1/2(Γ). Ainsi,∫

Ω

∇F · ∇ϕ− 〈∂nF,ϕ〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

=

∫Ω

fϕ, ∀ϕ ∈ HD.

Or, on a aussi ∂nF ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ ΓT ). On obtient alors, par la

Proposition A.0.13,

〈∂nF,ϕ〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

=

∫ΓN∪ΓT

∂nFϕ, ∀ϕ ∈ HD.

Puis, comme ∂nF = k presque partout sur ΓN et ∂nF = h presque partout sur ΓT , on obtient bienla formulation faible (3.2).⇐ Supposons que F soit une solution faible du problème D.-N. (3.1). Alors, en prenant ϕ = ψ ∈D(Ω), dans la formulation faible (3.2), on a∫

Ω

∇F · ∇ψ =

∫Ω

fψ.

ou encore−∫

Ω

F∆ψ =

∫Ω

fψ,

c’est-à-dire〈F,∆ψ〉D′(Ω)×D(Ω) = 〈−f, ψ〉D′(Ω)×D(Ω) , ∀ψ ∈ D(Ω).

Ainsi, −∆F = f dans D′(Ω). De plus, comme f ∈ L2(Ω), alors, −∆F = f dans L2(Ω). On peutalors appliquer la formule de Green (Corollaire A.0.15) dans la formulation faible (3.2) et obtenirpour tout ϕ ∈ HD,

〈∂nF,ϕ〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫ΓN

kϕ+

∫ΓT

hϕ.

Puis, pour les mêmes raisons que dans la première partie de la preuve, pour tout ϕ ∈ H1/200 (ΓN∪ΓT ),∣∣∣∣〈∂nF,ϕ〉(H

1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

∣∣∣∣≤ ‖k‖L2(ΓN ) ‖ϕ‖L2(ΓN ) + ‖h‖L2(ΓT ) ‖ϕ‖L2(ΓT ) ≤

(‖k‖L2(ΓN ) + ‖h‖L2(ΓT )

)‖ϕ‖L2(ΓN∪ΓT ) .

De plus, étant donné l’injection H1/200 (ΓN ∪ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ΓT ), alors par la proposition A.0.13,

∂nF ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et pour tout ϕ ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ),∫

ΓN∪ΓT

ϕ∂nF =

∫ΓN

kϕ+

∫ΓT

hϕ. (3.3)

32

D’après l’injection précédente, H1/200 (ΓN ∪ΓT ) est dense dans L2(ΓN ∪ΓT ), donc l’égalité (3.3) reste

vraie pour tout ϕ ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ).On peut considérer dans l’inégalité (3.3), la fonction ϕ ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) donnée par

ϕ :=

v sur ΓN ,

0 sur ΓT ,

pour tout v ∈ L2(ΓN ). On a alors∫ΓN

v∂nF =

∫ΓN

kv, ∀v ∈ L2(ΓN ),

et étant donné que ∂nF ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) ⊂ L2(ΓN ), alors ∂nF = k presque partout sur ΓN . De lamême manière, on peut considérer la fonction ϕ ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) donnée par

ϕ :=

0 sur ΓN ,

v sur ΓT ,

pour tout v ∈ L2(ΓT ). On obtient alors∫ΓT

v∂nF =

∫ΓT

hv, ∀v ∈ L2(ΓT ),

et donc, ∂nF = h presque partout sur ΓT car L2(ΓT ) ⊂ L2(ΓN ∪ΓT ), ce qui conclut la preuve.

Proposition 3.1.4. Il existe une unique solution faible F ∈ HD au problème D.-N. (3.1). De plus,il existe deux constantes, C1 et C2 strictement positives (qui ne dépendent que de Ω), telles que Fvérifie l’estimation d’énergie suivante :

‖F‖HD≤ C1 ‖f‖L2(Ω) + C2

(‖k‖L2(ΓN ) + ‖h‖L2(ΓT )

).

Où ‖·‖HDest une norme équivalente à ‖·‖H1(Ω) sur HD, définie pour tout v ∈ HD par

‖v‖HD:= ‖∇v‖L2(Ω) .

Démonstration. Commençons par remarquer qu’étant donné que ΓD est de mesure non nulle,alors, par l’inégalité de Poincaré (Théorème A.0.10), l’application v ∈ H1(Ω)× 7→ ‖∇v‖L2(Ω) ∈ R+

est une norme (notée ‖·‖HD) équivalente à la norme ‖·‖H1(Ω) sur l’espace HD. Par conséquent,

l’applicationa : H1(Ω)×H1(Ω) −→ R

(v, u) 7−→∫

Ω

∇u · ∇v,

(3.4)

est un produit scalaire sur HD qu’on note 〈·, ·〉HD:= a. Ainsi, comme HD est un sous-espace

vectoriel fermé de l’espace de Hilbert(

H1(Ω), 〈·, ·〉H1(Ω)

), alors

(HD, 〈·, ·〉H1(Ω)

)est un espace de

Hilbert et d’après ce qui précède,(HD, 〈·, ·〉HD

)est donc aussi un espace de Hilbert. Par ailleurs,

l’applicationL : HD −→ R

ϕ 7−→∫

Ω

fϕ+

∫ΓN

kϕ+

∫ΓT

hϕ,

33

est une application linéaire, continue pour la norme ‖·‖H1(Ω) et donc aussi pour la norme ‖·‖HD.

Ainsi, L ∈ H′D et d’après le théorème de représentation de Riesz (Théorème A.0.3), il existe ununique élément F ∈ HD, tel que

L(ϕ) = 〈F,ϕ〉HD, ∀ϕ ∈ HD,

c’est-à-dire exactement la formulation faible (3.2).Pour finir, en prenant ϕ = F dans la formulation faible (3.2), on obtient

‖F‖2HD≤ ‖f‖L2(Ω) ‖F‖L2(Ω) + ‖k‖L2(ΓN ) ‖F‖L2(Γ) + ‖h‖L2(ΓT ) ‖F‖L2(Γ) .

Puis, comme H1(Ω) s’injecte continûment dans L2(Γ), alors il existe une constante B1 > 0 qui nedépend que de Ω telle que

‖F‖2HD≤ ‖f‖L2(Ω) ‖F‖H1(Ω) +B1

(‖k‖L2(ΓN ) + ‖h‖L2(ΓT )

)‖F‖H1(Ω) .

Enfin, par l’équivalence des normes précédentes, il existe une constante C1 > 0 telle que

‖F‖2HD≤(C1 ‖f‖L2(Ω) +B1C1

(‖k‖L2(ΓN ) + ‖h‖L2(ΓT )

))‖F‖HD

,

d’où l’estimation d’énergie annoncée.

3.1.2 Problème de Signorini

Dans cette partie, on suppose que ΓT se décompose sous la forme

ΓT = ΓTSN∪ ΓTSD

∪ ΓTS− ∪ ΓTS+,

où ΓTSN, ΓTSD

, ΓTS− et ΓTS+sont des sous-ensembles mesurables de Γ, deux à deux disjoints. On

étudie le problème de Signorini suivant :

−∆u = f dans Ω,

u = 0 sur ΓD ∪ ΓTSD,

∂nu = k sur ΓN ,

∂nu = h sur ΓTSN,

u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh sur ΓTS− ,

u ≥ 0, ∂nu ≥ h et u∂nu = uh sur ΓTS+.

(3.5)

Remarque 3.1.5. Dans le cas où ΓT est de mesure nulle, on se retrouve dans le cas du problèmeD.-N. (3.1).

Définition 3.1.6 (Solution forte du problème de Signorini). Une solution forte du problème deSignorini (3.5) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ H1(Ω), −∆u = f dans D′(Ω), u = 0 surΓD ∪ ΓTSD

, ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), ∂nu = k presque partout sur ΓN , ∂nu = h presque partout surΓTSN

. De plus, u doit également vérifier u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh presque partout sur ΓTS− ,ainsi que u ≥ 0, ∂nu ≥ h et u∂nu = uh presque partout sur ΓTS+

.

Définition 3.1.7 (Solution faible du problème de Signorini). Une solution faible du problème deSignorini (3.5) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ K1(Ω) et telle que, pour tout v ∈ K1(Ω),∫

Ω

∇u · ∇(v − u) ≥∫

Ω

f(v − u) +

∫ΓN

k(v − u) +

∫ΓT

h(v − u), (3.6)

34

où K1(Ω) est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de H1(Ω) défini par

K1(Ω) :=v ∈ H1(Ω), v ≤ 0 sur ΓTS− , v = 0 sur ΓD ∪ ΓTSD

et v ≥ 0 sur ΓTS+

.

Remarque 3.1.8. On peut aussi écrire K1(Ω) comme un sous-ensemble non vide, convexe etfermé de HD (Définition 3.1.2) :

K1(Ω) :=v ∈ HD, v ≤ 0 sur ΓTS− , v = 0 sur ΓTSD

et v ≥ 0 sur ΓTS+

.

On va supposer que la décomposition Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT est régulière, dans un sens qui diffèreun peu de la Proposition 2.1.9 de la partie 2.1.2.

Définition 3.1.9. La décomposition Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT est dite régulière si :1. pour presque tout s ∈ ΓTS− ∪ ΓTS+

, s est dans ˚ΓTS− ou dans ˚ΓTS+;

2. l’ensemble K1/2(Γ) défini par

K1/2(Γ) :=v ∈ H1/2(Γ), v ≤ 0 sur ΓTS− , v = 0 sur ΓD ∪ ΓTSD

et v ≥ 0 sur ΓTS+

,

(qui est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de H1/2(Γ)) est dense dans le sous-ensemble non vide, fermé et convexe K0(Γ) ⊂ L2(Γ) défini par

K0(Γ) :=v ∈ L2(Γ), v ≤ 0 sur ΓTS− , v = 0 sur ΓD ∪ ΓTSD

et v ≥ 0 sur ΓTS+

.

Proposition 3.1.10. Soit u ∈ H1(Ω). Alors,1. Si u est une solution forte du problème de Signorini (3.5) alors u est une solution faible du

problème de Signorini (3.5).2. Si u est une solution faible du problème de Signorini (3.5) telle que ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et

telle que la décomposition Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT est régulière (au sens de la Définition 3.1.9),alors u est est une solution forte du problème de Signorini (2.4).

Démonstration. Commençons par prouver la première assertion.Supposons que u soit une solution forte du problème de Signorini (3.5). Alors, d’après les conditionsaux bords, u ∈ K1(Ω). Par ailleurs, −∆u = f dans D′(Ω) et comme f ∈ L2(Ω), alors −∆u = f

dans L2(Ω).On peut alors multiplier par v − u ∈ K1(Ω), pour v ∈ K1(Ω), intégrer sur Ω, puis appliquer laformule de Green (Corollaire A.0.15), pour enfin obtenir∫

Ω

∇u · ∇(v − u)− 〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

Or, pour tout v ∈ K1(Ω), v ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) et donc v− u ∈ H

1/200 (ΓN ∪ ΓT ) (c’est un sous-espace

vectoriel de H1/2(Γ)). Ainsi,∫Ω

∇u · ∇(v − u)− 〈∂nu, v − u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

=

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

Par ailleurs, ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ ΓT ). Alors, par la Proposi-

tion A.0.13,

−〈∂nu, v − u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

= −∫

ΓN∪ΓT

∂nu(v − u), ∀v ∈ K1(Ω),

35

et donc ∫Ω

∇u · ∇(v − u) =

∫Ω

f(v − u) +

∫ΓN∪ΓT

∂nu(v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

Par hypothèse, on a ∂nu = k presque partout sur ΓN , donc pour tout v ∈ K1(Ω),∫ΓN∪ΓT

∂nu(v − u) =

∫ΓN

k(v − u) +

∫ΓT

∂nu(v − u).

Enfin, en utilisant le même raisonnement que la Proposition 2.1.10 du problème de Signorini de lapartie 2.1, on montre que ∫

ΓT

∂nu(v − u) ≥∫

ΓT

h(v − u),

et on obtient bien la formulation faible (3.6).Prouvons maintenant la seconde assertion.Soit u solution faible du problème de Signorini (3.5). Alors, u ∈ K1(Ω) et en prenant v = u± ϕ ∈K1(Ω) dans la formulation faible (3.6), avec ϕ ∈ D(Ω), on obtient∫

Ω

∇u · ∇ϕ =

∫Ω

fϕ, ϕ ∈ D(Ω).

C’est-à-dire〈u,∆ϕ〉D′(Ω)×D(Ω) = 〈−f, ϕ〉D′(Ω)×D(Ω) , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Ainsi, −∆u = f dans D′(Ω) et donc dans L2(Ω) car f ∈ L2(Ω). On applique alors la formule deGreen (Corollaire A.0.15) dans la formulation faible (3.6) et on obtient pour tout v ∈ K1(Ω),

〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≥∫

ΓN

k(v − u) +

∫ΓT

h(v − u).

Puis, comme par hypothèse, ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), on montre comme dans la première assertion,que pour tout v ∈ K1(Ω),∫

ΓN∪ΓT

∂nu(v − u) ≥∫

ΓN

k(v − u) +

∫ΓT

h(v − u), (3.7)

et donc aussi pour tout v ∈ K1/2(Γ). De plus, comme K1/2(Γ) est dense dans K0(Γ), l’inégalitéprécédente est vraie pour tout v ∈ K0(Γ).Considérons alors la fonction v = u ± w ∈ K0(Γ) dans l’inégalité (3.7), où w ∈ L2(Γ) est donnéepar

w :=

ψ sur ΓN ,

0 sur Γ\ΓN ,où ψ est une fonction quelconque de L2(ΓN ). On obtient alors∫

ΓN

∂nuψ =

∫ΓN

kψ, ∀ψ ∈ L2(ΓN ),

et comme, ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) ⊂ L2(ΓN ), alors ∂nu = k presque partout sur ΓN .Ainsi, l’inégalité (3.7) devient∫

ΓT

∂nu(v − u) ≥∫

ΓT

h(v − u), ∀v ∈ K0(Γ). (3.8)

On montre ensuite de manière identique à la fin de la Proposition 2.1.10 du problème de Signorinide la partie 2.1.2 :

36

— ∂nu = h presque partout sur ΓSN;

— si s est un point de Lebesgue de ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ΓT ) et de h ∈ L2(ΓT ) tel que s ∈ ˚ΓTS− , alors,∂nu(s) ≤ h(s) ;

— si s est un point de Lebesgue de ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ΓT ) et de h ∈ L2(ΓT ) tel que s ∈ ˚ΓTS+, alors,

∂nu(s) ≥ h(s).

Puis, en considérant dans l’inégalité (3.8), la fonction v ∈ K0(Γ), définie par,

v :=

u sur ΓN ,

0 sur Γ\ΓN ,

et ensuite par

v :=

u sur ΓN ,

2u sur Γ\ΓN ,

on obtient : ∫ΓTS−∪ΓTS+

u∂nu− uh = 0.

Or, presque tous les points de ΓTS− ∪ ΓTS+sont des points de Lebesgue pour ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT )

et h ∈ L2(ΓT ) et sont dans l’intérieur de l’un des sous-ensembles ΓTS− ou ΓTS+. Ainsi, d’après ce

qui precède l’intégrande est alors positive presque partout sur ΓT . On a alors

u(s)∂nu(s) = u(s)h(s),

pour presque tout s ∈ ΓTS− ∪ ΓTS+, ce qui conclut la preuve de 2.

Pour la dernière proposition, on rappelle que (HD, 〈·, ·〉HD ) est un espace de Hilbert (voir ladémonstration de la Proposition 3.1.4) avec,

HD :=ϕ ∈ H1(Ω), ϕ = 0 presque partout sur ΓD

,

et〈·, ·〉HD

: HD ×HD −→ R

(u, v) 7−→∫

Ω

∇u · ∇v.

(3.9)

Proposition 3.1.11. Le problème de Signorini (3.5) admet une unique solution faible u qui estdonnée par

u = projK1(Ω)(F ),

où F est la solution faible du problème D.-N. (3.1) et projK1(Ω) est l’opérateur de projection clas-sique sur le convexe fermé non vide K1(Ω) de HD muni du produit scalaire 〈·, ·〉HD

(voir la Re-marque 3.1.8 et le théorème de projection sur un convexe fermé (Théorème A.0.4)).

Démonstration. La preuve est identique à celle de la proposition 2.1.11.

37

3.1.3 Problème de Tresca

Nous étudions maintenant le problème de Tresca suivant :−∆u = f dans Ω,

u = 0 sur ΓD,

∂nu = k sur ΓN ,

|∂nu| ≤ g et u∂nu = −g|u| sur ΓT .

(3.10)

On rappelle que g ∈ L2(ΓT ) et est telle que g ≥ 0 presque partout sur ΓT . On utilisera ici l’espacede Hilbert

(HD, 〈·, ·〉HD

)déjà défini précédemment.

Définition 3.1.12 (Solution forte du problème de Tresca). Une solution forte du problème deTresca (3.10) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ H1(Ω), −∆u = f ∈ D′(Ω), u = 0 presquepartout sur ΓD, ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), ∂nu = k presque partout sur ΓN , ainsi que |∂nu(s)| ≤ g(s) etu(s)∂nu(s) = −g(s)|u(s)| pour presque tout s ∈ ΓT .

Définition 3.1.13 (Solution faible du problème Tresca). Une solution faible du problème deTresca (3.10) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ HD et telle que, pour tout v ∈ HD,∫

Ω

∇u · ∇(v − u) +

∫ΓT

g|v| −∫

ΓT

g|u| ≥∫

Ω

f(v − u) +

∫ΓN

k(v − u), (3.11)

Pour montrer l’équivalence entre la solution forte et la solution faible, nous allons supposerque, dans le cas où ΓT est de mesure non nulle, alors presque tout les points de ΓT sont dans ΓT .Cependant, il est à noter que cette hypothèse n’est pas nécessaire si on suppose que g ∈ L∞(ΓT ) etg minorée par une constante strictement positive, comme on le verra pour le problème de Trescadans le cas de l’élasticité (section 4) à l’aide du Théorème A.0.16. Cette hypothèse faite sur ΓTrend toutefois la preuve de la proposition suivante plus simple.

Proposition 3.1.14. Soit u ∈ H1(Ω) et supposons que presque tout les points de ΓT sont dans ΓT .Alors, u est une solution forte du problème de Tresca (3.10) si et seulement si u est une solutionfaible du problème de Tresca (3.10).

Démonstration. ⇒ Supposons que u soit une solution forte du problème de Tresca (3.10). Alorscomme u = 0 sur ΓD, on a u ∈ HD.Par ailleurs, on a −∆u = f ∈ D′(Ω) et comme f ∈ L2(Ω) alors on a aussi, −∆u = f dans L2(Ω).On multiplie alors par v − u pour v ∈ HD, puis on intègre sur Ω et enfin on utilise la formule deGreen (Corollaire A.0.15), pour enfin obtenir∫

Ω

∇u · ∇(v − u)− 〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ HD.

Puis, comme cela a déjà été fait pour le problème de Signorini (3.5) dans la Proposition 3.1.10,pour tout v ∈ HD, v − u ∈ H

1/200 (ΓN ∪ ΓT ) et donc∫

Ω

∇u · ∇(v − u)− 〈∂nu, v − u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

=

∫Ω

f(v − u), ∀v ∈ HD.

De plus, comme ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ ΓT ), alors par la Proposi-

tion A.0.13,

38

− 〈∂nu, v − u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

= −∫

ΓN∪ΓT

∂nu(v − u) = −∫

ΓN

∂nu(v − u)−∫

ΓT

∂nu(v − u).

Par ailleurs, comme ∂nu = k dans L2(ΓN ) et en utilisant le même raisonnement que dans laProposition 2.1.15, on a∫

ΓT

g|v| −∫

ΓT

g|u| −∫

ΓN

k(v − u) ≥ −∫

ΓN

∂nu(v − u)−∫

ΓT

∂nu(v − u), ∀v ∈ HD.

On obtient alors la formulation faible (3.11).⇐ Supposons que u soit une solution faible du problème de Tresca (3.10). Alors en prenantv = u ± ϕ ∈ HD dans la formulation faible (3.11), avec ϕ ∈ D(Ω), on obtient −∆u = f dansD′(Ω) et par conséquent dans L2(Ω) car f ∈ L2(Ω). Ainsi, on peut appliquer la formule de Green(Corollaire A.0.15) dans la formulation faible (3.11), et on obtient pour tout v ∈ HD,

−〈∂nu, v − u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≤∫

ΓT

g|v| −∫

ΓT

g|u| −∫

ΓN

k(v − u).

On montre alors comme dans la Proposition 3.1.10, que pour tout v ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ),

−〈∂nu, v − u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

≤∫

ΓT

g|v| −∫

ΓT

g|u| −∫

ΓN

k(v − u).

Puis, en considérant v = u−ϕ ∈ H1/200 (ΓN ∪ΓT ), avec ϕ un élément quelconque de H

1/200 (ΓN ∪ΓT ),

on a

〈∂nu, ϕ〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

≤∫

ΓT

g(|u− ϕ| − |u|) +

∫ΓN

|k||ϕ|

≤ ‖g‖L2(ΓT ) ‖ϕ‖L2(ΓT ) + ‖k‖L2(ΓN ) ‖ϕ‖L2(ΓN ) ≤(‖g‖L2(ΓT ) + ‖k‖L2(ΓN )

)‖ϕ‖L2(ΓN∪ΓT ) .

Par ailleurs, H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ ΓT ), donc par la Proposition A.0.13, on a ∂nu ∈

L2(ΓN ∪ ΓT ) et

−∫

ΓN∪ΓT

∂nu(v − u) ≤∫

ΓT

g|v| −∫

ΓT

g|u| −∫

ΓN

k(v − u), ∀v ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ). (3.12)

D’après l’injection précédente, l’inégalité (3.12) reste vraie pour tout v ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ).Prenons alors dans l’inégalité (3.12) la fonction v = u ± w ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), où w ∈ L2(ΓN ∪ ΓT )

est définie par

w :=

ψ sur ΓN ,

0 sur ΓT ,

où ψ est un élément quelconque dans L2(ΓN ). On a alors∫ΓN

ψ∂nu =

∫ΓN

kψ, ∀ψ ∈ L2(ΓN ),

et donc ∂nu = k presque partout sur ΓN .Soit s ∈ ΓT un point de Lebesgue pour ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et pour g ∈ L2(ΓT ), tel que s soit

39

dans ΓT . En effectuant le même raisonnement que dans la Proposition 2.1.15, mais en considérantBΓ(s, ε) pour ε > 0 assez petit, qui satisfait BΓ(s, ε) ⊂ ΓT , on en déduit que |∂nu(s)| ≤ g(s).De plus, par hypothèse, comme presque tous les points de ΓT sont dans ΓT et sont des points deLebesgue pour ∂nu ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et g ∈ L2(ΓT ), on en déduit

|∂nu(s)| ≤ g(s),

pour presque tout s ∈ ΓT . Ainsi, u(s)∂nu(s) + g(s)|u(s)| ≥ 0 pour presque tout s ∈ ΓT .Enfin, en considérant v = u + w ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) dans l’inégalité (3.12), avec w ∈ L2(ΓN ∪ ΓT )

définie par

w :=

0 sur ΓN ,

−u sur ΓT ,

on a : ∫ΓT

u∂nu+ g|u| ≤ 0.

Comme l’intégrande est positive presque partout sur ΓT , alors u(s)∂nu(s) + g(s)|u(s)| = 0 pourpresque tout s ∈ ΓT . Ainsi u est bien une solution forte.

Proposition 3.1.15. Le problème de Tresca (3.10) admet une unique solution faible donnée par

u = proxφ(F ),

où F est la solution faible du problème D.-N. (3.1) dans le cas où h = 0, prox est l’opérateurproximal associé à φ (Définition B.0.10) et φ la fonctionnelle de Tresca déja abordée dans lapartie 2.1.3, mais qui est maintenant définie par

φ : HD −→ R

v 7−→ φ(v) =

∫ΓT

g|v|.

(3.13)

Remarque 3.1.16. Étant donnée la définition de φ, si u ∈ HD, alors le sous-différentiel de φ enu est inclus dans HD et est donné par

v ∈ ∂φ(u) si et seulement si 〈v, ϕ− u〉HD≤ φ(ϕ)− φ(u), ∀ϕ ∈ HD,

Démonstration. Pour commencer, remarquons que d’une manière similaire à la Proposition 2.1.17,φ ∈ Γ0(HD).Soit F la solution faible du problème D.-N. (3.1). Alors, en utilisant la formulation faible duproblème D.-N. (3.2), ainsi que la formulation faible du problème de Tresca (3.11), on a, u solutionfaible du problème de Tresca (3.11) si et seulement si

〈F − u, v − u〉HD≤ φ(v)− φ(u), ∀v ∈ HD.

Donc, si et seulement siF − u ∈ ∂φ(u),

c’est-à-dire, si et seulement siu = proxφ(F ).

40

3.2 Analyse de sensibilité du problème de Tresca

Dans cette sous-section nous allons utiliser les différents résultats obtenus dans la sous-sectionprécédente 3.1, afin de faire l’analyse de sensibilité du problème de Tresca (3.10). D’une manièresimilaire à la sous-section 2.2, on introduit le problème de Tresca paramétré suivant

−∆ut = ft dans Ω,

ut = 0 sur ΓD,

∂nut = kt sur ΓN ,

|∂nut| ≤ gt et ut∂nut = −gt|ut| sur ΓT ,

(3.14)

où pour tout t ≥ 0, ft ∈ L2(Ω), kt ∈ L2(ΓN ) et gt ∈ L2(ΓT ). Avec notamment pour t > 0, gt ≥ 0

presque partout sur ΓT et pour t = 0, g0 > 0 presque partout sur ΓT . On suppose également quedans le cas où ΓT est de mesure non nulle, alors presque tout les points de ΓT sont dans ΓT .Avant d’étudier ce problème (qui comme dans la sous-section 2.2 est non-linéaire, d’où notammentles difficultés), commençons avec l’analyse de sensibilité du problème D.-N. (3.1) qui sera utile pourle résultat final.

3.2.1 Analyse de sensibilité du problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann

Proposition 3.2.17. Soit le problème D.-N. paramétré défini pour t ≥ 0 par−∆Ft = ft dans Ω,

Ft = 0 sur ΓD,

∂nFt = kt sur ΓN ,

∂nFt = ht sur ΓT ,

(3.15)

où pour tout t ≥ 0, ft ∈ L2(Ω), kt ∈ L2(ΓN ) et ht ∈ L2(ΓT ).Supposons que :

1. l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) soit dérivable en t = 0 ;

2. l’application t ≥ 0 7→ kt ∈ L2(ΓN ) soit dérivable en t = 0 ;

3. l’application t ≥ 0 7→ ht ∈ L2(ΓT ) soit dérivable en t = 0.

Alors, l’application définie par t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et F ′0 ∈ H1(Ω) estl’unique solution du problème :

−∆F ′0 = f ′0 dans Ω,

F ′0 = 0 sur ΓD,

∂nF′0 = k′0 sur ΓN ,

∂nF′0 = h′0 sur ΓT .

(3.16)

Démonstration. La preuve est quasiment identique à la proposition 2.2.18 en utilisant l’estimationd’énergie donnée par la Proposition 3.1.4, ainsi que l’équivalence des normes ‖·‖HD

et ‖·‖H1(Ω) surl’espace HD.

3.2.2 Fonctionnelle de Tresca paramétrée et épi-dérivée du second ordre

De manière similaire à la partie 2.2.2, on introduit la fonctionnelle de Tresca paramétrée

41

Φ : R+ ×HD −→ R

(t, w) 7−→ φt(w) =

∫ΓT

gt|w|,

(3.17)

où φt est la fonctionnelle de Tresca associée au problème de Tresca paramétré (3.14) pour l’indicet, définie par (3.13) en remplaçant g ∈ L2(ΓT ) par gt ∈ L2(ΓT ). Ainsi, par la Proposition 3.1.15,l’unique solution du problème de Tresca paramétré (3.14) pour l’indice t est donnée par

ut = proxφt(Ft) = proxΦ(t,·)(Ft), (3.18)

où Ft est l’unique solution du problème D.-N. paramétré (3.15), dans le cas homogène sur ΓT(ht = 0 sur ΓT , ∀t ≥ 0), c’est-à-dire pour tout t ≥ 0, Ft est l’unique solution du problème :

−∆Ft = ft dans Ω,

Ft = 0 sur ΓD,

∂nFt = kt sur ΓN ,

∂nFt = 0 sur ΓT .

(3.19)

Ainsi, sous les deux premières conditions de la Proposition 3.2.17, l’application t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω)

est dérivable en t = 0 et F ′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solution du problème :−∆F ′0 = f ′0 dans Ω,

F ′0 = 0 sur ΓD,

∂nF′0 = k′0 sur ΓN ,

∂nF′0 = 0 sur ΓT .

(3.20)

Nous considérons maintenant le problème suivant défini pour tout u ∈ HD par−∆v = 0 dans Ω,

v = 0 sur ΓD,

∂nv = 0 sur ΓN ,

∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)) sur ΓT ,

(3.21)

qui sera utile afin de caractériser le sous-différentiel de la fonctionnelle de Tresca paramétrée. Pouru ∈ HD fixée, une solution du problème (3.21) est une fonction v ∈ H1(Ω) telle que −∆v = 0 dansD′(Ω), u = 0 sur ΓD, ∂nv ∈ L2(ΓN ∪ΓT ), ∂nv = 0 sur ΓN et ∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)) pour presquetout s ∈ ΓT .

Lemme 3.2.18. Soit u ∈ HD fixée. Alors,

∂φ0(u) = l’ensemble des solutions du problème (3.21),

où φ0 est la fonctionnelle de Tresca du problème de Tresca paramétré (3.14) pour t = 0.

Démonstration. Fixons u ∈ H1(Ω).⇒ Supposons que v ∈ H1(Ω) soit une solution du problème (3.21). Alors v ∈ HD et ∂nv(s) ∈∂g0(s)|·|(u(s)) pour presque tout s ∈ ΓT . En particulier, on a pour tout ϕ ∈ HD et pour presquetout s ∈ ΓT ,

∂nv(s)(ϕ(s)− u(s)) ≤ g0(s)(|ϕ(s)| − |u(s)|),

42

et, puisque ∂nv ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ),∫ΓT

∂nv(ϕ− u) ≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|).

Par ailleurs, −∆v = 0 dans D′(Ω) et donc dans ce cas, on a aussi −∆v = 0 dans L2(Ω). On peutalors multiplier par ϕ− u ∈ HD, où ϕ ∈ HD, intégrer sur Ω et enfin appliquer la formule de Green(Corollaire A.0.15) afin d’obtenir∫

Ω

∇v · ∇(ϕ− u) = 〈∂nv, ϕ− u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) .

Puis, comme pour tout ϕ ∈ HD, ϕ−u ∈ H1/200 (ΓN ∪ΓT ) qui est un sous-espace vectoriel de H1/2(Γ),

on a〈∂nv, ϕ− u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) = 〈∂nv, ϕ− u〉(H

1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

.

Par ailleurs, comme ∂nv ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) et H1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ ΓT ), alors par la proposi-

tion A.0.13, pour tout ϕ ∈ HD,

〈∂nv, ϕ− u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

=

∫ΓN∪ΓT

∂nv(ϕ− u).

Ainsi, comme ∂nv = 0 presque partout sur ΓN , on a∫Ω

∇v · ∇(ϕ− u) ≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|), ∀ϕ ∈ HD,

c’est-à-dire〈v, ϕ− u〉HD

≤ φ0(ϕ)− φ0(u), ∀ϕ ∈ HD,

et donc v ∈ ∂φ0(u).⇐ Soit v ∈ ∂φ0(u). Alors, par définition du sous-différentiel de φ0 (Remarque 3.1.16), v ∈ HD et∫

Ω

∇v · ∇(ϕ− u) ≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|), ∀ϕ ∈ HD. (3.22)

En considérant la fonction ϕ = u± ψ ∈ HD, où ψ ∈ D(Ω), on obtient∫Ω

∇v · ∇ψ = 0, ∀ψ ∈ D(Ω),

ou encore ∫Ω

v∆ψ = 0, ∀ψ ∈ D(Ω),

c’est-à-dire〈v,∆ψ〉D′(Ω),D(Ω) = 0, ∀ψ ∈ D(Ω).

Ainsi, −∆v = 0 dans D′(Ω) et donc dans ce cas, aussi dans L2(Ω). On peut alors appliquer laformule de Green (Corollaire A.0.15) dans l’inégalité (3.22) pour obtenir pour tout ϕ ∈ HD,

〈∂nv, ϕ− u〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|).

43

Alors, comme dans la première partie de la preuve, pour tout ϕ ∈ HD,

〈∂nv, ϕ− u〉(H1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|),

et donc aussi pour tout ϕ ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ). En prenant alors ϕ = u + w ∈ H

1/200 (ΓN ∪ ΓT ), pour

w un élément quelconque de H1/200 (ΓN ∪ ΓT ), on obtient∣∣∣∣〈∂nv, w〉(H

1/200 (ΓN∪ΓT )

)′×H

1/200 (ΓN∪ΓT )

∣∣∣∣ ≤ ∫ΓT

g0|w| ≤ ‖g0‖L2(ΓT ) ‖w‖L2(ΓN∪ΓT ) .

Ainsi, comme H1/200 (ΓN ∪ΓT ) →

denseL2(ΓN ∪ΓT ), alors par la Proposition A.0.13, ∂nv ∈ L2(ΓN ∪ΓT )

et ∫ΓN∪ΓT

w∂nv ≤∫

ΓT

g0(|u+ w| − |u|), ∀w ∈ H1/200 (ΓN ∪ ΓT ). (3.23)

Par l’injection continue et dense précédente, l’inégalité (3.23) est aussi vraie pour tout w ∈ L2(ΓN∪ΓT ).Considérons alors w ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) définie par

w :=

±ψ sur ΓN ,

0 sur ΓT ,

où ψ est un élément quelconque de L2(ΓN ). On obtient avec l’inégalité (3.23),∫ΓN

ψ∂nv = 0, ∀ψ ∈ L2(ΓN ).

Ainsi, ∂nv = 0 presque partout sur ΓN et donc, pour tout ϕ ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ),∫ΓT

∂nv(ϕ− u) ≤∫

ΓT

g0(|ϕ| − |u|).

Soit maintenant s ∈ ΓT , un point de Lebesgue de ∂nv ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), de u∂nv ∈ L1(ΓN ∪ ΓT ), deg0 ∈ L2(ΓT ) et de g0|u| ∈ L1(ΓT ), telle que s soit dans ΓT . Considérons alors, dans la précédenteinégalité, la fonction ϕ ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ) définie par

ϕ :=

x sur BΓ(s, ε),

u sur ΓN ∪ ΓT \BΓ(s, ε),

avec x ∈ R et ε > 0 assez petit, qui satisfait BΓ(s, ε) ⊂ ΓT . Alors de manière identique à laProposition 2.2.20 de la sous-section 2.2, on a

∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)).

De plus, comme presque tous les points de ΓT sont dans ΓT et sont des points de Lebesgue de∂nv ∈ L2(ΓN ∪ ΓT ), u∂nv ∈ L1(ΓN ∪ ΓT ), g0 ∈ L2(ΓT ) et de g0|u| ∈ L1(ΓT ), alors pour presquetout s ∈ ΓT ,

∂nv(s) ∈ ∂g0(s)|·|(u(s)),

ce qui conclut la preuve.

44

Proposition 3.2.19. Soit la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ définie par (3.17). Alors, enreprenant la notation de la définition B.0.20, on a pour tout t > 0, u ∈ HD et v ∈ ∂φ0(u),

∆2tΦ(u|v)(w) =

∫ΓT

∆2tG(s)(u(s)|∂nv(s))w(s)ds, ∀w ∈ HD, (3.24)

où, pour presque tout s ∈ Γ, G(s) est définie par

G(s) : R+ × R −→ R(t, x) 7−→ gt(s)|x|.

Démonstration. La preuve est similaire à la Proposition 2.2.21, en prenant bien en compte quel’on travaille sur l’espace de Hilbert

(HD, 〈·, ·〉HD

)et qu’on a l’injection H

1/200 (ΓN ∪ ΓT ) →

dense

L2(ΓN ∪ ΓT ).

Dans l’égalité (3.24), l’intégrande du terme de droite a déja été calculée dans la section 2.2.2.Nous pouvons donc passer directement à la proposition suivante, dont la preuve est identique à laProposition 2.2.25.

Proposition 3.2.20. Supposons que, pour presque tout s ∈ ΓT , la fonction t ≥ 0 7→ gt(s) ∈ R+

est dérivable en t = 0. Alors, pour presque tout s ∈ ΓT , pour tout x ∈ R et y ∈ ∂g0(s)|·|(x),

D2eG(s)(x|y)(z) = IKx,

yg0(s)

(z) + g′0(s)y

g0(s)z, ∀z ∈ R,

où D2eG(s)(x|y) désigne l’épi-dérivée du second ordre au sens de la Définition B.0.20 de la fonction

G(s) en x pour y.

3.2.3 Caractérisation de u′0

Avec les résultats obtenus précédemment, nous pouvons désormais faire l’analyse de sensibilitédu problème de Tresca (3.10) et obtenir ainsi le résultat principal de cette section 3.

Théorème 3.2.21. Soit ut l’unique solution du problème de Tresca paramétré (3.14) pour l’indicet. Supposons que :

1. l’application t ≥ 0 7→ ft ∈ L2(Ω) est dérivable en t = 0 ;

2. l’application t ≥ 0 7→ kt ∈ L2(ΓN ) est dérivable en t = 0 ;

3. pour presque tout s ∈ ΓT , l’application t ≥ 0 7→ gt(s) ∈ R+ est dérivable en t = 0, avecg′0 ∈ L2(ΓT ) ;

4. la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ donnée par (3.17) est épi-différentiable d’ordre 2 (ausens de la Définition B.0.20) en u0 pour F0 − u0 ∈ ∂φ0(u0) et est telle que son épi-dérivéedu second ordre soit donnée, pour tout w ∈ HD, par

D2eΦ(u0|F0 − u0)(w) =

∫ΓT

D2eG(s)(u0(s)|∂n(F0 − u0)(s))(w(s))ds, (3.25)

où F0 est la solution du problème D.-N. paramétré, homogène sur ΓT (3.19) pour le paramètret = 0.

45

Alors, l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et u′0 ∈ H1(Ω) est l’unique solutionfaible du problème de Signorini suivant

−∆u′0 = f ′0 dans Ω,

u′0 = 0 sur ΓD ∪ Γu0,g0

TSD,

∂nu′0 = k′0 sur ΓN ,

∂nu′0 = g′0

∂nu0

g0sur Γu0,g0

TSN,

u′0 ≤ 0, ∂nu′0 ≤ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

TS−,

u′0 ≥ 0, ∂nu′0 ≥ g′0 ∂nu0

g0et u′0∂nu

′0 = u′0g

′0∂nu0

g0sur Γu0,g0

TS+,

(3.26)

où ΓT = Γu0,g0

TSN∪ Γu0,g0

TSD∪ Γu0,g0

TS−∪ Γu0,g0

TS+et

Γu0,g0

TSN= s ∈ ΓT , u0(s) 6= 0 ,

Γu0,g0

TSD= s ∈ ΓT , u0(s) = 0 et ∂nu0(s) ∈ (−g0(s), g0(s)) ,

Γu0,g0

TS−= s ∈ ΓT , u0(s) = 0 et ∂nu0(s) = g0(s) ,

Γu0,g0

TS+= s ∈ ΓT , u0(s) = 0 et ∂nu0(s) = −g0(s) .

Démonstration. La preuve est proche du Théorème 2.2.26. En effet par l’hypothèse 4. et la Pro-position 3.2.20,

D2eΦ(u0|F0 − u0)(w) = IK

u0,∂n(F0−u0)

g0

(w) +

∫ΓT

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)w(s)ds,

où Ku0,

∂n(F0−u0)g0

est un ensemble convexe, fermé et non vide de HD défini par

Ku0,

∂n(F0−u0)g0

:=

w ∈ HD, w(s) ∈ K

u0(s),∂n(F0−u0)(s)

g0(s)

pour presque tout s ∈ ΓT

,

(voir Proposition 2.2.23 pour la définition de l’ensemble Kx,y pour x, y ∈ R). Par ailleurs, comme∂nF0 = 0 sur ΓT , on a également

Ku0,

∂n(F0−u0)g0

:=w ∈ HD, w(s) ≤ 0 sur Γu0,g0

TS−, w(s) ≥ 0 sur Γu0,g0

TS+, w(s) = 0 sur Γu0,g0

TSD

,

où les sous-ensembles Γu0,g0

TSN, Γu0,g0

TSD, Γu0,g0

TS−et Γu0,g0

TS+sont définis plus haut.

On montre ensuite de la même manière que dans le Théorème 2.2.26, en utilisant notammentl’équivalence des normes ‖·‖HD

et ‖·‖H1(Ω) sur HD, ainsi que g′0 ∈ L2(ΓT ), que D2eΦ(u0|F0 − u0) ∈

Γ0(HD).Par ailleurs, d’après les hypothèses 1. et 2., on a vu dans l’analyse de sensibilité du problème D.-N.(Proposition 3.2.17 dans le cas homogène sur ΓT (3.19)), que l’applicationt t ≥ 0 7→ Ft ∈ H1(Ω)

est dérivable en t = 0 et F ′0 ∈ H1(Ω) est solution du problème (3.20). Ainsi d’après (3.18) et leThéorème B.0.21, l’application t ≥ 0 7→ ut ∈ H1(Ω) est dérivable en t = 0 et u′0 ∈ H1(Ω) vérifie :

u′0 = proxD2eΦ(u0|F0−u0)(F

′0).

Ce qui signifie,F ′0 − u′0 ∈ ∂D2

eΦ(u0|F0 − u0)(u′0).

46

Ainsi, pour tout v ∈ HD,

〈F ′0 − u′0, v − u′0〉HD≤ D2

eΦ(u0|F0 − u0)(v)−D2eΦ(u0|F0 − u0)(u′0),

ou encore, pour tout v ∈ HD,∫Ω

∇ (F ′0 − u′0) · ∇(v − u′0)

≤ IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(v)− IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(u′0) +

∫ΓT

g′0(s)∂n(F0 − u0)(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

De plus, comme ∂nF0 = 0 sur ΓT et F ′0 solution du problème D.-N. (3.20), on obtient en utilisantla formulation faible (3.2), pour tout v ∈ HD,∫

Ω

∇u′0 · ∇(v − u′0) ≥ IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(u′0)− IKu0,

∂n(F0−u0)g0

(v)

+

∫Ω

f ′0(v − u′0) +

∫ΓN

k′0(v − u′0) +

∫ΓT

g′0(s)∂nu0(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

Enfin, comme u′0 ∈ HD, alors pour tout v ∈ HD,∣∣∣∣∫Ω

∇u′0 · ∇(v − u′0)

∣∣∣∣ ≤ ‖u′0‖HD‖v − u′0‖HD

< +∞.

Par conséquent, u′0 ∈ Ku0,∂n(F0−u0)

g0

et pour tout v ∈ Ku0,

∂n(F0−u0)g0

,∫Ω

∇u′0 · ∇(v − u′0) ≥∫

Ω

f ′0(v − u′0) +

∫ΓN

k′0(v − u′0) +

∫ΓT

g′0(s)∂nu0(s)

g0(s)(v(s)− u′0(s))ds.

D’après la formulation faible du problème de Signorini (3.6), u′0 est solution faible du problèmedonné par (3.26).

Pour conclure, les remarques 2.2.28 et 2.2.29 sont toujours valables. Enfin, en utilisant la Pro-position 3.1.11, on obtient le corollaire qui suit.

Corollaire 3.2.22. Soit ut la solution du problème de Tresca paramétrée (3.14) pour l’indice t. Siles conditions du Théorème 3.2.21 sont vérifiées, alors u′0 est donnée par

u′0 = projKu0,

∂n(F0−u0)g0

(F ) ,

où F est la solution du problème D.-N. (3.1) pour k = k′0 ∈ L2(ΓN ) et h = g′0∂nu0

g0∈ L2(ΓT ).

3.3 Simulations numériques sur un exemple

Dans cette sous-section, nous allons illustrer le Théorème 3.2.21 sur un exemple particulier trèsproche de celui défini dans la section 2.3.1. Puis, nous calculerons en norme H1 la différence entreut la solution du problème de Tresca paramétré (3.14) pour l’indice t et son approximation dupremier ordre u0 + tu′0, avec u0 la solution du problème de Tresca paramétré (3.14) pour t = 0 etu′0 la solution du problème de Signorini (3.26). Pour faire les simulations, le logiciel, ainsi que lesalgorithmes, restent ceux utilisés dans la section 2.3.

47

3.3.1 Exemple

On se place dans le cas où d = 2 et où Ω est le disque unité de R2. On décompose la frontièredu disque, Γ, en trois parties ΓD, ΓN et ΓT définies par

ΓD =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ,π

4< θ ≤ π

2

;

ΓN =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ,

π

2< θ <

3π

4

,

ΓT =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ, − 5π

4≤ θ ≤ π

4

.

Ω

ΓDΓN

ΓT

Figure 4 – Le disque unité Ω et sa frontière Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓT .

Soit la fonction f ∈ L2(Ω) définie par

f : Ω −→ R

(x, y) 7−→ −2ξ(x)− 2xξ′(x)− 1

2(x2 + y2 − 1)ξ′′(x),

où ξ est la fonction déja définie dans la partie 2.3.1 par (2.22). On introduit alors la fonctionft ∈ L2(Ω), définie pour tout t ≥ 0 par

ft : Ω −→ R(x, y) 7−→ exp(t)f(x, y),

ainsi que la fonction gt ∈ L2(ΓT ), pour t ≥ 0, definie par

gt : ΓT −→ R(x, y) 7−→ 1 + t.

On introduit également la fonction kt ∈ L2(ΓN ), définie pour t ≥ 0 par

kt : ΓN −→ R(x, y) 7−→ (1 + t)ξ(x).

48

Ainsi, la fonction u0 définie dans la partie 2.3.1 par (2.23), c’est-à-dire

u0(x, y) =1

2

(x2 + y2 − 1

)ξ(x),

pour presque tout (x, y) ∈ Ω, est l’unique solution du problème de Tresca paramétré (3.14) pourt = 0 :

−∆u0 = f0 dans Ω,

u0 = 0 sur ΓD,

∂nu0 = k0 sur ΓN ,

|∂nu0| ≤ g0 et u0∂nu0 = −g0|u0| sur ΓT .

Avec notamment f0 = f dans L2(Ω), k0 = ξ dans L2(ΓN ) et g0 = 1 dans L2(ΓT ). Enfin, comme∂nu = ξ et u0 = 0 presque partout sur Γ, alors on peut détailler la décomposition ΓT = Γu0,g0

TSN∪

Γu0,g0

TSD∪ Γu0,g0

TS−∪ Γu0,g0

TS+, qui est donnée par

Γu0,g0

TSN= s ∈ ΓT , u0(s) 6= 0 = ∅,

Γu0,g0

TSD=

(x, y) ∈ Γ, − 1

2< x <

1

2

∩ ΓT =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ,

4π

3< θ ≤ 5π

3

,

Γu0,g0

TS−=

(x, y) ∈ Γ, x ≥ 1

2

∩ ΓT =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ, − π

3< θ ≤ π

4

,

Γu0,g0

TS+=

(x, y) ∈ Γ, x ≤ −1

2

∩ ΓT =

(cos(θ), sin(θ)) ∈ Γ,

3π

4< θ ≤ 4π

3

.

De plus, on montre de la même manière que dans la partie 2.3.1, qu’on a f ′0 = f dans L2(Ω),k′0 = ξ dans L2(ΓN ) et g′0 = 1 dans L2(ΓT ).

On peut maintenant déterminer numériquement la solution u′0 du problème de Signorini (3.26),ainsi que la solution ut du problème de Tresca paramétré (3.14) pour l’indice t, puis enfin comparerut et son approximation du premier ordre u0 + tu′0, en calculant la différence à l’aide de la normeH1.

3.3.2 Résultats numériques

Les simulations numériques ont été faites en utilisant la méthode des éléments finis P2 et avecune discrétisation du bord constituée de 190 points. Nous affichons dans le tableau 2 quelquesvaleurs obtenues de ‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) pour différentes valeurs de t. La figure 5 représente‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) en fonction de t, ainsi que la fonction t ≥ 0 7→ t2,1, en échelle logarithmique.On remarque alors, comme pour la sous-section 2.3, que l’on peut conjecturer que∥∥∥∥ut − u0

t− u′0

∥∥∥∥H1(Ω)

= O(t1.1).

Enfin, la figure 6 est la représentation de la solution numérique ut et de son approximation dupremier ordre u0 + tu′0 pour t = 0.1.

49

Paramètre t 0.60 0.40 0.20 0.1 0.075 0.05 0.025 0.01‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) 0.6267 0.2558 0.0590 0.0145 0.0083 0.0041 0.0021 0.0022

Tableau 2 – Différence pour la norme H1 entre ut et son approximation du premier ordre u0 + tu′0pour différentes valeurs de t.

Figure 5 – En rouge ‖ut − u0 − tu′0‖H1(Ω) en fonction de t et en bleu la fonction t ≥ 0 7→ t2,1 enéchelle logarithmique.

50

Figure 6 – Cas t=0.1 : en haut la solution ut et en bas l’approximation u0 + tu′0.

4 Vers le cas de l’élasticité

Nous revenons désormais au cas de l’élasticité déjà explicité dans la sous-section 1.1. Cettepartie n’a pas pu être entièrement traitée pendant la période stage et par conséquent, uniquementles problèmès aux limites nécessaires à l’analyse de sensibilité sont considérés ici.

Comme dans la section 3 nous supposons que Ω est de classe C1 et que le bord Γ se décompose

51

en deux parties, notées ΓD et ΓN , telles que :

ΓD ∩ ΓN = ∅ et Γ = ΓD ∪ ΓN .

Cette hypothèse plus forte sur Ω est, pour la même raison que dans la section 3, suffisante afind’avoir la densité de l’espace H1/2

00 (ΓN ) dans L2(ΓN ) (voir Proposition A.0.9). On suppose éga-lement que ΓD est de mesure strictement positive. On rappelle qu’on note n, le vecteur normalunitaire (pour la norme euclidienne notée ‖·‖2) extérieur à la surface Γ. Comme détaillé dans lasous-section 1.1, on suppose que le corps élastique est soumis à une densité volumique de forcesf ∈

(L2(Ω)

)d dans Ω et, comparé aux sections précédentes, on considère le cas plus général où lesdéplacements des points de ΓD sont imposés et égaux à U ∈

(L2(ΓD)

)d. Quant à la partie ΓN ,on lui associe soit une condition de Neumann, soit une condition de Signorini ou bien soit unecondition de Tresca.

Dans la suite, nous utiliserons régulièrement les espaces (Lp(Ω))d, pour 1 ≤ p ≤ +∞ (voir

Définition A.0.11), ainsi que les résultats suivants situés dans l’annexe B :

— La Proposition A.0.13 ;

— La formule de la divergence (Théorème A.0.14), où l’espaceH(div,Ω) y est notamment défini.

Par ailleurs, nous utiliserons le produit scalaire matriciel " : ". Ainsi, Ae(v) : e(w) signifie

Ae(v) : e(w) =∑i,j,k,l

aijklεij(v)εkl(w),

où aijkl sont les coefficients du tenseur des rigidités et εij les coefficients du tenseur des déforma-tions. On notera également Ae(u)i la i-ème colonne de la matrice Ae(u) pour i ∈ 1, ..., d.Remarquons par ailleurs l’égalité suivante (qui sera souvent utilisée dans la section)

Ae(u)i · n = (Ae(u)n)i , i ∈ 1, ..., d . (4.1)

4.1 Problème avec conditions de Dirichlet et de Neumann

Dans ce problème on recherche le champ de déplacement F : Ω → Rd qui vérifie le problèmeavec conditions de Dirichlet et de Neumann (noté D.-N.) suivant

−div(Ae(F )) = f dans Ω,

F = U sur ΓD,

Ae(F )n = h sur ΓN .

(4.2)

où h ∈(L2(ΓN )

)d.Nous allons étudier l’existence et l’unicité de la solution de ce problème D.-N. (4.2), en définis-

sant une solution forte et une solution faible.

Définition 4.1.1 (Solution forte du problème D.-N.). Une solution forte du problème D.-N. (4.2)est une fonction F : Ω → Rd telle que F ∈

(H1(Ω)

)d, −div(Ae(F )) = f dans(D(Ω)d

)′, F = U

dans(L2(ΓD)

)d, ainsi que Ae(F )n = h dans(L2(ΓN )

)d.52

Définition 4.1.2 (Champs de déplacement cinématiquement admissibles). On appelle ensembledes champs de déplacement cinématiquement admissibles du problème D.-N. (4.2) l’ensemble

Uad =v ∈

(H1(Ω)

)d , v = U presque partout sur ΓD

.

Remarque 4.1.3. Remarquons que Uad est un sous-espace affine de(H1(Ω)

)d.Définition 4.1.4 (Solution faible du problème D.-N.). Une solution faible du problème D.-N. (4.2)est une fonction F : Ω→ Rd telle que F ∈ Uad et telle que, pour tout v ∈ Uad,∫

Ω

Ae(F ) : e(v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ) +

∫ΓN

h · (v − F ), ∀v ∈ Uad, (4.3)

ou bien encorea(F, v − F ) = L(v − F ), ∀v ∈ Uad,

avec L la forme linéaire définie par

L :(H1(Ω)

)d −→ R

v 7−→∫

Ω

f · v +

∫ΓN

h · v,

et a, la forme bilinéaire symétrique (voir la définition du tenseur des déformations e (1.4) ainsique les hypothèses faites sur A (1.5)) définie par

a :(H1(Ω)

)d × (H1(Ω))d −→ R

(v, w) 7−→∫

Ω

Ae(v) : e(w).

(4.4)

Proposition 4.1.5. Une fonction F est une solution forte du problème D.-N. (4.2) si et seulementsi F est une solution faible du problème D.-N. (4.2).

Démonstration. ⇒ Supposons que F soit une solution forte du problème D.-N. (4.2). Alors F = U

presque partout sur ΓU , donc F ∈ Uad. De plus, −div(Ae(F )) = f dans(D(Ω)d

)′, puis comme

f ∈(L2(Ω)

)d, alors −div(Ae(F )) = f dans(L2(Ω)

)d.On a alors, en prenant le produit scalaire avec v − F , pour v ∈ Uad,

−∫

Ω

div(Ae(F )) · (v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ),

ou encored∑i=1

−∫

Ω

div(Ae(F )i)(vi − Fi) =

∫Ω

f · (v − F ), ∀v ∈ Uad.

Puisque −div(Ae(F )) = f dans(L2(Ω)

)d, alors, par conséquent, pour tout i ∈ 1, ..., d, Ae(F )i ∈H(div,Ω). On applique ensuite la formule de la divergence (Théorème A.0.14) pour obtenir

d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · ∇(vi − Fi)− 〈Ae(F )i · n, vi − Fi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

f · (v − F ), ∀v ∈ Uad.

53

De plus, vi − Fi = 0 sur ΓD, donc vi − Fi ∈ H1/200 (ΓN ). Par ailleurs, H

1/200 (ΓN ) est un sous-espace

vectoriel de H1/2(Γ), donc on a pour tout v ∈ Uad,

d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · ∇(vi − Fi)− 〈Ae(F )i · n, vi − Fi〉(H

1/200 (ΓN )

)′×H

1/200 (ΓN )

=

∫Ω

f · (v − F ).

Or, comme par hypothèse Ae(F )n = h ∈(L2(ΓN )

)d (c’est-à-dire (Ae(F )n)i = Ae(F )i · n = hi

dans L2(ΓN )) et qu’on a en plus H1/200 (ΓN ) →

denseL2(ΓN ), alors par la Proposition A.0.13,

d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · ∇(vi − Fi)−∫

ΓN

hi(vi − Fi) =

∫Ω

f · (v − F ), ∀v ∈ Uad.

On utilise maintenant la symétrie du tenseur des contraintes (ce qui donne∑di=1Ae(F )i · ∇(vi −

Fi) =∑di=1Ae(F )i · e(v − F )i) et on obtient

d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · e(v − F )i −∫

ΓN

h · (v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ), ∀v ∈ Uad,

c’est-à-dire ∫Ω

Ae(F ) : e(v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ) +

∫ΓN

h · (v − F ), ∀v ∈ Uad.

⇐ Réciproquement, supposons que F soit une solution faible du problème D.-N. (4.2). Alors,avec v = F + ϕ où ϕ ∈ D(Ω)d, on a∫

Ω

Ae(F ) : e(ϕ) =

∫Ω

f · ϕ+

∫ΓN

h · ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω)d.

De plus ϕ = 0 sur Γ, donc ∫Ω

Ae(F ) : ∇ϕ =

∫Ω

f · ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω)d,

c’est-à-dire

〈Ae(F ),∇ϕ〉(D(Ω)d2)

′×D(Ω)d2 = 〈−div(Ae(F )), ϕ〉

(D(Ω)d)′×D(Ω)d

=

∫Ω

f · ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω)d.

Ainsi−div(Ae(F )) = f dans(D(Ω)d

)′. Comme f est dans

(L2(Ω)

)d, on a donc aussi−div(Ae(F )) =

f dans(L2(Ω)

)d, ou encore pour i ∈ 1, ..., d , −div(Ae(F )i) = fi dans L2(Ω) et donc Ae(F )i ∈H(div,Ω). On peut alors appliquer la formule de la divergence (Théorème A.0.14) dans la formu-lation faible (4.3) pour obtenir pour tout v ∈ Uad,

d∑i=1

−∫

Ω

div(Ae(F )i)(vi−Fi)+〈Ae(F )i · n, vi − Fi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫ΓN

h·(v−F )+

∫Ω

f ·(v−F ),

c’est-à-dire pour tout v ∈ Uad,

54

d∑i=1

〈Ae(F )i · n, vi − Fi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫ΓN

h · (v − F ).

Par ailleurs, comme v − F = 0 sur ΓD, on a pour tout w ∈ k ∈(H1(Ω)

)d , k|ΓD= 0,

d∑i=1

〈Ae(F )i · n, wi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫ΓN

h · w,

ou encored∑i=1

(〈Ae(F )i · n, wi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) −

∫ΓN

hiwi

)= 0.

Soit i fixé dans 1, ..., d. Considérons alors w telle que wi ∈ k ∈ H1(Ω), k|ΓD= 0 et wj = 0 si

j 6= i. On a alors

〈Ae(F )i · n, wi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫ΓN

hiwi.

Comme wi = 0 sur ΓD, alors on a de manière similaire à la première partie que

〈Ae(F )i · n, wi〉(H1/200 (ΓN ))′×H

1/200 (ΓN )

=

∫ΓN

hiwi, ∀wi ∈ H1/200 (ΓN ).

On obtient donc∣∣∣∣∣〈Ae(F )i · n, wi〉(H

1/200 (ΓN )

)′×H

1/200 (ΓN )

∣∣∣∣∣ ≤ ‖hi‖L2(ΓN ) ‖wi‖L2(ΓN ) , ∀wi ∈ H1/200 (ΓN ).

Ainsi, comme H1/200 (ΓN ) →

denseL2(ΓN ), on a par la Proposition A.0.13, que pour tout i ∈ 1, ..., d,

Ae(F )i · n ∈ L2(ΓN ) et pour tout wi ∈ H1/200 (ΓN ),

〈Ae(F )i · n, wi〉(H

1/200 (ΓN )

)′×H

1/200 (ΓN )

=

∫ΓN

Ae(F )i · nwi =

∫ΓN

hiwi.

D’après l’injection dense précédente, l’égalité est alors vraie pour tout wi ∈ L2(ΓN ) et donc Ae(F )i ·n = hi dans L2(ΓN ) pour tout i ∈ 1, ..., d, ce qui conclut la preuve.

Pour démontrer l’existence et l’unicité, nous allons nous ramener à un sous-espace vectoriel de(H1(Ω)

)d en translatant Uad par un de ses éléments. Soit donc u ∈ Uad. On note alors :

HdD = Uad − u =

v ∈

(H1(Ω)

)d , v = 0 presque partout sur ΓD

. (4.5)

Nous admettrons le lemme suivant (inégalité de Korn), ainsi que son corollaire (voir [12] pour ladémonstration complète).

Lemme 4.1.6 (Inégalité de Korn). Soit ε l’application définie par

ε :(H1(Ω)

)d −→ R

v 7−→

∑i,j

∫Ω

εij(v)2

12

.

(4.6)

55

Alors, sur(H1(Ω)

)d, la norme

N(v) :=(‖v‖2(L2(Ω))d + ε(v)2

) 12

,

est équivalente à la norme

‖v‖(H1(Ω))d =(‖v‖2(L2(Ω))d + ‖∇v‖2

(L2(Ω))d2

) 12

.

Corollaire 4.1.7. L’application ε précédemment définie est une norme équivalente à la norme N(et donc aussi à ‖·‖(H1(Ω))d), sur le sous-espace vectoriel Hd

D de(H1(Ω)

)d. Par conséquent, d’aprèsles hypothèses (1.5), la forme bilinéaire symétrique a est définie positive sur Hd

D et est donc unproduit scalaire sur Hd

D, qu’on note 〈·, ·〉HdD

et ‖·‖HdD

la norme associée.

Proposition 4.1.8. Il existe une unique solution faible F ∈(H1(Ω)

)d au problème D.-N. (4.2),donnée par

F = F + u,

où u est un élément quelconque de Uad et F ∈ HdD est l’unique solution du problème,

a(F , v) = L(v)− a(u, v), ∀v ∈ HdD.

De plus, il existe deux constantes C1, C2 strictement positives (qui ne dépendent que de Ω et ded) et une constante C3 > 0 (qui ne dépend que de Ω, d et du tenseur des rigidités A), telles que lasolution F vérifie l’estimation d’énergie :

‖F − u‖HdD≤ C1 ‖f‖(L2(Ω))d + C2 ‖h‖(L2(ΓN ))d + C3 ‖u‖(H1(Ω))d .

Démonstration. On va appliquer le théorème de Lax-Milgram (Théorème A.0.5) au problème sui-vant :

trouver F ∈ HdD telle que

a(F , v) = L(v), ∀v ∈ HdD, (4.7)

avecL : Hd

D −→ Rv 7−→ L(v)− a(u, v).

La solution faible du problème D.-N. (4.2) sera alors donnée par F := F + u ∈ Uad. En effet, si Fsolution de (4.7) alors on a

a(F , v) = L(v)− a(u, v), ∀v ∈ HdD,

si et seulement sia(F + u, v) = L(v), ∀v ∈ Hd

D,

si et seulement si

a(F + u, v + u− F − u) = L(v + u− F − u), ∀v ∈ HdD,

si et seulement sia(F + u, v − (F + u) = L(v − (F + u)), ∀v ∈ Uad.

56

1. Commençons par montrer que HdD est un fermé de

(H1(Ω)

)d. Soit (vj)j∈N une suite d’élémentsde Hd

D qui converge vers v ∈(H1(Ω)

)d. Alors comme(H1(Ω)

)d s’injecte continûment dans(L2(Γ)

)d, il existe une constante C > 0 (qui dépend seulement de Ω et de d) telle que

‖vj − v‖2(L2(ΓD))d ≤ ‖vj − v‖2(L2(Γ))d ≤ C ‖vj − v‖

2(H1(Ω))d −→j→+∞

0.

Or ∀j ∈ N, vj = 0 sur ΓD. On a alors

‖v‖2(L2(ΓD))d = ‖v − vj‖2(L2(ΓD))d −→j→+∞0,

et donc v = 0 sur ΓD et par conséquent v ∈ HdD. Ainsi Hd

D est un sous-espace vectoriel ferméde(H1(Ω)

)d, donc (HdD, 〈·, ·〉(H1(Ω))d

)un espace de Hilbert.

2. Montrons la continuité de a sur HdD × Hd

D en utilisant (1.5) (pour plus de clarté on ometΣi,j,k,h). On a pour tout u, v ∈ Hd

D,

|a(u, v)| =∣∣∣∣∫

Ω

Ae(u) : e(v)

∣∣∣∣ ≤M ∫Ω

|εkh(u)| |εij(v)|

≤M(∫

Ω

εkh(u)2

) 12(∫

Ω

εij(v)2

) 12

≤ M

2

(∫Ω

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)2) 1

2(∫

Ω

(∂uk∂xh

+∂uh∂xk

)2) 1

2

.

Comme (a+ b)2 ≤ 2(a2 + b2) on a alors,

|a(u, v)| ≤M

(∫Ω

(∂vi∂xj

)2

+

(∂vj∂xi

)2) 1

2(∫

Ω

(∂uk∂xh

)2

+

(∂uh∂xk

)2) 1

2

≤ 2M

(∫Ω

(∂vi∂xj

)2) 1

2(∫

Ω

(∂uk∂xh

)2) 1

2

= 2M ‖∇v‖(L2(Ω))d

2 ‖∇u‖(L2(Ω))d

2

≤ 2M ‖v‖(H1(Ω))d ‖u‖(H1(Ω))d .

Ainsi, a est bien une forme bilinéaire continue sur HdD ×Hd

D.

3. Montrons la continuité de la forme linéaire L sur HdD (et par conséquent on aura la continuité

de L sur HdD d’après le point 2. précèdent). Pour tout v ∈ Hd

D,

|L(v)| ≤∣∣∣∣∫

Ω

f · v∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ΓN

h · v∣∣∣∣ ≤ ∫

Ω

‖f‖2 ‖v‖2 +

∫ΓN

‖h‖2 ‖v‖2

≤ ‖f‖(L2(Ω))d ‖v‖(L2(Ω))d + ‖h‖(L2(ΓN ))d ‖v‖(L2(ΓN ))d

≤ ‖f‖(L2(Ω))d ‖v‖(H1(Ω))d + ‖h‖(L2(ΓN ))d ‖v‖(L2(Γ))d

≤(‖f‖(L2(Ω))d + ‖h‖(L2(ΓN ))d

)‖v‖(H1(Ω))d ,

où ‖.‖2 est la norme euclidienne dans Rd. Ainsi L est continue sur HdD.

4. Il reste à montrer que a est coercive. D’après (1.5) et le Corollaire 4.1.7 de la formule deKorn, on a pour tout v ∈ Hd

D,

57

a(v, v) ≥ α∑i,j

∫Ω

εij(v)2 = αε(v)2 ≥ αk ‖v‖2(H1(Ω))d ,

avec k une constante strictement positive qui dépend uniquement de Ω et de d. Ainsi, a estcoercive sur Hd

D (on aurait aussi pu directement en déduire la coercivité de a du fait quepour tout v ∈ Hd

D, a(v, v) = ‖v‖2HdD

est une norme sur HdD).

On peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram (Théorème A.0.5) au problème (4.7) et enconclure avec ce qui a été dit au début de la preuve, l’existence et l’unicité d’une solution faibleau problème D.-N. (4.2).De plus, en prenant v = F dans la formulation (4.7) on obtient∥∥∥F∥∥∥2

HdD

≤ ‖f‖(L2(Ω))d

∥∥∥F∥∥∥(L2(Ω))d

+ ‖h‖(L2(ΓN ))d

∥∥∥F∥∥∥(L2(Γ))d

− a(u, F ).

Puis, comme fait précédemment dans 1., il existe une constante B1 > 0 qui ne dépend que de Ω etde d, telle que∥∥∥F∥∥∥2

HdD

≤ ‖f‖(L2(Ω))d

∥∥∥F∥∥∥(H1(Ω))d

+B1 ‖h‖(L2(ΓN ))d

∥∥∥F∥∥∥(H1(Ω))d

− a(u, F ).

On utilise ensuite les hypothèses faites sur les coefficients de A (1.5), ce qui donne (en effectuantle même calcul que pour 3. ci-dessus)∥∥∥F∥∥∥2

HdD

≤ ‖f‖(L2(Ω))d

∥∥∥F∥∥∥(H1(Ω))d

+B1 ‖h‖(L2(ΓN ))d

∥∥∥F∥∥∥(H1(Ω))d

+M ‖u‖(H1(Ω))d

∥∥∥F∥∥∥(H1(Ω))d

.

Enfin, en utilisant l’équivalence des normes ‖·‖HdD

et ‖·‖(H1(Ω)) sur HdD, il existe une constante

C1 > 0 qui ne dépend que de Ω et de d, telle que∥∥∥F∥∥∥Hd

D

≤ C1 ‖f‖(L2(Ω))d + CB1 ‖h‖(L2(ΓN ))d + C1M ‖u‖(H1(Ω))d ,

et, étant donné que F = F + u, on obtient l’estimation d’énergie annoncée.

Remarque 4.1.9. La solution faible F du problème D.-N. (4.2) est bien unique et ne dépend pasde l’élément choisi u dans Uad. En effet, si on considère deux éléments distincts u1 et u2 de Uad,alors d’après la proposition qui précède on obtient deux solutions au problème D.-N. (4.2) :

F1 = u1 + u1 et F2 = u2 + u2.

Cependant, en prenant v = F2 dans la formulation faible (4.3) de F1 et v = F1 dans la formulationfaible (4.3) de F2, on a

a(F1, F2 − F1) = L(F2 − F1) et a(F2, F1 − F2) = L(F1 − F2).

Puis, en additionnant les termes ci-dessus on obtient

a(F2 − F1, F2 − F1) = 0.

Or, F2 − F1 ∈ HdD et a(F2 − F1, F2 − F1) = ‖F2 − F1‖2Hd

Dd’après le Corollaire 4.1.7. On a alors

F2 = F1 et la solution est donc bien unique.

58

La formulation faible (4.3) est aussi équivalente à la minimisation d’une fonctionnelle sur Uad.

Proposition 4.1.10. Une fonction F est solution faible du problème D.-N. (4.2) si et seulementsi F minimise sur Uad la fonctionnelle définie par

J(v) =1

2a(v, v)− L(v), ∀v ∈ Uad. (4.8)

Remarque 4.1.11. La fonctionnelle J(v) représente l’energie potentielle du champ de déplacementv, donc si F solution du problème D.-N. (4.2) alors ce champ possède l’energie potentielle minimaleparmi tous les champs de déplacement admissibles.

Démonstration. ⇒ Supposons que F soit solution faible du problème D.-N. (4.2). Alors F véri-fie (4.3) et donc pour tout v ∈ Uad,

J(v)− J(F ) =1

2(a(v, v)− a(F, F )) + L(F − v) =

1

2(a(v, v)− a(F, F )) + a(F, F − v)

=1

2a(v, v) +

1

2a(F, F )− a(v, F ) =

1

2a(v − F, v) +

1

2a(F, v) +

1

2a(F − v, F ) +

1

2a(v, F )− a(v, F )

=1

2(a(v − F, v) + a(F − v, F )) =

1

2a(v − F, v − F ) ≥

∫Ω

(εij(v − F ))2 ≥ 0,

d’après (1.5).⇐ Réciproquement, supposons qu’il existe F ∈ Uad telle que pour tout v ∈ Uad, J(v) ≥ J(F ).Alors, d’après la remarque 4.1.3, pour tout v ∈ Uad et t ∈ R, w = F + t(v − F ) ∈ Uad.Ainsi,

J(w) ≥ J(F ).

Et donc on a

1

2a(F + t(v − F ), F + t(v − F ))− L(F + t(v − F ) ≥ 1

2a(F, F )− L(F ),

ou encore1

2t2a(v − F, v − F ) + t(a(F, v − F )− L(v − F )) ≥ 0.

Comme il s’agit d’un polynôme du second ordre en t toujours positif ou nul, son discriminant estnégatif ou nul, c’est-à-dire

(a(F, v − F )− L(v − F ))2 ≤ 0,

et donca(F, v − F ) = L(v − F ), ∀v ∈ Uad.

Ceci conclut la preuve.

Remarque 4.1.12. Le Corollaire 4.1.7 permet également d’écrire que la fonctionnelle J définiepar (4.8) est coercive sur Hd

D. On peut alors conclure, en utilisant la stricte convexité de J et sacontinuité, l’existence et l’unicité d’une solution faible par la proposition 4.1.10.

59

4.2 Problème de Neumann

On considère ΓD = ∅. Ce second problème n’est pas nécessaire pour l’analyse de sensibilité duproblème de Tresca défini dans la section 4.4. Cependant, nous le traitons tout de même car c’estun cas très intéréssant où tous les éléments d’une même classe d’équivalence sont solutions.

On recherche le champ de déplacement F : Ω→ Rd qui vérifie le problème de Neumann suivant−div(Ae(F )) = f dans Ω,

Ae(F )n = h sur Γ,(4.9)

où h ∈(L2(Γ)

)d.Définition 4.2.13 (Solution forte du problème de Neumann). Un solution forte du problème deNeumann (4.9) est une fonction F : Ω → R telle que F ∈

(H1(Ω)

)d, −div(Ae(F )) = f dans(D(Ω)d

)′et Ae(F )n = h dans

(L2(Γ)

)d.Définition 4.2.14 (Solution faible du problème de Neumann). Une solution faible du problèmede Neumann (4.9) est une fonction F : Ω → R telle que F ∈

(H1(Ω)

)d et telle que, pour toutv ∈

(H1(Ω)

)d, ∫Ω

Ae(F ) : e(v) =

∫Ω

f · v +

∫Γ

h · v, (4.10)

ou bien encorea(F, v) = L(v), ∀v ∈

(H1(Ω)

)d,

avec L la forme linéaire définie par

L :(H1(Ω)

)d −→ R

w 7−→∫

Ω

f · v +

∫Γ

h · v,

et a, la forme bilinéaire déja définie précédemment par (4.4).

Proposition 4.2.15. Une fonction F est une solution forte du problème de Neumann (4.9) si etseulement si F est une solution faible du problème de Neumann (4.9).

Démonstration. ⇒ Supposons que F soit une solution forte du problème de Neumann (4.9). Alorsde manière similaire à la Proposition 4.1.5, on a pour tout v ∈

(H1(Ω)

)d,d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · ∇vi − 〈Ae(F )i · n, vi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

f · v.

Or, par hypothèse Ae(F )n = h ∈(L2(Ω)

)d et de plus on a aussi l’injection H1/2(Γ) →dense

L2(Γ).Ainsi, par la Proposition A.0.13,

d∑i=1

∫Ω

Ae(F )i · ∇vi −∫

Γ

hivi =

∫Ω

f · v,

et on obtient bien la formulation faible (4.10) en utilisant la symétrie du tenseur des contraintesqui nous donne,

∑di=1Ae(F )i · ∇vi =

∑di=1Ae(F )i · e(v)i.

60

⇐ Réciproquement, supposons que F est solution faible du problème de Neumann (4.9). Alorson montre comme dans la Proposition 4.1.5 qu’on a −div(Ae(F )) = f dans

(L2(Ω)

)d et donc pourtout i ∈ 1, ..., d, Ae(F )i ∈ H(div,Ω). On peut alors utiliser la formule de la divergence (Théo-rème A.0.14) dans la formulation faible (4.10) et on obtient alors, comme dans la Proposition 4.1.5,pour tout i ∈ 1, ..., d et pour tout wi ∈ H1(Ω),

〈Ae(F )i · n, wi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Γ

hiwi,

où wi est la i-ème composante de w ∈(H1(Ω)

)d, qui est définie par wi ∈ H1(Ω) et wj = 0 si j 6= i.En particulier, pour tout wi ∈ H1/2(Γ),∣∣∣〈Ae(F )i · n, wi〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ)

∣∣∣ ≤ ‖hi‖L2(Γ) ‖wi‖L2(Γ) .

Or comme H1/2(Γ) →dense

L2(Γ), alors par la Proposition A.0.13, Ae(F )i · n ∈ L2(Γ) et pour tout

wi ∈ H1/2(Γ), ∫Γ

Ae(F )i · nwi =

∫Γ

hiwi.

D’après l’injection précédente, H1/2(Γ) est dense dans L2(Γ) et donc l’égalité est vraie pour toutwi ∈ L2(Γ). Ainsi Ae(F )i · n = hi dans L2(Γ) et comme l’égalité est vraie pour tout i ∈ 1, ..., d,alors cela conclut la preuve.

Sur l’espace(H1(Ω)

)d, la norme ε définie par (4.6) n’est pas une norme équivalente à ‖·‖(H1(Ω))d .Nous ne pouvons donc pas conclure à l’existence et l’unicité comme cela a été fait pour le premierproblème. Cependant, nous pouvons montrer qu’il y a existence et unicité sur l’espace quotientX :=

(H1(Ω)

)d/R, où R est l’ensemble des déplacements rigides, c’est-à-dire

R =v ∈

(H1(Ω)

)d , v(x) = c ∧ x+ b presque pour tout x ∈ Ω et c, b des constantes de Rd.

Nous admettrons le lemme suivant dont une preuve peut être trouvée dans [11], page 128.

Proposition 4.2.16. On considère sur X l’application ε définie par

ε : X −→ R

[v] 7−→ ε([v]) = ε(v) =

∑i,j

∫Ω

εij(v)2

12

,

(4.11)

où v est un représentant quelconque de la classe [v]. Alors, ε est une norme équivalente à la normequotient, norme quotient qui est donnée pour tout [v] ∈ X par, ‖[v]‖X = inf

ρ∈R‖v − ρ‖(H1(Ω))d .

Remarque 4.2.17. La norme ε([v]) ne dépend pas du représentant choisi pour la classe [v] ∈ X .En effet, si v1, v2 sont dans [v], alors il existe ρ ∈ R telle que v1 = v2 + ρ. On a alors

ε(v1) = ε(v2 + ρ) =

(Σi,j

∫Ω

εij(v2 − ρ)2

) 12

=

(Σi,j

∫Ω

(εij(v2)− εij(ρ))2

) 12

,

61

par linéarité du tenseur des déformations e (1.4). De plus, ρ étant un déplacement rigide on ae(ρ) = 0 (voir [11], théorème I.6. page 22), donc ses coefficients vérifient pour tout i, j ∈ 1, ..., d,εij(ρ) = 0. On a donc

ε(v1) = ε(v2 + ρ) = ε(v2),

et ε([v]) ne dépend donc pas du représentant choisi pour [v].

Proposition 4.2.18. Il existe une unique solution faible, définie à un déplacement rigide près, auproblème de Neumann (4.9).

Démonstration. Avant de démontrer la proposition, remarquons que s’il existe F ∈(H1(Ω)

)dsolution de (4.10), alors pour v ∈

(H1(Ω)

)d et pour ρ1, ρ2 ∈ R,

a(F + ρ1, v + ρ2) = a(F, v) + a(F, ρ2) + a(ρ1, v) + a(ρ1, ρ2) = a(F, v),

car pour tout ρ ∈ R et pour tout w ∈(H1(Ω)

)d, on a a(ρ, w) = 0 (étant donné que ∀i, j ∈ 1, ..., d,εij(ρ) = 0). De plus, pour tout ρ ∈ R,

0 = a(F, ρ) = L(ρ),

et donca(F + ρ1, v + ρ2) = a(F, v) = L(v) = L(v + ρ2).

Par ailleurs, v(H1(Ω)

)d, ρ1 ∈ R et ρ2 ∈ R sont arbitraires, ainsi

a([F ] , [v]) = L([v]), ∀ [v] ∈ X ,

avec a([F ] , [v]) = a(F, v) et L([v]) = L(v) où F est un élément quelconque de [F ] et v un élémentquelconque de [v] (car d’après ce qui precède, a([F ] , [v]) et L([v]) ne dépendent pas du représentantchoisi). Ainsi, nous allons appliquer le théorème de Lax-Milgram (Théorème A.0.5) à la formulationvariationnelle suivante :

trouver [F ] ∈ X telle que

a([F ] , [v]) = L([v]), ∀ [v] ∈ X , (4.12)

ce qui permettra de conclure que les solutions faibles du problème de Neumann (4.9) sont leséléments de la classe d’équivalence de [F ]. Montrons donc que le problème (4.12) vérifie bien leshypothèses du théorème de Lax-Milgram (Théorème A.0.5).

1. Premièrement, X est un espace quotient (muni de la norme quotient) d’un espace de Hilbert,c’est donc aussi un espace de Hilbert.

2. Deuxièmement, montrons la continuité de L sur X . Soit [v] ∈ X et soit v un représentantquelconque de [v]. Alors pour tout ρ ∈ R,

|L([v])| = |L(v − ρ)| ≤∣∣∣∣∫

Γ

h · (v − ρ)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫Ω

f · (v − ρ)

∣∣∣∣≤(C ‖h‖(L2(Γ))d + ‖f‖(L2(Ω))d

)‖v − ρ‖(H1(Ω))d .

Puis, en prenant l’inf sur ρ ∈ R, on a alors

|L([v])| ≤(C ‖h‖(L2(Γ))d + ‖f‖(L2(Ω))d

)infρ∈R‖v − ρ‖(H1(Ω))d = C ′ ‖[v]‖X ,

et L est donc continue sur X .

62

3. Troisièmement, montrons la continuité de a sur X . Pour tout [w] , [v] ∈ X ,

|a([w] , [v])| = |a(w − ρ1, v − ρ2)|, ∀ρ1, ρ2 ∈ R.

Puis, comme dans la Proposition 4.1.8 on montre que

|a([w] , [v])| = |a(w − ρ1, v − ρ2)| ≤ 2M ‖w − ρ1‖(H1(Ω))d ‖v − ρ2‖(H1(Ω))d .

En prenant ensuite l’inf sur ρ1 ∈ R, puis sur ρ2 ∈ R, on obtient

|a([w] , [v])| ≤ 2M infρ1∈R

‖w − ρ1‖(H1(Ω))d infρ2∈R

‖v − ρ2‖(H1(Ω))d ,

c’est-à-dire|a([w] , [v])| ≤ 2M ‖[w]‖X ‖[v]‖X .

Ainsi, a est continue sur X .4. Enfin, il reste à montrer que a est coercive, mais d’après (1.5) et la Proposition 4.2.16, on a

pour tout [v] ∈ X et v un représentant quelconque de [v],

a([v] , [v]) = a(v, v) ≥ ε(v)2 = ε([v])2.

Donc a est coercive sur X .Ainsi, il existe une unique solution [F ] à la formulation variationnelle (4.12) et par conséquent pourtout F ∈ [F ],

a(F, v) = L(v), ∀v ∈(H1(Ω)

)d.

Comme pour le problème précédent, la formulation faible (4.10) est aussi équivalente à laminimisation d’une fonctionnelle.

Proposition 4.2.19. Une fonction F est solution faible du problème de Neumann (4.9) si etseulement si F minimise sur

(H1(Ω)

)d la fonctionnelle définie par

J(v) =1

2a(v, v)− L(v), ∀v ∈

(H1(Ω)

)d. (4.13)

Démonstration. La preuve est identique à la Proposition 4.1.10.

Remarque 4.2.20. On peut également montrer en utilisant la Proposition 4.2.16, que la fonction-nelle J définie par (4.13) est coercive, strictement convexe et continue sur X . On peut alors endéduire que J admet une unique solution dans X . Ainsi, par la proposition 4.2.19, on a existenceet unicité (à un déplacement rigide près) d’une solution faible du problème de Neumann (4.9).

63

4.3 Problème de Signorini

Dans cette partie on considère le problème de Signorini suivant−div(Ae(u)) = f dans Ω,

u = U sur ΓD,

στ = hτ sur ΓN ,

un ≤ 0, σn ≤ hn et unσn = unhn sur ΓN ,

(4.14)

où h ∈(L2(ΓN )

)d.Sur la frontière ΓN , σn représente la contrainte normale, στ la contrainte tangentielle (voir (1.1))

et un le déplacement normal (voir (1.2)). On décompose aussi h ∈(L2(ΓN )

)d sous la forme

h = hnn + hτ .

Remarque 4.3.21. Il faut bien faire attention, σn, hn et un sont des scalaires, tandis que στ , hτet uτ sont des vecteurs.

Définition 4.3.22 (Solution forte du problème de Signorini). Une solution forte du problème deSignorini (4.14) est une fonction u : Ω → R telle que u ∈

(H1(Ω)

)d, −div(Ae(u)) = f dans(D(Ω)d

)′, u = U dans

(L2(ΓD)

)d, Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d, στ = hτ dans(L2(ΓN )

)d et vérifieun ≤ 0, σn ≤ hn et unσn = unhn presque partout sur ΓN .

Définition 4.3.23 (Solution faible du problème de Signorini). Une solution faible du problème deSignorini (4.14) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ K1(Ω) et telle que, pour tout v ∈ K1(Ω),∫

Ω

Ae(u) : e(v − u) ≥∫

Ω

f · (v − u) +

∫ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), (4.15)

ou bien encorea(u, v − u) ≥ L(v − u), ∀v ∈ K1(Ω),

avecK1(Ω) :=

v ∈

(H1(Ω)

)d , vn ≤ 0 sur ΓN , v = U sur ΓD

,

qui est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de(H1(Ω)

)d, ainsi que L la forme linairedéfinie par

L :(H1(Ω)

)d −→ R

w 7−→∫

Ω

f · w +

∫ΓN

hnwn +

∫ΓN

hτ · wτ ,

et a, la forme bilinéaire symétrique déjà définie précémment par (4.4).

Pour montrer l’équivalence entre la formulation forte et la formulation faible, nous devons faireune hypothèse supplémentaire sur la décomposition Γ = ΓD ∪ΓN assez similaire aux problèmes deSignorini qui ont été étudiés dans les sections 2 et 3.

Définition 4.3.24. La décomposition Γ = ΓD ∪ ΓN est dite régulière si :

1. presque tout les points de ΓN sont dans ΓN ;

64

2. l’ensemble K1/2(Γ) défini par

K1/2(Γ) :=

v ∈

(H1/2(Γ)

)d, vn ≤ 0 sur ΓN , v = U sur ΓD

,

(qui est un sous-ensemble non vide, convexe et fermé de(H1/2(Γ)

)d) est dense dans le sous-

ensemble non vide, fermé et convexe K0(Γ) ⊂(L2(Γ)

)d défini par

K0(Γ) :=v ∈

(L2(Γ)

)d , vn ≤ 0 sur ΓN , v = U sur ΓD

.

Proposition 4.3.25. Soit u ∈(H1(Ω)

)d. Alors,1. Si u est une solution forte du problème de Signorini (4.14) alors u est une solution faible du

problème de Signorini (4.14).

2. Si u est une solution faible du problème de Signorini (4.14) telle que Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d ettelle que la décomposition Γ = ΓD ∪ ΓN est régulière (au sens de la définition 4.3.24), alorsu est est une solution forte du problème de Signorini (4.14).

Démonstration. Montrons la première assertion.Supposons que u soit une solution forte du problème de Signorini (4.14). Alors comme u = U

sur ΓD et un ≤ 0 sur ΓN alors u ∈ K1(Ω). Par ailleurs, −div(Ae(u)) = f dans(D(Ω)d

)′et

comme f ∈(L2(Ω)

)d, alors −div(Ae(u)) = f dans(L2(Ω)

)d et donc, pour tout i ∈ 1, ..., d,Ae(u)i ∈ H(div,Ω). On peut alors prendre le produit scalaire avec v − u, pour v ∈ K1(Ω), ce quidonne

d∑i=1

−∫

Ω

div(Ae(u)i)(vi − ui) =

∫Ω

f · (v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

Puis, on applique la formule de la divergence (Théorème A.0.14), pour obtenir

d∑i=1

∫Ω

Ae(u)i · ∇(vi − ui)− 〈Ae(u)i · n, vi − ui〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) =

∫Ω

f · (v − u), ∀v ∈ K1(Ω).

De plus, comme vi − ui = 0 sur ΓD, alors vi − ui ∈ H1/200 (ΓN ) qui est un sous-espace vectoriel de

H1/2(Γ). Ainsi, pour tout v ∈ K1(Ω),

d∑i=1

∫Ω

Ae(u)i · ∇(vi − ui)− 〈Ae(u)i · n, vi − ui〉(H

1/200 (ΓN )

)′×H

1/200 (ΓN )

=

∫Ω

f · (v − u).

Par ailleurs, comme (Ae(u)n)i ∈ L2(ΓN ) et H1/200 (ΓN ) →

denseL2(ΓN ), on obtient par la Proposi-

tion A.0.13,

d∑i=1

∫Ω

Ae(u)i · ∇(vi − ui)−∫

ΓN

(Ae(u)n)i (vi − ui) =

∫Ω

f · (v − u), ∀v ∈ K1(Ω),

ou encore∫Ω

Ae(u) : e(v − u)−∫

ΓN

Ae(u)n · (v − u) =

∫Ω

f · (v − u), ∀v ∈ K1(Ω). (4.16)

65

Puis, en utilisant la décomposition de Ae(u)n sur la frontière donnée par (1.1), on a pour toutv ∈ K1(Ω),∫

ΓN

Ae(u)n · (v − u) =

∫ΓN

(σnn + στ ) · (v − u) =

∫ΓN

σn(vn − un) +

∫ΓN

στ · (vτ − uτ ).

Or στ = hτ dans(L2(ΓN )

)d, donc∫ΓN

Ae(u)n · (v − u) =

∫ΓN

σn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), ∀v ∈ K1(Ω).

De plus, étant donné que un ≤ 0, σn ≤ hn et unσn = unhn presque partout sur ΓN , alors pour toutv ∈ K1(Ω),

σn(vn − un) ≥ hn(vn − un).

Par conséquent,∫ΓN

Ae(u)n · (v − u) ≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), ∀v ∈ K1(Ω).

Ainsi, en prenant en compte ce qui précède dans (4.16), on a pour tout v ∈ K1(Ω),∫Ω

Ae(u) : e(v − u) ≥∫

Ω

f · (v − u) +

∫ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ),

c’est-à-dire la formulation faible (4.15).Montrons maintenant la seconde assertion.Supposons que u soit une solution faible du problème de Signorini (4.14), telle que Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d et telle que la décomposition Γ = ΓD∪ΓN est régulière (au sens de la définition 4.3.24).Alors en prenant v = u± ϕ ∈ K1(Ω), où ϕ ∈ D(Ω)d, dans la formulation faible (4.15), on a∫

Ω

Ae(u) : e(ϕ) =

∫Ω

f · ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω)d.

C’est-à-dire, de manière similaire à la Proposition 4.1.5, −div(Ae(u)) = f dans(D(Ω)d

)′et

comme f ∈(L2(Ω)

)d, alors −div(Ae(u)) = f dans(L2(Ω)

)d et donc, pour tout i ∈ 1, ..., d,Ae(u)i ∈ H(div,Ω). Ainsi, on peut appliquer la formule de la divergence (Théorème A.0.14) dansla formulation faible (4.15) pour obtenir

d∑i=1

〈Ae(u)i · n, vi − ui〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) ≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), ∀v ∈ K1(Ω).

ou encore, comme dans la preuve de la première assertion, pour tout v ∈ K1(Ω),

d∑i=1

〈Ae(u)i · n, vi − ui〉(H

1/200 (ΓN )

)′×H

1/200 (ΓN )

≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ).

De plus, par hypothèse on a Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d, donc d’après l’injection H1/200 (ΓN ) →

denseL2(ΓN )

et la Proposition A.0.13,

d∑i=1

∫ΓN

(Ae(u)n)i(vi − ui) ≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), ∀v ∈ K1(Ω),

66

ou encore ∫ΓN

Ae(u)n · (v − u) ≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), ∀v ∈ K1(Ω).

En décomposant ensuite Ae(u)n en sa composante normale et sa composante tangentielle, onobtient ∫

ΓN

σn(vn − un) +

∫ΓN

στ · (vτ − uτ ) ≥∫

ΓN

hn(vn − un) +

∫ΓN

hτ · (vτ − uτ ), (4.17)

pour tout v ∈ K1(Ω) et donc aussi pour tout v ∈ K1/2(Γ). Par ailleurs, la décomposition deΓ = ΓD ∪ΓN étant régulière, K1/2(Γ) est dense dans K0(Γ). Ainsi, l’inégalité (4.17) est vraie pourtout v ∈ K0(Γ). Soit (Tk)k=1,...,d−1 une base orthonormée de l’espace orthogonal de Rn. Alors στet hτ sont dans cet espace et on peut alors les décomposer dans la base (Tk)k=1,...,d−1,

στ =

d−1∑k=1

σTkTk et hτ =

d−1∑k=1

hTkTk.

Pour tout k ∈ 1, ..., d− 1, considérons dans l’inégalité (4.17), v = u±ψTk ∈ K0(Γ), où ψ ∈ L2(Γ)

est définie par

ψ :=

γ sur ΓN ,

0 sur Γ\ΓN ,

et où γ est une fonction quelconque de L2(ΓN ) (v est bien dans K0(Γ) car vn = un ≤ 0 sur ΓN etv = u = U sur ΓD). On a alors∫

ΓN

σTkγ =

∫ΓN

hTkγ, ∀γ ∈ L2(ΓN ),

puis, comme σTket hTk

sont dans L2(ΓN ) (car ‖σTk‖L2(ΓN ) = ‖στ · Tk‖L2(ΓN ) ≤ ‖στ‖(L2(ΓN ))d ≤

‖Ae(u)n‖(L2(ΓN ))d < +∞ et de même pour hTk), alors par conséquent,

σTk= hTk

dans L2(ΓN ).

Comme cela est vrai pour tout k ∈ 1, ..., d− 1, alors στ = hτ dans(L2(ΓN

)d. L’inégalité (4.17)devient alors ∫

ΓN

σn(vn − un) ≥∫

ΓN

hn(vn − un), ∀v ∈ K0(Γ). (4.18)

Soit s ∈ ΓN un point de Lebesgue pour σn ∈ L2(ΓN ) et pour hn ∈ L2(ΓN ), tel que s ∈ ΓN . Soit lafonction ψ ∈ L2(Γ) cette fois-ci définie par

ψ :=

1 sur BΓ(s, ε),

0 sur Γ\BΓ(s, ε),

pour ε > 0 assez petit, qui satisfait BΓ(s, ε) ⊂ ΓN . Considérons alors v = u − ψn ∈ K0(Γ) dansl’inégalité (4.18). On obtient alors

−∫BΓ(s,ε)

σn ≥ −∫BΓ(s,ε)

hn,

67

ou encore− 1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

σn ≥ −1

|BΓ(s, ε)|

∫BΓ(s,ε)

hn.

Puis, en passant à la limite lorsque ε→ 0 on obtient

σn(s) ≤ hn(s).

Par ailleurs, comme presque tous les points de ΓN sont dans ΓN et sont des points de Lebesguepour σn ∈ L2(ΓN ) et pour hn ∈ L2(ΓN ), on en déduit que pour presque tout s ∈ ΓN ,

σn(s) ≤ hn(s).

et donc, pour presque tout s ∈ ΓN ,

un(s)σn(s) ≥ un(s)hn(s).

Enfin, en prenant v = 0 ∈ K0(Γ) et v = 2u ∈ K0(Γ) dans l’inégalité (4.18), on obtient∫ΓN

(σn − hn)un = 0,

et par conséquent, l’intégrande étant positive presque partout sur ΓN , on a

unσn = unhn,

presque partout sur ΓN , ce qui conclut la preuve.

Proposition 4.3.26. Le problème de Signorini (4.14) admet une unique solution faible donnéepar

u = projK1(Ω)−u(F − u),

où F ∈ Uad est l’unique solution faible du problème D.-N. (4.2), u un élement quelconque de Uad

et projK1(Ω)−u est l’opérateur de projection classique sur le convexe fermé non vide K1(Ω)− u deHd

D muni du produit scalaire 〈·, ·〉HdD.

On rappelle que HdD est le sous-espace vectoriel de

(H1(Ω)

)d déjà défini précédemment dans lasection 4.1 par

HdD =

v ∈

(H1(Ω)

)d , v = 0 presque partout sur ΓD

,

et que 〈·, ·〉HdD

est un produit scalaire sur HdD (voir le Corollaire 4.1.7).

Démonstration. Commençons par remarquer que K1(Ω) peut aussi s’écrire,

K1(Ω) = v ∈ Uad, vn ≤ 0 sur ΓN .

Ainsi, pour u ∈ Uad, on considère K1(Ω) − u :=v ∈ Hd

D, vn ≤ −un sur ΓN, qui est un sous-

ensemble non vide, convexe et fermé de HdD.

Soit F ∈ Uad l’unique solution faible du problème D.-N. (4.2). Alors, sa formulation faible (voir (4.3))est donnée par∫

Ω

Ae(F ) : e(v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ) +

∫ΓN

h(v − F ), ∀v ∈ Uad,

68

ou encore∫Ω

Ae(F ) : e(v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ) +

∫ΓN

hn(vn − Fn) +

∫ΓN

hτ · (vτ − Fτ ), ∀v ∈ Uad.

En prenant v = w + F ∈ Uad, pour w ∈ HdD, on a aussi∫

Ω

Ae(F ) : e(w) =

∫Ω

f · w +

∫ΓN

hnwn +

∫ΓN

hτ · wτ , ∀w ∈ HdD.

Par conséquent, u est une solution faible du problème de Signorini (4.14) si et seulement si∫Ω

Ae(F − u) : e(v − u) ≤ 0, ∀v ∈ K1(Ω),

ou encore si et seulement si∫Ω

Ae((F − u)− (u− u)) : e(v − (u− u)) ≤ 0, ∀v ∈ K1(Ω)− u,

c’est-à-dire, si et seulement si

〈(F − u)− (u− u), v − (u− u)〉HdD≤ 0, ∀v ∈ K1(Ω)− u.

De plus, F − u ∈ HdD et u − u ∈ K1(Ω) − u. Par conséquent, u est solution du problème de

Signorini (4.14) si et seulement si

u = projK1(Ω)−u(F − u).

Remarque 4.3.27. La solution faible du problème de Signorini (4.14) est bien unique et ne dépendpas de l’élément choisi u dans Uad. Cela se vérifie de la même manière que dans la Remarque 4.1.9.

4.4 Problème de Tresca

On considère dans cette partie le problème de Tresca suivant−div(Ae(u)) = f dans Ω,

u = U sur ΓD,

σn = k sur ΓN ,

‖στ‖2 ≤ g et uτ · στ = −g ‖uτ‖2 sur ΓN ,

(4.19)

où ‖·‖2 est la norme euclidienne sur Rd, k ∈ L2(ΓN ), g ∈ L∞(ΓN ) et telle que g ≥ m presquepartout sur ΓN , où m est une constante strictement positive. Pour ce qui est de la définition deστ , σn et un, voir les égalités (1.1) et (1.2).

Définition 4.4.28 (Solution forte du problème de Tresca). Une solution forte du problème deTresca (4.19) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈

(H1(Ω)

)d, −div(Ae(u)) = f dans(D(Ω)d

)′,

u = U dans(L2(ΓD)

)d, Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d , σn = k dans L2(ΓN ) et qui vérifie ‖στ‖2 ≤ g etuτ · στ = −g ‖uτ‖2 presque partout sur ΓN .

69

Définition 4.4.29 (Solution faible du problème de Tresca). Une solution faible du problème deTresca (4.19) est une fonction u : Ω→ R telle que u ∈ Uad et telle que, pour tout v ∈ Uad,

∫Ω

Ae(u) : e(v − u) +

∫ΓN

g ‖vτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

Ω

f · (v − u) +

∫ΓN

k(vn − un), (4.20)

ou bien encorea(u, v − u) + φ(v)− φ(u) ≥ L(v − u), ∀v ∈ Uad,

avec notamment

Uad =v ∈

(H1(Ω)

)d , v = U presque partout sur ΓD

,

la forme linaire L définie par

L :(H1(Ω)

)d −→ R

w 7−→∫

Ω

f · w +

∫ΓN

kwn,

φ la fonctionnelle de Tresca définie par

φ :(H1(Ω)

)d −→ R

w 7−→∫

ΓN

g ‖wτ‖2 ,

et a, la forme bilinéaire symétrique déjà définie précémment par (4.4).

Proposition 4.4.30. Une fonction u est une solution forte du problème de Tresca (4.19) si etseulement si u est une solution faible du problème de Tresca (4.19).

Démonstration. ⇒ Supposons que u soit une solution forte du problème de Tresca (4.19). Alorsu = U presque partout sur ΓU , donc u ∈ Uad. On montre alors de la même manière que pour lapremière assertion de la Proposition 4.3.25 du problème de Signorini (4.14), −div(Ae(u)) = f dans(L2(Ω)

)d et que, pour v ∈ Uad,∫Ω

Ae(u) : e(v − u)−∫

ΓN

Ae(u)n · (v − u) =

∫Ω

f · (v − u).

Puis, en utilisant la décomposition de Ae(u)n donnée par (1.1), on obtient∫ΓN

Ae(u)n · (v − u) =

∫ΓN

(σnn + στ ) · (v − u) =

∫ΓN

σn(vn − un) +

∫ΓN

στ · (vτ − uτ ).

Or, σn = k dans L2(ΓN ), donc on a∫Ω

Ae(u) : e(v − u)−∫

ΓN

στ · (vτ − uτ ) =

∫Ω

f · (v − u) +

∫ΓN

k(vn − un).

Par ailleurs, u ∈(H1(Ω)

)d vérifie la dernière condition du problème (4.19) presque partout sur ΓN .On montre alors de la même manière que dans la Proposition 2.1.15 du problème de Tresca (2.7),qu’on a presque partout sur ΓN ,

−στ · (vτ − uτ ) ≤ g (‖vτ‖2 − ‖uτ‖2) ,

70

et donc∫Ω

Ae(u) : e(v − u) +

∫ΓN

g ‖vτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

Ω

f · (v − u) +

∫ΓN

k(vn − un),

ce qui donne la formulation faible (4.20).⇐ Réciproquement, supposons que u soit une solution faible du problème de Tresca (4.19). Alors,en prenant v = u ± ϕ ∈ Uad, où ϕ ∈ D(Ω)d, dans la formulation faible (4.20), on montre de lamême manière que dans la Proposition 4.1.5, que l’on a −div(Ae(u)) = f dans

(D(Ω)d

)′. Puis,

étant donné que f est dans L2(Ω)d, on a donc aussi −div(Ae(u)) = f dans L2(Ω)d et par conséquentpour tout i ∈ 1, ..., d, Ae(u)i ∈ H(div,Ω). On peut alors appliquer la formule de la divergence(Théorème A.0.14) dans la formulation faible (4.20) afin d’obtenir pour tout v ∈ Uad,

d∑i=1

〈Ae(u)i · n, vi − ui〉H−1/2(Γ)×H1/2(Γ) +

∫ΓN

g ‖vτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

k(vn − un).

Ou bien encore

〈Ae(u)n, v − u〉(H−1/2(Γ))

d×(H1/2(Γ))d +

∫ΓN

g ‖vτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

k(vn − un).

Par ailleurs, v−u = 0 sur ΓD, donc v−u ∈(

H1/200 (ΓN )

)d. De plus,

(H

1/200 (ΓN )

)dest un sous-espace

vectoriel de(H1/2(Γ)

)ddonc on a, pour tout v ∈ Uad,

〈Ae(u)n, v − u〉((H

1/200 (ΓN )

)d)′×(

H1/200 (ΓN )

)d+

∫ΓN

g ‖vτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

k(vn − un),

ou encore, pour tout w ∈ Uad − u =k ∈

(H1(Ω)

)d , k|ΓD= 0,

〈Ae(u)n, w〉((H

1/200 (ΓN )

)d)′×(

H1/200 (ΓN )

)d+

∫ΓN

g ‖wτ + uτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

kwn.

On a alors

− 〈Ae(u)n, w〉((H

1/200 (ΓN )

)d)′×(

H1/200 (ΓN )

)d≤∫

ΓN

g (‖wτ + uτ‖2 − ‖uτ‖2) +

∣∣∣∣∫ΓN

kwn

∣∣∣∣≤∫

ΓN

g ‖wτ‖2 +

∫ΓN

|k||w · n| ≤∫

ΓN

g ‖w‖2 +

∫ΓN

|k| ‖w‖2 ‖n‖2

≤(‖g‖L2(ΓN ) + ‖k‖L2(ΓN )

)‖w‖(L2(ΓN ))d ,

car n est un vecteur unitaire, donc ‖n‖2 = 1.Ainsi, comme cela est vrai pour tout w ∈

k ∈

(H1(Ω)

)d , k|ΓD= 0alors ça l’est aussi pour tout

w ∈(

H1/200 (ΓN )

)d. Par ailleurs,

(H

1/200 (ΓN )

)d→dense

(L2(ΓN )

)d, donc par la Proposition A.0.13,

Ae(u)n ∈(L2(ΓN )

)d et

〈Ae(u)n, w〉((H

1/200 (ΓN )

)d)′×(

H1/200 (ΓN )

)d=

∫ΓN

Ae(u)n · w, ∀w ∈(

H1/200 (ΓN )

)d.

71

Ainsi,∫ΓN

Ae(u)n · w +

∫ΓN

g ‖wτ + uτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

kwn, ∀w ∈(

H1/200 (ΓN )

)d.

Par l’injection dense précédente, cette inégalité est aussi vraie pour tout w ∈(L2(ΓN )

)d. On aalors en utilisant la décomposition de Ae(u)n donné par (1.1), pour tout w ∈

(L2(ΓN )

)d,∫ΓN

σnwn +

∫ΓN

στ · wτ +

∫ΓN

g ‖wτ + uτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥∫

ΓN

kwn. (4.21)

Considérons alors la fonction w = ±ψn ∈(L2(ΓN )

)d, où ψ est un élément quelconque de L2(ΓN ).On a alors w · n = wn = ±ψ et wτ = 0 sur ΓN . Ainsi,∫

ΓN

σnψ =

∫ΓN

kψ, ∀ψ ∈ L2(ΓN ),

et comme σn ∈ L2(ΓN ), alors σn = k dans L2(ΓN ). On a alors dorénavant dans (4.21),∫ΓN

στ · wτ +

∫ΓN

g ‖wτ + uτ‖2 −∫

ΓN

g ‖uτ‖2 ≥ 0.

Considérons alors w = ±λψ − u ∈(L2(ΓN )

)d, où λ > 0 et ψ est cette fois-ci dans(L2(ΓN )

)d. Ona alors dans l’inégalité ci-dessus,

λ

∫ΓN

(±στ · ψτ + g ‖ψτ‖2)−∫

ΓN

(στ · uτ + g ‖uτ‖2) ≥ 0, ∀ψ ∈(L2(ΓN )

)d.

Par ailleurs, comme στ · ψτ = στ · ψ, alors

λ

∫ΓN

(±στ · ψ + g ‖ψτ‖2)−∫

ΓN

(στ · uτ + g ‖uτ‖2) ≥ 0, ∀ψ ∈(L2(ΓN )

)d.

On obtient alors deux résultats différents :

— en faisant tendre λ vers 0, on obtient∫ΓN

(στ · uτ + g ‖uτ‖2) ≤ 0; (4.22)

— en divisant par λ et en le faisant tendre vers +∞ on a∫ΓN

(±στ · ψ + g ‖ψτ‖2) ≥ 0, ∀ψ ∈(L2(ΓN )

)d,

ou encore ∣∣∣∣∫ΓN

στ · ψ∣∣∣∣ ≤ ∫

ΓN

g ‖ψτ‖2 ≤∫

ΓN

g ‖ψ‖2 , ∀ψ ∈(L2(ΓN )

)d. (4.23)

L’inégalité (4.23) signifie que la forme linéaire ` définie par

` :(L2(ΓN )

)d −→ Rψ 7−→

∫ΓN

στ · ψ =∫

ΓN

(g−1στ

)· gψ,

72

est continue sur(L2(ΓN )

)d pour la topologie induite par(L1(ΓN )

)d pour la norme

‖·‖(L1(ΓN ))dg:(L1(ΓN )

)d −→ Rf 7−→

∫ΓN

g ‖f‖2 .(4.24)

Par conséquent, ` ∈((

L2(ΓN ))d, ‖·‖(L1(ΓN ))dg

)′et est de norme inférieure ou égale à 1. Par

ailleurs comme(L2(ΓN )

)d est un sous espace vectoriel de(L1(ΓN )

)d, alors par le théorème de

Hahn-Banach, il existe une forme linéaire p sur((

L1(ΓN ))d, ‖·‖(L1(ΓN ))dg

)telle que p|(L2(ΓN ))d = `

et de même norme que `. De plus, l’application définie par

〈·, ·〉g :(L2(ΓN )

)d × (L2(ΓN ))d −→ R

(f1, f2) 7−→∫

ΓNg(f1 · f2)

est un produit scalaire sur(L2(ΓN )

)d et donc d’après le Théorème A.0.16 et la Remarque ??, le

dual de((

L1(ΓN ))d, ‖·‖(L1(ΓN ))dg

)est isométrique à (L∞(ΓN ))

d muni de sa norme usuelle. Ainsi,

il existe un unique élément h ∈ (L∞(ΓN ))d, tel que

‖h‖(L∞(ΓN ))d = ‖p‖((L1(ΓN ))d,‖·‖

(L1(ΓN ))dg

)′ ≤ 1,

et tel que pour tout f ∈(L1(ΓN )

)d,p(f) =

∫ΓN

g (h · f) .

Par ailleurs, comme p|(L2(ΓN ))d = `, alors pour tout ψ ∈(L2(ΓN )

)d,p(ψ) =

∫ΓN

g (h · ψ) =

∫ΓN

(g−1στ

)· gψ,

c’est-à-dire ∫ΓN

g(h− g−1στ

)· ψ = 0, ∀ψ ∈

(L2(ΓN )

)d,

ou encore ⟨h− g−1στ , ψ

⟩g

= 0, ∀ψ ∈(L2(ΓN )

)d.

Or, h− g−1στ ∈(L2(ΓN )

)d puisque g−1 ≤ 1m presque partout sur ΓN et στ ∈

(L2(ΓN )

)d.Ainsi, h = g−1στ presque partout sur ΓN et donc∥∥g−1στ

∥∥(L∞(ΓN ))d

= sup essx∈ΓN

g−1(x) ‖στ (x)‖2 ≤ 1,

et par conséquent, ‖στ‖2 ≤ g presque partout sur ΓN .On obtient alors

στ · uτ + g ‖uτ‖2 ≥ 0,

presque partout sur ΓN et d’après l’inégalité (4.22), on a alors

στ · uτ = −g ‖uτ‖2 ,

presque partout sur ΓN , ce qui conclut la preuve.

73

Remarque 4.4.31. À la différence du problème de Tresca (3.10) de la section 3, nous n’avonspas eu à supposer que presque tous les points de ΓN sont dans ΓN . Cependant, nous avons dû fairedes hypothèses plus fortes sur le frottement g afin de pouvoir utiliser l’isométrie entre le dual de((

L1(ΓN ))d, ‖·‖(L1(ΓN ))dg

)et (L∞(ΓN ))

d muni de sa norme usuelle (Théorème A.0.16).

On va maintenant démontrer l’existence et l’unicité de la solution faible du problème de Tresca.Pour cela nous allons nous ramener à un sous-espace vectoriel de

(H1(Ω)

)d en effectuant unetranslation. On considère donc Hd

D := Uad − u, pour u quelconque dans Uad, le même sous-espacedéjà défini dans la section 4.1 par (4.5). On rappelle que la forme bilinéaire a, définie par (4.4), estun produit scalaire sur Hd

D noté 〈·, ·〉HdD

(Corollaire 4.1.7).

Proposition 4.4.32. Le problème de Tresca (4.19) admet une unique solution faible donnée par

u = u+ proxφ(·+u)(F − u),

où φ(·+ u) est définie sur HdD par

φ(·+ u) : HdD −→ Rw 7−→ φ(w + u),

et F ∈ Uad est l’unique solution faible du problème D.-N. suivant :−div(Ae(F )) = f dans Ω,

F = U sur ΓD,

Ae(F )n = kn sur ΓN .

(4.25)

Démonstration. Posons φ = φ(·+ u).Remarquons, de manière similaire au problème de Tresca des sections précédentes, que l’on aφ ∈ Γ0(Hd

D). Nous allons montrer qu’il existe une unique solution faible au problème :trouver u ∈ Hd

D telle que pour tout w ∈ HdD,

a(u, w − u) + φ(w)− φ(u) ≥ L(w − u), (4.26)

oùL : Hd

D −→ Rw 7−→ L(w)− a(u, w).

La solution u du problème de Tresca sera alors donnée par u = u + u. En effet, u est solution duproblème (4.26) si et seulement si

a(u+ u, w − u) + φ(w + u)− φ(u+ u) ≥ L(w − u), ∀w ∈ HdD,

c’est-à-dire, si et seulement si

a(u+ u, w + u− (u+ u)) + φ(w + u)− φ(u+ u) ≥ L(w + u− (u+ u)), ∀w ∈ HdD,

donc si et seulement si

a(u+ u, v − (u+ u)) + φ(v)− φ(u+ u) ≥ L(v − (u+ u)), ∀v ∈ Uad.

74

Prouvons donc l’existence et l’unicité de la solution du problème (4.26). Soit F ∈ Uad la solutionfaible du problème D.-N. (4.25). Alors d’après (4.3), la formulation faible de F ∈ Uad est donnéepar ∫

Ω

Ae(F ) : e(v − F ) =

∫Ω

f · (v − F ) +

∫ΓN

k(vn − FN ), ∀v ∈ Uad.

ou encore, en prenant v = w + F ∈ Uad, pour w ∈ HdD,∫

Ω

Ae(F ) : e(w) =

∫Ω

f · w +

∫ΓN

kwn, ∀w ∈ HdD,

qu’on peut aussi écrire∫Ω

Ae(F − u) : e(w) =

∫Ω

f · w +

∫ΓN

kwn −∫

Ω

Ae(u) : e(w), ∀w ∈ HdD.

Ainsi, u est solution du problème (4.26) si et seulement si pour tout w ∈ HdD,∫

Ω

Ae(F − u) : e(w − u)−∫

Ω

Ae(u) : e(w − u)− φ(w) + φ(u) ≤ 0,

donc si et seulement si∫Ω

Ae(F − u− u) : e(w − u) ≤ φ(w)− φ(u), ∀w ∈ HdD,

ou encore, si et seulement si

〈F − u− u, w − u〉HdD≤ φ(w)− φ(u), ∀v ∈ Hd

D.

Par conséquent, u est solution du problème (4.26) si et seulement si

F − u− u ∈ ∂φ(u),

c’est-à-dire, si et seulement si

u = (I + ∂φ)−1(F − u) = proxφ(F − u).

Ainsi, d’après ce qui a été dit au début de la preuve, la solution u du problème de Tresca (4.19)est donnée par

u = u+ u = u+ proxφ(F − u) = u+ proxφ(·+u)(F − u).

Remarque 4.4.33. La solution du problème de Tresca (4.19) est bien unique. On vérifie cela demanière similaire à la Remarque 4.1.9.

La suite sur l’analyse de sensibilité n’a pas pu être traitée.

75

5 Conclusions

Conclusion du rapport. L’analyse de sensibilité des différents problèmes de Tresca énoncés àla fois dans la section 2.2 et la section 3.2 ont permis d’obtenir les Théorèmes 2.2.26 et 3.2.21, les-quels affirment qu’on peut caractériser la dérivée u′0 d’un problème de Tresca paramétré comme lasolution d’un problème de Signorini. Ces résultats ont pu être obtenus en utilisant des outils d’ana-lyse convexe, notamment en caractérisant u′0 comme l’opérateur proximal associé à l’épi-dérivéedu second ordre de la fonctionnelle de Tresca paramétrée Φ. Pour ce qui est du cas de l’élasticité,celui-ci n’a pas pu être traité. De plus, il sera intéréssant d’étudier le cas où ce n’est ni le termesource, ni le terme de frottement qui est perturbé, mais la frontière du corps élastique dans l’objec-tif de faire de l’optimisation de forme en mécanique du contact (voir par exemple le travail de A.Maury, G. Allaire, F. Jouven, [15]). Enfin, les simulations numériques qui ont été faites dans le butd’illustrer ces théorèmes utilisaient des algorithmes qui n’avaient rien d’efficaces et qui n’avaientpas de preuve de convergence rigoureuse. Il sera donc intéréssant d’étudier des algorithmes plussophistiqués tels que les méthodes hybrides ([6]) ou la méthode de Nitsche [8], afin de proposer dessimulations numériques plus précises. Tout cela sera étudié ultérieurement dans un travail de thèse.

Conclusion personnelle. Ce stage a été pour moi l’occasion d’effectuer un travail de recherchesur un sujet qui associe à la fois les mathématiques et la mécanique. Ce travail m’ayant beaucoupintéréssé, notamment par les mathématiques utilisés, mais également par la méthodologie laisséeà la discrétion de l’étudiant, a confirmé mon souhait de poursuivre sur une thèse. Ce stage m’aégalement permis d’améliorer mes connaissances en mathématiques, que ce soit théoriques et nu-mériques. En effet, j’ai pu comprendre ce que signifiait faire de l’analyse de sensibilité et à quoicela servait. J’ai également appris de nouvelles choses, notamment en analyse convexe et non lisse,comme par exemple l’opérateur proximal, la Mosco-convergence, l’épi-différentiabilité d’ordre 2,etc, mais également mieux compris les espaces de Sobolev H1/2 et H

1/200 qui n’étaient pas très clairs

avant mon début de stage. Par ailleurs, j’ai pu améliorer mes lacunes dans le domaine du numé-rique à l’aide du logiciel Freefem++, que je n’avais jamais utilisé auparavant et qui s’est montréassez intuitif à prendre en main. Le sujet de ce stage portait notamment sur l’élasticité, un sujetqui m’intéressait particulièrement, étant donné que j’avais pu étudier les bases de la mécaniquedes milieux continus au cours de mon cursus. J’ai donc pu en apprendre d’avantage, en particulieren ce qui concerne la modélisation du contact entre solides, à l’aide des conditions de Signorini,Coulomb et de Tresca. Par ailleurs, le stage a dû être effectué à distance étant donné les conditionssanitaires durant cette période. Cependant, j’ai pu être assez autonome pour mener à bien ce pro-jet, notamment avec l’aide que m’ont apportée mes responsables de stage qui se sont montrés trèsdisponibles et encourageants.

A Annexe : outils d’analyse fonctionnelle

Dans cette annexe on rappelle quelques définitions et résultats connus de l’analyse fonctionnelle,qui ont été utilisés dans ce rapport. Les démonstrations (voir par exemple [7]) ne sont donc pasécrites, hormis pour le Théorème A.0.16. Nous supposons déja connus les espaces de Lebesgues Lp,ainsi que les espaces de Sobolev Wm,p, pour 1 ≤ p ≤ ∞ et m ∈ N.

76

Définition A.0.1 (Dual algébrique et topologique). Soit E un espace vectoriel normé sur le corpsR ou C. Le dual algébique de E est l’ensemble des formes linéaires sur E, qu’on note E∗. Le dualtopologique de E est le sous-espace inclus dans E∗ formé des formes linéaires continues sur E,qu’on note E′.

Lemme A.0.2. Soient d ∈ N∗ et pour tout i ∈ 1, ..., d, Ei un espace vectoriel normé. Alors les

espaces(∏d

i=1Ei

)′et∏di=1E

′i sont isomorphes.

Théorème A.0.3 (Théorème de représentation de Riesz). Soit (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert etL ∈ V′. Alors, il existe un unique élément u ∈ V, tel que

L(v) = 〈u, v〉V , ∀v ∈ V.

De plus on a l’égalité, ‖L‖V′ = ‖u‖V.

Théorème A.0.4 (Projection sur un convexe fermé non vide). Soit (V, 〈·, ·〉V ) un espace de Hilbertet soit C un sous-ensemble convexe, fermé et non vide de V. Alors, pour tout x ∈ V, il existe ununique élément noté projC(x) ∈ C tel que ‖x− projC(x)‖V = min

y∈C‖x− y‖V. Par ailleurs projC(x)

est caractérisé par

projC(x) ∈ C et ∀y ∈ C, 〈x− projC(x), y − projC(x)〉V ≤ 0.

Théorème A.0.5 (Lax-Milgram). Soit (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert. Soient L ∈ V′ et a :

V × V → R une forme bilinéaire continue et coercive. Alors il existe un unique élément u ∈ V telque

a(u, v) = L(v), ∀v ∈ V.

Définition A.0.6 (Fonction test). Soit Ω un ouvert non vide de Rd, d ≥ 1. On appelle fonctiontest une fonction ϕ : Ω→ R qui est indéfiniment dérivable sur Ω et dont le support est un compactinclus dans Ω. On note alors D(Ω) l’ensemble des fonctions tests.

Définition A.0.7 (Distribution). Soit Ω un ouvert non vide de Rd, d ≥ 1. On appelle distributionsur Ω une forme linéaire continue sur D(Ω). C’est donc le dual topologique de D(Ω), qu’on notealors D′(Ω).

Théorème A.0.8 (Théorème de trace). Soient 1 ≤ p < +∞, d ≥ 1, Ω un ouvert borné etlipschitzien de Rd et W1,p(Ω) l’espace de Sobolev muni de sa norme standard ‖·‖W1,p(Ω). Alorspour toute fonction ϕ ∈ C∞(Ω), on a

‖ϕ‖Lp(∂Ω) ≤ C ‖ϕ‖W1,p(Ω) ,

où C est une constante strictement positive, qui ne dépend que de Ω et de p. On peut par ailleurs,prolonger continûment l’application linéaire ϕ ∈ C∞(Ω) 7→ ϕ|∂Ω ∈ Lp(∂Ω), en :

γ : W1,p(Ω)→ Lp(∂Ω),

qu’on appelle l’opérateur de trace. De plus, dans le cas p = 2, H1/2(∂Ω) est l’image de H1(Ω) parcette application et on a

‖γ(u)‖H1/2(∂Ω) ≤ C′ ‖u‖H1(Ω) , ∀u ∈ H1(Ω),

où C ′ > 0 est une constante qui ne dépend que de Ω.

77

Proposition A.0.9 (Injections). Nous rappelons ici de nombreuses injections qui sont utiliséestout au long du rapport. Soit Ω un ouvert lipschitzien borné convexe et non vide de Rd, d ≥ 1 etde frontière Γ := ∂Ω. Soient L2(Ω), L2(Γ), L1(Γ), H1(Ω), H1/2(Γ), H−1/2(Γ) les espaces usuels deLebesgue et de Sobolev muni de leur norme standard. On a alors les injections continues et densessuivantes :

— H1(Ω) →dense

H1/2(Γ) →dense

L2(Γ) →dense

H−1/2(Γ) ;

— L2(Γ) →dense

L1(Γ) ;

— H1(Ω) →dense

L2(Ω).

Ainsi que l’injection continue, dense et compacte,

H1(Ω) →dense

L2(Γ).

De plus, si Ω est de classe C1 et Γ se décompose sous la forme Γ = Γ1 ∪ Γ2, où Γ1 et Γ2 sont dessous-ensembles mesurables de Γ, disjoints. Alors on a les injections continues et dense

H1/200 (Γ1) →

denseL2(Γ1) →

dense

(H

1/200 (Γ1)

)′,

avec H1/200 (Γ1) l’ensemble des fonctions de H1/2(Γ1) qui sont dans H1/2(Γ) lorsqu’on les étend par

0 sur Γ2 (voir [10], chapitre 7, section 2 page 395).

Théorème A.0.10 (Inégalité de Poincaré-Wirtinger). Soit Ω un ouvert borné lipschitzien de Rd,d ≥ 1. Alors, pour tout sous-espace F fermé de H1(Ω), si l’application u ∈ H1(Ω) 7→ ‖∇u‖L2(Ω) ∈R+ est une norme sur F, alors elle est équivalente à la norme classique ‖·‖H1(Ω) sur l’espace F.Autrement dit, il existe une constance C > 0, qui ne dépend que de Ω, telle que pour tout w ∈ F,

‖∇w‖L2(Ω) ≤ ‖w‖H1(Ω) ≤ C ‖∇w‖L2(Ω) .

Définition A.0.11. Soient Ω un ouvert de Rd, d ≥ 1 et 1 ≤ p ≤ +∞. Alors l’espace (Lp(Ω))d est

défini par,(Lp(Ω))

d:=

(fi)i=1,..,d , fi ∈ Lp(Ω) pour tout i ∈ 1, ..., d.

La norme usuelle sur (Lp(Ω))d est alors définie par

‖·‖(Lp(Ω))d : (Lp(Ω))d −→ R

f 7−→

∫

Ω

‖f‖p2 si 1 ≤ p < +∞,

sup essx∈Ω

‖f(x)‖2 si p = +∞.

qui en fait un espace de Banach. Ici, ‖·‖2 désigne la norme euclidienne sur Rd.

Remarque A.0.12. On peut remplaçer la norme euclidienne ‖·‖2 par n’importe quelles normes‖·‖ sur Rd, celles-ci étant toutes équivalentes. Cependant, la norme euclidienne est plus simpleà utiliser dans les calculs qui font intervenir le produit scalaire euclidien, cela permet d’éviterl’introduction de constantes, en particulier dans la section sur le problème de Tresca 4.4 ainsi quedans le Théorème A.0.16.

78

Les démonstrations de la proposition et du théorème qui vont suivre peuvent être trouvéesdans :

— [2] page 19-21 pour la Proposition A.0.13 ;

— [4] Théorème 4.4.7, page 105 pour le Théorème A.0.14.

Proposition A.0.13. Soient (V, 〈·, ·〉V) et (H, 〈·, ·〉H) deux espaces de Hilbert tels queV →dense

H et soit w ∈ V′, où V′ est l’espace dual de V.

1. Si w s’identifie à un élément h ∈ H alors pour tout v ∈ V, 〈w, v〉V′×V = 〈h, v〉H.2. S’il existe C ≥ 0 tel que ∀v ∈ V, 〈w, v〉V′×V ≤ C ‖v‖H alors on peut identifier w à un élément

h ∈ H et qui vérifie pour tout v ∈ V, 〈w, v〉V′×V = 〈w, v〉H.

Théorème A.0.14 (Formule de la divergence). Soit Ω un ouvert borné lipschitzien et soit u ∈H(div,Ω) où

H(div,Ω) :=v ∈

(L2(Ω)

)d , div(v) ∈ L2(Ω).

Alors u admet une trace normale notée u · n ∈ H−1/2(∂Ω) où n est la normale unitaire extérieureà ∂Ω telle que, pour tout ϕ ∈ H1(Ω),∫

Ω

div(u)ϕ+

∫Ω

u · ∇ϕ = 〈u · n, φ〉H−1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω) .

D’après ce théorème, on en déduit le corollaire suivant.

Corollaire A.0.15 (Formule de Green). Soit Ω un ouvert borné lipschitzien et soit w ∈ H1(Ω).Si ∆w ∈ L2(Ω), alors ∇w admet une trace normale notée ∂nw ∈ H−1/2(∂Ω) telle que, pourtout ϕ ∈ H1(Ω), ∫

Ω

ϕ∆v +

∫Ω

∇v · ∇ϕ = 〈∂nv, ϕ〉H−1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω) .

Théorème A.0.16. Soit Ω un ouvert de Rd avec d ≥ 1 et g ∈ L∞(Ω), telle que g > 0 presquepartout sur Ω. Soit

(L1(Ω)

)d muni de la norme ‖·‖L1(Ω)dgdéfinie par

‖·‖L1(Ω)dg:(L1(Ω)

)d −→ Rf 7−→

∫Ωg ‖f‖2 ,

où ‖·‖2 est la norme euclienne sur Rd. Si ` ∈((

L1(Ω))d, ‖·‖(L1(Ω))dg

)′, alors il existe un unique

élément u ∈ (L∞(Ω))d tel que

`(f) =

∫Ω

g (u · f) , ∀f ∈(L1(Ω)

)d,

et qui vérifie‖u‖(L∞(Ω))d = ‖`‖(

(L1(Ω))d,‖·‖(L1(Ω))dg

)′ ,où ‖·‖(L∞(Ω))d est la norme usuelle sur (L∞(Ω))

d (voir Définition A.0.11). Autrement dit, le dual

de((

L1(Ω))d, ‖·‖(L1(Ω))dg

)est isométrique à (L∞(Ω))

d muni de sa norme usuelle.

79

Démonstration. La preuve est fortement inspirée du Brezis ([7], page 99, Théorème 4.14).Commençons par l’existence. Considérons

(L2(Ω)

)d muni du produit scalaire 〈·, ·〉g défini par

〈·, ·〉g :(L2(Ω)

)d × (L2(Ω))d −→ R

(f1, f2) 7−→∫

Ωg (f1 · f2) .

Alors(L2(Ω)

)d muni de ce produit scalaire 〈·, ·〉g est un espace de Hilbert pour la norme ‖·‖(L2(Ω))dginduite par ce produit scalaire.

Soit ` ∈((

L1(Ω))d, ‖·‖(L1(Ω))dg

)′. Dans le cas où ` est la forme linéaire nulle, le résultat est

évident. On peut donc supposer dans la suite, que ` n’est pas la forme linéaire nulle. Considéronsw ∈ L2(Ω) tel que pour tout compact K ⊂ Ω, il existe εK > 0 telle que, w ≥ εK presque partoutsur K. Introduisons alors l’application

ϕ :(L2(Ω)

)d −→ Rf 7−→ `(wf),

qui est bien définie car pour tout f ∈(L2(Ω)

)d,‖wf‖(L1(Ω))d =

∫Ω

‖wf‖2 =

∫Ω

|w| ‖f‖2 ≤ ‖w‖L2(Ω) ‖f‖(L2(Ω))d < +∞,

et par conséquent wf ∈(L1(Ω)

)d. De plus, étant donné que ` ∈((

L1(Ω))d, ‖·‖(L1(Ω))dg

)′, alors en

notant α := ‖`‖((L1(Ω))d,‖·‖

(L1(Ω))dg

)′ > 0 (car ` n’est pas la forme linéaire nulle), on a pour tout

f ∈(L2(Ω)

)d,|ϕ(f)| = |`(wf)| ≤ α ‖wf‖(L1(Ω))dg

= α

∫Ω

g|w| ‖f‖2 = α

∫Ω

√g|w|√g ‖f‖2

≤ α(∫

Ω

g|w|2) 1

2(∫

Ω

g ‖f‖22

) 12

≤ α ‖g‖L∞(Ω) ‖w‖L2(Ω) ‖f‖(L2(Ω))dg.

Ainsi, ϕ est une forme linéaire continue sur((

L2(Ω))d, ‖·‖(L2(Ω))dg

)et comme celui-ci est un espace

de Hilbert, alors il existe un unique élément v ∈(L2(Ω)

)d tel que pour tout f ∈(L2(Ω)

)d,ϕ(f) = 〈v, f〉g =

∫Ω

g (v · f) = `(wf).

Comme w > 0 presque partout sur Ω on peut utiliser la fonction mesurable u définie pour presque

tout x ∈ Ω par u(x) =v(x)

w(x), ce qui donne

ϕ(f) =

∫Ω

gw (u · f) = `(wf), ∀f ∈(L2(Ω)

)d. (A.1)

Par ailleurs, d’après ce qui précède, on a pour tout f ∈(L2(Ω)

)d,|ϕ(f)| =

∣∣∣∣∫Ω

gw (u · f)

∣∣∣∣ ≤ α ‖wf‖(L1(Ω))dg. (A.2)

80

Considérons C > α et l’ensemble U ⊂ Ω définie par

U = x ∈ Ω, ‖u(x)‖2 > C .

Supposons que U ne soit pas un ensemble négligeable. Alors il existe un ensemble V mesurableinclus dans U telle que 0 < |V| < +∞. Considérons alors la fonction f ∈

(L2(Ω)

)d définie par

f : Ω −→ Rd

x 7−→u(x) si x ∈ V,

0 si x ∈ Ω\V.

On obtient alors dans (A.2), ∫V

gw ‖u‖22 ≤ α∫

V

gw ‖u‖2 ,

ou encore, étant donné que ‖u‖2 > C sur V,

C

∫V

gw ‖u‖2 ≤ α∫

V

gw ‖u‖2 .

Mais, comme gw ‖u‖2 > C et gw > 0 presque partout sur V, alors∫

V

gw ‖u‖2 > 0 et on obtient

C ≤ α, ce qui est une contradiction. Ainsi, U est un ensemble négligeable et par conséquent,‖u(x)‖2 ≤ C pour presque tout x ∈ Ω, c’est-à-dire u ∈ (L∞(Ω))

d et

‖u‖(L∞(Ω))d ≤ C.

Or l’inégalité est vraie pour tout C > α, par conséquent,

‖u‖(L∞(Ω))d ≤ α.

On rappelle que Cc(Ω) désigne l’ensemble f : Ω→ R, f continue et à support compact dans Ω.Considérons donc h ∈ (Cc(Ω))

d. Alors,

∥∥∥∥ hw∥∥∥∥2

(L2(Ω))d=

∫Ω

‖h‖22|w|2

≤ 1

ε2supp(h)

∫supp(h)

‖h‖22 ≤sup

x∈supp(h)

‖h(x)‖22

ε2supp(h)

< +∞.

Ainsih

w∈(L2(Ω)

)d et par conséquent, on peut prendre dans (A.1), f =h

w∈(L2(Ω)

)d, ce quidonne

`(h) =

∫Ω

g (u · h) , ∀h ∈ (Cc(Ω))d. (A.3)

Soit maintenant k ∈(L1(Ω)

)d. Alors par densité de (Cc(Ω))d dans

(L1(Ω)

)d (pour la norme usuelle),il existe une suite (hn)n∈N d’éléments de (Cc(Ω))

d telle que

limn→+∞

‖hn − k‖(L1(Ω))d = 0.

Or on a également‖hn − k‖(L1(Ω))dg

≤ ‖g‖L∞(Ω) ‖hn − k‖(L1(Ω))d .

Par conséquent, (Cc(Ω))d est aussi dense dans

(L1(Ω)

)d pour la norme ‖·‖(L1(Ω))dg.

81

Par ailleurs, on a∣∣∣∣∫Ω

g (u · hn)−∫

Ω

g (u · k)

∣∣∣∣ ≤ ∫Ω

g ‖u‖2 ‖hn − k‖2 ≤ ‖u‖(L∞(Ω))d ‖hn − k‖(L1(Ω))dg−→

n→+∞0.

Ainsi, étant donné que ` ∈((

L1(Ω))d, ‖·‖(L1(Ω))dg

)′, on a,

`(k) = limn→+∞

`(hn) = limn→+∞

∫Ω

guhn =

∫Ω

guk.

Par conséquent, l’égalité (A.3) reste vraie pour tout h ∈(L1(Ω)

)d :

`(h) =

∫Ω

g (u · h) , ∀h ∈(L1(Ω)

)d.

Par ailleurs, pour tout h ∈(L1(Ω)

)d,|`(h)| =

∣∣∣∣∫Ω

g (u · h)

∣∣∣∣ ≤ ‖u‖(L∞(Ω))d

∫Ω

g ‖h‖2 = ‖u‖(L∞(Ω))d ‖h‖(L1(Ω))dg.

Ainsi,‖u‖(L∞(Ω))d ≥ α,

et par conséquent,‖u‖(L∞(Ω))d = α = ‖`‖(

(L1(Ω))d,‖·‖(L1(Ω))dg

)′ .Il reste à démontrer l’unicité. Supposons qu’il existe deux éléments u1 et u2 dans (L∞(Ω))

d, telsque,

`(h) =

∫Ω

g (u1 · h) =

∫Ω

g (u2 · h) , ∀h ∈(L1(Ω)

)d.

Alors, ∫Ω

g(u1 − u2) · h = 0, ∀h ∈(L1(Ω)

)d,

c’est-à-dire g(u1 − u2) = 0 presque partout sur Ω car g(u1 − u2) ∈(L1loc(Ω)

)d. Or, g > 0 presquepartout sur Ω et par conséquent, u1 = u2 presque partout sur Ω, ce qui conclut la preuve.

B Annexe : outils d’analyse convexe et non lisse

Une grande partie des définitions et propositions qui vont suivre proviennent de [1], [2] et [19].Les preuves peuvent y être également trouvées.

Définition B.0.1 (Domaine et épigraphe). Soit X un ensemble et f : X→ R ∪ ±∞.Le domaine de f , noté domf , est défini par

domf := x ∈ X, f(x) < +∞ ,

et l’épigraphe de f , noté epif , par

epif := (x, t) ∈ X× R, f(x) ≤ t .

82

Définition B.0.2 (Fonction propre). Soit X un ensemble et f : X→ R∪±∞. Alors, f est unefonction propre si f ne prend jamais la valeur −∞ et si domf 6= ∅.

Définition B.0.3 (Indicatrice d’un ensemble). Soit X un ensemble et soit U un sous-ensemble deX. On appelle fonction indicatrice du sous-ensemble U, la fonction IU définie par

IU : X −→ R ∪ +∞

x 7−→

0 si x ∈ U,

+∞ si x /∈ U.

Définition B.0.4 (Fonction semi-continue inférieurement). Soit E est un espace vectoriel normé.Une fonction f : E → R est semi-continue inférieurement en x ∈ E si pour tout ε > 0, il existeλ > 0 tels que pour tout y ∈ E,

‖x− y‖E ≤ λ =⇒ f(y) ≥ f(x)− ε.

On dit que la fonction f est semi-continue inférieurement sur E si elle est semi-continue inférieu-rement en tout point de E.

Remarque B.0.5. On peut remarquer que, si la fonction f : E → R est continue en un pointx ∈ E, alors elle est aussi semi-continue inférieurement en ce point.

Proposition B.0.6. Si E est un espace vectoriel normé réel alors :

— f est convexe sur E si et seulement si epif est convexe ;

— f est semi-continue inférieurement sur E si et seulement si epif est un fermé de E.

Par cette proposition, on en déduit le corollaire suivant.

Corollaire B.0.7. Soient E un espace vectoriel normé, U un sous-ensemble de E et IU l’indicatricedu sous-ensemble U. Alors :

— IU est convexe si et seulement si U est un convexe ;

— IU est semi-continue inférieurement si et seulement si U est un fermé de E.

Définition B.0.8 (Sous-gradient et sous-différentiel). Soient (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert,f : V → R ∪ +∞ une fonction propre et x ∈ domf . On dit que f est sous-différentiable en x

s’il existe un élément u ∈ V tel que

〈u, y − x〉V ≤ f(y)− f(x), ∀y ∈ V.

On dit alors que u est un sous-gradient de f en x, et on appelle sous-différentiel de f en x, noté∂f(x), l’ensemble des sous-gradients de f en x.

Définition B.0.9. Soit V un espace de Hilbert. On note Γ0(V) l’ensemble des fonctions f : V→R ∪ +∞ telles que f soit convexe, semi-continue inférieurement et propre.

Définition B.0.10 (Opérateur proximal). Soit (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert et f ∈ Γ0(V).L’opérateur proximal associé à f est proxf : V→ V défini pour x ∈ V par

proxf (x) = argminy∈V

[f(y) +

1

2‖y − x‖2V

]= (I + ∂f)−1(x).

83

Remarque B.0.11. Comme f ∈ Γ0(V), alors ∂f est un opérateur monotone maximal et proxfest bien défini et univoque (pour plus de résultats sur cet opérateur, voir [16]). On a en particulierle résultat important suivant :si y = proxf (x) alors,

y = (I + ∂f)−1(x),

si et seulement six ∈ (I + ∂f)(y),

si et seulement six− y ∈ ∂f(y).

Dans la suite, on considère (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert et (At)t≥0 une famille paramétréede sous-ensemble de V.

Définition B.0.12. Limite intérieure/extérieure.La limite intérieure de la famille paramétrée (At)t≥0 est définie par

lim inf At :=x ∈ V, ∀(tn)n∈N → 0+,∃ (xn)n∈N → x, ∃N ∈ N,∀n ≥ N, xn ∈ Atn

,

et la limite extérieure par

lim supAt :=x ∈ V, ∃(tn)n∈N → 0+,∃ (xn)n∈N → x,∀n ∈ N, xn ∈ Atn

.

Définition B.0.13. Limite faible-intérieure/faible-extérieure.La limite faible-intérieure de la famille paramétrée (At)t≥0 est définie par

w-lim inf At :=x ∈ V, ∀(tn)n∈N → 0+,∃ (xn)n∈N x,∃N ∈ N,∀n ≥ N, xn ∈ Atn

,

et la limite faible-extérieure par

w-lim supAt :=x ∈ V, ∃(tn)n∈N → 0+,∃ (xn)n∈N x,∀n ∈ N, xn ∈ Atn

.

Remarque B.0.14. On rappelle que, si (xn)n∈N est une suite d’éléments de V qui convergefortement vers x, alors elle converge aussi faiblement vers x. On a alors les inclusions suivantes :

lim inf At ⊂ lim supAt ⊂ w-lim supAt,

etlim inf At ⊂ w-lim inf At ⊂ w-lim supAt.

Définition B.0.15 (Mosco-convergence). On dit que la famille paramétrée (At)t≥0 est Mosco-convergente si

w-lim supAt ⊂ lim inf At,

et alors toutes les limites définies précédemment sont égales. On note alors

M-limAt := lim inf At.

Définition B.0.16 (Mosco épi-convergence). Soit une famille paramétrée de fonctions (ft)t≥0

telles que ft : V → R ∪ ±∞ pour tout t ≥ 0. On dit que (ft)t≥0 est Mosco épi-convergente si(epift)t≥0 est Mosco-convergente.On note alors ME-limft : V → R ∪ ±∞, la fonction dont l’épigraphe est M-lim epift et on ditque (ft)t≥0 Mosco épi-converge vers ME-limft.

84

Remarque B.0.17. On peut également définir l’épi-convergence (faible-)intérieure/extérieure dela famille paramétrée de fonctions (ft)t≥0. On note alors :

— e-lim inf ft la fonction dont l’épigraphe est lim supt ft ;

— e-lim sup ft la fonction dont l’épigraphe est lim inft ft ;

— e-w-lim inf ft la fonction dont l’épigraphe est w-lim sup ft ;

— e-w-lim sup ft la fonction dont l’épigraphe est w-lim inf ft.

Ainsi, (ft)t≥0 est Mosco épi-convergente si et seulement si ces limites sont égales. On a alors

ME-limft = e-lim inf ft = e-lim sup ft = e-w-lim inf ft = e-w-lim sup ft.

La proposition suivante est issue de [5], Proposition 3.19 p.297.

Proposition B.0.18 (Caractérisation de la Mosco épi-convergence). Soit (ft)t≥0 une famille pa-ramétrée de fonctions telle que ft : V→ R ∪ ±∞, pour tout t ≥ 0. Soit f : V→ R ∪ ±∞.Alors (ft)t≥0 Mosco épi-converge vers f si et seulement si ∀x ∈ V :

1. Il existe une suite (xt)t≥0 → x, telle que lim sup ft(xt) ≤ f(x) ;

2. Pour toute suite (xt)t≥0 x, alors lim inf ft(xt) ≥ f(x).

Nous introduisons maintenant des définitions et un théorème qui sont à la base des résultatsobtenus dans ce rapport et qui peuvent être trouvés dans [18].

Définition B.0.19 (Épi-différentiable d’ordre 2). Soit (V, 〈·, ·〉V) un espace de Hilbert et soit f ∈Γ0(V). On dit que f est épi-différentiable d’ordre 2 en x ∈ domf pour y ∈ ∂f(x) si

(δ2t f(x|y)

)t>0

définie pour t > 0 par

δ2t f(x|y) : V −→ R ∪ +∞

z 7−→f(x+ tz)− f(x)− t 〈y, z〉V

t2,

est Mosco épi-convergente. On note alors

d2ef(x|y) := ME-lim δ2

t f(x|y).

On dit alors que d2ef(x|y) est l’épi-dérivée du second ordre de f en x pour y.

Dans la définition de l’épi-différentielle d’ordre 2, la fonction f ne dépend pas du paramètret. On peut cependant être amené à étudier l’épi-différentielle d’ordre 2 dans le cas où la fonctionf dépend également du paramètre t. Cela nous conduit à la définition qui va suivre (voir [1],Définition 3.9, page 1709 pour plus de détails), mais avant cela, pour (V, 〈·, ·〉V) un espace deHilbert et f : R+ ×V→ R ∪ +∞ une fonction, nous introduisons les notations suivantes :

— Γ0(·,V) est l’ensemble des fonctions f : R+ × V → R ∪ +∞ telles que pour tout t ≥ 0,f(t, ·) ∈ Γ0(V) ;

— ∂f(0, ·)(x) désigne le sous-différentielle de la fonction, w ∈ V 7→ f(0, w) ∈ R ∪ +∞, enx ∈ V.

— f−1(·,R) := x ∈ V, ∀t ≥ 0, f(t, x) ∈ R .

85

Définition B.0.20 (Épi-différentiable d’ordre 2 dépendant d’un paramètre). Soit (V, 〈·, ·〉V) unespace de Hilbert et f : R+ × V → R ∪ +∞ telle que f ∈ Γ0(·,V). On dit que f est épi-différentiable d’ordre 2 en x ∈ f−1(·,R) pour y ∈ ∂f(0, ·)(x) si

(∆2tf(x|y)

)t>0

définie pour t > 0

par

∆2tf(x|y) : V −→ R ∪ +∞

z 7−→f(t, x+ tz)− f(t, x)− t 〈y, z〉V

t2

,

est Mosco épi-convergente. On note alors

D2ef(x|y) := ME-lim ∆2

tf(x|y).

On dit alors encore que D2ef(x|y) est l’épi-dérivée du second ordre de f en x pour y.

Le théorème suivant est un cas particulier du théorème 4.15 page 16 du papier [1] où la preuvepeut y être trouvée.

Théorème B.0.21. Soit (V, 〈·, ·〉V) un espace de hilbert et f ∈ Γ0(·,V). Soit une fonction F :

R+ → V et considérons u : R+ → V définie pour tout t ≥ 0 par

u(t) := proxf(t,·)(F (t)).

Si les hypothèses suivantes sont vérifiées :1. F est dérivable en t = 0 ;2. f est épi-différentiable d’ordre 2 (au sens de la Définition B.0.20), en u(0) pour F (0)−u(0) ∈

∂f(0, ·)(u(0)) ;3. D2

ef(u(0)|F (0)− u(0)) ∈ Γ0(V) ;alors u est dérivable en t = 0 et

u′(0) = proxD2ef(u(0)|F (0)−u(0))(F

′(0)).

C Annexe : algorithmes de "switching"

Dans cette annexe nous expliquons le fonctionnement de l’algorithme utilisé pour résoudre leproblème de Signorini (2.4) de la section 2, qui est issu de l’article de J.M. Aitchison et M.WPoole [3], ainsi que son adaptations au problème de Tresca (2.7) de la même section 2 (le cas dela section 3 se traitant de la même manière). Nous reprenons donc les notations déjà introduitesdans la section 2.

C.1 Algorithme de "switching" pour le problème de Signorini

Soit le problème de Signorini (2.4), qui on le rapelle est donné par

−∆u+ u = f dans Ω,

∂nu = h sur ΓSN,

u = 0 sur ΓSD,

u ≤ 0, ∂nu ≤ h et u∂nu = uh sur ΓS−,

u ≥ 0, ∂nu ≥ h et u∂nu = uh sur ΓS+,

où Γ = ΓSN∪ ΓSD

∪ ΓS− ∪ ΓS+. Le principe de l’agorithme repose sur l’itération suivante.

86

— 1ère étape.On commence dans un premier par résoudre numériquement le cas plus simple

−∆u0 + u0 = f dans Ω,

∂nu0 = h sur ΓSN,

u0 = 0 sur ΓSD,

u0 = 0 sur ΓS−,

u0 = 0 sur ΓS+,

et on vérifie si les conditions de Signorini sont bien vérifiées sur ΓS− et ΓS+, c’est-à-diresi, ∂nu0 ≤ h sur ΓS− et ∂nu0 ≥ h sur ΓS+. Si c’est le cas, alors nous avons la solution duproblème de Signorini (2.4). Sinon, on passe à la deuxième étape.

— 2ème étape.Soit Γ1

S−,N ⊂ ΓS− tel que ∂nu0 > h. Nous définissons alors Γ1S−,D := ΓS−\Γ1

S−,N . De lamême manière, soit Γ1

S+,N ⊂ ΓS+ tel que ∂nu0 < h, alors on définit Γ1S+,D := ΓS+\Γ1

S+,N .On résout alors numériquement le problème suivant :

−∆u1 + u1 = f dans Ω,

∂nu1 = h sur ΓSN,

u1 = 0 sur ΓSD,

u1 = 0 sur Γ1S−,D ⊂ ΓS−,

∂nu1 = h sur Γ1S−,N ⊂ ΓS−,

u1 = 0 sur Γ1S+,D ⊂ ΓS+,

∂nu1 = h sur Γ1S+,N ⊂ ΓS+.

Si ∂nu1 ≤ h sur Γ1S−,D, u1 ≤ 0 sur Γ1

S−,N , ∂nu1 ≥ h sur Γ1S+,D et u1 ≥ 0 sur Γ1

S+,N , alors u1

est solution du problème de Signorini (2.4). Sinon on passe à la troisième étape.

— 3ème étape.Soit Γ2

S−,N ⊂ Γ1S−,D tel que ∂nu1 > h, on définit alors Γ2

S−,D := Γ1S−,D\Γ2

S−,N .

Soit ˜Γ2S−,D ⊂ Γ1

S−,N tel que u1 > 0, on définit alors ˜Γ2S−,N := Γ1

S−,N\˜Γ2S−,D.

On définit alors Γ2S−,D := Γ2

S−,D ∪˜Γ2S−,D et Γ2

S−,N := Γ2S−,N ∪

˜Γ2S−,N . On effectue ensuite

le même raisonnement pour définir Γ2S+,D et Γ2

S+,N et on résout numériquement le problèmesuivant :

−∆u2 + u2 = f dans Ω,

∂nu2 = h sur ΓSN,

u2 = 0 sur ΓSD,

u2 = 0 sur Γ2S−,D ⊂ ΓS−,

∂nu2 = h sur Γ2S−,N ⊂ ΓS−,

u2 = 0 sur Γ2S+,D ⊂ ΓS+,

∂nu2 = h sur Γ2S+,N ⊂ ΓS+.

Si ∂nu2 ≤ h sur Γ2S−,D, u2 ≤ 0 sur Γ2

S−,N , ∂nu2 ≥ h sur Γ2S+,D et u2 ≥ 0 sur Γ2

S+,N , alors u2

est solution du problème de Signorini (2.4). Sinon on recommence cette étape.

87

C.2 Algorithme de "switching" pour le problème de Tresca

Soit le problème de Tresca (2.7), c’est-à-dire défini par−∆u+ u = f dans Ω,

|∂nu| ≤ g et u∂nu = −g|u| sur Γ.

L’algorithme suit la même logique que celui pour le problème de Signorini ci-dessus.— 1ère étape.

On résout numériquement le cas suivant :−∆u0 + u0 = f dans Ω,

u0 = 0 sur Γ.

Si |∂nu0| ≤ g alors u0 est la solution du problème de Tresca (2.7). Sinon on passe à l’étapesuivante.

— 2ème étape.Soit Γ1

T−,N ⊂ Γ tel que ∂nu0 < −g et soit Γ1T+,N ⊂ Γ tel que ∂nu0 > g. Définissons alors

Γ1D = Γ\Γ1

T−,N ∪ Γ1T+,N . On résout alors numériquement le problème suivant :

−∆u1 + u1 = f dans Ω,

u1 = 0 sur Γ1D ⊂ Γ,

∂nu1 = −g sur Γ1T−,N ⊂ Γ,

∂nu1 = g sur Γ1T+,N ⊂ Γ.

Si |∂nu1| ≤ g sur Γ1D et u1∂nu1 = −g|u1| sur Γ1

T−,N∪Γ1T+,N , alors u1 est solution du problème

de Tresca (2.7). Sinon on passe à la troisième étape.— 3ème étape.

Soit Γ2T−,N ⊂ Γ1

D tel que ∂nu1 < −g et soit Γ2T+,N ⊂ Γ1

D tel que ∂nu1 > g, alors on définit

Γ2D = Γ1

D\Γ2T−,N ∪ Γ2

T+,N .

Soit ˜Γ2D ⊂ Γ1

T−,N tel que u1∂nu1 6= −g|u1|, c’est-à-dire u1 < 0. On définit alors ˜Γ2T−,N :=

Γ1T−,N\

˜Γ2D.

Soit˜Γ2D ⊂ Γ1

T+,N tel que u1∂nu1 6= −g|u1|, c’est-à-dire u1 > 0. On définit alors ˜Γ2T+,N :=

Γ1T+,N\

˜Γ2D.

Ainsi on définitΓ2D := Γ2

D ∪˜Γ2D ∪

˜Γ2D,

Γ2T−,N := Γ2

T−,N ∪˜Γ2T−,N ,

Γ2T+,N := Γ2

T+,N ∪˜Γ2T+,N .

On résout alors numériquement le problème :−∆u2 + u2 = f dans Ω,

u2 = 0 sur Γ2D ⊂ Γ,

∂nu2 = −g sur Γ1T−,N ⊂ Γ,

∂nu2 = g sur Γ2T+,N ⊂ Γ.

Si |∂nu2| ≤ g sur Γ2D et u2∂nu2 = −g|u2| sur Γ2

T−,N∪Γ2T+,N , alors u2 est solution du problème

de Tresca (2.7). Sinon on recommence cette étape.

88

Références

Références

[1] S. Adly et L. Bourdin, Sensitivity analysis of variational inequalities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of the proximity operator. SIAM Journal on Opti-mization Vol. 28, No. 2, pp. 1699–1725.

[2] S. Adly, L. Bourdin, F. Caubet, The derivative of a parameterized mechanical contact problemwith a Tresca’s friction law involves Signorini unilateral conditions. 2019. hal-02368180.

[3] J.M. Aitchison et M.W. Pool, A numerical algorithm for the solution of Signorini problems. J.Comput. Appl. Math., 94(1) :55–67, 1998.

[4] G. Allaire, Analyse numérique et optimisation. Éditions de l’École Polytechnique.[5] H. Attouch, Variational convergence for functions and operators. Applicable Mathematics Se-

ries. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984.[6] F. Ben Belgacem et Y. Renard, Hybrid finite element methods for the Signorini problem. Math.

Comp., 72(243) :1117–1145, 2003.[7] H. Brezis, Analyse fonctionnelle : Théorie et applications. Éditions Masson.[8] F. Chouly et P. Hild, A Nitsche-based method for unilateral contact problems : numerical ana-

lysis. SIAM J. Numer. Anal., 51(2) :1295–1307, 2013.[9] C.-A. Coulomb Théorie des machines simples, en ayant égard au frottement de leur partie

et à la raideur des cordages. Mémoires de mathématique et de physique, Académie royale dessciences, vol. 10, 1785, p. 161-332.

[10] R. Dautray et J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology : Volume 2 Functional and Variational Methods. Springer.

[11] G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Éditions Dunod.[12] G. Duvaut et J.L. Lions, Les inéquations en mécanique et physique. Éditions Dunod.[13] F. Hecht, FreeFEM Documentation. https://doc.freefem.org/.[14] F. Kuss, Méthodes duales pour les problèmes de contact avec frottement. Mécanique

[physics.med-ph]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2008.[15] A. Maury, G. Allaire et F. Jouven, Shape optimisation with the level set method for contact

problems in linearised elasticity. SMAI Journal of Computational Mathematics, Société de Ma-thématiques Appliquées et Industrielles (SMAI), 2017, 3, pp.249-292.

[16] N. Pustelnik, Monotone operator splitting methods and proximal algorithms. Applications inimage recovery. Summer School BigOptim 2015.

[17] N. Pustelnik, Optimisation convexe non-lisse. Cours ENS LYON.[18] R. T. Rockafellar, Generalized second derivatives of convex functions and saddle functions.

Trans. Amer. Math. Soc., 322(1) :51–77, 1990.[19] R.T. Rockafellar et R. J-B. Wets, Variational analysis. Volume 317 of Grundlehren der Mathe-

matischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag,Berlin, 1998.

[20] A. Signorini, Sopra alcune questioni di statica dei sistemi continui. Ann. Scuola Norm. Super.Pisa Cl. Sci. (2), 2(2) :231–251, 1933.

89