Probabilités

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Francis Maisonneuve

Préface

Être titulaire pendant plus de quinze ans des quatre chaires d’enseignementdu tronc commun de mathématiques du cycle ingénieurs civils de l’Ecole desMines de Paris est une gageure que peu auraient accepté de relever.

Bénéficier, dans l’exercice de ce travail, du respect et du soutien constant de sesélèves, qui, s’ils n’ont pas tous pu, su ou voulu apprécier la richesse du problèmede Cauchy, ont toujours en revanche loué la rigueur scientifique et la qualitépédagogique des cours et supports de cours de mathématiques, bénéficier dece soutien et de ce respect donc est certainement ce qui restera quand viendrale temps de saluer ce grand professeur qu’est Francis Maisonneuve.

Je sais que ces ouvrages resteront longtemps une référence, et espère que lespromotions futures et autres lecteurs sauront apprécier la finesse et la qualitéde ce qui leur est proposé ici.

Je souhaite à tous les établissements d’enseignement de disposer de tels cours.

Nicolas CheimanoffDirecteur de l’EnseignementMINES ParisTech

Remerciements

Je tiens à exprimer ma reconnaissance aux jeunes — et moins jeunes — ma-thématiciens professionnels et ingénieurs de recherche qui m’ont fait l’honneurd’animer une ou plusieurs années les séances d’exercices illustrant les élémentsde cours, et qui m’ont suggéré à cette occasion de multiples améliorations tou-chant au fond comme à la forme. Je tiens aussi à remercier les nombreuxétudiants « utilisateurs » qui, par la qualité de leurs questions, la rigueur deleurs critiques ou la logique apparente de certaines interprétations parfois fortéloignées de celles escomptées, ont contribué à faire évoluer la rédaction desdocuments vers plus de clarté.

De manière plus générale, je voudrais souligner la qualité des relations intel-lectuelles et humaines qui prévaut à tout niveau dans l’établissement où j’ai leplaisir d’exercer mon métier d’enseignant mathématicien depuis de nombreusesannées, et où s’expriment des talents très divers. Que tous en soient remerciés !

Francis Maisonneuve

Introduction historique

Les idées de hasard et de probabilité semblent présentes dans toutes les sociétéshumaines, où elles s’insèrent plus ou moins aisément dans les systèmes religieuxet les interrogations philosophiques développés par ces diverses cultures.

L’idée de quantifier les probabilités et de chercher à les calculer, avérée enOccident dès le xv e siècle, va concerner exclusivement les jeux de hasard ànombre fini de cas possibles ; il faudra en fait attendre le xvii e siècle, avecPascal et Fermat (puis Huygens), pour que commencent à être clairementdistinguées les notions de probabilité et d’espérance dans le cadre naissant ducalcul combinatoire.

Au xviii e siècle Jacques Bernoulli et Abraham de Moivre dégagent et éta-blissent les premières lois des grands nombres ; le recours à l’analyse mathé-matique, qui permet de se dégager du calcul combinatoire, s’affirme avec legrand traité de Laplace, puis les travaux de Poisson, Markov . . . au xix e siècle.Parallèlement la prise de conscience que le champ d’application du calcul desprobabilités déborde largement les jeux de hasard apparaît enfin avec Buffonet Condorcet ; la naissance ultérieure de la statistique moderne en Angleterreaffirmera définitivement ce caractère de généralité.

Avec le mathématicien Emile Borel, qui démontre en 1908 la fondamentaleloi forte des grands nombres au moyen de la notion de mesure σ-additive, sefait jour la perspective éclairante de fonder le calcul des probabilités sur lathéorie de la mesure et de l’intégrale de Lebesgue ; ce sera chose faite en 1933avec l’axiomatique des probabilités développée par le mathématicien Kolmo-gorov, et à présent acceptée par l’ensemble des probabilistes. Elle déterminela présentation retenue dans ce cours.

La théorie des probabilités et la modélisation probabiliste jouent un rôle crois-sant dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées, de la phy-sique et des sciences de l’ingénieur. Les processus stochastiques sont couram-ment utilisés pour modéliser des phénomènes mécaniques, économiques, . . . se

x INTRODUCTION HISTORIQUE

déroulant dans le temps ou/et l’espace. La statistique mathématique (paramé-trique) part de données d’observation qu’elle considère comme un échantillondans le cadre d’un modèle de lois probabilistes, en vue d’évaluer certains para-mètres afin de les connaître ou pour tester certaines hypothèses. Enfin diversesméthodes de simulation aléatoire permettent le calcul approché d’un paramètreou l’estimation aux moindres carrés d’une variable aléatoire partiellement in-connue, dans des situations où tout traitement analytique paraît exclu.

Chapitre 1

Probabilités des événements

1.1 Notion d’expérience aléatoire

La notion première de la théorie des probabilités est celle d’expérience aléatoire,c’est-à-dire d’expérience sur un système dont le résultat (ou l’état résultant)n’est pas connu d’avance et peut varier si on répète l’expérience dans desconditions identiques.

Exemples 1.1.1

a) Jeux de hasard (loterie, jet de dés, jeux de pile ou face de durée finie ouinfinie)

b) Durée de fonctionnement d’un appareil

c) Point de chute d’un projectile

d) Trajectoire de ce projectile pendant un intervalle de temps [t1, t2](t1 <t2).

Une telle expérience produit par hypothèse un unique résultat – que l’on notetraditionnellement ω – parmi un ensemble de résultats possibles (éventua-lités), ensemble encore appelé univers et noté Ω.

Une expérience aléatoire peut donc être représentée mathématiquement commele simple tirage au hasard d’un élément ω dans un ensemble Ω.

Exemples 1.1.2, suite (énoncer la proposition correspondante)a) – Loterie : Ω = [[1, n]] ⊂ N, sous-ensemble des numéros émis.

2 chapitre 1. PROBABILITÉS DES ÉVÉNEMENTS

– Jet de 2 dés : ω = (x, y) avec 1 ≤ x, y ≤ 6, d’où Ω = [[1, 6]]2 ⊂ N2.– Jeu de pile ou face de durée infinie : en codant par exemple 0 pour

pile et 1 pour face, les ω sont des suites dans 0,1, d’où Ω = 0, 1N.

b) Ω = N ou R+ selon le mode de mesure de la durée de vie.

c) ω = (x, y), couple de coordonnées du point dans un repère donné, d’oùΩ = R2.

d) Ω = C2([t1, t2]), ensemble des applications de classe C2 de [t1, t2] dansR3.

Ces exemples illustrent la souplesse de cette formalisation, mais aussi la rapidecomplexité de l’univers Ω.

Il est de plus souvent utile de pouvoir considérer une suite de répétitionsde la même expérience aléatoire, le résultat global étant formé de la suitedes résultats successifs. L’univers relatif à cette expérience globale est alorssimplement ΩN(cf. pile ou face).

Notons enfin que, contrairement à ce que semblent suggérer les exemples précé-dents, il peut y avoir des manières bien différentes de représenter les résultatsd’une même expérience aléatoire, ce qui conduit à des choix d’univers Ω plusou moins économiques ou judicieux (cf. exercices).

1.2 Evénements relatifs à une expérience aléatoire

On appelle événement relatif à une expérience aléatoire une proposition énon-çant une propriété du système, qui est vérifiée (et on dit alors que l’événe-ment est réalisé) ou non selon le résultat obtenu à l’issue de l’expérience.

On peut alors, adoptant le point de vue ensembliste, identifier un événementau sous-ensemble (ou partie) de Ω constitué des résultats pour lesquelsil est réalisé :

proposition A ' ω ∈ Ω : A est réalisé pour ω.

Exemples 1.2.1, fin (énoncer la proposition correspondante)

a) 2 dés : A = ω = (x, y) ∈ [[1, 6]]2 : x+ y ≥ 10

b) A = [t1, t2] où 0 < t1 < t2

c) A = ω = (x, y) ∈ R2 :√x2 + y2 ≤ r

1.2. Evénements relatifs à une expérience aléatoire 3

d) A = ω ∈ C2([t1, t2]) : supt∈[t1,t2]

‖ω(t)‖2 ≤ r (‖ ‖2 désignant la norme

euclidienne de R3).

Correspondance entre opérations logiques et ensemblistes

Terminologie probabiliste Terminologie ensembliste Notations

événement certain ensemble entier Ω

événement impossible ensemble vide ∅

événement contraire complémentaire Ac

événement atomique singleton ω

implication inclusion (au sens large) ⊂

et intersection ∩

ou (non exclusif) réunion ∪

événements incompatibles parties disjointes A1 ∩A2 = ∅

ou exclusif (dans ce cas) réunion disjointe A1 ]A2

système exhaustif d’événts partition⊎nAn = Ω

(un et un seul se réalise) (finie ou dénombrable)

Etant donné un ensemble (ou classe) de propositions énonçables sur l’expé-rience aléatoire, on peut toujours lui rajouter les événements certain et im-possible et en fabriquer d’autres par les opérations logiques les plus courantesrappelées ci-dessus : contraire, ainsi que et et ou, pour toute suite finie oumême infinie en vue de passages à la limite.

Du point de vue ensembliste, ceci revient d’après le tableau ci-dessus à consi-dérer comme “complète” une classe d’événements A ⊂ P(Ω) vérifiant les troispropriétés :

(1) Ω ∈ A et ∅ ∈ A

(2) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A

(3) ∀n ∈ N, An ∈ A ⇒⋃nAn ∈ A et

⋂nAn ∈ A

qui sont les propriétés spécifiant une tribu de parties de Ω†1.

1Voir par exemple [1], définition 1.1.1


En pratique, on ne s’intéresse dans une expérience aléatoire qu’à la réalisationou non d’une classe très limitée d’événements prédéfinis. Si C ⊂ P(Ω) désigne laclasse de parties de Ω correspondante, C ne constitue pas en général une tribu,mais on rappelle†2 qu’il existe une plus petite tribu au sens de l’inclusioncontenant C, dite tribu engendrée par C et notée T (C) (c’est l’intersection detoutes les tribus contenant C) ; on pose alors A = T (C), et on l’appelle tribudes événements.

Exemples 1.2.2

a) Le cas particulier où C est constitué d’un nombre fini ou dénombrabled’événements incompatibles An, formant partition de Ω. On dit dansce cas que A = T (C) est une tribu explicite, car les éléments de A sontexplicitement les réunions quelconques de An.

En particulier si Ω lui-même est fini ou dénombrable (exemple a du para-graphe 1.1, sauf pile ou face de durée infinie), il est naturel de considérerles événements atomiques ω ; d’où A = P(Ω) dans ce cas.

b) La situation générale où l’on ne peut pas expliciter les éléments de Aà partir de ceux de C , en “trop grand nombre” (exemples b, c et d duparagraphe 1.1).

C’est notamment le cas de la tribu de Borel de Ω = R ou Rn, notéeB, qui est par définition la tribu engendrée par la classe des ouverts, ouencore par la classe des pavés

C = n∏i=1

[ai, bi] : ∀ i ∈ [[1, n]], ai ≤ bi;

dans le cas de R, on peut aussi choisir C = ]−∞, x[ : x ∈ R.Les éléments de la tribu de Borel B = T (C) sont appelés les boréliens.

Le couple (Ω,A) constitué d’une part du “support matériel” — les résultatspossibles ω ∈ Ω—et d’autre part du discours autorisé les concernant— lesévénements A ∈ A—est un espace mesurable appelé en l’occurrence espaceprobabilisable ; et on va étudier comment il est possible de le “probabiliser”.

1.3 Elaboration de la définition des probabilités

Il s’agit d’affecter à tout événement A ∈ A un poids P (A), dit probabilité de A,devant exprimer la plus ou moins grande chance a priori de sa réalisation,notion dont l’existence est posée comme intuitivement évidente.

2Voir par exemple [1], proposition 1.1.3

1.3. Elaboration de la définition des probabilités 5

A – Point de vue “empirique” des fréquences statistiques

L’idée est qu’on doit parvenir à révéler et à évaluer la probabilité d’un évé-nement A en répétant un grand nombre de fois sans interaction et dans desconditions identiques l’expérience aléatoire correspondante, et en observant lafréquence de réalisation de A.

De fait, si l’on note nA le nombre de fois où A se réalise au cours de n répé-titions de l’expérience, on constate que la fréquence expérimentale nA/nfluctue de moins en moins lorsque n augmente, autour d’une valeur limitef(A) appelée fréquence (ou encore probabilité) statistique de A : ce phénomènefondamental est appelé loi empirique des grands nombres (bien sûr, des fluc-tuations importantes de nA/n restent toujours possibles mais elle s’avèrentde plus en plus rares lorsque n augmente).

On retient les propriétés évidentes de structure de la fréquence statistique f :

f(∅) = 0 , f(A) ≥ 0 , f(Ω) = 1 , f(A ∪A′) = f(A) + f(A′) si A ∩A′ = ∅.

B – Axiomes des probabilités

On va poser les axiomes de définition des probabilités par analogie avec lespropriétés de la fréquence statistique ; cela fait, il sera possible de développermathématiquement la théorie des probabilités sans autre recours à l’obser-vation des phénomènes physiques. Conformément à la démarche scientifiquehabituelle, c’est en dernier ressort le seul contrôle expérimental des prévisionsissues de la théorie qui pourra déterminer si celle-ci rend compte correctementdes phénomènes aléatoires et ainsi valider cette dernière : de fait, on parvien-dra à établir que la vitesse de convergence de la fréquence de réalisation d’unévénement A vers sa limite doit être en 1/

√n lorsque le nombre n de répétitions

de l’expérience tend vers l’infini, ce que corrobore l’expérience.

Définition 1.3.1 On appelle probabilité sur (Ω,A) une application P de Adans R telle que :

(1) P (∅) = 0 et ∀A ∈ A, P (A) ≥ 0 (positivité)

(2) P (Ω) = 1 (totalité)

(3) Pour toute suite (An)n∈N d’éléments 2 à 2 disjoints de A,

P (⊎n∈N

An) =

∞∑n=0

P (An) (σ-additivité)


Sur le plan mathématique, une probabilité est donc simplement une mesurepositive finie de masse 1 sur A†3.

En particulier, on a la propriété d’additivité simple : pour A0, · · · , An éléments2 à 2 disjoints de A,

P (⊎

0≤i≤nAi) =

n∑i=0

P (Ai) (poser ∀ i ≥ n+ 1, Ai = ∅).

Si P (A) = 1, on dit que A est presque certain ou presque sûr, et si P (A) = 0,on dit que A est presque impossible ; si f et g sont deux fonctions définies surΩ telles que A = ω ∈ Ω : f(ω) 6= g(ω) est presque impossible, on note f ps

= get on dit que f et g sont égales presque sûrement.

Le triplet (Ω,A, P ) est un espace mesuré appelé en l’occurrence espace proba-bilisé ; et tout ce chapitre se résume à ce stade à ceci :

Toute expérience aléatoire se modélise parla donnée d’un espace probabilisé (Ω,A, P )

Il est instructif de réfléchir au véritable tour de passe-passe conceptuel queconstitue cette approche, par laquelle on prétend rendre compte de la notionde hasard tout en l’évacuant totalement du formalisme, au bénéfice d’objetspurement déterministes (ensembles, applications).

En fait, on a substitué à l’expérience aléatoire réelle, singulière et imprévi-sible, la collection virtuelle de tous ses résultats possibles et des probabilitésde réalisation a priori des événements associés. Cette “mise à plat” supposeidéalement connu le système sur lequel porte l’expérience et réduit ainsi lephénomène aléatoire à une situation schématique et figée de tirage au sort d’unélément ω dans une “urne” Ω parfaitement identifiée. Cette vision “mécaniste”s’avère cependant d’une extraordinaire fécondité, car elle autorise le raison-nement déductif et l’emploi des méthodes de l’analyse mathématique dans ledomaine de l’incertain.

C – Point de vue “logique” du principe de symétrie

On appelle modèle discret le cas où Ω est fini (ou dénombrable) et A = P(Ω) ;toute probabilité P sur un tel espace probabilisable vérifie

3Voir par exemple [1], paragraphe 2.1

1.4. Propriétés élémentaires de la probabilité 7

∀A ⊂ Ω, P (A) =∑ω∈A

p(ω), où p : Ω→ R est un poids,

c’est-à-dire : (∗) ∀ω ∈ Ω, p(ω) = P (ω) ≥ 0 et∑ω∈Ω

p(ω) = 1.

Ainsi P =∑ω∈Ω

p(ω) δω ,

δω désignant la mesure de Dirac en ω, caractérisée par la relation

∀A ∈ A, δω(A) = 1lA(ω),

valeur en ω de l’indicatrice de A, à savoir 1 si ω ∈ A et 0 sinon.

Inversement, pour toute famille finie ou dénombrable de coefficients (p(ω))ω∈Ω

vérifiant les conditions (∗) ci-dessus, la formule encadrée définit une probabilitéP comme somme pondérée des probabilités δω.

Dans le cas d’un système n’admettant qu’un nombre fini de configurationspossibles, des considérations de symétrie a priori du système, ou même sim-plement “d’égale ignorance” sur son évolution, peuvent conduire à définir Ω detelle sorte qu’aucun résultat ω ne soit privilégié, c’est-à-dire que les événementsatomiques ω soient équiprobables (p constant).

Si on note card (A) le cardinal d’un ensemble A, on a alors nécessairement :

∀ω ∈ Ω, p(ω) =1

card (Ω)et ∀A ⊂ Ω, P (A) =

card (A)

card (Ω)=

nb cas favorablesnb cas possibles

,

c’est-à-dire que la seule probabilité P vérifiant ce principe de symétrie est laprobabilité uniforme sur Ω : on peut alors, dans un tel contexte, faire l’économiede toute référence à la loi empirique (telle était la définition “générale” dela probabilité encore proposée en 1812 faute de mieux par le mathématicienLaplace).

Ces calculs de cardinaux d’ensemble, qui historiquement représentaient l’es-sentiel du calcul des probabilités, sont en général de nature combinatoire :dénombrements d’échantillons au moyen d’arrangements, et de sous popula-tions au moyen de combinaisons (cf. exercices).

1.4 Propriétés élémentaires de la probabilité

On désigne ainsi des propriétés qui concernent seulement un nombre fini d’évé-nements. Ce sont, sauf la dernière (exercice), des conséquences immédiates de


la définition axiomatique d’une probabilité comme mesure positive finie demasse 1 :

1) ∀A ∈ A, P (A) ∈ [0, 1] et P (Ac) = 1− P (A)

2) ∀ (A,B) ∈ A2, (A ⊂ B)⇒ (P (A) ≤ P (B))

3) ∀ (A,B) ∈ A2, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

4) Inégalité de Boole : ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An, P (⋃

1≤i≤nAi) ≤

∑1≤i≤n

P (Ai)

5) Formule de Poincaré : ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An,

P (⋃

1≤i≤nAi) = S1 − S2 + · · ·+ (−1)n−1Sn

oùS1 =

∑1≤i≤n

P (Ai), S2 =∑

1≤i<j≤nP (Ai ∩Aj), . . . , Sn = P (A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An).

1.5 Théorèmes de continuité

A – Continuités croissante et décroissante

On rappelle qu’une suite (An)n∈N d’événements est dite croissante (respecti-vement décroissante) si ∀n ∈ N, An ⊂ An+1 (respectivement An ⊃ An+1).

On définit alors sa limite par :

• cas croissant limn→∞

An =⋃n∈N

An ∈ A (réunion : borne sup pour ⊂)

• cas décroissant limn→∞

An =⋂n∈N

An ∈ A (intersection : borne inf pour ⊂)

Dans les deux cas, la suite (P (An))n∈N est monotone bornée (dans [0, 1]), doncconvergente. Et il suffit d’exprimer les An comme des réunions convenablesd’événements incompatibles pour établir†4 :

Théorème 1.5.1 (de la continuité monotone)

Dans le cas d’une suite (An)n∈N croissante ou décroissante, on a

P ( limn→∞

An) = limn→∞

P (An)

4Voir par exemple [1], théorème 2.1.3

1.6. Probabilité conditionnelle – indépendance des événements 9

B – Compléments

Etant donné une suite (An)n∈N dans A , on définit :

lim infn→∞

An =⋃n∈N

⋂p∈N

An+p = ω ∈ Ω : ω appartient aux An sauf à un nb fini

lim supn→∞

An =⋂n∈N

⋃p∈N

An+p = ω ∈ Ω : ω appartient à une infinité de An

qui vérifient lim infn→∞

An ⊂ lim supn→∞

An.

En cas d’égalité, on dit que la suite converge dans A et on pose :

limn→∞

An = lim infn→∞

An = lim supn→∞

An.

On a les résultats généraux :

Théorème 1.5.2 Si la suite (An)n∈N converge dans A, on a

P ( limn→∞

An) = limn→∞

P (An).

Proposition 1.5.3 (lemme de Borel – Cantelli ) Soit (An)n∈N une suitedans A.

• Si∞∑n=0

P (An) < +∞, alors P (lim supn→∞

An) = 0.

• Si∞∑n=0

P (An) = +∞ et si les An sont mutuellement indépendants

(cf. le paragraphe 1.6.C –), alors P (lim supn→∞

An) = 1.

1.6 Probabilité conditionnelle – indépendance des évé-nements

A – Définition de la probabilité conditionnelle

But : modifier la probabilité affectée à un événement A lorsqu’on disposed’une information partielle sur le déroulement de l’expérience aléatoire, à savoirqu’un autre événement B est réalisé.

Exemple 1.6.1 jet de 2 dés, A = ω = (x, y) ∈ [[1, 6]]2 : x + y ≥ 10 sachantqu’est réalisé


B = ω = (x, y) ∈ [[1, 6]]2 : x = 6 ou B = ω = (x, y) ∈ [[1, 6]]2 : x = 1 ( !)

Construction de la définition, par analogie avec les fréquences statistiques :Etant donné (A,B) ∈ A2, on considère la fréquence expérimentale nA∩B/nBdu nombre de réalisations de l’événement A parmi les nB répétitions de l’ex-périence aléatoire (Ω,A) (sur les n) qui ont réalisé B.

CommenA∩BnB

=nA∩B/n

nB/n, cette fréquence expérimentale converge vers

fA∩BfB

(si fB > 0) ; d’où :

Définition 1.6.2 (axiomatique) Soit (Ω,A, P ) un espace probabilisé et soitB un événement fixé tel que P (B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle àB ou probabilité sachant B (associée à P ) l’application PB = P ( | B) définiesur A par :

∀A ∈ A, PB(A) = P (A | B) =P (A ∩B)

P (B).

On observe que P ( | B) n’est autre que la mesure trace P ( ∩B) = 1lB P deP sur B, au facteur de normalisation 1/P (B) près (pour que ce soit encoreune probabilité). On note

A ⊂ B ⇒ P (A | B) =P (A)

P (B)et A ∩B = ∅ ⇒ P (A | B) = 0 ;

en particulier, comme escompté, P (B | B) = 1 et P (Bc | B) = 0.

On utilise souvent la relation P (A ∩B) = P (A | B)P (B) si P (B) > 0

qui s’étend ensuite par récurrence en :

P (A1 ∩ · · · ∩An) =P (A1 | A2 ∩ · · · ∩An)P (A2 | A3 ∩ · · · ∩An) · · ·P (An−1 | An)P (An)

Permettant la prise en compte de connaissances supplémentaires sur le systèmeétudié, le conditionnement est une notion-clé du calcul des probabilités et dela statistique mathématique. Elle sera reprise et étendue dans la suite (lois etespérance conditionnelles).

B – Probabilités totales et composées

Il s’agit d’une importante méthode de calcul des probabilités par décompositionselon un système exhaustif d’événements (partition)

⊎nBn = Ω :


∀A ∈ A, A = A ∩ (⊎nBn) =

⊎n

(A ∩Bn)

d’où la formule des probabilités totales et composées

P (A) =∑n

P (A∩Bn) =∑n

P (A | Bn)P (Bn)

La première égalité donnant P (A) a une grande utilité pratique. La secondeégalité a aussi une portée théorique, car elle fait apparaître la probabilité apriori P comme une moyenne pondérée des probabilités conditionnelles,notion qui sera reprise et étendue lors de l’étude des lois conditionnelles.

Conséquence : formule de Bayes ou de la “probabilité des causes”

Etant donné un système exhaustif d’événements⊎nBn = Ω, on se demande

quelle est la probabilité de réalisation P (Bn | A) de chacun des Bn sachantqu’un autre événement A s’est réalisé ; ceci dans le but de déterminer lequeld’entre eux a vraisemblablement joué pour produire A (problème “inverse”d’attribution de cause).

Supposant connue la suite des probabilités conditionnelles(P (A | Bn)

)n, on

utilise la symétrie de l’écriture

P (Bn | A)P (A) = P (A ∩Bn) = P (A | Bn)P (Bn)

pour obtenir la formule de Bayes :

pour P (A) > 0,

P (Bn | A) =P (A | Bn)P (Bn)

P (A)=

P (A | Bn)P (Bn)∑i P (A | Bi)P (Bi)

C – Evénements indépendants

L’indépendance de deux événements exprime l’idée que la réalisation de l’unn’influe pas sur (la probabilité de) celle de l’autre. Il s’agit d’une hypothèseprofondément simplificatrice pour les calculs, qui peut être exacte de parla nature même du problème ou du fait d’une certaine symétrie du systèmeconsidéré ; elle peut aussi n’être vérifiée qu’en première approximation.

Définition 1.6.3 (et proposition) Un événement A ∈ A est dit indépen-dant de B si

P (A | B) = P (A) ou (exclusif) P (B) = 0.


Une condition nécessaire et suffisante est alors, du fait de la définition deP (A | B) :

P (A ∩B) = P (A)P (B)

(car P (A ∩ B) = 0 si P (B) = 0) ; de sorte que, symétriquement, B est indé-pendant de A et l’on dit simplement que A et B sont indépendants.

Exemples 1.6.4

a) Jet de 2 dés (simultanément ou successivement), ou encore jet du mêmedé deux fois de suite. On admet par principe l’absence d’interaction entreces lancers, de sorte que tout événement A concernant un seul des lancersest indépendant de tout événement B concernant l’autre.

C’est le cas plus généralement d’événements A et B relatifs à deux ex-périences aléatoires élémentaires, ou à la même expérience répétée deuxfois, sans interaction.

b) Jet d’un seul dé non pipé (équiprobabilité des faces numérotées de 1 à6), A = 2, 4, 6 et B = 5, 6 : A et B sont indépendants, puisque

P (A) =3

6=

1

2, P (B) =

2

6=

1

3et P (A ∩B) = P (6) =

1

6

mais cela tient cette fois à une forme “d’orthogonalité” des deux événe-ments considérés : l’information que le numéro obtenu soit pair ne rendni plus ni moins probable le fait qu’il vaille au moins 5.

Exercice Etant donné deux événements A et B, établir les équivalences :

A et B indépendants ⇔ Ac et B indépendants ⇔ Ac et Bc indépendants.

Indépendance mutuelle de n événements

On généralise la condition nécessaire et suffisante d’indépendance de deux évé-nements, que l’on érige en :

Définition 1.6.5 A1, . . . , An ∈ A sont dits (mutuellement) indépendants si

∀ k ∈ [[2, n]] et ∀ i1, . . . , ik k entiers 2 à 2 distincts de [[1,n]], on a

P (Ai1 ∩ · · · ∩Aik) = P (Ai1) · · ·P (Aik)


Remarques 1.6.6

• Cette définition implique l’indépendance des événements 2 à 2 (choisirk = 2), mais la réciproque n’est pas vraie, comme le montre l’exempled’un jeu consistant en 2 piles ou faces indépendants (Ω = 0, 12, Puniforme), avec

A1 = (x, y) : x = 1 , A2 = (x, y) : y = 1 et A3 = (x, y) : x = y

• Noter que la définition de l’indépendance de A1, . . . , An ∈ A pour n ≥ 3n’est pas P (A1 ∩ · · · ∩An) = P (A1) · · ·P (An) (dire pourquoi).

• La définition s’étend à une suite infinie d’événements, en considéranttoutes les sous suites finies.

La notion de conditionnement peut s’avérer fort subtile, même lorsque lenombre de résultats possibles est fini ; c’est le cas dans l’exercice suivant,où l’on devra déterminer dans les 3 contextes indiqués un triplet (Ω,A, P )convenable pour modéliser l’expérience aléatoire décrite :

En admettant que les sexes F ou M des nouveaux nés sont équiprobables etindépendants, et considérant une famille de deux enfants, déterminer quelle estla probabilité conditionnelle que les deux enfants soient des filles dans chacundes cas :

• je sais que l’aîné des enfants est une fille ; (réponse facile : 1/2)

• on m’a informé que l’un au moins des enfants est une fille ; (réponse : 1/3)

• je sais que l’un au moins des enfants est une fille, suite à sa rencontre,mais j’ignore s’il s’agit de l’aînée ou de la cadette. (réponse plus délicate :1/2)


1.7 Exercices annotés et corrigés

A – Énoncés

1. Dans quelle circonstance particulière deux événements A et B tels quel’événement A ∪ B soit presque sûr sont-ils indépendants ? (réponse : Aou B presque sûr)

2. Soient A et B deux événements tels que P (A) = 3/8 , P (B) = 1/2 etP (A ∩B) = 1/4. Calculer P (Ac | Bc). (réponse : 3/4)

3. Soient A et B deux événements indépendants tels que P (A) = 1/2 etP (A ∪B) = 2/3. Calculer P (Bc | A). (réponse : 2/3)

4. Etablir que deux événements A et B sont indépendants si et seulementsi :

P (A ∩B)P (Ac ∩Bc) = P (A ∩Bc)P (Ac ∩B).

(exprimer les deux membres de l’égalité en fonction de P (A) , P (B) et P (A∩B)

pour A et B quelconques)

5. Soient A, B et C trois événements indépendants 2 à 2, avec P (C) > 0.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur A, B et C pour queA et B soient indépendants relativement à la probabilité conditionnelleP ( | C), à la place de P . (réponse : A, B et C mutuellement indépendants)

6. On jette une paire de dés non pipés. Calculer la probabilité p pour que lasomme obtenue soit supérieure ou égale à 10, sachant que l’un au moinsdes deux dés a donné 5. (réponse : 3/11)

7. Soit un avion de type A, à 4 réacteurs, et un avion de type B, à 2 réac-teurs. On suppose que chaque réacteur a, indépendamment des autres,une probabilité p ∈ ]0, 1[ de tomber en panne.

Sachant que la panne d’un seul réacteur n’empêche pas l’avion de type Ad’arriver quand même à destination, choisissez votre moyen de transporten fonction de p. (réponse : A pour p < 2/3 et B pour p > 2/3)

1.7. Exercices annotés et corrigés 15

8. Lors de naissances gémellaires, les vrais jumeaux (un même œuf diviséaprès fécondation) sont de même sexe ; tandis que les faux jumeaux (deuxœufs fécondés) peuvent être de même sexe ou de sexes différents avec lamême probabilité 1/2.

On s’intéresse ici à la proportion de vrais jumeaux. On considère les évé-

nements :

A ' “ les nouveaux nés sont de vrais jumeaux ”B ' “ les nouveaux nés sont des jumeaux de même sexe ”

.

a) Exprimer P (B) en fonction de P (A). (réponse : (1+P(A))/2)

b) Une étude statistique des naissances gémellaires a montré qu’il y avait35% de jumeaux de sexes opposés. Calculer P (A) et P (A | B).(réponses : 0, 3 et ≈ 0.46)

9. Démontrer le lemme de Borel –Cantelli (cf. le paragraphe 1.5.B –).

(pour le premier cas, généraliser d’abord l’inégalité de Boole à une suite infinied’événements ; pour le second cas, établir lim

q→∞P (

⋂0≤p≤q

Acn+p) = 0 en utilisant

l’inégalité e−u ≥ 1− u pour u ≤ 1 et conclure)

10. Une seule des 3 portes de votre prison mène à la liberté, mais vous ignoreztotalement laquelle . . .

Vous désignez au hasard l’une d’entre elles au gardien, qui se garde devous informer si votre choix est le bon mais qui, histoire de parler, vousdésigne en retour comme mauvaise l’une des deux portes restantes. Avez-vous intérêt à changer votre choix ? (réponse : oui, à méditer . . . )

11. On étudie le problème du tirage sans remise de n boules dans une urnecontenant a boules blanches et b boules rouges (cf. l’exercice 5 du para-graphe 1.8).

On considère l’événement : An+1 ' “ la (n+ 1) e boule tirée est blanche ”(en supposant n ≤ a+ b− 1). Montrer que P (An+1) = a/(a+ b)

(On suggère de conditionner selon les valeurs de K, nombre aléatoire de boulesblanches obtenues lors des n premiers tirages).

On notera que, comme le résultat précédent est encore valable en rem-plaçant n par n′ ≤ n, on a en fait établi (en posant i = n′ + 1) :

∀ i ∈ 1, . . . , n , P (Ai) =a

a+ b

avec Ai ' “ la i e boule tirée est blanche ”. Comment interpréter cerésultat ?


B – Corrigés

1. Dans quelle circonstance particulière deux événements A et B tels quel’événement A ∪B soit presque sûr sont-ils indépendants ?

Solution : On a 1 = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), donc 1 =P (A) + P (B)− P (A)P (B) si et seulement si (ssi) A et B sont indépendants.

Or l’égalité précédente se récrit(1− P (A)

) (1− P (B)

)= 0, qui est vérifiée ssi

A ou B est presque sûr.

2. Soient A et B deux événements tels que P (A) = 3/8 , P (B) = 1/2 etP (A ∩B) = 1/4. Calculer P (Ac | Bc).

Solution :

P (Ac | Bc) =P (Ac ∩Bc)P (Bc)

=P((A ∪B)

c)P (Bc)

=1− P (A)− P (B) + P (A ∩B)

1− P (B);

donc ici P (Ac | Bc) =1− 3

8 −12 + 1

4

1− 12

= 2(

1− 5

8

)= 3/4.

3. Soient A et B deux événements indépendants tels que P (A) = 1/2 etP (A ∪B) = 2/3. Calculer P (Bc | A).

Solution : On a A et B indépendants =⇒ A et Bc indépendants :

en effet P (A∩Bc) = P(A\(A∩B)

)= P (A)−P (A∩B) = P (A)−P (A)P (B) car

A et B sont indépendants, donc P (A∩Bc) = P (A)(1−P (B)

)= P (A)P (Bc).

Ainsi P (Bc | A) = P (Bc) = 1−P (B) ; or P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B)avec A et B indépendants, donc P (B) − P (A)P (B) = P (A ∪ B) − P (A) et

P (B) =P (A ∪B)− P (A)

1− P (A).

On conclut que P (Bc | A) = 1 − P (B) =1− P (A ∪B)

1− P (A), soit ici P (Bc | A) =

1− 23

1− 12

=2

3.

4. Etablir que deux événements A et B sont indépendants si et seulementsi :

P (A ∩B)P (Ac ∩Bc) = P (A ∩Bc)P (Ac ∩B).

Solution : On a P (Ac ∩Bc) = P((A ∪B)

c)= 1−P (A)−P (B) +P (A∩B),

donc


P (A ∩B)P (Ac ∩Bc) = P (A ∩B)− P (A ∩B)(P (A) + P (B)− P (A ∩B)

).

D’autre part

P (A ∩Bc) = P(A \ (A ∩B)

)= P (A)− P (A ∩B)

P (Ac ∩B) = P(B \ (A ∩B)

)= P (B)− P (A ∩B)

, donc

P (A ∩Bc)P (Ac ∩B) = P (A)P (B)− P (A ∩B)(P (A) + P (B)− P (A ∩B)

).

On a donc bienP (A ∩B)P (Ac ∩Bc) = P (A ∩Bc)P (Ac ∩B)⇐⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B).

5. Soient A, B et C trois événements indépendants 2 à 2, avec P (C) > 0.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur A, B et C pour queA et B soient indépendants relativement à la probabilité conditionnelleP ( | C), à la place de P .

Solution : Par définition, on a A et B indépendants relativement à P ( | C)si et seulement si

P (A ∩B | C) = P (A | C)P (B | C), soitP (A ∩B ∩ C)

P (C)= P (A)P (B), car A

et B sont indépendants de C ; et comme A, B et C sont indépendants 2 à 2,cette condition P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) équivaut à

A, B et C mutuellement indépendants.

6. On jette une paire de dés non pipés. Calculer la probabilité p pour que lasomme obtenue soit supérieure ou égale à 10, sachant que l’un au moinsdes deux dés a donné 5.

Solution : On considère les événements de Ω = [[1, 6]]2 :

A = ‘‘ un des deux dés donne 5 ”= (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5) ,

qui est tel que cardA = 11, et

B=“ somme ≥ 10 ”= (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

On a ainsi A ∩ B = (5, 5), (5, 6), (6, 5) ; comme par hypothèse la probabilitéest uniforme sur Ω (dés non pipés), on a

p = P (B | A) =P (A ∩B)

P (A)=

cardA ∩Bcard Ω

card Ω

cardA=

cardA ∩BcardA

=3

11.

7. Soit un avion de type A, à 4 réacteurs, et un avion de type B, à 2 réac-teurs. On suppose que chaque réacteur a, indépendamment des autres,une probabilité p ∈ ]0, 1[ de tomber en panne.


Sachant que la panne d’un seul réacteur n’empêche pas l’avion de type Ad’arriver quand même à destination, choisissez votre moyen de transporten fonction de p.

Solution : On considère les événements

Ai =“ i réacteur en panne sur avion A ” (0 ≤ i ≤ 1)

et B0 =“ 0 réacteur en panne sur avion B ” ;

l’événement “ l’avion A arrive à destination ” est A0 ]A1, de probabilité

P (A0) + P (A1) = (1− p)4+ 4 p (1− p)3

= (1− p)3(1 + 3 p),

et l’événement “ l’avion B arrive à destination ” est B0, de probabilité (1− p)2.

On choisit l’avion A si la première probabilité est plus grande que la seconde,soit si

(1− p) (1 + 3 p) > 1⇐⇒ 2 p− 3 p2 > 0⇐⇒ 2− 3 p > 0⇐⇒ p < 23 ,

et on choisit l’avion B si p > 23 (si p = 2

3 , pas de préférence).

8. Lors de naissances gémellaires, les vrais jumeaux (un même œuf diviséaprès fécondation) sont de même sexe ; tandis que les faux jumeaux (deuxœufs fécondés) peuvent être de même sexe ou de sexes différents avec lamême probabilité 1/2.

On s’intéresse ici à la proportion de vrais jumeaux. On considère lesévénements : A ' “ les nouveaux nés sont de vrais jumeaux ”

B ' “ les nouveaux nés sont des jumeaux de même sexe ”

a) Exprimer P (B) en fonction de P (A).

b) Une étude statistique des naissances gémellaires a montré qu’il y avait35% de jumeaux de sexes opposés. Calculer P (A) et P (A | B).

Solution :

a) On a d’après la formule des probabilités totales et composées

P (B) = P (B | A)P (A) + P (B | Ac)P (Ac),

avec d’après l’énoncé P (B | A) = 1 (car A ⊂ B) et P (B | Ac) = 12 ;

donc P (B) = P (A) + 12

(1− P (A)

), soit P (B) = 1

2

(1 + P (A)

).


b) On a ainsi P (A) = 2P (B) − 1 = 1 − 2P (Bc), et comme P (Bc) = 0, 35,

P (A) = 1− 0, 7 = 0, 3 ; d’autre part on a P (A | B) =P (A ∩B)

P (B)=

P (A)

1− P (Bc),

donc P (A | B) =0, 3

0, 65≈ 0, 46.

On note que P (A | B) > P (A), ce qui est conforme à l’intuition.

9. Démontrer le lemme de Borel –Cantelli (cf. le paragraphe 1.5.B –).

Solution :

• Généralisons d’abord l’inégalité de Boole à une suite infinie d’événements(An)n∈N :

∀n ∈ N, P( ⋃

0≤i≤nAi)≤

n∑i=0

P (Ai) ≤∞∑i=0

P (Ai), donc par continuité croissante

de la probabilité, P( ⋃i∈N

Ai)

= limn→∞

P( ⋃

0≤i≤nAi)≤∞∑i=0

P (Ai)

(pour plus de détails, se reporter au polycopié Calcul Intégral, théorème 2.1.3).

Par définition de lim supn→∞

An =⋂n∈N

⋃p∈N

An+p, on a lim supn→∞

An ⊂⋃p∈N

An+p pour

tout n ∈ N, donc P(lim supn→∞

An)≤ P

( ⋃p∈N

An+p

)≤∞∑p=0

P (An+p) =∞∑p=n

P (Ap)

d’après l’inégalité de Boole généralisée ci-dessus. Si∞∑n=0

P (An) < +∞, on a

limn→∞

∞∑p=n

P (Ap) = 0 (reste d’une série convergente), d’où P(lim supn→∞

An)

= 0.

• Si les An sont mutuellement indépendants, il en est de même des complémen-taires Acn, donc on a pour tout n ∈ N et pour tout q ∈ N :

P (⋂

0≤p≤qAcn+p) =

q∏p=0

P (Acn+p) =n+q∏p=n

(1− P (Ap)

).

Or on a l’inégalité e−u ≥ 1− u pour tout u ∈ R ; on déduit donc

P( ⋂

0≤p≤qAcn+p

)≤

n+q∏p=n

exp[−P (Ap)

]= exp

[−n+q∑p=n

P (Ap)];

si∞∑n=0

P (An) = +∞, on a ∀n ∈ N limq→∞

n+q∑p=n

P (Ap) = +∞, de sorte que

limq→∞

exp[−n+q∑p=n

P (Ap)]

= 0 et donc limq→∞

P( ⋂

0≤p≤qAcn+p

)= 0.

On en déduit P( ⋂p∈N

Acn+p

)= 0 par croissance de P .


Comme (lim supn→∞

An)c = lim infn→∞

Acn =⋃n∈N

⋂p∈N

Acn+p, on conclut par continuité

croissante de P (ou inégalité de Boole généralisée) P((lim supn→∞

An)c)

= 0, c’est-

à-dire P(lim supn→∞

An)

= 1.

10. Une seule des 3 portes de votre prison mène à la liberté, mais vous ignoreztotalement laquelle . . .

Vous désignez au hasard l’une d’entre elles au gardien, qui se garde devous informer si votre choix est le bon mais qui, histoire de parler, vousdésigne en retour comme mauvaise l’une des portes restantes. Avez-vousintérêt à changer votre choix ?

Solution : On peut résoudre la question par simple logique : l’informationdu gardien n’affecte pas la probabilité que votre premier choix de porte soitle bon (1 chance sur trois), mais comme elle disqualifie l’une des deux autresportes, la probabilité que la dernière porte soit la bonne passe de 1 chance surtrois à 2 chances sur trois ! D’où l’intérêt de modifier son choix.

Autrement dit, avec le langage des probabilités en considérant les événementsA = “ la porte choisie est la bonne ” et B = “ la dernière porte est la bonne ”,

on a P (A) =1

3et B = Ac, d’où P (B) =

2

3.

Le problème se généralise à n ≥ 3 portes (dont toujours une seule est bonne)et peut être résolu à l’aide de probabilités conditionnelles :

On considère les événements A=“ la porte choisie en premier est la bonne ” etB=“ la porte choisie en second est la bonne ”, ce dernier choix étant effectué auhasard pur parmi les n− 2 portes restant en course après l’information donnéepar le gardien.

On a d’après la formule des probabilités totales et composéesP (B) = P (B | A)P (A) + P (B | Ac)P (Ac),

avec P (A) =1

n, B ⊂ Ac et P (B | Ac) =

1

n− 2(car conditionnellement à

Ac, l’une des portes parmi les n − 2 restantes est la bonne). En conséquence

P (B) = 01

n+

1

n− 2

(1 − 1

n

)=

n− 1

n (n− 2)>

1

n= P (A) : on a toujours

intérêt à modifier son choix.

11. On étudie le problème du tirage sans remise de n boules dans une urnecontenant a boules blanches et b boules rouges (cf. l’exercice 5 du para-graphe 1.8).

On considère l’événement : An+1 ' “ la (n+ 1) e boule tirée est blanche ”(en supposant n ≤ a+ b− 1). Montrer que P (An+1) =

a

a+ b.


On notera que, comme le résultat précédent est encore valable en rem-plaçant n par n′ ≤ n, on a en fait établi (en posant i = n′ + 1) :

∀ i ∈ 1, . . . , n , P (Ai) =a

a+ b

avec Ai ' “ la i e boule tirée est blanche ”. Comment interpréter cerésultat ?

Solution : Notons K le nombre aléatoire de boules blanches obtenues lorsdes n premiers tirages. On a (loi hypergéométrique)

0 ≤ k ≤ n, P (K = k) =

(a

k

)(b

n− k

)(a+ b

n

) (avec la convention(q

r

)= 0 si r > q) ;

et comme conditionnellement à K = k il reste a − k boules rouges parmi

a + b − n boules, on a P (An+1 | K = k) =a− k

a+ b− n(en supposant k ≤ a ;

mais on peut dans la suite conserver cette expression erronée pour k > a, carpour ces valeurs de k on a P (K = k) = 0).

D’après la formule des probabilités totales et composées

P (An+1) =

n∑k=0

P (An+1 | K = k)P (K = k) =

n∑k=0

a− ka+ b− n

(a

k

)(b

n− k

)(a+ b

n

) ;

Or (a−k)

(a

k

)= a

(a− 1

k

)et (a+ b−n)

(a+ b

n

)= (a+ b)

(a− 1 + b

n

); d’où

P (An+1) =a

a+ b

n∑k=0

(a− 1

k

)(b

n− k

)(a− 1 + b

n

) =a

a+ b,

la somme précédente valant 1 puisqu’elle énumère le système de probabilitésdu nombre de boules blanches dans un tirage sans remise de n boules dans uneurne contenant a− 1 boules blanches et b boules rouges.

Pour comprendre que ∀ i ∈ 1, . . . , n, P (Ai) =a

a+ b(et retrouver ce résultat

sans calcul), on peut considérer que le tirage des n boules dans l’urne est si-multané, ce qui revient à dire que P (Ai) ne dépend pas de l’ordre de tirage i ;et il est clair que P (A1) =

a

a+ b, rapport du nombre de boules blanches sur le

nombre total de boules !


1.8 Exercices de synthèse

Exercice 1 : Propriétés élémentaires d’une probabilité

Montrer, en utilisant seulement les axiomes de la probabilité :

1) ∀A ∈ A, P (A) ∈ [0, 1] et P (Ac) = 1− P (A)

2) ∀ (A,B) ∈ A2, (A ⊂ B)⇒ (P (A) ≤ P (B))

3) ∀ (A,B) ∈ A2, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

4) Inégalité de Boole : ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An, P (⋃

1≤i≤nAi) ≤

∑1≤i≤n

P (Ai)

5) Formule de Poincaré : ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An,

P (⋃

1≤i≤nAi) = S1 − S2 + · · ·+ (−1)n−1Sn

oùS1 =

∑1≤i≤n

P (Ai), S2 =∑

1≤i<j≤nP (Ai ∩Aj), . . . , Sn = P (A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An).

Exercice 2 : Tirages au sort successifs (formule de Poincaré)

On considère une urne contenant n boules (n ≥ 1), numérotées de 1 à n ; onprocède à k tirages successifs d’une boule avec remise (k ≥ 1).

On cherche la probabilité de l’événement :

E ' “toutes les boules ont été tirées au moins une fois” ;

à cette fin on calculera la probabilité P (Ec) au moyen de la formule de Poincaré.

En déduire deux identités remarquables en examinant les cas k < n et k = n.

Exercice 3 : Anniversaire le même jour (calcul combinatoire)

On cherche à calculer la probabilité pour que, dans un groupe de personnes,deux au moins d’entre elles aient leur anniversaire le même jour.

On notera :

• r = l’effectif du groupe , n = le nombre de jours (365) (r ≤ n) ;

• A ' “deux personnes au moins ont leur anniversaire le même jour”.

1.8. Exercices de synthèse 23

1) Calculer P (Ac).

2) A l’aide des relations usuelles :

ln(1− x) ≤ −x (x < 1)m∑i=1

i =m(m+ 1)

2

trouver un majorant pour lnP (Ac) et de là un minorant pour P (A).

Application Combien de personnes suffit-il de rassembler (effectif r) pour queP (A) soit supérieur à 0,95 (seuil habituel de la statistique) ?

Exercice 4 : Capture de particules (décomposition d’événements)

Un point M se déplace dans le plan ; à chaque instant, il a la probabilité :

. p d’aller de (x, y) en (x+ 1, y)

. q = 1− p d’aller de (x, y) en (x, y + 1).

x

y

O H

A

a

bMM p

q

1) Calculer la probabilité pour que, partant de O, le point M atteigne le pointA(a, b).

2) Calculer la probabilité pour que, partant de O, le point M atteigne lesegment [H,A] d’extrémités H(a, 0) et A(a, b).

Exercice 5 : Tirage sans remise dans une urne (loi hypergéométrique etses lois limites)

On considère une urne contenant a boules blanches et b boules rouges.

On effectue un prélèvement à l’aveuglette de n boules sans remise (n ≤ a+b).On appelle K le nombre aléatoire de boules blanches obtenues dans ce tirage.


1) Par une méthode de résultats équiprobables, calculer p(k) = P (K = k).

2) Calculer la valeur moyenne m =n∑k=1

k p(k) de K.

On pensera à utiliser les relations usuelles suivantes sur les combinaisons :

k

(a

k

)= a

(a− 1

k − 1

)et n

(a+ b

n

)= (a+ b)

(a+ b− 1

n− 1

).

3) Chercher la limite des p(k) quand a et b tendent vers l’infini de façon quea

a+ b→ p ∈ ]0, 1[ .

Le système des limites p′(k) forme-t-il un système de probabilités ?

Donner sans calcul sa valeur moyenne m′.

4) Chercher la limite du système de probabilités précédent quand n tend versl’infini et p tend vers 0 de façon que la valeur moyenne m′ tende vers une limiteθ > 0.

Vérifier que le système des limites p′′(k) est un système de probabilités etdonner sa valeur moyenne m′′.

5) Application Déterminer la loi du nombre K d’objets défectueux parmi 20objets tirés dans un lot de 10 000 objets dont 500 sont défectueux.

Donner m et des valeurs approchées de P (K = 0) et P (K = 1).

N.B. Les lois obtenues s’appellent respectivement :

1. Hypergéométrique

2. Binomiale

3. de Poisson.

Exercice 6 : Pile ou face à Macao (théorème de continuité)

On considère un jeu de pile ou face de durée infinie, dans lequel la probabilitéd’avoir pile à chaque coup est p ∈ ]0, 1[ . On cherche la probabilité de tirer pileune infinité de fois.

1) Calculer la probabilité de l’événement :

n ∈ N,m ∈ N∗, En,m ' “ face aux coups (n+ 1), . . . , (n+m) ”.

1.8. Exercices de synthèse 25

2) En déduire la probabilité de l’événement :

n ∈ N, En ' “ toujours face à partir du coup (n+ 1) ”,

puis celle de l’événement : F ' “ une infinité de fois pile ”.

Exercice 7 : Test épidémiologique (probabilités des causes)

Un test médical, devant détecter le plus tôt possible une maladie rare, a lescaractéristiques suivantes qui paraissent excellentes :

• toute personne atteinte a un test positif ;

• le taux d’erreur du test (test positif pour une personne saine) est de 2%.

On s’intéresse à la portée du test d’un point de vue individuel et non statistique.On considère les événements :

A ' “ la personne est malade ”

B ' “ le test est positif ”.

1) Exprimer P (B) en fonction de P (A).

2) Une étude statistique dans la population française a montré qu’il y avait 1personne malade pour 1000. Calculer la probabilité P (Ac | B) que l’indication“positif” fournie par un test soit erronée ?

Chapitre 2

Variables aléatoires et lois

2.1 Définition d’une variable aléatoire (V.A.)

De manière très générale, il s’agit d’un caractère déterminé par l’état d’unsystème résultant d’une expérience aléatoire, c’est-à-dire d’une propriété X dusystème (ayant couramment la forme d’une grandeur) qui dépend du résultatobtenu.

En langage mathématique, une V.A. X est donc une application définie surl’univers Ω et (couramment) à valeurs dans R (variable aléatoire réelle, enabrégé V.A.R.) ou Rn (variable aléatoire vectorielle, en abrégé V.A.V.) :

ωX7→ X(ω),

dont on connaît la valeur x = X(ω) à l’issue de l’expérience aléatoire.Par convention, une V.A. sera notée au moyen d’une lettre majuscule.

Exemples 2.1.1

a) Jet de 2 dés, Ω = [[1, 6]]2 : ω = (x, y)N7→ N(ω) = x+ y, somme des points

obtenus.

b) Point de chute d’un projectile, Ω = R2 : ω = (x, y)D7→ D(ω) =

√x2 + y2,

distance à l’origine.

c) Trajectoire d’un projectile sur l’intervalle de temps [t1, t2], Ω = C2([t1, t2])

∀ t ∈ [t1, t2], ωXt7→ w(t), position dans R3 à l’instant t et ω Vt7→ ω′(t),

vitesse à l’instant t, sont des V.A.V. ; ω W7→ supt∈[t1,t2]

‖ω′(t)‖, maximum de

la vitesse, est une V.A.R..

28 chapitre 2. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS

Restriction de la notion

La notion de variable aléatoire n’a d’intérêt que si des propriétés aussi simplesque “la valeur prise par X à l’issue de l’expérience aléatoire tombe dans l’inter-valle [a, b] (cas réel) ou dans le pavé

∏ni=1[ai, bi] (cas vectoriel)” sont énonçables,

autrement dit sont des événements, auxquels on peut affecter des probabilités.Or d’après la définition de la tribu de Borel B de R ou Rn et un lemme de lathéorie de la mesure†1, cette condition équivaut exactement à la mesurabilitéde X ; d’où :

Définition 2.1.2 On appelle variable aléatoire sur (Ω,A) toute application Xde Ω dans R ou Rn qui est (A,B)-mesurable, c’est-à-dire telle que :

∀B ∈ B, X−1(B)def= ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ A.

On note de manière imagée X ∈ B pour X−1(B) (X “tombe” dans B)et on dit que ce sont les événements qui ne dépendent que de X ou déterminéspar X, puisque l’observation de la seule valeur x = X(ω) prise par la variableX (et non la connaissance de ω lui-même) permet de savoir si ces événementssont réalisés ou non (selon que x ∈ B ou non).

La sous tribu de A notée X−1(B) = X ∈ B : B ∈ B, image réciproque dela tribu B par X, est appelée tribu engendrée par X ; elle rassemble l’informa-tion qu’apporte la valeur que prend la V.A. X sur l’état du système.

Remarque 2.1.3 Dans le cas réel, un critère pratique pour savoir si X est uneV.A.R. consiste à vérifier que :

∀x ∈ R, X < x def= ω ∈ Ω : X(ω) ∈ ]−∞, x[ ∈ A.

Propriétés élémentaires Celles des fonctions mesurables à valeurs dans Rou Rn †2.En particulier :• X = (X1, . . . , Xn) est une

V.A. vectorielle si et seule-ment si ∀ i ∈ [[1, n]], Xi estune V.A.R.. x1

x2

0ωω

Ω

X(ω)X(ω)

X1(ω)

X2(ω)

• Etant donné une suite (Xn)n∈N de V.A.R sur (Ω,A), les applications

infn∈N

Xn , supn∈N

Xn , lim infn→∞

Xn et lim supn→∞

Xn

1Voir par exemple [1], définition 1.1.5 et théorème 1.2.42Voir par exemple [1], paragraphe 1.4 et théorème 1.2.6

2.1. Définition d’une variable aléatoire (V.A.) 29

sont aussi des V.A.R., du moins si elles sont à valeurs finies (c’est-à-diredans R,+∞ et −∞ exclus).

En particulier, si la suite (Xn)n∈N converge simplement dans R, limn→∞

Xn

est une V.A.R..

• La somme, le produit de deux V.A.R., l’opposé d’une V.A.R., l’inversed’une V.A.R. qui ne s’annule pas, sont encore des V.A.R..

Variables aléatoires composées

Soit X : (Ω,A)→ (Rn,B) une variable aléatoire.

Proposition 2.1.4 Etant donné une application Z de Ω dans Rn′, on a lesrelations d’implication suivantes :

(1) il existe une application g : Rn → Rn′ borélienne

(c’est-à-dire (B,B′) mesurable) telle que Z = g X

m

(2) Z−1(B′) ⊂ X−1(B)

⇓

(3) Z est une variable aléatoire

Preuve partielle

• (1) ⇒ (2) ⇒ (3) : g−1(B′) ⊂ B ⇒ Z−1(B′) = X−1[g−1(B′)] ⊂ X−1(B) ; et commeX est une V.A., on a X−1(B) ⊂ A, de sorte que Z−1(B′) ⊂ A.

• (2) ⇒ (1) : d’après (2), ∀ z ∈ Z(Ω) (image de Ω par Z), ∃Bz ∈ B vérifiantZ = z = X ∈ Bz puisque z ∈ B′. Les Bz sont 2 à 2 disjoints et il suffit dedéfinir g sur

⊎z∈Z(Ω)

Bz par :∀ z ∈ Z(Ω), g |Bz

= z.

Il resterait à montrer que l’on peut prolonger g sur Rn en une application borélienne.ut

Remarques 2.1.5

• (2) ⇒ (1) exprime que si l’information apportée par une V.A. Z surl’état résultant d’un système (cf. la page précédente) n’est qu’une partiede celle apportée par une autre V.A. X, alors Z est nécessairement de laforme composée g X, notée plus couramment g(X) ; on dit pour cetteraison que cette V.A. Z ne dépend que de X.

30 chapitre 2. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS

• On rappelle que g : R → R monotone, g : R → Rn′ continue à gaucheou à droite et g : Rn → Rn′ continue sont des applications boréliennes.Il suffirait d’ailleurs de définir l’ application g sur un borélien contenantl’image X(Ω) de X et qu’elle soit borélienne.

2.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Comme expliqué au chapitre 1, l’espace probabilisé de référence (Ω,A, P ) n’estqu’un mode de représentation abstrait d’une expérience aléatoire, de sortequ’une variable aléatoire n’est réellement accessible que par l’obser-vation des valeurs qu’elle prend. C’est pourquoi on s’intéresse principale-ment aux probabilités des événements ne dépendant que de X :

∀B ∈ B, P (X ∈ B) = Pω ∈ Ω : X(ω) ∈ B = PX−1(B),

c’est-à-dire à l’image de la probabilité P par X†3.

Définition 2.2.1 On appelle loi de probabilité (ou loi de distribution, enabrégé loi) d’une variable aléatoire X : (Ω,A) → (Rn,B) la probabilité µ surRn image de P par X :

B ∈ B µ7→ µ(B)def= PX−1(B) = P (X ∈ B)

(Rn,B, µ) est un espace probabilisé (image de (Ω,A, P ) par X).

Lorsqu’on est en présence de plusieurs V.A., on pourra noter µX au lieu de µpour préciser qu’il s’agit de la loi de X.

La loi d’une V.A. X décrit la manière dont ses valeurs se distribuent sur Rn,c’est-à-dire son comportement aléatoire, et non la valeur qu’elle prend pourun résultat donné (comportement “explicite” spécifié par l’application X elle-même). Comme le comportement aléatoire est souvent l’essentiel, on pose :

Définition 2.2.2 Deux variables aléatoires X1 et X2 sont dites équivalentesen loi ou parentes si elles ont même loi µ, ce que l’on note :

X1L≡ X2

Il s’agit d’une relation d’équivalence plus faible que l’égalité presque sûre.3Voir par exemple [1], proposition 2.4.1

Probabilités - Unitheque

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