Raisonnement par récurrence, sa place et ses … · raisonnement est une activité qui se passe au...

Mémoire de recherche pédagogique

Section : Mathématiques

Cycle secondaire qualifiant

[Tapez le résumé du document ici. Il s’agit généralement d’une courte synthèse du document. Tapez le résumé du document ici. Il s’agit généralement d’une courte synthèse du document.]

Centre régional des métiers de l'éducation et de la

formation du Grand Casablanca

Réalisé par:

Sara MOBARAK

Asmaâ MOUSSADDAR

Encadré par:

Pr. Benyounes BETTIOUI

Année de formation: 2013/2014

Raisonnement par récurrence

- Sa place et ses difficultés au second cycle -

Membres du jury:

Pr. Benyounes BETTIOUI : Formateur au centre régional des

métiers de l’éducation et de la formation (CRMEF)

Pr. Jamal HARRAQ : Formateur au centre régional des métiers

de l’éducation et de la formation (CRMEF)

Pr. Latifa FAOUZI : Formatrice au centre régional des métiers

de l’éducation et de la formation (CRMEF)

Raisonnement par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle

1

Table des matières

Dédicaces ................................................................................................................................... 4

Remerciements ........................................................................................................................... 5

Introduction générale: ................................................................................................................ 6

Problématique: ........................................................................................................................... 7

Partie 1: Cadre théorique ........................................................................................................ 8

Chapitre 1: Définition et généralités sur les raisonnements: ...................................................... 9

1.Définition et nature du raisonnement:…… ......................................................................... 9

2. Principe de la logique mathématique : ............................................................................. 10

3. Raisonnement mathématique et inférence: ....................................................................... 10

4.Raisonnement mathématique et démonstration:……… .................................................... 11

5.Validité d'un raisonnement:…… ....................................................................................... 11

6.Classification des raisonnements:….. ................................................................................ 12

6.1. Raisonnement naturel et raisonnement mathématique: ........................................... 14

6.2. Classification des raisonnements mathématiques: .................................................... 14

Chapitre 2: Nature du raisonnement par récurrence: ............................................................... 17

1. L'histoire du raisonnement par récurrence:……. ............................................................. 17

2.Le principe du raisonnement par récurrence:…… ............................................................ 19

3.Justification de ce principe:….. ......................................................................................... 19

4.Les formes du raisonnement par récurrence:…… ............................................................. 20

4.1.La récurrence simple:……. ......................................................................................... 20

4.2.La récurrence double:……. ........................................................................................ 20

4.3.La récurrence forte:…… ............................................................................................. 21

Conclusion: ............................................................................................................................... 21

Partie 2: Cadre pratique ........................................................................................................ 22

Chapitre 3: Contexte et objectifs de la recherche: .................................................................... 23

1.Présentation:……. ............................................................................................................. 23

2.Ciblage:…….. .................................................................................................................... 23

Chapitre 4: Enquête sur les difficultés du raisonnement par récurrence: ................................. 24

1.Elaboration d'un instrument de recueil de données: Le Questionnaire…… ..................... 24


2

2.Etapes de création du questionnaire:….. ........................................................................... 24

3.Analyse et interprétation des résultats de l'étude:…………… .......................................... 25

3.1 Codage des réponses:………… .................................................................................. 25

3.2 Traitement informatique des résultats:………… ........................................................ 25

3.3 Exploitation des résultats:……… ............................................................................... 25

4. Les difficultés détectées dans la mise en œuvre du raisonnement par récurrence par les

apprenants : ……………………………………………………………………………….. 40

Chapitre 5: Recommandations proposées pour développer la capacité des apprenants à bien

utiliser ce type de raisonnement : ............................................................................................. 42

Chapitre 6: Suggestion de quelques problèmes faisant intervenir le raisonnement par

récurrence : ............................................................................................................................... 43

Problème 1: ............................................................................................................. 43

Problème 2: ............................................................................................................. 44

Problème 3: ............................................................................................................. 45

Problème 4:………………………………………………………………………………..47

Problème 5:………………………………………………………………………………..48

Conclusion générale…………………………………………………………………………..49

Bibliographie: ........................................................................................................................... 50

Webographie: ........................................................................................................................... 50

Annexe 1: Questionnaire proposé sur le raisonnement par récurrence: ................................... 51


3

Liste des Figures:

Figure 1: Triangle arithmétique de Pascal Blaise extrait du livre Lectures sur les

Mathématiques, l'enseignement et les concours, Volume 4, page 46 ...................................... 18

Figure 2 : Question1: Le raisonnement où les apprenants trouvent le plus de difficultés ...... 27

Figure 3 : Question 2: Parmi ces propositions, quelles sont celles qu'on peut démontrer avec

un raisonnement par récurrence? .............................................................................................. 28

Figure 4 : Question3: Avez-vous utilisé le raisonnement par récurrence dans d'autres leçons

que Principes dans la logique? ................................................................................................. 29

Figure 5 : Question 4: Si vous avez déjà utilisé le raisonnement par récurrence dans d'autres

cours, précisez les ..................................................................................................................... 30

Figure 6 : Les apprenants ayant répondus dans les cours précisés par les Suites ................... 31

Figure 7 : Question 5: Etape d'initialisation ............................................................................ 32

Figure 8 : Question 5: Etape de formulation de l'hérédité ...................................................... 32

Figure 9 : Question 5: Etape de démonstration de l'hérédité .................................................. 33

Figure 01 : Question 5: Etape de conclusion .......................................................................... 33

Figure 11: Comparaison de la première étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales .......................................................................................................................... 34

Figure 12: Comparaison de la deuxième étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales .......................................................................................................................... 35

Figure 13: Comparaison de la troisième étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales .......................................................................................................................... 36

Figure 14: Comparaison de la quatrième étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales .......................................................................................................................... 37

Figure 05 : Question 6: Choisir parmi ces deux raisonnements proposés, celui où apparaît

l'erreur....................................................................................................................................... 38


l'erreu (Sciences Maths) ........................................................................................................... 39


l'erreur (Sciences Expérimentales) ........................................................................................... 40


4

Dédicaces

A nos très chers parents,

d’avoir sacrifier leur temps, leurs efforts pour nous encourager à persévérer dans nos études. Aucune dédicace ne saurait exprimer notre

gratitude et notre profond respect.

A nos familles, A tous nos amis et collègues

Pour les moments agréables qu’on a passé ensemble dans notre parcours.

Sara MOBARAK et Asmaâ MOUSSADDAR


5

Remerciements

Avant d’entamer notre recherche pédagogique, nous tenons à exprimer

notre profonde gratitude et sincère reconnaissance à notre encadrant, le

Professeur Benyounes BETTIOUI pour sa qualité d'encadrement, sa

disponibilité, ses précieux conseils, ses directives et ses recommandations tout

au long de notre période d'encadrement, et de formation.

Nos remerciements les plus sincères s’adressent aussi aux professeurs,

Jamal HERRAQ, Latifa FAOUZI, et Khalid HETTAF. Ce fût un immense

privilège et un grand honneur d’être parmi vos étudiants, nous tenons à les

remercier pour leurs conseils et leurs orientations qui nous ont permis de mieux

avancer dans nos études.

Nous tenons à remercier également les membres du jury, pour l’honneur

qu’ils nous ont fait en acceptant de juger ce travail.

Finalement, nous adressons nos remerciements et notre profonde

reconnaissance à toute personne ayant participé de près ou de loin à

l’élaboration de ce modeste travail.


6

Introduction générale:

L'enseignement des mathématiques au Maroc accorde depuis des décennies une

importance majeure à quelques grands thèmes mathématiques qui ont mobilisé les plus grands

esprits des temps passés.

En effet, ces scientifiques ont mis au point des axiomes sur lesquels se fondent les

vérités en mathématiques. Ces dernières qui ne sont atteintes que suites à des démonstrations

bien fondées selon des méthodes rigoureuses, c’est-à-dire suite à des raisonnements

mathématiques.

Par ailleurs, les raisonnements mathématiques ont une place centrale dans le programme

de mathématiques marocain, puisqu'il insiste fortement sur l'importance de la résolution de

problèmes dans l'acquisition des connaissances, qui recouvre plusieurs activités, qui, toutes,

s'appuient sur le raisonnement de l'élève. Ces activités sont successives et se déclinent en une

lecture, et organisation des informations aussi en un engagement dans une démarche de

recherche et d'investigation, par la suite, à la mise en œuvre de techniques pour la résolution

et enfin à la communication des résultats.

Pendant notre période de stage, nous avons remarqué que les élèves du second cycle ne

maîtrisaient pas vraiment les différents types de raisonnement mathématiques et que même

s’ils connaissaient la solution, dans la plus part des cas, ils n’arrivaient pas à bien formuler

leurs démonstrations.

De ce constat, nous avons jugé intéressant de mener une étude sur les différents types

de raisonnements étudiés au lycée, et plus exactement se concentrer sur le raisonnement par

récurrence. Dans un second temps, nous essayerons de cerner les difficultés rencontrées par

les apprenants lors de sa mise en œuvre. Ainsi notre intitulé de recherche: "Raisonnement

par récurrence, sa place et ses difficultés au second cycle".


7

Problématique:

L’intégration des raisonnements mathématiques au lycée a principalement deux

objectifs :

Fournir aux apprenants des principes leurs permettant d’organiser leurs idées, lors

de la résolution de problèmes.

Munir les apprenants de techniques et modèles leurs permettant la formulation de

démonstrations mathématiques claires et correctes.

Cependant, l'atteinte de ces objectifs n'est pas toujours réalisée parce que les étudiants

n'arrivent pas à faire le lien entre les raisonnements mathématiques et les autres cours

programmés au cours de l'année.

Comme nous avons cité dans l'introduction, nous nous intéressons dans le présent

travail sur le raisonnement par récurrence, vu la difficulté que rencontrent les apprenants lors

de sa mise en œuvre.

Certes, le raisonnement par récurrence est une démarche qui est trop utilisé dans les

démonstrations en mathématiques. Il faut noter aussi que ce type de raisonnement requiert une

bonne compréhension du principe dans l'ensemble par les étudiants avant son élaboration.

Mais, il s'avère que plusieurs d'entre eux ne savent pas exactement quand et comment

l'utiliser.

A travers notre travail, nous allons essayer d'apporter des éléments de réponses à la

problématique suivante: "Quelles sont les difficultés que rencontrent les apprenants lors

de la mise en œuvre du raisonnement par récurrence? Et comment les expliquer?"

Plusieurs personnes ont tendance à expliquer ces difficultés par une confusion des

étapes de raisonnement, ou par le temps insuffisant consacré à ce cours dans la répartition

périodique, ou aussi par la difficulté de la notion elle-même.


8

Partie 1: Cadre théorique

Cette partie comporte principalement une étude bibliographique sur

les raisonnements mathématiques, notamment le raisonnement par

récurrence.

Cadre théorique


9

Chapitre 1: Définition et généralités sur les raisonnements:

1. Définition et nature du raisonnement:

Nous commençons ce paragraphe par citer quelques définitions du mot "raisonnement".

Dans le dictionnaire "Larousse", nous trouvons la définition suivante:

"Le raisonnement est une suite d'arguments, de propositions liées les unes aux autres, en

particulier selon des principes logiques, et organisées de manière à aboutir à une

conclusion".

Nous suggérons également une autre définition du mot raisonnement proposée par

l'encyclopédie Wikipédia: "Le raisonnement est un processus cognitif qui permet d'obtenir de

nouveaux résultats ou bien de vérifier la réalité d'un fait en faisant appel soit à

différentes lois ou soit à des expériences, quel que soit leur domaine d'application :

mathématique, système judiciaire, physique, pédagogie".

Une troisième définition que nous proposons est celle de l'institut français de

l'éducation: "Le raisonnement est l'opération par laquelle l'esprit va du connu à l'inconnu,

passe de certaines propositions, posées comme vraies, à d'autres qui leur sont liées d'une

façon plus ou moins nécessaire. Comme cette liaison nécessaire ne peut être telle qu'en vertu

des principes de la raison, le raisonnement n'est pas autre chose que la raison même en

action, la raison discursive -c’est-à-dire rationnelle-. En d'autres termes, l'esprit appliquant à

toutes les choses sur lesquelles il se porte ses lois fondamentales, ses exigences à priori, son

besoin d'unité et d'ordre. Raisonner, c'est chercher pour soi-même, ou rendre évidentes à

autrui, les raisons des choses".

Quand à R .Blanché :" un raisonnement, c’est d’abord une certaine activité de l’esprit,

une opération discursive par laquelle on passe de certaines propositions posées comme

prémisses à une proposition nouvelle, en vertu du lien logique qui l’attache aux premiéres ".

Donc pour envelopper les différentes caractéristiques du mot "raisonnement", à partir

des définitions que nous avons cité ci-dessus, nous proposons la définition suivante: " Un

raisonnement est une activité qui se passe au niveau de l'esprit, et qui permet d'aboutir à des

conclusions, à partir de prémisses, et d'hypothèses ".

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raison

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cognition

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp%C3%A9rience

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/Droit

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9dagogie


10

2. Principe de la logique mathématique :

En mathématiques, le principe du tiers exclu affirme que la proposition « P ou (non P) »

est vraie, pour toute proposition P. Cela signifie que pour toute proposition P, nous devons

accepter soit P, soit sa négation.

Le principe du tiers exclu a été introduit par Aristote comme conséquence du principe

de non-contradiction. Ce dernier stipule que pour toute proposition P, nous ne pouvons pas

avoir P et (non P) en même temps.

3. Raisonnement mathématique et inférence:

Raisonner, c’est faire une inférence ou combiner des inférences. C'est en effet une

notion qui reste lié à celle de raisonnement, et pour mieux comprendre ce qu'est ce concept,

nous nous sommes intéressés à quelques explications notamment celle du dictionnaire

Larousse (1986; p.954): "L'inférence est une opération intellectuelle par laquelle on passe

d'une vérité à une autre vérité, jugée telle en raison de son lien avec la première".

En d'autres termes, inférer c’est tirer des conséquences en faisant des transformations

sur des énoncés tout en respectant des règles obéissant à des lois logiques.

Nous pouvons distinguer deux types d'inférences à savoir:

L'inférence démonstrative ou déduction,

L'inférence non démonstrative ou induction.

De ce fait, inférer c'est l'acte de déduire ou d'induire.

L'inférence déductive:

Dans une inférence déductive (ou déduction), si les prémisses sont vraies alors la

conclusion l’est aussi. Nous disons une telle inférence « valide ». Mais si l’une des prémisses

s'avère fausse, la conclusion le serait aussi.

En d'autres termes, l'inférence déductive est valide si la prémisse assure ou garantit la

conclusion : si la prémisse est vraie, la conclusion doit l’être aussi. C’est une nécessité de

l’inférence logique. En effet, il y a une relation d’implication entre la prémisse et la

conclusion.


11

L'inférence inductive:

À l’inverse, une inférence inductive (ou induction) ne garantit pas le transfert de vérité

entre les prémisses et la conclusion. Les prémisses peuvent être vraies et la conclusion fausse.

Une induction rend la conclusion probable au mieux. Elle ne permet jamais d’assurer sa

vérité.

L'induction permet de transformer une série de propositions existentielles, portant sur

des cas particuliers, en une proposition universelle, portant sur le général.

L’inférence est certes une démarche intellectuelle qui se base sur un raisonnement. Mais

un raisonnement ne nécessite guère une inférence. Nous pouvons dire que le raisonnement est

une source importante dans l'acquisition de connaissances, mais dans certaines situations,

nous pouvons avoir affaire à des connaissances dont l'acquisition passe sans intermédiaire et

c'est ce qui est nommé "intuition", qui nécessite un raisonnement pour être valider ou réfuter.

4. Raisonnement mathématique et démonstration:

Apparue suite à une nécessité de résoudre des problèmes, la démonstration fait partie

intégrante de l'activité mathématique, et se manifeste en synthèse descriptive de tout

processus précédé par une recherche, tâtonnement et raisonnement.

En effet, la démonstration est le raisonnement par lequel la vérité d’une proposition est

tirée de la vérité d’une autre, sans que nous demandions de constater qu’elle correspond bel et

bien à la réalité dont elle rend compte. En général la proposition que l’on démontre est

nommée conclusion, et celles qui servent à la démonter sont nommées prémisses. La

démonstration consiste donc en une inférence, qui fait reposer la validité d'un raisonnement

dans le passage rigoureux de propositions à propositions soit par déduction, qui consiste à

tirer les conséquences nécessaires des propositions initiales, soit par induction, qui consiste à

affirmer une propriété à l’ensemble tout entier à partir de quelques éléments de cet ensemble.

5. Validité d'un raisonnement:

Un raisonnement comprend deux parties : les prémisses et la conclusion. Généralement,

les prémisses et la conclusion peuvent s’exprimer par des énoncés, c’est-à-dire par des


12

phrases qui sont vraies ou fausses. En revanche, le raisonnement, qui n’est pas un énoncé,

n’est ni vrai ni faux, mais seulement valide ou invalide, correct ou incorrect.

La validité d’un raisonnement n’est pas directement liée à la vérité de sa conclusion.

Ainsi, un raisonnement correct peut avoir une conclusion qui n’est pas vraie, et un

raisonnement incorrect peut avoir une conclusion vraie.

Le seul lien manifeste entre la vérité des énoncés constituant un raisonnement et sa

validité est qu’un raisonnement correct ne peut avoir à la fois des prémisses vraies et une

conclusion qui ne l’est pas ; et réciproquement, qu’un raisonnement incorrect ne peut avoir

des prémisses vraies et une conclusion qui ne l’est pas. En d’autres termes, il est impossible

d'avoir la valeur de vérité des prémisses qui n'est pas identique à celle de la conclusion.

Cette définition affirme qu’un raisonnement est valide si sa conclusion est vraie chaque

fois que ses prémisses le sont. Il a donc une signification pratique : si les prémisses sont

vraies, la conclusion est vraie également ; si la conclusion n’est pas vraie, une au moins des

prémisses ne l’est pas.

Par contre, si une des prémisses n’est pas vraie, on ne peut rien en inférer quant à la

vérité de la conclusion ; et si la conclusion est vraie, on ne peut rien en conclure quant à la

vérité des prémisses.

Un raisonnement n'est valide que s'il est rigoureux, c’est-à-dire qu'il nous mène à une

conclusion qui est une conséquence nécessaire des prémisses. Cette conclusion peut être

nouvelle soit par son contenu, soit par sa valeur de vérité.

De ce fait, en se basant sur ces critères, nous pouvons relever quelques types de

raisonnements que nous allons traiter dans ce qui suit.

6. Classification des raisonnements:

Dans cette partie du chapitre, nous allons nous intéresser aux types de raisonnements,

dont nous distinguons trois :

Le raisonnement déductif: appelé aussi raisonnement rigoureux. La déduction

est un raisonnement qui consiste à tirer à partir d’une ou de plusieurs propositions, une


13

autre qui en est la conséquence nécessaire. C’est donc extraire le particulier à partir de

l’universel. Ainsi, nous pouvons dire que le raisonnement déductif une opération dont

la conclusion est une conséquence nécessaire, aussi certaine que les prémisses, en

conséquence des règles logiques.

Si les prémisses dans ce type de raisonnement sont admises comme vraies, alors, il

s'agit d'un raisonnement catégorico-déductif. Tandis que si elles sont considérées

comme des hypothèses, nous parlons dans ce cas-là de raisonnement hypothético-

déductif.

Le raisonnement inductif: L’induction est un type de raisonnement qui consiste

à généraliser des cas particuliers. D’un phénomène observé de manière répétitive, nous

allons induire une loi générale, sans vérifier tous les cas possibles.

Autrement dit, l’induction extrait l’universel du particulier.

C'est un raisonnement dont la conclusion n'est pas probable, et qui peut être moins

certaine que les prémisses.

Le raisonnement abductif : C'est un processus permettant d’expliquer un

phénomène ou une observation à partir de certains faits, événement ou lois.

En épistémologie, l'abduction est un procédé consistant à introduire une règle à titre

d'hypothèse afin de considérer un résultat comme un cas particulier tombant sous cette

règle.

L'abduction démarre d'un fait surprenant, c’est-à-dire d'un fait que l'on n'attendait pas

du tout la survenance. Pour s'attendre à ce dernier, il faut qu'il y ait eu une déduction

ainsi qu'une induction. Et pour l'expliquer, nous devons selon "Pierce" (Le Libellio

d’AEGIS, Vol. 8, n° 3 – Automne 2012, page 4) imaginer des hypothèses, et

d'identifier parmi elles, celle sur laquelle va porter l'étude en premier, et ceci en

appliquant trois critères. Le premier réside dans le fait d'expliquer l'hypothèse. Le

second est que l'hypothèse doit être susceptible d'être testée. En ce qui concerne le

troisième, il faut choisir l'hypothèse qui est susceptible d'expliquer le plus de faits en

étant la plus simple possible et la plus facile à tester. Ce dernier critère est pour Pierce,

le plus discriminant (les deux premiers ne font que définir ce qu'est une hypothèse).

Toutefois, avant de parler de l'abductif, il faut qu'il y ait eu une déduction et une

induction au préalable, car l'abduction à elle seule ne permet pas de dire si une

hypothèse est vraie ou fausse. C'est à partir de la déduction puis l'induction comme

étape finale que la question de la vérité pourra être abordée.


14

Le raisonnement hypothético-déductif est une forme d’abduction.

6.1. Raisonnement naturel et raisonnement mathématique:

Contrairement au raisonnement naturel qui n'obéit à aucune loi logique précise, et qui

est acquis par le contact quotidien de l'individu avec son environnement familial et social, le

raisonnement mathématique est certes, une activité de l'esprit permettant d'établir la validité

d'une proposition, qui est obtenue comme conséquence des axiomes, des définitions et des

propositions préétablies, suivant des règles logiques bien précises et adéquates, et ceci bien

sûr à l'intérieur d'un système formel.

Comme mentionné précédemment, il existe trois types de raisonnement inductif,

déductif et abductif. Le raisonnement mathématique fait partie de ceux considérés comme

hypothético-déductifs. Ceci ne signifie pas que le raisonnement inductif n'existe pas en

mathématique, mais bien au contraire puisqu'il est utile pour son développement. En effet,

nous pouvons formuler grâce à ce type de raisonnement une conjecture et ceci à partir de

quelques situations particulières, qui est susceptible d'être valider ou réfuter grâce à une

démonstration rigoureuse.

6.2. Classification des raisonnements mathématiques:

Dans ce qui suit, Nous distinguons plusieurs types de raisonnement engendrant un

raisonnement mathématique, mais avant d’entamer cette partie nous avons jugé bon de définir

la tautologie.

Tautologie : En logique mathématique, le terme a pris un sens qui peut s’écarter du

sens commun. En calcul propositionnel, on appelle tautologie une proposition (ou énoncé)

toujours vraie, c’est-à-dire vraie quelle que soit la valeur de vérité, vraie ou fausse, de ses

constituants élémentaires. Dit autrement, la table de vérité de cet énoncé prend toujours la

valeur vraie.

Raisonnement par déduction:

C'est un type de raisonnement direct, qui consiste à inférer une proposition (conclusion) à

partir d'une ou plusieurs autres propositions (hypothèses). Ce type de raisonnement obéit à

l’implication (P ==> Q).


15

Syllogisme ou déduction syllogistique:

Le syllogisme est un raisonnement logique qu'Aristote a été le premier à formaliser.

Nous proposons une définition du syllogisme selon Aristote (rapportée ici par Aulu-Gelle -

les Nuits attiques- Livre quinzième) : « Il me semble que cette définition pourrait être ainsi

traduite : "Le syllogisme est un raisonnement où, certaines choses étant prouvées, une chose

autre que celles qui ont été accordées se déduit nécessairement des choses qui ont été

accordées."

Autrement dit, ce raisonnement est formé de trois propositions, dont deux propositions

(également appelées prémisses) conduisent à une autre proposition (celle-ci appelée une

conclusion). C'est à dire, la troisième proposition se déduit immédiatement des deux

premières. Le syllogisme se base donc sur la tautologie suivante:

[(P ==> Q) et (Q ==> R)] ==> (P ==> R)

Raisonnement par récurrence:

Nous présentons dans cette partie du chapitre une définition concise de ce type de

raisonnement, que nous aurons certes l'occasion de développer d'avantages dans le prochain

chapitre. Ce raisonnement est considéré comme rigoureux parce qu'il est rattaché à la

déduction mathématique, même s'il apparait comme une induction.

En mathématiques, ils existent certaines propositions dépendant d'un paramètre n

appartenant à l'ensemble ℕ et que nous appelons rang de la proposition . Pour démontrer

que la proposition est vraie pour chaque n supérieur ou égal à un entier fixé k, la procédure

est la suivante:

Vérifier que la propriété est vraie ;

Supposer que sont vraies (avec ) et démontrer que est

aussi vraie.

Conclure que est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à k.

Raisonnement par contraposée:

La contraposition est un type de raisonnement logique consistant à ce que pour montrer

que (P ==> Q) est vraie, il faut démontrer que: [(non Q) ==> (non P)] est vraie. En d'autres

termes, ce type de raisonnement se base sur la tautologie:

[(non Q) ==> (non P)] <==> (P ==> Q)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique


16

La contraposition est équivalente à une implication, dont elle est considérée comme une

règle dérivée. Ainsi, la proposition contraposée de la proposition:

1: « P implique Q »

est

2: « (non Q) implique (non P) ».

Si la première est vraie, alors la seconde l'est aussi. Inversement, si la seconde est vraie,

la première est vraie. Cette dernière affirmation n'est cependant pas acceptée en logique

intuitionniste, qui établit une différence entre les deux implications. La contraposition

exprime le fait que Q est une condition nécessaire de P : on ne peut pas avoir P sans avoir Q.

Raisonnement par l'absurde:

Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, philosophique,

scientifique consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de

la proposition complémentaire (ou « contraire »), soit à montrer la fausseté d'une autre

proposition en déduisant logiquement d'elle des conséquences absurdes.

Le principe du raisonnement par l'absurde est le suivant : Pour démontrer qu'une

proposition P est vraie, nous supposons que la proposition (non P) est vraie, c'est-à-dire que

la proposition P est fausse, et nous montrons alors que cette hypothèse conduit à une

contradiction.

Nous arrivons maintenant à la fin de ce chapitre. Vu l'objet de notre étude nous allons

nous intéresser dans celui à venir à une étude bien détaillée sur le raisonnement par récurrence

(son histoire, son principe, ses formes, etc.).

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalence_logique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Implication_%28logique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_intuitionniste

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_intuitionniste

http://fr.wikipedia.org/wiki/Implication_%28logique%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Philosophie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Science

http://fr.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Absurde

http://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9mentaire_%28th%C3%A9orie_des_ensembles%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Faux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Absurde


17

Chapitre 2: Nature du raisonnement par récurrence:

1. L'histoire du raisonnement par récurrence:

L’objectif de cette partie du chapitre est d’identifier les premières utilisations du

raisonnement par récurrence. En effet, deux grandes périodes dans l’histoire ont été marquées

par son apparition, notamment :

Avant le XVIIème siècle :

En ce qui concerne cette période, nous trouvons de nombreux mathématiciens qui ont

utilisé le raisonnement par récurrence.

Toutefois, vu l’absence d’un langage algébrique moderne, certains résultats ne peuvent

même pas être énoncés en toutes généralités, et le sont donc pour des entiers donnés, alors que

les idées essentielles pour la démonstration du résultat général c'est à dire le passage de n à

n+1, sont présentes.

Nous citons ci-dessous quelques noms de mathématiciens l’ayant utilisé.

• Vers l’an 1000, le persan Al-Karaji utilisa le raisonnement par réccurence pour

établir la formule du binôme de Newton pour un entier arbitraire, et aussi afin de

calculer la somme des cubes des n premiers naturels. Il faut signaler aussi que Ibn al-

Haytham l’utilisa pour calculer la somme des cubes puis des puissances quatrième

des n premiers entiers naturels.

• Au XVIème siècle, le mathématicien italien Francesco Maurolico l'usa dans son

ouvrage Arithmeticorum libri duo (1575) pour démontrer que la somme des n

premiers entiers impairs est un carré parfait, Maurolico utilise une proposition, qui

est le passage du cas n au cas n+1 (mais celle-ci n'est pas énoncée comme un

lemme).

Le XVIIème siècle et ensuite :

Quant à cette deuxième période nous trouvons dans le traité du triangle arithmétique de

Blaise Pascal, publié en 1665 (extrait du livre Lectures sur les Mathématiques, l'enseignement

et les concours, Volume 4, page 45 Par Dany-Jack Mercier), des formes moins abouties du


18

raisonnement par récurrence, et ce fut la première utilisation tout à fait explicite de ce

raisonnement. En effet, Pascal écrit ceci :

Le 1, qui est évident de soi-même, que cette proportion se rencontre dans la

seconde base; car il est bien visible, que φ est à σ comme 1 est à 1.

Le 2, que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera

nécessairement dans la base suivante.

D'où il se voit qu'elle est nécessairement dans toutes les bases : car elle est dans la seconde

base par le premier lemme ; donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la

quatrième, et à l'infini.

Ci-dessous le triangle de Pascal:

Figure 1: Triangle arithmétique de Pascal Blaise extrait du livre Lectures sur les Mathématiques, l'enseignement et les concours, Volume 4, page 46

En d’autres termes, la première étape comporte une vérification du premier rang (pour

n=1). Tandis que dans la deuxième étape, il suppose que si la proportion se trouve dans une

base quelconque, elle se trouvera automatiquement dans la base qui succède.


19

2. Le principe du raisonnement par récurrence:

Le raisonnement par récurrence sert à établir une propriété valable pour une infinité

d’entiers naturels. Son principe se base essentiellement sur trois étapes à savoir:

L’initialisation, l’hérédité et la conclusion.

En effet, pour prouver simultanément un ensemble de propriétés dépendant d’un

entier naturel n, nous devons poursuivre une suite d'étapes successives comme nous l'avons

précisé. Mais avant d’entamer ce raisonnement il faut s’assurer que l'énoncé des propriétés

soit clair et précis. Nous procédons de la manière suivante, en respectant ces étapes qui

devront être apparentes dans la rédaction de notre récurrence:

Initialisation : Nous vérifions que est vraie, ceci est habituellement vérifié par un

calcul très simple.

Hérédité : Nous supposons que est vraie pour un entier n quelconque - c’est

l’hypothèse de récurrence- et nous prouvons à l’aide de cette hypothèse. Mais si

jamais nous n’utilisons pas l’hypothèse de récurrence, c’est que nous n’avons pas

réellement besoin de faire une récurrence.

Conclusion : En invoquant le principe de récurrence, nous pouvons affirmer avoir

démontré que la propriété est vraie pour tout entier n de ℕ.

3. Justification de ce principe:

Le principe du raisonnement par récurrence, comme nous avons eu l'occasion de voir à

partir du texte de Blaise Pascal, où ce raisonnement apparaît pour la première fois de façon

tout à fait explicite, donne une justification intuitive et naturelle de celui-ci : le fait qu'il

permette de construire une démonstration directe pour n'importe quel entier, justification

toujours employée de nos jours. Cependant cette justification ne peut constituer une

démonstration de la validité du principe de récurrence.

Pour démontrer pour tout entier n, il faudrait vérifier que est vraie pour chaque

entier n, et cela nécessiterait une infinité d’opérations. Comme une démonstration est finie,

une telle démonstration ne vaudra donc que pour un entier n fixé à l'avance. Les deux

hypothèses du principe de récurrence permettent théoriquement d'écrire « mécaniquement »

une démonstration pour un entier arbitrairement grand, mais non pour tous les entiers.


20

Le principe de récurrence est donc bien une propriété des entiers naturels, admis en tant

qu'axiome (Dedekind 1888), ou bien démontré dans le cadre d'une théorie plus puissante

comme la théorie des ensembles. Il permet alors de « rassembler » sous la forme d'une seule

démonstration finie, cette infinité de démonstrations, une pour chaque entier.

4. Les formes du raisonnement par récurrence:

Dans ce paragraphe du chapitre, nous citons les différentes formes du raisonnement par

récurrence, à savoir:

4.1. La récurrence simple:

Pour démontrer une propriété qui dépend d'un entier naturel n, nous pouvons utiliser un

raisonnement par récurrence comme nous avons cité dans les paragraphes qui précèdent. Pour

ce faire, nous effectuons ces deux assertions : l'initialisation et l'hérédité. Nous disons alors

que la propriété s'en déduit par récurrence pour tout entier n. Cependant, nous précisons

parfois « récurrence simple », quand il est nécessaire de distinguer ce raisonnement d'autres

formes de récurrence.

4.2. La récurrence double:

Il arrive parfois que la propriété à montrer dépend de plusieurs rangs antérieurs,

( , nous utilisons dans un tel cas une récurrence double. Son principe est le

suivant:

Pour prouver une propriété pour tout n ∈ ℕ. Il faut que les deux étapes suivantes

soient satisfaites:

Initialisation : et sont vraies.

Hérédité : Pour tout n ∈ N, l’implication (( et ) ⇒ ) est vraie.

Alors nous pouvons conclure que pour tout n ∈ ℕ, est vraie.

Cette propriété est en apparence plus forte que la récurrence simple, puisque nous avons

à notre disposition une hypothèse supplémentaire, mais lui est en fait équivalente, puisque

cela revient à démontrer [ et ] par récurrence simple.


21

4.3. La récurrence forte:

La récurrence précédente peut être généralisée à plus d'hypothèses, 3, 4 etc. Mais tous

ces principes apparaissent comme des cas particuliers du principe de récurrence suivant,

parfois appelé récurrence forte, qui permet, pour démontrer la propriété au rang suivant, de la

supposer vraie pour tous les rangs antérieurs (pour cette raison, cette forme de récurrence est

aussi appelée récurrence cumulative). Nous avons une version plus forte de l’hérédité.

L'énoncé du principe devient comme suit:

Pour prouver une propriété pour tout n ∈ ℕ. Il faut que les deux étapes suivantes

soient satisfaites:

Initialisation : est vraie.

Hérédité : Pour tout n ∈ ℕ, l’implication ((∀k ∈ [|0 ; n|] ) ⇒ ) est vraie.

Alors pour tout n ∈ N, est vraie.

L'initialisation reste identique, mais l'hérédité est modifiée. Pour démontrer la propriété

au rang n+1, nous supposons que la propriété vraie non seulement pour n mais aussi pour tous

les entiers inférieurs à n.

À nouveau cette propriété, en apparence plus forte que la récurrence simple, lui est en

fait équivalente. En effet cela revient à démontrer par récurrence simple la propriété :

« ∀k ≤ n ».

Conclusion:

Nous arrivons à la fin de cette première partie, dans laquelle nous avons explicité la

problématique ainsi que le cadre théorique de notre recherche. Dans la deuxième partie du

présent travail, nous nous intéressons à l’étude de la place du raisonnement par récurrence

dans les manuels de mathématiques au lycée, ainsi que les difficultés rencontrées lors de sa

mise en œuvre par les apprenants.


22

Cadre Pratique

Cette partie comporte la partie pratique de notre travail. En

effet, elle comprendra les différentes actions réalisées pour

aboutir à la finalité de ce projet de recherche


23

Chapitre 3: Contexte et objectifs de la recherche:

1. Présentation:

Notre projet de recherche s'inscrit dans le cadre d'une étude portant sur les difficultés

rencontrées par les élèves du secondaire qualifiant lors de l'usage des raisonnements

mathématiques. Elle a pour but d'améliorer le niveau d'enseignement des maths au Maroc.

La partie pratique du projet va nous permettre de cerner les difficultés rencontrées par

les apprenants dans la mise en œuvre du raisonnement par récurrence, et ceci à travers

l'élaboration d'un questionnaire. Le traitement des résultats de ce dernier va nous permettre de

repérer les éventuelles défaillances, et du coup, de suggérer quelques recommandations pour

les surmonter.

2. Ciblage:

Notre projet de recherche vise les étudiants lycéens, principalement issus de deux

niveaux à savoir:

1ère

année du baccalauréat (Sciences Mathématiques A),

2ème

année du baccalauréat (SVT, Physique Chimie, Sciences Mathématiques A).

Le choix de ces deux niveaux est dû au fait que le raisonnement par récurrence est

programmé dans les cours de la 1ère

année du baccalauréat.

A travers notre recherche, nous avons eu l'occasion de distribuer le questionnaire, que

nous avons conçu, auprès de 308 étudiants des lycées: Prince Moulay Abdellah et lycée

Mohammed VI, répartis comme suit:

Quatre classes du lycée Prince Moulay Abdellah (une classe de la 1ère

Bac

Sciences Maths, et deux classes de la 2ème

Bac Sciences Maths, ainsi qu'une

classe de la 2ème

Bac SVT). Au total 87 étudiants de ce lycée.

Huit Classes du lycée Mohammed VI (deux classes de la 2ème

Bac Physique

Chimie, six classes de la 2ème

Bac SVT). Au total 221 étudiants de ce lycée.


24

Chapitre 4: Enquête sur les difficultés du raisonnement par

récurrence:

1. Elaboration d'un instrument de recueil de données: Le Questionnaire

La première étape de notre enquête consiste à concevoir un instrument de collecte

d'informations. Ainsi, nous avons opté pour un questionnaire composé de six questions dont

trois sont fermées, et les trois autres ouvertes suivies par des justifications de la part des

apprenants interrogés.

Ce questionnaire vise essentiellement à recueillir des informations concernant les

interprétations sur les techniques de raisonnement par récurrence proposées. Il a pour objectifs

de:

Identifier les lacunes et les représentations des apprenants interrogés.

Identifier les raisonnements où les élèves trouvent des difficultés.

Détecter l'étape du raisonnement par récurrence qui pose problème aux élèves.

2. Etapes de création du questionnaire:

Après avoir déterminé les objectifs du questionnaire en général. Il est devenu nécessaire

d'élaborer des questions qui les traduisent de sorte que chacune d'elles vise un objectif précis

et se déclinent comme suit:

La Question 1: a pour but de repérer les raisonnements mathématiques où

trouvent les apprenants le plus de difficultés.

La Question 2: Dans cette question, il s'agit de connaître si les étudiants savent

quand utiliser le raisonnement par récurrence.

La Question 3: Permet de savoir si les apprenants mobilisent les techniques du

raisonnement par récurrence dans d'autres cours programmés au cours de

l'année, à part le cours "Principes de la logique".

La Question 4: Cette question vient pour compléter la précédente, pour savoir

dans quelles leçons, les apprenants ont eu l'occasion d'utiliser un raisonnement

par récurrence.


25

La Question 5: Dans cette question, nous proposons deux propositions à

démontrer par récurrence pour déceler la principale faille dans leurs

raisonnements.

La Question 6: Quant à cette question, elle met l'accent sur l'étape

d'initialisation du raisonnement par récurrence. Elle permet en effet, de savoir si

les apprenants arrivent à distinguer entre deux démonstrations d'une même

proposition dont l'une est fausse.

Voir Annexe n°1 page 51, 52.

3. Analyse et interprétation des résultats de l'étude:

Le questionnaire que nous avons conçu, se compose de six questions, dont trois fermées

et trois ouvertes. La méthodologie poursuivie dans le traitement de ce questionnaire est la

suivante:

3.1 Codage des réponses:

Pour les questions fermées, nous avons affecté aux réponses correctes la valeur 1, et 0

dans le cas échéant. Ces questions ont fait l'objet d'un traitement direct par un simple

comptage de réponses.

En ce qui concerne les questions ouvertes, nous avons effectué un traitement

approfondi qui consiste à analyser le contenu de chaque réponse donnée, afin de

pouvoir les classer par catégories.

3.2 Traitement informatique des résultats:

Vu l'importance de l'échantillon choisi pour notre enquête, il est devenu nécessaire

d'utiliser un traitement informatique pour le questionnaire dépouillé. Nous avons codifié

toutes les réponses, puis nous les avons saisi et enregistré dans des Fichiers Excel.

3.3 Exploitation des résultats:

Cette étape consiste, après une saisie des réponses dans Excel, à illustrer les résultats

sous forme de tableaux et graphiques pour mettre en évidence les opinions des apprenants

interrogés, et par la suite interpréter les résultats.


26

3.3.1. Interprétation des résultats de la question 1 :

En ce qui concerne la première question, après avoir traité les réponses des apprenants

et dessiner un graphe, nous avons constaté que 33,77% des apprenants affirment que le

raisonnement par l'absurde est celui où ils trouvent le plus de difficultés, et que seulement

29,22% voient le raisonnement par récurrence comme étant le plus difficile,

Par contre dans le quatrième niveau de difficultés nous trouvons que 38,64% ont classé

le raisonnement par récurrence comme étant le plus facile parmi le raisonnement proposé. Et

nous avons représenté ces résultats dans le graphe ci-dessous.

Enoncé de la 1ère

question :

Catégoriser les raisonnements suivant les difficultés que vous rencontrez lors de

leur usage

Equivalences successives

Raisonnement par l’absurde

Raisonnement par récurrence

Disjonction de cas


27


Figure 2 : Question1: Le raisonnement où les apprenants trouvent le plus de difficultés

Enoncé de la 2ème

question:

Parmi ces propostions, quelles sont celles qu'on peut démontrer en utilisant un

raisonnement par récurrence?


28

Dans l'énoncé de cette question, nous avons suggéré aux apprenants cinq propositions

dont deux seulement parmi elles, sont susceptibles d'être démontrer à l'aide du raisonnement

par récurrence. L'analyse des réponses des apprenants interrogés nous ont conduits aux

résultats que nous pouvons résumés dans le tableau et graphe représenté ci-dessous:

Nombres de réponses Question 2

Justes 105

Erronées 203

TOTAL 308

Parmi 308 réponses, il n'y a que 105 étudiants qui ont répondu correctement à la

deuxième question c’est-à-dire 34% au total, au profit de 203 autres qui ont coché les

mauvaises réponses, et représentent 66% des questionnés.

Figure 3 : Question 2: Parmi ces propositions, quelles sont celles qu'on peut démontrer avec Le raisonnement par récurrence?


29


La majorité des apprenants interrogés, soit 77%, ont assuré avoir utilisé le raisonnement

par récurrence dans d’autres leçons que "Principes de la logique" comme les montrent le

tableau et le graphe ci-dessous :

Réponses Nombres de Réponses

Oui 238

Non 70

TOTAL 308

Figure 4 : Question 3: Avez-vous utilisez le raisonnement par récurrence dans d'autres leçons que Principes de la logique?

Enoncé de ma 3ème

question:

Avez-vous déjà utilisé le raisonnement par récurrence dans d’autres leçons que

celui de la logique ?

Oui

Non


30

3.3. 4. Interprétation des résultats de la question 4 :

Cette question reste profondément liée à la précédente, puisqu'il s'agit de citer les

intitulés des cours où les apprenants ont déjà utilisé le raisonnement par récurrence.

Nous résumons les réponses fournies par les apprenants dans le graphe suivant:

Comme nous remarquons, il n'y a que 236 apprenants qui ont répondu à cette question,

c’est-à-dire 77% en total. Tandis que 72 apprenants n'ont pas du tout répondu à cette

questions, c’est-à-dire 23% des étudiants interrogés en total.

Pour détailler un peu plus les résultats, nous nous sommes intéressés à l'étude des copies

des apprenants qui ont précisé les intitulés des cours où le raisonnement par récurrence est

utilisé, et plus précisément ceux qui ont cité parmi les cours suggérés, le cours des "Suites".

Nous avons enregistré que 219 apprenants qui ont mentionné le cours des "Suites" dans leurs

propositions, c’est-à-dire à peu près 92% au total, au profit de 29 personnes qui ne l'on pas

fait, soit 8%.

Figure 5 : Question 4: Si vous avez déjà utilisez le raisonnement par récurrence dans d'autres cours, précisez les

Enoncé de la 4ème

question:

Si vous avez déjà utilisé le raisonnement par récurrence dans d'autres cours, précisez-

les.


31

Le graphe suivant illustre ce que nous venons de préciser.


En ce qui concerne la cinquième question, on a choisi de traiter chaque étape séparément.

Figure 6 : Les apprenants ayant répondus dans les cours précisés par les Suites

Enoncé de la 5ème

question:

Déterminer les étapes du raisonnement par récurrence pour les deux propositions

suivantes:


32

Première étape : L’initialisation

229 des apprenants ont négligé cette étape ce qui est équivalent à 74% de notre échantillon.

Comme présenté dans le graphe ci-dessous:

Deuxième étape : Etape de formulation de l’hérédité.

Quant à cette étape 24% seulement ont formulé l’hérédité correctement, et le graphe ci-

dessous nous présente les résultats trouvés.

Figure 7 : Question 5: Etape d'initialisation

Figure 8 : Question 5: Etape de formulation de l'hérédité


33

Troisième étape : Etape de la démonstration de l’hérédité.

Seulement 21% des apprenants arrivent à démontrer l’hérédité, et c’est ce que nous

pouvons conclure du graphe ci-dessous :

Quatrième étape : Etape de la conclusion.

Notre étude a démontré que 98% des apprenants ne citent pas la conclusion (la

propriété démontrée) à la fin de leurs démonstrations. Ci-dessous le graphe présentant cette

étape.

Figure 01 : Question 5: Etape de conclusion

Figure 9 : Question 5: Etape de démonstration de l'hérédité


34

Pendant le traitement de cette question, nous avons remarqué une grande différence

entre les réponses des classes option sciences mathématiques et ceux option sciences

expérimentales, ce qui nous a amené à étudier les deux options séparément.

Première étape : L’initialisation

Pour les classes options sciences mathématiques 74% des apprenants ont fourni une

réponse juste. Cependant pour les classes options sciences expérimentales seulement 13% ont

répondu correctement. Les graphes ci-dessous nous montrent les résultats trouvés.

Option: Sciences Mathématiques

Option: Sciences Expérimentales

Figure 11: Comparaison de la première étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales


35

Deuxième étape : Etape de la formulation de l’hérédité

Quant à la deuxième étape 52% des apprenants des classes option sciences

mathématiques ont bien formulé l’hérédité, tandis que pour les classes option sciences

expérimentales, 17% uniquement des apprenants sont parvenus à fournir une réponse juste.

Ci-dessous les graphes représentatifs.



Figure 12: Comparaison de la deuxième étape entre les sciences maths et sciences expérimentales


36

Troisième étape : Etape de démonstration de l’hérédité.

En ce qui concerne cette étape nous avons remarqué un grand écart entre le pourcentage

des apprenants ayant fourni une réponse correcte dans les classes option sciences

mathématiques, qui est de 48% et le pourcentage d’apprenants ayant répondu juste dans les

classes option sciences expérimentales qui ne dépasse pas 14%, et voici ci-dessous les

graphes qui expriment cette différence.



Figure 13: Comparaison de la troisième étape entre les sciences maths et sciences

expérimentales


37

Quatrième étape : Etape de la conclusion.

En ce qui concerne la dernière étape de la conclusion, nous avons remarqué que les

apprenants n'en donnent pas d’importance aussi bien pour les classes de sciences

mathématiques que pour les classes de sciences expérimentales. Pour la première option,

seulement 5% ont répondu juste et pour l’autre option uniquement 1%. Ci-dessous les graphes

représentant c’est résultats.



Figure 14: Comparaison de la quatrième étape entre les sciences maths et sciences expérimentales


38


En ce qui concerne cette question, il s'agit de mettre l'accent sur l'étape d'initialisation

du raisonnement par récurrence, et de permettre aux apprenants de repérer l'erreur parmi les

deux démonstrations proposées. L'étude des réponses des apprenants interrogés nous a

permis d'aboutir aux résultats représentés dans le graphe suivant:

Figure 05 : Question 6: Choisir parmi deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur

Enoncé de la 6ème

question:

Choisir parmi ces deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur:


39

108 étudiants parmi les 308 interrogés ont répondu correctement à cette question, c'est à

dire 35% au total. Tandis que les 200 autres ont donné des réponses erronées, soit 65% au

total.

Toutefois, ces résultats ne nous donnent pas une vision claire sur les difficultés

rencontrées par les apprenants au raisonnement par récurrence, et ceci est dû à la présence de

valeurs aberrantes (Les classes de sciences mathématiques).

Pour cette raison, nous avons jugé essentiel de répartir le traitement de cette question en

deux parties à savoir:

Pour les trois classes Sciences Mathématiques d'un côté,

Pour les neuf classes Sciences Expérimentales d'un autre.

Pour les trois classes Sciences Maths:

Parmi les 62 étudiants interrogés dans les trois classes de Sciences Maths, nous

trouvons 42 personnes qui ont repéré l'erreur dans le raisonnement et l'on expliquer, soit 79%

des apprenants au total. Tandis que les 13 restants n'ont pas du tout répondu à la question, ou

encore ils ont donné des réponses erronées, soit les 21% qui restent. Le graphe suivant résume

ce que nous venons développer.

Figure 06 : Question 6: Choisir parmi deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur (Sciences Maths)


40

En ce qui concerne les 9 classes de Sciences Expérimentales, nous trouvons 59

personnes parmi 246, qui ont repéré l'erreur dans les démonstrations proposées, soit 24% des

apprenants au total. Quant aux 13 qui restent, ils n'ont pas du tout répondu à la question, ou

encore ils ont donné des réponses erronées, soit 76%. Le graphe suivant résume ce que nous

venons d'expliciter.

Le découpage de cette dernière question, nous a permis en quelque sorte, d'apercevoir

que les étudiants de l'option Sciences Expérimentales ont plus de difficultés à s'approprier le

raisonnement par récurrence. Les étudiants des classes Sciences Mathématiques, ont à leurs

tours des difficultés dans ce type de raisonnement, mais ces difficultés restent remédiables.

4. Les difficultés détectées dans la mise en œuvre du raisonnement par

récurrence par les apprenants :

Après avoir analysé et interprété la totalité des réponses fournies par les apprenants,

nous pouvons expliciter les difficultés qu'ils trouvent dans l'élaboration du raisonnement par

récurrence dans ce qui suit:

Les apprenants confondent l'étape de l'hérédité avec celle de la conclusion,

Figure 07 : Question 6: Choisir parmi deux raisonnements proposés, celui où apparaît l'erreur (Sciences Expérimentales)


41

Les apprenants ont tendance à omettre quelques étapes du raisonnement par

récurrence, comme par exemple: l'initialisation et la conclusion,

Ils confondent entre la proposition nP et le nombre n,

Plusieurs apprenants trouvent des difficultés dans la démonstration de l'hérédité,

Certains apprenants n'arrivent même pas à traiter la première étape du raisonnement

par récurrence: l'initialisation,

Les apprenants utilisent parfois le raisonnement par récurrence pour démontrer une

propriété nP dépendant paramètre non entier.

Nous pouvons expliquer ces difficultés par:

Certains professeurs ne donnent pas aux apprenants le temps nécessaire pour

assimiler le raisonnement par récurrence,

La durée du cours "Principes de la logique" n'est pas suffisante pour bien maîtriser

ou saisir les différents types de raisonnement,

Les apprenants sont incapables d'utiliser le raisonnement par récurrence hors cette

leçon de logique.

Par conséquent, les apprenants ont du mal à s'approprier le raisonnement par récurrence.

Conclusion:

Pour conclure cette partie, nous pouvons dire que ce questionnaire nous a beaucoup aidé

pour faire le point sur les difficultés que les apprenants rencontrent dans la mise en œuvre des

étapes du raisonnement par récurrence. C'est pour cela que nous avons choisi de suggérer

dans la prochaine partie, des recommandations qui peuvent être utiles aux professeurs dans

leurs pratiques en classes pour pouvoir surmonter ces difficultés liées à ce type de

raisonnement mathématique.


42

Chapitre 5: Recommandations proposées pour développer la

capacité des apprenants à bien utiliser ce type de raisonnement :

Après avoir repérer les difficultés rencontrées par les apprenants dans l'élaboration du

raisonnement par récurrence dans le chapitre antécédent, nous allons nous concentrer dans le

présent chapitre sur la proposition de quelques recommandations que nous estimons qu'ils

soient utiles pour que les étudiants arrivent à surmonter les difficultés rencontrées lors de

l'usage des différents types de raisonnements mathématiques et surtout le raisonnement par

récurrence:

Programmer une partie du cours de logique mathématique au tronc commun

(Propositions, disjonction, conjonction, négation, implication, équivalence,

quantificateurs), tout en laissant la seconde partie, c’est-à-dire les raisonnements à la

1ère

année du baccalauréat.

Consacrer plus d'heures au cours de logique.

Insister sur le bon usage des raisonnements mathématiques dans toutes les leçons de

maths.

Proposer des problèmes qui font intervenir le raisonnement par récurrence, et insister

sur la résolution de ce type de problème.

Mentionner les différentes erreurs répandues lors de la mise en œuvre du raisonnement

par récurrence et d'expliquer où exactement résident ces erreurs, du genre:

Etape d'initialisation:

Pour montrer que: "( ) : "n

n p P , les apprenants ont tendance à commencer

l'initialisation par 0n , même dans le cas où 0p .

Etape de l'hérédité:

Il s'avère que lorsque les apprenants veulent formuler l'hypothèse de récurrence, la

majorité d'entre eux supposent que:"( ),n

n p P est vraie".

Etape de conclusion: Comme la plupart des apprenants ont tendance à négliger cette

étape, les professeurs doivent leur expliquer qu'elle est nécessaire dans le

raisonnement par récurrence, et que son absence ne va pas aboutir à la vérification de

la proposition.


43

Chapitre 6: Suggestion de quelques problèmes faisant intervenir

le raisonnement par récurrence :

Problème 1:

Objectif: Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du

nombre n de ses sommets.

1) Donner le nombre de diagonales d'un quadrilatère, d'un pentagone, d'un

hexagone?

On note nd le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets, pour n

supérieur ou égal à 4.

2) Que valent 4d , 5d , 6d et 7d ?

3) Deux des formules suivantes sont vraies pour toute valeur de n supérieure ou égale

à 4. Lesquelles ?

a) 1 3n nd d b) 1 2 ( 1)n

n nd d c) 1 2n nd d n

d) 1 1n nd d n e) 3 10nd x f)

2 3

2n

n nd

4) Démontrer ces deux formules.

5) Combien de diagonales possède un polygone convexe à 100 sommets ?

Indications:

la première en s'aidant d'une figure, pour le cas où n= 4.

la deuxième à l'aide de la première et d'un raisonnement par récurrence.


44

Problème 2:

Objectif: Préciser le nombre total de triangles équilatéraux de même taille

lorsque la base contient n triangles.

On empile des triangles équilatéraux comme sur la figure ci-contre:

Nombre de

Rangés (noté k)

Figure Nombre de

triangles

1

1

2

4

3

9

1) Quelle conjecture peut-on faire sur le nombre total de triangles avec n

triangles de base?

2) Démontrer par récurrence pour tout ( 2 1)n , la conjecture trouvée.

Indications:

Remarquer que le nombre total de triangle = (nombre de rangées)².

Remarquer que si le nombre de triangles dans la k ème rangée est n, alors

le nombre de triangles dans la rangée k+1 est n+2.


45

Problème 3:

Objectif: Trouver l'aire d'un flocon d'ordre n+1 en fonction de l'aire d'un flocon d'ordre n.

Le mathématicien Von Koch a proposé une construction simple d’un objet dit « fractal »

en 1904, sur un document intitulé Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par

une construction géométrique élémentaire.

La construction de ce « flocon » repose sur un principe simple : le point de départ

est un triangle équilatéral de côté 1.

Pour chacun de ses côtés, on effectue la construction suivante :

On diviser le segment en trois parties égales ;

On construire un triangle équilatéral « sur le segment du milieu »

On répète alors la construction précédente pour obtenir le flocon d’ordre 2, puis le

flocon d’ordre 3, etc.

Flocon d'ordre 0 Flocon d'ordre 1 Flocon d'ordre n

On note pour chaque entier n:

nl , la longueur d’un côté du flocon d’ordre n;

nC le nombre de côtés du flocon d’ordre n;

nA l’aire du flocon d’ordre n.

1). Déterminer les relations de récurrence qui permettent de passer, pour tout entier n, de

nl à 1nl , et de

nC à 1nC .

2). Trouver une relation de récurrence entre 1nA ,

nA , nC et

nl , et démontrer la en

utilisant le raisonnement par récurrence.


46

Indications:

Utiliser le tableau suivant:

Ordre n

du flocon

nl nC

nA

0 1 3 0,433013

1 0,333333333 12 0,57735

2 0,11111111 48 0,6415

On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a est :² 3

4

a.

On admet la relation suivante: 2 1 1

4)

9(n n nnAA A A


47

Problème 4:

Objectif: Calculer le nombre minimal de déplacement de n anneaux dans les tours de

HANOÏ.

Inventé par Édouard Lucas (1842-1891), arithméticien français. On connaît dans le

monde entier ce jeu de réflexion dans lequel le joueur doit répartir sur trois tiges, en

ordre croissant de taille, des disques en bois de diamètres différents. Il est composé d'une

planchette horizontale et de trois chevilles verticales.

L'énoncé de notre problème est le suivant:

Une planche de bois supporte trois tiges et sur l’une d’entre elles se trouvent 7

anneaux de diamètres décroissants : le plus large est en bas et le plus étroit se trouve en

haut. Le but du jeu est de transférer les sept anneaux sur une autre tige en respectant les

règles suivantes :

Règle 1 : On ne peut déplacer qu’un seul anneau à la fois. (Il s’agit donc de

prendre l’anneau se trouvant au sommet d’une tige pour le mettre sur une autre

tige).

Règle 2 : Il est interdit de placer un anneau au-dessus d’un anneau de diamètre

inférieur.

Questions :

1) Quel est le nombre de déplacements minimal 7d requis pour amener les sept

anneaux sur une autre tige ?

2) Conjecturer dans le cas où la tige contient n anneaux? Démontrer cette

conjecture.

Indications :

Exprimer le nombre de déplacement en fonction de n.

On pose: 1 2 1 1

...... 12 1

22 2 2 2

n

n n


48

Problème 5:

Objectif : Déterminer le nombre maximal de points d’intersection de n cercles.

On considère n cercles dans le plan de sorte que le nombre de points d’intersection

de ces cercles deux à deux soit le plus grand possible. Déterminer en fonction de n le

nombre de ces points d’intersection. Justifiez tout ce que vous affirmez.

Indications :

Aider-vous de la figure ci-dessus, et des cas où n=2 et n=3.

Démontrer par récurrence la relation trouvée.


49

Conclusion générale:

L'étude que nous avons faite nous a permis de faire le point sur les difficultés

qu'affrontent les apprenants, lorsqu'ils utilisent le raisonnement par récurrence, et ceci nous a

été certifié par les résultats obtenus lors du traitement du questionnaire que nous avons conçu.

En effet, nous avons distribué ce questionnaire auprès de 308 étudiants, de deux lycées

à Casablanca, issus d'options et de niveaux différents, nous citons:

1ère

année baccalauréat Sciences Mathématiques,

2ème

année baccalauréat (Sciences Mathématiques- Sciences Expérimentales).

Lors du traitement des résultats du questionnaire dépouillé, nous avons remarqué que la

majorité des apprenants interrogés confirment, dans les premières réponses qu'ils ont fournies,

que le raisonnement par récurrence est l'un des raisonnements les plus faciles à établir. Mais,

il s'avère que ce n'est pas du tout le cas, puisque d'après les réponses aux questions qui

suivent, nous avons constaté qu'ils ne donnent pas d'importance à toutes les étapes du

raisonnement par récurrence, et ils ont tendance à omettre les étapes d'introduction et de

conclusion. De plus, ils commettent des erreurs lors de la formulation et de la démonstration

de l'hérédité.

Aussi, nous avons repéré une disparité entre les niveaux des options Sciences

Mathématiques et Sciences Expérimentales, ce qui nous a amené à traiter ces deux filières

séparément pour les deux dernières questions proposées dans le questionnaire.

Ainsi, face à ces obstacles, nous avons suggéré des recommandations à effectuer, afin

de les diminuer, et nous avons également proposé quelques problèmes de mathématiques qui

font intervenir ce type de raisonnement.

Par ailleurs, lors de notre stage au lycée d'accueil, nous avons remarqué que les

apprenants trouvent également des difficultés dans d'autres types de raisonnement, notamment

le raisonnement par l'absurde, ce qui nous a été attesté par le questionnaire que nous avons

conçu. Dans ce contexte, nous estimons qu'une étude similaire peut être faite sur ces types de

raisonnement, dont le but de diagnostiquer les problèmes qu'ils engendrent. Sujets qu'on

propose aux futurs professeurs stagiaires ou aux spécialistes.


50

Bibliographie:

Les programmes et orientations pédagogiques officielles.

Lectures sur les Mathématiques, l’enseignement & les concours. Volume 4. Edition:

Publibook.

La récurrence au fil des siècles, Article paru dans le Bulletin Vert n° 506 (novembre-

décembre 2013), page 600.

Article de Hervé Dumez, Le Libellio d’ AEGIS Vol. 8, n° 3 – Automne 2012

Livre :Aulu-Gelle - les Nuits attiques- Livre quinzième

Extrait du livre Lectures sur les Mathématiques, l'enseignement et les concours,

Volume 4, page 45 Par Dany-Jack Mercier

Webographie:


http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/raisonnement/66273

http://ginoux.univ-tln.fr/HDS/Raisonnement.pdf

http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/raisonnement_demo.pdf

http://www.inrp.fr/editionelectronique/lodel/dictionnaireferdinandbuisson/document.p

hp?id=3488

http://www.acgrenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_rec

urrence1.htm#

http://www.unige.ch/lettres/philo/cours/logique.pdf

http://dicophilo.fr/definition/inference/

http://www.philonet.fr/cours/Pens/Demonst.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_d%C3%A9ductif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syllogisme

http://www.mathovore.fr/problemes-ouverts.php

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&sqi=2&ved=0CCgQkA4oADAA&url=http%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FRaisonnement&ei=VzF2U-CRKMW70QXP_4GgCw&usg=AFQjCNELotAbmV9Gn4vF1dlTRQIf6HFuug&bvm=bv.66699033,d.d2k

http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/raisonnement/66273

http://ginoux.univ-tln.fr/HDS/Raisonnement.pdf

http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/raisonnement_demo.pdf

http://www.inrp.fr/editionelectronique/lodel/dictionnaireferdinandbuisson/document.php?id=3488

http://www.inrp.fr/editionelectronique/lodel/dictionnaireferdinandbuisson/document.php?id=3488

http://www.acgrenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm

http://www.acgrenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm

http://www.unige.ch/lettres/philo/cours/logique.pdf

http://dicophilo.fr/definition/inference/

http://www.philonet.fr/cours/Pens/Demonst.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_d%C3%A9ductif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syllogisme

http://www.mathovore.fr/problemes-ouverts.php


51

Annexe 1: Questionnaire proposé sur le raisonnement par

récurrence:

بالترجع الستداللاستمارة حول ا

إلى تحسين يهدف باألساس إطار بحث تربوي حول طرق االستدالل الرياضي،تندرج هذه االستمارة في

نجاح هذا البحث.مستوى التعليم ببالدنا. شكرا على تعاونكم في إ

االستدالل التالية و ذلك حسب الصعوبة التي تواجهك عند استعمالها: صنف طرق (1

التكافؤات المتتالية

الخلف

الترجع

فصل الحاالت

البرهان بالترجع إلثباتها: استعمال تستدعي التي تلك هي ما التالية، العبارات بين من (2

0; 1 1y

x y x xy

* 1 2n n

n

"np ²عدد زوجي أو ² n p 8مضاعف ل." n p

2 1nn n

* 2 : 2 7n n n

هل سبق لك استعمال البرهان بالترجع في دروس غير درس مبادئ في المنطق؟ (3

نعم

ال

الدروس؟ هذه اذكر بنعم، اإلجابة حالة في (4

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

المؤسسة التعليمية: المستوى:


52

بالترجع إلثبات هاتين العبارتين:حدد خطوات البرهان (5

( 4) : 2 ²nn n n

7

( ) 777...77 (10 1)9

n

n

n

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

في نظرك أيهما على صواب أحمد أم فاطمة؟ أبرز الخلل في البرهان الخاطئ . (6

صحة العبارة التالية : إثباتأراد أحمد

)*يقسم 9" ) :10 1nn N "

فقام بالبرهان التالي:

9نفترض أن |10 1n 19و نبين أن |10 1n

110لدينا: 1 10.10 1n n

(9 1).10 1n

9.10 10 1 n n

110 يقسم 9و بالتالي 1n

يقسم 9خالصة: * :10 1nn

إثبات عكس ما أثبته أحمد:أرادت فاطمة

ال يقسم 9" * :10 1nn "

:كاآلتيو ذلك

*من nليكن

لدينا:

10 1 100 0 1n

1

100 01n

:إذن ،2مجموع أرقام العدد أعاله هو

10 1n لكل 9ال يقبل القسمة علىn من*

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

مرة

يقبل القسمة

9على يقبل القسمة

9على

n ر ف ص

صفر

Raisonnement par récurrence, sa place et ses … · raisonnement est une activité qui se passe au...

Documents

Transcript of Raisonnement par récurrence, sa place et ses … · raisonnement est une activité qui se passe au...