1. Oui.

2. Oui, dès lors que est indépendant du temps.

3. Non.

Graphe des votes

est-elle toujours vraie ?

On considère le ket associé à un état physiquement acceptable

pour un système décrit par l’hamiltonien . La relation

Quiz de bienvenue

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Table ronde animée par Philippe Grangier

sur 30 ans de cryptographie quantique

mardi 02/09 de 18h à 20h.

ENSAM, 151 Bd de l’Hôpital, Paris

voir site web du département de physique

pour les modalités d’inscription

www.orolia.com

Emilian Dudas, Jérôme Faure, Karyn Le Hur, Luca Perfetti,

Pascale Senellart, Jean-Eric Wegrowe, Manuel Joffre

Poursuite de l’apprentissage des principes fondamentaux (Pauli)

Nouvelles méthodes pour traiter des problèmes plus complexes (3D)

Exploitation des symétries du système (translation, rotation, …)

Méthodes d’approximation (perturbations, variations, …)

Structure de la matière : atomes, molécules, solides

Quelques exemples de technologies quantiques (horloges atomiques,

spectroscopie infrarouge, détecteurs à puits quantiques, etc.)

Physique quantique avancée

- Diapos et simulations présentées en amphi

- Guide de lecture du livre (correspondance amphis – chapitres)

- Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 9h00)

- Boîtiers de vote électronique

http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/Manuel.Joffre/phy430

Jean-Louis Basdevant

&

Jean Dalibard

Ressources pédagogiques

Participation au QCM contribue à la note de PC

(avec Devoirs à la Maison et participation en PC)

Chapitres 1 à 17

(sauf 15.1-15.3)

Etat quantique d’un système

Mesure

Evolution temporelle

Commutation des observables

Amphi 1 :

Les principes de la physique quantique

Relire le chapitre 5

Refaire le contrôle PHY311 du 2 juillet 2014

1.

Etat quantique d’un système

Principe 1 : espace de Hilbert et vecteur d’état

A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié

L’état du système est défini par un vecteur normé appelé ket

Base hilbertienne

Cas du mouvement d’une

particule ponctuelle

TF

Rappels sur la notation de Dirac

Vecteur

colonne

Matrice

carrée

Vecteur

ligne

Bra Ket

Bracket

Soit un opérateur linéaire agissant dans

Elément de matrice

est un opérateur.

est un projecteur.

est le projecteur sur l’état

Projecteur sur le ket

Point de vue matriciel

La relation de fermeture

Système Espace de Hilbert Etat quantique

Particule ponctuelle

Ensemble de deux

particules (ex : H)

Vibration d’une

molécule diatomique

Etat de polarisation

d’un photon

Espace de

dimension 2

Spin 1/2 Espace de

dimension 2

Exemples d’espaces de Hilbert

Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert

Soit un système quantique (a) décrit par l’espace de Hilbert de base

Soit un système quantique (b) décrit par l’espace de Hilbert de base

Si (a) est dans l’état et (b) est dans l’état , alors l’état du système

quantique global est noté

produit tensoriel

L’espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé

espace produit tensoriel et est noté

La forme générale d’un état est : Etats factorisés

Etats intriqués

Plusieurs degrés de liberté d’une même particule

Particule sans spin

Particule de spin ½

Superposition linéaire entre :

- un paquet d’ondes associé à un état magnétique

- un paquet d’ondes associé à un état magnétique

base de

base de

Système constitué de plusieurs particules

Deux particules de spin ½

Deux spins ½ (sans prise en compte des degrés de liberté externes)

(a)

(b)

2.

Mesure

Principe 2 : Mesure d’une grandeur physique

Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint

(ou hermitien) appelé observable.

Les valeurs propres de sont réelles.

Le résultat d’une mesure de est l’une des valeurs propres de .

Si le système est dans l’état , la probabilité de mesurer est

Après la mesure de , le système est projeté dans l’état

Théorème spectral :

Les vecteurs propres de constituent une base de

Exemple de mesure : l’expérience de Stern et Gerlach

Schrödinger

MESURE

OU

Evolution

Réversible Evolution

irréversible

Laser

Effet de la dégénérescence des espaces propres

Cas non dégénéré Cas dégénéré

Projecteur

Dimension espace propre = 1 Dimension espace propre =

Etat après mesure

Probabilité de mesurer

Soit un ensemble de deux particules de spins ½ placées dans l’état

A. 0

B. ½

C. 1

D.

E.

F.

Mesure dans un espace produit tensoriel

Graphe des votes

On mesure la grandeur . Quelle est la probabilité de trouver , et

dans cette éventualité, quel est l’état du système après la mesure ?

3.

Evolution temporelle

Principe 3 : Equation de Schrödinger

En l’absence de mesures, l’évolution du vecteur d’état est donnée

par l’équation de Schrödinger

L’opérateur est l’Hamiltonien. C’est l’observable énergie.

Pour un système isolé, l’Hamiltonien est indépendant du temps:

Exemple de système isolé : atome d’hydrogène (amphi 4)

Exemple de système non isolé :

spin ½ dans un champ magnétique tournant (RMN – PHY311 amphi 7)

Evolution temporelle d’un système isolé

Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de

puis de développer sur cette base propre:

avec

E1

E2

E3

Dans un puits infini, on effectue une mesure

d’énergie qui donne la valeur E2. Après la

mesure, la position moyenne de la particule

dans le puits :

1. oscille à la fréquence E1 /h,

2. oscille à la fréquence E2 /h,

3. oscille à la fréquence (E2 - E1)/h,

4. n’oscille pas.

Evolution temporelle suite à une mesure d’énergie

Graphe des votes

Superposition linéaire dans un puits infini

4.

Commutation des observables

Algèbre non commutative : en général,

Quelques règles utiles sur les commutateurs

Définition

Un commutateur sert à remettre à l’«endroit» un produit de deux opérateurs

Bilinéarité du commutateur

Commutateur entre un produit d’opérateurs et un autre opérateur

Par exemple :

Observables qui ne commutent pas

Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B.

Exemple

(PC1)

Relation d’incertitude de Heisenberg

Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da

sur la grandeur A, alors la relation d’incertitude impose une borne

inférieure sur l’incertitude Db de la grandeur B dans cet état.

Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation

d’incertitude impose une borne inférieure sur l’incertitude Db de la

grandeur B dans l’état du système après la mesure.

(exercice)

Observables qui commutent

Après des mesures successives des grandeurs A et B, le système est

dans un sous-espace propre commun à A et B. Les grandeurs physiques

correspondantes sont donc connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0.

(exercice) Tout sous-espace propre de est stable par

Il existe une base propre commune à et (exercice)

Si ne dépend pas explicitement du temps et si , alors la

grandeur est une constante du mouvement (d’après Th. d’Ehrenfest) :

En résumé

Principe 1 :

Principe 2 : mesure

Principe 3 :

Il existe une base propre commune à et

Relation d’incertitude de Heisenberg

Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs)

Chapitre 5