QUESTIONS FLASH
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Primitives, équations différentielles
Problème de Florimond de Beaune
« Trouver une courbe telle qu'en tout
point, la sous-tangente C soit
constante »
Problème de l’isochrone :
« Trouver une ligne de descente, dans laquelle le corps
pesant descende uniformément, et approche également
de l’horizon en temps égaux »
QUESTIONS FLASH
QUESTION 1
Déterminer une fonction � dérivable sur 0; +∞ telle que
�� � =
−
� , pour tout réel � > 0
QUESTION 2
Déterminer une fonction � dérivable sur ℝ telle que
�� � = � + 5 , pour tout réel � > 0
QUESTION 3
On considère la fonction � définie sur ℝ par
�(�) = �����
Cette fonction est la dérivée sur ℝ de la fonction F définie par :a. � � = �����
b. � � = −2�����
c. � � = −
������
d. � � = 3�����
CORRECTION
QUESTION 1
Déterminer une fonction � dérivable sur 0; +∞ telle que
�� � =
−
� , pour tout réel � > 0
QUESTION 2
Déterminer une fonction � dérivable sur ℝ telle que
�� � = � + 5 , pour tout réel � > 0
QUESTION 3
On considère la fonction � définie sur ℝ par
�(�) = �����
Cette fonction est la dérivée sur ℝ de la fonction � définie par :
a. � � = �����
b. � � = −2�����
c. � � = −
������
d. � � = 3�����
Équation différentielle
Définition
Une équation différentielle est une égalité liant une fonction dérivable � à sa fonction dérivée
�′ (voire à ses fonctions dérivées ���, ���� …) et éventuellement d’autres fonctions.
Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions dérivables vérifiant
l’égalité.
Résoudre sur 0; +∞ l�équation �′ =
−
�
Résoudre sur ℝ l�équation �′ = �
Résoudre sur ℝ l�équation ��� = −9�
Équation différentielle -� = .
Définition
Soit � une fonction continue, définie sur un intervalle /Une fonction � est une primitive de � sur I , lorsque pour tout réel � ∈ /, �� � = �(�)
Remarque
Une primitive de � sur / est solution de l’équation différentielle �� = �
• Soit � la fonction définie sur 0; +∞ �(�) =
−
� .
La fonction � définie sur 0; +∞ par � � = ln � +
+ 2020
est une primitive de � sur 0; +∞
• La fonction 3 définie sur ℝ par 3 � = 2�� + 3� − � est une primitive
de la fonction 4 définie par 4 � = 4� + 3 − �.
Équation différentielle -� = .
Propriété
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Les fonctions � �6 3 définies sur ℝ par � � = �� + 2� �6 3 � = �� + 2� − 3sont des primitives de la fonction � définie par � � = 2� + 2.
Primitives des fonctions de référenceFonction . Intervalle Primitive
� � = 7 ℝ
� � = �8 , 9 ≥ 1 entier ℝ
� � =1
�
0; +∞
� � =
< , 9 > 1 entier −∞; 0 ou 0; +∞
� � =1
�
0; +∞
� � = � ℝ
� � = cos � ℝ
� � = sin � ℝ
Primitives des fonctions de référencePropriété
Soit > définie et dérivable sur / et telle que, pour tout réel � ∈ /, > � ∈ ?Soit @ définie et dérivable sur ?
Alors � = @ ∘ > est définie et dérivable sur I et, pour tout réel � ∈ /, �� � = @� > � × >′(�)
Soit la fonction � définie sur 0; +∞ par � � = ln(3�).
Primitives de fonctions ayant des formes remarquablesFonction de la forme Primitive Conditions
� + 4 � + 3
7� 7�
>′�C �C
>� × >8 , 9 > 1 entier >8�
9 + 1
>′
>
ln(>) Pour > � > 0
>′
>
2 > Pour > � > 0
>�cos (>) sin (>)
>�sin (>) −cos (>)
Recherche d’une primitive de formes remarquables
● � � = 4�E� F>G ℝ
● 4 � =1
� + 1 F>G −1 ; +∞
Équation différentielle -� = H-
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les
fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.
Équation différentielle -� = H-Propriété
Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les
fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.
�� =1
2�
� � = J��
Équation différentielle -� = H-
�� =1
2�
� � = J��
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle �� = I� , où a est un nombre réel sont les
fonctions définies sur ℝ par � � = J�K , avec J réel.
Pour un couple �L; �L de réels donnés, il existe une unique fonction solution vérifiant
� �L = �L
Équation différentielle -� = H- + MPropriété
Soit l’équation différentielle (N) : �� = I� + O , où I et O sont des nombre réels.
Soit 4 une solution particulière de (N) � est solution de (N) si et seulement si � − 4 est solution de l’équation différentielle �� = I�
Résoudre l’équation différentielle N ∶ �� = 3� − 1
Quelle solution � de l’équation (N) vérifie � 0 = 1 ?
Equation différentielle -� = H- + .
Soit l’équation différentielle N ∶ �� + 3� = ��
a. Vérifier que la fonction définie sur ℝ par Q � = 0,2��est solution de N .
b. Montrer que � est solution de N équivaut � − Q solution de �� + 3� = 0.
c. En déduire les solutions de (N).
Propriété
Soit l’équation différentielle (N) : �� = I� + � , où I est un nombre réel et � une fonction définie
et continue sur ℝ
Soit 4 une solution particulière de (N) � est solution de (N) si et seulement si � − 4 est solution de l’équation différentielle �� = I�
EXERCICES
EXERCICE 1
1) Les fonctions � et 3 définies sur ℝ par � � = 3� + 1 � et 3(�) = (4� + 3)� sont-elles des primitives de la fonction � définie sur ℝ par � � = 3� + 4 � ?
2) Déterminer une primitive de la fonction ℎ définie sur ℝ par ℎ � =�
��.
CORRECTION 1
EXERCICE 2
• �(�) = cos (3�) est-elle solution de �′′ = −9� ?
• 4(�) = sin (3�) + 4 est-elle solution de �′′ = −9� ?
• ℎ(�) = sin (3� + 4) est-elle solution de �′′ = −9� ?
CORRECTION 2
EXERCICE 3
Résoudre l’équation différentielle �’ = −2�
Résoudre l’équation différentielle �’ = −2� − 5
CORRECTION 3