Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques

Quelques questions d'espaees vectoriels topologiques

par ALAIN ROBERT

0. Introduction et espaces semi-complets

0.1 Notations g6n6rales et conventions

Les espaces uniformes intervenant sont toujours suppos6s s6par6s sauf mention explicite du contraire (Chap. 3).

Si E est un espace uniforme, on note toujours /~ son compl6t6 (6ventuellement muni de structures additionnelles, par exemple espace vectoriel . . . . ).

Les espaces vectoriels seront toujours des espaces vectoriels sur K = R ou C. Lorsqu 'on parle d'elc. (espace localement convexe) on sous-entend toujours s6par6

d'apr~s ce qui pr6c~de. (~-) (resp. (:~'), (L~a~-)) d6notera un espace de Fr6chet (resp de Schwarz, limite

inductive non n6c. stricte d'une suite d'espaces de Fr6chet). Sur L (E, F) (E, F elc., espace des applications E~Fl in6a i res continues) lorsqu'on

parle de ~-topologie, on sous-entend que ~ est un recouvrement de E form6 de parties born6es. (On peut toujours supposer les A ~ ~ disqu6s - i.e. convexes et 6qui- libr6s - ferm6s, que tout disque ferm6 B c A ~ ~ est encore dans ~ et que toute r6union finie d'ensembles de ~ est contenue dans un ensemble de ~ . )

Si E, F sont des elc., on note ~ (E, F) l 'ensemble des formes bilin6aires s6par6ment continues sur E x F (avec diff6rentes topologies en indice...) et B(E, F) l 'espace des formes bilin6aires continues sur E x F.

Les notations d'espaces norm6s associ6s & un E elc. : E8 (B born6 disqu6, espace engendr6 par B muni de la norme jauge de B), Ev (V voisinage de 0 disqu6, espace s6par6 associ6 & la semi-norme jauge de V), sont aujourd'hui courantes. On dit que B e s t compl6tant lorsque EB est complet (rappelons que B semi-complet =:- B com-

pl6tant). Puisqu'une partie importante du travail qui suit consiste en l'6tude de la quasi-

compl6tion d 'un espace localement convexe s6par6, il n'est peut-&re pas inutile de rappeler les r6sultats classiques sur les espaces semi-complets d 'abord, ofJ la situation pr6sertte certaines analogies, et d'indiquer ensuite les raisons principales de l'int6r~t

des espaces quasi-complets.

0.2 Espaces semi-complets

(Pour de plus amples d6tails, cf. 1-19-1.) Dans une optique constructive des math6matiques - ne faisant pas intervenir

l 'axiome du choix - on est amen6 ~t d6finir et ~t utiliser les espaces semi-complets off

Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques 315

la convergence des filtres quelconques est remplac6e par la convergence des seules suites de Cauchy.

(0.2.1) DI~FINITION. E espace uniforme.

E semi-complet ~ Toute suite de Cauchy de E converge. Les exemples d'espaces semi-complets (mSme non complets) sont nombreux: (0.2.2) Soit I un ensemble non d6nombrable et soit:

H 'R = {(xl)1 I xi = 0 sauf pour un ensemble d6nombrable au plus) c I~R I I

muni de la topologie induite par le produit. Cet espace est semi-complet puisqu'une r6union d6nombrable d'ensembles

d6nombrables est d~nombrable, mais n'est pas complet: son compl6t6 est l'espace produit 1-I R entier (l'ensemble des suites & support au plus fini @ R 6tant d6j& dense

I I

dans le produit [ IR) . I

(0.2.3) Prenons encore: E = {f: R-~R [ f mesurable pour la mesure de Lebesgue}

Cet espace est semi-complet en vertu du th6orbme d'Egoroff (cf, [43 p. 175) pour la topologie de la convergence simple.

Son compl6t6, comme dans l'exemple pr6c6dent (0.2.2) s'identifie h l'ensemble de toutes les fonctions r6elles:

(R, R) = R ~ .

(0.2.4) Les espaces semi-complets ont les propri6t6s de stabilit6 habituelles et triviales ~ v6rifier:

a) (Ei) famille d'espaces uniformes non vides: I-I Ei semi-complet ~ E i semi-complet Vi

b) E espace uniforme semi-complet, F sous-espace fermO ~ F semi-complet. (La rdciproque n'est pas vraie comme le montrent les exemples qui pr6c6dent.)

c) L'intersection d'une famille de sous-espaces semi-complets d'un espace est semi- complOte. L'int6rat de la semi-compl6tion en elc. provient des deux propri6tds suivantes:

a) E elc. Les parties born&s disqu&s semi-complktes de E sont absorb&spar tout tonneau.

b) E semi-complet, Felc . Toute partie simplement born& de L(E, F) est born& pour toute ~-topologie. (cf. [3] p. 34 Ex. 10.)

0.3 Semi-compldt&

Soit E un espace uniforme. On peut d6finir de plusieurs fagons le semi-compl6t6 de E, plus petit sous-espace semi-complet contenant E. De faqon plus pr6cise:

(0.3.1) L'intersection des sous-espaces semi-complets de/~ contenant E est appel6

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semi-compl6t6 de E (0.2.4.c). On peut aussi le d6finir comme solution d'un probl6me universel:

(0.3.2) II existe un espace uniforme/~ semi-complet et une application E '~ ~/~ uniform6ment continue (uniques/t isomorphisme unique pr6s) solution du probl6me universel suivant.

VX semi-eomplet et V f : E-~ X uniformdment continue, 3f unique, factorisation de f par ~:

ELX

L'existence d'une telle solution d6coule des propri6tds de permanence cit6es ci- dessus (0.2.4), et du fait que l'adh6rence d'une partie A d'un espace uniforme a un cardinal major6 par:

22(c~a A)

(cf. BOURBAKI, Ens. Structures). (0.3.3) De faqon constructive, on peut d6finir E(o ) = E,

E(1) = {xe/~ ] x = l imx. off (x.) suite de Cauchy de E}

et comme E(~) n'est en g6n6ral pas semi-complet, on est conduit h recommencer l 'op6ration par induction:

E(,+I) = (E(,))(1) VnEN

I1 arrive encore parfois que la r6union des E, ne soit pas semi-compl6te. On pose alors par induction transfinie, Va ordinal

E(,) = (E(~_ 1))O) si ~ a un pr6d6cesseur ~ - I

E(,) = I,_) E(r si ~ est ordinal limite ~<~

Le plus petit ordinal ~ tel que E(,)=E(,+I) (I1 y e n a pour des raisons de cardinal de E !) est appel6 ordre de semi-compl6tion de E.

De faqon plus pr6cise, on a m~me toujours E(,ol)= E(,ol+ 1) (off o31 d6note le premier ordinal non d6nombrable). En effet si (x,) est une suite de Cauchy de E(,ol), on a x, eE(r et puisque la suite d6nombrable d'ordinaux (4,) ne saurait ~tre cofinale o3a, il y a un ordinal ~>~, Vn, ~<o31 d'ofi Vn x,~E(r et x=limx,~E(~+l)cE(~,).

0.4 Exemples de semi-compldtion

(0.4.1) Prenons pour E l'espace des fonctions num6riques r6elles continues sur R : E = ~ ' ( R ) muni de la topologie induite par le produit R R (fournissant done la


structure uniforme de la convergence simple). Dans la th6se de BA1RE figure explicite- m e n t - pour la premiere fois - une fonct ionf~Ez, fr dite fonction de classe (de Baire) 2. Dans un article ult6rieur (Acta Math. 1906) il cite une fonction de classe 3. (Ult6rieurement, Melle. KELDYCH cite une fonction de classe 4.)

Pour son compte, LEBESGUE - d a n s son m6moire sur les fonctions repr6sentables analytiquement (1905) - donne l'existence de fonctions de toutes les classes <~o 1 et d6montre donc par l~t que l'espace E consid6r6 est d 'ordre de semi-compl6tion maximum co~. (Sa d6monstration n'est plus constructive et utilise l 'axiome du choix) (cf. [5]).

(0.4.2) BANACH en 1932, dans [1], donne une mani6re inductive de construire des parties de I~ qui soient d 'ordre de semi-compl6tion - pour la topologie faible de dual de (Co) arbitrairement grand < 091 (cf. [1]: appendice).

0.5 Espaces localement convexes quasi-complets

La semi-compl&ion en elc. s'utilise assez peu, car elle ne se laisse pas caract6riser par dualit6, de sorte que les techniques habituelles d'elc, ne s'appliquent pas. D'autre part les espaces semi-complets habituels, ont des propri&6s (de compl&ion) suppl6- mentaires. On introduit alors la notion plus forte (plus forte car les suites de Cauchy d'un elc. sont toujours born&s)

(0.5.1) DI~FINIT1ON E elc. E quasi-complet ~ Toutfermd born3 de E est complet. (0.5.2) Donnons quelques propri6t6s principales des elc. quasi-complets. Puisqu'un elc. quasi-complet est semi-complet, on a d 'abord: E quasi-complet ~ les born3s de Le(E, F) sont les m~mes pour toutes les ~-topo-

logies. En partieulier, on parle de born~ du dual E' sans prdcisier la topologie. Propri&6s de permanence: a) (Ei) famille d'elc. :

[-I Ei quasi-complet <=~ E i quasi-complet Vi GEi quasi-complet ,r El quasi-complet Vi

b) Tout sous-espace fermd d' un espace quasi-complet est quasi-complet. c) Toute intersection d'une famille de sous-espaces quasi-complets d'un elc. est

quasi-complkte. Signalons encore le th6or6me: I-3] p. 31

E tonneld, F quasi-complet ~ L~ (E, F) quasi-complet V~-topologie.

En particulier les duals faibles de tonnel6s (ou duals forts de tonnel6s, mais ils sont souvent complets) sont des exemples d'espaces quasi-complets. Plus particuli6re- ment, les duals faibles des espaces de Banach sont quasi-complets, et non complets

s'ils sont de dimension infinie.

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I. Quasi-completion d'un elc

1.1 Existence et construction

Soit E un elc., on va mont re r comme en (0.3.2) l 'existence d 'un <<plus petit>> quasi- complet contenant E.

Soit E la structure d'etc, quasi-complet avec pour morphismes a, les applications lin6aires continues (au tomat iquement uniform6ment continues) et prenons pour a-applicat ions les applications lin6aires continues d 'un elc. dans un elc. quasi-complet . Le probl6me universel relatif ~ ces donn6es admet une solution (unique h isomorphisme unique pr6s, c o m m e on voit catfigoriquement)

E ~ F

r~ (L 'adh6rence de ~o(E) est une part ie E-permise de F, de cardinal ~< 21 . . . . e, et on

peut appliquer le r6sultat de th6orie des ensembles cit6 en (0.3.2), grace aux propri6t6s (0.5.2). (cf. [18] p. 298)

(1.1.1) PROPOSITION. q~ est un hom~omorphisme dans E et done FE s'identifie au sous-espaee de E, intersection des quasi-complets contenant E.

D~monstration. Prenant F = K , le th6or~me de Hahn-Banach indique que ~o E est injective, puis prenant F = E on voit que ~o E est un hom6omorph i sme dans.

Pour voir que F E a bien la topologie induite par E, on remarque que /~ est aussi le compl6t~ de F r pu isqu 'on v6rifie facilement qu' i l jouit de la propri6t6 universelle le d6finissant.

(1.1.2) CONSTRUCTION. On d6finit E o = E puis par induction transfinie, pour tout ordinal:

/ [,_J E~ si ~ est ordinal limite E,=

r6union des adh. dans f" des born6s de E ,_ ~ si ~ a un pr6d6cesseur ~ - 1 (On peut se borner h d6finir a~-~E, sur le segment des ordinaux ~< un ordinal

plus grand que l 'ordinal initial relatif au cardinal d 'une base alg6brique de E.) I1 est clair - pour des raisons de cardinal - qu 'on a finalement

E, = E~+1 = [..J E~

et que: E,=E,+Ir ~ quasi-complet . (1.1.3) PROPOSmON. E, F elc. f : E ~ F lin(aire continue, ~ ordinal, S!f~ continue

rendant commutatif le diagramme suivant:

ELF


Ddmonstration. Par induction transfinie. Le seul cas ~t examiner est celui o/I admet un pr6decesseur et dans ce cas on applique la Prop. 8 p. 10 de [3].

(1.1.4) PROPOSITION. U E , est le quasi-eompl~t~ de E. D~monstration. On vient de dire que [,_)E, est quasi-complet, v6rifions la propri6t6

universelle: soit F u n elc. quasi-complet, f : E--,F lin6aire continue. Alors f fournit univoquement f , : E , ~ F , = F d'ofl la proposition.

Le plus petit ordinal ~ tel que E~=E,+I est appel6 ordre de quasi-compl6tion de E (ou simplement ordre dans ce travail)

E d'ordre 0 ~ E = E o = ElopE quasi-complet. Les espaces m6trisables sont tous d'ordre ~< 1 (quasi-compl6t6 = compt6t6, car les

suites de Cauchy fournissent d6j/~ la compl6t6). Le quasi-compl6t6 d'un espace E sera not6 E.

(1.1.5) PROPOSmON. a) E elc infratonnel~ ~ • tonnel& b) E bornologique ~ ff~ ultrabornologique (donc tonnel~) Ddmonstration. a) On remarque d'abord que si F est un sous-espace de/~ con-

tenant E, et si Ees t infratonnel6, F est infratonnel6, d'ofl le r6sultat car les born6s faibles du dual de ~ quasi-complet sont born6s forts.

b) Trivial d'apr6s les d6finitions (cf. I-3] p. 34 Ex. 11).

1.2 Exemples

(1.2.1) ENSEMBLE D'INDICES A. Ddfinissons un ensemble d'indices A qui va r6appara~tre dans ce travail. Consid6rons d'abord :

~ = {(2.) [ (2.) suite strictement croiss, d'entiers >0} et munissons-le de la relation d'ordre (comparaison forte):

(2,) ,~ (p,) r {V~ou >bien0' qN(2,)t.q.= (P,) si n/> N alors ct2, < p,

On remarque que (2,) ,~(p,)~V~>0, ~(2,)= (~t2,),~(p,), ou bien (2n)=(#,) Soit A une partie totalement ordonn6e maximale de M (Zorn).

LEMME : (Ctx)z~ a famille de R* t 32=(2,)~M, n~N arb. grand, t.q.

( ~ . ) ~ i ~ I ~ I ' ~ . > m Par consOquent {c~. 21 2~ A } n'est pas un ensemble bornd de I-I R.

N Ddmonstration. Sinon on aurait [ ~ 1"2,~</~, Vn~>Nz. On pourrait construire

v = (v,) telle que (/~,),~ (v,). Une telle suite satisferait alors I eta 1" 2 < v, V2~A contraire 5, la maximalit6 de A.

LEMME. A n'est pas ddnombrable. D~monstration. En effet un proc6d6 diagonal judicieux (Th. de Du BOts-REYMOND)

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permet de construire pour toute famille d6nombrable de suites 2 " = (2,"), une suite 2 >> 2" Vm. En pratique on utilisera souvent une partie A o bien ordonn6e cofinale 5- A, partie qui a l e type d'ordre de 091--- [0, tnl [ si l 'on admet l'hypothbse du continu, puisque ~ol n'a pas de partie cofinale d6nombrable et que:

CardAo ~> CardN N = 2 ~~ = N1

(1.2.2) ORDRE 2. Soit F l'espace I-JR x I1 R muni de la topologie produit E, le SOUS- N Ao

espace engendr6 par les ((a,), ~oz) off q~. d6note la suite 6gale 5- 0 sauf au point 2 off elle vaut 1, et (a,) une suite (variable) finissant comme 2:3 N a, = 2, Vn >/N (2 = (2,)e Ao). II est clair que E est un sous-espace vectoriel dense de F et que le point ((0), (1)) n'est pas adh6rent 5. une partie born6e de E (1.1.1).

Plus prdcisdment:

E 1 = {((a,), f ) [ 32o~Ao t.q. f (2) = 0 V2 > 20 , 2~Ao}

Tousles points de F sont adh6rents h des born6s de E~ donc E 2 = F, ~= /~ et E est d'ordre 2.

Examinons maintenant quelques espaces de fonctions continues. (1.2.3) PROPOSITION. X espace topologique compldtement r~gulier. E = ~ ( X ; R)=

(~ (X ) , espace des fonctions continues (r~elles) sur X, muni de la topologie de la convergence simple.

Alors E I = { f ~ R x 1 qg semi-cont, inf. finie t.q. I f [ <~g} E 2 = ff~ = ff~ = R x. E est d'ordre <~ 2.

Ddmonstration. S i f E E l , f ~ {f/} born6, f/ continues et born6es dans leur ensemble en chaque point, donc g = Sup [fi I satisfait aux conditions.

Invers6ment, il suffit de montrer qu'une fonction positive f<<.g semi-cont, inf. finie, est dans E~ (d6composition en partie positive et n6gative d'une fonction quelconque). Montrons qu'on peut approcher fpa r des fonctions continues positives ~<g. x~, ..., x ,~X, e > 0 donn6s. On peut trouver f~ continue positive 6gale 5-fen les xi et des gk continues positives ~<g telles que gk (Xk)>~g (Xk)--e (g est l'enveloppe sup6rieure des fonctions continues qui lui sont inf6rieures) ~=Supgk est continue, ~<g et donc Inf(f l , g) est continue, ~<g, approchefs- ~ pr6s en les xi.

Pour la seconde affirmation, s i f e R x, soit / = ensemble des parties finies de x, et posons Yie I :

i f ( x ) si x E i fi(.x) = Ifi(x)l ~< If (x)l Yi

\ 0 si x r

( f i} , e t est born6 et ]f~(x)[ ~< Suplf(x)[ =Const < 0% semi-cont, inf. finie, donc

f l e E 1 et comme 6videmmentf~ {~} on a f e E z.


Remarque: Lorsque X est localement compact et lorsqu'i l existe u n e f e R x non major6e sur tout ouvert non vide, alors E 1 # R x (et plus pr6cis6ment f e E 0 .

Par exemple pour X = R on peut prendre:

f (x) = / 0 si x irrationnel

\ q s i x = p/q fraction r6duite.

Soit en effet x~ X, V un voisinage compac t de x ; f n o n majorde dans 4, donc, pour a p p r o c h e r f s implement dans 17, il faut prendre une fonct ion continue ~o,, ~> n + 1 en un point x ,~ I y. q~, sera encore >~n dans un V , c V, voisinage compac t de x,. Par induction, on ddfinit une suite de compacts emboR6s Iv, ~ 1,1,+ 1 ~ ... dont l ' intersection contient un point x en lequel on a Sup ~o, (x) = oo. Donc si ~b est un ensemble de fonctions continues et fE 7~, 3q~, ~ ~, x~Xt.q. Sup q~, (x) = oo mon t ran t que cbest non born6.

(1.2.4) PROPOSITION. X complOtement r~gulier. E= ~c(X) l'espace des fonctions continues (r~elles) muni de la topologie de la con-

vergence compacte. Alors E = / ~ = { f : X ~ R I VK compact f] ~ continue} et E est d'ordre <~2. Ddmonstration. Remarquons d ' abord que si K est compac t dans X et F ferm6,

Fc~K=O, il e x i s t e f : X ~ [ 0 , 1 ] continue, 6gale ~t 1 sur K et nulle sur F. Toute fonction continue sur K s e prolonge en fonction continue sur X. (I1 suffit de passer au compact i - fi6 de Stone-(~ech /~X de X et d 'appl iquer les r6sultats correspondants des espaces compacts , car K sera encore compact dans /~X et F~Xc~K=O.) Ceci mont re que ~c (X) ^ est bien l 'espace annonc6.

1) S i f e s t positive, a des restrictions aux compacts continues et s i f est major6e par f continue, alors.f~ ~ (X)I.

En effet si K est un compact , ~o continue positive, 6gale h / s u r K, {Inf(q~,f)} est un ensemble born6 de c~ c (X) c o n t e n a n t f d a n s son adhdrence.

2) Si f est positive et appar t ient h qg~(X), VK compac t choisissons ~o ~: continue 6gale h f sur K. Alors { I n f ( f , ~oK)} est un ensemble born6 de ~ (X), c o n t e n a n t / d a n s son adh6rence. Le th6or6me est alors d6montr6 puisqu 'une fonction quelconque de c~ (X) ^ a ses parties positives et n6gatives dans ~ (X)2, donc est elle-m~me dans cet espace.

Ici, on n ' a pas de caractdrisation des 616merits de ~ ( X ) ~ , mais on a n6anmoins la Proposi t ion:

(1.2.5) PROPOSITION. X complOtement r~gulier f~ ~ (X)~ positive. Les propri~t~s suivantes sont ~quivalentes: i) Propri~t~ (P):

V g ~ ( X ) , VK compact t.q. glK<fIK ~V K voisinage de K t.q. g[v~ <flv~

ii) f est enveloppe supdrieure de fonetions continues positives,

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iii) f est semi-cont, inf. et toute f y satisfaisant est dans c~ c(X)l

Ddmonstration. i)~iii) Prendre K = {x} et g=const . iii)=~i) Raisonnement facile utilisant la compacit6 ii)~.iii) Classique. Quant ~ la derni6re affirmation, il suffit de la v6rifier comme pr6c6demment pour

les fonctions positives, et d'utiliser par exemple ii) et la compacit6. (1.2.6) ORDRE n (eN). Un exemple d'ordre 2, quoique 16g~rement plus compliqu6 figure dans [18] p. 299.

L'id6e sous-jacente nous a n6anmoins permis de citer un exemple d'espace d'ordre fini arbitrairement grand. (La question de trouver de tels espaces, sans figurer explicitement darts [18], se trouve n6anmoins 5. la base de questions comme celle de p. 311).

PROPOSITION. E elc. d'ordre ~. Le sous espace F de E x ~)l-[R, engendrd par les E n

(x, ex,,) (oi~ ex, . ddsigne la famille double nulle sauf ~t l'endroit (x, n) oi~ elle vaut 1) est d'ordre >~ 1 +~ (donc >>.~ si ~ est oo)

Ddmonstration. Un born6 B de F a une seconde projection sur la somme directe, contenue dans une somme directe finie, doric (~t fortiori) sa projection sur le premier facteur est de dimension finie (vu la liaison). La premi6re projection de l'adh6rence /~ de B dans F sera encore de dimension finie et contenue dans E. D'autre part

(x, ex,,)"~-~(x,O)eF1 et (O, ex,,)eF 1 d 'o i lF~=Ex. . . , Ordre(F1)>>.Ordre(E)puis

Ordre (F)/> 1 + Ordre (E).

Partant d'un espace d'ordre~> l, cette proposition permet de construire des espaces d'ordre~>n, VneN.

1.3 Propridtds gdndrales de l'ordre

(1.3.1) PROPOSITION. (El) famille d'elc, d'ordres respectifs ~i, ~i <~n ordinal fini. Alors E = l i E ~ est d'ordre Sup ~i (tiM) Ddmonstration. Par induction (finie), il suffit de voir:

( l iE,) , = H(E,) ,

Or: x = ( x , ) e l i ( E i ) l ~ V i x , eB, oia B, born6 de E~

(1.3.2) PROPOSITION. (Ei)famille d'elc, d'ordres respectifs ~i. Alors E= �9 E~ est d'ordre Sup ~i

D~monstration. V~, (Ei) ~ a la topologie induite par/~i, donc la topologie somme A

directe @ (El) ~ est induite par @/~i= q)E~=/~. Ii suffit de d6montrer E, = �9 (E,.), Ve ordinal, ce que nous ferons par induction transfinie.


E o = E = G E I = ~ ) ( E I ) o

D'abord E i~ @El fournit (E~),~(| &off une application canonique:

Supposons invers6ment par induction que l'application

( | E,)~ -~ [ I (E,),

ait une image dans | ~ W < ~ . Si ~ admet un pr6d6cesseur, l'~galit6 (@Ei)e_~ = |162 fournit directement

(|162 = @(E~)e, les born6s de @(E~)~_~ 6tant d4j8 dans une somme directe finie. Si est ordinal limite

(r E& = | w , < implique

( | E& = U ( | E,)~, = r U (E,),, = r (E&. ~<r ~<~

(1.3.3) Construisant VneN un espace E, d'ordre >~n d'apr6s (1.2.6), leur somme directe �9 E, sera donc d'ordre /> Sup n = e) o premier ordinal infini.

(1.3.4) PROPOSITION. E, F elc., E de dirnension finie. Alors V~ ordinal L (E, F)~ = L (E, F,) donc Ordre L (E, F ) = Ordre (F) et L (E, F) ~ = L (E, if)

D~monstration. E 6tant de dimension finie, toutes les Q-topologies sur L (E, F) sont 6gales h Ls(E, F) (convergence simple) E = GK (somme finie) donc:

L(E, F) = L( | F) = | V)

L (E, F), = G L (K, F),

et il suffit de faire la d6monstration pour E = K, (induction transfinie) et comme:

L(K, U V ~ ) = UL (K ,V ~)

il ne reste ~t d6montrer que L(K, F1)=L(K, F)1 =Fa, ce qui est trivial vu l'isomorphisme vectoriel topologique:

L (K, F) -~ F

f w----~ f (1)

(1.3.5) On pourrait esp6rer g6n6raliser le r6sultat pr6c6dent h des E tonnel6s s6parables, en prenant (x,) suite dense darts E et en approchant E par les sous-espaces de dimension finie engendr6s par les premiers x,.

Mais en g6n6ral pour voir que q~ = L s (E, F) est born6, il ne suffit pas de voir que

3 2 4 ALAIN ROBERT

�9 ( x , ) : { q ~ ( x , ) l q ~ } est born6 Vn: E = R N (espace de Fr6chet nucl6aire) F = R , ~p, d6finie par q%((2,))=Z2~; ~o, continue c o m m e somme de projections q~= {q~,lne N};

i <~n

Vx~R (N) on a: t / , (x)= l,.)~o,(x) born6 de R, mais ~b((1, 1 , . . . ) )={0, 1, 2 . . . . } = N non born6 d'ofi q~ non born6.

1.4 Fonctions ?l valeurs vectorielles

E elc. sur R, X espace compl6tement r6gulier, on note ~o x la fonct ion caract6ris- t ique de x ~ X .

c~(X, E) d6signe l 'espace des fonctions continues h valeurs dans E muni de la topologie de la convergence simple.

(1.4.1) PROPOSITION. a) ~ ordinal, f ~ ( X , E ) ~ f : X--*E, b) ~ ordinal ~> 1, e~E~, x ~ X ~ t p x e ~ ( X , E)~

Ddmonstration. a) La proposi t ion est triviale pour c~= 0 et se d6montre par induc- t ion transfinie:

Si ~ a un pr6d6cesseur ~ - 1

f e c ~ ( X , E)~,~fe{ f l} , {fi} born6 de c~(X, E)~-a

f ~ : X ~ E , _ ~ et V x e X , f ( x ) e { f ~ ( x ) } adh. d 'un born6 de E~-I , donc e E , Si ctest ordinal limite:

f e ~(X, E) , = [,.) cs (X, E)r et la proposi t ion est triviale.

b) Cas ct = 1. VV ouvert, contenant x, soit Xv: X~[-0,1] continue, = 1 en x, nulle sur Gv. Soit

alors B u n born6 6quilibr6 de E dont l 'adh6rence dans /~ contient e ~ E 1 donn6. I1 suffit de voir que:

= {Xv'ei[ ei~B, V ouvert contenant x} est un born6 de ~ (X, E) dont l 'adh6rence dans /~x contient q~e.

est born6 car Yx, M (x) ~ B born6 et si West un voisinage de 0 dans E, x, xl , ..., x , un ensemble fini de points distincts de X, il suffit de choisir V ne contenant pas les x~ pour que:

Zv (Xk)'ei -- qg~ (Xk) e = 0 ~ W

Zv (x) 'e l - qL, (x) e = e, - e ~ W

d~s que e , - e ~ W, possible par hypoth~se: e~E~. La d6monstra t ion se termine alors par induction transfinie: Seul cas fi, examiner : a admet un pr6d6cesseur ~ - 1 ; supposons e~B, B born6 de

E~- I , {tP~ei[ei~B} est un born6 de ~ ( X , E)~_ 1 contenant cp~e dans son adh6rence:

tp ~e ~ ~ (X, E)~. (1.4.2) P g o e o s m o s : X # O, E d' ordre ~ >~ 2 a) ~ admet un pr~d~cesseur =~ ~ (X, E)d 'ordre


b) ~ ordinal limite ~ ( X , E) d'ordre ~ ou ~+ 1. c~ (X, E)~ = f ix= ~,~ (X, i~) clans tousles cas.

Ddmonstration. a) a - 1/> 1, donc on peut appliquer (1.4.t.b) h ~ - 1,f: X--*ff,=E,. Vx soit Bx un born6 de E~_ 1 tel que f(x)EB~. Les sommes finies d'616ments ~ox(f(x)+b) o f l f ( x )+b~Bx forment un ensemble born6 de c~(X, E),_ 1 a u q u e l f e s t adh6rent.

b) c~ (X, E)es t manifestement d'ordre >/~ (1.4.1) et d 'ordre ~< c~ + 1 car sif: X ~ ' = E,, les sommes finies d'616ments q~xf(x) forment un ensemble born6 de ~ (X, E), auquel f est adh6rent, donc f ~ ~ (X, E), + 1

Lorsque X est fini - par exemple - cg (X, E) est d 'ordre ~. Lorsque X = ~ , l 'application id. X ~ E = E , ne prend ses valeurs dans aucun Er

(3 < c~ limite), doric n'est pas dans ~ (X, E), ce qui montre que dans ce cas l 'ordre est effectivement a + 1. D'apr6s (1.3.3), on obtient ainsi un espace d'ordre ~> co o + 1. C'est le r6sultat le plus fin obtenu dans cette direction.

(1.4.3) Donnons encore une caract6risation des 616ments de cd(X, E)I dans le cas off E est complet pour simplifier.

PROPOSITION. X complktement rdgulier, E elc. complet. (X, E)I = {f: X ~ E [ Vp semi-norme cont. 3gp semi-cont, inf. finie t.q. p f <<,gp}

Dgmonstration. Soient en e f fe t f~B off B = {f~} born6 de ~(X, E)

p f (x) <. Sup p f i (x ) <oo.

Inversdment: xl, . . . , xnaX, p semi-norme continue sur E, e>O (on suppose les Pf(xi) # O, sinon modifications triviales).

Choisissons V/, voisinages ouverts disjoints des xi, OI :X~ [0, 1] continues, nulles en dehors de V~ et telles que:

~Oi(Xi) ~ 1 P f (xi)

q)i(x) gp(xl) <~ gp(X) V x E X Alors :

p (~ q~, (x) f (xi))~ ~ v, = q)i (x) p f (x,) <~ tp, (x) gp (x,) <~ g, (x)

p (~ q)j (x,) f (x j) - f (x,)) = (~oi(xi) - 1) p f (x,) ~ e Vi.

(1.4.4) Les d6monstrations ci-dessus montrent que si E est complet ~ (X, E) est d 'ordre ~< 2 (et d 'ordre 2 en g6n6ral, par exemple lorsque X = R et E # {0})

APPLICATXON. X localement compact, Y compl~tement rdgulier ~ = { U K x {y}IK f i n i e

relativement compact de X}. Ddmonstration. ~ est satur6 pour les opdrations: adhdrence, r6union finie, et

prendre une partie de. Le compl6t6 de ~ , ( X x Y;R) s'identifie h l'espace des fonctions dont les restric-

3 2 6 ALAIN ROBERT

tions aux ensembles de ~ sont continues, donc puisque X est localement compact, aux fonctions F telles que

Vy, F ( , y) continue.

On va simplement 6tablir l 'isomorphisme:

cg~(X x Y ; R ) ~ Z~,(Y, ~ ( X ; R)) F ~ F ( ' , y) fonct, de y

yv--+F( . , y) = f , .

1) Cette application est bien d6finie. Si F est continue, yv-+fy est une application continue Y--+ eye (X). En effet si K est un compact de X, Vx e K, 3 Vx voisinage ouvert de x et W, voisinage de Yo tels que:

(x', y ' )e V, x W~ =~ IF(x', y') - F(x, Yo)l ~< e.

Les V~ forment un recouvrement de K duquel on extrait un sous-recouvrement fini (Vx,) et W=f")Wx, est un voisinage de Yo tel que: y ' ~ W = , [ f r, (x)-fro(X)l <<.2e Vx~K.

2) Cette application est injective, et surjective car X est localement compact. 3) Cette application est un hom6omorphisme lin6aire par des principes g6n6raux

(cf. par ex. [10] p. 10). 4) La proposition r6sulte alors de la remarque pr6c6dant l'6nonc6 (cf. aussi (t .4.3)).

2. Applications de la quasi-compl6tion

2.1 Caract6risation de E1 par duafitd

La Proposition suivante joue un r61e c16 dans tout ce chapitre. (2.1.1) PROPOSITION. E elc. ~ recouvrement de E par des born&. Supposons la

~-topologie sur E' compatible avec la dualitY. A lors:

A

( e ; )x = ( e J ' = e*

oit ~ est la topologie sur E dont un systOme fondamental de voisinages de 0 est form~ des tonneaux de E.

D~monstration. On remarque d'abord que d'apr6s le th6or6me de Grothendieck A

([13]) E~ s'identifie'au sous-espace de E* form6 des x* dont les restrictions ~t tousles 616ments de �9 sont continues.

A

Puisque la ~-topologie sur E' est compatible avec la dualit6, le dual de E~ est A

encore E, et l'adh6rence dans E~ d'un born6 disqu6 de E~ est 6gale ~t son adh6rence

Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques 327 / x , / x ,

faible a(E'~, E), donc coincide avec sa bipolaire dans la dualit6 (E, E~). (E~) 1 est donc engendr6 par les (B~176 ~ o6 B born6 de E~ ce qui 6quivaut ~ T = B ~ tonneau de E

A ~-bornivore (polaires prises darts E~). Or tout T ~ est ~-bornivore, puisque les ensembles de ~ qu'on peut supposer ferm6s (<~ a(E, E')-ferm6s lorsqu'on les suppose disqu6s) sont a(E, E')-compacts (Th. de Mackey) donc complets pour cette topologie et ~t fortiori complets pour la topologie de E (cf. [2] Prop. 8 p. 11). Finale- ment les T o (polaires darts E*) engendrent exactement (E~)'.

(2.1.2) COROLLAIRE. a) E tonnel~, E~ compatible avec la dualit~ ~ E~ quasi-complet. b) E semi-r~flexif, infratonneld ~ E~ quasi-complet.

i N ,

D~monstration. a) (E~) 1 = E ~ c ~ E ' = E ' ~ E ~ quasi-complet, b) Les hypoth6ses impliquent m6me E tonnel6 et on applique a).

On retrouve ainsi des r6sultats classiques. La proposition qui suit, d6coule de (2.1.1) par dualit6 et sera constamment utilis6e

sans r6f6rence. (2.1.3) PROPOSITION. E elc., alors

=

Ddmonstration. Consid6rons E comme dual de E~ = F, E = F~, off ~ est l'ensemble des parties 6quicontinues disqu6es faiblement ferm6es de E'. Soit T u n ensemble disqu6 faiblement ferm6 absorbant de E', T o est born6 faible de E donc born6 de E et T= T oo est polaire d'un born6 de E (invers6ment, il est clair que la polaire d'un born6 de E est un tonneau de E'). La topologie �9 sur E' est ainsi la topologie forte et E, s'identifie ~ l'intersection annonc6e.

Remarque : On voit ici que E x n'est en g6n6ral pas tonnel6, par exemple (E')~ = E~ n'est pas toujours tonnel6 (si E est un espace (o~) on a:

E~ tonnel~ <~E~ bornologique<~E distingud cf. [-12] p. 73) (2.1.4) COROLLAIRE. Si E est infratonneld, on a l'dgalitd topologique:

E 1 = E" n /~

D~monstration. (E" d6note toujours le bidual fort). En effet dans ce dernier cas ~P et E" induisent sur E la bonne topologie.

(2.1.5) CRIT~RE. E quasi-eomplet E = ff~ n E" algdbriquement (resp. et infratonnl~) (resp. et topologiquement)

2.2 Topologie tonnel~e associde ?l unelc.

(2.2.1) Rappelons la proposition suivante: E ele., ~ la topologie de Mackey z(E, E'), on a: E~ tonnel~ ,~ E" quasi-complet. (Pour la partie directe, on peut utiliser (2.1.2) et r6ciproquement une partie disqu6e

3 2 8 ALAIN ROBERT

faiblement ferm6e born6e de E' est naturellement pr6compacte, donc compacte par hypoth6se, d'ofi 6quicontinue par d6finition de la topologie de Mackey.)

(2.2.2) Soit toujours E un elc., ~x = �9 rensemble de ses tonneaux. On a vu que l'espace E~, n'est pas toujours tonnel6. Cela sugg6re de poser Z2 = ensemble des tonneaux de E~ et par induction transfinie, V~ ordinal:

/ e n s . des tonneaux de E~_ , si a a un pr6d6cesseur

(.3 ~ si a est ordinal limite. ~ < ~

D'apr6s (2.1.1) on a:

et de fagon g6n6rale: = E * ( E , ) ' =

=

comme on le volt par induction transfinie (en remarquant que si ~ est ordinal limite, une forme lin6aire x*cE* est dans (E~,)' si et seulement si elle est dans la polaire d'un T~ Z~ = [..) Ze donc si et seulement si elle est d6j~t dans la polaire d'un Tc ~e (4 < ~) ou

~ < ~

encore lorsque x* ~ (E~) ' d'ofi:

= U = U = ( E ; L ) . ~ < ~ ~ < ~

Si ~ est l 'ordre de quasi-compl6tion de E ' , on a donc

(gt~r)~ ~ (gter)a + 1 =~ E~Z~ et E~.+, ont m6me dual.

E~,+~ est m6me tonneld. En effet soit Tun tonneau de E~,+,, c'est aussi un tonneau de Ex. puisque ces deux espaces ont m~me dual, donc par d6finition un voisinage de 0 de

g ' ~ + 1 '

(Lorsque ~ , est d6j~ la topologie de Mackey de la dualit6

( E ~ , (E'~L >

on a d6j~ E~. tonnel6 et 6gal h E~,+,.) Avec les notations prfc6dentes, on pose: D~FINITION. E~,+, est appeld espace tonneld associO gl E et notd ici E t. (2.2.3) PROPOSITION. E, F elc., f : E ~ F lindaire continue =~ V~ ordinal f : E~ --* F~.

continue. Ddmonstration. Clair pour ~ = 0 et induction transfinie (standard). (2.2.4) Propri~td'universelle de la topologie tonnelde. Et jouit d'une propri6t6 (co)universelle duale de (1.1) et que nous signalons:

E t i~§ est la seule application (d isomorphisme unique pros) d'un tonneld dans E jouissant de la proprMtd: VF tonneld, f:F--*E lindaire continue, f se factorise univoquement par ig en application continue.


Ddmonstration. Si F~L~E a la propri6t6 annonc6e, prenant les applications lin6aires de K dans E, on voit que i doit ~tre un isomorphisme alg6brique. (On aurait aussi pu voir la surjectivit6 en prenant id. E+ --*E off E+ d6signe E muni de la topologie localement convexe la plus fine, et l 'application nulle E+~ aurait fourni l'injectivit6.) Prenant ensuite Et~d--~-~E on voit que F E est moins fin que E t et puisque F E est tonnel6 les applications id. FE~E~, doivent ~tre continues d'ofi id. F E t E t continue, montrant que FE coincide avec Et. Le fait que id. E ~ E jouisse de la propri6t6 r6sulte de (2.2.3).

Si E est un elc., on peut bien entendu appliquer 5, E t tousles r6sultats des espaces tonnel6s. Signalons en deux:

Soit u : E t ~ F une application lindaire oi~ F est du type (o~). Pour que u : E t ~ F soit

continue, il faut et il suffit qu'il existe une topologie (elc.) 3- sur F moins fine rendant u : E t ~ F ~- continue. (cf. [10] p. 217 Ex. 2.)

Si F est un espace de Ptak et s'il existe u:F--*E lindaire continue surjective, alors

E t e s t un espace de Ptak et u: F ~ E test un homomorphisme. (cf. [10] p. 216 Ex. 1 et [213 p. 162.)

2.3 Completion d'un bidual

Ce court chapitre a pour but d'examiner la question de Bourbaki ([3] p, 96 note): <( On ignore si, en g~n&al, le bidual E" d'un espace localernent convexe (sgpar~) E

est complet pour la topologie forte f l(E", E'), mYrne lorsque E est supposd tonnel~,. Cette question est enti~rement r6solue par un exemple de K6mura, ([16]); en

effet il donne m~me un exemple d'espace de Montel (n6cessairement quasi-complet puisque les ferm6s born6s doivent &re compacts) non complet (rappelons que d'apr6s tes d6finitions, Montel ~ r6flexif =~ tonnel6). Les remarques qui suivent ont 6t6 faites ind6pendamment de cet exemple, et fournissent une quantit6 de cas dans lesquels E" est non complet.

D'apr~s (2.1.4) on voit que si E est infratonnel6 et E" complet, alors E 1 est complet. Ainsi tout exemple d'espace infratonnel6 quasi-complet non complet fournit un

exemple d'espace dont le bidual n'est pas complet. Cette remarque n'est pas tr~s f6conde car les exemples habituels d'espaces quasi-complets non complets ne sont (en g6n6ral) pas infratonnel6s:

E tonnel6 =~ E~ quasi-complet et E~ infratonnel6 ~ les born6s de (E~)~ sont 6qui- continus r les born6s de E sont 6quicontinus relativement ~t E~ ~, les born6s de E sont de dimension finie. Puisque E 6tant tonnel6 a la topologie de Mackey, cela se passe pratiquement lorsque E est somme directe de droites: espace muni de la topologie localement convexe la plus fine; dans ce cas E" = I~K est m~me complet.

Par contre une remarque plus productive est la suivante: Tout espace infratonnel6 pour lequel E1 n'est pas complet fournit un exemple d'espace dont le bidual n'est pas complet. Dans le cas de l 'exemple (1.2.2), on remarque que E est infratonnel6:

3 3 0 ALAIN ROBERT

Es a pour voisinages de 0 les parties de @ R • O R qui induisent un voisinage de 0 N Ao

sur une premi6re tranche d6nombrable, et qui sont grossi6res finalement. Ainsi les born6s de E~ sont de dimension finie (sinon on pourrait trouver une suite infnite non contenue dans une somme directe finie et construire un voisinage de 0 de E~ n'absorbant pas cette suite) donc 6quicontinus, d6montrant ainsi que E est infratonnel6.

Explicitement, l'616ment de ~P:x=((0), (1)) consid6r6 comme ~EE'* est la forme lin6aire:

if: ((x',), f ' (2)) w-~ E f ' ( 2 )

(bien d6finie ca r f ' (2)= 0 sauf pour un nombre fini de 2) non continue sur E; car tout voisinage de 0, V contient finalement un facteur R entier et ~ (V)= R.

Les espaces de fonctions continues (munis de la topologie de la convergence simple) ont aussi des biduals (forts) non complets. Donnons encore quelques applications de la formule magique:

E 1 = E" n/~ .

(2.3.1) PROPOSITION. E elc. infratonneld. E~ bornologique ~ ~ '=E: le quasi-compldtd est complet.

Ddmonstration. E b bornologique ~ E" complet =~ E ~E=~E 1 =E. (2.3.2) Donnons quelques cas off le quasi-compl6t6 est le bidual: PROPOSITION. a) E b semi-r~flexif ~ ~ ff~= E"

E" quasi-complet t b) Es rdflexif =:, ff~ = E"

D~monstration. a) D'apr6s [3] Ex. l i b p. 94 on a E"=f f~cE , E I = E " ~ i ~ = E " car E" est quasi-complet.

b) E~ r6flexif r E~ semi-r6flexif et tonnel6 =~ Es semi-r6flexif et E" quasi-complet. I1 suffit alors d'appliquer a). Montrons comment on d6duit le r6sultat suivant connu (loc. cit.)

(2.3.3) PROPOSITION. E elc., E~ quasi-complet l E~ semi-rdflexif ~ ~ E, rdflexif

DOmonstration. E quasi-complet ~ E~ =(E~)~ = E"c~ E~ 6galit6 avec les topologies car les hypotheses impliquent que E~ est infratonneld (et tonnel6 puisque quasi- complet) donc d'apr6s loc. tit. [3] E~=E" avec les topologies, ce qui 6quivaut h E~ r6flexif car (E,)s = Es et E" = (E0".

2.4 Compldtion d'une limite inductive

Rappelons d'abord qu'une limite inductive (g6n6ralis6e) peut ne pas ~tre compl&e, m~me si une suite de d6finition est form6e d'espaces complets.

Par exemple si E et F sont (~-), L~ (E, F) (espace des applications lin6aires born6es


muni de la topologie de la convergence born6e) est un espace (5~o~-) (cf. [101 ou bien [111 p. 15). Si (V,) est un syst6me fondamental de voisinages de 0 disqu6s dans E, L b (Ev,, F) en est une suite de d6finition.

Marne si E et F sont des (o~) nucl6aires, cet espace peut contenir un born6 non semi-complet: prenons E = F = R TM, {p,} l'ensemble des projecteurs unidimensionnels sur les axes coordonn6es, qui est manifestement 6quicontinu, mais on ne peut pas trouver de V,, tel que tous les p, se factorisent par E~Evm (ce dernier est toujours de dimension finie) donc {p,} n'est pas contenu darts un espace de d6finition et donc non compldtant (cf. [10] Cot. 2 p. 199).

Grothendieck a pos6 la question dans [11] (p. 137): ~ Un espace ( 5e ~ ) quasi-complet est-il complet?>>. 11 semble que la r6ponse h cette question doive atre n6gative (sans qu'on puisse

donner de contre-exemple). On a retrouv6 dans le cas des limites de suites de Banachs que la r6ponse est

affirmative (r6sultat figurant d6j/t darts [101 Cor. 2 p. 229 et [121 Cor. 2 p. 77). Montrons comment on peut appliquer les techniques prdcddentes et ne faisant pas intervenir la th6orie des espaces ( N ~ ) .

(2.4.1) PROPOSITION. E elc. quasi-complet limite inductive d'une suite d'espaces de Banach. Alors E est complet.

Ddmonstration. E est donc bornologique (=~ infratonnel6) et tout born6 de E est image d'un born6 d'un espace de d6finition. (On peut aussi voir pour ceci [111 Cor. 1 p. 16). E admet donc un syst~me fondamental d6nombrable de born6s, d'o/l E/, est m6trisable et bornologique et il suffit d'appliquer (2.3.1). On obtient aussi une d6mon- stration 616mentaire de la proposition suivante (cf. [12] Cor. 2 p. 77).

(2.4.2) PROPOSITION. E elc. ( ~ ' ) infratonnelg quasi-complet. Alors E est complet. Dgmonstration. Es est un espace (o~) et E" est ( ~ - ) complet donc E=E~ =E"ca ff~

est complet. De faqon g6n6rale, on a la proposition suivante montrant, dans le cas des (&,~

(qui sont tonnel6s) que si E est quasi-complet et E" complet, alors E est complet.

(2.4.3) PROPOSITION. E infratonnelg quasi-complet t ~ E complet E" complet 1

D~monstration. Comme toujours:

E = E I = E " c~I~=~

(2.4.4) Remarque. Un cas dans lequel on peut affirmer qu'une limite inductive est quasi-compl6te est celui ofa les applications de transition: vi:Ei~ El+ 1 sont compactes puisqu'alors la limite est un espace de Montel (cf. [10] Cor. 2 p. 230). C'est le cas des espaces de fonctions holomorphes sur un compact de C": ~ (K). (qui sont m~me complets: loc. cit. p. 231 exemple b.)

332 ALA1N ROBERT

2.5 Espaces de mesures et lim grossi&es

Rappelons encore qu'une limite inductive (non stricte) n'est en g6n6ral pas s6par6e (cf. par ex. [10] p. 195 Ex. 2).

Dans le cas off l'ensemble d'indices est non d6nombrable des exemples ont 6t6 donn6s par K6MURA [16], et DOUADY [8] (limites inductives strictes). Montrons dans ce paragraphe comment on obtient facilement des limites inductives (m~me d6nom- brables) grossi6res. I1 semble int6ressant d'autre part de traduire en langage plus moderne des propri6t6s bieR connues des espaces de mesures.

(2.5.1) F A I S C E A U DES MESURES D ' U N ESPACE C O M P A C T .

Pour toutes les d6finitions intervenant ici, cf. [9]. Soit X un espace compact et VU ouvert de X posons:

d / (U) :espace vectoriel des mesures (r6elles) sur U (localement compact) et pour V ouvert contenu dans U on a une application lin6aire de restriction JI(V)-*JI(U) , les propri6t6s de transitivit6 6taRt satisfaites pour qu'on puisse parler du pr6faisceau d'espaces vectoriels ~ sur X. En vertu du principe de localisation (cf. [4] Prop. 1, p. 65), ce pr6faisceau est m~me un faisceau d'espaces vectoriels.

Si on munit les J/ ' (U) des topologies vagues correspondantes - fournissant comme dual 3if(U), espace des fonctions continues ~t support compact contenu dans U - les restrictions

Jt'(V)--~ J t ' (U) pour V m U

sont vaguement continues comme transpos6es des ~'~(V)~-Y(U) (op6ration de prolongement d'une fonction par 0!). On a done un faisceau d'espaces vectoriels topologiques.

On d~finit de la far habituelle les fibres du faisceau . ~ comme limites inductives suivant l'ordonn~ filtrant d6croissant des voisinages de x (voisinages ouverts), de sorte qu'on a des applications canoniques

~ ' ( U ) ~ lim ~ ' ( U ) = ~ ' x

x e U ouvert

et on peut munir Jt'x de la topologie lim des topologies vagues.

(2.5.2) PROPOSmON. X compact. x non isold .~ Jt~ grossier.

Ddmonstration. La donn6e d'une forme lin6aire continue f : J t ' x ~ R 6quivaut h la donn6e d'une famille de formes lin6aires d l ( U ) ~ R vaguement continues (<<com- patibles))), donc de fonctionsfveo~cd'(U) telles que si Uc V, fv prolongefu par 0. Le support defy est ainsi contenu dans tout ouvert U de V contenant x. Le support de fv est ainsi r6duit au point x.


~ 'x non grossier ~ 3 f r d t ' , ~ R lin6aire continue r162 le support d'une fv (U ouvert, ~x) n'est pas vide ,~, fu multiple de la fonction caract6ristique de x r x isot6.

Dans le cas off X est m6trisable, on obtient donc des limites inductives d6nom- brables grossi6res.

Signalons encore en passant quelques propri6t6s du faisceau ~g.

(2.5.3) Le faisceau Jr ' n'est en g6n6ral pasflasque, i.e. une mesure/~ sur U ouvert c X ne se prolonge pas n6cessairement ~t X entier (il faut qu'elle soit born6e puisque

X est compact; d'ailleurs ce faisceau ne serait pas flasque m6me si X n'avait 6t6 suppos6 que localement compact.)

Remarquons que t o u t e f = ~ (X) = ~ (X) d6finit un homomorphisme de faisceaux par:

hi: Jr ' ~ ~g h~(U): ~ ' ( U ) --, ~ ' ( U )

p~--~ f "It (plus prOcis6ment f lv 'P)

et si A et B sont deux ferm6s disjoints de X, il y a deux voisinages compacts de A et B respectivement qui sont encore disjoints donc une fonction f eW(X) valant 0 au voisinage de A et 1 au voisinage de B; pour cette fonctionf, hs: dt'-~ Jr ' est un endo-

morphisme induisant 0 au voisinage de A et 1 au voisinage de B. Ceci montre que le

faisceau , g estfin et donc mou ([9] p. 157). (Les germes de mesures sur un ferm6 A se d6finissent comme les 616ments de la

limite inductive: JI(A)=li_m~g(U)(U=A); on a naturellement une application

lin6aire de restriction J I ( X ) - ~ g ( A ) puisque X est un tel ouvert contenant A! Dire que dr' est mou revient h dire que VA ferm6, cette application est surjective.)

On aurait aussi pu consid6rer le pr6faisceau des mesures born6es J t '1 et l 'homomorphisme canonique injectif de pr6faisceaux i: ~gl_~jr

(2.5.4) PROPOSITION. ~ est le faisceau engendr~ par ~gl (ou faisceau associ~ ~ ..gl, ou encore image rdciproque de ~g~ par Ix: X ~ X.. .)

Rappel: Cette proposition signifie que Mg jouit de la propri6t6 universelle suivante vis-h-vis de .A'x:

V ~ faisceau sur X, V homomorphisme de pr~faisceaux ~gl ~ .~ , 3 homomorphisme de faisceaux unique rendant le diagramme suivant commutatif :

~g

D~monstration. I1 suffit de v6rifier que toute mesure sur U (ouvert de X) peut &re obtenue par recollement de mesures born6es. Soit xe U, K x un voisinage compact de

334 ALAIN ROBERT

x, p induit s u r / ~ une mesure /~ born6e car elle peut &re consid6r6e comme restriction de la restriction d e / l ~t K~ compact. Les /~ sont born6es et se recollent en /~.

3. Quelques propri~t~s des espaces nucl~aires

3.1 Espaces ~ dual nucldaire

Nous examinons dans ce paragraphe des conditions qui assurent que le dual fort d 'un elc. est nucl~aire et parvenons h une d6monstration plus intrins6que (sans l 'em- ploi des suites sommables) du th6or6me de Pietsch ([20] (4.3.1)).

On suppose ici, en plus des conventions g6n6rales, les elc. infratonnel6s et complets (done tonnel6s) de sorte que la connaissance de la topologie forte sur E ' permet de retrouver la topologie de E; E sera un sous-espace ferm6 de E " (et semi-r6flexif 6qui- vaut ici ~t r6flexif.)

(3.1.1) Introduisons les d6finitions commodes suivantes: On appelle application binucl6aire une application lin6aire continue qui se fac-

torise en la compos6e de deux applications nucl6aires (au moins) et multinucl6aire une application (lin. cont.) qui se factorise en un nombre arbitrairement grand d'applications nucl6aires.

Si E est nucl6aire, on rappelle que toute application lin6aire continue de E dans un Banach est multinucl6aire.

(3.1.2) A titre indicatif signalons la propri6t6 suivante des applications multi- nucl6aires:

u : E ~ H mult inucldaire I u (E) c H1 sous-espace f e r m d ~ u = ul : E ~ H 1 nucldaire

M~me id6e de d6monstration que dans [22] expos6 18: on consid~re u comme compos6e de 3 applications nucl6aires et on factorise l 'application centrale par un espace pr6-hilbertien:

E ~ F - + G ~ H v~'a S ~2

.50

et puisque dans ~o tousles sous-espaces ferm6s ont un suppl6mentaire topologique,

v 1 v : E ~ v 1 v (E) c ~o est nucl6aire.

D'autre part wv z se prolonge en application .5o--*H et par compacit6 elle envoie

= v 1 v (E) dans u (/~) et l 'application compos6e

E"~.5-+ u (t~)-+/L est nucl6aire puisque v~ v l'est.

(3.1.3) PROPOSITION. L e s conditions suivantes sur E elc. son t dquivalentes.


a) Toute application lindaire continue d'un Banach dans E est multinucldaire. b) Toute application lindaire continue d'un Banach dans E est nucldaire. c) Toute partie bornde de E est nucldaire. d) EL est nucldaire. Elles impliquent E Montel (done rdflexif) Ddmonstration. a) =~ b) =~ c) Particularisation. (Les born6s de E sont toujours

contenus dans des born6s disqu6s ferm6s donc compl6tants.) c) =~ d) Les born6s de E 6tant nucl6aires sont relativement compacts, donc E est

un espace de Montel. I1 suffit de montrer que les applications canoniques E~--*E~, off V est un voisinage de 0 de E~ - que l 'on peut supposer polaire B ~ d'un born6 disqu6 ferm6 de E, donc compact, faiblement ferm6 et B = B oo - sont nucl6aires. Par transposition, on obtient les applications canoniques:

E = E" ~- (E~,o)' = (U'),oo = E ,

qui sont nucl6aires par hypothhse. d) =~ a) u:B--*E application lin6aire continue d'un espace de Banach B. Sa trans-

posse t , , u:B *--Eb est multinucl6aire puisque Eb est nucl6aire, donc sa transpos6e "u sera encore multinucl6aire, d 'oh le r6sultat pour u:

t tu

u : B-+ B"-+ E" = E (3.1.4) PROPOSITION.

i E rOflexif et E L nucldaire r l Eb| (E, F~)

isomorphisme topologique dans. Ddmonstration. (cf. [11] Chap. II d6f. 4 p. 34) I1 suffit de remarquer que Eb nucl6aire E r6flexif ~ (E~)" = E , et que ~3 (E,, F~) = ~3 (E, F~). La topologie (b, e) sur ~ est

celle de la convergence uniforme sur les parties born6es du premier facteur et 6qui- continues du second.

(3.1.5) PROPOSITION.

E~ nucldaire t / " " / F Banach I ~ E |174

N /

Ddmonstration. (Notations de Grothendieck [15]: | produit tensoriel compl6t6 de | D 'abord E est r6ftexif d 'oh E'~=E'b

E | F--* ~r (E' , r ' ) = Lr (E'~, F) = Lr (E~, F) = Lb (E~, F)

(Pour la premihre 6galit6, cf. [22] expos6 8.) et comme E et F sont complets, il enes t V

de m~me de l'espace Lr (E~, F) (cf. [ 10] p. 134). Les 616ments de E | F d6finissent donc N /

des applications E~-~F lin6aires continues. Soit u~EQF,~:E~--*F l 'application associ6e qui est nucl6aire puisque E~, l'est (et F Banach) done d6finie par un 616ment

/ N

d'un (E~)] | Oh A 6quicontinu disqu6 ferm6, donc compl6tant, et ~t fortiori par un

336 ALAIN ROBERT

/ N , / N

616ment de E " | F = E | F. C'est la surjectivit6. (La d6monstration est analogue ~t celle de [22], expos6 18, mais si E est de plus du type (o~-) on conclut alors que

A V

E| F ~ E | F est un homomorphisme topologique.) (3.1.6) Lorsque E est de plus suppos6 nucl6aire, on a la caract6risation suivante

PIETSCH :

PROPOSITION. Si E est nucl~aire t alors les conditions suivantes sont dquivalentes: a) E~ nucldaire

/ ~ , / x ,

b) VB Banach, \ /ueE| B, 3A bornd disqud compl~tant de E tel que U~EA | B.

Ddmonstration. a) =~ b) ueE| BcLe(E' , B) car E est nucl6aire et comme pr6c6- / N

demment �9 ' ' ' ' u.E~=Eb~B est continue donc nucl6aire et ue(Eb)AQB ofa A est 6qui- , /N

continu disqu6 ferm6 (donc compl6tant) et ueE A | B comme dans l'6nonc6. b) =~ a) E nucl6aire, donc r6flexif ici. Montrons que toute application lin6aire continue d'un Banach B dans E est

nucl6aire (3.1.3): u: B--*E donn6e. E 6tant nucl6aire satisfait ~t la condition d'approxi- / x ,

mation ([11] Chap. I Cor. p. 170, Chap. II lemme 3 p. 37) et ueL(B, E ) = B ' |

(cf. [22] expos6 14, Th. 3 (B2)), d'o/l u~E a | B' par hypoth~se (A comme dans l'6non- c6) et u: B--*Ea~E nucl6aire.

3.2 Quelques exemples

Donnons deux exemples d'espaces ~t dual nucl6aire off l 'on v6rifie directement que le dual est nucl6aire, sans passer par le crit~re du paragraphe pr6c6dent.

(3.2.1) PROPOSmON. Si E = l i m E, espace du type (~o~-) strict nucldaire, alors E'b est nucldaire.

Ddmonstration. Les En s'identifiant h des sous-espaces de E sont des (o~-) nucl6aires. Par transposition, on obtient les applications: E~*--E'~ off E~ est un espace (~o~-) complet nucl6aire. Montrons que E~ a la topologie initiale relative h ces applications (donc est nucl6aire). Soit B u n born6 disqu6 de E, B ~ le voisinage de 0 correspondant de E~. Puisque Best d6j~t dans un E,, la polaire de B dans E~ est un voisinage de 0dont l'image r6ciproque par E ~ E ~ est B ~

(3.2.2) PROPOSITION. E(~-) sdparable nucldaire, F(,~) nucl~aire alors LbE, F) et son dual fort sont nucldaires. Les bornds de Lb(E, F) sont mdtri-

sables et L b (E, F) est dense dans L c (E, F) complet. DOmonstration. La premiere affirmation est classique ([11] Chap. II p. 48). La

m6trisabilit6 des parties born6es de Lb(E , F)provient du fait qu'elles sont 6qui- continues (BANACH-STEINHAUS) et que sur les parties 6quicontinues, la topologie de la convergence simple sur une partie totale est 6quivalente ~t la topologie de la conver-


gence pr6compacte (6quivalente ~t la topologie (b) car E est nucl6aire). (cf. [3] Prop. 5 p. 23.)

La densit6 de Lb (E, F) d6coule du fait que E 6tant nucl6aire, satisfait 5. la condition d'approximation et E' | F est donc d6jh dense dans Lc (E, F).

3.3 Plongement d'un (5r dans un produit de (o~9 ~)

(3.3.1) Rappelons qu'on appelle espace de Schwartz ou du type (5,0) un elc. tel que toute application lin6aire continue de cet espace dans un Banach est compacte, et ( ~ 5 e) un Fr6chet Schwartz.

(On comparera avec: E nucldaire ~ Toute application de E dans un Banach est nucldaire E= E,(e, E,) ~ Toute application de E dans un Banach est de rang fini.

d'ofl les implications: E muni d'une topologiefaible ~ E nucldaire ~ E(5~).) Pour qu'un elc. E soit du type (Sa), il suffit que VV voisinage de 0 disqu6, l'ap-

/x plication canonique E ~ E v soit compacte. (Pour tout ceci, cf. [12] ou [10] p. 244 et ss).

(3.3.2) PROPOSmON. E du type ( Se) (resp. nucldaire) F du type ( ~ ) u : E ~ F lindaire continue,

alors il existe F~ (o~" 5~) (resp. ( ~ ) nucldaire) et v: F 1 ~ F lindaire continue injective telle que use factorise par v:

u : E ~ F I ~ F .

Ddmonstration. En rempla~ant E par E/ker (u) on se ram~ne au cas off u est injec- tire. Soient (1,I,) les images r6ciproques par u d'un syst~me fondamental d6nombrable de voisinages de 0 disqu6s de F.

/ N

Puisque E~Evo est compacte (resp. nucl~aire), il existe V' voisinage de 0 disqu6 de /~, /x,

E tel que Ev,-~Evo soit compacte (resp. nucl~aire). Construisons de m~me V" h partir de V', V" h partir de I/1, V"' ~ partir de V", etc...

Vo v, v~ ... \ / \ / \ / \ . . . /

V' V" V"'

La topologie sur E dont un syst6me fondamental de voisinages de 0 est donn6 par les homoth6tiques des V, et V (") (et leurs intersections finies) est m6trisable et en fait un espace (5 t~) (resp. nucl6aire).

( 3 . 3 . 3 ) PROPOSITION. E du type (5 ~) (resp. nucldaire). Alors E est un sous-espace vectoriel topologique d'un produit de (~'5 r (resp. ( 5 ~)

nucldaires). Ddmonstration. I1 suffit d'appliquer la proposition pr6c6dente (3.3.2) aux applica-

tions canoniques E--.E v.

3 3 8 ALAIN ROBERT

Notons que cette proposition n'est nouvelle que dans le cas des espaces de Schwarz, car on sait que tout espace nucl6aire est isomorphe vectoriel-topologiquement ~ une puissance convenable de (s) (d6nombrable si m6trisable) o/1 (s) est l'espace des suites ~t d6croissance rapide muni de sa topologie habituelle qui en fait un espace du type (o~-) nucl6aire.

3.4 Appendice: Remarques sur les espaces gt born~s m~trisables

Il semble que tousles espaces nucl6aires dans lesquels les born6s sont m6trisables ont un dual fort nucl6aire. Donnons ici quelques remarques seulement sur ces espaces.

(3.4.1) PROPOSITION. E ele. B bornd disqud m~trisable de E.

Alors il existe sur E une topologie ele. dventuellement non s~parde d~finie par un systkme f ondamental d~nombrable de voisinages deO et induisant sur B la topologie donnde.

Ddmonstration. En effet B &ant m&risable, soit (V,) une suite de voisinages de 0 (disqu6s) de E telle que (V, c~ B) soit un syst6me fondamental de voisinages de 0 de B, et soit J - ' la topologie sur E d6finie par le syst6me de voisinages de 0: (V,). La con- clusion r6sulte du lemme de Grothendieck ([12]):

Une topologie localement convexe J- ' sur un elc. E induit sur une partie disqude A de

E une topologieplusfine que celle induitepar le topologie de E, J-, si et seulement si elle donne un filtre de voisinages de 0 plus fin que ~-.

(3.4.2) COROLLAIRE. Si E ele. admet un systkme fondamental d~nombrable de born~s m~trisables, il existe sur E une topologie mdtrisable moins fine que E, induisant sur les born~s la m~me topologie que E.

(3.4.3) Remarques. 1) Si la topologie m~trisable 3- d~finie dans le corollaire pr~cd- dent est diff&ente de la topologie de E, il y a un bornd pour 3- non bornd dans E. (En effet, si tout born6 pour J - est born6 dans E, l'application E~-~E est born& sur tout born6 donc continue puisque E est bornologique.)

2) Un espace infratonneld (resp. r3flexif) ayant une suite fondamentale d~nombrable de bornds est du type ( 9 ~ ) (resp. ( ~ ) eomplet).

(En effet si E est r6flexif, il est le dual de son dual fort, qui sous les hypoth6ses de l'6nonc6 est m6trisable.)

(3.4.4) PROVOSITION. E nucldaire, B disque bornd mdtrisable de E. Alors il existe F du type (,~) nucl~aire et u lindaire continue E ~ F telle que u[ B soit un hom~omorphisme.

D~monstration. D'aprbs (3.4.1), construisons (V,), suite fondamentale de voisinages de 0 d6finissant une topologie ~-- (6ventuellement non s6par6e) induisant sur B la bonne topologie. Soit N l'adh6rence de 0 pour cette topologie: u :E~(Eg - /N )^= F l'application canonique (F est un espace de Fr6chet). I1 suffit alors d'appliquer (3.3.2).

(3.4.5) L'exemple suivant montre qu'un espace nucl6aire complet dans lequel les born6s sont m6trisables n'est pas n6cessairement bornologique.

Soit I un ensemble non d6nombrable et munissons E = R (~) de la topologie initiale relative aux projections canoniques R~X)~R (Io) off Io parcourt l'ensemble des parties


d6nombrables de I. E est un espace nucl6aire complet comme limite projective de nucl6aires complets. Dans E les bornds sont de dimension finie, puisque sur un produi t d6nombrable R (t~ la topologie est la topologie somme directe. E est donc non infratonnel6 (et donc non bornologique). E ; = E" est nucl6aire.

4. Divers 4.1 Bornds dans les mdtrisables

On va examiner ici la question de Grothendieck [12] p. 119: ~ Une partie born~e du compldt~ if? dun elc. mdtrisable est-elle contenue dans l'adhdrence dans E d'une partie bornde de E?>> Grothendieck lui-m~me avait remarqu6 que c'6tait le cas si E 6tait suppos6

s6parable ou du moins si le born6 est s6parable (cf. [10] p. 229). AMEMIYAH a donn6 un contre-exemple dans le cas g6n6ral (cf. [18] p. 407). Mont rons comment ~, l 'aide de l 'ensemble d' indices A d6fini en (1.2.1) on peut donner un contre-exemple plus simple. (cf. [6].)

(4.1.1) Soit F = J f ( A d i .... t )x FI R ofa J'U(A) est l 'espace de Banach des families N

sur A tendant vers 0 (suivant le filtre des compl6mentaires des parties finies). F est un espace de Fr6chet. E: sous-espace vectoriel m6trisable engendr6 par les

(qo~, (a,)) = (qoz, a) off 2 = (2,) ~ A et off 3N t.q. n ~> N ~ a , = 2,

E = { Z cq(~oz,, a , ) la i = 2 i finalement, ~i~R, )~iEA}. f i n i e

E = F . En effet, l ' image par la premiere projection de E est ~ ( A ) et il est clair que E est dense dans ~( ' (A) • F I R lui-m~me dense dans F.

(4.1.2) PROPOSITION. B c E , /]F~{(~0, 0) lq~oU(A), II ~o LI ~<1} Alors l'image de B par la projection sur FIR est non bornde (donc Bes t non bornd).

Ddmonstration. On va voir que s i / t = {(~o~, 0)[ ~,~A} alors la projection de B dans le produi t est non born6e.

En effet si (~o~,0) est adh6rent ~t B, B dolt contenir un 616ment du type ~,(~o~,, ai), 2 0 = 2 (2 arbi t ra i rement grand), C~o>0. La suite ~ c~ia~ ayant une

f i n i e

croissance comparab le ~ celle de cti2 ~. ol) 2j = Sup 2~= Max 2z~>2 o = 2 doric par la projection indiqu6e, l ' image de B contient une suite ayant une croissance plus rapide ou comparab le ~t celle de c%2 ou 2. Ceci 6tant valable V2~A, cette projection est non born6e d 'apr~s le lemme de (1.2.1).

(4.1.3) K6MURA dans [16] a utilis6 ind6pendamment l 'ensemble d'indices A o pour fournir un exemple d 'espace de Fr6chet non s6parable dans lequel t o u s l e s born6s sont s6parables. Dans sa d6monstrat ion, il semble utiliser le fait que Ao est cofinal (pour la relation d 'o rdre partiel introduite dans M) b, l 'ensemble de toutes les suites. Cela n 'est pas 6tabli et mont rons commen t on peut se passer de ce r6sultat.

3 4 0 ALAIN ROBERT

Posons: E = {f :Ao -~ R [ p . ( f ) = ~ If (2)[)~n <oo}

muni des semi-normes (p.) qui en font un espace (o~) non s6parable, car il contient la partie non s6parable {gx}Z~ao. Soit alors B u n born6 de E, M.= Sup p . ( f ) ( f s B) donc:

[f (~.)[.2. ~< p , ( f ) <. M, Vn(Vf ~B)

Choisissons N=(N,)>~(M,) &off 2<~W V2 t.q. f ( 2 ) r Par maximalit6 de A on voit que f (2 )= 0 V2 >~ 2 o ~ A o et les born6s sont done contenus dans les sous-espaces m&risables s6parables Exo = { f eE If(2) = 0 V2 >~ 20} d'ofl le r6sultat.

4.2 Question du compldtd de Le(E , F)

(4.2.1) Le Thdor6me de Grothendieck ([13].) affirme que le compl6t6 de E~ (E elc.) est l'ensemble des applications lin6aires dont les restrictions aux A ~ ~ sont continues. I1 serait int&essant de connaltre 6galement le compl6t6 de L e(E, F) off E et F sont des elc.

(4.2.2) QUESTION. Le compHt~ de Le(E , F) s'identifie-t-il ~ l'ensemble des applications lin6aires E ~ F dont les restrictions aux A ~ sont continues, espace notd Hom~ (E, F).

La rdponse est-elle affirmative lorsque F est complet? Je ne le sais que dans des cas particuliers. (L'espace candidat est manifestement complet, et le thdor6me de Grothendieck donne une rdponse affirmative dans le cas F = K . Nous verrons des gdndralisations). La question est de savoir si Le (E, F) est dense dans Home (E, F).

La r~ponse est affirmative dans les cas suivants: (4.2.3) Cas oi~ ~ = {parties finies de E} Cas oi~ E ( ~ ) et F eomplet (cf. [10] Cor 1 et 2 p. 234) (4.2.4) Cas oi~ E=E,, E~ complet et F complet. En effet, on sait alors que L~ (E, F) est complet, de plus L e (E, F ) = Hom e (E, F)

car si u:E~F, ueHome(E, F) Vx'eF', VAe~, x'u I a continue et (Th. de Grothen- A

dieck) Vx'eF', x 'u~E~=E~ qui implique u:E~-oF~ continue puis u : E = E , - o F ~ F continue, done ueL(E, F).

(4.2.5) Cas oi~ E satisfait ~ la propri3td d'approximation et est bornologique. L~ (E, F) est dense dans L~ (E, F) eomplet (= Hom~ (E, F) d'aprOs le raisonnement de (4.2.4).)

Ici, E a la topologie �9 puisqu'il est infratonnel6 et E~ est complet puisque E est bornologique.

E' | est dense dans E'| dense dans L~(E, ~)puisque E jouit de la propri&6 d'approximation d'ofl ~t fortiori, Lc (E, F) est dense darts L~ (E, F).

(4.2.6) PROPOSITION. E, (Fi) elc., F= I-[ Fi.


Si les compldtds des Le(E, Fi) sont les Home(E,/~i), alors le compldtd de Le(E, F) est Hom e (E,/~) = Hom e (E, 1~ if/).

En particulier, la r(ponse ~ (4.2.2) est affirmative si F est un produit de droites. Ddmonstration. En effet, on a d'abord l'isomorphisme vectoriel topologique:

L e (E, F) ~ L e (E, Fi)

f w-,(f,)

et il ne reste plus qu'h constater: Home(E, 1-IL)=l-Irtome(e, L). (4.2.7) PROPOSITION. E, F elc., N sous-espace fermd de E admettant un suppl~men-

taire topologique. Si le compldtd de L e (E, F) est Home (E, F), celui de L e (E, N)es t Hom e (E, N).

D~monstration. Soit p un projecteur continu F ~ N . La r6traction associ6e p . : H o m e ( E , F)-~Home (E, N) est continue et envoie Le(E, F) sur L~(E, N), d'ofi la densit6 de L e (E, N) dans Hom e (E, N) par l'hypoth6se de densit6 de L e (E, F) dans Hom e (E, F).

4.3 Biduals d'espaces ( ~ ~,~)

Dans certains cas particuliers, on peut affirmer que le bidual d 'un (.L#~-) est limite inductive des biduals des espaces de d6finition. (cf. [12] question 8 p. 121 et p. 83 et ss. pour des r6ponses partielles.)

Par exemple dans le cas des limites inductives (non strictes) on a: (4.3.1) PROPOSITION. E = lim E, espace (~,q~o~,) quasi-complet nucldaire.

Alors E est rOflexif, = E " = l i m E~'

Ddmonstration. La nucl6arit6 de E implique que les born6s sont pr6compacts donc E est m~me Montel (car quasi-complet); l'6galit6 E,'=li__mE~' provient alors du dia-

gramme commutatif: E , - + E

1, . ,t - + E , I E, --> hm E, = E.

Le triangle 6tant commutatif car w E, = E. (4.3.2) PROPOSITION. (E,) suite d'espaces ( ~ ) , u,:E,-~E,+ 1 6ndaire continue,

E=l im E, quasi-complet. Si u, (E,) dense dans E,+ 1 et si les appBeations canoniques E,-2~+ E sont injectives alors E" = li_m E~'.

D~monstration. L'hypoth6se d'injectivit6 n'est pas essentielle et on peut toujours s'y ramener en rempta~ant E, par E,/ker (~o,). I1 est imm6diat que q~, (E,) est dense dans E, donc la transpos6e 'q~, est injective, et par propri6t6 universelle de E on a E'=nE ' , . Comme on l'a d6j~t vu dans (3.2.1) (l'hypoth6se de quasi-compl6tion rempla~ant ici l'hypoth6se que E est (s strict: tout born6 est image d'un born6

3 4 2 ALAIN ROBERT

d ' u n E , ) EL a la topo log ie ini t ia le r e l a t ivement aux t~o., ou topologie in te rsec t ion des

E ' . (EL est comple t c o m m e dua l d ' u n b o r n o l o g i q u e ou c o m m e in te rsec t ion de com-

ptets, m~me ( ~ ) complets) . T o u t e forme l indaire c o n t i n u e sur E ' p rov i en t d ' u n e

fo rme l indaire c o n t i n u e sur u n E~ (of. [10] p. 104) donc [es E~' e n g e n d r e n t E" . Soit V

disqud c E " tel que ses images rdc iproques dans les E~' soient des vois inages de 0

(Vn); il con t i en t d o n c la pola i re d ' u n bornd B" c E" et la pola i re de Ves t u n ensemble

B ' bo rnd dans chaque E~. T o u t vois inage de 0 de E ' d tant ddj~ vois inage de 0 dans u n

E~ abso rbe B' , d 'o / l B ' est bornd dans E ' et V vois inage de 0 dans E" . Ceci m o n t r e

q u e E " a la topo log ie la p lus fine r e n d a n t con t inues les app l i ca t ions :

E ~ E " .

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Re~u le 20 janvier 1967

Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques

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