Introduction aux isolants topologiques

Laurent Lévy Institut Néel, Université de Grenoble

Plan

• Cours n° 1: Structure de bandes topologiques des solides - Structure de bande des solides; espace fibré de la physique quantique - Phase, courbure de Berry et indice de Chern - Mouvement semi-classique en présence de courbure de Berry - Application au mouvement en champ magnétique: mouvement semi-classique, quantification de Hall, application de la formule de Streda. Effets magnéto-galvanométriques Théorème TKNN: la conductance de Hall comme invariant topologique

- Les isolants topologique a 2D - Le modèle BZH - Observabilité de la phase de Berry: la polarisation électrique des solides

- Les isolants topologiques 3D

• Cours n° 2: Les états de surface des isolants topologiques - 3D: l’inversion de bande et les états de surfaces; le modèle le plus simple des états de surface - L’ARPES (spectroscopie de photoémission résolue en angle)

- Exemples de structure de bandes expérimentales; Bi2Te3, HgTe. La chiralité des états de surface (résolution en spin et dichroisme). - Exemple de système polaire BiTeI: le rôle de l’interaction Rashba (spin orbite) - calcul réaliste de structure de bande: le modèle de Kane (semiconducteur Zinc-Blende)

- Applications au tellurure de Mercure: spectre ARPES, dichroisme circulaire et polarisation de spin

• Cours n° 3: Les propriétés de transports

- 2D: Effet Hall de spin: expériences multicontacts, le filtrage et la détection du spin: premiers pas vers la spintronique des isolants topologiques - 3D: Propriétés des fermions de Dirac chiraux (différences avec le graphene) - L’effet de la phase de Berry et l’anti-localisation en présence de désordre - La quantification de Hall, le diagramme des phases de Hall des isolants topologique

Isolants vs états de Hall quantique

Argon solide: isolant atomique

aπ

−aπ0

Etat de Hall quantique: « isolant » 2D (σxx=0) mais henxy

2

=σ

Niveaux de Landau

B

qaπ

−qaπ

Zone de Brillouin magnétique

cω

Ne

Ar

Théorie des bandes dans les solides

)(2

2

rVm

pH += ( ) ( )rVRrV n

=+

Théorème de Bloch

( ) qrqi

qqRqi

qn ueeRT n

•• == ψψψ , rqirqi HeeqH

••−=)( ( ) nqn

nq uuqH

ε=

xq

yq

0

aπ

aπ

−

bπ

bπ

−

Structure de bande

( ) ( ) quqq nn ,ε→

Correspondance

Deux représentations

( ) ( )ruer nq

rqinq

•=ψ

( )rueqdrw nk

rqin

•∫= 2)(

( ) ( )∑ −= •−

ii

nRqinq Rrwer i

ψ

Bloch

Wannier

Invariant de surface (théorème de Gauss-Bonnet)

Courbure gaussienne

21

1RR

=κ R1, R2 rayons de courbure locale

Surfaces fermées: théorème de Gauss-Bonnet

0=g 1=g

( )gSdS

2222 −=∫∫ πκ g, genre de la surface (entier≡nombre de trous)

Généralisation: indice de Chern des espaces fibrés

L’espace fibré de la physique quantique

BH

•= σγ [ ] 0, =Hq

quq →

qq

qqq

uquP

uuH

=

= ε

Espace des états |uq> (espace de Hilbert) Espace fibré: correspondance entre q (Zone de Brillouin, paramètres (B, Vg) ) → Espace des états |uq>

Topologie: propriétés globales de cette correspondance

Cas importants: l’espace sous-jacent (Zone de Brillouin, paramètres (flux magnétique, charge) est périodique

( ) ( )rUm

AeqH res

++

=2

2

La phase de Berry en physique quantique

Ambigüité de la phase en physique quantique

qi

q ueu qφ→

quq →

00 qi

q ueu Cγ→

∫=C

qqC duuiγ

transport parallèle

Phase de Berry

Connection de Berry ( ) qqq uuiqA

∇=

Comme un potentiel vecteur

( ) ( ) qqi

q qAqAueu q φφ ∇+→→,

Cγ ne dépend pas du choix de la phase de |uq>

Exemple important: la phase de Berry des spins-1/2

Courbure de Berry

qq AF

×∇=

dSnFC

C ∫∫ •= ˆ

γ Flux de F à travers la surface C devient l’indice de Chern pour des surfaces fermées

,

2cos

2sin

,

2sin

2cos

−

=−

=+qi

q

qqi

q

q

eeθ

θ

θ

θ

φφ

La phase de Berry de deux bandes (spin-1/2)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−

=•=+

−

qdqdqdqd

qdqHz

z

σ

( ) ( )qdq ±=±ε

Cas d’une rotation de d autour de z (θ const),

φθφ deid qiq

=+2

sin

0

( ) Ω=−=−=++= ∫∫ θπφθγπ

cos12

sin2

0

2 ddiC

qqC

angle solide convert par d

Phase de Berry d’un spin ½ dans un champ magnétique tournant: ruban de Moebius

Cas d’un spin dans un champ magnétique orientable (sphère→sphère): notion d’indice de Chern

,

2cos

2sin

,

2sin

2cos

−

=−

=+θ

θ

θ

θ

φφ ii ee2b

±=±ε

φφ

θφ θ

θ

θθ

θ

eeb

iee ii

ˆ

2sin

2cos

sinˆ

2cos

2sin

21

+

−

=+∇

φθθ e

bAN ˆ

sin21cos −

=+∇+=+

Vector potential of a monopole of “charge” ½

( )bB

bbAB

δ21

2 3

−=•∇

−=×∇=

+

++

1

1421

21ˆ

21 2

2

=

−=−=•=

−

+ ∫∫C

bb

dSnBC πππ

φθθ e

bAS ˆ

sin2cos1+

=+∇+=+

( )φf

( )b

AAf SN 1,2

,2

−=

−

= φπφπφ

( ) Cbb

df ππφφπ

2212

0

=×−=∫

BbH ˆ2

•= σ

Mouvement semiclassique des états de Bloch

( ) ( )ruer nq

rqinq

•=ψ

Rappel: états de Bloch dans un potentiel périodique

( ) ( ) ( )rururdiqA nqq

nq

n

∇= ∫∫ *3Connection de Berry’s

qq A

ir

+

∇=Position moyenne

[ ] )(, qirr c

abcba Fε= Les coordonnées ne commutent pas !

( ) nnq dtqdq

dtrd

BdtrdeEe

dtqd

F

×+∇=

×+=

ε

( ) ( )qAq q

×∇=F

La courbure de Berry a le même effet dans l’espace des q qu’un champ magnétique dans l’espace réel

Dualité entre l’espace des q et l’espace réel

Effet de B et F sur le volume de l’espace des phases

( )( )

( )( )

∇∇

=

−qrU

qr

dtd

q

rBe

naq

a

b

b

cabc

ab

ba

cabc

εεδ

δε

F

[ ] [ ][ ] [ ]

−

baba

baba

rrqrrqqq

i,,,,

Crochets de Poisson (commutateurs)

( )( )

( ) ( ) ( )rUqqrH

qrHqrH

n

q

a

a

+=

∇∇

ε,

,),

Jacobien

( ) ( )

cb

abceBqqJ Fε+== 1det

Affecte le volume à intégrer dans l’espace des phases

Formule de Strěda

heout

xy

2

'νσ =

'νν − états de bords chiraux hein

xy

2

νσ =

( ) ( )

( ) ( )

eBllqX

Lmq

eXxyx

xUmeApH

BBmmy

m

yiqmnn

m

===

−=

++

=

,,2

,2

2

2

π

φψ

By

BB l

LllX <<=∆

π2

Filaments de largeur lB, le long d’équipotentielles

0,

2

2

2

=∂∂

=

=

∂∂

−∂∂

=

Tc

cabc

a

b

b

aab

Bn

ehK

Khe

EJ

EJ

µπ

πεσ (compressibilité)

( ) ( )qnqqJdn ∫∫= 2 occupation

de Fermi

( )qXU

qv qq

y ∂

∂=

∂

∂=

ε

Xm=centre de « guidage »

yBxA ˆ=

Jauge de Landau

Application de la formule de Strěda Gaz d’électrons libres

menD

τσ2

=Bne

c

D

c

cDxy =≈

+=→

τωσ

τωτωσσ 221

xy

xy

BK

Bne

σρ

σρ

=∂∂

=

==

Effet Hall quantique (porteurs massiques)

meBnn

+=

21εniveaux de Landau

BSheggN =

ΦΦ

=0 νρ B

he

SNene

2

===

# de niveaux de Landau remplis (incl. deg. de spin) h

eBxy

2

νρσ =∂∂

=

électrons sans int. sans états étendus au niveau de Fermi: entier ν

Généralisation (FQHE)

121,

12 ++

+=

qq

qqν q de niveaux de

fermions composites remplis

Application de la formule de Strěda – cont. Généralisation a 3D

Pas d’états étendus (bulk) au niveau de Fermi

dG π2

= vecteur du réseau réciproque c

abcab Ghe ε

πσ

2

21

=dn

he2

→

Réseau de plans 2D périodiques (organiques, graphène)

Graphene, états de surface des isolants topologique

( ) cqq =ε enBcn 2=ε

BSheggN =

ΦΦ

=0

νρ Bhe

SNene

2

===

he

Bxy

2

νρσ =∂∂

= Même résultat que pour les électrons massiques

Analyse des trajectoires a la surface de Fermi

Exemples de surfaces de Fermi

δεδ

δεδ

δδεε

SeB

qdqeB

dt

Bdtq

eBdtedq nq

22

==

=∇= ⊥

( ) 0.

,

=∇

⊥

qdtqd

dtrdB

dtqd

q

ε

Mouvement à énergie constante

(reste vrai si F≠0)

( )qdtrd

Bdtrde

dtqd

nq

ε∇=

×=

Sδ

nε

δεε +n

ε∆∆

=S

eBT

2 Variation de l’aire ⊥ B lorsqu’on passe de ε a ε+∆ε

Cas simple

( ) ( )

*

*2

**

22

*

2222

*

2

,2,2

222

meB

eBmTmS

Sm

qm

qqqm

c

zzyx

===

+=++=

ωππδεδ

επ

ε

Quantification des orbites

( ) ( )επ

ε Sm

qm

qqqm zzyx

*

22

*

2222

*

2

222

+=++=Semiclassique

( ) πγ 2+=•∫ nrdp

( ) BreKqBdtrde

dtqd

×=−×= ,

( )γπ+= neBSn

2( ) ( )

( ) ( )[ ]εω

γωε

∆+−=

++=

cz

czzn

nnmnq

nqm

q

max2

2

*

2

2

2

Densité d’états: a ε0 donné, sélection des qz(n) tel que εn(qz(n))=ε0

Pour ε0 donne, n varie de 0 a nmax

Calcul de la densité d’états B

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ε

π

ωε

ωππε

εε

εε

πε

3

2/3*

*

2

02

*

002

*

2*

*

2

00

42

22

1

,

,22

max

max

m

mm

nqm

ddn

nqm

dndqndqnq

mqd

dndqLLL

ddN

cc

n

n z

z

zzzzn

n

n

zyxz

=

Φ→

Φ=

==

Φ=

∑

∑

=

=

Identique a celle d’un système sans champ

( )

( ) 2/132

2/3

2/332

2/3

2

33

3

42

62

634

81

επε

εππ

ππ

mddn

mqqVN

=

===

Par contre elle diverge lorsque Δε→0 i.e. lorsque

ε

ωε

men

B

n

n

cn

+=

+=

211

21

max

Oscillations periodiques en 1/B M→ deHaas-van Alphen ρxx →Shubnikov deHaas

Généralisation aux structures de bandes

Operateur p+eA Jauge symétrique

−=

Bx

ByA

2121

+

−=+=Π

Bxep

ByepAep

y

x

2

2

[ ]P

eBQ

eB

ieB

yx

yx

→Π

→Π

−=ΠΠ

,

,

Variables canoniques conjuguées d’un système 1D

+== ∫ 2

121 nPdQJπ

EBSK ( )dJ

JdH=ω

Aire délimitée par la trajectoire qans le plan Q-P

dSdeBT

SeB

J

eBq

PeBqQ yx

επωππ

2

2

222

,

==

=

→→

Formule très générale

Orbite dans le plan Q-P

Orbites fermées ou ouvertes suivant la direction de B

Singularité de la densité d’états

( )∑=Φ

=max

00

,n

n

z

dndqB

ddn

εε

πεCritère géométrique pour que dqz/dε→∞

( )( )nqznεε = Orbite quantifiée

( )

+=

212, neBqS z

πε0=+ zz

qdqdS

ddS δδε

ε

z

z

dqdSddS

ddq ε

ε−=

→0 pour les orbites extrémales

Pour chaque surface extrémale Si

+=

2121 n

Se

B iin

π

Fréquence magnétique détermine Si

( )θiSForme de la surface de Fermi

Gaz d’électrons en champ magnétique groupe de translation magnétique

( ) ( )rUm

AekH

+

+=

2

2

( )rUAekAekcH xyyyxx

+

+−

+= σσ

( ) ( )rURrU =+ bmanR

+= kRi

R eT

•= ( ) ( )RrfrfTR

+=

BrA

×=21

BRei

R

BrekRi

R eTeT

×

×+•

== 22

abi

ba TTeTT ϕ= q

pBab ππϕ 220

=Φ

=

Maille « magnétique »

bmanqR

+='

Cas d’un espace sous-jacent périodique (Zone de Brillouin): notion d’indice de Chern

Exemple/ espace sous-jacent est 2D-périodique≡tore

Espace des états: SU(2)≡SO(3)≡sphère

Indice de Chern: tore→sphère

( ) ( )qdmqH •+= σ1

dégénérescences

sphère autour de la dégénérescence

m: rayon du tore

Expression de la conductance de Hall en terme d’invariant topologique (TKNN)

Formule de Kubo ( )∑ −

−=

βα βα

αββααββασ

,2

2

EEvvvv

ie yxxy

xy

Indice de bandes (NdL)

dxdyuvuvqa b

βαβα ∫ ∫=0 0

* ( )11

ˆ1ku

EEkHvx ∂

∂−=

∂∂

= βαβ αβαβα

∑ ∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=βα

αααα ββββσ, 2112

2

ku

ku

ku

ku

ie

xy

( ) kk uukA ∇=def:

( )( ) αα

πσ

1

22

2

ˆ21 C

hezkAkd

ihe

kZBM

xy =•×∇= ∫

Zone de Brillouin 2D (tore)→SU(2)≡SO(3) Hamiltoniens de spin des systèmes 2D: indice de Chern ≡degré d’homotopie

( ) 1−= qSq Application inverse

au voisinage de S ≡1 si l’orientation est préservée ≡-1 si l’orientation est inversée Signe du Jacobien

Degré d’homotopie est la somme de ces signes Dégénérescences →zéros du Jacobien

L’indice de Chern (2D)≡nombre de dégénérescences à l’intérieur du tore

C1=q1

C2=q2

0=− ∑i

iT CC

Théorème de Gauss

ZqCi

iT ∈= ∑

Changement d’indice de Chern: sortie d’une dégénerescence du tore: Fermeture du gap en un point de la zone de Brillouin

Changement de phase autour de la maille magnétique

ψ état propre commun à H et TR’

bkeT

qakeT

bikb

qaikqa

πψψ

πψψ

20,

20,

2

1

2

1

<<=

<<=

Zone de Brillouin magnétique

),(),(

),(),(

),(),(

2121

2121

21

21

21

/

/

)(

yxuebyxu

yxueyqaxu

yxueyx

kkqapxi

kk

kkbpyi

kk

kkykxki

kk

π

π

ψ

=+

=+

=−

+

( )rikk

keruru

θ)()( =

kUM

ldp

θπ

∇•−= ∫21

La phase fait p tours autour de la maille magnétique

Contrainte topologique

( )( )

( )∫

∫

•=

•×∇=

ZBM

kZBM

xy

dkAih

e

zkAkdih

e

π

πσ α

21

ˆ21

2

22

Exemple: modèle BHZ de l’effet Hall de spin

Polarisation dans les solides et phase de Berry

A ( ) ( ) ( )rururu kk 10

αλ →→

transition ferroélectrique, λ, paramètre 0<λ<1

( ) ( )ruerk krki

λλψ •=,

λ

0

1

aπ

aπ

−

∫ ∇=C

kk di ξψψγ λξ

λ

ionPeP ∆+=∆πγ

( )ruekdrw krki λλ

•∫= 3)(

( ) λλλλ qqq uuqdrwrrdr ∇== ∫∫ 323

Calcule du dipôle electrique

( )

( ) ( )( )πγϕ

πλϕλϕ

π

λλ

π λ

edee

dPP

reP

C

===−=

=∂∂

=∆

=

∫

∫

0122

22

1

0

3

Reconnection des fonctions d’ondes

Pour une bande remplie: la phase θ de sa fonction d’onde est ±1. C’est l’indice de Chern de la bande

Cas 2D ∑=remplie

nCC Cas 3D ( )pC 11 −=±=entier

p: nombre de bandes P remplies sous εF Z

Z2

Etats d’interface des isolants topologiques

( )rUAekAekcH xyyyxx

+

+−

+= σσ

Modèle minimal pour les états de surface fermion hélicoïdaux de Dirac

xΠ yΠ

Confirmation expérimentale

( )[ ]( ) kckkc

kkc yyxx

=−×−×=

−=

θθθθ

σσε

sinsincoscos

Cas « idéal »

HgTe : plusieurs « branches » (autres bandes)

( ) [ ]

iii

i

kijkjii

ii

kbkcmkb

kbkbkbkH

sin,cos)(

,,,)()()(

4

10

4

150

=

−=

Γ=ΓΓ±=Γ+Γ=

∑

∑

=

±=

εε

Condition to get ( ) 0=±=± kb

ε

can be fulfilled only P symmetric system: 1 parameter m is enough !

8 critical points at BZ corners (Γi)

Questions: topology of what ? what’s special at the Γi ? How can do I find topological numbers

Le modèle BHZ se généralise a 3→4 D

Time reversal symmetry Θ Antiunitary op [e(iπσy) K] Θ2=−1

H(-k)=Θ H(k) Θ−1 T-symmetric Hamiltonian

)(),( ii uu ΓΘΓ αα

degenerate Kramers doublets

Liang Fu, C. L. Kane, PRB 76 045302 (2007)

[Η,Θ]=0 spin 1/2

at Γi H(Γi)=Θ H(Γi) Θ−1

consider matrix ( ) ( ) ( )kukukw nmmn Θ−=

antisymmetric at Γi [ ]( )

[ ]( ) 1Pfdet

±=ΓΓ

=i

ii w

wδ invariant

Z2 invariant ∏=

=8

10

iiδν 3 more ∏

=

=4

1iiδνα

Simplification [H,P]=0 )()( kuku

αα ±=− degenerate Kramers doublets

∏=m

mi ξδ # of odd-parity bands below Fermi level Push a P band above εF, topological phase transition

A 3dimensions: invariant Z2≡signe ±1