Quelques éléments d ’algorithmique et de spécification

Quelques éléments d ’algorithmique et de spécification

Leur traduction en Java et Jml

IB1 2007-2008 Structures algorithmiques, Traduction Java et Jml

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Démarche pour la construction de logiciels

Cahier des charges Spécifications formelles Algorithmes (vérifications) Implantation (codage)


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Spécifications

Langage de spécification : logique des prédicats du premier ordre

Détermination des données et des résultats

Précondition: conditions vérifiées par les données

Postcondition: conditions établissant une relation entre données et résultats.


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Algorithme (définition générale)

Description de la résolution d’un problème sous forme d ’une suite finie d’opérations élémentaires.


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Programme

Réalisation d’un algorithme dans un langage qu’un ordinateur est capable d’exécuter.


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Langage algorithmique

Compromis entre une langue naturelle et un langage de programmation en gardant un bon niveau d ’abstraction.


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Algorithme (en informatique)

Description du traitement d’une donnée pour obtenir un résultat.

On peut vérifier qu’un traitement est conforme à sa spécification (sous forme de pre-postconditions)

Remarque : d (donnéesdonnées) et r (résultats) peuvent être composés de plusieurs valeurs.


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Notation

{ P } TRAIT { Q }

Si la donnée d vérifie la précondition P,alors après exécution des instructions de TRAIT, le résultat r vérifie la postcondition Q.


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Exemple

P : x = 4

TRAIT : x x + 1

Q : x = 5

remarque : ici x est à la fois donnée et résultat


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Traduction en Jml

/*@ assert P @*/ ;

TRAIT ;

/*@ assert Q @*/ ;

Exemple : /*@ assert x == 4; @*/;

x = x + 1;

/*@ assert x == 5; @*/;


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TRAIT : suite d’instructions Java, rencontrées dans le corps d’une méthode Java.

Exemples d’instructions :

instanciation affectation d’une variable appel de procédure


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Affectation

variable expressionou variable := expression

Traduction Java

variable = expression


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Remarques

- on n’exprime pas les créations d ’objets.

- on n’exprime pas les entrées/sorties.

- les variables peuvent être modifiées au cours du traitement d’un algorithme.


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Séquence d’instructions : ;

trait1; trait2;…traitn;

Le point-virgule est aussi utilisé en Java


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Conditionnelle simple

Définir un résultat dépendant d’une condition

si cond alors TRAIT1 sinon TRAIT2 finsi

cond est une expression booléenne.


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Exemple : maximum de deux entiers

P = (d1, d2: ENTIER)

Q = (r : ENTIER) et (r=d1 ou r=d2) et r d1 et r d2

TRAIT :si d1 < d2 alors r d2 sinon r d1 finsi


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Traduction en Java d’une conditionnelleSyntaxe

if (cond) instruction ;ou if (cond) { instructions }

cond est de type boolean

Effet à l’exécution cond est évaluée les instructions sont exécutées seulement si

cond est évaluée à true


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Traduction en Java d’une conditionnelle

if (cond) { instructions }else { instructions }

cond est une expression de type boolean

cond est évaluée, si sa valeur est true, les premières instructions sont exécutées, sinon celles après else sont exécutées.


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Quelques simplifications indispensables

if (cond)b = true;else b = false ;

s ’écrit

b = cond ; Remarque: ne pas utiliser de conditionnelles

lorsque les résultat sont booléens, dans ce cas utiliser des opérateurs booléens.


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Conditionnelle multipleDéfinir un résultat différemment selon plusieurs

cas :

si cond1 alors TRAIT1 sinon

si cond2 alors TRAIT2 sinon……

si cond(n-1) alors TRAIT(n-1) sinon TRAITnfinsi

Remarque : un seul TRAITi sera exécuté


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Traduction Javaif (cond1) {

TRAIT1}else if (cond2) {

TRAIT2}…else if (cond(n-1) ){

TRAIT(n-1)}else {TRAIT_n}


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Traduction JavaImbrication d’instructions conditionnelles

Une clause else appartient toujours au if le plus proche qui n ’est pas dans un bloc séparé et qui n’a pas encore de else.

Exemple : if (a>=b) if (a>=c) max = a;

else max=c; else if (b>=c) max=b;

else max=c;


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Autre notation algorithmique

Cas cond1 alors TRAIT1Cas cond2 alors TRAIT2……Cas condn alors TRAITn

ou AutreCas TRAITnfincas

avec cette formulation il faut vérifier que les conditions sont mutuellement exclusives et que l’une d’elles est vérifiée.


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L’instruction switch switch (variable) { case valeur1 : bloc1; break;…case valeurn : blocn ; break;default : bloc_default ; break;}

Remarque : variable doit être de type entier (int, short, byte) ou caractère (char), les autres types ne sont pas autorisés.


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Exemple : résolution d ’une équation du second degré de la forme ax²+bx+c = 0P = (a, b, c : REEL a 0)

Q = (nbsol : ENTIER s,t : REEL) [ (nbsol = 0)

((nbsol = 1) (as²+bs+c = 0)) ((nbsol = 2) (as²+bs+c = 0)

(at²+bt+c = 0) (s t))]


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Algorithme

TRAIT :disc b² - 4ac ;si disc = 0 alors nbsol 1; s -b/2a sinon

si disc > 0 alors nbsol 2; s …; t … sinon nbsol 0

finsi


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Itération simplePour exécuter un traitement un nombre de fois connu à l ’exécution. Notation algorithmique :

INITpour i dans [1..n] faire TITERfinpour

Soit i une variable qui compte le nombre d ’itérations.

Soit n une variable égale au nombre d’itérations à

effectuer.


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Itération conditionnelle (1)

Pour exécuter un traitement un nombre de fois

inconnu à l’exécution. Notation algorithmique :

INIT;cond expression ;tant que cond faire

TITER;cond expression

fintantque


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Itération conditionnelle (2)INIT ;arrêt expression ;jqa arrêt faire TITER;arrêt expression ;finjqa

arrêt : variable booléenne qui exprime la condition d ’arrêt. Remarque : arrêt = non (cond)


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Exemple :

Une itération sert très souvent à calculer le dernier terme d’une suite définie par une relation de récurrence.

Calcul de la somme des carrés des n premiers nombres entiers positifs.

P = ( n entier ; n > 0)

Q = ( r = i² pour i [1..n])


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TRAIT :r 0;pour i dans [1..n] faire r r+i² fpour

our 0;i 1;cond (i <= n) ;tantque cond faire r r+i² ; i i+1;

cond (i <= n)fintantque

Algorithme


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Traduction Java (boucle « for »)for (exprinit ; condition ; expincr)

{ instructions }

condition est de type boolean Effet à l ’exécution

exprinit est évaluée tant que condition est true, les instructions

sont exécutées, puis expincr est évalué.


33

Traduction Java (1) (« boucle while »)initialisation ;while (condition)

{ instructions }

condition est une expression de type boolean

sémantique : tant que l ’expression condition est true, les instructions sont exécutées.


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Exemple :r = 0 ;for ( i = 1 ; i <= n ; i++ ) r = r + i*i ;

our = 0 ;i = 1 ;cond = (i <= n) ;while (cond)

{ r = r + i*i ; i = i+1;cond = (i <= n);}


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Traduction Java (2) : (« boucle do while ») initialisation ;

do {instructions}

while (condition) ; condition est une expression de type

boolean sémantique : condition est évaluée après

chaque itération


36

Les fonctions fonction nom_fonction (param : type):

resultat : type; instructions

signature corps de la fonction : description algorithmique du calcul des

résultats à partir des données.


37

Les fonctions en Java type_retour nom_fonction (params : type) {

instructions ;return expression ;

}

l ’instruction return permet de retourner un résultat type_retour précise le type du résultat retourné


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Exemple

int somme( int n) {int r = 0 ;for (i=1; i <= n; i++) r = r + i*i ;return r;

}


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Les tableaux

Collection d’éléments de même type, auxquels on peut accéder grâce à un indice.

Les éléments sont de type : primitifs (réel, entier, caractère, …) objets plus complexes (produits cartésiens …


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Type Tableau

bi : Tableau Entier indice minimal

bs : Tableau Entier indice maximal

longueur : Tableau Entier nombre d’éléments

accès : Tableau x Entier E remarque : accès(T, i) est noté T[i]

change : Tableau x Entier x E Tableauremarque : T[i] = e


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Les tableaux en Java (Array)

Déclaration : nom_type [] nom_tableau ; Définition: nom_tableau = new nom_type[n]

; Les composantes d’un tableau commence à

l’indice 0 et jusqu’à (n-1), si le tableau a n éléments.

Accès à un l’élément d ’indice i : t[i] Modification de l’élément d ’indice i : t[i]=nv Autre façon de définir un tableau : exemple

boolean [] t = {true, false, true};


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Les tableaux en Java (suite) int [] t = { 9, 10, 12, 13, 19, 8, 7, 0 }; length fournit le nombre d’éléments du tableau

t.length renvoie 8

t[3] = 20 ; parcours des éléments d’un tableau :

for (i = 0; i < t.length; i++) {

...System.out.println(t[i]);

}


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Spécification du maximum des éléments d ’un tableau d’entiers

données : t : tab[1..n] d ’entiersrésultat : max : entier, maximum de tPrécondition : n > 0Postcondition : (i [1,n] max =t[i]) et (j [1,n] max t[j])


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Traduction en JML

/*@ requires t.length > 0; @ ensures (\exists int i; i 0 && i < t.length; @ \result == t[i]) && @ (\forall int j; j 0 && j < t.length; \result t[j]); @*/ public int maximum ( int [] t){ …


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Spécification -----------Algorithme | | | | JML JAVA


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Exercice

Ecrire un algorithme qui remplit n éléments d’un tableau avec les carrés des n premiers nombres entiers. Faire la traduction Java de cet algorithme.

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