Quaternions-Rotations et SpinOn a vu que les nombres complexes sont etroitement associes auxrotations dans le plan. Un rotation plane d’angle θ autour d’unpoint se represente par l’operation de multiplication par le nombrecomplexe eiθ = cos θ + i sin θ.On voudrait maintenant disposer d’un procede analogue pour lesrotations dans l’espace: il s’agit de trouver un ensemble denombres, muni d’une addition et d’une mutiplication, de sortequ’une rotation dans l’espace revienne a faire une mutiplication.Une rotation dans l’espace est determinee par un axe (l’axe de larotation) et par un angle. En supposant une origine fixee, unerotation autour d’un point depend de 3 parametres reels.

C’est en cherchant a decrire les rotations de l’espace, ainsi que leproduit vectoriel qui lui est associe, que Hamilton inventa en 1843les quaternions.Il y a plusieurs manieres equivalentes de les presenter.Commencons par imiter la representation des nombres complexespar des matrices 2× 2 en la modifiant legerement.

q =

(a b−b a

), a, b ∈ C

En l’honneur de Hamilton, on designe par H l’ensemble de cesmatrices q.

On va voir que H est un espace vectoriel reel de dimension 4 (Cest un espace reel de dimension 2) et on va en exhiber une baseparticuliere.On a a = x + iy , b = u + iv . On en deduit alors que

q = xE + yI + uJ + vK (1)

Les 4 matrices E , I , J,K etant

E =

(1 00 1

), I =

(i 00 −i

)(2)

J =

(0 1−1 0

), K =

(0 ii 0

)(3)

{E , I , J,K} constitue une base de H.

Ces quatre matrices sont voisines des matrices de Pauli, introduitespar Pauli pour decrire le spin. On verra plus loin que ce n’est pasfortuit. Ces matrices sont notees σ0, σ1 = σx , σ2 = σy , σ3 = σz etsont reliees a E , I , J,K ,

E = σ0 =, I = iσ3, J = iσ2, K = iσ1 (4)

On verifie que les 4 matrices σj , 0 ≤ j ≤ 3 sont Hermitiennes.Les operations sur H sont les operations definies pour les matrices:on a donc une addition et une mutiplication. (Attention: lamultiplication n’est pas commutative).

On a une conjuguaison analogue a la conjugaison complexe:q 7→ q? (q? est la matrice conjuguee hermitienne de q).Calculons le produit q?.q. On trouve

q?.q = q.q? = (|a|2 + |b|2)E (5)

Or q = 0 si et seulement si a = b = 0. Posons |q| =√|a|2 + |b|2

(module du quaternion q). On en deduit que tout quaternion nonnul a un inverse note q−1

q−1 =q?

|q|2(6)

On dit qu’un quaternion est reel si q? = q et qu’il est pure siq? = −q. Un quaternion pur est l’equivalent d’un nombrecomplexe imaginaire pur.q est reel equivaut a a ∈ R et b = 0 ou encore a q = xE .q est pur equivaut a a = iy (a imaginaire pur) ou encore aq = yI + uJ + vK .Notons que {E , I , J,K} est une base orthonormee de H pour leproduit scalaire

〈q, q′〉 =1

2tr(q?q′)

Notons par HR l’ensemble des quaternions reels et HP l’ensembledes quaternions purs. les sous-espaces HR et HP sont orthogonauxet on a H = HR ⊕HP .Les generateurs E , I , J,K de l’ensemble des quaternions verifientles relations suivantes, qui servent parfois de point de depart pourleur construction

I 2 = J2 = K 2 = −E

IJ = K = −JI

JK = I = −KJ

KI = J = −IK

Si q est un quaternion pur de norme 1 on trouve q2 = −1. Il y aplein de racines carree de -1 dans les quaternions!

Ces proprietes des generateurs des quaternions se traduisent par lessuivantes pour les matrices de Pauli

σjσk + σkσj = 2δj ,k , [σj , σk ] = 2iεj ,k,`σ` (7)

ou [σj , σk ] ≡ σjσk − σkσj est le commutateur de σj et σk et εj ,k,`est egal a 0, 1, -1 suivant que pour (j , k , `) 2 des indices sontegaux, une permutation paire ou une permutation impaire de1, 2, 3.Les relations de commutation jouent un role important enmecanique quantique. On verra plus loin que l es relations (7) sontanalogues aux relations verifiees par les generateurs des rotationsde l’espace (c’est l’explication donnee par Pauli pour decrire lespin).

L’ensemble des quaternions purs HP est un espace de dimension 3(sur R) qui represente donc un modele pour l’espace euclidien danslequel nous vivons, que l’on notera E3. Tout quaternion pur, notev s’ecrit v = xI + yJ + zK , (x , y , z) represente les coordonneesd’un point de E3. Calculons le produit de 2 quaternions pursv = xI + yJ + zK , v ′ = x ′I + y ′J + z ′K . En utilisant les reglesprecedentes, avec un peu de patience, on obtient

v .v ′ = −(xx ′ + yy ′ + zz ′)E +

(yz ′ − y ′z)I + (x ′z − z ′x)J + (xy ′ − x ′y)K (8)

Le produit de 2 quaternions purs donnent en meme temps leproduit scalaire 〈v , v ′〉 et le produit vectoriel v ∧ v ′ dont lescomposantes sont donnees par la regle :x

yz

∧x ′

y ′

z ′

=

yz ′ − y ′zx ′z − z ′xxy ′ − x ′y

(9)

Si q est un quaternion, on peut le decomposer en une sommeq = a + v ou a est reel et v un quaternion pur. On verifie que

a =q + q?

2, v =

q − q?

2

On a alors pour le produit de 2 quaternions q et q′, la formule

q.q′ = aa′ − 〈v , v ′〉+ av ′ + a′v + v ∧ v ′

Le produit vectoriel apparait egalement dans la formule suivante,appelee formule du produit mixte

det[v , v ′,w ] = 〈v ∧ v ′,w〉 (10)

On demontre cette formule en developpant le determinant.Il en resulte que si v et v ′ sont lineairement independants, alors{v , v ′, v ∧ v ′} est un repere directe (“regle du bonhommed’Ampere”) et que v ∧ v ′ est orthogonal a v et a v ′.

Par analogie avec la formule de Euler-Moivre pour les nombrescomplexes, calculons eθq, q etant un quaternion imaginaire denorme 1. On a vu que q2 = −1 donc q3 = −q, q4 = 1, q5 = 1 etplus generalement qn+4 = qn. On obtient alors

eθq =∑n≥0

θnqn

n!= cos θ + sin θ.q (11)

On rappelle les developpements infinis des fonctions cos θ, sin θobtenus en prenant les parties reelles et imaginaires de eiθ

cos θ =∑n≥0

(−1)n θ2n

(2n)!

sin θ =∑n≥0

(−1)n θ2n+1

(2n + 1)!

On verifie que ‖eθq‖ = 1. Tout quaternion de norme 1 est de cetteforme (exercice).

Lien entre quaternions et rotations.

Une rotation dans l’espace d’angle θ autour d’un axe de vecteurunitaire v s’exprime par la formule

R(θ, v)u = (1− cos θ)〈v , u〉v + cos θu + sin θv ∧ u . (12)

Demontrons la formule (12). On se ramene a une rotation dans leplan orthogonal a v . On pose u⊥ = u − 〈u, v〉v . On a alorsR(θ, v)u = R(θ, v)u⊥ + 〈u, v〉v .On peut se ramener au cas ou ‖u⊥‖ = 1. Mais alors{v , u⊥, v ∧ u⊥} est un repere orthonorme directe etv ∧ u = v ∧ u⊥. On en deduit

R(θ, v)u⊥ = cos θu⊥ + sin θ(v ∧ u)

En regroupant les termes on obtient la formule cherchee.

Nous allons maintenant interpeter la formule precedente a l’aidedes quaternions. Soit q un quaternion pur de norme 1 et u unquaternion pur quelconque. Calculons e−θq/2ueθq/2. En utilisantce qui precede, on obtient

e−θq/2ueθq/2 = cos2 θ

2u + sin

θ

2cos

θ

2u.q

− sinθ

2cos

θ

2q.u − sin2 θ

2q.u.q (13)

q.u = −〈q, u〉+ q ∧ u

q.u.q = −〈q, u〉q + (q ∧ u) ∧ q (14)

On utilise alors la formule du double produit vectoriel

(u ∧ v) ∧ w = 〈u,w〉v − 〈v ,w〉u (15)

Ce qui donne finalement

e−θq/2ueθq/2 = cos θu − sin θq ∧ u + (1− cos θ)〈q, u〉q (16)

Comparons maintenant cette formule avec celle trouvee pour lesrotations :

R(θ, v)x = (1− cos θ)〈v , x〉v + cos θx + sin θv ∧ x

Dans la premiere formule q, u sont des quaternions purs alors quedans la deuxieme v , x sont des vecteurs de R3. Voyons commenton passe de l’une a l’autre.

Dans ce qui suit, on convient de representer les points x del’espace R3 par la matrice hermitienne σ(x) = x1σ1 + x2σ2 + x3σ3.C’est possible car x 7→ σ(x) est une bijection lineaire (et uneisometrie) de R3 sur son image notee H0. On peut caracteriser H0

comme etant l’ensemble des matrices 2× 2 hermitiennes, de tracenulle (exercice).Si v ∈ R3 alors q = iσ(v) est une quaternion pur, de norme 1 si vest de norme 1. De meme, si x ∈ R3, u = iσ(x) est un quaternion.On deduit de la formule (??) que l’on a

e−iθσ(v)/2(σ(x))eiθσ(v)/2 =

cos θσ(x) + sin θσ(v ∧ x) + (1− cos θ)〈x , v〉σ(v). (17)

Le membre de droite s’ecrit sous la forme σ(y) avecy = x cos θ + v ∧ x sin θ + (1− cos θ)〈v , x〉v . y est donc letransforme de x par la rotation d’angle θ et d’axe v . Autrement dit

σ(x) 7→ e−iθσ(v)/2(σ(x))eiθσ(v)/2

definit une transformation de H0 dans H0 de telle sorte que lescoordonnees de σ(x), considere comme vecteur de H0, sonttransformees selon la rotation d’axe v et d’angle θ.Il est parfois commode d’utiliser la notation σ(x) = 〈x , σ〉 ou σdesigne le triplet de matrices (σ1, σ2, σ3).

conclusion.

On peut representer toute rotation spatiale par un quaternion(eθq/2). Cela peut faciliter certains calculs et c’est utilise dans laconception de jeux videos, le controle des satellites et des fusees.On montre facilement que tout quaternion de norme 1, note Upeut s’ecrire sous la forme U = eθq/2 ou θ ∈ [0, 4π[ et q est unequaternion pur de norme 1. Cette ecriture est unique. On a doncune correspondance U 7→ R(U) qui a tout quaternion unitaire Uassocie une rotation de l’espace d’angle θ et d’axe v , vecteur dontles composantes (v1, v2, v3) sont les composantes de q dans la base{I , J,K} des quaternions purs.

L’ensemble H1 des quaternions unitaires s’identifie avec l’ensembledes transformations unitaires de l’espace de Hilbert C2 note SU(2),l’ensemble de rotations de l’espace est note SO(3).L’application R de SU(2) dans SO(3) verifie la proprietes suivantes

R(U1.U2) = R(U1).R(U2), ∀U1,U2 ∈ SU(2)

R[SU(2)] = SO(3)

R(U) = R(V )⇔ U = ±V (18)

Le codage des rotations par les quaternions n’est pas parfait! Il y aune ambiguite de signe qui est inevitable pour des raisonsgeometriques que l’on retrouvera avec le spin.

Exercices1. Demontrer la formule du double produit vectoriel.2. On considere une rotation d’angle θ d’axe v et une rotationd’angle φ d’axe w , que l’on effectue dans cet ordre. Le resultat estune rotation d’angle ω d’axe t. En utilisant la representation al’aide des quaternions, calculer cos ω2 .3. Dans l’espace R3 muni d’un repere orthonorme {e1, e2, e3}montrer que toute rotation R(θ, v) peut se decomposer en unproduit de 3 rotations du type suivant.

R(θ, v) = R3(θ′3).R2(θ2).R3(θ3)

ou Rj(α) designe la rotation d’angle α, d’axe ej .

Exercices

(suite)4. deduire de 3. que toute matrice unitaire U ∈ SU(2) sedecompose comme suit

U = ±(

eiθ′3/2 0

0 e−iθ′3/2

)(cos(θ2/2) − sin(θ2/2sin(θ2/2) cos(θ2/2)

)(eiθ3/2 0

0 e−iθ3/2

)(19)

5. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres des matricesde Pauli et montrer que σj = UjDjU

?j avec Dj matrice diagonale et

Uj unitaire, j = 1, 2, 3.

Rotations et matrices de Pauli

Pour comprendre le lien profond entre ces deux objets on fait appela la notion de groupe et a ses representations.Un groupe G est un ensemble muni d’une operation (ou loi) quel’on notera souvent multiplicativement x .y si x , y ∈ G . Cette loipossede les proprietes suivantes

I Associativite : x .(y .z) = (x .y).z , ∀x , y , z ∈ G

I Il existe un element neutre note e, e.x = x .e = x , ∀x ∈ G

I Tout element x de G admet un inverse note x−1 tel quex .x−1 = x−1.x = e.

Exemples: Z, Q, R, C sont des groupes pour l’addition habituelle.R\{0}, C\{0} sont des groupes pour la multiplication habituelle.Ces goupes sont commutatifs (x .y = y .x , ∀x , y ∈ G ).

Exemples (suite)

I L’ensemble Sn des permutations de {1, 2, · · · , n} est ungroupe (fini a n! elements) pour la composition despermutations. Ce groupe s’appelle le groupe symetriqued’ordre n.

I Le groupe a 2 elements G = {0, 1}.I Si E est un espace vectoriel de dimension finie, on note par

GL(E ) l’ensemble des operateurs inversibles de E . C’est ungroupe pour la composition des operateurs, appele groupelineaire de E . Si E = Rn on note GL(Rn) = GL(n,R).

I Si E = R3 on designe par O(3) le groupe des transformationsorthogonales et par SO(3) le groupe des rotations.

I si E = C2, SU(2) designe le groupe des operateurs unitairesde determinant +1 de C2

Exemples (suite)

I L’ensemble des nombre complexes de module 1 est un groupenote U(1); il s’identifie au groupe des rotations du plan noteSO(2)

I L’ensemble des quaternions de norme 1, note H1 s’identifie aSU(2). En effet les elements de SU(2) ont pour matrice

Q =

(a b−b a

), a, b ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1.

On verifie que Q? = Q−1 et det Q = 1 qui sont les 2 relations quidefinissent SU(2).

Pour analyser les relations entre SO(3) et SU(2) ont fait appel a latheorie des groupes.La theorie des groupes est un domaine vaste des mathematiques.Nous allons seulement l’effleurer ici. Cette theorie a desapplications importantes en physique pour l’etude des symetries.Elle a permis par exemple a Pauli d’expliquer l’origine du spin et aGelmann de predire l’existence des quarks.L’un des fondateurs de la theorie des groupes est le mathematicienlegendaire E. Galois qui s’en servit pour demontrer l’impossibilitede resoudre en general par radicaux les equations de degre ≥ 5.Voici 2 notions utiles.Un sous-groupe d’un groupe G est une partie H de G contenantl’element neutre et stable par la loi du groupe. Par exemple SO(3)est un sous-groupe de GL(3,R).

Un morphisme de groupe est une application ρ d’un groupe Gdans un groupe H qui respecte les lois de G et H, c’est a dire telleque

ρ(e) = ε (20)

ρ(g1.g2) = ρ(g1) ? ρ(g2), ∀g1, g2 ∈ G . (21)

ε est l’element neutre de H, ? est le loi de H.Exemples:1) x 7→ ex est de morphisme de (R,+) dans (R?,×)2) Si A est une matrice n× n, t 7→ etA est un morphisme de (R,+)dans GL(n,R) (ou GL(n,C)). {etA, t ∈ R} est un sous-groupe deGL(n,R), appele sous-groupe a un parametre de generateur A.

Lors de l’etude des rotations on a construit un morphisme dugroupe H1 dans le groupe SO(3) c’est a dire de SU(2) dansSO(3). Reprenons cette etude on a identifie l’ensemble desquaternions purs a l’espace vectoriel H0 engendre par σ1, σ2, σ3.H0 est aussi l’espace des matrices complexes A, 2× 2 hermitienneset de trace nulle. Cet espace est souvent note su(2)

Si v ∈ R3, v = (v1, v2, v3) on a note σ(v) = v1σ1 + v2σ2 + v3σ3.L’application σ est une isometrie de R3 sur su(3) muni du produitscalaire 〈A,B〉 = 1

2tr(AB?).La relation etablie entre quaternions et rotations de l’espaces’exprime de la maniere suivante : a tout element U de SU(2) onassocie une rotation R(U) de l’espace suivant la formule

R(U)v = σ−1(Uσ(v)U−1) (22)

R est un morphisme surjectif (tout element de SO(3) provient, viaR d’un element de SU(2)). Il n’est pas injectif. On montre en effetque tout element de SO(3) provient de 2 elements distincts deSU(2). Il suffit de regarder le cas de la transformation identite IR3 .On constate alors que R(U) = IR3 si et seulement si U = ±IC2 .

Le groupe SO(3) agit naturellement dans R3 mais il agit aussi dansd’autres espaces. Il agit par exemple sur les fonctions ψ de R3

dans C suivant la formule ρ(U)ψ(x) = ψ(R(U)?x). On constatealors qu’il s’agit egalement d’une action de SU(2). SU(2) agitnaturellement sur C2. L’observation cle de Pauli pour expliquer lespin consiste a calculer les generateurs infinitesimaux de ces actionset remarquer qu’ils verifient des memes relations de commutation.

On designe par Rj(θ) la rotation d’angle θ autour de l’axe Oxj ,j = 1, 2, 3. Calculons ∂

∂θψ(Rj(θ)x)|θ=0. On trouve

∂

∂θψ(Rj(θ)x))|θ=0 = Ljψ(x) (23)

ou les Lj sont les operateurs differentiels :

L1 = x2∂

∂x3− x3

∂

∂x2

L2 = x3∂

∂x1− x1

∂

∂x3

L3 = x1∂

∂x2− x2

∂

∂x1

Ce qu’on resume par la formule L = x ∧∇ .

Pour une particule en rotation le moment angulaire est unequantite conservee. Reprenons les calculs precedents pour un axequelconque de vecteur directeur unitaire v . On prefere avoir desoperateurs hermitiens dans l’espace de Hilbert L2(R3). Pour celaon pose Lj = 1

i Lj Pour toute fonction derivable ψ de 3 variablesx = (x1, x2, x3) on a alors :

i∂

∂θψ(R(−θ, v)x)|θ=0 = i〈∇ψ(x), x ∧ v〉 = 〈v , L〉ψ(x)

Faisons maintenant agir les rotations precedentes dans C2.

Pour cela a la rotation d’angle θ et d’axe v on associe latransformation de SU(2) : U(θ, v) = e−iθσ(v)/2. D’apres les calculsprecedents effectues via les quaternions, aux rotationsR1(θ),R2(θ),R3(θ) sont associes les matrices de SU(2) suivantes

U3(θ) =

(e−iθ/2 0

0 eiθ/2

)U2(θ) =

(cos(θ/2) sin(θ/2)− sin(θ/2) cos(θ/2)

)U1(θ) =

(cos(θ/2) −i sin(θ/2)−i sin(θ/2) cos(θ/2)

)Comme precedemment, on calcule les generateurs infinitesimaux deces actions dans C2,

On obtient alors, pour j = 1, 2, 3,

i∂Uj(θ)

∂θ|θ=0 =

1

2σj (24)

Posons Sj = 12σj . Alors Lj et Sj verifient les memes relations de

commutation, a savoir

1

i[Λj ,Λk ] = εj ,k,`Λ`

Ce qui laisse penser que les matrices Sj jouent un role de memenature qu’un moment angulaire. On verra plus loin que lesoperateurs Lj sont les analogues quantiques du moment angulaireclassique pour une particule en rotation.

Remplacons maintenant la fonction ψ par un vecteur a = (a1, a2)de C2 et faisons agir R(θ, v) par son representant e−θq/2

(q = iσ(v)) dans SU(2). On a alors q = i(v1σ1 + v2σ2 + v3σ3) eton obtient

i∂

∂θe−θq/2a|θ=0 = (v1S1 + v2S2 + v3S3)a = 〈v ,S〉a.

Or 〈v , S〉 est une matrice hermitienne dont le carre est 14I (cela

resulte des proprietes des matrices de Pauli). Donc 〈v ,S〉 a pourvaleurs propres ±1/2.

De plus 〈v ,S〉 est unitairement equivalente a la matrice(1/2 0

0 −1/2

). Il suffit par une rotation de transformer le vecteur

v en le vecteur (0, 0, 1) en utilisant la formule

eθq/2〈v , S〉e−θq/2 = 〈R(eθq/2)v , S〉.

En effet les matrices 〈v , S〉 et 〈R(eθq/2)v ,S〉 ont memes valeurspropres.conclusion: 〈v , S〉 s’interprete comme un moment angulaireintrinseque prenant les valeurs ±1/2 independamment de l’axe derotation. On a ainsi decrit geometriquement le spin 1/2. Alors que〈v , L〉 s’interprete comme un moment angulaire orbital dependantde l’axe de rotation v .Comme on le verra dans la suite, pour expliquer le spinelectronique, Pauli associe a l’electron une paire de fonctionsd’onde (ψ1, ψ2). Donc pour tout x ∈ R3, (ψ1(x), ψ2(x)) ∈ C2. Legroupe des rotations agit sur (ψ1, ψ2) en combinant son action surx ∈ R3 et son action sur la variable discrete s = 1, 2.

Une rotation R(θ, v) agit sur le “spineur” (ψ1, ψ2) selon la formulesuivante

ρ1/2(θ, v)

(ψ1

ψ2

)(x) = U(θ, v)

(ψ1(R(−θ, v)x)ψ2(R(−θ, v)x)

)(25)

On obtient alors

i∂

∂θρ1/2(θ, v)

(ψ1

ψ2

) ∣∣θ=0

= (L + S)

(ψ1

ψ2

)(26)

Le spin S s’ajoute donc au moment angulaire qui se trouve ainsimodifie. Le plus surprenant est que cette modification se fasse parun decalage de ±1/2.

W. Pauli a obtenu le prix Nobel en 1945 pour l’ensemble de sestravaux. Il a publie ”General Principles of Quantum Mechanics”(Springer-Verlag) qui contient d’interessantes notes historiques.On y verra en particulier que Pauli connaissait la theorie desquaternions et ainsi que bien d’autres domaines des mathematiquescomme la theorie des representations des groupes. C’est sansdoute grace a ces connaissances qu’il a pu proposer un modeletheorique coherent pour expliquer les phenomenes mis en evidencepar l’experience de Stern et Gerlag (1921) et dans l’effet Zeeman(1896) “anormal”. Pour cela Pauli a introduit le spin en 1924.