This article was downloaded by: [University of Wisconsin-Milwaukee]On: 06 October 2014, At: 06:22Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

Quasi-Bigèbres de Lie et Algèbres Quasi-Batalin-Vilkovisky DifférentiellesMomo Bangoura a ba Département de Mathématiques , Université de Conakry, Guinée et Abdus SalamInternational Centre for Theoretical Physics , Trieste, Italyb Département de Mathématiques , Université de Conakry , BP 1147, GuinéePublished online: 01 Feb 2007.

To cite this article: Momo Bangoura (2003) Quasi-Bigèbres de Lie et Algèbres Quasi-Batalin-Vilkovisky Différentielles,Communications in Algebra, 31:1, 29-44, DOI: 10.1081/AGB-120016748

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-120016748

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) containedin the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make norepresentations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of theContent. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, andare not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon andshould be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable forany losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoeveror howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use ofthe Content.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematicreproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in anyform to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Quasi-Bigebres de Lie et AlgebresQuasi-Batalin-Vilkovisky Differentielles

Momo Bangoura*

Departement de Mathematiques, Universite de Conakry,Guinee et Abdus Salam International Centre for

Theoretical Physics, Trieste, Italy

ABSTRACT

Lie quasi-bialgebras (also called Jacobian quasi-bialgebras) aregeneralisations of Lie bialgebras while differential quasi-Batalin-Vilkovisky algebras are generalisations of differential Batalin-Vilkovisky algebras. We show that the kernel of the Laplacianoperator of a quasi-Batalin-Vilkovisky algebra is a homotopy BV-algebra (BV1-algebra). We establish a one-to-one correspondencebetween the Lie quasi-bialgebra structures on a finite-dimensionalvector space with a generalized co-character and differential quasi-Batalin-Vilkovisky structures on the exterior algebra of the dualvector space.

*Correspondence: Momo Bangoura, Departement de Mathematiques, Universitede Conakry, BP 1147. Guinee; E-mail: bangm@ictp.trieste.it and momo.bangoura@gn.refer.org.

COMMUNICATIONS IN ALGEBRA�

Vol. 31, No. 1, pp. 29–44, 2003

29

DOI: 10.1081/AGB-120016748 0092-7872 (Print); 1532-4125 (Online)

Copyright # 2003 by Marcel Dekker, Inc. www.dekker.com

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

RESUME

Les quasi-bigebres de Lie (appelees aussi quasi-bigebres jacobiennes)sont des generalisations des bigebres de Lie, tandis que les algebresquasi-Batalin-Vilkovisky differentielles sont des generalisations desalgebres de Batalin-Vilkovisky differentielles. Nous montrons quele noyau de l’operateur laplacien d’une algebre quasi-Batalin-Vilko-visky est une algebre de Batalin-Vilkovisky a homotopie pres(BV1-algebre). Nous etablissons une correspondance bijective entreles structures de quasi-bigebre de Lie sur un espace vectoriel dedimension finie muni d’un co-caractere generalise et les structuresd’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur l’algebre exte-rieure du dual de cet espace vectoriel.

1. INTRODUCTION

Nous donnons un exemple d’algebre de Batalin-Vilkovisky a homo-topie pres et nous generalisons un resultat de Getzler (1995) qui etablit-une correspondance bijective entre les structures de bigebre de Lie surun espace vectoriel F de dimension finie, muni d’un co-caractere, et lesstructures d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�, l’alge-

bre exterieure du dual de F.Les quasi-bigebres de Lie (Drinfeld, 1990b) (ou quasi-bigebres jaco-

biennes, Bangoura and Kosmann-Schwarzbach (1993) et Kosmann-Schwarzbach (1992)) sont des generalisations des bigebres de Lie, intro-duites par Drinfeld comme limites classiques des algebres quasi-Hopf;elles sont caracterisees par l’existence d’un defaut d’identite co-Jacobipour le co-crochet, qui est en fait le cobord d’un element de

V3F, ouF est l’espace vectoriel sur lequel est definie la structure de quasi-bigebrede Lie, alors que pour les bigebres de Lie (Lecomte et Roger, 1990), cedefaut est nul. Dans la Sec. 3, nous rappelons la definition et les pro-prietes des quasi-bigebres de Lie et a partir d’une structure de quasi-bigebre de Lie donnee (F, m, g, f), nous definissons les operateurs dm,@g et if sur

VF� dont nous enoncons les proprietes, consequences des

axiomes de quasi-bigebre de Lie.Les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky differentielles sont des general-

isations introduites par Getzler des algebres de Batalin-Vilkovisky differ-entielles. Sur les crochets de Batalin et Vilkovisky voir (Batalin etVilkovisky, 1983; Batalin, 1985). Sur les algebres de Batalin-Vilkoviskyvoir, par exemple, (Huebschmann, 1998). Une structure d’algebrequasi-Batalin-Vilkovisky differentielle est caracterisee par la donneed’une algebre commutative graduee A munie de trois operateurs diffe-

30 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

rentiels D, d, F verifiant un ensemble de relations (voir Getzler (1995) et,Sec. 4). Dans la Sec. 4, nous montrons qu’a toute algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle correspond une structure de BV1-algebre sur lenoyau de son operateur laplacien (Theoreme 4.1).

La Sec. 5 est consacree a l’etude du lien entre les structures de quasi-bigebre de Lie et les structures d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differ-entielle (Theoreme 5.1). En consequence nous remarquons qu’outre lastructure standard d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle associeea une bigebre de Lie (F, m, g) (Kosmann-Schwarzbach, 1995), chaqueco-caractere de la co-algebre de Lie (F, g) permet de definir une nouvellestructure d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle.

2. DERIVATIONS D’ORDRE SUPERIEUR

Nous rappelons ici quelques definitions. Soit F un espace vectorielreel ou complexe de dimension finie et soit m2Hom(

V2F, F). Si m estune structure d’algebre de Lie surF, et siM est un module sur cette alge-bre de Lie, l’operateur cobord de Chevalley-Eilenberg (Koszul, 1950), dm,est une differentielle sur les cochaınes sur F a valeurs dans M. Plus gen-eralement, on definit par une formule analogue un operateur, note encoredm, pour tout m2Hom(

V2F, F), et M un sous-espace vectoriel deVF

stable par l’action de F analogue a l’action adjointe. Cet operateurest de carre nul si et seulement si m est une structure d’algebre de Lie(Nijenhuis et Richardson, 1967).

Definition 2.1. Soit A¼LkAk une algebre commutative graduee et

EndA¼LHom(Ak, Al) l’algebre des endomorphismes de A, munie de la

structure d’algebre de Lie graduee definie par le commutateur gradue, note[ , ].

2.1. Le degre d’un element de Hom(Ak, Al) est l� k.2.2. On a une application A ,!EndA, a(b)¼ ab, pour a, b2A, i.e. a

agit par multiplication.2.3. Un operateur est dit differentiel d’ordre zero s’il commute a tout

element de A.2.4. Un operateur D2EndA est dit differentiel d’ordre n� 1 si [D, a]

est differentiel d’ordre n� 1 pour tout a2A.

Parfois on utilise la notion de derivation d’ordre n:

2.5. Une derivation d’ordre 1 de A est une derivation dans le sensusuel, [L, a]�La¼ 0 pour tout a2A.

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 31

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

2.6. Un endomorphisme L de A est appele derivation d’ordre n� 2,si [L, a]�La est une derivation d’ordre n� 1 pour tout a2A.

Une derivation d’ordre n est un operateur differentiel d’ordre n.

Soit A l’algebre exterieureVF�, ou F� est le dual de F. Pour une

base donnee (ei) de F, de base duale (Ei), designons par ai l’operateurde contraction avec ei, qui est de degre �1, et par bi l’operation de multi-plication exterieure par Ei, qui est de degre þ1. Ces operateurs satisfontles relations de commutation canoniques,

½ai; b j� ¼ d ji :

On a le resultat suivant (Getzler, 1995):

Proposition 2.1. Un operateur sur A¼VF� est un operateur differentiel

d’ordre n s’il s’ecrit comme une somme de monomes, chacun desquels etantau plus de degre n en les operateurs ai.

3. QUASI-BIGEBRES DE LIE

Les quasi-bigebres de Lie (Drinfeld, 1990b) (appelees quasi-bigebresjacobiennes dans (Bangoura et Kosmann-Schwarzbach, 1993,Kosmann-Schwarzbach, 1992)) sont les limites classiques des algebresquasi-Hopf, introduites par Drinfeld.

Definition 3.1. Un quadruplet (F, m, g, f) est une quasi-bigebre de Lie siF est un espace vectoriel muni d’un crochet m2Hom(

V2F, F), d’un co-crochet g2Hom(F,

V2F) et d’un element f2V3F tels que

3.1. (F, m) est une algebre de Lie.3.2. g est un 1-cocycle de l’algebre de Lie (F, m), a valeurs dans

V2Fpour l’action adjointe definie par m.

3.3. 12Alt((g� 1)g(x))¼ (dmf)(x) 8x2F.

3.4. Alt(g� 1� 1)(f)¼ 0.

ou dm est l’operateur associe a m pour l’action adjointe definie par m et Altest l’operateur alternateur defini sur l’algebre tensorielle de F par

Altðx1 � � � � � xnÞ ¼Xs

ðsign sÞxsð1Þ � � � � � xsðnÞ;

xi 2 F; i ¼ 1; . . . ; n;

32 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

s etant une permutation de {1, . . . , n} et sign s la signature de la permuta-tion s.

Remarque 3.1. La condition 3.3 exprime que g est un crochet de Lie ‘‘ahomotopie pres’’ et la condition 3.4 est la forme infinitesimale de la con-dition de pentagone pour les algebres quasi-Hopf. Dans 3.3, f est consi-dere comme une 0-forme sur F a valeurs dans

V3 F.

Remarque 3.2. La denomination ‘‘quasi-bigebre jacobienne’’ pour‘‘quasi-bigebre de Lie’’, utilisee dans (Bangoura, 1995; Bangoura etKosmann-Schwarzbach, 1993; Kosmann-Schwarzbach, 1992), se justifiepar le fait que le crochet verifie bien l’identite de Jacobi, alors que le co-crochet ne verifie pas l’identite co-Jacobi. Ainsi, contrairement a la notionde bigebre de Lie, la notion de quasi-bigebre jacobienne n’est pasauto-duale; l’objet dual est appele une quasi-bigebre co-jacobienne.

Par le choix d’une base de F et de sa base duale dans F�, les condi-tions definissant une quasi-bigebre de Lie s’expriment en fonction descomposantes ckij, f

ijk , et f

ijk de m, g et f respectivement, comme suit:

3.5. cmij clmk þ cmjkc

lmi þ cmkic

lmj ¼ 0:

3.6. cimk fjml � ciml f

jmk � cjmkf

iml þ cjmlf

imk ¼ cmklf

ijm :

3.7. f ijmfmkl þ f jk

m f mil þ f kim f mj

l ¼ cilmfjkm þ cjlmf

kim þ cklmfijm:

3.8. f klm fijm þ f ilmfjkm þ f jl

m fkim ¼ f ijmflkm þ f jk

m flim þ f kim fljm:

Rappelons a present la notion de couple de Manin due a Drinfeld(1990b).

Definition 3.2. Un couple de Manin consiste en un couple (D, F) ou D estune algebre de Lie munie d’un produit scalaire invariant non degenere et Fune sous-algebre de Lie isotrope de dimension maximale de D.

L’etude des quasi-bigebres de Lie est rendue facile grace au twist(Drinfeld, 1990b), appele en francais modification (Bangoura, 1995), quiconsiste a construire de nouvelles structures de quasi-bigebre de Lie surF a partir d’une deja connue; ce qui permet de les etudier en termes declasses d’equivalence (Drinfeld, 1990b, Kosmann-Schwarzbach, 1992).On a le resultat suivant (Drinfeld, 1990b):

Proposition 3.1. Les classes d’equivalence de quasi-bigebres de Lie mo-dulo modification sont en correspondance biunivoque avec les couples deManin.

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 33

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

Pour une quasi-bigebre de Lie donnee (F, m, g, f), nous pouvonsdefinir sur

VF� les operateurs suivants:

dm :k

F� !kþ1

F�;

@g :k

F� !k�1

F�;

if :k

F� !k�3

F�;

ou

dmx� �

x1 ^ � � � ^ xkþ1ð Þ¼

Xi<j

�1ð Þiþjx m xi; xj� � ^ x1 ^ � � � ^ xxi ^ � � � ^ xxj ^ � � � ^ xkþ1

� �;

@g x1 ^ � � � ^ xkð Þ¼

Xi<j

�1ð Þiþjg xi; xj� � ^ x1 ^ � � � ^ xxi ^ � � � ^ xxj ^ � � � ^ xk;

ifx� �

x1 ^ � � � ^ xkþ3ð Þ ¼ x f ^ x1 ^ � � � ^ xk�3ð Þ;

pour x2VkF�, xi2F�, i¼ 1, . . . , k, xi2F, i¼ 1, . . . , kþ 1. L’operateurdm est l’operateur de Chevalley-Eilenberg (a coefficients triviaux) associe am, @g est le transpose de l’operateur dg associe a g. On a le resultat suivant:

Lemme 3.1. Soit (F, m, g, f) une quasi-bigebre de Lie. Les operateurs dm ,@g et if satisfont les proprietes suivantes:

3.9. dm est une derivation de degre 1 de (VF�, ^) telle que d2

m ¼ 0.3.10. @g est une derivation du second ordre de (

VF�, ^) de

degre �1.3.11. l’operateur [dm, @g] est une derivation de (

VF�, ^) de degre 0.

3.12. if est un operateur differentiel d’ordre 3 de (VF�, ^) de degre

�3 tel que i2f ¼ 0.3.13. @2

g þ [dm, if]� i@mf¼ 0, ou @m est l’operateur transpose de dm ,defini sur

VF.

3.14. [@g, if]¼ 0.

Comme pour les bigebres de Lie, nous appellerons l’operateurL¼ [dg, @m] le laplacien de la quasi-bigebre de Lie (F, m, g, f).

34 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

Proposition 3.2. Pour x2F, on a:

½@g; ix� ¼ �igðxÞ:

Demonstration. Ce resultat se demontre par un calcul direct. Voir parexemple (Kosmann-Schwarzbach, 2000), Proposition 1. &

Exemple 3.1. Toute bigebre de Lie est une quasi-bigebre de Lie; il suffitde prendre f¼ 0.

Exemple 3.2. Soit (F, m) une algebre de Lie. Alors tout choix d’un ele-ment r2V2F definit une structure de quasi-bigebre de Lie sur F enposant

g ¼ dmr; f ¼ � 1

2½r; r�m;

ou [r, r]m designe le crochet de Schouten algebrique (Kosmann-Schwarz-bach et Magri, 1990; Kostant et Sternberg, 1987; Koszul, 1985) de r aveclui-meme. Une telle structure est dite strictement exacte (Bangoura, 1995;Bangoura et Kosmann-Schwarzbach, 1993).

Exemple 3.3. Soit (F, m) une algebre de Lie. Alors tout elementr2F�F de partie symetrique adm-invariante definit une structure dequasi-bigebre de Lie sur F en posant

g ¼ dma; f ¼ � 1

2½r; r�m ¼ � 1

2ð½a; a�m þ ½s; s�mÞ;

ou a (resp. s) est la partie antisymetrique (resp. symetrique) de r et [s, s]m

designe l’element ad-invariant deV3 F defini par s. Si s est non degenere,

une telle structure est dite quasitriangulaire (Drinfeld, 1990b; Bangoura,1995; Bangoura et Kosmann-Schwarzbach, 1993).

4. ALGEBRES QUASI-BATALIN-VILKOVISKYDIFFERENTIELLES

Nous etudions maintenant les algebres quasi-Batalin-Vilkovisky dif-ferentielles (Getzler, 1995) introduites par Getzler en vue d’applications ala theorie conforme des champs topologique.

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 35

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

Definition 4.1. Une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle est unquadruplet, (A, D, d, F), ou A est une algebre commutative graduee munied’une derivation du second ordre D de degre �1, d’une derivation d de degre1 et d’un operateur differentiel F d’ordre 3 de degre �3 tels que

4.1. d2¼ 0.4.2. [d, D] est un operateur differentiel du premier ordre.4.3. D2þ [d, F]¼ 0.4.4. [D, F]¼F2¼ 0.

Remarque 4.1. Dans le cas ou F¼ 0, le triplet (A, D, d) satisfaisant lesconditions 4.1, 4.2 et 4.3 ci-dessus, est une algebre de Batalin-Vilkoviskydifferentielle (Getzler, 1995; Kosmann-Schwarzbach, 1995); le couple(A, D) satisfaisant la condition D2¼ 0 est une algebre de Batalin-Vilkovisky (Huebschmann, 1998).

Definition 4.2. L’operateur L¼ [d, D] est appele le laplacien de l’algebrequasi-Batalin-Vilkovisky differentielle (A, D, d, F).

On a le resultat suivant:

Proposition 4.1. Dans une alge�bre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle(A, D, d, F), le laplacien L commute avec les operateurs D, d et F, i.e.,

½L;D� ¼ ½L; d� ¼ ½L;F� ¼ 0:

La demonstration de ce resultat est une consequence directe des con-ditions 4.1, 4.3 et 4.4.

L’operateur L etant une derivation de A, Ker L est stable pour leproduit defini sur A et par consequent, Ker L est une algebre commutativegraduee dont la structure est induite par celle deA. De plus, les trois opera-teurs D, d et F agissent sur Ker L et les relations definissant la structured’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur A restent valablessur Ker L. Dans le cas ou F¼ 0, le triplet (Ker L, D, d) est une algebre deGerstenhaber-Batalin-Vilkovisky differentielle (dGBV-algebra) au sensde (Barannikov et Kontsevich, 1998; Cao et Zhou, Preprint; Manin,1999; Xu, 1999).

Nous rappelons maintenant la definition d’une algebre BV a homo-topie pres ou BV1-algebre, donnee par Kravchenko (2000):

Definition 4.3. SoitA¼LiAi un espace vectoriel Z-gradue. Une applica-

tion lineaire D :A!A est dite impaire, si D(Ai)�L

k2ZAiþ 2kþ1, pour cha-que i.

36 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

Definition 4.4. Un triplet (A, d, D) est une BV1-algebre si

4.5. A est une algebre commutative graduee.4.6. d :A!A est une differentielle (derivation de degre 1 de carre nul)

de A.4.7. D :A!A est un operateur differentiel impair de carre nul, tel que

le degre de D� d est negatif.

Le resultat principal de cette section est le suivant:

Theoreme 4.1. Soit (A, D, d, F) une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky dif-ferentielle; soit H (Ker L, d) la cohomologie de Ker L. Alors

4.8. l’operateur D induit sur H (Ker L, d) une structure d’algebre deBatalin-Vilkovisky.

4.9. l’operateur D¼ dþDþF induit sur Ker L une structure deBV1-algebre.

Demonstration. Demontrons 4.8. Sur Ker L, on a dDþDd¼ 0; celasignifie que D agit sur H (KerL, d). Par ailleurs, d’apres 4.3, D2¼�(dFþFd), ce qui signifie que surH(A, d), en particulier surH (Ker L, d),D2¼ 0. Par consequent (H (Ker L, d), D) est une algebre de Batalin-Vilkovisky.

Demontrons 4.9. Ker L etant stable par les operateurs D, d et F,l’operateur D¼ dþDþF agit sur KerL. Il est clair que l’operateurD¼ dþDþF est impair et l’operateur D� d est de degre negatif. D’autrepart,

D2 ¼ 1

2½d; d� þ ½d;D� þ 1

2½D;D� þ ½d;F�

� �þ 1

2½F;F�:

Des conditions 4.1, 4.3 et 4.4, on obtient D2¼ [d, D]¼L, et doncon obtient D2¼ 0 sur Ker L. Par consequent (Ker L, d, D) est uneBV1-algebre avec D¼P

nDn, ou D1¼ d, D2¼D, D3¼F et Dn¼ 0 pourn� 4. &

Definition 4.5. Une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky (A, D, d, F) est diteunimodulaire si son laplacien est nul.

Nous venons de montrer que si (A, D, d, F) est unimodulaire, alors Aest munie d’une structure de BV1-algebre et (H(A, d), D) est une algebre

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 37

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

de Batalin-Vilkovisky. Dans ces conditions, tenant compte des degres descommutateurs gradues des differents operateurs, on obtient

Corollaire 4.1. Soit (A, D, d, F) comme dans la Definition 4.1. Pour que(A, D, d, F) soit une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle unimo-dulaire il faut et il suffit que l’operateur D¼ dþDþF soit de carre nul.

Soit (A, D, d, F) une algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle.Associons a l’operateur D¼ dþDþF les applications lineaires suivantesLnD :

Vn Ker L!Ker L definies par

L1DðaÞ ¼ DðaÞ;

Lnþ1D ða1; . . . ;anþ1Þ ¼ Ln

Dða1; . . . ;ananþ1Þ� ðLnDða1; . . . ;anÞÞanþ1

�ð�1Þ anj jð a1j jþ���þ an�1j jþ1ÞanLnDða1; . . . ;an�1;anþ1Þ;

pour a, a1, . . . , anþ 12Ker L.Chaque application lineaire Ln

D peu etre prolongee en une unique co-derivation de degre 1� n de

VKerL, notee aussi Ln

D (voir (Kravchenko,2000)). Ces applications lineaires possedent des proprietes importantesqui s’expriment en termes de L1-algebre. (Voir par exemple (Lada etStasheff, 1993).)

Soit V¼LnVn un espace vectoriel gradue. Definissons la structure de

co-algebre exterieure surVV en donnant le co-produit sur l’algebre exter-

ieure O :VV!V

V�VV:

Ov ¼ 0

Oðv1 ^���^vnÞ¼Xn�1

k¼1

Xs

ðsignsÞEðsÞvsð1Þ^���^vsðkÞ�vsðkþ1Þ^���^vsðnÞ;

ou s est une permutation de {1,..., n} telle que s(i)< s(iþ 1) pour i 6¼ k etle signe E(s) est determine par

v1^���^vn¼ðsignsÞEðsÞvsð1Þ^���^vsðnÞ:

Considerons la suspension sV¼V [1] de l’espace V, c’est-a-dire l’espacevectoriel gradue defini par (sV)n¼Vn�1 (Kravchenko, 2000).

Definition 4.6. Une structure de L1-algebre sur un espace vectoriel gra-due V est une co-differentielle Q sur

V(sV) de degre 1, c’est-a-dire une

application Q :V(sV)!V

(sV)[1] telle que

38 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

4.10. Q est une co-derivation: O �Q¼ (Q� 1þ 1�Q) �O,4.11. Q �Q¼ 0.

Une telle co-differentielle s’ecrit sous la forme

Q ¼X1k¼1

Qk;

ou Qk :Vk(sV)! sV definit une co-derivation d’ordre k. La condition

Q �Q¼ 0 s’exprime pour les Qk sous la formeP

kþ l¼ nþ 1Qk �Ql¼ 0pour chaque n�1 . Les Qk sont appelees les composantes de la structurede L1-algebre. On a le resultat suivant:

Proposition 4.2. Soit (A, D, d, F) une algebre quasi-Batalin-Vilkoviskydifferentielle. Alors les applications lineaires Ln

D sont les composantesd’une structure de L1-algebre sur Ker L telle que Ln

D ¼ 0 pour n� 4.

En fait, la Proposition 4.2 est la Proposition 2 de (Kravchenko, 2000)dans le cas particulier ou Dn¼ 0 pour n� 4.

Soit A¼VF�, ou F est un espace vectoriel de dimension finie.

Soient D, d, F respectivement une derivation du second ordre de degre�1, une derivation de degre 1 et un operateur d’ordre 3 de degre �3,de A. Alors, d’apres ce qui precede, ces trois operateurs s’expriment enfonction des operateurs ai et b

i comme suit (Getzler, 1995):

D ¼ f ijk aiajbk þ piai; d ¼ ckijb

ibjak; F ¼ 1

3fijkaiajak;

avec

f ijk þ f jik ¼ 0; ckij þ ckji ¼ 0; fijk ¼ �f jik ¼ �fikj :

On a le resultat suivant:

Proposition 4.3. Pour D, d, F definis ci-dessus, on a:

4.12. d2¼ 0 si et seulement si les coefficients ckij sont les constantes destructure d’une algebre de Lie, i.e., satisfont la relation 3.5.

4.13. [D, d] est un operateur du premier ordre si et seulement si lescoefficients ckij et f

ijk satisfont la relation 3.6.

4.14. D2þ [d, F]¼ 0 si et seulement si les coefficients ckij, fijk , f

ijk et pi

satisfont les relations 3.7 et

pkfijk ¼ c

jmkf

kmi � cikmfkmj ;

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 39

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

4.15. [D, F]¼ 0 si et seulement si les coefficients f ijk fkij et fijk satisfont

la relation 3.8.

Demonstration. On remarque d’abord que D, qui est un operateur diffe-rentiel d’ordre 2 et de degre �1, a pour restriction a F� le produit inter-ieur par un element x0 de F, et que D� ix0

a pour restriction aV2F� un

crochet g:V2F� !F�. On introduit l’operateur @g correspondant et l’on

voit que l’operateur D� @g� ix0est un operateur differentiel d’ordre 2 et

de degre �1 nul surF� et surV2F�. On en conclut qu’il est nul. On mon-

tre alors facilement en utilisant la Proposition 3.1 que les relations dedefinition 4.1–4.4 de la structure d’algebre quasi-Batalin-Vilkoviskyimpliquent la relation g(x0)¼ @mf, puis les relations 3.5–3.8 qui caracteri-sent les quasi-bigebres de Lie.

En posant x0¼ pkek et f¼ 13 f

ijkeiVejVek, ou (ei) est une base de F,

la relation pkf ijk ¼ cjkmfkmi � cikmf

kmj dans 4.14 est equivalente a@mf¼ g(x0) ou les ckij (resp. f

ijk ) sont les coefficients de m (resp. g).

On vient donc de prouver

Proposition 4.4. Si (V

F�, D, d, F) est une algebre quasi-Batalin-Vilko-visky differentielle, alors il existe un crochet de Lie m sur F, un co-crochet gsur F, f2V3F, x02F tels que

D ¼ @g þ ix0 ; d ¼ dm; F ¼ if; et @mf ¼ gðx0Þ:

5. CORRESPONDANCE ENTRE QUASI-BIGEBRES DE

LIE ET ALGEBRES QUASI-BATALIN-VILKOVISKY

DIFFERENTIELLES

Dans cette section, nous etablissons une bijection entre les structuresde quasi-bigebre de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finiemuni d’un co-caractere generalise, et les structures d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�. Plus precisement:

Definition 5.1. Si (F, m, g, f) est une quasi-bigebre de Lie, nous appelle-rons co-caractere generalise un element x02F tel que g(x0)¼ @mf.

Une condition necessaire pour qu’il existe un co-caractere generaliseest donc que @mf2 Im g.

Theoreme 5.1. Soit F un espace vectoriel de dimension finie. Les struc-tures de quasi-bigebre de Lie (F, m, g, f) sur F munies d’un cocaractere

40 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

sont en correspondance bijective avec les structures d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�.

Demonstration. Ce theoreme est une consequence des Propositions 3.2et 4.4, et du Lemme 3.1. En effet, soit (F, m, g, f) une structure dequasi-bigebre de Lie sur F telle que @mf2 Img, i.e., il existe x02F telque g(x0)¼ @mf. Posons

A ¼^

F�; D ¼ @g þ ix0 ; d ¼ dm; F ¼ if:

L¼ [d, D]¼ [dm, @g]þ [dm, ix0]; comme ix0

est une derivation de A, [dm, ix0]

l’est aussi, etant le commutateur gradue de deux derivations de A. DuLemme 3.1 et de la Proposition 3.2, il s’ensuit que (A, D, d, F) est unestructure d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�.

Inversement soit (A, D, d, F) une structure d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�; d’apres la Proposition 4.4 il existe

un crochet de Lie m sur F, un co-crochet g sur F, f2V3F, x02Ftels que

D ¼ @g þ ix0 ; d ¼ dm; F ¼ if; et @mf ¼ gðx0Þ:

Des conditions 4.1–4.4, il suit que (F, m, g, f) est une quasi-bigebre deLie. D’ou le resultat. &

Remarque 5.1. Dans les conditions du Theoreme 5.1, le laplacien del’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle correspondante est donnepar L ¼ ½dm; @g� þ ad�mx0 .

Corollaire 5.1. A toute structure de quasi-bigebre de Lie strictementexacte sur un espace vectoriel F de dimension finie correspond une struc-ture d’algebre quasi-Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�.

Demonstration. En effet, soit (F, m, g, f) une structure de quasi-bigebrede Lie strictement exacte sur F, i.e., il existe r2V2F tel que g¼ dmr,f� 1

2[r, r]m.

Le co-crochet g est defini explicitement par gðxÞ ¼ admxr ¼ ½x; r�m;8x 2 F.

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 41

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

@m etant une derivation de (VF, [ , ]m), on a

@mf ¼ � 1

2@mð½r; r�mÞ

¼ � 1

2ð½@mr; r�m � ½r; @mr�mÞ ¼ �½@mr; r�m ¼ �gð@mrÞ:

Ainsi, @mf2 Img et la conclusion suit par le Theoreme 5.1. &

Corollaire 5.2. A chaque couple de Manin on peut associer une BV1-algebre.

En fait le Corollaire 5.2 est une consequence du Theoreme 5.1 et de laProposition 3.1.

Remarque 5.2. Dans les conditions du Corollaire 5.1, l’operateur D estdefini explicitement par D¼ [dm, ir] et le laplacien L est nul.

Ainsi une large classe de structures d’algebre quasi-Batalin-Vilko-visky differentielle est fournie par celles associees aux structures dequasi-bigebre de Lie strictement exactes.

Remarque 5.3. Dans le cas ou f¼ 0, alors (F, m, g) est une structure debigebre de Lie sur F. Un element x2F tel que g(x)¼ @mf est alors unelement de Ker g; c’est-a-dire un co-caractere de la co-algebre de Lie(F, g). Ainsi, nous retrouvons le resultat de Getzler (1995) qui etablitune correspondance bijective entre les structures de bigebre de Lie surun espace vectoriel F de dimension finie, muni d’un co-caractere et lesstructures d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF�. Dans

ce cas, nous pouvons introduire une parametrisation sur les structuresd’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF� en termes de

co-caracteres. En effet, soit (F, m, g) une structure de bigebre de Liesur F. Pour tout co-caractere x de (F, g), posons

Dx ¼ @g þ ix; d ¼ du:

D’apres ce qui precede, (VF�, Dx, d) est une algebre de Batalin-

Vilkovisky differentielle. Un calcul explicite (Drinfeld, 1990a; Lu, Preprint)montre que le laplacien d’une telle algebre de Batalin-Vilkovisky differen-tielle est donne par

L ¼ 1

2ðadgxm � ad�mxg Þ þ ad�mx ;

ou xm2F� et xg2F sont definis respectivement par xmðyÞ ¼ trðadmyÞ;y 2 F et xgðZÞ ¼ trðadgZÞ; Z 2 F�.

42 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

L’element 02F est naturellement un co-caractere trivial, et lastructure d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle obtenue(VF�, D0, d) est la structure standard donnee en exemple dans (Kos-

mann-Schwarzbach, 1995). Puisque ix est une derivation sur(VF�,^ ), il est clair que tous les operateurs Dx ainsi construits

engendrent le meme crochet de Lie gradue; donc a toutes les struc-tures d’algebre de Batalin-Vilkovisky (A, Dx) correspond la memealgebre de Gerstenhaber exacte (Kosmann-Schwarzbach, 1995; Manin,1999). Notons enfin que (

VF�, D0, d) etant une structure d’algebre

de Batalin-Vilkovisky differentielle surVF�, alors (

VF, d�, D0

�) estune structure d’algebre de Batalin-Vilkovisky differentielle sur

VF,

car m et g jouent des roles duaux.

REMERCIEMENTS

L’auteur tient a remercier Y. Kosmann-Schwarzbach pour ses tresnombreuses remarques et suggestions sur le contenu du travail, ainsique J. Huebschmann, O. Kravchenko et J. D. Stasheff pour leurs com-mentaires sur son manuscrit et le rapporteur pour ses critiques construc-tives. Les remerciements vont egalement au Centre Abdus Salam ICTPpour l’hospitalite et le soutien materiel, qui ont permis la realisation dece travail.

This work was done within the Associateship Scheme of the AbdusSalam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy. Finan-cial support from Swedish International Development CooperationAgency (SIDA) is acknowledged.

REFERENCES

Bangoura, M. (1995). Quasi-bigebres jacobiennes et generalisations desgroupes de Lie-Poisson. These, Universite de Lille 1.

Bangoura, M., Kosmann-Schwarzbach, Y. (1993). The double of a Jaco-bian quasi-bialgebra. Lett. Math. Physics 28:13–29.

Barannikov, S., Kontsevich, M. (1998). Frobenius manifolds and formal-ity of Lie algebras of polyvector fields. Internat. Math. Res. Notes4:201–215.

Batalin, I. A., Vilkovisky, G. S. (1983). Quantization of gauge theorieswith linearly dependent generators. Phys. Rev. D 28:2567–2582.

Batalin, I. A., Vilkovisky, G. S. (1985). Existence theorem for gauge alge-bra. J. Math. Phys. 26:172–184.

Algebres Quasi-Batalin-Vilkovisky 43

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014

Cao, H.-D., Zhou, J. On quasi-isomorphic DGBV algebras, Preprintmath.DG/9904168.

Drinfeld, V. G. (1990a). On almost cocommutative Hopf algebras. Lenin-grad Math. J. 1(2):331–342.

Drinfeld, V. G. (1990b). Quasi-Hopf algebras. Leningrad Math. J.1(6):1419–1457.

Getzler, E. (1995). Manin pairs and topological conformal field theory.Ann. Phys. (N.Y.) 237:161–201.

Huebschmann, J. (1998). Lie-Rinehart algebras, Gerstenhaber algebras,and Batalin-Vilkovisky algebras. Ann. Inst. Fourier 48:425–440.

Kosmann-Schwarzbach, Y. (1992). Jacobian quasi-bialgebras and quasi-Poisson Lie groups. Contemporary Mathematics 132:459–489.

Kosmann-Schwarzbach, Y. (1995). Exact Gerstenhaber algebras and Liebialgebroids. Acta Appl. Math. 41:153–165.

Kosmann-Schwarzbach, Y. (2000). Modular vector fields and Batalin-Vilkovisky algebras. Banach Center Publ. 51:109–129.

Kosmann-Schwarzbach, Y., Magri, F. (1990). Poisson-Nijenhuis struc-tures. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 53:35–81.

Kostant, B., Sternberg, S. (1987). Symplectic reduction, BRS cohomol-ogy and infinite-dimensional Clifford algebras. Ann. Phys. (N.Y.)176:59–113.

Koszul, J. L. (1950). Homologie et cohomologie des algebres de Lie. Bull.Soc. Math. France 78:65–127.

Koszul, J. L. (1985). Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie.Asterisque, Soc. Math. France, hors serie: 257–271.

Kravchenko, O. (2000). Deformations of Batalin-Vilkovisky algebras.Banach Center Publ. 51:131–139.

Lada, T., Stasheff, J. D. (1993). Introduction to sh Lie algebras for phy-sicists. Intern. J. Theor. Phys. 32:1087–1103.

Lecomte, P.,Roger,C. (1990).Modules et cohomologie des bigebres deLie.Comptes rendus Acad. Sci. Paris Serie I 310:405–410, 311:893–894.

Lu, J.-H. Lie bialgebras and Lie algebra cohomology, Preprint 1996.Manin, Y. I. (1999). Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology and

Moduli Spaces. Rhode Island: American Mathematical Society.Nijenhuis, A., Richardson, R. W. Jr. (1967). Deformations of Lie algebra

structures. J. Math. Mech. 17(1):89–105.Xu, P. (1999). Gerstenhaber algebras and BV-algebras in Poisson geo-

metry. Comm. Math. Phys. 200:545–560.

Received February 2000Revised September 2000

44 Bangoura

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

ity o

f W

isco

nsin

-Milw

auke

e] a

t 06:

22 0

6 O

ctob

er 2

014