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examen intra

ELE1300

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Q5

BONUS

TOTAL

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Nom : Prénom :

Signature : Matricule : Groupe :

Sigle et titre du cours Groupe Trimestre

ELE1300 – Circuits Logiques 01 et 02 Automne 2013

Professeur Local Téléphone

Enseignants : M.-A.Daigneault; T. Ould Bachir Responsable : Jean-Pierre David

B311/B429 2009

Jour Date Durée Heures

Lundi 8 octobre 2013 2h00 15h00 à 17h00

Documentation Calculatrice

Toute Aucune Les cellulaires, agendas électroniques ou téléavertisseurs sont interdits.

Aucune Programmable

Voir directives particulières Non programmable

Directives particulières

Répondre uniquement sur le questionnaire.

Vous avez droit à un aide mémoire constitué d’une feuille (8½"x11", recto-verso)

écrite par vous-même

Bonne chance à tous!

Imp

ort

an

t

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Vous devez remettre le questionnaire : oui non

ELE1300 – Automne 2013- Examen intra 2/17

Question 1 – Algèbre de Boole (6 pts – 15 minutes)

Sachant que A, B, C et D sont des variables booléennes.

a) En utilisant exclusivement l’algèbre de Boole, démontrez que :

b) En utilisant la décomposition de Shannon sur une des variables A, B ou C, démontrez

que :

Pour B = 0,

l'expression de gauche vaut , celle de droite :

Pour B = 1,

l'expression à gaucge vaut , celle de droite :

Il y a donc bien égalité des deux expressions.


c) En utilisant une technique de votre choix, démontrez que :

En comparant les tables de Karnaugh des deux expressions, on se rend compte qu'elles

sont identiques, ce qui est suffisant pour poser la démonstration.

00

01

11

10

00 01 11 10

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

AB

CD


Question 2 - Analyse et synthèse de circuits (6 pts – 30 minutes)

L’implantation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XOR de

deux autres fonctions FX et FY comme indiqué sur le schéma suivant :

x3

x2

x1

FX

x3

x2

x1

FY

A

CB

DCB

Z

X

Y

1) La fonction FX est spécifiée par la table de vérité suivante:

A B C X

0 0 0 1

0 0 1 -

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 -

1 1 0 0

1 1 1 1

Trouvez l'expression disjonctive simplifiée de FX au moyen de la table de Karnaugh

suivante et évaluez son cout minimal.

Fx =

AB/CD 00 01 11 10

00 1 1 - -

01 1 1 0 0

11 0 0 1 1

10 1 1 - -

Coût minimal: 2(2+1)+(3+1) = 10


2) Un circuit réalisant la fonction FY a été réalisé par un consultant de la firme beau-bon-

pas-cher :

B

D

B

C

CD

B

FY

a) Faites l'analyse de la fonction réalisée par le circuit proposé:

B C D FY

0 0 0 1 B/CD 00 01 11 10

0 0 1 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 0 0 0

0 1 1 0 FY

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

b) Déterminez sa forme disjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante:

FY =

AB/CD 00 01 11 10

00 1 1 0 1

01 1 0 0 0

11 1 0 0 0

10 1 1 0 1

Coût minimal:3(2+1) + (3+1) = 13

c) Déterminez sa forme conjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante:

FY =

AB/CD 00 01 11 10

00 1 1 0 1

01 1 0 0 0

11 1 0 0 0

10 1 1 0 1

Coût minimal: 3(2+1)+(3+1) = 13


d) À la lumière de votre analyse, posez un regard critique sur le circuit proposé pour FY

par la firme beau-bon-pas-cher:

L'analyse démontre que le choix entre une solution disjonctive ou conjonctive aboutit à

un circuit optimisé de même coup. Ce coût minimal n'est cependant pas celui du circuit

de la firme beau-bon-pas-cher qui propose une solution conjonctive de coût 14 > 13.

e) Étant donnés la spécification de la fonction FX, et le contexte dans lequel la fonction

FY est utilisée pour produire la sortie Z, serait-il possible de réduire davantage (par

rapport à ce que vous avez trouvé dans votre analyse précédente) le coût du circuit

réalisant FY ? Si oui, donnez votre meilleure réalisation de FY:

AB/CD 00 01 11 10

00 1 1 - -

01 1 0 0 0

11 1 0 0 0

10 1 1 - -

FY=

Schéma du circuit:

B

D

C


3) Donnez votre meilleur circuit (cout minimal), en utilisant uniquement des portes de

type NOR, pour réaliser la fonction Z(A,B,C,D):

Z(A,B,C,D) = (B)(A+!C)(A+D)(!A+C+!D)

AB/CD 00 01 11 10

00 0 0 - -

01 0 1 0 0

11 1 0 1 1

10 0 0 - -

Coût minimal: (3+3+4)+5 = 15

Dessinez le circuit optimisé (vous avez accès aux variables et leurs inverses):

A

C

A

D

CD

A

Fz

B


Question 3 - Circuits usuels (5 pts – 20 minutes)

1) Trouvez l’expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A, B, C, D) :

0

1

2

3

0

1A

B

4

5

6

7

1

2A

B

0

1

2

30C

0

1

2

3

0

1C

D

01

0

1

2

3

0

1

D

D

D

F(A,B,C,D)

Y =

X = Solution:

a) Donnez l’expression des signaux X et Y sur le schéma directement.

b) Ensuite, quelle est votre démarche pour obtenir l’expression de F (obligatoire

sinon la question est nulle !) ?

X = !C!D

Y = CD

On remarque que le couple YX(CD) peut valoir 00, 01, 10, mais si Y vaut 1, alors

D vaut 1 et donc F = 0, seules les entrées ‘0’ et ‘1’ du multiplexeur de sortie

doivent être considérées pour l’expression de F. Il n’y a que 2 minterms.

AB/CD 00 01 11 10

00 0 0 0 1

01 1 0 0 0

11 0 0 0 0

10 0 0 0 0

c) F(A,B,C,D) =


2) En utilisant un et un seul multiplexeur à 2 entrées (1 bit de sélection) et le moins de

portes logiques possible (vous avez des AND/OR/NAND/NOR/INV à votre disposition),

donnez le schéma d'un circuit de coût minimal réalisant la fonction spécifiée par la table

de vérité suivante (assumez que le multiplexeur est gratuit, i.e.: coût(mux)=0):

A B C F2

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Solution:

A/BC 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

Dessin de votre circuit:

0

1

C

A

B


Question 4 - Conception d'un circuit (5 pts – 15 minutes)

Vous êtes en charge de la conception partielle d'un circuit réalisant l'affichage des

nombres 0-7 sur un afficheur 7-segments. L'entrée de votre circuit sera donc un nombre

en représentation non-signée sur 3-bits (b2b1b0). Chacun des segments d'un afficheur 7-

segments peut être considéré comme une diode électroluminescente (DEL) indépendante

des autres. Un segment est allumé lorsque l'entrée associée est au niveau logique '0', et

s'éteint avec un '1'. De tous les segments a-g de l'afficheur, vous êtes uniquement en

charge de produire le circuit logique qui va contrôler les segments a et d (2 sorties).

Donnez un circuit de coût minimal réalisant cette fonction logique à plusieurs sorties.

A propos...

- Illustration des nombres 0-7 sur un afficheur 7-segments:

- Identification des segments (a-g):

Démarche:

b2 b1 b0 Segment A Segment D

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 1

b2/b1b0 00 01 11 10

0 0 1 0 0

1 1 0 0 0

b2/b1b0 00 01 11 10

0 0 1 0 0

1 1 0 1 0


(Suite question 4)

forme disjonctive:

A = b2!b1!b0 + !b2!b1b0

D = b2!b1!b0 + !b2!b1b0 + b2b1b0

cout = (11) + 4 + 3 = 18

A*= (b2 XOR b0)!b1

D*= (b2 XOR b0)!b1 + b2b1b0

cout* = 4 + 3 + 3 + 4 (+2) = 14 (16)

b0

b2

b1

b0

b2

b1

D

C


Question 5 - Quine-McCluskey (8 pts – 40 minutes)

Soit la fonction logique F( , , , ) = m(0, 1, 2, 4, 6, 8, 10) + δ(5, 7, 9, 11, 13, 15), où

δ donne les minterms facultatifs.

Pour écarter toute ambiguïté, la table de vérité de la fonction F( , , , ) vous est

fournie:

a b c d F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 -

0 1 1 0 1

0 1 1 1 -

1 0 0 0 1

1 0 0 1 -

1 0 1 0 1

1 0 1 1 -

1 1 0 0 0

1 1 0 1 -

1 1 1 0 0

1 1 1 1 -


1) Procédez par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(a, b, c, d) et

identifier les impliquants premiers. Une partie du travail a été faite pour vous.

√ 0000 √ 000X 0X0X

√ 00X0 X00X

√ 0001 √ 0X00 0XX0

√ 0010 √ X000 X0X0

√ 0100

√ 1000 √ 0X01 XX01

√ X001 01XX

√ 0101 √ 0X10 10XX

√ 0110 √ X010

√ 1001 √ 010X X1X1

√ 1010 √ 01X0 1X1X

√ 100X

√ 0111 √ 10X0

√ 1011

√ 1101 √ 01X1

√ X101

√ 1111 √ 011X

√ 10X1

√ 101X

√ 1X01

√ X111

√ 1X11

√ 11X1


2) Identifiez les impliquants premiers sous forme binaire :

0X0X, X00X, 0XX0, X0X0, XX01, 01XX, 10XX, X1X1, 1XX1

3) Utilisez la table suivante pour identifier les impliquants essentiels de F(a, b, c, d)

0000 0001 0010 0100 0110 1000 1010

x1 0X0X * * *

x2 X00X * * *

x3 0XX0 * * * *

x4 X0X0 * * * *

x5 XX01 *

x6 01XX * *

x7 10XX * *

x8 X1X1

x9 1XX1

Impliquants essentiels :

Aucun


4) Utilisez la méthode de Petrick pour trouver toutes les solutions optimales.

P = (x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x5)(x3+x4)(x1+x3+x6)(x3+x6)(x2+x4+x7)(x4+x7) = (x1+x2+x5)(x3+x4) (x3+x6)(x4+x7) = (x1+x2+x5)(x3+x4x6)(x4+x7) = (x1+x2+x5)(x3x4+x4x6+ x3x7) = x1x3x4+x1x4x6+ x1x3x7+x2x3x4+x2x4x6+x2x3x7+x3x4x5+x4x5x6+ x3x5x7


5) Combien de solutions optimales trouvez-vous au point (4) ?

9

6) Combien de solutions optimales retenez-vous parmi celles trouvées au point (4)

sachant que l'on veut les solutions les moins chères ?

Les 9 solutions puisqu'elles ont toutes le même coût.

7) Écrivez l'expression disjonctive d'une des solutions optimales retenues et illustrez

votre résultat en utilisant une table de Karnaugh :

F( , , , ) =

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1 0 1

1 - - 1

0 - - 0

1 - - 1

ab

cd


Question 6 – Bonus

Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la

matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous

permettrait de le prendre en note à votre avantage.

Soit la fonction f , où les fonctions et

sont données par les circuits suivants:

a

b

c

a

b

d

a

c

d

b

c

d

a

b

c

a

b

d

a

c

d

b

c

d

X Y

Donnez l'expression disjonctive simplifiée de la fonction . Justifiez clairement

votre réponse.

= .

Bon travail !

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