PTSI Exercices d’Electromagn´etisme´ - sosryko.fr · 2009-2010 Exercices - ´Electromagn ......

2009-2010 Exercices - Electromagnetisme ∣ PTSI

Exercices d’Electromagnetisme

Aurores boreales sur l’Ersfjord, Kvaløya, a Tromsø, Norvege

■ Loi de Coulomb et champ electrostatique

EM1�

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�Ex-EM1.1Quelles sont lessymetries de ladistribution cir-culaire ci-contre ?�

�

�

�Ex-EM1.2Un cylindre in-fini d’axe (𝑂𝑧)comportant unepartie cylindriqueevidee d’axe (𝑂′𝑧) porte une charge volumique 𝜌 uniforme.

Quelles sont les symetries de cette distribution de charges ?�

�

�

�Ex-EM1.3 Soit un cube d’arete a. Les cotes 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐴′𝐵′𝐶 ′𝐷′ portent des charges surfa-ciques uniformes opposees +𝜎 et −𝜎. Quelles sont les symetries de cette distribution ?�

�

�

�Ex-EM1.4 Calculer le champ cree par un disque de rayon 𝑅 portant la charge surfaciqueuniformement repartie de densite 𝜎 en un point de son axe (𝑂𝑧) ou 𝑂 est le centre.�

�

�

�Ex-EM1.5 Soit une sphere de centre 𝑂 et de rayon 𝑎 portant des charges reparties uni-formement en surface avec la densite surfacique 𝜎.

1) Determiner le champ au centre 𝑂 de la sphere avec des considerations de symetrie.

2) Etudier le champ−→𝐸 en tous points exterieur a la sphere (orientation, variable dont

−→𝐸

depend).�

�

�

�Ex-EM1.6 Soit une spire circulaire de rayon 𝑅, d’axe (𝑂𝑧), portant une densite lineique decharge 𝜆 constante.

Calculer le champ cree par cette repartition de charge en un point 𝑀 de son axe a la distance𝑧 de la spire.�

�

�

�Ex-EM1.7 On considere la distribution de charge de l’exercice Ex-EM1.1 et un point 𝑀 del’axe (𝑂𝑧).

Determiner la direction du champ cree en 𝑀 . Calculer sa valeur.�

�

�

�Ex-EM1.8 Calculer le champ au centre 𝑂 du cube de l’exercice Ex-EM1.3.

[email protected] http ://atelierprepa.over-blog.com/ 1

PTSI ∣ Exercices - Electromagnetisme 2009-2010

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�

�Ex-EM1.9 Champ cree par un segment charge1) Calculer en un point 𝑀 de coordonnees cylindriques (𝑟, 𝜃, 𝑧) le champ cree par un segmentde l’axe (𝑂𝑧) de charge lineique uniforme 𝜆, compris entre les points 𝑃1 et 𝑃2 d’abscisses 𝑧1 et𝑧2 reperes par les angles 𝛽1 et 𝛽2. → 2) Cas du fil infini uniformement charge.�

�

�

�Ex-EM1.10 Champ d’un ruban chargeLe ruban surfacique represente sur le schema est infini et porte une charge surfacique 𝜎0 uniforme.Calculer le champ electrostatique cree par le ruban au point 𝑀(0, 0, 𝑧).

�

�

�

�Ex-EM1.11 Repartition surfacique de chargesDeux spheres de meme rayon 𝑅 sont uniformement chargees en volume : l’une porte la densitede charge −𝜌, l’autre, la densite de charge +𝜌. Leurs centres 𝑂1 et 𝑂2 sont aux abscisses −𝑎 et+𝑎 sur l’axe 𝑂𝑥, avec 𝑎 ≪ 𝑅.

Montrer que l’on peut considerer que le systeme ainsi forme constitue approximativement unecouche spherique chargee surfaciquement, la densite de charge en un point 𝑀 etant alors donnee

par 𝜎 = 𝜎0 cos 𝜃, ou 𝜃 est l’angle que fait−−→𝑂𝑀 avec −→𝑒𝑥, et 𝜎0 une constante que l’on exprimera

en fonction des donnees.�

�

�

�Ex-EM1.12 Trace approche des lignes de champ — Cet exercice ne demande aucun calcul.

Deux charges positives identiques 𝑞 sont distantes de 2𝑎.

1) Quelle est la direction du champ−→𝐸 sur la droite qui joint les deux charges ?

2) Quelle est la direction du champ−→𝐸 dans le plan mediateur ?

3) Quelle est l’expression approchee du champ−→𝐸 a grande distance des deux charges ? (On

suppose 𝑟 = ∣∣−−→𝑂𝑀 ∣∣ ≫ 𝑎, ou 𝑂 est le milieu du segment defini par les deux charges.)

4) Effectuer, finalement, un trace approche des lignes de champ dans un plan contenant lesdeux charges ?

■ Potentiel electrostatique

EM2 �

�

�

�Ex-EM2.1 Demi-anneau chargeUn demi-anneau de rayon 𝑅 porte une charge uniformement repartie avec la densite lineique 𝜆.Soit 𝑂𝑥 l’axe perpendiculaire au plan de l’anneau en son centre 𝑂.

1) Calculer le potentiel electrostatique cree en un point 𝑀 de 𝑂𝑥, a la distance 𝑥 de 𝑂.

2) Calculer le champ electrostatique cree en un point 𝑀 de 𝑂𝑥, d’abscisse 𝑥.�

�

�

�Ex-EM2.2 Fil infiniDeterminer le potentiel associe a un fil rectiligne infini portant la charge lineique uniforme 𝜆.(cf.Ex-EM1.9).�

�

�

�Ex-EM2.3 Une sphere de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 porte une charge 𝑄 repartie avec la

repartition surfacique 𝜎 = 𝑓1(𝜃) 𝑓2(𝜑) en coordonnees spheriques. Evaluer le potentiel cree par

2 http ://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected]


la sphere en son centre.�

�

�

�Ex-EM2.4 Soit 4 charges disposees au sommet d’un carre dont la longueur de la diagonaleest 2𝑎. Calculer le champ electrostatique et le potentiel en 𝑂 dans les cas suivants :

=-q=+q

x

y

x

y

x

y

x

y

x

ya b c d e

�

�

�

�Ex-EM2.5 Sphere uniformement chargee en surface On considere une sphere de rayon 𝑅,de centre 𝑂, de densite de charge surfacique uniforme 𝜎. On choisit 𝑉 (∞) = 0.

1) Calculer le potentiel en 𝑂.

2) Calculer le potentiel en un point 𝑀 exterieur a la sphere (𝑂𝑀 = 𝑟 > 𝑅). Pour cela, on peutchoisir la direction 𝑂𝑀 comme origine des angles et decouper la sphere en zones couronnes “vuesdu centre” entre les angles 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃. Exprimer alors 𝑉 a l’aide d’une integrale elementaireportant sur 𝑥, puis la calculer.

3) Reprendre le calcul precedent en supposant cette fois que le point 𝑀 est a l’interieur de lasphere. Verifier ainsi directement que 𝑉 est continu a la traversee de la surface et est constanta l’interieur de la sphere.

■ Energie electostatique

EM2�

�

�

�Ex-EM2.61) Les solides et les liquides ont une masse volumique de l’ordre du 𝑘𝑔.𝑑𝑚−3. En supposantque les atomes se touchent en deduire la dimension de l’atome. On donne le nombre d’Avogadro𝒩𝐴 = 6, 022.1023 𝑚𝑜𝑙−1.

2) L’energie d’ionisation de l’atome d’hydrogene est 13, 6 𝑒𝑉 .

Cette energie est-elle d’origine gravitationnelle (𝒢 = 6, 67.10−11 𝑆𝐼 et 𝑚proton = 2000𝑚electron)ou electromagnetique ?

On definira l’energie d’interaction gravitationnelle par analogie avec l’energie d’interaction electro-statique.

On donne 𝑚𝑒 = 9, 1.10−31 𝑘𝑔 ; 𝑒 = 1, 6.10−19 𝐶.�

�

�

�Ex-EM2.7 Energie potentielle de quatre charges ponctuelles [HP]Quatre charges identiques 𝑞 sont placees aux quatre sommets d’un carre de cote 𝑎.

→ Quelle est l’energie potentielle electrostatique de ce systeme ?

■ Theoreme de Gauss

EM3�

�

�

�Ex-EM3.1 Nappe plane infinie et uniforme

1) Donner l’expression du champ−→𝐸 cree par une nappe plane infinie de densite de charge

surfacique 𝜎 uniforme.

2) Reprenant l’expression du champ electrostatique cree sur son axe par un disque de rayon 𝑅de charge surfacique 𝜎 uniforme (cf. Ex-EM1.4), evaluer la hauteur ℎ maximale pour laquellenous pouvons assimiler le disque a un plan infini sans commettre une erreur relative superieurea 1% pour le calcul du champ.�

�

�

�Ex-EM3.2 Cylindre infini uniformement charge en surfaceDeterminer le champ electrostatique cree par un cylindre infini de rayon 𝑅, de charge surfaciqueuniforme 𝜎. En deduire le potentiel.



�

�

�

�Ex-EM3.3 Sphere uniformement chargee en surfaceDeterminer le champ electrostatique puis le potentiel crees par une sphere de centre 𝑂, de rayon𝑅 et de densite de charge surfacique 𝜎 uniforme. (Sa charge sera notee 𝑞 = 4𝜋 𝑅2 𝜎).�

�

�

�Ex-EM3.4 Cavite dans une boule uniformement chargeeUne boule de rayon 𝑎 de centre 𝑂1 portant la charge volumique uniformement repartie 𝜌 possedeune cavite spherique de rayon 𝑏 de centre 𝑂2 vide de charges. Determiner le champ dans la cavite.�

�

�

�Ex-EM3.5 Determination d’une repartition de chargesOn considere une repartition volumique de charges electriques presentant la symetrie spherique,contenue a l’interieur d’une sphere de centre 𝑂 et de rayon 𝑅. Soit 𝑀 un point interieur a lasphere (on pose 𝑂𝑀 = 𝑟 < 𝑅).

Determiner cette repartition caracterisee par la densite volumique 𝜌(𝑟) pour que le champ a

l’interieur de la sphere soit de la forme−→𝐸 = 𝐸0

−→𝑒𝑟 .Calculer la charge totale 𝑄 de la sphere et caracteriser le champ a l’exterieur de la sphere.�

�

�

�Ex-EM3.6 Nuage electronique et energie d’ionisationUn systeme de charges cree le potentiel a symetrie spherique :

𝑉 (𝑟) =𝑞

4𝜋𝜖0𝑟

(1 +

𝑟

𝑎

)exp

(−2𝑟

𝑎

)avec𝑞 > 0

Calculer 𝑄(𝑟), charge comprise dans la sphere de rayon 𝑟.

Caracteriser la distribution de charges correspondant a ce potentiel (densite volumique ; singu-larite).

Definir, puis exprimer l’energie de liaison de ce systeme.�

�

�

�Ex-EM3.7 On considere les lignes de champ representees ci-dessous pour des champs dans leplan. Preciser pour chacun de ces champs s’il peut s’agir de champs electrostatiques et l’empla-cement eventuel de charges electriques.

�

�

�

�Ex-EM3.8 Cylindre infini non uniformement chargeUn cylindre infini, d’axe Δ = 𝑂𝑧 et de rayon 𝑅, porte une charge repartie en volume de manierenon uniforme. En un point 𝑃 du cylindre situe a une distance 𝑟 < 𝑅 de l’axe Δ, la densitevolumique de charge s’ecrit 𝜌 = 𝐾 𝑟, ou 𝐾 est une constante.

1) Determiner le champ electrostatique cree en tout point 𝑀 de l’espace.

2) Calculer le potentiel electrostatique 𝑉 en tout point 𝑀 de l’espace en faisant un choixjudicieux de la constante du potentiel.�

�

�

�Ex-EM3.9 Symetrie spheriqueOn considere une distribution volumique de charges a symetrie spherique de centre 𝑂.Les charges sont reparties en volume avec une densite 𝜌(𝑟), 𝑟 designant la distance au point 𝑂.

La densite 𝜌 est :

⎧⎨⎩- nulle entre 𝑟 = 0 et 𝑟 =

𝑅

2, et pour 𝑟 > 𝑅 ;

- non nulle entre 𝑟 =𝑅

2et 𝑟 = 𝑅.

La charge totale de la distribution est 𝑄. Le champ−→𝐸 cree par cette distribution vaut :

−→𝐸 = 𝑘.(𝛼.𝑟 −𝑅).−→𝑒𝑟 dans l’intervalle

[𝑅

2;𝑅

]4 http ://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected]


ou −→𝑒𝑟 est le vecteur unitaire radial de la base des coordonnees spheriques.

l) Donner le domaine de definition du champ−→𝐸 . Le champ est-il continu partout ?

2) Determiner 𝐸 =∥ −→𝐸 ∥ pour 𝑟 <

𝑅

2. En deduire la valeur de 𝛼.

3) Determiner 𝐸 =∥ −→𝐸 ∥ pour 𝑟 > 𝑅. En deduire la valeur de 𝑘.

4) Appliquer le theoreme de Gauss pour un point 𝑀 de l’intervalle

[𝑅

2;𝑅

]et obtenir une

equation donnant une primitive de la loi 𝜌(𝑟) en fonction de 𝐸 =∥ −→𝐸 ∥.

5) En deduire la loi 𝜌(𝑟). Verifier l’homogeneite de la formule obtenue.

�

�

�

�Ex-EM3.10 Dans une coucheplane

On s’interesse au champ−→𝐸 cree

par une distribution volumique decharges de densite +𝜌 uniforme etpositive, comprise entre les cotes𝑧 = +𝑎 et 𝑧 = −𝑎.

2a

y

z M

+ρ

O

1) Determiner le domaine de definition et la topographie du champ−→𝐸 (direction, sens, coor-

donnee(s) d’espace dont depend sa norme) en un point 𝑀 .

2) Determiner l’expression du champ−→𝐸 cree par cette distribution en tout point 𝑀 ou il est

defini, puis tracer la courbe donnant les variations de 𝐸 =∥ −→𝐸 ∥ en fonction de la coordonnee

du point 𝑀 .

3) En deduire l’expression du champ−→𝐸 cree par deux distributions volumiques de densites uni-

formes et opposees, dont l’une de densite 𝜌 occupe l’espace compris entre les plans d’equation𝑧 = 0 et 𝑧 = 2𝑎, et l’autre de densite −𝜌 occupe l’espace compris entre les plans d’equation𝑧 = 0 et 𝑧 = −2𝑎.

�

�

�

�Ex-EM3.11 Densite lineiqueSoit un cercle d’axe (𝑂𝑧), de centre 𝑂 et de rayon𝑅.Cette circonference porte une densite lineique decharges 𝜆 uniforme.

1) Determiner le champ−→𝐸 en tout point 𝑀 de l’axe

(𝑂𝑧) ou il est defini.2) On se place maintenant en un point 𝑀 ′ du voi-sinage du point 𝑀 de l’axe de revolution du cercle.𝑀 est le projete orthogonal de 𝑀 ′ sur l’axe et onnote 𝑟 la distance 𝑀𝑀 ′, avec 𝑟 ≪ 𝑧.

R

Oz

λ

M

On admet que la composante axiale 𝐸𝑧 du champ (selon la direction de l’axe) reste constanteentre ces deux points. En 𝑀 ′, le champ n’est plus purement axial selon (𝑂𝑧) et possede doncune autre composante a calculer.a) Quelle est la direction de cette autre composante ?b) On souhaite calculer l’expression de cette composante en fonction de 𝐸𝑧. En utilisant uncylindre elementaire de hauteur d𝑧 et passant par les deux points 𝑀 et 𝑀 ′, etablir une equationdifferentielle reliant les deux composantes du champ.c) Calculer alors cette seconde composante en fonction des donnees. Existe-t-il une valeur de 𝑧pour laquelle cette seconde composante est nulle ? Commenter.



■ Champ magnetique et loi de Biot et Savart

EM4 �

�

�

�Ex-EM4.1 Un fil de cuivre (masse volumique 𝜇 = 8, 9.103 𝑘𝑔.𝑚−3, masse molaire 𝑀 =63, 6 𝑔.𝑚𝑜𝑙−1) cylindrique de rayon 1 𝑚𝑚 est parcouru par un courant continu d’intensite 𝐼 =1, 5 𝐴.

Sachant que chaque atome de cuivre a un electron de conduction, calculer la vitesse d’ensembledes electrons.�

�

�

�Ex-EM4.2 Sphere chagee en surface en rotation

Une sphere de rayon 𝑅, de charge 𝑄 repartie en surface uniformement avec la densite 𝜎 tourneautour d’un axe passant par son centre 𝑂 a la vitesse angulaire 𝜔.

→ Determiner le vecteur densite surfacique de courant en chaque point et le courant 𝐼 parcourantun demi-cercle meridien liant les deux points fixes de la sphere tournante.�

�

�

�Ex-EM4.3 Modelisation surfacique de courantsLe demi-espace 𝑧 > 0 est rempli par un milieu conducteur parcouru par des courants volumiques

de densite−→𝑗 =

−→𝑗0 exp

(−𝑧

𝛿

)ou 𝛿 est une longueur.

→ Calculer la densite surfacique de courant equivalente lorsque 𝛿 → 0 avec 𝛿 𝑗0 constant.�

�

�

�Ex-EM4.4 Soit une spire de rayon 𝑅, d’axe (𝑂𝑧) parcourue par le courant 𝐼. Quelles sont lessymetries et invariances de cette distribution ?�

�

�

�Ex-EM4.5 Le plan 𝑃 infini d’equation 𝑦 = 0 est parcouru par des courants surfaciques de

densite−→𝑗𝑠 = 𝑗0

−→𝑒𝑥.Quelles sont les symetries et invariances de cette distribution ?�

�

�

�Ex-EM4.6 On considere un demi-cylindre creux d’axe (𝑂𝑧) parcouru par des courants surfa-

ciques de densite−→𝑗𝑠 = 𝑗0

−→𝑒𝑧 .Quelles sont les symetries et invariances de cette distribution ?�

�

�

�Ex-EM4.7Soit une distribution de courant volumique possedant un plan de symetrie (Π). Montrer a partirde la loi de Biot et Savart que pour 𝑀 ′ = 𝑆𝑦𝑚(Π)(𝑀) symetrique de 𝑀 par rapport a (Π),

on a−→𝐵 (𝑀 ′) = −𝑆𝑦𝑚(Π)(

−→𝐵 (𝑀)).

�

�

�

�Ex-EM4.8 Disque de Rowland

Un disque metallique de rayon 𝑅 charge uniformement en surface avec la densite 𝜎 tourne autourde son axe (𝑂𝑧) a la vitesse angulaire 𝜔.

→ Calculer le champ−→𝐵 cree en un point 𝑀 de l’axe (𝑂𝑧).

Cette experience est connue sous le nom d’experience du disque de Rowland.

On fera l’application numerique pour 𝜎 = 5.10−6 𝐶.𝑚−2 ; 𝑅 = 10 𝑐𝑚 ; 𝜔 = 60 𝑡𝑟.𝑠−1 et a unedistance 𝑧 = 2 𝑐𝑚.�

�

�

�Ex-EM4.9 Champ magnetostatique dans le plan d’une spire

Une spire de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 est parcourue par lecourant 𝐼.1) Montrer que le champ

−→𝐵 en un point 𝑀 du plan de la

spire tel que 𝑂𝑀 = 𝑟 ≪ 𝑅 est normal au plan de la spire.2) Exprimer 𝐵(𝑀) sous forme d’une integrale en utilisantl’angle 𝜃. Montrer que pour 𝑟 ≪ 𝑅, on a :

𝐵(𝑀) ≃ 𝜇0𝐼

2𝑅

(1 +

3𝑟2

4𝑅2

)

I

y

x

RP

O

z

M

q


2009-2010 Exercices - Electromagnetisme ∣ PTSI�

�

�

�Ex-EM4.10 Bobines de HelmholtzDeux bobines de 𝑁 spires, de rayon 𝑅, parcourues par un courant d’intensite 𝐼, ont leurs centresdistants de 𝑅. Le sens du courant est tel que les champs crees par les deux bobines s’ajoutentsans l’espace situe entre les deux bobines.

1) Schema. Calculer−→𝐵 au milieu 𝑂 de l’axe (𝑂𝑥) joignant les deux centres.

2) Calculer−→𝐵 pour un point 𝑀 de l’axe voisin de 𝑂 repere par 𝑂𝑀 = 𝑥.

(Il faudra etre courageux et effectuer un DL a l’ordre 4 en 𝑥𝑅 .)

3) Quelle est la variation relative de 𝐵 entre 𝑂 et 𝑀 pour 𝑥𝑅 = 0, 1 ?

�

�

�

�Ex-EM4.11 Champ magnetique cree par un electron classique

Montrer que le champ magnetique−→𝐵 cree par un electron decrivant un cercle de rayon 𝑎 =

0, 053 𝑛𝑚 autour d’un proton au point ou est place le proton a pour intensite :

𝐵 =(𝜇0

4𝜋

) 32 𝑒2𝑐√

𝑚𝑎5

(avec 𝜖0𝜇0𝑐2 = 1.)

�

�

�

�Ex-EM4.12 relation entre le champ electrique et le champ magnetiqueSoit une charge ponctuelle 𝑞 placee en un point 𝑀 anime d’une vitesse −→𝑣 dans R. Elle cree en

𝑃 tel que−−→𝑀𝑃 = −→𝑟 un champ

−→𝐸 et un champ

−→𝐵 .

En admettant que−→𝐸 a la meme expression qu’en electrostatique, trouver la relation qu’il y a

entre−→𝐸 ,

−→𝐵 et −→𝑣 .

�

�

�

�Ex-EM4.13 Circuit carreUn circuit carre de cote 2𝑏 est parcouru par un courant d’in-tensite 𝐼.1) Calculer le champ magnetique cree en un point 𝑀 de l’axeperpendiculaire au plan du carre en son centre, a une distance𝑥 de celui-ci.2) Examiner le cas ou 𝑥 ≫ 𝑏. Conclure.

Rq : suggestion de notations pour le seul cote 𝐴𝐵 A B

CD

I

x

y

z

M

O

ePMq

M

e

zA O

y

x

I

a

/AB

bBP

b

- bp2

q

M

e

z

AO

y

x

I

a

/AB

b

B

P

b

aa1

2



■ Theoreme d’Ampere

EM5 �

�

�

�Ex-EM5.1Determiner le champ cree par une couche plane infinie, contenue entre les plans d’equation

𝑧 = −𝑒

2et 𝑧 =

𝑒

2, de courant volumique uniforme

−→𝑗 = 𝑗0

−→𝑒𝑥.�

�

�

�Ex-EM5.2 Cavite cyindriqueUn cylindre conducteur d’axe (𝑂𝑧) possede une cavite cylindrique d’axe (𝑂′𝑧). On note 𝑅 lerayon du cylindre et 𝑅′ celui de la cavite. Hors de la cavite, circule un courant constant dedensite

−→𝑗 = 𝑗0

−→𝑒𝑧 .En utilisant le principe de superposition, determiner le champ cree par le cylindre evide al’interieur de la cavite.�

�

�

�Ex-EM5.3Soit un fil rectiligne confondu avec le demi-axe (𝑂𝑧)avec 𝑧 > 0. Il est parcouru par un courant d’intensite𝐼.Arrive en 𝑂, le courant circule sur les surfaces d’undisque de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 et d’un cylindreconducteurs (voir la figure). On suppose les epaisseursdu disque et du cylindre negligeables.1) Calculer le champ dans les demi-espaces 𝑧 < 0 et𝑧 > 0.

I

O

js,D js,C

Rz

2) Determiner les vecteurs densites de courant surfaciques sur le disque (−−→𝑗𝑠,𝐷) et sur le cylindre

(−−→𝑗𝑠,𝐶).3) Verifier les relations de passage du champ magnetique entre l’exterieur et l’interieur ducylindre.�

�

�

�Ex-EM5.4 SolenoıdeSoit un solenoıde a section circulaire de rayon 𝑅, de longueur 𝑙 forme de 𝑁 spires parcouruespar un courant 𝐼. L’axe (𝑂𝑧) constitue l’axe du solenoıde.1) Montrer qu’on peut remplacer la distribution filiforme par un courant surfacique dont on

determinera la densite de courant−→𝑗𝑠 .

2) Montrer que le champ magnetique en un point 𝑀 de l’axe du solenoıde s’ecrit

−→𝐵 =

𝜇0

4𝜋𝑛𝐼 Ω𝑖𝑛𝑡

−→𝑒𝑧

ou Ω𝑖𝑛𝑡 est l’angle solide sous lequel on voit la surface interieure du solenoıde depuis le point 𝑀et 𝑛 le nombre de spires par unite de longueur.3) Etudier le cas du solenoıde infini. Retrouver ce resultat a l’aide du theoreme d’Ampere.�

�

�

�Ex-EM5.5Reprendre l’exercice Ex-EM3.7 et indiquer les lignes de champ pouvant provenir d’un champmagnetique.�

�

�

�Ex-EM5.6 Cable coaxialOn considere un cable coaxial infini cylindrique de rayons 𝑅1, 𝑅2 et 𝑅3 (𝑅1 < 𝑅2 < 𝑅3).Le courant d’intensite totale 𝐼 passe dans un sens dans le conducteur interieur (∀ 𝑟 ≤ 𝑅1 :−→𝑗𝑖𝑛𝑡 = 𝑗−→𝑒𝑧 , 𝑗 > 0) et revient dans l’autre sens par le conducteur exterieur (∀ 𝑅2 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅3 :−→𝑗𝑒𝑥𝑡 = 𝑗′−→𝑒𝑧 , 𝑗′ < 0).

1) calculer−→𝐵 en tout point.

2) Representer 𝐵(𝑟), 𝑟 etant la distance du point considere a l’axe du cylindre.


2009-2010 Exercices - Electromagnetisme ∣ PTSI�

�

�

�Ex-EM5.7Pour une certaine distribution de courants, en coordonnees cylindriques (𝑟, 𝜃, 𝑧) d’axe (𝑂𝑧), le

champ magnetique cree en un point 𝑀 de l’espace est−→𝐵 (𝑀) = 𝐵(𝑟)−→𝑒𝜃 avec :

𝐵(𝑟) = 𝐵1

(𝑟𝑎

)2pour 𝑟 < 𝑎 et 𝐵(𝑟) = 𝐵2

𝑎

𝑟pour 𝑟 > 𝑎

𝐵1 et 𝐵2 etant deux constantes a priori quelconques.→ Determiner la distribution de courants qui cree un tel champ magnetique.

■ Mouvement de particules chargees

EM6�

�

�

�Ex-EM6.1 Particule chargee acceleree par une difference de potentielUne particule (𝑚, 𝑞), de vitesse initiale nulle, issue d’un point 𝑂, est acceleree par une differencede potentiel 𝑈0 etablie entre deux grilles planes paralleles distantes de 𝐿 = 5 𝑐𝑚. Le potentielest suppose varier lineairement sur cette distance L.1) Calculer la vitesse v de la particule au moment de son passage a travers la deuxieme grille etla duree 𝜏 du trajet entre les deux grilles. Quels sont les signes respectifs possibles de q et U 0 ?Calculer v et 𝜏 numeriquement dans les deux cas suivants :2) 𝑈0 = 100 𝑉 ; 𝑞 = −1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 9, 1.10−31 𝑘𝑔 (electron) ;3) 𝑈0 = −3000 𝑉 ; 𝑞 = 1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 6, 64.10−26 𝑘𝑔 (ion argon).�

�

�

�Ex-EM6.2 Experience de Millikan (1907-1911)On considere deux plaques metalliques 𝐴 et 𝐵 ho-rizontales, paralleles, distantes de d entre lesquelleson peut appliquer une ddp 𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 > 0.Dans l’espace limite par ces plaques regne une at-mosphere gazeuse de masse volumique 𝜌0.De la glycerine y est pulverisee sous la forme degouttelettes spheriques de rayon r et de masse volu-mique 𝜌 ; de plus un faisceau de rayons X ionise l’at-mosphere ce qui provoque des transfert de chargessur les gouttelettes.

OA

U

B

g

x

Le mouvement de celles-ci est observe avec un microscope muni d’un micrometre.On rappelle que la force de frottement fluide qui s’exerce sur une particule spherique de rayon r

et de vitesse −→𝑣 est donnee par la formule de Stockes :−→𝑓 = −6𝜋𝜂𝑟−→𝑣 , 𝜂 etant le coefficient de

viscosite.1) Dans une premiere phase la tension U est nulle, la plupart des gouttes se deplacent verti-calement vers le bas avec une vitesse 𝑣0 constante. Expliquer et donner l’expression litterale decette vitesse en fonction de r, 𝜌 , 𝜌0, 𝜂 et g (intensite du champ de pesanteur).2) Dans une seconde phase, on applique la tension 𝑈 = 𝑈1. Un certain nombre de gouttes sontalors immobiles. En deduire la charge 𝑞0 portees par celles-ci en fonction de 𝜂, 𝑣0, 𝑈1, 𝑑, 𝜌, 𝜌0et g.3) Dans une troisieme phase, apres une duree plus longue d’exposition aux rayons X, uneproportion non negligeable de gouttes a un mouvement vertical ascendant uniforme de vitesse𝑣1. Interpreter et calculer la charge 𝑞1 de chaque goutte en fonction de 𝜂, 𝑣0, 𝑣1, 𝑈1 , 𝑑, 𝜌, 𝜌0 etg.4) Calculer numeriquement 𝑞0 et 𝑞1. conclusion ?Donnees : 𝑔 = 9, 81 𝑚.𝑠−2 ; 𝜂 = 1, 8.10−5 𝑃𝑎.𝑠 ; 𝑑 = 2 𝑐𝑚 ; 𝑈1 = 37440 𝑉 ;𝜌 = 1, 2513.103 𝑘𝑔.𝑚−3 ; 𝜌0 = 1, 3 𝑘𝑔.𝑚−3 ; 𝑣0 = 4, 91.10−4 𝑚.𝑠−1 ; 𝑣1 = 4, 9.10−4 𝑚.𝑠−1.�

�

�

�Ex-EM6.3Un proton de masse m et de charge q arrive a la vitesse −→𝑣 = 𝑣−→𝑒𝑥 dans une region ou regne un

champ magnetique uniforme−→𝐵0 = 𝐵0

−→𝑒𝑧 , avec 𝐵0 > 0 et (−→𝑒𝑥,−→𝑒𝑦 ,−→𝑒𝑧 ) base du repere cartesien(𝑂𝑥𝑦𝑧).



1) Montrer que la trajectoire du proton est plane et que l’energie cinetique est une constantedu mouvement.

2) Determiner les coordonnees du proton a l’instant t. On posera 𝜔𝑐 ≡ 𝑞𝐵0

𝑚et on considere la

particule a l’origine du repere a l’instant initial.

3) Preciser les caracteristiques de la trajectoire du proton.

4) Le mouvement du proton sur sa trajectoire cree un courant d’intensite I.

On definit le moment magnetique 𝜇 par le produit de l’intensite avec l’aire interieure de latrajectoire. Exprimer 𝜇 en fonction de 𝑚, 𝑣 et 𝐵0.

�

�

�

�Ex-EM6.4

1) On etudie le mouvement d’une particule chargee dans un repere cartesien (𝑂𝑥𝑦𝑧) ou regne

un champ magnetique uniforme−→𝐵 = 𝐵−→𝑒𝑧 avec 𝐵 > 0.

a) La particule part de 𝑂 avec la vitesse −→𝑣0 = 𝑣0−→𝑒𝑥 , ou 𝑣0 > 0. → Trajectoire ?

b) La particule part maintenant de 𝑂 avec la vitesse −→𝑣0 = 𝑣0𝑥−→𝑒𝑥 + 𝑣0𝑧

−→𝑒𝑧 . Trouver la relationliant z au temps pour t > 0. Quelle est la nature de la trajectoire suivie par la particule chargee ?

2) La particule chargee est maintenant soumise au champ electrique uniforme−→𝐸 = 𝐸−→𝑒𝑦 , 𝐸 > 0

et au champ magnetique uniforme−→𝐵 = 𝐵−→𝑒𝑧 , 𝐵 > 0. Le mouvement s’etudie par rapport au

meme repere que precedemment. La particule part de l’origine avec une vitesse initiale dans leplan (𝑥𝑂𝑦), de module 𝑣0 et faisant un angle 𝛼 avec (𝑂𝑥), 𝛼 ∈ [0; 𝜋2 [.

a) Ecrire les equations differentielles que verifient les composante de la vitesse −→𝑣 : 𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧.

b) En deduire les equations parametriques 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) et 𝑧(𝑡) de la trajectoire en fonction de 𝑞,𝑚, 𝐸, 𝐵, 𝑣0 et 𝛼. (On pourra pour cela resoudre l’equation verifiee par la variable intermediaire :𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑗 𝑣𝑦, , ou 𝑗2 = −1.)

c) Ecrire les equations precedentes lorsque la vitesse initiale est nulle. Representer alors l’allurede la trajectoire en donnant les coordonnees des points particuliers.

�

�

�

�Ex-EM6.5 Cyclotron (1)

Un cyclotron est forme de deux enceintes demi cylindriques (les ‘Dees’) dans lesquels regne unchamp magnetique uniforme (𝐵 = 1, 5 𝑇 ).

Dans l’espace vide entre les Dees , les particules sont soumises a un champ electrostatique defacon a etre accelerees a chaque passage. L’experience presente porte sur des protons. (𝑞 = 𝑒 =1, 6.10−19 𝐶 ; 𝑚 = 1, 67.10−27 𝑘𝑔.)

1) Comment doit etre le champ−→𝐵 ? Quel est le temps mis pour effectuer un passage dans un

Dee ?

2) Quelle doit etre la frequence de la tension acceleratrice alternative ?

3) Quelle est l’energie maximale des protons sachant que le rayon des Dees est 𝑅 = 0, 8 𝑚.Par quelle tension aurait-il fallu accelerer le proton pour obtenir la meme vitesse (avec, commecondition initiale : a 𝑡 = 0, 𝑣 = 0) ?

�

�

�

�Ex-EM6.6 Cyclotron (2) - CCP 1993

Les protons sont injectes au centre du cyclotron avec une energie cinetique negligeable. Ungenerateur permet d’appliquer entre les Dees une tension alternative a haute frequence 𝑢𝑐 =

𝑈𝑐 sin(𝜔𝑡 + 𝜑), creant un champ electrique uniforme−→𝐸 =

𝑢𝑐𝑔

−→𝑒𝑥. On admettra que les protons

sont acceleres une premiere fois sur la distance g avant de decrire le premier demi-cercle.

1) Calculer la frequence 𝜈𝑐 du champ electrique necessaire (condition de synchronisme) lorsque𝐵 = 1, 5 𝑇 .



2) En negligeant l’epaisseur g de l’espace accelerateur,calculer le rayon r𝑛 du 𝑛eme demi-cercle decrit par lesprotons. On suppose qu’a la sortie de la source, ils tra-versent l’espace accelerateur lorsque 𝑢𝑐 = 𝑈𝑐.Donnee : 𝑈𝑐 = 50 𝑘𝑉 ; 𝑛 = 400.3) En realite les protons traversent le plan mediateurde l’espace accelerateur a un instant t𝑐 tel que 𝜔𝑡𝑐 = 0a 𝑘𝜋 pres et avec une phase 𝜑0.Cet espace a une largeur g de l’ordre de 1 𝑐𝑚, et il estnecessaire de tenir compte, au cours de sa traversee, dela variation du champ accelerateur.a) Montrer que le gain en energie pour une orbite situeea une distance r du centre du cyclotron est

𝑤 = 𝑒𝑈𝑐

sin𝑔

2𝑟𝑔

2𝑟

sin𝜑0,

en admettant que dans l’espace accelerateur (−𝑔

2≤ 𝑥 ≤ 𝑔

2) on peut ecrire 𝑥 = 𝑣𝑡, ou 𝑣 = 𝜔 𝑟

est la vitesse des protons sensiblement constante dans l’intervalle 𝑔 (𝑔 < 𝑟).

b) Quelle valeur s’efforcera-t-on d’obtenir pour 𝜑0 ?

c) En faisant les approximations convenables, calculer l’energie cinetique ℰ𝑘 obtenue a la sortiedu cyclotron, c’est-a-dire apres la 𝑛eme demi-orbite avec la valeur 𝜑0 obtenue a la question 3)b).On l’exprimera en joules, puis en megaelectronvolts.

d) Les protons arrivent a la sortie par paquets separes les uns des autres par le meme intervallede temps, alors que l’injection se fait de facon continue au centre de l’accelerateur. Expliquerl’origine de ces paquets.

Calculer l’intervalle de temps separant deux paquets de protons. On garde les valeurs numeriquesde la questions 2.�

�

�

�Ex-EM6.7 Conduction en regime sinusoıdal force ; conductivite complexe

On etudie la conductivite d’un metal dans le cadre du modele du cours. Le metal est soumis aun champ electrique sinusoıdal

−→𝐸 =

−→𝐸0 cos𝜔𝑡 , l’action du milieu sur un electron se traduisant

par la force de frottement−→𝑓 = −𝑚

𝜏−→𝑣 .

On suppose que la vitesse de groupe −→𝑣 des porteurs mobiles (𝑚, 𝑞) est de la forme −→𝑣 =−→𝑣0 cos (𝜔𝑡+ 𝜑) et on adopte la notation complexe.

1) Donner l’expression de −→𝑣 en fonction de−→𝐸 . En deduire tan𝜑 en fonction de 𝜔 et 𝜏 ainsi

que −→𝑣0 en fonction de−→𝐸0 et cos𝜑.

2) En notant−→𝑗 = 𝑛𝑞−→𝑣 la representation complexe de la densite de courant, montrer que l’on

peut ecrire−→𝑗 = 𝜎

−→𝐸 .

𝜎 etant un complexe que l’on exprimera en fonction de la conductivite 𝜎 =𝑛𝑞2𝜏

𝑚, de 𝜔 et de 𝜏 .

Interpreter le resultat en ce qui concerne la validite de la loi d’Ohm en regime non permanent.

Que signifie l’affirmation : “Dans l’ultraviolet, la conductivite d’un metal peut etre considereecomme imaginaire pure”.

Toujours dans l’ultraviolet, comment peut-on qualifier l’etat vibratoire relatif de la vitesse et duchamp electrique ?

3) Calculer la puissance de la force−→𝐹 = 𝑞

−→𝐸0 cos𝜔𝑡 exercee par le champ sur un porteur et

en deduire l’expression de < 𝑝 >, moyenne temporelle de la puissance fournie par le champ parunite de volume conducteur, en fonction de 𝜎, 𝐸0 et 𝜔𝜏 .

Verifier que cette puissance est opposee a la puissance volumique moyenne < 𝑝′ > des “forces

de frottement”−→𝑓 et expliquer ce resultat.



Deduire de l’expression de < 𝑝 > la signification energetique du caractere imaginaire pur de laconductivite dans l’ultraviolet.

4) Dans la limite des basses frequences, deduire du resultat precedent la puissance moyenne< 𝒫 > fournie a un troncon cylindrique de section S et de longueur l. exprimer < 𝒫 > en fonctionde I 0, intensite maximale qui parcourt le troncon et de la resistance R de celui-ci. Interpreterce resultat.�

�

�

�Ex-EM6.8 Protons dans des champs−→𝐸 et

−→𝐵 paralleles

Des protons sont emis en 𝑂 origine du repere (𝑂𝑥𝑦𝑧) par une source quasi-ponctuelle, avec unevitesse initiale −→𝑣0 = 𝑣0

−→𝑒𝑦 .Etudier leur mouvement ulterieur en presence de champs electrique et magnetiques uniformes :−→𝐸 = 𝐸−→𝑒𝑧 et

−→𝐵 = 𝐵−→𝑒𝑧 , avec 𝐸 > 0 et 𝐵 > 0.

En particulier, pour quelles dates 𝑡𝑛 le proton est en contact avec l’axe (𝑂𝑧) ?

Montrer qu’en placant judicieusement des diaphragmes sur l’axe (𝑂𝑧), on peut mesurer la rap-port 𝑞

𝑚 pour les protons.

Comment varie l’angle 𝛼𝑛 que fait le vecteur vitesse avec l’axe (𝑂𝑧), en fonction de la positiondu diaphragme ?

Solution Ex-EM4.131)•

:::::::::Symetrie

::: Soit le carre 𝐴𝐵𝐶𝐷 parcouru par l’intensite 𝐼, de

centre 𝑂, place dans le plan 𝑂𝑦𝑧. Pour tout point 𝑀 (𝑥, 0, 0)sur l’axe 𝑂𝑥, cette distribution de courants admet les plans :- (𝑀𝑥𝑧) = (Π1) et- (𝑀𝑥𝑦) = (Π2)comme plans d’antysimetrie des courants.

Donc−→𝐵 (𝑀) ⊂ ((Π1) ∩ (Π2)) = (𝑀𝑥).

A B

CD

I

x

y

z

M

O

Donc :−→𝐵 (𝑀) = 𝐵(𝑥)−→𝑒𝑥

• Nous avonsetabli en cours(EM4-IV.1) quela contribu-tion au champmagnetique creeepar un segment decourant s’ecrit :

ePMq

M

e

zA O

y

x

I

a

/AB

bBP

b

- bp2

q

M

e

z

AO

y

x

I

a

/AB

b

B

P

b

aa1

2

−−→𝐵𝐴𝐵(𝑀) =

𝜇0 𝐼

4𝜋 𝑎(sin𝛼2 − sin𝛼1)

−−−→𝑒𝜃/𝐴𝐵

avec :

- −−−→𝑒𝜃/𝐴𝐵 = −−−→𝑒𝐴→𝐵×−−−−→𝑒𝑃→𝑀 →−−→𝐵𝐴𝐵 est dans le plan (𝑂𝑀𝑃 ) (car

−−→𝐵𝐴𝐵⊥−−−→𝑒𝐴→𝐵) et est perpendiculaire

a 𝑃𝑀 ;

- 𝑎2 = 𝑥2 + 𝑏2 ;

- sin𝛼2 = − sin𝛼1 =𝑏√

𝑎2 + 𝑏2=

𝑏√𝑥2 + 2𝑏2

;

- si on appelle 𝛽 ≡ (−→𝑒𝑥,−−→𝐵𝐴𝐵) → cos𝛽 = sin(𝜋

2− 𝛽) =

𝑏√𝑥2 + 𝑏2

.



De cette contribution de−−→𝐵𝐴𝐵 au champ magnetique total

−→𝐵 (𝑀), d’apres les symetries, seule

nous interesse sa composante selon 𝑂𝑥 :

𝐵𝐴𝐵,𝑥 ≡ −−→𝐵𝐴𝐵⋅−→𝑒𝑥 = 𝐵𝐴𝐵 cos𝛽 =

𝜇0 𝐼

4𝜋 𝑎(sin𝛼2−sin𝛼1) cos𝛽 =

𝜇0 𝐼

4𝜋√𝑥2 + 𝑏2

2𝑏√

𝑥2 + 2𝑏2𝑏√

𝑥2 + 𝑏2

Les 4 cotes etant identiques quant a leurs contributions au champ magnetique suivant 𝑂𝑥, ona : 𝐵(𝑀) = 4𝐵𝐴𝐵,𝑥, soit :

−→𝐵 (𝑀) =

2𝜇0 𝐼𝑏2

𝜋 (𝑥2 + 𝑏2)√𝑥2 + 2𝑏2

−→𝑒𝑥

2) Dans le cas ou 𝑥 ≫ 𝑏, on a : 𝑥2 + 𝑏2 ≃ 𝑥2 et 𝑥2 + 2𝑏2 ≃ 𝑥2, soit :

−→𝐵 (𝑀) ≃ 2𝜇0 𝐼𝑏

2

𝜋 𝑥3−→𝑒𝑥

Or, l’aire du carre est 𝑆 = 4𝑏2. Donc :

−→𝐵 (𝑀) ≃ 𝜇0 𝐼 𝑆

2𝜋 𝑥3−→𝑒𝑥

Comme, par definition, le moment magnetique du circuit est−→ℳ ≡ 𝐼

−→𝑆 = 𝐼𝑆−→𝑒𝑥, on a :

−→𝐵 (𝑀) =

𝜇0

4𝜋

2−→ℳ𝑥3

On retrouve le champ magnetique cree par un dipole magnetique dans l’approximation dipolaire :

−→𝐵 (𝑀) =

𝜇0

4𝜋

3(−→𝑒𝑟 ⋅ −→ℳ)−→𝑒𝑟 −−→ℳ𝑟3

exprime dans l’une des positions principales de Gauss (𝜃 = 0, soit −→𝑒𝑟 = −→𝑒𝑥).



Solution Ex-EM5.6Tout d’abord, etablissons les relations liant 𝐼, 𝑗 et 𝑗′ : 𝐼 =

s𝒮𝑖𝑛𝑡

−→𝑗𝑖𝑛𝑡⋅−−−→𝑑𝑆𝑖𝑛𝑡 =

s𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒

−→𝑗𝑒𝑥𝑡⋅−−−−→𝑑𝑆𝑐𝑜𝑢𝑟.

Soit : 𝐼 = 𝑗 𝜋 𝑅21 = 𝑗′ 𝜋 (𝑅2

3 −𝑅22) .

1) •:::::::::::Invariances

:::: Il y a invariance de la distri-

bution de courants 𝒟𝐼 par :-translation selon l’axe 𝑂𝑧→ −→

𝐵 (𝑀) =−→𝐵 (𝑟, 𝜃, 𝑧) =

−→𝐵 (𝑟, 𝜃) ;

- rotation autour de l’axe 𝑂𝑧→ −→

𝐵 (𝑀) =−→𝐵 (𝑟, 𝜃, 𝑧) =

−→𝐵 (𝑟, 𝑧).

Donc :−→𝐵 (𝑀) =

−→𝐵 (𝑟) (★).

•::::::::::Symetries

::: la distribution de courants 𝒟𝐼 ad-

met le plan (𝑀,−→𝑒𝑟 ,−→𝑒𝑧 ) = (Π) comme plan desymetrie,

donc :−→𝐵 (𝑀) = 𝐵−→𝑒𝜃 (★★).

(★) + (★★) → −→𝐵 (𝑀) = 𝐵(𝑟)−→𝑒𝜃

•::::::Choix

::::du

:::::::::contour

::::::::::::d’Ampere

::: (𝒞), le cercle

de rayon 𝑟 passant par 𝑀 d’axe 𝑂𝑧 ; i.e. la lignede courant passant par M.

•::::::::::Theoreme

::::::::::::d’Ampere

::::

∮𝒞

−→𝐵 ⋅ −→𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙.

R R

R

z

O

x

y12

3

r

q

er

q

zH

M

m

e

e

I I j jint ext

∮𝒞

−→𝐵 ⋅ −→𝑑𝑙 =

∮𝒞𝐵(𝑟)−→𝑒𝜃 ⋅ 𝑟 𝑑𝜃−→𝑒𝜃 = 𝐵(𝑟) 𝑟

∮𝒞𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟) Soit : 𝐵(𝑟) =

𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙2𝜋 𝑟

.

• 1er Cas : 𝑟 > 𝑅3 le contour oriente 𝒞1 enlacel’intensite : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼 − 𝐼 = 0.

• 2eme Cas : 𝑅2 < 𝑟 < 𝑅3 le contour oriente 𝒞2enlace l’intensite : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼 − 𝑗′ 𝜋 (𝑟2 − 𝑅2

2) =

𝐼 (1− 𝑟2 −𝑅22

𝑅23 −𝑅2

2

) = 𝐼𝑅2

3 − 𝑟2

𝑅23 −𝑅2

2

.

• 3eme Cas : 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 le contour oriente 𝒞3 enlacel’intensite : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝐼.

• 4eme Cas : 𝑟 < 𝑅1 le contour oriente 𝒞4 enlace

l’intensite : 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝑗 𝜋 𝑟2 =𝐼 𝑟2

𝑅21

.

R

R

R

1

2

3

ze

-I

1

2

3

4

I

⎧⎨⎩

𝑟 > 𝑅3−→𝐵 (𝑀) =

−→0

𝑅2 < 𝑟 < 𝑅3−→𝐵 (𝑀) =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝑟

𝑅23 − 𝑟2

𝑅23 −𝑅2

2

−→𝑒𝜃

𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2−→𝐵 (𝑀) =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝑟−→𝑒𝜃

𝑟 < 𝑅1−→𝐵 (𝑀) =

𝜇0 𝐼

2𝜋 𝑅1

𝑟

𝑅1

−→𝑒𝜃

2) On verifie que le champ 𝐵(𝑟) est continu en𝑅1, 𝑅2 ou 𝑅3 car la distribution de courants estvolumique.

RR R1 2 3

B

r0

2pR1

m I0

2pR2

m I0



Solution Ex-EM5.7• ∀𝑀 , le plan (Π) = (𝑀,−→𝑒𝑟 ,−→𝑒𝑧 ) est un plan perpendiculaire au champ magnetique en 𝑀 , donc,tous les plans (𝑀,−→𝑒𝑟 ,−→𝑒𝑧 ) sont des plans de symetrie des courants.Il faut donc necessairement que les courants soient selon une direction commune a tous ces plans,i.e. :

−→𝑗 = 𝑗−→𝑒𝑧 (★).

De plus les invariances des sources etant celles du champ magnetique :−→𝑗 =

−→𝑗 (𝑟) (★★).

Donc : (★) + (★★) → −→𝑗 = 𝑗(𝑟)−→𝑒𝑧 .

• Avant de se lancer dans des calculs, remarquons que l’enonce fait apparaıtre 2 zones, le cylindre

d’axe 𝑧 de rayon 𝑎 et le reste de l’espace ; de plus :−→𝐵 (𝑎−) = 𝐵1

−→𝑒𝜃 et−→𝐵 (𝑎+) = 𝐵2

−→𝑒𝜃 .Comme, d’apres l’enonce, 𝐵1 et 𝐵2 sont « deux constantes a priori quelconques » on a a prioridiscontinuité du champ magnétique à la traversée de la surface du cylindre 𝑟 = 𝑎 d’axe 𝑧.→ Nous cherchons donc une distribution de courants volumiques

−→𝑗 (𝑟) pour 𝑟 ∕= 𝑎 et une distri-

bution de courants surfaciques−→𝑗𝑆(𝑎) =

−→𝑐𝑡𝑒 pour 𝑟 = 𝑎.

• Appliquons le théorème d’Ampère le long d’une ligne de courant, c’est-à-dire le long d’uncercle 𝒞 de rayon 𝑟 d’axe (𝑂𝑧) orienté selon +−→𝑒𝜃 :∮

𝒞

−→𝐵 ⋅ −→𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 avec :

∮𝒞

−→𝐵 ⋅ −→𝑑𝑙 =

∮𝒞𝐵(𝑟)−→𝑒𝜃 ⋅ 𝑟 𝑑𝜃−→𝑒𝜃 = 𝐵(𝑟) 𝑟

∮𝒞𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟)

•:::::::::::Supposons

::::::𝑟 < 𝑎 : 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝜇0

s𝒮/𝒞

−→𝑗 (𝑃 )⋅−→𝑑𝑆 = 𝜇0

s𝒮/𝒞 𝑗(𝑟𝑃 )

−→𝑒𝑧 ⋅𝑑𝑆𝑃−→𝑒𝑧 = 𝜇0

∫ 𝑟0 𝑗(𝑟′) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′.

Soit : 𝑟 𝐵(𝑟) = 𝜇0

∫ 𝑟0 𝑗(𝑟′) 𝑟′ 𝑑𝑟′ pour 𝑟 < 𝑎.

• En dérivant de part et d’autre de l’égalité par rapport à 𝑟, nous obtenons :

𝜇0 𝑗(𝑟) 𝑟 =𝑑

𝑑𝑟(𝑟 𝐵(𝑟)) =

𝑑

𝑑𝑟

(𝐵1

𝑟3

𝑎2

)= 3𝐵1

𝑟2

𝑎2soit :

−→𝑗 (𝑟 < 𝑎) =

3𝐵1

𝜇0

𝑟

𝑎2−→𝑒𝑧

•:::En

::::::𝑟 = 𝑎,

−→𝐵 doit vérifier la relation de passage à la traversée d’une nappe de courants :

−→𝐵2 −−→

𝐵1 = 𝜇0−→𝑗𝑆 ×−−−→𝑛1→2 soit :

−→𝐵 (𝑎+)−−→

𝐵 (𝑎−) = (𝐵2 −𝐵1)−→𝑒𝜃 = 𝜇0 𝑗𝑠

−→𝑒𝑧 ×−→𝑒𝑟 = 𝜇0 𝑗𝑆−→𝑒𝜃

Donc :−→𝑗𝑆(𝑟 = 𝑎) =

𝐵2 −𝐵1

𝜇0

−→𝑒𝑧 .

•:::::::::::Supposons

::::::::::::maintenant

::::::::𝑟 > 𝑎. Alors une ligne de courant de rayon 𝑟 > 𝑎 enlace l’intensité 𝐼𝑒𝑛𝑙

et :𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝜇0

x𝒮/𝒞

−→𝑗 (𝑃 ) ⋅ −→𝑑𝑆 = 𝜇0

(∫ 𝑎

0𝑗(𝑟′) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′ +

∫2𝜋 𝑎

−→𝑗𝑆 ⋅ −→𝑑𝑙⊥ +

∫ 𝑟

𝑎𝑗(𝑟′) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′

)

Soit : 2𝜋 𝑟 𝐵(𝑟) = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙 = 𝜇0

⎛⎜⎜⎜⎝∫ 𝑎

0

3𝐵1

𝜇0

𝑟′

𝑎22𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′ +

𝐵2 −𝐵1

𝜇02𝜋 𝑎︸︷︷︸

indépendant de 𝑟

+∫ 𝑎0 𝑗(𝑟′) 2𝜋 𝑟′ 𝑑𝑟′

⎞⎟⎟⎟⎠.

Soit, en dérivant par rapport à 𝑟 : 𝜇0 𝑗(𝑟) 𝑟 =𝑑

𝑑𝑟(𝑟 𝐵(𝑟)) =

𝑑

𝑑𝑟(𝑟 𝐵2

𝑎

𝑟) = 0.

Donc :−→𝑗 (𝑟 > 𝑎) =

−→0 .


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