Projet final de Mathmatiques-Intgration sur une montgolfireparJrmi Grenier-BerthiaumeAmanda AltitChristian MitriTravail de recherche remis Stphane Beauregardprofesseurpour le cour 201-BAC-05Calcul et intgrationGroupe 0001Collge de Bois-de-Boulogne13 dcembre 2010Rsum:Cette tude porte sur la simulation d'un vol de montgolfire. Le problme est spar en deux divisions: le mouvement vertical, et celui horizontal.Le but principal tant de dterminer la distance horizontale que parcourra une montgolfire avec un certain nombre de litres de carburant, les calculs en lien avec le mouvement vertical ne serviront qu'dterminer letempsentreledcollageet l'atterrissagedela montgolfire (et donc le temps que cela prendre cette dernire pour puiser la totalit de sa rserve de carburant). partir de ce temps, il est possible d'appliquer les calculs en lien avec le mouvement horizontal (principalement la vitesse du vent) afin de trouver la distance totale parcourue.Certains lments de prcision ne seront pas pris en compte d leur impact minime sur le rsultat final. Parmi ces lments volontairementcartsdescalculsfigurelavariation dupoidsdela montgolfire en fonction de la dpense de carburant (puisqu'en dpensant du carburant, la montgolfire devient plus lgre).En premier lieu, il sera prsent une mthode de calcul utilisant despaliersconstants, afindesimplifier leproblmeet faciliter l'assimilation des principes de base. Suivra ensuite une justification de l'utilisation de ces paliers.Mots-cls: pousse d'Archimde, lois de Newton, loi de Fourier, force de frottementBiographie:Jrmi Grenier Berthiaume, Montral, bg_payne_love@hotmail.com,Sciences Pures et Appliques, Collge Bois-de-Boulogne.Amanda Altit, Dollard-Des-Ormeaux, pimbolly02@hotmail.com,tude Est-Asiatique et Histoire, Universit de Montral.2Christian Mitri, Montral, kikomitri1@hotmail.com,Gnie Civil, Polytechnique.3AbstractThis study focuses on the flight simulation of a hot air balloon. The problem is separated in two sections: the vertical movement and the horizontal movement.The main purpose is to determine the horizontal distance travelled by the balloon with a specific amount of liters of fuel. Take note that the vertical trajectory will be used only to determine the time between the take off and landing since it is impossible for us to obtain thistimebytryingtocalculateitwithanythingfromthehorizontal movement. Some elements of accuracy will not be considered due to their minimal impact onthefinal result. One of theseelements is the omission of the variation of the weight of the balloon (since it varies as long as the balloon burns fuel, decreasing its weight over time).This project presents a calculation method using constant levels in order to simplify the problem and facilitate the assimilation of basic principles. Of course, it is followed by a justification of the use of those levels.Keywords: Buoyancy force, Newton's laws, Fournier's law, friction force4Table des matires:SYMBOLES ET ABRVIATIONS6 INTRODUCTION 7 PROBLMATIQUE 9 NOTIONS THORIQUES PRALABLES9 DVELOPPEMENT13 DCOMPOSITION DU PHNOMNE .......................................................................................................................14 Comment un objet monte ?..................................................................................................................14 Comment rendre lair ambiant plus lger localement ?......................................................................15 CONSTRUCTION DE LA SOLUTION (TAPE DE LA MODLISATION)............................................................................15 tape 1: Les forces appliques sur le ballon modle..........................................................................16 tapes 2 et 3: Comprendre la pousse dArchimde et la loi des gaz parfaits ...................................17 tapes 4et 5: Trouver la masse totale et la masse de lair dans le ballon .........................................19 tape 6: Trouver la temprature de lair dans le ballon pour que le ballon flotte..............................19 tapes 7, 8, 9 et 10: tablir lensemble des forces en acclration et transformation de la pousse dArchimde et atteinte de lacclration............................................................................................21 tapes 11, 12 et 13: Trouver la vitesse et le temps par l'quation de la cinmatique du dplacement ..............................................................................................................................................................24 TUDE ET SIMULATION (TAPE DEXPRIMENTATION) ...........................................................................................24 RAPPORT DE SYNTHSE (TAPE DANALYSE ET DE SYNTHSE) ...............................................................................25 DCOMPOSITION DU PHNOMNE .......................................................................................................................27 Le frottement ? Quest-ce que cest ?..................................................................................................27 Le frottement sur la montgolfire........................................................................................................27 CONSTRUCTION DE LA SOLUTION......................................................................................................................28 TUDE ET SIMULATION (TAPE DEXPRIMENTATION)..........................................................................................30 RAPPORT DE SYNTHSE (DANALYSE ET SYNTHSE) .............................................................................................33 JUSTIFICATION DES PALIERS..............................................................................................................................34 LA CONDUCTION THERMIQUE............................................................................................................................34 LA DESCENTE SANS INTERVENTION....................................................................................................................36 LE MOUVEMENT HORIZONTAL ...........................................................................................................................40 LE CALCUL DE LA DISTANCE HORIZONTAL PARCOURU..........................................................................................45 1- Acclrationpour que la montgolfire atteigne la vitesse du vent (15 m/s)...................................46 2- Tempspour atteindre la vitesse du vent..........................................................................................46 3- Dplacement en acclration ..........................................................................................................47 4- Dplacement sans acclration.......................................................................................................47 5 - Dplacement horizontal totalparcouru par la montgolfire .........................................................47 BIBLIOGRAPHIE 49 5Symboles et abrviationsSymbole UnitsaFN (Newtons)P N (Newtons) V L ou m3 (1 m3 = 1000 L) kg/Lm kggm/s2n molR (kPa * L) / (mol * K)T K (Kelvins)P kPaa m/s2M kg/molh m (mtres) v m/st s (secondes)TF N (Newtons) r m -Sm2Abrviation (indice) Caractristique a Extrieurb Ballon0 Dbuty Verticale 6Introduction Notre projet est sur la montgolfire. Nous avions utilis la montgolfire comme sujet final car il est intressant de savoir commentunobjetaussi grospourrait voler. Deplus, noussommes dans une poque o la crise conomique bat son plein et nous voulions mettre une contrainte sur notre sujet: le carburant. Nous avions une montgolfire faire voler avec un certain montant de carburant. Ensuite, nous voulions savoir quelle distance horizontale elle pouvait parcourir avec ce montant de carburant. Pour sy prendre, nous avons fait recours la physique, la chimie et les mathmatiques.Tout dabord, la chose la plus importante dans tout le projet est le concept physique qui fait monter notre montgolfire. Ce concept est la pousse dArchimde. Cest grce cette pousse que la montgolfire monte et flotte. De plus, il faut avoir recours la loi des gaz parfaits pour les changements de tempratures et de pression, la loi de refroidissement de Newton pour la descente, et le pouvoir calorifique pour calculer la dpense de carburant. Tous ces concepts seront traits au courant du rapport avec des dtails. Donc, embarquez et que le voyage commence!tat de recherche lpoque de Louis XVI, en France, deux frres scientifiques ont crs la montgolfire. Ctait le 19 septembre 17831. Ce sont les frres Montgolfires. Ce futun vnement historique car ctait le premier moyen de locomotion qui volait. Cefut un moyen de locomotion pour voyager cette poque et beaucoup plus tard. La science sinnovait et la montgolfire se perfectionnait tout aulongdes poques qui dfilaient. Onlaaussi utilislors dela Premire (1914-1918) et de la Deuxime Guerre Mondiale (1939-1945) comme moyen de reconnaissance en terrain hostile. Il y a aussi eu le fameux dsastre en Allemagne o un ballon dirigeable, un driv de la montgolfire, explosa lors dun voyage. Ctait le 6 mai 19372 avec le Hindenburg. La montgolfire perdit son aspect de moyen de locomotion arien car lavion la dtrn. Enfin, nous sommes en 2010. La montgolfire est aujourdhui un moyen de locomotion arien touristique ou scientifique. Certains font des records mondiaux comme lefameux milliardaire Steve Fossett.Ces temps-ci, noussommes en pleine crise conomique et le prix des matires premires comme le ptrole augmentetous les jours. Lavenir, cest dutiliser lemoins possibledessencepournosmoyensdelocomotionstoutenfaisant des grandes distances.7Ce projet traite d'une montgolfire, tentant de connatre la distance que cette dernire pourrait parcourir avec un certain nombre de litres de carburant. (1) Historique de la montgolfire dans Pages infinites,[http://pages.infinit.net/squirel/air.montgolfiere/historique.html], (page consulte le 5 dcembre 2010)(2) LZ 129 Hindenburg dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Catastrophe_du_Hindenburg], (page consulte le 5 dcembre 2010)8ProblmatiqueC'est en1709quelepremier vol deballonair chaudest enregistr, au Portugal. Un peu plus de 300 ans plus tard, les principes entrant en jeu dans ce type de vol suscitent encore divers questionnementsauseindesapprentisscientifiques. Nefaisantpas bande part, nous nous sommes penchs sur une problmatique bien prcise: quelledistanceparcourraunemontgolfireavecuncertain nombre de litres de carburant dans son rservoir?videmment, plusieurs questions enlienavec cettefameuse montgolfire fictive s'implanteront dans nos esprits tout au long de ce projet. Ainsi, quant sa trajectoire, quelle sera sa vitesse un certain temps? Et son positionnement? Plus important encore, afin d'atteindre notre but premier, il faut pouvoirtrouver une rponse ceci: quelle quationcorrespondcelledeladpensedecarburant?C'est en introduisant plusieurs de nos connaissances mathmatiques et scientifiques qu'il serapossiblederpondreces questions. D'un autre ct, il y a aussi le calcul de certaines forces qui rentrent en jeu, tel que la pousse d'Archimde et la force du vent. De plus, quel sera l'impact des forces de tranes sur le dplacement de la montgolfire? Certaines lois comme celles de Newton et de Fourier vont grandement nous aider arriver nos fins.Notions thoriques pralablesTout d'abord, afin de trouver la position d'un objet quelconque aprsuntempsdonn, il faut avoir lavitesselaquellel'objet en question voyage. Supposons un point de dpart et une vitesse initiale, avec lavitessedel'objet connue, onpourrasavoir lenombrede mtres parcourusaprsun certain nombrede seconde.Dansnotre cas, nousn'avonsni l'quationdelavitessedelamontgolfire, ni l'quation qui nous permet decalculer saposition. Donc, ondoit penser un autre moyen afin d'arriver nos fins. Savoir bien utiliser une intgrale va grandement aider dans cette partie. Mais avant tout, un petit rappel de ce qu'est une intgrale et comment s'effectue la sparation de variables: la sparation des variables nous permet de rsoudre desquations diffrentielles (relationentredes fonctions et leurs drives) lorsquel'algbre permet de rcrire l'quation de sorte que chacune des deux variables apparaisse dans un membre distinct de l'quation. 19(1) Sparation des variables dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9paration_des_variables], (page consulte le 4 dcembre 2010).Supposons qu'une quation diffrentielle puisse tre crite de la forme suivante et pour tout x:

ddxf(x)g(x)h(f(x))... Que l'on peut crire plus simplement en identifiant y = f(x) :

dydxg(x)h(y)Tant que h(y) 0, on peut rcrire les termes de l'quation pour obtenir :

dyh(y)g(x)dx,sparant donc les variables x et y.Voici un exemple pour mieux comprendre:) () () ( 1) ( 11 ) ( ) () ('x f xc x f c xx df dxx df dxx fdxdx fx x f+ +

advdtadvdtdtdvaLes autres notions thoriques qui seront utiles la comprhension de notre projet, sont tout dabord la premire loi et la deuximeloi deNewton. Lapremireloi deNewtonmentionneque lensemble des forces exerces sur un corps est gal zro lorsquil nest pasenmouvement. Onutiliseracetteloi pour comprendrele phnomne de la flottabilit. La deuxime loi de Newton quant elle, nonce que lorsquun objet est en mouvement, lensemble des forces exercessur lecorpsest gal lamasseducorpsmultipliepar lacclration subie par ce corps.Lensemble des forces sur la montgolfire est la pousse dArchimde (dirige verticalement vers le haut), le poids (dirig verticalement vers le bas) et la force de frottement (qui s'oppose au mouvement, et donc dirige verticalement vers le bas pour la monte de la montgolfire) qui sont gales la masse totale de la montgolfire multiplieparsonacclration. Audbutdenotreexprience, nous navions pas considr la force de frottement car nous voulions 10comparer nos rsultats avec ousans frottement. Voici des brves explications de nos forces utilises lors de notre exprience qui seront ensuite dveloppe dans les dveloppements :1- LapoussedArchimdersultedel'immersiond'uncorps dans unfluide(ungaz ouunliquide), cequi creuneforce verticale positive qui sexerce sur ce corps et gale au volume de ce dernier multipli par la densit du fluide qui entoure le corps et par lacclration gravitationnelle.2 - Le poids est une force verticalement dirige vers le bas. Elle peut tre trouve par la multiplication de la force gravitationnelle subit par un corps et de la masse de ce mme corps.3- La force de trane, quant elle, est un frottement, mais aussi un mouvement horizontal. Il sera question plus loin dans ce projet de l'explication de ce phnomne. Toutefois, voici une explication sommaire: la force de trane est la force qui ralentit un corps qui se dplace dans un fluide.Toutefois, la chose la plus importante dans notre projet est lutilisation des paliers. Les paliers ont t utiliss tout au long de notre travail dans lebut d'atteindre notre objectif. Les paliers sont des niveaux, commedes marches descaliers. Par exemple, onutilise lescalier et une personne. La personne part den bas de lescalier. Elle commence avec une vitesse de zro, v0 . Elle monte dune marche. Sa vitesse a chang car elle sest dplace en acclrant. Cette vitesse est maintenant devenu v1 lapremiremarche. Audeuxime palier, lapersonnenepart pasavec v0 , maislavitesse v1 ! Donc, la personne monte la deuxime marche avec la vitesse v1 et atteint celle-ci avec la vitesse v2 ! Et ainsi de suite avec toutes les vitesses. Il faut donc comprendre que tout au long d'un palier, les valeurs initiales sont considres comme tant constantes tout au long du palier.Cest l'aidedeceprocessusquenousavonsputrouver la vitesse, le temps et lacclration de la montgolfire dans le mouvementvertical.Lesmarchesdans notre exemple sontdevenus nos paliers. chaque palier de 10 m, la vitesse, le temps et lacclration sont diffrents. Non seulement ceci, mais aussi la temprature, la pression, la masse volumique de lair extrieur et les diffrentes forces sont diffrentes chaque palier de 10 m! Le Schma 1, ci-dessous, vavouspermettredemieuxcomprendrece processus : 11Schma 1De plus, nous avions des notions de chimie prendre en compte. La loi des gaz parfait est imprative au succs de notre projet. Comme onconsidrelatemprature, lamassevolumiqueet lapression chaquepalierde10m,il fautlaconsidrertoutletemps. Cetteloi tabliune relation entre le volume, la pression, la temprature et le nombre de moles d'un gaz.Dernirement, uneautrenotionpralableutilesavoir est la suivante:a = dv/dt. En d'autres mots, en effectuant la drive de la vitessevpar rapport autempst, on obtient l'acclrationa. En sparant dt de dv chacun dun ct de l'galit, il est possible d'avoir les primitives en intgrant des deux cots. Ainsi, il sera possible de se retrouver avec le temps dun ct et la vitesse de l'autre. Cette notion est trs utile puisqu'elle se rpte plusieurs reprises tout au long du projet.12DveloppementAfin d'amliorer la comprhension gnrale du projet, commenons par une explication sommaire des diffrentes parties de celui-ci: lebuttantdetrouverladistancehorizontaleparcourue, il faut unevitessehorizontaleet untemps. Letempsnepouvant se calculer l'aide de quelconque concept horizontal (dans notre cas), il faut donc faireappel des notions s'appliquant auxconcepts qui s'appliquent au mouvement vertical de la montgolfire. Ainsi, la totalit des dmarches effectues pour ces derniers ne servent qu' une chose: trouver le temps total du voyage. videmment, pour faire lescalculset obtenir desdonnesconcrtes, il afallusefixer des donnes constantes. Tableau 1: Tableau des constantes utilises pour ce projetLes constantes utilises lors de notre exprienceValeurs UnitsTemprature au sol 288,15 KPression atmosphrique au sol 101,325 kPaHauteur initiale (par rapport au niveau de la mer) 0 mMasse de la nacelle, corde, tissu et brleur 400 kgTemprature intrieure du ballon lors de la monte 343,15 KVitesse uniforme du vent (horizontalement) 15 m/sMasse volumique de l'air au sol 1,23 g/LVolume de la montgolfire 3000000 LMasse molaire de l'air 28,976 g/molGradient thermique 0,0065 K/mConstante des gaz parfaits 8,31 S.I.Force gravitationnelle 9,81 N/kgQuantit de carburant (propane) 230 LMasse volumique du propane 0,5812 kg/LConductivit thermique du nylon0,25 W/(K*m)Conductivit thermique du nylon par unit de longueur 5,77 W/(K*m2)Pouvoir calorifique du propane50350,00 kJ/kgMasse initiale du propane133,6760 kgMasse volumique de l'air 70C 1,029 g/LVitesse verticale initiale de la montgolfire 0 m/spaisseur du nylon (enveloppe de la montgolfire) 0,001 mIl faut aussi treaucourantdedeuxchosespourlasuitedu dveloppement: premirement, la temprature intrieure du ballon est maintenue 70 C (et c'est ce qui occasionne la dpense de carburant), et deuximement, le ballon est considr comme ayant t 13lch avec une temprature initiale de 70 C (il est rest attach au sol jusqu' ce que cette temprature soit atteinte).Pour continuer avec l'explication gnrale, il serait pertinent de mentionner quelesvnementsverticauxont tsparsentrois tapes distinctes: l'lvation jusqu' l'altitude maximale, le maintient de cette altitude maximale jusqu' l'puisement des rserves de carburant, et la descente cause par la perte de chaleur de la montgolfire (qui ne peut plus tre rchauffe puisque sans carburant).Dcomposition du phnomneComment un objet monte ? La montgolfire est un moyen de transport qui vole, comme un avion. Cependant, une montgolfire ne dispose pas de moteur et ni d'ailes, mais bien un ballon, une nacelle (pour embarquer) et un brleur. Leballonest rempli d'air queleconducteur chauffeou refroidi sa guise. Prenons l'exempledunballondefte(reprsentpar les blocs dans la Figure 1): ce dernier a t souffl par une personne. Lair dgag est dj chauff par notre corps. Lorsquun gaz est chauff, les particules dair sont excites et prennent plus despace donc elles poussent les rebords intrieurs du ballon pour grossir le ballon. L'effet est inverse pour une tempratureplusbasse. Cestlaloi des gaz parfaits.Or, le ballon de fte soufflpar unepersonneneflottera pas: onlelcheet il tombe. Si on mettait de lhlium, le ballon flotterait. Pourquoi? Cest causeduprincipe dArchimde. Selon le principe dArchimde, il faut tre plus lger que lair pour flotter. Nanmoins, comment fait-on? Reprenons lexemple du ballon avec lhlium. Le ballondhliumapuflotter alorsquel'autrenon: ledioxydede carbone est beaucoup plus lourd que lair. Par contre, lhlium est le gaz le plus lger qui existe et donc il est plus lger que lair.Cependant, pour unemontgolfire, lesystmeest ouvert. Lairqui vatredansleballonestlair ambiant.Onnepeut pas mettre de lhlium, car il est toxique pour lhumain lorsquil est en grandequantitet aussi il est assez cher utiliser (deplus, il s'chapperait).http://fr.academic.ru/pictures/frwiki/80/Principio_di_Archimede_spinta_e_peso.pngFigure 114Comment rendre lair ambiant plus lger localement ? Commeonavait dit audbut, lair peut tre chauff et tre refroidi. Lair chaud fait gonfler alors que lair froid ne fait pas gonfler Or, si onchauffecontinuellement leballon, lesparticulesvont poussesdeplusenplus vers le haut. Donc, il monte.De plus, plus on monte, pluslapressiondiminue. Lapression,qui diminuera, exercera moins sur le ballon et le ballon pourra continuer son ascension. Prenons exemple de Coyote (Looney Toons) et uneenclume. Lenclumereprsentelapressionet le Coyote, le ballon. Donc, lenclume tombe dun sommet sur la tte de Coyote. Coyote est cras. Lacte, cest comme la pression qui sexercesurnousetvaverslebas, sauf quellenestpasaussi brutale que dans les Looney Toons! Si la pression, soit la masse de lenclume, diminue, Coyotepourrareprendresataillenormaleet slvevers lehaut, mais resteauniveaudusol. Il faut donc prendre compte de la pression extrieure du ballon, la temprature intrieureduballonetlatempratureextrieureduballonpour connatre sa flottabilit. Pour mieux comprendre, ce phnomne nous allons choisir comme modle, un ballon simple.Construction de la solution (tape de la modlisation) Premirement, il faut suivreleprotocolepour atteindreles objectifs de cette exprience. Le protocole aura trois divisions, soit pourlemouvementvertical, lemouvementhorizontal etenfinla combustion du carburant : Pour le mouvement vertical :1) tablir les forces qui exercent sur le modle lquilibre (ballon simple)2) Comprendre la pousse dArchimde 3) Trouver la masse volumique avec la loi des gaz parfaits 4) Trouver la masse totale du ballon 5) Trouver la masse de lair lintrieur du ballon 6) Trouver la temprature de lair intrieur du ballon par la loi des gazparfaits pour que le ballon flotte. 7) tablir les forces qui s'exercent sur le modle en acclration (F = ma) Figure 2158) Transformer la pousse dArchimde par lquation de la massevolumique (pousse dArchimde 1) 9) Transformer ensuite la pousse dArchimde 1 avec lquation de lapression selon la temprature et la hauteur (pousse dArchimde 2) 10) Trouver lacclration avec la pousse dArchimde 2, le poids et l'ensemble des forces (en acclration) 11) Utiliser lquation de la cinmatique du mouvement pour trouver le temps et la vitesse 12) Faire un document Excel pour trouver le temps et la vitesse 13) Trouver la vitesse et le temps avec la formule de la cinmatique du dplacement tape 1: Les forces appliques sur le ballon modle Le ballon qui est notre modle est au niveau du sol. Sur le ballon, quellessont lesforcesqui sappliquent?Il yalepoids, lanormale (quon ne va plus considrer ensuite) et bien sr, la pousse dArchimde. La pousse dArchimde (Fa), cest la force qui permettra au ballon de flotter et de voler. Le poids est une force oriente vers le bas(causedelaforcegravitationnellequi estelle-mmeoriente dans cette direction), la pousse dArchimde est dirige vers le haut (voir Schma 2). Schma 2Or, pour commencer, nous voulons savoir quand le ballon va flotter. En dautres mots, il faut trouver la temprature intrieure du ballon pour quil flotte. Comme, au dbut, il ny a pas dacclration,lensemble des forces est gal 0.Alors : 160 ) ( ) (00 g m g VP FFaA SymboleDescriptionAF Pousse dArchimde (N)P Poids (N)V volume ( m3)aDensit de lair extrieur (kg / L) gacclration gravitationnelle (m/s2)m masse totale du ballon (kg) tapes 2 et 3: Comprendre la pousse dArchimde et la loi des gaz parfaits La pousse dArchimde est gale au volume du ballon multipli par la masse volumique du fluide extrieur et par lacclration gravitationnelle. Cette masse volumique varie en fonction de la temprature: plus on monte, plus la temprature diminue. Il en va de mme pour la pression: celle-ci diminue aussi en fonction de la hauteur. Tout celaestexplicitparlaloi desgazparfaits. Onpeut transformer la masse volumique en fonction de la temprature et de la pression.Loi des gaz parfaitsnRT PVSymboleDescription P Pression (kPa)V Volume (L)n Nombre de mol (mol)R Constante des gaz parfait T Temprature (K)17Nous voulons faire flotter le ballon. Selon, le principe dArchimde, il faut tre plus lger que lair. Donc, il faut que lair lintrieur du ballon soit plus lger. Dabord, trouvons la masse de lair extrieur. Lamassedelextrieurpeuttretrouveavecsamasse volumique. Trouvons, sa masse volumique. Formulation de la massen M masse Donc, si on remplace ces quations dans la loi des gaz parfaits, on a : RTPMRT PMVMmRTPRTMmPVnRT PV Les conditions de lair extrieur au niveau de la mer (niveau du sol) sont :Temprature de lair extrieur :Ta = 288 KPression de lair extrieur : Pa = 101,3 kPaConstante des gaz parfaits : R = 8,314J/(kg * mol)Masse molaire de lair : Ma = 28,96 kg/molOn met les conditions de lair extrieur dans la formule de la masse volumique ( ). On calcule. Donc, la masse volumique de lair est de : 1,23 g/L.Aprs quon ait trouv la masse volumique de lair, on peut trouver sa masse avec : volumemasse Donc, la masse de lair extrieur serait gale la masse de la nacelle et de l'quipement, et la masse de lair intrieur du ballon. (Voir Schma 3) Schma 318tapes 4 et 5: Trouver la masse totale et la masse de lair dans le ballon Il nous faut la masse de lair dans le ballon. La masse de lair extrieur est Z . La masse de la nacelle/quipement est N et elle est gale 400 kg. La masse de lair lintrieur est B . Donc : kg BBN Z BN B Z97 , 3274) 400 ( ) 3000 25 , 1 ( + tape 6: Trouver la temprature de lair dans le ballon pour que le ballon flotteAprs, quon ait trouv la masse de lair lintrieur du ballon (b), on doit trouver sa masse volumique. Alors, L kgVmbbbb/ 09 , 1300097 , 3274Par laloi desgazparfaits, onpeut trouver latemprature lintrieurduballon. Commelairlintrieuretlextrieurontle mme volume, mais diffrentes tempratures et masses volumiques: ba abb b a aTTT T Symbole DescriptionTbTemprature de lair lintrieur du 19ballon TaTemprature de lair lextrieur bMasse volumique de lair intrieur du ballonaMasse volumique de lair extrieur On remplaceles variablespar lesrsultats quona trouvsau dbut et la temprature intrieure du ballon nous donne 323,67 K qui est 50,67 C. Pour que la montgolfire puisse faire son ascension, on tablit que la temprature intrieure du ballon sera de 70 C (343 K). Cette temprature sera la temprature quon voudra conserver constante tout au long de lexprience. Cette temprature sera ncessaire pour la dpense de carburant du brleur. Or, cela sera pour plus tard. 20tapes 7, 8, 9 et 10: tablir lensemble des forces en acclration et transformation de la pousse dArchimde et atteinte de lacclration Nousallonsmaintenant trouver lensembledesforceslorsde lascension. Lorsdelascension, lamontgolfire auneacclration. Donc, lensemble des forces est gal la masse totale du ballon et de son acclration. a m P Fa m FA SymboleDescriptionAF Pousse dArchimde (N) P Poids (N) m Masse total du ballon (kg) a Acclration de la montgolfire (m/s2)On remplace lquation de masse volumique dans lensemble des forces, nous avons : ) () ( ) () ( ) (mT RM P Vmgaa m g m gT RM PVa m g m g Vaa aaa aa SymboleDescriptionAFPousse dArchimde (N) P Poids (N) m Masse total du ballon (kg) a Acclration de la montgolfire (m/s2)La formule de la pression de lair extrieur (Pa) en fonction de la temprature (Ta)et de la hauteur (h) selon Wikipdia1 est : ( )

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2880065 , 0 288255 , 50hP Pa 21(1) Nivellement baromtrique dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_nivellement_baromtriquel], (page consulte le 3 octobre 2010).SymboleDescriptionPaPression de lair extrieur en fonction de la hauteur (kPa)P0La pression au niveau de la mer ( P0 = 101, 3 kPah La hauteur atteinte (m) La temprature extrieure (Ta) est aussi une quation puisque la temprature extrieure diminue de 0,00651 chaque mtre.Donc, hT Ta0065 , 00 T0 est la temprature au niveau de la mer. Or, comme on avait prcis que ctait 288 K, alors on peut la remplacer tout de suite. h est la hauteur en mtres.On remplace ensuite, la formule de la pression, la formule de lacclration sera :

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mT RMTTP Vmgaaaa255 , 500SymboleDescriptiongAcclration gravitationnelle (9,81 m/s2)m Masse totale du ballon (kg) V Volume (L) P0 Pression de lair extrieur au niveau de la mer (101,3 kPa) TaTemprature de lair extrieur en fonction de la hauteur T0Temprature de lair au niveau de la mer (288 K) MaMasse molaire de lair extrieur (28,95 kg/mol) RConstante des gaz parfaits (8,314) 22 (1) Atmosphre normalise dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_normalisee], (page consulte le 3 octobre 20123tapes 11, 12 et 13: Trouver la vitesse et le temps par l'quation de la cinmatique du dplacementComme on a lacclration, il faut trouver maintenant la vitesse et letempsdelamontgolfirelorsdesonascension. Il faut donc utiliser lquation de la cinmatique du dplacement : 220 0t at v h hy+ + O hy est la hauteur atteinte aprs un certain temps, h0 la hauteur initiale, a lacclration et t le temps. Or, cette quation est seulement pour une acclration constante! Nous avons vu auparavant que l'acclration dpendaitde la temprature etde la pression. Donc, nous avions trouv une autre faon. Cest de trouver lacclration chaque palier de 10 mtres. Par exemple, si on veut trouver la vitesse chaque 10 mtres, on fait la drive de lquation cinmatique du dplacement et cela nous donne: atv vy+ 0Cette quation (Vy) dpend du temps et de la vitesse au dbut de chaque 10 mtres. Cependant, nous navons pas le temps! Le temps dpend aussi de la vitesse et du dplacement. tude et simulation (tape dexprimentation)Il faut faire undocument Excel pour trouver le temps et la vitessedechaque10mtres. Onmetdanscedocumenttoutesles constantes et toutes les variables quon a pu trouver, comme la temprature, lapression, lepoids, laforcedArchimde, etc. (Voir Tableau 1). Le temps se trouverait partir de lquation de la cinmatique du dplacement. On isole t, pour avoir le temps. Or, cest une quation audeuxime degr, donc ontrouve le discriminant comme si on trouvait les zros : 24ah a v t vth t v t at a t v ht a t v h ht a t v h hyy t + + + + + 2 0 00210212121) (222020 020 0 Le temps doit tre positif. h est gal la deuxime hauteur moins la premire hauteur.Voir Schma 4, pour mieux comprendre. Or, h est toujours gal (-10) car on fait des paliers chaque 10 mtres.Ce que nous avions eu comme rsultats la fin (acclration et la vitesse), ils sont trs proches de la ralit. Or, pour le temps total de lascension, il est unpeususpicieux car il prendenjuste102,74 secondes pour monter. Cest beaucoup trop rapide. Rapport de synthse (tape danalyse et de synthse) Selon nos rsultats,il faudrait trouveruneforcedefrottement assez grande pour contrer ces rsultats. Selon un site dun vol record de montgolfire, la Montgolfire : Approche mathmatique des paramtres dun vol et application un record du monde, 1 lorsquon calcule le temps, il faudrait considrer derefaire tous les calculs (masse volumique, temprature dans le ballon, poids, etc.) chaque fois quon utilise le brleur. Or, comme cest extrmement difficile calculer achaquefoiset quonnapaslesoutilsncessaireset la connaissance, on ne le fera pas et on prendra compte uniquement de la force de frottement qui va ralentir le systme. 251 HOOREBEECK, Claude Van. Montgolfire : Approche mathmatique et application dun record du monde , [http://www.freepub.be/doc/Record_monde.pdf], (page consulte le 3 octobre 2010).26Dcomposition du phnomneLe frottement ? Quest-ce que cest ? Le frottement, cest une force oppose au mouvement. Prenons exemple dun bloc sur un plancher horizontal (voir Figure 5). Les forces exerces sont le poids (direction: vers le bas)et la normale (direction vers le haut). Lensemble de ces forces est gal zro car il n'y a aucun mouvement. Lorsquune personneA pousse le bloc vers lavant, il y a non seulement le poids et la normal qui exerce une force, mais aussi la force de la pousse de la personne A(direction: horizontal etversladroite) etlefrottement(direction: horizontal et vers la gauche). Le frottement peut tre vu comme une personne B qui pousse de lautre ct du bloc. La force la personne B doit tre plus petite que la force de la personne A pour que le bloc soit enmouvement. Lefrottementjoueunrleimportantcarsil nyen avait pas, lobjet pousscontinuerait sonmouvement commeune boule de bowling: au bowling, la surface du parterre est lisse pour que la balle puisse continuer son mouvement. Si la surface ntait pas lisse, mais plutt rugueuse, la balle lance avec la mme force perdrait de la vitesse bien plus rapidement. Donc, il y a une force qui fait diminuer lacclration de la balle, et c'est la force de trane.Le frottement sur la montgolfire Le frottement est partout, mme dans lair. Le frottement appliqu sur la boule de bowling ou le bloc reprsente le phnomne que celui de la montgolfire: lorsque la montgolfire monte, une force sopposesonmouvement. Saforcede frottement vertical est aussi appele force de trane. Comme le nom lindique, cette force fait traner la montgolfire.http://physique.chimie.pagesperso-orange.fr/Images/Luge_descente_frottement.gifFigure 3Figure 427Construction de la solution La force de trane (FT) est dtermine par l'quation suivante: 22Sv CFaDT SymboleDescriptionTF Force de trane (N)DC Coefficient de trane (= 0,07) v La vitesse du ballon (m/s) S Surface du ballon (24 r S )Comme notre volume est de 3000 m3, il est possible de trouver son rayon avec lquation du volume. m rrVrrV95 , 84) 3000 ( 34334333

partir du rayon, on trouve la surface : 2226 , 1006) 95 , 8 ( 44m SSr SLa formule de la force de trane est: Sv CFaD T 2Le coefficient de trane est une constante que nous avons fixe 0,07. Le site Schlumberger Excellence in EducationalDevelopment situe le coefficient de trane entre 0,07 et 0,5. Aprs avoir essay ces deux valeurs qui reprsentent les extrmums, nous avonsoptpour0,07caravec0,5, nousavionsdesforcestranes suprieures la pousse dArchimde, ce qui ne doit pas arriver car 28nous voulons que la montgolfire monte et non la ralentir au point de larrter tout de suite. Cest pour cela que nous avons choisi :07 , 0 DCGraphique1Dans le Graphique 1ci-dessus, on peut observer que la force tranediminue defaongraduellementcarlacclrationa diminu qui fait engendrer unediminutiondelavitesse. Cest partir de lensemble des forces que lon peut constater ces diminutions : mF P Faa m F P Fa m Ft at a SymboleDescriptionaF Pousse dArchimde (N)P Poids (N)TF Force de trane (N)a Acclration du ballon ( m/s2)m Masse total du ballon ( =3487 kg) Si, onavait mislecoefficient detrane DC 0,5 , la force de trane serait tellement grande que la montgolfire 29sarrterait beaucoup plus bas que la hauteur atteinte, soit environ 574 mtres.Pour connatre la vitesse et le temps, onutilise les mmes calculs pour la vitesse et le temps sans frottement. Toutefois, aprs un certain moment, il faudra changer la distance des paliers car les vitesses vont tre petites, tout comme lacclration. Donc, il faudra tre de plus en plus prcis pour trouver le temps. tude et simulation (tape dexprimentation) Le frottement est utilis uniquement lors des calculs de l'tape dascension. Pourquoi nefaut-il pas l'utiliser pour les mouvements horizontaux? Il ne faut pas utiliser le frottement car comme le frottement est la force de trane, le mouvement horizontal est aussi partir de la force de trane! La force de trane est lcoulement du fluide sur lobjet. Si le vent (le fluide) poussait sur la sphre, il rsulteraitlemmephnomnemaislinversepourlefrottement. Daulieudtrecontrelevent, onsuitlevent!Cestunequestion dorientation. Le Schma 5 (ci-dessous) explique le tout de faon plus claire. Schma 530Pourquoi nefaut-il pas utiliser laforcedetranelors dela descente de la montgolfire? Simplement parce que l'quation utilise pour trouver le temps de descente n'utilise pas les forces, mais plutt la temprature et le temps. Le tout sera expliqu plus en profondeur dans la section traitant de la loi de refroidissement de Newton.Il faut ensuitecontinuer lardactiondudocument Excel. On utilise les mmes calculs du dbut :1- La pousse dArchimde2- Le poids3- La pression atmosphrique 4- La masse volumique Lacclration, letempset lavitessevont changer car il ya maintenant la force de trane qui est prise en compte.Or, plus tard dans les calculs, lacclration sera tre trop grande, et la vitesse trop petite, pour trouver le temps. Donc, il faut diminuer la distance entre les paliers (ce qui augmente la prcision des calculs par le fait mme). Nous avions commenc par des paliers de 10 mtres. Les suivants ont diminu jusqu' environ 0,0001 mtre.Nos rsultats de la monte sans et avec le frottement Graphique231 l'aide du Graphique 2, on peut remarquer que le temps sans frottement est inversement proportionnelle la hauteur. Personnellement, unemontgolfire montedefaontrs lentement donc le temps entre les paliers est beaucoup plus grand. Ce quiest tout fait logique. Lorsquon regarde le temps avec le frottement, on voit queplusonmonte, plusletempsaugmente. Cestcausede lacclration et de la vitesse qui diminuent aussi. Donc, en somme, le temps augmente car la montgolfire ralentie pour arriver la hauteur de croisire. Graphique3DansleGraphique 3, onpeutremarquerquelavitessesans frottement augmente lorsquon monte de plus en plus. Ceci ne devrait pas arriver dans la ralit car comme lacclration diminue cause de la temprature et de la pression, la vitesse devrait diminuer. On peut se rappeler que lorsquon monte de plus en plus, la temprature et la pressiondiminuent. Or, onpeut remarquer quelavitesseavec le frottement suit la realit car plus on monte, plus la vitesse diminue. La plus grande vitesse est celle du dbut soit environ 5 m/s. 32Graphique4Pourcequ'il estduGraphique 4, onpeutremarquerqueles deux acclrations subissent le mme phnomne, soit une diminution. Cependant, celle qui na pas de frottement est situe dans le positif. La montgolfire ne devrait pas avoir une acclration positive aprs le commencement de la monte. Elle devrait diminuer car elle est en fonction de la temprature et de la pression. Lacclration avec le frottement correspond plus la ralit car elle devient plus rapidement ngative pour ralentir la montgolfire. Rapport de synthse (danalyse et synthse) Lesrsultatsquenousavonsobtenu(vitesse, acclrationet temps)pourlamontesontrelativementprochesdelaralit. Une montgolfire monte trs lentement. Au dbut de nos calculs (sans tenir compte du frottement), nos rsultats taient irralistes. La montgolfire atteignait des vitesses de 10 m/s et mme plus! Le temps d'ascension est denviron 249 secondes en tenant compte de la force de trane: cest prs de 60% de plus que le temps de la monte sans frottement.33Justification des paliersBiensr, l'utilisation de paliers constants se doit d'tre justifie, sans quoi ce projet n'aurait aucune valeur.Afindeprouver mathmatiquement lajustessedes paliers constantsde10mtres, il fautfaireappel lamthoded'Euler. Cette mthode sert approximer la valeur d'une fonction inconnue diffrents points en ne sachant que la valeur initiale de cette fonction inconnue. Dans notre cas, la fonction en question est celle de l'acclration en fonction du temps. En utilisant un pas (communment nothdanslescalculsenlienaveclamthoded'Euler) gal 10 mtres, il nous est possible d'obtenir une reprsentation graphique de l'approximation. Cette reprsentation se retrouve dans le Graphique 4. Eneffet, lespointsrosesreprsententlavaleurdel'acclration approxime tous les 10 mtres.La conduction thermiqueLeseul lmentfaisantensortequ'une dpensedecarburant est ncessaire est le fait que la temprature intrieure, qui doit tre maintenue constante, diminue au fur et mesure que le temps passe. Afin de calculer cet change de chaleur, il faut faire appel la loi de Fourier1:

dtdQdxdTS Puisque nous utilisons un systme de paliers constants, la formule prcdente devient:dtdQT T C Sext ) (intOSest la surface de contact,Cest une constante (la conductivit thermique par unit de longueur) rsultant de l'intgration de l'paisseur dans la variable initiale de la loi de Fourier ( , soit la conductivit thermique),dQ/dtest lachaleur perduepar unitde temps,Tintla temprature intrieure etTextla temprature extrieure. Cecalcul donneletauxderefroidissement delamontgolfire. Les tempratures intrieures et extrieures sont connues. De plus, tant donnquelamontgolfireestsphriqueetpuisquesonvolumeest connu (3000 m3), il est possible de dvelopper S:34 (1) Loi de Fourier dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Fourier], (page consulte le 8 novembre 2010).3349000343000 rrV

232)49000( 4 4 r SToutefois, afin de connatre la valeur de la constante C, il faudrait avoir une connaissance bien plus pousse sur le sujet, et c'est pourquoi il afallufaireappel desressourcesextrieurespour la dterminer:Pour effectuer ton calcul il faut considrer le transfert d'nergie travers 3 interfaces:- L'air chaud et l'enveloppe, par convection.- l'paisseur de l'enveloppe, par conduction.- L'enveloppe et l'air ambiant, par convection.Le 1er transfert est difficile valuer; le coefficient de convection est lie (sic) la diffrence de temprature (entre l'air et la paroi), l'inclinaison de cette paroi et la vitesse du fluide. Pour bien faire il faudrait avoir une ide de la vitesse de dplacement des gaz dans l'enveloppe. J'ai estim ce coefficient 12W/m.CLe transfert par conduction est la fois plus compliqu estimer et plus simple:- Plus compliqu parce que la conductivit du nylon "massif" est connue, mais la conductivit de ton enveloppe dpend du tissage.- Plus simple parce qu'il faut tout simplement la ngliger... Cette conductivit est trs grande devant les coefficient (sic) de convection (qui sont typiquement de l'ordre de 10 30W/m.C pour de l'air (de calme peu venteux). Une enveloppe en tissu a une conductivit environ 10x plus grande.Le transfert vers l'extrieur est le plus facile estimer. Tu as une vitesse de vent de 15km/h, ce qui donne une (sic) coefficient d'change d'environ 15W.m.C sur les cots, et 10W/m.C sur les faces "face" et "dos" au vent.1Nanmoins, le calcul n'est pas termin. Afin d'obtenir la constante, il faut fairel'inversedelasommedel'inversedestrois constantes mentionnes dans la citation au dessus (car ces coefficients fonctionnent exactement comme des rsistances):C m W C +277 , 5)1001( + )2 15) (121( + )121(1Nous avons dsormais toutes les valeurs ncessaires l'obtention du taux de refroidissement (reprsent parQ/t), en Joules parseconde, parlebiaisdelaloi deFourier. Unefoiscettevaleur 35obtenue, il suffit de multiplier le tout par le temps que cela aura pris la montgolfire pour franchir le palier de 10 mtres choisi pour connatre le nombre de Joules perdus par conductivit thermique. En divisant par mille la valeur en Joules obtenue, on obtient des kilojoules (kJ).(1) Dpense de carburant dans Forums Futura-Science, [http://forums.futura-sciences.com/physique/429119-depense-de-carburant-2.html#post3234817], (page consulte le 8 novembre 2010).Sachant quel'nergieperduepar conductivit thermiqueest l'nergie qu'il faut librer par la combustion du propane afin de conserver la temprature intrieure constante, voici comment transformer l'nergie dpenser en masse de carburant brler:propane propanem P Q O Q est la perte de chaleur en kilojoules (kJ), Ppropane le pouvoir calorifique du propane (qui est de 50 350 kJ/kg1) et mpropane la masse de propane quivalente en kilogrammes.Connaissant maintenant cette formule, il est possible de connatre le moment o la montgolfire n'aura plus de carburant. Alors s'amorcera la descente.La descente sans interventionN'ayant plus de carburant pour rchauffer l'air intrieur du ballon,ce dernier commencera descendre. Cette descente ne sera affectequepar leschangesthermiquesentrelamontgolfireet l'environnement extrieur (qui rsultent en une baisse de la temprature intrieure de la montgolfire). Ainsi, les calculs reviendront connatre la temprature intrieure du ballon un temps tet savoir l'altitudemaximalequepeut atteindrelamontgolfire avec une telle temprature.Le principe cl de l'tape de la descente est de comprendre que lamassevolumiqueintrieureaugmenteavec ladiminutiondela temprature. S'ensuit une augmentation de la masse totale du ballon, ce qui entrane une augmentation du poids. Cette dernire a pour effet de diminuer l'altitude maximale atteinte par la montgolfire. Ainsi, si lamontgolfireestdjsonaltitudemaximalepourune temprature intrieure quelconque, et que sa temprature intrieure diminue, elle ne peut rester cette altitude: elle va automatiquement descendre, jusqu' ce qu'elle atteigne sa nouvelle altitude maximale.36Avant de prsenter le reste de notre dmarche, il est impratif d'introduire la loi de refroidissement de Newton2:(1) Pouvoir calorifique dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Pouvoir_calorifique], (page consulte le 8 novembre 2010).(2) Loi de refroidissement de Newton dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_refroidissement_de_Newton], (page consulte le 5 dcembre 2010).37) () (envT T rdtt dT t renv enve T T T t T r + > ) ) 0 ( ( ) ( 0O T corresponds la temprature du corps, Tenv la temprature de l'environnement, r une constante quelconque et t le temps. Aucune unit n'a tre spcifie puisque cette quation en permet plusieurs, et il suffit simplement de changer la valeur de la constante r afin de prserver la justesse de la loi.Voici un graphique reprsentant la variation de la temprature d'un corps lorsque soumis une temprature environnante qui ne varie pas en fonction d'lment autre que le transfert thermique effectu entre cette dernire et le corps lui-mme:Graphique 5: Temprature d'un corps soumis une temprature extrieure quelconque en fonction du tempsPour arriver nos fins, deux solutions s'offraient nous. L'une d'entre elles allait requrir plusieurs milliers de calculs: calcul du nombre de degrs (Celsius ou Kelvins) perdus en une seconde l'aide de la loi de refroidissement de Newton, suivi du calcul de la nouvelle masse volumique intrieure, suivi du calcul de l'altitude maximale que peutatteindrelamontgolfireaveccettenouvellemassevolumique (c'est cettederniretapequi aurait tfastidieuse). Ladeuxime solution consistaitaussi en l'utilisation de la loi de refroidissement de Newton, sauf que cette fois-ci, nous allions fixer une valeur arbitraire la constante utilise par cette loi qui allait nous permettre d'approximer une vitesse moyenne de descente gale 1 mtre par seconde.(K)(s)38La seconde solution, que nous avons dcid d'utiliser, reprsente une approximation qui serait extrmement grossire si elle n'tait pas applique sur un laps de temps aussi court qu'une seconde.39Le mouvement horizontalL'objectif principal decettepartieduprojet est detrouver la position de la montgolfire horizontale. Tel qu'expliqu plutt dans les notionsthoriquespralables, nousauronsbesoindelasommedes forces appliques sur notre objet. End'autres mots, qu'est-cequi modifierait, que a soit en acclrant ou en dclrant la vitesse de la montgolfire. Premirement, la vitesse du vent joue un gros rle dans la somme des forces appliques sur l'objet volant. Voici l'quation de cette force :2v k F Pourquoi v?Lorsquelavitesseduvent augmente, laforce applique sur la montgolfire n'augmente pas linairement. Tout revient au principe d'nergie, qui nous ramne lquation 221v m E .On voit clairement que selon cette quation, l'nergie augmente de faon exponentielle lorsque la vitesse augmente, donc voila pourquoi la force n'augmente pas linairement. La constante k a pour but d'inclureunecertaineincertitudedansl'quation, aucasola force applique serait lgrement plus grande ou plus petite. Attention, la vitesse en question n'est pas tout fait la vitesse du vent elle-mme, maisplutt lavitesserelative. C'est--direlavitessedu vent peru par la montgolfire.Vrel= (Vvent -Vmontg), o Vvent est la vitesse du vent et Vmontg. est la vitesse de la montgolfire.Deuximement, il ya la densit del'air qui joueaussi un rle important, puisque plus l'air est dense, plus que la force applique par levent (qui est undplacement delair) sur lamontgolfiresera grande. Le contraire s'applique aussi. L'quation est donc la suivante: D k F , o k est encore une constance et D est la densit de l'air. Finalement, il y a la surface de contact avec la montgolfire. Tout dpendantdelasurface perpendiculaire au vent,laforce va encore varier selon l'quation S k F , o kest encore une constante et S est la surface de contact. Afin de se retrouver avec une seule quation des forces, on multiplie les 3 quations et on arrive :kS kD kV Ftot 2 Puisque S, la surface de contact ne varie pas, on va la rassembler aveclesautresconstanteskpourformerlaconstanteC. L'quation devient alors D V C Ftot 2,oCestuneconstante,vestlavitesserelativeaucarr, etDla densitde l'air. Maintenantqu'onal'quationdesforcesappliques 40sur la montgolfire, on a qu'a poser ma F,d'o on peut facilement ressortir a, l'acclration. 2) (M v totV V D C F mV V D CaM v2) ( Tel que mentionn dans les notions thoriques pralables, savoir que dtdva est un atout important puisque c'est partir de cette notion qu'il est possible de rsoudre le tout.Une fois en prsence dedtdva , il suffit d'isolerdt. Ainsi, il n'y aura plus qu' trouver la primitive de ce qu'on aura de chaque ct de l'galit.Bien sr, c'est en effectuant l'intgrale qu'il sera possible d'arriver cette fin. Ensuite, on se retrouvera avec le temps t en fonction de la vitesse de la montgolfire. Voici comment : Sparation de variables:d td vmV V D CM v 2) ( 2) (M vMV V D Cm dVdt Intgration par parties: 2) (M vMV V D Cm dVdt kV V D Cmtc uD Cmcst tuduD Cmcst tdV duV V uM VMM V+ + + + ) () (12o C est la constante de dpart qui rassemble k et surface de contact ensemble, tel que vu initialement, et le nouveau k se trouve tre la constante d'intgration.On se retrouve alors avec l'quation du temps suivante: kV V D CmtM v+ ) (.41Pour trouver k, on remplace t par 0 et MV par 0 car on sait que se sont les valeurs initiales. On trouve alors : vV D Cmk .Dans l'quationdutemps,on isoleMV ,et encore unefois on partdelanotionsuivante:V=dx/dt. Onauradoncrefaireles mmes tapes que prcdemment mais cette fois-ci en isolant dx. En intgrant desdeuxcts, onvaseretrouver avecl'quationdela position x en fonction du temps.Toutefois, dans cette tape, il faudra intgrer plusieurs fois.Tout d'abord :) ( D C k D C tV D C t V D C k mVv vM + + omestlamasse,Cuneconstante,tle temps,Dladensit,Vvla vitesseduvent,VMlavitessedelamontgolfire, etkuneautre constante. Voici une illustration du graphique de la vitesse de la montgolfire en fonction du temps:Graphique 3: Graphique de la vitesse (m/s) de la montgolfireen fonction du temps en secondesOn peut voir dans le graphique que la la vitesse de la montgolfire ne dpassera pas celle du vent, qui est de 4,16 m/s, ce 42qui est tout fait logique puisque c'est le vent qui donne la force la montgolfire.Maintenant, onappliquedx dt VM puisque dtdxVM etensuite on intgre (voir page suivante). 43 + + dtD C k D C tV D C t V D C k mdxv v)) ((Finalement, l'quation de la position en fonction du temps est la suivante :D C kD Cmt V D C k D C tD CmxV + + + ln lnVoici le graphique correspondant:D C kD Cmt V D C k D C tD CmxDoncD C kD Cmcst x t lorsquecst t V D C k D C tD CmxEnSommet V D C k D C t k VD C k D C tdt kD CdtV D CD C k D C tdt tV D CgraleD C k D C t V kdtD CduD C k D C t uD C k D C tdtV D C kgraleD C k D C tD CmuduD CmdtD CduD C k D C t ugraleD C k D C tdt V D C tD C k D C tdt V D C kD C k D C tdt mxVVV VV VmeVVmereV V + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ln lnln , 0 ... 0 ...lnln ...() () int 3 (ln ...) int 2 (ln) int 1 () ( ) ( ) (44Graphique 4: Position de la montgolfire en mtres en fonction du temps en secondesOladroiteverteest lapositionduvent enfonctiondesa vitesse et la droite rouge, la position de la montgolfire en fonction de sa vitesse. C'est tout fait normal qu'il y ai une petite diffrence entre les deux puisque le vent aura toujours une lgre avance sur la montgolfire si on tient compte de la vitesse de chaque.Le calcul de la distance horizontal parcouru Ladistancehorizontaleparcouruereprsentelederniercalcul. Tout dabord, nous avons un vent de 15 m/s. Une montgolfire va la vitesse du vent. Cependant, dans la ralit, elle ne va pas exactement la vitesse du vent et elle sapproche selon les conditions de la limite. Or, onvacalculer ladistancehorizontalecommesi elleatteignait compltement la vitesse du vent. Alors, au dbut, la montgolfire va acclrer pour atteindre la vitesse du vent et aprs, elle parcourra le reste avec une vitesse constante qui est la vitesse du vent . Donc, voici les tapes dece calcul: 451- Acclration pour que la montgolfire atteigne la vitesse du vent (15 m/s) On a:Vitesse du dbut =v0 = 0 m/s Vitesse atteindre (final) = vf = 15 m/s Prenons lensemble des forces horizontales et trouvons lacclration : mS v Caa mS v Ca m Fa m Fa Da DT2222 O v est la valeur de la vitesse du vent, 15 m/s. La densit de lair extrieur a a la valeur de la densit au niveau de la mer, soit 1,23 kg/L. S , la surface est de 1006,6 m2. DC, le coefficient de frottement, est de 0,07. La masse du ballon m est de 3487 kg. Rsultat : a = 2,8 m/s2 noter: nous allons utiliser la force de trane originale et non celle que nous avons utilis pour le frottement. 2- Temps pour atteindre la vitesse du vent Avec l'quation de la cinmatique de la vitesse, vf = v0 +at, il est possible de trouver le temps durant lequel la montgolfire acclre:s ttav vtat v vaccaccfaccf36 , 58 , 20 1500+ 463- Dplacement en acclration On peut trouver le dplacementlorsqu'il y a acclration D avec lquation cinmatique du dplacement:m DDt a t v D Dt a t v D Dxx22 , 40) 36 , 5 ( ) 8 , 2 (21) 36 , 5 ( 02121) (220 020 0 + + + + 4- Dplacement sans acclration Sachant que Temps total - Temps du dplacement en acclrant =Tempsdudplacement sansacclration , et quele temps total Ttest d'environ20364,05secondes. Letemps du dplacement en acclrant est de 5,36 secondes. Donc : s tst t tss acc T69 , 2035869 , 20358 36 , 5 05 , 20364 Maintenant, le calcul du dplacement sans acclration en mtres: Dplacement sans acclration SD = Vitesse du vent v * Temps du dplacement sans acclration st .m DDt v DSSs S35 , 30538069 , 20358 15 5 - Dplacement horizontal total parcouru par la montgolfire Finalement, tant donn que: Dplacement horizontal total TD = Dplacement horizontal avec acclration D + Dplacement horizontal sans acclration SD , il est possible de trouver la distance horizontale parcourue par notre montgolfire.47m DDD D DTTS T677 , 1228239722 , 40 35 , 305380+ + Donc, notre montgolfire aura parcouru environ 12 282 397,70 m au total, ce qui quivaut environ 12 282 kilomtres. Ce rsultat est bien videmment trop grand. Parmi les sources d'erreurs probables, lefait d'avoir nous mmechoisi lavaleur decertaines constantes (commecelleducoefficientde frottement) a assurment une trs grande probabilit d'impact sur cette valeur finale. 48Bibliographie Atmosphre normalise dans Wikipdia , [http://fr.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_normalisee], (page consulte le 3 octobre 2010). Loi de Fourier dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Fourier], (page consulte le 8 novembre 2010). Loi de refroidissement de Newton dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_refroidissement_de_Newton], (page consulte le 4 dcembre 2010).HOOREBEECK, Claude Van. Montgolfire : Approche mathmatique et application dun record du monde , [http://www.freepub.be/doc/Record_monde.pdf], (page consulte le 3 octobre 2010). Nivellement baromtrique dans Wikipdia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_nivellement_baromtrique], (page consulte le 3 octobre 2010). 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