Année académique 2010-2011

PROJET DE GENIE CIVIL(Prof. Ph. Boeraeve, A.M. Janssen)

Application n°2: Descente de Charges

Rapport

GALLE AudreyLECLERCQ Maxime

1.Introduction  à  la  problématique  :

    Une   descente   de   charges   pour   dimensionner   la   poutrelle   sur   3   appuis  située  entre  le  Salon  et  la  Salle  à  manger.

Données  du  groupe:-­‐Toiture  composée  d’ardoises  naturelles  (0,35kN/m2)-­‐Murs  constitués  de  blocs  en  béton  cellulaire  (YTONG)  de  classe  C2/400:  γ=4kN/m3

-­‐Planchers  réalisés  en  hourdis  préfabriqués  en  béton  GB13/30:  2,58kN/m2

2.Résolution  de  la  problématique  du  dimensionnement  de  la  poutre:

Etant   donné   que   la   poutre   sur   le   plan  possède   une   âme   de   349  cm,   pour   nos  calculs   nous   préférons   prendre   10cm   d’encastrement   de   chaque   coté   aYin   de  rendre  nos  calculs  plus  sécuritaires.  Dés  lors  notre  poutre  a  une  longueur  totale  de   379   cm.   Plus   la   poutre   est   grande,   plus   le   cas   est   défavorable   donc   plus  sécuritaire.

Nous  effectuons   donc   une  descente   de  charges  en  partant   de  la   toiture  vers   la  poutre  située  entre  le  salon  et  la  salle  à  manger.  

2.1  La  Toiture:

Pour  tous  les  calculs  de  charges  des  éléments  de  la  toiture,  nous  avons  d’abord  analysé   où   se   répartissaient   les   charges   sur   les   étages   inférieurs   ou   chercher  plutôt  quels  éléments  de  la  toitures  répartissaient  leurs  charges  sur  la  poutre  à  dimensionner.

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2.1.1Charges  (variable)  de  la  Neige  sur  la  toiture:

Masse  surfacique  de  la  charge  variable  de  la  Neige  sur  le  toit  =  0,4kN/m2.La  surface  sur  laquelle  repose  la  neige  et    qui  applique  une  charge  repartie  sur  la  poutre  est  donc  située  comme  ci-­‐dessus  (cfr  Aire  délimitée  en  Orange).  Surface=  [(446/2)+20+(426/2)].[105+30+349+(30/2)]=  227544  cm2  =  22,7544m2.PNEIGE=  0,4.  22,7544  =  9,10176  kN  Nous  avons  donc  une  force  résultante  mais  vu  que  nous  avons  ’‘dimensionné’’  notre  poutre  à  une  longueur  de  379cm  et  vu  que  cette  charge  se  reparti  uniformément  sur  la  poutre,  nous  pouvons  la  convertir  en  une  charge  répartie:

PNEIGE  REPARTIE=  9,10176  /  3,79  =  2,4015  kN/m                    

Surface  du  toit:  456  x  (683-­‐120)  =  25,6728m2

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2.1.2  Eléments  structuraux  composant  le  toit  :

La  marche  à  suivre  la  plus  sécuritaire  pour  calculer  ces  éléments,  est  de  prendre  le  tout  sur  une  ‘’largeur  unitaire’’  de  106cm  et  de  l’extrapoler  ensuite  à  la  largeur  totale.  Ainsi  une  ‘‘surface  unitaire  (A)’’  vaut  106  x  456  =  4,8336  m2.

Isolation  (γISOLATION=0,02  kN/m3):

PISOLATION=  A  x  0,02  =  0,096672  kN

Revêtement  de  Yinition  intérieure  (γREV.  FINITION  INTERIEUR=0,1  kN/m3)  :

PREV.  FINITION  INTERIEUR=A  x  0,1=  0,48336  kN

Couverture  en  Ardoises  Naturelles  (γArdoises  Naturelles=0,35kN/m2):

PARDOISES  NATURELLES=  A  x  0,35  =  1,69176  kN

Eléments  en  bois  constituants  la  structure  de  la  toiture  (γBOIS=5  kN/m3):

Sur  une  longueur  de  4,56  m,  il  y  a  12  chevrons    (456/39=11,69).

Chevrons:                                    PPANNES=  12.  0,05  .  0,065  .  1,06  .5  =  0,2067  kN  

Contre-­‐gîtages:                  PCONTRE-­‐GITAGES=  12.  0,02  .  0,04  .  1,06  .  5  =  0,05088  kN

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Lattes:                                                PLATTES=  12.  0,02  .  0,04  .  1,06  .  5  =  0,05088  kN

On  a  une  Panne  sur  1,06m:              PPANNES=  0,225  .  0,075.  4,56  .  5    =  0,38475  kN

Résultante  totale  sur  106  cm    ΣPi  =  2,963902  kN

On  extrapole  alors  sur  la  longueur  de  tout  le  toit:

PTOIT  TOTAL=  2,963902  .  5,63  /  1,06  =  15,742234  kN

Ce  qui  vaut  en  charge  répartie  sur  la  poutre  de  longueur  3,79  m  :

PREPARTIE=  15,742234  /  3,79  =  4,153623  kN/m

PTOTAL  TOIT  +  NEIGE  REPARTIE=  4,153623  +  2,4015  =  6,555129    kN/m

2.2  Les  Murs:

Les  Murs  sont  constitués  de  blocs  en  béton  cellulaire  (YTONG)  de  classe  C2/400:  γ=4kN/m3.Nous  choisissons  de  simpliYier  les  calculs  du  poids  du  mur  reposant  sur  la  poutre  en  prenant  une  porte  pleine,  cela  permet  de  rendre  nos  calculs  plus  sécuritaires  également.   Nous   calculons   également   une   charge   repartie   sur   des   parties   de  murs  rectangulaires  moyenne  au  lieu  de  prendre  des  charges  triangulaires.En   analysant   les  murs   qui   reposent   sur   la   poutre,   nous   séparons   les   charges  réparties   en   deux  catégories:     la   charge   répartie  qui   augmente   la   Ylèche   de   la  poutre   (défavorable=  partie  orange)  et   celle  qui  diminue   la   Ylèche  de  la  poutre  (favorable=  partie  bleue).  On  sait  que  la  pente  du  toit  vaut  30°.  On  peut  donc  calculer  toutes   les  hauteurs  des  triangles  rectangles  formés  au  dessus  des  rectangles  et  grâce  aux  longueurs  des  bases.  

124.tan  30°  =  71,59  cm  255.  tan  30°  =  147,22  cm

(104-­‐15).  tan  30°  =  51,38  cm

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2.2.1  Partie  Défavorable:

Volume   avec   épaisseur   du   mur   de   20   cm   :  VDEFAVORABLE=  2,55.4,05.0,2=  2,0655  m3.

PMUR  DEFAVORABLE=  2,0655.  4  =  8,262  kN

En   charge   répartie   de   la   longueur   de   poutre  sur  laquelle  elle  agit:

PREPARTIE  MUR  DEFAVORABLE=  8,262/2,55  =  3,24  kN/m

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2.2.2  Partie  Favorable:

Volume  avec  épaisseur  du  mur  de  20  cm  :  VDEFAVORABLE=  1,24.2,956.0,2=  0,73088  m3.

PMUR  FAVORABLE=  0,73088.  4  =  2,932352  kN

En  charge  répartie  de  la  longueur  de  poutre  sur  laquelle  elle  agit:

PREPARTIE  MUR  FAVORABLE=  2,932352/1,24  =  2,3648  kN/m

2.3  Les  Planchers:

Les   planchers   sont   réalisés   en   hourdis   préfabriqués   en   béton   GB13/30    (2,58kN/m2).  La  chape  de  Yinition  et  le  carrelage  d’une  épaisseur  totale  de  9cm  ont  une  masse  volumique  de  20kN/m3.

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La côte de 119 = 104 +15. La partie de la poutre encastrée fait 15 cm.

2.3.1  Calculs  surface  1(Charges  Défavorable  en  Vert)  :

2,60.(4,46/2    +  0,2    +  4,26/2  )=  11,856  m2.

Résultante:        R=11,856.  2,58  =  30,5884  kN

Charge  Répartie:  RREPARTIE=  30,5884/2,6  =  11,7648  kN/m  

Carrelage  et  chape  de  Yinition:  11,856  .  0,09  =  1,0670  m3

En  masse:  1,0670  .  20  =  21,3408  kN  et  en  charge  répartie  :  21,3408/2,6  =  8,208  kN/m

2.3.2  Calculs  surface  2  (Charges  Favorable  en  Rouge):

1,19.(4,26/2  +  0,2)  =  2,7727  m2.        Résultante:        R=2,7727.  2,58  =  7,1535  kN

Charge  Répartie:  RREPARTIE=  7,1535/1,19=  6,0114  kN/m  

Carrelage  et  chape  de  Yinition:  2,7727.  0,09  =  0,2495  m3

En  masse:  0,2495.  20  =  4,9908  kN  et  en  charge  répartie  :  4,9908/1,19  =  4,194  kN/m

2.4  Les  Charges  d’exploitation  (2kN/m2  par  pièce  d’habitation):

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2.4.1  Calculs  surface  1(Charges  Défavorable  en  Vert)  :

4,46/2.(2,6-­‐0,15)  +  4,26/2  .  (2,6-­‐0,15)  =  10,682  m2.

Résultante:        R=  10,682.  2  =  21,364  kN

Charge  Répartie:  RREPARTIE=21,364/(2,6-­‐0,15)  =  8,72  kN/m  

2.4.2  Calculs  surface  2  (Charges  Favorable  en  Rouge):

4,26/2  .(1,04)  =  2,2152  m2.

Résultante:        R=2,2152  .  2  =  4,4304  kN

Charge  Répartie:  RREPARTIE=  4,4304/1,04=  4,26  kN/m  

Tableau  Récapitulatif:

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(ELS) Charges Favorables(A1B1)

Charges Défavorables (A2B2)

Permanentes (Coefficient X1) (Coefficient X1)

-Toit 4,1536 kN/m 4,1536 kN/m

-Mur 2,3648 kN/m 4,24 kN/m

-Plancher 6,0114 kN/m 11,7648 kN/m

-Carrelage 4,194 kN/m 8,208 kN/m

Variables (Coefficient X0) (Coefficient X1)

-Charges dʼexploitation 4,26 kN/m 8,72 kN/m

-Neige 2,4015 kN/m 2,4015 kN/m

2.5  Calculs  de  la  Ylèche  :

q1=  4,1536  +  2,3648  +  6,0114  +  4,194  =  16,7238  kN/m  

q2=  4,1536  +  4,24  +  11,7648  +  8,208  +  8,72  +  0,5  .  2,4015  =  38,2871  kN/m

Grande  différences  entre  les  charges  d’exploitation  et  la  neige.

Le   coefYicient   d’accompagnement  Ψ=   0,5   pour   la   neige   car   celle-­‐ci   est   la   plus  petite  charge    et  nous  aborderons  donc  le  cas  le  plus  défavorable.  

On  réalise  une  coupe  à  gauche  de  l’appui  central.  Et  on  calcule  les  Ylèches  dues  à  MI  et  à   la  charge  répartie  (q2).  On  cherchera  une  inertie  de  sorte  que  la  Ylèche  totale  maximale  de  la  poutre  soit  inférieure  au  500ième  de  la  portée  de  celle-­‐ci.

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M.I

Flèche  due  à  q2  =  5  PL4  /  384  E.I  =  5.38,287179.  (2,6)4/  384.  210.106.I  ≤  1,0848  .  10-­‐7/I

Flèche  du  à  MI  :  210.106  kN/m2=    M.L2  /  16.E.I  =  23,1239.  2,62  /  16.210.106.I

=4,6523.10-­‐8/I

Fléche  Totale  =  1,0848.  107/  I      +  4,6523  .10-­‐8/  I            (Le  signe  «+»  devrait  être  un  «-­‐»   car   les   Ylèches  ne   s'additionnent  pas.   Cela   est   le   résultat  d’un  problème  de  communication.  Nous  savons  donc  que  la  Ylèche    calculée  sera  inexacte.  ).

2,6  /500  =  5,2.10-­‐3  ≥  1,5500  .  10-­‐7  /  I      

I  ≥  1,5500.  10-­‐7/  5,2  .  10-­‐3  ≥  2,9809  .  10-­‐5

I≥  2,9809  .  10-­‐5  mm4

1m  =  103  mm     1m4=  1012  mm

I≥  2,9809  .  107  mm4  =  2980,9088.104  mm4

On  choisis  alors  une  poutre  HE  140M  :    

                IY=  3291.104  mm4

       

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La flèche vaut donc : 0,36 mm Ce qui est bien inférieur à 3790/500= 7,58.

σMAX=M.YMAX  /  I  

Tableau  Récapitulatif:

Tout  est  défavorable.

(ELU) Charges Défavorables(A1B1)

Charges Défavorables (A2B2)

Permanentes (Coefficient X1,35) (Coefficient X1,35)

-Toit 4,1536 kN/m 4,1536 kN/m

-Mur 2,3648 kN/m 4,24 kN/m

-Plancher 6,0114 kN/m 11,7648 kN/m

-Carrelage 4,194 kN/m 8,208 kN/m

Variables (Coefficient X1,5) (Coefficient X1,5)

-Charges dʼexploitation 4,26 kN/m 8,72 kN/m

-Neige 2,4015 kN/m 2,4015 kN/m

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Calculs  des  charges  avec  les  coefYicients  :  

q’1=  (4,153629   +   2,3648   +   6,0114   +   4,194).   1,35   +   (4,26+  0,5.   2,0415).   1,5  =  30,498695  kN/m

q’2=   (4,153629   +   4,24   +   11,7648   +   8,208).   1,35   +   (8,72+   0,5.2,0415).1,5   =  52,9062051  kN/m  

80mm  =  8.10-­‐3  m                                              1  kN/m  =  103  N/m                                  104  mm4  =  104.10-­‐12  m4

M.I  =  30,498695.(1,19)3  +  52,9062051.(2,6)3/  8.(3,79)  =  32,36393837  kN.m

Re=  (M.I   .   y   )/   I  =    32,36393835.103.80.10-­‐3/  3291.104.10-­‐12  =   78672594  Pa  =  78,672594  M.Pa

Ce  qui  est   bien  plus   petit  que  235  MPa,  donc  nous  somme  dans   l’intervalle   de  sécurité.  La  poutre  tient  donc  bien.  Le  dimensionnement  est  compatible  avec  la  problématique.    

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3.   Résolution  de   la  problématique   de   la  véri<ication   de   la  maçonnerie  de  façade  :

Valeur  d’une  charge  verticale  concentrée:

3.1  Calculs  de  l’appui  de  la  poutre  :

Σ  MB=  0  =  RA.  1,19  +  MI  =  q1.  1,19.  1,19/2  =>  RA  =  (q1.  1,19  .  1,19  /2  -­‐  MI)  /  1,19  =  q1.  1,19/2  -­‐  MI/1,19  =  -­‐9,049863281  kNm

C’est  donc  de  la  traction.  Ce  qui  est  non  admissible  car  l’appui  ne  reprend  aucune  charge.  Il  ne  sert  donc  à  rien  et  la  poutre  ne  repose  pas  sur  l’appui.  

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3.2  Calculs  de  l’appui  du  balcon  :

On  prend  le  prolongement  des  dimensions  prises  pour  le  calcul  des  charges  du  plancher  sur  la  poutre  (cfr  2.3).  

Surface  =  2.  (4,46/2  +  0,2  +  4,26/2  )  =  9,12m2.  

Poids  terrasse:  0,63  kN/m2      =>    0,63.  9,12  =  5,7456  kN

En  charge  Répartie:    5,7456  /  2  =  2,8728  kN/m

3.3  Etude  du  cas  «ELU»  :  Tout  est  défavorable  :

3.3.1  Cas  1:  Neige  +  Charges  variables  d’exploitation  situées  à  gauche  de  la  colonne:

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Neige:  0,4.(1.  4,56)=  1,824  kN  En  répartie:  comme  c’est  déja  sur  un  mètre  de  longueur:  1,825  kN/m.

Charge  Exploitation:  2.(4,56)  =  9,12  kN  En  répartie:  C’est  sur  un  mètre  aussi  :  9,12  kN/m.

Nous  sommes  en  cas  «ELU»  où  tout  est  défavorable.

=>  q1=(0,5.  1,824  +  9,12).  1,5  +  (2,8728).  1,35=  18,9262  kN/m

Le  coefYicient  d’accompagnement  de  la  neige  vaut  0,5.

=>  q2=  2,8727.  1,35  =  3,8782  kN/m

Σ  MD:    q1.  0,5  +  RT.1  =  q2.  0,5

=>  RT  =  q2.  0,5  -­‐  q1.  0,5  =  (q2-­‐q1).O,5  =  (3,8782  -­‐  18,9262).  0,5  =  -­‐7,524  kN

RT  descend.  

3.3.2  Cas  2:  Neige  +  Charges  variables  d’exploitation  situées  à  droite  de  la  colonne:

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Σ  MD=0  :  q2.0,5  +  RT2.1  =  q1.  0,5

=>  RT2  =  (q1-­‐q2).0,5=  (18,9262  -­‐  3,8782).  0,5  =  7,524  kN.

RT2  monte.

En  résumé  pour  le  cas  1:

Nous  avons  de   la  traction  pure,  ce  qui  est  inadmissible.  La  Résultante  verticale  de   ces   forces   vaut   19,5738   kN.   Le   test   d’inégalité   concernant   la   sécurité   des  murs  soumis  à  une  charge  concentrée  (NSdc  ≤  NRdc  )  n’est  pas  nécessaire  car  il  n’y  a  que  de  la  traction.  

 En  résumé  pour  le  cas  2:

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La  résultante  des  forces  verticales  vaut  donc:  9,0498-­‐7,524  =  1,5228  kN.

Nous  avons  encore  un  cas  où  il  n’y  a  que  de  la  traction,  ce  qui  est  inadmissible.Nous  en  concluons  que   l’appui  ne  résiste  pas   à   la   traction   et  que   la  poutre   se  soulève   alors.   Une   fois   de   plus,   la   vériYication   de   l’inégalité   concernant   la  sécurité   des   murs   soumis   à   une   charge   concentrée   (NSdc   ≤   NRdc   )   n’est   pas  nécessaire.  La  maçonnerie  ne  résiste  pas  à  la  traction.

4.   Résolution  de   la  problématique  du   dimensionnement  de   la  colonne  de  béton  armé  assurant  l’appui  central  de  cette  poutre  :

AYin  de  vériYier  de  dimensionnement  de  la  colonne  de  béton  armé  assurant  l’appui  central  de  la  poutre,  nous  analysons  d’abord  les  charges  qui  agissent  sur  cet  appui.  

Les  charges  réparties  «q’1»  et  «q’2»  sont  les  mêmes  charges  que  celle  calculées  au  point  2.5  du  calcul  de  la  Ylèche.  

q’1=  30,4986  kN/mq’2=  52,9062  kN/mMI=  32,3639  Nm

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Nous  réalisons  une  coupe  dans  la  poutre  juste  à  gauche  de  l’appui  central  (B).  

ΣMB=0  =  RC.2,6  -­‐  q’2.  (2,6/2).2,6  +  MI     RC  =  q’2.  (2,6/2)  -­‐  MI/2,6  =  56,3303  kN

ΣFY=0  

  RB=  -­‐RA-­‐RC  +q‘1.  1,19  +  q‘2  =  9,0498  -­‐  68,7780  +  30,4986.1,19  +  52,9062            =  126,5689  kN

Nous  savons  que  la  colonne  est  constituée  de  béton  armé.  La  section  de  béton  «ABETON»  est  renforcée  par  5  barres  en  acier  de  section  «  AACIER».  Pour  vériYier  l’état  du  dimensionnement  de  la  colonne,  il  faut  vériYier  qu’elle  résiste  aux  charges  qu’elle  reprend  à  l’appui  B  (RB  calculé  ci  dessus).  Le  diamètre  de  la  colonne  sera  de  minimum  18  cm  et  armée  de  minimum  5  barres  de  section  minimum  de  12  mm.  Le  béton  C25/30  résiste  à  une  contrainte  maximale  de  14,17  MPa  et  les  armatures  a  une  contrainte  maximale  de  350  MPa.  

1Pa  =  1N  /  m2

1MPa  =  106  N  /  m2

14,17.  ABETON  +  350.5.AACIER  =  RB

VériYions  cela:

5  barres  en  acier  de  ϕ  12.10-­‐3m

AACIER  =  π.  (12.10-­‐3/2)2=  1,1309.10-­‐4  m2

Surface  des  5  barres:  5.  AACIER  =  5.  1,1309.10-­‐4  m2  =  5,6548  .10-­‐4  m2

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Surface  de  la  section  en  béton:  π.  (18.10-­‐2/2)2-­‐  5,6548  .10-­‐4  =  0,02488  m2

14,17.106  .0,0248  +  350.106  .  5,6548  .10-­‐4  =  550  489  N  =  550,489  kN.

La  charge  que  peut  reprendre  la  colonne  vaut  donc  550,489  kN.  La  résistance  de  la  colonne  est  plus  grande  que  la  charge  à  soutenir  (RB=126,5689  kN),  la  colonne  est  donc  bien  dimensionné  et  résiste  parfaitement  aux  charges  appliquées  sur  elle.    Une  colonne  de  18  cm  de  diamètre  en  béton  et  armée  de  5  armatures  de  12  mm  de  diamètre  est  donc  parfaitement  adaptée.

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