- 21 -

Chapitre II LES EQUATIONS D'ECHANGE

II-1 DEFINITION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE

II-1.1 Coefficients locaux particuliers et coefficient global d'change

Considrons un changeur tubulaire dans lequel on fait circuler deux fluides. Supposons, par

exemple, que le fluide chaud circule l'intrieur des tubes. En rgime permanent, les dbits

massiques de fluides sont constants et la temprature en un point de l'appareil est constante.

Dfinissons un lment de volume de l'appareil pris entre deux sections droites perpendiculaires aux

tubes, situes des distances x et x+dx de l'extrmit par laquelle entre le fluide chaud. Soient c et

f les tempratures moyennes respectives des deux fluides dans cet lment de volume.

Le transfert de chaleur met en jeu trois rsistances :

- une rsistance la convection entre le fluide et la surface interne des tubes (1)

- une rsistance la conduction dans la paroi des tubes (2)

- une rsistance la convection entre la surface externe des tubes et le fluide (3)

Soient hi et he les coefficients superficiels d'change respectifs correspondant aux rsistances (1) et

(3) et dAi et dAe les surfaces correspondantes. Appelons t la conductivit thermique du matriau

constituant les tubes.

Le flux de chaleur dQ chang entre les deux fluides est tel que

eemtii

fc

dAh

1

dA

e

dAh

1

dQ

++

= (1)

f

c

Fluide

x x+dx

Fluide

chaud

- 22 -

dAm est la moyenne logarithmique des aires dAi et dAe.

En fait, dans le calcul des changeurs la rsistance la conduction dans la paroi des tubes n'est pas

la rsistance prpondrante. Aussi, il est d'usage et justifi d'assimiler la moyenne logarithmique

la moyenne arithmtique.

2

dAdAdA eim

+= (2)

NEWTON a propos d'crire

( )fc UdAdQ = (3) Que l'on peut crire

( )UdA

1

dQ fc

=

donc eemtii dAh

1

dA

e

dAh

1

UdA

1++= (4)

hi est appel le coefficient local interne particulier d'change

he est appel le coefficient local externe particulier d'change

U est appel le coefficient local global d'change

Ces coefficients sont des coefficients locaux car leur valeur est susceptible de varier le long des

tubes. Ils s'expriment en kcal/h m2 C Btu/hr ft

2 F ou W/m

2 K.

Il s'agit de choisir pour dA une valeur de rfrence pratique, bien que l'changeur calcul ne

dpende pas de ce choix. Il est d'usage de choisir comme aire de rfrence celle qui correspond la

rsistance thermique la plus grande. Nous avons donc trois possibilits :

m

e

i

dAdA

dAdA

dAdA

=

=

=

(5)

ce qui dfinit trois coefficients globaux d'change tel que :

mmeeii dAUdAUdAUUdA === (6)

Les trois coefficients n'ont de signification que par rapport ces aires de rfrences.

On a alors

i

ee

i

mt

ii

dA

dAh

1

dA

dA

e

h

1

U

1+

+= (7)

Soit encore

i

ee

i

iet

ii

D

Dh

1

D2

DD

e

h

1

U

1+

++=

(8)

Ou De et Di dont respectivement le diamtre extrieur et le diamtre intrieur des tubes.

- 23 -

De mme e

e

iet

e

ii

e h

1

2D

DD

e

D

Dh

1

U

1+

++=

(9)

Et

ie

ee

t

ie

ii

m

DD

D2h

1e

DD

D2h

1

U

1

+

+

+

+

= (10)

Remarques:

- Dans le cas de surfaces planes parallles et le cas des changeurs plaques, les

surfaces de convection sont identiques et il n'existe donc qu'un seul coefficient global d'change U

tel que

eti h

1e

h

1

U

1+

+=

II-1.2 Coefficient d'encrassement

Trs souvent, durant le fonctionnement d'un changeur avec la plupart des liquides et parfois aussi

des gaz, un film d'encrassement se dpose graduellement sur les surfaces d'change. Ces dpts ont

pour effet d'ajouter au cours du temps des rsistances thermiques supplmentaires au transfert,

abaissant ainsi la performance de l'changeur.

C'est pourquoi un nettoyage priodique s'avre indispensable pour maintenir des performances

correctes de l'appareil. La priode dpend du type d'industrie et de la facult des fluides mis en jeu

dans l'changeur dposer plus ou moins rapidement sur les tubes ou les plaques.

Ces dpts sont limins soit par dmontage et nettoyage, soit par traitement chimique

Dans les industries chimique ou ptrolire, on calcule en gnral l'changeur pour que son

nettoyage n'intervienne que lors des grands arrts de l'unit (souvent tous les cinq ans).

Dans l'industrie agroalimentaire, on peut nettoyer tous les jours un changeur.

Le calcul de l'appareil sera donc effectu, en gnral, avec la valeur limite de l'paisseur de ce

dpt. Bien que ces dpts correspondent une rsistance au transfert conductif dans un solide, on

l'exprime sous forme d'une rsistance la convection. On dfinit donc des coefficients

d'encrassement (coefficient de dpt) hdi et hde, des facteurs d'encrassement 1/ hdi et 1/ hde et des

rsistances limites d'encrassement :

edede

ididi

dAh

1R

dAh

1R

=

=

(11)

On peut alors crire :

edeeemtidiii

fc

dAh

1

dAh

1

dA

e

dAh

1

dAh

1

dQ

++++

= (12)

En appelant Us le coefficient global d'change de l'changeur encrass, on obtient

- 24 -

edeeemtidiiis dAh

1

dAh

1

dA

e

dAh

1

dAh

1

dAU

1++

++= (13)

On peut donc dfinir trois coefficients globaux d'change pour l'changeur encrass suivant l'aire de

rfrence :

i

ede

i

ee

i

iet

diisi

D

Dh

1

D

Dh

1

D2

DD

e

h

1

h

1

U

1++

+++=

(14)

dee

e

iet

e

idi

e

ii

se h

1

h

1

D2

DD

e

D

Dh

1

D

Dh

1

U

1++

+++=

(15)

ie

ede

ie

ee

t

ie

idi

ie

ii

sm

DD

D2h

1

DD

D2h

1e

DD

D2h

1

DD

D2h

1

U

1

+

+

+

+

+

+

+

+

= (16)

On remarque que :

edeidis dAh

1

dAh

1

UdA

1

dAU

1+=

(17)

Des ordres de grandeurs des coefficients globaux d'changes et des coefficients d'encrassement pour

certains couples de fluides sont donns dans les tableaux suivant.

ORDRE DE GRANDEUR DES COEFFICIENTS GLOBAUX D'ECHANGE Us

Fluide chaud Fluide froid Us(W/ m2 C)

Gaz

Gaz

Gaz

Liquide visqueux

Liquide peu visqueux

Liquide visqueux

Liquide visqueux

Liquide peu visqueux

Vapeur se condensant

Vapeur se condensant

Vapeur se condensant

Gaz

Liquide visqueux

Liquide peu visqueux

Gaz

Gaz

Liquide visqueux

Liquide peu visqueux

Liquide peu visqueux

Liquide visqueux

Liquide peu visqueux

Liquide en bullition

10 - 50

20 - 50

20 - 80

20 - 50

20 - 80

100 - 200

100 - 300

700 - 1800

200 - 400

1000 - 2000

700 - 1500

- 25 -

COEFFICIENT D'ENCRASSEMENT hd

Fluide hd (W/ m2 C)

Eau distille

Eau de mer

Eau de ville

Eau de rivire filtre

Eau de rivire non filtre

Mazout

Liquides organiques

Saumure

Air industriel

Rsidu de crackage

10000

5000 - 10000

2500 - 5000

2500 - 5000

1500 - 2500

1000

5000

5000

2500

500

II-2 NOMBRES SANS DIMENSION - ANALYSE DIMENSIONNELLE

Il existe trois types de mthodes permettant de dterminer les coefficients d'change de chaleur par

convection :

- Les solutions mathmatiques exactes ou approches des quations de continuit, de quantit de

mouvement et d'nergie thermique qui s'appliquent principalement un coulement en rgime

laminaire

- Les analogies entre les transferts de chaleur et de quantit de mouvement

- L'analyse dimensionnelle du phnomne en appui d'expriences

L'analyse dimensionnelle contribue peu la comprhension du phnomne, elle est inutile sans les

exprimentations correspondantes, par contre elle permet de limiter le nombre d'expriences faire

et regroupe les donnes exprimentales sous forme de nombres adimensionnels plus pratiques

manipuler. Il existe diffrentes techniques pour dterminer les groupes adimensionnels :

- la mthode de BUCKINGHAM (Thorme de BUCKINGHAM)

- la mthode de RAYLEIGH

- La mthode de rduction des quations diffrentielles de bilans lorsque les phnomnes peuvent

tre traduit mathmatiquement. Cette dernire mthode est celle qui conduit des nombres

adimensionnels qui ont une signification physique. Les deux autres ncessitent une comprhension

physique pour tre mise en uvre correctement.

Rappelons ici la nomenclature utilise pour ce chapitre et les suivants :

D Diamtre intrieur ou extrieur de la canalisation L

v vitesse moyenne du fluide LT-1

masse volumique du fluide ML-3

viscosit dynamique du fluide ML-1T-1

viscosit cinmatique du fluide L2T1

L dimension caractristique de la surface L

g acclration de la pesanteur LT-2

coefficient de dilatation volumique pression constante -1

diffrence entre deux tempratures (paroi et fluide)

- 26 -

Cp chaleur spcifique du fluide L2T-2-1

conductivit thermique du fluide MLT-3-1

h coefficient local d'change MT-3-1

U coefficient global d'change MT-3-1

W dbit massique de fluide MT-1

diffusivit thermique L2T-1

Dans le cadre des transferts thermiques on est souvent conduit utiliser les nombres adimensionnels

suivant :

- le nombre de REYNOLDS

DvRe =

qui mesure le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosit pour la convection force

- le nombre de GRASHOF 2

23

gLGr =

qui caractrise le mouvement du fluide provoqu par les variations de temprature pour la

convection naturelle et joue un rle analogue au nombre de Reynolds

- le nombre de PRANDTL

CPr

p=

que l'on peut crire encore

CPr

p=

= et qui est le rapport de deux diffusivits (quantit

de mouvement et thermique).

Pour les gaz, Pr est infrieur 1 et ne varie pas avec la temprature, pour les liquides usuels, Pr est

suprieur 1. Pour les mtaux liquides, Pr est trs petit.

- le nombre de PECLET PrRe

DvvPe

p==

que l'on peut considrer comme le rapport du flux d'nergie thermique transport par degr par le

fluide en mouvement au flux d'nergie thermique transfr par conduction.

- le nombre de NUSSELT

=

hDNu

qui reprsente le rapport du flux de chaleur globalement transfr au flux de chaleur transfr par

conduction et que l'on peut interprter aussi comme le rapport du diamtre du tube l'paisseur du

film de fluide dans lequel se trouverait concentr le gradient de temprature

- le nombre de STANTON vC

h

PrRe

NuSt

p

==

qui mesure le flux de chaleur globalement transfr dans le fluide au flux de chaleur transport par

le fluide en mouvement.

Notons que tout produit ou rapport de nombre sans dimension est un nombre sans dimension, la

plupart de ces nombres ont un quivalent lorsqu'on s'intresse au transfert de matire et qu'il existe

galement des nombres sans dimension rsultant du rapport de deux nombres sans dimension

quivalent pour le transfert de chaleur et le transfert de matire.

Exemple d'application au transfert de chaleur en convection force l'intrieur d'un tube :

- 27 -

Considrons un fluide s'coulant l'intrieur d'une canalisation de diamtre D et de longueur L. Le

coefficient d'change de chaleur la surface tube h est une fonction

- des proprits physiques du fluide , , Cp,

- de sa vitesse moyenne v

- des caractristiques de la canalisation D, L

On peut donc crire

h = f(, , Cp, , v, D, L) (18)

Bien sr, si l'on oublie des proprits physiques ayant une influence sur le coefficient ou d'autres

paramtres, le rsultat de l'analyse dimensionnelle sera faux.

RAYLEIGH admet que la fonction peut se dvelopper en srie de la forme :

iiiiiii p

1i

i LDvCah

=

= (19)

Chaque terme de la srie a la dimension de h, soit :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] iii

iiii

1

1312211313

LLLT

MLTTLTMLMLMT

=

(20)

Cette quation aux dimensions doit tre vrifie pour chacune des units fondamentales, soit :

[ ][ ][ ][ ] ii

iiii

iiiiiii

iii

1:

32- 3:T

230:L

1:M

=

=

+++++=

++=

(21)

7 inconnues et 4 quations, on peut donc calculer 3 variables par rapport aux autres

1

1

iii

ii

ii

iii

=

=

=

=

(22)

par suite iii

p

1i

iD

L

C

Dv

D

ah

=

=

(23)

ou

=

D

L,

C,

Dvg

hD p (24)

Suivant le choix des variables, nous aurions pu obtenir d'autres nombres sans dimension avec

ventuellement aucune signification physique.

Plus simplement on aurait pu dire qu'il existe h fonction de 7 variables (au total 8) avec 4 units

fondamentales. Il existe donc une relation entre 4 (8-4) nombres sans dimension reprsentant le

phnomne. L'analyse dimensionnelle ne prdit pas le type de relation que l'on va trouver.

- 28 -

En tudiant un nombre adimensionnel par rapport aux trois autres, on cherche ensuite une "bonne"

relation traduisant les rsultats exprimentaux dans une plage donne de variations des nombres

sans dimension.

Pour 104 < Re < 12.10

4

0,6 < Pr < 120

L/D > 60

Mc ADAMS effectuant une synthse de nombreux rsultats exprimentaux, a trouv que la relation

4.0

p

8,0

C

Dv023,0

hD

=

(25)

rendait compte des rsultats avec une prcision de l'ordre de 10%

II-3 DETERMINATION DE L'AIRE D'ECHANGE - UTILISATION DE LA

DIFFERENCE DE TEMPERATURE MOYENNE LOGARITHMIQUE DANS

LES ECHANGEURS TUBULAIRES

Considrons un fluide chaud et un fluide froid s'coulant dans un changeur tubulaire. En rgime

permanent, les tempratures des deux fluides sont fixes en un point mais varient tout au long de

l'changeur.

L'allure des profils de tempratures est reprsent sur les figures suivantes. Par convention nous

noterons 1 les tempratures des fluides l'extrmit par laquelle entre le fluide chaud et 2 les

tempratures des fluides l'autre extrmit.

f1

c1

c2

f2

c1

f2

c2

f1

- 29 -

On constate que, dans les changeurs co-courant, la temprature la plus basse du fluide chaud

dans l'appareil est ncessairement suprieure la temprature la plus leve du fluide froid.Par

contre, dans les changeurs contre-courant, la temprature de sortie du fluide chaud peut tre

infrieur la temprature de sortie du fluide froid.

Le fonctionnement contre-courant est donc plus efficace que celui co-courant.

Dans le cas des changeurs multipasses, le fontionnement est moiti co-courant, moiti contre

courant et les profils de tempratures sont plus complexes.

f2

c2

f1

c1

co-courant

c1

f2

c2

f1

contre-courant

- 30 -

II-3.1 Echangeurs une seule passe

Nous traiterons dans ce cours uniquement les appareils contre courant. Les appareils co-courant

se traitent de manire similaire et nous n'en donnerons que les rsultats.

f2

WcCc

c1 c2 c+d c

f1

f+d f f

c Fluide chaud

Fluide froid WfCf

- 31 -

Considrons un changeur tubulaire et supposons que le fluide chaud circule l'intrieur des tubes.

Soient Wc son dbit massique et Cc sa chaleur spcifique. Appelons Wf et Cf respectivement le

dbit et la chaleur spcifique du fluide froid. Nous supposerons que les chaleurs spcifiques sont

constantes dans l'changeur. Considrons un lment de volume de cet changeur limit par deux

sections droites situes respectivement x et x+dx de l'entre du fluide chaud (l'extrmit 1).

Soit dQ le flux de chaleur chang entre les deux fluides travers la surface dA

On peut crire

( ) ( )UdAUdAdQ fc ==

Le problme rsoudre pour obtenir l'aire d'change de l'appareil est l'intgration de cette quation

en remarquant que et le coefficient global d'change U varie avec x (U dpend des coefficients locaux d'change eux-mme fonction des tempratures par l'intermdiaire des proprits physiques.

Le flux de chaleur dQ est cd par le fluide chaud :

ccc dCWdQ = (26)

Il est gagn par le fluide froid

fff dCWdQ = (27)

Soit en combinant les deux quations

( )

ffcc CW

1

CW

1

ddQ

= (28)

Posons

ffcc CW

1

CW

1 = (29)

On en dduit

( )

ddQ = (30)

En combinant les quations on obtient

( )

UdA

d= (31)

- 32 -

1er cas U constant le long de l'appareil

Considrons que le coefficient global d'change ne varie pas avec la distance (U Constant)

Les quations s'intgrent entre les extrmits 1 et 2 de l'changeur

( )

=2

1

2

1

dAU

d (32)

=2

1

2

1

ddQ (33)

=2

1

ccc

2

1

dCWdQ (34)

=2

1

fff

2

1

dCWdQ (35

Soit UA

Ln

2

1= (36)

( ))(CW)(CW

Q f2f1ffc2c1cc

21==

= (37)

D'ou ( )

2

1

21

Ln

UAQ

= (38)

Ou A est l'aire d'change

f2c22

f1c11

=

=

(39)

L'quation 38 peut encore s'crire :

mlUAAQ =

(40)

Bien sr la moyenne logarithmique est symtrique

( ) ( )

1

2

12

2

1

21

Ln

UA

Ln

UAQ

=

= (41)

- 33 -

Si 1=2 on peut dmontrer que 1UAAQ = (42)

Pour un co-courant la dmonstration conduit

)(CW)(CWQ f1f2ffc2c1cc == (43)

et

mlUAAQ =

(44)

Exemple : 10 T/h dhuile scoulant dans un tube est refroidie de 100 40 C par de leau liquide

passant de 20 40 C. Le coefficient global dchange Us est gal 300 W/m2 K

Fluide Eau Huile

Masse volumique (kg/m3) 992 902

Chaleur Spcifique (J/kg C) 4185 1520

Calculer laire dchange ncessaire contre courant et co courant.

Q=WCp soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W

A contre courant

=

1

2

12

Ln

AUQ soit

Fluide chaud

f2

WcCc

c1 c2 c+d c

f1

f+d f f

c

Fluide froid WfCf

- 34 -

( ) ( )C41.36

40100

2040Ln

401002040ml =

=

A=23,2 m2

A co courant

( ) ( )C0

20100

4040Ln

201004040ml =

=

Il nous faudrait donc une aire d'change infinie, ce qui montre bien que le co courant est moins

efficace que le contre courant

2me cas U varie le long de l'appareil

Les coefficients locaux d'change hi et he dpendent des proprits physiques des fluides et sont

donc fonction de leurs tempratures. En intgrant les quations 26 et 27 entre l'extrmit 1 de

l'appareil et une abscisse variable on peut dduire la relation entre c et f en chacun des points de l'appareil. On peut galement dterminer le coefficient global d'change de l'appareil U en fonction

de = (c - f). On peut diviser cette courbe en segments que l'on assimilera des droites

Soit U=Uci (1+ni ) l'quation de la droite sur le segment i

L'quation s'crit donc

( ) ( )dAn1U

dici += (45)

Qui intgre entre les extrmits i et i+1 s'crit

icii1i1i

1iii AU)n(1

)n(1Ln =

+

+

++

+ (46)

i

i

i+

Ui

Ui+1

- 35 -

Ou Ai est l'aire du tronon i de l'changeur.

En liminant entre les quations, il vient

( )

)n(1

)n(1Ln

AUQ

i1i1i

1iii

1iiicii

++

+

+

+

+

= (47)

En remarquant que

( ) 1iii1i1iici UUU +++ = (48)

On en dduit que

( )

i1i

1ii

1iii1iii

U

ULn

UUAQ

+

+

++ =

(49)

Il suffit donc de calculer la surface pour chaque tronon et d'ajouter les surfaces correspondantes.

Remarques : si l'on considre un seul segment sur tout le domaine, on obtient

( )

21

12

1221

i

U

ULn

UUAQ

= (50)

Ce qui est la plupart du temps suffisant

Exemple : 10 T/h dhuile scoulant dans un tube est refroidie de 100 40 C par de leau liquide

scoulant contre courant dans lespace annulaire dun changeur double tube et passant de 20

40 C. Le coefficient global dchange Us varie avec la diffrence de temprature entre lhuile et

leau comme suit :

Diffrence de temprature(C) 20 30 40 50 60

Us (W/m2 K) 223 256 289 322 355

Fluide Eau Huile

Masse volumique (kg/m3) 992 902

Chaleur Spcifique (J/kg C) 4185 1520

Calculer laire dchange ncessaire.

- 36 -

Q=WCp soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W

La courbe U=f(c-f) est une droite. Nous pouvons donc calculer laire dchange :

=

12

21

1221

U

ULn

UUAQ soit

=

60*223

20*355Ln

60*22320*355A253333

A=25,56 m2

Les quations d'changes sont valables galement dans le cas ou l'un des fluides change d'tat si

toutefois ce changement se passe temprature constante (condensation d'une vapeur pure sature

par exemple)

200220240260280300320340360380

20 25 30 35 40 45 50 55 60Diffrence de temprature

Coef

ficie

nt d

'ch

ange

- 37 -

II-3.2 Echangeurs multipasses

Dans ce cas, le problme est plus complexe. Les auteurs ont cherch des solutions analytiques

reprsentant le flux chang. Ils ont exprim le flux sous la forme :

mlAYUQ =

ou ml reprsente la diffrence de temprature contre courant et Y est un coefficient correctif qui est infrieur 1. Notons que dans la conception des changeurs on fera en sorte que ce coefficient

correctif soit suprieur 0,8 pour garantir que la surface d'change utilise le soit avec une bonne

efficacit.

Examinons le cas d'un appareil 1-2, soit avec une passe ct calandre et 2 passes ct tubes

Soit WA, CpA, WB, CpB les dbits massiques et les capacits calorifiques des courants A et B

respectivement. On supposera que :

-Le rgime est permanent

-Les chaleurs spcifiques et le coefficient global d'change sont constant

-Les tempratures sont uniformes sur une section droite de l'coulement.

Effectuons les bilans thermiques entre les plans a et b, globalement, sur la surface dA.

Entre a et b : Entre - Sortie = 0

0)(CpW)(CpW B2BBBAIIAIAA =+ (51)

)(CpW)(CpW AIAIIAAB2BBB = (52)

Posons BB

AA

CpW

CpWR = (53)

B

B1

B2

B + dB

AI AI + dAI

AII + dAII

A1

A2

AII

dA

- 38 -

On obtient )R()( AIAIIB2B = (54)

Sur l'aire dA on crit un bilan sur le fluide AI, un sur le fluide AII et un sur le fluide B

)(2

dAUdCpW AIBAIAA = (55)

)(2

dAUdCpW BAIIAIIAA = (56)

)(2

dAU)(

2

dAUdCpW AIIBAIBBBB += (57)

Posons dACpW

Ud

AA

= (58)

On obtient donc :

)(2

1

d

dAIB

AI= (59)

)(2

1

d

dAIIB

AII= (60)

et

+= )(

2

1

d

d

R

1AIIAIB

B (61)

En diffrentiant cette dernire expression et en remplaant les dA l'aide des quations prcdentes on obtient :

)(R

1

d

d

d

d

R

1AIAII

B

2

B

2

+= (62)

En utilisant la premire quation, il vient :

04

)(

d

dR

d

d B2BB2

B

2

=

+ (63)

Posons B2B1

B2B

= (64)

- 39 -

Il vient donc l'quation avec les deux conditions aux limites suivantes :

===

==

=

+

0CpW

UA

10

04d

dR

d

d

TAA

2

2

(65)

La solution gnrale de cette quation est

+= 2r1r veue (66)

r1 et r2 tant solution de 04

1Rrr2 =+

Soit 2

1RR2r

2

1RR1r

22 +=

++= (67)

Les deux conditions aux limites donnent

====

=+=

+

A

CpA

W

UA1

2R

1r

2r

T ee

e

v

u0

1vu0

T

T (68)

D'o l'on pourrait tirer u et v

L'quation 61 pour =0 s'crit

0)(2

1

d

d

R

12A1A1B

B=

+=

(69)

Soit en remplaant dB par sa valeur :

vr2ur1)(2

1

RA2A1B1

B2B1

+=

+

(70)

vr2ur1)(2

1

1A2A1B1

A1A2

+=

+

(71)

vr2ur1

2

1

A1A2

B1A1

A1A2

B1A2 +=

+

(72)

- 40 -

Posons A1B1

A1A2

E

= (73)

2vr1urE

11

E

1

2

1+=

+ soit 2vr1ur

2

1

E

1+=+ (74)

Que l'on peut multiplier par u+v qui est gal 1 pour obtenir :

( ) ( ) 02EE2r2v2EE1r2u =+++ (75)

( )( )1r21E2

2r21E2e

e

e

v

uA

CpA

W

UA1

2R

T1r

T2r

===

+

(76)

+++

++

+=

1R1RE2

1R1RE2

Ln1R

1

CpW

UA

2

2

2AA

(77)

On peut crire le flux de chaleur quel que soit le fluide chaud :

( ) ( )

( )( )

( )A1A2AAA1B2

A2B1

A1B2A2B1 CpW

Ln

UAYQ =

= (78)

( )

( ) ( )( )( )A1B2

A2B1

A1B2A2B1

A1A2

AA

Ln

Y

CpW

UA

= (79)

Or ( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

RE1

E1

1

1

A1A2

A1A2

A1B1

B1B2

A1B1

A2A1

A1B1

A1B2

A1B1

A2B1

A1B2

A2B1

=

+

+

=

=

(80)

Et ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 1R1

A1A2B2B1

A1A2

A1B2A2B1

A1A2

=

=

(81)

- 41 -

( )

( ) Y1R1RE21R1RE2

Ln

1R

1

RE1

E1Ln

1R

1Y

CpW

UA

2

2

2AA

+++

++

+=

= (82)

D'o l'on tire

( )( )

( )

+++

++

+

=

1R1RE2

1R1RE2

Ln1R

RE1

E1Ln1R

Y

2

2

2

(83)

Reprenons l'quation 82 et montrons que les courants A et B joue un rle symtrique.

En inversant A et B il vient

Posons 'R

E

'Eet

R

1

CpW

CpW'R

B1A1

B1B2

AA

BB=

=== (84)

On remplace donc dans l'quation

+++

++

+

=

1'R

11

'R

1'R'E2

1'R

11

'R

1'R'E2

Ln

1'R

1

1

CpW

UA

2

2

2

AA

(85)

+++

++

+=

1'R'R1'E2

1'R'R1'E2

Ln1'R

'R

CpW

UA

2

2

2AA

(86)

+++

++

+=

1'R'R1'E2

1'R'R1'E2

Ln1'R

1

CpW

UA

2

2

2BB

(87)

On voit donc que la formule est symtrique en A et B ce qui est vrai galement pour le Y.

Des abaques ont t tablis pour les principales configurations d'changeurs de chaleur. Ils donnent

la valeur du coefficient Y en fonction de E avec pour paramtre R.

- 42 -

Coefficient correctif pour un changeur 1-n

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,2

0,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468101520

- 43 -

Coefficient correctif d'un changeur 2-n

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,2

0,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468101520

- 44 -

Coefficient correctif d'un changeur 3-n

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,2

0,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468101520

- 45 -

Coefficient correctif d'un changeur 4-n

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,2

0,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468101520

- 46 -

Coefficient correctif courant croiss

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,2

0,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468

101520

(WC)max mlang(WC)min non mlang

- 47 -

Coefficient correctif courants croiss

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1E

Y

0,1

0,20,5

0,4

0,3

0,6

0,7

0,8

0,91

2,5

1,2

1,4

1,6

1,823468

101520

(WC)max non mlang(WC)min mlang

- 48 -

II-4 EFFICACITE D'UN ECHANGEUR DE CHALEUR

II-4.1 Dfinition

Les quations 37 et 38 sont d'une utilisation simple lorsque l'on souhaite calculer la surface

d'change ncessaire pour raliser un chauffage ou un refroidissement d'un fluide donn. La

premire ou la seconde nous permet de calculer le flux de chaleur, la seconde ou la premire la

temprature de sortie ou le dbit de l'utilit. La dernire, enfin nous sert calculer l'aire d'change.

L'utilisation de ces quations pour la simulation d'un changeur existant, c'est dire lorsque

l'appareil est fix ainsi que les tempratures d'entre et les dbits des fluides, est plus dlicate. Les

inconnues (les tempratures de sorties et le flux de chaleur) sont telles que nous avons un systme

non linaire rsoudre. Il est alors plus commode d'utiliser une mthode base sur la notion

d'efficacit thermodynamique d'un changeur.

Cette efficacit E est dfinie comme le rapport du flux de chaleur rellement chang dans l'appareil

Q, au flux maximum qui pourrait tre chang dans un appareil de surface infinie fonctionnant

contre courant (c'est dire la limite thermodynamique du flux) Qmax. Les dbits et tempratures

d'entre des deux fluides restent bien sr identiques et donc le coefficient global d'change U.

L'changeur initial pouvant tre quelconque nous appellerons fe la temprature d'entre du fluide froid et fs la temprature de sortie du fluide froid. Dfinissons le flux maximum Qmax

Les quations d'changes sont :

)(CWQ c2c1cc = (88)

)(CWQ fefsff = (89)

( ) ( )

( )( )fec2

fsc1

fec2fsc1

Ln

UAQ

= (90)

Pour un fonctionnement contre courant, la surface A tendant vers l'infini et le flux tendant vers

une valeur finie, une des diffrences de tempratures de la moyenne logarithmique doit tendre vers

zro. Envisageons les deux schmas suivant :

fe

c1

c2 fs

fe

c1

c2 fs

- 49 -

Lorsque l'on augmente l'aire pour la faire tendre vers l'infini, la temprature c2 diminue et la temprature fs augmente tout en vrifiant les deux quations 88 et 89. On voit donc que dans le premier cas c2 diminuera plus vite que n'augmentera fs et dans le second cas, l'inverse se produira. On en dduit que A tendant vers l'infini, c2 tends vers fe dans le premier cas et fs tends vers c1 dans le second cas.

Dans le premier schma, )()( fefsc2c1 > donc ffcc CWCW <

Dans le second schma les ingalits sont inverses. On peut donc crire dans les deux cas que :

( ) )(WCQ fec1mmax = (91)

o (WC)m reprsente le plus petit des (WC).

Ainsi, l'efficacit d'un changeur est :

( )( ) ( )

( )( ) ( )fec1m

fefsff

fec1m

c2c1cc

WC

CW

WC

CWE

=

= (92)

et le flux de chaleur chang

( ) )(WCEQ fec1m = (93)

II-4.2 Dtermination de l'efficacit

On supposera le coefficient global d'change constant le long de l'changeur

Nous dmontrerons uniquement l'efficacit contre courant.

Dans ces conditions, la temprature d'entre du fluide froid devient f2 et la temprature de sortie f1 On a donc :

cc

c2c1c2c1ccCW

Q)()(CWQ == (94)

ff

f2f1f2f1ffCW

Q)()(CWQ == (95)

( ) ( )mf2c1f2c1m WCEQ

)()(WCEQ == (96)

- 50 -

( ) ( )

( )( )f2c2

f1c1

f2c2f1c1

Ln

UAQ

= (97)

Dterminons la valeur des diffrences de tempratures aux extrmits

( ) ffmf1f2f2c1f1c1 CWQ

WCE

Q)()()( =+= (98)

( )mccf2c1c1c2f2c2 WCEQ

CW

Q)()()( +=+= (99)

Remplaons dans la dernire quation

( ) ( )

( )

( )

=

ccm

ffm

ccmffm

CW

Q

WCE

Q

CW

Q

WCE

Q

Ln

CW

Q

WCE

Q

CW

Q

WCE

Q

UAQ (100)

Remarquons tout d'abord que cette formule est symtrique pour les deux fluides, en remplaant les

indices f et c nous obtenons la mme formule, ce qui signifie que nous pouvons choisir le fluide qui

a le plus petit WC. Que ce soit le fluide chaud ou froid, nous obtiendrons le mme rsultat.

Choisissons par exemple (WC)m = WfCf et donc appelons (WC)M = WcCc , simplifions par Q

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

Mm

mm

Mmmm

WC

1

WCE

1

WC

1

WCE

1

Ln

WC

1

WCE

1

WC

1

WCE

1

UA1 (101)

- 51 -

( ) ( )

( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )

=

=

EWC

WC1

E1Ln

WC

WC1

WC

UA

EWC

WC1

E1Ln

WC

1

WC

1

UA1

M

m

M

m

m

M

m

mM (102)

( )( )

( )( )( )

=

M

m

m

M

m WC

WC1

WC

UA

EWC

WC1

E1Ln (103)

On en dduit donc

( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )

=

M

m

mM

m

M

m

m

WC

WC1

WC

UAexp

WC

WC1

WC

WC1

WC

UAexp1

E (104)

Nous dfinissons

( )( ) ( )mmaxM

m

WC

UANUTet

WC

WCR ==

pour obtenir (105)

( )( )( )( )R1NUTexpR1

R1NUTexp1E

max

max

= (106)

Pour un changeur co-courant, on peut montrer de la mme manire que

( )( )R1

R1NUTexp1E max

+

+=

(107)

Pour un appareil 2 passes cot tubes nous avons dj tablit la relation entre NUTA, R et E et

montr sa symtrie sur les deux fluides et donc en supposant que le fluide A correspond au (WC)m

il vient :

- 52 -

( )

+++

++

+=

1R1RE2

1R1RE2

Ln

1R

1

WC

UA

2

2

2m

(108)

d'o nous tirons

( )

+++

++

=

+

1R1RE2

1R1RE2

1RWC

UAexp

2

2

2

m

(109)

( )

( )

++

+

+++

+

=

1R1R1RWC

UAexp1R1R

21RWC

UAexp2

E

22

m

2

2

m (110)

ou bien

( )

( )

+

++

+++

=

1RWC

UAexp1

1RWC

UAexp1

1R1R

2E

2

m

2

m2

(111)

Il est possible de dfinir 2 nombres d'units de transfert pour un changeur :

ff

fcc

cCW

UANUTet

CW

UANUT == (112)

Sachant que

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

ml

2f2c

1f1c

2f2c1f1c2f1fff2c1ccc UAY

Ln

UACWCW =

==

(113)

on obtient :

( ) ( )

ml

2f1f

fff

ml

2c1c

ccc

YCW

UANUTet

YCW

UANUT

==

== (114)

- 53 -

Le nombre d'units de transfert d'un changeur reprsente donc le rapport entre la diffrence de

temprature sur le fluide considr la diffrence de temprature moyenne d'change.

Vu sa dfinition, les nombres d'units de transfert de deux changeurs en srie sur un fluide

s'ajoutent.

Efficacit de deux changeurs en srie :

Les changeurs sont en srie mais chaque changeur est quelconque.

Nous allons supposer que Mffmcc WCCWetWCCW == tout en notant que l'inverse nous

donnerait la mme solution.

c3c1

f3f1

c2c1

f2f1

c3c2

f3f2

ff

cc

CW

CWR

=

=

== (115)

f2c2

c3c2

f2c1

c2c1

f3c1

c3c1

E2

E1

E

=

=

= (116)

Calculons ;:

f3c1

c3c1

c3c1

f3f1

f3c1

c3c1

1

1

RE1

E1

=

(117)

f1c1

f3c3

f3c1

f3f1f3c1

f3c1

c3c1f3c1

f3c1

f3f1

f3c1

c3c1

1

1

=

+

+

=

=

f2c2

f3c3

f1c1

f2c2

RE21

E21et

RE11

E11

=

=

(118)

RE1

E1

2RE1

2E1x

1RE1

1E1

=

(119)

que l'on peut gnraliser pour n changeurs en srie

c2 c3

f2 f1 f3

c1 E1 E2

- 54 -

=

=

n

1i i

i

RE1

E1

RE1

E1 (120)

Cette relation nous permet donc de dduire l'efficacit d'un appareil 2 passes ct calandre partir

de celle d'un appareil une passe ct calandre.

Rsum des formules d'efficacit pour diffrents changeurs

co courant

( )( )R1

R1NUTexp1E max

+

+=

(121)

contre courant

( )( )( )( )R1NUTexpR1

R1NUTexp1E

max

max

= (122)

1-2

( )

( )

+

++

+++

=

1RWC

UAexp1

1RWC

UAexp1

1R1R

2E

2

m

2

m2

(123)

n passes ct calandre n

1

1

n

1

1

RE1

E1R1

RE1

E11

E

= (124)

E1 tant l'efficacit d'un changeur 1 passe ct calandre

Echangeur courants croiss les deux fluides non mlangs

( ) ( )[ ]

R

1NUTRexpavecNUTexp1E

78.0max22.0

max

== (125)

Echangeur courants croiss (WC)max fluide mlang (WC)min fluide non mlang

( ) ( )maxNUTexp1avecR

Rexp1E ==

(126)

Echangeur courants croiss (WC)min fluide mlang (WC)max fluide non mlang

- 55 -

( )maxRNUTexp1avecR

exp1E =

=

(127)

Les quations correspondantes ont t traduites sous forme d'abaques que l'on trouve dans la

littrature consacre aux changeurs de chaleur. Dans ce polycopi, nous ne donnerons que certains

de ces abaques

Exemple: Dterminer lefficacit dun changeur , en supposant le coefficient global dchange

indpendant de la temprature, permettant de refroidir une huile de 80 30 C laide deau qui

passe de 20 35 C.

En supposant que cet changeur fonctionne contre courant dterminer son Nombre dUnit de

Transfert Maximum.

En supposant que cet changeur est un changeur 1-2 dterminer le coefficient correctif Y de

lquation Q=UAYml .

Lefficacit dun changeur est donne par :

( )( ) ( )

( )( ) ( )fecem

fefs

fecem

csce

WC

WfCf

WC

WcCc

maxQ

QE

=

==

Dans notre cas la diffrence de temprature du fluide chaud est plus grande que celle du fluide

froid, le (WC)m est donc celui du fluide chaud soit

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) 8333,02080

3080

WC

WcCcE

fece

csce

fecem

csce=

=

=

=

A contre courant, ( )( ) maxNUTR1

maxNUTR1

Re1

e1E

=

soit( )

( )RE1E1

LnR1

1maxNUT

=

R est gal au rapport des diffrences de tempratures

( )( )

( )( )

( )( ) 3,03080

2035

WC

WCR

csce

fefs

M

m=

=

==

( )( ) 15,2833,0*3,01

833,01Ln

3.01

1maxNUT =

=

coefficient correctif Y :

( )( )

( )( ) 8333,02080

3080E

fece

csce=

=

= et ( )( )

( )( ) 3,03080

2035R

csce

fefs=

=

=

Sur labaque, il nest pas possible de trouver une valeur de Y car elle est infrieure 0,5 (0,47 par la

formule). Cela montre que cet changeur nest pas intressant !!!

- 56 -

Efficacit d'un changeur contre courant

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax

Effic

acit

R=Wcmin/Wcmax

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0

R=0,25

Efficacit d'un changeur co courant

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax

Effic

acit

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0

R=0,25

R=Wcmin/Wcmax

- 57 -

Efficacit d'un changeur courants croiss fluides non mlangs

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax

Effic

acit

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0R=0,25

R=Wcmin/Wcmax

Efficacit d'un changeur courants croiss

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax

Effic

acit

R=Wcmin/Wcmax

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0

R=0,25

Wcmin non mlangWcmax mlang

- 58 -

Efficacit d'un changeur 1-2

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5NUTmax

Effic

acit

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0

R=0,25

R=Wcmin/Wcmax

Efficacit d'un changeur courants croiss

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

NUTmax

Effic

acit

R=Wcmin/Wcmax

R=1

R=0,50

R=0,75

R=0

R=0,25

Wcmin mlangWcmax non mlang

Nom du document : ECHANGEURS DE CHALEURV_DHET.doc

Rpertoire : C:\Documents and Settings\Denis.Barreteau\Mes

documents\Enseignement\formation continue

Modle : C:\Documents and Settings\barretea\Application

Data\Microsoft\Modles\A7.dot

Titre : ECHANGEURS DE CHALEUR

Sujet :

Auteur : BARRETEAU

Mots cls :

Commentaires :

Date de cration : 26/10/2006 16:01:00

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Dernier enregistr. le : 26/10/2006 16:04:00

Dernier enregistrement par : Denis Barreteau

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