Projet de Fin d’Études -...

INSA DE STRASBOURG – SPECIALITE GENIE-CIVIL

Projet de Fin d’Études

Élaboration d’un cahier des charges pour la programmation d’un logiciel de calculs de structures de ponts mixtes aux Eurocodes

GLANES Julien Elève ingénieur de 5ème année

Tuteur entreprise : Péron Marie-Véronique Enseignant superviseur : Zink Philippe

INSA de Strasbourg – Projet de fin d’études INGEROP – Expertises et Structures

GLANES Julien – Élève de 5ème

année – Spécialité Génie-Civil 2/147

Sommaire

Sommaire ................................................................................................................................... 2 Remerciements ........................................................................................................................... 7 Introduction ................................................................................................................................ 8 1 Principe ............................................................................................................................. 10 2 Préprocesseur – Cas de la poutre droite ........................................................................... 12

2.1 Généralités ................................................................................................................. 12 2.2 Données d’entrée ....................................................................................................... 13

2.2.1 Géométrie ........................................................................................................... 13 2.2.2 Matériaux ........................................................................................................... 18 2.2.3 Actions ............................................................................................................... 21

2.3 Prise en compte de la fissuration du béton et du traînage de cisaillement ................ 41 2.3.1 Fissuration du béton ........................................................................................... 41 2.3.2 Traînage de cisaillement ..................................................................................... 42

2.4 Modélisation du tablier .............................................................................................. 44 2.4.1 Création des nœuds ............................................................................................ 44 2.4.2 Création des barres ............................................................................................. 44 2.4.3 Calcul des caractéristiques mécaniques des barres ............................................ 45

2.5 Modélisation des chargements ................................................................................... 46 2.5.1 Organisation des calculs ..................................................................................... 46

2.5.2 Charges permanentes à long terme ..................................................................... 48 2.5.3 Charges permanentes à court terme ................................................................... 48 2.5.4 Chargements dus aux actions variables .............................................................. 49

3 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons ............................................................ 50

3.1 Géométrie .................................................................................................................. 50 3.1.1 Charpente métallique .......................................................................................... 50 3.1.2 Raidisseurs ......................................................................................................... 51

3.1.3 Dalle béton ......................................................................................................... 52 3.1.4 Appuis ................................................................................................................ 52

3.2 Traînage de cisaillement ............................................................................................ 52 3.3 Calcul des caractéristiques – Prise en compte de la torsion ...................................... 53

4 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons courbes ............................................... 54 4.1 Géométrie .................................................................................................................. 54 4.2 Actions – Force centrifuge ........................................................................................ 55

5 Préprocesseur – Particularités des ponts bipoutres biais et courbes ................................. 56 5.1.1 Géométrie du tablier ........................................................................................... 56

5.1.2 Modélisation des appuis ..................................................................................... 56

6 Post processeur ................................................................................................................. 57

6.1 Généralités ................................................................................................................. 57 6.2 Données d’entrée supplémentaires ............................................................................ 58 6.3 Choix des sections à vérifier ...................................................................................... 58 6.4 Classification des sections et calcul des sections efficaces ....................................... 58

6.4.1 Traînage de cisaillement ..................................................................................... 58

6.4.2 Classification de la section ................................................................................. 62 6.4.3 Influence du voilement sur les sections de classe 4 ........................................... 66

6.5 Justifications aux ELU ............................................................................................... 78 6.5.1 Justification à la flexion ..................................................................................... 78




6.5.2 Justification au tranchant .................................................................................... 79

6.5.3 Justification sous interaction flexion – effort tranchant ..................................... 81 6.6 Justifications aux ELS ............................................................................................... 85

6.6.1 Limitation des contraintes .................................................................................. 85

6.6.2 Respiration de l’âme ........................................................................................... 87 6.6.3 Maîtrise de la fissuration .................................................................................... 87

6.7 Justifications à la fatigue ........................................................................................... 89 6.7.1 Méthode .............................................................................................................. 89 6.7.2 Contraintes ......................................................................................................... 90

6.7.3 Coefficient de dommage équivalent ................................................................... 92 6.8 Dimensionnement des connecteurs – EN1994-2, 6.6 ................................................ 93

6.8.1 Résistance d’un goujon – EN1994-2, 6.6.3 ........................................................ 93 6.8.2 Dimensionnement sous ELS caractéristique ...................................................... 94 6.8.3 Dimensionnement sous ELU fondamental ......................................................... 95

6.8.4 Dimensionnement en fatigue .............................................................................. 97 Conclusion .............................................................................................................................. 100

Bibliographie .......................................................................................................................... 101 ANNEXES ............................................................................................................................. 102

Annexe 1 Choix de la modélisation de la dalle ............................................................. 103 Annexe 2 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte courbe ...................................... 106

Annexe 3 Calcul de l’inertie de torsion ........................................................................ 109 Annexe 4 Calcul des coordonnées des nœuds .............................................................. 113 Annexe 5 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte droit .......................................... 115

Annexe 6 Calcul des contraintes normales ................................................................... 119 Annexe 7 Calcul des propriétés plastiques ................................................................... 121

Annexe 8 Coefficients de voilement par cisaillement .................................................. 127 Annexe 9 Calcul de la contrainte critique de voilement de plaque σcr,p........................ 129

Annexe 10 Méthode de calcul simplifié de l’amplitude de contrainte à l’ELU de fatigue

134

Annexe 11 Calcul du coefficient d’équivalence en fatigue ............................................ 135 Annexe 12 Prise en compte des effets d’un effort normal N .......................................... 141 Annexe 13 Calcul des contraintes totales - Méthode en cas de modification du

comportement de la dalle béton ......................................................................................... 144




Liste des tableaux

Tableau ‎2-1 : Caractéristiques du béton ................................................................................... 19 Tableau ‎2-2 : Classes de ciment ............................................................................................... 20 Tableau ‎2-3 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU ............................................................ 21 Tableau ‎2-4 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU de fatigue ........................................... 21

Tableau ‎2-5 : Valeurs du coefficient yMf ................................................................................ 21 Tableau ‎2-6 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELS ............................................................ 21 Tableau ‎2-7 : Exemple d'éléments de superstructures à prendre en compte ............................ 25 Tableau ‎2-8 : Valeurs du paramètre kh .................................................................................... 26

Tableau ‎2-9 : Valeurs du coefficient L ................................................................................. 28

Tableau ‎2-10: Nombre et largeur des voies conventionnelles ................................................. 31 Tableau ‎2-11: Valeurs caractéristiques des charges du modèle LM1 ...................................... 32 Tableau ‎2-12 : Coefficients d'ajustement ................................................................................. 33

Tableau ‎2-13 : Catégories de trafic .......................................................................................... 33 Tableau ‎2-14 : Indicateur de volume ........................................................................................ 33 Tableau ‎2-15 : Coefficient d'effet dynamique .......................................................................... 33 Tableau ‎2-16: Valeurs caractéristiques des charges des modèles SW/0 et SW/2 .................... 34

Tableau ‎4-1 : Valeurs caractéristiques de la force centrifuge .................................................. 55

Tableau ‎6-1: Coefficient β de largeur efficace S ...................................................................... 60 Tableau ‎6-2 : Calcul du coefficient de voilement kσ ............................................................... 68 Tableau ‎6-3 : Largeurs efficaces d'une âme ............................................................................. 71

Tableau ‎6-4: Diamètres de barre maximaux ............................................................................ 88 Tableau ‎6-5 : Espacement maximal des barres ........................................................................ 89

Tableau ‎6-6: Combinaisons à l'ELU de fatigue ....................................................................... 90

Tableau annexe 1 : Coefficient de voilement par cisaillement χ ............................................ 128




Listes des figures

Figure ‎1-1 : Principe de la chaîne de calcul ............................................................................. 10 Figure ‎1-2 : Représentation du modèle à barres envisagé ........................................................ 11 Figure ‎2-1 : Données de la coupe transversale ......................................................................... 13 Figure ‎2-2 : Géométrie d'une poutre en I métallique ............................................................... 14

Figure ‎2-3 : Données des raidisseurs ........................................................................................ 15 Figure ‎2-4 : Modélisation de la dalle en deux rectangles ......................................................... 16 Figure ‎2-5 : Position des nappes d'armatures ........................................................................... 17 Figure ‎2-6 : Application des chargements par phases successives .......................................... 23 Figure ‎2-7: Ligne d'influence transversale ............................................................................... 30

Figure ‎2-8 : Tablier et chaussée utile ....................................................................................... 31 Figure ‎2-9: Géométrie du tandem TS ....................................................................................... 32 Figure ‎2-10: Charges du modèle LM71 ................................................................................... 34

Figure ‎2-11 : Charges du modèle SW/0 et SW/2 ..................................................................... 34 Figure ‎2-12: Effet du déplacement latéral des charges verticales pour les modèles LM71 et

SW/0 ......................................................................................................................................... 35 Figure ‎2-13 : Détermination des modèles de charges défavorables pour le LM71 et SW/0 .... 36

Figure ‎2-14 : Application de l'excentricité e ............................................................................ 37 Figure ‎2-15: Convoi de fatigue du modèle FLM3 ................................................................... 38

Figure ‎2-16 : Application du gradient thermique ..................................................................... 39 Figure ‎2-17 : Notations utilisées pour le calcul de la largeur efficace de la dalle .................... 42 Figure ‎2-18 : Détermination des portées équivalentes ............................................................. 43

Figure ‎2-19 : Organigramme de l'analyse globale (Guide du Sétra) ........................................ 47 Figure ‎3-1 : Notations utilisées pour les ponts caissons ........................................................... 50

Figure ‎3-2 : Positionnement de raidisseurs plat ou en Té sur la tôle de fond de caisson ......... 51 Figure ‎3-3 : Positionnement des raidisseurs en auget sur la tôle de fond de caisson ............... 51

Figure ‎3-4 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier ouvert................................ 52 Figure ‎3-5 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier fermé ................................ 52

Figure ‎4-1 : Position des nœuds d'appuis ................................................................................. 54 Figure ‎6-1 : Logigramme de fonctionnement du post processeur ............................................ 57 Figure ‎6-2 : Schéma de la procédure de calcul de la section efficace P................................... 67

Figure ‎6-3 : Géométrie d'une plaque ........................................................................................ 69 Figure ‎6-4 : Interpolation entre voilement de plaque et flambement ....................................... 70

Figure ‎6-5 : Largeurs efficaces P d'une paroi interne ............................................................... 71 Figure ‎6-6 : Largeurs efficaces d'une âme ............................................................................... 71

Figure ‎6-7 : Largeur des parois en console .............................................................................. 72 Figure ‎6-8 : Largeurs efficaces P d'une semelle inférieure d'un bipoutre ................................ 72 Figure ‎6-9 : Section brute d'une semelle inférieure de caisson ................................................ 73 Figure ‎6-10 : Zone d'étude d'une semelle inférieure d'un caisson ............................................ 73

Figure ‎6-11 : Prise en compte du voilement local .................................................................... 74 Figure ‎6-12 : Aire efficace P des panneaux secondaires d'une tôle de fond de caisson ........... 75 Figure ‎6-13 : Section efficace P intermédiaire d'une tôle de fond de caisson .......................... 75

Figure ‎6-14 : Caractéristiques des raidisseurs .......................................................................... 77 Figure ‎6-15 : Contraintes de cisaillement dans la tôle de fond d'un caisson ............................ 83 Figure ‎6-16: Effet de la rigidité du béton tendu entre fissures ................................................. 92 Figure ‎6-17 : Valeurs lv,1 en fonction de la portée pour trafic normal ou lourd ..................... 99 Figure ‎6-18: Distribution plastique des contraintes ............................................................... 121 Figure ‎6-19 : Zones d'influences à la fatigue ......................................................................... 135 Figure ‎6-20 : Coefficient λ2 pour la charpente en acier des ponts ferroviaires ..................... 137




Figure annexe 1 : Modélisation d'un bipoutre courbe dans ST1 ............................................ 107 Figure annexe 2 : Facteur de réduction β du moment plastique résistant Mpl,Rd ................. 124 Figure annexe 3 : Moment plastique résistant réduit au tranchant Mpl,Rd,V........................ 125

Figure annexe 4 : Raidisseur et tôle participante ................................................................... 127 Figure annexe 5 : Coefficient de voilement par cisaillement χ .............................................. 128 Figure annexe 6 : de fond avec raidisseur unique .................................................................. 129 Figure annexe 7 : Flambement du raidisseur unique .............................................................. 129 Figure annexe 8 : Notations relatives à une âme avec un seul raidisseur dans la zone

comprimée .............................................................................................................................. 130 Figure annexe 9 : Tôle de fond avec deux raidisseurs ........................................................... 131 Figure annexe 10 : Flambement du raidisseur I dans le cas de deux raidisseurs ................... 131 Figure annexe 11 : Flambement du raidisseur fictif I+II dans le cas de deux raidisseurs ..... 132 Figure annexe 12 : Paramètres géométriques pour raidisseurs tartinés.................................. 133

Figure annexe 13 : Exemple de distribution plastique des contraintes dans l’acier ............... 142




Remerciements

Tout d’abord, je tiens à remercier toute l’équipe d’IES, pour leur accueil et la bonne ambiance

qu’ils entretiennent dans le service, ainsi que pour leur aide et leurs conseils.

Plus particulièrement, je tiens à remercier Jean-Pierre Rapin, Directeur d’INGEROP Expertise

et Structures, pour m’avoir accueilli dans son entreprise.

Je tiens ensuite à remercier Marie-Véronique Péron, ma tutrice de stage, et Patrice Auffret,

mon chef, pour leur suivi tout au long de ce projet et grâce à qui j’ai beaucoup appris sur les

techniques de calculs des ouvrages mixtes.

J’adresse également mes remerciements à Philippe Zink, mon professeur superviseur, pour ses

conseils.




Introduction

Présentation de l’entreprise

INGEROP est un groupe d’ingénierie pluridisciplinaire, associant expertise technique et

capacité de management. Il propose des missions de maîtrise d’œuvre, des études techniques

et économiques, et des missions d’assistance à maîtrise d’ouvrage, dans cinq grands métiers :

Infrastructures

Transports

Eau, énergie et environnement

Bâtiment

Industrie

L’effectif du groupe fin 2009 était de 1502 collaborateurs, dont plus de 300 à l’international,

en constante augmentation depuis plusieurs années.

Le groupe a une forte implantation régionale et offre ainsi son expertise au niveau local. Le

groupe est également présent en Europe (Espagne, Pologne, …) et dans le monde (Maghreb,

Afrique du Sud, Japon, …).

Le groupe se divise en trois entités principales :

J’ai effectué mon stage au sein d’INGEROP Expertise et Structures à Courbevoie, dirigé par

Jean-Pierre Rapin. Le service est compétent dans le domaine des structures complexes en

béton et en métal. Il intervient dans les domaines des ouvrages d’art, du génie civil, du

bâtiment et des installations complexes, dans le cadre de projets non courants. il assume ses

missions d’assistance à maîtrise d’ouvrage, de maîtrise d’œuvre ou d’études d’exécution,

aussi bien dans le cadre de projets portés en propre que pour des projets portés par les autres

filiales du groupe.

Présentation de l’étude

Les ponts mixtes occupent une place importante dans le paysage routier et ferroviaire en

France et dans de nombreux autres pays. Leur conception évolue régulièrement et est liée aux

règles de calculs. Les règlements Eurocodes, récemment mis en application, apportent des

nouveautés dans l’analyse structurale et les critères de justifications des ouvrages d’arts

mixtes – la norme directrice pour les ponts mixtes est l’EN 1994-2.




L’étude menée s’attache à identifier l’ensemble des étapes de calculs d’un tablier mixte

suivant les Eurocodes dans le but de créer une chaîne de calcul automatisée des ponts mixtes,

afin de remplacer les outils existants qui ne sont plus adaptés. Elle s’appuie sur des guides

pratiques et propose des méthodes pour clarifier les points difficiles abordés de manière

partielle ou rapide.




1 Principe

Le présent document constitue le cahier des charges d’un programme de calcul de ponts

mixtes types.

L’étude peut se scinder en deux parties : le préprocesseur d’une part, qui concerne les données

d’entrées et la création du modèle numérique, et le post-processeur d’autre part, qui se

chargera des vérifications.

Les sollicitations sont calculées à partir d’un logiciel de calculs des structures à barres

différent. Ceci afin de pouvoir, après avoir généré la modélisation du tablier mixte, adapter ce

modèle à tous les types d’ouvrage (ponts à béquilles, haubans, suspendus). Cet aspect

constitue le principal point d’innovation par rapport aux logiciels existants qui ne traitent

généralement que des bipoutres mixtes.

Ce logiciel calcule les sollicitations des cas de charges élémentaires.

Les combinaisons ainsi que les cas de charges enveloppes seront déterminés par ce même

logiciel ou par un programme plus adapté.

Le programme devant s’appliquer à tous les types d’ouvrage, les justifications devront être

menées en considérant les sollicitations N, M, V et non pas uniquement avec M et V comme

dans les logiciels classiques.

Les exemples de calculs figurants dans ce mémoire ont été réalisés avec des feuilles de calculs

Excel et le logiciel ST1.

Figure 1-1 : Principe de la chaîne de calcul

Le programme traitera de façon automatique les ponts types suivants :

les bipoutres droits ;

les caissons droits ;

les caissons courbes ;

les bipoutres courbes ;

les bipoutres biais.

Il traite aussi bien les ouvrages routiers que les ouvrages ferroviaires à partir des modèles de

chargements définies dans les Eurocodes.

Données d’entrée : - géométrie - actions - …

Modèle : - nœuds, barres, sections - chargements - …

Vérifications Sollicitations

Préprocesseur

Post-processeur

Logiciel de calcul




Bipoutre droit

Le bipoutre droit est traité, à partir d’une répartition transversale des charges, comme une

unique poutre droite en deux dimensions disposant des caractéristiques d’un demi-tablier :

semelle inférieure non mixte ;

section transversale symétrique par rapport à un axe vertical ;

dalle en béton coulée en place, non précontrainte longitudinalement ;

Caisson droit et courbe

Le caisson est traité de la même façon que la poutre droite avec des caractéristiques et des

justifications complémentaires à intégrer :

- inertie de torsion,

- espacement et position des appuis,

- présence de raidisseurs sur les semelles,

- étude du voilement des semelles,

- ajout des forces centrifuges dans le cas des ponts courbes.

Bipoutre courbe et bipoutre biais

Ces ouvrages ne sont plus traités à partir d’une poutre droite, mais par un modèle

tridimensionnel, un calcul de répartition transversale des charges n’étant plus suffisant pour

étudier ce type de structure (influence de la courbure, biais).

Nous réalisons donc un modèle 3 D constitué :

- de plusieurs séries de barres longitudinales pour modéliser les poutres principales

(sections mixtes),

- d’une série de barres longitudinales fictives au niveau de l’axe du pont sur lesquelles

sont appliquées les charges,

- d’une série de barres transversales liaisonnant les poutres aux barres longitudinales

fictives,

- d’une série de barres transversales pour les entretoises.

Figure 1-2 : Représentation du modèle à barres envisagé

Poutre 1

Arête béton

Poutre 2

Barres longitudinales mixtes

(Poutres principales pour n ≈6 /18 / ∞)

Barre longitudinale fictive

(pour l’application des charges)




2 Préprocesseur – Cas de la poutre droite

2.1 Généralités

Le préprocesseur doit permettre de

modéliser un ouvrage mixte et ses

chargements automatiquement. Cette

modélisation est ensuite utilisée par

un logiciel de calcul pour déterminer

les sollicitations qui s’appliquent au

niveau de chaque section de

l’ouvrage.

L’étape de préprocesseur de la

chaîne de calcul regroupe l’ensemble

des données d’entrée nécessaires aux

calculs des ouvrages mixtes et

présente les règles de modélisation

de la structure, des actions et la

méthode d’analyse globale

proposées dans les règles Eurocodes.




2.2 Données d’entrée

2.2.1 Géométrie

2.2.1.1 Coupe longitudinale

Les données d’entrée utiles concernant la coupe longitudinale sont :

le nombre de travées ntravées ;

les longueurs des travées Ltravées,i pour i de 1 à ntravées

2.2.1.2 Coupe transversale

Les données suivantes seront utilisées par la suite pour la détermination des caractéristiques

géométriques des sections :

entraxe des poutres principales

entraxe des connecteurs sur une poutre principale : par défaut, l’écartement entre les

files de connecteurs b0 est pris égal à la largeur de la semelle supérieure btf – 0.40 m.

largeur de la dalle

largeur de la chaussée

Figure 2-1 : Données de la coupe transversale

Largeur de la dalle

Largeur de la chaussée

Entraxe des poutres principales

Entraxe des connecteurs




2.2.1.3 Charpente métallique

La section de la charpente en acier est variable le long de l’ouvrage. Il est donc nécessaire de

rentrer les paramètres géométriques définissant la section par tronçons sur lesquels les

grandeurs sont constantes.

La poutre principale en acier considérée est une poutre en I, composée d’une semelle

inférieure, d’une âme et d’une semelle supérieure. Les paramètres d’entrées d’une poutre en I

sont illustrés sur le schéma suivant :

Figure 2-2 : Géométrie d'une poutre en I métallique

La section transversale d’une poutre en I dépend des 6 paramètres géométriques suivants :

largeur de la semelle inférieure bbf ;

épaisseur de la semelle inférieure tbf ;

hauteur de l’âme hw ;

épaisseur de l’âme tw ;

largeur de la semelle supérieure btf ;

épaisseur de la semelle supérieure ttf.

On note la hauteur totale de la poutre métallique h = tbf + hw + ttf.

Chacun des éléments (âme, semelle inférieure et semelle supérieure) peut avoir une nuance

d’acier différente. De plus, en demandant à l’utilisateur une valeur d’origine et une valeur

d’extrémité, il est possible de faire varier linéairement les données suivantes :

la hauteur d’âme

les épaisseurs des semelles

Par contre, les données suivantes sont considérées comme constantes sur un tronçon donné :

la largeur des semelles

l’épaisseur des âmes




Il pourrait aussi être possible de choisir entre une variation linéaire ou parabolique des

caractéristiques géométriques de la section si nécessaire. (le cas de la variation parabolique

était prévu dans le code du fichier reparec.bas de la chaîne actuelle)

2.2.1.4 Raidisseurs

Des raidisseurs longitudinaux peuvent être ajoutés sur l’âme de la poutre. Seuls deux types de

raidisseurs sont prévus pour le bipoutre :

raidisseurs plats

raidisseurs en Té

Leur position peut être entrée directement par

l’utilisateur, mais ils seront uniformément

répartis par défaut. Ces raidisseurs ne sont pas

pris en compte pour le calcul des

sollicitations, ils interviennent uniquement

dans la résistance à l’effort tranchant.

Figure 2-3 : Données des raidisseurs

Leur géométrie doit être définie pour le calcul des sections efficaces dues au voilement lors

des vérifications.

L’utilisateur doit aussi entrer leur nombre et leur position sur l’âme. Ils seront uniformément

répartis par défaut. La chaine de calcul peut alors générer les largeurs des sous-panneaux de

plaque raidie.

2.2.1.5 Entretoises

La géométrie des entretoises peut être définie par l’utilisateur de la même manière que pour

les poutres principales. Cependant, la section des entretoises sera considérée comme constante

sur toute la longueur de l’ouvrage. Par défaut, le programme utilisera des HEA600.

La répartition des entretoises peut être définie de deux manières complémentaires :

par répartition uniforme sur chaque travée

par définition directe de l’abscisse

Dans le cas de la répartition uniforme, l’utilisateur doit entrer l’espacement voulu entre deux

entretoises (tous les 4 mètres par défaut). Le préprocesseur calcule ensuite le nombre

d’entretoises et l’espacement réel pour chacune des travées.

« Pour chaque travée » nombre_entretoises = partie_entière ( Ltravée/espacement_voulu ) espacement_reel = Ltravée / nombre_entretoises

Données d’entrée :

- Géométrie (par défaut : HEA600)

- Espacement voulu (par défaut : 4m)

- Liste d’abscisses pour ajouter des entretoises supplémentaires

Données générées :

- Liste d’abscisses de toutes les entretoises

1stb

2stt

1stt

Âme

2stb




2.2.1.6 Dalle en béton armé

La section de la dalle est supposée constante sur toute la longueur de l’ouvrage. En effet, le

même coffrage est généralement réutilisé pour tout le pont.

Il est nécessaire de connaître les caractéristiques mécaniques du hourdis en béton, soit :

L’aire Ab

La position du centre d’inertie Zb

Le moment d’inertie de flexion Ib

L’utilisateur doit entrer un ensemble de points définissant la géométrie du demi-hourdis de

béton. Les caractéristiques précédentes sont alors calculées par le préprocesseur

[METHODE DE CALCUL : voir feuille Excel « calcul mixte »]

Il faut de plus entrer la valeur du périmètre exposé u correspondant à la surface du demi-

hourdis en contact avec l’air ambiant. Ce périmètre est nécessaire pour le calcul du retrait et

du fluage.

2.2.1.6.1 Modélisation de la dalle

Pour simplifier le calcul des largeurs et sections efficaces, la dalle va être modélisée par une

géométrie plus simple. Plusieurs possibilités ont été envisagées :

modélisation par un rectangle de même section ;

modélisation par deux rectangles de même section, de même inertie et de même

hauteur du centre de gravité ;

aucune modélisation, mais calcul des caractéristiques des sections efficaces à partir

d’un pourcentage des sections réelles dépendant du pourcentage de réduction de la

largeur.

Un comparatif des trois méthodes a été réalisé en 1.Annexe 1 avec trois exemples de dalles de

ponts mixtes différents.

La modélisation comportant deux rectangles se présente sous la forme suivante :

Figure 2-4 : Modélisation de la dalle en deux rectangles




En mesurant la cote verticale du centre de gravité zb par rapport au dessus de la semelle

supérieure, les 3 paramètres b1, e1 et e2 doivent vérifier les 3 équations suivantes :

2)

2(

12)

2(

12

2)

2(

2

2

22122

3

222111

3

11

2122

2

11

2211

b

bb

bb

b

Iz

eeeb

ebz

eeb

eb

zAeeeb

eb

Aebeb

La résolution du système est effectuée de la façon suivante :

on considère 1b variable,

en posant )(4

)4(

122

1

2bbb

zbAAe bbb

et

1

22

12

2

b

ebAe b

en fonction de 1b , les deux

premières équations sont vérifiées,

on fait ensuite varier 1b afin de vérifier la troisième équation.

Cette résolution peut être effectuée par itération en prenant une valeur de départ de b1 très

faible, mais supérieure à 0 (par exemple : 0.0001 m).

2.2.1.6.2 Armatures

Le ferraillage du hourdis consiste en deux nappes d’armatures longitudinales. Pour une demi-

dalle donnée, chaque nappe d’armatures est modélisée par une section ponctuelle unique,

possédant la même aire et située au droit de l’âme.

La position et la section des armatures longitudinales sont susceptibles de varier le long de

l’ouvrage, ce qui n’est pas pris en compte par défaut dans le préprocesseur.

Il est nécessaire de connaître la position verticale de chaque nappe. Elle est demandée comme

donnée d’entrée à l’utilisateur. Il existe déjà des feuilles de calcul permettant de les calculer à

partir des conditions extérieures et de la géométrie de la dalle.

Figure 2-5 : Position des nappes d'armatures

siv ssv




Pour certaines vérifications, le diamètre ϕ et l’espacement s des barres, ainsi que les

ouvertures maximales de fissures wk,max à l’ELS fréquent et à l’ELS caractéristique pour les

deux nappes d’armatures sont nécessaires.

Les données d’entrées utiles sont alors :

les pourcentages d’armatures inférieures et supérieures notées ρtslr et ρtsur (sur appuis et

en travées) ;

les côtes siv et ssv mesurées à partir de la face supérieure de la semelle supérieure de la

charpente,

les diamètres ϕinf et ϕsup ;

les espacements sinf et ssup ;

les ouvertures de fissures wk,max.

2.2.2 Matériaux

2.2.2.1 Aciers de charpente

Les valeurs de calcul des propriétés de l’acier sont (EN 1993-1-1, 3.2.6) :

le module d’élasticité longitudinale : aE = 210 000 MPa

le coefficient de poisson : a = 0.3

le module de cisaillement : aG = E/2(1+v) = 81 000 MPa

le coefficient de dilatation thermique : a = 10-5 / K

D’après l’EN1994-2, 3.3(2), la nuance de l’acier doit être comprise entre S235 et S460. Le

poids volumique de l’acier a est donné au tableau A-4 de l’EN 1991-1-1 et est égal à 3/77 mkN .

Pour une paroi donnée, l’épaisseur et la nuance de l’acier permettent d’obtenir la limite

d’élasticité yf dans les normes EN 10025, la nuance de l’acier ayant déjà été entrée par

l’utilisateur lors de la répartition de matière.

[Valeurs élasticité : voir feuille Excel « préprocesseur.xls » : module VBA « materiauAcier »]

Il est aussi possible de préciser la nuance d’acier pour chaque tronçon de section différente.

Données d’entrées :

- poids volumique (par défaut : 77 kN/m3)

- nuance d’acier pour chacun des éléments de charpente dans chaque tronçon

de la répartition de matière.


- limites d’élasticités




2.2.2.2 Béton

D’après l’EN1994-2, 3.1(2), la classe du béton doit être comprise entre C20/25 et C60/75.

Les caractéristiques du béton sont :

les résistances caractéristiques :

o ckf la résistance caractéristique en compression du béton mesurée sur cylindre

à 28 jours, donnée par la classe ;

o ctmf la valeur moyenne de la résistance en traction directe du béton, donnée par

la classe ;

o cmf = ckf + 8 la valeur moyenne de la résistance en compression du béton

mesurée sur cylindre.

le module d’élasticité sécant : cmE = 22 000 ( cmf /10)^0.3

le coefficient de Poisson : c = 0.2

le coefficient de dilatation thermique : c = 10-5 / K

Le poids volumique du béton armé est pris égal à 25 kN/m3 par défaut.


- classe du béton

- poids volumique (par défaut : 25 kN/m3)


Les résistances caractéristiques sont récupérées à partir du tableau ci-dessous grâce à la classe

du béton entrée par l’utilisateur. Le module d’élasticité cmE est ensuite calculé suivant la

formule précédente à partir de cmf .

Classe ckf (MPa) ctmf (MPa)

C20/25 20 2.2

C25/30 25 2.6

C30/37 30 2.9

C35/45 35 3.2

C40/50 40 3.5

C45/55 45 3.8

C50/60 50 4.1

C55/67 55 4.2

C60/75 60 4.4 Tableau 2-1 : Caractéristiques du béton

2.2.2.3 Aciers passifs

D’après l’EN1994-2, 3.2 (2), il est possible de prendre le module d’élasticité des aciers passifs

égal à celui utilisé pour la charpente. Soit sE = aE = 210 000 MPa.




D’après l’EN1992-1-1, 3.2.2 (3), la limite d’élasticité skf doit être comprise entre 400 et 600

MPa. On garde skf = 500 MPa par défaut.


- limite d’élasticité skf .


- aucune.

2.2.2.4 Connecteurs

Les données relatives aux connecteurs ne seront utilisées que pour les vérifications de la

connexion acier-béton.


- limite d’élasticité uf (par défaut : …) ;

- caractéristiques du goujon (diamètre entre 16 et 25 mm et hauteur) ;

- nombre de goujons par file.


- aucune.

2.2.2.5 Ciment

La classe du ciment influence les déformations dues au fluage et au retrait. Les classes de

ciments possibles sont S, N et R.

Elles permettent de définir les coefficients 1ds et 2ds , donnés dans le tableau ci-dessous :

Classe de ciment S N R

1ds 3 4 6

2ds 0.13 0.12 0.11

Tableau 2-2 : Classes de ciment

Données entrées :

- classe de ciment (par défaut : N).


- les coefficients 1ds et 2ds .

2.2.2.6 Coefficients partiels de sécurité sur les matériaux

Les coefficients partiels de sécurité sont pris égaux aux valeurs recommandées dans les

normes Eurocodes. Il doit cependant rester possible de les modifier pour s’adapter à des

projets spéciaux.




Pour l’ELU :

Béton : c Armature : s Acier de charpente : M Goujon v

1.5 1.5

0M = 1.0 (plastification, instabilité locale)

1M = 1.1 (instabilité d’élément)

2M = 1.25 (ruine de section nette tendue)

1.25

Tableau 2-3 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU

Pour l’ELU de fatigue :

Béton : fatc, Armature : fats, Acier de charpente : Mf Goujon v

1.5 1.15 1.35 1.25 Tableau 2-4 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELU de fatigue

Le coefficient Mf peut être modifié pour s’adapter au projet. Les valeurs recommandées

générales, dépendant de la méthode d’évaluation de l’endommagement et des conséquences

de ruine sont données dans le tableau 3.1 de l’EN 1993-1-9 :

Méthode d’évaluation Conséquence de la ruine

conséquences peu importantes conséquences importantes

Tolérance de l’endommagement 1.00 1.15

Durée de vue sûre 1.15 1.35 Tableau 2-5 : Valeurs du coefficient yMf

La valeur 1.35 correspond à la situation la plus défavorable. La méthode de la durée de vie

sûre est recommandée à l’article 2.1.3.4(2) de l’EN 1993-2, AN.

Pour l’ELS :

Béton : c Armature : s Acier de charpente : serM , Goujon v

1.0 1.0 1.0 1.25 Tableau 2-6 : Coefficients partiels de sécurité à l'ELS

2.2.3 Actions

2.2.3.1 Phasage

La construction du pont s’effectue en plusieurs étapes dans le temps :

le montage de la charpente métallique, non étudié ;

le bétonnage de la dalle en béton armé ;

l’installation des superstructures.

Les hypothèses retenues pour le phasage de construction ont une influence sur le calcul des

sollicitations. Elles influencent aussi l’âge moyen du béton qui est un paramètre dans le calcul

des déformations de retrait, et des coefficients d’équivalence des sections mixtes.




Le bétonnage de la dalle s’effectue en plusieurs étapes dans le temps. L’ouvrage est

décomposé en nplot plots, ou segments de dalle, de longueur constante Lplot, coulés selon un

ordre donné.

Le coulage commence à l’instant t = 0 et s’effectue par phase d’une durée constante _t – sans

prendre en compte les week-ends et autres interruptions qui ont peu d’influence sur le résultat

final. L’article 6.6.5.2 (3) de l’EN 1994-2 n’impose que la résistance du béton mesurée sur

cylindre au bout du temps _t soit d’au moins 20 MPa.

Les dénivellations d’appui, pour diffuser les efforts au cours du bétonnage, ne sont pas

paramétrées.

Chaque phase correspond au coulage d’un seul plot, ce qui donne un total de nplot phases de

coulage. La phase j, pour j de 1 à nplot, débute ainsi à l’instant t = (j-1) _t et se termine à

l’instant t = j _t.

A chaque phase j, la structure est composée de :

1 plot de barres d’acier seul, chargées par le poids propre du béton humide ;

j-1 plots de barres mixtes, avec des bétons d’âge moyen différents ; on note t0j l’âge

moyen de l’ensemble des plots déjà durcis à l’instant t = j _t ;

n-j plots de barres d’acier seul non chargées par du béton.

Le poids propre des éléments de coffrage est également pris en compte par une charge

linéique uniformément répartie qcof :

appliquée vers le bas sur les barres d’acier seul du plot j en cours de coulage ;

appliquée vers le haut sur les barres mixtes du plot j-1 coulé à l’étape précédente.

Le principe du chargement par phases est expliqué sur le schéma suivant dans le cas d’un

coulage en 3 plots de dalle :




Figure 2-6 : Application des chargements par phases successives

L’âge moyen des plots de béton t0j à la fin de la phase j est donné par la formule :

2

11

0

j

tj

tk

t

j

k

j




L’âge moyen global du béton moyt ,0 est la moyenne des âges moyens au court du bétonnage. Il

permet d’évaluer une date moyenne pour l’application du poids propre du béton. Il est donné

par la formule :

4

31

0

,0

plot

plot

n

j

j

moy

nt

n

t

t

plot

Les superstructures sont mises en place après la fin du bétonnage en un temps supt .

A la date sup_ ttnt plot de mise en service, les âges du béton sont :

sup2

1t

ntt

plot

ser

l’âge moyen du béton,

supsup,0,4

3t

ntttt

plot

moymoyser

l’âge moyen global du béton

Les données d’entrée à fournir sont alors :

le nombre de plots et l’ordre du phasage ;

la durée d’une phase ;

le temps de mise en place des superstructures supt ;

la charge répartie de coffrage cofq .

2.2.3.2 Charges permanentes

2.2.3.2.1 Poids propre de la structure

La charpente en acier est constituée de la ou des poutres porteuses et des éléments

transversaux comme les raidisseurs ou les entretoises.

Le poids propre de la poutre principale est modélisé par une charge verticale linéique

constante sur un tronçon d’acier dont la valeur, notée //aq , est le produit de l’aire de la

section de la poutre par le poids volumique de l’acier a .

Le poids propre des éléments transversaux est modélisé par une charge verticale linéique

uniformément répartie dont la valeur, notée qa┴, correspond au poids des éléments

transversaux divisé par la longueur de l’ouvrage, ainsi que par des charges ponctuelles au

droit des appuis.

La seule donnée d’entrée supplémentaire nécessaire est la valeur de qa┴.

Le poids propre du hourdis est modélisé par une charge verticale linéique constante sur toute

la longueur de l’ouvrage. La valeur qb est le produit de l’aire de béton de la section de dalle

par le poids volumique du béton b .





- poids volumique de l’acier ;

- surcharge répartie d’acier ;

- surcharges ponctuelles d’acier au droit des appuis ;

- poids volumique béton OU charge béton mou totale à appliquer sur la poutre.


- aucune.

2.2.3.2.2 Superstructures

D’après l’EN1991-1-1, 5.2.3, il faut prendre en considération les valeurs caractéristiques

inférieure et supérieure du poids volumique.

Dans le cas des ponts, la valeur nominale de la couche d’étanchéité est pondérée par +/-20%

et la valeur nominale de la couche de roulement de +40% / -20%.

Élément Caractéristiques Pondération

max

Pondération

min

qnom qmax qmin

Étanchéité 3 cm 25 kN/m3 1.2 0.8

Enrobé 8 cm 25 kN/m3 1.4 0.8

Longrine de

BN4

0.1 m² 25 kN/m3 1 1

BN4 65 Kg/m 1 1

Corniche 25 Kg/m 1 1

Total - - - - - - Tableau 2-7 : Exemple d'éléments de superstructures à prendre en compte

L’action permanente due aux superstructures est modélisée par une charge verticale

uniformément répartie de valeur nominale nomq .

Si l’utilisateur devait entrer les valeurs de charge de chacun des éléments, il faudrait veiller à

insérer un tableau de superstructures propres aux ponts routes ou ferroviaires à compléter,

selon le choix du type de pont. Il faudrait ensuite réaliser une répartition transversale des

charges.

Cependant, pour éviter de faire cette répartition, l’utilisateur entre directement la valeur totale

de nomq qui s’applique sur la poutre la plus sollicitée.


- nomq total.

2.2.3.3 Retrait

Il existe trois types de retrait :

- le retrait thermique ;

- le retrait endogène ;

- le retrait de dessiccation.




Les retraits endogènes et de dessiccation se calculent ensemble :

- à court terme à la mise en service ;

- à long terme à l’infini.

2.2.3.3.1 Calcul du retrait au temps infini

Retrait endogène : 610)10(5.2)( ckca f

Retrait de dessiccation :

0,)( cdhcd k

Avec :

u

Ahoùhfk

RH

MPaf

f

f

b

h

RH

cm

RH

cm

cm

dsdscd

2

100155.1

10

10)exp()110220(85.0

00

3

0

6

0

210,

Le paramètre hk est déterminé par interpolation à partir des valeurs du tableau suivant

(EN 1992-1-1, tableau 3.3) :

Tableau 2-8 : Valeurs du paramètre kh

2.2.3.3.2 Calcul du retrait à court terme

Retrait endogène

En prenant t l’âge moyen du béton à l’instant considéré pour le calcul tcal, on a :

)()()( caasca tt

Avec

)2.0exp(1)( ttas




Retrait de dessiccation

L’âge du béton st , correspondant à l’initiation du retrait de dessiccation, est pris égal à 1 jour.

Et en prenant t l’âge moyen du béton à l’instant considéré pour le calcul calt , on a :

0,),()( cdhsdscd kttt

Avec

3

004.0),(

htt

tttt

s

s

sds

Retrait thermique

D’après l’EN 1994-2, 7.4.1 (6) AN :

La différence de température à considérer peut alors être demandée à l’utilisateur ou calculée,

à l’aide de la modélisation par exemple pour simplifier les calculs.


- Humidité : humidité relative (par défaut : 80%) ;

- la différence de température (calculée par défaut grâce à la géométrie de la dalle).


- les trois valeurs de retrait à court terme ;

- les retraits (endogène et de dessiccation) pour le long terme.

2.2.3.4 Fluage

Le phénomène de fluage s’applique pour les charges de longues durées d’application. Il

entraine une diminution de la section résistante du béton et donc une augmentation du

coefficient d’équivalence.

Les effets secondaires (ou hyperstatiques) du fluage sont négligés.

Il faut distinguer les coefficients d’équivalence pour les charges à court et à long terme d’une

part, et pour la flexion et la torsion d’autre part.

2.2.3.4.1 Charges à court terme

Il s’agit des actions variables comme les charges de trafic ou les actions thermiques. Le

coefficient d’équivalence pour la flexion est noté n0 et est évalué avec le module d’élasticité

sécant du béton :




cm

a

E

En 0

Le coefficient d’équivalence pour la torsion est noté n0G et est évalué avec les modules

d’élasticité en cisaillement de l’acier et du béton :

c

a

GG

Gn 0

2.2.3.4.2 4.2 Charges à long terme

Les coefficients d’équivalence sont notés Ln pour la flexion, et LGn pour la torsion. Ils

dépendent du type de chargement considéré, par le coefficient L , et de l’instant de calcul

considéré calt , par le coefficient ),( 0tt :

)),(1(

)),(1(

00

00

ttnn

ttnn

LGLG

LL

Le coefficient L prend uniquement deux valeurs :

Type de chargement Charge permanente Retrait du béton

L 1.10 0.55

Tableau 2-9 : Valeurs du coefficient L

Où :

0t : âge moyen du béton lorsque le cas de charge considéré est appliqué à la structure,

t : âge moyen du béton à l’instant calt .

Les charges permanentes correspondent au bétonnage et aux superstructures.

Pour le cas de charge de bétonnage, le béton a un âge moyen t0j différent à la fin de chaque

phase j. Il est possible d’associer à ce cas élémentaire un coefficient d’équivalence nLj et il

faut alors considérer autant de coefficients d’équivalence qu’il y a de plots moins un, le

premier plot agissant uniquement sur la charpente.

Lorsque l’on étudie l’ouvrage en phase d’exploitation, l’article 5.4.2.2(3) de l’EN 1994-2

permet d’utiliser de manière simplifiée un âge moyen global pour l’ensemble des plots de la

dalle. Les propriétés mécaniques de l’ensemble des barres mixtes pour le bétonnage sont ainsi

calculées avec un unique coefficient d’équivalence pour la flexion ou la torsion. Cet âge

global est calculé grâce aux données de phasage de construction (cf. phasage).

Comme l’EN 1994-2 ne donne pas d’information sur la manière de calculer l’âge moyen à

utiliser, il est aussi possible, en simplifiant à l’extrême, d’utiliser le temps de bétonnage divisé

par deux.

Pour le retrait, l’âge t0 est pris égal à 1 jour, comme pour le calcul de la déformation de retrait,

conformément à EN 1994-2, 5.4.2.2 (4).




Le coefficient ),( 0tt prend alors uniquement trois valeurs pour un instant de calcul

calt considéré. La fonction de fluage ),( 0tt est définie par : 3.0

0

0

00 ),(

tt

tttt

H

Avec :

u

Ah

fffOù

hRH

h

RH

MPaf

hRH

h

RH

MPaf

tf

b

cmcmcm

H

RH

ck

H

RHck

cm

RH

2,

35,

35,

35

1500250012.015.1

1.0

1001

135

1500250012.015.1

1.0

1001

135

1.0

18.16

0

5.0

3

2.0

2

7.0

1

330

18

213

0

0

18

30

2.0

0

0

Finalement, le programme laissera le choix à l’utilisateur entre :

le calcul automatique des coefficients d’équivalence en fonction du phasage et de la

fonction de fluage,

la détermination directe des coefficients comme données d’entrée.

Pour le calcul des coefficients d’équivalence, il faut faire attention aux unités utilisées dans la

formule : 0h est en mm, RH entre 0 et 100 (%), cmf en MPa et 0t en jours.

Données entrées :

- choix : calcul des coefficients ou non ;

- si le calcul n’est pas choisi : la valeur des coefficients.


- valeur de Ln .




2.2.3.5 Actions dues au trafic

Les ouvrages traités supportent soit un trafic routier, soit un trafic ferroviaire. L’utilisateur de

la chaîne doit choisir entre les deux types de trafic et les données d’entrée requises sont

modifiées en correspondance. Le document de référence est l’EN 1991-2.

2.2.3.5.1 Lignes d’influences transversales

Les charges de trafic ne sont pas nécessairement centrées sur la section. Il est donc nécessaire

de prendre en compte l’effet de l’excentrement des charges. La méthode proposée consiste à

utiliser des lignes d’influences transversales, reposant sur des hypothèses classiques sur le

comportement en torsion des sections ouvertes (bipoutre) ou fermées (caisson).

La rigidité en torsion uniforme d’une section d’un bipoutre est relativement faible. Il apparaît

qu’une charge appliquée au droit d’une poutre, dans le plan de son âme, engendre des

contraintes normales dans la poutre légèrement inférieures aux contraintes générées par la

flexion de la poutre seule sous la même charge. Une charge excentrée est ainsi supposée

générer uniquement de la flexion simple dans chacune des poutres.

La répartition transversale des charges entre les deux poutres porteuses est alors prise

isostatique ce qui est sécuritaire si l’on considère la poutre la plus sollicitée. La ligne

d’influence transversale est rectiligne, voir schéma ci-dessous :

Figure 2-7: Ligne d'influence transversale

2.2.3.5.2 Actions du trafic routier

Voies conventionnelles

La largeur du tablier est b, la largeur de chaussée utile est w et l’entraxe des poutres

principales (mesurée entre les plans des âmes) est d. La coupe transversale est symétrique par

rapport à un axe vertical, voir schéma ci-dessous :




Figure 2-8 : Tablier et chaussée utile

Le nombre et la largeur des voies pour le calcul sont donnés en fonction de la largeur utile de

chaussée w dans le tableau suivant :

Tableau 2-10: Nombre et largeur des voies conventionnelles

Les nl voies sont numérotés de 1 à nl en partant, dans l’ordre, depuis la voie de plus grande

influence.

Positionnement transversal des voies

Les charges routières sont positionnées transversalement sur le tablier de façon à obtenir

l’effet le plus défavorable sur la poutre étudiée, qu’il s’agisse du moment de flexion ou du

moment de torsion.

Charges verticales

Les effets du chargement vertical sont représentés au moyen de modèles de chargement. La

chaîne de calcul prend de manière automatique uniquement le modèle de charge 1, noté LM1.

Le modèle LM1 comprend deux systèmes partiels, le système tandem TS et le système UDL.

Le tandem TS consiste en des charges concentrées à double essieu, avec pour chaque essieu

un poids αQQk, réparti également sur deux roues identiques. On considère au plus un tandem

par voie conventionnelle et uniquement des tandems complets. Les tandems sont centrés sur

les voies conventionnelles. La géométrie du tandem TS est illustrée sur le schéma suivant :




Figure 2-9: Géométrie du tandem TS

Le système UDL consiste en des charges uniformément réparties, avec un poids au mètre

carré de voie conventionnelle αqqk. Les charges sont réparties uniquement sur les parties

défavorables de la surface d’influence, longitudinalement et aussi transversalement. La partie

de chaussée au-delà de la seconde poutre ne doit donc pas être chargée (partie négative de la

ligne d’influence sur le schéma). Une voie conventionnelle peut être partiellement chargée par

le système UDL dans le sens transversal.

Les coefficients αQ et αq appelés coefficients d’ajustement de la classe de trafic dépendent

de la voie considérée.

Les valeurs caractéristiques des charges Qk et qk dépendent du numéro de voie et incluent

directement la majoration dynamique. Elles sont données dans le tableau suivant :

Tableau 2-11: Valeurs caractéristiques des charges du modèle LM1

L’évaluation de l’endommagement de l’ouvrage à la fatigue nécessite de connaître des

données sur le trafic prévu dans le projet :

le nombre de voies lentes nvl ;




la classe de trafic, 1 ou 2, permettant de définir les coefficients d’ajustement selon le

tableau suivant (voir Actions routières pour précisions) tiré de l’EN 1991-2, AN clause

4.3.2(3) :

Classe de trafic 1Q )2( iQi 1q )2( iqi qr

1ère

classe 1.0 1.0 1.0 1.2 1.2

2ème

classe 0.9 0.8 0.7 1.0 1.0 Tableau 2-12 : Coefficients d'ajustement

la catégorie de trafic, à laquelle est associé le nombre indicatif de véhicules lourds

prévus par an et par voie lente obsN , voir tableau ci-dessous :

Catégories de trafic obsN

Routes et autoroutes à 2 voies ou plus dans chaque sens avec

un trafic de camions élevé 610.2

Routes et autoroutes avec un trafic de camions moyen 510.5

Routes principales avec un faible trafic de camion 510.25.1

Routes locales avec un faible trafic de camions 410.5 Tableau 2-13 : Catégories de trafic

le type de trafic, auquel est associé l’indicateur de volumeQ , voir tableau ci-dessous :

Type de trafic Q

Longue distance 1

Moyenne distance 0.94

Trafic local 0.82 Tableau 2-14 : Indicateur de volume

la rugosité de la surface de roulement, à laquelle est associé le coefficient d’effet

dynamique fat , voir tableau ci-dessous :

Rugosité du revêtement fat

Surfaces de bonne rugosité 1.2

Surfaces de rugosité moyenne 1.4 Tableau 2-15 : Coefficient d'effet dynamique

Toutes ces données sont à entrer par l’utilisateur.

2.2.3.5.3 Actions du trafic ferroviaire

Positionnement transversal des voies

Les positions des voies de calcul correspondent aux positions des voies réelles. On considère

par défaut que la ou les voies sont symétriques par rapport à l’axe vertical de la section.




Charges verticales

Les effets statiques du chargement vertical dû à un trafic ferroviaire sont représentés au

moyen de modèles de chargement.

La chaîne de calcul doit permettre d’utiliser les 3 modèles suivants :

a. Modèle de charge LM71 :

La disposition et les valeurs caractéristiques des charges verticales sont représentées sur la

figure suivante :

Figure 2-10: Charges du modèle LM71

b. Modèles de charge SW/0 et SW/2 :

La disposition et les valeurs caractéristiques des charges verticales sont représentées sur la

figure et le tableau suivants :

Figure 2-11 : Charges du modèle SW/0 et SW/2

Tableau 2-16: Valeurs caractéristiques des charges des modèles SW/0 et SW/2

Les valeurs caractéristiques des charges verticales des modèles LM71 et SW/0 uniquement

sont multipliées par le coefficient α, (Cf. données de trafic). Les charges sont alors appelées

charges verticales classifiées.




Pour les modèles de charge LM71 et SW/0 uniquement, l’effet du déplacement latéral des

charges verticales est pris en compte en limitant l’excentricité e des charges verticales à, voir

schéma ci-dessous :

Figure 2-12: Effet du déplacement latéral des charges verticales pour les modèles LM71 et SW/0

La distance transversale entre les roues r est prise par défaut égale à 1.500 m, ce qui donne

une excentricité maximale :

mmr

e 4.8318

1500

18

Il est à noter que l’excentricité n’est pas prise en compte pour la fatigue.

Effets dynamiques

Lorsque les trains circulant sur l’ouvrage ont une vitesse maximale de circulation V ≤ 200

km/h, une analyse dynamique n’est pas requise. Dans ce cas, les effets dynamiques sont pris

en compte en majorant les effets statiques verticaux des modèles de charge LM71 et SW/0

uniquement, par un coefficient dynamique ϕ. Il est égal à ϕ2 ou ϕ3, selon le choix de

l’utilisateur, voir données de trafic, qui sont définis par :

83.02.0

44.12

L

avec 67.100.1 2

73.02.0

16.23

L

avec 00.200.1 3

Où L est la longueur déterminante donnée par :

travée

ouvrage

n

LkL avec 5.1;1.01min travéenk

Charges horizontales

Les forces horizontales susceptibles de générer de la flexion longitudinale ou de la torsion

sont les forces centrifuges et les efforts de lacet.




Les forces de lacets ne sont pas présentées dans ce document, voir EN 1991-2, 6.5.2.

Les forces centrifuges agissent horizontalement, vers l’extérieur de la courbure, à une hauteur

ht = 1.80 m au dessus du plan de roulement, défini par le dessus des rails. Elles

n’interviennent que dans le cas d’un pont courbe.

Application des charges de trafic

Les effets des actions sont déterminés en plaçant les convois dans les positions les plus

défavorables. Les actions de trafic dont l’effet est favorable sont négligées (même pour les

forces centrifuges).

La détermination des effets les plus défavorables dépend du modèle de charge.

a. Modèles LM71 et SW/0 :

pour les structures possédant 2 voies, le modèle de charge LM71 ou SW/0 est appliqué

aux 2 voies ;

pour les structures possédant 3 voies ou plus, le modèle de charge LM71 ou SW/0 doit

être appliqué tour à tour à chacune des voies ou à chaque groupe possible de 2 voies

ou bien 0.75 LM71 (ou 0.75 SW/0) doit être appliqué à 3 voies ou plus ; dans la

pratique, la situation la plus défavorable est un des deux cas suivants (voir schéma ci-

dessous) :

o LM71 ou SW/0 sur les 2 voies situées du côté de la poutre étudiée ;

o 0.75 LM71 ou 0.75 SW/0 sur toutes les voies ayant une influence transversale

positive.

Figure 2-13 : Détermination des modèles de charges défavorables pour le LM71 et SW/0




b. Modèle SW/2 :

Pour les structures supportant plus d’une voie, le modèle SW/2 doit être appliqué tour à tour à

chacune des voies, le modèle LM71 ou SW/0 étant appliqué aux autres voies conformément

aux explications précédentes ; les combinaisons étant trop nombreuses, la chaîne calcule

uniquement les effets du passage d’un convoi SW/2 au dessus du plan de l’âme de la poutre

étudiée.

Les groupes de charges, permettant de traiter la simultanéité des systèmes de chargement, ne

sont pas pris en compte par défaut dans la chaîne de calcul.

Méthode de calcul des effets

La méthode pour calculer les effets des actions du trafic ferroviaire est la suivante :

Pour chaque modèle de charge (LM71, SW/0 ou SW/2), on applique un convoi sans

prendre en compte les éventuels coefficients :

o En flexion simple ;

o En torsion simple en considérant que la charge est appliquée à 1 m, dans le cas

d’un caisson.

Les effets des charges de trafic sur la structure sont alors obtenus en multipliant les

efforts précédents par un coefficient pondérateur global rendant compte des effets

suivants :

o nombre et influences des voies ;

o excentricité e ;

o coefficient de charges classifiées α ;

o coefficient dynamique ϕ ;

o éventuellement les forces centrifuges.

NOTE : L’excentricité maximale e est appliquée à toutes les voies chargées vers le même côté

du tablier, voir schéma ci-dessous :

Figure 2-14 : Application de l'excentricité e

Les données d’entrée relatives au trafic ferroviaire nécessaires pour le calcul sont donc :

le nombre de voies et leur sens de circulation ;

la position des voies par rapport à l’axe de symétrie vertical de l’ouvrage ;

le coefficient α pour déterminer les charges verticales classifiées, à choisir parmi les

valeurs suivantes : 0.75 – 0.83 – 0.91 – 1.00 – 1.10 – 1.21 – 1.33 – 1.46

le choix de coefficient dynamique ϕ valant ϕ2 si la voie est soigneusement entretenue

et ϕ3 si la voie est normalement entretenue ;

le type de trafic, normal ou lignes de métro ;




le trafic annuel en tonnes/voie.

Données générées

- Charge de trafic à appliquer sur la poutre étudiée.

2.2.3.6 Chargement de fatigue

Les sollicitations sont comme précédemment calculées à partir d’une analyse globale

élastique prenant en compte les zones fissurées sur appuis intermédiaires et le phasage de

construction. Le chargement de fatigue étant une charge variable, le coefficient d’équivalence

à considérer est 0n .

Le modèle de chargement de fatigue dépend du type de pont.

2.2.3.6.1 Ponts routiers

La variation de contrainte au niveau de l’élément à justifier est calculée sous le passage

unique sur le pont d’un véhicule calibré. L’article 6.8.4(4) de l’EN 1994-2 propose d’utiliser

le modèle 3 de charge de fatigue défini à la section 4.6 de l’EN 1991-2, que l’on note dans la

suite FLM3.

Il s’agit d’un modèle à véhicule unique consistant en 4 essieux de 2 roues identiques, circulant

centré dans les voies lentes. La charge est de 120 kN/essieu et la surface de contact de chaque

roue est un carré de 0.40m de côté. La géométrie du véhicule est donnée ci-dessous :

Figure 2-15: Convoi de fatigue du modèle FLM3

Le nombre et les positions des voies lentes vln sont donnés dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.

Pour les armatures, les charges d’essieu du modèle LM3 doivent être multipliées par les

coefficients suivants :

1.75 pour une vérification au droit des appuis intermédiaires (15% des portées

adjacentes) ;

1.40 pour une vérification dans les autres zones.

2.2.3.6.2 Ponts ferroviaires

La variation de contrainte au niveau de l’élément à justifier est calculée sous le passage

unique sur le pont d’un véhicule calibré. L’article 6.8.4(6) de l’EN 1994-2 propose d’utiliser

les valeurs caractéristiques du modèle de chargement 71 défini à la section 6.3.2 de l’EN




1991-2, que l’on note dans la suite FLM71. Les valeurs caractéristiques sont multipliées par le

coefficient de charge classifié α.

Le modèle de chargement 71 est illustré dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.3.

Dans la partie traitant du post-processeur, on note d’une manière générale FLM pour le

convoi de fatigue.

2.2.3.7 Gradient thermique

Le gradient thermique est une action variable à court terme. Il agit donc sur la section mixte

homogénéisée court terme, uniquement en flexion, de coefficient d’équivalence n0. Il est

défini dans l’EN 1991-1-5.

D’après l’EN 1991-1-5, 6.1.2, le gradient thermique sur les ponts mixtes se décompose en 2

composantes :

une composante de variation de température uniforme ;

un gradient thermique non linéaire.

La composante de température uniforme provoque une variation de longueur du tablier. Dans

notre cas, nous avons pris l’hypothèse d’un tablier libre sur appuis, cette variation de longueur

n’engendre donc pas de contraintes supplémentaires. Il n’est donc pas utile de la calculer.

Les Eurocodes proposent plusieurs méthodes pour calculer le gradient non linéaire. Le

document d’application national impose l’utilisation de la procédure simplifiée de la méthode

2 (cf. EN 1991-1-5, 6.1.4.2 AN).

On applique une variation de 10°C dans la dalle béton sur toute sa hauteur par rapport à

l’acier de charpente, voir schéma ci-dessous :

Figure 2-16 : Application du gradient thermique

Le gradient positif est noté ΔTM,heat et le gradient négatif ΔTM,cool.

Le gradient thermique s’apparente à un retrait d’un point de vue des déformations puisqu’il

s’agit d’une situation dans laquelle le béton se déforme sur toute sa hauteur d’une valeur : 41010 CbgradTh




2.2.3.8 Combinaisons d’actions à prendre en compte

La spécificité des ouvrages mixtes réside dans la prise en compte du retrait dans les

combinaisons. Pour les combinaisons ELU et ELS, le retrait est pris en compte avec un

coefficient pondérateur de 1 et il n’est pas pris en compte si son effet est favorable.

Les effets du retrait se décomposent en effets primaires (ou isostatiques) et effets secondaires

(ou hyperstatiques). Les contraintes dues au retrait primaire sont ajoutées directement lors du

calcul des contraintes totales si le retrait est pris en compte.

La norme Eurocode de référence pour la détermination des combinaisons est l’EN 1990 et son

Annexe Nationale normative A2 « Application aux ponts ». Les combinaisons à appliquer

sont les suivantes :

2.2.3.8.1 Notations

inf,sup, kk GetG : Sollicitations sous charges permanentes tenant compte du phasage

(respectivement défavorable et favorable) ;

S : Enveloppe des sollicitations dues à l’action du retrait du béton ;

kT : Enveloppe des sollicitations dues aux effets thermiques ;

kk TSetUDL : Enveloppe des sollicitations dues aux charges du LM1.

2.2.3.8.2 Combinaisons ELS

Conformément au paragraphe A2.4.1 de l’Annexe A2 de l’EN1990, il convient de prendre en

compte les combinaisons suivantes :

- Combinaisons à l’ELS caractéristique :

kkkkk TTSUDLSGOUG 6.0)1/0(inf,sup,

kkkkk TTSUDLSGOUG 75.04.0)1/0(inf,sup,

- Combinaisons à l’ELS fréquent :

kkkkk TTSUDLSGOUG 5.075.04.0)1/0(inf,sup,

kkk TSGOUG 6.0)1/0(inf,sup,

- Combinaison à l’ELS quasi permanent :

kkk TSGOUG 5.0)1/0(inf,sup,

2.2.3.8.3 Combinaisons ELU

En situation de projet durable, les combinaisons fondamentales ELU à considérer sont :

kkkkk TTSUDLSGOUG 6.05.135.1)1/0(0.135.1 inf,sup,

kkkkk TTSUDLSGOUG 5.175.04.035.1)1/0(0.135.1 inf,sup,




2.2.3.8.4 Combinaison de fatigue

Les sollicitations sont déterminées à partir d’une combinaison de base des charges non

cycliques, donnée à l’article 6.8.3 de l’EN 1992-1-1 :

kkk TSGOUGBASE 1,1inf,sup, )1/0(

Où :

kT représente les effets du gradient thermique non linéaire ;

6.01,1 d’après l’EN 1990.

La combinaison de base non cyclique n’est pas utilisée comme une enveloppe. On considère

les deux enveloppes de moment de flexion comme un état de sollicitation donné dans le

tablier. À chacun des deux états de base est ajoutée l’enveloppe des moments de flexion du

convoi de fatigue.

On aura donc les deux combinaisons finales :

FLMBASE min

FLMBASE max

2.3 Prise en compte de la fissuration du béton et du traînage de cisaillement

L’analyse globale ou structurale est l’analyse de l’ouvrage dans son ensemble pour la

détermination des sollicitations et des contraintes dans toutes les sections.

Cette analyse doit tenir compte de la fissuration du béton, de son retrait, de son fluage et du

phasage de construction.

2.3.1 Fissuration du béton

Les effets de la fissuration du béton sont développés dans l’EN1994-2, 5.4.2.3. La prise en

compte de la fissuration du béton se fait en deux temps. Une première analyse globale est

réalisée avec du béton non fissuré. Aux ELS, sous combinaison caractéristique :

1 1

,,01,, """"""j j

ikikjk QQPG (Cf. 2.2.3.8.2 ci-dessus)

Les contraintes sont alors calculées comme expliqué en 1.Annexe 6. Dans les sections dont la

contrainte longitudinale de la fibre supérieure de la dalle dépasse 2fctm, le béton est considéré

comme fissuré pour la deuxième analyse globale.

Lors de cette deuxième analyse « fissurée », la section considérée dans les zones fissurées se

réduit aux armatures passives du béton et à la charpente en acier.

L’analyse fissurée peut être appliquée directement en considérant des zones fissurées de

longueurs égales à 15% des portées de part et d’autre des appuis intermédiaires dans le cas

où :

- il n’y a aucune dénivellation d’appuis

- le rapport entre deux travées adjacentes est toujours > 0.6




Il serait intéressant de tester les deux méthodes, mais la détermination des zones fissurées par

itération reste la plus précise. Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de nouvelle section à considérer

comme fissurée, on continue les analyses et les calculs de contraintes successifs.

Une fois la détermination effectuée, dans ces zones :

le poids propre du béton est tout de même pris en compte dans ces zones ;

les déformations dues à l’effort normal de retrait, ou du gradient thermique non

linéaire, dans la dalle béton ne sont plus introduites dans les zones fissurées de

l’analyse globale. Les effets isostatiques dus au retrait sont alors négligés dans le

calcul des effets hyperstatiques (EN 1994-2, 5.4.2.2 (8)) ;

dans les zones fissurées de l’analyse globale, l’épaisseur de dalle béton à considérer

dans le calcul de la rigidité de torsion de Saint-Venant est réduite de moitié, dans le

cas du caisson.

2.3.2 Traînage de cisaillement

2.3.2.1 Traînage de cisaillement dans la dalle en béton

Le traînage de cisaillement dans la dalle est pris en compte par la réduction de la largeur réelle

de la dalle à une largeur participante ou efficace.

On note b0 l’entraxe entre les files extérieures de connecteurs, b1 et b2 les largeurs

géométriques réelles de la dalle en béton associée modélisée (à ne pas confondre avec les

largeurs de la dalle équivalente), voir schéma ci-dessous.

Figure 2-17 : Notations utilisées pour le calcul de la largeur efficace de la dalle

La largeur efficace de la demi-dalle en béton est donnée par la formule :

22110 eeeff bbbb




Elle dépend de la position de la section sur l’ouvrage, voir schéma ci-dessous :

Figure 2-18 : Détermination des portées équivalentes

Calcul des portées équivalentes Le

Pour les travées d’extrémités : Lei = 0.85 * Li

Pour les travées intermédiaires : Lei = 0.70*Li

Au droit des appuis intermédiaires : Lei = 0.25*(Li-1+Li)

Calcul des coefficients bêta pour les sections sur culées

Pour les sections hors culées : β = 1

1;025.055.0min

1

1

e

e

b

L et

1;025.055.0min

2

2

e

e

b

L

Calcul de be1 et be2

11 ;

8min b

Lb e

e et

22 ;

8min b

Lb e

e

D’après l’EN1994 5.4.1.2, il est possible de déterminer les largeurs efficaces de manière

simplifiée. C'est-à-dire qu’on utilise une largeur participante constante par travée et égale à la

largeur participante au centre de chaque travée. Cela évite d’avoir à calculer les coefficients β

et permet d’avoir moins de nœuds à créer pour la modélisation. Cette méthode est utilisée par

la chaîne de calcul.

Lors de la réduction de largeur, il faut vérifier que la largeur participante du rectangle

supérieure est toujours supérieure à la largeur du rectangle inférieur qui modélise la dalle.

Dans le cas contraire, il faut aussi réduire la largeur du rectangle inférieur.




Soit bsup et binf les largeurs réelles des deux rectangles qui modélisent la dalle. Une fois qu’on connait la largeur équivalente beff,sup il faut vérifier : SI (binf > beff,sup) ALORS beff,inf = beff,sup SINON beff,inf = binf

2.3.2.2 Traînage de cisaillement dans l’acier

D’après l’EN 1993-1-1, 5.2.1 (5), pour le calcul des sollicitations, on doit considérer l’effet du

traînage de cisaillement dans l’acier. Cependant, cet effet peut être négligé dans le cas de

profilé laminé ou de PRS.

Dans le cas du bipoutre, cet effet n’est donc pas considéré. Cependant, dans le cas des

caissons, il faudra en tenir compte conformément à l’EN 1993-1-5, 2.2.

2.4 Modélisation du tablier

Le tablier est modélisé par une file continue de barres 3D placées au niveau des fibres neutres

des sections modélisées par rapport à une ligne de référence fixe qui est par défaut le dessus

de la semelle supérieure.

Les propriétés mécaniques des sections sont calculées par rapport aux modules de l’acier au

moyen de coefficient d’équivalence. À chaque cas de charge correspond des sections

résistantes et, par conséquent, une famille de barres.

2.4.1 Création des nœuds

En reprenant les sous-parties précédentes, il est nécessaire de générer des nœuds :

aux appuis (piles et culées) ;

aux quarts et trois-quarts des travées (largeurs participantes) ;

aux extrémités des zones fissurées (analyse fissurée) ;

aux points de variations de la répartition d’acier ;

aux niveaux des raidisseurs transversaux ;

aux niveaux des plots de béton ;

aux niveaux de sections d’études particulières (propre au projet).

Le programme génère la liste complète des abscisses des nœuds, en prenant garde de détruire

les éventuels doublons.

2.4.2 Création des barres

Entre chacun de ces nœuds sont générées 5 familles de barres pour l’étude de la flexion,

associées à des sections mixtes homogénéisées :

barres 1000 : acier seul ;

barres 2000 : mixtes pour le bétonnage ;

barres 3000 : mixtes pour le retrait;

barres 4000 : mixtes pour les superstructures;

barres 5000 : mixtes court terme.




Pour chaque famille de barres, les propriétés mécaniques des sections, situées au début et à la

fin des barres, sont calculées :

soit en prenant l’acier seul pour les barres 1000 ;

soit en prenant l’acier et le béton (sans les armatures) pondéré par le coefficient

d’équivalence acier/béton n de la famille, pour les sections mixtes dont l’état fissuré

est « non » ;

soit en prenant l’acier et les armatures pour les sections mixtes dont l’état fissuré est «

oui ».

2.4.3 Calcul des caractéristiques mécaniques des barres

Il s’agit de calculer l’aire, l’axe neutre élastique, le moment d’inertie de flexion et le moment

d’inertie de torsion de chaque barre.

2.4.3.1 Barres acier seul

Les caractéristiques des barres d’acier seul sont celles de la section d’acier.

2.4.3.2 Barres mixtes non fissurées

On note zi, Ai et Ii respectivement la position de l’axe neutre (par rapport au dessous de la

semelle inférieure), l’aire et le moment d’inertie de la section avec :

i = a pour l’acier

i = b pour le béton

i = m pour la section mixte

Les caractéristiques mécaniques de la dalle correspondent :

à un demi-hourdis pour le bipoutre ;

au hourdis entier pour le caisson.

On considère les coefficients d’équivalence n en flexion et nG en torsion.

Les formules sont valables pour les sections brutes ou efficaces.

L’aire de la section mixte est :

n

AAnA b

am )(

La position de l’axe neutre est :

)(

)(

)(nA

n

AhzAz

nzm

b

baa

m

Où zb est la distance du centre de gravité de la dalle en béton par rapport au dessus de la

semelle supérieure de la charpente.

Le moment d’inertie de flexion est :




n

Azhz

n

IzzAInI b

mb

b

maaam 22 )()()(

La rigidité de torsion d’un caisson est supposée être gouvernée par la torsion uniforme.

Cependant, le cas du caisson n’est pas étudié ici.

2.4.3.3 Barres mixtes fissurées

On note A2, z2, I2 et IT,2 les propriétés de la section fissurée.

L’aire de la section fissurée est :

sa AAnA )(2

La position de l’axe neutre de la section fissurée est :

)(

)()()(

2

2nA

AvhAvhAznz tsursstslrsiaa

La position de l’axe neutre de la section fissurée est :

2

2

2

2

2

22 )()()()( zvhAzvhAzzAInI sstsursitslraaa

2.5 Modélisation des chargements

2.5.1 Organisation des calculs

Il s’agit d’effectuer deux calculs en parallèle :

- à court terme (mise en service)

- à long terme (infini ou 100 ans)

Dans le calcul à court terme, les sollicitations provoquées par les chargements dans les

sections mixtes seront calculées en prenant en compte le coefficient d’équivalence à court

terme 0n . Par contre, dans le calcul à long terme, les sollicitations dans les sections mixtes

doivent être calculées en prenant en compte le coefficient d’équivalence à long terme

correspondant au type de chargement appliqué (bétonnage, retrait, superstructure) tandis que

les chargements variables restent appliqués pour 0n .

Une fois les deux calculs effectués, il faut déterminer les cas de sollicitations les plus

défavorables en prenant les deux calculs en compte.




Figure 2-19 : Organigramme de l'analyse globale (Guide du Sétra)




2.5.2 Charges permanentes à long terme

2.5.2.1 Poids propre de la charpente

Ce chargement s’applique sur les barres 1000, l’acier seul. Le poids propre de l’acier est

calculé automatique par le logiciel.

Il faut cependant ajouter la surcharge répartie d’acier dû aux montant et raidisseurs, ainsi que

des forces ponctuelles au droit des appuis. Cette surcharge a été entrée directement par

l’utilisateur. De même pour les surcharges ponctuelles au droit des appuis.

2.5.2.2 Poids propre du béton mou et décoffrage

Ce chargement est appliqué par plot (cf. phasage).

Le poids propre du béton mou ainsi qu’une surcharge dû au coffrage est appliqué sur les

barres 1000, l’acier seul, tandis qu’une surcharge négative est appliquée sur les barres 2000

(mixte pendant le bétonnage) bétonnées lors de la phase précédente.

2.5.2.3 Retrait

Les valeurs de déformations dues au retrait à long terme (calculées précédemment)

s’appliquent sur les barres 3000 (mixte pendant le retrait) sauf sur les barres dont le béton est

considéré comme fissuré.

2.5.2.4 Charges de superstructures

Les charges de superstructure s’applique sur les barres 4000 (mixte pour les superstructures)

2.5.3 Charges permanentes à court terme

2.5.3.1 Poids propre de la charpente

Les charges permanentes d’acier s’appliquent de la même façon qu’en long terme : cf.

§2.5.2.1 ci-dessus.

2.5.3.2 Poids propre du béton mou

Comme pour 2.4.2.2, ce chargement est appliqué par plot. Cependant, la surcharge négative

due au décoffrage est appliquée sur les barres 5000 (n0).

2.5.3.3 Retrait

Les valeurs de déformations dues au retrait à court terme s’appliquent plot par plot comme le

poids du béton mou mais sur les barres mixtes 5000, de la même manière que les charges de

béton mou.




2.5.3.4 Charges de superstructures

Les charges de superstructure s’appliquent sur les barres 5000.

2.5.4 Chargements dus aux actions variables

Ces chargements regroupent :

le chargement du au trafic

le chargement de fatigue

le gradient thermique

Ces chargements s’appliquent successivement sur les barres mixtes 5000.




3 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons

3.1 Géométrie

3.1.1 Charpente métallique

La charpente du caisson peut avoir deux géométries différentes :

caisson métallique fermé ;

caisson métallique non fermé.

Une section complète d’un caisson métallique est composée :

d’une ou deux semelles supérieures selon la géométrie choisie ;

de deux âmes, éventuellement inclinées par rapport à la verticale ;

d’une semelle inférieure, dont la partie interne entre les âmes est appelée tôle de fond.

Figure 3-1 : Notations utilisées pour les ponts caissons

La section transversale d’un caisson dépend donc des 8 paramètres géométriques suivants :

la largeur de la semelle inférieure : bfb

la largeur de la tôle de fond de caisson : pb

l’épaisseur de la semelle inférieure : bft

la hauteur « verticale » de l’âme : weqh

l’épaisseur de l’âme : wt

l’angle de l’âme par rapport à la verticale : w

la largeur de la semelle supérieure : tfb

l’épaisseur de la semelle supérieure : tft

On note la hauteur totale de la charpente : bfweqtf hhhh

tfb

tb

pb

bfb

weqh

w

tft

bft

wt




3.1.2 Raidisseurs

Des raidisseurs longitudinaux peuvent être ajoutés sur les âmes et la tôle de fond de caisson.

Sur les âmes, comme dans le cas du bipoutre, seuls des raidisseurs plats et en Té sont prévus.

Leur position peut être entrée directement par l’utilisateur mais ils seront uniformément

répartis par défaut. Ces raidisseurs ne sont pas non plus pris en compte pour le calcul des

sollicitations.

Sur la tôle de fond de caisson, trois types de raidisseurs sont prévus :

raidisseurs plats (Cf. Bipoutre)

raidisseurs en Té (Cf. Bipoutre)

augets

Les données d’entrée nécessaires pour caractériser un auget sont :

Ces raidisseurs seront uniformément répartis sur la tôle de fond de caisson entre les âmes.

Figure 3-2 : Positionnement de raidisseurs plat ou en Té sur la tôle de fond de caisson

Figure 3-3 : Positionnement des raidisseurs en auget sur la tôle de fond de caisson

e e e e

e e e

3stb

1stb

2stb

stt




3.1.3 Dalle béton

Les ponts caissons sont modélisés par une unique poutre. Contrairement au cas des bipoutres,

le hourdis en béton est complètement pris en compte.

Dans le cas des caissons acier ouverts, chaque demi-hourdis est modélisé de la même manière

que le demi-hourdis pris en compte pour modéliser le bipoutre.

Figure 3-4 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier ouvert

Par contre, dans le cas des caissons acier fermés, le hourdis complet est modélisé par deux

rectangles sur le même principe que précédemment.

Figure 3-5 : Modélisation de la dalle béton pour un caisson acier fermé

3.1.4 Appuis

Les appuis sont modélisés de la même manière que pour les ponts bipoutres.

3.2 Traînage de cisaillement

Dans le cas des caissons, il faut tenir compte du traînage de cisaillement dans les semelles

conformément à l’EN 1993-1-5, 2.2.

Soit 0b égal à :

la demi-largeur de la semelle inférieure,

la demi-largeur de la semelle supérieure pour un caisson fermé,

la largeur de la partie en console des semelles supérieures pour un caisson ouvert.




La largeur efficace prenant en compte le traînage de cisaillement se calcule ainsi :

)8

;min( 0Lbbeff

Avec L égal à, selon la position de la section :

la longueur de la travée

ou deux fois la longueur de la console

3.3 Calcul des caractéristiques – Prise en compte de la torsion

Un des intérêts des caissons est leur plus grande résistance à la torsion, il est donc nécessaire

de prendre celle-ci en compte. Pour cela, il faut calculer l’inertie de torsion pour chaque barre

générée dans le modèle numérique.

L’inertie de torsion Ix est calculée à partir d’une formule simplifiée (Cf. Annexe 3) :

el

AI x

24

Avec :

A : l’aire de la section fermée (ayant pour limite le milieu de chaque élément du

contour)

l : la longueur de chacun des éléments du contour

e : l’épaisseur de chacun des éléments du contour

Pour prendre en compte la dalle, il faut ramener l’étude au calcul de l’inertie d’une section

homogène. Pour cela, il est nécessaire de réduire l’épaisseur de la dalle à une épaisseur fictive

d’acier :

G

dalle

n

ee *

Avec : )1(0 tLGG nn qui dépend du phasage

et 2.1

3.1

1

1000

nn

G

Gn

beton

acier

acier

betonG

Soit : 2.1

3.1 nnG




4 Préprocesseur – Particularités des ponts caissons courbes

4.1 Géométrie

Dans le cas de pont caisson courbe, les particularités s’appliquant aux ponts caissons décrites

dans le chapitre précédent (Chap.3) s’appliquent ici également.

La géométrie de l’ouvrage entrée par l’utilisateur doit permettre de prendre en compte la

courbure de l’ouvrage. Le préprocesseur prendra en compte la présence de plusieurs

courbures.

L’utilisateur devra entrer les longueurs de chaque travée comme pour le bipoutre mais avec

les longueurs curvilignes au niveau du centre du tablier. Il devra aussi entrer un rayon de

courbure et la longueur curviligne associée.

Un angle de rotation devra aussi être indiqué pour chaque appui. Ceux-ci sont modélisés par

deux appuis de part et d’autre des barres de tablier et sont reliés à celles-ci par des barres

rigides. À partir de la position moyenne d’un appui donné par les longueurs curvilignes de

chaque travée et de l’angle de rotation, le préprocesseur doit générer deux nœuds

supplémentaires, deux appuis liés à ces nœuds et les barres rigides.

Figure 4-1 : Position des nœuds d'appuis

La distance entre les deux appuis est donnée par la largeur de la tôle de fond du caisson.

Travée i

Travée i+1

appui




4.2 Actions – Force centrifuge

Du fait de la courbure, il faut ajouter les forces centrifuges aux modèles des ponts courbes. Ce

chargement s’applique sur les barres représentant le tablier avec les barres de poutres 5000

(phase court terme) activées.

Ponts routes (EN1991-2, 4.4.2)

Dans le cas des ponts routes, la force centrifuge dépend du rayon de courbure et des tandems

TS du modèle de charge LM1. Elle s’applique au niveau de la chaussée, perpendiculairement

de cette dernière et dirigée vers l’extérieur.

Soit tkQ , la force centrifuge caractéristique en tout point du tablier en kN

mR 200 Vtk QQ 20.0

mR 1500200 RQQ Vtk 40

mR 1500 0tkQ

Tableau 4-1 : Valeurs caractéristiques de la force centrifuge

Avec : i

ikQiV QQ )2( , la somme des forces ponctuelles des tandems TS.

Pont ferroviaire (EN1991-2, 6.5.1)

Dans le cas des ponts ferroviaires, la force centrifuge est dirigée vers l’extérieur à une hauteur

de 1.80 m au dessus du plan de roulement et elle est combinée avec les charges verticales de

trafic.

)(127

2

Vktk QfR

VQ

et )(

127

2

Vktk qfR

Vq

Avec VkQ et Vkq , les valeurs caractéristiques des charges verticales de trafic

f : un coefficient réducteur

V : la vitesse maximale en km/h

Pour ces deux derniers paramètres, se reporter à l’article 6.5.1 de l’EN 1991-2. Ils peuvent

être demandés comme données d’entrée à l’utilisateur.

Dans les deux cas

De plus, l’excentrement du point d’application nécessite l’ajout d’un moment de torsion Mx

dans la modélisation :

tkmixtecentrifuge

Q

tk QzzM

et tkmixtecentrifuge

q

tk qzzM si nécessaire




5 Préprocesseur – Particularités des ponts bipoutres biais et courbes

Les particularités vues précédemment pour les ponts caissons courbes s’appliquent ici

également.

5.1.1 Géométrie du tablier

Dans le cas des ponts bipoutres courbes, la totalité du tablier est modélisé en trois dimensions.

Les deux poutres principales du bipoutre sont modélisées chacune par cinq séries de barres

avec leur caractéristiques réelles comme dans le cas de la poutre modélisée sur un pont droit.

(SX …… SZ 0.001 IY …… sy 0.001 ix 1e-5 iz 1e-5)

Une autre série de barre est créée entre les deux poutres pour modéliser le tablier et sur

lesquelles les charges s’exerçant sur la structure mixte seront appliquées : la charge de

décoffrage, les charges de superstructure et les charges routières (les déformations restent

appliquées sur les barres représentant les poutres). Il s’agit de barres très souples et de section

nulle.

(SX 1e-5 IY 1e-5 IZ 1e+5 IX 1e-5).

Trois séries de nœuds seront donc générées : une série pour chaque poutre ainsi qu’une série

au centre des deux poutres.

Ces trois séries de barres longitudinales sont ensuite reliées par des barres transversales

rigides.

(SX 1e+5 IY 1e+5 IZ 1e+5 IX 1e+5)

Ces barres relient les nœuds des poutres aux nœuds représentant le tablier et leur

excentrement est déterminé de manière à les disposer au niveau de la face supérieure de la

dalle béton. Elles sont uniformément réparties longitudinalement tous les 4m environ par

défaut ou selon une longueur entrée par l’utilisateur.

D’après l’exemple traité en 1.Annexe 2, on peut remarquer que les différences de résultats

entre l’utilisation de barres transversales rigides et de barres ayant les caractéristiques du

béton sont très faibles (de l’ordre de 0.02%). La même remarque peut être formulée pour les

différences entre la prise en compte des entretoises ou non dans le modèle. C’est pour cela

que les barres transversales sont modélisées par des barres rigides et que les entretoises ne

sont pas modélisées.

5.1.2 Modélisation des appuis

Les appuis se modélisent comme dans le cas du caisson courbe. Seule la manière de

déterminer la distance entre les deux appuis change. Dans le cas du bipoutre, courbe ou biais,

les appuis se placent au droit des poutres principales.




6 Post processeur

6.1 Généralités

Une fois le calcul des sollicitations réalisé par un logiciel annexe, le post-processeur doit

prendre le relais pour effectuer toutes les vérifications requises. Il doit donc être capable de

récupérer les données entrées et calculées par le préprocesseur ainsi que les sollicitations

calculées dans chacune des sections modélisées et pour chaque famille de barres.

Figure 6-1 : Logigramme de fonctionnement du post processeur

Vérification d’une section (M,V)

Calcul de la section efficace S

(Traînage de cisaillement)

Détermination de l’axe neutre plastique

Hypothèse : classe 1 ou 2

Classe 1 ou 2 ? OUI : Calcul plastique NON : Calcul élastique

Vérification du

cisaillement

Vérification M

ou M-V s’il y a

interaction

Calcul des

contraintes

Classe 3 ?

OUI

NON : Classe 4

Vérification du

cisaillement

Vérification M

ou M-V s’il y a

interaction

Calcul de la section efficace P

(Voilement)

Calcul des contraintes




6.2 Données d’entrée supplémentaires

Dans un premier temps, il est nécessaire de récupérer les données entrées dans le

préprocesseur ainsi que les données ayant été générées et les sollicitations calculées par le

logiciel intermédiaire pour chacune des sections. La plupart des données requises pour réaliser

les vérifications sont donc déjà connues.

Le programme peut cependant laisser le choix à l’utilisateur des vérifications à réaliser, sous

la forme d’une liste de cases à cocher par exemple. Cela permettrait de diminuer le temps de

calcul en évitant les vérifications inutiles.

6.3 Choix des sections à vérifier

Chaque sous-panneau de l’ouvrage, délimité par les entretoises, doit être vérifié. Il faut donc

définir les sections à vérifier dans chacun des sous-panneaux et l’enveloppe de sollicitations

utilisée pour chacun d’entre eux.

Pour simplifier, chaque extrémité de barres, provenant du modèle généré par le préprocesseur,

sera vérifiée.

6.4 Classification des sections et calcul des sections efficaces

Comme pour le calcul des sollicitations, il faut prendre une section efficace de béton et

d’acier prenant en compte le traînage de cisaillement dans tous les cas, dite section efficace S,

et sa sensibilité au voilement pour la vérification de flexion à l’ELU, dite section efficace P.

6.4.1 Traînage de cisaillement

6.4.1.1 Traînage de cisaillement dans la dalle béton

Comme pour le calcul des sollicitations, le traînage de cisaillement dans la dalle est pris en

compte par la réduction de la largeur réelle de la dalle à une largeur participante ou efficace.

Pour rappel, on note b0 l’entraxe entre les files extérieures de connecteurs, b1 et b2 les largeurs

géométriques réelles de la dalle en béton associée modélisée (voir schéma § 2.3.2.1).

Calcul des portées équivalentes Le

Pour les travées d’extrémités : Lei = 0.85 * Li

Pour les travées intermédiaires : Lei = 0.70*Li

Au droit des appuis intermédiaires : Lei = 0.25*(Li-1+Li)

Calcul des coefficients bêta pour les sections sur culées

Pour les sections hors culées : β = 1




1;025.055.0min

1

1

e

e

b

L et

1;025.055.0min

2

2

e

e

b

L

Calcul de be1 et be2

11 ;

8min b

Lb e

e et

22 ;

8min b

Lb e

e

Contrairement à la simplification effectuée pour le calcul des sollicitations, il n’est plus

possible d’utiliser une largeur constante par travée. Les coefficients β doivent donc être

calculés et la répartition linéaire aux extrémités des travées doit être prise en compte.

6.4.1.2 Traînage de cisaillement dans l’acier

Les largeurs efficaces des semelles d’acier, tant pour le bipoutre que pour le caisson, sont à

calculer pour l’ELS et l’ELU de fatigue d’une part et pour l’ELU d’autre part. D’après

l’EN1993-1-5, 3(1), le traînage de cisaillement peut être négligé si50

0eL

b .

Pour rappel, 0b est défini au paragraphe §3.2 - Traînage de cisaillement.

Le calcul des largeurs efficaces à l’ELS et l’ELU de fatigue est donné dans l’EN1993-1-5,

3.2.1.

6.4.1.2.1 Largeurs efficaces à l’ELS et l’ELU de fatigue

Dans le cas où le traînage de cisaillement n’est pas négligeable, la largeur efficace S d’une

semelle est donnée par la formule :

0bbeff

Le calcul du coefficient dépend de :

la position de la section sur l’ouvrage, comme dans le calcul de la section efficace de

béton : voir la Figure 2-18 : Détermination des portées équivalentes.

d’un coefficient qui dépend de la section des raidisseurs longitudinaux et de la

distance approximative entre les points de moment fléchissant nul eL .

e

sl

e L

b

tb

A

L

b 0

0

00 1

Où slA est l’aire de l’ensemble des raidisseurs longitudinaux situés dans la largeur 0b

(dans le cas de la tôle de fond de caisson, il s’agit de la moitié de l’aire totale des

raidisseurs).

Les formules permettant de calculer le coefficient sont données dans le tableau 3.1 de l’EN

1993-1-5.




Tableau 6-1: Coefficient β de largeur efficace S

Il existe donc 4 cas de calcul de largeur efficace.

Appuis d’extrémité à 4

1 de travée

Pour une travée de portée L, on a au niveau de l’appui :

LLe 85.0 pour la distance approximative entre les points de moment fléchissant

nul

10 1;025.0

55.0min

Pour les sections de la zone a, la valeur est extrapolée de manière linéaire entre la valeur sur

appui et la valeur à 4

1 de la portée. Le calcul de 1 est développé ci-dessous.

Travée de rive de 4

1 à 4

3 de la portée

Pour une travée de portée L, on a :

LLe 85.0

1 où 1 dépend de :

0.11 si 02.0

214.61

1

si 70.002.0




9.5

11 si 70.0

Appuis intermédiaires de 4

1 à 4

1 de travées adjacentes

Pour des travées adjacentes de portées 1L et 2L , on a au niveau de l’appui :

2125.0 LLLe

2 où 2 dépend de :

0.12 si 02.0

2

2

6.12500

10.61

1

si 70.002.0

6.8

11 si 70.0

Pour les sections dans la zone c, la valeur est extrapolée de manière linéaire entre la valeur sur

l’appui intermédiaire et la valeur à 4

1 de la portée du côté de la section.

Travée intermédiaire de 4

1 à 4

3 de la portée

Pour une travée de portée L, on a :

LLe 70.0

1

Le calcul de 1 est développé ci-dessus.

6.4.1.2.2 Largeurs efficaces à l’ELU

Dans le cas où le traînage de cisaillement n’est pas négligeable, la largeur efficace S d’une

semelle est donnée par la formule :

0bb ELUeff

La section 3.3 de l’EN 1993-1-5 propose 3 méthodes d’évaluation de ELU . La méthode

retenue est la méthode recommandée de la note 3 de l’article 1 :

;maxELU

Où et sont les coefficients calculés dans le cas des vérifications à l’ELS et à l’ELU de

fatigue (voir paragraphe précédent).

Remarque :

La position du centre d’inertie d’une section mixte n’est pas nécessairement la même

pour le calcul des sollicitations et pour la vérification des sections ; dans le cas de la

flexion simple, cette différence ne pose pas de problèmes ;




la largeur efficace S de la semelle inférieure complète d’un caisson doit être

déterminée en considérant chaque partie en console ; en général, les parties en

consoles des semelles inférieure et supérieure ne sont pas réduites car plus petites que

50eL ;

la réduction au traînage de cisaillement d’une semelle inférieure ne modifie pas la côte

de son centre d’inertie.

6.4.2 Classification de la section

Le concept de classe permet de déterminer dans quelle mesure la résistance est limitée par le

voilement local des éléments de la charpente. Une section mixte est classée sur une échelle de

1 à 4, en fonction de la classe la plus élevée des parois élémentaires qui la composent. La

classification des sections mixtes est traitée dans l’EN1994-2, 5.5 qui renvoie à l’EN1993-1-1,

5.5.2 où les différentes classes sont définies.

La classe d’une paroi dépend de son élancement, de ses conditions d’appui – le fait qu’elle

soit bordée d’un seul côté (paroi en console) ou des deux côtés (paroi interne) par des parois

perpendiculaires stabilisantes – et des contraintes à l’ELU.

Le voilement local ne peut être provoqué que par des contraintes de compression. Par

conséquent toute paroi entièrement tendue est de classe 1 quel que soit son élancement.

L’article 5.5.2(1) de l’EN 1994-2 permet de considérer que la semelle supérieure est de classe

1, à condition que les connecteurs respectent les espacements définis à l’article 6.6.5.5 de

l’EN 1994-2. Cette hypothèse est considérée comme vérifiée dans la chaîne de calcul.

La détermination de la classe est effectuée en plusieurs étapes, par suppositions successives.

6.4.2.1 Etape 1 : analyse plastique (hypothèse de classe 1 ou 2)

La section est supposée être de classe 1 ou de classe 2, c’est-à-dire susceptible de développer

son moment résistant plastique. La distribution plastique des contraintes sera donc utilisée.

La section est effectivement de classe 1 ou 2 si elle vérifie certaines conditions. Selon le signe

du moment sollicitant total MEd, on détermine la position de l’axe neutre plastique, de cote

zpl, mesurée par rapport au dessous de la semelle inférieure. La détermination de la position

de l’axe neutre plastique est développée en 1.Annexe 7.

On s’intéresse alors à la distribution plastique de contraintes dans la semelle inférieure et dans

l’âme.

Semelle inférieure

On peut considérer raisonnablement que l’axe neutre plastique ne se trouve pas dans la

semelle inférieure. Ainsi, la semelle inférieure est :

soit tendue si MEd ≥ 0, et donc de classe 1

soit comprimée si MEd < 0 :

o pour le caisson, l’hypothèse de classe 1 ou 2 n’est pas vérifiée ;

o pour le bipoutre, la classe de la semelle inférieure dépend de son élancement :




bf

bf

wbf

t

tb

9

2 : Classe 1

bf

bf

wbf

bft

tb

10

29 : Classe 2

bf

bf

wbf

t

tb

10

2 : Analyse élastique nécessaire

Avec ybf

bff

235

Âme

L’âme, non raidie longitudinalement, peut être entièrement tendue, entièrement comprimée ou

partiellement comprimée :

Si l’âme est entièrement tendue, elle est de classe 1 ;

Si l’âme est entièrement comprimée, alors sa classe dépend de son élancement :

o w

w

w

t

h 33 : Classe 1

o w

w

w

wt

h 3833 : Classe 2

o w

w

w

t

h 38 : Analyse élastique nécessaire

Si l’âme est partiellement comprimée, alors sa classe dépend de son élancement et de

la proportion α d’âme comprimée, donnée par :

o w

bfplw

Edh

tzhM

0

o w

bfpl

Edh

tzM

0

Si 5.0

113

396

w

w

w

t

h : Classe 1

113

456

113

396

w

w

ww

t

h : Classe 2

113

456

w

w

w

t

h : Analyse élastique nécessaire

Si 5.0

w

w

w

t

h

36 : Classe 1




w

w

ww

t

h

5.4136 : Classe 2

113

5.41

w

w

w

t

h : Analyse élastique nécessaire

Avec yw

wf

235

Si un des deux éléments ne vérifie pas l’hypothèse de classe 1 ou 2, il faut passer à l’étape

suivante.

6.4.2.2 Etape 2 : analyse élastique (hypothèse de classe 3)

La section est supposée de classe 3. La limite avec la classe 4 dépend du diagramme élastique

de contraintes dans la section.

Les contraintes dans la section sont évaluées à l’ELU à partir des lois de comportement

élastique des matériaux en prenant en compte le phasage de construction et les aires efficaces

S (traînage de cisaillement).

La section est effectivement de classe 3 si :

Semelle inférieure :

Pour le caisson, la tôle de fond de caisson comprimée est supposé de classe 4. Il est possible

de considérer qu’elle est de classe 3 si son aire efficace P est égale à son aire brute, voir

§6.4.3 ci-dessous pour la détermination des aires efficaces P.

Pour le bipoutre, la semelle inférieure comprimée est de classe 3 si :

bf

bf

wbf

t

tb

14

2

Où bf peut être défini de deux manières :

ybf

bff

235 en considérant que la limite d’élasticité est atteinte dans la semelle

inférieure ;

bfmM

bf

0

235 en considérant la contrainte de calcul bfm dans le plan moyen de

la semelle inférieure.

Âme :

On note respectivement wb et wu la contrainte dans l’âme à la jonction avec la semelle

inférieure et à la jonction à la semelle supérieure, et on définit le rapport de contrainte w par

le rapport de la contrainte minimale sur la contrainte maximale, en considérant comme

positives les contraintes de compression :




);max(

);min(

wuwb

wuwb

w

Si 1w :

o w

w

w

w

t

h

33.067.0

42 : Classe 3

o w

w

w

w

t

h

33.067.0

42 : Classe 4

Si 1w :

o www

w

w

t

h 162 : Classe 3

o www

w

w

t

h 162 : Classe 4

Où w peut être défini de deux manières :

yw

wf

235 en considérant que la limite d’élasticité est atteinte dans l’âme ;

0

235

M

w en considérant la contrainte maximale de compression de calcul dans

l’âme.

Le calcul des contraintes est développé en 1.Annexe 6.

Si un des deux éléments ne vérifie pas l’hypothèse de classe 3 alors la section entière est de

classe 4.

Reclassement :

À titre indicatif, l’article 5.5.2(3) de l’EN 1994-2 donne la possibilité de reclasser en classe 2

une section comportant des âmes de classe 3 et des semelles de classe 1 ou 2 en remplaçant la

portion comprimée de l’âme par un élément de largeur ww t20 adjacent à la semelle

comprimée et un autre de même largeur adjacent à l’axe neutre plastique. Il est alors possible

de réaliser une justification en analyse plastique. Cette méthode n’est pas utilisée dans la

chaîne de calcul.




6.4.3 Influence du voilement sur les sections de classe 4

Si la section est de classe 4, les effets du voilement local sont pris en compte par l’utilisation

d’une section efficace, dites « P », calculée en appliquant un coefficient réducteur sur la

section efficace S dû au traînage de cisaillement : Cf. EN1993-1-5,4.4 et 4.5.

6.4.3.1 Procédure générale

Pour une paroi de classe 4 donnée, et la distribution de contrainte élastique associée, le

coefficient de réduction peut, comme dans le cas de la limite entre classe 3 et classe 4, être

déterminé en considérant :

1) soit la limite d’élasticité fy ;

2) soit la contrainte maximale de compression de calcul dans la paroi Edcomp, .

Cas 1 :

La méthode préconisée par l’EN 1993-1-5 est une méthode simplifiée où l’on suppose que la

limite d’élasticité est atteinte dans la paroi. Une paroi de classe 4 est réduite une unique fois.

Cas 2 :

La méthode alternative proposée par l’article 4.4(4) de l’EN 1993-1-5, permet de considérer

les contraintes de compression de calcul. Lorsque l’on détermine une première fois l’aire

efficace P de la section, la distribution de contrainte n’est plus la même, ce qui modifie les

contraintes de compression maximale dans les parois.

Au processus précédent, il faut ajouter un processus itératif. Il est répété tant que la

distribution de contrainte en fin de boucle est trop éloignée de la distribution de contrainte en

début de boucle. Le critère de convergence retenu est basé sur la contrainte maximale de

compression dans la section :

icompicompicomp ,,1,100

1.0

Où

icomp, est la contrainte maximale de compression à la fin de l’étape i

1, icomp est la contrainte maximale de compression à la fin de l’étape i+1

Remarque :

Il est possible qu’une paroi soit de classe 3 au cours d’une étape mais de classe 4 dans

une étape ultérieure.

La chaine de calcul suit la procédure itérative donnée dans l’Eurocode en commençant par

calculer la section efficace de la semelle inférieure puis celle de l’âme.




Figure 6-2 : Schéma de la procédure de calcul de la section efficace P




Les calculs des contraintes sont développés en annexe (Cf. 1.Annexe 6). La détermination des

sections efficaces de l’âme et de la semelle inférieure est développée ci-dessous : dans un

premier temps pour les plaques sans raidisseurs longitudinaux puis avec raidisseurs

longitudinaux.

La détermination des sections efficaces P passent par le calcul d’un coefficient de réduction

qui s’applique sur l’aire de la section comprimée :

ceffc AA ,

6.4.3.2 Plaques sans raidisseurs longitudinaux

Les plaques dépourvues de raidisseurs longitudinaux sont traitées à la section 4.4 de l’EN

1993-1-5.

D’une manière générale, la section efficace P d’une paroi de classe 4 ne comportant pas de

raidisseurs longitudinaux est déterminée en fonction de son élancement, des conditions

d’appuis et de la distribution de contrainte élastique.

Les cas pratiques rencontrés dans le cas d’un bipoutre ou d’un caisson sont :

1. paroi interne fléchie et comprimée, ou en compression pure :

� - cas d’une âme ;

� - cas d’un panneau secondaire d’une tôle de fond de caisson raidie.

2. paroi en console en compression pure :

� - cas d’une semelle inférieure d’un bipoutre ;

� - cas d’un raidisseur longitudinal de type plat simple.

6.4.3.2.1 Paroi interne fléchie et/ou comprimée

L’élancement p d’une paroi, de largeur b et d’épaisseur t, est donné par l’expression :

k

tbp

4.28

Où k est le coefficient de voilement, dépendant du rapport de contrainte k (voir tableau 4.1

de l’EN 1993-1-5) ;

yf

235 ;

b est la hauteur de la paroi (voir schéma ci-dessous) ;

t est l’épaisseur de la paroi.

Tableau 6-2 : Calcul du coefficient de voilement kσ




La formule de la dernière colonne n’est pas présente dans l’EN 1993-1-5. Comme la situation

est envisageable, on fait le choix de prolonger la fonction par la valeur en = −3 ce qui est

sécuritaire au vu de la définition de l’élancement réduit p .

Le coefficient réducteur dépend du rapport d’aspect de la plaque non raidie :

Figure 6-3 : Géométrie d'une plaque

Cas 1b

a

La section efficace P de la paroi est calculée sans prendre en compte un éventuel flambement.

Le coefficient réducteur est calculé à partie de p et de de la manière suivante :

0.1 pour 055.0085.05.0p

0.13055.0

2

p

p

pour 055.0085.05.0p

Cas 1b

a

Dans le cas où les raidisseurs transversaux sont trop rapprochés, l’instabilité de type

flambement peut être prépondérante. L’aire efficace P est alors calculée au moyen d’un

coefficient réducteur c qui rend compte simultanément du voilement de plaque et du

flambement. Il est calculé selon les parties 4.5.2 à 4.5.4 de l’EN 1993-1-5 dans le cas d’une

plaque non raidie.

Comportement de type plaque

Les effets du voilement de plaque sont pris en compte par le coefficient réducteur calculé

comme précédemment.

Par la suite, la contrainte critique de voilement sera nécessaire, elle est définie par :

2,

p

y

pcr

f

Comportement de type poteau (ou colonne)

Les effets du flambement sont pris en compte par le coefficient réducteur c calculé à partie

de l’élancement réduit c avec la méthode de calcul de la résistance au flambement

développée en 6.3.1.2 de l’EN 1993-1-1.

L’élancement réduit c est défini par :




ccr

yc

f

,

Où ccr , est la contrainte critique de flambement d’une plaque non raidie.

22

22

,112 av

tEa

ccr

Le facteur d’imperfection pris en compte correspond à la courbe de flambement a : 21.0 .

Le coefficient réducteur est alors :

0.11

22

ccc

c

Où 2

2.015.0 ccc

Interpolation entre le voilement de plaque et le flambement

Le coefficient réducteur final c est obtenu par interpolation entre et c de la manière

suivante :

ccc 2

Où 1,

,

ccr

pcr

avec de plus 10 , voir graphique ci-dessous.

Figure 6-4 : Interpolation entre voilement de plaque et flambement

Dans le cas d’une plaque non raidie, on note de manière générale le coefficient réducteur,

même dans le cas a/b < 1.

L’aire efficace P est alors répartie en deux largeurs 1eb et 2eb selon les schémas suivants :




Figure 6-5 : Largeurs efficaces P d'une paroi interne

Dans le cas de l’âme, on définit deux largeurs efficaces wbb et wub selon le schéma ci-dessous :

Figure 6-6 : Largeurs efficaces d'une âme

Tableau 6-3 : Largeurs efficaces d'une âme

Où tb est la largeur tendue de l’âme.

Dans le cas d’une âme inclinée, il faut considérer la largeur réelle du panneau et non pas la

projection sur l’axe vertical.




6.4.3.2.2 Paroi en console en compression uniforme

L’élancement p d’une paroi est toujours donné par l’expression :

k

tbp

4.28

Où c est la largeur en console, voir schéma ci-dessous tiré du tableau 5.2 de l’EN 1993-1-1 :

Figure 6-7 : Largeur des parois en console

et 43.0k est le coefficient de voilement dans le cas d’une compression uniforme.

Le coefficient réducteur est calculé à partie de p de la façon suivante :

0.1 pour 748.0p

0.1188.0

2

p

p

pour 748.0p

L’aire efficace P est alors située d’un ou des deux côtés du panneau de bord sur une largeur

cbeff , voir schéma ci-dessous dans le cas d’une semelle inférieure d’un bipoutre.

Figure 6-8 : Largeurs efficaces P d'une semelle inférieure d'un bipoutre

6.4.3.3 Plaques avec raidisseurs longitudinaux

Les plaques munies de raidisseurs longitudinaux sont étudiées dans l’EN 1993-1-5, 4.5.




La méthode est décomposée en deux étapes principales :

la détermination des aires efficaces P résultant du voilement local de chaque panneau

secondaire constituant la plaque raidie ;

la détermination des aires efficaces P résultant du voilement d’ensemble de la plaque

raidie.

Dans la chaîne de calcul, les seules plaques munies de raidisseurs longitudinaux continus pris

en compte sont les tôles de fond des caissons mixtes et les âmes que le pont soit un bipoutre

ou un pont caisson.

6.4.3.3.1 Cas des tôles de fond de caisson

Les tôles de fond de caisson sont en compression uniforme. Dans ce cas, le rapport de

contrainte ψ est 1. La chaîne de calcul suppose de plus que les raidisseurs sont également

espacés.

La géométrie de la semelle inférieure d’un caisson est rappelée sur le schéma suivant, dans le

cas de deux raidisseurs de type plat simple :

Figure 6-9 : Section brute d'une semelle inférieure de caisson

Etape 1 : voilement local des panneaux secondaires

Le schéma suivant présente les propriétés brutes des panneaux élémentaires :

Figure 6-10 : Zone d'étude d'une semelle inférieure d'un caisson




Où :

cA est l’aire brute de la plaque raidie à l’exception des parties des panneaux secondaires

en appui sur l’âme ;

subb est la largeur d’un panneau secondaire de tôle de fond

L’aire efficace P d’un panneau secondaire, s’il est de classe 4, est déterminée selon la

méthode utilisée pour les plaques non raidies, voir § 6.4.3.2 ci-dessus et le logigramme ci-

dessous.

Figure 6-11 : Prise en compte du voilement local




Figure 6-12 : Aire efficace P des panneaux secondaires d'une tôle de fond de caisson

La section se décompose alors de la manière suivante :

Figure 6-13 : Section efficace P intermédiaire d'une tôle de fond de caisson

Où :

loceffcA ,, se compose des aires de section efficace P de tous les raidisseurs et panneaux

secondaires à l’exception des parties efficaces P appuyées sur une plaque adjacente de

largeur 2,effedgeb ;

loceffslA ,, est la somme des aires de section efficace P de tous les raidisseurs

longitudinaux.

Etape 2 : voilement d’ensemble de la plaque raidie dans son ensemble

Les effets du voilement d’ensemble sont pris en compte au moyen d’un coefficient réducteur

c s’appliquant à loceffcA ,, , sans modifier la position du centre d’inertie de la zone. L’aire de

section efficace de la plaque est alors :

peffedgeloceffcceffc tbAA ,,,,




Le coefficient réducteur c tient compte simultanément de la possibilité de voilement de

plaque et du flambement, il est calculé selon les parties 4.5.2 à 4.5.4 de l’EN 1993-1-5.

Comportement de type plaque

Les effets du voilement sont pris en compte par le coefficient réducteur calculé à partie de

l’élancement réduit p pour le cas d’une paroi interne, voir § 6.4.3.2 ci-dessus.

L’élancement réduit p est défini par l’expression :

pcr

ycAp

f

,

,

Où :

c

loceffc

cAA

A ,,

, est le coefficient d’efficacité de la plaque raidie vis-à-vis du voilement

de plaque ;

pcr , est la contrainte critique de voilement de plaque ; une méthode de calcul est

présentée en 1.Annexe 9.

Comportement de type poteau (ou colonne)

Les effets du flambement sont pris en compte par le coefficient réducteur c calculé à partie

de l’élancement réduit c avec la méthode de calcul de la résistance au flambement

développée en 6.3.1.2 de l’EN 1993-1-1.

L’élancement réduit c est défini par l’expression :

ccr

ycAc

f

,

,

Où :

1,

,1,

,

sl

effsl

cAA

A est le coefficient d’efficacité de la plaque raidie vis-à-vis du flambement ;

2

1,

1,

2

,aA

IE

sl

sla

ccr

est la contrainte critique de flambement ;

1,slA , effslA ,1, et 1,slI sont des grandeurs géométriques définies sur la figure … ci-

dessous.

Le facteur d’imperfection pris en compte e est supérieur au facteur d’imperfection donné

pour les courbes de flambement :

eie

09.0

Où :

34.0 (courbe b) pour les raidisseurs à sections fermées et 34.0 (courbe c) pour

les raidisseurs à sections ouvertes ;




1,

1,

sl

sl

A

Ii ;

);max( 21 eee est la plus grande distance entre le centre d’inertie de la portion de

plaque seule, respectivement le raidisseur seul, et le centre d’inertie de l’élément

complet efficace : voir schéma ci-dessous.

Figure 6-14 : Caractéristiques des raidisseurs

Le coefficient réducteur est alors :

0.11

22

ccc

c

Où 2

2.015.0 ccec .

Interpolation entre le voilement de plaque et le flambement

Le coefficient réducteur final c est obtenu par interpolation entre et c de la manière

suivante :

ccc 2

Où 1,

,

ccr

pcr

avec de plus 10




6.4.3.3.2 Cas des âmes

Les âmes ne sont pas uniformément comprimées. Il est donc nécessaire de calculer le

coefficient :

);max(

);min(

ub

ub

L’aire efficace P d’un panneau secondaire de l’âme ainsi que le voilement global sont calculés

de la même manière que précédemment.

6.5 Justifications aux ELU

Le critère à satisfaire dépend de la classe.

6.5.1 Justification à la flexion

6.5.1.1 Justification plastique : classe 1 ou 2

La détermination de la résistance à la flexion d’une section peut-être évaluée par la théorie

rigide plastique pour les sections de classe 1 ou de classe 2.

La détermination de la position de l’axe neutre plastique et du moment plastique résistant sont

développé en 1.Annexe 7.

La résistance de la section en flexion est justifiée si le moment sollicitant vérifie :

RdplEd MM ,

6.5.1.2 Justification élastique : classe 3 ou 4

Les sections de classe 3 et 4 sont justifiées en élasticité, en imposant un critère sur les

contraintes. Les sections de classe 1 et 2 peuvent aussi être justifiées en élasticité mais une

telle méthode s’avère toutefois trop sévère par rapport à la justification plastique.

Pour une section de classe 4, il faut prendre en compte les effets du voilement local sur les

parois de classe 4 en utilisant la section efficace S+P vu précédemment.

La vérification de la résistance à la flexion est basée sur les contraintes admissibles suivantes :

ydbff dans la semelle inférieure ;

ydwf dans l’âme ;

ydtff dans la semelle supérieure ;

cdf dans le béton comprimé ;

sdf dans les armatures.

Pour les sections de classe 4, l’article 4.6(3) de l’EN 1993-1-5 permet d’effectuer la

vérification avec voilement sur la section efficace S+P avec les efforts évalués à une distance

égale à min(0.4a ; 0.5b) de l’extrémité du panneau où les contraintes sont les plus




importantes, avec b la largeur du panneau et a la distance entre les raidisseurs transversaux. Il

faut dans ce cas effectuer une vérification à cette extrémité avec une section efficace S.

La chaine de calcul ne tient pas compte de cette possibilité : les vérifications sont faites pour

chaque section avec la section efficace S+P. L’utilisateur peut ensuite utiliser cette méthode

pour justifier une section qui ne passerait pas avec la justification de la chaîne de calcul.

Les contraintes dans les semelles sont calculées dans leur plan moyen. Le calcul des

contraintes et la prise en compte du retrait isostatique sont développés en 1.Annexe 6.

6.5.2 Justification au tranchant

6.5.2.1 Résistance à l’effort tranchant

Les âmes de l’ouvrage sont supposées pleines et munies de raidisseurs transversaux supposés

rigides. Les âmes et la semelle inférieure peuvent de plus être munies de raidisseurs

longitudinaux.

Résistance plastique à l’effort tranchant

Les sections mixtes possèdent une résistance plastique à l’effort tranchant prise égale à la

résistance de la section en acier de construction, en négligeant la contribution de la dalle en

béton armé.

La résistance plastique de la section en acier est :

30

,

M

yV

Rdpl

fAV

Où wwV thA est l’aire de cisaillement

Le coefficient dépend de la nuance d’acier et traduit la capacité de déformation

postcritique. On retiendra la valeur = 1.20 recommandée par l’EN 1993-1-5 pour les

nuances d’acier jusqu’à S460 inclus.

La section résistante au cisaillement correspond aux âmes du bipoutre ou du caisson. La

résistance pour une âme est donc :

30

,

M

yww

Rdpl

fthV

Résistance au voilement par cisaillement

Lorsqu’une âme est trop élancée, elle peut être sensible au voilement par cisaillement. Un

panneau d’âme raidi est sujet au voilement par cisaillement dans le cas où :

kt

hw

w

w 31




Où k est le coefficient de voilement par cisaillement de l’âme raidie. Le calcul de k est


Dans le cas où le critère n’est pas vérifié, la résistance au voilement par cisaillement d’une

section mixte est calculée en négligeant la contribution des semelles :

11

,,

M

wwyw

M

wwyww

RdbwRdb

thfthfVV

Où w est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement. Le calcul de w est


Critère de justification

En l’absence de voilement par cisaillement, la résistance de la section est vérifiée si :

RdplRdEd VVV ,

En cas de voilement par cisaillement, la résistance est vérifiée si :

RdbRdbRdplRdEd VVVVV ,,, );min(

6.5.2.2 Sollicitations

Dans le cas général d’une section avec des âmes inclinées, soumise à un effort tranchant total

EdV et un moment de torsion total TM , l’effort tranchant dans une âme se décompose de la

manière suivante :

TEdVEdEd VVV ,,

Où : )cos(2

,

w

Ed

VEd

VV

est la part issue de l’effort tranchant vertical,

ww

w

EdT

TEd tht

MV

2

,

, est la part issue de la torsion

La contrainte de cisaillement due à la torsion est calculée en ne considérant que la torsion

uniforme (ou libre) en accord avec l’article 6.2.3(7) de l’EN 1993-1-1 qui indique que les «

effets du gauchissement par torsion peuvent être négligés dans le cas d’une barre possédant

une section transversale creuse fermée ». La contrainte est alors donnée par la formule

suivante :

w

EdT

wTEdt

M

2

,

,,

En l’absence de voilement par cisaillement, l’article 6.2.7(9) de l’EN 1993-1-1 donne le

critère de vérification suivant :




0.1,,

,

RdTpl

VEd

V

V où Rdpl

M

yw

wTEd

RdTpl Vf

V ,

0

,,

,,

3

1

Ce critère est équivalent à RdplTEdVEd VVV ,,, , introduisant le coefficient sans

explication physique. Il est fait le choix de considérer = 1.00 dans cette égalité, ce qui

revient au critère général.

6.5.3 Justification sous interaction flexion – effort tranchant

La justification sous interaction entre le moment de flexion et l’effort tranchant dépend de la

classe de la section.

6.5.3.1 Classe 1 ou 2

Pour les sections de classe 1 ou 2, l’effort tranchant n’a pas d’influence sur la résistance à la

flexion si :

RdEd VV 5.0

Si le critère précédent n’est pas satisfait, l’influence de l’effort tranchant est prise en compte

en considérant une résistance de calcul réduite des âmes dans le calcul du moment plastique

résistant :

ywdVywdywd fff 1,

Où

2

12

Rd

Ed

V

V

Le critère de résistance est :

VywdRdplVRdplEd fMMM ,,,,

En ne prenant pas en compte l’éventuel décalage de la position de l’axe neutre plastique de la

section dû à la limite d’élasticité de l’âme réduite dans le calcul de VRdplM ,, , comme le

suggère l’article 6.2.2.4(4) de l’EN 1994-2.

6.5.3.2 Classe 3 ou 4

Pour les sections de classe 3 ou 4, il faut vérifier un critère sur les âmes, et dans le cas d’un

caisson un critère supplémentaire sur la tôle de fond. Les critères suivants doivent être

satisfaits pour toute section située à plus de 2wh de l’appui le plus proche pourvu d’un

montant (EN 1993-1-5, 7.1(2))

6.5.3.2.1 Âmes

L’effort tranchant n’a pas d’influence sur la résistance à la flexion si :




RdbwEd VV ,5.0

Si le critère précédent n’est pas satisfait, les effets combinés de la flexion et du cisaillement

sur l’âme doivent vérifier :

0.11212

3

,

,

1

Rdpl

Rdf

M

Mpour

Rdpl

Rdf

M

M

,

,

1 (équivalent à RdfEd MM , )

Où : Rdpl

Ed

M

M

,

1

Rdbw

Ed

V

V

,

3

RdfM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée uniquement

des semelles efficaces S+P

RdplM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée des

semelles efficaces S+P et de la totalité de l’âme.

6.5.3.2.2 Tôle de fond de caisson

Critère

La tôle de fond de caisson dans son ensemble, et son panneau secondaire le plus sollicité en

cisaillement, doivent vérifier le critère suivant, si 5.03 :

0.1122

31

Où : ydp

pEd

f

,

1

Rd

moyEd

,

3 où moyEd , et Rd sont développés ci-dessous.

Calcul des contraintes

La tôle de fond d’un caisson est sollicitée en cisaillement d’effort tranchant et de torsion. La

contrainte de cisaillement due à l’effort tranchant est nulle au niveau de l’axe de symétrie

verticale de la section et varie linéairement jusqu’à sa valeur maximale au niveau de la

jonction avec l’âme. La contrainte maximale est calculée en décomposant l’effort tranchant

sur les sections résistantes correspondantes, c’est-à-dire en prenant en compte le phasage de

construction, et en considérant les propriétés des sections brutes.

En considérant la section résistante i, sollicitée par l’effort tranchant Vi,Ed, la contrainte de

cisaillement à la jonction avec l’âme vaut :

pi

ipEdi

pVEditI

V

,,

max,,,,

Où les grandeurs sont calculées sur la section brute :




2

2,

p

ipp

pi

tztb

est le moment statique de la semelle inférieure (plan moyen) par

rapport à l’axe neutre élastique de la section ;

iI est le moment d’inertie de la section ;

iz est la position du centre d’inertie par rapport au dessous de la tôle de fond.

La contrainte de cisaillement maximale due à l’effort tranchant total est alors :

i

pVEdipVEd max,,,,max,,,

L’hypothèse de calcul est raisonnable dans le cas où la dalle béton et la semelle inférieure ne

sont pas ou peu réduites au traînage de cisaillement dans l’analyse globale. Si la dalle ou le

caisson a une largeur significative devant les portées de l’ouvrage, un modèle plus fin, par

exemple aux éléments finis, peut s’avérer nécessaire. Toutefois, il faut garder à l’esprit que les

contraintes de cisaillement restent mesurées dans la tôle de fond.

La contrainte de cisaillement due à la torsion est calculée de nouveau en ne considérant que la

torsion uniforme (ou libre) et vaut ainsi :

p

EdT

pTEdt

M

2

,

,,

La contrainte de cisaillement totale maximale à la jonction avec l’âme est alors la somme des

contraintes de cisaillement :

pTEdpVEdpEd ,,max,,,max,,

La répartition des contraintes de cisaillement est illustrée sur le schéma suivant :

Figure 6-15 : Contraintes de cisaillement dans la tôle de fond d'un caisson




La contrainte moyEd , est la contrainte moyenne de cisaillement dans l’élément, qui ne doit pas

être inférieure à la contrainte maximale, soit :

2

max,,

,

pEd

moyEd

pour la vérification de la semelle dans son ensemble ;

subEd

pEd

moyEd ,

max,,

, ;2

max

pour la vérification du panneau secondaire le plus

sollicité, avecp

sub

pVEdpEdsubEdb

b max,,,max,,, .

Calcul des résistances

Comme pour le cas de l’âme, la tôle de fond ou le panneau secondaire possède une résistance

plastique au cisaillement et une résistance au voilement par cisaillement.

Résistance plastique au cisaillement

La résistance plastique au cisaillement de la tôle de fond, valable pour la tôle dans son

ensemble et le panneau secondaire, est donnée par l’expression :

0

,,,,

M

yw

subRdplpRdpl

f

Résistance au voilement par cisaillement

La tôle de fond (raidie longitudinalement) et le panneau secondaire (non raidi

longitudinalement) ne sont pas sujets au voilement par cisaillement dans le cas où leur

élancement vérifie respectivement la condition suivante :

pp

p

pk

t

b,

31

subp

p

sub kt

b,

31

Où :

pk , est le coefficient de voilement par cisaillement de la tôle de fond dans son

ensemble ;

subk , est le coefficient de voilement par cisaillement du panneau secondaire.

Le calcul de k est développé en 1.Annexe 8.

Dans le cas où le critère n’est pas vérifié, la contrainte résistante au voilement par cisaillement

est donnée par :

11

,,

M

yp

M

ypp

pRdb

ff

pour la tôle de fond de caisson

11

,,

M

yp

M

ypsub

subRdb

ff

pour le panneau secondaire

Où :




p est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement de la tôle de fond de

caisson raidie longitudinalement ;

p est le coefficient réducteur au voilement par cisaillement du sous-panneau non raidi

longitudinalement.

Le calcul de p est développé en 1.Annexe 8.

La résistance au cisaillement est alors :

pRdplpRd ,,, ou pRdbpRdpl ,,,, ;min en cas de voilement par cisaillement

subRdplsubRd ,,, ou subRdbsubRdpl ,,,, ;min en cas de voilement par cisaillement

6.6 Justifications aux ELS

Les vérifications à l’ELS traitées par le post-processeur sont :

la limitation des contraintes dans la section ;

la respiration de l’âme ;

la maîtrise de la fissuration.

6.6.1 Limitation des contraintes

Les contraintes sont limitées à l’ELS pour la charpente en acier, le béton de la dalle et les

armatures longitudinales.

6.6.1.1 Charpente métallique

6.6.1.1.1 Critères

Les critères à vérifier concernent les contraintes normales, les contraintes de cisaillement et la

contrainte équivalente de Von Mises à l’ELS caractéristique :

serM

y

serEd

f

,

,

en contraintes normales ;

3,

,

serM

y

serEd

f

en contraintes de cisaillement ;

serM

y

serEdserEd

f

,

2

,

2

, 3

en contrainte équivalente.

Il faut de plus que la variation de contraintes due aux charges variables à l’ELS fréquent

vérifie :

serM

y

serEd

f

,

,

5.1

6.6.1.1.2 Contraintes

Les contraintes normales sont évaluées à partir des sections efficaces S (traînage de

cisaillement) suivant une analyse élastique. Elles prennent en compte les effets primaires du




retrait et du gradient thermique non linéaire le cas échéant, ainsi que le phasage de

construction. Elles sont calculées au niveau des faces externes dans le cas des semelles, et non

dans le plan moyen comme c’est le cas à l’ELU. La résistance du béton à la traction est

négligée. Les contraintes de cisaillement sont calculées de même en décomposant l’effort

tranchant total de service serEdV , selon les sections résistantes, en tenant compte du phasage de

construction :

i

serEdiserEd VV ,,,

Pour une composante de l’effort tranchant serEdiV ,, , les contraintes de cisaillement sont

évaluées en utilisant les propriétés de la section brute à partir de la formule :

tI

zSV

i

i

serEdiserEdi

,,,,

Où :

zSi est le moment statique de l’aire située au dessous (ou dessus) de la côte z

iI est le moment d’inertie de flexion

t est l’épaisseur de la paroi considérée

L’hypothèse de calcul est raisonnable dans le cas où la dalle béton et la semelle inférieure ne

sont pas ou peu réduites au traînage de cisaillement dans l’analyse globale. Si la dalle ou le

caisson a une largeur significative devant les portées de l’ouvrage, un modèle plus fin, par

exemple aux éléments finis, peut s’avérer nécessaire. Toutefois, il faut garder à l’esprit que les

vérifications de l’ELS ne sont en général pas dimensionnantes par rapport aux vérifications de

l’ELU.

La contrainte équivalente de Von Mises est évaluée dans les semelles, et aux extrémités et au

milieu de l’âme, en considérant les valeurs de contraintes concomitantes.

6.6.1.2 Béton

La contrainte de compression dans le béton de la dalle doit vérifier :

ckc fk 1 à l’ELS caractéristique ;

ckc fk 2 à l’ELS quasi-permanent.

Les valeurs recommandées des coefficients sont 6.01 k et 5.02 k dans l’EN 1992-1-1, AN.

6.6.1.3 Armatures

La contrainte de traction dans les armatures doit vérifier :

sks fk 3 à l’ELS caractéristique ;

sks fk 4 à l’ELS caractéristique si la traction est générée par des déformations

imposées.

Les valeurs recommandées des coefficients sont 8.03 k et 0.14 k dans l’EN 1992-1-1, AN.

Seul le premier critère est utilisé étant donné les hypothèses prises sur les ouvrages.




6.6.2 Respiration de l’âme

La respiration de l’âme correspond à la déformation répétée de l’âme hors de son plan,

susceptible de générer des fissures de fatigue aux jonctions de l’âme avec un autre élément en

acier.

Le critère retenu est un critère simplifié, portant sur les caractéristiques géométriques de

l’ouvrage, donné à l’article 7.4(2) de l’EN 1993-2. Il dépend du type de pont. Les risques de

respiration de l’âme peuvent être négligés si :

)300;0.430min( Lt

b pour les ponts routiers ;

)250;3.355min( Lt

b pour les ponts ferroviaires.

Où :

L est la portée de la travée en m, prise au minimum égale à 20m

b est la largeur wh d’une âme non raidie longitudinalement ou la largeur d’un panneau

secondaire d’une âme raidie.

6.6.3 Maîtrise de la fissuration

La maîtrise de la fissuration est assurée en considérant l’ouverture de fissures dues :

aux actions non calculées, à l’ELS caractéristique ;

aux actions directes, à l’ELS fréquent.

6.6.3.1 Ouverture des fissures dues aux actions non calculées

La section d’armature minimale dépend de la participation du béton à la résistance de la

section.

6.6.3.1.1 Béton résistant

La section d’armature doit être supérieure au ferraillage de non-fragilité défini par :

Où :

9.0sk ;

1;3.0

21

1min

0z

hk

c

c , avec ch la hauteur de la dalle en béton et 0z la distance

entre le centre d’inertie de la dalle béton seule et de la section mixte court terme ;

8.0k ;

ctmeffct ff , ;

ctA est prise égale à l’aire efficace S de la dalle béton.

sk

cteffctcss

f

AfkkkA ,




6.6.3.1.2 Béton négligé

Dans les zones où le béton est tendu à l’ELS caractéristique, il faut vérifier que l’ouverture

des fissures reste inférieure à max,kw .

À un diamètre ϕ d’armature est associée une contrainte maximale autorisée dans l’armature

immédiatement après fissuration, notée s . Cette contrainte est lue dans le tableau 7.1 de l’EN

1994-2, en considérant comme diamètre :

effct

ct

f

f

,

0,* , où MPaf ect 9.20,

Tableau 6-4: Diamètres de barre maximaux

Le ferraillage mis en place doit alors vérifier le critère suivant :

s

ct

effctcss

AfkkkA

,

6.6.3.2 Ouverture des fissures dues aux actions directes

Dans les zones où le béton est tendu à l’ELS fréquent, il faut vérifier que l’ouverture des

fissures reste inférieure à max,kw .

La contrainte de traction dans l’armature doit rester inférieure à une contrainte limite

dépendant, au choix, du diamètre ϕ de la barre ou de l’espacement transversal s des barres,

selon la situation la plus favorable.

La contrainte de traction est calculée en considérant les effets de la rigidité du béton tendu

entre les fissures, soit :

sss 0,

Où :

0,s est la contrainte calculée en négligeant le béton tendu ;

IA

IAff aa

s

ctm

sst

ctm

s

4.04.0 est la variation de contrainte due à la rigidité du béton

tendu.




Le tableau 7.1 de l’EN 1994.2 donne une contrainte maximale max,,s en fonction du diamètre

et le tableau 7.2, voir ci-dessous, donne une contrainte maximale ss max,, en fonction de

l’espacement s.

Tableau 6-5 : Espacement maximal des barres

La contrainte dans l’armature doit alors vérifier, en valeur absolue :

ssss max,,max,, ;max

6.7 Justifications à la fatigue

Les éléments à justifier à la fatigue dans un pont mixte sont :

la charpente et ses connecteurs ;

les armatures passives ;

le béton.

On s’intéresse dans cette partie uniquement à la justification de la charpente métallique, hors

connecteurs, et des armatures passives longitudinales en contraintes normales, générées par la

flexion longitudinale globale de l’ouvrage, dans le cas des ponts routiers et des ponts

ferroviaires.

6.7.1 Méthode

La méthode utilisée pour l’évaluation de l’endommagement est la méthode simplifiée des

étendues de contrainte de dommage équivalent.

Le critère de vérification à la fatigue à satisfaire est :

Pour la charpente

Mf

c

EFf

2,

Où :

0.1Ff ;

35.1Mf est le coefficient partiel de résistance à la fatigue donné au § 2.2.2.6.




c est la valeur de référence de la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles,

dépendant de la catégorie de détail à vérifier (voir EN 1993-1-9, tableau 8.1 à 8.10) ;

2,E est l’étendue de contraintes, donnée par l’expression :

fffE min,max,2,

Avec :

f la variation de contrainte sous le passage du convoi de fatigue

le coefficient de dommage équivalent

le coefficient de dommage équivalent d’impact valant :

- 1 pour les ponts routiers ;

- le coefficient dynamique pour les ponts ferroviaires.

Pour les armatures

fats

Rsk

equsfatF

NN

,

*

*

,,

Où : 6* 10N ;

0.1, fatF est le coefficient partiel relatif au chargement de fatigue ;

15.1, fats est le coefficient partiel relatif au matériau, voir § 2.2.2.6

MPaNRsk 5.162* est l’étendue de contrainte pour *N cycles, donnée dans le

tableau 6.3N de l’EN 1992-1-1 ;

*

, Nequs est l’étendue de contraintes donnée par l’expression :

fssfsfssequs ,min,,max,,,

Avec :

fs, la variation de contrainte sous le passage du convoi de fatigue

s le coefficient de dommage équivalent

le coefficient de dommage équivalent d’impact valant :

- 1 pour les ponts routiers ;

- le coefficient dynamique pour les ponts ferroviaires.

6.7.2 Contraintes

Le calcul de l’étendue de contraintes σ (en valeur absolue) s’effectue pour chaque état de

sollicitation donné non cyclique de la manière suivante :

Tableau 6-6: Combinaisons à l'ELU de fatigue




La variation de contrainte est alors ;max .

Pour un état de base, le calcul de la variation de contrainte dans une section donnée dépend de

la participation du béton à la résistance. Il est possible que le béton se comprime et se

décomprime entre les deux enveloppes de moment de flexion sous le passage du convoi de

fatigue.

Dans les zones fissurées de l’analyse globale, le béton n’est pas résistant. En dehors de ces

zones, le béton est supposé non résistant si une partie de la dalle est tendue. Les contraintes

sont calculées une première fois en prenant en compte les effets primaires du retrait et/ou du

gradient thermique selon le cas de base non cyclique considéré. Si une partie du béton (fibre

inférieure ou fibre supérieure) est tendue, les contraintes sont calculées une deuxième fois en

section mixte fissurée en négligeant les effets primaires – le calcul des contraintes est

développé en 1.Annexe 6. Si le béton se recomprime sous l’autre enveloppe, les contraintes

sont aussi recalculées sans les effets primaires. En effet, les effets primaires ne sont pas des

charges cycliques et ne créent pas d’endommagement à la fatigue. Ainsi, les contraintes

primaires sont soit comptées dans les deux cas, soit négligées dans les deux cas, et par là-

même n’apparaissent pas dans le calcul de la variation de contrainte. Une méthode simplifiée

est proposée en 1.Annexe 10.

La section 6.8.5 de l’EN 1994-2 impose de prendre en compte l’effet de la rigidité du béton

tendu entre les fissures sur les armatures lorsque le béton est supposé non résistant. Il est par

contre négligé dans le calcul des contraintes pour l’acier de construction.

La variation de contrainte due au seul effet de la rigidité du béton tendu est :

22

, 2.02.0IA

IAff aa

s

ctm

sst

ctm

fs

Et on note 0,min,, fs et 0,max,, fs les contraintes maximale et minimale calculées sans prendre

en compte la rigidité du béton tendu entre les fissures.

La part du moment total appliquée aux sections mixtes est mFLMbaseEdcfmEdc MMM ,,,,,,

(avec « m » pour « max » ou « min »). Dans les formules suivantes, la convention de signe

suppose que fEdcfEdc MM min,,,max,,, .

Il existe alors 3 situations de calcul possibles pour les armatures.

Béton non participant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,

La contrainte maximale est donnée par l’expression :

fsfsfs ,0,max,,max,,

La contrainte minimale est donnée par la formule (6.51) de l’EN 1994-2 :

fEdc

fEdc

fsfsM

M

max,,,

min,,,

max,,min,,




Où l’on considère que l’effet de la rigidité du béton est proportionnel à la contrainte calculée

sans rigidité, voir figure suivante :

Figure 6-16: Effet de la rigidité du béton tendu entre fissures

Béton non participant sous fEdcM max,,, uniquement

Les contraintes sont données par :

fsfsfs ,0,max,,max,,

0min,,min,, sfs

Béton résistant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,

Les contraintes sont directement données par :

0,max,,max,, fsfs

0min,,min,, sfs

Il s’agit à chaque fois pour une section donnée de déterminer si la variation de contrainte est

calculée en prenant en compte la résistance du béton. Un calcul sécuritaire consiste à calculer

la variation de contrainte en négligeant la résistance du béton. Pour la charpente, en notant

2I et 2z les propriétés mécaniques de la section mixte fissurée, la variation de contrainte à la

cote z est alors simplement :

2

2

2,I

zzMz FLME

6.7.3 Coefficient de dommage équivalent

Le coefficient de dommage équivalent dépend du matériau et du type de ponts. Le calcul est





6.8 Dimensionnement des connecteurs – EN1994-2, 6.6

Pour dimensionner la connexion, à l’ELS comme à l’ELU, l’EN1994-2 utilise un calcul

élastique. Plusieurs hypothèses ont été prises :

un seul type de connecteurs est utilisé sur l’ouvrage

les connecteurs sont conformes aux exigences de l’Eurocodes

le programme ne traitera que le cas des goujons (tout en gardant la

possibilité d’ajouter des modules par la suite, pour les cornières par exemple)

le cas des connecteurs horizontaux n’est pas pris en compte

Les données concernant les goujons nécessaires pour le dimensionnement des connecteurs ont

déjà du être entrées dans le préprocesseur :

fy en MPa

fu en MPa

diamètre entre 16 et 25 mm

hauteur hors tout

6.8.1 Résistance d’un goujon – EN1994-2, 6.6.3

Il existe deux modes de ruine pour ce type de connecteurs :

La ruine par cisaillement de l’acier en pied

48.0

2)1( d

fP uRk

La ruine par écrasement du béton en pied

cmckRk EfdP 2)2(29.0

Avec : d : diamètre du goujon (compris entre 16 et 25mm)

h : hauteur du goujon

uf : résistance ultime à la traction de l’acier du goujon (< 500 MPa)

ckf : résistance caractéristique à la compression du béton (>17.2 MPa)

cmE : module d’élasticité du béton

)1(2.0 d

h si 43

d

h, sinon 1

Finalement, ),min(1 )2()1(

RkRk

V

ELS

Rd PPP

avec : 25.1V ,

et ELS

RdS

ELU

Rd PkP avec : 6.0Sk (d’après l’Annexe Nationale).




6.8.2 Dimensionnement sous ELS caractéristique

6.8.2.1 Calcul du flux de cisaillement

Pour chaque extrémité de barre mixte, un flux de cisaillement – ou glissement – peut être

calculé à partir des caractéristiques de la section non fissurée prenant en compte le traînage

de cisaillement uniquement.

)(

)()(

)(

, i

mixte

i

Ed

i

Ci

EdLI

VV

Le flux de cisaillement final de chaque section s’obtient en additionnant algébriquement les

contributions pour chaque phase mixte.

i

i

EdLEdL VV)(

,,

De plus, comme le calcul du tranchant est réalisé en enveloppe, la valeur du flux dans chaque

section d’abscisse x est déterminé par :

))();(max()( maxmin, xVxVxVELS

EdL

6.8.2.2 Principe de dimensionnement

Dans toute section du tablier, la densité de connecteurs doit être suffisante pour reprendre

intégralement le flux de cisaillement :

ELS

Rd

i

iELS

EdL PL

NxV )(, ,

l’ouvrage étant divisé en n tronçons de longueurs Li sur chacun desquels on dispose un

nombre Ni de goujons. Chaque tronçon a une longueur comprise en général entre 5 et 15 m.

Cependant, la détermination de ces tronçons peut être difficile à réaliser de manière optimale

par un algorithme. Le logiciel va donc calculer le nombre de goujons nécessaire par mètre en

prenant Li = 1 pour chaque section. Ce sera finalement à l’utilisateur de définir ses propres

tronçons dans un module de vérification des connecteurs dans un deuxième temps par

exemple.

À partir du nombre de goujons, il est possible de déterminer l’espacement maximal requis

entre deux rangées de goujons. Pour cela, il est nécessaire de connaître le nombre de goujons

par rangées.

)max(_)(

___

,

xespacementxV

PrangéespargoujonsNombre

EdL

ELS

Rd




6.8.3 Dimensionnement sous ELU fondamental

Deux types de vérifications sont possibles sous combinaison ELU selon que la section

considérée est plastifiée ou non.

6.8.3.1 Cas des zones non plastifiées – Dimensionnement élastique

Dans le cas des zones non plastifiées, il s’agit de calculer le flux de cisaillement selon la

même méthode que pour l’ELS caractéristique avec le tranchant ELU cette fois.

De la même manière, le flux de cisaillement dans chaque section est donné par :

))();(max()( maxmin, xVxVxVELU

EdL

Normalement, dans le cas où des tronçons ont été définis, il y a deux types de vérifications à

effectuer (Cf. EN1994-2, 6.6.1.2(1)) :

localement :

ELU

Rd

i

iELU

EdL PL

NxV 1.1)(,

par tronçon :

1

)(,

i

i

x

x

ELU

Rdi

ELU

EdL PNdxxV

Cependant, comme nous n’avons pas de tronçons définis dans un premier temps, il ne faudrait

conserver que la vérification locale. Il est aussi possible de ne pas prendre en compte les 10%

de dépassement possible pour être sûr que la vérification par tronçon soit toujours correcte.

Une fois le nombre de goujons nécessaire connu, il est possible de déterminer l’espacement

maximal entre deux rangées de goujons comme dans le cas des ELS.

6.8.3.2 Cas des zones plastifiées – Comportement non linéaire

Lorsqu’une section soumise à un moment positif est plastifiée, le comportement de la

structure n’est plus élastique et le flux de cisaillement ne peut plus être calculé de manière

linéaire.

6.8.3.2.1 Délimitation des zones plastifiées

Dans un premier temps, on identifie B : la section

soumise au moment de flexion maximal en travée.

Ensuite, il s’agit de déterminer les sections limites de la

zone plastifiée : A et C. Elles correspondent aux sections

pour lesquelles la première fibre de la section plastifie.

fyacier ou fcdbeton




G

H J

N

M

6.8.3.2.2 Diagramme d’interaction dans la section B

La construction du diagramme d’interaction M-N est nécessaire pour le dimensionnement de

la connexion. Ce diagramme est défini par trois points.

le point G ( Ma,Ed ; 0 )

le point H ( MplRd ; Npl,B )

le point J ( MelRd ; Nc,el )

Une simplification autorisée par l’EN1994-2 consiste

à n’utiliser que la droite GH du diagramme. Cela

permet de ne pas avoir à calculer MelRd et Nc,el mais

peut entrainer un surdimensionnement du nombre de

connecteurs.

Calcul de MelRd

D’après l’EN1994-2, 6.2.1.4(6) :

EdcEdaRdel MkMM ,,,

Avec k, un coefficient réducteur qui s’applique sur le diagramme des contraintes apportées

par McEd sur la section mixte de manière à ramener le diagramme final sous Med dans ses

limites élastiques.

Il suffit de supposer que chaque élément de la section mixte est plastifié, on calcule alors le

coefficient k pour chacun de ces éléments et on garde le plus petit tout en veillant à ce qu’il

soit inférieur ou égal à 1.

Par exemple, pour la semelle inférieure, on considère la contrainte au niveau de la face

inférieure de la semelle :

McEd

a

MaEd

ayd

semelle

fk

inf,

inf,inf,

inf_

Ou, pour la dalle :

c

cddalle

fk

Calcul de Nc,el

La résultante de compression Nc,el est calculée en intégrant le diagramme élastique des

contraintes sous k.McEd sur la hauteur de la dalle :

dalleh

ceffelc dzzbkN_

, )(

Soit : dalle

cc

effelc hbkN

2

sup,inf,

,




Calcul de NplRd

Il y a deux cas possible selon la position de l’axe neutre plastique :

l’axe neutre est dans la dalle :

compriméedalleeffcdRdpl hbfN _, 85.0

l’axe neutre est dans l’acier :

dalleeffcdRdpl hbfN 85.0,

6.8.3.2.3 Dimensionnement des connecteurs

Entre les sections A et B (respectivement B et C), le nombre de connecteurs ABn

(respectivement BCn ) doit globalement être suffisant pour reprendre en cisaillement la

variation d’effort de compression dans la dalle :

ELU

Rd

ABAB

P

NNn

et

ELU

Rd

CBBC

P

NNn

Les connecteurs peuvent ensuite être répartis avec une densité constante entre les sections A

et B (respectivement B et C)

La valeur de BN s’obtient par le diagramme d’interaction M-N sur le segment [JH].

Les valeurs de AN et de CN se calculent par intégration du diagramme élastique des

contraintes ELU sur la section de la dalle (en prenant en compte le trainage de cisaillement).

dalle

cc

effX hbN

2

sup,inf,

6.8.4 Dimensionnement en fatigue

6.8.4.1 Détermination des variations de contraintes

Le passage du convoi de fatigue FLM crée les variations de contraintes suivantes :

, variation de contraintes de cisaillement dans le fût du goujon, au niveau de sa

soudure sur la semelle supérieure de charpente principale.

f , variation de contraintes normales dans la semelle supérieure de la charpente sur

laquelle sont soudés les goujons (cf. 1.Annexe 10 pour sa détermination).

Contrairement aux calculs d’amplitude de contraintes normales, le flux de cisaillement à

l’interface acier-béton est calculé sur une section résistante non fissurée (cf. EN1994-2,

6.8.5.5). Il faut en outre ajouter le glissement de cisaillement de torsion le cas échéant.




On aura donc :

ii

i

i

FLMLltronçonlesurgoujonsdetotalnombreleNavec

l

Nd

V

4

2

,

Et

A

M

I

V

A

M

I

VV

tconcomiEdx

mixte

EdCtconcomiEdx

mixte

EdC

FLML22

tan,,

0,

min,tan,,

0,

max,

,

Avec :

A l’aire de la section fermée (cf. 1.Annexe 3)

C le moment statique de la dalle en béton par rapport au centre de gravité de la section

mixte

0,mixteI le moment d’inertie de la section mixte non fissuré sous 0n .

6.8.4.2 Étendue de contrainte équivalente

Comme pour la charpente et les armatures passives, la méthode simplifiée des étendues de

contraintes équivalentes à 2 millions de cycles est utilisée pour les connecteurs (cf. EN1994-2,

6.8.6.2(1).

vE 2,

Où 4,3,2,1, vvvvv

Cas des ponts routes

D’après l’EN1994-2, 6.8.6.2(3), 55.11, v et les autres sont calculés comme au § 0 mais

avec une pente m=8 au lieu de m=5, ce qui donne :

8

1

00

1

2

N

N

Q

Q obsm ; 8

1

3100

Ldt

;

8

1

8

1

4

vln

i

i

Cas des ponts ferroviaires

D’après l’EN1994-2, 6.8.6.2(4), 1,v dépend de la travée (cf. Figure 6-17) et les autres sont

calculés comme au § 0 mais avec une pente m=8 au lieu de m=5, ce qui donne :

8

1

62,1025

Volv ;

8

1

3,100

Ld

v

t ; 8 88

4, )11 aannv




Figure 6-17 : Valeurs lv,1 en fonction de la portée pour trafic normal ou lourd

On rappelle aussi le calcul dans la semelle supérieure de charpente (cf. § 6.7)

fE 2,

6.8.4.3 Vérifications à la fatigue

Quel que soit l’état de contraintes dans la semelle supérieure de charpente, tendue ou

comprimée, le critère suivant est à vérifier. Il traduit la propagation d’une éventuelle fissure

de fatigue dans le fût du goujon.

sMf

c

EFf

,

2,

Avec, d’après l’EN1994-2, 2.4.1.2(6) AN :

0.1Ff , le coefficient partiel sur les charges de fatigue ;

25.1, sMf , le coefficient partiel pour la résistance des goujons ;

Et MPac 90 , la catégorie de détail à 2 millions de cycles d’après l’EN1994-2, 6.8.3(3).

Lorsque la semelle supérieure est tendue sous la combinaison ELU de fatigue, des fissures de

fatigue sont susceptibles de s’y propager sous les variations de f au niveau de la soudure

du goujon sur sa face supérieure. Il faut alors vérifier deux critères supplémentaires :

un critère dans la semelle

Mf

c

EFf

2,

Avec : 35.1Mf et MPac 80

un critère d’interaction entre 2,E et 2,E

3.12,2,

Mfc

EFf

Mfc

EFf

Par simplification sécuritaire, on peut utiliser les valeurs maximales de et de .




Conclusion

L’étude réalisée a permis l'écriture d’un cahier des charges pour la mise en place d’une chaîne

de calcul des ouvrages mixtes courants de type bipoutre ou caisson. Elle décrit les principes

utilisés pour réaliser un modèle numérique permettant le calcul des efforts par un logiciel

annexe et des méthodes de justifications de la résistance des sections conformes avec les

normes Eurocodes.

Pour le moment, les différentes étapes de la chaîne de calcul sont développées sur des feuilles

Excel, sans être reliées automatiquement. Il est à noter que le déversement des poutres

métalliques n'a pas été traité.

L’objectif final de la chaîne de calcul est de pouvoir traiter l’ensemble des ouvrages mixtes,

en ne se limitant pas aux cas stricts des bipoutres ou caissons de largeur constante. Les

méthodes et résultats présentés dans le document permettent actuellement d’envisager le

calcul d’ouvrages complexes, sollicités en flexion, effort normal et cisaillement, comme les

ponts à haubans mixtes ou orthotropes. Pour cela, il pourrait suffire d'isoler les sections

problématiques et de les traiter à part manuellement ou par le biais d'un programme

spécifique.




Bibliographie

[1] Sétra – Guide méthodologique Eurocodes 3 et 4, Application aux ponts-routes mixtes

acier-béton – Juillet 2007

[2] COMBRI – Guide de conception : Partie I, Application des règles Eurocodes – 2008

[3] Document de Formation Continue de l’ENPC – Eurocodes 3 et 4 : calcul des

structures métalliques et mixtes – Ponts Formation Edition – Octobre 2006

[4] Johansson B., Maquoi R., Sedlacek G., Müller C., Beg D. – Commentary and worked

examples to EN 1993-1-5 « Plated Structural Elements » – Octobre 2007

[5] Lebet J-P. et Hirt M. A. – Traité de Génie Civil de l’EPFL Volume 12, Ponts en

acier : Conception et dimensionnement des ponts métalliques et mixtes acier-béton

[6] Normes Eurocodes EN 1990 à 1998

[7] Gravier F., Rapport de PFE – Analyse préalable à l’élaboration d’un cahier des

charges d’une chaîne de calcul

[8] Mac Farlane J. – Quelques réflexions sur le calcul des ponts à haubans à tablier en

ossature mixte – Bulletin 21, Ponts métalliques – 2002




ANNEXES




Annexe 1 Choix de la modélisation de la dalle

1. Modélisations envisagées

Dans le cadre des calculs de vérification des ponts mixtes, il est nécessaire de choisir une

modélisation simplifiée de la dalle en béton armé. Il faut cependant que les caractéristiques de

cette modélisation ne différent pas trop de celles de la section réelle, en particulier après la

prise en compte des largeurs participantes de dalle.

Deux possibilités sont envisagées :

- modélisation 1 : modélisation de la dalle sous forme d’un unique rectangle de

surface identique auquel est imposé le même Vinf que celui de la géométrie réelle.

- modélisation 2 : modélisation de la dalle sous la forme de deux rectangles

superposés disposant des mêmes caractéristiques que la géométrie réelle (S, I, Vinf).

2. Essais sur trois ponts différents

Afin de pouvoir comparer les résultats des différentes modélisations, elles ont été testées sur

trois géométries de dalle différentes reposant sur des poutres en aciers différentes. Seuls le cas

du bipoutre a été testé.

Géométrie 1 :

Géométrie 2 :

Géométrie 3 :

Pour chaque géométrie, les

caractéristiques de la dalle sont

calculées dans trois cas :

Section réelle

Largeur participante de 80%

Largeur participante de 60%




3. Comparaison des résultats

Géométrie 1 :

Calcul des caractéristiques de la section mixte

n = 6 n = 18

Sm Im %(Im/Vm) Vim Sm Im %(Im/Vm) Vim

Géométrie réelle 0,778 m² 1,087 m4 100,00% 2,3613 m 0,466 m² 0,824 m4 100,00% 1,8888 m

Modélisation 1 0,778 m² 1,086 m4 99,91% 2,3613 m 0,466 m² 0,823 m4 99,96% 1,8888 m


n = 6 n = 18





n = 6 n = 18





Géométrie 2 :


n = 6 n = 18





n = 6 n = 18





n = 6 n = 18





Section réelle

Largeur

participante : 80%

Largeur

participante : 60%

Section réelle

Largeur

participante : 80%

Largeur

participante : 60%




Géométrie 3 :


n = 6 n = 18





n = 6 n = 18





n = 6 n = 18





Dans les trois cas, le Vinf des sections de dalle en béton n’a pas été recalculé. La valeur de la

section réelle initiale a été conservée.

On remarque que les résultats obtenus pour les deux modélisations sont très proches des

valeurs réelles.

Dans le cas où on garde la longueur initiale, c’est la modélisation 2 qui correspond le mieux à

la section réelle car elle a été choisie de manière à ce que ses caractéristiques soient identiques

à celles de la section réelle.

Cependant, sauf pour la géométrie 1, c’est plus la modélisation 1 qui reste la plus proche des

valeurs réelles. Cela s’explique par le fait que la géométrie 1 présente un renformis plus

prononcé qui correspond mieux à la géométrie de la modélisation 2 (qui concentre le volume

au centre de la dalle) au contraire des deux autres géométries (au volume mieux réparti).

Il pourrait être intéressant de laisser le choix de la modélisation à l’utilisateur du

préprocesseur selon la géométrie de son projet.

Section réelle

Largeur

participante : 80%

Largeur

participante : 60%




Annexe 2 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte courbe

1. Géométrie de l’ouvrage

Le pont modélisé est tiré d’un exemple traité dans le cours : « conception des structures

métalliques – Dimensionnement des ponts » de l’école polytechnique fédérale de Lausanne.

Il s’agit d’un pont courbe de rayon constant avec R = 127 m. Il est composé de trois travées

continues de 25 m de longueur en travées de rive et de 38 m en travée centrale.

Les sections considérées pour le calcul sont décrites dans l’Annexe D - 6.1 du cours de l’école

polytechnique de Lausanne.

Les sections résistantes sont déterminées avec un coefficient d’équivalence n0 = 5.5. Leur

calcul est développé dans l’Annexe D du cours de l’école polytechnique de Lausanne.

2. Charges

D’après l’annexe A – 6.1, toutes les charges sont considérées uniformément répartie sur

l’ensemble de l’ouvrage :

Poids propre acier + béton : h = 2 x 3.9 = 7.8 t/ml

Surcharges permanentes : g = 2 x 1.25 = 2.5 t/ml

Surcharges d’exploitation : p = 0.7 x 11.5 = 8.05 t/ml

Soit une charge répartie totales de 18.35 t/ml.

3. Modélisation avec le logiciel ST1

Les deux poutres du bipoutre ont été modélisées sur ST1 par deux séries de barres avec leur

caractéristiques réelles.

(SX 0.3035 SZ 0.001 IY 0.08883 sy 0.001 ix 1e-5 iz 1e-5)

Une troisième série de barre a été créée entre les deux poutres pour modéliser le tablier et sur

laquelle la charge sera appliquée. Il s’agit de barres très souples et de section nulle.

(SX 1e-5 IY 1e-5 IZ 1e+5 IX 1e-5).

Ces trois séries de barres longitudinales sont reliées par des barres transversales :

Soit des barres rigides

(SX 1e+5 IY 1e+5 IZ 1e+5 IX 1e+5)

Soit des barres ayant les caractéristiques de la section transversale de béton

(SX 0.96 IY 0.004608 IZ 1e+5 IX 1e+5)

De plus, les entretoises peuvent aussi être modélisées par des barres transversales entre les

séries de barres représentants les poutres réelles. Dans ce cas, les barres auront les

caractéristiques d’un HEA 600.

(SX 0.02265 IY 1.412e-3 IZ 1.127e-4 IX 3.978e-6)




Figure annexe 1 : Modélisation d'un bipoutre courbe dans ST1




4. Comparaison des moments de flexion

4.1. Moment de flexion donné dans l’application numérique de la page D – 9.30

4.2. Moment de flexion calculé par ST1 et comparaison avec les résultats précédents

Modélisation avec entretoises et barres transversales (section de béton)

Modélisation avec entretoises et barres transversales rigides

Modélisation sans entretoises et avec barres transversales (section de béton)

Modélisation sans entretoises et avec barres transversales rigides

La différence observée peut être due à la méthode simplifiée utilisée dans l’exemple du cours

de l’école polytechnique de Lausanne. On peut aussi remarquer la faible influence de la

modélisation des entretoises.




Annexe 3 Calcul de l’inertie de torsion

Dans le cas d’un pont caisson, lorsque la section d’acier ou la section mixte est fermée, il est

nécessaire de prendre en compte l’inertie de torsion de chaque barre pour l’inclure dans le

modèle numérique.

Le calcul de cette inertie est réalisé par une méthode simplifiée qui a été comparée à un calcul

par éléments finis.

Principe de la méthode simplifiée

L’inertie de torsion Ix peut être calculée à partir de cette formule :

el

AI x

24

Avec :

A : l’aire de la section fermée (ayant pour limite le milieu de chaque élément du

contour)

l : la longueur de chacun des éléments du contour

e : l’épaisseur de chacun des éléments du contour

Pour prendre en compte la dalle, il faut ramener l’étude au calcul de l’inertie d’une section

homogène. Pour cela, il est nécessaire de réduire l’épaisseur de la dalle à une épaisseur fictive

d’acier :

G

dalle

n

ee *

Avec : )1(0 tLGG nn qui dépend du phasage

et 2.1

3.1

1

1000

nn

G

Gn

beton

acier

acier

betonG

Comparaison avec un calcul par éléments finis

Deux exemples ont été traités pour valider la méthode simplifiée. Afin d’obtenir l’épaisseur e

du béton, la dalle a été modélisée par un unique rectangle de même section et disposée de

manière à avoir la même position du centre de gravité.

Exemple 1 : Pont caisson à section d’acier non fermée (Guide COMBRI)




Géométrie de la section mixte

Le calcul de l’inertie de torsion à l’aide du logiciel RDM6 donne :

4133.6 mI x

Géométrie de la section homogénéisée (phase « chargement court terme »)

69.52.1

3.10 nnG

mme 5769.5

325*

Modèle à section fermée équivalent

Avec :

choisiGZH

L

hL

,

inf

sup

2/254000

6500

tan26500




Avec prise en compte des semelles supérieures

- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle

%3933.55.162 6__%4 RDMdifférence

xG mImmZ

- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité dalle+semelles


xG mImmZ

Sans prise en compte des semelles supérieures (section d’acier non fermée)



xG mImmZ

La valeur la plus proche de l’inertie calculée par éléments finis est celle obtenue en négligeant

les semelles supérieures et en positionnant le contour supérieur au niveau du centre de gravité

de la dalle.

Exemple 2 : Pont caisson à section d’acier fermée

Géométrie de la section mixte

Le calcul de l’inertie de torsion à l’aide du logiciel RDM6 donne : 4325.0 mI x

La dalle est modélisée par un rectangle de 8600mm de longueur sur 277mm de hauteur dont

le centre de gravité est positionné à 139mm au dessus de la face supérieure de la semelle

supérieure du caisson en acier.

Géométrie de la section homogénéisée (phase « chargement court terme »)

69.52.1

3.10 nnG

mme 4969.5

277*




Modèle à section fermée équivalent

Avec : choisiGZH

mmL

,2/451750

2706

Dans ce cas, la semelle supérieure est forcément prise en compte, l’épaisseur d’acier

homogénéisée du contour supérieure sera donc : *

sup eee semelleSup .


%4310.0139 6__%4 RDMdifférence

xG mImmZ

- positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité dalle+semelle

%6304.062.108 6__%4 RDMdifférence

xG mImmZ

La valeur de l’inertie la plus proche du calcul par éléments finis est encore pour le

positionnement du contour supérieur au niveau du centre de gravité de la dalle seule.

Conclusion

Finalement, la prise en compte de la torsion dans les sections fermées (en acier seul ou mixte)

se fera de la manière suivante :

modélisation de la dalle par un unique rectangle,

réduction de l’épaisseur de dalle à une épaisseur fictive d’acier,

positionnement du contour supérieur de la section fermée au niveau du centre de

gravité de la dalle et, selon la géométrie de la section d’acier :

o pour une section d’acier fermée : avec une épaisseur de*

sup eee semelleSup ,

o pour une section d’acier non fermée : avec une épaisseur de *e car les semelles

supérieures sont négligées.




Annexe 4 Calcul des coordonnées des nœuds

Cas des ponts droits

Le modèle se compose d’une unique poutre droite. Chaque groupe de nœuds, selon leur

provenance, est généré. Puis l’ensemble des nœuds ainsi obtenu est trié par abscisse croissant

et les éventuels doublons sont supprimés. Les nœuds des appuis sont les mêmes que ceux de

la poutre. Ils ne sont donc pas à créer.

Cas des ponts courbes avec un seul rayon de courbure

L’utilisateur doit entrer les abscisses curvilignes pour chaque tronçons (travées, répart. mat.).

L’ensemble des nœuds requis est généré comme précédemment et leur abscisse curviligne

leur est associée. Le programme doit alors calculer les coordonnées cartésiennes de chacun

des nœuds.

Les coordonnées de la « poutre » du caisson et des barres de tablier du bipoutre se calculent

ainsi :

sin

)cos1(

Ry

Rx

Les coordonnées des nœuds des poutres principales du bipoutre se calculent ainsi :

sin)(

)cos1()(

eRy

eRx

Pour la génération des nœuds d’appuis, il est nécessaire de connaître l’excentrement e d’un

appui par rapport au centre du tablier, soit le demi-entraxe des poutres principales pour le

bipoutres ou la demi-largeur de la tôle de fond de caisson. L’utilisateur doit aussi entrer un

angle de rotation des appuis par rapport à la normale à l’axe du pont.

Les coordonnées des nœuds des appuis se calculent ainsi :

sinsincos

)cos1(sincos

Rxyy

Ryxx

xy

eReRRx

Avec

tan

)tan1()tan1(2tan1

1

:

2222

2




Cas des ponts courbes avec plusieurs rayons de courbures

L’utilisateur doit entrer dans le programme la liste des rayons de courbures et les longueurs

curvilignes de chaque tronçon associé.

Le calcul de coordonnées sur le premier tronçon se déroule comme précédemment. Le repère

utiliser à cette occasion deviendra le repère de référence.

Pour le deuxième tronçon, correspondant au rayon de courbure suivante, un nouveau repère

est adopté de manière à pouvoir utiliser les formules ci-dessus. On prend l’hypothèse qu’au

niveau du nœud de jonction, la tangente droite et la tangente gauche sont identiques. Le

nouveau repère local aura donc l’axe des abscisses dirigé vers le centre du cercle de courbure

précédent. Une fois les coordonnées calculées dans ce repère, on se ramène au repère de

référence par une rotation d’angle ROs /)( 2 et une translation de vecteur 12OO avec iO

l’origine du repère i (repère 1 = repère de référence) et s(P) l’abscisse curviligne du point P.

De même pour le n-ième tronçon, les coordonnées sont calculées dans le repère « n » puis

rapportées au repère « n-1 » par une rotation d’angle ROs n /)( et une translation de

vecteur 1nnOO et ainsi de suite jusqu’à revenir au repère de référence.

La détermination des coordonnées des nœuds d’appuis est basée sur le même principe avec

les formules vues précédemment. Cependant, un problème se pose dans le cas où l’angle de

rotation de l’appui entraine le positionnement de l’appui sur un tronçon de courbure

différente. Le calcul se fait alors en deux temps. Pour chaque zone d’appuis, les coordonnées

du nœud d’appui sont calculées avec l’hypothèse que le rayon de courbure au niveau de

l’appui est le même qu’au niveau du nœud à l’axe du pont. Ensuite, l’abscisse curviligne de

l’appui ramené au niveau de l’axe du pont peut être déterminé et comparé aux limites du

tronçon de rayon R qui a été utilisé. S’il apparait que l’abscisse n’est pas dans l’intervalle, on

détermine alors le bon rayon R et on recommence le calcul.

Exemple numérique : Cf. feuille Excel : « ST1 Génération Appuis.xls »




Annexe 5 Modélisation 3D d’un pont bipoutre mixte droit

(Exemple du pont traité par le guide COMBRI)

1. Données d’entrée (géométrie, matériaux, phasage, actions)

Le pont modélisé est tiré du guide de conception COMBRI. Il s’agit d’un bipoutre mixte

hyperstatique de trois travées. La description du tablier est effectuée dans le chapitre 2.1 de ce

guide (page 5 à 13).

Les données relatives aux matériaux (aciers de charpente, acier d’armatures, béton, ciment)

sont données dans le chapitre 2.3 (page 25 à 31)

2. Modélisation avec le logiciel ST1

Le pont est modélisé en prenant en compte les hypothèses mentionnées dans ce cahier des

charges. Il est donc modélisé en deux dimensions. Les chargements sont déterminés en

prenant en compte une répartition transversale des charges.

Une autre modélisation sera aussi effectuée en trois dimensions avec les mêmes hypothèses

que pour la modélisation du pont courbe effectuée précédemment pour valider l’hypothèse de

répartition transversale des charges prises dans le modèle précédent et pour estimer

l’influence des inerties des barres transversales et de la prise en compte des entretoises dans le

modèle 3D.

3. Résultats (ST1)

Modélisation 2D : Moment de flexion sous combinaison ELU (en t.m) :




Modélisation 2D : Efforts tranchants sous combinaisons ELU (en t) :

Modélisation 3D : Moment de flexion sous combinaisons ELU (en t.m) :

(Avec entretoises et barres transversales ayant les caractéristiques de la section béton)

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Série11

Série1




Modélisation 3D : Efforts tranchants sous combinaisons ELU (en t) :

(Avec entretoises et barres transversales ayant les caractéristiques de la section béton)

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Série11

Série1

4. Comparaison entre la modélisation 2D et 3D

Seules les sollicitations maximales et minimales vont être utilisées pour la comparaison.

C'est-à-dire le moment de flexion minimal sur appui intermédiaire et maximal en travée de

rive ainsi que le tranchant minimal et maximal sur appui intermédiaire.

Modèle 2D - Sollicitations sous combinaison ELU :

sur appui intermédiaire 1 : Med = -57.5 MN.m ; Ved = -5.8 MN / +5.55 MN

en travée de rive : Med = 38.4 MN.m

Modèle 3D - Sollicitations sous combinaison ELU :

appui intermédiaire : Med = -57.6 MN.m ; Ved = -5.6 MN / +5.4 MN


Les pourcentages de différence valent donc :

sur appui intermédiaire : pour Med : 0.2%, pour Ved : 3%

en travée de rive pour Med : 1.3%

En conclusion, on remarque que les valeurs sont quasiment identiques. La répartition

transversale utilisée dans la modélisation en deux dimensions est donc valide.




5. Influence du choix des barres transversales dans la modélisation 3D

Comme mentionné précédemment lors de la modélisation d’un pont courbe, les barres

transversales reliant les barres des poutres principales et les barres de voie doivent avoir les

caractéristiques de la section transversale de béton :

(SX …… IY …… IZ 100000 IX 100000)

Par simplification, elles pourraient être remplacées par des barres rigides :

(SX 100000 IY 100000 IZ 100000 IX 100000)

De plus, Il serait intéressant de mesurer l’influence de la modélisation des entretoises.

Comme dans le paragraphe précédent, seules les sollicitations maximales et minimales seront

comparées.

Modèle 3D avec entretoises et barres transversales avec caractéristiques béton - Sollicitations

sous combinaison ELU :



Modèle 3D avec entretoises et barres transversales rigides - Sollicitations sous combinaison

ELU :



Modèle 3D sans entretoises et barres transversales avec caractéristiques béton - Sollicitations

sous combinaison ELU :



Modèle 3D sans entretoises et barres transversales rigides - Sollicitations sous combinaison

ELU :



La modélisation de barre rigide entraine une différence de 0.02% du moment de flexion

minimal sur appui intermédiaire. Cette différence est négligeable, l’utilisation des barres

rigides est donc valable.

De plus, la prise en compte des entretoises ne joue aucun rôle dans les résultats : aucune

différence n’apparaît dans le cas où elles ne sont plus modélisées. Il est donc inutile de les

ajouter au modèle.




Annexe 6 Calcul des contraintes normales

1. Calcul des contraintes dues à chaque étape du phasage

Les contraintes normales dans une section mixte sont calculées indépendamment pour chaque

étape du phasage (correspondant à chacune des barres 1000 à 5000). Elles dépendent du

matériau, plusieurs cas sont possibles.

Cas 1 : acier seul (barre 1000 uniquement)

Les propriétés mécaniques sont notées az , aA et aI la contrainte dans l’acier à une côte z est :

a

a

Eda

a

Eda

aI

zzM

A

N ,

,

Cas 2 : section mixte fissurée (acier de charpente et armatures)

Soit n le coefficient d’équivalent de la barre mixte non fissurée étudiée. Les propriétés

mécaniques de la section mixte sont notées 2z , 2A et 2I . La contrainte à la côte z e st :

2

2

,

2

,

I

zzM

A

Nz Edmixtebarre

Edmixtebarre

n

Cas 3 : section mixte non fissurée (béton participant et effets isostatiques du

retrait)

Soit n le coefficient d’équivalent de la barre mixte non fissurée étudiée. Les propriétés

mécanique de la section mixte sont notées mz , mA et mI . La contrainte à la côte z est :

m

m

Edmixtebarre

m

Edmixtebarre

nI

zzM

A

Nz

,

,

Dans le cas où le coefficient d’équivalence est celui utilisé pour le retrait, il faut ajouter les

contraintes dues au retrait isostatique. Par retrait, on considère le retrait du béton et le retrait

thermique.

retraitm

retraitm

Ediso

retraitm

Ediso

isoI

zzM

A

Nz

,

,

,

,

,

Avec bétonretrait

retrait

a

Ediso An

EN , et mbétonEdisoEdiso zzNM ,, ;

Et bétonA l’aire brute de la dalle, bétonz la position du centre de gravité de la dalle.




2. Calcul des contraintes totales

Le calcul des contraintes des sections mixtes est réalisé de manière itérative. Un premier

calcul est réalisé après l’analyse globale non fissurée en prenant en compte une dalle

participante. Les calculs des contraintes mixtes seront alors réalisés suivant le cas 3 puis les

contraintes de chacune des phases sont sommées :

zzzz iso

fissurénon

n

na

Comme expliqué au § 2.3.1, on réalise ensuite une analyse « fissurée ». Dans ce cas, dans les

sections considérées comme fissurée, les contraintes sont calculées comme dans le cas 2 et les

effets isostatiques du retrait ne sont pas pris en compte. La contrainte totale devient :

fissuré

n

na zzz

Dans le cas contraire, si la section est considérée comme non fissurée dans l’analyse globale,

les contraintes sont à nouveau calculées selon le cas 3 comme précédemment.

Par la suite, les contraintes seront calculées dans un premier temps à partir de l’état de

fissuration utilisé dans l’analyse globale, comme dans le cas 2 si la section est considérée

comme fissurée et comme dans le cas 3 sinon. Pour une section considérée comme non

fissurée, si des contraintes de traction apparaissent dans la dalle en béton, celle-ci est alors

partiellement fissurée. Dans ce cas, en l’absence d’un effort normal N conséquent, on

recommence le calcul en section fissurée avec un béton non participant et les effets

isostatiques du retrait non pris en compte.

Cependant, cette simplification est trop défavorable dans le cas d’un tablier en compression

sous effort normal. De plus, si le béton se fissure dans une phase puis se comprime à nouveau

dans une autre sous l’effet de N, ou inversement, la sommation simple des contraintes n’est

plus réalisable. Dans ce cas, la chaîne doit avertir l’utilisateur par le biais d’un message lui

signifiant le problème et l’encourageant à traiter ce cas lui même manuellement – où en

utilisant une feuille de calcul annexe par exemple. Une méthode de calcul est proposée en

Annexe 12.




Annexe 7 Calcul des propriétés plastiques

La théorie rigide plastique est appliquée pour la détermination de la classe des sections, pour

la résistance à la flexion des sections de classe 1 ou 2 et pour l’interaction flexion-effort

tranchant.

1. Règles

Les règles de calcul sont les suivantes :

il existe une interaction complète entre l’acier de construction, le béton et les

armatures ;

les aires efficaces des éléments en acier de construction sont soumises à des

contraintes égales à leurs limites d’élasticité de calcul fyd aussi bien en traction qu’en

compression ;

les aires efficaces des armatures sont soumises à une contrainte égale à leur limite

d’élasticité de calcul sdf en traction ; en compression elles sont négligées sauf si la

section est en zone fissurée de l’analyse globale, auquel cas elles sont soumises à sdf

en compression ;

l’aire efficace de béton reprend une contrainte de 0.85 cdf en compression constante

sur toute la hauteur entre l’axe neutre plastique et la fibre la plus comprimée du béton,

sauf si la section est en zone fissurée de l’analyse globale ; la résistance à la traction

du béton est négligée.

2. Axe neutre plastique

Le béton est participant uniquement entre l’axe neutre plastique et la fibre de béton la plus

comprimée. Sous MEd < 0, l’axe neutre plastique est en général dans la poutre en acier et le

béton n’est alors pas résistant. De plus, pour les sections situées en zone fissurée de l’analyse

globale, la résistance du béton n’est jamais prise en compte. Les distributions plastiques types

sont illustrées sur le schéma suivant :

Figure 6-18: Distribution plastique des contraintes




La distribution plastique doit être telle que l’effort normal plastique résistant de la section soit

nul. Le moment plastique résistant Mpl,Rd de la section est alors calculé à partir de cette

distribution de contrainte.

Il est fait le choix de ne pas prendre en compte le béton comprimé dans le cas d’une section

située dans la zone fissurée de l’analyse globale même si le moment sollicitant EdM est

positif.

Les sections efficaces S, prenant en compte les effets du traînage de cisaillement, sont

utilisées.

La position de l’axe neutre plastique est déterminée en fonction des efforts résistants

plastiques des différents éléments.

En compression :

0M

ybf

abfabf

fAN

pour la semelle inférieure ;

0M

yw

awaw

fAN

pour l’âme ;

0M

ytf

atfatf

fAN

pour la semelle supérieure ;

cdclrclr fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située sous la nappe inférieure

d’armatures ;

cdclurclur fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située entre les nappes d’armatures ;

cdcurcur fAN 85.0 pour la partie de la dalle béton située au dessus de la nappe supérieure

d’armatures.

Avec curclurclrb AAAA l’aire de la demi-dalle béton

En traction :

0M

ybf

abfabf

fAN

pour la semelle inférieure ;

0M

yw

awaw

fAN

pour l’âme ;

0M

ytf

atfatf

fAN

pour la semelle supérieure ;

sdtslrsl fAN pour la nappe inférieure d’armatures ;

sdtsursu fAN pour la nappe supérieure d’armatures.

On note de plus :

atfawabfa NNNN la résistance de la poutre en acier de construction ;

curclurclrc NNNN la résistance de la dalle en béton ;




susls NNN la résistance des armatures.

Les relations suivantes sont utilisées pour déterminer la position de l’axe neutre plastique.

Sous 0EdM en zone non fissurée de l’analyse globale :

Sous 0EdM en zone fissurée de l’analyse globale :

En pratique, les trois dernières situations ne sont pas réalisables.

Sous 0EdM :

Dans le cas où 0EdM , on suppose raisonnablement que la position de l’axe neutre plastique

n’est pas dans la dalle.




Une fois la zone dans laquelle se situe l’axe neutre plastique déterminée, on peut calculer sa

cote plz , mesurée depuis le dessous de la semelle inférieure, en cherchant la portion de

l’élément en dessous de l’axe neutre plastique assurant la condition d’effort normal plastique

résistant nul.

Voir diagramme : Détermination de l’axe neutre plastique.pdf

3. Moments plastiques résistants

Calcul de RdPlM , :

Le moment plastique résistance RdPlM , est calculé à partir de la distribution de contraintes

correspondant à la position de l’axe neutre plastique.

Dans le cas de sections mixtes comprenant de l’acier de nuance S420 ou S460 et lorsque

0EdM en dehors de la zone fissurée de l’analyse globale, il convient de réduire RdPlM ,

d’un coefficient réducteur β. Il dépend de la proportion de hauteur comprimée de la section et

traduit le fait qu’un acier de nuance plus élevée doit se déformer davantage pour atteindre sa

limite d’élasticité ce qui peut engendrer une fissuration de la dalle par excès de compression.

Le coefficient β se calcule de la manière suivante :

1 si 15.0tot

pl

h

x

25.0

15.0

15.01

tot

pl

h

x

si 40.015.0 tot

pl

h

x

L’analyse selon la théorie rigide plastique ne peut plus être utilisée dans le cas où 40.0tot

pl

h

x

Où :

toth est la hauteur totale de la poutre

plx est la hauteur comprimée de la poutre, soit la distance entre l’axe neutre plastique et

la fibre extrême comprimée de la dalle en béton.

Figure annexe 2 : Facteur de réduction β du moment plastique résistant Mpl,Rd

Calcul de RdfM ,

Détermination%20de%20l'axe%20neutre%20plastique.pdf




Le moment RdfM , est le moment résistant plastique de calcul d’une section composée

uniquement des semelles efficaces S+P.

Par rapport au calcul de RdPlM , , il ne faut plus prendre en compte l’effort résistant de l’âme et

il faut de plus considérer la réduction au voilement local de la semelle inférieure. La même

méthode est ensuite appliquée, en ne considérant plus le cas où l’axe neutre plastique se situe

dans l’âme.

Calcul de VRdPlM ,,

Le moment VRdPlM ,, est le moment résistant plastique de calcul d’une section complète dans

laquelle on considère que l’âme possède une résistance de calcul réduite donnée par

l’expression :

ydwVydw ff 1,

Où

2

12

Rd

Ed

V

V

Le calcul est mené par rapport à la position de l’axe neutre plastique de la section complète

initiale plz , c'est-à-dire sans prendre en compte le décalage éventuel généré par la limite

d’élasticité réduite de l’âme, conformément à l’article 6.2.2.4(4) de l’EN 1994-2.

Remarque : Le choix de ne pas décaler la position de l’axe neutre plastique permet d’obtenir

une analogie avec le critère d’interaction flexion-tranchant utilisé pour les sections de classe 3

ou de classe 4, en effet :

Figure annexe 3 : Moment plastique résistant réduit au tranchant Mpl,Rd,V

On a :




RdfRdplRdfVRdpl MMMM ,,,,, 1

Soit :

RdfRdplRdplVRdpl MMMM ,,,,,

D’où :

112111

2

,

,

,,

,

,

,,

Rd

Ed

Rdpl

Rdf

Rdpl

Ed

Rdpl

Rdf

Rdpl

EdVRdplEd

V

V

M

M

M

M

M

M

M

MMM

Ce qui correspond au critère de la formule (7.1) de l’EN 1993-1-5 dans le cas où RdbwRd VV , ,

c'est-à-dire lorsque la plaque d’âme est sujette au voilement par cisaillement.




Annexe 8 Coefficients de voilement par cisaillement

1. Calcul du coefficient de voilement par cisaillement kτ (cf. EN1993-1-5, Annexe A3)

On considère une plaque de largeur b, d’épaisseur t, munie de raidisseurs transversaux

espacés d’une distance a, supposés rigides. La détermination du coefficient de voilement par

cisaillement kτ dépend du nombre de raidisseurs longitudinaux.

1er

cas : absence de raidisseur longitudinal

Le coefficient de voilement est donné par les formules suivantes :

100.434.5

2

b

asi

a

bk

134.500.4

2

b

asi

a

bk

2ème

cas : un ou deux raidisseurs longitudinaux avec a/b < 3

Le coefficient de voilement est donné par la formule suivante :

332

3

2.2

18.03.6

1.4bt

I

b

a

bt

I

k sl

sl

3ème

cas : autres situations

Le coefficient de voilement est donné par les formules suivantes :

100.434.5

2

b

asik

a

bk sl

100.434.5

2

b

asik

a

bk sl

Où : 34

3

3

21.2

9b

I

tbt

I

a

bk slsl

sl

slI est la somme des inerties des raidisseurs individuels dans la flexion hors plan de la

plaque, cf. schéma suivant :

Figure annexe 4 : Raidisseur et tôle participante




2. Calcul du coefficient réducteur au voilement par cisaillement χ (cf . EN1993-1-5, 5.3 et

Tableau 5.1)

Le coefficient réducteur au voilement par cisaillement χ est déterminé dans le cas où les

raidisseurs transversaux sont rigides. Il dépend de l’élancement réduit de la plaque raidie :

Tableau annexe 1 : Coefficient de voilement par cisaillement χ

L’élancement réduit est donné par l’expression :

kt

b

4.37

Remarque : L’article 5.3(5) de l’EN 1993-1-5 impose que l’élancement réduit soit supérieur à

l’élancement réduit des panneaux secondaires inclus dans la plaque entre raidisseurs

longitudinaux. Dans le cas présent où les raidisseurs transversaux sont rigides, cette condition

est toujours vérifiée étant donné que bak

bb

,

est croissante pour a fixé.

La figure suivante illustre le tableau précédent, dans le cas où 20.1 .

Figure annexe 5 : Coefficient de voilement par cisaillement χ




Annexe 9 Calcul de la contrainte critique de voilement de plaque σcr,p

D’après l’EN 1993-1-5, Annexe A.1 et A.2

La contrainte critique de voilement de plaque pcr , dépend de la répartition de contraintes

dans la plaque. Dans le cas de la tôle de fond de caisson raidie, la contrainte de compression

est uniforme, et ainsi le rapport de contrainte ψ vaut 1, de plus l’espacement des raidisseurs a

été pris constant. Par contre, dans le cas des âmes, ψ est différent de 1 et l’espacement des

raidisseurs n’est pas forcément constant, ce cas sera donc traité à part.

La méthode de calcul dépend du nombre de raidisseurs longitudinaux. On distingue trois cas :

1er

cas : un seul raidisseur longitudinal (Annexe A.2)

Études de la tôle de fond de caisson (ψ=1)

Figure annexe 6 : de fond avec raidisseur unique

La contrainte critique correspond à la contrainte de flambement d’une barre isolée fictive sur

appui élastique, dont la section transversale est présentée sur le schéma suivant.

Figure annexe 7 : Flambement du raidisseur unique

Dans le cas d’un rapport de contrainte ψ = 1, la barre est composée du raidisseur et de la

demi-largeur des panneaux élémentaires adjacents de la tôle de fond. L’hypothèse

d’espacement constant entre raidisseurs conduit au cas où b1 = b2 = bp/2.




La contrainte critique pcr , est donnée par les formules suivantes :

c

sl

sl

a

pcr aasibb

btI

A

E

21

3

1,

1,

,

05.1

c

sl

a

sl

sla

pcr aasibbA

abtE

aA

IE

2

2

2

11,

22

23

2

1,

1,

2

,14

Où

43

2

2

2

11,33.4

bt

bbIa

sl

c

;

1,slA est l’aire brute de la barre ;

1,slI est l’inertie de la section brute de la barre dans la flexion hors plan de la plaque.

Études des âmes (ψ≠1)

Dans le cas des âmes, la compression n’est pas uniforme. Les raidisseurs situés dans une zone

tendue sont négligés et on utilise à nouveau les formules précédentes. Cependant, le calcul de

1,slA et de 1,slI est modifié.

Lorsque le panneau secondaire est entièrement comprimé, il convient de prendre en compte

une partie (3 – ψ)/(5 – ψ) de sa largeur b1 du côté du bord du panneau, et une partie 2/(5–ψ)

du côté du bord soumis à la contrainte maximale. Lorsque les contraintes changent de signe

dans le panneau secondaire, il convient de prendre en compte une partie égale à 0,4 fois la

largeur bc de la partie comprimée de ce panneau secondaire.

Figure annexe 8 : Notations relatives à une âme avec un seul raidisseur dans la zone comprimée

2ème

cas : deux raidisseurs longitudinaux (Annexe A.3)

Études de la tôle de fond de caisson (ψ=1)




Figure annexe 9 : Tôle de fond avec deux raidisseurs

Dans le cas de deux raidisseurs, il faut considérer séparément le flambement du raidisseur I,

du raidisseur II et le flambement conjoint des deux raidisseurs. Dans chaque situation, on

considère une unique barre et on applique les formules du cas à un seul raidisseur

longitudinal. La contrainte critique de voilement pcr , est la plus faible des contraintes de

flambement de ces trois situations :

Le raidisseur II est supposé rigide et on étudie le flambement du raidisseur I.

Figure annexe 10 : Flambement du raidisseur I dans le cas de deux raidisseurs

La méthode pour un seul raidisseur est appliquée avec, dans le cas général :

1,1,1,1,212211 ;;;; slslslsl IIAAbbbbbbb

Le raidisseur I est supposé rigide et on étudie le flambement du raidisseur II. Avec

l’hypothèse de symétrie des raidisseurs, le cas 2 est identique au cas 1.

On étudie le flambement conjoint des deux raidisseurs I et II en considérant un raidisseur

équivalent tel que :

- son aire et son moment d’inertie sont la somme des aires et des moments d’inertie des

deux raidisseurs individuels ;

- son emplacement correspondant à celui de la résultante des forces appliquées sur les

raidisseurs individuels.




Figure annexe 11 : Flambement du raidisseur fictif I+II dans le cas de deux raidisseurs

La méthode pour un seul raidisseur est appliquée avec, dans le cas général :

)2

(1 12

,,

,

1211 symétriquecasledansb

bsoitbAA

Abbbb

p

IIslIsl

IIsl

)2

( 132

,,

,

322 symétriquecasledansb

bsoitbbAA

Abbb

p

IIslIsl

IIsl

bb

IIslIslIIIslsl AAAA ,,,1,

IIslIslIIIslsl IIII ,,,1,

La contrainte critique de voilement vaut alors IIIpcrIIpcrIpcrpcr ,,,,,,, ;;min .

Études des âmes (ψ≠1)

De même que pour le 1er

cas, on réutilise les mêmes formules mais on calcule 1,slA et de

1,slI avec des valeurs b modifiées.

3ème

cas : trois raidisseurs longitudinaux ou plus (Annexe A.1)

La contrainte critique de voilement est déterminée en considérant une plaque orthotrope

équivalente en considérant les raidisseurs longitudinaux comme « tartinés » sur la largeur de

la plaque.

La contrainte critique est alors donnée par la formule :

Eppcr k ,,

Où :

22

22

112 b

tEa

E

la contrainte de référence d’Euler ;

pk , le coefficient de voilement global de la plaque orthotrope équivalente, évaluée de

la manière suivante, uniquement dans le cas où les raidisseurs sont également espacés :

42

22

,11

112

sik p




4,

11

14

sik p

Avec :

1 dans le cas des tôles de fond de caisson, à calculer dans le cas des âmes

p

sl

I

I

p

sl

A

A

5.0b

a

slI est l’inertie totale de l’ensemble de la plaque raidie (à ne pas confondre avec

l’inertie des raidisseurs)

2

3

112

tbI p est l’inertie de flexion de la plaque

slA est la somme des aires brutes des raidisseurs longitudinaux individuels

tbAp est l’aire brute de la plaque

Les propriétés géométriques sont illustrées sur le schéma suivant :

Figure annexe 12 : Paramètres géométriques pour raidisseurs tartinés




Annexe 10 Méthode de calcul simplifié de l’amplitude de contrainte à l’ELU de fatigue

L’amplitude de contrainte dans la charpente ou dans les armatures passives, pour une section

donnée, dépend de la participation du béton. Il est fait l’hypothèse que le béton partiellement

tendu ne résiste pas.

Il est raisonnable de dire que la contrainte de traction dans le béton est maximale à court

terme lorsque le béton n’a pas encore flué sous les charges permanentes. A la mise en service,

la part du moment fléchissant de calcul total appliquée aux sections mixtes non fissurées

fEdcM ,, se décompose en moments repris par des sections dont les modules d’équivalence

sont proches du module court terme 0n . On fait alors l’hypothèse simplificatrice que le

moment fEdcM ,, est appliqué entièrement à la section court terme, de propriétés mécaniques

0mz et 0mI . Les contraintes auto équilibrées des effets primaires sont aussi évaluées avec ces

propriétés court terme. Les propriétés mécaniques de la section mixte fissurée sont notées 2z

et 2I .

Les contraintes dans la charpente sont données pour les 3 situations de calculs.

Béton participant sous fEdcM max,,, et fEdcM min,,,

primaireretrait

m

m

fEdc

a

a

EdafI

zzM

I

zzMz

0

0

max,,,,max,

primaireretrait

m

m

fEdc

a

a

EdafI

zzM

I

zzMz

0

0

min,,,,min,

Soit une amplitude de contrainte à la cote z : 0

0

m

m

FLMfI

zzMz

Béton participant sous fEdcM min,,, uniquement

2

2max,,,,max,

I

zzM

I

zzMz fEdc

a

a

Edaf

0

0

max,,,,max,

m

m

fEdc

a

a

EdafI

zzM

I

zzMz

Soit une amplitude de contrainte : 0

0

max,,,

2

2max,,,

m

m

fEdcfEdcfI

zzM

I

zzMz

Béton non résistant sous fEdcM min,,, et fEdcM max,,,

2

2max,,,,max,

I

zzM

I

zzMz fEdc

a

a

Edaf

2

2max,,,,max,

I

zzM

I

zzMz fEdc

a

a

Edaf

Soit une amplitude de contrainte : 2

2

I

zzMz FLMf




Annexe 11 Calcul du coefficient d’équivalence en fatigue

Le coefficient dépend du matériau et du type de pont.

1. Charpente en acier

Le coefficient de dommage équivalent se calcule par :

max4321

Il faut distinguer les types de ponts.

1.1. Ponts routiers

Les formules suivantes ne sont valables que pour des ponts dont les portées sont inférieures à

80m.

Calcul de 1 et max

Le coefficient 1 traduit l’effet du trafic. Les coefficients 1 et max dépendent de la position

de la section sur l’ouvrage, voir schéma ci-dessous :

Figure 6-19 : Zones d'influences à la fatigue

Travées de rive et centrale, à plus de 15% de la travée d’un appui intermédiaire

Pour une travée de portée L, on a une longueur d’influence LL int et :

70

107.055.2 inf

1

L

mLsi

mLsiL

250.2

2515

105.05.2

inf

infinf

max

Appuis intermédiaires, de -15% à +15% de travées adjacentes

Pour des travées adjacentes de portées 1L et 2L , on a une longueur d’influence

21int 5.0 LLL et :




mLsiL

mLsiL

3050

305.070.1

3020

103.00.2

infinf

infinf

1

mLsi

L

mLsi

3050

3090.080.1

3080.1

infinf

inf

max

Calcul de 2

Le coefficient 2 rend compte de la composition du trafic sur la voie lente : 2.0

00

1

2

N

N

Q

Q obsm

Où :

kNQ 4800

6

0 105.0 N

2.05

1

i

ii

m

QQ

est le poids moyen des poids-lourds circulant sur la voie lente,

avec iQ le poids d’un poids-lourd circulant sur la voie lente i.

Calcul de 3

Le coefficient 3 rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :

2.0

3100

Ldt

Calcul de 4

Le coefficient 4 traduit les efforts du trafic lourd sur les autres voies lentes de l’ouvrage : 2.0

5

111

4

m

mii

n

i

i

Q

Q

N

Nvl

Où :

miQ est le poids moyen des poids-lourds sur la voie i

iN est le nombre de poids-lourds par an sur la voie i

i est le coefficient d’influence transversale de la voie lente i

Le programme Excel effectue le calcul en prenant comme hypothèse que le poids moyen ainsi

que le nombre de poids-lourds par an sont les mêmes sur toutes les voies lentes de l’ouvrage.

Ainsi :




2.05

1

4

vln

i

i

1.2. Ponts ferroviaires

Les formules suivantes ne sont valables que pour des ponts dont les portées sont inférieures à

100m.

Calcul de 1

Le coefficient 1 prend en compte l’effet du trafic. Comme dans le cas d’un pont routier, sa

valeur dépend de la longueur d’influence infL fonction de la position de la section dans

l’ouvrage.

Les tableaux 9.3 et 9.4 de l’EN 1993-2 donnent le coefficient 1 pour différents types de

trafic.

Calcul de 2

Le coefficient 2 rend compte du volume de trafic. Il est obtenu par interpolation des valeurs

du tableau suivant à partir du trafic annuel par voie :

Figure 6-20 : Coefficient λ2 pour la charpente en acier des ponts ferroviaires

Calcul de 3

Le coefficient 3 rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :

2.0

3100

Ldt

Calcul de 4

Le coefficient 4 est pris en compte pour les ouvrages supportant deux voies ou plus. Il

représente l’effet du passage de train sur les autres voies de l’ouvrage. Il dépend de la

proportion de trafic n se croisant sur le pont.

Le coefficient 4 est donné par la formule suivante :

5 55

4 )11 aann

Où :




21

1

a est le rapport d’étendue de contrainte au niveau de la section à vérifier de la

situation à une voie chargée sur la situation à deux voies chargées ;

n est la proportion du trafic se croisant sur l’ouvrage, la valeur de référence est 12%

d’après l’article 9.5.3(8) de l’EN 1993-2.

Calcul de max

La valeur recommandée est : 4.1max

2. Armatures passives

Le coefficient de dommage équivalent s se calcule par :

4,3,2,1, ssssfats

Il faut distinguer les types de ponts.

2.1. Ponts routiers

Le coefficient de majoration dynamique fat est donné dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5.

Calcul de 1,s

Le coefficient 1,s prend en compte les effets du volume de trafic en fonction de la longueur

d’influence infL de l’élément. Sa valeur est lue dans les figures NN,1 et NN,2 de l’EN 1992-2.

Calcul de 2,s

Le coefficient 2 caractérise l’influence du volume de trafic annuel et du type de trafic :

21

2,0.2

k

obss

NQ

Avec Q donné dans la partie trafic, voir § 2.2.3.5, et 92 k .

Calcul de 3,s

Le coefficient 3,s rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :

21

3,100

k

Lds

t

Calcul de 4,s

Le coefficient 4,s traduit les efforts du trafic lourd sur les autres voies lentes de l’ouvrage :




21

1,

,

4,

k

obs

iobs

sN

N

Où : iobsN , est le nombre de poids-lourds par an sur la voie i

Le programme Excel effectue le calcul en prenant comme hypothèse que le nombre de poids-

lourds par an est le même sur toutes les voies lentes de l’ouvrage. Ainsi :

21

4,

k

vls n

2.2. Ponts ferroviaires

Le coefficient de majoration dynamique fat vaut 1 pour les ponts ferroviaires.

Calcul de 1,s

Le coefficient 1,s traduit les effets du volume de trafic en fonction de la longueur d’influence

infL de l’élément. Sa valeur est indiquée dans le tableau NN,2 de l’EN 1992-2.

Calcul de 2,s

Le coefficient 2,s caractérise l’influence du volume de trafic annuel et du type de trafic :

21

62,1025

k

s

Vol

Où Vol est le volume de trafic annuel, en tonnes/an/voie.

Calcul de 3,s

Le coefficient 3,s rend compte de la durée de vie de calcul du pont Ldt en années :

21

1003,

k

Lds

t

Calcul de 4,s

Le coefficient 4,s représente les effets du trafic sur les autres voies de l’ouvrage. La charge

du convoi de fatigue doit être appliquée sur deux voies au maximum dans la position la plus

défavorable :

Le coefficient 4 est donné par la formule suivante :

2 22

214, 1k kk

s ssnn

Où :

21

11

s et 1

21

22 1 ss




1 et 2 sont respectivement l’étendue de contrainte due au passage du convoi de

fatigue sur la voie 1 et sur la voie 2 ;

21 est l’étendue de contrainte due au passage du convoie sur les deux voies ;

n est la proportion du trafic se croisant sur l’ouvrage, la valeur de référence est 12%

d’après l’article NN,3(106) de l’EN 1992-2.




Annexe 12 Prise en compte des effets d’un effort normal N

En général, il n’existe pas d’effort N dans les ponts mixtes, il n’est donc pas nécessaire de le

prendre en compte dans les calculs et les justifications. Cependant, dans le cas des ponts à

haubans par exemple, il existe un effort normal non négligeable à prendre en compte.

Cet effort normal N va modifier la détermination de l’axe neutre plastique, le calcul des

contraintes totales. Il faudra aussi prendre en compte l’interaction M-N et M-N-V.

1. Détermination de l’axe neutre plastique (avant l’étape de classification des sections)

La détermination de l’axe neutre plastique se déroule selon le même principe que celui

développé en Annexe 7. Cependant, les inégalités à vérifier sont différentes. Au lieu de

chercher à avoir un équilibre tel que N=0 il faut utiliser :

EdNNNN

En reprenant les notations définies en Annexe 7, on aura :

En zone fissurée de l'analyse globale Critères Position de l’axe neutre plastique

Si Edsatfawabf NNNNN Semelle inférieure

Sinon Edsatfawabf NNNNN Âme

Sinon Edsa NNN Semelle supérieure

En zone non fissurée de l'analyse globale Critères Position

Si catfawEdabf NNNNN Semelle inférieure

Sinon catfEdawabf NNNNN Âme

Sinon cEda NNN Semelle supérieure

Sinon curclurEda NNNN Dalle, sous la nappe inférieure

Sinon curEdsla NNNN Dalle, entre les nappes

Sinon curEdsa NNNN Dalle, au-dessus de la nappe supérieure

2. Calcul des contraintes totales

Le calcul des contraintes totales ne peut pas être réalisé avec les simplifications vu

précédemment en Annexe 6. En effet, négliger toute la dalle si une fibre de béton est en

traction serait trop défavorable. De plus, la sommation des contraintes peut être impossible en

cas de changement d’état de fissuration du béton entre deux phases successives.

Une méthode de calcul est développée en Annexe 13.




3. Justification plastique avec N (Classe 1 et 2)

En classe 1 ou 2, les justifications sont réalisées en plasticité. À partie de la position de l’axe

neutre plastique, on peut calculer RdplN , et RdplM , de la manière suivante :

pl

pl

z h

zydydRdpl dzzfdzzfN

0,

pl

pl

z h

zydydRdpl dzzzzfdzzzzfM

000,

Il suffit ensuite de vérifier RdplEd MM , et RdplEd NN ,

Figure annexe 13 : Exemple de distribution plastique des contraintes dans l’acier

Dans le cas d’une interaction avec le tranchant, il faut réduire la limite élastique de l’âme ou

de la tôle de fond de caisson de la même manière qu’en flexion simple comme développé au

§6.5.3.2. Le moment plastique résistant est alors calculé avec cette nouvelle valeur de fy dans

les zones concernées :

VywdRdplVRdplEd fMMM ,,,,

4. Justification élastique avec N (Classe 3 et 4)

En classe 3 ou 4, les justifications sont réalisées en élasticité. Pour cela, on vérifie simplement

que les contraintes normales totales, calculées selon le §2, soient toujours inférieures à la

limite élastique.

Dans le cas d’une interaction avec le tranchant, il est fait le choix de réduire l’épaisseur de

l’âme ou de la tôle de fond de caisson de la même manière qu’en flexion simple comme

développé au §6.5.3.2 :

wVww ttt 1,

Remarque :

Le choix de réduire l’épaisseur plutôt que changer la limite d’élasticité vient du format

de la procédure élastique qui consiste à déformer la section jusqu’à atteindre la limite

d’élasticité en un point.




La détermination de la classe, et le calcul éventuel de la largeur efficace P de l’âme,

sont menés avec l’épaisseur brute wt . Cependant, la section efficace P de l’âme est

calculée à partie de Vwt , .

Le critère retenu est plus sécuritaire que les critères réglementaires pour les sections

métalliques ou pour les sections mixtes. L’intérêt de ce critère est purement analytique car il

permet de programmer facilement la vérification.




Annexe 13 Calcul des contraintes totales - Méthode en cas de modification du comportement de la dalle béton

1. Généralités

Une des particularités des ponts mixtes est l’application des différents chargements sur des

sections mixtes de caractéristiques différentes, dépendantes du coefficient d’équivalence. Par

exemple, les charges d’exploitations s’appliquent sur une section définie par un coefficient

d’équivalence à court terme alors que la section est déjà sollicitée par les charges permanentes

qui ont été appliquées sur une section définie par les différents coefficients d’équivalence à

long terme.

Soit le béton était déjà comprimé sous les charges permanentes, il peut alors devenir

plus comprimé encore ou moins jusqu’à devenir tendu et donc fissuré.

Soit le béton était déjà tendu et fissuré sous les charges permanentes, il peut alors

devenir plus tendu encore ou moins jusqu’à être recomprimé.

Si le béton était comprimé sous charges permanentes et se comprime plus encore sous charges

d’exploitation ou s’il était tendu et fissuré et se tend encore plus sous charges d’exploitation,

le calcul direct des contraintes et le principe de superposition sont applicables comme dans le

cas de la flexion simple.

Dans le cas contraire, le calcul direct des contraintes et le principe de superposition ne sont

plus applicables car le comportement de la section change pendant l’application des

différentes charges. On observe :

soit une décompression jusqu’à fissuration dans une partie de la dalle béton ;

soit une fermeture des fissures jusqu’à la recompression théorique d’une partie de la

dalle béton.

Chaque analyse de section doit considérer les différentes situations dues aux chargements

« long terme » et « court terme », et prendre en compte le comportement physique du béton.

À partir des sollicitations calculées dans l’analyse globale en section non fissurée pour chaque

coefficient d’équivalence, il est nécessaire d’avoir une méthode pour obtenir les déformations

finales, calculées avec un état de fissuration du béton pertinent dans le but de sommer les

effets des différents chargements.

2. Méthode avec un coefficient d’équivalence long terme et un court terme

Étude de la section sous coefficient long terme

À partir des sollicitations calculées dans l’analyse globale en section non fissurée ou fissurée,

on calcule les contraintes et les déformations dans la section sous charges permanentes avec

le coefficient long terme en négligeant le béton tendu. On obtient alors l’axe neutre élastique

et on recalcule les caractéristiques mécaniques de la section, en particulier le centre de gravité

mixte comme défini au § 2.4.3.

Calcul des sollicitations équivalentes avec un coefficient d’équivalence court terme

On peut alors calculer un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations

(et donc le même axe neutre et la même section de béton fissuré) mais s’appliquant sur une




section définie par le coefficient court terme. Ce torseur équivalent sera exprimé, par

exemple, au centre de gravité mixte de la section court terme.

D

ddAEN

SiSi

Sia

),(inf),(sup

),(

''

DIEM Sia

supinf

),('

Avec SiA ),( et SiI ),( : l’aire et l’inertie de la section mixte « court terme » dans l’état de

fissuration considéré. D la hauteur totale de la section, d et d’ la distance du centre de gravité

mixte à la fibre supérieure de la dalle et à la face inférieure de la semelle inférieure de la dalle.

Détermination d’un torseur équivalent avec l’état de fissuration de l’analyse globale

Ensuite, on peut obtenir par simple transposition le torseur équivalent agissant sur une section

court terme et dans l’état de fissuration utilisée dans l’analyse globale (fissuré ou non fissuré).

Il est exprimé, par exemple, au centre de gravité de la section mixte court terme fissurée ou

non fissurée selon l’hypothèse de l’analyse globale.

''' NN

SjSi yyNMM ),(),(''''

Avec Siy ),( la position du centre de gravité de la section mixte court terme dans l’état de

fissuration précédent et Sjy ),( la position du centre de gravité de la section mixte court terme

dans l’état de fissuration de l’analyse globale (par rapport à la face inférieure de la semelle

inférieure).




Calcul des contraintes dues aux chargements « court terme » et « long terme »

Ce dernier torseur de sollicitations équivalent représente le comportement de la section sous

les charges permanentes, avec la même déformation et donc le bon axe neutre. Comme ce

torseur est donné dans une section « court terme » et dans l’état de fissuration utilisé dans

l’analyse globale, il est sommable avec les sollicitations dues aux charges d’exploitations,

elles-mêmes données au même point de référence et dans la même section.

''exp NNN loitationfinal

''exp MMM loitationfinal

Cette méthode permet d’obtenir les déformations correctes dans la section mixte avec les

contraintes réelles dans l’acier et approchées dans le béton.

3. Généralisation de la méthode pour l’utilisation dans le cadre des Eurocodes avec 4

coefficients d’équivalence

L’Eurocodes 4 impose l’utilisation de quatre coefficients d’équivalence différents selon le

type de chargement appliqué. Dans ce cas, on réutilise la méthode précédente pour deux cas

de charge successifs suivant le phasage de construction et on itère jusqu’à obtenir l’état de

contraintes final.

Soit betonnagen , retraitn , eerstructurnsup , 0n les coefficients de fluage correspondant aux sections des

barres 2000, 3000, 4000, 5000 (respectivement).

détermination de l’état de fissuration de la section de la barre 2000 et calcul des

contraintes avec betonnagen d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;

puis détermination de l’état de fissuration de la section de la barre 3000 et calcul des

contraintes avec retraitn d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;

Si les deux états de fissuration de la dalle sont identiques (soit non fissurée, soit

complètement fissurée), on somme les contraintes et on passe à la prise en compte des

sollicitations de la barre 4000 (voir ci-dessous), sinon on continue ;

calcul d’un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations de la

section mais sous retraitn ;

calcul d’un torseur de sollicitation équivalent donnant les mêmes déformations de la

section mais dans une section non fissurée ;

sommation de ce torseur de sollicitations avec celui obtenu dans la section non

fissurée de la barre 3000.

détermination de l’état de fissuration sous le nouveau torseur de sollicitations et calcul

des contraintes avec retraitn d’où on tire les déformations grâce à la loi de Hooke ;

Puis, à partir des résultats précédents, on recommence pour prendre en compte les charges

s’appliquant sur la section mixte des barres 4000 :

calcul d’un torseur de sollicitations équivalent donnant les mêmes déformations de la

section mais sous eerstructurnsup ;

on reprend la méthode précédente




De même, on continue pour prendre en compte les charges s’appliquant sur la section mixte

de barres 5000.

Finalement, on pourra alors déterminer l’état de fissuration sous le torseur de sollicitations

regroupant tout les cas de charges s’appliquant sur les barres mixtes et calculer les contraintes

qui en découlent avec un coefficient d’équivalence à long terme.

Projet de Fin d’Études -...

Documents

Transcript of Projet de Fin d’Études -...