Projection orthogonale Projection orthogonale d’un angle droitd’un angle droit

Par Langhendries Jean-Louis

Hypothèse :

Voici un plan Un angle ASB dont les côtés ne sont pas perpendiculaires à

AB

S

A’

B’S’

Désignons par A’, B’ et S’ les projections orthogonales des points A, B et S sur le plan L’angle A’S’B’ est donc la projection orthogonale de l’angle ASB sur le plan

DémonstrationSoitA

B

S

A’’

A’

B’’

B’S’

'

' le plan comprenant S

et parallèle au plan Désignons par A’’ et B’’ les projections orthogonales de A et de B sur '

SBSA.

=

)'''').(''''( BBSBAASA

=

BBAASBAABBSASBSA ''.''''.''''.''''.''

D’où

BBAASBSASBSA ''.''''.''.

BBAABSASSBSA ''.''''.''. Et

Si deux des produites scalaires de l’égalité précédente sont nuls alors le troisième est nul aussi Constatons que :

SBSA. = 0 équivaut à l’angle ASB est droit

''.'' BSAS = 0 équivaut à l’angle A’S’B’ est droit

BBAA ''.'' = 0 équivaut à l’une des droites SA, SB est parallèle à

Conclusions :

1. Si un angle droit se projette orthogonalement sur un angle droit, alors un côté de cet angle est parallèle au plan de projection

2. Si un angle droit se projette orthogonalement sur un plan parallèle à un de ses côtés suivant un angle alors cette projection est un angle droit

3. Si un angle se projette orthogonalement sur un plan parallèle à un de ses côtés suivant un angle droit, alors cet angle est droit

Fin