Produit scalaire32.3 Autres expressions du produit scalaire 11 A u B v A u = p(v) B v 90 F IGURE...

9Produit scalaire32

Leç

on

n°

Niveau Première SPrérequis vecteurs, norme de vecteurs

Références [104], [105], [106], [107]

32.1 Définition dans le planDéfinition 32.1 — Produit scalaire. On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v et on note #»u · #»vle nombre réel défini par :

#»u · #»v = 12[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2 .

]

R 32.2 Si #»u = #»0 ou #»v = #»0 alors #»u · #»v = 0.

Théorème 32.3 Si (O, #»ı , #» ) est un repère orthonormée (c’est-à-dire ( #»ı , #» ) est une base orthonor-male) et si #»u = (x, y) et #»v = (x′, y′) alors :

#»u · #»v = xx′ + yy′.

Dv

• Démonstration du théorème 32.3 — On a : #»u + #»v = (x+ x′, y + y′) et donc :

‖ #»u + #»v ‖2 = (x+ x′)2 + (y + y′)2.

D’où :

#»u · #»v = 12[(x+ x′)2 + (y + y′)2 − (x2 + y2)− (x′2 + y′2)

]= xx′ + yy′.

•

� Exemple 32.4 Soit #»u = (3,−1) et #»v = (2, 6) alors#»u · #»v = 3× 2 + (−1)× 6 = 6− 6 = 0.

On dira que #»u et #»v sont orthogonaux. �

32.2 PropriétésPropriétés 32.5 Pour tous vecteurs #»u , #»v et #»w :

1. #»u · #»v = #»v · #»u

2. #»0 · #»u = #»u · #»0 = 03. Pour tout réel k, k #»u · #»v = #»u · (k #»v ) = k × ( #»u · #»v )

10 Leçon n°32 • Produit scalaire

4. #»u · ( #»v + #»w) = #»u · #»v = #»u · #»v + #»u · #»w

5. #»u · #»u est noté #»u 2 est appelé carré scalaire de #»u .

6. #»u 2 = ‖ #»u‖2 (carré de la longueur du vecteur #»u )

7. ( #»u+ #»v )2 = #»u 2 +2 #»u · #»v + #»v 2 (cela signifie que ( #»u+ #»v )·( #»u+ #»v ) = #»u · #»u+2 #»u · #»v + #»v · #»v )

8. ( #»u − #»v )2 = #»u 2 − 2 #»u · #»v + #»v 2

9. ( #»u + #»v ) · ( #»u − #»v ) = #»u 2 − #»v 2

Dv

• Démonstration des propriétés 32.5-1, 32.5-3 et 32.5-4 — 1. D’après la définition duproduit scalaire :

#»u · #»v =[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2

]=[‖ #»v + #»u‖2 − ‖ #»v ‖2 − ‖ #»u‖2

]= #»v · #»u .

3. On se donne un repère orthonormé (O, #»ı , #» ) et trois vecteurs #»u = (x1, y1), #»v = (x2, y2),#»w = (x3, y3). On utilise la formule du théorème 32.3 :

#»u · ( #»v + #»w) = x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) = x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3

= x1x2 + y1y2 + x1x3 + y1y3 = #»u · #»v + #»u · #»w.

4. De même,

(k #»u ) · #»v = kx1x2 + ky1y2 = kx2x1 + ky2y1 = #»u · (k #»v )= kx1x2 + ky1y2 = k(x1x2 + y1y2) = k × ( #»u · #»v ).

•

Propriété 32.6 Dire que deux vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux équivaut à dire que #»u · #»v = 0.

R 32.7 Si on note #»u = # »

AB et# »

BC :#»u ⊥ #»v ⇔ ‖ #»u + #»v ‖2 = #»u 2 + #»v 2 ⇔ AC2 = AB2 +BC2.

32.3 Autres expressions du produit scalaire

Théorème 32.8 Si #»u 6= #»0 et #»v 6= #»0

#»u · #»v = ‖ #»u‖ ‖ #»v ‖ cos( #»u , #»v ).

Propriété 32.9 Soient #»u et #»v deux vecteurs non nuls colinéaires :

1. S’ils ont même sens alors #»u · #»v = ‖ #»u‖ × ‖ #»v ‖2. S’ils ont sens contraire alors #»u · #»v = −‖ #»u‖ × ‖ #»v ‖.

� Exemple 32.10 Si #»u = 32

#»v et ‖ #»u‖ = 2 alors #»u · #»v = 2× 3 = 6. �

32.3 Autres expressions du produit scalaire 11

A Bu

v

A Bu = p(v)

v

90˚

FIGURE 32.1 – Projection orthogonale de v sur une droite portant u

Propriété 32.11 Etant donné deux vecteurs non nuls #»u et #»v . Si on note p( #»v ), la projection orthogo-nale de #»v sur une droite portant #»u alors on a :

#»u · #»v = #»u · p( #»v ).

A D

CB

O

H

E

F

FIGURE 32.2 – Figure de l’exemple

� Exemple 32.12 —# »

AD · # »

AB = 0 car# »

AD et# »

AB sont orthogonaux.—

# »

AD · # »

CB = −3× 3 = −9 car# »

AD et# »

CB sont colinéaires et de sens contraires.—

# »

AD · # »

AO = # »

AD · # »

AH = 3× 1, 5 = 4, 5 car le projeté orthogonale de# »

AO sur (AD) est# »

AHet que

# »

AD et# »

AH sont colinéaires et de même sens.— Les produits scalaires

# »

AD · # »

AC,# »

AD · # »

BD et# »

AD · # »

EF sont tous égaux entre eux. En effet, sion projette orthogonalement

# »

AC,# »

BD et# »

EF sur (AD), on obtient à chaque fois# »

AD. Donctous ces produits scalaires sont égaux à

# »

AD · # »

AD = 3× 3 = 9.�

Dv

• Démonstration — On part du principe que l’on ait démontré :

#»u · #»v = 12(‖ #»u + #»v ‖ − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2)⇔ #»u · #»v = xx′ + yy′.


1. Supposons que #»u 6= 0 et #»v 6= 0. On pose #»ı = #»u‖ #»u‖ . Soit #» le vecteur tel que ( #»ı , #» ) =

π2 et ‖ #» ‖ = 1. Ainsi, nous avons ainsi construit une base ( #»ı , #» ) orthonormale directe.Dans cette base ( #»ı , #» ), on a, en notant θ = ( #»u , #»v ) :

#»u (‖ #»u‖ , 0) ; #»v (‖ #»v ‖ cos θ, ‖ #»v ‖ , sin θ) ;#»

v′(‖ #»v ‖ cos θ, 0)

où l’on note#»

v′ le projeté orthogonal de #»v sur #»u . D’où :

#»u · #»v = ‖ #»u‖ ‖ #»v ‖ cos θ et #»u · #»

v′ = ‖ #»u‖ ‖ #»v ‖ cos θ.

D’où les formules des propriétés précédemment citées.

2. Si #»u et #»v sont colinéaires alors θ = ( #»u , #»v ) = 0 et cos θ = 1.

•

32.4 Produit scalaire dans l’Espace32.4.1 Extension de la définition à l’Espace

Définition 32.13 Soient #»u et #»v deux vecteurs de l’Espace. Il existe trois points A, B et C tels que#»u = # »

AB et #»v = # »

AC. Il existe toujours un plan P contenant A, B et C.On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v de l’Espace le produit scalaire des vecteurs

# »

ABet

# »

AC dans le plan P .

R 32.14

1. On a alors :#»u · #»v = 1

2

[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2

].

Cette égalité est bien indépendante du plan P choisi.

2. Quitte à se placer dans le plan P , les différentes expressions du produit scalaire (sauf l’expression dansun repère du plan) des sections précédentes restent valables.

3. Les règles de calcul sur le produit scalaire (bilinéarité, carré scalaire, identités remarquables) restentles mêmes que dans le plan.

32.4.2 Expression analytique du produit scalaire

Propriété 32.15 On se place dans un repère (O, #»ı , #» ,#»

k ) orthonormé de l’Espace. Soient #»u( xyz

)et

#»v

(x′y′

z′

). Alors :

#»u · #»v = xx′ + yy′ + zz′.

Dv

32.5 Applications 13

• Démonstration —

#»u · #»v = 12

[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2

]

= 12[(x+ x′)2 + (y + y′)2 + (z + z′)2 − (x2 + y2 + z2)− (x′2 + y′2 + z′2)

]

= 12[x2 + 2x′ + x′2 + y2 + 2yy′ + y′2 + z2 + 2zz′ + z′2 − x2 − y2 − z2 − x′2 − y′2 − z′2

]

= 12 [2xx′ + 2yy′ + 2zz′] = xx′ + yy′ + zz′.

•

R 32.16 On retrouve en particulier les deux résultats suivants, valables dans un repère orthonormé de l’Espace :

— Si #»u(xyz

)alors #»u 2 = ‖ #»u‖2 = x2 + y2 + z2.

— Si A(xA; yA; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors :

AB = ‖AB‖ =√

# »

AB2 =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

32.5 Applications32.5.1 Vecteur normal à une droite

Définition 32.17 On dit qu’un vecteur #»n est normal à une droite D si #»n 6= #»0 et si #»n est orthogonalà la direction de D.

D

n

FIGURE 32.3 – Le vecteur n est normale à la droite D

Théorème 32.18 Soit D une droite passant par A et de vecteur normal #»n

M ∈ D ⇔ #»n · # »

AM = #»0 .

Théorème 32.19 Soit D une droite d’équation ux + vy + w = 0 dans un repère orthonormal(O, #»ı , #» ). Le vecteur #»n(u, v) est normal à D.

32.5.2 Relations dans un triangle

Théorème 32.20 — Formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABC,

BC2 = AB2 +AC2 − 2AB ×AC × cos BAC.


Dv

• Démonstration du théorème 32.20 — Si on note a = BC, b = AC et c = AB, on a :

a2 = BC2 = # »

BC2 = ( # »

BA+ # »

AC)2 = BA2+AC2+2( # »

BA· # »

AC) = c2+b2+2b cos( # »

BA,# »

AC)

Or cos( # »

BA,# »

AC) = cos[π + ( # »

AB,# »

AC)] = − cos( # »

AB,# »

AC) = − cos A. •

Théorème 32.21 — Formule des 3 sinus. Soit ABC un triangle (on note a = BC, b = AC, c = BA),S l’aire de ce triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle :

a

sin A= b

sin B= c

sin C= abc

2S = 2R.

Dv

• Démonstration du théorème 32.21 — On note H le pied de la hauteur issue de A dans letriangle ABC.— Dans le cas où B est obtus, AH = AB sin(π − B) = AB sin B = c sin B.— Dans le cas où B est aigu, AH = AB sin B = c sin B.Donc, dans tous les cas, AH = c sin B et S = 1

2BC ·AH = 12ac sin B. D’où

S = 12ac sin B = 1

2ab sin C = 12bc sin A.

•

32.5.3 Relations et équations trigonométriquesSoient #»u et #»v deux vecteurs unitaires dans une base orthonormée directe ( #»ı , #» ) tels que ( #»ı , #»u ) =

b et ( #»ı , #»v ) = a. On a#»u = cos b · #»ı + sin b · #» = cos a · #»ı + sin a · #» .

Donc #»u · #»v = cos a cos b+ sin a sin b. De plus, ( #»u , #»v ) = ( #»ı , #»v )− ( #»ı , #»u ) = a− b. Donc :#»u · #»v · cos( #»u , #»v ) = cos(a− b).

D’où :cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b.

En remplaçant a par π2 − a, on obtient :

sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a.

À partir de ces formules, on déduit les suivantes :

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin bsin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a

sin 2a = 2 sin a cos acos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a.


On a aussi

cosX = cosα⇔{X = α+ 2kπX = −α+ 2kπ

, k ∈ Z

sinX = sinα⇔{X = α+ 2kπX = π − α+ 2kπ

, k ∈ Z.

32.5.4 Recherche de lieux géométriques

1. On cherche tout d’abord l’ensemble des points M tels que MA2 +MB2 = k.

Propriété 32.22 Soit I le milieu du segment [AB] (avec A 6= B). Pour tout point M , on a :

MA2 +MB2 = 2IM2 + AB2

2 (Théorème de la médiane).

Etant donné un réel k, on en déduit que l’ensemble des points M tels que MA2 +MB2 = kest un cercle, ou un point ou l’ensemble vide.

� Exemple 32.23 Soit A et B deux points tels que AB = 2. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que MA2 +MB2 = 20. On utilise le théorème de la médiane :

MA2 +MB2 = 20⇔ 2IM2 + AB2

2 = 20⇔ 2IM2 + 42 = 20⇔ IM2 = 9⇔ IM = 3

(car IM > 0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon 3.

A BI

E:{M, MA2+MB2=20}

FIGURE 32.4 – Construction de l’ensemble E de l’exemple

�


2. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que# »

MA · # »

MB = k. Pour cela, ondécompose

# »

MA et# »

MB en passant par I le milieu de [AB].

� Exemple 32.24 Soit A et B deux points tels que AB = 4. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que

# »

MA · # »

MB = 12.

# »

MA · # »

MB = 12⇔ ( # »

MI + # »

IA) · ( # »

MI + # »

IB) = 12.

Or,# »

IB = − # »

IA. On a donc :

( # »

MI + # »

IA) · ( # »

MI − # »

IA) = 12⇔MI2 − IA2 = 12⇔MI2 − 22 = 12.

On en déduit que M ∈ E ⇔ MI2 = 16 ⇔ MI = 4. E est donc le cercle de centre I et derayon 4

A BI

E:{M,# »MA· # »

MB=12}

FIGURE 32.5 – Construction de E de l’exemple

�

3. On cherche à déterminer l’ensemble des pointsM tels que# »

AM · #»u = k. Pour cela, on chercheun point particulier H appartenant à l’ensemble. On a alors

# »

AH · #»u = k. Ainsi,

# »

AM · #»u = k ⇔ # »

AM · #»u = # »

AH · #»u ⇔ ( # »

AM − # »

AH) · #»u ⇔ # »

HM · #»u = 0⇔ # »

HM ⊥ #»u .

L’ensemble est alors la droite passant par H de vecteur normal #»u .

� Exemple 32.25 Soit A et B deux points tels que AB = 3. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que

# »

AM · # »

AB = −6. Soit H le point de la droite (AB) tel que


# »

AH et# »

AB soient de sens contraires et tel que AH × AB = 6 ⇔ AH = 63 = 2. Ainsi, on a

bien# »

AH · # »

AB = −6. Dès lors :

# »

AM · # »

AB = −6⇔ # »

AM · # »

AB = # »

AH · # »

AB ⇔ ( # »

AM − # »

AH) · # »

AB = 0⇔ # »

HM · # »

AB = 0⇔ # »

HM ⊥ # »

AB.

L’ensemble E est alors la droite perpendiculaire à (AB) passant par H . �

A

B

H

E:{M, AM ·AB=−6}

FIGURE 32.6 – Construction de E de l’exemple

32.5.5 Intersection d’une droite et d’un plan� Exercice 32.26 Déterminer l’intersection éventuelle du plan P d’équations 2x− y + 3z − 2 = 0 etde la droite D de représentation paramétrique :

x = −2 + t

y = 1 + t

z = 2t, t ∈ R.

�

Dv


• Solution — Un vecteur normal de P est #»n( 2−13

)et un vecteur directeur de D est #»u

( 112

).

#»n · #»u = 2× 1 + (−1)× 1 + 3× 2 = 7 6= 0

donc P et D sont bien sécants en un point. Ce point vérifie :

x = −2 + t

y = 1 + t

z = 2t2x− y + 3z − 2 = 0

On a donc :

2(−2 + t)− (1 + t) + 3× 2t− 2 = 0− 4 + 2t− 1− t+ 6t− 2 = 07t = 7t = 1

et, par suite :

x = −2 + 1 = −1y = 1 + 1 = 2z = 2× 1 = 2

.

Le point d’intersection de P et D est A(−1; 2; 2). •

32.6 Intersection de deux plans

R 32.27 P un plan de vecteur normal #»n et P ′ un plan de vecteur normal#»

n′ ;— Si #»n et

#»

n′ sont colinéaires et si A est un point quelconque de P :— Si A ∈ P ′, les plans P sont confondus ;— Si A /∈ P ′, les plans P et P ′ sont strictement parallèles.

32.6 Intersection de deux plans 19

— Si #»n et#»

n′ ne sont pas colinéaires, les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite D.

� Exercice 32.28 SoitP le plan d’éqaution 2x−y−2z−1 = 0 etP ′ le plan d’équatin−x+4y+z−3 =0. Étudier l’intersection éventuelle de plans P et P ′. �

Dv

• Solution — Un vecteur normal à P est #»n( 2−1−2

)et un vecteur normal à P ′ est

#»

n′(−1

41

).

Les vecteurs #»n et#»

n′ ne sont pas colinéaires donc les plans P et P ′ sont sécants suivant unedroite D. Pour déterminer une représentation paramétrique de D, on va considérer une desinconnues (ici z) comme le paramètre :

2x− y − 2z − 1 = 0−x+ 4y + z − 3 = 0z = t

⇔

2x− y = 2t+ 1−x+ 4y = −t+ 3z = t

⇔

y = 2x− 2t− 1−x+ 4(2x− 2t− 1) = −t+ 3z = t

⇔

7x = 7t+ 7y = 2x− 2t− 1z = t

⇔

x = t+ 1y = 2(t+ 1)− 2t− 1z = t

⇔

x = t+ 1y = 1z = t

.

•

Bibliographie

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[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL : http://bacamaths.net.

[33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL : http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) auThéorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA & al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

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