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Ville de Bruxelles – Programme de Mathématiques HG&T

1

Humanités générales et technologiques | 2e degré

PROGRAMME D’ÉTUDES DU COURS DE

MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME DEGRÉ


2

TABLE DES MATIÈRES

A. AVERTISSEMENT

B. CONDITIONS MATÉRIELLES DE TRAVAIL

C. OBJECTIFS DU COURS DE MATHÉMATIQUES

3

3

4

D. COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUES

7

E. ARTICULATION ENTRE COMPÉTENCES ET MATIÈRES

11

F. LE TRAVAIL DU PROFESSEUR

12

G. LES PRATIQUES D’ÉVALUATION

13

H. PLANIFICATION DES ACTIVITÉS 3e année ………………………………………………………………………………

Récapitulatif des matières de 3e année ……………………………………………

4e année ………………………………………………………………………………

Récapitulatif des matières de 4e année…………………………………………….

15

16

25

28

39

I. ANNEXES 1. Principaux verbes d’action utilisés en mathématiques ……………………..

2. Complément d’aide à la lecture des outils d’évaluation proposés par la

Commission des Outils d’Évaluation ……………………………………….

3. Autres exemples de situations d’apprentissage …………………………….

42

43

44


3

A. AVERTISSEMENT

Ce programme de mathématiques a été rédigé à partir du référentiel Compétences

terminales et savoirs requis en mathématiques pour les humanités générales et technologiques

publié par l’Administration générale de l’Enseignement et de la Recherche scientifique -

Ministère de la Communauté française.

Ce programme a été conçu pour le 2ème degré de l’enseignement général, artistique et

technique de transition.

Le cours est donné dans chaque année à raison de cinq périodes par semaine.

B. CONDITIONS MATÉRIELLES DE TRAVAIL

L’enseignement des mathématiques par compétences exige l’utilisation de matériel.

Le professeur doit disposer du matériel de géométrie pour tableau.

De plus, il est souhaitable que le professeur dispose également d’un rétroprojecteur ou

d’un appareil multimédia ainsi que de l’accès à un local informatique équipé de logiciels

utiles à l’enseignement des mathématiques.

Les élèves doivent disposer :

- d’un cahier ou d’une farde ;

- du matériel de géométrie ;

- d’une machine à calculer scientifique.


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C. OBJECTIFS DU COURS DE MATHÉMATIQUES

Compétences terminales

La Communauté française fixe les compétences terminales à atteindre en mathématique

au terme du troisième degré. Le professeur prendra connaissance de ce texte. Les

programmes mentionnent les matières à voir en relation avec les compétences qu'elles

installent. La Communauté française fixe les socles de compétences à atteindre en

mathématique au terme du premier degré. Ce document constitue une base de travail

du professeur du second degré. Il y prendra connaissance des compétences acquises par

les élèves qui entrent en troisième année. Le cours de mathématique d'une année doit

prolonger celui de l'année précédente. En début d'année, le professeur tiendra compte

du niveau de connaissances de chacun de ses élèves et articulera son cours en

prolongement du niveau atteint par ceux-ci. Une révision des notions fondamentales

introduit utilement un nouveau chapitre. Le professeur veillera à demeurer dans le

cadre défini par le programme.

Structure du programme

Le découpage des compétences terminales en blocs permet de les associer aisément aux

matières qui privilégient leur entrainement. Ce découpage ne peut en aucun cas porter à

croire qu'une matière placée à la suite immédiate d'un bloc de compétences n'entraine

pas une compétence reprise dans un autre bloc.

Ce que le cours de mathématiques doit apporter

L'enseignement secondaire de transition doit permettre une insertion dans la société et

doit assurer une préparation à l'enseignement supérieur. Le principal objectif du cours

de mathématiques, dès lors, se situe à deux niveaux : la culture générale et les

comportements. Les mathématiques, non seulement par leur histoire et l’évolution de

ses idées mais aussi par ses développements actuels, participent à la culture générale. Le

cours de mathématiques contribue également à installer des comportements.

Appréhender un problème de façon méthodique et structurée apporte une rigueur

intellectuelle et une confiance personnelle nécessaires à une bonne intégration sociale

mais également indispensables dans l'enseignement supérieur.

Ainsi que le texte sur les compétences terminales en mathématiques l'indique d'emblée,

le professeur de mathématiques devra développer les compétences transversales

fondamentales suivantes : s'approprier une situation, traiter, argumenter, raisonner;

communiquer, généraliser, structurer, synthétiser.


5

Les comportements

Les comportements indiqués ci-dessus seront progressivement installés par la pratique

régulière du raisonnement.

Toute activité mathématique repose sur un langage rigoureux. Le langage ensembliste

progressivement installé au cours des quatre premières années sera utilisé par le

professeur qui saisira toute occasion pour le développer et le faire employer par ses

élèves. La rigueur du langage constitue un objectif majeur du professeur. L’élève devra

utiliser ce langage pour apprendre à argumenter et à communiquer.

L'activité mathématique fait largement référence aux définitions des termes utilisés. Très

rapidement, l'élève doit y être confronté. Le professeur définira rigoureusement les

termes et exigera la connaissance de leurs définitions. Prioritairement, il devra faire

comprendre le concept qu'installe la définition en recourant aux exemples ou aux

situations-problèmes qui mettent les concepts en œuvre. Cette remarque se fonde tout

particulièrement à propos des quantificateurs que le professeur utilisera et à propos

desquels il saisira toute occasion pour attirer l'attention des élèves sur leur signification.

Les élèves rencontreront les démonstrations des principales propriétés, comme l'indique

le programme. La démonstration ne se fera pas pour chaque propriété. Le professeur

apprendra à l'élève à justifier les étapes d’une démonstration, à rechercher dans son

cours les propriétés mises en œuvre par une assertion.

Le professeur aura recours aux situations-problèmes pour installer les capacités à

s'approprier une situation, à traiter, à argumenter. Dans ces situations, l'élève mobilisera

les connaissances acquises pour construire une solution. Le cours de mathématiques

prendra tout son sens au travers des situations-problèmes rencontrées. Si certains élèves

sont d'emblée capables d'appréhender un concept abstrait, de nombreux autres élèves,

également capables d'abstraction, ont besoin d’une mise en situation concrète de la

notion mathématique pour la comprendre correctement. Le professeur veillera

constamment à le leur permettre.

Chaque situation-problème appartient à au moins une famille de tâches par les

compétences qu’elle contribue à installer. Le professeur prendra connaissance de ces

familles de tâches détaillées dans le corps du programme. Il veillera à identifier la

famille de tâches à laquelle appartient la situation-problème qu’il propose aux élèves.

Les techniques fondamentales du calcul algébrique, du calcul vectoriel et de l'analyse

seront régulièrement entrainées, mais en aucun cas le cours de mathématiques ne peut

limiter ses objectifs à cet entrainement.


6

La culture générale

Le professeur inscrira les mathématiques dans la culture générale : il abordera des

thèmes de l'histoire des nombres, de l'histoire de l'art, … . Les situations abordées dans

ce cadre permettront une illustration des concepts mathématiques. Elles contribueront

également à l'apprentissage de capacités telles qu'évoquées ci-dessus : s'approprier une

situation, argumenter, raisonner, généraliser et structurer.


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D. COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUES

Le Décret « Missions »1 définit une compétence comme une aptitude à mettre en

œuvre un ensemble organisé de savoirs, de savoir-faire et d’attitudes permettant

d’accomplir un certain nombre de tâches.

Savoirs : ensemble des connaissances

Savoir-faire : ensemble de procédures

Attitude: état d’esprit qui pousse à un comportement, à une action

Par exemple, être curieux se poser des questions s’interroger

Une attitude est identifiable par un verbe d’action2 tel que s’interroger, analyser,

critiquer, sélectionner, résoudre, démontrer, communiquer, etc.

Le référentiel Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques- Humanités générales

et technologiques présente six compétences terminales à développer dans quatre

domaines disciplinaires.

Les six grandes compétences terminales :

- C1. Savoir, connaitre, définir

- C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)

- C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

- C4. Représenter, modéliser

- C5. Démontrer

- C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser

Les quatre domaines disciplinaires :

- Étude des fonctions

- Algèbre

- Géométrie et trigonométrie

- Traitement des données

1 Article 5, 1° du décret « Missions » du 24 juillet 1997.

2 Un tableau reprenant les principaux verbes dont l’action est mise en œuvre dans le travail par

compétences est présenté en annexe 1.


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Les familles de tâches1 résultent du croisement des domaines et des compétences.

Par exemple,

Démontrer que la racine carrée d’un produit de réels positifs est égale au produit des racines

carrées de ces réels :

Compétence terminale : démontrer

Domaine disciplinaire : algèbre

L’enseignement par compétences invite les élèves à réaliser une tâche complexe avec

une consigne globale et un but à atteindre.

Tâche : travail déterminé à exécuter.

Tout travail entraine la réalisation d’une production. Une tâche est complexe à

partir du moment où elle réunit des savoirs, des savoir-faire et des verbes

d’action. Le niveau et le nombre des savoirs à mobiliser ainsi que la complexité

des savoir-faire à utiliser déterminent la difficulté de la tâche à accomplir. Pour

rappel, complexe ne signifie pas compliqué.

Consigne : énoncé dans lequel un travail est demandé à l’élève.

Une consigne n’est pas qu’une question. C’est un énoncé dans lequel la tâche

demandée à l’élève et donc la production attendue sont clairement identifiées. La

consigne est formulée de telle manière que les élèves soient confrontés à une

tâche inédite, complexe et adidactique (l’élève construit seul sa démarche).

But à atteindre : action visée dans la consigne.

Par exemple : modéliser, calculer, démontrer, …

Les productions attendues en mathématiques sont variées.

Ce peut être

- une expression analytique ;

- un graphique ;

- un calcul ;

- une démonstration (non faite en classe) ;

- une phrase donnant la solution ;

- une démarche cohérente et justifiée ;

- un énoncé et une justification ou une démonstration ;

- une relation entre une expression analytique et un graphique ;

- etc.

1 Voir annexe 2


9

Exemples1,

1er exemple

Compétence terminale C4 «Représenter, Modéliser »

Domaine disciplinaire « Étude des fonctions »

Consigne : Un professeur de mathématique a filmé avec une caméra numérique son fils en train

de lancer un ballon. En regardant cet enregistrement avec arrêts sur image, il recueille les

données présentées dans le tableau ci-dessous. On te demande de reporter les données du tableau

dans le repère fourni, puis, de déterminer une fonction qui modélise le phénomène observé,

ensuite de confronter ton modèle aux données fournies (comparer les hauteurs calculées à l’aide

de ton modèle aux hauteurs mesurées) et enfin de tirer une conclusion sur la validité de ta

modélisation.

Tableau : Hauteur du ballon par rapport au sol.

Temps

en secondes

Hauteurs du ballon

en centimètres

0 84

0,1 121

0,2 149

0,3 167

0,4 175

0,5 174

0,6 163

0,7 143

0,8 114

0,9 75

Tâches à réaliser : construire un graphe cartésien

écrire l’expression analytique de la fonction modèle

calculer des valeurs théoriques

rédiger une phrase de conclusion sur la qualité de la modélisation

Buts à atteindre du graphe : représenter (C4)

de l’expression analytique de la fonction: modéliser (C4)

de la phrase : comparer et interpréter (C3 et C6)

1 D’après les exemples proposés par le groupe de travail interréseau de mathématiques de la Commission

des Outils d’Évaluation (COE), Administration Générale de l’Enseignement (AGERS).


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2ème exemple

Compétence terminale « Démontrer »

Domaine disciplinaire « Géométrie et trigonométrie »

Consigne : Dans le prisme droit représenté ci-dessous, Q est un point fixé sur une arête. En le reliant

aux sommets A et F, on obtient un triangle. Différentes mesures sont données sur la figure. On te

demande de démontrer (prouver) que le triangle AQF N’EST PAS un triangle rectangle. Tu

commenceras ta démonstration en indiquant ce qui t’est donné et ce que tu dois prouver. Tu justifieras tes

réponses en citant et mentionnant les théorèmes et/ou les propriétés que tu utilises (dans ta

démonstration.)

F

3

E

5,3

D

B

CA

6

11Q

3

4

9

Tu veilleras également à faire apparaitre la structure de ta démarche.

Tâches à réaliser : écrire les hypothèses

écrire la thèse

rédiger une démonstration

indiquer toutes les justifications

But à atteindre de la démonstration : prouver la thèse (C5)


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E. ARTICULATION ENTRE COMPÉTENCES ET MATIÈRES

Matières

Dans le programme, les matières reprennent les contenus notionnels que l'élève doit

maitriser à la fin de l'année : de cette maitrise dépend largement l'installation des

différentes compétences.

Le professeur veillera en permanence à diversifier l'approche de ces matières pour

permettre leur compréhension au plus grand nombre d'élèves. Entre l'exposé théorique,

le travail de recherche et de compréhension personnelle de l'élève (éventuellement suivi

d'un exposé de celui-ci), le professeur dispose d'une palette de moyens d'enseignement

au nombre desquels le recours à l'outil informatique, accessible dans tous les

établissements, s'avère extrêmement utile.

La compréhension d'une nouvelle matière se trouve facilitée si l'élève a déjà rencontré

les techniques mises en œuvre lors d'une application.

Compétences

Lorsque le professeur aborde une matière, il privilégiera l'acquisition des compétences

mentionnées immédiatement avant. La diversification des moyens d'enseignement se

trouve encouragée par les compétences terminales mentionnées dans les programmes :

dans certains cas, l'élève doit savoir appliquer, dans d'autres cas il doit savoir

démontrer. Le professeur en tiendra compte, dans le plus grand intérêt de ses élèves.

Le professeur organise une séquence de cours comme une succession de leçons. Cette

séquence doit avoir pour but d’une part d’installer telle(s) compétence(s) et d’autre part

de rencontrer tel(s) savoir(s) ou d’installer telle(s) technique(s). Le professeur organise

les matières à voir dans l’ordre logique du développement et du raisonnement

mathématiques. Au cours d’une séquence, la pratique de différentes approches

pédagogiques se fait dans l’intérêt de l’apprentissage des élèves : exposé théorique

incluant le cas échéant l’énoncé de définitions et de propriétés, exemples qui illustrent la

matière à voir, situation-problème qui met cette matière en œuvre, exercice qui entraine

une technique, … .

Si une compétence a été acquise lors d'une année antérieure, le professeur veillera à

l'entretenir pendant l'année en cours.


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F. LE TRAVAIL DU PROFESSEUR

1. Le professeur planifie les matières à voir au cours de l’année scolaire de telle façon

que le programme soit respecté et qu’il soit en continuité avec les matières vues les

années précédentes.

Une planification des matières permet :

- d’avoir une idée globale des savoirs et savoir-faire indiqués dans le programme ;

- d’identifier l’essentiel des savoirs à retenir et des savoir-faire à entrainer.

2. Le professeur prépare les séquences d’apprentissage (ensemble de leçons).

Il choisit les séquences d’apprentissage en termes de savoirs, de savoir-faire et de

compétences.

3. Le professeur évalue les compétences, les savoirs et les savoir-faire acquis par les

élèves. L’évaluation doit impérativement porter sur les savoirs, les savoir-faire et sur

le travail par compétences qui ont été enseignés en classe.

4. Le professeur aide les élèves à construire leur cahier en veillant à ce qu’il contienne

aussi les traces de productions réalisées en classe ou à domicile (brouillons, exercices,

recherches, …) ainsi que tout document permettant de structurer son cours (table des

matières, résumé, …).

5. Le professeur aide les élèves à tenir leur journal de classe en ordre pour qu’ils

puissent organiser au mieux leur travail.


13

G. LES PRATIQUES D’ÉVALUATION

AU COURS DE L’ANNÉE : LES ÉVALUATIONS

Le professeur évalue régulièrement le travail de ses élèves.

L’évaluation doit porter sur des savoirs, des savoir-faire et le travail par compétences

enseignés en classe. L’évaluation des savoirs et des savoir-faire doit se faire au même

titre que l’évaluation du travail par compétences. Les parts consacrées à l’évaluation

des savoirs, des savoir-faire et du travail par compétences doivent être pondérées de

manière raisonnable.

L’évaluation peut se présenter sous différentes formes.

L’évaluation formative

C’est une évaluation1 « effectuée en cours d’activité qui vise à apprécier le progrès

accompli par l’élève et à comprendre la nature des difficultés qu’il rencontre lors d’un

apprentissage. Elle a pour but d’améliorer, de corriger ou de réajuster le cheminement

de l’élève ; elle se fonde en partie sur l’autoévaluation ».

Une évaluation est formative à partir du moment où le professeur a posé un diagnostic2

écrit en proposant éventuellement des pistes de remédiation sur la copie de l’élève ….

que cette copie soit cotée ou non …, des pistes de remédiation pour l’ensemble de la

classe.

L’évaluation sommative

C’est une évaluation3 basée sur des « épreuves situées à la fin d’une séquence

d’apprentissage et visant à établir le bilan des acquis des élèves ».

Une évaluation sommative mène toujours à une note. Elle porte sur les savoirs, les

savoir-faire et les compétences.

1 Article 5 du décret « Missions »

2 Une évaluation diagnostique facultative peut être effectuée soit en début d’année, soit en début de

séquence d’apprentissage. Elle a pour but d’informer le professeur du niveau de maitrise des prérequis

attendus. Elle ne peut en aucun cas être prise en compte pour la certification de l’élève. 3 Article 5 du décret « Missions »


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L’évaluation des compétences est facilitée par l’utilisation d’une grille d’évaluation

critériée1. Le professeur est libre de construire la grille d’évaluation qu’il souhaite. Il

peut s’inspirer du tableau des verbes d’action proposé en annexe 1. Au préalable, les

élèves doivent être informés non seulement de la tâche qu’ils ont à réaliser, mais

également des compétences et critères sur lesquels ils seront évalués.

Une épreuve d’évaluation de compétences doit comporter les caractéristiques

suivantes :

- La tâche est inédite, c’est-à-dire que la tâche d’évaluation proposée à l’élève ne doit

pas être la reproduction à l’identique d’une tâche effectuée en apprentissage

(compétence n’est pas synonyme de restitution).

- La tâche est complexe, c'est-à-dire qu’elle implique une réorganisation personnelle

des savoirs, savoir-faire, attitudes et stratégies. Ainsi, il importe d’amener l’élève à

les réorganiser en une démarche permettant la réalisation d’une « tâche » différente,

mais comparable. Il va de soi que les démarches attendues des élèves en évaluation

ne doivent pas présenter un degré de complexité supérieur à celui des tâches

d’apprentissage.

- La tâche est « adidactique », c'est-à-dire, selon les termes de DENYER et al.2, qu’elle

implique que l’énoncé de la consigne n’induise pas la démarche à suivre et n’indique

pas les ressources pertinentes à sa résolution : à ce stade, la réponse doit être

construite par l’élève en acteur autonome, obligé de faire des choix, de prendre des

décisions. Ce caractère adidactique constitue une condition sine qua non de la tâche

d’évaluation de compétences. Si l’épreuve n’est pas adidactique, c’est-à-dire si elle

est « étayée », ce ne sont pas des compétences que l’on évalue, mais bien plutôt le

respect de consignes explicites, l’aptitude à reproduire une opération algorithmique,

voire la simple exécution ou la restitution de savoirs.

Pour préparer ces épreuves d’évaluation, le professeur est invité à consulter les

épreuves d’évaluation interréseaux mises au point par le groupe de travail en

mathématiques du Service de Pilotage de la Commission des Outils d’Évaluation (COE)3

EN FIN D’ANNÉE : SANCTION DES ÉTUDES ET/OU CERTIFICATION

Selon l’année d’études4, la sanction des études ou la certification est une décision prise dans

le cadre du conseil de classe qui atteste que l’élève a acquis ou non les savoirs, les savoir-faire

et les compétences suffisants pour accéder à l’année suivante.

1 Le professeur peut s’inspirer des exemples de grilles d’évaluation proposées par la Commission des Outils d’Évaluation (COE)

www.enseignement.be 2 M. DENYER, J. FURNEMONT, P. POULAIN & G. VAN LOUBBEECK, Les compétences, où en est-on ?, Bruxelles, De Boeck, 2004,

pp.108-111 3 Pour consulter les outils d’évaluation : www.enseignement.be 4 La sanction des études concerne la 3e année et la certification concerne la 4e année (Certificat d’Enseignement Secondaire du

Deuxième Degré).

http://www.enseignement.be/

http://www.enseignement.be/


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H. PLANIFICATION DES ACTIVITÉS Le programme a été élaboré à partir du référentiel Compétences terminales et savoirs requis

en mathématiques pour les Humanités générales et technologiques publié par le Ministère de

la Communauté française.

3e ANNÉE

1. Algèbre

2. Étude des fonctions

3. Géométrie et trigonométrie

4e ANNÉE

1. Algèbre

2. Étude des fonctions

3. Géométrie et trigonométrie

4. Traitement des données


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3e ANNÉE

1. ALGÈBRE

Les compétences algébriques reposent sur la connaissance de propriétés articulées entre

elles et sur la capacité à traduire une situation en langage mathématique. Leur mise en

œuvre requiert d'avoir acquis des routines de calcul, mais surtout de savoir élaborer et

mener à bien les plans de calcul utiles à la solution. Cette habileté comporte le bon usage

des outils de calcul électroniques, quand la difficulté ou l'efficacité l'imposent, ainsi que

l'interprétation des résultats ainsi obtenus1.

C1. Savoir, connaitre, définir

Compétences à atteindre

1°) Les propriétés des opérations fondamentales sur les nombres et les formes littérales.

2°) Les propriétés de compatibilité des opérations avec les égalités, les inégalités ( , ).

3°) Les propriétés des opérations sur les polynômes, incluant celles relatives à l'égalité et à la

factorisation.

Matière

Propriétés des opérations sur les nombres réels ;

Puissances à exposants entiers ;

Racine carrée d'un nombre réel positif ;

Formules de produits remarquables ;

Polynômes : degré d'un polynôme, valeur numérique d'un polynôme, zéro d’un

polynôme ;

Égalité de deux polynômes ;

Fractions rationnelles.

Indications méthodologiques

- L’étude des propriétés des opérations sur les nombres réels sera prétexte à

poursuivre la mise en place de l’écriture formelle.

1 Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales et

technologiques


17

- Les définitions des puissances peuvent être découvertes à partir de suites de

puissances ou d'extensions de la règle du quotient de deux puissances de même base

à exposants naturels. On établira l'une ou l'autre de ces propriétés.

- Au niveau des identités remarquables, on abordera par exemple les expressions

suivantes : 333222 ,)(,)(, babababa … .

- Les mesures irrationnelles découvertes dans le cadre de la relation de Pythagore

permettent d’aborder la notion de racine carrée positive. On pourra déduire les

propriétés au départ d’exemples numériques, de situations géométriques, … .

- On pourra présenter le zéro d’un polynôme à partir de valeurs numériques d’un

polynôme.

- L’accent sera mis sur les expressions à une variable au niveau des fractions

rationnelles.

C2. Calculer (déterminer, estimer, approximer)


1°) Calculer l'ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation.

2°) Calculer l'ensemble des solutions d'un système de 2 équations linéaires.

Matière

Résolution d'une équation et d'une inéquation du premier degré à une inconnue ;

Résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues ;

Résolution d'équations réductibles au premier degré.


- Les principes d’équivalence des équations étant essentiels, ils seront rappelés et

permettront aux élèves de justifier les résolutions d’équations.

- Les aspects algébriques de ce chapitre (résolution d’équations, d’inéquations, de

systèmes) peuvent prendre place au fur et à mesure des nécessités.

- La résolution d'équations réductibles au premier degré mettra l’accent sur la

factorisation et la règle du produit nul.


18

C3. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes


1°) Organiser une suite d'opérations conduisant à la résolution d'un problème.

2°) Interpréter le résultat des calculs en les replaçant dans le contexte du problème.

3°) Présenter les résultats oralement ou par écrit dans une expression claire, concise, exempte

d'ambigüité.

Matière

Principes d’équivalence des équations et des inéquations ;

Racine carrée d'un nombre réel positif : valeur approchée, encadrement ;

Opérations sur les racines carrées ;

Propriétés des puissances à exposants entiers ;

Formules de produits remarquables ;

Somme, différence, produit et quotient de polynômes ;

Division par x – a, loi du reste, algorithme de Horner ;

Méthodes de factorisation ;

Somme, différence, produit et quotient de fractions rationnelles.


- La résolution de problèmes issus de situations concrètes, géométriques ou autres

permettra l’utilisation des proportions.

- La rationalisation pourra être abordée lors des différentes opérations sur les racines

carrées.

- On pourra analyser l'algorithme de la division polynomiale par son analogie avec

celui de la division des naturels.

- La loi du reste sera utilisée, notamment, dans le cadre de la factorisation.

- La factorisation par la méthode du discriminant sera réservée à la quatrième année.

- Dans les fractions rationnelles, les techniques de factorisations utilisées doivent être

variées mais ne doivent pas être l’objectif de l’exercice.

C4. Représenter, modéliser

Compétence à atteindre

Traduire une situation en langage mathématique sous forme d'équation, d'inéquation ou

d'autres formes de conditions.


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Matière

Résolution de problèmes faisant intervenir une équation ou un système d'équations du

premier degré.


- Le professeur s’efforcera d’installer chez ses élèves une méthode rigoureuse et

systématique de résolution des problèmes. Pour ce faire, il pourra s’inspirer de la

démarche suivante :

o choix d'inconnue(s) et mise en équation(s),

o résolution algébrique ou graphique de l'équation (ou du système

d'équations) et vérification de la solution obtenue,

o validation de cette solution comme solution du problème,

o présentation rédigée de la solution du problème.

- La calculatrice et l’ordinateur permettent de traiter des problèmes dont les données

ne sont pas arbitrairement simplifiées.

C5. Démontrer


Justifier les étapes d'un calcul (en relation avec le niveau mathématique envisagé).

Matière

Racine carrée d'un produit, d'un quotient ;

Loi du reste.

Indication méthodologique

Ces démonstrations seront à nouveau l’occasion d’installer auprès des élèves une

bonne compréhension de la démarche déductive (hypothèses, thèse et démonstration).

C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser


1°) Commenter les extensions successives de la notion de nombre et les utiliser (y compris les

nombres réels).

2°) Au moyen d'une droite graduée, représenter R et en illustrer les propriétés fondamentales.

3°) Reconnaitre une structure de groupe dans des ensembles numériques.


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Matière

L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) ;

Interprétation des solutions d’une équation et d'une inéquation du premier degré à une

inconnue dans un repère cartésien ;

Représentation de l’ensemble des solutions d’une équation et/ou d’une inéquation sur la

droite des réels.


Un récapitulatif des propriétés des opérations sur les différents ensembles de nombres

peut conduire à la notion de groupe.

2. GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE

Les compétences géométriques prennent appui sur la connaissance de figures et de

solides, tant issus de l'espace physique qu'idéalisés dans des configurations. La première

compétence réside dans les tracés à main levée et aux instruments, éventuellement à

l'aide de logiciels ou encore dans la réalisation d'un modèle. Quelques notions

constituent les bases des compétences géométriques : l'incidence, le théorème de Thalès,

la similitude de figures et le théorème de Pythagore sont utilisés dans différents

domaines. Les compétences calculatoires qui s'y rapportent sont amplifiées ensuite par

la géométrie vectorielle. Les compétences liées à l'argumentation sont au cœur de toute

activité géométrique. Elles sont à l'œuvre dans la réalisation et la justification de

constructions, dans la recherche de propriétés et dans la rédaction de démonstrations,

qu'elles soient synthétiques ou vectorielles. Les translations, les symétries, les rotations

et les homothéties sont utilisées pour décrire et organiser les propriétés des figures.1



1°) Les grands théorèmes de la géométrie classique et de la trigonométrie relatifs aux

longueurs, aux rapports de longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général ;


technologiques


21

2°) Les translations, les symétries, les rotations, les homothéties de figures dans le plan ;

3°) Les projections parallèles de figures ou de solides.

Matière

Théorème de Pythagore ;

Théorème de Thalès ;

Angles au centre, angles inscrits, angles tangentiels ;

Caractérisation d'un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle ;

Figures isométriques, cas d'isométrie des triangles ;

Figures semblables, cas de similitude des triangles ;

Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle.


- On peut montrer sur des exemples numériques que la réciproque du théorème de

Pythagore permet de caractériser un triangle rectangle.

- La réciproque du théorème de Thalès permet d’installer une relation entre les

rapports de longueurs de segments et le parallélisme.

- Les propriétés des angles peuvent s’établir à partir de notions rencontrées au

premier degré : isométries, somme des angles d'un triangle, angles supplémentaires,

angle extérieur d'un triangle,…

- Les cas d’isométrie peuvent être présentés à partir de problèmes de construction puis

utilisés comme outils de démonstration. Le professeur veillera à mettre l’accent sur le

passage du langage courant au symbolisme mathématique et à l’utilisation correcte

des connecteurs logiques.

- La notion de figures semblables peut être reliée à l'idée intuitive d'agrandissement

(ou de réduction). Les cas particuliers où les figures se présentent dans la position de

« figures homothétiques » sont particulièrement éclairants et permettent de montrer

la filiation entre les propriétés des projections parallèles et celles de la similitude.

C2. Calculer, déterminer un élément géométrique


Sur base des notions de la rubrique C1, déterminer une longueur, un angle, une relation entre

points, droites, une propriété de figure, par une méthode routinière.


22

Matière

Calcul de la longueur d'un côté, de l'amplitude d'un angle dans un triangle rectangle ;

Calcul de la longueur d'un segment (en appliquant les propriétés des proportions) ;

Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, équations d'une droite, intersections

avec les axes, conditions de parallélisme et de perpendicularité.


- Les nombres trigonométriques correspondant à 45°, 30°et 60° pourront se déduire

des deux figures géométriques : demi-carré et demi-triangle équilatéral (on étendra

ces nombres aux angles de 0° et 90°).

Dans les autres cas l’usage de la calculatrice sera encouragé.

- La mise en oeuvre des théorèmes de Thalès et de Pythagore permettra le calcul de la

longueur d’un segment.

- La formule de calcul du coefficient angulaire d'une droite passant par deux points

sera établie.



Parmi les notions de la rubrique C1, choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de

- déterminer des éléments d'une figure;

- dégager de nouvelles propriétés géométriques;

- résoudre des problèmes.

Matière

Le professeur fera résoudre des problèmes qui mettent en œuvre les outils mathématiques

mentionnés au cadre C1.



Effectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux instruments,

éventuellement à l'aide de logiciels, en vue d'illustrer un énoncé, d'éclairer une recherche.


23

Matière

Figures isométriques ;

Figures semblables.


- Sur quelques exemples, on reconnaitra que des figures données sont isométriques

(superposables) en repérant une suite de translation(s), rotation(s), symétrie(s)

appliquant l'une sur l'autre.

- Sur quelques exemples, on reconnaitra que des figures données sont semblables en

repérant une suite de translation(s), rotation(s), symétrie(s) et un agrandissement (ou

une réduction) appliquant l'une sur l'autre.

C5. Démontrer


1°) Organiser les étapes d'une construction et les justifier ;

2°) Dans un énoncé (propriété, définition, théorème,…), distinguer l'hypothèse et la thèse ;

3°) Rédiger une démonstration en faisant apparaitre les étapes, les liens logiques, les théorèmes

utilisés au moyen de phrases complètement formulées.

Matière

Théorème de Pythagore ;

Théorème de Thalès ;

Propriétés des angles inscrits dans un cercle, des angles au centre d'un cercle ;

Cas d'isométrie des triangles ;

Cas de similitude des triangles.


- La configuration de Thalès pourra servir d’outil de démonstration.

- La relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre sera démontrée et pourra être

utilisée comme outil de démonstration.

- Quelle que soit la démonstration du théorème de Pythagore (aires, rotations,…), on

exploitera la figure ci-dessous.


24

- Les cas d’isométries et de similitudes peuvent être admis de manière intuitive et mis

en œuvre dans des démonstrations.

3. ÉTUDE DES FONCTIONS

L'étude des fonctions est un domaine privilégié pour apprendre à modéliser.

L'accent est mis sur la fonction de référence f(x) = ax + b.1



Les expressions relatives aux fonctions et à leur variation.

Matière

La fonction du premier degré f(x) = ax + b ;

Zéro d’une fonction ;

Notion de coefficient angulaire.


- Lors de la synthèse, on mettra en avant la relation entre les paramètres a et b de la

fonction f (x) = ax + b et la position de la droite y = ax + b correspondante.

- On fera la distinction entre les notions de fonction, d’équation et de polynôme tout

en établissant les liens qui existent entre ces notions.

- La notion de coefficient angulaire (ou pente ou coefficient directeur) sera introduite.

Le lien entre le signe de a et la croissance (ou la décroissance) de la fonction sera fait.

- La notion de coefficient de position, ou d’ordonnée à l’origine, sera introduite.


technologiques


25



1°) Esquisser, construire un graphique pour mettre en évidence des caractéristiques du

phénomène traité.

2°) Interpréter un graphique en le reliant au problème qu'il modélise.

Matière

La fonction du premier degré ;

Construction point par point et première analyse des graphiques de fonctions numériques

du type

baxxfaxxf )(et)( ;

Notion de coefficient angulaire.


La fonction du premier degré pourra être abordée à partir de problèmes de

tarification, de distance parcourue en fonction de la durée, d’observation de

phénomènes physiques,…

RÉCAPITULATIF DES MATIÈRES DE 3e ANNÉE Les matières reprises aux pages précédentes sont directement liées aux six compétences des Compétences

terminales et savoirs requis en mathématiques - Humanités générales et technologiques.

Ce choix délibéré fait disparaitre toute structuration logique du cours de mathématique. Afin d'aider le

professeur à structurer un cours tout en respectant le programme, on trouvera ci-dessous un exemple de

suite logique d'un cours reprenant les matières à voir. Le professeur reste libre d’adopter un autre ordre

de matières.

Chaque point de matière sera suivi de la compétence à exercer (C1, C2, C3, C4, C5 ou C6) suivant la

nomenclature habituelle.


26

1. ALGÈBRE

L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) (C6).

Propriétés des opérations sur les nombres réels (C1).

Puissances à exposants entiers (C1).

Propriétés des puissances à exposants entiers (C3).

Racine carrée d'un nombre réel positif (C1).

Racine carrée d'un nombre réel positif : valeur approchée, encadrement (C3).

Racine carrée d'un produit, d'un quotient (C5).

Opérations sur les racines carrées (C3).

Formules de produits remarquables (C1, C3).

Polynômes : degré d'un polynôme, valeur numérique d'un polynôme, zéro d’un polynôme (C1).

Somme, différence, produit et quotient de polynômes (C3).

Division par x – a, loi du reste (C3,C5), algorithme de Horner (C3).

Méthodes de factorisation (C3).

Fractions rationnelles (C1).

Somme, différence, produit et quotient de fractions rationnelles (C3).

Principes d’équivalence des équations et des inéquations (C3).

Résolution d'une équation et d'une inéquation du premier degré à une inconnue (C2).

Interprétation graphique des solutions d'une inéquation du premier degré à une inconnue sur la droite

réelle (C6).

Résolution d'équations réductibles au premier degré (C2).

Résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues (C2).

Résolution de problèmes faisant intervenir une équation ou un système d'équations du premier

degré (C4).


Théorème de Thalès (C1, C5).

Figures semblables (C1, C4), cas de similitude des triangles (C1, C5).

Calcul de la longueur d'un segment (en appliquant les propriétés des proportions) (C2).

Théorème de Pythagore (C1, C5).

Figures isométriques (C1, C4), cas d'isométrie des triangles (C1, C5).

Angles au centre, angles inscrits (C1).

Propriétés des angles inscrits dans un cercle, des angles au centre d'un cercle (C5).

Caractérisation d'un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle (C1).

Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, équations d'une droite, intersections avec les axes,

conditions de parallélisme et de perpendicularité (C2).

Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle (C1).

Calcul de la longueur d'un côté, de l'amplitude d'un angle dans un triangle rectangle (C2).


27


La fonction du premier degré f(x) = ax + b (C1, C4)

Construction point par point et première analyse des graphiques de fonctions numériques du type

baxxfaxxf )(et)( (C4)

Zéro d’une fonction (C1).

Notion de coefficient angulaire (C1, C4).

Ville de Bruxelles – Programme de Mathématiques HG&T HG&T

28

4e ANNÉE

1. ALGÈBRE

Les compétences algébriques reposent sur la connaissance de propriétés articulées

entre elles et sur la capacité à traduire une situation en langage mathématique. Leur

mise en œuvre requiert d'avoir acquis des routines de calcul, mais surtout de savoir

élaborer et mener à bien les plans de calcul utiles à la solution. Cette habileté

comporte le bon usage des outils de calcul électroniques, quand la difficulté ou

l'efficacité l'imposent, ainsi que l'interprétation des résultats ainsi obtenus15.



1°) Les propriétés des opérations fondamentales sur les nombres et les formes littérales.

2°) Les propriétés de compatibilité des opérations avec les égalités, les inégalités ( , ).

3°) Les propriétés des opérations sur les polynômes, incluant celles relatives à l'égalité et à

la factorisation.

Matière

Valeur absolue ;

Radicaux d'indice n ;

Puissances à exposants rationnels.


- Pour les radicaux d’indice n, on pourra s’appuyer sur la théorie des racines

carrées vue en 3e année.

- On attirera l’attention sur les conditions d’existence des radicaux afin de

préparer la notion de domaine d’une fonction développée en 5e année.

15

Source : Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques pour les Humanités générales

et technologiques


29



1°) Calculer l'ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation.

2°) Calculer l'ensemble des solutions d'un système de deux ou trois équations linéaires.

Matière

Équations et inéquations du premier degré à deux inconnues ;

Systèmes d'équations ;

Équations et inéquations du second degré à une inconnue ;

Zéros et signe d’un produit et/ou d’un quotient de facteurs du premier et/ou du second

degré ;

Équations et inéquations fractionnaires.


- On insistera sur la signification logique de la notion de système. Le lien sera

fait entre cette notion et l’intersection des ensembles de solutions.

- On justifiera la résolution, notamment des équations fractionnaires, par la

référence aux principes d’équivalence.

- On suggère au professeur de rencontrer la résolution de conditions exprimées

sous forme de conjonction d’inéquations.



1°) Organiser une suite d'opérations conduisant à la résolution d'un problème.

2°) Interpréter le résultat des calculs en les replaçant dans le contexte du problème, avec

discussion éventuelle.

3°) Présenter les résultats oralement ou par écrit dans une expression claire, concise,

exempte d'ambigüité.

Matière

Transformation d'expressions simples contenant des radicaux, des puissances à exposants

rationnels ;

Méthode des coefficients indéterminés ;

Factorisation de trinômes du second degré ;

Opérations sur les fractions rationnelles.


30


- La transformation d’expressions contenant des radicaux conduira à fixer les

diverses notations et les propriétés.

- La méthode des coefficients indéterminés sera l’occasion de revoir et de

consolider les acquis du calcul polynomial vus en 3ème année. Elle permettra

également d’entretenir la résolution de systèmes d’équations du premier

degré et de rencontrer des systèmes de plus de deux inconnues.

- La factorisation de trinômes du second degré offre l’occasion de traiter

notamment la factorisation de trinômes bicarrés et de faire une synthèse des

méthodes de factorisation.



Traduire une situation en langage mathématique sous forme d'équation, d'inéquation ou

d'autres formes de conditions.

Matière

Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré ou du second degré ;

Résolution de problèmes conduisant à une inéquation du premier degré ou du second degré.


Certaines situations relevant de domaines physiques, économiques ou

géométriques font naturellement intervenir un paramètre : on pourra examiner

l’effet de sa variation.

C5. Démontrer


Justifier les étapes d'un calcul (en relation avec le niveau mathématique envisagé).

Matière

Propriétés des radicaux d'indice n ;

Résolution et discussion de l'équation du second degré ;

Propriétés des racines d'une équation du second degré.


31


Le produit et la somme des racines serviront notamment à vérifier les résultats

obtenus lors de la recherche des solutions de l’équation du deuxième degré.

C6. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser


1°) Commenter les extensions successives de la notion de nombre et les utiliser.

2°) Au moyen d'une droite graduée, représenter R et en illustrer les propriétés

fondamentales.

3°) Reconnaitre une structure de groupe dans des ensembles numériques.

Matière

L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) ;

Interprétation graphique des solutions d'équations, d'inéquations et de systèmes à une ou

deux inconnue(s).


Les propriétés des opérations sur les différents ensembles de nombres peuvent

conduire à la notion de groupe.


L'étude des fonctions est un domaine privilégié pour apprendre à modéliser.

L'accent est mis sur les fonctions de référence f(x) = ax + b, f(x) = 2ax , f(x) = x ,

la mise en relation des différentes notions et leur interprétation16.



Les expressions relatives aux fonctions, à leurs extrémums et à leur variation.

16


et technologiques


32

Matière

La fonction "valeur absolue", zéro et signe de f(x) = x ;

La fonction du second degré, zéros et signe de f(x) = cbxax 2 ;

Sommet et axe de symétrie d'une parabole.


- La définition d’une fonction fera référence à la notion de couple et au sens

logique de l’expression « au plus une image ».

- La fonction « valeur absolue » permettra de rappeler des caractéristiques de la

fonction du premier degré vues en 3e année.



1°) Esquisser, construire un graphique pour mettre en évidence des caractéristiques du

phénomène traité.

2°) Interpréter un graphique en le reliant au problème qu'il modélise.

Matière

La fonction "valeur absolue" ;

La fonction du second degré ;

Maximum ou minimum d’une fonction du second degré décrivant un phénomène.


- On déduira la représentation graphique de y = ax² + bx + c de celle de y = ax² en

utilisant les transformations géométriques du plan (forme y = a(x-)² + ).

- On pourra éventuellement comparer avec d’autres fonctions de

référence ( xy , x

y1

) pour enrichir l’interprétation d’un graphique.


33


Les compétences géométriques prennent appui sur la connaissance de figures et de

solides, tant issus de l'espace physique qu'idéalisés dans des configurations. La

première compétence réside dans les tracés à main levée et aux instruments,

éventuellement à l'aide de logiciels ou encore dans la réalisation d'un modèle.

Quelques notions constituent les bases des compétences géométriques : l'incidence, le

théorème de Thalès, la similitude de figures et le théorème de Pythagore sont utilisés

dans différents domaines. Les compétences calculatoires qui s'y rapportent sont

amplifiées ensuite par la géométrie vectorielle ou analytique. Les compétences liées à

l'argumentation sont au cœur de toute activité géométrique. Elles sont à l'œuvre dans

la réalisation et la justification de constructions, dans la recherche de propriétés et

dans la rédaction de démonstrations, qu'elles soient synthétiques, vectorielles ou

analytiques17.



1°) Les grands théorèmes de la trigonométrie relatifs aux longueurs, aux rapports de

longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général.

2°) La forme analytique des notions, des relations et équations de base de la géométrie :

l'incidence, l'alignement, la concourance, le parallélisme, l'orthogonalité, la longueur.

3°) Le calcul vectoriel dans le plan faisant intervenir les composantes des vecteurs, leur

égalité et le produit scalaire de 2 vecteurs.

Matière

Géométrie

Notion de vecteur ;

Calcul vectoriel : addition de vecteurs, relation de Chasles, multiplication d'un vecteur par

un nombre réel ;

Produit scalaire de 2 vecteurs et ses propriétés.

Trigonométrie.

Unités usuelles d'angles ;

Cercle trigonométrique.

Nombres trigonométriques d’un angle orienté ;

Nombres trigonométriques des angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ;

Angles associés.

17


et technologiques


34


- Le vecteur sera associé d’une part à une translation et d’autre part à un couple

de nombres.

- La multiplication par un nombre pourra s’interpréter au moyen de

configurations de Thalès.

- On pourra exprimer le produit scalaire sous les formes faisant intervenir la

fonction cosinus, la projection orthogonale d’un vecteur sur l’autre, les

composantes dans un repère orthonormé.

- Les définitions des nombres trigonométriques feront référence au cercle

trigonométrique. On fera le lien avec les définitions dans le triangle rectangle.

Il est utile d’établir le lien entre les aspects algébrique, géométrique et

trigonométrique du coefficient angulaire d’une droite.

C2. Calculer, déterminer un élément géométrique


Sur base des notions de la rubrique C1, déterminer une longueur, un angle, une relation entre

points, droites, une équation, une propriété de figure, par une méthode routinière.

Matière

Géométrie

Géométrie analytique plane : coordonnées d'un point, composantes d'un vecteur, équation

d'une droite ax+by+c = 0, distance entre deux points, norme d’un vecteur, distance entre un

point et une droite, équation du cercle.

Trigonométrie

Longueurs d’arcs et aires de secteurs ;

Détermination d'une longueur et d'un angle dans un triangle quelconque.


- Le calcul de longueurs d’arcs et d’aires de secteurs permettra d’établir la

correspondance entre un angle et un arc.

- La notion de distance entre un point et une droite pourra être vue sous forme

d’exercice.


35



Parmi les notions de la rubrique C1, choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de

- déterminer des éléments d'une figure ;

- dégager de nouvelles propriétés géométriques;

- résoudre des problèmes.

Matière

Géométrie

Problèmes relatifs aux distances, aux angles, au parallélisme, à l'orthogonalité.

Trigonométrie

Problèmes relatifs aux triangles.


Les problèmes exploiteront des applications géométriques, topographiques ou

physiques dans le plan ou dans l’espace.



Effectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux

instruments, éventuellement à l'aide de logiciels, en vue d'illustrer un énoncé, d'éclairer une

recherche.

Matière

Géométrie

Vecteurs.

Trigonométrie

Problèmes conduisant à la résolution des triangles.


La décomposition d’un vecteur en une combinaison linéaire de deux vecteurs non

parallèles pourra illustrer des problèmes de forces.


36

C5. Démontrer


1°) Organiser les étapes d'une construction et les justifier.

2°) Dans un énoncé (propriété, définition, théorème,…), distinguer

- l'implication simple et l'équivalence;

- l'hypothèse et la thèse.

3°) Rédiger une démonstration en faisant apparaitre les étapes, les liens logiques, les

théorèmes utilisés au moyen de phrases complètement formulées.

Matière

Géométrie

Propriétés vectorielles ;

Parallélisme et perpendicularité de deux droites.

Trigonométrie

Formules fondamentales des nombres trigonométriques ;

Formules d'angles associés et des nombres trigonométriques d’angles particuliers ;

Relations au sinus et relations au cosinus dans le triangle quelconque ;

Aire d’un triangle quelconque.


- On pourra utiliser les vecteurs pour exprimer de manière concise et pour

démontrer certaines propriétés géométriques telles que l’alignement de points

du plan.

- Dans le cercle trigonométrique, on démontrera géométriquement les formules

fondamentales suivantes : 1cossin 22 et

cos

sintg .


37

4. TRAITEMENT DES DONNÉES

Pour l’essentiel, l’étude de la statistique et des probabilités se fonde sur des exemples

que l’on travaille à partir de questions, de comparaisons. Au travers d’activités

interdisciplinaires, la lecture de graphiques, le traitement de données brutes ou

recensées amèneront les élèves à apprécier l’intérêt et les limites d’une étude

statistique ou probabiliste. Le but n’est pas de construire des modèles mathématiques

sophistiqués. Au contraire, on adopte une démarche expérimentale, intuitive, en

utilisant largement les moyens modernes de calcul.

En ce qui concerne la statistique, les compétences terminales sont identiques pour les

trois options. Les élèves de l’Enseignement secondaire de transition maitriseront ainsi

un noyau commun de mathématiques citoyennes. Cet objectif ne sera pleinement

atteint que dans la mesure où cette démarche trouvera un écho dans d’autres cours :

économie, sciences naturelles et humaines, etc.18.



Dans une série statistique à une variable discrète ou continue, connaitre la signification des

principaux paramètres de position, de dispersion.

Matière

Statistique

Groupement en classes de données numériques ;

Variables de position : moyenne, médiane, mode ;

Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type.


Les formules peuvent être écrites en utilisant le signe de sommation .

18


et technologiques


38



1°) Calculer, cumuler des pourcentages. Lire et interpréter des tableaux de nombres.

2°) Dans une série statistique à une variable discrète ou continue, en utilisant des

moyens informatiques, déterminer : moyennes, médiane, quartiles, variance, écart-

type ; préciser la signification de ces paramètres.

Matière

Statistique

Variables de position : moyenne, médiane, quartile, mode ;

Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type.


- On favorisera l’usage des calculatrices et des ordinateurs.

- On pourra se contenter de déterminer graphiquement la médiane et les

quartiles d’un tableau groupé à l’aide du polygone des effectifs cumulés.

- On insistera sur la mise en oeuvre et sur l’interprétation des variables plutôt

que sur la démarche théorique.



Résoudre des applications à caractère statistique.

Matière

Séries statistiques à une variable.


Il s’agit de mettre en œuvre l’ensemble des notions dans un exemple statistique.


39



Représenter une série statistique à une variable, (fréquences, fréquences cumulées), localiser la

médiane, les quartiles.

Matière

Groupement en classes de données numériques ;

Représentation graphique des données numériques.


Dans un tableau groupé, on pourra se limiter à des classes de même largeur.

RÉCAPITULATIF DES MATIÈRES DE 4e ANNÉE Les matières reprises aux pages précédentes sont directement liées aux six compétences des

Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques - Humanités générales et technologiques.

Ce choix délibéré fait disparaitre toute structuration logique du cours de mathématique. Afin d'aider

le professeur à structurer un cours tout en respectant le programme, on trouvera ci-dessous un

exemple de suite logique d'un cours reprenant les matières à voir. Le professeur reste libre d’adopter

un autre ordre de matières.

Chaque point de matière sera suivi de la compétence à exercer (C1, C2, C3, C4, C5 ou C6) suivant la

nomenclature habituelle.

1. ALGÈBRE

L'ensemble des nombres réels (nombres rationnels et irrationnels) (C6).

Valeur absolue (C1).

Radicaux d’indice n et puissances à exposants rationnels (C1).

Transformation d'expressions simples contenant des radicaux, des puissances à exposants

rationnels (C3).

Propriétés des radicaux d’indice n (C5).

Polynômes : méthode des coefficients indéterminés (C3).

Factorisation de trinômes du second degré (C3).

Résolution et discussion de l’équation du second degré (C2 et C5).

Propriétés des racines d’une équation du second degré (C5).

Opérations sur les fractions rationnelles (C3).

Inéquations du second degré à une inconnue (C2).

Zéros et signe d’un produit et/ou d’un quotient de facteurs du premier et/ou du second degré (C2).

Équations et inéquations fractionnaires. (C2).


40

Équations et inéquations du premier degré à deux inconnues (C2).

Systèmes d'équations et d'inéquations (C2).

Interprétation graphique des solutions d'équations, d'inéquations et de systèmes à une ou deux

inconnue(s)(C6).

Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré ou du second degré (C4).

Résolution de problèmes conduisant à une inéquation du premier degré ou du second degré (C4).


Fonction ‘’ valeur absolue ‘’, zéro et signe de ) ( xxf (C1 et C4).

Fonction du second degré , zéros et signe de cbxaxxf 2 ) ( (C1 et C4).

Sommet et axe de symétrie d’une parabole (C1).

Maximum ou minimum d’une fonction du second degré décrivant un phénomène (C4).


Trigonométrie

Unités usuelles d'angles (C1).

Cercle trigonométrique (C1).

Longueurs d’arcs et aires de secteurs (C2).

Nombres trigonométriques d’un angle orienté (C1).

Formules fondamentales des nombres trigonométriques (C5).

Nombres trigonométriques de 0° , 30° , 45°, 60° et 90° (C1 et C5).

Formules d’ angles associés (C1 et C5).

Relations au sinus et relations au cosinus dans le triangle quelconque (C5).

Détermination d'une longueur et d'un angle dans un triangle quelconque (C2).

Aire d’un triangle quelconque (C5).

Problèmes relatifs aux triangles (C3 et C4).

Géométrie

Géométrie vectorielle

Notion de vecteur (C1etC4).

Calcul vectoriel : addition de vecteurs , relation de Chasles, multiplication d’un vecteur par un réel

(C1).

Produit scalaire de deux vecteurs et propriétés (C1).

Propriétés vectorielles (C5)

Géométrie analytique plane

Coordonnée d’un point et composantes d’un vecteur (C2).

Équation d’une droite 0 cbyax (C2).

Parallélisme de deux droites (C5).

Distance entre deux points, norme d’un vecteur (C2).

Équation du cercle (C2).

Distance d’un point à une droite (C2).

Perpendicularité de deux droites (C5).

Problèmes relatifs aux distances, aux angles, au parallélisme, à l'orthogonalité (C3).


41

4. TRAITEMENT DES DONNÉES

Statistique

Séries statistiques à une variable (C3)

Groupement en classes de données numériques (C1 et C4).

Variables de position : moyenne, médiane, mode (C1 et C2).

Variables de dispersion : étendue, variance, écart-type (C1 et C2).

Représentation graphique des données numériques (C4).


42

I. ANNEXES

ANNEXE 1

Principaux verbes d’action utilisés en mathématiques

Définition du verbe

Petit Robert 2009

Comment vérifier dans la

production de l’élève

l’acquisition de la compétence ?

ANALYSER Décomposer un tout en ses

éléments constituants

Toutes les informations nécessaires

pour réaliser la consigne sont

présentes dans la production.

ARGUMENTER Présenter des arguments Les arguments avancés sont

pertinents.

CALCULER Déterminer par le calcul Le calcul est exact.

CLASSER Diviser et répartir en classes,

catégories

Le(s) critère(s) de classement sont

bien choisis et respectés.

COMMUNIQUER Faire connaitre quelque chose à

quelqu’un

La communication est correcte :

titre, soin, légende, orthographe,

syntaxe mathématique, … .

COMPARER Examiner les rapports de

différences et de ressemblances

Les différences et/ou les

ressemblances sont bien mises en

évidence.

DÉMONTRER Établir la vérité d’une manière

évidente et rigoureuse

La proposition, le théorème est

logiquement démontré(e).

EFFECTUER Réaliser, faire une opération

mathématique

L’opération mathématique est

correctement réalisée.

JUSTIFIER Montrer comme vrai, juste, réel,

par des arguments, des preuves

Les preuves avancées sont correctes

et structurées.

MÉMORISER Mettre des données en mémoire Les informations sont correctement

restituées de mémoire.

MODÉLISER

Établir une représentation

mathématique simplifiée d’un

processus ou d’un système.

Les modalités mises en place pour

modéliser sont adéquates.

RÉSOUDRE Découvrir la solution La démarche et le résultat obtenu

sont corrects.

SÉLECTIONNER Choisir les informations qui

conviennent le mieux

Il n’y a aucune information inutile

par rapport à l’objectif

S’INTERROGER Se poser des questions Les hypothèses sont correctement

énoncées.

SYNTHÉTISER Procéder du simple au composé, de

l’élément au tout

La production traduit correctement

la réalité c'est-à-dire qu’il n’y a pas

d’erreur qui fausse le sens. Les

liens entre les informations

sélectionnées sont pertinents.


43

ANNEXE 2

Complément d’aide à la lecture des outils d’évaluation proposés par la COE

Dans un souci de gestion efficace de l’évaluation des compétences en

mathématiques, le groupe de travail interréseaux de mathématiques la Commission

des Outils d’évaluation pour les Humanités Générales et Technologiques n’a retenu

que quatre finalités de compétences à ne développer que dans trois domaines

disciplinaires.

Les trois domaines disciplinaires

1. Grandeurs et fonctions

2. Figures géométriques

3. Phénomènes aléatoires

Les quatre finalités

1. Modéliser (C4)

2. Démontrer (C5)

3. Résoudre un problème ((C2 et C3)

4. Organiser des savoirs (C1 et C6)

Ainsi, douze grandes familles de tâches19 peuvent être mises en œuvre :

Grandeurs et

fonctions

Figures

géométriques

Phénomènes

aléatoires

Modéliser

Démontrer

Résoudre un problème

Organiser des savoirs

19

Les familles de tâches ont été identifiées par le groupe de travail en mathématiques du service de

pilotage de la Commission des Outils d’évaluation. Une famille de tâches se caractérise par la même

finalité, par des compétences transversales identiques et par des critères d’évaluation identiques. Les

familles de tâches ont été déterminées sur base des compétences terminales et des domaines

disciplinaires.


44

ANNEXE 3

Autres exemples de situations d’apprentissage

Exemple 1

Compétence terminale C2 : « Calculer, déterminer un élément géométrique »

Domaine disciplinaire : « Géométrie et trigonométrie »

Consigne : Un ballon de 8 m de diamètre est observé du sol à la verticale sous un angle de

vue de 4°. Détermine la hauteur à laquelle se trouve le centre du ballon. Détaille ton

raisonnement et justifie toutes tes affirmations.

Tâches à réaliser :

1. Représenter la situation ;

2. Calculer et indiquer toutes les justifications ;

3. Communiquer.

Buts à atteindre : représenter ;

savoir, connaitre ;

calculer.


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Exemple 2

Compétence terminale C3 : « Appliquer, analyser, résoudre des problèmes »

Domaine disciplinaire : « Algèbre »

Consigne :

Détermine les valeurs des nombres réels a et de b pour que la division de P(x) = 10 x5 +5x4 +

5ax3 - 65 x2 + 5bx par (x-1) et par (x+2) se fasse exactement. Ensuite, factorise le polynôme

obtenu et donne ses racines.


1. Utiliser la théorie ;

2. Calculer les valeurs de a et de b ;

3. Vérifier les résultats.

Buts à atteindre : savoir , connaitre ;

calculer ;

résoudre.

Exemple 3

Compétence terminale C5 : « Démontrer »

Domaine disciplinaire : « Géométrie et trigonométrie »

Consigne :

Démontre que les médianes d’un triangle se coupent aux deux tiers de leur longueur à partir

du sommet. Tu veilleras à justifier toutes les étapes de ton raisonnement et à structurer ta

réponse.


1. Représenter la situation ;

2. Écrire les hypothèses ;

3. Écrire la thèse ;

4. Rédiger la démonstration ;

5. Indiquer toutes les justifications.

But à atteindre : prouver la thèse.


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Exemple 4

Compétence terminale C3 : « Appliquer, analyser, résoudre des problèmes »

Domaine disciplinaire : « Algèbre »

Consigne :

Un parc d’attractions propose plusieurs tarifs.

Formule A : 10 ,50 € par entrée.

Formule B : un abonnement annuel de 52,50 € puis 6,75 € par entrée.

Formule C : un abonnement annuel de 214,50 € pour un nombre illimité d'entrées.

a) À partir de combien d'entrées la formule B est-elle plus avantageuse que la formule A ?

b) À partir de combien d'entrées la formule C est-elle plus avantageuse que la formule B ?


1. Choisir l’inconnue ;

2. Traduire algébriquement le problème ;

3. Résoudre l’inéquation ;

4. Rédiger une conclusion.

Buts à atteindre : appliquer, analyser, résoudre des problèmes ;

calculer ;

synthétiser.


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